余切函数的图象和性质解读
三角函数的正切与余切关系解析
三角函数的正切与余切关系解析三角函数是数学中重要的概念之一，其中正切和余切是相互关联的两个函数。
在本文中，我们将详细解析正切和余切的关系及其相关性质。
一、正切与余切的定义正切函数（tangent function）和余切函数（cotangent function）是三角函数中的两个重要函数。
在单位圆上，这两个函数与正弦和余弦函数之间存在一定的关系。
正切函数定义如下：tan(x) = sin(x) / cos(x)余切函数定义如下：cot(x) = 1 / tan(x) = cos(x) / sin(x)其中，x为角度值或弧度值，sin(x)代表正弦函数值，cos(x)代表余弦函数值。
二、正切与余切的性质1. 定义域和值域：正切函数和余切函数的定义域为x ≠ (2k + 1)π/2 (k为整数)，即除去所有以π/2为倍数的点。
正切函数的值域为R，即所有实数。
余切函数的值域也为R，即所有实数。
2. 奇偶性：正切函数是奇函数，即tan(-x) = -tan(x)。
余切函数是奇函数，即cot(-x) = -cot(x)。
3. 周期性：正切函数和余切函数的周期都是π，即tan(x + π) = tan(x)，cot(x + π) = cot(x)。
4. 正切和余切的关系：由正弦和余弦函数定义可得，tan(x) = sin(x) / cos(x)，cot(x) = cos(x) / sin(x)。
这意味着正切和余切是正弦和余弦的倒数关系。
5. 正切和余切的图像：正切函数和余切函数的图像都是无界的，并且在定义域内具有周期性。
三、正切与余切的应用正切与余切在数学和科学中有广泛的应用，以下是其中一些重要应用：1. 三角方程的求解：在解三角方程时，正切和余切的性质可以用来简化等式，从而求解方程。
2. 函数图像的分析：正切和余切函数的图像特点可以用于分析函数的性质，如最值、增减性、极值点等。
3. 三角恒等式的证明：在证明三角恒等式时，正切和余切的关系可以用来推导等式的两边，从而证明恒等式的成立。
10正切与余切函数的图象与性质
正切与余切函数图像与性质一、一周内容概述（一）、正切函数的图象1、“三点两线法”作上的简图.2、左、右平移π的整数倍即得正切曲线.注：正切曲线是被互相平行的直线所隔开的无穷多支曲线组成的.（二）、函数y=tanx与y=tan(ωx＋φ)的性质对比：二、重难点知识归纳及讲解（一）、利用正切函数的图象及图象变换规律作有关函数的简图.例1、作下列函数的简图（1）y=tan(－x) （2）y=|tanx|（3）y=tan|x|（二）、利用正切函数的单调性比较大小及求单调区间.例2、比较下列各组数的大小. （1）tan2和tan9 （2）例3、求函数单调区间（三）正切函数性质的综合运用例4、已知函数f(x)是以3为周期的奇函数，且f(－1)=1，若，求f(tan2α).选择题1、下列命题中，正确的是（）A．y=tanx是增函数B．y=tanx在第一象限是增函数C．y=tanx在每个区间上是增函数D．y=tanx是某一区间内的减函数2、正切函数的定义域是（）A．B．C．D．3、下列不等式中正确的是（）A ．B．C ．D ．4、直线y=a（a为常数）与正切曲线y=tanωx(ω为常数，且ω＞0）相交的相邻两点间的距离是（）A．πB ．C ．D．与a值有关5、将函数y=tan2x 的图象向左平移个单位，则所得图象的函数解析式是（）A ．B ．C ．D ．6、以下四个函数：①y=sinx＋cotx；②y=xtanx－cotx；③；④，其中奇函数的个数是（）A．1B．2 C．3D．47、同时满足在上递增，以π为周期，是奇函数的是（）A．y=|tanx|B．y=tanxC．y=|cotx|D．y=cotx8、若tanα＞sinα＞cosα，且，则α∈（）A ．B ．C ．D ．9、若，则（）A．α＜βB．α＞βC．α＋β＞3πD．α＋β＜2π10、如图所示为函数y=sinx，y=cosx，y=tanx，y=cotx在上的图象，则它们所对应的图象的编号顺序是（）A．①②③④B．①③②④C．③①②④D．③①④②综合题1、函数的定义域是_______________.2、已知a=tan1,b=tan2,c=tan3,则a,b,c的大小关系为______ ____.3、已知（1）用定义判断f(x)的奇偶性；（2）在[－π,π]上画出y=f(x)的简图；（3）指出f(x)的最小正周期及在[－π,π]上的单调区间.4、已知函数（1）求出函数的定义域和值域；（2）判断函数是否为周期函数，若是，则求出周期；（3）讨论这个函数的单调性.5、有两个函数，它们的周期之和为，求这两个函数，并求g(x)的单调递增区间.。
