惯性定理正定二次型
二次型的正定性与半正定性判定
二次型的正定性与半正定性判定在线性代数中,二次型是一种重要的数学工具,广泛应用于各个领域。
正定性与半正定性是二次型的两个重要性质,对于理解和解决实际问题起着至关重要的作用。
本文将深入探讨二次型的正定性与半正定性的判定方法,以及它们在实际问题中的应用。
一、二次型的定义与基本性质二次型是一个关于n个变量的二次齐次多项式,可以表示为:$$Q(x_1,x_2,...,x_n) = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j$$其中,$a_{ij}$为二次型的系数,$x_1,x_2,...,x_n$为变量。
二次型的基本性质有:1. 对称性:$a_{ij} = a_{ji}$2. 齐次性:$Q(kx_1,kx_2,...,kx_n) = k^2Q(x_1,x_2,...,x_n)$,其中k 为常数。
3. 定义正定性与半正定性的前提:二次型必须是实二次型,即系数$a_{ij}$为实数。
二、正定性的判定正定性是指对于任意非零向量$x=(x_1,x_2,...,x_n)$,二次型$Q(x)$的取值都大于零。
正定性的判定方法有以下几种常用方式:1. 惯性定理: 二次型的惯性定理指出,通过变换二次型的系数矩阵,可以得到一个对角阵,该对角阵的主对角线上元素个数为二次型的正惯性指数。
- 若正惯性指数为n,则二次型正定;- 若正惯性指数为0,则二次型半正定;- 若正惯性指数非0非n,则二次型不定。
2. Sylvester定理: Sylvester定理是另一种判定二次型正定性的方法,通过判断二次型的所有顺序主子式是否大于零来确定。
- 若所有顺序主子式大于零,则二次型正定;- 若所有顺序主子式非负但存在某个顺序主子式为零,则二次型半正定;- 若存在某个顺序主子式小于零,则二次型不定。
三、半正定性的判定半正定性是指对于任意非零向量$x=(x_1,x_2,...,x_n)$,二次型$Q(x)$的取值都大于等于零。
§7 正定二次型
解 用特征值判别法.
2 二次型的矩阵为 A 0 2 令 E A 0 1 1, 2 0 2 4 0 , 0 5 4, 3 6.
即知 A是正定矩阵, 故此二次型为正定二次型.
例3 判别二次型
f 5 x 6 y 4 z 2 4 xy 4 xz 的正定性.
§7 正定二次型
一、惯性定理 二、正定二次型的概念
三、正(负)定二次型的判别
一、惯性定理
一个实二次型,既可以通过正交变换化为标 准形,也可以通过拉格朗日配方法化为标准形, 显然,其标准形一般来说是不唯一的,但标准形 中所含有的项数是确定的,项数等于二次型的秩.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
定理9(惯性定理) 设有实二次型 f x T Ax , 它的秩
f x f Cy ki yi2 .
i 1
充分性 设 k i 0 i 1,, n.
n
任给 x , 则 y C 1 x ,
2 即 f 为正定的 . f x k y 故 i i 0. i 1
必要性
假设有 ks 0, 则当y e s (单位坐标向量) 时,
为半正定二次型 为不定二次型
四、小结
1. 正定二次型的概念,正定二次型与正定 矩阵的区别与联系.
2. 正定二次型(正定矩阵)的判别方法: (1)定义法; (2)顺次主子式判别法; (3)特征值判别法.
