2021届河北省石家庄二中实验中学高二上学期数学开学试题
2020-2021学年河北省石家庄二中高二(上)线上考试数学试卷(二)(8月份)
2020-2021学年河北省石家庄二中高二（上）线上考试数学试卷（二）（8月份）一、单选题（每小题5分）1. 已知a，b，c∈R，且a>b，则下列不等式中一定成立的是（）A.a+b≥b+cB.ac>bcC.(a−b)c2≥0D.c2a−b>02. 已知正数x、y满足8x +1y=1，则x+2y的最小值是（）A.18B.16C.8D.103. 已知等比数列{a n}中，a3a11＝4a7，数列{b n}是等差数列，且b7＝a7，则b3+b11＝（）A.3B.6C.7D.84. 如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对应的点为（）A.EB.FC.GD.H5. 已知⊙M:x2+y2−2x−2y−2＝0，直线l:2x+y+2＝0，P为l上的动点．过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|⋅|AB|最小时，直线AB的方程为（）A.2x−y−1＝0B.2x+y−1＝0C.2x−y+1＝0D.2x+y+1＝06. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2c=√6b,C=60，则B＝（）A.45∘B.45∘或135∘C.30∘D.30∘或150∘7. 长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，E为棱AA1的中点，则直线C1E 与平面CB1D1所成角的余弦值为（）A.√69B.5√39C.√53D.238. 方程|y|−1=√3−(x−2)2所表示的曲线的长度是()A.6πB.2√3πC.2√3π+4√3D.6π+129. 已知△ABC是面积为9√34的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（）A.√3B.32C.1 D.√3210. 数列{a n}中，a1＝2，a m+n＝a m a n．若a k+1+a k+2+...+a k+10＝215−25，则k＝（）A.2B.3C.4D.511. 在三棱锥A−SBC中，AB=√10，∠ASC=∠BSC=π4，AC＝AS，BC＝BS，若该三棱锥的体积为√153，则三棱锥S−ABC外接球的体积为（）A.πB.4√3πC.√5πD.π312. 已知椭圆C的焦点为F1(−1, 0)，F2(1, 0)，过点F2的直线与椭圆C交于A，B两点．若|AF2|=2|F2B|，|AB|=|BF1|，则C的方程为( )A.x22+y2=1 B.x23+y22=1 C.x24+y23=1 D.x25+y24=1二、填空题（每小题5分）13. 若x，y满足约束条件{2x+y−2≤0,x−y−1≥0,y+1≥0,则z＝x+7y的最大值为________．14. 在△ABC中，A＝60∘，a＝3，则a+b+csin A+sin B+sin C=________．15. 已知椭圆C:x24+y2b2=1(0<b<2)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点，|PF1|=3,∠F1PF2=π3，则b＝________32．16. 如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD为菱形，且AB＝2，∠DAB＝60∘，△PAD是等边三角形，PB=√6,Q点是侧面PBC内的一个动点，且满足DQ⊥AC，则Q点所形成的轨迹长度是________．三、解答题17. 已知等差数列{a n}的前n项的和记为S n．如果a4=−12，a8=−4．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求S n的最小值及其相应的n的值．18. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝4，△ABC的面积为2√3．，求△ABC的周长；（1）若A=π3（2）求sin B⋅sin C的最大值．19. 如图，在三棱锥P−ABC中，PB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC，PB＝BC＝2．（1）证明：AC⊥平面PBC；，线段PA的长．（2）若二面角B−PA−C的余弦值为√101020. 已知点M(−1, 0)，N(1, 0)，设△TMN的面积为S，内切圆半径为r，且S＝3r．（1）求点T的轨迹W的方程；（2）已知B(−2, 0)，C(2, 0)，点P是直线x＝4上的动点，直线PB与曲线W的一个交点为E．直线PC与曲线W的一个交点为F，并且P，E，F都不在坐标轴上．求证：直线EF经过定点．参考答案与试题解析2020-2021学年河北省石家庄二中高二（上）线上考试数学试卷（二）（8月份）一、单选题（每小题5分）1.【答案】C2.【答案】A3.【答案】D4.【答案】5.【答案】D6.【答案】A7.【答案】A8.【答案】B9.【答案】C10.【答案】C11.【答案】B12.【答案】B二、填空题（每小题5分）13.1 14. 【答案】 2√3 15. 【答案】 32 16. 【答案】 2√73三、解答题 17.【答案】解：(1)设公差为d ，由题意可得{a 1+3d =−12，a 1+7d =−4，解得{d =2，a 1=−18.故可得a n =a 1+(n −1)d =2n −20.(2)由(1)可知数列{a n }的通项公式a n =2n −20， 令a n =2n −20≥0，解得n ≥10，故数列{a n }的前9项均为负值，第10项为0，从第11项开始全为正数， 故当n =9或n =10时，S n 取得最小值， 故S 9=S 10=10a 1+10×92d =−180+90=−90.18. 【答案】因为S △ABC =12bc sin A =√34bc =2√3，所以bc ＝8，由余弦定理得cos A =b 2+c 2−a 22bc=12，所以(b +c)2＝a 2+3bc ，又∵ a ＝4，bc ＝8，∴ (b +c)2＝40，即b +c ＝2√10，∴ △ABC 的周长为4+2√10； 由正弦定理得：a sin A=b sin B=c sin C，∴ sin B ⋅sin C =bcsin 2A a 2，又S △ABC =12bc sin A =2√3，a ＝4， ∴ sin B ⋅sin C =√3sin A 4≤√34，当sin A ＝1，即A =π2时等号成立，此时b 2+c 2＝a 2＝16，即b ＝2√3，c ＝2或b ＝2，c ＝2√3， 故A =π2时，sin B ⋅sin C 取得最大值√34．