6.2正、余切函数的图像和性质
(2) 作图：y
cot
x
2
tan
x
;
解：(1) tan1 tan 4 tan 3 tan 2
(2)
y
0 ,
x
k
2
,
k
2 tan x ,
x
k
,
k
2
k Z
2
1
3
4
3
0
3
2
2
2
2
(3) y sin x 与 y tan x在82 , 2 上有几个交点？
解：如图所示，有 5 个交6 点。
2
3
2
增区间：
k
3
,
18
k
3
5
18
k
Z
(2) cot x 3 3
增区间： k
,
k
3
k
Z
4.求值域：
(1) y cot x ,
x
4
,00, Nhomakorabea4
(2)
y
tan
x
3
,
0
x
2
解：(1), 1 1,
(2)
3,
3 3
(3)
y
sin
x
3
,
cos x
x
4
,
2
(4) y sec2 x 2 tan x 1,
y
2. 奇偶性：奇函数
3. 周期性：周期为
4. 单调性：
在k, k (k Z)
0
2 x
2
5. 值域：R
6.图像：
对称中心为
k
2
,
0
(k
Z)
6.2正、余切函数的图像和性质
(9)
sin 2 y sin x
x 1 cos x
sin x
tan x
cos x sin x cos x
定义域：x k 且 x 2k ， T 2
2
2.
求定义域：(1)
y
tan
4
x
(2) y log1 tan x
2
(3) y cot2 x 3
解：(1) x k x k
2
3
2
增区间：
k
3
,
18
k
3
5
18
k
Z
(2) cot x 3 3
增区间： k
,
k
3
k
Z
4.求值域：
(1) y cot x ,
x
4
,
0
U
0
,
4
(2)
y
tan
x
3
,
0
x
2
解：(1), 1U1,
(2)
3,
3 3
(3)
y
sin
x
3
,
cos x
x
4
,
2
(4) y sec2 x 2 tan x 1,
(2) 作图：y
cot
x
2
tan
x
;
解：(1) tan1 tan 4 tan 3 tan 2
(2)
y
0 ,
x
k
2
,
k
2 tan x ,
x
k
,
k
2
k Z
2
1
3
4
3
0
3
余切正割余割的图象和性质
精心整理曹振卿
一、余切：
余切函数的性质
(1)、定义域：{x|x≠kπ，k∈Z}
(2)、值域：实数集R当x→2kπ时，y→∞；当x→(2k+1)π时，y→－∞；
(3)、奇偶性：奇函数，可由诱导公式cot(－x)=－cotx推出
图像关于原点对称，实际上所有的零点都是它的对称中心
(4)、周期性是周期函数，周期为kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期T=π；
(5)、单调性在每一个开区间（kπ，(k+1)π)，k∈Z上都是减函数，在整个定义域上不具有单调性。
(6)、对称性中心对称：关于点(kπ/2,0)k∈Z中心对称
二、正割余割：
精心整理
精心整理
粗线是正割函数，细线是余割函数
y=secx的性质：
(1)定义域,{x|x≠π/2+kπ,k∈Z}
(2)值域,｜secx｜≥1．即secx≥1或secx≤－1;
(3)y=secx是偶函数，即sec(－x)=secx．图像对称于y轴;
(4)y=secx是周期函数．周期为2kπ(k∈Z，且k≠0)，最小正周期T=2π．（5）正割与余弦互为倒数；余割与正弦互为倒数；
(6）正割函数无限趋于直线x=π/2+Kπ；