思考题
设A, B分别为m阶, n阶正定矩阵, 试判定分块 A 0 矩阵C 是否为正定矩阵. 0 B
2 2
2 5 2 解 f的矩阵为 A 2 6 0 , 2 0 4 a11 a12 5 2 26 0, a11 5 0, 2 6 a 21 a 22
正定二次型的判别方法
正定二次型的判别方法正定二次型是数学中一个重要的概念,它在优化问题、矩阵理论、微分方程等领域都有着重要的应用。
在实际问题中,我们经常需要判断一个二次型是否是正定的,因为正定二次型在优化问题中有着良好的性质,可以帮助我们解决问题。
研究正定二次型的判别方法对于理解和应用二次型具有重要的意义。
本文将就正定二次型的判别方法进行介绍和讨论,首先我们将对正定二次型做一个简单的介绍,然后详细讨论正定二次型的判别方法,包括特征值、惯性定理以及Sylvester定理等。
一、正定二次型的定义在矩阵理论中,二次型是指一个具有形式为\[ Q(x_1,x_2, \cdots, x_n) = \sum_{i,j=1}^{n} a_{ij}x_ix_j \]的二次齐次多项式。
在这里,a_{ij}是实数或复数,x_i是变量,i,j=1,2, \cdots, n,称n元二次型。
我们知道,二次型可以表示成矩阵的形式,即\[ X^TAx \]X=(x_1,x_2, \cdots, x_n)^T是一个列向量,A是一个n \times n的实对称矩阵,其对称性确保了二次型中不同的x_ix_j和x_jx_i的系数是相同的。
而正定二次型是指对于任意非零向量x,都有\[ x^TAx > 0 \]即对应的二次型值大于0。
这里需要注意的是,在一些文献中,正定二次型的定义可能会有所不同,但在本文中,我们将采用这个定义进行讨论。
1. 特征值判别法特征值是矩阵理论中一个非常重要的概念,它可以帮助我们理解矩阵的性质和结构。
对于一个n \times n的实对称矩阵A,它一定可以对角化成\[ A = PDP^{-1} \]P是一个正交矩阵,D是一个对角矩阵,其对角线上的元素是A的特征值。
特征值判别法是通过矩阵A的特征值来判断二次型的正定性。
如果A的特征值都大于0,则二次型是正定的;如果A的特征值都小于0,则二次型是负定的;如果A的特征值中既有正值又有负值,则二次型是不定的。
判定正定二次型的三种方法
判定正定二次型的三种方法
1.行列式法
对于给定的二次型f(x1,x2,...,xn)=xtax,写出它的矩阵,根据对称矩阵的所有顺序主子式是否全大于零来判定二次型 (或对称矩阵)的正定性。
2.正惯性指数法
对于给定的二次型,先将化为标准形,然后根据标准形中平方项系数为正的个数是否等于
通过正交变换,将二次型化成标准形后,标准形为平方项的系数就是二次型矩阵的特征值。
因此,可以先求二次型矩阵的特征值,然后根据大于零的特征值个数与否等同于
定义:设有实二次型,如果对于任意一组不全为零的实数,都有f(x)>0,则称此二次型为正定二次型,并把其对称矩阵a称为正定矩阵.
方法一:利用二次型的等距矩阵的特征值去推论.
先写出二次型的矩阵:
由于:
可得其全部特征值:>0,>0,>0
故此二次型为正定二次型.
方法二:利用二次矩阵的各阶顺序主子式来判定.
由于此二次型的矩阵为:
因为它的个阶顺序主子式:>0,>0,>0
故此二次型为正定二次型.
除了正定二次型外,还有其他类型的二次型.
定义:建有实二次型,如果对于任一一组不全为零的实数,都存有f(x)<0,则表示此二次型为奇函数二次型,等距矩阵a称作奇函数矩阵;如果都存有f(x)≥0,则表示此二次型为半正定二次型,并说其矩阵为半正定矩阵;如果都存有f(x)≤0,则表示此二次型为半奇函数二次型,并说其矩阵为半奇函数矩阵。
5-3惯性定理与二次型的正定性
数称为二次型的正惯性指数,负系数的个数
称为负惯性指数,它们的差称为二次型的符
号差.
比如二次型 y12 y22 y32 y42 的规范形
为,则其正惯性指数等于2,负惯性指数也是
2,符号差为 0.
二、二次型的正定性
定义6.3 设二次型 f ( x1, x2,L , xn ) X T AX
对任一非零向量 X,若 f ( X ) 0 ,则称 f 为正 定二次型,A为正定矩阵;若 f ( X ) 0 ,则称
d1, d2 ,L , d p 0, d p1, d p2 ,L , dr 0
再作可逆线性变换
z1 d1 y1
M
zp dp yp
z p1 d p1 y p1
M
zr dr yr
二次型进一步化为
f
z12 L
z2p
z2 p1
L
zr2
此式称为实二次型
f ( x1, x2 ,L , xn )
t1
1 2 5
即当 4 t 0 时,该二次型为正定二次型
5
例5 判定二次型
f 5 x12 6 x22 4 x32 4 x1 x2 4 x1 x3
的正定性。
5 2 2
解:矩阵为 0 4
5 2 2
因 5 0, 5
2 26 0, 2
6
0 80 0,
2 6
2 0 4
所以 f 负定.
例6 若 A正定,则 A-1也正定.
