第二章 年金

例4答案
100an 0.05 = 1000 ⇒ n = 14.21 (1) FD14 = 1000(1.05)14 − 100s14 0.05 = 20.07 R14 = R + FD14 = 120.07 (2) FD14 = 20.07 R15 = FD14 ×1.05 = 21.07 R14.21 = FD14 ×1.050.21 = 20.27 (drop payment ) (3) FD = 1000(1.05)14 − 100 s14 0.05 = 20.07 (balloon payment )
10 年年末 , 积累值为
: 两笔年金积累值之和为 8217 . 89 + 8487 . 17 = 16702 . 06
补充：一般年金
一般年金
利率在支付期发生变化 付款频率与利息转换频率不一致 每次付款金额不恒定
分类
支付频率不同于计息频率的年金
支付频率小于计息频率的年金 支付频率大于计息频率的年金
例2.1.1
计算年利率为6%的条件下,每年年末投资 10000元,投资10年的现值和累积值.
1000a10 0.06 = 1000 × 7.36009 = 7360.09 1000s 10 0.06 = 1000 ×13.18080 = 13180.80
例2
某人以月度转换名义利率5.58%从银行贷 款30万元，计划在15年里每月末等额偿还。 问：（1）他每月等额还款额等于多少？ （2）假如他想在第五年末提前还完贷款， 问除了该月等额还款额之外他还需一次性 付给银行多少钱？
年金
期末付年金 期初付年金 任意时刻的年金值 永续年金 连续年金
汉英名词对照
年金 支付期 延付年金 初付年金 永久年金 变额年金 递增年金 递减年金 Annuity Payment period Annuity-immediate Annuity-due perpetuity Varying annuity Increasing annuity Decreasing annuity
例5
某人每年年初存进银行1000元,前4年的年 利率为6%,后6年由于通货膨胀率,年利率升 到10%,计算第10年年末时存款的积累值.
例5答案
前四年的积累值在第四 1000 &&4 0 .06 = 4637 . 09 s 年年末积累值为
这笔存款再按 10 % 的年利率积累到第 4637 . 09 (1 + 10 %) 6 = 8214 . 89 后六年年金积累到第十 1000 &&6 0 .1 = 8487 . 17 s 年的积累值为
保险精算学
课程结构
基础
利息理论基础 生命表基础
核心
保费计算 责任准备金计算 多重损失模型 保单的现金价值与红利
拓展
特殊年金与保险 寿险定价与负债评估 偿付能力与监管
第二章
年金
利息理论要点
第一章 利息的度量 补充:利息问题求解的原则 第二章 年金 *收益率 *分期偿还表与偿债基金
第二章
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5
5
400*5 = 4000
（3）每期偿还额： 5年本利和为 利息和：
R =
10000 10000 = = 2504.57 a5 0.08 3.9927
2504.57 *5 = 12522.85 12522.85 − 10000 = 2522.85
2.2 期初付年金
每个付款期间开始时付款的年金为期初付年金。
m
计 息
0
i
1
2
n
an = (1 + i1 ) + (1 + i2 ) + L + (1 + in )
−1 −2 −n
= ∑ (1 + it ) − t
t =1
n
&&n = (1 + in ) + (1 + in −1 ) + L + (1 + i1 ) = ∑ (1 + in −t +1 )t s
2 n t =1
n
方法二:年金转换法
i ( 4 ) = 12% ⇒ 每季度实质利率为3% && Ra4 0.03 = 2000 ⇒ R = 522.3826 R&&20 0.03 = 14457.71 s
支付频率大于 支付频率大于利息转换频率
支付 第m次每次 第2m次每 次支付 1 支付 1
m m
… …
第nm次每 次支付 1
⇒ δ = 6.93%
δ
=3
1 − e −10δ
δ
未知时间问题
年金问题四要素
年金、利率、支付时期（次数）、积累值（现 时值）
关注最后一次付款问题
在最后一次正规付款之后，下一个付款期做一 R ≥ Rn 次较小付款（drop payment） 在最后一次正规付款的同时做一次附加付款 （balloon payment） R ≤ Rn
变额年金
支付频率不同于计息频率年金
分类
支付频率小于利息转换频率 支付频率大于利息转换频率
方法
通过名义利率转换，求出与支付频率相同的实 际利率。 年金的代数分析
支付频率小于计息频率年金
支付 1 0 k 1 2k … … 1 nk
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计 息
i
(k )
方法一:利率转换
方法二:年金转换
延付 : Rs k = 1 ⇒ R & 初付 : R a& k = 1
例4
有一笔1000元的投资用于每年年底付100元，时 间尽可能长。如果这笔基金的年实质利率为5%， 试确定可以作多少次正规付款以及确定较小付款 的金额，其中假定较小付款是： （1）在最后一次正规付款的日期支付。 （2）在最后一次正规付款以后一年支付 （3）按精算公式，在最后一次付款后的一年中间 支付。（精算时刻）
&& s n = (1 + i ) n + (1 + i ) n −1 + L + (1 + i )1 =
(1 + i ) n − 1 i
(1 + i ) n − 1 = s n (1 + i ) d
2.4 永续年金
付款次数没有限制，永远持续的年金成为永续 年金。
1 −v n 1 a∞ = lim an = lim = n →∞ n →∞ i i
延付：i ( k ) ⇒ i 初付:d ( k ) ⇒ d
例6
某人每年年初在银行存款2000元,假如每季 度计息一次的年名义利率为12%,计算5年 后该储户的存款积累值.