(7)正割函数是无界函数；
精心整理。
三角函数正切与余切的定义
三角函数正切与余切的定义三角函数是数学中非常重要的一类函数，其中正切函数和余切函数在解决三角形相关问题以及在物理、工程等领域中有广泛的应用。
在这篇文章中，我们将探讨正切和余切函数的定义及其性质。
一、正切函数的定义正切函数是指以单位圆上的一点为端点所得到的射线与x轴的正切值。
设角A为一个锐角，点P(x,y)为单位圆上的一点，其中点P与x轴的夹角为A。
则正切函数tanA定义为tanA=y/x。
在直角三角形中，角A的角度为θ，则tanθ可以表示为对边与邻边的比值，即tanθ=opposite/adjacent。
二、余切函数的定义余切函数是指以单位圆上的一点为端点所得到的射线与x轴的余切值。
同样设角A为一个锐角，点P(x,y)为单位圆上的一点，其中点P与x轴的夹角为A。
则余切函数cotA定义为cotA=x/y。
在直角三角形中，角A的角度为θ，则cotθ可以表示为邻边与对边的比值，即cotθ=adjacent/opposite。
三、正切和余切函数的性质1. 定义域和值域正切函数和余切函数的定义域为所有实数，除了使分母为零的点，因为在这些点上，函数无定义。
正切函数的值域为所有实数，而余切函数的值域也是所有实数。
正切函数和余切函数的值可以是正无穷、负无穷或任意实数。
2. 周期性正切函数和余切函数均具有周期性。
正切函数的周期为π，即tan(θ+π)=tanθ。
余切函数的周期也为π，即cot(θ+π)=cotθ。
3. 奇偶性正切函数是奇函数，即tan(-θ)=-tanθ，而余切函数是奇函数，即cot(-θ)=-cotθ。
这意味着对于正切函数和余切函数，如果角度取负，函数值的符号会改变。
4. 关系式正切函数和余切函数之间存在着一种关系，即tanθ=1/cotθ，cotθ=1/tanθ。
这可以通过函数定义推导得出。
5. 图像特点当角度增大时，正切函数和余切函数都会体现出图像上升或下降的趋势。
正切函数的图像曲线在每个周期内交替地上升和下降，且在θ=π/2的点上有一个正无穷的间断点。
正切函数和余切函数的图像和性质
正切函数和余切函数的图像和性质知识点：1.正切函数和余切函数的概念；2.正切函数与余切函数的图像和性质；3.正切函数与余切函数性质的应用；教学过程：1.正切函数和余切函数的概念：（1）正切函数---形如tan=的函数称为正切函数；y x余切函数--形如cot=的函数称为余切函数；y x2.函数的图像和性质：（1）正切函数的图像：见正切函数图像课件。
（2）正切函数图像：-（3）与切函数的图像：归纳填表格：例1.求下列函数的周期： （1）tan(3)3y x π=-+；（2）221tgxy tg x=+；（3）cot tan y x x =-；（4）22tan21tan 2xy x=-； （5）sin 1tan tan 2x y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭例2.求下列函数的单调区间： （1）tan(2)24y x π=++；（2）tan()123x y π=-+-；（3）12log cot y x ⎛= ⎝⎭ 例3.求下列函数的定义域：（1）tan 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）y =（3）y = 例4.（1）求函数21)tan tan ]y x x =-的定义域； （2）解不等式：23tan (2)(3tan(2)044x x ππ+-+≤例5.已知2tan tan y x a x =-，当1[0,],[0,]34x a π∈∈时，函数max y =a 的值；例6.已知函数tan ,(0,)2y x x π=∈，若1212,(0,),2x x x x π∈≠。
求证：1212()()()22f x f x x xf ++>。
高考数学知识点：正切、余切函数的图象与性质_知识点总结
高考数学知识点：正切、余切函数的图象与性质_知识点总结
高考数学知识点：正切、余切函数的图象与性质正切函数的图像：余切函数的图像：
正切函数的性质：