证明:因 A正定,故存在可逆矩阵C ,使 CT AC I
两边取逆得 C 1 A1(CT )1 I
又因 (CT )1 (C 1 )T , (C 1 )T T C 1, 因此 (C 1 )T T A1(C 1)T I
正定二次型
从而 f > 0, 即kA + lB为正定阵 .
16
证明 由于 A, B为实对称阵 ,
故有 ( kA + lB )T = kAT + lB T = kA + lB
即 kA + lB也为实对称阵 .
对 X ≠ 0,
T T 有 f = X T ( kA + lB ) X = kX AX + lX BX
故 X T AX > 0, X T BX > 0, 又因为 A, B正定 ,
二次型 f 正定当且仅当 A 的各阶顺序主子 式全大于零, 式全大于零,
13
2 t t A = t 2 t , t t 2 2 t p2 = = 4 t 2 > 0, 即 p1 = 2 > 0, t 2 2 t t p3 = t 2 t = (2 2t )(2 + t )2 > 0, t t 2
f ( x1 , x 2 , x 3 ) = 2 x12
4
三、正定二次型的判定定理
定理 若实二次型 f = X T AX为正定的,那么二次 为正定的,
型的矩阵 A的主对角线元素 a ii > 0 ( i = 1,2, , n ).
证明
为正定的, 因实二次型 f = X T AX为正定的,所以对
任意的 X ≠ 0,均有 X T AX > 0, i 于是, 于是,取 X = ( 0, ,0,1,0, ,0)T ,
实二次型的正定性
1
一、惯性定理
定理(惯性定理) 定理(惯性定理) 设有实二次型 f = x T Ax , 它的秩 为r , 有两个实的可逆变换 x = Cy x = Pz 及
使 及 相等 .
线性代数7-2 惯性定理及正定二次型
定义2 设有实二次型 f ( x1, x2 ,, xn ) f ( X ) X T AX,
如果对任何非零向量 X x1, x2,, xn T,都有 f ( X ) 0,
则称 f 为正定二次型,并称对称矩阵 A 为正定矩阵;
如果对任何非零向量 X x1, x2,, xn T,都有 f ( X ) 0,
(1) f 为正定二次型(或 A为正定矩阵); (2) f 的标准形的 n 个系数全为正; (3) A 的特征值全为正; (4) f 的正惯性指数 p n .
a11 a12 a1n
定义3
设矩阵
A
a21
a22
a2
n
,
an1
an2
ann
a11 a12 a1i
则子式
Pi
a21
a22
是正定二次型.
1 1 2
解 f x1, x2 , x3 的矩阵为 1 2 3,
2 3 它的顺序主子式
11 2
1 0,
1
1 1 0,
1
2
3 5 0,
12
23
故 5时,上述二次型是正定的.
a2i ,iFra bibliotek 1,2,, n
ai1 ai2 aii
称为矩阵 A的 i 阶顺序主子式 ,即
a11 a12 a1n
P1 a11 a11 ,
P2
a11 a21
a12 , a22
,
Pn
a21
a22
a2n
.
an1 an2 ann
定理4 对称矩阵 A (aij )nn 为正定矩阵的充要条件是 A 的各阶顺序主子式都为正,即
则称 f 为负定二次型,并称对称矩阵 A 为负定矩阵.
正定二次型的判别方法
正定二次型的判别方法正定二次型是线性代数中的一个重要概念,它在各个数学领域中都有着广泛的应用。
正定二次型在优化问题、矩阵分解、信号处理等领域都有着重要的作用。
了解正定二次型的性质和判别方法对于深入理解和应用线性代数具有重要意义。
本文将介绍正定二次型的定义、性质以及判别方法,希望能够帮助读者更好地理解和运用正定二次型。
一、正定二次型的定义我们来看一下正定二次型的定义。
设f(x_1,x_2,...,x_n)是关于n个变量的二次齐次多项式,即f(x_1,x_2,...,x_n)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j其中a_{ij}是常数。
如果对任意非零向量x=(x_1,x_2,...,x_n)^T,都有f(x)>0,那么我们称f(x)是正定二次型。
简单来说,正定二次型就是一个对于任意非零向量都是正的二次齐次多项式。
正定二次型具有许多重要的性质,下面我们来介绍其中的一些。
1. 正定二次型的矩阵表示设f(x_1,x_2,...,x_n)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j是一个正定二次型,那么我们可以把这个二次型表示为矩阵的形式,即A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}这个矩阵就是正定二次型对应的矩阵表示,通常我们把这个矩阵记作A。
而矩阵A是一个对称矩阵,它的对角元素就是二次型中的系数a_{ij}。
正定二次型和对称矩阵之间有着密切的关系。
4_6惯性定律与正定二次型
是不定二次型.
