椭圆的参数方程中参数的几何意义
椭圆的参数方程
椭圆的参数方程目标：1.了解椭圆的参数方程及参数的意义，并能利用参数方程来求最值、轨迹问题；2.通过椭圆参数方程的推导过程，培养学生数形结合思想，化归思想，以及分析问题和解决问题的能力。
3.通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
重点：椭圆的参数方程。
难点：椭圆参数方程中参数的理解.复习1.椭圆的标准方程：焦点在x轴上的椭圆的标准方程：22221(0) x ya ba b+=>>焦点在y轴上的椭圆的标准方程：22221(0) y xa ba b+=>>2.椭圆的几何性质范围：在矩形内对称性：对称轴和对称中心离心率：e越接近0，椭圆越圆准线：椭圆的第二定义椭圆参数方程的推导1. 焦点在x轴上的椭圆的参数方程因为22()()1x ya b +=，又22cos sin 1ϕϕ+= 设cos ,sin x ya b ϕϕ==，即a cos y bsin x ϕϕ=⎧⎨=⎩，这是中心在原点O,焦点在x 轴上的椭圆的参数方程。
2.参数ϕ的几何意义问题、如下图，以原点O 为圆心，分别以a ，b （a ＞b ＞0）为半径作两个圆。
设A 为大圆上的任意一点，连接OA,与小圆交于点B 。
过点A 作AN ⊥ox ，垂足为N ，过点B 作BM ⊥AN ，垂足为M ，求当半径OA 绕点O 旋转时点M 的轨迹参数方程.设以Ox 为始边，OA 为终边的角为ϕ，点M 的坐标是(x, y)。
那么点A 的横坐标为x ，点B 的纵坐标为y 。
由于点A,B 均在角ϕ的终边上，由三角函数的定义有||cos cos x OA a ϕϕ==， ||sin cos y OB b ϕϕ==。
当半径OA 绕点O 旋转一周时，就得到了点M 的轨迹，它的参数方程是这是中心在原点O,焦点在x 轴上的椭圆的参数方程。
在椭圆的参数方程中，通常规定参数ϕ的范围为[0,2)ϕπ∈。
思考：椭圆的参数方程中参数ϕ的意义与圆的参数方程r cos y rsin x θθ=⎧⎨=⎩()θ为参数中参数θ的意义类似吗？由图可以看出，参数ϕ是点M 所对应的圆的半径OA （或OB ）的旋转角（称为点M 的离心角），不是OM 的旋转角。
椭圆的参数方程中参数的几何意义
椭圆的参数方程中参数的几何意义椭圆的参数方程中参数的几何意义是指，椭圆的参数方程为x=a cos t，y=b sin t，其中a和b均为正数， t为参数。
其中，参数t 代表椭圆上的点与椭圆圆心所连直线的倾角，即t是一条从圆心出发的射线与x轴的夹角。
a表示椭圆主轴的长度，b表示椭圆次轴的长度，其中a和b的比值称为离心率，离心率越小，椭圆越趋向于圆形；离心率越大，椭圆形状越扁平。
椭圆的边界由椭圆轮廓上的所有点组成，这些点在参数方程中用参数t表示。
通过改变参数t的值，可以得到椭圆轮廓上的所有点，从而确定整个椭圆的形状和大小。
因此，椭圆的参数方程中的参数t、a、b以及离心率，都代表了椭圆的重要几何特征，可以用于描述、计算和绘制椭圆的形状。
圆和椭圆的参数方程
圆和椭圆的参数方程知识点：1.圆的参数方程圆222r y x =+参数方程⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x （θ为参数）说明：（1）参数θ的几何意义是OM 与x 轴正方向的夹角，如下图：（2）随着选取的参数不同，参数方程形式也有不同，但表示的曲线是相同的。
（3）在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。
（2）圆222()()x a y b r -+-=的常用参数方程为：cos ,[0,2π)sin x a r y b r θθθ=+⎧∈⎨=+⎩为参数.2.椭圆的参数方程（1）设点M 的坐标(x,y)，ϕ是以Ox 为始边，OA 为终边的正角，取ϕ为参数，那么 x=ON=|OA|cos ϕ， y=NM=|OB|sin ϕ 即⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x ①，引为点M 的轨迹参数方程，ϕ为参数。
（2）椭圆的参数方程也可由12222=+b y a x （a>b>0）三角换元直接得出，即令ϕcos =a x，ϕsin =by。
（3）椭圆参数方程⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x （ϕ为参数），参数有明显几何意义，但是离心角ϕ与∠MOX 一般不同。
一、圆的参数方程的应用①距离和最值问题（22）（2017广州一测理）在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数.在以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴的极坐标系中, 曲线 (Ⅰ) 求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程; (Ⅱ) 求曲线上的点到直线的距离的最大值.解： (Ⅰ) 由消去得,所以直线的普通方程为. 由,得.将代入上式,得曲线的直角坐标方程为, 即.(Ⅱ) 法1:设曲线上的点为,则点到直线的距离为xOy l 3,(1,=-⎧⎨=+⎩x t t y t )x :.4⎛⎫=- ⎪⎝⎭πρθC l C C l 3,1,=-⎧⎨=+⎩x t y t t 40+-=x y l 40+-=x y 4⎛⎫=-⎪⎝⎭πρθcos cos sin sin 2cos 2sin 44⎫=+=+⎪⎭ππθθθθ22cos 2sin =+ρρθρθ222,cos ,sin =+==ρρθρθx y x y C 2222+=+x y x y ()()22112-+-=x y C ()1,1ααP P l =d =当时, , 所以曲线上的点到直线的距离的最大值为法2: 设与直线平行的直线为, 当直线与圆相切时,解得或(舍去),所以直线的方程为. 所以直线与直线的距离为所以曲线上的点到直线的距离的最大值为2/.圆()()22124x y -++=上的点到直线210x y -+=的最短距离是_______.4．若实数,x y 满足22240x y x y +-+=，则2x y -的最大值为 .22222.(1,0),(1,0)(3)(4)4.A B x y P PA PB P --+-=+（三星）平面上两点，在圆上取一点，求使取得最小值时点的坐标备注：注意P 点的坐标的求法，三角函数问题=sin 14⎛⎫+=- ⎪⎝⎭παmax =d C l l :0l x y b '++=l 'C =0b =4b =-l '0x y +=l l 'd ==C l2223.5,4,3.ABC AB BC AC P ABC PA PB PC ∆===∆++（三星）已知的三边长，点是内切圆上一点，求的最小值与最大值备注：也可以用三角函数来做②参数的几何意义2. （二星）（2014年高考新课标Ⅱ）在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（1）求C 的参数方程；（2）设点D 在C 上，C 在D处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标. 备注：参数方程的应用解：（1）C 的普通方程为22(1)1(01)x y y -+=≤≤可得C 的参数方程为1cos sin x ty t =+⎧⎨=⎩（t 为参数，0t π≤≤）（2）设(1c o s ,s i n )D t t+由（Ⅰ）知C 是以(1,0)G 为圆心，1为半径的上半圆，因为C在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l的斜率相同。
椭圆方程及几何性质
参数θ表示椭圆上的点与椭圆中心的角度，通过改变θ的值，可以描述椭圆上点的运动 轨迹。
参数方程的应用和几何意义
应用
参数方程在数学、物理、工程等多个领 域都有广泛应用，特别是在处理复杂的 几何形状和运动轨迹时，参数方程能够 提供更直观和简洁的表示方法。
VS
几何意义
参数方程的几何意义在于将曲线上点的坐 标表示为参数的变化，从而将曲线的几何 性质转化为参数的变化性质，有助于深入 理解曲线的几何特性。
椭圆的顶点和焦点
定义
椭圆的顶点是椭圆与坐标 轴的交点，焦点是用于确 定椭圆位置的两个点。
解释
顶点位于边界线上，而焦 点位于椭圆内部。
应用
利用椭圆的顶点和焦点可 以确定椭圆的位置和大小。
03
椭圆的几何性质
椭圆的直径和弦
直径
连接椭圆上任意两点的线段被称为直 径，其长度等于椭圆的长轴或短轴。
弦
通过椭圆中心的线段与椭圆的交点形 成的线段被称为弦。
04