（1）定义域：；
（2）值域是R，在上面定义域上无最大值也无最小值；
（3）周期性：是周期函数且周期是π，它与直线y=a的两个相邻交点之间的距离是一个周期π；
（4）奇偶性：是奇函数，对称中心是（k∈Z），无对称轴；
（5）单调性：正切函数在开区间内都是增函数。
但要注意在整个定义域上不具有单调性。
余切函数的性质:
（1）定义域：x
（2）值域：实数集R；
（3）周期性：是周期函数，周期为kπ（k∈Z且k≠0），最小正周期T=π
（4）奇偶性：奇函数，图像关于（，0）（k∈z）对称，实际上所有的零点都是它的对称中心（5）单调性：在每一个开区间（kπ,课前预习，（k+1）π），（k∈Z）上都是减函数，在整个定义域上不具有单调性。
余割函数知识点归纳总结
余割函数知识点归纳总结余割函数（Cosecant function）是三角函数中的一种，有时也被称为正弦的倒数。
它在数学和物理等学科中有着重要的应用。
本文将对余割函数的定义、性质、图像以及常见的应用进行归纳总结。
一、定义余割函数的定义如下：csc(x) = 1/sin(x)其中，csc(x)表示x的余割值，sin(x)表示x的正弦值。
二、性质1. 定义域和值域：余割函数的定义域为除去正弦函数的零点的全体实数集合，即 D = R \ {kπ | k ∈ Z}；值域为实数集合，即 R。
2. 奇偶性：余割函数是奇函数，即满足 csc(-x) = -csc(x)。
3. 周期性：余割函数的周期是π的整数倍，即csc(x + kπ) = csc(x)，其中 k ∈Z。
4. 正负性：当正弦函数大于0时，余割函数大于0；当正弦函数小于0时，余割函数小于0。
5. 极值点：余割函数在定义域内不具有极值点。
6. 渐近线：余割函数与x轴交于无穷多个渐近线，即x = kπ，其中 k ∈ Z。
三、图像余割函数的图像表现出频繁的振荡特性，其图像如下所示：【插入余割函数图像】图中每个周期都表现为一个连续的曲线段，延伸到正无穷和负无穷。
与正弦函数类似，余割函数的图像也具有对称性。
四、常见应用1. 物理学中的应用：余割函数在声学、波动学等物理学领域中具有重要的应用，特别是在谐波和共振的研究中。
2. 数学题中的运用：在数学题目中，余割函数经常出现在三角方程的求解过程中，可以通过求解正弦函数的倒数来得到余割函数的值。
3. 数据分析与处理：余割函数也常常用于数据的分析与处理，特别是在周期性数据的振荡特征分析方面。
总结：本文对余割函数的定义、性质、图像以及常见的应用进行了归纳总结。
余割函数作为三角函数家族中的一员，具有独特的特性和广泛的应用领域。
通过了解和熟悉余割函数的知识点，我们可以更好地理解和应用于相关的数学和物理问题中。
数学余割函数公式定理知识点总结
f(x)=cscx=1/sinx
1、定义域：{x|x≠kπ，k∈Z}
2、值域：{y|y≤-1或y≥1}
3、奇偶性：奇函数
4、周期性：最小正周期为2π
5、图像：
图像渐近线为：x=kπ ，k∈Z
其实有一点需要注意，就是余割函数与正弦函数互为倒数。[数学余割函数公Fra bibliotek定理知识点总结]
对于任意一个实数x都对应着唯一的角弧度制中等于这个实数而这个角又对应着唯一确定的余割值cscx与它对应按照这个对应法则建立的函数称为余割函数
数学余割函数公式定理知识点总结
余割函数
对于任意一个实数x，都对应着唯一的角(弧度制中等于这个实数)，而这个角又对应着唯一确定的余割值cscx与它对应，按照这个对应法则建立的函数称为余割函数。
math 函数库的余切函数
math 函数库的余切函数余切函数是数学中常见的三角函数之一，常用于解决各种实际问题以及在数学推导和证明中的应用。
在数学函数库中，余切函数常被表示为tan(x)或ctg(x)两种形式。
余切函数的定义如下：余切函数是正切函数的倒数。
在右边的直角三角形中，余切函数定义为直角边的长除以相邻直角边的长。
可以用如下公式表示：cot(x) = 1/tan(x)其中cot(x)表示x的余切值，tan(x)表示x的正切值。
在数学中，余切函数常被用于解决各种实际问题，包括物理、工程、计算机科学和经济等领域。
