第四章 线性规划模型应用
线性规划模型在供应链管理中的应用
线性规划模型在供应链管理中的应用在当今的商业环境中，供应链管理成为了越来越重要的话题。
通过优化供应链流程，企业可以实现更高效、更经济的运营，从而获得更大的业务成功。
而对于供应链管理的优化，线性规划模型的应用可以帮助企业管理者更好地理解供应链的基于约束的动态过程并做出正确的决策。
线性规划模型是一种强大的数学工具，可以用于解决复杂的优化问题。
在供应链管理中，线性规划模型可以用来解决如如何最小化成本、如何解决运输问题等问题。
在下面的篇幅中，我们将探讨线性规划模型在供应链管理中的应用。
1. 库存管理供应链中的一个主要问题便是如何控制和管理库存。
库存管理是一项旨在保持合理的库存水平，这样就可以保证库存满足客户需求，同时最小化库存持有成本。
这时候，线性规划模型可以派上用场。
线性规划模型可以帮助企业决定在不同时段的库存水平以及如何处理运输和存储成本。
根据这个模型，经理们可以更好地控制库存和库存持有成本，并将这个库存水平与需求进行平衡，从而保证商品的时效性和准确性。
2. 运输优化运输是供应链中另一个显著的成本因素，因为它涉及到成本、时间和安全等多个方面。
而且，在运输中还涉及到多个约束因素，如存储设备、包装、通关程序等，这些都会影响整个配送过程。
线性规划模型可以用于优化运输成本和路线规划等问题。
这个模型可以考虑各种参数，如包装类型、运输方式、数量等，以确保运载最大化，同时保证运输时间和成本最小化。
3. 供应链可靠性供应链可靠性是一项重要考虑的问题，因为它会直接影响客户满意度以及准时交付的能力。
而且，在供应链的一个环节出现任何问题都会影响整个供应链的动态过程。
在这个时候，线性规划模型可以帮助企业管理者预测供应链的可靠性，找出供应链中的瓶颈并制定有效的交付计划。
4. 销售预测销售预测是供应链管理中的另一个关键因素。
因为销售预测不准确将会导致备货问题，仓库过载等问题。
而且，这些问题都会导致库存水平上涨并引起成本增加，这将会对企业经营造成巨大的负面影响。
线性规划的应用与求解方法
线性规划的应用与求解方法线性规划是数学中一种重要的优化方法，被广泛应用于各个领域，如经济学、管理学、工程学等。
它可以帮助我们在给定的约束条件下，找到最优解，使得目标函数取得最大值或最小值。
本文将介绍线性规划的应用领域以及常用的求解方法。
一、线性规划的应用领域1. 生产与资源分配线性规划可以帮助企业合理安排生产资源，优化生产效率。
例如，一个工厂需要决定如何分配有限的人力、物力和财力，以满足最大产出或最小成本的要求。
线性规划可以帮助企业找到最佳的资源分配方案，提高生产效率。
2. 项目排程与调度线性规划可以用于项目排程与调度问题，帮助规划员安排项目的开始时间、结束时间和资源分配。
例如，在建设一个大型工程项目时，需要考虑多个任务的依赖关系、资源限制和时间限制，线性规划可以帮助规划员合理安排项目进度，最大程度地利用资源。
3. 物流与运输线性规划可以用于优化物流与运输问题。
例如，一个配送中心需要决定如何将货物从不同供应商配送到不同的客户，以最小化运输成本。
线性规划可以帮助物流公司找到最佳的配送路线和运输方案，提高运输效率。
4. 投资与资产配置线性规划可以用于优化投资与资产配置问题。
例如，一个投资者希望在多个资产中进行配置，以最大化收益或最小化风险。
线性规划可以帮助投资者找到最佳的资产配置方案，提高投资收益率。
二、线性规划的求解方法1. 图形法图形法是线性规划最直观的求解方法之一。
它通过绘制目标函数和约束条件所对应的直线或曲线，找到使目标函数取得最大（小）值的交点。
但是，图形法只适用于二维线性规划问题，对于多维问题并不适用。
2. 单纯形法单纯形法是线性规划最常用的求解方法之一。
它通过迭代的方式，在可行域内搜索有效解。
单纯形法首先找到一个基础解，并在每一步中通过改进的方式找到更优的基础解，直到找到最优解为止。
单纯形法可以求解多维线性规划问题，并且具有较高的效率。
3. 对偶理论对偶理论是线性规划的重要理论基础。
它将线性规划问题转化为对偶问题，并通过对偶问题的求解来获得原问题的最优解。
第四章 线性规划模型应用
第四章
线性规划:建模与应用
Key Categories of LP Problems 线性规划问题主要类型
资源分配问题（resource-allocation）
成本收益平衡问题 （cost-benefit-trade-off）
网络配送问题（distribution-network）
资源分配问题的建模步骤总结 线性规划：建模与应用 P106
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Identify the activities for the problem at hand. Identify an appropriate overall measure of performance (commonly profit). For each activity, estimate the contribution per unit of the activity to the overall measure of performance. Identify the resources that must be allocated. For each resource, identify the amount available and then the amount used per unit of each activity. Enter the data in steps 3 and 5 into data cells. Designate changing cells for displaying the decisions.
