工程力学 第12章 强度理论 习题及解析
大学《工程力学》课后习题解答-精品
大学《工程力学》课后习题解答-精品2020-12-12【关键字】情况、条件、动力、空间、主动、整体、平衡、建立、研究、合力、位置、安全、工程、方式、作用、结构、水平、关系、分析、简化、倾斜、支持、方向、协调、推动(e)(c)(d)(e)’CD2-2 杆AC 、BC 在C 处铰接，另一端均与墙面铰接，如图所示，F 1和F 2作用在销钉C 上，F 1=445 N ，F 2=535 N ，不计杆重，试求两杆所受的力。
解：(1) 取节点(2) AC 与BC 2-3 水平力F A 和D 处的约束力。
解：(1) 取整体(2) 2-4 在简支梁，力的大小等于20KN ，如图所示。
若解：(1)(2)求出约束反力：2-6 如图所示结构由两弯杆ABC 和DE 构成。
构件重量不计，图中的长度单位为cm 。
已知F =200 N ，试求支座A 和E 的约束力。
解：(1) 取DE (2) 取ABC2-7 在四连杆机构ABCD 试求平衡时力F 1和F 2解：（1）取铰链B (2) 取铰链C 由前二式可得：F FF ADF2-9 三根不计重量的杆AB，AC，AD在A点用铰链连接，各杆与水平面的夹角分别为450，，450和600，如图所示。
试求在与O D平行的力F作用下，各杆所受的力。
已知F=0.6 kN。
解：(1)间汇交力系；(2)解得：AB、AC3-1 已知梁AB 上作用一力偶，力偶矩为M ，梁长为l ，梁重不计。
求在图a ，b ，c 三种情况下，支座A 和B 的约束力解：(a) (b) (c) 3-2 M ，试求A 和C解：(1) 取 (2) 取 3-3 Nm ，M 2解：(1)(2) 3-5 大小为AB 。
各杆 解：(1)(2)可知：(3) 研究OA 杆，受力分析，画受力图：列平衡方程：AB A3-7 O1和O2圆盘与水平轴AB固连，O1盘垂直z轴，O2盘垂直x轴，盘面上分别作用力偶（F1，F’1），（F2，F’2）如题图所示。
浙江工业大学材料力学第12章答案
12.1 图示重物以匀加速度下降，在2.0秒内速度由s m 5.1降至s m 5.0。
设绳的横截面面积为A=10mm 2，求绳内应力。
解：（1）252.05.15.0s m a -=-=，故5.01=+=g a K dMPa A Q K K d st d d 2001040005.0=⋅=⋅=⋅=σσ12.2 图示重物kN Q 40=，用绳索以等加速度25s m a =向上吊起，绳索绕在一重为kN W 0.4=，直径为m D 2.1=的鼓轮上，鼓轮的惯性半径为cm r 45=。
轴的许用应力[]MPa 100=σ，鼓轮轴两端A 、B解：（1）kN Q g a W Q K W F d d 6440105141=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+= m N D a r g W D Q g a I D Q K T d d ⋅=+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=366752.11045.01040006.0400001051221222ε m N l F M d d ⋅=⋅⋅==1600016400025.041max , []σπσ≤+=+=32366750001600000032222max ,3d WT M d d rmm d 7.159≥，取[]mm d 160=12.3 如图所示，重N 300法兰从高度为h 处自由下落，冲击到杆ABC 的下端C 平台，杆能承受的最大应力为MPa 200，求h 的最大允许高度。
假定杆的弹性模量为E 200=解：mm EA Ql EA Ql l 00663.030440410200200030022321=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯⨯⋅=+=∆ππ MPa K st d d 200==σσ24.4713043002002112112=⋅⋅==∆++=∆++=πσσst d st d l h h K mm h 2.733=12.4 如图所示，重N 100物体从mm h 500=位置自由下落到铝制梁AB 上的C 点，求截面C 的位移和梁上的最大应力。
强度理论(习题)
8
7.5 10
3
4 .93 MPa
r 4 x 3 2 xy 138 2 4 .93 2 138.3 MPa
§9–3
莫尔强度理论
莫尔准则(Mohr Criterion)
本世纪初，德国工程师莫尔考虑到某些材料拉伸与压缩 强度不等的情况，将最大剪应力理论加以推广，提出了 莫尔强度理论．
E a
C左: F SC 40 kN , M C 40 kNm E左(右): FSE 8 kN , M E 48kNm
②弯曲正应力强度条件:
max
ME W
(kN) FS
+
8 8
_
40