下面我们将介绍余切函数在这些领域中的应用。
在物理学中，余切函数常用于计算角度、速度和加速度等物理量之间的关系。
特别是在电工和电子工程中，余切函数被广泛应用于计算交流电路中的电流、电压和功率等参数。
余切函数的高级应用包括计算电路中的相位差、阻抗和反射系数等问题。
在工程中，余切函数被用于计算力、压力和扭矩等问题。
例如，在机械工程中，余切函数可以帮助工程师计算材料的强度和刚度，以便设计出更安全和可靠的机械结构。
在土木工程中，余切函数常被用于计算结构的稳定性和变形性能。
在计算机科学领域，余切函数被广泛应用于图形学和计算机视觉等方面。
例如，在计算机图形学中，余切函数可用于计算三维物体的旋转、平移和缩放变换。
在计算机视觉中，余切函数可以用于计算图像中的角度和位置信息。
在经济学中，余切函数被用于计算利率、回报率和贝叶斯估计等问题。
特别是在金融学中，余切函数可以帮助分析投资组合的回报率和风险。
此外，余切函数还可以用于计算供需关系、价格弹性和市场规模等经济指标。
除了上述领域之外，余切函数还在数学建模和数值计算等方面发挥着重要作用。
例如，在数学建模中，余切函数可以用于描述物体的周期性运动和振动。
在数值计算中，余切函数常被用于解决非线性方程和微分方程等数值问题。
总之，余切函数在数学中扮演着重要的角色，并在各个领域中得到广泛的应用。
无论是解决实际问题还是进行数学推导，了解和掌握余切函数的性质和应用都对我们的学习和研究具有重要意义。
初中数学余切函数基础公式定理
初中数学余切函数的基础公式定理余切函数和正切函数是一对相反的概念，虽说同为三角函数的范畴，其性质就差别很大。
余切函数对于任意一个实数x，都对应着唯一的角(弧度制中等于这个实数)，而这个角又对应着唯一确定的余切值cotx与它对应，按照这个对应法则建立的函数称为余切函数。
形式是f(x)=cotx余切函数的图像在平面直角坐标系中，函数y=cotx的图像叫做余切曲线。
具体图像如附图示，它是由相互平行的x=kπ(k∈Z)直线隔开的无穷多支曲线所组成的。
通过把正切函数图像向左平移π/2，然后把该图像绕x=(2k+1)π/2旋转 180度就可以得到余切函数的图像，也就是说cotx=tan(-x+π/2)，性质和正切函数的性质基本一样。
其实我们也可以利用三角比来可定义余切函数。
初中数学正方形定理公式关于正方形定理公式的内容精讲知识，希望同学们很好的掌握下面的内容。
正方形定理公式正方形的特征：①正方形的四边相等；②正方形的四个角都是直角；③正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；正方形的判定：①有一个角是直角的菱形是正方形；②有一组邻边相等的矩形是正方形。
希望上面对正方形定理公式知识的讲解学习，同学们都能很好的掌握，相信同学们会取得很好的成绩的哦。
初中数学平行四边形定理公式同学们认真学习，下面是老师对数学中平行四边形定理公式的内容讲解。
平行四边形平行四边形的性质：①平行四边形的对边相等；②平行四边形的对角相等；③平行四边形的对角线互相平分；平行四边形的判定：①两组对角分别相等的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③对角线互相平分的四边形是平行四边形；④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
上面对数学中平行四边形定理公式知识的讲解学习，同学们都能很好的掌握了吧，相信同学们会从中学习的更好的哦。
初中数学直角三角形定理公式下面是对直角三角形定理公式的内容讲解，希望给同学们的学习很好的帮助。
余切三角函数
余切三角函数
零、引子
余切三角函数是数学中重要的一支，它的应用既可以满足数学分析的需要，也可以解决复杂的实际问题，对学习者来说也有多方面的作用，特别对于学习者熟悉它的形式组成和一般特性有莫大裨益。
一、定义
余切三角函数定义了曲线y=tanx，x取自实数集，该曲线在数学上属于正切曲线，它以点（π/2,∞）和（3π/2，-∞）为极点，以（0，0）及极点为轴，范围为无
穷大。
