高中数学函数的周期性与常考题(附经典例题与解析)

函数的周期性与常考题
【知识点分析】：
函数的周期性
设函数y＝f(x)，x∈D，如果存在非零常数T，使得对任意x∈D，都有f(x＋T)＝f(x)，则称函数f(x)为周期函数，T为函数f(x)的一个周期．(D为定义域)
1. 型
的周期为T。

定义：对x取定义域内的每一个值时，都有，则为周期函数，T叫函数的周期。

【相似题练习】
1．定义在R上的函数f（x）满足：f（x+6）＝f（x），当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）＝﹣（x+2）2；当﹣1≤x＜3时，f（x）＝x，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2019）＝（）
A．336B．337C．338D．339
1．已知定义在R上的函数y＝f（x）对于任意的x都满足f（x+2）＝f（x）．当﹣1≤x＜1时，f（x）＝x3．若函数g（x）＝f（x）﹣log a|x|至少有6个零点，则a的取值范围是．
1．已知f（x）是定义在R上的函数，且对任意实数x有f（x+4）＝﹣f（x）+2，若函数y＝f（x﹣1）的图象关于直线x＝1对称，则f（2014）＝（）
A．﹣2+2B．2+2C．2D．
【知识点分析】：
2. 型
的周期为。

证明：。

特别得：f（x-a）＝f（x+a）型，的周期为2a。

【相似题练习】
2．已知偶函数y＝f（x）满足条件f（x+1）＝f（x﹣1），且当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝3x+，则f（5）的值等于．
1．已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0时，f（x）＝x3﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）＝﹣f（x）；当时，，则f（2019）＝（）
A．﹣2B．﹣1C．0D．2
【知识点分析】：
3. 型
的周期为2a。

证明：
【相似题练习】
1．已知定义在R上的函数f（x﹣1）的对称中心为（1，0），且f（x+2）＝﹣f（x），当x∈（0，1]时，f（x）＝2x﹣1，则f（x）在闭区间[﹣2014，2014]上的零点个数为．
1．设函数f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（x+1）＝﹣f（x﹣1），若f（﹣1）＞1，f（5）＝a2﹣2a﹣4，则实数a的取值范围是（）
A．（﹣1，3）B．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）
C．（﹣3，1）D．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）
1．已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x+6）+f（x）＝2f（3），y＝f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，且f （4）＝4，则f（2012）＝（）
A．0B．﹣4C．﹣8D．﹣16
1．已知定义在R上的函数f（x）的图象关于点（﹣，0）成中心对称图形，且满足，f（﹣1）
＝1，f（0）＝﹣2，则f（1）+f（2）+…+f（2015）的值为（）
A．1B．2C．﹣1D．﹣2
【知识点分析】：
4. 型
的周期为2a。

证明：。

【相似题练习】
1．若偶函数f（x）对任意x∈R，都有f（x+3）＝﹣，且x∈[﹣3，﹣2]时，f（x）＝2x，则f（101.5）＝．
1．已知偶函数f（x）满足f（x+1）＝﹣，且当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝x2，若在区间[﹣1，3]内，函数g
（x）＝f（x）﹣log a（x+2）有4个零点，则实数a的取值范围是．
【知识点分析】：
5. 型
的周期为。

证明：。

【相似题练习】
1．设定义在R上的函数f（x）满足f（x）•f（x+2）＝13，若f（1）＝2，则f（2015）＝（）
A．B．C．13D．
1．已知函数y＝f（x）满足f（x+1）＝和f（2﹣x）＝f（x+1），且当x∈[，]时，f（x）＝2x+2，则f
（2018）＝（）
A．0B．2C．4D．5
【知识点分析】：
6. 型
的周期为4a。

证明：
，
∴。

【相似题练习】
1．定义在R上的函数f（x）满足：，当x∈（0，4）时，f（x）＝x2﹣1，则f（2010）
＝．
【知识点分析】：
7. 两线对称型
函数关于直线、对称，则的周期为。