W 300cm 3
选22a号工字截面:
W 309cm 3 , I z 3400cm 4 Iz 18.9cm S max
④校核危险截面E处F点强度 （即校核梁的主应力）
x
M E yF 48 10 3 110 12.3 10 3 3400 10
8
12.3
F
Iz
110
138MPa
yx
x
xy
FSE S * z b Iz
xy yx
xy
x 8 10 3 110 12.3 116.15 10 9
8
40 10 3 110 12.3 116.15 10 9 7.5 10
3
25 MPa
2 2 r 4 x 3 xy 1152 3 252 121MPa
7.5
E左(右): FSE 8 kN , M E 48kNm
材料力学第2版 课后习题答案 第12章 变形能法
q2 4 ⎞ 2 2 3 ⎜ P x + qPx + x ⎟ ∫0 ⎜ ⎟dx 4 ⎝ ⎠
l⎛
δB =
∂U 1 = ∂P 2 EJ
⎛ 2 3 ql 2 ⎞ Pl 3 ql 4 ⎜ Pl + ⎟= ⎜3 ⎟ 3EJ + 8 EJ 4 ⎝ ⎠
11-6 试求下列图示各梁 A 点的挠度和截面 B 的转角，已知截面抗弯刚度 EI。
L
⎡
⎛L
⎞
⎤
5PL3 96 EJ
11-8 外伸梁的两支座均为弹性支座，弹簧的刚度（引起单位变形所需的力）分别为 k1 和 k2，已知梁的抗弯刚度 EI，试求外伸端 A 的铅直位移。 解：先求设两支座为非弹性支承时，A 端的铅直位移 δ A1 。
∑MB = 0
⎛ b⎞ y c = P ⎜1 + ⎟ ⎝ a⎠
第十一章
变形能法
q=
P l
2
A D l
EI
A
l
l
l
l
11-1 求图示两等直杆的变形能。已知两杆的抗拉刚度 EA 相同。 解：
N 2 dx （a） dU = 2 EA
N = qx =
l
P x t P2 x2 P 2l dx = 0 2 EAl 2 6 EA
l
U = ∫ dU = ∫
0
(b)
x N = P (1 + ) l x⎞ P ⎜1 + ⎟ l 7 P 2l l⎠ ⎝ U =∫ dx = 0 2 EA 6 EA
(
)
=
71qa 4 24 EJ
求 θB
M � ( x1 ) = −1 M � ( x2 ) = 0 θB =
⎤ 1 ⎡ a⎛ 5q 2 1 2 ⎞ ⎜ 2qax1 − a − qx1 ⎟(− 1)dx1 ⎥ ⎢ ∫ 0 EJ ⎣ ⎝ 2 2 ⎠ ⎦ 3 2 1 ⎛5 3 q a a ⎞ ⎜ qa + ⋅ ⎟ = − 2 qa ⋅ ⎟ EJ ⎜ 2 2 3 2 ⎝ ⎠ =−
【工程力学 课后习题及答案全解】第12章杆类构件的静载强度设计习题解
12－7 T 形截面外伸梁，受力与 截面尺寸如图所示，其中 C 为截面形 心， I z = 2.136 × 107 mm4。梁的材料为 铸铁，其抗拉许用应力 [σ ]+ = 30MPa，
抗压许用应力 [σ ]− = 60MPa。试校核该
F—RA57 — FRB
习题 12-7 图
梁是否安全。
解：1． ∑ M B = 0 ，FRA = 37.5kN（↑）
Iz = 33760 cm4
σ max
=
M max W
=
252 1500
× ×
103 10 −6
= 168 MPa
4.5q
A C
4.5q
B D
3500 3500 3500
σ max −[σ ] = 3 ×100% = 1.8% < 5% ，工程上是允许的。
(b)
[σ ] 165
此时 C 截面翼缘和腹板交界点的应力：
正确答案是 C 。
12－2 悬臂梁受力如图所示，若截面可能有图示四种形式，中空部分的面积 A 都相等， 试分析哪一种形式截面梁的强度最高。
正确答案是 A 。
习题 12-2 图
12－3 铸铁 T 字形截面悬臂梁，受力如图所示，其中力 FP 作用线沿铅垂方向。若保证 各种情况下都无扭转发生，即只产生弯曲，试判断图示四种放置方式中哪一种使梁有最高的 强度。
= 252 ×103 165 ×106
= 1.5273 ×10−3 m3
（1） 初选 No.45c 工字钢 W = 1570 cm3，Iz = 35280 cm4
C 截面上翼缘与腹板交界点上应力：
σ
=
MC Iz
(225 − 18) ×10−3
第12章 应力状态分析和强度理论—《材料力学》课程PTT精华版
12.2 平面应力状态分析
σα
=
σx
1 cos2α 2
σy
1 cos2α 2
τ xy sin 2α
σα
=
σx
σy 2
σx
σy 2
cos2α τxysin2α
同理，由 Ft = 0 得：
τα
=
σx
2
σy
sin2α
τ xy cos2α
一点的应力状态有三个主应力，
s2
s1
按其代数值排列：
σ1 σ2 σ3
4. 应力状态分类
s3
（1）单向应力状态：三个主应力中，有两个等于零，一
个不等于零的应力状态。
s
ss
s
F
F
12.1 引言
（2）二向应力状态：三个主应力中，有一个等于零，另 外两个不等于零的应力状态。
