管理数学基础结课作业

浅议特征向量的几何意义与应用意义

摘要：本文结合老师上课所讲授的内容，首先用代数的方法推导了特征向量的几何意义，然后结合研究方向对特征向量在管理实践中的应用进行相关讨论。

一、特征向量的几何意义

通过课堂讨论认识到特征向量是使向量在线性变换下不改变方向，只伸缩长度的一种变换。下面将对具体过程进行推导：

设R = x = x 1,x 2 x 1,x 2∈R ,则R 2 是二维向量空间。设x = x 1,x 2 ∈R 2,y =(y 1,y 2)∈R 2. R 2中的元素 x 1,x 2 是平面上某点的坐标。设22:F R R →是平面2R 上的线性变换，即：

()()()F x y F x F y αβαβ+=+

其中：2,;,x y R R αβ∈∈

设变换22:F R R →为1212((,))(,)F x x y y =，则F 是平面2R 上的线性变换的充要条件是：

11111222211222y a x a x y a x a x =+⎧⎨=+⎩ 或11112112212222y a a x x A y a a x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （1）

由此可知，平面2R 上的线性变换F 与二阶实矩阵22()ij A a ⨯=是相互确定的，

即给出了线性变换，就可得出矩阵A ，反之，给出了矩阵A ，就可以写出线性变换。

线性变换的几何意义是：设A 的行列式0A ≠,则线性变换（1）式是平面2R 上的线性变化，它将平面2R 上的点12(,)x x 变为唯一的一点111122211222(,)a x a x a x a x ++。设22:F R R →是向量空间2R 上的线性变换，12(1,0)(0,1)e e ==和是2R 的一组基，设

1112111121221222121222()(,),()(,),F e a a a e a e F e a a a e a e ==+⎧⎨==+⎩ （2）

其中：1121(,)a a 和1222(,)a a 分别是向量1()F e 和2()F e 关于基1e ，2e 的坐标，

（2）

式写成矩阵形式是：

11121212122122((),())(,)(,)a a F e F e e e e e A a a ⎛⎫== ⎪⎝⎭ （3）

设12(,)x x x =2R ∈，则x 可写成矩阵形式如下：

1121122122(,)(,)x x x x x e x e e e x ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭ （4）

从而有：

11122122(,)x x x e x e e e x λλλλ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭

因为F 是2R 上的线性变换，有（3）式、及（4）式得：

1122112211121222()()()()((),())(,)F x F x e x e x F e x F e x x F e F e e e A x x =+=+=

⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

特征向量的定义如下：

22:F R R →设是向量空间2R 上的线性变换，

R λ∈，x 是2R 上的非零向量，若

()F x x λ= （5）

则称λ是线性变换F 的一个特征根，x 属于特征根λ的特征向量。

显然，对任a R ∈，0a ≠，有()()F a x a x λ=，所以ax 是属于特征根λ的所有特征向量。因为12(,)x x x =2R ∈，所以（5）式可以写为：

1212()((,))(,)F x F x x x x x λλλ===

由此我们得到，平面2R 上线性变换F 的特征向量x 的几何意义是：特征向量x 是平面2R 上点M 的径矢量，即x OM =，而点M 的坐标是()12,x x ，属于特征根λ的所有特征向量ax 都在由点(0,0)和点()12,x x 确定的直线OM 上。因为()F x 与x 的坐标成比例，所以矢量()F x 与矢量x 线性相关，几何上，()F x 与x 在过原点的直线OM 上。所以特征向量是一种伸缩变换，即向量不改变方向，只伸

缩长度，伸缩程度即特征值。

以上推导只证明了二阶矩阵，同理可推广到三阶矩阵，即三维空间。

二、特征向量的应用意义

随着大数据时代的到来，数据分析在质量管理方面得到了广泛应用。在使用不同的启发式算法进行分析之前必须对研究对象进行处理，完成从实体到数学模型的映射，对于需要用多指标来进行评测的对象就需要用到特征向量。若要对不同型号进行质量水平检测，结合其产品销售情况确定需要改进的型号。首先设定需要观测的技术指标，然后通过前期的数据收集可以获取每种型号产品共有的各项技术质量特征值。比如对A 型号产品的每个指标对应的值分别为{}12,,,n r r r ，这样A 型号产品就具有了一个n 维样本空间，这样A 型号产品就具备了一个特征向量。如果对该特征向量使用启发式算法，如分类或聚类的方法，就可以得出若干分类，每一个类是处于同一质量水平的产品型号集。在这种方法中，每个型号集用一个可量化的、有实际意义的向量表示，使分析者可以采用一些方法进行处理。

此外在文本分类领域，特征向量也有着重要应用。文本分类的第一步为特征项提取，通过朴素贝叶斯、信息熵和TF-IDF 等方法，根据确定的测量值来选取可以表现文本特性的特征项，然后用该测量值代替特征项完成一个文本有现实世界到数学世界的映射。如对于文本T ，设其有k 个特征项，每个特征项对应的测量值分别为12,,n t t t ，则可用向量{}12,,n T t t t =来表示该文本，即为该文本的特征向量。之后可以选择分类方法对文本进行处理，目前广泛运用的方法有支持向量机和KNN 方法。支持向量机通过建立一个超平面来对文本进行分类，这一概念与上课讲到凸集中的超平面的概念是相一致的。目前也有一些研究集中在如何对提取的特征向量进行降维从而提高运算效率和结果的准确性。这些研究都是在建立特征向量的前提下进行的。

以上介绍了特征向量在管理领域的应用。类比于特征向量的几何意义，可以将特征向量理解为对研究对象的一种平行变换，用一种数学的方法来对其进行表示不改变其原有代表的意义，属于同向变换。正如二维空间中特征向量代表着一种伸缩变换，只改变长度，不改变大小。