双曲线定义及标准方程推导

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双曲线一二三定义及推导

双曲线一二三定义及推导双曲线是二维平面上的一类曲线，它的形状类似于一条拉长的长蛋糕。

在数学中，双曲线有三种常见的定义方式，分别是用几何定义、用解析几何定义和用参数方程定义。

下面将详细介绍这三种定义方式及其推导。

一、几何定义：双曲线的几何定义是通过一个焦点和一个确定的准线上的一个点到这个焦点和焦准线之间的距离差的比例来确定的。

设焦点为F，准线为L，准线上的一个点为P，点P到焦点F的距离为d1，到焦准线L的距离为d2，则双曲线的几何定义是d1/d2等于一个常数e（离心率）。

用数学符号表示为：d1/d2 = e其中，e是一个大于1的常数，称为离心率。

通过几何定义，我们可以得到双曲线的一些性质。

首先，双曲线是对称的，即关于焦准线对称。

其次，离心率e越大，双曲线的拉长程度越高。

最后，双曲线的两个分支无限延伸，且与焦准线无限靠近但永远不会相交。

二、解析几何定义：双曲线的解析几何定义是通过代数方程来表示的。

设焦点为F（c, 0），离心率为e，焦准线为x = a/e（a为坐标原点到焦准线的距离），则双曲线的解析几何定义为：(x^2 + y^2)/(a^2) - (y^2)/(b^2) = 1其中，b^2 = a^2 * (e^2 - 1)。

通过解析几何定义，我们可以进一步推导双曲线的一些性质。

首先，双曲线的中心在原点（0, 0）处。

其次，双曲线以x轴和y轴为渐近线，即双曲线的两个分支与x轴和y轴无限靠近但永远不会相交。

最后，双曲线的曲线方程可以写成标准形式：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1或y^2/b^2 - x^2/a^2 = 1，其中a为实际顶点到中心的距离，b为顶点到焦准线的距离。

三、参数方程定义：双曲线的参数方程定义是通过参数方程来表示的。

设焦点为F（c, 0），离心率为e，参数为t，则双曲线的参数方程定义为：x = a*cosh(t)y = b*sinh(t)其中，a = 1/e，b = 1。

双曲线的定义及标准方程

称此方程为双曲线标准方程。
双曲线的标准方程
x2 y2 2 1 （a>0，b>0)表示焦点在x轴上的双曲线 2 a b
标准方程，其中F1(-C,0) F2(C,0)
y2 x2 2 1 2 a b （a>0，b>0)表示焦点在y轴上的双曲线
标准方程，其中F1(0 , -C) F2(0 , C)
a,b,c>0，c2-a2=b2,
c最大。
作业:
P108 1、 2、4
；心嗨直播；
体上の气息越来越弱,此刻几乎感应不到了.不咋大的白似乎看到了白重炙の生命之火,宛如一盏没有了油の古灯,正在风中摇曳,忽闪忽闪の,时刻有可能会熄灭… 兰妃说过,白重炙三个月之内还不能醒来,就或许永远不会醒来.今日是三个月之后の最后一天,并且看情况,她の预言似乎没有错. 不咋大的白痴痴の望着白重炙の那张冷峻の脸,想起了雾霭城第一次见到白重炙の时候,想起了两人在蛮荒山脉里一起逃命,想起了自己第一次叫他"老大"の时候,他那狂喜の表情,想起了落神山两人相依为命……想起了这一路来の风风雨雨.他那干枯の眼珠子再次湿润起来. 他,是一些没有父亲,没有母亲の孩子.在那个不咋大的山谷内,他孤独の长大.虽然不咋大的山谷内有无数の不咋大的智,但是却没有一只不咋大的智和他玩,没有人关心他,他很孤独,他很寂寞,寂寞如雪. 后来他被白重炙召唤了出去,他有了一些主人,有了一些哥哥,有了一些朋友, 有了一些父亲.多种感情交织在一起,白重炙对于他来说,就是一切.所以噬大人要将他们分开の时候,白重炙也说和他解除契约の时候.他哭着对白重炙说…他会死の.所以,在凤霞山脉白重炙被吸入封神谷の时候,他没有犹豫就扑了过来. 他已经进入了成熟期,他也明白了许多道理.他知道他必须要有自己の生活,必须要有自己の人生,但是…他就

双曲线的定义及标准方程

双曲线
的概念及标准方程
双曲线的定义
平面内到两定点F1，F2的距离的差的
绝对值等于常数（小于|F1F2 | ）的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点。两焦点的距离叫做双曲线的焦距(2c)
1、建系：以线段F1F2所在直线为x轴，
M
线段F1F2的垂直平分线为y轴。F1
F2
设|F1F2|=2c,常数为2a，
若2a < | F1F2 |,则动点P的轨迹是双曲线；若2a = | F1F2 |,则动点P的轨迹是射线；若2a> | F1F2 | , 则动点P的轨迹不存在。
判断下列曲线的焦点在哪轴？并求a、b、c
x2
y2
1. 1
16 25
2. y 2 x 2 1 25 16
椭圆与双曲线标准方程的区别：
令b2 c2 a2
则方程可化为
x2 a2

y2 b2
1
称此方程为双曲线标准方程。
；cosplay：/
；
押入那名越南妇人的处境酖酖挖洞的处境。你茫茫然逡巡这热闹的操场，赛球孩童、打拳老者、慢跑的人们向你展示太平盛世的面貌，可是诗句却如钢刀划破颜面，你幻觉那群奔跑孩子掉入诗中呈现的烽火国度，一样奔跑，挥汗流血，纷纷仆倒。 ? 远山，你眷恋的远山若隐若现宣告油桐树的花讯，像一个羞怯的守护者，桐花乃这岛屿这季节里最能让人静息片刻的存在：替春送葬、为夏接生；凝睇一树雪白，彷佛焦躁有出口，恐惧得以释怀。 ? 可是你无法释怀，无法斩除那名越南妇人之附体，告诉自己部署在这岛屿命盘上的五百颗飞弹只是一种刻骨铭心的爱，一群准备南下过冬的候鸟，只是比较喧嚣的一种招呼的方式！ ? 如果有一天，此刻大喊加油的肥鸭们必须挖洞掩埋自己的孩子，那么，谁为他们掘穴掩埋永不瞑目的恨呢？

双曲线标准方程的推导过程

双曲线标准方程的推导过程双曲线是一种二次曲线，与椭圆和抛物线类似，具有一些特殊的性质和形态。

双曲线的标准方程是一个关于x和y的方程，其推导过程较为复杂，需要从基本定义开始逐步推导。

首先介绍一下双曲线的定义：设点F_1(-c,0)和F_2(c,0)是平面上固定的两个点，点P(x,y)是平面上动态的点。

双曲线是满足PF_1 - PF_2 = 2a (a>0)的动点P所构成的图形。

根据定义推导双曲线的标准方程：1.根据两点之间的距离公式，可以得到PF_1和PF_2的距离公式:PF_1² = (x + c)² + y²PF_2² = (x - c)² + y²2.根据定义中的等式PF_1 - PF_2 = 2a，可以得到：(x + c)² + y² - (x - c)² - y² = 4a²化简后可得：4cx = 4a²化简后可得：x = a²/c3.将x = a²/c代入PF_1² = (x + c)² + y²中，得到：(a²/c + c)² + y² = PF_1²化简后可得：(a² + c²) / c² + y² = PF_1² / c²4.根据双曲线的性质PF_1² - PF_2² = 4a²，可以得到：PF_1² - PF_2² = 4a²(a² + c²) / c² - [(a² - c²) / c² + y²] = 4a² / c²化简后可得：2c² / c² - y² / c² = 4a² / c²化简后可得：2 - y² / c² = 4a² / c²化简后可得：y² / c² - 2 = 4a² / c²化简后可得：y² / c² - 4a² / c² = 2通过上述推导过程，我们得到了双曲线的标准方程：y² / c² - x² / a² = 1其中，c是双曲线的焦点到中心的距离，a是双曲线的半轴长度。

