正余弦定理综合应用

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正弦定理、余弦定理的综合应用

解：(方法二：利用角的关系进行判断) 2sin Acos B＝sin C＝sin(A＋B)，所以 sin Acos B－cos Asin B＝0，所以 sin(A－B)＝0，因为－π<A－B<π，所以 A－B＝0，即 A＝B，所以△ABC 为等腰三角形．
5．在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，
解：在 Rt△ABC 中，∠CAB＝45°，BC＝100 m，所以 AC＝100 2 m．在△AMC 中，∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，从而∠AMC＝45°. 由正弦定理得，sinAC45°＝sinAM60°，所以 AM＝100 3 m. 在 Rt△MNA 中，AM＝100 3 m，∠MAN＝60°，由MAMN＝sin 60° 得 MN＝100 3× 23＝150 m. 答案：150
米，则 A、C 两点的距离为( )
200 A. 3
3米
200 B. 3
6米
C.1003 3米 D.1003 6米
解：如图，∠C＝60°，由正弦定理知si2n0600°＝sinAC45°，
所以 AC＝2030× 22＝2003
6 .
2
答案：B
3．在 200 m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为 30°、60°，则塔高为( )
又 AB＝600 m，故由正弦定理得sin60045°＝sinBC30°，解得 BC＝300 2 m. 在 Rt△BCD 中，CD＝BC·tan 30°＝300 2× 33＝100 6 m.
考点二·解三角形的综合应用
【例 2】(2016·福州市毕业班质量检查)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,满足(2b－c)cos A＝acos C.

正、余弦定理及应用举例

02
余弦定理
定义与性质
定义
余弦定理是三角形中的重要定理，它描述了三角形三边与其对应角的余弦值之间的关系。
性质
余弦定理具有对称性，即交换任意两边及其对应的角，定理仍然成立。此外，余弦定理还可以用来判断三角形的形状。
证明方法
证明方法一
利用向量的数量积和向量模长的性质来证明余弦定理。
VS
定理应用举例
总结词
正弦定理在解决三角形问题中具有广泛的应用，例如求三角形边长、角度等。
详细描述
利用正弦定理，我们可以解决许多三角形问题，例如求三角形的边长、角度等。例如，已知三角形的两边及其夹角，我们可以利用正弦定理求出第三边的长度。此外，正弦定理还可以用于判断三角形的解的个数和类型，以及解决一些几何作图问题。
正、余弦定理及应用举例
目录
• 正弦定理 • 余弦定理 • 正、余弦定理的综合应用 • 正、余弦定理的扩展与推广 • 正、余弦定理在数学竞赛中的应用
01
正弦定理
定义与性质
总结词
正弦定理是三角形中一个基本的定理，它描述了三角形边长和对应角的正弦值之间的关系。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意一边与其对应的角的正弦值的比等于三角形外接圆的直径，也等于其他两边与它们的对应角的正弦值的比。
证明方法二
通过作高线，将三角形转化为直角三角形，再利用勾股定理来证明余弦定理。
定理应用举例
应用一
已知三角形的两边及其夹角，求第三边。
应用二
判断三角形的形状。例如，如果一个三角形中存在两个角相等，则这个三角形是等腰三角形。
应用三
解决一些实际问题，如测量、工程设计等。例如，在测量中，可以利用余弦定理来计算两点之间的距离。

第4章第7节正弦定理余弦定理的综合应用课件共60张PPT

1
2
3
走进教材·夯实基础细研考点·突破题型课后限时集训
(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之
间的位置关系．( )
(4)方位角大小的范围是[0,2π)，方向角大小的范围一般是0，π2.
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√
()
第七节正弦定理、余弦定理的综合应用
二、教材习题衍生
C [如图所示，依题意可知∠ADC＝
45°，∠ACD＝180°－60°－15°＝105°，
∴∠DAC＝180°－45°－105°＝30°，由正弦定理可知sin∠CDDAC＝sin∠ACCDA，
∴AC＝CDsi·ns∠in∠DACCDA＝25 2米． ∴在Rt△ABC中，
AB＝AC·sin∠ACB＝25 2× 23＝252 6≈31米． ∴旗杆的高度约为31米，故选C.]
第七节正弦定理、余弦定理的综合应用
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走进教材·夯实基础细研考点·突破题型课后限时集训
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)东北方向就是北偏东45°的方向．( ) (2)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( )
第七节正弦定理、余弦定理的综合应用
第七节正弦定理、余弦定理的综合应用
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走进教材·夯实基础细研考点·突破题型课后限时集训
(1)10 6 (2) 1241[(1)∵△ABC中，由题意可得：
∠CAB＝120°，∠BCA＝30°，AB＝60×13＝
20， ∴由正弦定理sin∠BCCAB＝sin∠ABBCA，
∴BC＝ABsi·nsi∠n∠BCCAAB＝20×1