椭圆的极坐标表示
极坐标与直角坐标的转换
极坐标与直角坐标的转换公式：$x = rhocostheta, y = rhosintheta$，其 中$rho$为极径，$theta$为极角。
通过转换公式，可以将椭圆的直角坐 标方程转化为极坐标方程，便于理解 和分析。
椭圆的极坐标方程
椭圆的极坐标方程为 $frac{rho^2cos^2theta}{a^2} + frac{rho^2sin^2theta}{b^2} = 1$， 其中$a$和$b$分别为椭圆的长半轴和 短半轴。
椭圆的焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于常数，这个常 数等于两个半轴长度之和，即 $a + b$。
2.3 椭圆的参数方程
2.3 椭圆的参数方程 2.4 双曲线的参数方程1.椭圆的参数方程(1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)，参数的几何意义是以a为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与x 轴正半轴的夹角. (2)中心在C (x 0，y 0)的椭圆的参数方程是⎩⎨⎧x ＝x 0＋a cos φ，y ＝y 0＋b sin φ(φ为参数).2.双曲线的参数方程中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b tan φ(φ为参数)，规定φ的取值范围为φ∈[0，2π)且φ≠π2，φ≠32π. 【思维导图】【知能要点】 1.椭圆的参数方程. 2.双曲线的参数方程.题型一 椭圆的参数方程1.和圆的参数方程⎩⎨⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ中的参数θ是半径OM 的旋转角不同，椭圆参数方程⎩⎨⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ中的参数φ是椭圆上点M 的离心角.2.椭圆（x －m ）2a 2＋（y －n ）2b 2＝1 (a >b >0)的参数方程为⎩⎨⎧x ＝m ＋a cos φ，y ＝n ＋b sin φ(φ为参数).【例1】 已知A 、B 分别是椭圆x 236＋y 29＝1的右顶点和上顶点，动点C 在该椭圆上运动，求△ABC 的重心G 的轨迹的普通方程.解 由动点C 在该椭圆上运动，故据此可设点C 的坐标为(6cos θ，3sin θ)，点G 的坐标为(x ，y )，则由题意可知点A (6，0)，B (0，3). 由重心坐标公式可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋0＋6cos θ3＝2＋2cos θ，y ＝0＋3＋3sin θ3＝1＋sin θ. 由此消去θ得到（x －2）24＋(y －1)2＝1即为所求.【反思感悟】 本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性.运用参数方程显得很简单，运算更简便.1.设F 1、F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)的左、右焦点.(1)若椭圆C 上的点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32到F 1、F 2距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标；(2)设P 是(1)中椭圆上的动点，求线段F 1P 的中点的轨迹方程. 解 (1)由椭圆上点A 到F 1、F 2的距离之和是4， 得2a ＝4，即a ＝2. 又点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆上，因此14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322b 2＝1，得b 2＝3， 于是c 2＝a 2－b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1， 焦点坐标为F 1(－1，0)，F 2(1，0).(2)设椭圆C 上的动点P 的坐标为(2cos θ，3sin θ)， 线段F 1P 的中点坐标为(x ，y )， 则x ＝2cos θ－12，y ＝3sin θ＋02，所以x ＋12＝cos θ，2y3＝sin θ.消去θ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋4y23＝1，这就是线段F 1P 的中点的轨迹方程.题型二 双曲线的参数方程与椭圆类似，双曲线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b tan φ (φ为参数)中φ的几何意义也是双曲线上一点M 的离心角.【例2】 直线AB 过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的中心O ，与双曲线交于A ，B 两点，P 是双曲线上的任意一点.求证：直线P A ，PB 的斜率的乘积为定值. 证明 如图所示，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a cos α，b tan α，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a cos θ，b tan θ.∵AB 过原点O ，∴A ，B 的坐标关于原点对称， 于是有B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a cos θ，－b tan θ，从而：k P A ·k PB ＝b （tan α－tan θ）a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1cos α－1cos θ·b （tan α＋tan θ）a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1cos α＋1cos θ ＝b 2（tan 2 α－tan 2 θ）a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1cos 2 α－1cos 2 θ＝b 2a 2为定值. 【反思感悟】 本例的求解充分利用了双曲线的参数方程.一般地，当与二次曲线上的动点有关时，可将动点用参数形式表示，从而将x，y 都表示为某角θ的函数，运用三角知识求解，可大大减少运算量，收到事半功倍的效果.2.如图所示，设M 为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b ＞0)上任意一点，O 为原点，过点M作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于A ，B 两点.探求平行四边形MAOB 的面积，由此可以发现什么结论？解 双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x . 不妨设M 为双曲线右支上一点，其坐标为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a cos φ，b tan φ，则直线MA 的方程为 y －b tan φ＝－b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a cos φ.①将y ＝ba x 代入①，解得点A 的横坐标为 x A ＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1cos φ－tan φ.同理可得，点B 的横坐标为x B ＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1cos φ－tan φ.设∠AOx ＝a ，则tan α＝ba .所以，▱MAOB 的面积为S ▱MAOB ＝|OA |·|OB |sin 2α ＝x A cos α·x B cos α·sin 2α ＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1cos 2φ－tan 2φ4cos 2α·sin 2α ＝a 22·tan α＝a 22·b a ＝ab 2.由此可见，平行四边形MAOB 的面积恒为定值，与点M 在双曲线上的位置无关.