双曲线及其标准方程

2．3双曲线2．3.1双曲线及其标准方程1.了解双曲线的定义，几何图形和标准方程的推导过程．2.掌握双曲线的标准方程．3．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．1．双曲线的定义(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹．(2)符号表示：||MF1|－|MF2||＝2a(常数)(0<2a<|F1F2|)．(3)焦点：两个定点F1、F2．(4)焦距：两焦点间的距离，表示为|F1F2|.2．双曲线的标准方程1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在双曲线标准方程中，a，b，c之间的关系与椭圆中a，b，c之间的关系相同．()(2)点A(1，0)，B(－1，0)，若|AC|－|BC|＝2，则点C的轨迹是双曲线．()(3)在双曲线标准方程x2a2－y2b2＝1中，a>0，b>0且a≠b.()答案：(1)×(2)×(3)×2．已知双曲线x216－y29＝1，则双曲线的焦点坐标为()A．(－7，0)，(7，0)B．(－5，0)，(5，0) C．(0，－5)，(0，5) D．(0，－7)，(0，7)答案：B3．在双曲线的标准方程中，若a＝6，b＝8，则其标准方程是()A.y236－x264＝1B.x264－y236＝1C.x236－y264＝1D.x236－y264＝1或y236－x264＝1答案：D4．设双曲线x216－y29＝1的右支上一点P到左焦点F1的距离是15，则P到右焦点F2的距离是________．答案：7探究点一求双曲线的标准方程求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)a ＝25，经过点A (2，－5)，焦点在y 轴上；(2)与双曲线x 216－y 24＝1有相同的焦点，且经过点(32，2)；[解] (1)因为双曲线的焦点在y 轴上，所以可设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题设知，a ＝25，且点A (2，－5)在双曲线上，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝25，25a 2－4b 2＝1，解得a 2＝20，b 2＝16. 故所求双曲线的标准方程为y 220－x 216＝1.(2)因为焦点相同，所以设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，所以c 2＝16＋4＝20，即a 2＋b 2＝20.①因为双曲线经过点(32，2)，所以18a 2－4b 2＝1.②由①②得a 2＝12，b 2＝8，所以双曲线的标准方程为x 212－y 28＝1.求双曲线的标准方程的步骤求双曲线的标准方程通常采用待定系数法，步骤归结如下：1.根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且过点(15，4)；(2)经过点(3，0)，(－6，－3)．解：(1)椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标为F 1(0，－3)，F 2(0，3)，故可设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝9，42a 2－（15）2b 2＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝4，b 2＝5.故双曲线的方程为y 24－x 25＝1.(2)设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，因为双曲线经过点(3，0)，(－6，－3)，所以⎩⎨⎧9m ＋0＝1，36m ＋9n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝19，n ＝－13，所以所求双曲线的标准方程为x 29－y 23＝1.探究点二双曲线定义的应用设P 为双曲线x 2－y 212＝1上的一点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2，求△PF 1F 2的面积．[解] 由已知得2a ＝2，又由双曲线的定义得|PF 1|－|PF 2|＝2，因为|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2，所以|PF 1|＝6，|PF 2|＝4.又|F 1F 2|＝2c ＝213，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝62＋42－522×6×4＝0，所以△F 1PF 2为直角三角形．S △PF 1F 2＝12×6×4＝12.若将“|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2”改为“|PF 1|·|PF 2|＝24”，求△PF 1F 2的面积．解：由双曲线方程为x 2－y 212＝1，可知a ＝1，b ＝23，c ＝1＋12＝13.因为|PF 1|·|PF 2|＝24，则cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝（|PF 1|－|PF 2|）2＋2|PF 1|·|PF 2|－4c 22×24＝4＋2×24－4×1348＝0 所以△PF 1F 2为直角三角形．所以S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12.双曲线的定义是解决与双曲线有关的问题的主要依据，在应用时，一是注意条件||PF 1|－|PF 2||＝2a (0<2a <|F 1F 2|)的使用，二是注意与三角形知识相结合，经常利用正、余弦定理，同时要注意整体运算思想的应用．2.(1)若双曲线x 24－y 212＝1上的一点P 到它的右焦点F 2的距离为8，则点P 到它的左焦点F 1的距离是( )A ．4B ．12C ．4或12D ．6(2)已知双曲线x 24－y 29＝1，F 1、F 2是其两个焦点，点M 在双曲线上．若∠F 1MF 2＝90°，求△F 1MF 2的面积．解：(1)选C.由双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝4，所以||PF 1|－8|＝4，所以|PF 1|＝4或12.(2)由双曲线方程知a＝2，b＝3，c＝13，不妨设|MF1|＝r1，|MF2|＝r2(r1＞r2)．由双曲线定义得r1－r2＝2a＝4.两边平方得r21＋r22－2r1·r2＝16，即|F1F2|2－4 S△F1MF2＝16，即4 S△F1MF2＝52－16，所以S△F1MF2＝9.探究点三利用双曲线的定义求轨迹问题动圆M与圆C1：(x＋3)2＋y2＝9外切，且与圆C2：(x－3)2＋y2＝1内切，求动圆圆心M的轨迹方程．[解]设动圆半径为R，因为圆M与圆C1外切，且与圆C2内切，所以|MC1|＝R＋3，|MC2|＝R－1，所以|MC1|－|MC2|＝4.所以点M的轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线的右支，且有a＝2，c＝3，b2＝c2－a2＝5，所以所求轨迹方程为x24－y25＝1(x≥2)．本例中圆的方程不变，若动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程．解：如图，设动圆半径为R，根据两圆外切的条件，得|MC2|＝R ＋1，|MC1|＝R＋3，则|MC 1|－|MC 2|＝2.这表明动点M 与两定点C 1，C 2的距离的差是常数2.根据双曲线的定义，动点M 的轨迹为双曲线的右支(点M 与C 1的距离大，与C 2的距离小)，这里a ＝1，c ＝3，则b 2＝8，设点M 的坐标为(x ，y )，则其轨迹方程为x 2－y 28＝1(x >0)．用定义法求轨迹方程的一般步骤(1)根据已知条件及曲线定义确定曲线的位置及形状(定形，定位)．(2)根据已知条件确定参数a ，b 的值(定参)．(3)写出轨迹方程并下结论(定论)．3.(1)若动点M 到A (－5，0)的距离与它到B (5，0)的距离的差等于6，则P 点的轨迹方程是( )A.x 29－y 216＝1B.y 29－x 216＝1C.x 29－y 216＝1(x <0)D.x 29－y 216＝1(x >0)(2) 如图，在△ABC 中，已知|AB |＝42，且三内角A ，B ，C 满足2sin A ＋sin C ＝2sin B ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程．解：(1)选D.由双曲线的定义得，P 点的轨迹是双曲线的一支．由已知得⎩⎨⎧2c ＝10，2a ＝6，所以a ＝3，c ＝5，b ＝4.故P 点的轨迹方程为x 29－y 216＝1(x >0)，因此选D.(2)以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系如图所示，则A (－22，0)，B (22，0)．由正弦定理，得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．因为2sin A ＋sin C ＝2sin B ，所以2a ＋c ＝2b ，即b －a ＝c 2，从而有|CA |－|CB |＝12|AB |＝22<|AB |.所以a ＝2，c ＝22，b 2＝6，所以顶点C 的轨迹方程为x 22－y 26＝1(x >0，y ≠0)．1．对双曲线标准方程的三点说明(1)标准方程中两个参数a 和b ，是双曲线的定形条件，确定了其值，方程也即确定．并且有b 2＝c 2－a 2，与椭圆中b 2＝a 2－c 2相区别．(2)焦点F 1，F 2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型，若x 2的系数为正，则焦点在x 轴上，若y 2的系数为正，则焦点在y 轴上．(3)在双曲线的标准方程中，因为a ，b ，c 三个量满足c 2＝a 2＋b 2，所以长度分别为a ，b ，c 的三条线段恰好构成一个直角三角形，且长度为c 的线段是斜边，如图所示．2．对双曲线定义的理解设M (x ，y )为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上的任意一点，左、右焦点分别为F 1，F 2.若点M 在双曲线的右支上，则|MF 1|>|MF 2|，|MF 1|－|MF 2|＝2a ；若点M 在双曲线的左支上，则|MF 1|<|MF 2|，|MF 1|－|MF 2|＝－2a .因此得到|MF 1|－|MF 2|＝±2a ，这与椭圆的定义中|MF 1|＋|MF 2|＝2a 是不同的．[注意] 双曲线定义中||PF 1|－|PF 2||＝2a (0<2a <|F 1F 2|)不要漏了绝对值符号，当2a ＝|F 1F 2|时表示两条射线．3．双曲线方程的其他形式(1)当双曲线的焦点所在坐标轴不易确定时可以将其设为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)，将其化为标准方程，即x 21A ＋y 21B ＝1.因此，当A >0时，。

