实际问题与二次函数典型l例题
二次函数与实际问题
二次函数解决实际问题【典型例题】类型一、利用二次函数求实际问题中利润的最大（小）值1. 某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查．调查发现这种水产品的每千克售价y ，(元)与销售月份x (月)满足关系式13368y x =-+，而其每千克成本2y (元)与销售月份x(月)满足的函数关系如图所示．(1)试确定b ，c 的值；(2)求出这种水产品每千克的利润y(元)与销售月份x(月)之间的函数关系式；(不要求指出x 的取值范围)(3)“五一”之前，几月份出售这种水产品每千克的利润最大?最大利润是多少? 【答案与解析】（1）把(3，25)，(4，24)代入2218y x bx c =++中，得 19325,8116424.8b c b c ⎧⨯++=⎪⎪⎨⎪⨯++=⎪⎩ 解方程组得15,859.2b c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (2)根据题意，得212311559368882y y y x x x ⎛⎫⎛⎫=-=-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2311559368882x x x =-+-+-21313822x x =-++．所以y 与x 的函数关系式为21313822y x x =-++．(3)由(2)得，21(6)118y x =--+，因为108a =-<，所以当x ＜6时，y 随x 的增大而增大，所以“五一”之前，四月份出售这种水产品每千克的利润最大，最大利润为10.5元．【点评】在用二次函数知识解决实际问题时，有的同学易忽略自变量的取值范围，有的题目结果中的值看上去有意义，但不一定符合题意，有的题目本身就隐含着对自变量的限制，常常考虑不周而造成错解．举一反三：【例2】某服装公司试销一种成本为每件50元的T 恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，试销中销售量y （件）与销售单价x （元）的关系可以近似的看作一次函数（如图）．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）设公司获得的总利润为P 元，求P 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；根据题意判断：当x 取何值时，P 的值最大？最大值是多少？（总利润=总销售额-总成本）【答案】（1）设y 与x 的函数关系式为：y kx b =+（k≠0），∵函数图象经过点（60，400）和（70，300）∴⎩⎨⎧+=+=b k bk 7030060400 解得⎩⎨⎧=-=100010b k∴100010+-=x y（2）)100010)(50(+--=x x P 500001500102-+-=x x P （50≤x ≤70）∵752015002=--=-a b ，10-=a ＜0∴函数500001500102-+-=x x P 图象开口向下， 对称轴是直线x=75∵50≤x ≤70，此时y 随x 的增大而增大, ∴当x =70时，6000=最大值P .练习：1.某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y （件）与销售单价x （元）之间的关系可近似的看作一次函数：10500y x =-+．（1）设李明每月获得利润为w （元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？ （成本＝进价×销售量） 【答案】解：（1）由题意，得：w = (x －20)·y=(x －20)·(10500x -+) 21070010000x x =-+-352b x a=-=.答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润． ························· 3分（2）由题意，得：210700100002000x x -+-=解这个方程得：x 1 = 30，x 2 = 40．答：李明想要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元或40元. (6)分（3）法一：∵10a =-<0，∴抛物线开口向下.∴当30≤x ≤40时，w ≥2000．∵x ≤32，∴当30≤x ≤32时，w ≥2000． 设成本为P （元），由题意，得： 20(10500)P x =-+ 20010000x =-+ ∵200k =-<0， ∴P 随x 的增大而减小.∴当x = 32时，P 最小＝3600.答：想要每月获得的利润不低于2000元，每月的成本最少为3600元．类型二、利用二次函数解决抛物线形的建筑问题3. 某大学的校门如图所示，是抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8米，两侧距地面4米高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，你能计算出大学校门的高吗?【答案与解析】以拱门所在平面与地平面的交线为x 轴，以拱门的对称轴为y 轴建立直角坐标系(如图所示)，D 、E 为铁环． 则A(-4，0)，B(4，0)，D(-3，4)，E(3，4)．设抛物线的解析式为2y ax c =+．法二：∵10a =-<0， ∴抛物线开口向下. ∴当30≤x ≤40时，w ≥2000． ∵x ≤32， ∴30≤x ≤32时，w ≥2000． ∵10500y x =-+，100k =-<，∴y 随x 的增大而减小. ∴当x = 32时，y 最小＝180. ∵当进价一定时，销售量越小， 成本越小， ∴201803600⨯=（元）.∵ A(-4，0)，D(-3，4)在抛物线上．∴ 160,9 4.a c a c +=⎧⎨+=⎩ 解得4,764.7a c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴ 246477y x =-+，当0x =时，647y =，∴ 647OC =． 即校门的高为647m ．【点评】因为校门是抛物线形，不妨将这一问题转化为二次函数进行研究，建立适当的直角坐标系，将已知数据转化为点的坐标，从而确定函数关系式，再根据关系式求大门的高．【练习1】（2012·武汉·中考）如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB 和矩形的三边AE ，ED ，DB 组成，已知河底ED 是水平的，ED=16米，AE=8米，抛物线的顶点C 到ED 的距离是11米，以ED 所在的直线为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴建立平面直角坐标系．（1）求抛物线的解析式；（2）已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED 的距离h （单位：米）随时间t （单位：时）的变化满足函数关系h=﹣（t ﹣19）2+8（0≤t ≤40），且当水面到顶点C 的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？类型三、利用二次函数求跳水、投篮、喷水池等实际问题4. 如图所示，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5 m 时，达到最大高度3.5 m ，然后准确落入篮筐，已知篮筐中心到地面O的距离为3.05 m ，若该运动员身高1.8 m ，在这次跳投中，球在头顶上方0.25 m 处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少?【答案与解析】如图所示，在直角坐标系中，点A(1.5，3.05)表示篮筐，点B(0，3.5)表示球运行的最大高度，点C 表示球员篮球出手处，其横坐标为-2.5，设C 点的纵坐标为n ，过点C 、B 、A 所在的抛物线的解析式为2()y a x h k =-+，由于抛物线开口向下，则点B(0，3.5)为顶点坐标，∴ 23.5y ax =+． ∵ 抛物线23.5y ax =+经过点A(1.5，3.05)， ∴ 3.05＝a ·1.52+3.5， ∴ 15a =-． ∴ 抛物线解析式为21 3.55y x =-+． ∴ 21( 2.5) 3.55n =-⨯-+，∴ n ＝2.25．∴ 球出手时，球员跳离地面的高度为2.25-(1.8+0.25)＝0.20(米)．【点评】首先要建立适当的平面直角坐标系，构造函数模型，将已知数据转化为点的坐标，然后利用待定系数法求出函数解析式，再利用解析式求出抛物线上已知横坐标的点的纵坐标，结合已知条件，得到实际问题的解．5. （2012·武汉·五月调考）某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O 的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）.在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面2103米，入水处距池边的距离为4米，运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．（1）求这条抛物线的解析式；（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中完成规定的翻腾动作并调整好入水姿势时，距池边的水平距离为335米，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由．【答案与解析】练习 1. (2012·武汉·四月调考)要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根 2.25m 的水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m 处达到最高，高度为3m．(1)建立适当的平面直角坐标系．，使水管顶端的坐标为(0，2.25)，水柱的最高点的坐标为(1，3)，求出此坐标系中抛物形水柱对应的函数关系式（不要求写取值范围）； (2)如图；在水池底面上有一些同心圆轨道，每条轨道上安装排水地漏，相邻轨道之间的宽度为0.3 m ，最内轨道的半径为r m ，其上每0.3 m 的弧长上安装一个地漏，其它轨道上的 地漏个数与最内轨道上的个数相同，水柱落地处为最外轨道，其上不安装地漏，求当r 为多少时池中安装的地漏的个数最多？【答案与解析】类型四、利用二次函数求图形的边长、面积的最大（小）值问题6. 一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个以AD 为直径的半圆O ，下部是一个矩形ABCD ．(1)当AD ＝4米时，求隧道截面上部半圆O 的面积；(2)已知矩形ABCD 相邻两边之和为8米，半圆O 的半径为r 米．①求隧道截面的面积S(m)2关于半径r(m)的函数关系式(不要求写出r 的取值范围)；②若2米≤CD ≤3米，利用函数图象求隧道截面的面积S 的最大值．(π取3.14，结果精确到0.1米)【答案与解析】(1)2S π=半圆(米2)；(2)①∵ AD ＝2r ，AD+CD ＝8，∴ CD ＝8-AD ＝8-2r ， ∴ 2221112(82)416222S r AD CD r r r r r πππ⎛⎫=+=+-=-+ ⎪⎝⎭．②由①知，CD ＝8-2r ，又∵ 1.2米≤CD≤3米， ∴ 2≤8-2r≤3，∴ 2.5≤r≤3．由①知，214162S r r π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭228642.4316 2.434 2.43 2.43r r ⎛⎫-+=--+ ⎪⎝⎭≈． ∵ -2.43＜0，∴ 函数图象为开口向下的抛物线，函数图象对称轴83.32.43r =≈， 又2.5≤r≤3，由函数图象知，在对称轴左侧S 随r 的增大而增大，故当r ＝3时，S 有最大值．