证明：。

正弦函数关于直线、对称，则的周期为。

【相似题练习】
1．若y＝f（2x）的图象关于直线x＝和x＝（b＞a）对称，则f（x）的一个周期为（）A．B．2（b﹣a）C．D．4（b﹣a）
1．偶函数f（x）对于任意实数x，都有f（2+x）＝f（2﹣x）成立，并且当﹣2≤x≤0时，f（x）＝2﹣x，则＝（）
A．B．﹣C．D．﹣
【知识点分析】：
8. 一线一点对称型
函数关于直线及点（b，0）对称，则的周期为。

证明：
，所以。

余弦函数关于直线及点（）对称，则的周期为。

【相似题练习】
1．已知定义在R上的函数f（x）满足f（2﹣x）为奇函数，函数f（x+3）关于直线x＝1对称，则函数f（x）的最小正周期为（）
A．4B．8C．12D．16
1．已知函数（x）的图象关于原点对称，且满足f（x+1）+f（3﹣x）＝0，当x∈（2，4）时，f（x）＝﹣log（x﹣1）+m，若＝f（﹣1），则实数m的值是（）
A．B．C．D．
【知识点分析】：
9. 两点对称型
函数关于点（a，0）、（b，0）对称，则的周期为。

证明：。

正弦函数关于点（0，0）、对称，则的周期为。

1．设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且图象关于点（，0）成中心对称．
（1）证明：y＝f（x）为周期函数，并指出其周期；
（2）若f（﹣1）＝﹣2，求f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2011）的值．
【知识点分析】：
其他：根据定义求
【相似题练习】
1．已知函数f（x）对定义域内任意x，y，有且f（1）＝1，则f（2011）＝．
1．函数f（x）在定义域R上不是常数函数，且f（x）满足对任意x∈R，有f（4+x）＝f（4﹣x），f（x+1）＝f（x ﹣1），则f（x）是（）
A．奇函数但非偶函数B．偶函数但非奇函数
C．奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数
1．已知定义在R上的函数f（x）既是奇函数，又是周期为3的周期函数，当时，
，则函数f（x）在区间[0，6]上的零点个数为个．
课后作业：
1．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）＝﹣f（x+1），且当1≤x＜2时，f（x）＝9x﹣9，则＝
（）
A．0B．﹣6C．18D．﹣18
1．已知奇函数f（x）（x∈R）满足f（x+4）＝f（x﹣2），且当x∈[﹣3，0）时，，则f （2018）＝（）
A．B．C．D．
1．已知y＝f（x）是定义在R上的函数，且f（x+4）＝﹣f（x），如果当x∈[﹣4，0）时，f（x）＝3﹣x，则f （985）＝（）
A．27B．﹣27C．9D．﹣9
1．已知y＝f（x）是定义在R上的函数，且f（x﹣4）＝﹣f（x），如果当x∈[﹣4，0）时，，则f （266）＝．
1．f（x）是定义在R上的奇函数，满足，当x∈（0，1）时，f（x）＝2x﹣2，则＝．
1．若定义在实数集R上的f（x）满足：x∈（﹣3，﹣1）时，f（x+1）＝e x，对任意x∈R，都有成
立．f（2019）等于（）
A．e2B．e﹣2C．e D．1
1．定义在R上的偶函数f（x），对任意的实数x都有f（x+4）＝﹣f（x）+2，且f（﹣3）＝3，则f（2015）＝（）
A．﹣1B．3C．2015D．﹣4028
1．若偶函数y＝f（x）（x∈R）满足条件：f（﹣x）＝f（1+x），则函数f（x）的一个周期为．
参考答案与解析：
1．定义在R上的函数f（x）满足：f（x+6）＝f（x），当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）＝﹣（x+2）2；当﹣1≤x＜3时，f（x）＝x，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2019）＝（）