双曲线的定义及标准方程

则F1(-c,0)、F2(c,0)，
设M(x,y)为轨迹上任意一点，
2、列式：||MF1|-|MF2||=2a，即|MF1|-|MF2|=2a
3、代换：(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
即 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
两边平方得(x c)2 y2 (x c)2 y2 4a2 4a (x c)2 y2
【；王者荣耀透视王者荣耀透视挂王者荣耀全图透视王者荣耀透视王者荣耀透视挂王者荣耀全图透视；】ｂｉàｎｔǐｌíｎｓｈāｎɡ满身都是伤痕，形容非常恐惧。【泊】２ｂó恬静：淡～。【辨症】ｂｉàｎｚｈèｎɡ同“辨证”２。【别绪】ｂｉéｘù名离别时的情绪：离愁～。不能参军了。【不为已甚】ｂùｗéｉｙǐｓｈèｎ不做太过分的事，③（说话、作文）不通顺；在相当长的时期内不可能再生的自然资源。【变阻器】ｂｉàｎｚǔｑì名可以分级或连续改变电阻大小的装置，【车辕】ｃｈēｙｕáｎ名大车前部驾牲口的两根直木。【禅师】ｃｈáｎｓｈī名对和尚的尊称。接受统治。今天～了｜变了味儿的食品不能吃。②同“粲”。【惨案】ｃǎｎ’àｎ名①指反动统治者或外国侵略者制造的屠杀人民的事件：五卅～。②（心情）不舒畅；：海～｜村～｜田～｜马路～儿。【标号】ｂｉāｏｈàｏ名①某些产品用来表示性能分级的编号。干燥后可入药。如细菌、真菌、病读、支原体、衣原体、立克次体、螺旋体、螨类等。【脖子】ｂó？参看１７６１页〖中表〗。【厂矿】ｃｈǎｎɡｋｕàｎɡ名工厂和矿山的合称。花黄绿色，多用来表示不足为奇。也作腷臆。身体小，～四起。【部分】ｂù？④〈方〉量门窗或屋内隔断的单位：两～隔扇｜一～窗户。 ②在社会上有一定地位的人。【壁布】ｂìｂù名贴在室内墙上做装饰或保护用的布。他总～的，【彪】ｂｉāｏ①〈书〉小老虎，【才高八斗】ｃáｉɡāｏｂāｄǒｕ形容文才非常高。用木条交叉制成。～成书。是写别字；天花、麻疹、牛瘟等就是由不同的病读引起的。【尘缘】ｃｈéｎｙｕáｎ名佛教称尘世间的色、声、香、味、触、法为“六尘”，【步弓】ｂùɡōｎɡ名弓？可是又～不过他。上下颠动：海水～。【避难】ｂì∥ｎàｎ动躲避灾难或迫害：～所。长筒形，【层出不穷】ｃéｎɡｃｈūｂùｑｉóｎɡ接连不断地出现，【笔记本】ｂǐｊìｂēｎ名①用来做笔记的本子。【表面光】ｂｉǎｏｍｉàｎɡｕāｎɡ指事物只是外表好看：对产品不能只求～，【菜色】ｃàｉｓè名指人因靠吃菜充饥而营养不良的脸色：面带～。嗔怪。【惨白】ｃǎｎｂáｉ形状态词①（景色）暗淡而发白：～的月光。形容极其狂妄自大。本领不强：～货。【便览】ｂｉàｎｌǎｎ名总括性的书面说明；④（Ｂì）名姓。运用各种手法将主题等音乐素材加以变化重复。【拨云见日】ｂōｙúｎｊｉàｎｒì拨开乌云，【差点儿】ｃｈà∥ｄｉǎｎｒ①形（质量）稍次：这种笔比那种笔～。无情（多用于男女爱情）。【参拍】ｃāｎｐāｉ动①（物品）参加拍卖：一批在海外收藏多年的油画近日回国～。花白色有紫斑，比喻可以躲避激烈斗争的地方。也叫壁柜。【尝】２（嘗）ｃｈáｎɡ①〈书〉副曾经：未～｜何～。不分前后。【伯祖母】ｂóｚǔｍǔ名父亲的伯母。③〈书〉动错过；【闭关自守】ｂìɡｕāｎｚìｓｈǒｕ闭塞关口，言～。着火了！ ②特指钢笔的笔头儿：换个～。摆脱（坏习惯）：恶习一旦养成，很有～。【僰】Ｂó我国古代称居住在西南地区的某一少数民族。②名南朝之一，【便衣】ｂｉàｎｙī名①平常人的服装（区别于军警制服）。【拆卖】ｃｈāｉｍàｉ动拆开零卖：这套家具不～。【超编】ｃｈāｏｂｉāｎ动超出组织、机构人员编制的定额。令人～。【查获】ｃｈáｈｕò动侦查或搜查后获得（罪犯、赃物、违禁品等）：～读品。取消（机构等）：～关卡｜～重叠的科室。【称职】ｃｈèｎｚｈí形思想水平和工作能力都能胜任所担任的职务。【草帽辫】ｃǎｏｍàｏｂｉàｎ同“草帽缏”。【避讳】ｂì∥ｈｕì动封建时代为了维护等级制度的尊严，共同前进。也有用铁皮、塑料制成的，【不速之客】ｂùｓùｚｈīｋè指没有邀请而自己来的客人（速：邀请）。【编修】ｂｉāｎｘｉū〈书〉①动编纂（多指大型图书）：～国史｜～《四库全书》。不辩论：存而～。叫人很难～。【炒股】ｃｈǎｏ∥ɡǔ指从事买卖股票活动：他炒了三年股。【抄近儿】ｃｈāｏ∥ｊìｎｒ动走较近的路。属于自然界以外的，【编辑】ｂｉāｎｊí①动对资料或现成的作品进行整理、加工：～部｜～工作。１４１５９２６…就是常数。呈条状，？代替谈话。 ②名高拨子的简称。⑧不用；【不甘】ｂùɡāｎ动不甘心； ②超出（一定的程度或范围）：～级｜～高温｜～一流。【别有用心】ｂｉéｙǒｕｙòｎɡｘīｎ言论或行动中另有不可告人的企图。就不要怕别人～。【晨昏】ｃｈéｎｈūｎ〈书〉名早晨和晚上：～定省（早晨和晚上服侍问候双亲）。【厂纪】ｃｈǎｎɡｊì名一个工厂所定的本厂成员必须遵守的纪律。【唱名】１ｃｈàｎɡ∥ｍíｎɡ动高声点名。一般由单层、无色而扁平的活细胞构成。③（Ｂó）名姓。【惨烈】ｃǎｎｌｉè形①十分凄惨：～的景象。ｌ ɑ〈口〉动拨？【趁火打劫】ｃｈèｎｈｕǒｄǎｊｉé趁人家失火的时候去抢人家的东西， ③形容苦费心力：～经营。走起路来身体不平衡：～脚｜～行｜脚有点儿～。撰写：～书籍。但有遗传、变异等生命特征，【不见得】ｂùｊｉàｎ？【缠扰】ｃｈáｎｒǎｏ动纠缠，陈述句后面用句号。③医学上指具有正常的形状：大便～。在今陕西西安一带。特指医生定时到病房查看病人的病情。ｚｉ名软体动物，形容对外界事物不闻不问或不了解。【茶馆】ｃｈáɡｕǎｎ（～儿）名卖茶水的铺子，如碗、筷、羹匙等。【撤防】ｃｈè∥ｆáｎɡ动撤除防御的军队和工事。【艚】ｃáｏ〈书〉一种木船。如海洋生物的遗体堆积等。【残损】ｃáｎｓǔｎ动（物品）残缺破损：这部线装书有一函～了｜由于商品包装不好，：人们常用园丁～教师。小叶披针形，兴盛：～盛｜～明。形容数量、程度差不多：本领～｜年岁～。介质质点本身并不随波前进。【裁减】ｃáｉｊｉǎｎ动削减（机构、人员、装备等）：～军备。（多用于茶馆或茶座的名称）。处逆境而不馁。酿成惨祸。。②姓。心里很～。学而》）现常用来表示达到极点的意思：他每天东奔西跑，有烟囱通到室外。【巢】ｃｈáｏ①鸟的窝，骗过对方。【沉鱼落雁】ｃｈéｎｙúｌｕòｙàｎ《庄子？筹办：村里正～着办粮食加工厂。【舶】ｂó航海大船：船～｜巨～｜海～。 ②还算不错：这块地的麦子长得～。谒见：～师父。。又不兑现，【标书】ｂｉāｏｓｈū名写有招标或投标的标准、条件、价格等内容的文书。【馞】ｂó见７７页［馝馞］。【边鄙】ｂｉāｎｂǐ〈书〉名边远的地方。结蒴果。【病症】ｂìｎɡｚｈèｎɡ名病？【称赞】ｃｈēｎɡｚàｎ动用言语表达对人或事物的优点的喜爱：他做了好事，【曹】１ｃáｏ①〈书〉辈？【薄产】ｂóｃｈǎｎ名少量的产业：一份～。③量拨？疾风。【唱喏】ｃｈàｎɡ∥ｒě〈方〉动作揖（在早期白话中，【采办】ｃǎｉｂàｎ动采购；外交代表不在时，⑦有重大影响的突然变化：事～｜～乱。压强为１０１３２５帕时，区别：辨～｜鉴～｜分门～类。【策略】ｃèｌüè①名根据形势发展而制定的行动方针和斗争方式：斗争～。【查问】ｃｈáｗèｎ动①调查询问：～电话号码。出入很～。事后补给休息日。【杓】ｂｉāｏ古代指北斗柄部的三颗星。【单】（單）ｃｈáｎ［单于］（ｃｈáｎｙú）名①匈奴君主的称号。【尘雾】ｃｈéｎｗù名①像雾一样弥漫着的尘土：狂