《线性代数》
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9(4)(5) 10
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2 2 2
解:二次型 f 的矩阵为
1 A t 1 t 1 2 1 2 , 5
3 | A | 5 t 4 t 0,
2
即有方程组
t 2 1 0 , t (5 t 4 ) 0
由定理3知,应有
1 | 1 | 0,
3 1 1 . 3
由 E - A ( 2 )( 4 ) 0,
得 A的 特 征 值 是 1= 2, 2= 4.
因A的特征值都大于零,故A正定,即该二次型正定.
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定理3
n 阶实对称矩阵A正定的充要条件是A的各阶顺序
主子式都大于零 ,即
1 a1 1 0
2 1 t t 1 1 t 0,
2
解得
-
4 5
t 0,
即当
-
4 5
t 0
时,二次型正定.
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6.3
负定二次型
定义2 若二次型f=X TAX对于任意非零的n维向量X,恒有
f=XTAX < 0, 则称f=XTAX为负定二次型,并称A为负定矩阵.
定理6
2 a1 1 a 21 a1 2 a 22 0
a1 1 n
a 1r a 2r a rr
的r 阶顺序主子式.
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a1 2 a 22 an2
第六章(5)二次型的正定性
由以上结论可知,要判断二次型的正定性,需将其化为 标准形或求出对称矩阵 的全部特征值 对称矩阵A的全部特征值 标准形 对称矩阵 的全部特征值.
下面将介绍一个利用矩阵的顺序主子式判断矩阵正定性的 方法:
定义7 n阶方阵 定义
a 11 a 12 L a 1 n a 21 a 22 L a 2 n A= M M M a n 1 a n 2 L a nn
2 2 f = x12 + x 2 + x3 + 4 x1 x 2 + 4 x1 x3 + 4 x 2 x3 2 2 = ( x12 + 4 x1 x 2 + 4 x1 x3 ) + x 2 + x3 + 4 x 2 x3 2 2 = ( x1 + 2 x 2 + 2 x3 ) 2 − 3 x 2 − 3 x3 − 4 x 2 x3 2 2 = ( x1 + 2 x 2 + 2 x3 ) 2 − 3( x 2 + 4 x 2 x3 ) − 3 x3 3 2 = ( x1 + 2 x 2 + 2 x3 ) 2 − 3( x 2 + 2 x3 ) 2 − 5 x3 3 3
的左上角r阶方阵的行列式
a11 Dr = a21 M ar1
a12 L a1r a22 L a2 r (r = 1, 2 ,L , n) M M ar 2 L arr
称为A的r阶顺序主子式.
定理9 (1)n阶实对称矩阵 A = (a ij )为正定矩阵 正定矩阵的充分必要 定理 正定矩阵 条件是: A的各阶顺序主子式都为正 各阶顺序主子式都为正,即 各阶顺序主子式都为正
D1 = a11 > 0, D2 =
第七节 正定二次型
r , 有两个实的可逆变换
x = Cy
及 x = Pz
使
f = k1y12 + k2y22 + ···+ kryr2 (ki 0),
及
f = 1z12 + 2z22 + ···+ rzr2 (i 0),
则 k1 , k2 , ···, kr 中正数的个数与 1 , 2 , ···, r
ar1 arr
这个定理称为霍尔维茨定理, 这里不予证明.
设 f(x,y) 是二维的正定二次型, 则 f(x,y) =c (c > 0 为常数)的图形是以原点为中心的椭圆. 当 把 c 看做任意常数时则是一族椭圆. 这族椭圆随 着 c 0而收缩到原点. 当 f 为三维正定二次型 时, f(x,y,z) = c (c>0) 的图形是一族椭球.
第 七 节 正定二次型
主要内容
惯性定理 正定二次型的定义 正定二次型的条件 举例
二次型的标准形显然不是唯一的,只是标准形 中所含项数是确定的(即是二次型的秩). 不仅如此, 在限定变换为实变换时,标准形中正系数的个数是 不变的(从而负系数的个数也不变), 也就是有以下 定理.