A．336B．337C．338D．339
【解答】解：∵f（x+6）＝f（x），当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）＝﹣（x+2）2，当﹣1≤x＜3时，f（x）＝x，∴f（1）＝1，f（2）＝2，f（3）＝f（﹣3）＝﹣1，
f（4）＝f（﹣2）＝0，f（5）＝f（﹣1）＝﹣1，f（6）＝f（0）＝0，
∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）＝1，∵f（x+6）＝f（x），∴f（x）的周期为6，
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2019）＝336+f（1）+f（2）+f（3）＝338．故选：C．
1．已知定义在R上的函数y＝f（x）对于任意的x都满足f（x+2）＝f（x）．当﹣1≤x＜1时，f（x）＝x3．若函
数g（x）＝f（x）﹣log a|x|至少有6个零点，则a的取值范围是（0，]∪（5，+∞）．
【解答】解：根据题意，函数g（x）＝f（x）﹣log a|x|的零点个数，
即函数y＝f（x）与y＝log a|x|的交点的个数；f（x+2）＝f（x），函数f（x）是周期为2的周期函数，
又由当﹣1＜x≤1时，f（x）＝x3，据此可以做出f（x）的图象，
y＝log a|x|是偶函数，当x＞0时，y＝log a x，则当x＜0时，y＝log a（﹣x），做出y＝log a|x|的图象，
结合图象分析可得：要使函数y＝f（x）与y＝log a|x|至少有6个交点，
则log a5＜1 或log a5≥﹣1，解得a＞5，或0＜a≤．所以a的取值范围是（0，]∪（5，+∞）．故答案为：（0，]∪（5，+∞）．
1．已知f（x）是定义在R上的函数，且对任意实数x有f（x+4）＝﹣f（x）+2，若函数y＝f（x﹣1）的图象关于直线x＝1对称，则f（2014）＝（）
A．﹣2+2B．2+2C．2D．
【解答】解：∵f（x）是定义在R上的函数，且对任意实数x有f（x+4）＝﹣f（x）+2，
∴f（2）＝﹣f（﹣2）+2，
又：∵y＝f（x﹣1）的图象关于直线x＝1对称，向左平移1个单位，得y＝f（x）图象关于y轴对称，
∴f（﹣x）＝f（x），∴f（x+4）+f（x）＝2，2f（2）＝2，解得f（2）＝，
∴f（6）+f（2）＝2，解得f（6）＝，从而得到f（2+4n）＝f（2）＝，
∴f（2014）＝f（2+503×4）＝．故选：D．
2．已知偶函数y＝f（x）满足条件f（x+1）＝f（x﹣1），且当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝3x+，则f（5）的值
等于1．
【解答】解：由f（x+1）＝f（x﹣1），得f（x+2）＝f（x），所以f（x）是以2为周期的周期函数，
又f（x）为偶函数，
∴＝f（﹣log35）＝f（log35）＝＝＝，故答案为：
1．
1．已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0时，f（x）＝x3﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）＝﹣f（x）；当时，，则f（2019）＝（）
A．﹣2B．﹣1C．0D．2
【解答】解：∵当是时，，∴f（x）＝f（x+1），∴当时，f（x）的周期T＝
1，
又当x＜0时，f（x）＝x3﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）＝﹣f（x）；
∴f（2019）＝f（1）＝﹣f（﹣1）＝﹣[（﹣1）3﹣1]＝2．故选：D．
1．已知定义在R上的函数f（x﹣1）的对称中心为（1，0），且f（x+2）＝﹣f（x），当x∈（0，1]时，f（x）＝2x﹣1，则f（x）在闭区间[﹣2014，2014]上的零点个数为6043．