F
A
sx txy
z
B
sz
t zx t zy
2
s
A
2 Ax
CDE σ
Ay
2α
sx
=
σx
σy 2
σx
σy 2
cos2α
τxysin2α
=
σα
同理可以证明：
Aα D
=
σx
2
σy
sin2α
τ xy cos2α
=
τα
12.2 平面应力状态分析
tyx t txy
4. 应力圆的特点
sy tyx
n
s
sx
t
sx txy
sy
t
s
t
A
清华出版社工程力学答案-第12章 简单的静不定问题
①
②
③ l
(a)
A a FP A
B a
C
FN1
FN2 B a
FN3 C
(b) a
FP A1 (c) A Δl1 A′
习题 12－4 图
B1 B B′
Δl2
C′ Δl3 C
即
Δl1 − Δl3 = 2Δl2
3. 物理方程
(b)
Δl1 =
FN1l ， EA 5FP , 6
Δl2 =
FN 2l ， EA
Δl3 =
FP 铜,Ec=105GPa 铝,Ea=70GPa
300
25 60
FP
习题 12－2 图
ε=
0.24 = 8 × 10 − 4 300
轴向载荷等于二者受力之和：
FP = σ cu Acu + σ al Aal = Ecu εAcu + Eal εAal
π π = 105 × 109 × 8 × 10−4 × × 252 × 10 −6 +70 × 109 × 8 × 10−4 × ( 602 − 252 ) × 10−6 4 4 = 172.1 kN
4． 联立求解 将（a） 、 （b） 、 （c）三式联立，求得：
F1 =
(16 + 2 ) l
2 Eδ
2 EAδ
， F2 =
1
(16 + 2 ) l
4 EAδ
1
据此求得二杆横截面上的正应力分别为：
F1杆 = F2杆 =
(16 + 2 ) l
4 Eδ
＝
2 × 200 ×109 × 1. 5 × 10−3
7
FA =
7F 4
工程力学(天津大学)第12章答案
第十二章 用能量法计算弹性位移习 题12−1 两根杆拉伸刚度均为EA ，长度相同，承受荷载如图所示，分布荷载集度q =F/l ，试求这两根杆的应变能，并作比较。
解：EAl F V 221=，EA l F dx EA l )qx (dx EA l F V l l N622202022===⎰⎰ 213V V =12−2 试求图示受扭圆轴内所积蓄的应变能，杆长为l ，直径为d ，材料的剪变模量为G 。
解：4320420232163222Gdl m dx d πGl )mx (dx GI l T V l lP ===⎰⎰ 12−3 试计算下列梁内所积蓄的应变能，略去剪力的影响。
习题12−2图解：（a ）先求支座反力： ql F ,ql F RB RA 8381==以A 为坐标原点，x 1以向右为正，AC 段的弯矩方程为：118x qlM = 以B 为坐标原点，x 2以向左为正，BC 段的弯矩方程为：22222183qx x ql M -= 梁的变形能为：EIl q dx EI )qx qlx (dx EI )qlx (dx EIMdx EI M V l l l l 153601722183282252202222202120222021=-+=+=⎰⎰⎰⎰(b) 以B 为坐标原点，x 以向左为正，AB 段的弯矩方程为：306x lq M =梁的变形能为：EIl q dx EI )l x q (dx EI M V l l 504262520023002===⎰⎰ (c) 以B 为坐标原点，x 以向左为正，AB 段的弯矩方程为：Fx M )x (M +=梁的变形能为：EIl F EI MFl EI l M dx EI )Fx M (dx EI M V l l6222232220202++=+==⎰⎰ (d) 先求支座反力： ,ql F RA 8３=以A 为坐标原点，x 1以向右为正，AB 段的弯矩方程为：21112183qx x ql M -= （0≤x 1≤l ）以C 为坐标原点，x 2以向左为正，BC 段的弯矩方程为：22221qx M -=（0≤x 2≤l /2） 梁的变形能为：EIl q dx EI )qx (dx EI )qx qlx (dx EIMdx EI M V l ll l12803221221832252220222102211202221=-+-=+=⎰⎰⎰⎰12−4 试求图示结构中的弹性变形能。
材料力学习题第12章资料
材料力学习题第12章12-1一桅杆起重机，起重杆AB的横截面积如图所示。
钢丝绳的横截面面积为10mm2。
起重杆与钢丝的许用σ，试校核二者的强度。
力均为MPa[=]12012-2重物F=130kN悬挂在由两根圆杆组成的吊架上。
AC是钢杆，直径d1=30mm，许用应力[σ]st=160MPa。
BC是铝杆，直径d2= 40mm, 许用应力[σ]al= 60MPa。
已知ABC为正三角形，试校核吊架的强度。
12-3图示结构中，钢索BC由一组直径d =2mm的钢丝组成。
