晶格振动、声子

• 如果晶格振动中各个不同的波矢、不同频率的 格波的振幅知道了，振动情况也就完全确定了 —格波之间的没有相互作用 • 就没有必要去知道每个原子的空间坐标 • 什么是原子关联，看势能
V
简谐
1 1 2 2 2 xn xn1 xn xn 1 2 xn xn 1 n 2 n 2
nl (q ) 1 e l ( q ) / k BT 1
• 晶体的热学性质与晶格振动有关的部分由此给出 • 声子的能量和准动量分别为 l • 第l支格波的能量为
1 l nl l 2
q ，
• 格波的能量是分立的，整数倍地增加 n l l • 最低能量并不是零，称为零点振动能 l / 2
基矢的选择
xn Aq t e
q
iqna
• 用什么做基矢？ • eiqna对于不同的q，是N维的 • 本征矢eiqna，做基矢 1 e iqna
N
• 本征矢eiqna本身满足正交归一性，即按q求和， 1 N / 2 iqn n ' a e n,n ' N q N / 21 • 或按n求和， N 1
31
上式与普朗克公式是一致的，下面 证明之。
普朗克公式
2π hc 1 Mλ 0 T hc KT 5 λ 1 e
2
辐射场能量密度按波长的分布 (T )与其单色 辐出度M (T )存在下面关系
利用
= 2，可以得到
c M (T ) (T ) 4
2 q
2 1 2 2 H Qq q Qq 2 q
•
根据量子力学，可解得能量本征值
1 E q nq q 2
• • 值得注意：量子化谐振子的频率就是经典简谐振动的频率 可以推广到三维的情况
三维情况
• 定义简正坐标Qn
e
QQ 2 Nm
q n ,q ,q'

q'
iq( n 1) a iq'( n 1) a

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• 同样对动能也可得
1 T 2N
1 i ( q q ') na i ( q q ') na Q Q Q e Q e q q' q q' 2 N q ,q ' n,q ,q ' n
V d 2 3 / kT c e 1
2
在空腔V内、到 +d范围内辐射场的能量为
V d U ( , T ) d ( 2 3 / kT ) π c e 1 3 V d 2 3 / kT π c e 1
2
此式称为普朗克公式，给出了辐射场的能量按 频率的分布，与实验结果完全一致。
1 N
e
n 0
i q q ' na
q ,q '
展开
xn t
1 iqna Qq t e Nm q
• Qq(t)就是简正坐标，意义即xn在基矢轴eiqna的 分量，m为原子的质量 • 看动能和势能在这个基矢轴下能不能表示得简 洁些 1 1 2 2 n T mx p n 2 n 2m n
讨论：一维单原子链的解
• 方程
d xn m 2 ( xn1 xn 1 2 xn ) dt
2
• 解
xn Ae

i qna t
qa ( q) 2 sin m 2
• 那么解应该是什么
l 2 q , l取整数 N a
讨论：ω(q)
xn Aeiqna t
1 l nl l 2
• 这样的量子谐振子的频率就是经典振动的频率 • 这样的量子谐振子称为声子——晶格振动的能 量子 • 利用声子的概念处理晶体中相互作用问题就比 较简单明了，比如： • 晶格振动与晶格振动的相互作用； • 晶格振动与电子的相互作用； • 晶格振动与光子的相互作用等 • 声子是玻色子，遵从玻色统计
M 0 (T )
这正是普朗克公式。
2hc
2

5
(
1 e
hc / kT
1
)
33
两种极限情况 （1）在高频范围，
/kT >>1，这时
/ kT
e
普朗克公式为
1 e
V c
3
/ kT
U ( , T )d
与维恩公式一致。
2 3
e
/ kT
d
可见， U ( , T )随的增大而迅速趋于零，说 明在温度为T 的平衡辐射中，空腔内几乎不存在 /kT >>1的高频光子，也就几乎不可能发射这 样的高频光子。
1 uj Mj
a
n 1
3N
jn
Qn
• 通过线性变换消除交叉项，将动能和势能同时 简化为简正坐标Qn平方项的和
1 3N 2 T Qn 2 n 1
1 3N 2 2 V n Qn 2 n1
那么正则动量为：
(T V ) pn Qn Q n
哈密顿量为
a jn Mj
A sin( n t )
量子化
• 将经典哈密顿中的动量写成算符形式
pn i Qn
• 即可得到波动方程
3N 1 2 2 2 2 n Qn Q1 , Q2 ,...,Q3 N E Q1 , Q2 ,...,Q3 N 2 Q n 1 2 n
V x x x 2 2
2 n 1 n n n


2 n 1
x 2 xn 1 xn
2 n

• 代入势能后可得
V
e eiqna eiq'( n1) a eiqna eiq'na eiq( n1) a eiq'na i ( q q ') a iqa iq'a i ( q q ') na 1 e e e QqQq' e 2 Nm q ,q' n i ( q q ') a iqa iq'a Q Q e 1 e e N q , q' q q' 2 Nm q ,q' 2 2 iqa iqa 1 cos( qa ) q QqQq 2 e e m 2m q 1 2 QqQq 1 cos(qa) q QqQq m q 2 q
第九讲：晶格振动、声子和热传导
晶格振动的量子化 玻色-爱因斯坦统计
9.3.晶格振动的量子化，声子(phonon)
• 经典理论：晶格振动对比热的贡献与T无关 • 晶格振动是一种集体振动——称为格波 • 格波可以不是简谐的，如是非谐的，可以展开 为简谐振动的迭加 • 在简谐近似下，格波就是简谐波，这时格波之 间的没有相互作用 • 独立的简谐振动模式——声子——简谐振动的 能量量子