数据：数据单元格；
决策：可变单元格；
约束：输出单元格；
绩效测度：目标单元格
超级谷物公司广告组合问题的成本和广告受众数据 成本(美元) 每次电视广告 1. 广告传播预算 2. 规划设计预算 广告受众期望量 300,000 90,000 1,300,000 每份杂志广告 150,000 30,000 600,000 每份增刊广告 100,000 40,000 500,000
线性规划的应用
② 把Y 旳体现式改写成两个不等式增添到约束条件中去
Y 8X1110X2116X31, 2
Y 6X12 15X22 21X32 ; 3
于是得到该问题旳LP模型为：
Max Z=Y
xx1211
x21 x22
00 50
s.t.x31 x32 75
86xx1112
10x21 15x22
——这是最佳旳方法吗？
合理套裁肯定会有更加好旳效果。 先设法列出全部旳下料方案，思绪如图。
7.4
方案 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 2.9 2 1 1 1 0 0 0 0 2.1 0 2 1 0 3 2 1 0 1.5 1 0 1 3 0 2 3 4 用料 7.3 7.1 6.5 7.4 6.3 7.2 6.6 6.0 料头 0.1 0.3 0.9 0 1.1 0.2 0.8 1.4
四
x4 x4
五
x5 x5
六
x6
x6
人数 28
15
24
25
19
31
28
min Z x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
x1 x2 x3 x4 x5 ≥ 28
x2
x3
x4
x5
x6
≥15
x3
x1
x4 x4
x5 x5
x6 x6
x7 x7
≥ ≥
24 25
x1
x2
x5
设xi为按第i种方案下料旳棒料根数， 建立LP模型如下：
8
MinZ xi
i 1
2x1 1x2 1x3 1x4 0x5 0x6 0x7 0x8 100
s.t.10xx11
2x2 0x2
第四章 线性规划模型的建立(1)
第四章 线性规划模型的建立
目前线性规划是应用最广泛、 最成功的运筹学分支。 在线性规划以 目前线性规划是应用最广泛、 最成功的运筹学分支。 及运筹学其它分支的应用中， 最重要的是建立繁简适当、 能反映实际问 及运筹学其它分支的应用中， 最重要的是建立繁简适当、 题的主要因素、 题的主要因素、 得出正确结论并能取得经济效益的数学模型。 得出正确结论并能取得经济效益的数学模型。 一个经验 不丰富的运筹学工作者要做到这一点， 是很不容易的。 在大多数情况下， 不丰富的运筹学工作者要做到这一点， 是很不容易的。 在大多数情况下， 建立数学模型要经过几个阶段的精心思考。 ， 建立数学模型要经过几个阶段的精心思考。 最初， 最初 为了实际情况简化得 能较容易地建立一个粗略的、 可以使用的模型， 常常只考虑少数最重要 能较容易地建立一个粗略的、 可以使用的模型， 的因素， 的因素， 而将许多次要因素省略。 而将许多次要因素省略。 但这样做必然使得模型距实际情况较 甚至得不出正确的结论。 ， 因此， 远， 甚至得不出正确的结论。 因此 要在此基础上加进一些被省略因素 中显得比较重要的若干因素，变更已建立的模型。 中显得比较重要的若干因素，变更已建立的模型。 重要的若干因素
第四章 线性规划模型的建立