一、惯性定理
定理 9 设有实二次型 f = xTAx, 它的秩为
证明 因为 f 为正定二次型, 所以 A 的特征
值全大例例于22零99,
即设设
B B
为 为
m×n 实矩阵, 证明: Bx = 0 m×n 实矩阵, 证明: Bx = 0
只有零解的充要条件是 BTB 为正定矩阵.
只有零解的1充>要0,条2件>是0, B···TB, 为n >正0定. 矩阵.
而 E + 证A 明的 特 征Bx值=为0 只1+有1零, 解2 + 1, ···, n + 1,
第7节正定二次型
5.4.1 惯性定理
正定二次型
f 的标准形不是唯一的, 但标准形中所含项是确定的.
定理1: (惯性定理)在秩为r的实二次型的标准形中, 正项个数p是唯一的, 因而负项个数r- p也是唯一的. 即二次型的标准形中的正项个数和负项个数 不会因化标准形的方法的不同而异. T 定义1: 在实二次型 f x Ax 的标准形中,正平
例2: 判断下列二次型是正定或是负定的.
2 2 2 (1) f x1 2 x2 6 x3 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3 ; 2 2 2 (2) f x1 x2 3 x3 2 x1 x3 2 x2 x3 .
1 1 1 解: (1) A 1 2 3 1 3 6
T
则称 M k Ak 为矩阵A的k 阶顺序主子式. 注: n阶方阵A的顺序主子式共有n个: M1, M2 ,…, M n.
f x x T Ax 为正定的充分必 定理4: n元实二次型
要条件是: 二次型矩阵A的各阶顺序主子式都为正, a11 a1n 即 a11 a12 a11 0 , 0 , , 0 . a21 a22 an1 ann 实二次型 f 为负定的充分必要的条件是: A的奇数 数阶主子式为负,而偶数阶主子式为正,即 a11 a12 a13 a11 a12 a11 0 , 0 , , a21 a22 a23 0, . a21 a22 a31 a32 a33
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f x x T Ax 为正定的充分必 定理2: n元实二次型
要条件是:它的正惯性指数等于n,即其标准形
的n个系数全为正 .
推论: n元实二次型 f x x Ax 为正定的充分必 要条件是:二次型矩阵A的特征值全为正. 定义3: 设A =(aij)为n阶方阵,依次取A的前k 行、 前k列所构成的k 阶矩阵为: a11 a12 a1k a21 a22 a2 k Ak , k 1,2, n. a ak 2 akk k1
4.4 正定二次型
推论
二次型 f (x) xAx 为负定的充分必要条件是:
二次型的矩阵的所有奇数阶顺序主子式小于0,偶数阶
顺序主子式大于0.
例 判断二次型的正定性
f 2x12 2x1x2 2x1x3 2x22 2x2 x3 2x32
2 1 1
解法1 二次型的矩阵为
A
1
2
1
f 的正惯性指标 = f 的矩阵 A 的正特征值的个数
f 的负惯性指标 = f 的矩阵 A 的负特征值的个数
f 的惯性指标 = f 的矩阵 A 的非零特征值的个数 =R(A)
●二次型的规范形
二次型的标准形是可以不同的,但由惯性定理 可知:标准形中正项、负项的项数是固定的,于是, 如下形式的标准形是唯一的:
(4)称二次型f (x) xAx是半负定二次型,如果对于
任意x 0有f x 0.此时称对称矩阵A为半负定矩阵。
例 判定下列二次型的正定性
f (x1, x2 , x3 ) x12 2x22 3x32
正定
f (x1, x2 , x3 ) x12 x22 3x32 2x1x2 f (x1, x2 , x3 ) x12 x22 3x32
二次型的矩阵为
A
1
2
1
1 1 2
2 1 1
A E 1 2 1 (1 )2 (4 ) 0
1 1 2
解出特征值 1 2 1 0, 3 4 0
故A是正定矩阵,f 是正定二次型。
例 判断二次型的正定性 f 5x2 6 y2 4z2 4xy