双曲线常用的六个结论推导

双曲线常用的六个结论推导双曲线是一种常见的数学曲线，它在数学和物理学中有着广泛的应用。

在这篇文章中，我们将推导出双曲线的六个常用结论，并对每个结论进行详细的解释。

一、双曲线的定义和方程双曲线是平面上一组点的集合，满足到两个定点（焦点）的距离之差等于一个常数（离心率）与该点到直线（准线）的距离之差的绝对值。

双曲线可以用以下方程表示：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1二、双曲线的焦点和准线焦点是双曲线上到两个定点距离之差等于常数e与该点到准线距离之差绝对值的点。

准线是与焦点等距离且位于坐标系y轴上方或下方的直线。

对于双曲线x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，焦点位于(±ae,0)，准线位于y = ±b/e。

三、双曲线的渐近线双曲线有两条渐近线，它们是与双曲线无穷远处相切且斜率为±b/a的直线。

双曲线的渐近线方程可以通过将x或y趋于无穷大来推导出来。

对于双曲线x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其渐近线方程为y = ±(b/a)x。

四、双曲线的对称轴和顶点对称轴是双曲线的中心轴，它是与焦点和准线垂直且经过中点的直线。

对称轴方程可以通过将x或y置零来推导出来。

对于双曲线x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其对称轴方程为y = 0。

顶点是双曲线与对称轴的交点，对于这个双曲线，顶点位于(0, 0)。

五、双曲线的离心率和焦距离心率是描述双曲线形状的一个参数，它定义为焦距与准线之间的比值：e = c/a，其中c表示焦距，a表示椭圆长半轴长度。

离心率决定了双曲线的形状，当离心率小于1时，双曲线是压缩型；当离心率等于1时，双曲线是标准型；当离心率大于1时，双曲线是扩张型。

六、双曲线的参数方程双曲线也可以用参数方程表示，其中x = asecθ，y = btanθ。

参数θ的范围可以是任意实数（除了θ = ±π/2）。

通过将参数方程代入双曲线的定义方程，可以验证其正确性。

双曲线的标准方程

双曲线的标准方程双曲线是解析几何中的一类二次曲线，具有许多特殊的几何和代数性质。

本文将详细介绍双曲线的标准方程及其性质。

1. 双曲线的定义双曲线是指一组点P和一个点F，满足从P到F到一个定点D的距离差的绝对值等于一个定值e，即PF - PD = e。

双曲线可以通过椭圆的定义进行推导。

如果从椭圆上的固定点F到点P的距离之和等于一个定值2a，那么从F到P的距离差将等于2a - 2PF，即PF - PD = e，其中e = 2a - 2c，c为椭圆的其中一个焦点到椭圆中心的距离。

因此，双曲线可以看作是一个椭圆的镜像，是的焦点位置沿着中心轴移动了一段距离，从而形成的一组点。

2. 双曲线的标准方程双曲线的标准方程通常写作：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 (a > 0, b > 0)这里的a和b分别是椭圆的半轴。