19.【答案】证明：∵ PB ⊥平面ABC ，PB ⊂平面PBC ，∴ 平面PBC ⊥平面ABC ，又平面PBC ∩平面ABC ＝BC ，在平面ABC 内，过A 作AE ⊥BC ，则AE ⊥平面PBC ． ∵ 平面PAC ⊥平面PBC ，且平面PAC ∩平面PBC ＝PC ，在平面PAC 内，过A 作AF ⊥PC ，则AF ⊥平面PBC ，则AE 与AF 重合为AC ． ∴ AC ⊥平面PBC ；由PB ⊥平面ABC ，PB ⊂平面PAB ，得平面PAB ⊥平面ABC ，又平面PAB ∩平面ABC ＝AB ，在平面ABC 内，过C 作CG ⊥AB ，则CG ⊥平面PAB ， ∴ CG ⊥PA ，过G 作GH ⊥PA ，垂足为H ，连接CH ． 则CH ⊥PA ．∴ ∠CHG 为二面角B −PA −C 的平面角，可得cos ∠CHG =√1010，则sin ∠CHG =3√1010． 设AC ＝x ，则AB =√x 2+4，CG =2x √x 2+4， PC =2√2，则PA =√8+x 2，CH =√2x √8+x 2，则Rt △CGH 中，sin ∠CHG =CG CH=√x 2+42√2x √2=3√1010． 解得x ＝1．∴ PA =√8+12=3．20. 【答案】设△TMN 的周长为l ，则由S ＝3r ，得12lr =3r ，即l ＝6 所以|TM|+|TN|＝4，即T 在以M ，N 为焦点，以4为长轴长的椭圆上．设该椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 则a ＝2，b 2＝a 2−1＝3． 所以点T 的轨迹W 的方程为x 24+y 23=1；证明：设P(4, t)，E(x 2, y 2)，F(x 2, y 2)，则直线PB 的方程为y =t 6(x +2){x 24+y 23=1y =t6(x +2)⇒(27+t 2)x 2+4t 2x +4t 2−108=0，−2x 2=4t 2−10827+t 2⇒x 1=54−2t 227+t 2y 1=t6(x 1+2)=t 6(54−2t 227+t 2+2)=18t27+t 2，即E(54−2t 227+t 2,18t27+t 2)直线PC 的方程为y =t2(x −2){x 24+y 23=1y =t 2(x 2−2) ⇒(3+t 2)x 2−4t 2x +4t 2−12=0，2x 2=4t 2−123+t 2⇒x 2=2t 2−63+t 2y 2=t2(x 2−2)=t 2(2t 2−63+t 2−2)=−6t3+t 2，即F(2t 2−63+t 2,−6t3+t 2)设直线EF 与x 轴交点为K(m, 0)，则KE →,KF →共线． 又KE →=(54−2t 227+t 2−m ⋅1827+t2),KF →=(2t 2−63+t 2−m,−63+t 2)则(54−2t 227+t 2−m)⋅−6t3+t 2=(2t 2−63+t 2−m)⋅18t27+t 2 化简得m ＝1．所以直线EF 经过定点(1, 0)．。
河北省石家庄市第二中学2020-2021学年高二上学期寒假数学(第23天)作业 PDF版含答案
E.若“ x 1”是“ x a ”的必要不充分条件，则实数 a 的最大值为 1 13．函数 y = x2 – 1 和 y = a ln x −1 有相同的公切线，则实数 a 的取值范围为
_____________．
14． 2018 北京两会期间，有甲、乙、丙、丁、戊 5 位国家部委领导人要去 3 个分会场发 言（每个分会场至少1人），其中甲和乙要求不再同一分会场，甲和丙必须在同一分会场，
( ) ( ) B． f (1) 2017 f 2017 2018 f 2018
( ) ( ) C． 2018 f 2018 f (1) 2017 f 2017
( ) ( ) D． 2018 f 2018 2017 f 2017 f (1)
二、多选题 11．月亮公转与自转的周期大约为 30 天，阴历是以月相变化为依据.人们根据长时间的 观测，统计了月亮出来的时间 y（简称“月出时间”，单位：小时）与天数 x（x 为阴历
则不同的安排方案共有__________种（用数字作答）.
15．抛物线 C : y2 = 2 px ( p 0) 的准线与 x 轴的交点为 M ，过点 M 作 C 的两条切线，
切点分别为 P, Q 则 PMQ = ________．
D． 3 3
5．设 0 a 2 ，随机变量 X 的分布列是： 3
X
−1
0
1
P
a
2−a
1
3
3
则当
a
在
0
，
2 3
内增大时（
）
A． D ( X ) 增大
B． D ( X ) 减小
C． D ( X ) 先增大后减小 D． D ( X ) 先
减小后增大
河北省石家庄市第二中学2021-2022高二数学上学期开学考试试题(含解析).doc
河北省石家庄市第二中学2021-2022高二数学上学期开学考试试题（含解析）一、选择题（每题5分，共60分）1.若,,a b c ∈R 且a b >，则下列不等式成立的是( ) A. 22a b >B.11a b< C. a c b c >D.2211a bc c >++ 【答案】D 【解析】 【分析】利用不等式的性质对四个选项逐一判断.【详解】选项A: 0,1a b ==-，符合a b >，但不等式22a b >不成立，故本选项是错误的； 选项B:当0,1a b ==-符合已知条件，但零没有倒数，故11a b<不成立 ，故本选项是错误的； 选项C:当0c时，a c b c >不成立，故本选项是错误的；选项D:因为210c +>，所以根据不等式的性质，由a b >能推出2211a bc c >++，故本选项是正确的，因此本题选D.【点睛】本题考查了不等式的性质，结合不等式的性质，举特例是解决这类问题的常见方法.2.若,A B 是ABC ∆的内角，且sin sin A B >，则A 与B 的关系正确的是( ) A. A B < B. A B >C. 2A B π+>D. 无法确定【答案】B 【解析】 【分析】运用正弦定理实现边角转换，再利用大边对大角，就可以选出正确答案. 【详解】由正弦定理可知：2sin sin a b R A B==,sin sin A B >22a ba b A B R R ⇒>⇒>⇒>，因此本题选B.【点睛】本题考查了正弦定理，考查了三角形大边对大角的性质.3.已知实数1,,,,9a x b --依次成等比数列，则实数x 的值为( ) A. 3或－3 B. 3 C. －3 D. 不确定【答案】C 【解析】 【分析】根据等比中项的性质可以得到一个方程，解方程，结合等比数列的性质，可以求出实数x 的值. 