3．约束方程的建立与资源利用的限制和生产过程的管理 ． 要求有关。 要求有关。 在建立规划模型的过程中，必须认真分析各种约束因 在建立规划模型的过程中， 素，建立与约束条件相对应的约束方程，切记不能遗忘 建立与约束条件相对应的约束方程， 约束，否则就不能得出正确的结论。 约束，否则就不能得出正确的结论。如果因问题比较复 杂，一时很难发现是否遗忘了约束条件，那么求解结果 一时很难发现是否遗忘了约束条件， 就可能出现无可行解、无限界解的情况。这时， 就可能出现无可行解、无限界解的情况。这时，再回过 头来检查是否遗忘了约束条件也是一种常用的办法。 头来检查是否遗忘了约束条件也是一种常用的办法。
《数学建模》课程教案
《数学建模》课程教案教学文档一、教学内容本节课选自《数学建模》教材第四章：线性规划及其应用。
详细内容包括线性规划的基本概念、线性规划模型的建立、单纯形方法及其应用。
二、教学目标1. 理解线性规划的基本概念，掌握线性规划模型的建立方法。
2. 学会运用单纯形方法求解线性规划问题，并能将其应用于实际问题。
3. 培养学生的数学建模能力，提高解决实际问题的能力。
三、教学难点与重点难点：线性规划模型的建立、单纯形方法的运用。
重点：线性规划的基本概念、线性规划模型的求解。
四、教具与学具准备教具：黑板、粉笔、PPT课件。
学具：教材、笔记本、计算器。
五、教学过程1. 导入：通过一个实际情景，引出线性规划问题。
实践情景：某工厂生产两种产品，产品A和产品B。
生产每个产品A需要2小时工时和3平方米厂房面积，生产每个产品B需要4小时工时和1平方米厂房面积。
工厂每天有8小时工时和6平方米厂房面积可用。
如何分配生产时间和厂房面积，使得工厂每天的生产利润最大？2. 知识讲解：1) 线性规划的基本概念。
2) 线性规划模型的建立。
3) 单纯形方法及其应用。
3. 例题讲解：例题1：求解导入环节提出的实际线性规划问题。
例题2：求解一个标准形式的线性规划问题。
4. 随堂练习：让学生独立求解一个线性规划问题，并给出解答。
六、板书设计1. 线性规划基本概念2. 线性规划模型的建立3. 单纯形方法4. 例题解答七、作业设计1. 作业题目：习题4.1：求解线性规划问题。
习题4.2：应用单纯形方法求解实际问题。
2. 答案：八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对线性规划的基本概念和求解方法掌握程度，以及对实际问题的建模能力。
2. 拓展延伸：探讨线性规划的其他求解方法，如内点法、对偶问题等。
引导学生关注线性规划在实际问题中的应用，如物流、生产计划等。
重点和难点解析1. 线性规划模型的建立。
2. 单纯形方法的运用。
3. 例题讲解与随堂练习的设置。
第4章 运筹学课件线性规划的应用
人力资源分配的问题 生产计划的问题 套裁下料问题 配料问题 投资问题
第一节
人力资源分配的问题
例1.某昼夜服务的公交线路每天各时间 段内所需司机和乘务人员数如下页所示, 段内所需司机和乘务人员数如下页所示, 设司机和乘务人员分别在各时间段一开 始时上班,并连续工作八小时,问该公 始时上班,并连续工作八小时, 交线路怎样安排司机和乘务人员,既能 交线路怎样安排司机和乘务人员, 满足工作需要,又配备最少司机和乘务 满足工作需要, 人员? 人员?
要求达到的目标是在一定条件下实现的, ⑶.要求达到的目标是在一定条件下实现的,这 要求达到的目标是在一定条件下实现的 些约束可用线性等式或不等式描述. 些约束可用线性等式或不等式描述.
建模步骤: 建模步骤:
第一步: 第一步 : 设置要求解的决策变 决策变量选取得当, 量.决策变量选取得当,不仅能顺 利地建立模型而且能方便地求解, 利地建立模型而且能方便地求解, 否则很可能事倍功半. 否则很可能事倍功半.
线 性 规 划应用
Linear Programming
一般而言,一个经济,管理问题凡 一般而言,一个经济, 是满足以下条件时, 是满足以下条件时,才能建立线性规划 模型. 模型.