例6答案
方法一:利率转换法
（ i 4） = 12 % ⇒ i = 12 . 55 % 2000 &&5 12 .55 % = 14457 . 71 s
例4答案
I = 100000 × 7% = 7000 B： 7000a10 0.07 = 49465 C : 7000(a20 0.07 − a10 0.07 ) = 24993 D : 7000( a∞ 0.07 − a20 0.07 ) = 25842
基本年金公式总结
有限年金 年金 现时值 延付 初付
现值公式：
&& an = 1 − vn d
积累值公式：
(1 + i ) n − 1 &&n = s d
期末付年金与期初年金
an = v + v 2 + v 3 + L + v n = 1 −v n i
n −1
&& an = 1 + v + v
2
+v +L +v
3
1 −v = d
n
=
an v
s n = (1 + i ) n −1 + (1 + i ) n − 2 + L + (1 + i )1 + 1 =
1− vn i 1− vn d
永久年金 现时值
1 i 1 d
积累值
(1 + i) n − 1 i (1 + i) n − 1 d
an = && an =
sn = &&n = s
a∞ = && a∞ =
2.3 任意时刻的年金值
2.3.1 首期付款前某时刻的年金现值：
2.3.2 在最后一期付款后某时刻的年金积累值：
2.1 期末付年金
期末付年金： 期末付年金： 现值公式： a = v + v 2 + v 3 + L + v n = v (1 − v n
n −1
)
1 −v
1 −v n = i
(1 + i ) n − 1 i
积累值公式：
s n = (1 + i ) n −1 + (1 + i ) n − 2 + L + (1 + i )1 + 1 =
&& a∞ =
1 d
例3
有一企业想在一学校设立一永久奖学金， 假如每年发出5万元奖金，问在年实质利率 为20%的情况下，该奖学金基金的本金至 少为多少？
例 3答 案 ： P = 5a∞
0 .2
=
5 = 25 0 .2
例4——永久年金
A留下一笔100000元的遗产。这笔财产头 10年的利息付给受益人B，第2个10年的利 息付给受益人C，此后的利息都付给慈善机 构D。若此项财产的年实质利率为7%，试 确定B，C，D在此笔财产中各占多少份额？
已知实际利率为8%，乙向银行贷款10000元， 期限为5年，计算下面三种还款方式中利息所占 的额度。 （1）贷款的本金以及利息累积值在第5年年末一 次还清； （2）每年末支付贷款利息。第5年年末归还本金； （3）贷款每年末均衡偿还。
例2.1.4答案
1000 * (1.08) = 14693.28 （1）还款本利和： 14693.28 − 10000 = 4693.28 利息和： （2）每年年末支付利息： 10000 * 0.08 = 400 利息和：
&&n = (1 + in ) + (1 + in )(1 + in −1 ) + L + (1 + in )(1 + in −1 ) L (1 + i1 ) s = ∑∏ (1 + in − s +1 )
t =1 s =1 n t
变利率年金问题
类型二：付款利率（第K次付款的年金始终 ik 以利率 计息）
0.年金的定义与分类
定义
按一定的时间间隔支付的一系列付款称为年金。原 始含义是限于一年支付一次的付款，现已推广到任 意间隔长度的系列付款。
分类
基本年金
等时间间隔付款 付款频率与利息转换频率一致 每次付款金额恒定
一般年金
不满足基本年金三个约束条件的年金即为一般年金
基本年金
基本年金
等时间间隔付款 付款频率与利息转换频率一致 每次付款金额恒定
变利率年金问题
i 类型一：时期利率(第K个时期利率为 )k
an = (1 + i1 ) −1 + (1 + i1 )−1 (1 + i2 ) −1 + L + (1 + i1 )−1 (1 + i2 ) −1 L (1 + in ) −1 = ∑∏ (1 + is ) −1
t =1 s =1 n t
基本年金公式推导
v (1 − v n ) 1 − v n = 1− v i 1 − vn && a n = 1 + v + L + v n −1 = (1 + i ) a n = d 1 − (1 + i ) n (1 + i ) n − 1 s n = 1 + (1 + i ) + L + (1 + i ) n −1 = = i 1 − (1 + i ) an = v + v 2 + L + v n = &&n = (1 + i ) + L + (1 + i ) n = (1 + i ) s n = s 1 − vn 1 a ∞ = lim a n = lim = n→∞ n→∞ i i n 1− v 1 && && a ∞ = lim a n = lim = n→∞ n→∞ d d 1 − (1 + i ) n d
2.3.3 付款期间某时刻的年金当前值：
2.5 连续年金
付款频率无限大（即连续付款）的年金称为连续 年金。 现值公式：
积累值公式：
例2.5.2
有两个连续还款模型A，B。A每期还款额为2， 还款期限为20年，B每期还款额为3，还款期 限为10年。求使A，B模型等效的利息强度。 解：
2a20 δ = 3a10 δ 2 1 − e −20δ
分类
付款时刻不同：初付年金/延付年金 付款期限不同：有限年金/永久年金
基本年金图示
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ---------1 1 ---1---- 延付永久年金 1 1 1---- 初付永久年金 0 0 0--初付年金 1 0 0--延付年金 1 1
0
1
2
3
-------
n
n+1 n+2---
例2答案
（1） Ra
15 × 12 0 . 465 %
= 300000
⇒ R = 2464
（2） PV 60 = Ra 120 0 .465 % = 226215 . 04
或者 PV 60 = 300000 × 1 . 00465 = 226215 . 04
60
− Rs 60 0 .465 %
例2.1.4