【详解】因为实数1,,,,9a x b --依次成等比数列，所以有2(1)(9)3x x =-⨯-⇒=± 当3x =时，2(1)33a =-⨯=-，显然不存在这样的实数a ，故3x =-，因此本题选C.【点睛】本题考查了等比中项的性质，本题易出现选A 的错误结果，就是没有对等比数列各项的正负性的性质有个清晰的认识.4.过点()1,0且与直线220x y --=垂直的直线方程为（ ） A. 210x y --=B. 210x y -+=C. 220x y +-=D.210x y +-=【答案】C 【解析】 【分析】 根据两个存在斜率的直线互相垂直时，斜率的关系，可以直接求出所求直线的斜率，再根据点斜式求出直线方程，最后化成一般式方程. 【详解】由于直线220x y --=斜率为12，故所求直线的斜率等于2-， 所求直线的方程为02(1)y x -=--，即220x y +-=，因此本题选C ．【点睛】本题考查了两个存在斜率的直线互相垂直时，斜率的关系，考查了数学运算能力.本题可以应用这样的结论解决：与直线0Ax By C ++=平行的直线可设为：10Ax By C ++=，与直线0Ax By C ++=垂直的直线可设为：20Bx Ay C -+=.5.如图，一圆锥形物体的母线长为4，其侧面积为4π，则这个圆锥的体积为（ ）15 8315 D.33【答案】C 【解析】 【分析】先利用侧面积求解底面圆的周长，进而解出底面面积，再求体高，最后解得体积【详解】圆锥的展开图为扇形，半径R 4=，侧面积为为扇形的面积，所以扇形的面积211S ?4π2R α==，解得2πα= ，所以弧长l 2R απ==，所以底面周长为2π，由此可知底面半径r 1=，所以底面面积为S π=，体高为h 15=，故圆锥的体积115V 3Sh ==，故选C 。
河北省石家庄二中实验学校2022-2023学年高三上学期9月开学考试数学试题含答案
石家庄二中实验学校2020级高三年级9月月考（时间：120分钟，分值：150分）一、单选题1．若集合{}{}21,0,1,2A x Z x B =∈−<<=，则A B ⋃=（ ） A ．(2,1)− B ．{1,0}− C ．(2,1]{2}−⋃ D ．{1,0,1,2}− 2．有四个关于三角函数的命题：1p ：∃x ∈R ，2sin 2x +2cos 2x =12 2p ： ∃x ，y ∈R ，sin()sin sin x y x y −=−3p ： sin cos 2x y x y π=⇒+=+2kπ (k ∈Z) 4p ： ∀x ∈[]0π，，1cos 2sin 2xx −= 其中真命题的是（ ） A ．1p ，3pB ．1p ，4pC ．2p ，3pD ．2p ，4p3．若两个正实数,x y 满足12+1=x y ，且不等式2+32+<y x m m 有解，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(4,1)−B ．(1,4)−C ．()(),41,−∞−+∞ D ．()(),14,−∞−⋃+∞4．人们用分贝(dB)来划分声音的等级，声音的等级d (x )(单位：dB)与声音强度x (单位:2W m )满足d (x )＝9lg13110x−⨯.一般两人小声交谈时，声音的等级约为54 dB ，在有50人的课堂上讲课时，老师声音的等级约为63 dB ，那么老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的（ ）A ．1倍B ．10倍C ．100倍D ．1 000倍5．已知R α∈，则函数2()1x f x x的图像不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知函数()tan 24f x x π⎛⎫=− ⎪⎝⎭，下列说法正确的有（ ）①函数()f x 最小正周期为2π； ②定义域为|R,,Z 28k x x x k ππ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭③()f x 图象的所有对称中心为,0,Z 48k k ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭； ④函数()f x 的单调递增区间为3,,Z 2828k k k ππππ⎛⎫−+∈ ⎪⎝⎭． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．若实数m ，n ，p 满足354m e =，235n e =，218p e =，则（ ） A ．p m n <<B ．p n m <<C ．m p n <<D ．n p m <<8．()f x 的定义域为R ，且()()()()f x y f x y f x f y ++−=，()11f =，则20221()k f k ==∑（ ） A ．−3 B ．−2C ．0D ．1二、多选题9．设函数()21,21,ax x af x x ax x a −<⎧=⎨−+≥⎩，()f x 存在最小值时，实数a 的值可能是（ ）A ．2B ．-1C ．0D ．110．函数()()sin f x A x b ωϕ=++，（0>ω，πϕ<）部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A ．函数()f x 解析式为π2sin 213x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭B ．函数的单调增区间为()5ππ,πZ 1212k k k ⎛⎫−++∈ ⎪⎝⎭C ．函数()f x 的图象关于点()π,1Z 2k k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭对称D ．为了得到函数()f x 的图象，只需将函数π2cos 23x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭向右平移π4个单位长度11．已知数列{}n a 满足()*213,3N ,n n n n a a a n S +=⋅=∈为数列{}n a 的前n 项和，则（ ）A ．{}n a 是等比数列B ．{}2n a 是等比数列C ．()10112022231S =− D ．{}n a 中存在不相等的三项构成等差数列12．已知函数()()211x xf x x x =−>−，()()2log 11x g x x x x =−>−的零点分别为α，β，给出以下结论正确的是（ ） A ．αββα=+ B ．22log ααββ+=+C ．4αβ+>D ．2αβ−>−三、填空题13．在正项等比数列{}n a 中，已知4568=a a a ，则129lg lg lg a a a +++=________．