题型三 参数方程的应用若曲线的参数方程⎩⎨⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数)，由于y x ＝1t ，因此t 的几何意义是曲线上的点(除顶点外)与曲线的顶点连线的斜率的倒数.【例3】 设飞机以匀速v ＝150 m/s 做水平飞行，若在飞行高度h ＝588 m 处投弹(假设炸弹的初速度等于飞机的速度). (1)求炸弹离开飞机后的轨迹方程；(2)试问飞机在离目标多远(水平距离)处投弹才能命中目标.分析 这是物理学中的平抛运动，选择合理的参变量将炸弹(看作质点)的水平方向和竖直方向的运动表示出来.解 (1)如图所示，A 为投弹点，坐标为(0，588)，B 为目标，坐标为(x 0，0).记炸弹飞行的时间为t ，在A 点t ＝0.设M (x ，y )为飞行曲线上的任一点，它对应时刻t ，炸弹初速度v 0＝150 m/s ，用物理学知识，分别计算水平、竖直方向的路程，得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝v 0t ，y ＝588－12gt 2 (g ＝9.8 m/s 2)，即⎩⎨⎧x ＝150t ，y ＝588－4.9t 2， 这是炸弹飞行曲线的参数方程.(2)炸弹飞行到地面目标B 处的时间t 0满足方程y ＝0， 即588－4.9t 2＝0，解得t 0＝230.由此得x 0＝150×230＝30030≈1 643 (m).即飞机在离目标约1 643 m(水平距离)处投弹才能击中目标.【反思感悟】 准确把握题意，分析物理学中运动过程，选择适当的坐标系及变量，将物理问题转化为数学问题.利用抛物线的参数方程解决.3.青海省玉树县发生7.1级地震，灾区人民的安危牵动着全国人民的心，一批批救援物资源源不断地运往灾区.现在一架救援飞机在离灾区地面593 m 高处以150 m/s 的速度作水平飞行.为使投放救援物资准确落于灾区某指定的地点(不记空气阻力)，飞行员应如何确定投放时机呢？解 如图所示，物资投出机舱后，设在时刻t 的水平位移为x ，垂直距离为y ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝150t ，y ＝593－12gt 2(g ＝9.8 m/s 2). 令y ＝0，得t ≈11 s ，代入x ＝150 t ，得x ≈1 650 m.所以，飞行员在离救援点的水平距离约1 650米时开始投放物资，可使其准确落在指定位置.1.已知实数x ，y 满足x 225＋y 216＝1，求目标函数z ＝x －2y 的最大值与最小值.解 椭圆x 225＋y 216＝1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝5cos φ，y ＝4sin φ(φ为参数).代入目标函数得z ＝5cos φ－8sin φ＝52＋82cos(φ＋φ0)＝89cos(φ＋φ0)(tan φ0＝85).所以目标函数z min ＝－89，z max ＝89.2.点P 在椭圆x 216＋y 29＝1上，求点P 到直线3x －4y ＝24的最大距离和最小距离. 解 设P (4cos θ，3sin θ)， 则d ＝|12cos θ－12sin θ－24|5.即d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪122cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－245，当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－1时，d max ＝125(2＋2)；当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1时，d min ＝125(2－2).3.已知弹道曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝20t cos π6，y ＝20t sin π6－12gt 2(g ＝9.8 m/s 2)(1)求炮弹从发射到落地所需的时间； (2)求炮弹在运动中达到的最大高度. 解 (1)令y ＝20t sin π6－12gt 2＝0， 即4.9t 2－10t ＝0. 解得t ＝0或t ≈2.所以炮弹从发射到落地所需时间约为2秒. (2)由y ＝10t －4.9t 2，得y ＝－4.9⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2－10049t ＝－4.9⎝ ⎛⎭⎪⎫t －50492＋25049.所以当t ＝5049时，y max ＝25049≈5.1.所以炮弹在运动中达到的最大高度为5.1米.4.已知双曲线方程为x 2－y 2＝1，M 为双曲线上任意一点，M 点到两条渐近线的距离分别为d 1和d 2，求证：d 1与d 2的乘积是常数.证明 设d 1为M 点到渐近线y ＝x 的距离，d 2为M 点到渐近线y ＝－x 的距离， 因为M 点在双曲线x 2－y 2＝1上，则可设M 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1cos α，tan α.d 1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1cos α－tan α2，d 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1cos α＋tan α2，d 1·d 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1cos 2α－tan 2α2＝12，故d 1与d 2的乘积是常数.[P 36思考交流] 参照求圆的参数方程 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝（1－k 2）r1＋k 2，y ＝2kr 1＋k 2(k 为参数)的方法，给出椭圆另一种形式的参数方程(如图).答 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1其中a ＞b ＞0，则点A 的坐标为(－a ，0)，设AP 的斜率为k .直线AP 的方程为y ＝k (x ＋a )由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋a ），x 2a 2＋y 2b2＝1，可得直线AP 与椭圆的交点的横坐标，x 1＝－a ，x 2＝ab 2－a 3k 2b 2＋a 2k 2. 直线AP 与椭圆交点的纵坐标为y 1＝0，y 2＝2ab 2k b 2＋a 2k 2即点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫ab 2－a 3k2b 2＋a 2k2，2ab 2k b 2＋a 2k 2. ∵点P 是椭圆任意的不同于A 的点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ab 2－a 3k 2b 2＋a 2k 2，y ＝2ab 2k b 2＋a 2k 2(k 为参数)，上面参数方程即为椭圆的另一种形式的参数方程.其中参数k 表示直线AP 的斜率.也由此可以看出，由于参数的选取不同，参数方程也不同. [P 37思考交流]1.双曲线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b tan φ中，参数的几何意义是什么？ 答 参数的几何意义是以原点为圆心，a 为半径的圆的半径的旋转角.2.试求双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的参数方程. 答 如图：分别以a ，b 为半径，原点为圆心作同心圆. 设OA ＝a ，OB ＝b ，A 为圆上任一点.∠AOx ＝φ(参数)，B 为圆与y 轴的交点，过B 作平行于x 轴的直线交OA 的延长线于B 1点，在Rt △OBB 1中，∠BB 1O ＝φ，BB 1＝b tan φ.过A 的切线交y 轴于A 1点，A 1P ⊥y 轴，A 1P ⊥B 1P . 设点P 的坐标为(x ，y )，在Rt △OAA 1中，∠OA 1A ＝φ，OA ＝a ，OA 1＝asin φ. x ＝BB 1＝b tan φ，y ＝OA 1＝asin φ. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝b tan φ，y ＝a sin φ(其中φ为参数)，∴y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝b tan φ，y ＝asin φ(φ为参数).3.