【解答】解：∵f（x+2）＝﹣f（x），∴f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），
故函数f（x）是T＝4的周期函数，又∵函数f（x﹣1）的对称中心为（1，0），
∴函数f（x）的对称中心为（0，0），即函数f（x）为奇函数，∵当x∈（0，1]时，f（x）＝2x﹣1，
x∈（1，2]时，f（x）=-f（x-2）∴在一个周期[﹣2，2）上的图象如下图所示：
由图可得在一个周期[﹣2，2）上函数有6个零点，故每个周期[4k﹣2，4k+2），k∈Z上函数都有6个零点，[﹣2014，2014）上共有[2014﹣（﹣2014）]÷4＝1007个周期，
故[﹣2014，2014）共有6×1007＝6042个零点，由f（2014）＝0，
故f（x）在闭区间[﹣2014，2014]上的零点个数为6043，故答案为：6043
1．设函数f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（x+1）＝﹣f（x﹣1），若f（﹣1）＞1，f（5）＝a2﹣2a﹣4，则实数a的取值范围是（）
A．（﹣1，3）B．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）
C．（﹣3，1）D．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）
【解答】解：由f（x+1）＝﹣f（x﹣1），可得f（x+2）＝﹣f（x），
则f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），故函数f（x）的周期为4，则f（5）＝f（1）＝a2﹣2a﹣4，
又∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（﹣1）＞1，∴f（1）＜﹣1．∴a2﹣2a﹣4＜﹣1，解得﹣1＜a＜3．∴实数a的取值范围是（﹣1，3）．故选：A．
1．已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x+6）+f（x）＝2f（3），y＝f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，且f （4）＝4，则f（2012）＝（）
A．0B．﹣4C．﹣8D．﹣16
【解答】解：因为函数y＝f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，所以函数y＝f（x）的图象关于点（0，0）对称，即函数y＝f（x）是奇函数，
令x＝﹣3得，f（﹣3+6）+f（﹣3）＝2f（3），即f（3）﹣f（3）＝2f（3），解得f（3）＝0．
所以f（x+6）+f（x）＝2f（3）＝0，即f（x+6）＝﹣f（x），所以f（x+12）＝f（x），即函数的周期是12．所以f（2012）＝f（12×168﹣4）＝f（﹣4）＝﹣f（4）＝﹣4．故选：B．
1．已知定义在R上的函数f（x）的图象关于点（﹣，0）成中心对称图形，且满足，f（﹣1）
＝1，f（0）＝﹣2，则f（1）+f（2）+…+f（2015）的值为（）
A．1B．2C．﹣1D．﹣2
【解答】解：由题意可得＝﹣[﹣f（x+3）]＝f（x+3），∴函数f（x）的周期为3，
又∵函数f（x）的图象关于点（﹣，0）成中心对称，
∴f（x）＝﹣f（﹣﹣x），结合可得f（﹣﹣x）＝f（x+），
令t＝x+，则f（﹣t）＝f（t），即函数f（x）为偶函数，∴f（1）＝f（﹣1）＝1，
∴f（1）+f（2）+f（3）＝f（1）+f（﹣1）+f（0）＝0，
∴f（1）+f（2）+…+f（2015）＝671×0+f（2014）+f（2015）＝f（1）+f（2）＝2故选：B．
1．若偶函数f（x）对任意x∈R，都有f（x+3）＝﹣，且x∈[﹣3，﹣2]时，f（x）＝2x，则f（101.5）＝．