任意x 0有f x 0.此时称对称矩阵A为正定矩阵。
正定二次型
正定二次型一、惯性定理 一个实二次型,其标准形不是唯一的,但标准形中所含项数是确定的,等于二次型的秩.二次型f的标准形中正平方项的个数(称为f 的正惯性指数)和负平方项的个数(称为负惯性指数)也是不变的,而且二次型f 的正惯性指数与负惯性指数之和等于f 的秩.惯性定理设实二次型f=X 'AX的秩为r,有两个实可逆变换X=PY及X=CZ,使f=λ1y12+λ2y22+⋅⋅⋅+λr y r2 (λi≠0)f=k1z12+k2z22+⋅⋅⋅+k r z r2 (k i≠0),则λ1,λ2,⋅⋅⋅,λr中正数的个数与k1,k2,⋅⋅⋅,k r中正数的个数相等.二、正(负)定二次型的概念定义设有实二次型f=X 'AX,如果∀X≠0, 都有f >0, 则称f是正定二次型, A是正定矩阵; 如果∀X≠0,都有f<0,则称f是负定二次型, A是负定矩阵.正定二次型负定二次型f =x 2+2y 2+8z 2f = -3x 12-2x 22例1.判别法1: 用定义设A ,B 均为n 阶正定阵,证明A +B 也为n 阶正定阵.[证]因为A ,B 为n 阶正定阵所以∀X ≠0,有X 'AX >0, X 'BX >0即 X '(A+B )X 也即A +B 为n 阶正定阵.>0=X 'AX +X 'BX 例2.三、正(负)定二次型的判别判别法2:用标准形定理n元实二次型f=X 'AX为正定的⇔f 的正惯性指数为n判别法3: 用特征值推论实二次型f=X 'AX正定⇔A的特征值全为正例3.设A为正定阵,证明A-1, A*都是正定阵.[证]因为A为正定阵,所以A的特征值全大于零,从而A-1, A*的特征值也全大于零,所以A-1, A*都是正定阵.判别法4: 用霍尔维茨定理霍尔维茨定理实二次型f=X 'AX正定⇔A的各阶顺序主子式都为正,即实二次型f=X 'AX负定⇔A的奇数阶顺序主子式为负,偶数阶主子式为正,即t为何值时,二次型例4.f=5x12+4x1x2-2x1x3+x22-2x2x3+tx32正定?解:5>0,=t-2⇒t>2时,|A|>0所以当t>2 时, 二次型正定.A 为正定阵⇔A 的特征值均大于0⇔A 的各阶顺序主子式大于f (x 1,x 2,⋅⋅⋅,x n )为正定⇔如果∀X ≠0,都有f >0⇔f 的标准形的系数k i >0 (i =1,2,⋅⋅⋅,n )⇔f 的正惯性指数为n ⇔-f 为负定二次型小 结.正定二次型的判别方法:(1)定义法;(2)特征值判别法;(3)顺序主子式判别法.。
5-3惯性定理和正定二次型
其 中k 是A的 左 上 角 的 k阶 子 式 (k 1, , n )
2 2 例5.11 实二次型 f (x1 , x2 , x3 ) 5x1 4x1x2 4x1x3 6x2 4 x 2 3 是否正定?
例5.12
2 判定二次型 x i i 1
n
1 i j n
x T Ax y By 0,
T
且C是实对称阵, 故C为正定矩阵.
的二次型标准型称为范 规标准形,简称规范。 形
定理5.3(惯性定理 ) 对任何实二次型 f xT Ax, 存在一个非退化 的线性变换化为二次型 的规范标准形。
定 义5.5
实二次型 f x T Ax的 规 范 性 ( 标 准 形 ) 的 中正 的 平 方 项 的 个 数 负的平方项的个数
称 为f的 (A的 ) 正 惯 性 指 数 , 记 p 为 ,
如果既不正定也不负定 ,则称 f为不定二次型,并称实 对称矩阵 A为不定的;
1.判定正定二次型与正定矩阵的充要条件
实对称矩阵A的各阶顺序 主子式均大于零
正定二次型:对于 x 0, f xT Ax 0.
n阶实对称矩阵A为正定矩阵
d1 T C AC dn (d i 0, i 1,2, , n ) 或 者CT AC E
称 为f的 (A的 ) 负 惯 性 指 数 , 记 为r p, 称s 2p r为f的 (A的 ) 符 号 差 。 其 中r r( A).
定 理5.4 Ep 设A为n阶 实 对 称 矩 阵 , 则 A一 定 合 同 于 对 角 矩 阵 0
Er p
是否正定.
解 用特征值判别法.