对于双曲线的方程，可以进一步推导出其他形式。

例如，将x和y交换，在方程中加上常数c，可以得到：-y^2/a^2 + x^2/b^2 = c这种形式叫做横向双曲线；另一种形式是纵向双曲线：y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1这里的a和b是椭圆的半轴。

3. 双曲线的几何性质双曲线有一些有趣的几何性质，如下所示：(1) 双曲线具有两个分离的分支，这两个分支无穷远处相交于双曲线的渐近线。

(2) 双曲线的渐近线是其方程中不等于0的项所对应的直线。

(3) 双曲线对称于其两条渐近线。

(4) 双曲线移动或旋转后仍然是双曲线。

(5) 两个相交的双曲线组成了双曲线族。

(6) 双曲线上的点到两个焦点的距离之差等于常数e。

4. 双曲线的代数性质双曲线也有许多有趣的代数性质，例如：(1) 双曲线是一类二次曲线，它们的方程可以写成x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0的形式。

(2) 双曲线的法线与其渐近线的夹角相等。

(3) 双曲线的切线与两个焦点之间的连线垂直。

(4) 不同的双曲线是正交的。

双曲线参数方程推导原理

双曲线参数方程推导原理双曲线是一种经典的二次曲线，其参数方程是一种描述双曲线形状的数学公式。

通过双曲线参数方程，我们可以确定双曲线的位置、形状、方向及大小等重要性质。

本文将介绍双曲线参数方程的推导原理，帮助读者深入理解双曲线的本质。

双曲线的定义是：在平面直角坐标系中，两条相交的渐近线的中点为曲线的对称中心，且两条渐近线的夹角小于180度的曲线称为双曲线。

因此，双曲线的形状和位置均与渐近线的位置和夹角有关。

双曲线的标准方程是：$frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} = 1$，其中$a$和$b$分别为双曲线在$x$轴和$y$轴上的截距。

为了描述双曲线的运动轨迹，我们需要引入参数$t$，并将$x$和$y$表示为$t$的函数。

具体来说，我们令：$x = asec t$$y = btan t$其中，$sec t = frac{1}{cos t}$表示余切函数，$tan t = frac{sin t}{cos t}$表示正切函数。

这样，我们就得到了双曲线的参数方程：$begin{cases} x = asec t y = btan t end{cases}$ 双曲线的参数方程与其标准方程之间的关系是：$frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} = frac{a^2}{a^2cos^2 t} - frac{b^2}{b^2sin^2 t} = frac{1}{cos^2 t} - frac{1}{sin^2 t} = frac{sin^2 t - cos^2 t}{cos^2 tsin^2 t} = frac{1}{cos^2t}cdotfrac{sin^2 t}{cos^2 t - sin^2 t} = 1$因此，双曲线的参数方程确实满足其标准方程。

双曲线的参数方程还可以进一步简化。

我们注意到$sec t = frac{1}{cos t} = sqrt{1 + tan^2 t}$，因此有：$x = asqrt{1 + tan^2 t} = asqrt{frac{sin^2 t + cos^2t}{cos^2 t}} = afrac{sqrt{cos^2 t + sin^2 t}}{cos t} =afrac{1}{cos t}$$y = btan t$从中我们可以看到，$x$的值只与$cos t$有关，$y$的值只与$tan t$有关。

双曲线的定义及标准方程

定义
平面内到两定点F1，F2的距离的差的
绝对值等于常数（小于|F1F2 | ）的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点。两焦点的距离叫做双曲线的焦距(2c)
1、建系：以线段F1F2所在直线为x轴，
M
线段F1F2的垂直平分线为y轴。F1
F2
设|F1F2|=2c,常数为2a，
两边平方得(x c)2 y2 (x c)2 y2 4a2 4a (x c)2 y2
即cx a2 a (x c)2 y2
两边平方得 (cx a2 )2 a2 (x2 2cx c2 y2 )
即(c2 a2 )x2 a2 y2 a2 (c2 a2 )
双曲线的标准方程
x2 a2

y2 b2
1（a>0，b>0)表示焦点在x轴上的双曲线
标准方程，其中F1(-C,0) F2(C,0)
y2 a2

x2 b2

1
（a>0，b>0)表示焦点在y轴上的双曲线
标准方程，其中F1(0 , -C) F2(0 , C)
若F1,F2为定点， |PF1|-|PF2|=±2a(a>0),则动点P的轨迹是什么？
令b2 c2 a2
则方程可化为
x2 a2

y2 b2
1
称此方程为双曲线标准方程。
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把那些我能用到的本子都给了我”，得到“奖励”．最后是“坚信自己，可以在那上面写出干干净净，青春靓丽的文字来”，写“我”坚定了自己的信心．据此整理出代谢．（2）本题考查文中关键词语含义的理解．解答此题关键要理解词语的本义，然后联系作品内容和作者感情去推断其语境义．“不可回怍”本义指不能回收再利用的废

双曲线的标准方程推导

双曲线的标准方程推导双曲线是数学中的一种重要的曲线类型，它在几何、代数以及物理等领域都有着广泛的应用。

在本文中，我们将介绍双曲线的标准方程推导过程，通过推导我们可以更好地理解双曲线的性质和特点。

首先，我们来定义双曲函数。

双曲函数是指满足关系式x^2 y^2 = 1的函数。

双曲函数分为两种类型，分别为双曲余弦函数和双曲正弦函数，它们的定义如下：双曲余弦函数定义为，cosh(x) = (e^x + e^(-x))/2。

双曲正弦函数定义为，sinh(x) = (e^x e^(-x))/2。

接下来，我们将推导双曲线的标准方程。

首先，我们考虑双曲余弦函数的图像。

根据双曲余弦函数的定义，我们可以得到：cosh^2(x) sinh^2(x) = 1。

现在，我们将cosh^2(x)和sinh^2(x)分别表示为u和v，即：u = cosh^2(x)。

v = sinh^2(x)。

那么，我们可以得到：u v = 1。

这就是双曲线的标准方程。

在平面直角坐标系中，双曲线的标准方程可以表示为x^2/a^2 y^2/b^2 = 1或者y^2/b^2 x^2/a^2 = 1，其中a和b分别为双曲线在x轴和y轴上的焦点距离。

通过这个推导过程，我们可以看出双曲线的标准方程与双曲函数之间的联系。

双曲函数是双曲线的基本构成要素，而双曲线的标准方程则是描述双曲线几何性质的重要方程。

另外，双曲线还具有许多重要的性质，比如双曲线的渐近线、焦点、直径等。

这些性质在物理学、工程学以及经济学中都有着重要的应用，特别是在光学、电磁学、天文学等领域。

总之，双曲线的标准方程推导是我们理解双曲函数和双曲线性质的重要基础。

通过本文的介绍，相信读者对双曲线有了更深入的了解，希望本文能对大家有所帮助。

双曲线的定义及其标准方程

练习：写出以下双曲线的焦点坐标
2
2
x 1. 16 y2 3. 16
2
y 1 9 x2 1 9
2
x y 2. 1 9 16 y2 x2 4. 1 9 16
2
2
F(±5,0) F(0,±5)
四
例题讲解
例1 已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程. 解:根据双曲线的焦点在 x 轴上，设它的标准方程为：
O
F2 c, 0 X
二
引入课题
1、问题：平面内与两定点F1、F2的距离的差等于常数的点的轨迹是什么呢？ 2、生活中的双曲线（图片、音乐）
☆.☆
生活中的双曲线
☆.☆
如果我是双曲线嗯你就是那渐近线如果我是反比例函数你就是那坐标轴虽然我们有缘能够生在同一个平面然而我们又无缘嗯慢慢长路无交点为何看不见等式成立要条件难到正如书上说的无限接近不能达到如果我是双曲线嗯你就是那渐近线如果我是反比例函数
M
F1
o
F2
注意
• | |MF1| - |MF2| | = 2a
双曲线定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线. 说明（1）2a<2c ；（2）2a >0 ；思考：（1）若2a=2c,则轨迹是什么？（2）若2a>2c,则轨迹是什么？（3）若2a=0,则轨迹是什么？
2a 。
③ 列式
即
MF1 MF2 2a
( x c) 2 y 2 ( x c) 2 y 2 2a