21431632S π⎛⎫=-⨯+⨯ ⎪⎝⎭最大1 3.14494826.12⎛⎫⨯-⨯+ ⎪⎝⎭≈≈(米2)．【点评】解此类问题，一般先应用几何图形的面积公式，写出图形的面积与边长之间的关系，再用配方法或公式法求顶点坐标，结合二次函数性质与自变量的取值范围确定最大面积．①根据几何图形的面积公式可求关于面积的函数解析式，②利用二次函数的有关性质，在自变量的取值范围内确定面积的最大值．举一反三：【练习1.】已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE （如图），其中AF=2，BF=1．试在AB 上求一点P ，使矩形PNDM 有最大面积【答案与解析】解：设矩形PNDM 的边DN=x ，NP=y ， 则矩形PNDM 的面积S=xy （2≤x≤4） 易知CN=4-x ，EM=4-y ． 过点B 作BH ⊥PN 于点H 则有△AFB ∽△BHP ∴PH BH BF AF =，即3412--=y x， ∴521+-=x y ， x x xy S 5212+-==)42(≤≤x ，此二次函数的图象开口向下，对称轴为x=5， ∴当x≤5时，函数值y 随x 的增大而增大， 对于42≤≤x 来说，当x=4时，12454212=⨯+⨯-=最大S ． 【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力．同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间．【练习2.】(08山东聊城)如图，把一张长10cm ，宽8cm 的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．（1）要使长方体盒子的底面积为48cm2，那么剪去的正方形的边长为多少？（2）你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况？如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由；（3）如果把矩形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的矩形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，是否有侧面积最大的情况；如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由．【答案与解析】解：（1）设正方形的边长为cm，则．即．解得（不合题意，舍去），．剪去的正方形的边长为1cm．（2）有侧面积最大的情况．设正方形的边长为cm，盒子的侧面积为cm2，则与的函数关系式为：．即．改写为．当时，．即当剪去的正方形的边长为2.25cm时，长方体盒子的侧面积最大为40.5cm2．（3）有侧面积最大的情况．设正方形的边长为cm，盒子的侧面积为cm2．若按图1所示的方法剪折， 则与的函数关系式为：x xx x y ⋅-⋅+-=22102)28(2 即．当时，．若按图2所示的方法剪折， 则与的函数关系式为：x xx x y ⋅-⋅+-=2282)210(2． 即．当时，．比较以上两种剪折方法可以看出，按图2所示的方法剪折得到的盒子侧面积最大，即当剪去的正方形的边长为cm 时，折成的有盖长方体盒子的侧面积最大，最大面积为cm 2．。
二次函数与实际问题典型例题
二次函数与实际问题典型例题【实用版】目录1.二次函数与实际问题的关系2.典型例题解析3.总结与建议正文二次函数与实际问题的关系二次函数是数学中的一个重要概念，它在实际问题中有着广泛的应用。
通过对二次函数的学习和理解，我们可以更好地解决实际问题，提高自己的数学素养。
典型例题解析例题 1：某商场在推出优惠活动，满 200 元打 8 折，满 300 元打7 折。
现在，小明想买一件价格为 x 元的商品，请问小明应该如何选择，才能使自己所花费的钱最少？解：将小明要购买的商品价格设为 x 元，那么他需要支付的金额可以表示为 f(x)=x+0.2(x-200)+0.3(x-300)，其中 x>300。
通过求导，可以得到 f(x) 的最小值出现在 x=400，此时小明需要支付的金额为f(400)=360 元。
所以，小明应该选择购买价格为 400 元的商品，才能使自己所花费的钱最少。
例题 2：一个农民有一块形状为抛物线的土地，他想在土地上种植庄稼，使得种植的庄稼面积最大。
已知土地的顶点为 (1,2)，抛物线方程为y=a(x-1)^2+2。
请问农民应该如何种植庄稼？解：由于 a<0，所以抛物线开口向下。
根据二次函数的性质，顶点是函数的最大值点。
所以，农民应该在土地的顶点处种植庄稼，即 x=1，此时庄稼的面积最大，为 2。
总结与建议通过对二次函数与实际问题的典型例题进行解析，我们可以发现数学知识在解决实际问题中的重要性。
为了更好地应对类似的问题，我们建议：1.加强对二次函数概念的学习，了解其性质和应用；2.多做练习题，提高自己对二次函数问题的解题能力；3.注重数学知识的实际应用，学会将理论知识运用到实际问题中。
专题十一 实际问题与二次函数
专题十一 实际问题与二次函数例题分析：例1．某商品的进货单价为30元。
如果按单价40元销售，能买出40个。
销售单价每涨1元，销量就减少1个。
为获得最大利润，此商品的最佳售价应定为每个多少元？例题2.某百货商店服装柜在销售时发现：“天慧”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六．一”国际儿童节，•商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存，经市场调查发现，如果每件童装每降价2元，那么平均每天就可多售出4件，要想平均每天在销售这种童装上获得最大利润，那么每件童装应降价多少元？ 练习： 一、基础探究1．某商品销售一种纪念品，已知成批购进时单价为4元，根据市场调查，销售量与销售单价为一段时间内满足如下关系：单价为10元时销售量为300枚，•而单价每降低1元，就可多售出5枚，那么当销售单价为_______元时，可以获得最大利润，•最大利润为_______． 2．如果直线y=ax+b （ab ≠0）不经过第三象限，那么抛物线y=ax 2+bx 的顶点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．如图，如果抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点，•与y 轴交于C 点，且OB=OC=12OA ，那么b 的值为（ ）A ．-2B ．-1C ．-12D ．124．抛物线y=x 2+bx+c 与y 轴交于A 点，与x 轴的正半轴交于B 、•C 两点，且BC=2，S △ABC =3，则b 的值为（ ） A ．-5 B ．-4 C ．4 D ．4或-45．已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则：（1）这个二次函数的解析式为__________；（2）当x=______时，y=3． （3）根据图象回答：当x______时，y>0；当x______时，y<0．6．若二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则直线y=abx+c 不过第_____象限．7．函数y=ax 2+bx+c 中，若ac<0，则它的图象与x 轴的关系是（ ）A ．没有交点B ．有两个交点C ．一个交点D ．不能确定 8．已知方程2x 2-3x-5=0的两根是52，-1，则二次函数y=2x 2-3x-5的图象与x 轴的两个交点间的距离是_______．9．抛物线y=-x 2-2x+3与x 轴的两个交点坐标分别是______、_______；•分解二次三项式-x 2-2x+3=_________．10．如图26-3-2所示，一位运动员在距篮下4m 处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离是2.5m 时，达到最大高度3.5m ，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05m ．（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式．（2）该运动员身高1.8m ，在这次跳投中，球在头顶上0.25m 处出手，问：球出手时，他距离地面的高度是多少？二、能力提升11．一列火车自A 城驶往B 城，沿途有n 个车站（包括起点站A•和终点站B ）．该列火车挂有一节邮政车厢，运行时需要在每个车站停靠，•每停靠一站不仅要卸下已经通过的各车站发给该站的邮包各一个，•还得装上该站发往下面行程中每个车站的邮包各一个．例如，当列车停靠在第x 个车站时，邮政车厢上需要卸下已经通过的（x-1）个车站发给该站的邮包共（x-1）个，还要装上下面行程中要停靠的（n-x ）个车站的邮包共（n-x ）个． （1）根据题意完成下表：（2）根据上表，写出列车在第x 个车站启程时，邮政车厢上只有邮包的个数y （•用x 、n 表示）．（3）当n=18时，列车在第几个车站启程时邮政车厢上邮包的个数最多？12．已知某型汽车在干燥的路面上，汽车停止行驶所需的刹车距离与刹车时的车速之间有下表所示的对应关系．（126-3-7•所示的坐标系中描点连线，画出函数的图象；（2）观察所画的函数的图象，你发现了什么？（3）若把这个函数的图象看成是一条抛物线，请根据表中所给的数据，选择三对，求出它的函数关系式；（4）用你留下的两对数据，验证一下你所得到的结论是否正确．13．某百货商店服装柜在销售时发现：“天慧”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六．一”国际儿童节，•商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存，经市场调查发现，如果每件童装每降价4元，那么平均每天就可多售出8件，要想平均每天在销售这种童装上获得最大利润，那么每件童装应降价多少元？14．如图所示，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O 恰在水面中心，OA=1.25m，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水柱形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处到达距水面最大高度2.25m．（1）如果不计其他因素，那么水池的半径至少为多少，•才能使喷出的水流不致落到池外？（2）若水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池的半径为3.5m，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达多少？（精确到0.1m）15．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/s•的速度移动，如果P、Q两点同时出发，分别到达B、C两点后就停止移动．（1）设运动开始后第ts时，五边形APQCD的面积是Scm2，写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；（2）t为何值时，S最小？最小值是多少？16．如图所示，•某市一条高速公路的隧道口在平面直角坐标系上的示意图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是16m，宽是6m，•抛物线可以用y=-132x2+8表示．（1）现有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽为4m，车载大型设备的顶站与路面的距离均为7m，它能否完全通过这个隧道？请说明理由．（2）如果该隧道内设双行道，那么这辆运货汽车沿隧道中线右侧行驶能否完全通过这个隧道？说明理由．（3）为完全起见，你认为隧道应限高多少比较适宜？为什么？三综合探究17．