14．在ABO 中，1OA OB ==，3AOB π∠=，若OC 与线段AB 交于点P ，且满足OC OA OB λμ=+，||3OC =，则λμ+的最大值为_________．15．已知函数3tan 1y x ω=+在ππ,34⎛⎫− ⎪⎝⎭内是减函数，则ω的取值范围是______．16．已知函数()265,0,11,0,2x x x x f x x ⎧−−−<⎪=⎨⎛⎫−≥ ⎪⎪⎝⎭⎩若关于x 的方程()()()22210f x a f x a a +−+−=⎡⎤⎣⎦有5个不同的实数根，则a 的取值范围为___________. 四、解答题17．已知平面向量,,a b c ，且()2,1a =−， (1)若a c ∥，且25c =，求向量c 的坐标；(2)若()3,2b =，求a 在b 方向的投影向量（用坐标表示）18．已知n S 是等差数列{}n a 前n 项和，96881,26S a a =+=. (1)求{}n a 的通项公式；(2)在{}n a 中，去掉以1a 为首项，以2a 为公比的数列的项，剩下的项按原来顺序构成的数列记为{}n b ，求{}n b 前100项和100T19．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知2sin sin 12,cos sin 7a A C C c B ==(1)求B ；(2)若ABC D 为AC 的中点，求线段BD 的长.20.设函数())(0,0)f x x ωϕωϕπ+><<，该函数图象上相邻两个最高点间的距离为4π，且()f x 为偶函数. (1)求ω和ϕ的值；(2)已知角A ，B ，C 为ABC 的三个内角，若(2sin sin )cos sin cos A C B B C −=，求()()22f A f C +的取值范围.21.设a 为实数，函数()3223f x x x a =−+，()()22ln 3g x x x =−.(1)若函数()f x 与x 轴有三个不同交点，求实数a 的取值范围；(2)对于[]11,2x ∀∈−，[]21,e x ∃∈，都有()()12f x g x ≥，试求实数a 的取值范围. 22．设函数()2ln kf x x kx x=+−. (1)讨论函数()f x 的单调性；(2)证明：()22211ln 11ln 1ln 182n ⎛⎫⎛⎫++++⋅⋅⋅++< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()*N n ∈.2020级高三年级9月开学考试 答案一．单选题1．D 2．D 3．C 4．B 5．A 6．C 7．A 8．C 二．多选题9．BC 10．AB 11．BC 12．ABCD 三．填空题13．9lg 2 14．2 15．3[,0)2− 16．(]1,1−四．解答题.17.(1)解：设(),c x y =，()2,1a =−，2a c x y ∴=−∥，又2225625c x y =∴+=， (3)2125y y ∴=∴=±55x y ⎧=−⎪∴⎨=⎪⎩x y ⎧=⎪⎨=−⎪⎩(105,5c ∴=−或(− (6)(2)解：()2,1a =−，()3,2b =，设a 与b 的夹角为θ. 故624a b ⋅=−+=−4cos 1313a b a b θ⋅∴==−=−， (8)a ∴在b 上的投影向量为128,1313⎛⎫−− ⎪⎝⎭ (10)18．（1）设数列{}n a 的公差为d .96881,26S a a =+=，1119898125726a d a d a d ⨯⎧+=⎪∴⎨⎪+++=⎩,解得: 1a 1,d 2 (3)所以，()()11121n a a n d n =+−=+−，即21n a n =− (6)(2)设以1a 为首项，以2a 为公比的数列为{}{},n n c c 前n 项和为n M .由（1）知11123n n n c a a −−==，所以()13131132n nn M −==−−.........................9 5610581,243,209c c a ===()510010551051041105123110904.22T S M ⨯∴=−=⨯+⨯−−= (12)19.解：(1)因为2sin sin 12sin B 7a A C c =，所以22c c a b =22a b=127.设a 2=12k （k >0），则b 2=7k ，由cos ，得222-2a b c ab +2，解得c 2=25k ， (3)所以cos B=222-2a c b ac +0<B<π，所以B=π6 (6)(2)因为△ABC 的面积S=12ac sin B=14，所以ac=又22a c=1225，所以a=c=5 (9)由（1）知22b a =712，所以.所以BD 2=BC 2+CD 2-2BC ·CD .cos C=674，故 (12)20．(1)解：因为()()x f x ωϕ=+的图象上相邻两个最高点间的距离为4π，可得24ππω=，解得12ω=，所以1()2f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，.........................2 又因为()f x 为偶函数，可得2k πϕπ=+，k Z ∈，因为0ϕπ<<，所以2ϕπ=..........................4 (2)解：因为(2sin sin )cos sin cos A C B B C −=，可得2sin cos sin cos sin cos A B C B B C −=，所以2sin cos sin()A B B C =+， 又因为A B C π++=，且0A π<<，所以sin()sin 0B C A +=≠，所以1cos 2B =， 因为0B π<<，所以3B π=，则23A C π+=，即23C A π=−， (8)由（1）知，函数1()2f x x ，所以222211()()2cos 2cos cos cos 222f A f C A C A C +=+=++21cos cos 2cos cos 2322A A A A A π⎛⎫=+−+=−++ ⎪⎝⎭1cos 22A A ++sin 26A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，.........................10 因为203A π<<，可得5666A πππ<+<，所以1sin ,162A π⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，则5sin 2,362A π⎛⎫⎛⎤++∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，即()()22f A f C +的取值范围为5,32⎛⎤ ⎥⎝⎦ (12)21．