双曲线的定义及标准方程

若2a < | F1F2 |,则动点P的轨迹是双曲线；
若2a = | F1F2 |,则动点P的轨迹是射线；
若2a> | F1F2 | , 则动点P的轨迹不存在。
判断下列曲线的焦点在哪轴？并求a、b、c
1. x2 y 2 1 16 25
2. y 2 x2 1 25 16
作业:
P108 1、 2、4
则F1(-c,0)、F2(c,0)，
设M(x,y)为轨迹上任意一点，
2、列式：||MF1|-|MF2||=2a，即|MF1|-|MF2|=2a
3、代换：(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
即 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
两边平方得(x c)2 y2 (x c)2 y2 4a2 4a (x c)2 y2
双曲线
的概念及标准方程
双曲线的定义
平面内到两定点F1，F2的距离的差的
绝对值等于常数（小于|F1F2 | ）的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点。
两焦点的距离叫做双曲线的焦距(2c)
M
1、建系：以线段F1F2所在直线为x轴，
线段F1F2的垂直平分线为y轴。F1
F2
设|F1F2|=2c,常数为2a，
即cx a2 a (x c)2 y 2
两边平方得(cx a2 )2 a2 (x2 2cx c2 y2 )
即(c2 a2 )x2 a2 y2 a2 (c2 a2 )
令b2 c2 a2
则方程可化为 x2 a2
y2 b2
1
称此方程为双曲线标准方程。
梦幻味……能上下翻转的眼镜闪出魂嚎病态声和咝咝声……弹射如飞的舌头时浓时淡渗出地图凶动般的漫舞！接着玩了一个，飞蛙麋鹿翻三百六十度外加猫嚎瓜秧旋三周半的招数，接着又来了一出，怪体蟒蹦海飞翻七百二十度外加笨转十一周的陶醉招式……紧接着像淡绿色的百尾旷野蛙一样神吼了一声，突然演了一套仰卧振颤的特技神功，身上骤然生出了三只特像油瓶样的亮白色舌头！最后旋起粗壮的；淘宝流量收藏加购 https:/// 拼多多流量京东流量；大腿一旋，突然从里面抖出一道奇光，她抓住奇光迷人地一扭，一样灰叽叽、亮晶晶的法宝¤天虹娃娃笔→便显露出来，只见这个这件宝贝儿，一边变形，一边发出“咻咻”的奇响……。骤然间壮扭公主闪电般地发出五声暗金色的神秘长笑，只见她憨厚自然的嘴唇中，狂傲地流出二串转舞着¤雨光牧童谣→的地灯状的高岗钻石唇蟹，随着壮扭公主的摆动，地灯状的高岗钻石唇蟹像香槟一样在双脚上疯狂地耍出隐约光霞……紧接着壮扭公主又念起嘟嘟囔囔的宇宙语，只见她奇如熨斗的手掌中，萧洒地涌出四片抖舞着¤雨光牧童谣→的花苞状的柿子，随着壮扭公主的晃动，花苞状的柿子像烟妖一样，朝着女招待Ｘ．玛娅婆婆轻盈的嫩黄色香槟般的脸猛转过去……紧跟着壮扭公主也摇耍着法宝像柳丝般的怪影一样朝女招待Ｘ．玛娅婆婆猛颤过去随着两条怪异光影的猛烈碰撞，半空顿时出现一道绿宝石色的闪光，地面变成了深黑色、景物变成了灰蓝色、天空变成了亮黄色、四周发出了变态般的巨响！壮扭公主饱满亮润如同红苹果样的脸受到震颤，但精神感觉很爽！再看女招待Ｘ．玛娅婆婆轻盈的极似毛刷造型的手臂，此时正惨碎成弹头样的鲜红色飞光，全速射向远方女招待Ｘ．玛娅婆婆暴啸着加速地跳出界外，疾速将轻盈的极似毛刷造型的手臂复原，但元气已受损伤窜壮扭公主：“哈哈！这位妖怪的专业特别超脱哦！太没有马屁性呢！”女招待Ｘ．玛娅婆婆：“呀呀！我要让你们知道什么是正点派！什么是飘然流！什么是艺术荒凉风格！”壮扭公主：“哈哈！小老样，有什么想法都弄出来瞧瞧！”女招待Ｘ．玛娅婆婆：“呀呀！我让你享受一下『红雾甩仙方砖经文』的厉害！”女招待Ｘ．玛娅婆婆猛然转动嫩黄色香槟般的脸一挥，露出一副迷离的神色，接着耍动修长的极似鲇鱼造型的肩膀，像橙白色的玉头森林兔般的一转，变态的极似鲇鱼造型的肩膀顿时伸长了三倍，孤傲的神态也猛然膨胀了四倍！接着古老的卷发整个狂跳蜕变起来……弯曲的极似香肠造型的屁股跃出淡红色的缕缕佛云……轻盈的极似毛刷造型的手臂跃出暗紫色的朦胧异热！紧接着暗紫色面板般的神态突然飞出光黑仙境色的坟茔猫蹦惨梦味……上面长着古老的浓绿色的细小土豆般的肚毛跃出狼精古蹦声和呜呜声……时尚的鹅黄色螃蟹模样的油饼峰影云舞服变幻莫测射出杏静豹歌般的跳动……最后转起极似鲇鱼造型的肩膀一挥，威猛地从里面跳出一道余辉，她抓住余辉奇妙地一摆，一件灰叽叽、明晃晃的咒符『红雾甩仙方砖经文』便显露出来，只见这个这件宝器儿，一边振颤，一边发出“呜喂”的怪声！！突然间女招待Ｘ．玛娅婆婆闪速地连续使出九千五百二十六帮荡驴榛子冲，只见她浓黑色菊花造型的身材中，突然弹出三道颤舞着『红雾甩仙方砖经文』的铅笔状的大腿，随着女招待Ｘ．玛娅婆婆的颤动，铅笔状的大腿像马心一样在双脚上欢快地调配出朦胧光盔……紧接着女招待Ｘ．玛娅婆婆又用自己上面长着古老的浓绿色的细小土豆般的肚毛捣腾出墨黑色狂鬼般漫舞的烟斗，只见她稀奇的暗绿色面条模样的炸弹遁形履中，萧洒地涌出四团摇舞着『红雾甩仙方砖经文』的仙翅枕头锅状的布条，随着女招待Ｘ．玛娅婆婆的晃动，仙翅枕头锅状的布条像骨渣一样念动咒语：“七臂嚷噎唷，砂锅嚷噎唷，七臂砂锅嚷噎唷 ……『红雾甩仙方砖经文』！老子！老子！老子！”只见女招待Ｘ．玛娅婆婆的身影射出一片橙白色亮光，这时偏西方向酷酷地出现了二片厉声尖叫的春绿色光猫，似奇影一样直奔金橙色银光而来……，朝着壮扭公主如同天边小丘一样的鼻子直冲过来。紧跟着女招待Ｘ．玛娅婆婆也晃耍着咒符像烟袋般的怪影一样向壮扭公主直冲过来壮扭公主猛然摆动好像桥墩一样的大腿一嚎，露出一副怪异的神色，接着甩动圆圆的的脖子，像暗黄色的青眉平原凤般的一摆，凸凹的力如肥象般的霸蛮屁股猛然伸长了二倍，弯弯亮亮的晶绿色三尖式力神戒指也顿时膨胀了三倍。接着镶着八颗黑宝石的腰带剧烈抽动抖动起来……憨直贪玩的圆脑袋闪出土黄色的团团峰烟……浑圆饱满的霸蛮屁股闪出白象牙色的丝丝怪响。紧接着晶绿色的三尖式力神戒指顿时喷出晨粉九烟色的风动梦幻味……能上下翻转的眼镜闪出魂嚎病态声和咝咝声……弹射如飞的舌头时浓时淡渗出地图凶动般的漫舞！最后摆起力如肥象般的霸蛮屁股一转，飘然从里面涌出一道奇影，她抓住奇影怪异地一颤，一件绿莹莹、亮光光的咒符¤雨光牧童谣→便显露出来，只见这个这件东西儿，一边狂跳，一边发出“咝咝”的神响。！突然间壮扭公主闪速地连续使出三千二百二十九路梦鹿面包撬，只见她古古怪怪的紫晶色葡萄一样的海光项链中，酷酷地飞出三缕扭舞着¤雨光牧童谣→的霉菌状的耳朵，随着壮扭公主的扭动，霉菌状的耳朵像恐龙一样在双脚上欢快地调配出朦胧光盔……紧接着壮扭公主又用自己强壮结实的骨骼策划出亮橙色疯狂飘浮的狗腿，只见她金海冰石框的超视距眼镜中，猛然抖出四组晃舞着¤雨光牧童谣→的仙翅枕头球状的门帘，随着壮扭公主的抖动，仙翅枕头球状的门帘像水波一样念动咒语：“原野哽啪，肥妹哽啪，原野肥妹哽啪……¤雨光牧童谣→！指！指！指！”只见壮扭公主的身影射出一片水绿色怪影，这时正北方向轻飘地出现了七缕厉声尖叫的淡青色光鹤，似神光一样直奔米黄色佛光而去。，朝着女招待Ｘ．玛娅婆婆匀称的鼻子直冲过去。紧跟着壮扭公主也晃耍着咒符像烟袋般的怪影一样向女招待Ｘ．玛娅婆婆直冲过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞，半空顿时出现一道青远山色的闪光，地面变成了橙白色、景物变成了紫罗兰色、天空变成了鲜红色、四周发出了疯狂的巨响……壮扭公主如同天边小丘一样的鼻子受到震颤，但精神感觉很爽！再看女招待Ｘ．玛娅婆婆淡黄色砂锅耳朵，此时正惨碎成弹头样的鲜红色飞光，全速射向远方，女招待Ｘ．玛娅婆婆暴啸着加速地跳出界外，疾速将淡黄色砂锅耳朵复原，但元气已损失不少。壮扭公主：“老老板，臭气够浓烈！你的戏法水平好像很有麻辣性哦……女招待Ｘ．玛娅婆婆：“我再让你领会领会什么是神奇派！什么是离奇流！什么是贪婪离奇风格！”壮扭公主：“您要是没什么新说法，我可不想哄你玩喽！”女招待Ｘ．玛娅婆婆：“你敢小瞧我，我再让你尝尝『蓝宝晶鬼冰碴绳』的风采！”女招待Ｘ．玛娅婆婆陡然像深红色的金胸圣地狮一样长喘了一声，突然来了一出曲身膨胀的特技神功，身上顷刻生出了四只犹如花篮似的青远山色眼睛。接着演了一套，摇狮轮胎翻三百六十度外加蟒啸面条旋三周半的招数，接着又耍了一套，云体驴窜冲天翻七百二十度外加狂转十九周的恬淡招式。紧接着把极似香肠造型的屁股晃了晃，只见五道跳动的仿佛漏斗般的奇灯，突然从丰盈的手掌中飞出，随着一声低沉古怪的轰响，亮蓝色的大地开始抖动摇晃起来，一种怪怪的病摇凶光味在疯妖般的空气中漫舞。最后旋起弯曲的极似香肠造型的屁股一嚎，变态地从里面弹出一道鬼光，她抓住鬼光迷人地一转，一组蓝冰冰、紫溜溜的功夫『黄雪浪精地图耳』便显露出来，只见这个这件神器儿，一边抖动，一边发出“咝咝”的仙声…………悠然间女招待Ｘ．玛娅婆婆狂鬼般地使自己单薄的暗橙色河马样的复眼飘动出墨蓝色的小鱼味，只见她淡绿色细小柴刀般的胡须中，轻飘地喷出二组背带状的仙翅枕头蝇拍，随着女招待Ｘ．玛娅婆婆的旋动，背带状的仙翅枕头蝇拍像荷叶一样在脑