如图26-3-13①所示，某商业公司为指导某种应季商品的生产和销售，对三月份至七月份该商品的销售和成本进行了调研，结果如下：•每件商品的售价M元与时间（月）的关系可以用一条线段上的点来表示，每件商品的成本Q（元）与时间t（月）的关系可用一条抛物线的一部分上的点来表示（如图26-3-13②所示）．（说明：图中的每个实心黑点所对应的纵坐标分别指相应月份的售价和成本）．请你根据图象提供的信息回答：（1）每件商品3月份出售时的利润（利润=售价-成本）是多少元？（2）求图26-3-13②中表示的每件商品的成本Q（元）与时间t（月）之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）；（3）你能求出三月份至七月份每件商品的利润W（元）与时间t（月）•之间的函数关系式吗？（请写出计算过程，不要求写自变量的取值范围），•若该公司共有此种商品30000件，准备一个月内全部售完，请你计算一下至少获利多少元？18．捕鱼季节，•一渔货经销商从渔港码头按市场价收购了某种活鱼500千克，这种鱼此时市场价为20元/千克，但这种鱼如果不及时放养，•最多只能存活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的鱼死去，假设放养期间鱼的个体重量基本保持不变，而从收购后1千克活鱼的市场价每天可上涨1元，但是放养一天需各种费用支出150元，且平均每天还有5千克鱼死去，•假定死鱼能于当天全部售出，售价都是10元/千克．（1）设x天后每千克活鱼的市场价为P元，写出P关于x的函数关系式；（2）如果放养x天后将活鱼一次性出售，并设500千克鱼的销售总额为Q元，•写出Q 关于x的函数关系式；（3）该经销商将这批活鱼放养多少天后出售，可获得最大利润（利润=销售总额-•收购成本-费用）？最大利润是多少？19．如图26-3-14所示，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从A点出发，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时，Q点从B点出发，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q两点分别到达B、C两点后就停止移动，解答下列问题：（1）运动开始后第几秒时，△PBQ的面积等于8cm2？（2）设运动开始后第t秒时，五边形APQCD的面积为Scm2，写出S与t的函数关系式，•并指出自变量的取值范围．20．如图26-3-15所示，有长为24m的篱笆，一面利用墙（•墙的最大可用长度a为10m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为xm，面积为Sm．（1）求S与x的函数关系式；（2）如果要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少？（3）能围成面积比45m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．中考专题十一实际问题与二次函数答案：1．10 1 8002．A3．C 点拨：由题意知OC=c，∴OB=c，OA=2c，∴方程ax2+bx+c=0的根为x1=-2c，x2=c，∴22(2)(2)0,0.a cbc cac bc c⎧-+-+=⎪⎨++=⎪⎩∴4210,10.ac bac b-+=⎧⎨++=⎩由②×4-①，得6b+3=0，∴b=-12．4．D5．（1）y=x2-2x （2）-1或3 （3）小于0或大于2，大于0小于2 6．四7．B8．72点拨：由方程2x2-3x-5=0的两根是52，-1知二次函数y=2x2-3x-5的图象与x轴的两个交点为（52，0），（-1，0），所以它们之间的距离是72．9．（-3，0）（1，0） -（x+3）（x-1）10．（1）顶点为（0，3.5），篮圈坐标为（1.5，3.05）．设函数解析式为y=ax2+3.5•，代入（1.5，3.05）解得a=-0.2，故篮球运行轨迹所在的抛物线的解析式为y=-0.2x2+3.5．（2）当x=-2.5时，y=2.25．故跳投时，距地面的高度为2.25-1.8-0.25=0.2m． 8．C11．（1）如下表所示：（2）y=x（n-x（3）当n=18时，y=x（18-x）=-x2+18x=-（x-9）2+81，当x=9时，y取得最大值，所以列车在第9个车站启程时，邮政车厢上邮包的个数最多．12．（1）函数的图象如图所示．（2）图象可看成一条抛物线，这个函数可看作二次函数． （3）设所求函数关系式为： s=av 2+bv+c ，把v=48，s=22.5；v=64，s=36；v=96，s=72分别代入s=av 2+bv+c ，得 222484822.5,646436,969672.a b c a b c a b c ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩解得3,5123,160a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩∴s=3512v 2+316v ． （4）当v=80时，3512v 2+316v=3512×802+316×80=52.5．当v=112时，3512v 2+316v=3512×1122+316×112=94.5．经检验，所得结论是正确的．13．设每件童装应降价x 元．由题意可列关系式为（20+2x ）（40-x ）=-2x 2+60x+800=-2（x-15）2+1 250， 则x=15时可获得最大利润．∴每件童装应降价15元．14．（1）如图所示，建立坐标，设一条抛物线顶点为B ，水流落水与x 轴交点为C ，•根据题意有A （0，1.25），B （1，2.25），设抛物线为y=a （x-1）2+2.25．将点A 坐标代入，得a=-1， ∴y=-（x-1）2+2.25． 令y=0，得x 1=-0.5（舍去）． x 2=2.5．∴水池的半径至少要2.5m ．（2）由于抛物线形状与（1）相同可设此抛物线为y=-（x+m ）2+k ， 再将点A （0，1.25）及点（3.5，0）代入，解方程组可求得m=-117，k=3141196≈3.7，所以，此时水流最大高度达3.7m ． 15．（1）S=t 2-6t+72；0<t<6（2）由S=（t-3）2+63．即当t=3时，S 有最小值为63cm 2． 16．（1）抛物线BCB 的表达式为y=-132x 2+8．x=2时，y=778m>7m ，所以汽车能完全通过．（2）当x=4时，y=7.5m>7m ，所以仍能安全通过．（3）限高为7.2m 较适宜．（答案不唯一，符合情理即可） ∴D 点的坐标为（2，2）．∵点P 在直线ED 上，故设P 点的坐标为（x ，2）， ∵P 在抛物线上， ∴2=x 2-4x ，x=42±=2∴P （2+，2）或P （，2）为所求． 17（1）5元；（2）Q=-13t 2+4t-8； （3）W=13（t-5）2+113．t=5时，W 最小=113元． ∴30 000件商品一个月内售完至少获得110 000元利润． 18．（1）P=20+x ；（2）Q=（500-5x ）（20+x ）+50x ； Q=-5x 2+450x+10 000；（3）设总利润为M ，M=Q-10 000-150x=-5x 2+300x ． 当x=30时，总利润最大，最大利润是4 500元． 19．（1）设运动开始后第xs 时，△PBQ 的面积等于8cm 2， 根据题意，得12·（6-x ）·2x=8，∴x 2-6x+8=0， ∴x 1=4，x 2=2．答：运动开始后第2s 或第4s 时，△PBQ 的面积等于8cm 2．（2）由题意得S=6×12-12（6-t ）·2t ，∴S=t 2-6t+72（0<t<6）．点拨：在实际应用中，应注意自变量取值范围不再是全体实数这一根据所在． 20．（1）∵AB=xm ，∴BC=（24-3x）m．∴S=x（24-3x）=-3x2+24x．∵x>0，0<24-3x≤10，∴143≤x<8．∴S与x的函数关系式是S=-3x2+24x（143≤x<8）．（2）当S=45时，-3x2+24x=45，即x2-8x+15=0．解得x1=3，x2=5．而当x=3时，不满足143≤x<8，故舍去，只取x=5．∴要围成面积为45m2的花圃，AB的长是5m．（3）不能围成面积比45m2更大的花圃．∵当S>45时，-3x2+24x>45，即x2-8x+15>0．∴（x-3）（x-5）>0．∵143≤x<8，∴x-3>0，x-5>0．∴x>5，∴5<x<8．∵S=-3x2+24x=-3（x-4）2+48，∴当x>4时，S随x的增大而减小．∴当5<x<8时，S随x的增大而减小．∴不能围成面积比45m2更大的花辅．。
二次函数解决实际问题练习
二次函数解决实际问题1、某企业投资100万元引进一条农产品生产线，预计投产后每年可创收33万元，设生产线投产后，从第一年到第 x 年维修、保养费累计．为 y（万元），且 y＝ax2＋bx，若第一年的维修、保养费为 2 万元，第二年的为 4 万元.求：y 的解析式.2、如图，用长为50米的篱笆围成一个养鸡场，养鸡场的一面靠墙。
问如何围，才能使养鸡场的面积最大？3、用 6m 长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框，应做成长、宽各为多少时，才能使做成的窗框的透光面积最大？最大透光面积是多少？4、商场销售一批衬衫，每天可售出 20 件，每件盈利 40 元，为了扩大销售，减少库存，决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果一件衬衫每降价 1 元，每天可多售出 2 件. ①设每件降价 x 元，每天盈利 y 元，列出 y 与 x 之间的函数关系式；②若商场每天要盈利 1200 元，每件应降价多少元？③每件降价多少元时，商场每天的盈利达到最大？盈利最大是多少元？5、有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为 4m，跨度为 10m，如图所示，把它的图形放在直角坐标系中. ①求这条抛物线所对应的函数关系式. ②如图，在对称轴右边 1m 处，桥洞离水面的高是多少？6、如图，某公园要设计一圆形喷水池，水流在各方向沿形状相同的抛物线落下.建立如图所示的坐标系，如果喷头所在处A(0，1.25)，水流路线最高处B(1，2.25),如果不考虑其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外。
7、一位运动员在距篮下4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落人篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05m．(1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式．(2)假如该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问球出手时他跳离地面的高度是多少？。
利用二次函数解决实际问题
利用二次函数解决实际问题二次函数是数学中重要的一类函数，它具有许多应用于实际问题的能力。
通过解决二次函数相关的实际问题，我们可以更好地理解和应用这一数学工具。
本文将通过几个实际问题的案例，详细介绍如何利用二次函数解决这些问题。
案例一：抛物线的高度与水平距离的关系假设一个小球以一定的初速度从地面上抛出，并以二次函数描述它的高度与水平距离的关系。
首先，我们可以建立抛物线方程：h = ax² + bx + c其中，h为小球的高度，x为水平距离，a、b、c为常数。
当小球达到最高点时，它的速度为零，根据这一条件，可以求得抛物线的顶点坐标为（-b/2a，c-b²/4a）。
通过这一顶点坐标和给定的初速度，可以解得a、b、c的具体值。
有了这些参数，我们就能方便地计算小球在任意水平距离上的高度。
案例二：曲线拟合与数据预测在实际问题中，我们常常需要通过一些已知数据点来拟合出一个曲线，并利用这个曲线对未知数据进行预测。
二次函数是一种常用的曲线模型，因为它能很好地适应一些非线性的数据分布。
具体做法是，通过最小二乘法来求得二次函数的参数，使得拟合曲线与已知数据点之间的误差最小化。
然后，利用这个拟合曲线，我们就可以对未知数据进行预测。
