高考理科数学必会知识点总结

高考理科数学必会知识点总结

§1集合与简易逻辑

一、集合间的关系及其运算

（1）符号“∉∈,”是表示元素与集合之间关系的，如立体几何中的体现 点与直线（面）的关系 ； 符号“⊄⊂,”或“⊆，”或“

”等是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现 面与直

线(面)的关系 。

（2）A

B = ；A B = ；U

C A = .

（3）交、并、补的运算性质：对于任意集合A 、B ，();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==

切记：A B A B A ⊆⇔⋂=⇔A B A B B ⊆⇔⋃=.

（4）集合中元素的个数的计算：

若集合A 中有n 个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为2n ，所有真子集的个数是(2n

－1)，所有非空真子集的个数是(2n

－2)。

二、常用逻辑用语： 1、四种命题：

⑴原命题：若p 则q ；⑵逆命题：若q 则p ；⑶否命题：若⌝p 则⌝q ；⑷逆否命题：若⌝q 则⌝p 注：1、原命题与逆否命题等价；逆命题与否命题等价。判断命题真假时注意转化。

2、注意命题的否定与否命题的区别：命题p q ⇒否定形式是p q ⇒⌝；否命题是p q ⌝⇒⌝.命题“p 或q ”的否定是“p ⌝且q ⌝”；“p 且q ”的否定是“p ⌝或q ⌝”.

3、逻辑联结词：

⑴且(and) ：命题形式 p ∧q ； p q p ∧q p ∨q ⌝p ⑵或（or ）： 命题形式 p ∨q ； 真 真 真 真 假 ⑶非（not ）：命题形式⌝p . 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真

“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”； “且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”； “非命题”的真假特点是“一真一假” 4、充要条件

由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件。 5、全称命题与特称命题：

短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号∀表示。含有全体量词的命题，叫做全称命题。

短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号∃表示，含有存在量词的命题，叫做存在性命题。 全称命题p ：)(,x p M x ∈∀； 全称命题p 的否定⌝p ：)(,x p M x ⌝∈∃。 特称命题p ：)(,x p M x ∈∃；

特称命题p 的否定⌝p ：)(,x p M x ⌝∈∀；

§2函数和导数

一、函数的性质

1．定义域（自然定义域、分段函数的定义域、应用题中的定义域等）；

2．值域（求值域：分析法、图象法、单调性法、基本不等式法、换元法、判别式法等）；

3．奇偶性（在整个定义域内考虑），判断方法：

Ⅰ.定义法——步骤：求出定义域并判断定义域是否关于原点对称；求)(x f -； 比较)()(x f x f 与-或)()(x f x f --与的关系；Ⅱ.图象法；

常用的结论

①已知：)()()(x g x f x H =

若非零函数)(),(x g x f 的奇偶性相同，则在公共定义域内)(x H 为偶函数； 若非零函数)(),(x g x f 的奇偶性相反，则在公共定义域内)(x H 为奇函数； ②若)(x f 是奇函数，且定义域∈0，则(0)0f =.

4．单调性（在定义域的某一个子集内考虑），证明函数单调性的方法：

（1）.定义法 步骤①：设2121,x x A x x <∈且；②作差)()(21x f x f -（一般结果要分解为若干个因式的乘积，且每一个因式的正或负号能清楚地判断出）；③判断正负号。 另解：设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么

[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]1212()()

0(),f x f x f x a b x x ->⇔-在上是增函数；

[]1212()()()0x x f x f x --<⇔

[]1212

()()

0(),f x f x f x a b x x -<⇔-在上是减函数.

（2）.（多项式函数）用导数证明： 若)(x f 在某个区间A 内有导数，则

()0f x ≥' ()x A ∈ ⇔)(x f 在A 内为增函数；()0f x ≤' ()x A ∈ ⇔)(x f 在A 内为减函数.

（3）求单调区间的方法： a.定义法： b.导数法： c.图象法：

d.复合函数[])(x g f y =在公共定义域上的单调性：若f 与g 的单调性相同，则[])(x g f 为增函数； 若f 与g 的单调性相反，则[])(x g f 为减函数。注意：先求定义域，单调区间是定义域的子集．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．.． （4）一些有用的结论：

①奇函数在其对称区间上的单调性相同； ②偶函数在其对称区间上的单调性相反； ③在公共定义域内：

F （x ）（增）=)(x f （增）+)(x g （增）； F （x ）（减）=)(x f （减）+)(x g （减）； F （x ）（增）=)(x f （增）-)(x g （减）； F （x ）（减）=)(x f （减）-)(x g （增）； ④一个重要的函数：函数)0,0(>>+

=b a x b

ax y 在⎪⎪⎭

⎫⎢⎣⎡

+∞⎥⎦⎤ ⎝

⎛-

∞-,,b a

b a 或上单调递增；在

⎥⎦⎤

⎝

⎛⎪⎪⎭⎫⎢⎣

⎡-b a b a ，或00,上是单调递减.

5．函数的周期性

（1）定义：若T 为非零常数，对于定义域内的任一x ，使)()(x f T x f =+恒成立，则()f x 叫做周期函数，T 叫做这个函数()f x 的一个周期. T 的整数倍都是()f x 的周期。

二、函数的图象

1．基本函数的图象：（1）一次函数、（2）二次函数、（3）反比例函数、（4）指数函数、（5）对数函数、（6）三角函数、（7）函数)0,0(>>+

=b a x

b

ax y . 2．图象的变换