若钢丝的许用应力[σ]=160MPa,横梁AC单位长度上受均匀分布载荷q =30kN/m作用，试求所需钢丝的根数n。
若将AC改用由两根等边角钢形成的组合杆，角钢的许用应力为[σ] =160MPa，试选定所需角钢的型号。
12-4图示结构中AC为钢杆，横截面面积A1=2cm2；BC杆为铜杆，横截面面积A2=3cm2。
[σ]st = 160MPa，[σ]cop [F。
= 100MPa，试求许用载荷]12-5图示结构，杆AB为5号槽钢，许用应力[σ] = 160MPa，杆BC为bh= 2的矩形截面木杆，其截面尺寸为b = 5cm, h = 10cm,许用应力[σ] = 8MPa，承受载荷F = 128kN，试求：（1）校核结构强度；（2）若要求两杆的应力同时达到各自的许用应力，两杆的截面应取多大？12-6图示螺栓，拧紧时产生∆l = 0.10mm的轴向变形，试求预紧力F，并校核螺栓强度。
已知d1=8mm, d2=6.8mm, d3=7mm, l1=6mm, l2=29mm, l3=8mm; E=210GPa, [σ]=500MPa。
12-7图示传动轴的转速为n=500r/min，主动轮1输入功率P1=368kW，从动轮2和3分别输出功率P2=147kW 和P3=221kW。
已知[σ]=212MPa，[ ϕ]=1︒/m, G =80GPa。
（1）试按第四强度理论和刚度条件确定AB段的直径d1和BC段的直径d2。
工程力学课后习题答案
6-7空心圆截面轴，外径 ，内径 ，扭矩 ，试计算距轴心 处的扭转切应力，以及横截面上的最大与最小扭转切应力。
2-24平面桁架的支座和载荷如图所示，求杆1，2和3的内力。（提示：先截断AD、3、2杆，用截面法分析；再取C节点）
2-25两根相同的均质杆AB和BC，在端点B用光滑铰链连接，A，C端放在不光滑的水平面上，如图所示。当ABC成等边三角形时，系统在铅直面内处于平衡状态。求杆端与水平面间的摩擦因数。
题2-25图
题5-9图
题5-9图
5-10图示外伸梁，承受集度为 的均布载荷作用。试问当 为何值时梁内的最大弯矩之值（即 ）最小。
题5-10图
为保证梁的最大弯矩值最小，即最大正弯矩等于最大负弯矩
第六章杆件的应力
6-1图示的杆件，若该杆的横截面面积 ，试计算杆内的最大拉应力与最大压应力。
题6-1图
6-2图示阶梯形圆截面杆，承受轴向载荷 与 作用， 与 段的直径分别为 与 ，如欲使 与 段横截面上的正应力相同，试求载荷 之值。
4-3材料力学的基本假设是什么？均匀性假设与各向同性假设有何区别？能否说“均匀性材料一定是各向同性材料”？
4-4杆件的轴线与横截面之间有何关系?
4-5试列举五种以上不是各向同性的固体。
4-6杆件的基本变形形式有几种？请举出相应变形的工程实例。
第五章杆件的内力
5-1试求图示各杆1-1、2-2、3-3截面上的轴力，并作轴力图。
5-5某传动轴，转速 ，轮1为主动轮，输入功率 ，轮2、轮3与轮4为从动轮，输出功率分别为 ， 。
（1）试画轴的扭矩图，并求轴的最大扭矩；
（2）若将轮1和轮3的位置对调，轴的最大扭矩变为何值，对轴的受力是否有利。
强度理论典型习题解析
典型习题解析
1 已知铸铁的拉伸许用应力 [σ t ] = 30MPa ，压缩许用应力 [σ c ] = 90 MPa ， µ = 0.30 ，试对铸 铁零件进行强度校核，危险点的主应力为：
（1） σ1 = 30MPa ， σ 2 = 20MPa ， σ 3 = 15MPa ； （2） σ1 = −20MPa ， σ 2 = −30MPa ， σ 3 = −40MPa ； （3） σ1 = 10MPa ， σ 2 = −20MPa ， σ 3 = −30MPa 。 解题分析：选用强度理论时，不但要考虑材料是脆性或是塑性，还要考虑危险点处的应力状
扭转引起的最大切应力发生在截面四边中点 e、f、g、h 处，方向平行于所在边，
且 e 点处方向向右、f 点处向下、g 点处向左、h 点处向上。扭转切应力大小均为
τ2
=T Wp
=
200N ⋅ m 5620 ×10−9 m3
= 35.6 ×106 Pa = 35.6MPa
考虑弯曲切应力、弯曲正应力和扭转切应力共同作用，e 点处为单向拉伸应力状
τ max
=
3 2
FS A
+T Wp
=
3 2
F+ A
2FR βb2
=
F b2
(3 + 2
2R βb
)
=
1000N (30 ×10−3 m)2
(3 2
+
2 × 200 ×10−3 m 0.208 × 30 ×10−3 m )
=
72.9 ×106 Pa
=
72.9MPa
按第三强度理论计算相当应力
σ r3 =
材料为钢时，许用应力 [σ ] = 160 MPa ；材料为铸铁时，许用应力 [σ t ] = 30 MPa 。试分别计算
材料力学答案第十二章
56 第十二章 动载荷第十二章 动载荷第十二章答案12.1 吊索以匀加速度a = 4.9m/s 2提升重F = 20kN 的重物，吊索的许用应力〔σ〕= 80MPa ，试求吊索的最小横截面面积。