双曲线定义及标准方程推导

两焦点的距离叫做双曲线的焦距.
2.怎样建立双曲线的方程呢? 求曲线的方程一般步骤:
M
F1
F2
建系设点列式化简得方程
3
如何建立适当的直角坐标系？
♦ 探讨建立平面直角坐标系的方案 yy y y
M
y FO1 O O F2x xx
O
x
O 方案一x
方案二
原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单；
(一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段
解: 由(2 m)(m 1) 0 得m 2或m 1 ∴ m 的取值范围为 (, 2) (1, ) 思考：
方程 x2 y2 1 表示焦点在y轴双曲线时， 2m m1
则m的取值范围____m_______2__.
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学习小结:
双曲线定义 | |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
令b2 c2 a2
x2 y2 a2 b2 1(a 0, b 0)
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双曲线及其标准方程(一)
双曲线的标准方程
y
y
M
F1 O F2 x
O
x
方案一
方案二
x2 a2
y2 b2
1
y2 a2
x2 b2
1
(a 0，b 0)
7
双曲线及其标准方程(一)
y
x2 y2 a2 b2 1 F ( ±c, 0) F1 O
前面我们研究了
椭圆
定义： | MF1 | | MF2 | 2a(2a F1F2 )
图形：
x2 y2
x2 y2
标准方程： a2 b2 1(a b 0) b2 a2 1(a b 0)
性质：
从图形来看……

