弹性力学课件08第八章 空间问题的解答

∂w ∂w εz = , γ zρ = ∂ρ ∂z
εz = γ zρ
1 [σ z −ν (σ ρ + σ ϕ )] E 2(1 + ν ) = τ zρ E
第二节
空间轴对称问题
应力用应变表示为
σρ = σϕ
ν θ +ερ 1 − 2ν E ν = θ + εϕ 1 + ν 1 − 2ν E 1+ν
3
−1
1−
第二节
空间轴对称问题
φ
ρ dρ dφ
φ ρ
dφ
Fbz, Fbρ为体力分量
从轴对称物体中取出图 示的单元体。 由于对称性，
φ
τ ρϕ = τ ϕρ = 0
ρ φ
τ ϕz = τ zϕ = 0
并且环向体力分量为零。
第二节 dφ φ
ρ φ
空间轴对称问题
ρ φ
根据ρ方向的平衡，可得
∂σ ρ dϕ σ ρ + d ρ ( ρ + d ρ ) d ϕ d z − σ ρ ρ d ϕ d z − 2σ ϕ d ρ d z ∂ρ 2 ∂ τ ρz − τ ρz + d z ρ d ϕ d ρ − τ ρ z ρ d ϕ d ρ + Fb ρ ρ d ϕ d ρ d z = 0 ∂z
第一节
ρ
空间球对称问题的基本方程
σϕ σϕ
dφ dφ
1 ε ρ = (σ ρ − 2νσ ϕ ) E 1 ε ϕ = [(1 −ν )σ ϕ −νσ ρ ] E
σρ
σ ρ + dσ ρ
ρ
dρ
σϕ
σρ =
E [(1 − ν )ε ρ + 2νε ϕ ] (1 + ν )(1 − 2ν ) E σϕ = (ε ϕ + νε ρ ) (1 + ν )(1 − 2ν )
(τ zρ ) z =0, ρ ≠ 0 = −
不能满足。
A1 (1 − 2ν )
ρ
2
(c)
为此，我们再取一个位移势函数，它在z=0处，σz=0 而切应力与式(c)的切应力相抵消。通过量纲分析，位移函 数应是R、z、ρ等长度坐标的零次幂，试算后，取
ψ = A2 ln(R + z)
第三节
半空间体在边界上受法向集中力 它在z=0处，σz=0，而切应力 ，
E ∂u ∂w τ ρz = + ∂z ∂ρ 2(1 + ν )
第二节
空间轴对称问题
将应力分量代入平衡方程，得到位移形式的 平衡方程，这就是轴对称问题的基本方程：
E ν ∂θ u + ∇2u − 2 + Fb ρ = 0 2(1 + ν ) 1 − 2ν ∂ρ ρ E ν ∂θ + ∇2 w + Fb z = 0 2(1 + ν ) 1 − 2ν ∂ρ
空心圆球受均布压力 根据此边界条件，可求 得系数A, B，得到位移解和 应力解 b3 a3
R R3 q σρ = − 3 qa − b b a3 −1 1− 3 3 a b b3 a3 +1 1+ 3 3 R q σ ϕ = R3 qa − b b a3 −1 1− 3 3 a b b 3 1 − 2ν a 3 1 − 2ν + + (1 + ν ) ρ 2 ρ 3 1 + ν 2 ρ 3 1 +ν u= qa − qb 3 3 b a E 1+ 3 −1 a3 b
ζ = A1 R = A1 ρ 2 + z 2
∂ 2 1 ∂ σ ϕ = ν∇ − ζ ∂z ρ ∂ρ ∂2 ∂ σ z = (2 −ν )∇ 2 − 2 ζ ∂z ∂z ∂2 ∂ 2 τ zρ = (1 − υ )∇ − 2 ζ ∂z ∂ρ
球对称问题
ρ
轴对称问题
第一节
σϕ
空间球对称问题的基本方程
σϕ
dφ微小，sinφ可用dφ代替，简 化上式，得
∂σ ρ ∂ρ + 2
dφ dφ
ρ
σρ
σ ρ + dσ ρ
ρ
(σ ρ − σ ϕ ) + Fb ρ = 0
ρ
dρ
σϕ
径向正应变
∂u ερ = ∂ρ