N F F ma -=， 4.92020309.8N F =+⨯=kN []NF Aσσ=≤ 3463010 3.75108010A -⨯≥=⨯⨯m 2.12.2 用两根平行钢索，以匀加速度a =9.8m/s 2提升图示工字钢梁（型号：32c ），试求梁的最大动应力。
由惯性力引起的载荷密度：q 2=ma /l=62.765la lq =62.765g +62.765a 666262.7659.81090.9081.210M W σ--⨯⨯⨯==⨯=⨯MPa.12.3 直径d 1=30cm ，长l =6m 弹性模量E 1 = 10GPa 的二相同木杆。
重W =5kN 的重锤从杆的上部H =1m 高度处自由落下，其中杆b 顶端放一直径d =15cm ，厚h =20mm ，弹性模量E 2 = 8 MPa 的橡皮垫。
试求二杆的应力。
(1) 3592510644.2441010100.3st Pl EA π-⨯⨯⨯∆===⨯⨯⨯⨯m 1511093.0d F P ⎛⎛=== ⎝⎝kN 36210931041015.460.3d d F A σπ-⨯⨯==⨯=⨯MPa. (2) 橡皮垫的静位移：342625100.0247.0736108100.15st π-⨯⨯⨯∆==⨯⨯⨯⨯m 总的静位移：5444.244107.0736107.49810st ---∆=⨯+⨯=⨯maF( a )( b )第十二章 动载荷 5751260d F ⎛== ⎝kN 362260.710410 3.690.3d σπ-⨯⨯=⨯=⨯MPa. 12.4 图示装置,直径d = 4cm ,长l = 4m 的钢杆,上端固定,下端有一托盘,钢杆的弹性模量 E = 200GPa,许用应力〔σ〕=120MPa,弹簧刚度k =160kN/cm,自由落体重P = 20kN,试求容许高度h 为多少。
工程力学课后习题答案第十二章组合变形
第十二章 组合变形习 题12.1 矩形截面杆受力如图所示。
已知kN 8.01=F ，kN 65.12=F ，mm 90=b ，mm 180=h ，材料的许用应力[]MPa 10=σ，试校核此梁的强度。
Oxyz1F 2F 1m 1mbh题12.1图解：危险点在固定端max yz z yM M W W σ=+max 6.69[]10MPa MPa σσ=<=12.2 受集度为q 的均布载荷作用的矩形截面简支梁，其载荷作用面与梁的纵向对称面间的夹角为030=α，如图所示。
已知该梁材料的弹性模量GPa 10=E ；梁的尺寸为m 4=l ，mm 160=h ，mm 120=b ；许用应力[]M Pa 12=σ；许可挠度[]150lw =。
试校核梁的强度和刚度。
题12.2图22zmax 11cos3088y M q l q l ==⋅解：22ymax 11sin 3088z M q l q l ==⋅22ymaxzmax 2211cos30sin 308866z yq l q l M M bh bh W W σ⋅⋅=+=+26cos30sin 30()8ql bh h b=+32616210422 ()8120160100.1600.120-⨯⨯⨯=+⨯⨯⨯ []6 11.971012.0,Pa MPa σ=⨯==强度安全 44z 35512sin 30384384z y q l q l W EI Ehb ⨯==4435512cos30384384y y z q l q l W EI Ehb ⨯==22maxcos30sin 30)()W ==+ =[]40.0202150m w m =<=刚度安全。
12.3 简支于屋架上的檩条承受均布载荷kN/m 14=q ，30=ϕ，如图所示。
檩条跨长m 4=l ，采用工字钢制造，其许用应力[]M Pa 160=σ，试选择工字钢型号。
14 kN/mq =题12.3图解：cos ,sin y z q q q q ϕϕ==22max max,88y z z y q l q l M M ==max max max[]y z z yM M W W σσ=+≤对工字钢，zyW W 大约在6～10之间，现设为8，由上式得 max 6max max16010/8y z z z M M Pa W W σ=+≤⨯330.85110z W m -≥⨯查40C 号钢，有，331190,99.6z y W cm W cm ==验算max maxmax 6616111901099.610y z M M MPa σ--=+=⨯⨯ 最大应力略大于许用应力，但不超过许用应力的5%，工程上允许，故可选40C 号钢12.4 图示构架的立柱AB 用25号工字钢制成，已知kN 20=F ，[]M Pa 160=σ，试校核立柱的强度。
工程力学课后习题答案杆类构件的内力分析答案
第六章 杆类构件的内力分析习 题6.1 试求图示结构1-1和2-2截面上的内力，指出AB 和CD 两杆的变形属于哪类基本变形，并说明依据。