【解答】解：根据题意，f（x）满足f（x+3）＝﹣，则f（x+6）＝＝f（x），即函数f（x）是周
期为6的周期函数，则f（101.5）＝f（﹣0.5+17×6）＝f（﹣0.5），
又由f（x）为偶函数，则f（﹣0.5）＝f（0.5），
又由f（0.5）＝f（﹣2.5+3）＝﹣＝﹣＝，则f（101.5）＝；故答案为：
1．已知偶函数f（x）满足f（x+1）＝﹣，且当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝x2，若在区间[﹣1，3]内，函数g （x）＝f（x）﹣log a（x+2）有4个零点，则实数a的取值范围是[5，+∞）．
【解答】解：函数f（x）满足f（x+1）＝﹣，故有f（x+2）＝f（x），故f（x）是周期为2的周期函数．
再由f（x）是偶函数，当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝x2，可得当x∈[0，1]时，f（x）＝x2，
故当x∈[﹣1，1]时，f（x）＝x2，当x∈[1，3]时，f（x）＝（x﹣2）2．
由于函数g（x）＝f（x）﹣log a（x+2）有4个零点，故函数y＝f（x）的图象与y＝log a（x+2）有4个交点，所以可得1≥log a（3+2），∴实数a的取值范围是[5，+∞）．故答案为：[5，+∞）．
1．设定义在R上的函数f（x）满足f（x）•f（x+2）＝13，若f（1）＝2，则f（2015）＝（）A．B．C．13D．
【解答】解：由函数的关系式可得：f（x）f（x+2）＝13，f（x+2）f（x+4）＝13，
据此有：f（x）＝f（x+4），即函数f（x）是周期为4的函数，
据此可得：f（2015）＝f（504×4﹣1）＝f（﹣1），
关系式f（x）f（x+2）＝13 中，令x＝﹣1可得：f（﹣1）f（1）＝2f（﹣1）＝13，∴．故选：B．1．已知函数y＝f（x）满足f（x+1）＝和f（2﹣x）＝f（x+1），且当x∈[，]时，f（x）＝2x+2，则f
（2018）＝（）
A．0B．2C．4D．5
【解答】解：∵f（x+1）＝和f（2﹣x）＝f（x+1），
∴f（x+2）＝，即f（x+4）＝＝f（x），即f（x）的最小正周期是4，
f（2018）＝f（4×504+2）＝f（2），∵f（2﹣x）＝f（x+1），
∴当x＝1时，f（2﹣1）＝f（1+1），即f（2）＝f（1），∵当x∈[，]时，f（x）＝2x+2
∴f（1）＝2+2＝4，即f（2018）＝f（2）＝f（1）＝4，故选：C．
1．定义在R上的函数f（x）满足：，当x∈（0，4）时，f（x）＝x2﹣1，则f（2010）＝
3．
【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）满足：
∴＝＝f（x）故函数的周期是4∴f（2010）＝f（2）
又x∈（0，4）时，f（x）＝x2﹣1，∴f（2010）＝f（2）＝22﹣1＝3故答案为31．
1．若y＝f（2x）的图象关于直线x＝和x＝（b＞a）对称，则f（x）的一个周期为（）A．B．2（b﹣a）C．D．4（b﹣a）
【解答】解：设f（2x）＝sin2x图象关于直线和，
则f（x）＝sin x关于x＝a和x＝b对称，则2（b﹣a）是f（x）的一个周期．故选：B．
1．偶函数f（x）对于任意实数x，都有f（2+x）＝f（2﹣x）成立，并且当﹣2≤x≤0时，f（x）＝2﹣x，则＝（）
A．B．﹣C．D．﹣
【解答】解：对任意实数x都有f（4+x）＝f[2+（2+x）]＝f[2﹣（2+x）]＝f（﹣x），
由于f（x）为偶函数，所以f（﹣x）＝f（x）．所以f（4+x）＝f（x）．
所以函数f（x）是以4为周期的周期函数．所以．
故选：C．
1．已知定义在R上的函数f（x）满足f（2﹣x）为奇函数，函数f（x+3）关于直线x＝1对称，则函数f（x）的最小正周期为（）
A．4B．8C．12D．16