试求抛物线y 2＝2px (p ＞0)的参数方程.(1)以抛物线上一点(x ，y )与其顶点连线斜率的倒数t 为参数. (2)以抛物线上任意一点(x ，y )的纵坐标y 0为参数. 答 (1)抛物线y 2＝2px ，p 为焦点到准线的距离. 抛物线上任意一点M (x ，y )，∠MOx ＝α，则yx ＝tan α代入y 2＝2px 中y ·tan α＝2p .∴y ＝2p tan α.x ＝y 22p ＝12p ·（2p ）2tan 2 α＝2p tan 2α.设t ＝1tan α，则⎩⎨⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt .其中t 为参数.几何意义是抛物线上任意一点与抛物线顶点的连线的斜率的倒数.故⎩⎨⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt即为所求.(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y 202p ，y ＝y 0(y 0为参数).几何意义是抛物线上任意点的纵坐标. 【规律方法总结】1.椭圆和双曲线的参数方程中，参数φ的几何意义都是曲线上点M 的离心角；抛物线参数方程中参数t 的几何意义是抛物线上的点(除顶点外)和顶点连线斜率的倒数.2.利用圆锥曲线的参数方程，可以方便求解一些需要曲线上点的两个坐标独立表示的问题，如求最大值、最小值问题、轨迹问题等.3.圆锥曲线的参数方程可以有不同的形式，求曲线的参数方程可根据具体问题选取角度、长度、斜率、时间等作为参数.一、选择题1.下列参数方程(t 为参数)与普通方程x 2－y ＝0表示同一曲线的方程是( ) A.⎩⎨⎧x ＝|t |，y ＝tB.⎩⎨⎧x ＝cos t ，y ＝cos 2tC.⎩⎨⎧x ＝tan t ，y ＝1＋cos 2t 1－cos 2tD.⎩⎨⎧x ＝tan t ，y ＝1－cos 2t 1＋cos 2t解析 注意参数范围，可利用排除去.普通方程x 2－y ＝0中的x ∈R ，y ≥0.A 中x ＝|t |≥0，B 中x ＝cos t ∈[－1，1]，故排除A 和B.而C 中y ＝2cos 2t 2sin 2t ＝cos 2t ＝1tan 2t＝1x 2，即x 2y ＝1，故排除C. 答案 D2.下列在曲线⎩⎨⎧x ＝sin 2θ，y ＝cos θ＋sin θ(θ为参数)上的点是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，12 C.(2，3)D.(1，3)解析 转化为普通方程：y 2＝1＋x (|y |≤2)，把选项A 、B 、C 、D 代入验证得，选B. 答案 B3.若点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线⎩⎨⎧x ＝4t 2，y ＝4t (t 为参数)上，则|PF |等于( )A.2B.3C.4D.5解析 抛物线为y 2＝4x ，准线为x ＝－1，|PF |为P (3，m )到准线x ＝－1的距离，即为4. 答案 C4.已知椭圆的参数方程⎩⎨⎧x ＝2cos t ＋1，y ＝4sin t (t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O 为原点，则直线OM 的倾斜角α为( ) A.π3B.π6C.2π3D.5π6解析 M 点的坐标为(2，23)， ∴k ＝3，tan α＝3，α＝π3. 答案 A 二、填空题5.曲线⎩⎨⎧x ＝3t －2，y ＝t 2－1与x 轴交点的坐标是______________. 解析 将曲线的参数方程化为普通方程：(x ＋2)2＝9(y ＋1)，令y ＝0，得x ＝1或x ＝－5.答案 (1，0)，(－5，0)6.双曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋3tan φ，y ＝1cos φ(φ为参数)的渐近线方程是________. 解析 将参数方程化为普通方程是y 2－（x －3）29＝1， a ＝1，b ＝3，渐近线的斜率k ＝±13，双曲线的中心为(3，0)，∴渐近线方程为y＝±13(x －3).答案 y ＝±13(x －3)7.二次曲线⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝3sin θ(θ是参数)的左焦点的坐标是________. 解析 题中二次曲线的普通方程为x 225＋y 29＝1左焦点为(－4，0).答案 (－4，0)8.过双曲线x 2－y 2＝4的右焦点F 作倾斜角为105°的直线，交双曲线于P ，Q 两点，则|FP |·|FQ |的值为________.解析 因双曲线的标准方程为x 24－y 24＝1， ∴a ＝b ＝2.∴c ＝a 2＋b 2＝4＋4＝2 2.故右焦点为F (22，0).∴可设过F (22，0)，倾斜角为105°的直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝22＋t cos 105°，y ＝t sin 105°(t 为参数).代入双曲线方程x 2－y 2＝4，整理得32t 2＋(23－2)t －4＝0， ∴|FP |·|FQ |＝|t 1t 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－432＝833.答案 833 三、解答题9.已知圆O 1：x 2＋(y －2)2＝1上一点P 与双曲线x 2－y 2＝1上一点Q ，求P ，Q 两点距离的最小值.解 圆心O 1坐标为(0，2)，Q 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1cos φ，tan φ， |QO 1|2＝1cos 2φ＋(tan φ－2)2＝1cos 2φ＋tan 2φ－4tan φ＋4＝2tan 2φ－4tan φ＋5.设t ＝tan φ，|QO 1|2＝2t 2－4t ＋5＝2(t －1)2＋3≥3，∴|QO 1|min ＝3，∴PQ 两点间的距离的最小值为3－1.10.已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t(t 为参数). (1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值.解 (1)曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数).直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|，则|P A |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|P A |取得最大值， 最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|P A |取得最小值， 最小值为255.11.已知椭圆x 24＋y 2＝1上任一点M (除短轴端点外)与短轴两端点B 1，B 2的连线分别交x 轴于P ，Q 两点，求证：|OP |·|OQ |为定值.证明 设M (2cos φ，sin φ)，φ为参数，B 1(0，－1)，B 2(0，1).则MB 1的方程：y ＋1＝sin φ＋12cos φ·x ，令y ＝0，则x ＝2cos φsin φ＋1，即|OP |＝|2cos φ1＋sin φ|. MB 2的方程：y －1＝sin φ－12cos φx ，∴|OQ |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos φ1－sin φ. ∴|OP |·|OQ |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos φ1＋sin φ×⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos φ1－sin φ＝4. 即|OP |·|OQ |＝4为定值.12.已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过动点M (a ，0)且斜率为1的直线l 与该抛物线交于不同的两点A ，B ，|AB |≤2p .(1)求a 的取值范围；(2)若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，求△NAB 面积的最大值.