解：（a ）应用截面法：对题的图取截面2-2以下部分为研究对象，受力图如图一所示：BM图一 图二 由平衡条件得：0,AM=∑ 6320N F ⨯-⨯= 解得： N F =9KNCD 杆的变形属于拉伸变形。
应用截面法，取题所示截面1-1以右及2-2以下部分作为研究对象，其受力图如图二所示，由平衡条件有：0,OM=∑ 6210N F M ⨯-⨯-= （1）0,yF=∑ 60N S F F --= （2）将N F =9KN 代入（1）-（2）式，得：M =3 kN·m S F =3 KN AB 杆属于弯曲变形。
（b ）应用截面法 ，取1-1以上部分作为研究对象，受力图如图三所示，由平衡条件有：0,Fx =∑20NF -= N F =2KN0,DM=∑ 210M -⨯= M =2KNAB 杆属于弯曲变形6.2 求图示结构中拉杆AB 的轴力。
设由AB 连接的1和2两部分均为刚体。
解：首先根据刚体系的平衡条件，求出AB 杆的内力。
刚体1的受力图如图一所示D图一图二平衡条件为：0,CM=∑104840D NF F⨯-⨯-⨯=（1）刚体2受力图如图二所示，平衡条件为：0,EM=∑240N DF F⨯-⨯=（2）解以上两式有AB杆内的轴力为：NF=5KN6.3试求图示各杆件1-1、2-2和3-3截面上的轴力，并做轴力图。
解：（a）如图所示，解除约束，代之以约束反力，做受力图，如图1a所示。
利用静力平衡条件，确定约束反力的大小和方向，并标示在图1a中，作杆左端面的外法线n，将受力图中各力标以正负号，轴力图是平行于杆轴线的直线，轴力图线在有轴向力作用处要发生突变，突变量等于该处总用力的数值，对于正的外力，轴力图向上突变，对于负的外力，轴力图向下突变，轴力图如2a所示，截面1和截面2上的轴力分别为1NF=-2KN2NF=-8KN，（a）nkN(a1)(2)C（b）CB4kNb1）（b2）（（b）解题步骤和（a）相同，杆的受力图和轴力图如（1b）（2b）所示，截面1和截面2上的轴力分别为1N F =4KN 2N F =6KN（c ）解题步骤和（a ）相同，杆的受力图和轴力图如（1c ）（2c ）所示，截面1，截面2和截面3上的轴力分别为1N F =3F 2N F =4F ，3N F =4FB C（c ）4F（c 1）（c 2）（d）A D（d 1）（d 2）（d ）解题步骤和（a ）相同，杆的受力图和轴力图如（1d ）（2d ）所示，截面1和截面2 上的轴力分别为1N F =2KN 2N F =2KN6.4 求图示各轴1-1、2-2截面上的扭矩，并做各轴的扭矩图。
工程力学第十二章压杆的稳定性课后习题答案
第十二章 压杆的稳定性12-1 图示细长压杆，两端为球形铰支，弹性模量200E GPa =，对下面三种截面用欧拉公式计算其临界压力。
（1）圆截面，25, 1.0d mm l m ==；（2）矩形截面，240h b mm ==，1.0;l m =（3）16号工字钢，2.0l m =。
解：结构为两端铰支，则有221,0,lj EIP l πμ==(1)圆截面杆，434932(0.025),2001037.61037.664(1.0)64lj d I P kN ππ⨯==⨯⨯=⨯=⨯(2)矩形截面杆，32312349322020401040,20010531053121212(1.0)lj bh I mm P N kN π-⨯⨯⨯==⨯=⨯⨯=⨯=⨯ (3)16号工字查型钢表知2849321130102001130,1046110461(2.0)lj I cm P N kN π-⨯⨯⨯==⨯=⨯=题12-1图 题12-2图12-2 图示为下端固定，上端自由并在自由端受轴向力作用的等直压杆。
杆长为l ，在临界力lj p 作用下杆失稳时有可能在xy 平面内维持微弯曲状态下的平衡。
杆横截面积对z 轴的惯性矩为I ，试推导其临界压力lj p 的欧拉公式，并求出压杆的挠曲线方程。
解：()()M x v ρδ=-，结合 ()EIv M x ''=设2k EIρ=，则有微分方程：22V k v k δ''+= 通解为sin cos v A kx B kx δ=++边界条件：0,0,x v ==则0B δ+=，解出B δ=-0,0x v '==（转角为零），0A k ⋅=，解出0A = 解得挠曲线方程为：(1cos )v kx δ=-因为v 在x l =处为δ，则cos 0kl δ⋅=，由于0δ≠，可得：cos 0,2kl kl π== （最小值）而2k EIρ=，得22(2)lj EIP l π=注：由cos 0kl =，本有02kl n ππ=+>，计算可见0n =（2kl π=时），对应的P 值是最小的，这一点与临界力的力学背景是相符的。
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工程力学（工程静力学与材料力学）习题与解答第12章 强度理论12－1 对于建立材料在一般应力状态下的失效判据与设计准则，试选择如下合适的论述。