取图示的微元体，由于对称， u 各面上不存在切应力和切向体力。 切向正应变 εϕ = ρ 根据径向平衡条件，可得平衡方 由于对称，只可能发生径向 程： (σ ρ + d σ ρ )[ ρ + d ρ ) d ϕ ]2 − σ ρ ( ρ d ϕ ) 2 位移，不可能得到切向位移， 由此得到根据应力应变的关 dϕ 2 − 4σ ϕ d ρ ( ρ d ϕ ) sin + Fb ρ ( ρ d ϕ ) d ρ = 0 系，将应力用应变表示: 2
d2 u 2 d u 2 + − 2 u=0 2 dρ ρ dρ ρ
其解为
u = Aρ +
B
得应力分量
ρ2
边界条件是 (σ ρ ) ρ = a = −qa ,
(σ ρ ) ρ =b = −qb
E 2E B A− σρ = 1 − 2ν 1 +ν ρ 3 E E B σϕ = A+ 1 − 2ν 1 +ν ρ 3
wk.baidu.com三节
半空间体在边界上受法向集中力 可以求得位移分量和应力分量：
A ρz u= 1 3, 2GR A1 3 − 4ν z 2 ω= + 3 , R 2G R
(1 − 2ν ) z 3 ρ 3 z A1 (1 − 2ν ) z σ ρ = A1 − 5 , σ ϕ = 3 R R R3 (1 − 2ν ) z 3 z 3 σ z = − A1 + 5 3 R R
∇ 2ϕ = 0
第三节
半空间体在边界上受法向集中力 根据位移分量和应力分量与位移 函数的关系：
1 ∂ 2ζ 1 ∂2 u=− ,ω = 2(1 −ν )∇ 2 − 2 ζ ∂z 2G ∂ρ∂z 2G ∂ 2 ∂2 σ ρ = ν∇ − 2 ζ ∂ρ ∂z
半空间体，体力不计， 坐标系如图。通过量纲分 析，位移函数应是F乘以R、 z、ρ等长度坐标的正一次 幂，试算后，取设位移函 数为
代入平衡方程得基本微分方程∶
E (1 −ν ) d2 u 2 d u 2 ( + − u ) + Fb ρ = 0 (1 + ν )(1 − 2ν ) d ρ 2 ρ d ρ ρ 2
不计体力时，上述方程简化为
d2 u 2 d u 2 + − 2 u=0 2 dρ ρ dρ ρ
空心圆球受均布压力 空心圆球内半径为a，外半 径为b，内压为qa，外压为qb，体 力不计，基本微分方程为
将应力表达式代入
∞
σ ρ = A2 σϕ =
A2 , R( R + z ) Az Aρ σ z = − 23 , τ zρ = − 2 3 , R R
∫
0
(2πρ d ρ)σ z + F = 0
第三节
半空间体在边界上受法向集中力
F (1 − 2ν ) R 3ρ 2 z − 3 σρ = 2 2πR R + z R (1 − 2ν ) F z R − σϕ = 2πR 2 R R + z
ν
第二节
空间轴对称问题 代入（*）式，得
∂ 2 ∇ ϕ =0 ∂ρ ∂ 2 ∇ ϕ =0 ∂z ∇ 2ϕ = C
我们也可以假设位移是 有势的，也就是说，位移分 量可以用位移势函数表示为
1 ∂ϕ u= 2G ∂ρ 1 ∂ϕ w= 2G ∂z
这时有
可以取C = 0，这时应力函 ， 数调和函数
∂u u ∂w 1 2 = ∇ϕ θ= + + ∂ρ ρ ∂z G
上式应变分量用位移分量 表示，
E σρ = 1 +ν E σϕ = 1 +ν
ν ∂u 1 − 2ν θ + ∂ρ
E ν σz = θ +εz 1 + ν 1 − 2ν E τ zρ = γ ρr 2 (1 + ν )
ν u 1 − 2ν θ + ρ E ν ∂w θ+ σz = 1 + ν 1 − 2ν ∂z
化简后得到
∂σ ρ
τ ρz + + + Fb z = 0 ∂z ∂ρ ρ
∂τ ρz