(1)()()26661f x x x x x '=−=−，由()0f x '>，解得1x >或0x <；由()0f x '<解得01x <<，所以()f x 在(),0∞−上单调递增，在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增， (2)若函数()f x 与x 轴有三个不同交点，则(0)0(1)10f a f a =>⎧⎨=−+<⎩，解得01a <<，所以若函数()f x 与x 轴有三个不同交点，实数a 的取值范围为01a <<；.........................5 (2)对于[]11,2x ∀∈−，[]21,e x ∃∈，都有()()12f x g x ≥，则()()12min min f x g x ≥，.........................7 由（1）知函数()f x 在[)1,0−上单调递增，在(]0,1上单调递减，在(]1,2上单调递增，又()15f a −=−，()11f a =−， 故当[]1,2x ∈−时()()min 15f x f a =−=−， (9)因为()()22ln 3g x x x =−，且[]1,e x ∈，则()()()4ln 14110g x x x x '=−≤−=， 故函数()g x 在[]1,e 上单调递减，故()()2min e e g x g ==−， (11)由题意可得25e a −≥−，故25e a ≥−.所以实数a 的取值范围为)25e ,⎡−+∞⎣..........................12 22．(1)解：()f x 的定义域为()0,∞+，()22222k kx x kf x k x x x −+−'=−−=，令()22g x kx x k =−+−，当0k ≤时，()0g x ≥恒成立，即()0f x '≥恒成立， 故()f x 在()0,∞+上单调递增， (2)当01k <<时，()0g x =有二正根，1x =，2x =当110,x k k ⎛⎫⎛⎫∈⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()0f x '<， ()f x在⎛ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减，当x ⎝⎭，()0f x '>，()f x在⎝⎭上单调递增，.........................4 当1k时，()0g x ≤恒成立，即()0f x '≤恒成立， (5)故()f x 在()0,∞+上单调递减；综上：当0k ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递增；当01k <<时，()f x在⎛ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减，()f x在⎝⎭上单调递增；当1k时，()f x 在()0,∞+上单调递减； (6)(2)证明：由（1）知：当2k =时，()f x 在[)1,+∞上单调递减，所以()()22ln 210f x x x f x=+−≤=，所以1ln x x x≤−，当且仅当1x =时取等号，令11x n =+， (8)则2222111114ln 11111n n n n n n ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫+<+−=+< ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎪+⎝⎭， 所以()2222222111111ln 11ln 1ln 142123n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⋅⋅⋅++<+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()11111111141411223112231n n n n ⎛⎫⎛⎫<+++⋅⋅⋅+=+−+−+⋅⋅⋅+− ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯−−⎝⎭⎝⎭144288n n ⎛⎫=−=−< ⎪⎝⎭， 所以()22211ln 11ln 1ln 182n ⎛⎫⎛⎫++++⋅⋅⋅++< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()*N n ∈ (12)。
河北省石家庄市第二中学2019-2020学年高二上学期开学考试数学试题
【题文】已知两个定点(0,4),(0,1)A B ，动点P 满足||2||PA PB =.设动点P 的轨迹为曲线E ，直线:4l y kx =-.（1）求曲线E 的轨迹方程；（2）若l 与曲线E 交于不同的C ，D 两点，且120COD ︒∠=（O 为坐标原点），求直线l 的斜率；（3）若1k =， Q 是直线l 上的动点，过Q 作曲线E 的两条切线QM ，QN ，切点为M ，N ，探究：直线MN 是否过定点.【答案】（1）224x y +=；（2）（3）(1,1)-.【解析】【分析】（1）设点P 坐标为（x ，y ），运用两点的距离公式，化简整理，即可得到所求轨迹的方程；（2）由120COD ︒∠=，则点O 到CD 边的距离为1，由点到线的距离公式得直线l 的斜率；（3）由题意可知：O ，Q ，M ，N 四点共圆且在以OQ 为直径的圆上，设(,4)Q t t -，则圆F 的圆心为4,22t t -⎛⎫ ⎪⎝⎭运用直径式圆的方程，得直线MN 的方程为(4)40tx t y +--=，结合直线系方程，即可得到所求定点．【详解】（1）设点P 的坐标为(,)x y由||2||PA PB ==整理可得224x y +=所以曲线E 的轨迹方程为224x y +=.（2）依题意，2OC OD ==，且120COD ︒∠=，则点O 到CD 边的距离为1即点(0,0)O 到直线:40l kx y --=1=，解得k =所以直线l 的斜率为（3）依题意，,ON QN OM QM ⊥⊥，则M N ，都在以OQ 为直径的圆F 上 Q 是直线:4l y x =-上的动点，设(,4)Q t t -则圆F 的圆心为4,22t t -⎛⎫⎪⎝⎭，且经过坐标原点 即圆的方程为22(4)0x y tx t y +---= ，又因为,M N 在曲线22:4E x y +=上 由22224(4)0x y x y tx t y ⎧+=⎨+---=⎩，可得(4)40tx t y +--= 即直线MN 的方程为(4)40tx t y +--=由t R ∈且()440t x y y +--=可得，0440x y y +=⎧⎨+=⎩解得11x y =⎧⎨=-⎩ 所以直线MN 是过定点(1,1)-.【点睛】本题考查点的轨迹方程的求法，注意运用两点的距离公式，考查直线和圆相交的弦长公式，考查直线恒过定点的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．【标题】河北省石家庄市第二中学2019-2020学年高二上学期开学考试数学试题【结束】。