正、余弦定理及三角函数的综合应用

2．解斜三角形的类型
(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；
(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求得其他边、角；
(3)已知三边，求三个角；
(4)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．
在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：
考点一：利用正、余弦定理解三角形
8．(2010?宝鸡质检一)如右图，为了计算渭河岸边两景点B与C的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取A和D两个测量点，现测得AD⊥CD，AD＝100 m，AB＝140 m，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求两景点B与C之间的距离(假设A，B，C，D在同一平面内，测量结果保留整数；参数数据：2＝1.414，3＝1.732，5＝2.236)．
针对性练习：
已知△ABC中，sinC＝sinA＋sinBcosA＋cosB，试判断△ABC的形状．考点三：三角形面积公式的应用
典型例题
已知△ABC中，cosA＝63，a，b，c分别是角A、B、C的对边．
(1)求tan2A； (2)若sin(π2＋B)＝223，c＝22，求△ABC的面积．知识概括、方法总结与易错点分析
(1)正弦定理和余弦定理并不是孤立的，解题时要根据具体题目合理运用，有时还需要交替使用．
(2)条件中出现平方关系多考虑余弦定理，出现一次式，一般要考虑正弦定理．
针对性练习：
1、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cosA2＝255，AB→?AC→＝3.
(1)求△ABC的面积； (2)若b＋c＝6，求a的值．
(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△BC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos2C＝－14.

正余弦定理的综合应用

题型三正、余弦定理在平面几何中的综合应用例 3 如图所示，在梯形 ABCD 中，
AD∥BC，AB＝5，AC＝9， ∠BCA＝30°，∠ADB＝45°，求 BD 的长．思维启迪由于 AB＝5，∠ADB＝45°，因此要求 BD，可在△ABD 中，由正弦定理求解，关键是确定∠BAD 的正弦值．在△ABC 中，AB＝5，AC＝9，∠ACB＝30°，因此可用正弦定理求出 sin∠ABC，再依据∠ABC 与 ∠BAD 互补确定 sin∠BAD 即可．
又 AD⊥CD，∴∠CDB＝30°， ∴BC＝sin161035°·sin 30°＝80 2≈113 (m)．即两景点 B 与 C 之间的距离约为 113 m.
题型二测量高度问题例 2 某人在塔的正东沿着南偏西 60°的方向前进 40 米后，望
见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为 30°，求塔高．思维启迪依题意画图，某人在 C 处， AB 为塔高，他沿 CD 前进，CD＝40 米，此时∠DBF＝45°，从 C 到 D 沿途测塔的仰角，只有 B 到测试点的距离最短时，仰角才最大，这是因为 tan∠AEB＝ABBE，AB 为定值，BE 最小时，仰角最大．要求出塔高 AB，必须先求 BE，而要求 BE，需先求 BD(或 BC)．
解在△ADC 中，AD＝10，AC＝14，DC＝6，由余弦定理得 cos∠ADC＝AD2＋2ADDC·D2－C AC2 ＝1002＋ ×3160－ ×1696＝－12，∴∠ADC＝120°，
∴∠ADB＝60°.在△ABD 中，AD＝10，∠B＝45°，∠ADB＝60°，
由正弦定理得sin∠ABADB＝sAinDB，
解在△ABC 中，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°. 由正弦定理，得sin∠ABBCA＝sin∠ACABC， sin∠ABC＝AC·sinA∠B BCA＝9sin530°＝190.

高中数学正余弦定理综合应用

a a b b 4c c ∴ a2 b2 4c2
2R 2R
2R
又∵ cos A 1 , 及余弦定理，得：a2
4
∴ 4c2 c2 1 bc b 6c
2
b2
b c
c2

2bc ( 1) 4
6 故选A.
分析：已知 sin C
15 , 4
b2 32 c2 2 3 c ( 1)
又∵ b=c+2
2
∴ (c 2)2 32 c2 2 3 c ( 1)
∴ c2 4c 4 9 c2 3c
2
∴ c5
∴ b=5+2=7
练习 1.【2019年高考天津卷文科】在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2a, 3csinB=4asinc,求cosB的值.
解：由 a sin B 3b cos A 及正弦定理，得：
sin Asin B 3 sin B cos A
又 sin B 0 sin A 3 cos A tan A 3 A 600
由余弦定理 a2 b2 c2 2bc cos A 得： ( 7)2 22 c2 2 2 c 1 c2 2c 3 0
解：由3csinB=4asinc 3c×b=4a×c
及正弦定理，得：
∴3b=4a
∴b=
4 3
a
又∵b+c=2a ∴ 4 a +c=2a ∴c= 2 a
3
3
由余弦定理 b2 a2 c2 2ac cosB 得：
( 4 a)2 a2 ( 2 a)2 2 a ( 2 a) cosB