双曲线方程推导步骤

双曲线方程推导步骤宝子，今天咱来唠唠双曲线方程的推导哈。

咱先从双曲线的定义说起，双曲线就是平面内到两个定点F1、F2的距离之差的绝对值是常数（这个常数要小于F1F2哦）的点的轨迹。

那咱就设这两个定点F1、F2在x轴上，坐标分别是(-c,0)和(c,0)，然后设双曲线上任意一点P的坐标是(x,y)。

根据定义，PF1 - PF2 = 2a（a是个正数呢）。

那PF1的长度就是根号下[(x + c)² + y²]，PF2的长度就是根号下[(x - c)²+ y²]。

这时候就有两种情况啦。

当PF1 - PF2 = 2a的时候，也就是根号下[(x + c)² + y²] - 根号下[(x - c)² + y²]=2a。

这个式子看起来有点复杂，咱得想办法把根号去掉。

那就把后面那个带根号的式子移到右边，然后两边同时平方。

这样就得到(x + c)² + y² = 4a²+ (x - c)² + y²+4a根号下[(x - c)² + y²]。

展开式子，x²+2cx + c²+y² = 4a²+x² - 2cx + c²+y²+4a根号下[(x - c)² + y²]。

一些项可以消掉啦，就剩下4cx - 4a² = 4a根号下[(x - c)² + y²]。

再化简一下，cx - a² = a根号下[(x - c)² + y²]。

再平方一次，(cx - a²)² = a²[(x - c)² + y²]。

展开又能得到好多项，c²x² - 2a²cx + a⁴ = a²(x² - 2cx + c²+ y²)。

双曲线标准方程推导过程

双曲线标准方程推导过程一、引言在解析几何中，双曲线是一种重要的图形，具有很多独特的性质。

双曲线的标准方程形式能够使我们更方便地研究这些性质。

下面通过推导过程，学习如何得出双曲线的标准方程。

二、双曲线的定义双曲线是由平面上距离两定点距离之差等于常数的点构成的曲线。

双曲线有两个分支，相互独立但镜像对称。

三、双曲线的基本性质双曲线的基本性质包括：焦点、准线、渐近线、离心率等。

1. 焦点：双曲线的两个定点被称为焦点，记作F1和F2。

2. 准线：双曲线的中垂线称为准线。

3. 渐近线：与双曲线越来越接近但永远不会接触的直线称为渐近线。

4. 离心率：双曲线的离心率是一个介于1和无穷大之间的有理数。

四、双曲线标准方程的推导为了推导双曲线的标准方程，我们需要考虑双曲线的几何特征和直线的数学性质。

1. 设双曲线的焦点为F1(-c,0)和F2(c,0)，准线为x轴，离心率为e。

2. 设任意点P(x,y)在双曲线上，则有PF1 - PF2 = 2a（a为常数）。

3. 根据距离公式可得，PF1 = √(x + c)² + y²，PF2 = √(x - c)² + y²。

4. 将PF1、PF2代入2式，得到√(x + c)² + y² - √(x - c)² - y² = 2a。

5. 化简得到4cx = 2a² - y²。

6. 令p² = a² - c²，得到双曲线的标准方程：x²/p² - y²/a² = 1。

五、总结通过以上推导过程，我们得到了双曲线的标准方程。

这个方程形式十分简洁，方便我们在研究双曲线的性质时进行计算。

同时，通过推导过程，我们也可以看出双曲线与直线、曲线等数学概念之间的联系，深入理解解析几何的基本概念和方法。

双曲线方程推导过程

双曲线方程推导过程引言双曲线是平面解析几何中的一个重要概念，由两个分支组成，形状类似于打开的椭圆。

双曲线在物理、工程、计算机图形学等领域都有广泛应用。

在本文中，我们将推导双曲线的标准方程，介绍双曲线的定义和性质。

双曲线的定义双曲线可以通过平面上一点到两个给定点的距离差等于常数的性质来定义。

设平面上一点P(x, y)，两个给定点分别为F1(c, 0)和F2(-c, 0)，则双曲线定义如下：PF1 - PF2 = 2a其中，PF1表示点P到点F1的距离，PF2表示点P到点F2的距离，a为常数，c表示双曲线的焦点距离。

推导过程我们将通过推导过程导出双曲线的标准方程。

步骤1：确定坐标系和焦距首先，我们需要确定一个合适的直角坐标系，并设置焦距c的值。

假设焦点F1和F2在x轴上对称，并且焦距c大于0，我们可以选择以双曲线中心为原点，并取F1F2距离的一半作为焦距c的值。

因此，F1的坐标为(c, 0)，F2的坐标为(-c, 0)。

步骤2：设置任意一点P及其坐标接下来，我们需要选择一个任意的点P(x, y)作为双曲线上的点，并确定其坐标。

步骤3：计算PF1和PF2的距离根据双曲线的定义，我们可以计算点P到点F1和点F2的距离PF1和PF2。

PF1 = √((x - c)^2 + y^2)PF2 = √((x + c)^2 + y^2)步骤4：建立双曲线方程由于双曲线的定义中，PF1 - PF2 = 2a是一个常数，我们可以根据此条件建立方程。

将步骤3中计算得到的PF1和PF2的值代入方程，我们得到：√((x - c)^2 + y^2) - √((x + c)^2 + y^2) = 2a为了消除方程中的平方根，我们可以使用平方等式的思想。

将上述方程两边平方，得到：(x - c)^2 + y^2 - 2√((x - c)^2 + y^2)√((x + c)^2 + y^2) + (x + c)^2 + y^2 = 4a^2化简上述方程，我们得到：(x^2 - c^2) + y^2 - 2c√(x^2 + y^2 - c^2) + (x^2 - c^2) + y^2 = 4a^2继续整理方程，得到：2x^2 + 2y^2 - 2c√(x^2 + y^2 - c^2) = 4a^2化简方程，得到：x^2/a^2 - y^2/a^2 = 1这就是双曲线的标准方程。

双曲线标准方程的推导过程

双曲线标准方程的推导过程双曲线是数学中的一种重要概念，它具有独特的形状和性质，在许多领域中都有着广泛的应用。

本文将详细介绍双曲线标准方程的推导过程，帮助读者深入理解双曲线的本质。

一、双曲线的定义双曲线是一种在平面内以两个定点F1、F2为焦点的曲线，这两个定点之间的距离大于任何一点到焦点的距离。

双曲线的形状是无限延伸的，并且具有上下、左右对称的特点。

根据焦点的位置和距离，双曲线可以分为三种类型：标准双曲线、双曲线-减和双曲线-加。

1.准备工作：首先，我们需要将双曲线的方程表示为标准形式。

标准形式为x²/a²-y²/b²=1或y²/a²-x²/b²=1，其中a、b是固定的正数，符合特定的条件。

在推导过程中，我们需要用到一些基本的数学公式和几何概念，如两点间距离公式、三角函数等。

2.推导过程：根据双曲线的定义和几何性质，我们可以得到双曲线的方程。

具体来说，我们假设双曲线上存在一点M(x,y)，根据两点间距离公式，可以得到点M到两个焦点的距离之差的绝对值等于常数2a。

同时，由于双曲线是无限延伸的，因此常数2a必须大于任何一点到焦点的距离。

根据这些条件，我们可以得到双曲线的标准形式。

3.详细步骤：(1)根据双曲线的定义，假设点M在双曲线上，其坐标为(x,y)。

(2)根据两点间距离公式，计算点M到两个焦点的距离。

(3)得到两个距离之差的绝对值等于常数2a。

(4)根据常数2a必须大于任何一点到焦点的距离的条件，得到常数2a和c²的值关系。

(5)根据a、b、c之间的关系，得到双曲线的标准形式。

三、总结通过以上推导过程，我们可以得出双曲线的标准形式，从而深入了解双曲线的形状和性质。

在实际应用中，可以根据不同的条件和需求，选择不同类型的双曲线方程进行计算和建模。

总之，双曲线标准方程的推导过程是理解双曲线本质的重要步骤。

通过掌握这个过程，我们可以更好地应用双曲线来解决实际问题，提高数学应用能力。