余切三角函数可以表征如何将角度与相应的正切值相关联，涉猎几何、物理、工程等学科中的有关三角形的各项应用，也可用于求解积分、分析等复杂的数学公式。
二、性质
余切三角函数的性质是比较多的，最具代表性的两个性质是：①其每一个周期值的图像的比值都一样；②它的值在0度到90度的区间中是一个不断增加的函数；其
次还有余弦、正弦与余切函数之间的关系等很多有趣的性质，熟练掌握这些性质会帮助学习者在更深入地理解相关问题下找出解决方案。
三、实用
余切三角函数可以广泛应用于各种领域，特别是现代电子技术的发展，应用范围更是扩大，对学习者来说，也可以在一定程度上影响自身的能力提升。
从宏观上来看，余切三角函数在各种实际问题中扮演着重要的角色，特别是在科学技术及工程技术等方面，可以说是必不可少的数学基础知识。
综上所述，余切三角函数是多个数学领域相关计算和分析工作中再也不可缺少
的了，在学习和研究方面拥有多个实用性、创新性的特点，此外，它也可以成为解决实际问题的利器，是值得学习者深入研究的精彩课题。
【初中数学】初中数学余切函数公式定理大全
【初中数学】初中数学余切函数公式定理大全
【—余切函数公式定理】余切函数的性质和正切函数的性质基本一样，其中个别的差
别希望同学们自己发现了。
余切函数
对于任意一个实数x，都对应着唯一的角(弧度制中等于这个实数)，而这个角又对应
着唯一确定的余切值cotx与它对应，按照这个对应法则建立的函数称为余切函数。
形式为f（x）=Cotx
余切函数的图像
在平面直角坐标系中，函数y=Cotx的图像称为余切曲线。
具体图像如附图示，它是由相互平行的x=kπ(k∈z)直线隔开的无穷多支曲线所组成的。
通过将切函数图像平移到左π/2，然后将图像围绕x=（2k+1）π/2旋转180度，我
们可以得到Cotx=Tan（-x+π/2）的图像，这与切函数的性质基本相同。
利用三角比也可定义余切函数y=cotx=x/y
余切函数的性质
(1)、定义域：{xx≠kπ，k∈z}
(2) . 值范围：实数集R
(3)、奇偶性：奇函数，
它可以从诱导公式cot（-x）=-Cotx中推导出来
图像关于(kπ/2,0)k∈z对称，实际上所有的零点都是它的对称中心
(4) . 周期性
是周期函数，周期为kπ(k∈z且k≠0)，最小正周期t=π;
（5）单调性
在每一个开区间(kπ，(k+1)π)，k∈z上都是减函数，在整个定义域上不具有单调性。
（6）对称性
中心对称：关于点(kπ/2,0)k∈z中心对称
余切函数的图像问题往往作为一个测试点出现。
我希望你能认真对待。
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正切、余切函数的图象和性质教学目的：（略）教学过程择录：一、引题：师：对比上一节的习题，请同学们看一看自己的作业本，对正弦和余弦函数，在作业中，我们已涉及了多少类型的问题？生众：P159（11）正弦，余弦函数的定义域：P158（3）正弦，余弦函数的最值（值域）：P158（6）正弦，余弦函数的奇偶性P159（8）正弦，余弦函数的单调性P159（7）正弦，余弦函数的应用一-----比大小P158（4）正弦，余弦函数的周期（最小正周期）P159（12）正弦，余弦函数的图象P160（16、17）正弦，余弦函数性质的应用教师在黑板上书写：（1）定义域（2）值域（3）奇偶性（4）单调性（5）比大小（6）求最小正周期（7）作图（8）应用教师：今天我们来学习正切、余切函数的图象和性质，可以想一想，我们要觖决什么问题？生众：不就是上面这几点问题吗？教师：说的不错，我们就是要来解决把“正弦、余弦函数”换成“正切、余切函数”后（1）~（7）后面加一个“是什么？”这样一些问题。
请同学们带的这些问题看书5分钟（P153~P157）。
[评述]：这里是通过作业小结的方式引入问题。
学生常常是很肓目的做作业，很少观察作业所涉及的问题类型和范围。
教师有意识地引导学生作这种观察，既培养了学生看课本的习惯，又自然引出了今天的课题和要探索解决的问题。