解 设直线l 的方程为y ＝x －a 代入y 2＝2px 中，得：x 2－2(a ＋p )x ＋a 2＝0.(1)设A ，B 两点的坐标为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2(a ＋p )，x 1x 2＝a 2.∴|AB |＝1＋12（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝24（a ＋p ）2－4a 2＝28ap ＋4p 2≤2p ，∴2(8ap ＋4p 2)≤4p 2，解得a ≤－p 4.(2)A ，B 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，即为(a ＋p ，p )，斜率为－1，垂直平分线方程为y －p ＝－(x －a －p )＝－x ＋a ＋p .y ＝0时，x ＝a ＋2p ，∴点N 的坐标为(a ＋2p ，0)，∴点N (a ＋2p ，0)到直线AB 的距离为|2p |2＝2p ，则S △NAB ＝12·2p ·28ap ＋4p 2＝p 8ap ＋4p 2＝2p ·p 2＋2ap ＝2p 2pa ＋p 2，当a 最大时，S △NAB 取最大值，故a ＝－p 4时，S 取最大值为2p 2.习题2－2 (第28页)A 组1.解 (1)a 作为参数时，方程表示直线；φ作为参数时，方程表示圆.(2)x ，y 分别表示曲线上任意一点的横、纵坐标；x 0，y 0分别表示曲线上某一定点的横、纵坐标；若a 作为参数，则它表示直线上定点M 0(x 0，y 0)与直线上任意一点M (x ，y )构成的有向线段M 0M →的数量，此时φ是直线的倾斜角；若φ作为参数，则它表示圆的半径与x 轴正方向所夹的角，此时a 表示圆的半径. 2.2π33.解直线方程⎩⎨⎧x ＝－2－2t ，y ＝3＋2t (t 为参数)可以变形为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－22（2t ），y ＝3＋22（2t ）.所以|2t |＝2，2t ＝±2.所以所求点的坐标为(－3，4)或(－1，2).4.解 将直线l 1的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋613t ，y ＝3＋413t ，代入l 2：x ＋y －2＝0，得t ＝－132. 所以点Q 的坐标为(1，1)，所以|PQ |＝13.5.解(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t (t 为参数).(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t代入x －y －23＝0，得t ＝－10－6 3. 由t 的几何意义知，两直线的交点到点M 的距离为|t |＝10＋6 3.(3)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t代入x 2＋y 2＝16， 得t 2＋(53＋1)t ＋10＝0.所以t 1＋t 2＝－(53＋1)，t 1t 2＝10.由t 的几何意义知，直线与圆的两个交点到点M 的距离分别为|t 1|，|t 2|.因为t 1t 2＞0，所以t 1，t 2同号，所以|t 1|＋|t 2|＝53－1，|t 1|·|t 2|＝10.6.解 (1)⎩⎨⎧x ＝2＋5cos α，y ＝3＋5sin α(α为参数). (2)若a ＞0，如图，设点P (x ，y )，则由题意，取|OP |＝t 为参数.在Rt △AOP 中，作PM ⊥OA ，根据射影定理，所以⎩⎨⎧|OP |2＝OM ·OA ，t 2＝x ·2a ， 所以x ＝t 22a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 22a ，y ＝±t 2a4a 2－t 2(t 为参数). 若a ＜0，同理.7.证明 以圆心为原点，建立平面直角坐标系，设圆的半径为R ，则圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝R cos θ，y ＝R sin θ(θ为参数).圆内接矩形在第一象限内的顶点坐标为(R cos θ，R sin θ).所以S ＝4R cos θ·R sin θ＝2R 2sin 2θ.要使S 最大，则2θ＝π2，θ＝π4.即圆的内接矩形中正方形的面积最大.8.解 直线方程为y ＝tan θ·x .由⎩⎨⎧y ＝tan θ·x ，x 2＋y 2－2x ＝0，得圆x 2＋y 2－2x ＝0的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝21＋tan 2θ，y ＝2tan θ1＋tan 2θ(θ为参数).9.P ⎝ ⎛⎭⎪⎫332，1，θ＝arctan 239 10.解 直线方程为y ＝tx ＋4.由⎩⎨⎧y ＝tx ＋4，4x 2＋y 2－16＝0，得椭圆4x 2＋y 2＝16的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t t 2＋4，y ＝－4t 2＋16t 2＋4(t 为参数). B 组1.以时间t 为参数，点M 轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋9t ，y ＝1＋12t .2.解直线的参数方程⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝4－t 可以变形为直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－22（－2t ），y ＝4＋22（－2t ），则两个交点到点A (2，4)的距离之和为2(|t 1|＋|t 2|)，将直线方程⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝4－t ，代入y 2＝4x ，得t 2－12t ＋8＝0.所以t 1＋t 2＝12，t 1t 2＝8.所以2(|t 1|＋|t 2|)＝2|t 1＋t 2|＝12 2.3.解 因为点B (x ′，y ′)在椭圆⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)上运动，所以⎩⎨⎧x ′＝2cos θ，y ′＝3sin θ.设⎩⎨⎧x ＝x ′＋y ′，y ＝x ′－y ′，则⎩⎨⎧x ＝2cos θ＋3sin θ，y ＝2cos θ－3sin θ，所以动点P 的轨迹的普通方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 62＝1. 4.解 由cos ∠MOQ ＝35，得在Rt △MOQ 中，OQ OM ＝35.因为OM ＝10，所以OQ ＝6，即a ＝6.所以双曲线的方程为x 236－y 29＝1，且点P 为(10，4).5.略6.⎩⎨⎧x ＝7 782.5cos θ，y ＝7 721.5sin θ(θ为参数). 7.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝v 0t ，y ＝－12gt 2(t 为参数). 8.点M 的轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数).。
(完整版)极坐标与参数方程知识点总结大全
极坐标与参数方程一、参数方程1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即 ⎩⎨⎧==)()(t f y t f x 并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上（即曲线上的点在方程上，方程的解都在曲线上），那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.练习1．若直线的参数方程为，则直线的斜率为（ ）12()23x tt y t=+⎧⎨=-⎩为参数A ．B ．C ．D ．2323-3232-2．下列在曲线上的点是（ ）sin 2()cos sin x y θθθθ=⎧⎨=+⎩为参数A ．B ．C ．D ．1(,231(,)42-3．将参数方程化为普通方程为（ ）222sin ()sin x y θθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数A ．B ．C ．D ．2y x =-2y x =+2(23)y x x =-≤≤2(01)y x y =+≤≤注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一（由上面练习（1、3可知））。