2 二次型的矩阵为 A 0 2 令 E A 0 1 1, 2
第七节 正定二次型(吕)
二、正(负)定二次型的概念
定义1 设有实二次型 f ( x ) = x T Ax , 如果对任何 次型 , 并称对称矩阵 A是正定的 ;如果对任何 x ≠ 0 都有 f ( x ) < 0, 则称 f为负定二次型 , 并称对称矩阵 A是负定的 . x ≠ 0, 都有 f ( x ) > 0(显然 f (0 ) = 0 ), 则称 f为正定二
A 0 x z Cz = ( x , y ) 0 B y
T T T
= x T Ax + y By > 0,
T
且C是实对称阵 , 故C为正定矩阵 .
例4 判定下列二次型的正定性. 判定下列二次型的正定性 二次型的正定性.
2 2 2 (1)f ( x1 , x2 , x3 ) = 2 x1 + 5 x2 + 5 x3 + 4 x1 x2 − 4 x1 x3 − 8 x2 x3
则把f 化成了系数为1或-1的更简单形式
2 f = y12 + L + y 2 − y 2 +1 − L − yr p p
称其为f 的规范型,它是唯一的.
惯性定理
( P196 定理 定理6.3.1 )
在二次型的标准形中,正项个数与负项个数 在二次型的标准形中, 保持不变。或者说二次型的规范形是唯一。 保持不变。或者说二次型的规范形是唯一。 二次型的标准形中正项个数称为二次型的 正惯性指数, 负项个数称为二次型的负惯性指数 负惯性指数. 正惯性指数 负项个数称为二次型的负惯性指数
例如 f = x 2 + 4 y 2 + 16 z 2 为正定二次型
2 2 f = − x1 − 3x2
为负定二次型
二次型,正定,惯性指数
例1 二次型 f ( x1, x2 ,..., xn ) x12 x22 ... xn2 为正定二次型 对任何X = (x1 , x2 , …, xn )T o,
有 f ( x1, x2 ,..., xn ) x12 x22 ... xn2 0
二次型 f ( x1 , x2 , … , xn ) = x12 + x22 + … + xr2 ( r < n)
1) A 1 1 A1 1 0 1 3
1 A2 1
1 20
3
∴ A正定
例1 判别下列矩阵或二次型是否正定
1) A 1 1 A1 1 0 1 3
1 A2 1
1 20
3
∴ A正定
2) f ( x1, x2 , x3 ) 2 x12 x22 5 x32 2 x1x2 4 x1x3 2 x2 x3
§4.2 二次型的标准形与规范形
1.熟练掌握用配方法通过 非退化的线性替换求标准形.
2.了解正交 替换法求标准形; 3.了解初等变换法求标准形. (自学)
一、 用配方法化二次型为标准形
10若二次型含有xi的平方项,则先把所有 xi乘积项集中,配方, 再对其余变量同样处理,直到都配成平方项.
20 若二次型不含平方项,但a12 0,则先作非退化的线性替换
解
1
E A 0
1
0
2
0
1 0
( 2) (1)22 1
1
1
( 2)[( 1)2 1] ( 2)2
1
1
A的特征值:1 0,2 3 2.
B的特征值:k 2 , (k 2)2,(k 2)2. 又 AT A, (kE A)T kET AT kE A BT B
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f (0,,0,1,0,,0)= di0。 这与二次型正定相矛盾。
(2) 对二次型 f= xTAx 经过非退化的线性变换x=Cy, 化为 f = yT(CTAC) y,其正定性保持不变。
这是因为: y00,由于C可逆,相应的 x0=Cy00 若 f=xTAx 是正定的,f =y0T(CTAC) y0=x0TAx0>0, 即 y0T(CTAC) y0 正定,反之亦然。 所以,一个二次型 xTAx 通过非退化的线性变换x=Cy, 将其化为标准形 yT(CTAC) y =d1y12+d2y22++dnyn2 , 即A合同于对角矩阵 CT A C= diag(d1, d2,,dn ) , 就容易判断其正定性。
⑥
齐次线性方程组⑥有 n个未知量,但方程个数为
t+(n p)=n (p t)<n,故必有非零解。
由于 yp+1==yn=0, 故⑥式非零解中y1,y2,,yp 不全为零 将它们再代入④式得
f = b1y12+ +bt yt2+bt+1yt+12+ + bpyp2 >0
⑦
将⑥的非零解代入⑤式得到 z1,…,zt,…,zn 的一组值 (其中 z1=z2==zt=0) 将它们再代入④式,又得 f= ct+1 zt+12 cp zp2 cr zr20 ⑧
f= b1y12++ bp yp2 bp+1 yP+12- br yr2 ②
f =c1 z12++ ct zt2 ct+1 zt+12 cr zr2(biຫໍສະໝຸດ ci>0, i=1, ,r)
③
要证正平方项的项数是唯一的.