这一方法在经济预测、气象预报等领域有着广泛的应用。
案例三：最优化问题二次函数也可以应用于最优化问题的求解。
以抛物线形式的二次函数为例，假设我们需要在一条直线上选择一个点，使得它到抛物线的距离最小。
这可以被看作是一个最优化问题，即求解抛物线与直线的最短距离。
我们可以通过求解二次函数和直线的交点来解决这个问题。
具体的求解过程利用了二次函数的性质和一些微积分的知识。
总结：通过上述几个案例，可以看出二次函数在实际问题中的广泛应用。
它可以用于描述抛物线的运动、拟合非线性数据以及求解最优化问题等。
通过解决这些实际问题，我们不仅巩固了对二次函数的理解，也提升了数学在实际应用中的能力。
因此，在学习和应用二次函数时，我们应该注重理论知识和实际问题的结合，这样才能更好地掌握和利用二次函数。
实际问题与二次函数典型l例题
1. 某商品的售价为每件60 元，进价为每件40元，每星期可卖出300件，该商场一星期卖这种商品的利润为元。
2、我班某同学的父母开了一个小服装店,出售一种进价为40元的服装,现每件60元,每星期可卖出300件. 该同学对父母的服装店很感兴趣,因此,他对市场作了如下的调查: 如调整价格,每降价1元,每星期可多卖出20件. 请问同学们,该如何定价,才能使一星期获得的利润最大?3、某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售(按部门规定，单价不超过每件70元)，可以卖出(100- x)件，应如何定价才能使利润最大？4、某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱。
(1)求平均每天销售量y(箱)与销售价x(元/箱)之间的函数关系式；(2)求该批发商平均每天的销售利润ω(元)与销售价x(元/箱)之间的函数关系式；(3)当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？5、某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利5元，每天可售出200千克，经市场调查，在进价不变的情况下，若每千克涨价1元，销量将减少10千克（1）该商场要保证每天盈利1500元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？（2）若该商场单纯从经济利益角度考虑，这种水果每千克涨价多少元，能使商场获利最多？6、某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过程，下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s与t之间的关系）.（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与销售时Array间t（月）之间的函数关系式；（2）求截止到几月累积利润可达到30万元；（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？1、已知一个长方形场地的周长为60，一边长为m ，请你写出这个长方形场地的面积S 与这条边长m 之间的函数关系式____。
5实际问题与二次函数
实际问题与二次函数1、一个边长为3厘米的正方形，若它的边长增加x厘米，面积随之增加2、有一个抛物线形拱桥，其最大高度为16米，跨度为40米，现把它的示意图放在如图所示的平面直角坐标系中，则此抛物线的解析式第2题第4题第5题第7题3、将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做一个正方形，则这两个正方形的面积之和的最小值是4、如图，一小孩将一只皮球从A处抛出去，它经过的路线是某个二次函数图像的一部分，如果他的出手处A距地面OA为1m，球路的最高点为B（8,9），则这个二次函数的表达式为，小孩将球抛出约米。
5、如图是某公园一圆形喷水池，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，建立如下图所示的坐标系，如果喷头所在处A(0,1.25)，水流路线最高处M（1，2.25），则该抛物的解析式为。
如果不考虑其他因素，那么水池的半径至少要m，才能使喷出的水流不至落到池外。
6、某文具店出售某种文具盒，若每个获利x元，一天可售（6－x）个，则当x= 时，一天出售这种文具盒的总利润y最大。
7、如图，线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC,BC为斜边在的同侧作两个等要直角三角形△ACD和△BCE，那么DE长的最小值是。
三、解答题1、小磊要制作一个三角形的钢架模型，再这个三角形中，长度为xcm的边与这条边上的高之和为40cm，这个三角形的面积Scm2随x的变化而变化。
（1）请直写出S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；（2）当x是多少时，这个三角形面积S最大？最大面积是多少？2、如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米，现以O为原点米，OM所在的直线为x轴建立直角坐标系。
（1）直接写出点M的坐标及抛物线顶点P的坐标；（2）求这条抛物线的解析式；（3）若有搭建一个矩形的“支撑架”AD－DC－CB,使C,D点在抛物线上，A,B 点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？3、大学生王强积极响应“自主创业”的号召，准备投资销售一种进价为40元的小家电，通过试营销发现，当销售单价在40元至90元之间（含40元和90元）时，每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数，其图像如图所示。
二次函数解决实际问题
利用二次函数解决实际问题类型一：利用二次函数解决面积最值（面积优化问题）1、某广告公司设计一幅周长为20 m的矩形广告牌，设矩形的一边长为x m，广告牌的面积为S m2．(1)写出广告牌的面积S与边长x的函数关系式；(2)当x为何值时，广告牌面积S 最大？最大值为几？2、如图，有长为24 m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度a为10 m)，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．(1)如果要围成面积为45 m2的花圃，AB的长是多少米？(2)能围成面积比45 m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．3、用48米长的竹篱笆围建一矩形养鸡场,养鸡场一面用砖砌成,另三面用竹篱笆围成,并且在与砖墙相对的一面开2米宽的门(不用篱笆),问养鸡场的边长为多少米时,养鸡场占地面积最大?最大面积是多少?4、明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）．花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？☆类型二、利用二次函数解决利润最值问题（利润优化问题）1、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降低多少元时，商场平均每天盈利最多？利润最多为多少元？▲2、（讨论）某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在某一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件. 请你帮助分析:销售单价是多少时,可以获利最多?最大利润为多少？3、某种粮大户去年种植优质水稻360亩，今年计划增加承租x（100≤x≤150）亩。
二次函数与实际问题
1.某学校初三年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高920m ，与篮筐中心的水平距离为7m ，当球出手后水平距离为4m 时到达最大高度4m ，设篮球运行轨迹为抛物线，篮筐距地面3m .（1） 建立如图的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？（2） 此时，若对方队员乙在甲面前1m 处挑起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m ，那么他能否获得成功？（3） 建立如图的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？（4） 此时，若对方队员乙在甲面前1m 处挑起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m ，那么他能否获得成功？2..已知:在⊙O 的内接△ABC 中,AB+AC=12,AD ⊥BC 于D,且AD=3,设⊙O 的半径为y, AB 的长为x.(1)求y 与x 之间的函数关系式;(2)当AB 的长为多少时,⊙O 的面积最大?并求出⊙O 的最大面积.3..如图，直线AB 过x 轴上的点A (2，0)，且与抛物线y =ax 2相交于B 、C 两点，B 点坐标为(1，1).(1)求直线和抛物线所表示的函数表达式;(2)在抛物线上是否存在一点D ，使得S △OAD =S △OBC ，若不存在，说明理由；若存在，请求出点D 的坐标，与同伴交流.4.某地要建一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA ，O 恰在水面中心，安置在柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA 的任一平面上，抛物线的形状都如图所示，建立如图的平面直角坐标系，水流喷出的高度y （米）与水平距离x （米）之间的表达式是4522++-=x x y . (1)求柱子OA 的高度为多少米？（2）喷出的水流距水平面的最大高度是多少米？5.抛物线的对称轴是x =1，交x 轴于A （-1，0）、B ，交y 轴于C （0，23）.（1）求出抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上的x 轴上方的一个动点，求ABP ∆的面积的最大值.6.某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000元.设举行的一边长为x 米，面积为S 平方米.（1）求出S 与x 之间的函数关系式，并确定自变量x 的取值范围；（2）请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用；（3）为使广告牌美观、大方，设计成黄金矩形，那么可获得的设计费是多少元？（精确到1元）。
26.3(2)实际问题与二次函数
解：（１）∵P、Q分别从A、C两点同时出发， 速度相等 ∴AP=CQ=x 当P在线段AB上时 D
x C
S PCQ
A 1 1 2 S x(2 x) x x (0 x 2) 2 2
1 1 CQ PB AP PB 2 2
x P 2-x B
+ 4 -4）
C Q x
8-2x
= -（x-2）2 +4
B
所以，当P、Q同时运动2秒后Δ PBQ的面积y最大,
最大面积是 4cm2
例5:如图，等腰Rt△ABC的直角边AB＝２，点P、Q分别从A、C两点
同时出发，以相等的速度作直线运动，已知点P沿射线AB运动，
点Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线相交于点D。 (1)设 AP的长为x，△PCQ的面积为S，求出S关于x的函数关系式； Q (2)当AP的长为何值时，S = S
（2） S五边形APQCD S矩形ABCD SPBQ
1 解：（ 1 ）S PBQ (6 t ) 2t 8 解得：t1 2, t2 4. 2 72 (0 t 6)
1 S 6 12 2t (6 t ) 2
b 30 当l 15时， 2a 2 (1)
S最大值 152 30 15 225.
答：当l 15m时, 场地的面积最大（S最大值 225m ).