应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。
3．圆的参数方程如图所示，设圆的半径为，点从初始位置出发，按逆时针方向在圆上作匀速圆周运动，设，则。
这就是圆心在原点，半径为的圆的参数方程，其中的几何意义是转过的角度（称为旋转角）。
圆心为，半径为的圆的普通方程是，它的参数方程为：。
4．椭圆的参数方程以坐标原点为中心，焦点在轴上的椭圆的标准方程为其参数方程为，其中参数称为离心角；焦点在轴上的椭圆的标准方程是其参数方程为其中参数仍为离心角，通常规定参数的范围为∈[0，2）。
椭圆参数方程中参数的几何意义教案
椭圆的参数方程中参数的几何意义教学重难点：椭圆参数方程中参数的几何意义教学用具：多媒体辅助教学教学方法：由于学生独立获得椭圆参数方程中参数的几何意义是困难的，因此采用教师讲解的方法，只要学生理解就可以了教学过程：1、焦点在x 轴上的椭圆参数方程的推导 因为22()()1x y a b+=，又22cos sin 1ϕϕ+= 设cos ,sin x y a b ϕϕ==， 即a cos y bsin x ϕϕ=⎧⎨=⎩)(为参数ϕ， 这是中心在原点O,焦点在x 轴上的椭圆的参数方程。
2.参数ϕ的几何意义思考：类比圆的参数方程中参数θ的意义，椭圆的参数方程中参数ϕ的意义是什么？圆的标准方程：222r y x =+ 圆的参数方程：⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x )(为参数θ 椭圆的标准方程：12222=+b y a x 椭圆的参数方程：⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x )(为参数ϕ圆的参数方程中θ是Ox 轴逆时针旋转到OP 的旋转角即θ=∠AOP ，那么椭圆的参数方程中ϕ是不是上图中Ox 轴逆时针旋转到OM 的旋转角呢？请大家看右边图片如图，以原点为圆心，分别以a 、b (0)a b >>为半径作两个圆，点B 是大圆半径OA 与小圆半径的交点，过点A 作AN O x ⊥，垂足为N ，过点B 作BM AN ⊥，垂足为M ，求当半径OA 绕点O 旋转时M 的轨迹的参数方程. 分析：动点A 、B 是如何动的？M 点与A 、B 有什么联系？如何选取参数较恰当？解：设M 点坐标为(,)x y ，ϕ=∠AOx ，以ϕ为参数， 则ϕϕcos cos a OA ON x ===ϕϕsin sin b OB NM y ===，当半径OA 绕O 点逆时针旋转一周时，就得到点M 的轨迹，它的参数方程是)(sin cos 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==b y a x ① 这是中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆。
椭圆参数方程中参数的几何意义辨析与反思
椭圆参数方程中参数的几何意义辨析与反思作者：邱星明来源：《中学教学参考·理科版》2019年第08期[摘; ;要]在剖析例题错解的基础上，深入辨析椭圆的参数方程中参数的几何意义，并从椭圆的参数方程、直线的参数方程、极坐标方程以及普通方程四个视角给出例题的四种正确解法，让学生更好地理解“参数”，提高学生的解题能力.[关键词]椭圆;参数方程;几何意义[中图分类号]; ; G633.6; ; ; ; [文献标识码]; ; A; ; ; ; [文章编号]; ; 1674-6058（2019）23-0022-03“参数法”是数学解题的一种重要方法.通过设参、用参、消参，化简问题，促使问题得以解决.在应用参数解题时，有两点必须注意：一是新参数的取值范围是否与原变量一样;二是要注意参数的几何意义.就椭圆的参数方程而言，绝大多数学生只会用它来换元，忽略了椭圆参数方程中参数的几何意义，一旦遇到如下问题，就会出错，更有甚者，對照参考答案，发现自己的答案错了，但不知道错在哪里？一、提出问题【例题】在直角坐标系[xOy]中，曲线[C]的参数方程为[x=2cosφ，y=sinφ.]（[φ]为参数）以坐标原点为极点，[x]轴的正半轴为极轴建立极坐标系，[A，B]为[C]上两点，且[OA⊥OB]，设射线[OA：θ=α]，其中[0<α<π2].（1）求曲线[C]的极坐标方程;（2）求[OA⋅OB]的最小值.第（1）小题学生都能掌握，故主要针对第（2）小题进行研究.错解：设[A2cosα，sinα]，因为[OA⊥OB]，则[B2cosα±π2 ，sinα±π2]，所以[OA⋅OB=2cos2α+sin2α2sin2α+cos2α ][=2+14sin22α].因为[0<α<π2]，所以[sin2α∈0，1]，故[OA⋅OB]的最小值是[2].二、辨析纠错学生出现上述错解的原因主要是不理解椭圆参数方程中参数[φ]的几何意义，错把点A的离心角当作OA的倾斜角.对此，笔者以人教版选修4-4; P27-28的内容来引导学生辨析椭圆参数方程中参数的几何意义.椭圆的标准方程为[x2a2+y2b2=1a>b>0]，其所对应的一个参数方程为[x=acosφ，y=bsinφ.]（[φ]为参数）其中参数[φ]的几何意义是什么？下面，我们来研究椭圆的几何作图.如图1，以原点O为圆心，分别以[a，b（a>b>0）]为半径作两个同心圆，设A为大圆上任一点，连接OA交小圆于点B，过点A作AE垂直于x轴，垂足为E，过B作BD⊥AE，垂足为D，设[∠ xOA=φ]，点D的坐标为[x，y]，那么点A的横坐标为x，点B的纵坐标为y，由三角函数的定义有[x=acosφ]，[y=bsinφ].当半径OA绕原点O旋转一周时，就得到了点D的轨迹，它的参数方程是[x=acosφ，y=bsinφ.]（[φ]为参数）这是中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆.由图1可以看出，参数[φ]是点D所对应的圆的半径OA（或OB）的旋转角（称为点D的离心角），而不是OD的旋转角.本例的错解中，设[A2cosα，sinα]，则在图2中对应于[∠DOx=α]，由[OA⊥OB]，错把点B设为[2cosα±π2 ，sinα±π2].为便于说明，我们设[B为2cosα+π2 ，sinα+π2]，实际上是把半径OD逆时针旋转[90°]到OG，从图2可以看出，[∠AOB≠90°]，与条件不符，从而得到错误的答案.有钻研的学生会追问：如果本题就用椭圆的参数方程，应如何求解？为了能利用椭圆的参数方程解决本题，我们先探求参数[φ]和旋转角[α]的关系.如图1，设∠xOA=[φ]，∠xOD=[α]，并设点D的坐标为（x，y），则[x=acosφ，y=bsinφ，]又[x=ODcosα，y=ODsinα，]; 当[φ和α]的终边不在坐标轴上时，可得[sinφcosφ=asinαbcosα]，设[sinφ=tasinαcosφ=tbcosα]，代入椭圆的参数方程得[x=tabcosα ，y=tabsinα.]由[sin2φ+cos2φ=1]，得[ t2=1a2sin2α+b2cos2α].在此基础上可得本例的参数方程解法.解法1：设[A2cosφ，sinφ]，由前述探索，可设[A2tcosα，2tsinα]，则[OA=2t2cos2α+2t2sin2α=21+sin2α].因为[OA⊥OB]，所以[OB=21+cos2α].则[OA⋅OB=][22+14sin22α]，当[α=π4]时，[OA⋅OB]取最小值[43].点评：从概念辨析的角度来看，应让学生明确椭圆的参数方程中参数的几何意义，并会用它来解此类问题，但这种解法并不是解此类题的最好方法.三、转换角度我们知道，凡涉及线段长度问题应用直线的参数方程或曲线的极坐标方程都是很好的选择.下面我们分别用这两个工具来解题.解法2：依题意可设直线OA的参数方程为[x=tcosα，y=tsinα.]（[t]为参数）代入曲线[C]的普通方程得[t2cos2α2+sin2α=1]，设点A对应的参数为[t1]，则[t1=21+sin2α].设点B对应的参数为[t2]，由已知可得[t2=21+cos2α]，所以[OA⋅OB=t1t2=][22+14sin22α].故当[α=π4]时，[OA⋅OB]取最小值[43].解法3：由（1）知曲线[C]的极坐标方程为[ρ2=21+sin2θ].根据题意，射线[OB]的极坐标方程为[θ=α±π2].[OA=ρ1=21+sin2α]，[OB=ρ2=21+cos2α]，[则OA⋅OB=ρ1⋅ρ2][=21+sin2α⋅1+cos2α≥][21+sin2α+1+cos2α2=43].当且仅当[α=π4]时，[OA⋅OB]取得最小值[43].