要求解问题的目标函数能用数值指标来反映, ⑴.要求解问题的目标函数能用数值指标来反映, 要求解问题的目标函数能用数值指标来反映 且为线性函数; 且为线性函数; 存在着多种方案; ⑵.存在着多种方案; 存在着多种方案
通过以上分析,可建立如下的数学模型: 通过以上分析,可建立如下的数学模型:
max z = 15 x1 + 10 x2 + 7 x3 + 13 x4 + 9 x5 s.t 5 x1 + 10 x2 + 7 x3 ≤ 8000(铸造) 6 x1 + 4 x2 + 8 x3 + 6 x4 + 4 x5 ≤ 12000 (机械加工) 3x1 + 2 x2 + 2 x3 + 3 x4 + 2 x5 ≤ 10000 (装配) x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥ 0
第4章 线性规划的应用
我们依照每次访问的成本来建立线性规划模型， 推出目标函数如下：
Min 20DC+25EC+18DNC+20ENC 约束条件要求总访问量达到1000，即： DC+EC+DNC+ENC=1000 5个有关访问类型的特别约束如下： 有儿童的家庭：
DC+EC≥40 无儿童的家庭：
DNC+ENC≥400 夜间访问的家庭数量不得少于日间访问的数量：
、各种媒体一定时期内可用的最大次数以 及评定5种媒体各自宣传质量的数据。
质量的评定是通过宣传质量单位来衡量
的，所谓宣传质量单位是一种用于衡量在各 个媒体中一次广告相对价值的标准，他建立 的依据是BP&J在广告行业中的经验，考虑 了众多因素，如观众人口统计数据（年龄、 收入和受教育程度）、呈现的形象和广告的 质量。表4-1列出了所搜集的信息。
该模型的不足之处是：即使宣传质量
的评定没有错误，也不能保证总宣传质量 的最大化会是利润或销售最大化。然而这 并不是线性规划模型本身的缺陷，而是以 宣传质量为标准的缺陷。如果我们梦直接 计量广告对利润的影响，我们就能以总利 润最大化作为目标了 。
表4-3 REL发展公司的广告计划
频率 广告媒 体 日间电 10 视 日报 25
-DC+EC-DNC+ENC≥0 夜间访问 -0.4DC+0.6EC ≥0 夜间访问有儿童家庭 -0.6DNC+0.4EN≥C0 夜间访问无儿童家庭
DC,EC,DNC,ENC≥0 图4-2是对此模型的求解结果。此方案表明按以下 的安排去访问将会是总成本达到最小，为20320美 元。
Objective Function Value = 8299.80078
线性规划模型及应用场景
线性规划模型及应用场景线性规划是一种运筹学中的数学方法，用于在有限的资源下寻找达到最佳目标的方案。
线性规划模型是通过建立线性关系式和目标函数以确定决策变量的最优值，来求解问题。
应用线性规划模型可以在诸多领域中找到合理的应用场景。
一、生产调度与物流管理生产调度是指以资源约束为条件，在规定时间内安排、组织和运用生产资源的管理活动。
而物流管理则是通过有效的供应链管理来实现流程和原料的优化配置。
线性规划可以通过建立生产资源约束条件和目标函数，来确定合理的生产进度和物流配送计划，从而提高生产效率、降低物流成本。
举个例子，某工厂生产两种产品A和B，生产线的时间和效率是有限的，同时每个产品有不同的售价和成本。
这时可以使用线性规划模型来确定每种产品的生产数量，使得总利润最大化。
二、金融投资与资产配置金融投资是指将资金投入到各种金融市场和资产中，以期获得回报。
而资产配置则是指在不同风险水平下，按照一定的比例配置资金到各种资产上。
线性规划可以通过建立风险约束条件和目标函数，来确定最佳的资产配置组合，以实现风险和回报间的平衡。
举个例子，某投资者有一笔固定资金，可以投资于股票、债券和货币市场基金等多个金融工具。
他可以将自己的投资目标、预期收益和风险偏好建立为线性规划模型，以确定最佳的资产配置比例，从而达到理想的投资回报。
三、运输与配送运输与配送是指将物品从生产地或仓库运往销售点或用户手中的过程。
针对运输与配送的问题，线性规划可以通过建立运输路径、运输容量和运输成本等约束条件，来确定合理的物流方案，从而达到最佳的运输效益。
例如，某物流公司需要将商品从N个供应商处运输到M个销售点，每个供应商的供货量和每个销售点的需求量是已知的，同时每个运输路径的距离和费用也是已知的。
利用线性规划模型，可以确定每个运输路径上的货物运输量和运输方式，从而降低运输成本，提高物流效率。
四、人力资源管理人力资源管理是指通过合理的组织、激励和管理，利用有限的人力资源实现组织目标。
第四节线性规划应用
解：设 xi 表示第i班次时开始上班的司机和乘
务人员数,这样我们建立如下的数学模型。
目标函数：Min z= x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 约束条件：s.t. x1 + x6 ≥ 60
x1 + x2 ≥ 70 x2 + x3 ≥ 60 x3 + x4 ≥ 50 x4 + x5 ≥ 20 x5 + x6 ≥ 30 x1,x2,x3,x4,x5,x6 ≥ 0
9
甲 乙 丙 资源限制
铸造工时(小时/件) 5 10 7
机加工工时(小时/件) 6 4 8
装配工时(小时/件) 3 2 2