2
练习：已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直 角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大， 最大值是多少？
∴ 花圃宽为（24－4x）米
∴ S＝x（24－4x） ＝－4x2＋24 x （0<x<6）
A
D
x
x
23题实际问题与二次函数
实际问题与二次函数（1）1、某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品．已知每件产品的进价为40元，每年销售该种产品的总开支（不含进价）总计120万元．在销售过程中发现，年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间存在着如图所示的一次函数关系．（1）求y关于x的函数关系式；（2）试写出该公司销售该种产品的年获利z（万元）关于销售单价x（元）的函数关系式（年获利=年销售额一年销售产品总进价一年总开支）．当销售单价x为何值时，年获利最大并求这个最大值；（3）若公司希望该种产品一年的销售获利不低于40万元，借助（2）中函数的图象，请你帮助该公司确定销售单价的范围．在此情况下，要使产品销售量最大，你认为销售单价应定为多少元？2、在“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进一批单价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲．经试验发现，若每件按24元的价格销售时，每天能卖出36件；若每件按29元的价格销售时，每天能卖出21件．假定每天销售件数y（件）与销售价格x（元/件）满足一个以x为自变量的一次函数．（1）求y与x满足的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；（2）在不积压且不考虑其他因素的情况下，销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润P 最大？3、某商家独家销售具有地方特色的某种商品，每件进价为40元．经过市场调查，一周的销售量y件与销售单价x（x≥50）元/件的关系如下表：（1）直接写出y与x的函数关系式：（2）设一周的销售利润为S元，请求出S与x的函数关系式，并确定当销售单价在什么范围内变化时，一周的销售利润随着销售单价的增大而增大？（3）雅安地震牵动亿万人民的心，商家决定将商品一周的销售利润全部寄往灾区，在商家购进该商品的贷款不超过10000元情况下，请你求出该商家最大捐款数额是多少元？4、某商场将进价为4000元的电视以4400元售出，平均每天能售出6台．为了配合国家财政推出的“节能家电补贴政策”的实施，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：这种电视的售价每降价50元，平均每天就能多售出3台．（1）现设每台电视降价x元，商场每天销售这种电视的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式．（不要求写出自变量的取值范围）（2）每台电视降价多少元时，商场每天销售这种电视的利润最高？最高利润是多少？（3）商场要想在这种电视销售中每天盈利3600元，同时又要使百姓得到更多实惠，每台电视应降价多少元？根据以上的结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于3600元？5、某市政府大力扶持大学生创业，李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y=-10x+500．（1）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？6、某超市经销一种销售成本为每件40元的商品．据市场调查分析，如果按每件50元销售，一周能售出500件，若销售单价每涨1元，每周销售量就减少10件．设销售单价为每件x元（x≥50），一周的销售量为y件．（1）写出y与x的函数关系式．（标明x的取值范围）（2）设一周的销售利润为S，写出S与x的函数关系式，并确定当单价在什么范围内变化时，利润随着单价的增大而增大？（3）在超市对该种商品投入不超过10 000元的情况下，使得一周销售利润达到8 000元，销售单价应定为多少？实际问题与二次函数（2）1、如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM 为12米．现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系． （1）直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标； （2）求这条抛物线的解析式；（3）若要搭建一个矩形“支撑架”AD-DC-CB ，使C 、D 点在抛物线上，A 、B 点在地面OM 上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？2、某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O 的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）.在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面米，入水处距池边的距离为4米，运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误. （1）求这条抛物线的解析式；（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为米，问此次跳水会不会失误？ 并通过计算说明理由3、如图，排球运动员站在点O 处练习发球，将球从O 点正上方2m 的A 处发出，把球看成点，其运行的高度y （m ）与运行的水平距离x （m ）满足关系式y=a （x-6）2+h ．已知球网与O 点的水平距离为9m ，高度为2.43m ，球场的边界距O 点的水平距离为18m ．（1）当h=2.6时，求y 与x 的关系式（不要求写出自变量x 的取值范围） （2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由； （3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h 的取值范围．4、一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈。
专题22.3.2 实际问题与二次函数(销售最大利润问题)(练习)(解析版)
第二十二章二次函数22.3.2 实际问题与二次函数（销售最大利润问题）精选练习答案基础篇一、单选题（共12小题)1．某大学生利用课余时间在网上销售一种成本为50元/件的商品，每月的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式为y=–4x+440，要获得最大利润，该商品的售价应定为（）A．60元B．70元C．80元D．90元【答案】C【解析】设销售该商品每月所获总利润为w，则w=（x–50）（–4x+440）=–4x2+640x–22000=–4（x–80）2+3600，∴当x=80时，w取得最大值，最大值为3600，即售价为80元/件时，销售该商品所获利润最大，故选C．2．某品牌钢笔进价8元，按10元1支出售时每天能卖出20支，市场调查发现如果每支每涨价1元，每天就少卖出2支，为了每天获得最大利润，其售价应定为（）A．11元B．12元C．13元D．14元【答案】D【解析】设利润为w，由题意得，每天利润为：w=（2+x）（20–2x）=–2x2+16x+40=–2（x–4）2+72．所以当涨价4元（即售价为14元）时，每天利润最大，最大利润为72元．故选D．3．某超市有一种商品，进价为2元，据市场调查，销售单价是13元时，平均每天销售量是50件，而销售价每降低1元，平均每天就可以多售出10件．若设降价后售价为x元，每天利润为y元，则y与x之间的函数关系为（）A．y=10x2﹣100x﹣160B．y=﹣10x2+200x﹣360C．y=x2﹣20x+36D．y=﹣10x2+310x﹣2340【答案】B【分析】根据等量关系“利润=（售价﹣进价）×（50+10×降价）”列出函数关系式即可．【详解】根据题意得：y=（x ﹣2）[50+10（13﹣x ）]整理得：y=﹣10x 2+200x ﹣360．故选：B ．【点睛】此题考查了从实际问题中抽象出二次函数关系式，掌握销售问题中的基本数量关系是解决问题的关键．4．某产品进货单价为9元，按10一件售出时，能售100件，如果这种商品每涨价1元，其销售量就减少10件，设每件产品涨x 元，所获利润为y 元，可得函数关系式为（ ）A ．y =−10x 2+110x +10B ．y =−10x 2+100xC ．y =−10x 2+100x +110D ．y =−10x 2+90x +100【答案】D【分析】根据总利润=单件利润×数量建立等式就可以得出结论．【详解】解：由题意，得y=（10+x -9）（100-10x ），y=-10x 2+90x+100．故选：D ．【点睛】本题考查了销售问题的数量关系的运用，总利润=单件利润×数量的运用，解答时找准销售问题的数量关系是关键．5．出售某种文具盒，若每个可获利x 元，一天可售出(6－x)个．当一天出售该种文具盒的总利润y 最大时，x 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C【解析】y=x (6-x )=-x 2+6x,x =-2b a =32=3.故选C. 6．在1～7月份，某地的蔬菜批发市场指导菜农生产和销售某种蔬菜，并向他们提供了这种蔬菜每千克售价与每千克成本的信息如图所示，则出售该种蔬菜每千克利润最大的月份可能是（ ）A ．1月份B ．2月份C ．5月份D ．7月份【答案】C【分析】先根据图中的信息用待定系数法表示出每千克售价的一次函数以及每千克成本的二次函数，然后每千克收益=每千克售价﹣每千克成本，得出关于收益和月份的函数关系式，根据函数的性质得出收益的最值以及相应的月份．【详解】设x 月份出售时，每千克售价为y 1元，每千克成本为y 2元，根据图甲设y 1=kx+b ，∴ {3k +b =56k +b =3， ∴ {k =−23b =7， ∴y 1=﹣23x+7，根据图乙设y 2=a （x ﹣6）2+1，∴4=a （3﹣6）2+1，∴a=13，∴y 2=（13x ﹣6）2+1，∵y=y 1﹣y 2，∴y=﹣23x+7﹣[13（x ﹣6）2+1]， ∴y=﹣13x 2+103x ﹣6．∵y=﹣13x 2+103x ﹣6，∴y=﹣13（x ﹣5）2+73．∴当x=5时，y 有最大值，即当5月份出售时，每千克收益最大．故选C ．【点睛】本题主要考查了一次函数和二次函数的应用，要注意需先根据图中得出两个函数解析式，然后再表示出收益与月份的函数式，再求解．7．某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨一元，月销售量就减少10千克．设销售单价为每千克x 元，月销售利润为y 元，则y 与x 的函数关系式为（ ）A ．y ＝（x ﹣40）（500﹣10x ）B ．y ＝（x ﹣40）（10x ﹣500）C ．y ＝（x ﹣40）[500﹣10（x ﹣50）]D ．y ＝（x ﹣40）[500﹣10（50﹣x ）]【答案】C【解析】分析：设销售单价定为每千克x 元,获得利润为y 元,则可以根据成本,求出每千克的利润.以及按照销售价每涨1元,月销售量就减少10千克,可求出销量.从而得到总利润关系式.详解：设销售单价为每千克x 元，此时的销售数量为500−10(x −50)，每千克赚的钱为x −40, 则y =(x −40)[500−10(x −50)].故选C.点睛：此题主要考查了二次函数在实际问题中的运用,根据利润=(售价-进价)×销量,列出函数解析式,求最值是解题关键.8．某商品的进价为每件40元，当售价为每件80元时，每星期可卖出200件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出8件，店里每周利润要达到8450元．若设店主把该商品每件售价降低x 元，则可列方程为（ ）A ．()()8020088450x x -+=B ．()()4020088450x x -+=C ．()()40200408450x x -+=D ．()()402008450x x -+=【答案】B【解析】利润=售价﹣进价，由每降价1元，每星期可多卖出8件，可知每件售价降低x 元，每星期可多卖出8x 件，从而列出方程即可．解：原来售价为每件80元，进价为每件40元，利润为每件40元，所以每件售价降价x 元后，利润为每件（40﹣x ）元．每降价1元，每星期可多卖出8件，因为每件售价降低x 元，每星期可多卖出8x 件，现在的销量为(200+8x )．根据题意得：（40﹣x ）×(200+8x ) =8450.故选B ．点睛：本题主要考查列一元二次方程解决实际问题.解题的关键在于要理解题意，并根据题中的数量关系建立方程.9．某商店经营皮鞋，所获利润y(元)与销售单价x(元)之间的关系为2242956y x x =-++，则获利最多为( )．A ．3144B ．3100C ．144D ．2956【答案】B【解析】试题解析：利润y (元)与销售的单价x (元)之间的关系为2242956y x x =-++， 2(12)3100.y x ∴=--+∵−1<0∴当x =12元时，y 最大为3100元，故选B.10．黄山市某塑料玩具生产公司，为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，这样有时企业会被迫停产，经过调研预测，它一年中每月获得的利润y （万元）和月份n 之间满足函数关系式y=﹣n 2+14n ﹣24，则企业停产的月份为（ ）A ．2月和12月B ．2月至12月C ．1月D ．1月、2月和12月【答案】D【分析】知道利润y 和月份n 之间函数关系式，求利润y 大于0时x 的取值．【详解】由题意知，利润y 和月份n 之间函数关系式为y=-n 2+14n -24，∴y=-（n -2）（n -12），当n=1时，y ＜0，当n=2时，y=0，当n=12时，y=0，故停产的月份是1月、2月、12月．故选：D ．【点睛】考查二次函数的实际应用，判断二次函数y ＞0、y=0、y ＜0，要把二次函数写成交点式，看看图象与x 轴的交点，结合开口分析，进行判断．11．某产品进货单价为90元，按100元一件出售时能售出500件．若每件涨价1元，则销售量就减少10件．则该产品能获得的最大利润为( )A ．5000元B ．8000元C ．9000元D ．10000元 【答案】C【解析】设单价定为x ，总利润为W ，则可得销量为：500-10（x -100），单件利润为：（x -90），由题意得，W=（x -90）[500-10（x -100）]=-10x2+2400x -135000=-10（x -120）2+9000，故可得当x=120时，W 取得最大，为9000元，故选C ．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是表示出销量及单件利润，得出W 关于x 的函数解析式，注意掌握配方法求二次函数最值的应用．12．（2019·黑龙江中考真题）某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，则平均每次降价的百分率为（ ）.A ．20%；B ．40%；C ．18%；D ．36%. 【答案】A【分析】可设降价的百分率为x ，第一次降价后的价格为()251x -，第一次降价后的价格为()2251x -，根据题意列方程求解即可.【详解】解：设降价的百分率为x根据题意可列方程为()225116x -= 解方程得115x =，295x =（舍） ∴每次降价得百分率为20%故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的在销售问题中的应用，正确理解题意，找出题中等量关系是解题的关键.二、填空题（共5小题)13．（2018·北京101中学初三月考）数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：售价（元/件）100 110 120 130 … 月销量（件） 200 180 160 140 …已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x （x≥100）元，则月销量是___________件，销售该运动服的月利润为___________元（用含x 的式子表示）.【答案】 2x +400 −2x 2+520x −24000【解析】分析：运用待定系数法求出月销量；根据月利润=每件的利润×月销量列出函数关系式． 详解：设月销量y 与x 的关系式为y=kx+b ，由题意得，{100k +b ＝200110k +b ＝180， 解得{k ＝−2b ＝400 . 则y=-2x+400；由题意得，y=（x -60）（-2x+400）=-2x 2+520x -24000点睛：本题考查的是二次函数的应用，一次函数的运用，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 14．某商场以30元/件的进价购进一批商品，按50元/件出售，平均每天可以售出100件．经市场调查，单价每降低5元，则平均每天的销售量可增加20件．若该商品想要平均每天获利1400元，则每件应降价多少元？设每件应降价x 元，可列方程为_________．【答案】(5030)1002014005x x ⎛⎫--+⨯= ⎪⎝⎭【解析】利润=单件利润⨯数量，本题中，单件利润=售价-成本单价 (50)30x =--提升篇5030x =--． 数量100205x =+⨯． ∴利润为1400时，单价利润⨯数量1400=，得到(5030)1002014005x x ⎛⎫--+⋅= ⎪⎝⎭． 15．（2008·吉林中考真题）某商店经营一种水产品，成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种水产品的销售情况，销售单价定为 元时，获得的利润最多.【答案】70【解析】解：设销售单价定为每千克x 元，获得利润为y 元，则：y=（x -40）[500-（x -50）×10]，=（x -40）（1000-10x ），=-10x 2+1400x -40000，=-10（x -70）2+9000，∴当x=70时，利润最大为9000元．16．某种商品的进价为40元，在某段时间内若以每件x 元出售，可卖出（100﹣x ）件，当x=____时才能使利润最大．【答案】70【分析】根据题意可以得到利润与售价之间的函数关系式，然后化为顶点式即可解答本题．【详解】解：设获得的利润为w 元，由题意可得，w=（x ﹣40）（100﹣x ）=﹣（x ﹣70）2+900，∴当x=70时，w 取得最大值，故答案是：70．【点睛】考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．17．某旅行社有100张床位，每床每日收费10元，客床可全部租出，若每床每日收费提高2元，则租出床位减少10张，若每床每日收费再提高2元，则租出床位再减少10张，以每提高2元的这种变化方法变化下去，每床每日提高____元可获最大利润。
实际问题与二次函数
0≤ x ≤ 4
0
4 5
x
巩固练习
某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单 价30元销售,那么半个月内可以售出400件.根据销 售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价 每提高1元,销售量相应减少20件.售价提高多少元 时,才能在半个月内获得最大利润?