第二节 空间轴对称问题 这样，空间轴对称问题的平 迭加得到几何方程 衡方程为 ∂σ ρ ∂τ zρ σ ρ − σ ϕ ∂u u + + + Fb ρ = 0 ε ρ = , εϕ = ρ ∂ρ ∂z ∂ρ ρ ∂σ z ∂τ ρz τ ρz ∂u ∂w ∂w + + + Fb z = 0 + , γ zρ = εz = ∂z ∂ρ ρ ∂z ∂ρ ∂z 由于对称，各点环向位移为零， 这里的物理方程是 由径向位移产生的应变为 1 ∂u u ∂u ε ρ = [σ ρ −ν (σ φ + σ z )] ερ = , ε ϕ = , γ zρ = E ∂ρ ρ ∂z 1 ε ϕ = [σ ϕ −ν (σ z + σ ρ )] E 由轴向位移w产生的应变为
(τ zρ ) z =0, ρ ≠ 0 = −
迭加上面两个解
ρ2
A2
A1(1− 2ν ) A2 − − 2 =0 2
ρ
ρ
这时得到位移和应力分量为
u= A2 ρ A , ω= 2 , 2GR( R + z ) 2GR z 1 − , 3 R( R + z ) R
得到：
(1− 2ν ) A1 + A2 = 0
可求得:
3Fz 3 3Fρz 2 σz = − , τ zρ = τ ρz = − 5 2πR 2πR 5
(1 − 2ν ) F A1 = , A2 = − F 2π 2π
边界条件是
τ zρ
(a) (b)
(σ z ) z =0, ρ ≠ 0 = 0 (τ ρz ) z =0, ρ ≠ 0 = 0
(1 − 2ν ) ρ 3 ρz 2 = − A1 + 5 3 R R 根据圣维南原理，有
∫ (2πρd ρ)σ
0
∞
z
+F =0
第三节
半空间体在边界上受法向集中力 上述应力解，式（a)是满足的， 式(b)
化简后得到
∂σ ρ
σ ρ −σϕ + + + Fb ρ = 0 ∂ρ ∂z ρ
∂τ ρz
第二节 dφ φ
ρ φ
空间轴对称问题
ρ φ
根据z方向的平衡，可得
∂τ τ ρz + ρz d ρ ( ρ + d ρ ) d ϕ d z − τ ρz ρ d ϕ d z ∂ρ ∂σ z + σ z + d z ρ d ϕ d ρ − σ z ρ d ϕ d ρ + Fb z ρ d ϕ d ρ d z = 0 ∂z
在体力为零时，简化为 u ν ∂θ + ∇2u − 2 = 0 ρ 1 − 2ν ∂ρ ν ∂θ + ∇2 w = 0 1 − 2ν ∂ρ 其中 2 2
∇2 =
∂ ∂ 1 ∂ + + 2 ∂ρ 2 ρ ∂ρ ∂z
第二节
空间轴对称问题
如假设 ∂θ u + ∇2u − 2 = 0 ρ 1 − 2ν ∂ρ 1 ∂ 2ζ （*） u=− ν ∂θ 2G ∂ρ∂z + ∇2 w = 0 1 − 2ν ∂ρ 1 ∂2 ω= 2(1 − ν )∇ 2 − 2 ζ 位移法求解轴对称问题，就 ∂z 2G 是寻求满足上述方程组，并且根 代入（*）式，得 据他们求出的应力和位移满足边 界条件的位移分量。上述方程组 4 的直接求解比平面问题更为困难， ∇ ζ =0 通常采用的是位移函数法。其方 法和应力函数法类似，先假设某 也就是说位移函数ζ应为 种形式的位移函数，代入上述方 重调和函数。 程组，得到他们应满足的条件。
第八章 空间问题的解答
概述 第一节 第二节 第三节 例 题 例 题
空间球对称问题的基本方程 空间轴对称问题 半空间体在边界上受法向集中力 7.1 7.2
空间问题的解析解一般只能在特殊边 界条件下才可以得到。可分为空间球对称 问题和空间轴对称问题。如果弹性体的几 何形状、约束条件以及外载荷都对称于某 一点（过这一点的任一平面都是对称面）， 这时应力、位移等都对称于这一点，称为 球对称问题，球对称问题的弹性体的形状 只能是圆球或空心球。如果弹性体的几何 形状、约束条件以及外载荷都对称与某一 轴（过该轴的任一平面都是对称面），这 时应力、位移等都对称于这一轴，称为轴 对称问题，轴对称问题的弹性体的形状一 般为是圆柱或半空间。 在球对称问题中，应力、应变、位移 等分量都只是径向坐标ρ的函数。