正弦定理和余弦定理综合应用

BC
a sin
a sin
sin 180o ( ) sin( )
α
δ
β
γ
D
C
计算出AC和BC后，再在ABC中，应用余弦定理计
算出AB两点间的距离
AB AC2 BC2 2AC BC cos
测量垂直高度
1、底部可以到达的
测量出角C和BC的长度，解直角三角形即可求出AB的长。
借助于余弦定理可以计算出A、B两点间的距离。
C
解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a, 并且在C、D两点分别测得∠BCA=α, ∠ACD=β, ∠CDB=γ, ∠BDA=δ.
在 ∆ADC和∆ BDC中，应用正弦定理得
B
a sin( )
a sin( ) A
AC
sin 180o ( ) sin( )
故sin B AC sin A 5 3 B 38o
BC 14
故我舰航行的方向为北偏东 50o 38o 12o
变式训练1：若在河岸选取相距40米的C、D两
点，测得 BCA= 60， ACD=30，CDB= 45， BDA= 60 求A、B两点间距离 .
注：阅读教材P12，了解基线的概念
1.2.1 应用举例
公式、定理
正弦定理：a b c 2R sin A sinB sinC
余弦定理：
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B
c2 a2 b2 2abcosC
三角形边与角的关系：
cos A b2 c2 a2 ， 2bc
cos B c2 a2 b2 ， 2ca
即sin9A0C°－α＝sinBαC－β，∴AC＝sBinCαco－s βα＝sihncαo－s αβ. 在Rt△ACD中，CD＝ACsin∠CAD＝ACsin β＝hscionsαα－sinββ.

(完整版)正弦定理、余弦定理综合应用典型例题

正弦定理、余弦定理综合应用例1.设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =．（Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围．解：（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1sin 2B =，由ABC △为锐角三角形得π6B =．（Ⅱ）cos sin cos sin A C A A π⎛⎫+=+π-- ⎪6⎝⎭cos sin 6A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos cos 2A A A =++3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．由ABC △为锐角三角形知，22A B ππ->-，2263B ππππ-=-=． 2336A πππ<+<，所以1sin 23A π⎛⎫+< ⎪⎝⎭． 3A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭所以，cos sin A C +的取值范围为322⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，．例2.已知ABC △1，且sin sin A B C +=．（I ）求边AB 的长；（II ）若ABC △的面积为1sin 6C ，求角C 的度数．解：（I ）由题意及正弦定理，得1AB BC AC ++=， BC AC +=，两式相减，得1AB =．（II ）由ABC △的面积11sin sin 26BC AC C C =，得13BC AC =，由余弦定理，得222cos 2AC BC AB C AC BC +-= 22()2122AC BC AC BC AB AC BC +--==，所以60C =．例3.已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝（1,3-），n ＝（cos A ,sin A ）.若m ⊥n ，且a cos B +b cos A =c sin C ，则角B ＝ 6π.例4.设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c ，且A =60，c =3b.求ac的值；解：由余弦定理得2222cos a b c b A =+-＝2221117()2,3329c c c c c +-= 故3a c =例5.在△ABC 中，三个角,,A B C 的对边边长分别为3,4,6a b c ===,则cos cos cos bc A ca B ab C ++的值为 . 612例6.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()C a A c b cos cos 3=-，则=A cos _________________.3例7.(2009年广东卷文)已知ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,的对边分别为,,a b c 若a c ==75A ∠=，则b =【解析】0000000sin sin 75sin(3045)sin 30cos 45sin 45cos30A ==+=+=由62a c ==+可知,075C ∠=,所以030B ∠=,1sin 2B =由正弦定理得sin 2sin a b B A =⋅=, 例8.（2009湖南卷文）在锐角ABC ∆中，1,2,BC B A ==则cos ACA的值等于 2 ，AC 的取值范围为 (2,3) .解: 设,2.A B θθ∠=⇒=由正弦定理得,1 2.sin 2sin 2cos cos AC BC AC ACθθθθ=∴=⇒=由锐角ABC ∆得0290045θθ<<⇒<<，又01803903060θθ<-<⇒<<，故233045cos 22θθ<<⇒<<， 2cos (2,3).AC θ∴=∈例9.（2009全国卷Ⅰ理）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知222a c b -=，且sin cos 3cos sin ,A C A C = 求b解法一：在ABC ∆中sin cos 3cos sin ,A C A C =则由正弦定理及余弦定理有:2222223,22a b c b c a a c ab bc+-+-=化简并整理得：2222()a c b -=.又由已知222a c b -=24b b ∴=.解得40(b b ==或舍）.解法二:由余弦定理得: 2222cos a c b bc A -=-.又222a c b -=,0b ≠。