（A ）逐一进行试验，确定极限应力；（B ）无需进行试验，只需关于失效原因的假说；（C ）需要进行某些试验，无需关于失效原因的假说； （D ）假设失效的共同原因，根据简单试验结果。
知识点：建立强度理论的主要思路 难度：一般 解答：正确答案是 D 。
12－2 对于图示的应力状态（y x σσ>）若为脆性材料，试分析失效可能发生在： （A ）平行于x 轴的平面； （B ）平行于z 轴的平面；（C ）平行于Oyz 坐标面的平面； （D ）平行于Oxy 坐标面的平面。
知识点：脆性材料、脆性断裂、断裂原因 难度：难 解答：正确答案是 C 。
12－3 对于图示的应力状态，若x y σσ=，且为韧性材料，试根据最大切应力准则，失效可能发生在： （A ）平行于y 轴、其法线与x 轴的夹角为45°的平面，或平行于x 轴、其法线与y 轴的夹角为45°的平面内；（B ）仅为平行于y 轴、法线与z 轴的夹角为45°的平面； （C ）仅为平行于z 轴、其法线与x 轴的夹角为45°的平面； （D ）仅为平行于x 轴、其法线与y 轴的夹角为45°的平面。
知识点：韧性材料、塑性屈服、屈服原因 难度：难 解答：正确答案是 A 。
12－4 铸铁处于图示应力状态下，试分析最容易失效的是： （A ）仅图c ； （B ）图a 和图b ； （C ）图a 、b 和图c ； （D ）图a 、b 、c 和图d 。
知识点：脆性材料、脆性断裂、断裂准则 难度：一般 解答：正确答案是 C 。
12－5低碳钢处于图示应力状态下，若根据最大切应力准则， 试分析最容易失效的是： （A ）仅图d ； （B ）仅图c ； （C ）图c 和图d ； （D ）图a 、b 和图d 。
知识点：韧性材料、塑性屈服、屈服准则 难度：一般习题12-2、12-3图习题12-4、12-5图mt 2σ=σC BAmσ45D壁厚纵向(a)解答：正确答案是 B 。
220231d 3r b 3r a 3r σσσσσσσ=-=-===σσσσσσ=--=-=2)(231c 3r所以图c 最危险。
12－6 韧性材料所处应力状态如图所示，根据最大切应力准则，试分析二者同时失效的条件是： （A ）τσ>，3/2στ=； （B ）τσ<，3/4στ=； （C ）τσ=；（D ）τσ>，3/2τσ=。
知识点：韧性材料、塑性屈服、屈服准则 难度：一般 解答：正确答案是 A 。
左图：ττσσ24223r >+= （1） 右图：σσ='，τσ=''，τσ-=''' ∴τσσ+=3r （2）或τττσ2)(3r =--=（3）（由（1），此式舍去）由（1）、（2），224τστσ+=+∴τσ23=，显然τσ>∴选：A 。
12－7 承受内压的两端封闭的圆柱状薄壁容器由韧性材料制成。
试分析因压力过大表面出现裂纹时，裂纹的可能方向是： （A ）沿圆柱纵向；（B ）沿与圆柱纵向成45°角的方向； （C ）沿与圆柱纵向成30°角的方向； （D ）沿环向。
知识点：压力容器的应力分析、韧性材料、塑性屈服、屈服原因 难度：难 解答：正确答案是 B 。
设圆柱壁纵向应力为σ，则环向应力为2σ，径向应力近似为零。
t 1σσ=，m 2σσ=，03=σ σσσστ=-=-=22231max裂纹的可能方向为沿ABDC 面，平行于轴线与圆周切线方向成45°。
12－8 承受内压的两端封闭的圆柱状薄壁容器，由脆性材料制成。
试分析因压力过大表面出现裂纹时，习题12-6图裂纹的可能方向是： （A ）沿圆柱纵向；（B ）沿与圆柱纵向成45°角的方向； （C ）沿圆柱环向；（D ）沿与圆柱纵向成30°角的方向。
知识点：压力容器的应力分析、脆性材料、脆性断裂、断裂原因 难度：一般 解答：正确答案是 A 。
12－9 当韧性材料和脆性材料制成的两个两端封闭的圆柱形薄壁容器因内压发生失效时，试分析断口特征是：（A ）二者断口均沿着纵截面； （B ）二者断口均沿着横截面； （C ）韧性材料容器断口平面平行于轴线并与圆周切线方向成45°角；脆性材料容器断口平面沿纵截面； （D ）脆性材料容器断口平面平行于轴线并与圆周切线方向成45°角；韧性材料容器断口沿纵截面。
知识点：压力容器的应力分析、韧性材料、脆性材料、屈服断口、断裂断口 难度：一般 解答：正确答案是 C 。
参见12-7解理由。
12－10 有人说，杆件受拉伸时有][1σσ≤的设计准则，现在又讲“对于韧性材料，应用最大切应力准则或形状改变比能准则”。
试问二者是否矛盾？从这里可以得到什么结论？知识点：最大切应力准则、形状改变比能准则 难度：一般 解答：二者不矛盾，对于韧性材料，在平面拉伸时，01>σ，032==σσ，][14r r3σσσσ<==。
12－11 对于纯切应力状态，若将设计准则写成][ττ≤，试确定两种情形下许用切应力][τ与许用拉应力][σ之间的关系： 1．脆性材料； 2．韧性材料。