二、学生自己回顾性设问，（自问自答）5分钟以后：学生阅读完毕，教师指导第一组学生（7人）为相邻的同桌的同学（第二组学生）就前面七个方向提一个有关正、余切函数性质的问题，要求是后面的同学不要提前面已经提到过的问题，并请同桌同学（起立）对着大家回答。
做完后，问、答的两组学生角色交换。
其它组的同学一边听，一边作判断，对的放过，不对时请同一行的同学予以更正：生1：正切函数的定义域是什么？邻生答：除了，k∈Z外的全体实数。
生2：正切函数的值域是整个y轴吗？邻生改正：应说成是全体实数生3：………生10：学过四种三角函数都是奇数吗？都是增函数吗？邻生答：不对，反例是余弦函数）生11：正切函数是它定义域上的增函数吗？（好问题！）邻生答：是，其它学生更正：不是。
教师追问理由………生12：正切函数是一个周期为2的函数吗？（含义不清的问题）邻生回答：准确地说正切函数是最小正周期为的周期函数。
生13：余切函数也是一个以2为周期的周期函数，这个说法对吗？邻生：不对，另外的学生答：对，……… 学生即席讨论………。
生14：怎样由y=tgx的图象得到y=ctgx的图象？（好问题），邻生答：可以先把y=tgx的图象以x 轴为轴，翻转180度，再向右平移。
另一个邻座同学：也可以先把y=tgx的图象以y轴为轴，翻转180度，再向右平移。
教师插说：我怎么不懂了？为什么把y=tgx的图象以x轴为轴，翻转180度和把y=tgx的图象以y轴为轴，翻转180度的效果一样？…学生讨论得到：因为y=tgx是奇函数，f(-x)=-f(x)。
教师又插说：非要先翻转后平移吗？…学生讨论略。
[评论]学生自己设计问题，自问他答，其它学生协助判定是否正确，可以在很大程度上调动学生自己学习的主动性。
但问题的难易控制有一定难度，先问的人设计问题相对容易些，可以用往复问答的方式来解决（第一个提问的学生将回答最后一个问题）。
邻座的学生作答，同一横行同学做答的是非判定，这样做目的是让反馈的更快、更广些。
从学生问答情况看，基本达到了目的。
三、自己提出问题，设计问题，当堂练习，自己作评价。
师：下面请第3组同学为大家设计一组课堂练习（2分钟）可以讨论。
要求是七个方面都要覆盖。
（七人上黑板，学生之间有交流，组长分配协调一人一个题，不使重复，2分钟后题目完成）请第四组同学上黑板解：其它同学在下面解。
再请第5组同学：评价题目和解法的长短。
请第6组同学对应设计课后作业（C组题）。
请第7组同学：作全课的小结（谈自己认为感觉最深几点）[评述]活动覆盖面大，学生在教师控制的“方向”上直接参与练习设计，求解，并且加入练习题设计及解法的评价和全课小结，目的是让学生学会“品题”，“品课”，这本身是对学生掌握学法的一种引导，对培养学生的自学能力十分重要。
第3组学生上黑板设计的题目：（1）求函数的定义域。
（2）求函数的值域。
（3）比较和的大小。
（4）函数最小正周期是什么？（5）求出的单调增区间。
（6）作出函数的图象，并说明它是由y=tgx经过怎样的变换得到的。
（7）讨论下面函数的奇偶性和最小周期：，y=tg (mx+n)+b学生D组7人上黑板解题。
：求解过程及改错讨论略。
学生E组评价：首先对D组的解答做出评判（略）学生15：我觉得（3）设计的好，它要求先用诱导公式转化成同名函数再比大小。
学生16：我先纠正解答中的错误，原解认为最小正周期是，这是一个明显的错误，因为它不是正数。
我觉得（4）设计的目的就是要考查最小正周期的表达式中绝对值这一个最容易被忽略的地方。
我认为此题设计的很好。
学生17：我觉得（5）设计的不很好，原因是，对数后面根号似乎多余，因为对数对真数的要求和算术根大体一致。
又复合函数的内、外层函数y=lgt, 都是增函数，再讨论递增区间，显得“挖潜”不够，不如将y=lgt或换成某种减函数如。
这样可以考察到更多的复合函数单调性的知识。
……[评述]：这里有一个集体协作的场景，组长“派”任务和个人主动抢任务结合，学困生强以优先，各尽其能，各显所长。
教师可以在旁边观察、欣赏、记录。
作出鼓励或引导性的“旁白”。
第七组的两个代表，上来做了全课的总结：学生17：今天我们学习了正切、余切、函数的性质，我觉得比较重要的是要把握函数的性质，就要去研究什么东西？这里面主要是定义域，值域单调性、奇偶性、周期性，和由此得到的函数的图象。