河北省石家庄市高二上学期期末考试数学理试卷(解析版)
精品文档2021-2021学年河北省石家庄市高二〔上〕期末数学试卷〔理科〕一、选择题〔共12小题，每题5分，共60分〕1．命题：“?x＞0，x2+x≥0〞的否认形式是〔〕A．?x≤0，x2+x＞0B．?x＞0，x2+x≤0．0＞，2．0≤，2C?x0+x0＜0D?x0+x0＞0 0x0x2．抛物线y=的焦点坐标是〔〕A．〔，0〕B．〔0，〕C．〔0，1〕D．〔1，0〕3．将一枚质地均匀的硬币随机抛掷两次，出现一次正面向上，一次反面向上的概率为〔〕A．B．C．D．4．设x∈R，那么“1＜x＜3〞是“|x﹣2|＜1〞的〔〕A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．执行如下图的程序框图，那么输出结果s的值为〔〕A．﹣B．﹣1C．D．06．某单位要在800名员工中抽去80名员工调查职工身体健康状况，其中青年员工400名，中年员工300名，老年员工100名，以下说法错误的选项是〔〕A．老年人应作为重点调查对象，故抽取的老年人应超过40名B．每个人被抽到的概率相同为精品文档C．应使用分层抽样抽取样本调查D．抽出的样本能在一定程度上反映总体的健康状况．假设过点〔，〕的直线l与圆x2+y2=1有公共点，那么直线l的倾斜角的取值范围是〔〕7P1A．[，]B．[，]C．[，]D．[，]8．某产品的广告费用 x〔万元〕与销售额y〔万元〕的统计数据如下表所示，根据表中的数据可得回归方程= x+ ，其中=0，据此模型预报，当广告费用为7万元时的销售额为〔〕x 4 2 3 5y 38 20 31 51A．60 B．70 C．73 D．699．如图，空间四边形OABC中，= ，= ，= ，点M在线段OA上，且OM=2MA，点N为BC的中点，那么=〔〕A．﹣+ + B．﹣+ C． + ﹣D． + ﹣10．设F1、F2为椭圆的两个焦点，M为椭圆上一点，MF1⊥MF2，且|MF2|=|MO|〔其中点O为椭圆的中心〕，那么该椭圆的离心率为〔〕A．﹣1B．2﹣C．D．11．在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为AB的中点，那么点C到平面A1DM的距离为〔〕A．B． a C． a D．a精品文档12．F1、F2分是双曲C：=1〔a＞0，b＞0〕的左、右焦点，P是双曲C的右支上的点，射PQ平分∠F12交1PF x于点Q，原点O作PQ的平行交PF于点M，假设|MP=|F12〕|F|，C的离心率〔A．B．3C．2D．二、填空〔本大共4小，每小5分，共20分〕13．假设五个数1、2、3、4、a的平均数4，五个数的准差．14．一直角三角形两直角的均是区〔0，1〕的随机数，斜的小于1的概率．15．=〔2，1，2〕，=〔1，3，3〕，=〔13，λ，3〕，假设向量，，共面，λ．的16．F1、F2分是+=1的左、右焦点，P上任一点，点M的坐〔3，1〕，|PM|+|PF|的最大．1三、解答〔本大6小，共70分〕17．〔10分〕有6道，其中3道甲，2道乙，同学从中任取2道解答．求：I〕所取的2道都是甲的概率；II〕所取的2道不是同一的概率．18．〔12分〕命p：〔x 2〕2≤1，命q：x2+〔2a+1〕x+a〔a+1〕≥0，假设p是q的充分不必要条件，求数a的取范．19．〔12分〕从某校高一年1000名学生中随机抽取100名量身高，量后被抽取的学生身高全部介于155厘米到195厘米之，将量果分八：第一[155，160〕，第二[160，165〕，⋯，第八[190，195〕，得到率分布直方如所示．〔Ⅰ〕算第三的本数；并估校高一年1000名学生中身高在170厘米以下的人数；〔Ⅱ〕估被随机抽取的100名学生身高的中位数、平均数．精品文档20．〔12分〕圆C：x 2+〔y﹣1〕2，直线：﹣my+m﹣，且直线l与圆C相交于A、=9l x2=0B两点．〔Ⅰ〕假设|AB|=4，求直线l的倾斜角；〔Ⅱ〕假设点P〔2，1〕满足=，求直线l的方程．21．〔12分〕如下图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA=2．〔Ⅰ〕证明：平面PBE⊥平面PAB；〔Ⅱ〕求二面角B﹣PE﹣D的余弦值．22．〔12分〕椭圆C：+ =1〔a＞b＞0〕的上顶点为〔0，2〕，且离心率为．〔Ⅰ〕求椭圆C的方程；〔Ⅱ〕从椭圆C上一点M向圆x2+y2=1上引两条切线，切点分别为A、B，当直线AB分别与x轴、y轴交于P、Q两点时，求|PQ|的最小值．精品文档四、附加题23．函数f〔x〕=e x﹣ax，〔e为自然对数的底数〕．〔Ⅰ〕讨论f〔x〕的单调性；〔Ⅱ〕假设对任意实数x恒有f〔x〕≥0，求实数a的取值范围．精品文档2021-2021学年河北省石家庄市高二〔上〕期末数学试卷〔理科〕参考答案与试题解析一、选择题〔共12小题，每题5分，共60分〕1．命题：“?x＞0，x2+x≥0〞的否认形式是〔〕A．?x≤0，x2+x＞0B．?x＞0，x2+x≤02．0≤，20+x0＜0D?x0+x0＞C．?x＞0，x0x【考点】命题的否认．【专题】计算题；对应思想；定义法；简易逻辑．【分析】根据全称命题的否认是特称命题进行求解．【解答】解：全称命题的否认是特称命题，2那么命题的否认是：?x0∈R，x0+x0＜0，应选：C【点评】此题主要考查含有量词的命题的否认，比拟根底．2．抛物线y= 的焦点坐标是〔〕A．〔，0〕B．〔0，〕C．〔0，1〕D．〔1，0〕【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题．【分析】先将方程化简为标准形式，即可得焦点坐标．【解答】解：由抛物线可得x2=4y，故焦点坐标为〔0，1〕应选C．【点评】此题主要考查抛物线的简单性质．属根底题．3．将一枚质地均匀的硬币随机抛掷两次，出现一次正面向上，一次反面向上的概率为〔〕A．B．C．D．精品文档【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题；集合思想；定义法；概率与统计．【分析】出现一次正面向上，一次反面向上的情况有两种：第一次正面向上第二次反面向上和第一次反面向上第二次正面向上．