【解答】解：∵f（x）满足f（2﹣x）为奇函数，∴f（2+x）＝﹣f（2﹣x），即f（4+x）＝﹣f（﹣x）①，∵函数f（x+3）关于直线x＝1对称，∴将函数f（x+3）的图象向右平移3个单位得到y＝f（x）的图象，则函数f（x）的图象关于直线x＝4对称，∴f（4+x）＝f（4﹣x）②，
由①②得：f（4﹣x）＝﹣f（﹣x），即f（x+4）＝﹣f（x），
∴f（x+8）＝﹣f（x+4）即f（x+8）＝f（x），故函数f（x）的最小正周期为8．故选：B．
1．已知函数（x）的图象关于原点对称，且满足f（x+1）+f（3﹣x）＝0，当x∈（2，4）时，f（x）＝﹣log（x﹣1）+m，若＝f（﹣1），则实数m的值是（）
A．B．C．D．
【解答】解：根据题意，函数f（x）满足f（x+1）+f（3﹣x）＝0，又由f（x）为奇函数，
则f（x+1）＝﹣f（3﹣x）＝f（x﹣3），即f（x+4）＝f（x），
故函数f（x）的周期为4，则f（2021）＝f（1+2020）＝f（1），
当x∈（2，4）时，，则f（3）＝m+1，
即f（2021）＝f（1）＝﹣f（3）＝﹣m﹣1，
又由f（x）为奇函数，则f（﹣1）＝﹣f（1）＝m+1，
若，则有＝m+1，解可得：m＝﹣；故选：C．
1．设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且图象关于点（，0）成中心对称．
（1）证明：y＝f（x）为周期函数，并指出其周期；
（2）若f（﹣1）＝﹣2，求f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2011）的值．
【解答】证明：（1）∵函数f（x）图象关于点（，0）成中心对称，
∴f（x）+f（3﹣x）＝0，∴f（x+3）+f（﹣x）＝0，∴f（x+3）＝﹣f（﹣x），又f（x）为奇函数，
f（﹣x）＝﹣f（﹣x），∴f（x+3）＝f（x），∴y＝f（x）为周期函数，其周期T＝3．
（2）∵f（﹣1）＝﹣2，f（x）为奇函数，∴f（1）＝2，又f（0）＝0，
∴f（2）＝f（2﹣3）＝f（﹣1）＝﹣2，f（3）＝f（0）＝0，f（1）+f（2）+f（3）＝0，
f（4）+f（5）+f（6）＝0，…∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2011）
＝670[f（1）+f（2）+f（3）]+f（2011）]＝f（2011）＝f（670×3+1）＝f（1）＝2．
1．已知函数f（x）对定义域内任意x，y，有且f（1）＝1，则f（2011）＝﹣1．【解答】解：∵函数f（x）对定义域内任意x，y，有，
∴令x＝y＝0，得f（0）＝，解得f（0）＝0．令y＝﹣x，得f（0）＝＝0，∴f（﹣x）＝﹣f（x），即函数f（x）是奇函数．∵，∴f（x+1）＝，
∴f（x+2）＝＝＝﹣，∴f（x+4）＝﹣＝f（x），
∴f（x）是以4为周期的周期函数，∵f（1）＝1，∴f（2011）＝f（503×4﹣1）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣1．故答案为：﹣1．
1．函数f（x）在定义域R上不是常数函数，且f（x）满足对任意x∈R，有f（4+x）＝f（4﹣x），f（x+1）＝f（x ﹣1），则f（x）是（）
A．奇函数但非偶函数B．偶函数但非奇函数
C．奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数
【解答】解：∵f（4+x）＝f（4﹣x），∴函数f（x）的对称轴为x＝4，又f（x+1）＝f（x﹣1），
∴f（x+2）＝f（x），∴函数f（x）的周期为T＝2，∴x＝0也为函数f（x）的对称轴，
∴f（x）为偶函数，又∵f（x）在R上不是常数函数，故f（x）不恒为0，
∴f（x）为偶函数但不是奇函数．故选：B．
1．已知定义在R上的函数f（x）既是奇函数，又是周期为3的周期函数，当时，