正弦定理与余弦定理的应用

正弦定理和余弦定理在三角学及相关领域中具有广泛的应用，通过这两个定理，我们可以解决许多与三角形相关的问题。

以下是关于正弦定理和余弦定理的应用的详细探讨。

一、正弦定理的应用正弦定理是三角学中的一个基本定理，它表达了三角形中任意一边与其对应的角的正弦值之间的关系。

正弦定理在实际应用中具有广泛的用途，以下是几个具体的应用示例：1. 航海与测量：在航海和大地测量中，正弦定理被用来计算地球上两点之间的距离。

由于地球表面可以近似为一个球体，因此可以通过测量两点的纬度和经度，利用正弦定理计算出两点之间的实际距离。

2. 电气工程：在电气工程中，正弦定理被用来分析交流电路中的电压、电流和电阻之间的关系。

通过正弦定理，我们可以推导出各种电气元件（如电阻、电容和电感）的等效电路模型，从而简化电路分析。

3. 通信与信号处理：在通信和信号处理领域，正弦定理被用来分析信号的频谱特性和传输特性。

通过正弦定理，我们可以将复杂的信号分解为一系列正弦波的组合，从而更容易地理解和处理信号。

二、余弦定理的应用余弦定理是另一个重要的三角定理，它表达了三角形中任意一边的平方等于其他两边平方之和减去这两边夹角的余弦值乘以这两边乘积的2倍。

余弦定理同样具有广泛的应用，以下是几个具体的应用示例：1. 几何学：在几何学中，余弦定理被用来解决与三角形边长和角度相关的问题。

例如，在已知三角形的两边及其夹角时，我们可以利用余弦定理求出第三边的长度。

此外，余弦定理还可以用于判断三角形的形状（如锐角三角形、直角三角形或钝角三角形）以及求解三角形的内角。

2. 物理学：在力学中，余弦定理被用来求解连接杆件的长度和角度问题。

例如，在机器人学和机械设计中，我们需要确定各个杆件之间的相对位置和角度，以便实现预期的运动轨迹。

余弦定理可以帮助我们解决这个问题。

此外，余弦定理还在许多其他领域中得到应用，如航空航天、土木工程、计算机图形学等。

在这些领域中，余弦定理通常被用来求解与空间几何和三维变换相关的问题。

正余弦定理的综合运用

正余弦定理的综合运用一、教材分析1．教学容：必修5第11.节正弦定理和余弦定理，根据课标要求本书该节共3课时，这是第3课时，其主要容是正余弦定理的综合运用。

2．地位作用：①高考考纲要求：掌握正余弦定理，并能够运用正余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。

②高考考察趋势：斜三角形的边角关系以选择题或填空题给出一小题或难度较小的解答题。

二、学生学习情况分析学生在学习本节之前已经分别学习过正弦定理和余弦定理，但学生只是停留在对正弦定理和余弦定理的初步认知阶段，对什么情况下用正弦定理、什么情况下用正弦定理未作进一步的研究，对三角形的边角互换未作进一步的探索。

另外高二学生经过了一年半的高中学习之后，已初步具有了发现和探究问题的能力，这为本节学习奠定了一定的根底。

三、教学过程〔一〕课前预习导学1．学习目标〔1〕、进一步熟悉正余弦定理容，并能运用定理解决一些简单的实际问题。

〔2〕、通过正余弦定理综合运用的学习，提高解决实际问题的能力，进一步体会转化化归的数学思想。

〔3〕、通过一题多解、一题多变的训练，提高创新能力；进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功。

2．教学重点和难点：〔1〕教学重点：利用正余弦定理进展边角互换。

〔2〕教学难点：利用正余弦定理进展边角互换时的转化方向。

3．教学方法：探析归纳，讲练结合 4．自主预习〔1〕知识梳理：正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===〔R 为ABC ∆的外接圆半经〕正弦定理常见变形公式：①边化角：2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C === ②角化边：sin ,sin ,sin 222a b cA B C R R R===③比例：::sin :sin :sin a b c A B C = 余弦定理：2222cos a b c bc A =+- 余弦定理常见变形公式：222cos 2b c a A bc +-=，222cos 2c a b B ca +-=，222cos 2a b c C ab+-=求角、判别角、边角互化〔2〕预习检测：1．在△ABC 中，30,120c B C ===，那么______b =2．【2012文】在ABC ∆中，角A,B,C 所对应的长分别为,,a b c ，假设2a = ，6B π=，c =，那么________b =3．在ABC ∆中，假设7a =，3b =，5c =，那么_________A = 4．在△ABC 中，cos cos b A a B =,那么三角形为〔〕A 、直角三角形B 、锐角三角形C 、等腰三角形D 、等边三角形〔二〕预习检测反缋1．在△ABC 中，30,120c B C ===，那么______b =解：由正弦定理sin sin =b cB C得小结：两角及其中一个角的对边，选用正弦定理.变式1：在△ABC 中，1,30c b B ===，那么_________A =解：由正弦定理sin sin =b cB C得 ∵>c b ，∴>C B ，∴=C 60或120=C . ∴90=A 或30=A .小结：两边和一边对角，用正弦定理求另一个角，但需要进展讨论，有两解的可能。

正弦定理余弦定理综合应用解三角形经典例题(学生)