反思小结：
请带着下列问题回顾“销售问题”的解决过程， 谈谈自己的感悟： (1) 说说你所知道的“销售问题”中的基本数量 关系； (2) 解决这种问题的基本步骤是什么？
3.已知某种钢笔的进价为每支4元，售价是每支 6元， 如果每天可卖出50支，那么这天的利润是多少元？
自主探究
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖 出300件．已知商品的进价为每件40元.市场 调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星 期要少卖出10件； 每降价1元，每星期可多卖出30件．
如果你是商店老板如何定价 才能使利润最大呢？
问题.某商品现在的售价为每件60元，每
星期可卖出300件．市场调查反映：如调整 价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件； 每降价1元，每星期可多卖出30件．已知商 品的进价为每件40元，如何定价才能使利润 最大？
在涨价情况下：物价局 1、当x= 5时，y最大，即在涨价情况下，涨 规定这种商品每件的利 价 5元，即定价 65 元时，利润最大，最大利润 润不能超 过进价的 为 6250 元。 60%。 2、当x= 5时，y最大，即在降价情况下，降 价 5元，即定价55元时，利润最大，最大利润 为 6750元。
布置作业：
教科书习题22.3第2，8题
比较1、2你知道怎样定价了吗？
能力拓展
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出 300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1 元，每星期要少卖出10件．已知商品的进价为 每件40元，为了保护消费者的权益，物价局规 定这种商品每件的利润不能超过进价的60%。 在这样的情况下如何定价才能使利润最大？
实际问题与二次函数专题练习
实际问题与二次函数专题练习1、某新建商场设有百货部、服装部和家电部三个经营部，共有190名售货员，计划全商场日营业额（指每日卖出商品所收到的总金额）为60万元，由于营业性质不同，分配到三个部的售货员的人数也就不等。
根据经验，各部门每1万元营业额所需售货员人数和每1万元营业额所得利润情况如下表。
商场将计划日营业额分配给三个营业部，设分配给百货部、服装部和家电部的营业额分别为x（万元），y（万元）和z（万元）（x、y、z都是整数）（1）请用含x的代数式分别表示y和z；（2）若商场预计每日的利润为C（万元），且C满足19≤C≤19.7，问这个商场应怎样分配日营业额给三个营业部？各部应分别安排多少名售货员？解：（1）依题意列方程组：得：（3）得：（4）（2）把（3）（4）式代入C：解此不等式得：∴x=8，9，10；y=23，21.5，20；z=29，29.5，30x、y、z都是整数∴x、y、z 的解分别为（8，23，29）或（10，20，30）答：这个商场分配日营业额方案为百货部8万元（40人），服装部23万元，售货员为92人，家电部为29万元，售货员为58人；或者是百货部营业额10万元，用人50，服装部20万元，80人，家部电30万元，60人。
2、某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满，当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲，宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用，根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元，设每个房间的房价每天增加x元（x为10的整数倍）。
（1）设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x 的取值范围；（2）设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式；（3）一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？解：（1）由题意得： y=50-，且0≤x≤160，且x为10的正整数倍．（2）w=（180-20+x）（50-），即w=-x2+34x+8000；（3）w=-x2+34x+8000=-（x-170）2+10890抛物线的对称轴是：x=-=-=170，抛物线的开口向下，当x＜170时，w随x的增大而增大，但0≤x≤160，因而当x=160时，即房价是340元时，利润最大，此时一天订住的房间数是：50-=34间，最大利润是：34×（340-20）=10880元．答：一天订住34个房间时，宾馆每天利润最大，最大利润为10880元．3、心理学家研究发现，一般情况下，学生的注意力随着教师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的注意力逐渐增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的状态，随后学生的注意力开始分散，经过实验分析可知，学生的注意力y，随时间t的变化规律有如下关系式：（1）讲课开始后第5分钟时与讲课开始后第25分钟时比较，何时学生的注意力更集中？（2）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？（3）一道数学难题，需要讲解24分钟，为了效果较好，要求学生的注意力最低达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？解：（1）当x=5时，y=195，当x=25时，y=205，∵205> 195，∴讲课开始后第25分钟时学生的注意力比讲课开始后第5分钟时更集中；（2）当0＜t≤10时，y=-t2+24t+100=-（t-12）2+244，该图像的对称轴为t=12，在对称轴左侧，y随t的增大而增大，所以，当t=10时，y有最大值240，当20＜t≤40时，y=-7t+380，y随t的增大而减小，所以，当t=20时，y 有最大值240，所以，讲课开始后10分钟时，学生的注意力最集中，能持续10分钟；（3）当0＜t≤10时，令y=-t2+24t+100=180，∴t=4，当20＜t≤40时，令y=-7t+380=180，∴t=28.57，所以，学生注意力在180以上的持续时间为28.57-4=24.57（分钟），所以，老师可以经过适当安排，能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目。
二次函数与实际问题典型例题
二次函数与实际问题典型例题二次函数是一种常见的数学函数形式，其一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a不等于0。
它在实际问题中有许多应用，下面我将从多个角度给出一些典型例题，以展示二次函数与实际问题的关系。
1. 抛物线的高度问题，假设一个物体从地面上抛，忽略空气阻力，其高度与时间的关系可以用二次函数表示。
例如，一个抛物线的方程可以是h(t) = -5t^2 + 10t + 2，其中h表示高度，t表示时间。
通过解方程可以求得物体的最高点、飞行时间等信息。
2. 弹性问题，当一个弹簧的伸长或压缩距离与施加的力之间存在线性关系时，其运动可以由二次函数描述。
例如，弹簧的伸长或压缩距离与施加的力的关系可以表示为d(f) = af^2 + bf + c，其中d表示伸长或压缩距离，f表示施加的力。
3. 成本与产量问题，在某些生产过程中，成本与产量之间可能存在二次函数关系。
例如，一个公司的成本可以表示为C(x) =ax^2 + bx + c，其中C表示成本，x表示产量。
通过分析二次函数的图像，可以找到最小成本对应的产量。
4. 面积最大化问题，在某些几何问题中，要求找到一个形状的最大面积。
例如，给定一定长度的围墙，如何构造一个矩形花园使得其面积最大？通过建立二次函数模型，可以解决这类问题。
5. 轨迹问题，在物理学或工程学中，研究物体在一定条件下的轨迹是常见的问题。
例如，一个抛物线的轨迹可以由二次函数表示。
通过分析二次函数的性质，可以求解物体的轨迹方程。
总之，二次函数在实际问题中有广泛的应用，涉及到物理学、经济学、几何学等多个领域。
通过建立二次函数模型，可以解决许多实际问题，并对问题进行分析和预测。
二次函数现实生活题目
二次函数现实生活题目
以下是一些与二次函数相关的现实生活问题：
1. 抛物线型拱桥问题：当一个抛物线形状的拱桥满载时，如何计算通过它的车辆的最大数量？这涉及到二次函数在特定条件下的最大值或最小值的计算。
2. 篮球运动轨迹分析：篮球运动员投篮时，篮球的运动轨迹可以近似为二次函数。
通过分析这个二次函数，可以预测篮球的落点，从而帮助运动员提高投篮的准确率。
3. 房屋贷款和利息：房屋贷款通常涉及到一个二次函数，用于计算每个月需要还款的金额。
这是一个典型的利用二次函数解决实际问题的情况。
4. 药物剂量和疗效：在医学中，药物的剂量和疗效之间的关系可以用二次函数来描述。
通过调整剂量，可以找到最佳的治疗效果。
5. 火箭发射和重力：火箭发射时，重力是影响火箭高度的关键因素之一。
火箭的高度和时间的关系可以用二次函数来描述。
6. 音乐和声学：音乐中的和声学涉及到频率和音量的关系，这也可以用二次函数来描述。
例如，一个乐器的音高可以通过调整其振动频率来改变，而频率和振幅之间的关系可以用二次函数来描述。
7. 经济学和供需关系：在经济学中，供需关系可以用二次函数来描述。
例如，供应量和价格之间的关系可能是一个二次函数，通过分析这个函数，可以预测市场的价格变动。
希望这些问题能够给你一些启示，也鼓励你发现和提出更多与二次函数相关的现实生活问题。
16实际问题与二次函数专题训练(4大题型35题)
22.3实际问题与二次函数专题训练（4大题型35题）题型1：几何问题-面积问题1．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园（如图所示），其中一边靠墙（墙长为18m），另外三边用32m的篱笆围成．（1）令苗圃园长（平行于墙的边长）为xm，宽为ym，写出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）若苗圃园的面积为96m2，求垂直于墙的一边长为多少米？（3）苗圃园的面积能否达到150m2？请说明理由；并写出苗圃园的面积最大值．2．目前世界上有10亿多人以马铃薯为主粮，为国家粮食安全，丰富农民收入来源，某区试点马铃薯种植，给予每亩地每年发放150元补贴．年初，种植户金大伯根据以往经验，考虑各种因素，预计本年每亩的马铃薯销售收入为2000元，以及每亩种植成本y（元）与种植面积x（亩）之间的函数关系如图所示．（1）根据图象，求出y与x之间的函数关系式．（2w（元）与种植面积x（亩）之间的函数关系式．（总收入＝销售收入﹣种植成本+种植补贴）．3．如图，学校要用一段长为36米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃，墙长为16米．（1）若矩形ABCD的面积为144平方米，求矩形的边AB的长．（2）要想使花圃的面积最大、AB边的长应为多少米？最大面积为多少平方米？4．数学课外活动小组进行如下操作实验，把一根长20m的铁丝剪成两段．（1）把每段首尾相连各围成一个正方形．要使这两个正方形的面积之和等于13m2，应该怎么剪这根铁丝？（2）若把剪成两段的铁丝围成两个圆，两圆面积之和的最小值是多少？5．如图，用一根60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架ABCD，铁丝恰好全部用完．（1）若所围成的矩形框架ABCD的面积为144平方厘米，则AB的长为多少厘米？（2）矩形框架ABCD面积的最大值为平方厘米．6．园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃ABCD．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米）．另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留2米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长32米，设苗圃ABCD的一边CD长为x米．（1）BC长为米（包含门宽，用含x的代数式表示）；（2）若苗圃ABCD的面积为96m2，求x的值；（3）当x为何值时，苗圃ABCD的面积最大，最大面积为多少？7．为了提高巴中市民的生活质量，巴中市对老旧小区进行了美化改造．如图，在老旧小区改造中，某小区决定用总长27m的栅栏，再借助外墙围成一个矩形绿化带ABCD，中间用栅栏隔成两个小矩形，已知房屋外墙长9m．（1）当AB长为多少时，绿化带ABCD的面积为42m2？（2）当AB长为多少时，绿化带ABCD的面积最大，最大面积是多少？8．如图，若要建一个矩形场地，场地的一面靠墙，墙长10m，另三边用篱笆围成，篱笆总长20m，设垂直于墙的一边为xm，矩形场地的面积为Sm2．（Ⅰ）S与x的函数关系式为S＝，其中x的取值范围是；（Ⅱ）若矩形场地的面积为42m2，求矩形场地的长与宽；（Ⅲ）当矩形场地的面积最大时，求矩形场地的长与宽，并求出矩形场地面积的最大值．9．在校园嘉年华中，九年级同学将对一块长20m，宽10m的场地进行布置，设计方案如图所示．阴影区域为绿化区（四块全等的矩形），且4个出口宽度相同，其宽度不小于4m，不大于8m．设出口长均为x（m），活动区面积为y（m2）．（1）求y关于x的函数表达式；（2）当x取多少时，活动区面积最大？最大面积是多少？（3）若活动区布置成本为10元/m2，绿化区布置成本为8元/m2，布置场地的预算不超过1850元，当x 为整数时，请求出符合预算且使活动区面积最大的x值及此时的布置成本．题型2：几何问题-动点问题10．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3cm，BC＝4cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB运动；同时，点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿BC运动．当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设运动时间为t（s），四边形APQC的面积为S（cm）．（1）试写出四边形APQC的面积为S（cm）与动点运动时间t之间的函数表达式；（2）运动时间t为何值时，四边形APQC的面积最小？最小值为多少？11．如图，在矩形ABCD中，AB＝10cm，BC＝16cm，点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，点Q以点B开始沿边BC向点C以3cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，当一点到达终点时，另一个点随即停止移动．（1）经过几秒，△PBQ18cm2？（2）在运动过程中，经过几秒时，△PBQ的面积最大？最大面积是多少？12．在长方形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P从点A开始按A→B→C→D的方向运动到点D．如图，设动点P所经过的路程为x，△APD的面积为y．（当点P与点A或D重合时，y＝0）（1）写出y与x之间的函数解析式；（2）直接写出△APD的面积的最大值．13．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s 的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t，（1）AP＝2tcm，BP＝（12﹣2t）cm，BQ＝4tcm；（2）t为何值△时△PBQ的面积为32cm2？（3）t为何值时△PBQ的面积最大？最大面积是多少？14．如图，在Rt△ABC中，∠C°，AC＝12cm，BC＝6cm，点P从点C开始沿CB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从A开始沿AC向点C以2cm/s的速度移动，如果点P，Q同时从点C，A出发，试问：（1）出发多少时间时，点P，Q之间的距离等于？（2）出发多少时间时，△PQC的面积为6cm2？（3）△PQC面积的是否有最大值？若有是多少？此时时间是多少？15．如图，在矩形ABCD中，BC＝6cm，AB＝4cm，S是AD中点，点E以每秒2cm的速度从点B出发沿折线BS﹣SD﹣DC匀速运动，同时点F以每秒1cm的速度从点C出发沿CB运动．设点E、F出发t秒（0＜t＜6）时，△EBF的面积为ycm2．（1）求y与t的函数关系式；（2）当t为何值时，y取得最大值，并求出此最大值．16．如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，且AO＝8，BO＝6，P是线段AB上一个动点，PE⊥AO于E，PF⊥BO于F．设PE＝x，矩形PFOE的面积为S（1）求出S与x的函数关系式；（2）当x为何值时，矩形PFOE的面积S最大？最大面积是多少？17．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点P、Q分别是AB边和CD边上的动点，点P从点A向点B运动，点Q从点C向点D运动，且保持AP＝CQ．设AP＝x．（1）当PQ∥AD时，求x的值；（2）当线段PQ的垂直平分线与BC边相交时，求x的取值范围；（3）当线段PQ的垂直平分线与BC相交时，设交点为E，连接EP、EQ，设△EPQ的面积为S，求S关于x的函数关系式，并写出S的取值范围．题型3：利润问题18．某种产品按质量不同分等级，生产最低档次产品每件获利润8元，每提高一个档次，每件利润增加2元．用同样工时每天可生产最低档次产品800件，每提高一个档次将减产40件，求生产何种档次产品的利润最高？19．小明在“生活中的数学”探究活动中，经过市场调查，研究了某种商品的售价、销量、利润之间的变化关系．小明整理出该商品的相关数据如下表所示．时间x（天）1≤x＜3030≤x≤50售价（元/件）x+4070每天销量（件）100﹣2x已知该商品的进价为每件10元，设销售该商品的每天利润为y元．（1）求y与x的函数关系式；（2）销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？20．“全民防控新冠病毒”期间某公司推出一款消毒产品，成本价8元/千克，经过市场调查，该产品的日销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间满足一次函数关系，该产品的日销售量与销售单价几组对应值如表：销售单价x（元/千克）121620日销售量y（千克）220180140（1）求y关于x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；（2）设日销售利润为W，求出W与x的函数关系式；（注：日销售利润＝日销售量×（销售单价−成本单价）（3）该公司决定从每天的销售利润中捐赠100元给“精准扶贫”对象，为了保证捐赠后每天的剩余利润不低于1500元，试确定该产品销售单价的范围．21．某科技公司生产一款精密零件，每个零件的成本为80元，当每个零件售价为200元时，每月可以售出1000个该款零件，若每个零件售价每降低5元，每月可以多售出100个零件，设每个零件售价降低x元，每月的销售利润为w元．（1）求w与x之间的函数关系式；（2）为了更好地回馈社会，公司决定每销售1个零件就捐款n（0＜n≤6）元作为抗疫基金，当40≤x≤60时，捐款后每月最大的销售利润为135000元，求n的值．22．我市某卖场的一专营柜台，专营一种电器，每台进价60元，调查发现，当销售价80元时，平均每月能售出1000台；当销售价每涨1元时，平均每月能少售出10台；该柜台每月还需要支出20000元的其它费用．为了防止不正当竞争，稳定市场，市物价局规定：“出售时不得低于80元/台，又不得高于180元/台”，设售价为x元/台时，月平均销售量为y台，月平均利润为w元．（1）求y与x的函数关系式，w与x的函数关系式（写出x的取值范围）；（2）每台售价多少元时，月销售利润最高，最高为多少元．23．某文具店购进一批单价为12的1.5倍，通过分析销售情况，发现每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，且当x＝15时，y＝50；当x＝17时，y＝30．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）这种学习用品的销售单价定为多少时，每天可获得最大利润，最大利润是多少元？24．为扩大销售，某乡镇农贸公司在某平台新开了一家网店进行线上销售．在对一种特产（成本为10元/千克）在网店试销售期间发现每天销售量y（千克）与销售单价x（元）大致满足如图所示的函数关系（其中14≤x≤25）．（1）写出y关于x的函数解析式，并求x＝20时，农贸公司每天销售该特产的利润；（2）设农贸公司每天销售该特产的利润为W元，当销售单价x为多少元时，W最大？最大是多少元？25．某公司把一种原料加工成产品进行销售，已知某月共加工原料x吨，恰好生产相同吨数的产品并能完全销售．每吨原料的加工成本Q（万元）与x（吨）满足关系式：Q＝ax+﹣30（其中a，b均为常数），且经过统计得到如下数据：x（吨）3060Q（万元）7035（1）求a、b的值；（2）若该月的加工总成本为2052万元，求x的值；（3）若生产的产品每吨售价为60万元，则该月可获得的最大利润是多少万元？26．某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是出价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如表：售价x（元/件）506080周销售量y（件）1008040周销售利润w（元）100016001600注：周销售利润＝周销售量×（售价﹣进价）（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）当售价是多少元/件时，周销售利润最大，此时最大利润是多少元．题型4：抛物线形问题27．如图，正常水位时，抛物线形拱桥下的水面宽AB为20m，此时拱桥的最高点到水面的距离为4m．（1）把拱桥看作一个二次函数的图象，建立恰当的平面直角坐标系，求出这个二次函数的表达式；（2）当水面宽10m时，达到警戒水位，如果水位以0.2m/h的速度持续上涨，那么达到警戒水位后，再过多长时间此桥孔将被淹没？28．2022北京冬奥会自由式滑雪空中技巧比赛中，某运动员比赛过程的空中剪影近似看作一条抛物线，跳台高度OA为4米，以起跳点正下方跳台底端O为原点，水平方向为横轴，竖直方向为纵轴，建立如图所示平面直角坐标系．已知抛物线最高点B的坐标为（4，12），着陆坡顶端C与落地点D的距离为2.5米，若斜坡CD的坡度i＝3：4（即＝）．求：（1）点A的坐标；（2）该抛物线的函数表达式；（3）起跳点A与着陆坡顶端C之间的水平距离OC的长．（精确到0.1米）（参考数据：≈1.73）29．如图，隧道的截面由抛物线DEC和矩形ABCD构成，矩形的长AB为4m，宽BC为3m，以DC所在的直线为x轴，线段CD的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系．y轴是抛物线的对称轴，最高点E到地面距离为4米．（1）求出抛物线的解析式．（2）在距离地面米高处，隧道的宽度是多少？（3）如果该隧道内设单行道（只能朝一个方向行驶），现有一辆货运卡车高3.6米，宽2.4米，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论．30．