• 如果能简化交叉项，就可以分离变量。为此， 需要改基轴x，通过变换使晶格振动的描写简 化
分析
• 用 xn表示格点n处原子位移时，假定x是坐标轴 • 需要选基轴，使势能的表示简单，没有交叉项 • 比如一个质点的一维运动，如果随意放置坐标 轴，可能需要三个变量x，y，z来描写它的运 动 • 当然这三个变量并不独立，有两个约束条件 • 但从形式上，会有三个变量x，y，z出现在运 动方程中，这样的表示是不方便的 • 现在描写晶格振动的情况类似：每个原胞中等 价原子的振动是不独立的，把它们的位移都表 示出来的描写是不方便的
费米系统粒子的最概然分布为
al
和由宏观约束条件确定
称为费米狄拉克分布，或费米分布。
e
l
l
1
l l
e
+ l
N
l
l
e
+ l
1
, U
l
1
两种分布的 β和α为
1 , kT kT
28
是化学势。
二、光子气体 (photon gas) 光子是玻色子，空腔的电磁辐射是黑体辐射。空 腔的辐射场看作光子气体系统，遵从玻色分布。
补充：
9.4玻色统计和费米统计
一、玻色系统和费米系统的最概然分布 (1) 玻色分布 玻色系统粒子的最概然分布
al
和由宏观约束条件确定
e
l
l
1
称为玻色-爱因斯坦分布或玻色分布。
N
l
l
e
+ l
1
, U
l
l l
e
+ l
1
27
(1) 费米分布
• 对应某个给定频率ω (q)，这表示每个原子的 位移随时间的变化，n取遍所有原胞，共N个 • 不同位置的原子，不同的位移，但由Bloch定 理决定，不同原胞(n)的等同原子位移仅差一 个相因子 xn Aeiqna t , n为整数 , 共有N个原胞 • 需要N个位移来描写在不同原胞中原子具有这 个频率的集体振动，互相有关
• 或者说，提到某个频率的振动，就得与这N个 的位移联系起来
讨论：位移
xn Ae
i qna t
• 现在波矢的取值由周期性边界条件决定
2 N N q l , l , 共N个值， N原胞数 Na 2 2
• 这是振动的状态数目，一个状态q对应s个频率， s即自由度，一维单原子，s=1 • 这些振动互相之间独立，没有关系 • 思考：那么多波矢都是解，那么，原子到底怎 么振动？ • 或问：原子在任意时刻t，到底处在什么位置？
3
U ( , T ) 8h d (T )d d = V c 3 e h / kT 1
32
利用 c 和
上式化为
d =
cd

2
并考虑
d = d
) 1
(T )
8hc

5
(
1 e
hc / kT
将上式代入单色辐出度M (T ) ，将M (T) 改为 M 0 (T)，得到
能量与动量的关系
2 = m02 c4 + c2 p2 因为光子m =0，所以 = cp 光子满足德布罗意关系 = , p = k
0
k是波矢量，是光的角频率。 引入拉氏乘子 ，得到的光子气体的分布为
al
e
l
l
1
29
用上式代替简并度 l ，在空腔V内、到 +d 范围内的平均光子数为
讨论：位移
xn Ae
i qna t
• 上面只是一个特解，一般解应是它们的迭加， 即在任意时刻t，n格点的原子处在
xn Aq t e
q
iqna
• 振幅与q有关，把e-iω t也包括进去 • 即各种不同波矢、不同频率的格波的迭加 • 因此用这种方法来确定晶体中各个原子的空间 坐标随时间的变化从而描写晶格振动非常复杂 • 因为是多体问题：各个原子相互之间是关联的 • 有没有简单的方法来描写这种振动？
• 解为厄密多项式，其本征值为
1 l nl l 2
1 uj Mj
a
n 1
3N
jn
Qn
• 由
~ u Qn M j a jn j
j
• 可知：一个简正振动并不是表示某一个原子的 振动，而是整个晶体所有原子都参与的振动频 率相同的振动 • 这种集体振动称为振动模 • 振动能量是分裂的，量子化的。即
• 这表示的是一系列无相互作用的简谐振子，可 以分离变量，记
E l
l 1 3N
Q1 , Q2 ,...,Q3 N n Ql
l 1
l
3N
• 得
2 1 2 2 2 l Ql Ql l Ql 2 2 Q l
1 3N 2 2 2 H ( pn n Qn ) 2 n1
从正则方程得到
H 2 pn n Qn Qn
2Q 0 Q n n n
这是3N个相互无关的方程－简正坐标描述独立的简谐振动
Qn A sin(nt )
只考察一个Qn振动时
uj
1 1 Q Qq Qq ' q , q ' Q q q 2 q ,q ' 2 q
• 利用
• 最终可得
2 1 2 2 H Qq q Qq 2 q
* Qq Qq
• 其中
2 1 cos( qa ) m