1， b
2 ， cosC
1
.
4
（Ⅰ）求 ABC 的周长；（Ⅱ）求 cos A C 的值 .
【解题思路】本小题主要考查三角函数的基本公式和余弦定理，同时考查基本运算能力
【注】常利用到的三角公式两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：
sin
sin cos cos sin 令
sin 2 2sin cos
【解题思路】判定三角形形状时，一般考虑两个方向进行变形：
（1）一个方向是边，走代数变形之路，通常是正、余
弦定理结合使用；（ 2）另一个方向是角，走三角变形之路 .通常是运用正弦定理
【解析】
.
【思考】判断三角形形状时一般从角入手，利用三角形内角和定理，实施关于三角形内角的一些变形公式
.
【例 9】 . 在△ ABC中，在
tan 2
2 tan 1 tan2
【例 4】（ 2010 重庆文数）设 ABC 的内角 A、 B、 C 的对边长分别为 a 、 b 、 c , 且 3 b 2 +3 c2 -3 a2 =4 2 b c .
2sin( A )sin( B C )
( Ⅰ ) 求 sinA 的值； ( Ⅱ ) 求
4
【例 6】（ 2009 全国卷Ⅰ理）在 ABC 中，内角 A、 B、 C 的对边长分别为 a 、 b 、 c ，已知 a 2 c2 2b ，且 sin A cosC 3cos Asin C , 求 b
【解题思路】对已知条件 (1) a 2 c 2 2b 左侧是二次的右侧是一次的 , 可以考虑余弦定理；而对已知条件 (2) sin AcosC 3cos A sin C , 化角化边都可以。
(边角转化的重要工具 )

正弦定理、余弦定理的综合应用

解题小结：
判断三角形形状时，一般考虑两种变形方向：一个是化角为边，再进行代数恒等变换求出三条边之间的关系式。另一个方向是化边为角，再进行三角恒等变换求出三个角之间的关系式。两种转化主要应用正弦定理和余弦定理。
练习一
A B C ，则 ABC 是( D ) cos cos cos 2 2 2 A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 2R sin A 2R sin B 2R sin C 略解：由正弦定理得： A B C cos cos cos 2 2 2 A A B B C C 2 sin cos 2 sin cos 2 sin cos 2 2 2 2 2 2 A B C cos cos cos 2 2 2

a 2 R sin A, b 2 R sin B, c 2 R sin C ,
余弦定理的变式

a sin A , 2R b sin B , 2R c sin C . 2R
2 2 2
b c a cos A , 2bc a2 c2 b2 cos B , 2ac a2 b2 c2 cosC . 2ab
2R sin(B C )
2R sin( A) a sin A a2 sin A
射影定理： a= bcosC＋ccosB,
b=ccosA+acosC,
c=acosB+bcosA
a、b、c, 例3：ABC中，A、B、C所对的边分别为
cos B b 且 , 求B的大小。 cos C 2a c
a、b、c, 练习二 ABC中，A、B、C所对的边分别为 c 1 2 2 2 若b c bc a , 且 3, 求A和 tan B的大小。 b 2 2 b c2 a2 1 解：由余弦定理知：cos A ，（化 2bc 2 0 A 180, A 60, 边 c 1 为 3 且由正弦定理知 c sin C , b 2 角 b sin B sin C 1 3 又C 180 ( A B) 120 B, ） sin B 2

正弦定理和余弦定理的综合应用

cos B＝ 2ac ； a2＋b2－c2
cos C＝ 2ab .
④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，
asin C＝csin A.
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定理
正弦定理
解决的问题
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；“AAS、ASA” ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角.“ASS”
第14页/共15页
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(1)已知两边和一边的对角解三角形时，可能出现两解、一
解、无解三种情况，解题时应根据已知条件具体判断解的情况，常用方法是根据图形
或由“大边对大角”作出判断或用余弦定理列方程求解．
• (2)三角形中常见的结论
• ①A＋B＋C＝π.
• ②三角形中大边对大角，反之亦然．
• ③任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
题型一：利用正弦、余弦定理解三角形题型二：利用正弦、余弦定理判定三角形的形状
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利用正弦、余弦定理解三角形
【考向探寻】 1．利用正弦定理解斜三角形． 2．利用余弦定理解斜三角形．
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【典例剖析】
(1)(2013·抚顺模拟)△ABC 的三个内角 A，B，C 所
对的边分别为 a，b，c，设向量 p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－
定理
变形形式
正弦定理
余弦定理
①a＝ 2Rsin A ，
b＝ 2Rsin B ，
c＝ 2Rsin C ； ②sin A＝2aR，sin B＝2bR， sin C＝2cR； (其中 R 是△ABC 外接圆半径) ③a∶b∶c＝sinA∶sin B∶sin C