点评：解法2、3分别应用了直线的参数方程和曲线的极坐标方程，从解题角度来看，优于应用椭圆的参数方程的解法.在教学中应让学生明确直线的参数方程中参数的几何意义和曲线的极坐标方程中[ρ，θ]的几何意义.灵活运用它们来解题，有立竿见影的效果.很多学生因为对参数或[ρ]的意义掌握不好，怕用参数方程或极坐标方程解题，越怕就越不会用.如何利用普通方程求解呢？解法4：依题意可设直线OA的方程为[y=kx]，其中[k=tanα>0]，代入橢圆方程[x22+y2=1]，消去y得[x2=21+2k2]，所以[OA=x2+y2=21+k21+2k2]，因为[OA⊥OB]，所以直线OB的斜率为[-1k]，可得[OB=2k2+1k2+2]，所以[OA⋅OB=21+k21+2k2k2+2]，令[t=1+k2>1]，[OA⋅OB=2-1t-122+94]，当[t=2]，即[k2=1]时取得最小值[43]，因为[0<α<π2]，此时[k=1，α=π4].故[OA⋅OB]的最小值为[43].四、反思总结学生出现解题错误，我们第一反应就是学生所学的知识没有掌握好，解题能力有欠缺或者粗心.但是给了参考答案，学生也不理解.除了上述原因外，还有没有其他需要我们反思的问题？针对本案例，笔者进行了思考，提出以下的三条建议.1.课前要“研”.教师要做研究型的教师，教师研究的内容很多，可以有：研方向、研教材、研试题、研教法、研学法.若教师平时不研究，也不备课，凭经验去上课，必然目标不明，错漏百出，训练不到位，教学效率低下.2.课中要“活”.课堂上，应该学生学得主动，教师讲解生动，师生良序互动，思维碰撞灵动.教师教法灵活，解法灵活，一题多解，一题多变，一题多用.要让学生敢于质疑，师生共同纠错.应当强调，纠错是提高课堂教学有效性，特别是讲评课教学有效性的重要手段.本文从学生考试中的错解出发，通过回归课本，应用椭圆的几何图形，让学生正确理解椭圆的参数方程中参数的几何意义，对参数[φ]和OA的旋转角[α]进行了深入辨析.本文还从椭圆的参数方程、直线的参数方程、极坐标方程以及普通方程四个视角给出了四种正确解法，不单是辨析了概念，还通过一题多解，启迪学生思维，拓展学生思维的广度与深度，提高学生的解题能力，提升学生的数学学科素养.3.课后要“实”.考试、作业、批改、辅导、反思、错题订正、关爱学生、与学生结对子等都需要落到实处，这是提高教学有效性的必经之路.（责任编辑黄桂坚）。
高中数学 第二章 参数方程 2.3.1 椭圆的参数方程教学设计 新人教A版选修4-4-新人教A版高二
椭圆的参数方程一、知识回顾（4’）以设问的方式进行复习回顾：1、当焦点在x轴上时椭圆的普通方程:2、相关知识点：（1）焦点，顶点(), ()；（2）（3）；（4）；3、辅助角公式：学生跟着老师的思路进行复习回顾，并能较为准确回答出老师所问问题。
为接下来的新知识做铺垫。
明确相关知识便于学生理解下面的新知识，加深了学生对单一函数的认识及应用二、新课引入（3’）对椭圆的普通方程进行换元可得到椭圆的参数方程。
对学生提出思考：上节课圆的参数方程中，参数的几何意义是圆的旋转角，那么椭圆的参数方程中参数的几何意义是什么？学生认真记录笔记，并根据老师所提出的思考题进行思考，并忆起圆的参数方程中参数的几何意义。
利用学生熟悉的三角函数公式进行换元，通过换元法进行引入。
然后对参数进行设问，引导学生合作探究。
三、探究参数（14’）设椭圆上任一动点M 坐标为()，则：探究1：参数是椭圆的旋转角吗？不是，因为x=，不是定值。
探究2：从参数方程出发（即M的坐标点）根据圆的参数方程寻找的意义：建立以a为半径的圆，过M作垂线交圆于A，点A的横坐标与M的横坐标一样为(为∠AOx)；再建立以b为半径的圆交线段OA于B，而B点纵坐标为，恰与M的纵坐标一样，即BM∥x轴。
因此，椭圆的参数方程中参数的几何意义并非旋转角，而是椭圆的离心角。
探究3：当椭圆的焦点在y轴上时的参数方程是什么样子的，其参数是否满足探究2中的几何意学生之间先进行探究一的讨论，发现不是椭圆的旋转角，然后再自己原有讨论的基础上跟着老师一起探究参数的几何意义，得出原来参数的几何意义是椭圆的离心角。
探究3让学生自主探究，发现不论椭圆的焦点在哪，其参数的几何意义仍是椭圆的离心角。
探究1：类比圆的参数方程中参数的几何意义，猜想椭圆参数方程中参数的几何意义，引导发现不相同之处，否定原有猜想。
探究2：从所设M点的坐标出发，通过数形结合思想，引导学生从已知点坐标出发，进行探究，思考椭圆的参数方程中参数的几何意义。
椭圆的参数方程总结
椭圆的参数方程总结椭圆是一种常见的几何形状，由于它的特殊性质，在数学和物理学中有着广泛的应用。
以下是关于椭圆的参数方程的总结：1. 基本定义椭圆可以被定义为平面上到两个固定点（焦点）的距离之和等于常数的点的轨迹。
一个椭圆由其两个焦点以及一个常数（半径和）决定。
2. 参数方程椭圆的参数方程描述了椭圆上每个点的坐标。
一种常见的参数方程形式如下：x = a * cos(t)y = b * sin(t)其中，a和b分别是椭圆的长半轴和短半轴的长度，t是参数，可以取0到2π之间的任意实数值。
3. 参数方程特性椭圆的参数方程具有以下特性：- 参数方程中的t表示了椭圆上每个点所对应的角度，因此可以使用参数方程来描述椭圆的整个轨迹。
- 当t等于0或2π时，对应的点位于椭圆的右焦点上。
- 当t等于π时，对应的点位于椭圆的左焦点上。
- 当t等于π/2或3π/2时，对应的点位于椭圆的顶点上。
- 参数方程中的a和b决定了椭圆的大小和形状，当a和b相等时，椭圆为圆形。
4. 示例以下是一个使用参数方程绘制椭圆的示例代码：import matplotlib.pyplot as pltimport numpy as npa = 5 # 长半轴b = 3 # 短半轴t = np.linspace(0, 2*np.pi, 1000) # 参数范围x = a * np.cos(t) # x坐标y = b * np.sin(t) # y坐标plt.plot(x, y)plt.axis('equal')plt.xlabel('x')plt.ylabel('y')plt.title('椭圆')plt.grid(True)plt.show()通过上述代码，可以得到一个长半轴为5，短半轴为3的椭圆。
5. 应用领域椭圆的参数方程在众多科学和工程领域有着广泛的应用，例如：- 天体运动的轨道模型- 电子轨道和原子结构的描述- 信号处理和图像处理中的滤波算法总之，椭圆的参数方程为我们描述和分析椭圆的性质提供了方便和灵活的方法，可以在各个领域中得到有效应用。
椭圆参数方程
上一点P
（与顶点不重合）与四个顶点连线的斜
率之积为 1 则 b ＝__________. 4a
例1.求椭圆 x2 y2 1 的点到直线l:x-y+4=0的距离的 8
最小值和最大值。
例2.已知椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) ,求椭圆内接矩形面积
的最大值.
解：设椭圆内接矩形的一个顶点坐标为(a cos,bsin )
(为参数)
——此即为椭圆的参
数方程,其中 的几何
意义为——离心角.
y
B
O
A M Nx
问题一：
已知椭圆 x2 y2 1 ，M是椭圆上位于
25 9
第一象限的点且∠XOM=600,求点M的坐标。
注意：离心角∠xOA与旋转角∠xOM的区别
问题二：椭圆 x2
a2
y2 b2
1(a
b
0)
椭圆的参数方程
福州格致中学 宋建辉
复习
1.圆x2+y2=r2(r>0)的参数方程:x来自 y
r r
cos sin
(为参数)
2.圆(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程:
其中参数的几何意义为:
x
y
a b
r r
cos sin
(为参数)
θ为圆心角
猜想
椭圆
x2 a2
B为圆（x-1)2+y2=1上任意一点；
求 AB 的最大值和最小值。
作业
课时训练P99页：一：2、3、4；三：1。
2005－12－2
椭圆的参数方程导学案