即要证明:p = t.
用反证法:假设 p>t,此时由②和③可得 f= b1y12+ +bt yt2 + bt+1yt+12+ + bpyp2 bp+1yp+12 br yr2 = c1z12++ ct zt2 ct+1 zt+12 cp zp2 cp+1 zp+12 cr zr2
⑦,⑧二式显然是矛盾的,故假设的p>t不能成立.
同理可证 t p,得 p=t。
故 p 和 q= r p 是由A唯一确定的。
定义6.3
二次型 xTAx 的标准形中,正平方项项
数 p 称为二次型(或矩阵A) 的正惯性指数;负平方项 项数 q=r p称为二次型(或矩阵A) 的负惯性指数; 正负惯性指数的差 p q=2 p r 称为符号差。 秩(A)=r 也叫二次型的秩。 推论 设 A为 n 阶实对称矩阵,正、负惯性指数分别 为 p 和 q,则 A ≃ diag(1, ,1, 1, ,1, 0,,0).
⑤
为了从④式中找到矛盾,令 z1=z2==zt=0, yp+1==yn=0,代入⑤式,得到y1,y2,…,yn的线性方程组
d11 y1 d12 y2 d1n yn z1 0 d t1 y1 d t 2 y2 d tn yn zt 0 y p 1 0 yn 0
其中,di>0 (i=1, ,p+q), p+qn
成立,则p和q是由A唯一确定的。
证:由秩(A)=秩(CT A C)= p+q, 知 p+q 由A唯一确定.
因此,只需证明p由A惟一确定. 设p+q=r(A)=r,
设实二次型 f=xT A x ,经由坐标变换
和 x=Cz ①
x=By
(B,C都可逆)分别化为标准形:
6.3 惯性定理和二次型的规范形
定理6.3(惯性定理) 对于一个n元二次型xTAx,不论做
怎样的坐标变换使之化为标准形,其中正平方项的项
数p和负平方项的项数q是由A唯一确定的。
或者说,
对于实对称矩阵A,不论取怎样的可逆矩阵C,只要使
CTAC== diag(d1, ,dp, dp+1, , dp+q, 0,,0)
④
由① z =C1x=(C 1B) y = Dy(其中D= C1B),即
z1 d11 y1 d12 y2 d1n yn zt d t1 y1 d t 2 y2 d tn yn z n d n1 y1 d n 2 y2 d nn yn
6.4 正定二次型和正定矩阵
定义6.4 如果n元实二次型 f(x1,x2,,xn)=xTAx, x= (x1,x2,,xn )T0 (xRn),恒有 xTAx >0, 就称 xTAx 为正定二次型;称矩阵A为正定矩阵。 由定义可得:
(1) n元实二次型(标准形) f=(x1,x2,,xn)= d1x12+d2x22++dnxn2 正定的充分必要条件是 di >0 (i=1,2,, n)。
其中1有p个, 1有q个, 0 有n (p+q)个。
换句话说,
对于二次型 xTAx 存在坐标变换 x=Cy ,使得 xTAx =y12++ yp2 yp+12- yr2 (r= p+q) 上式右端称为 xTAx 的规范形。 推论之证明: 由定理6.2~6.3知 ,存在 可逆矩阵C1, 使
T 2 T 1
取
则
C C1C2
CTA C= diag(1, ,1, 1, ,1, 0,,0)
若n阶实对称矩阵A 与B 合同,也称对应的二次型 xT A x 和 xT B x 合同。 注意:一个实对称矩阵A的合同规范形是唯一的。 1)两个n阶实对称矩阵A和B合同的充要条件是它们的 正、负惯性指数分别相等; 2)全体n阶实对称矩阵按其合同规范形分类(不考虑+1, 1, 0 的排列次序)可以划分为(n +1)(n +2)/2 类。
C1TAC1= diag(d1, ,dp, dp+1, , dp+q, 0,,0)
其中di>0(i=1, ,p+q)。 取可逆阵
1 1 C2 diag( , , , d1 dp
T C2 C2
1 1 , , ,1,,1), d p 1 dr
则
C (C AC1 )C2 diag(1,1,1,,1, 0,,0)