，则函数f（x）在区间[0，6]上的零点个数为9个．
【解答】解：∵当x∈（0，）时，f（x）＝sinπx，令f（x）＝0，则sinπx＝0，解得x＝1．
又∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，∴在区间∈[﹣，]上，
f（﹣1）＝f（1）＝f（）＝f（﹣）＝0，f（0）＝0，∵函数f（x）是周期为3的周期函数，
则方程f（x）＝0在区间[0，6]上的解有0，1，，2，3，4，，5，6．共9个．故答案为：9．
作业答案：
1．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）＝﹣f（x+1），且当1≤x＜2时，f（x）＝9x﹣9，则＝
（）
A．0B．﹣6C．18D．﹣18
【解答】解：由f（x）＝﹣f（x+1），
则f（x+2）＝f（（x+1）+1）＝﹣f（x+1）＝﹣（﹣f（x））＝f（x），所以周期为2．
则
故选：C．
1．已知奇函数f（x）（x∈R）满足f（x+4）＝f（x﹣2），且当x∈[﹣3，0）时，，则f （2018）＝（）
A．B．C．D．
【解答】解：∵奇函数f（x）（x∈R）满足f（x+4）＝f（x﹣2），
∴f（x+6）＝f（x），
∵当x∈[﹣3，0）时，，
∴f（2018）＝f（336×6+2）＝f（2）＝﹣f（﹣2）
＝﹣{}
＝．
故选：D．
1．已知y＝f（x）是定义在R上的函数，且f（x+4）＝﹣f（x），如果当x∈[﹣4，0）时，f（x）＝3﹣x，则f （985）＝（）
A．27B．﹣27C．9D．﹣9
【解答】解：∵y＝f（x）是定义在R上的函数，且f（x+4）＝﹣f（x），
∴f（x+8）＝﹣f（x+4）＝f（x），
∵当x∈[﹣4，0）时，f（x）＝3﹣x，
∴f（985）＝f（123×8+1）＝f（1）＝﹣f（﹣3）＝﹣33＝﹣27．
故选：B．
1．已知y＝f（x）是定义在R上的函数，且f（x﹣4）＝﹣f（x），如果当x∈[﹣4，0）时，，则f
（266）＝﹣2．
【解答】解：∵y＝f（x）是定义在R上的函数，且f（x+4）＝﹣f（x），
∴f（x+8）＝﹣f（x+4）＝f（x），
∵当x∈[﹣4，0）时，f（x）＝（）﹣x，
∴f（266）＝f（33×8+2）＝f（2）＝﹣f（﹣2）＝﹣（）2＝﹣2．
故答案为：﹣2．
1．f（x）是定义在R上的奇函数，满足，当x∈（0，1）时，f（x）＝2x﹣2，则＝．
【解答】解：根据题意，f（x）满足，则有f（x+2）＝＝f（x），即函数f（x）是周期
为2的周期函数，
又由f（x）为定义在R上的奇函数，
则＝f（﹣log26）＝﹣f（log26）＝﹣f（log26﹣2）＝﹣f（log2），
当x∈（0，1）时，f（x）＝2x﹣2，则f（log2）＝﹣2＝﹣，
故＝；
故答案为：
1．若定义在实数集R上的f（x）满足：x∈（﹣3，﹣1）时，f（x+1）＝e x，对任意x∈R，都有成
立．f（2019）等于（）
A．e2B．e﹣2C．e D．1
【解答】解：根据题意，对任意x∈R，都有成立，则有f（x+4）＝＝f（x），
即函数f（x）是周期为4的周期函数，
则f（2019）＝f（﹣1+2020）＝f（﹣1），
x∈（﹣3，﹣1）时，f（x+1）＝e x，当x＝﹣2时，有f（﹣1）＝e﹣2，
则f（2019）＝e﹣2，
故选：B．
1．定义在R上的偶函数f（x），对任意的实数x都有f（x+4）＝﹣f（x）+2，且f（﹣3）＝3，则f（2015）＝（）
A．﹣1B．3C．2015D．﹣4028
【解答】解：∵对任意的实数x都有f（x+4）＝﹣f（x）+2，
令x＝﹣1，则f（3）＝﹣f（﹣1）+2＝3，
∴f（﹣1）＝﹣1，
又由f（x+8）＝f[（x+4）+4]＝﹣f（x+4）+2＝﹣[﹣f（x）+2]+2＝f（x），
故函数f（x）是周期为8的周期函数，
故f（2015）＝f（﹣1）＝﹣1，
故选：A．