对于正、余切函数的性质我觉得通过它们的图象去记忆，去理解是最容易的。
只要记住函数的基本图象，我们就可以说出相应的性质。
简单地说可以从图象直观走向看增减性、是否对称看奇偶性、是否可重复看周期性………。
学生18：我觉得应该补充的是：学习相关、相似知识时应抓住区别。
“切”函数相对于与“弦”函数的区别在于：无最值，定义域“断续”，周期“变短”，增减性变“单纯”。
从我们的解决过问题看，用到最多的是转化的思想：即把一个对复合函数性质的讨论转化为对最基本的三角函数的性质的应用。
如：求定义域，就是利用基本余切函数y=ctgt的定义域是t≠k，k∈z，再把看成一个整体。
令从而解决问题。
所以抓住最基本的函数的性质是解决问题的根本。
教师：大家谈的都很好，特别是评价组的同学不仅做出题目，还能“品出”出题者的本意，小结做的也很好。
我请大家注意这节课的过程实际上给了我们学习新内容的一种宏观的程序：温故（相关知识准备）→新的学习对象与旧知识的联系→类比提问、差异思考发现问题和学习目标→找出规律，解决问题→应用成果，练习巩固（发散）→归纳收缩（小结）。
这里的程序还没有完，还有一段是：→进一步的发散思考，探索新的问题和规律。
这部分内容常常是在课外进行的。
记得最后一位同学的小结中提到的“根本”是基本函数的基本性质，这真的是很“根本”，因为我们今天所解决的问题都被化归到这个地方。
[评述]：学生的小结和评价不一定很完整、全面，可以一人一点，互相补充。
即使有错误，教师也不要急于纠正。
最引导学生自己发现、纠正。
也可以让其它学生来补充更正。
教师的评价应是激励性的。
另外应引导学生注意学法，特别是对高一的学生。
作业：A 组：P157~158（练习）（直接勾画在书上）B组：P161、18、20、21、22、23C组：请第六组同学上黑板布置（1）求函数y=tgx+cos2x和y=tgx-ctgx最小正周期。
（2）作出y=tgx·ctgx的图象。
（3）讨论y=atg(mx+n)+b (a>0，m≠0) 的性质，及各个文字对函数图象的影响。
（4）讨论讨论函数y=sin9(cos7(tg5(ctg3x)))的单调递减区间。
教师补充：（5）当较小时，如0<x<5°在一个有函数功能的计算器中，键入tgx 和sinx，比较显示的结果，看看有什么发现？在力学题的考试中，有时常要计算小角度的正弦或正切值，在不让使用计算器的和不能查表的情况下，你有什么补救办法？[评述]：A、B是基本要求，C组作为选做或探索题。
让学生设计C组题也是为了调动学生自主学习的积极性，因为学生更乐于解决自己的问题。
如C组题的（1）（2）设计的就不错。
比如：（1）y=tgx-ctgx中的最小正周期不是，而是。
这就需要借助于切割弦把它化成-ctg2x来发现。
（2）可以看出学生试图将结果一般化，虽有一定困难，但值得鼓励提倡。
有时也会出“问题”。
如（3）的设计意图很好，综合应用的意识特别强。
可以看出的学生的设计意图是把已学过的几种函数的性质“综合”应用到一起，出这道题的学生平时能力强、反应快，但有重难题，忽视基本的倾向。
我看到这题在没有反三角函数知识的情况下，求解、表达都有困难，已超出学生现有的水平，提出大家可以先思考而让设计提出该问题的同学下次介绍他的解法。
在下次课上这位同学说他出题时考虑不够，出完题没想解题时候的困难，定义域不好描述，单调区间写出有困难。
我先肯定了这位同学的出题意图，然后说实际问题有可能是这样的。
我们在第一轮学习时应注意基本。
就这道题来说，将来学习反三角函数知识再解可能更容易一些，另一个办法是用计算机（mathcad）软件，可以作出图象如下，从而可以分区间得到近似解。
x=1，1.0001---1.005f(x)=sin(9cos(7tg(5ctg(3x)))这样做的目的是既给出激励性`的评价，又通过问题中暴露的困难激发进一步学习的动力。
应该承认这样做是有一定风险的，学生出的题目也会常常使教师陷入窘境，但师生在同一个起点去思考，去碰壁，去绕岩避礁，长使教师与学生都能得到更多的收获。
许多思考的技巧和解决问题的策略都是在这样的交流中，无形的被激发、转化、吸收。