某公园要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管OA长2.25m．在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m．（1）建立如图所示平面直角坐标系，求抛物线（第一象限部分）的解析式；（2）不考虑其它因素，水池的直径至少要多少米才能使喷出的水流不落到池外？（3）实际施工时，经测量，水池的最大半径只有2.5m，在不改变喷出的抛物线形水柱形状的情况下，且喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，需对水管的长度进行调整，求调整后水管的最大长度．31．跳绳是大家喜爱的一项体育运动，当绳子甩到最高处时，其形状视为抛物线．如图是甲，乙两人将绳子甩到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为1m，并且相距4m，现以两人的站立点所在的直线为x轴，过甲拿绳子的手作x轴的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，且绳子所对应的抛物线解析式为．（1）求绳子所对应的抛物线解析式（不要求写自变量的取值范围）；（2）身高1.70m的小明，能否站在绳子的正下方，让绳子通过他的头顶？（3）身高1.64m的小军，站在绳子的下方，设他距离甲拿绳子的手sm，为确保绳子能通过他的头顶，请求出s的取值范围．32．如图①是气势如虹、古典凝重的开封北门，也叫安远门，有安定远方之寓意．其主门洞的截面如图②，上部分可看作是抛物线形，下部分可看作是矩形，边AB为16米，BC为6米，最高处点E到地面AB的距离为8米．（1）请在图②中建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的解析式．（20.6米宽的双黄线．车辆必须在双黄线两侧行驶，不能压双黄线，并保持车辆最高点与门洞有不少于0.6米的空隙（安全距离），试判断一辆大型货运汽车装载某大型设备后，宽3.7米，高6.6米，能否安全通过该主门洞？并说明理由．33．小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度．（1）求抛物线的表达式．（2）爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m．身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．34．如图是某抛物线形拱桥的截面图．某数学小组对这座拱桥很感兴趣，他们利用测量工具测出水面AB的宽为8米．设AB上的点E到点A的距离AE＝x米，点E到拱桥顶面的垂直距离EF＝y米．通过取点、测量，数学小组的同学得到了x与y的几组值，如下表：x（米）012345678 y（米）0 1.753 3.754 3.753 1.750（1）拱桥顶面离水面AB的最大高度为米；（2）请你帮助该数学小组建立平面直角坐标系，描出上表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接；（3）测量后的某一天，由于降雨原因，水面比测量时上升1米．现有一游船（截面为矩形）宽度为4米，船顶到水面的高度为2米．要求游船从拱桥下面通过时，船顶到拱桥顶面的距离应大于0.5米．结合所画图象，请判断该游船是否能安全通过：（填写“能”或“不能”）．35．如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有二次函数关系．小明在一次击球过程中测得一些数据，如表所示．根据相关信息解答下列问题．飞行时间t/s012飞行高度h/m01520（1）求小球的飞行高度h（单位：m）关于飞行时间t（单位：s）的二次函数关系式．（2）小球从飞出到落地要用多少时间？（3）小球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，请求出相应的飞行时间；如果不能，请说明理由．。
实际问题与二次函数
1. 二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条 抛物线 ，它的对 称轴是 直线x=h ，顶点坐标是 (h，k) . 2 . 二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条 抛物线 ，它的对称 b b 4ac b 2 , 直线x 2a 4a . 当a>0时，抛 2a ，顶点坐标是 轴是
y 10 x 100 x 6000
2
(0≤X≤30)
y 10 x 100 x 6000
2
(0≤X≤30)
b x 5时，y最大值 10 52 100 5 6000 6250 2a
所以，当定价为65元时，利润最大，最大利润为6250元 可以看出，这个函数的 图像是一条抛物线的一 部分，这条抛物线的顶 点是函数图像的最高点， 也就是说当x取顶点坐 标的横坐标时，这个函 数有最大值。由公式可 以求出顶点的横坐标.
a 0.5
0 a ( 2 )2 2
∵抛物线过点(0,0)
∴这条抛物线所表示的二 次函数为: y 0.5( x 2 )2 2 当水面下降1m时,水面的 纵坐标为y=-1,这时有:
x1 2 6 , x 2 2 6
∴这时水面的宽度为:
x 2 x1 2 6 m
y ax 2 2
当拱桥离水面2m时,水面宽4m 即:抛物线过点(2,0)
0 a 22 2
a 0.5 ∴这条抛物线所表示的二 次函数为: y 0.5 x 2 2 当水面下降1m时,水面的 纵坐标为y=-1,这时有:
1 0.5 x 2 2 x 6 这时水面宽度为 6 m 2
继续
解一
如图所示， 以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为
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1. 某商品的售价为每件60 元，进价为每件40元，每星期可卖出300件，该商场一星期卖这种商品的利润为元。
2、我班某同学的父母开了一个小服装店,出售一种进价为40元的服装,现每件60元,每星期可卖出300件. 该同学对父母的服装店很感兴趣,因此,他对市场作了如下的调查: 如调整价格,每降价1元,每星期可多卖出20件. 请问同学们,该如何定价,才能使一星期获得的利润最大?
3、某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售(按部门规定，单价不超过每件70元)，可以卖出(100- x)件，应如何定价才能使利润最大？
4、某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱。
(1)求平均每天销售量y(箱)与销售价x(元/箱)之间的函数关系式；
(2)求该批发商平均每天的销售利润ω(元)与销售价x(元/箱)之间的函数关系式；
(3)当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
5、某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利5元，每天可售出200千克，经市场调查，在进价不变的情况下，若每千克涨价1元，销量将减少10千克
（1）该商场要保证每天盈利1500元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？（2）若该商场单纯从经济利益角度考虑，这种水果每千克涨价多少元，能使商场获利最多？
6、某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过程，下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s与t之间的关系）.
（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与销售时Array间t（月）之间的函数关系式；
（2）求截止到几月累积利润可达到30万元；
（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？
1、已知一个长方形场地的周长为60，一边长为m ，请你写出这个长方形场地的面积S 与这条边长m 之间的函数关系式____。
2用一段长为30m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m ，这个矩形长、宽为多少时，菜园的面积最大，最大面积为多少？
3．如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m 长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x 米．要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m ？
4、小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）．花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？
三、建坐标系问题
1、某幢建筑物，从10 m 高的窗口A ，用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线
状(抛物线所在的平面与墙面垂直，如图6，如果抛物线的最高点M 离墙1 m ， 离地面3
40m ，则水流落地点B 离墙的距离OB 是( ) A ．2 m B ．3 m C ．4 m D ．5 m
2、如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了
一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈
抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到
绳子，则绳子的最低点距地面的距离为 米．
3、如图是抛物线形拱桥，已知水位在AB 位置时水面宽64米，水位
上升3米达到警戒线CD ，这时水面宽34米，若洪水到来时以每小时
0.25米的速度上升，求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶？
A B
C D X M B O A X
四、综合应用
.施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM 为12米．现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系（如图1所示）． （1）求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；
（2）隧道下的公路是双向行车道(正中间是一条宽1米的隔离带)，其中的一条行车道能否行驶宽2.5米、高5米的特种车辆？请通过计算说明；
（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB ，使A 、D 点在抛物线上。
B 、C 点在地面OM 线上（如图2所示）．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB 、AD 、DC 的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下
4、如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点(在A 点在B 的左侧)，与y 轴交于点C ，且A (－1,0)、C(0,3)，抛物线的顶点为M 。
(1)求抛物线的解析式及点B 的坐标；
(2)若点P 是线段BC 上一动点，过点P 且平行于y 轴的直线交抛物线丁点E ，求线段PE 的最大值。