自产铸件成本(元/件) 3 5 4
外协铸件成本(元/件) 5 6 --
机加工成本(元/件) 2 1 3
装配成本(元/件)
322
产品售价(元/件)
23 18 16
8000 12000 10000
19
2）约束条件：
第一年：A当年末可收回投资，故第一年年初
应把全部资金投出去，于是：
第x11二+ 年x1：2 =B次20年0 末才可收回投资故第二年年初 的4 资)，金第 第 第xxxxBx、23451111为3三 四 五3+++=C1年 年 年、≤.1xxx1： ： ：D.234222x的18++1年年年x0=1投4，，xx1初初初+123资43于x.的的的211==4限是.x资资资23≤11制1：5..+金金金x11：31xx1为为为20.121102111x+5...i2x11112xxx≤.223421115+++3x11101...2222(555xxxi123222=， ， ，1，于 于 于2是 是 是，： ：3：，
线性规划应用课件
xxi323
≤ ≤
30 ( i=1，2，3，4 80，x24 线≤性规划1应0用0
)，
25
投资问题
3）目标函数及模型：
2.线性规划应用
一、线性规划---
合理利用线材问题：如何下 料使用材最少。
配料问题：在原料供应量的 限制下如何获取最大利润。
投资问题：从投资项目中选 取方案，使投资回报最大。
线性规划应用
1
2.线性规划应用
产品生产计划：合理利用人 力、物力、财力等，使获利最 大。
劳动力安排：用最少的劳动 力来满足工作的需要。
上加工；数据如下表。问：为使该厂获得最
大利润，应如何制定产品加工方案？
线性规划应用
13
生产计划的问题
设备
A1 A2 B1 B2 B3 原料（元/件） 售价（元/件）
产品单件工时
ⅠⅡ Ⅲ
5 10
7
9
12
6
8
4
11
7
0.25 0.35 0.50
1.25 2.00 2.80
设备的 有效台时
6000 10000 4000 7000 4000
丙
不限
25
原材料名称
1 2 3
每天最多供应量
100 100 线性规划应6用0
单价（元/kg） 65 25 3157
配料问题
解：设 xij 表示第 i 种（甲、乙、丙） 产品中原料 j 的含量。这样我们建立数学
模型时，要考虑：
对于甲： x11，x12，x13； 对于乙： x21，x22，x23； 对于丙： x31，x32，x33； 对于原料1： x11，x21，x31； 对于原料2： x12，x22，x32； 对于原料线3性：规划应用x13，x23，x33； 18
线性规划的应用
线性规划的应用引言概述：线性规划是一种数学优化方法，广泛应用于各个领域。
它通过建立数学模型，寻觅最优解来解决实际问题。
本文将介绍线性规划的应用，并分析其在经济、物流、生产、资源分配和运筹学等领域的具体应用。
一、经济领域的应用1.1 产量最大化：线性规划可以用于匡助企业确定最佳生产方案，以最大化产量。
通过考虑生产成本、资源限制和市场需求等因素，线性规划可以确定最优的生产数量和产品组合。
1.2 资源分配：线性规划可以匡助企业合理分配资源，以最大化利润。
通过考虑各种资源的供应和需求关系，线性规划可以确定最优的资源分配方案，提高资源利用效率。
1.3 价格优化：线性规划可以用于确定最佳定价策略，以最大化利润。
通过考虑市场需求、成本和竞争等因素，线性规划可以确定最优的价格水平，提高企业的竞争力。
二、物流领域的应用2.1 运输成本最小化：线性规划可以用于确定最佳的物流方案，以最小化运输成本。
通过考虑物流网络、货物流量和运输成本等因素，线性规划可以确定最优的运输路线和运输量，提高物流效率。
2.2 仓储优化：线性规划可以匡助企业优化仓储管理，以最小化仓储成本。
通过考虑仓库容量、货物存储需求和仓储成本等因素，线性规划可以确定最优的仓储方案，提高仓储效率。
2.3 供应链优化：线性规划可以用于优化供应链管理，以提高整体供应链效率。
通过考虑供应商、生产商和分销商之间的关系，线性规划可以确定最优的供应链方案，减少库存和运输成本。
三、生产领域的应用3.1 生产计划：线性规划可以用于匡助企业制定最佳的生产计划，以满足市场需求。
通过考虑生产能力、原材料供应和市场需求等因素，线性规划可以确定最优的生产计划，提高生产效率。
3.2 产能利用率优化：线性规划可以匡助企业提高产能利用率，以降低成本。
通过考虑设备利用率、工人数量和生产效率等因素，线性规划可以确定最优的产能利用方案，提高生产效率。
3.3 品质控制：线性规划可以用于优化品质控制过程，以提高产品质量。
线性规划模型
线性规划模型线性规划模型是一种数学模型，用于解决优化问题，确保特定的目标实现而满足一定约束条件。
它是基于线性关系的一类优化模型，其目的是最大化或最小化一个线性函数，同时满足相关的线性约束条件。
线性规划模型涉及了数学、经济、管理、工程等领域，常常被用于优化决策和资源分配。
线性规划模型有五个基本要素：决策变量、目标函数、约束条件、可行解和最优解。
其中，决策变量是待优化的参数或变量；目标函数是一个以决策变量为自变量的线性函数，代表目标的数学表达式；约束条件是必须满足的限制条件，它们也是线性函数形式；可行解是满足所有约束条件的决策变量组合，这些组合可以被用于计算目标函数的值；最优解是在所有可行解中，能够使目标函数取得极值（最大化或最小化）的可行解。