正弦定理、余弦定理的综合应用

第七节正弦定理、余弦定理的综合应用[最新考纲]能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．1．仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)．图①图②2．方向角相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等．3．方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．4．坡度(又称坡比)坡面的垂直高度与水平长度之比．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.()(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为[0，π2]．()(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．()(4)方位角大小的范围是[0，2π)，方向角大小的范围一般是[0，π2)．( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√ 二、教材改编1．如图所示，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为________m.502 [由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝ACsin B ，又∵B ＝30°，∴AB ＝AC sin ∠ACB sin B ＝50×2212＝502(m)．]2.如图，在山脚A 测得山顶P 的仰角为30°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走a 米到B ，在B 处测得山顶P 的仰角为60°，则山高h ＝________米．22a [由题图可得∠P AQ ＝α＝30°，∠BAQ ＝β＝15°，△P AB 中，∠P AB ＝α－β＝15°，又∠PBC ＝γ＝60°，∴∠BP A ＝(90°－α)－(90°－γ)＝γ－α＝30°， ∴asin 30°＝PBsin 15°，∴PB ＝6－22a ， ∴PQ ＝PC ＋CQ ＝PB·sin γ＋a sin β＝6－22a×sin 60°＋a sin 15°＝22a.]3.如图所示，D，C，B三点在地面的同一条直线上，DC＝a，从C，D两点测得A点的仰角分别为60°，30°，则A点离地面的高度AB＝________．32a[由已知得∠DAC＝30°，△ADC为等腰三角形，AC＝a，所以在Rt△ACB中，AB＝AC·sin∠ACB＝32a.]考点1解三角形中的实际问题利用正、余弦定理解决实际问题的一般步骤(1)分析——理解题意，分清已知与未知，画出示意图．(2)建模——根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在相关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型．(3)求解——利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，求得数学模型的解．(4)检验——检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．(1)江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.(2)如图，高山上原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC，小李在山脚B处看索道AC，发现张角∠ABC＝120°；从B处攀登400米到达D处，回头看索道AC，发现张角∠ADC＝150°；从D处再攀登800米可到达C处，则索道AC的长为________米．(1)103(2)40013[(1)如图，OM＝AO tan 45°＝30(m)，ON ＝AO tan 30°＝33×30 ＝103(m)，在△MON 中，由余弦定理得， M N ＝900＋300－2×30×103×32＝300＝103(m)．(2)在△ABD 中，BD ＝400米，∠ABD ＝120°.因为∠ADC ＝150°，所以∠ADB ＝30°.所以∠DAB ＝180°－120°－30°＝30°.由正弦定理，可得BDsin ∠DAB ＝ADsin ∠ABD ，所以400sin 30°＝ADsin 120°，得AD ＝4003(米)．在△ADC 中，DC ＝800米，∠ADC ＝150°，由余弦定理得AC 2＝AD 2＋CD 2－2·AD ·CD ·cos ∠ADC ＝(4003)2＋8002－2×4003×800×cos 150°＝4002×13，解得AC＝40013(米)．故索道AC 的长为40013米．](1)实际测量中的常见问题(2)三角应用题求解的关键是正确作图(平面图、立体图)，并且条件对应好(仰角、俯角、方向角等)．1.一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60°的方向上，行驶4h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15°的方向上，这时船与灯塔的距离为________km .302 [如图，由题意知，∠BAC ＝30°，∠ACB ＝105°，∴B ＝45°，AC ＝60，由正弦定理得BC sin 30°＝ACsin 45°， ∴BC ＝302(km )．]2.如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ的值为________．2114 [在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2 800，得BC＝207.由正弦定理，得ABsin∠ACB＝BCsin∠BAC，即sin∠ACB＝ABBC·sin∠BAC＝217.由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，则cos∠ACB＝27 7.由θ＝∠ACB＋30°，得cos θ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACB cos 30°－sin∠ACB sin 30°＝21 14.]考点2平面几何中的解三角形问题与平面图形有关的解三角形问题的关键及思路求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系．具体解题思路如下：(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC＝3π4，AB⊥AD，AB＝1.(1)若AC＝5，求△ABC的面积；(2)若∠ADC＝π6，CD＝4，求sin∠CA D.[解](1)在△ABC中，由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC，即5＝1＋BC 2＋2BC ，解得BC ＝2，所以△ABC 的面积S △ABC ＝12AB ·BC ·sin ∠ABC ＝12×1×2×22＝12. (2)设∠CAD ＝θ，在△ACD 中，由正弦定理得AC sin ∠ADC＝CD sin ∠CAD，即ACsin π6＝4sin θ，①在△ABC 中，∠BAC ＝π2－θ，∠BCA ＝π－3π4－(π2－θ)＝θ－π4，由正弦定理得AC sin ∠ABC＝AB sin ∠BCA，即AC sin 3π4＝1sin （θ－π4），② ①②两式相除，得sin 3π4sin π6＝4sin （θ－π4）sin θ，即4(22sin θ－22cos θ)＝2sin θ，整理得sin θ＝2cos θ. 又因为sin 2θ＋cos 2θ＝1，所以sin θ＝255，即sin ∠CAD ＝255.做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题．(2019·湖南衡阳第三次联考)如图，在平面四边形ABCD 中，0＜∠DAB ＜π2，AD ＝2，AB ＝3，△ABD 的面积为332，AB ⊥B C.(1)求sin ∠ABD 的值；(2)若∠BCD ＝2π3，求BC 的长．[解] (1)因为△ABD 的面积S ＝12AD ×AB sin ∠DAB ＝12×2×3sin ∠DAB ＝332，所以sin ∠DAB ＝32.又0＜∠DAB ＜π2，所以∠DAB ＝π3，所以cos ∠DAB ＝cos π3＝12. 由余弦定理得 BD ＝AD 2＋AB 2－2AD ·AB cos ∠DAB ＝7，由正弦定理得sin ∠ABD ＝AD sin ∠DAB BD ＝217. (2)因为AB ⊥BC ，所以∠ABC ＝π2， sin ∠DBC ＝sin(π2－∠ABD )＝cos ∠ABD ＝1－sin 2∠ABD ＝277. 在△BCD 中，由正弦定理CD sin ∠DBC＝BD sin ∠DCB可得CD ＝BD sin ∠DBC sin ∠DCB＝433.由余弦定理DC 2＋BC 2－2DC ·BC cos ∠DCB ＝BD 2，可得3BC 2＋43BC －5＝0，解得BC ＝33或BC ＝－533(舍去)．故BC 的长为33.考点3 与三角形有关的最值(范围)问题解三角形问题中，求解某个量(式子)的最值(范围)的基本思路为：要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大．(2019·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a sin A ＋C2＝b sin A.(1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值范围． [解] (1)由题设及正弦定理得sin A sin A ＋C2＝ sin B sin A.因为sin A ≠0，所以sin A ＋C2＝sin B.由A ＋B ＋C ＝180°，可得sin A ＋C 2＝cos B 2，故cos B 2＝2sin B 2cos B2. 因为cos B 2≠0，故sin B 2＝12，因此B ＝60°. (2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC ＝34a .由正弦定理得a ＝c sin A sin C ＝sin （120°－C ）sin C＝32tan C ＋12.由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°.由(1)知A ＋C ＝120°，所以30°＜C <90°，故12＜a ＜2，从而38＜S △ABC ＜32.因此，△ABC 面积的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫38，32.求解三角形中的最值、范围问题的2个注意点(1)涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化．(2)注意题目中的隐含条件，如本例中锐角三角形的条件，又如A ＋B ＋C ＝π，0＜A＜π，b－c＜a＜b＋c，三角形中大边对大角等．1.在钝角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B为钝角，若a cos A＝b sin A，则sin A＋sin C的最大值为()A.2B.98 C ．1 D.78B [∵a cos A ＝b sin A ，由正弦定理可得，sin A cos A ＝sin B sin A ，∵sin A ≠0，∴cos A ＝sin B ，又B 为钝角，∴B ＝A ＋π2，sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin(A ＋B )＝sin A＋cos 2A ＝sin A ＋1－2sin 2A ＝－2(sin A －14)2＋98，∴sin A ＋sin C 的最大值为98.]2．在△ABC 中，b ＝3，B ＝60°，(1)求△ABC 周长l 的范围；(2)求△ABC 面积最大值．[解] (1)l ＝3＋a ＋c ，b 2＝3＝a 2＋c 2－2ac cos 60°＝a 2＋c 2－ac ，∴(a ＋c )2－3ac ＝3，∵(a ＋c )2－3＝3ac ≤3×(a ＋c 2)2， ∴a ＋c ≤23，当仅仅当a ＝c 时，取“＝”，又∵a ＋c ＞3，∴23＜l ≤3 3.(2)∵b 2＝3＝a 2＋c 2－ac ≥2ac －ac ，∴ac ≤3，当且仅当a ＝c 时，取“＝”，S △ABC ＝12ac sin B ≤12×3×sin 60°＝334，33∴△ABC面积最大值为4.。