【解答】解：将一枚质地均匀的硬币随机抛掷两次，出现一次正面向上，一次反面向上的概率为：p= = ．应选：A．【点评】此题考查概率的求法，是根底题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．4．设x∈R，那么“1＜x＜3〞是“|x﹣2|＜1〞的〔〕A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】不等式的解法及应用；简易逻辑．【分析】由|x﹣2|＜1，解得1＜x＜3．即可判断出结论．【解答】解：由|x﹣2|＜1，解得1＜x＜3．∴“1＜x＜3〞是“|x﹣2|＜1〞的充要条件．应选：C．【点评】此题考查了不等式的解法、简易逻辑，考查了推理能力与计算能力，属于根底题．5．执行如下图的程序框图，那么输出结果s的值为〔〕精品文档精品文档A． B．1C． D．0【考点】程序框．【】化思想；化法；算法和程序框．【分析】算法的功能是求S=cos +cos +⋯+cos 的，根据条件确定最后一次循的n，再利用余弦函数的周期性算出S的．【解答】解：由程序框知：算法的功能是求S=cos +cos +⋯+cos 的，∵跳出循的n 2021，∴出S=cos+cos+⋯+cos，∵cos+cos+cos+cos+cos+cos=cos cos cos cos cos cos=0，++∴S=cos cosπcos=1．++故：B．【点】本考了循构的程序框，关框的流程判断算法的功能是关．6．某位要在800名工中抽去80名工工身体健康状况，其中青年工400名，中年工300名，老年工100名，以下法的是〔〕A．老年人作重点象，故抽取的老年人超40名B．每个人被抽到的概率相同精品文档精品文档C．应使用分层抽样抽取样本调查D．抽出的样本能在一定程度上反映总体的健康状况【考点】分层抽样方法．【专题】计算题；对应思想；定义法；概率与统计．【分析】根据抽样的有关概念进行判断即可．【解答】解：根据样本特点，为了抽样的公平性，那么应使用分层抽样，故A错误．应选：A【点评】此题主要考查抽样的理解和判断，比拟根底．7．假设过点P〔1，〕的直线l与圆x2+y2=1有公共点，那么直线l的倾斜角的取值范围是〔〕A．[ ，] B．[ ，]C．[ ，]D．[ ，]【考点】直线与圆相交的性质．【专题】综合题；分类讨论；演绎法；直线与圆．【分析】根据直线的斜率分两种情况，直线l的斜率不存在时求出直线l的方程，即可判断出答案；直线l的斜率存在时，由点斜式设出直线l的方程，根据直线和圆有公共点的条件：圆心到直线的距离小于或等于半径，列出不等式求出斜率k的范围，可得倾斜角的范围．【解答】解：①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程是x=1，此时直线l与圆相交，满足题意；②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y﹣=k〔x﹣1〕，即kx﹣y﹣k+=0，∵直线l和圆有公共点，∴圆心到直线的距离小于或等于半径，那么≤1，解得k≥，∴直线l的倾斜角的取值范围是[ ，]，应选：D．【点评】此题考查直线与圆的位置关系，直线的点斜式方程，点到直线的距离公式等，考查转化思想，分类讨论思想，以及化简能力．精品文档精品文档8．某产品的广告费用 x〔万元〕与销售额y〔万元〕的统计数据如下表所示，根据表中的数据可得回归方程= x+ ，其中=0，据此模型预报，当广告费用为7万元时的销售额为〔〕x 4 2 3 5y 38 20 31 51A．60 B．70 C．73 D．69【考点】线性回归方程．【专题】对应思想；数学模型法；概率与统计．【分析】根据表中数据计算、，由回归方程= x+ 过样本中心点，求出的值，再计算x=7时的值即可．【解答】解：根据表中数据，得：=×〔4+2+3+5〕，×〔38+20+31+51〕=35；且回归方程= x+过样本中心点〔，〕，其中=0，所以×3.5+0=35，解得=10，所以回归方程为=10x；当x=7时，=10×7=70，即广告费用为7万元时销售额为70万元．应选：B．【点评】此题考查了线性回归方程的应用问题，是根底题目9．如图，空间四边形OABC中，= ，= ，= ，点M在线段OA上，且OM=2MA，点N为BC的中点，那么=〔〕A．﹣+ + B．﹣+ C．+ ﹣D．+ ﹣精品文档精品文档【考点】空间向量的加减法．【专题】空间向量及应用．【分析】由题意，把，，三个向量看作是基向量，由图形根据向量的线性运算，将用三个基向量表示出来，即可得到答案，选出正确选项．【解答】解：=，=+﹣+，=++﹣，=﹣++，∵=，=，=，∴=﹣++，应选：A．【点评】此题考点是空间向量根本定理，考查了用向量表示几何的量，向量的线性运算，解题的关键是根据图形把所研究的向量用三个基向量表示出来，此题是向量的根底题．10．设F1、F2为椭圆的两个焦点，M为椭圆上一点，MF1⊥MF2，且|MF2|=|MO|〔其中点O为椭圆的中心〕，那么该椭圆的离心率为〔〕A．﹣1B．2﹣C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】数形结合；数形结合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意可知：△OMF2为等边三角形，∠OF2M=60°，|MF2|=c，丨MF1丨= c，丨MF1丨+|MF2|=2a= c+c=〔+1〕c，a= ，由椭圆的离心率公式即可求得椭圆的离心率．【解答】解：由题意可知：MF1⊥MF2，那么△F1MF2为直角三角形，由|MF2|=|MO|，O为F1F2中点，那么丨OM丨=丨OF2丨，∴△OMF2为等边三角形，∠OF2M=60°|MF2|=c，∴丨MF1丨=c，精品文档由椭圆的定义可知：丨MF1丨2|=2a=c+c=〔+1〕，a=，+|MF c那么该椭圆的离心率e= = = ﹣1，该椭圆的离心率为﹣1，应选：A．【点评】此题考查椭圆的简单几何性质，考查直角三角形的性质，考查计算能力，属于中档题．11．在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为AB的中点，那么点C到平面A1DM的距离为〔〕A． B． a C． a D． a【考点】点、线、面间的距离计算．【专题】计算题．【分析】连接A1C、MC，三棱锥A1﹣DMC就是三棱锥C﹣A1MD，利用三棱锥的体积公式进行转换，即可求出点C到平面A1DM的距离．精品文档【解答】解：连接A1C、MC可得=△A1DM中，A1D= ，A1M=MD=∴=三棱锥的体积：所以 d〔设d是点C到平面A1DM的距离〕∴=应选A．