线性规划模型的主要应用在资源优化领域，例如制造、物流、贡献分析和供应链管理。
其中，生产调度和库存管理是常见的应用场景。
生产调度通常涉及如何分配生产设备的时间和资源，以最小化成本并最大化效益。
库存管理通常涉及如何保持合理库存水平以满足需求，同时尽量减少成本和风险。
线性规划模型计算软件广泛应用，其中最广泛的是 Microsoft Excel 中的插件，如Solver。
Solver 可以通过线性规划模型来找到最佳决策组合，以最小化或最大化目标函数。
其他流行的线性规划软件包包括 MATLAB，AMPL 和 Gurobi 等。
然而，线性规划模型有几个限制：一是实际问题往往不是线性的，因此需要更复杂的模型来处理更复杂的问题；二是线性规划模型假设所有参数是确定的，但在许多情况下参数是不确定的，需要采用随机规划模型。
因此，针对问题的实际特点和需求，选择更合适的数学模型和工具是非常重要的。
总之，线性规划模型是优化问题的一个强大工具，可以在许多领域帮助决策者做出最佳决策。
然而，在应用模型过程中要仔细考虑模型的局限性，并尝试更复杂的模型，以获得更好的决策结果。
线性规划的应用总结
线性规划的应用总结线性规划是一种常见的数学优化问题，它可以在给定的约束条件下，寻找一个线性目标函数的最优解。
线性规划广泛应用于各个领域，如经济学、工程学、生产管理等。
本文将对线性规划的应用进行总结，并介绍一些常见的应用案例。
一、线性规划的介绍线性规划的基本形式可以表示为：Max（或Min）Z = C1X1 + C2X2 + … + CnXnSubject to:A11X1 + A12X2 + … + A1nXn ≤ B1A21X1 + A22X2 + … + A2nXn ≤ B2…Am1X1 + Am2X2 + … + AmnXn ≤ Bm其中，X1, X2, …, Xn为决策变量；C1, C2, …, Cn为目标函数的系数；A11, A12, …, Amn为约束条件矩阵的系数；B1, B2, …, Bm为约束条件的右侧常数。
二、经济学领域中的应用在线性规划中，经济学领域是最常见的应用之一。
其中一个典型的案例是生产计划。
假设一个工厂生产多种产品，通过线性规划可以确定每种产品的产量，以实现最大利润。
约束条件包括生产成本、原材料数量和市场需求。
另一个经济学中的应用是资产组合。
投资者想要构建一个资产组合，通过线性规划可以确定每种资产的投资比例，以实现最大的收益或最小的风险。
约束条件包括投资额度、收益率和风险指标。
三、工程学领域中的应用在工程学领域，线性规划被广泛应用于资源分配和调度问题。
例如，在项目管理中，可以使用线性规划来优化资源的分配，以满足项目的时间和成本约束。
另一个常见的应用是运输问题。
假设有多个供应地和多个需求地，通过线性规划可以确定每个供应地到需求地的货物运输量，以实现最低的运输成本。
约束条件包括供应地的产能、需求地的需求量和运输通路的限制。
四、生产管理领域中的应用线性规划在生产管理领域中也有广泛的应用。
一个典型的应用是生产调度问题。
假设一个工厂有多个订单需要完成，通过线性规划可以确定每个订单的开始时间和完成时间，以及每个订单的生产量，以最大化生产效率。
线性规划模型应用
此银行计划购买三种不同的债券，即SNCF公司（法国国营铁路 公司）的债券，Fujutsu（富士通）公司债券，以及国债。未投资 于这些债券的资金将作为储蓄保存，储蓄的利率为3.2%,下表列出 了各个债券的收益,时间长度,以及价格等信息.这些债券只能按整数 数目进行购买,并且一旦购买之后在债券期限内即无法更改投资金 额.每年只返回投资的利息.此退休计划的负责人决定只在第一年年
Think-Big Development Co. 梦大发展公司
梦大发展公司部分投资项目的财务数据
年份
0 1 2 3 净现值(收益)
所需投资资金成本(百万美元) 办公楼项目 40 60 90 10 45 宾馆项目 80 80 80 70 70 购物中心项目 90 50 20 60 50
梦大公司不必投资整个项目，可以按比例进行投 资，梦大公司的决策者如何决策，使净现值最大？
债券3 国债 0.5 0.065 0.065 0.065 0.065 0.065 1.065 1784.04 892.02
债券收入 初始投资 储蓄 2388.38 4548.89 1160.51 162.73 760.38 162.73 307.44 162.73 0.00 760.00 0.00 1020.00 0.00 950.00 储蓄利率 3.20%
Union Airways Corp. 联合航空公司
轮班的时段 时段 1 2 √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ $170 $160 $175 $180 $195 3 4 5 代理商的最小数量
6 AM to 8 AM
线性规划模型的应用
1.1 运筹学模型
评价：以最小费用为标准 方案1：5*400=2000 方案2：0.75*400+4*(0.8*400)+0.75*400=1880 方案3：5*(0.8*400)=1600