§2.2.1椭圆的参数方程导学案【学习目标】：1. 知识与技能：了解椭圆的参数方程及参数的的意义2. 过程与方法：能选取适当的参数，简单应用曲线的参数方程解决有关问题3. 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识【学习重点】【问题导读】：1 2圆x 2+y 2=r 2(r>0)的参数方程圆(x-a)2+(y-b)2=r 2其中参数的几何意义为: 3：把下列参数方程化为普通方程.4：你能仿此得出椭圆的参数方程吗？椭圆 的方程呢？【课堂导学】一、 参数方程的推导如下图，以原点为圆心，分别以a ，b （a ＞b ＞0）为半径作两个圆，点B 是大圆半径OA 与小圆的交点，过点A 作AN ⊥ox ，垂足为N ，过点B 作BM ⊥AN ，垂足为M ，求当半径OA 绕点O 旋转时点M 的轨迹参数方程.结论：1.在椭圆的参数方程中，常数a 、b 分别是椭圆的 和 . （其中a>b>0）2.ϕ称为离心角，规定参数ϕ的取值范围是为参数）ϕϕϕ(sin 3cos 5)1(⎩⎨⎧==y x 为参数）ϕϕϕ(sin 10cos 8)2(⎩⎨⎧==y x 12222=+ay b x )0(12222>>=+b a by a x3. 当焦点在X 轴时椭圆的参数方程为：当焦点在Y 轴时椭圆的参数方程为： 二、探究椭圆规的作图原理提示：以直尺AB 和横槽所成的角为参数，求出点M 的轨迹方程 三、例题分析★ 例1：把下列普通方程化为参数方程.（1）14922=+y x （2）11622=+y x★ 例2已知椭圆16410022=+y x 有一内接矩形ABCD ，求矩形ABCD 的最大面积。
★ 例3．在椭圆14922=+y x 上求一点M ，使点M 到直线0102=-+y x 的距离最小，并求出最小距离。
▲变式：与简单的线性规划问题进行类比，你能在实数y x ,满足例3中椭圆14922=+y x 的前提下，求出y x z 2-=的最大值和最小值吗？还有其他方法吗？由此可以提出哪些类似的问题？【课后导练】1.写出椭圆1162522=+y x 的参数方程。
椭圆的参数方程
复习：参数方程化为普通方程的步骤
步骤： 1、消掉参数(代入消元，三角变形，配 方消元) 2、写出定义域（x的范围） 注意：
在参数方程与普通方程的互化中，必须 使x,y前后的取值范围保持一致。
圆的普通方程 (x x0 )2 ( y y0 )2 r2
则圆的参数方程
x {
x0
cos 5 ,sin 2 5 从而有
5
5
x 4 cos 4 5 , y 2 3 sin 4 15
5
5
4、设P(x, y)是椭圆2x2 3y2 12上的一个动点， 求x 2y的取值范围。
5、若圆x2 y2 4,则圆上的点到 直线y x ３距离的最大值是 _________
解：椭圆的方程可化为x2 y2 1, 64
是OM的旋转角，参数是半径OM的旋转角。
例1、当参数变化时，动点P(3cos , 2sin )所
确定的曲线必过 ( B ) A、点(2,3), B、点(3, 0)
C、点(1,3), D、点(0, )
2
它的焦距是多少？
25
练习：已知圆的方程为x2 y2 4x cos 2 y sin 3cos2 0, (为参数)，那么圆心的轨迹的普通
它的一个参数方程为
{x 6 os (为参数，0 2 ) y 2sin
x 2 y 6 cos 4sin 22 cos( ) cos( ) [1,1]
x 2y [ 22, 22]
r
cos
(为参数)
y y0 r sin
的几何意义：旋转角
二、圆锥曲线的参数方程 1、椭圆的参数方程
由例4我们得到了椭
圆x a
2 2
y2 b2
1(a
椭圆的参数方程教学课件
• 椭圆的参数方程的推导 • 椭圆的参数方程的求解方法 • 椭圆的参数方程的应用举例 • 椭圆的参数方程的思考题与练习
题
01
引言
椭圆的定义与性质
椭圆的定义
一个椭圆是由一个焦点和两个点 之间的所有连线组成的图形。
椭圆的性质
椭圆是一个封闭图形，其长度和 宽度之间的比例是固定的。
椭圆与圆的关系及其应用
椭圆与圆的形状相似，但它们的方程 和性质存在差异。
当b=0时，椭圆变为圆，因此椭圆和 圆之间存在一种特殊的关系。
圆的方程为x^2+y^2=r^2，而椭圆 的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1， 其中a和b分别为椭圆的长半轴和短半 轴。
在实际应用中，椭圆和圆可用于描述 物体运动的轨迹等。
利用三角恒等式，将三角函数、 角度、半径等参数联系起来， 推导出椭圆的参数方程。
通过对比和推导，得到椭圆的 参数方程的表达式。
椭圆的参数方程的几何意义
椭圆的参数方程中， 角度θ表示在椭圆上 的点的方位角，r表 示该点到椭圆中心的 距离。
椭圆的参数方程在极 坐标系中也有广泛的 应用。
通过参数方程，可以 清晰地描述椭圆上点 的位置和运动情况。
练习题：求解下列椭圆的参数方程。
1. 根据给定的a、b、c值，计算出椭圆的焦点到中心的距离d； 2. 根据d和c的关系，确定椭圆的偏心率e；
3. 利用e和a、b的关系，计算出椭圆的长轴和短轴的长度；
练习题：求解下列椭圆的参数方程。
01
4. 根据长轴和短轴的长度，以及 给定的θ值，计算出P点的极径ρ；
数学建模和数据处理
在掌握了椭圆的参数方程之后，可以通过数学建模和数据处理的方 法，解决与椭圆相关的实际问题，提高数学应用能力。
椭圆的参数方程课件
利用复数推导椭圆的参数方程
总结词
深奥、抽象
详细描述
通过引入复数，利用复数的性质 推导椭圆的参数方程，这种方法 较为深奥、抽象，需要较高的数 学素养和理解能力。
05
椭圆的参数方程的扩展知 识
利用椭圆的参数方程研究圆
椭圆的参数方程与圆的参数方程之间的联系
通过椭圆的参数方程，可以推导出圆的参数方程，从而对圆进行更深入的研究。
椭圆的参数方程与直角坐标方程的转化
• 将椭圆的参数方程转化为直角坐标方程，可以得 到以下形式
椭圆的参数方程与直角坐标方程的转化
$$\begin{aligned} x = a\cos\theta \\
y = b\sin\theta
椭圆的参数方程与直角坐标方程的转化
对应的直角坐标方程为
这个直角坐标方程描述了一个以$(a/2, b/2)$为圆心， $\sqrt{a^{2}/4 + b^{2}/4}$为半径的圆。
02
当t=0时，表示椭圆中心，当t在 实数范围内变化时，表示椭圆上 的点的横坐标在椭圆上移动。
椭圆的焦点与离心率
椭圆的焦点是指椭圆上与椭圆中 心距离相等的两个点，它们位于
椭圆的长轴上。
椭圆的离心率是指椭圆焦点到椭 圆中心的距离与椭圆长轴半径的
比值，用e表示。
当e增大时，椭圆变得更扁平； 当e减小时，椭圆变得更接近圆
\end{aligned}$$
$$(x - \frac{a}{2})^{2} + (y - \frac{b}{2})^{2} = \frac{a^{2}}{4} + \frac{b^{2}}{4}$$
02
椭圆的参数方程的几何意 义参数t的几何意义 Nhomakorabea01
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椭圆的参数方程中参数的几何意义：
红点M的轨迹是椭圆，M(x,y)=(|OA|cosφ，|OB|sinφ)
所以离心角φ就是那条倾斜直线的角。
周长
椭圆周长计算公式：L=T（r+R）
T为椭圆系数，可以由r/R的值，查表找出系数T值；r为椭圆短半径；R为椭圆长半径。
椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半径与长半径之和与该椭圆系数的积（包括正圆）。
几何关系
点与椭圆
点M（x0，y0）椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1；
点在圆内：x02/a2+y02/b2<1；
点在圆上：x02/a2+y02/b2=1；
点在圆外：x02/a2+y02/b2>1；
跟圆与直线的位置关系一样的：相交、相离、相切。
直线与椭圆
y=kx+m①
x2/a2+y2/b2=1②
由①②可推出x2/a2+（kx+m）2/b2=1
相切△=0
相离△<0无交点
相交△>0可利用弦长公式：设A（x1，y1）B（x2，y2）
求中点坐标
根据韦达定理x1+x2=-b/a，x1x2=c/a
代入直线方程可求出（y1+y2）/2=可求出中点坐标。
|AB|=d=√（1+k2）[（x1+x2）2-4x1*x2]=√（1+1/k2）[（y1+y2）2-4y1y2]
手绘法
1、：画长轴AB，短轴CD，AB和CD互垂平分于O点。
2、：连接AC。
3、：以O为圆心，OA为半径作圆弧交OC延长线于E点。
4、：以C为圆心，CE为半径作圆弧与AC交于F点。
5、：作AF的垂直平分线交CD延长线于G点，交AB于H点。
6、：截取H，G对于O点的对称点H’，G’⑺：H，H’为长轴圆心，分别以HA、H‘B为半径作圆；G，G’为短轴圆心，分别以GC、G‘D为半径作圆。
用一根线或者细铜丝，铅笔，2个图钉或大头针画椭圆的方法：先画好长短轴的十字线，在长轴上以圆点为中心先找2个大于短轴半径的点，一个点先用图钉或者大头针栓好线固定住，另一个点的线先不要固定，用笔带住线去找长短轴的4个顶点。
此步骤需要多次定位，直到都正好能于顶点吻合后固定住这2个点，用笔带住线，直接画出椭圆：使用细铜丝最好，因为线的弹性较大画出来不一定准确。