正余弦定理综合应用

实践应用
在学习正余弦定理的过程中，学生可以尝试将所学的知识应用到实际的问题中。例如，可以尝试解决一些实际的结构设计问题，或者利用三角函数的知识解决一些物理实验中的问题。
持续反思
在学习过程中，学生应该持续反思自己的学习方法和效果。例如，可以思考如何提高自己的解题速度和准确性，如何更好地理解和运用三角函数的知识等。同时，也可以尝试探索一些新的学习方法，如利用信息技术工具辅助学习等。
04
正余弦定理的综合应用
定理的综合应用方法
三角形面积计算
利用正弦定理计算三角形的面积，公式为$S =
frac{1}{2}absin C$。
边角互换
通过正余弦定理，可以将三角形的边长转换为角度或者将角度转换为边长。 Nhomakorabea解三角形问题
利用正余弦定理解决解三角形问题，例如求三角形的角度、边长等。
判断三角形的形状
05
总结与反思
总结正余弦定理的综合应用
应用领域
正余弦定理在数学、物理和工程领域都有广泛的应用。在数学中，它可以用于解决三角形的问题，如求角度、边长等。在物理中，它可以用于解决振动、波动和力的问题。在工程中，它可以用于结构设计、桥梁和建筑物的稳定性分析等。
解题技巧
正余弦定理的运用需要掌握一些基本的解题技巧。例如，如何根据题目的条件选择合适的定理，如何将复杂的问题分解为简单的部分，如何利用已知的信息推导出未知的信息等。
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正余弦定理综合应用
• 引言 • 正弦定理的应用 • 余弦定理的应用 • 正余弦定理的综合应用 • 总结与反思
01
引言
背景介绍
01
三角函数在数学、物理和工程领域有广泛应用，正余弦定理是解决三角问题的基本工具。

专题一(正余弦定理的综合运用)