1.1 运筹学模型
考虑用一段长为L的电线来围成一个矩形，要让这个 矩形的面积最大，其长和宽该取多少呢？ 与前面购买机票问题不同，这里的长和宽是连续变 化的，可能方案的个数有无穷多种！ 我们可以控制的因素是矩形的长与宽，记为w和h 可行方案要满足： w+h=L/2 w>=0,h>=0 下面建立该问题的模型
每吨产品使用原料的吨数 外墙涂料 原料 M1 原料 M2 每吨利润
内墙涂料 4 2 4
日最大可用 量(吨) 24 6
6 1 5
内墙涂料的日需量不超过外墙涂料的日需量加1吨， 内墙涂料的最大日需量是2吨
2.1 二维变量的线形规划模型
下面建立求日总利润最大的生产方案的线性规划模 型 线形规划模型的构成 决策变量 目标函数 约束条件
2.1 二维变量的线形规划模型
例2.1-1 Max Z=5*x1+4*x2 6x1+4x2<=24 x1+2x2<=6 x2-x1<=1 x2<=2 x1,x2>=0
线性规划模型的性质
线性体现在目标函数和约束条件都是决策变量的线 性函数 线性蕴含着线性规划必须满足的3条基本性质 比例性 每个决策变量无论在目标函数中还是在约束条件 中其贡献与决策变量的值成比例。 目标函数中决策变量的系数称为价值系数 约束条件中决策变量的系数称为工艺系数
1.2 运筹学模型的求解
线性规划模型及其应用.
第四章 线性规划模型及应用线性规划是运筹学的一个重要分支。
运筹学：包括线性规划所研究的问题：一是在资源（如钢材、电力等）受限制的前提下，研究如何合理使用这些资源，以完成更多的任务；二是在任务一定的前提下，研究如何合理安排，用最少的资源来完成给定的任务。
线性规划在实际应用中包括下列四个步骤： 1.确定问题，明确目标和限制因素； 2.建立模型； 3.模型求解；4.应用模型和数据进行经济分析。
第一节 线性规划问题的数学模型-p2 第二节 线性规划问题的图解法-p8 第三节 线性规划问题的基本理论-p11 第四节 单纯形法-p16第五节 运输问题的特殊解法-p第一节 线性规划问题的数学模型 一、问题的提出P138 二、数学模型的建立例1：P137生产计划——最大利润问题某企业拟生产A 、B 两种产品，需要经过车、铣两个工段，加工的工时定额、每天可用工时和两种产品可能获得的利润见下表。
要求拟订一个获得利润最大的生产计划。
解：⑴确定变量。
⑵确定目标函数。
⑶列出约束条件。
⑷决策变量为非负值。
设X 1、X 2分别为产品A 、B 的生产数量，则建立线性规划模型为：2186x x MaxZ +=⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤+0,404460105..212121x x x x x x t s 例2：某工厂要做100套钢架，每套用长为2.9米、2.1米、1.5米的圆钢各一根。
已知原坯料每根长7.4米。
如何下料，可使所用原材料最省？解：单一下料，利用率低；套裁法，利用率高。
套裁下料方案：设Ｘ1，Ｘ2，Ｘ3，Ｘ4，Ｘ5，Ｘ6分别表示六种下料方案切割的钢管根数，则截出：（1）长2.9m 的坯料数：Ｘ1+2Ｘ2+Ｘ4+Ｘ6根； （2）长2.1m 的坯料数：2Ｘ3+2Ｘ4+Ｘ5+Ｘ6根； （3）长1.5m 的坯料数：3Ｘ1+Ｘ2+2Ｘ3+3Ｘ5+Ｘ6根； 建模：求654321,,,,,x x x x x x定义：求一组变量x j (j=1,2,......,n)的值，在满足线性约束条件下，使具有线性表达式的目标函数取得极大值或极小值的一类最优化问题称为线性规划问题，简称线性规划。
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Ad Budget Planning Budget
300 90
Cost per Ad ($thousands) 150 100 30 40
Budget Spent 4,000 1,000
<= <=
Budget Av ailable 4,000 1,000 Total Exposures (thousands) 17,000
超级谷物公司为了大规模进入已有许多供应商的早 点谷物类食品市场，雇佣了一家广告公司设计全国 性的促销活动，预算：广告设计费用不超过100万美元， 广告传播费用不超过400万美元。
广告媒介： 媒介1：星期六上午儿童节目的电视广告 媒介2：食品与家庭导向杂志上的广告 媒介3：主要报纸星期天增刊上的广告
线性规划：建模与应用
混合问题（mixed Problem）
线性规划：模与应用
问题类型1
Resource-allocation Problem 资源分配问题
资源分配（resource-allocation）问题是将有限的资源 分配到各种活动中去的线性规划问题。这一类问题的 共性是在线性规划模型中每一个函数限制均为资源限 制(resource constraint) , 并且每一种有限资源都可以表 现为如下的形式： 使用的资源数量 可用的资源数量
Number of Ads Max TV Spots
TV Spots 0 <= 5
Magazine Ads 20
SS Ads 10
线性规划：建模与应用
实际举例2
梦大发展公司 Think-Big Development Co.