1．若偶函数y＝f（x）（x∈R）满足条件：f（﹣x）＝f（1+x），则函数f（x）的一个周期为1．【解答】解：∵偶函数y＝f（x）（x∈R）满足条件：f（﹣x）＝f（1+x），
∴f（﹣x）＝f（x）＝f（1+x），
∴函数f（x）的一个周期为1．
故答案为：1．
备用题：
1．定义在R上的函数f（x），对任意x均有f（x）＝f（x+2）+f（x﹣2）且f（2013）＝2013，则f（2025）＝．
2．如果函数y＝f（x）满足f（ax）＝f（ax﹣）（a＞0），则y＝f（ax）的一个正周期为（）A．B．C．D．
1．已知定义在R上的函数f（x）的周期为4，当x∈[﹣2，2）时，，则f（﹣log36）+f （log354）＝（）
A．B．C．D．
3．设f（x）的定义域为R，且f（x+）＝f（x）．若x∈[﹣，π]时，f（x）＝，则f（﹣）+f（）等于（）
A．B．0C．D．1
1．设f（x）是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x＝1对称，对任意x1，x2∈[0，]，都有f（x1+x2）＝f （x1）•f（x2），且f（1）＝a＞0．
（1）求f（）及f（）；
（2）证明f（x）是周期函数．
备用题答案：
1．定义在R上的函数f（x），对任意x均有f（x）＝f（x+2）+f（x﹣2）且f（2013）＝2013，则f（2025）＝2013．
【解答】解：∵定义在R上的函数f（x），对任意x均有f（x）＝f（x+2）+f（x﹣2），①
∴f（x+2）＝f（x+4）+f（x），②
由①②，可得f（x﹣2）＝﹣f（x+4），即f（x）＝﹣f（x+6），
∴f（x+12）＝f（x），
∴函数f（x）为周期函数，周期为T＝12，
∵f（2013）＝2013，
∴f（2025）＝f（2025﹣12）＝f（2013）＝2013．
故答案为：2013．
2．如果函数y＝f（x）满足f（ax）＝f（ax﹣）（a＞0），则y＝f（ax）的一个正周期为（）A．B．C．D．
【解答】解：函数y＝f（x）满足f（ax）＝f（ax﹣）＝f[a（x﹣）]（a＞0），则y＝f（ax）的一个正周期为，
故选：A．
1．已知定义在R上的函数f（x）的周期为4，当x∈[﹣2，2）时，，则f（﹣log36）+f （log354）＝（）
A．B．C．D．
【解答】解：因为函数f（x）的周期为4，当x∈[﹣2，2）时，，
∴f（﹣log36）＝f（log3）＝﹣log3﹣4＝2+log36；
f（log354）＝f（3+log32）＝f（log32﹣1）＝f（log3）＝﹣log3﹣4＝﹣log32+1﹣4＝﹣log32﹣3；
∴f（﹣log36）+f（log354）＝2+log36+﹣log32﹣3＝；
故选：A．
3．设f（x）的定义域为R，且f（x+）＝f（x）．若x∈[﹣，π]时，f（x）＝，则f（﹣）+f（）等于（）
A．B．0C．D．1
【解答】解：因为f（x+）＝f（x）；
∴f（x）的周期为．
∴f（﹣）＝f（﹣3π﹣）＝f（﹣）＝f（﹣+）＝f（）＝sin＝；
f（）＝f（﹣3π）＝f（﹣）＝cos（﹣）＝cos＝．
∴f（﹣）+f（）＝+＝．
故选：A．
1．设f（x）是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x＝1对称，对任意x1，x2∈[0，]，都有f（x1+x2）＝f （x1）•f（x2），且f（1）＝a＞0．
（1）求f（）及f（）；
（2）证明f（x）是周期函数．
【解答】解；（1）∵f（1）＝f（+）＝f（）•f（）＝f2（）＝a，∴f（）＝±
又∵f（）＝f（+）＝f2（）＞0，
∴f（）＝同理可得f（）＝
（2）∵f（x）是偶函数，
∴f（﹣x）＝f（x）
又∵f（x）关于x＝1对称，
∴f（x）＝f（2﹣x）
∴f（x）＝f（﹣x）＝f[2﹣（﹣x）]＝f（2+x）（x∈R）
这表明f（x）是R上的周期函数，且2是它的一个周期．。