知识点：强度理论 难度：一般 解答：纯剪应力状态时b 1τσ=，02=σ，b 3τσ-=1．对于脆性材料，用最大拉应力理论的失效判据：b b στ= 则选][][στ=][11r σσσ≤=，即][1στσ≤=由 ][ττ≤，即][][τσ=用最大伸长线应变理论b b b )0(σττ=--，b b 5.0στ=，则选][5.0][στ=，与最大剪应力理论相同。
2．对于韧性材料，用最大剪应力理论： s 1τσ=，02=σ，s 3τσ-= ][2313r στσσσ≤=-=，即][21στ≤ 由 ][ττ≤，即][21][στ=由失效判据：s s s )(σττ=--，∴s s 5.0στ=，则选：][5.0][στ=用歪形能理论失效判据 s s 2132322214r 3])()()[(21στσσσσσσσ≤=-+-+-=，s s 31στ≤则选][31][στ=由][ττ=，则][577.0][31][σστ==12－12 构件中危险点的应力状态如图所示。
试选择合适的准则对以下两种情形作强度校核： 1．构件为钢制x σ= 45MPa ，y σ= 135MPa ，z σ= 0，xy τ= 0，拉伸许用应力][σ= 160MPa 。
2．构件材料为铸铁x σ= 20MPa ，y σ= -25MPa ，z σ= 30MPa ，xy τ= 0，][σ= 30MPa 。
知识点：屈服准则、断裂准则 难度：一般 解答：1．][MPa 135313r σσσσ<=-=强度满足。
2．][MPa 3011r σσσ===强度满足。
12－13 对于图示平面应力状态，各应力分量的可能组合有以下几种情形，试按最大切应力准则和形状改变比能准则分别计算此几种情形下的计算应力。
1．x σ= 40MPa ，y σ= 40 MPa ，xy τ= 60 MPa ； 2．x σ= 60MPa ，80-=y σMPa ，40-=xy τMPa ； 3．40-=x σMPa ，y σ= 50 MPa ，xy τ= 0； 4．x σ= 0，y σ= 0，xy τ= 45 MPa 。
知识点：最大切应力准则、形状改变比能准则 难度：一般 解答：1． 6040)2(222±=+-±+=xyyx y x τσσσσσ 1σ= 100 MPa ，2σ= 0，203-=σMPa 120313r =-=σσσMPa 4.111)12020100(212224r =++=σMPa 2． 2222407010)2(2+±-=++±+=xy yx y x τσσσσσ1σ= 70.6 MPa ，2σ= 0，6.903-=σMPa 2.161313r =-=σσσMPa140)2.1616.906.70(212224r =++=σMPa 3． 1σ= 50 MPa ，2σ= 0，403-=σMPa 903r =σMPa1.78)904050(212224r =++=σMPa 4． 45±=σMPa ，∴ 1σ= 45 MPa ，2σ= 0，453-=σMPa 903r =σMPa 9.77)904545(212224r =++=σMPa （9.7734r ==xy τσMPa ）12－14 钢制零件上危险点的平面应力状态如图所示。
已知材料的屈服应力s σ= 330MPa 。
试按最大切应力准则，确定下列情形下是否发生屈服，并对于不屈服的情形确定它们的安全因数。
习题12-12图习题12-13图1．0σ= 207 MPa ； 2．0σ= 248 MPa ； 3．0σ= 290 MPa 。
知识点：最大切应力准则、形状改变比能准则 难度：一般 解答：1．0σ= 207 MPa 103207)2(222±-=++±+=xy yx yx τσσσσσ∴ 1σ= 0，1042-=σMPa ，3103-=σMPa 3103r =σMPa s σ<065.1310330s ==n 2． 0σ= 248 MPa ；103248±-=σ∴ 1σ= 0，1452-=σMPa ，3513-=σMPa 3513r =σMPa s σ> 3． 0σ= 290 MPa 。
103290±-=σ∴ 1σ= 0，1872-=σMPa ，3933-=σMPa 3933r =σMPa s σ>12－15 试根据形状改变比能准则，重解习题12－14。
知识点：形状改变比能准则 难度：一般 解答：1．273)310206104(21])()()[(212222132322214r =++=-+-+-=σσσσσσσMPa s σ< 21.1273330s ==n 2． 306)351206145(212224r =++=σMPa s σ< 08.1306330s ==n 3． 341)393206187(212224r =++=σMPa s σ>12－16 钢制构件上危险点的平面应力状态如图所示。
已知材料的屈服应力为s σ= 300 MPa 。
试按形状改变比能准则，确定下列情形下是否发生屈服，并对于不发生屈服的情形确定它们的安全因数。
1．0τ= 60 MPa ； 2．0τ= 120 MPa ； 3．0τ= 130 MPa 。