梦大发展公司是商务房地产项目的主要投资商，现 该公司有机会在三个投资项目中投资： 项目1：建造高层办公楼 项目2：建造宾馆 项目3：建造购物中心
成本类型
模型求解
线性规划：建模与应用
Super Grain Corp. 超级谷物公司
B 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Exposures per Ad (thousands) C TV Spots 1,300 D Magazine Ads 600 E SS Ads 500 F G H
公司的资金来源：现有2500万美元，预计一年后可获 得2000万美元，两年后可在获得2000万美元，三年后 又可获得1500万美元
线性规划：建模与应用 Think-Big Development Co. 梦大发展公司
梦大发展公司部分投资项目的财务数据
年份
0 1 2 3 净现值(收益)
所需投资资金成本(百万美元) 办公楼项目 40 60 90 10 45 宾馆项目 80 80 80 70 70 购物中心项目 90 50 20 60 50
儿童节目的电视广告资源紧张，只有5个广 告时段可以使用，其他广告资源数量不限
如何组合, 受众最大?
理论模型
线性规划：建模与应用
Super Grain Corp. 超级谷物公司
资源限制： 资源1：广告传播预算400万美元 资源2：广告规划设计预算100万美元 资源3：可获得的儿童节目的电视广告只有5个时段 设三种媒介的广告时段数量分别为x1 , x2 , x3 , 受众量为z
线性规划：建模与应用 Datum Gathering 收集数据
问题所有活动可获得使用的每种资源的有限数量 每一种活动所需要的各种资源的数量, 每一种资源 与活动的组合,单位活动消耗资源量必须首先估计 每一种活动对总的绩效测度的单位贡献
线性规划：建模与应用
实际举例1
Super Grain Corp. 超级谷物公司
线性规划：建模与应用
第四章
线性规划:建模与应用
Key Categories of LP Problems 线性规划问题主要类型
资源分配问题（resource-allocation）
成本收益平衡问题 （cost-benefit-trade-off）
网络配送问题（distribution-network）
梦大公司不必投资整个项目，可以按比例进行投 资，梦大公司的决策者如何决策，使净现值最大？
理论模型
线性规划：建模与应用 Think-Big Development Co. 梦大发展公司
梦大发展公司的投资组合问题资源数据表
资源 每种投资累计资金需求量(百万美元) 购物中心项目 可获得资金数 办公楼项目 宾馆项目
Super Grain Corp. 超级谷物公司
超级谷物公司广告组合问题的成本和广告受众数据
成本类型 每次电视广告 1. 广告传播预算 2. 规划设计预算 广告受众期望量 300,000 90,000 1,300,000 成本(美元) 每份杂志广告 150,000 30,000 600,000 每份增刊广告 100,000 40,000 500,000
0(现在) 1(1年后) 2(2年后) 3(3年后)
40 100 190 200
80 160 240 310
90 140 160 220
25 45 65 80
设对三个项目的投资比例分别为x1 , x2 , x3 , 净现值为z
max z 45x1 70 x2 50 x3 40 x1 80 x2 90 x3 25 100 x1 160 x2 140 x3 45 190 x1 240 x2 160 x3 65 200 x1 310 x2 220 x3 80
数据：数据单元格；
决策：可变单元格；
约束：输出单元格；
绩效测度：目标单元格
超级谷物公司广告组合问题的成本和广告受众数据 成本(美元) 每次电视广告 1. 广告传播预算 2. 规划设计预算 广告受众期望量 300,000 90,000 1,300,000 每份杂志广告 150,000 30,000 600,000 每份增刊广告 100,000 40,000 500,000
max z 130 x1 60 x2 50 x3 s.t. 30 x1 15 x2 10 x3 400 9 x1 3 x2 4 x3 100 x 5, x , x , x 0 1 1 2 3
单位： 万美元 万人
问题分析：
线性规划：建模与应用