力学问题
涉及力、速度、加速度等物理量的计算，如求解物体在斜面上的支持力、分析刚体的平衡状态等。
3
电磁学问题
涉及电场、磁场等物理场的计算，如求解带电粒子在磁场中的运动轨迹、计算电磁感应现象中的感应电动势等。
建模方法和步骤介绍
确定问题类型
根据实际问题背景，确定问题的类型和所属领域。
建立数学模型
a:sinA = b:sinB = c:sinC，也可以简单理解为边长与对应角的正弦值成正比。余弦Biblioteka 理定义及表达式余弦定理定义
在一个三角形中，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即 a² = b² + c² 2bc·cosA（其中a、b、c为三角形三边，A为边a所对的角）。
分析题目中的已知条件和所求，明确解题目标。
灵活转化边角
利用三角函数的基本关系和诱导公式，实现边角之间的灵活转化。
合理选择公式
根据题目特点，选择适当的正余弦定理公式进行求解。
细心求解过程
注意计算过程中的细节和技巧，避免计算错误。
难点和易错点提示
难点
如何准确理解题意并建立数学模型；如何选择适当的公式进行求解；如何实现边角之间的灵活转化。
图形结合法思想介绍
01
图形结合法是一种将几何图形与代数方程相结合来解决问题的方法。
02
在正余弦定理中，通过绘制三角形或其他相关图形，将已知条
件和未知量直观地表示出来，有助于理解和解决问题。
图形结合法强调直观性和形象性，能够帮助学生更好地理解正
03
余弦定理的几何意义和代数表达。
具体案例分析
案例一
专题一：正余弦定理的综合运用

正余弦定理的综合应用

角度。
06
正余弦定理在其他数学分支中的应用
在微积分中的应用
01
解决极值问题
利用正余弦定理，可以推导出极值条件，进而解决一些微积分中的极值问题。
02
求解面积和体积
03
求解微分方程
正余弦定理可以用于计算一些与三角函数相关的图形的面积和体积。
通过正余弦定理，可以建立一些微分方程的解与三角函数之间的关系，从而求解微分方程。
详细描述
在三角函数中，正余弦定理可以表示为：对于任意三角形ABC，有c^2=a^2+b^2-2abcosC， a^2=b^2+c^2-2bccosA，b^2=a^2+c^2-2accosB。利用这三个公式，我们可以求出三角形的边长和角度，进一步解决与三角形的边和角相关的问题。
正余弦定理与三角恒等式的关系
详细描述
正弦定理是指在一个三角形ABC中，边长a、b、c与对应的角A、B、C的正弦值之比都相等，即$frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$。
余弦定理的定义
总结词
余弦定理是另一个重要的三角形定理，它通过三角形的边长来计算角的余弦值。
详细描述
在线性代数中的应用
矩阵运算
正余弦定理可以用于计算一些特殊矩阵的行列式和特征值。
向量分析
在向量分析中，正余弦定理可以用于计算向量的模长、向量的点积和向量的叉积。
线性变换
利用正余弦定理，可以研究线性变换的性质和特征。
在概率论和统计学中的应用
概率分布
正余弦定理可以用于推导一些与三角函数相关的概率分布的性质和特征。
余弦定理是指在一个三角形ABC中，边长a、b、c与角A、B、C的余弦值之间有关系式：$c^2 = a^2 + b^2 - 2abcos C$。

正弦定理与余弦定理的综合应用

正弦定理与余弦定理的综合应用（本课时对应学生用书第页）自主学习回归教材1。

（必修5P16练习1改编)在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C=7∶8∶13，则cos C=.【答案】-1 2【解析】由正弦定理知a∶b∶c=7∶8∶13，再由余弦定理得cos C=22278-13278+⨯⨯=—12。

2.(必修5P24复习题1改编)在△ABC中,内角A，B，C的对边分别为a,b，c.若a2—b2=3bc，sin C=23sin B,则角A=.【答案】π6【解析】由sin C=23sin B得c=23b，代入a2-b2=3bc得a2-b2=6b2，所以a2=7b2,a=7b，所以cos A=222-2b c abc+=32，所以角A=π6.3。

（必修5P20练习3改编)如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°方向、距塔68 n mile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为n mile/h.（第3题）【答案】176 24.(必修5P26本章测试7改编）设△ABC的内角A,B，C的对边分别为a,b,c。

若a sin A+c sin C—2a sin C=b sin B，则角B=。

【答案】45°【解析】由正弦定理得a2+c2—2ac=b2，再由余弦定理得b2=a2+c2-2ac cos B，故cos B=22，因此B=45°.5。

（必修5P19例4改编)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，则角B的取值范围为。

【答案】π03⎛⎤ ⎥⎝⎦，【解析】因为a，b，c成等比数列，所以b2=ac，所以cos B=222-2a c bac+=22-2a c acac+≥12，因为0<B<π,所以0〈B≤π3。

1.测量问题的有关名词(1)仰角和俯角：是指与目标视线在同一垂直平面内的水平视线的夹角.其中目标视线在水平视线上方时叫作仰角，目标视线在水平视线下方时叫作俯角。