高中数学函数的周期性与常考题(附经典例题与解析)

函数的周期性与常考题

【知识点分析】：

函数的周期性

设函数y＝f(x)，x∈D，如果存在非零常数T，使得对任意x∈D，都有f(x＋T)＝f(x)，则称函数f(x)为周期函数，T为函数f(x)的一个周期．(D为定义域)

1. 型

的周期为T。定义：对x取定义域内的每一个值时，都有，则为周期函数，T叫函数的周期。

【相似题练习】

1．定义在R上的函数f（x）满足：f（x+6）＝f（x），当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）＝﹣（x+2）2；当﹣1≤x＜3时，f（x）＝x，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2019）＝（）

A．336B．337C．338D．339

1．已知定义在R上的函数y＝f（x）对于任意的x都满足f（x+2）＝f（x）．当﹣1≤x＜1时，f（x）＝x3．若函数g（x）＝f（x）﹣log a|x|至少有6个零点，则a的取值范围是．

1．已知f（x）是定义在R上的函数，且对任意实数x有f（x+4）＝﹣f（x）+2，若函数y＝f（x﹣1）的图象关于直线x＝1对称，则f（2014）＝（）

A．﹣2+2B．2+2C．2D．

【知识点分析】：

2. 型

的周期为。证明：。

特别得：f（x-a）＝f（x+a）型，的周期为2a。

【相似题练习】

2．已知偶函数y＝f（x）满足条件f（x+1）＝f（x﹣1），且当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝3x+，则f（5）的值等于．

1．已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0时，f（x）＝x3﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）＝﹣f（x）；当时，，则f（2019）＝（）

A．﹣2B．﹣1C．0D．2

【知识点分析】：

3. 型

的周期为2a。证明：

【相似题练习】

1．已知定义在R上的函数f（x﹣1）的对称中心为（1，0），且f（x+2）＝﹣f（x），当x∈（0，1]时，f（x）＝2x﹣1，则f（x）在闭区间[﹣2014，2014]上的零点个数为．

1．设函数f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（x+1）＝﹣f（x﹣1），若f（﹣1）＞1，f（5）＝a2﹣2a﹣4，则实数a的取值范围是（）

A．（﹣1，3）B．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）

C．（﹣3，1）D．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）

1．已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x+6）+f（x）＝2f（3），y＝f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，且f （4）＝4，则f（2012）＝（）

A．0B．﹣4C．﹣8D．﹣16

1．已知定义在R上的函数f（x）的图象关于点（﹣，0）成中心对称图形，且满足，f（﹣1）

＝1，f（0）＝﹣2，则f（1）+f（2）+…+f（2015）的值为（）

A．1B．2C．﹣1D．﹣2

【知识点分析】：

4. 型

的周期为2a。

证明：。

【相似题练习】

1．若偶函数f（x）对任意x∈R，都有f（x+3）＝﹣，且x∈[﹣3，﹣2]时，f（x）＝2x，则f（101.5）＝．

1．已知偶函数f（x）满足f（x+1）＝﹣，且当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝x2，若在区间[﹣1，3]内，函数g

（x）＝f（x）﹣log a（x+2）有4个零点，则实数a的取值范围是．

【知识点分析】：

5. 型

的周期为。

证明：。

【相似题练习】

1．设定义在R上的函数f（x）满足f（x）•f（x+2）＝13，若f（1）＝2，则f（2015）＝（）

A．B．C．13D．

1．已知函数y＝f（x）满足f（x+1）＝和f（2﹣x）＝f（x+1），且当x∈[，]时，f（x）＝2x+2，则f

（2018）＝（）

A．0B．2C．4D．5

【知识点分析】：

6. 型

的周期为4a。

证明：

，

∴。

【相似题练习】

1．定义在R上的函数f（x）满足：，当x∈（0，4）时，f（x）＝x2﹣1，则f（2010）

＝．

【知识点分析】：

7. 两线对称型

函数关于直线、对称，则的周期为。证明：

。

正弦函数关于直线、对称，则的周期为。

【相似题练习】

1．若y＝f（2x）的图象关于直线x＝和x＝（b＞a）对称，则f（x）的一个周期为（）A．B．2（b﹣a）C．D．4（b﹣a）

1．偶函数f（x）对于任意实数x，都有f（2+x）＝f（2﹣x）成立，并且当﹣2≤x≤0时，f（x）＝2﹣x，则＝（）

A．B．﹣C．D．﹣

【知识点分析】：

8. 一线一点对称型

函数关于直线及点（b，0）对称，则的周期为。证明：

，所以

。

余弦函数关于直线及点（）对称，则的周期为。【相似题练习】

1．已知定义在R上的函数f（x）满足f（2﹣x）为奇函数，函数f（x+3）关于直线x＝1对称，则函数f（x）的最小正周期为（）

A．4B．8C．12D．16

1．已知函数（x）的图象关于原点对称，且满足f（x+1）+f（3﹣x）＝0，当x∈（2，4）时，f（x）＝﹣log（x﹣1）+m，若＝f（﹣1），则实数m的值是（）

A．B．C．D．

【知识点分析】：

9. 两点对称型

函数关于点（a，0）、（b，0）对称，则的周期为。证明：

。

正弦函数关于点（0，0）、对称，则的周期为。

1．设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且图象关于点（，0）成中心对称．

（1）证明：y＝f（x）为周期函数，并指出其周期；

（2）若f（﹣1）＝﹣2，求f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2011）的值．

【知识点分析】：

其他：根据定义求

【相似题练习】

1．已知函数f（x）对定义域内任意x，y，有且f（1）＝1，则f（2011）＝．

1．函数f（x）在定义域R上不是常数函数，且f（x）满足对任意x∈R，有f（4+x）＝f（4﹣x），f（x+1）＝f（x ﹣1），则f（x）是（）

A．奇函数但非偶函数B．偶函数但非奇函数

C．奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数

1．已知定义在R上的函数f（x）既是奇函数，又是周期为3的周期函数，当时，

，则函数f（x）在区间[0，6]上的零点个数为个．

课后作业：

1．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）＝﹣f（x+1），且当1≤x＜2时，f（x）＝9x﹣9，则＝

（）

A．0B．﹣6C．18D．﹣18

1．已知奇函数f（x）（x∈R）满足f（x+4）＝f（x﹣2），且当x∈[﹣3，0）时，，则f （2018）＝（）

A．B．C．D．

1．已知y＝f（x）是定义在R上的函数，且f（x+4）＝﹣f（x），如果当x∈[﹣4，0）时，f（x）＝3﹣x，则f （985）＝（）

A．27B．﹣27C．9D．﹣9

1．已知y＝f（x）是定义在R上的函数，且f（x﹣4）＝﹣f（x），如果当x∈[﹣4，0）时，，则f （266）＝．