【点评】此题以正方体为载体，考查了立体几何中点、线、面的距离的计算，属于中档题．运用体积计算公式，进行等体积转换来求点到平面的距离，是解决此题的关键．12．设F1、F2分别是双曲线C：﹣=1〔a＞0，b＞0〕的左、右焦点，P是双曲线C的右支上的点，射线PQ平分∠F12交x 轴于点，过原点O作PQ的平行线交1于点M，PF Q PF 假设|MP|=|F12，那么C的离心率为〔〕F|精品文档A． B．3 C．2 D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】运用极限法，设双曲线的右顶点为A，考察特殊情形，当点P→A时，射线PT→直线x=a，此时PM→AO，即|PM|→a，结合离心率公式即可计算得到．【解答】解：设双曲线的右顶点为A，考察特殊情形，当点P→A时，射线PT→直线x=a，此时PM→AO，即|PM|→a，特别地，当P与A重合时，|PM|=a．由MP=|F12||F|=c，即有a=c，由离心率公式e= =2．应选：C．【点评】此题考查双曲线的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，注意极限法的运用，属于中档题．二、填空题〔本大题共4小题，每题5分，共20分〕13．假设五个数1、2、3、4、a的平均数为4，那么这五个数的标准差为．【考点】极差、方差与标准差．【专题】计算题；方程思想；定义法；概率与统计．【分析】由五个数1、2、3、4、a的平均数为4，求出a=10，由此能求出这五个数的方差．【解答】解：∵五个数1、2、3、4、a的平均数为4，∴，解得a=10，∴这五个数的方差为S2[〔﹣〕2+〔2﹣4〕2+〔3﹣4〕2+〔4﹣4〕2+〔10﹣4〕2]=10，=14这五个数的标准差为S=．故答案为：．【点评】此题考查标准差的求法，是根底题，解题时要认真审题，注意平均数、方差性质、精品文档计算公式的合理运用．14．设一直角三角形两直角边的长均是区间〔0，1〕的随机数，那么斜边的长小于1的概率为．【考点】几何概型．【专题】计算题；概率与统计．【分析】看出试验包含的所有事件对应的集合，求出面积，写出满足条件的集合和面积，求比值即可．【解答】解：设两直角边分别是x，y，∴试验包含的根本领件是{〔x，y〕|0＜x＜1，0＜y＜1}，对应的正方形的面积是1，满足条件的事件对应的集合为{〔x，y〕x2y2＜1，x＞0，y＞0}，该区域为个圆，面积为．|+∴P=．故答案为：．【点评】此题主要考查几何概型的概率计算，根据条件求出对应的区域面积是解决此题的关键．15．=〔2，﹣1，2〕，=〔﹣1，3，﹣3〕，=〔13，λ，3〕，假设向量，，共面，那么λ的值为 6 ．【考点】共线向量与共面向量．【专题】方程思想；转化思想；空间向量及应用．【分析】向量，，共面，存在实数m，n使得= ，即可得出．【解答】解：∵向量，，共面，∴存在实数m，n使得 = ，∴，解得λ=6．故答案为：6．【点评】此题考查了向量坐标运算性质、向量共面定理，考查了推理能力与计算能力，属于精品文档基．16．F1、F2分是+=1的左、右焦点，P上任一点，点M的坐〔3，1〕，|PM|+|PF1|的最大11．【考点】的性．【】化思想；化法；曲的定、性与方程．【分析】利用的定表示出|PA|+|PF1|，通利用三点共求出最大．【解答】解：将M的坐代入方程可得，即M在内，PF、MF22 F1〔3，0〕，F2〔3，0〕，由的定可得，|PF1|+|PF2|=2a=10，|PM|+|PF1|=||PF1|+|PF2|+|PM||PF2|=2a+|PM||PF2||MF2|≤|PM|||PF2|≤|MF2|=1．|PM|+|PF1|的最大2a+1=11．故答案：11【点】本考的定以及第二定的用，表达式的几何意的用，考化思想与算能力．属于中档．三、解答〔本大6小，共70分〕17．〔10分〕有6道，其中3道甲，2道乙，同学从中任取2道解答．求：I〕所取的2道都是甲的概率；II〕所取的2道不是同一的概率．【考点】列法算根本领件数及事件生的概率．【】算；概率与．【分析】列出同学从中任取2道解答的全部根本领件个数，I〕交所取的2道都是甲的事件个数，代入概率公式，可得答案；II〕所取的2道不是同一的事件个数，代入概率公式，可得答案．【解答】解：甲a1，a2，a3，乙b1，b2，根本领件空Ω={〔a1，b1〕〔a1，b2〕〔b1，b2〕〔a2，b1〕〔a2，b2〕〔a1，a2〕〔a3，b1〕〔a3，b2〕〔a1，a3〕〔a2，a3〕}⋯4精品文档所以：I〕所取的2道都是甲的事件有：a1，a2〕〔a1，a3〕〔a2，a3〕共3个，故所取的2道都是甲的概率⋯4〔II〕所取的2道不是同一的事件有：〔a1，b1〕〔a1，b2〕〔a2，b1〕〔a2，b2〕〔a3，b1〕〔a3，b2〕共6个；故所取的2道不是同一的概率⋯4【点】本考的知点是古典概型概念算公式，度不大，属于基．18．〔12分〕命p：〔x 2〕2≤1，命q：x2+〔2a+1〕x+a〔a+1〕≥0，假设p是q的充分不必要条件，求数a的取范．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【】化思想；不等式的解法及用；易．【分析】命p：〔x 2〕2≤1，可得解集A=[1，3]．命q：x2+〔2a+1〕x+a〔a+1〕≥0，可得B=〔∞，a 1]∪[a，+∞〕．根据p是q的充分不必要条件，即可得出．【解答】解：命p：〔x 2〕2≤1，解得1≤x≤3，A=[1，3]．命q：x2+〔2a+1〕x+a〔a+1〕≥0，解得x≤a1，或x≥a．B=〔∞，a1]∪[a，+∞〕．∵p是q的充分不必要条件，∴3≤a1，或a≤1，∴a≤4，或a≥1．∴数a的取范〔∞，4]∪[1，+∞〕．【点】本考了不等式的解法、易，考了推理能力与算能力，属于中档．19．〔12分〕从某校高一年1000名学生中随机抽取100名量身高，量后被抽取的学生身高全部介于155厘米到195厘米之，将量果分八：第一[155，160〕，第二[160，165〕，⋯，第八[190，195〕，得到率分布直方如所示．〔Ⅰ〕算第三的本数；并估校高一年1000名学生中身高在170厘米以下的人数；〔Ⅱ〕估被随机抽取的100名学生身高的中位数、平均数．精品文档【考点】率分布直方．【】算；表型；数形合；数形合法；概率与．【分析】〔Ⅰ〕由率分布直方分析可得各数据段的率，再由率与数的关系，可得数．〔Ⅱ〕先求前四的率，而可求中位数，算可得各数，即可求解平均数．【解答】〔本分12分〕解：〔Ⅰ〕由第三的率：[1 5×〔〕]÷，其本数：×100=20，⋯3分由5×〔〕，校高一年1000名学生中身高在170厘米以下的人数：×1000=320〔人〕⋯6分〔Ⅱ〕前四的率：5×〔〕，0.52 ，中位数在第四中，由，可得：175 ×，所以中位数cm，⋯9分算可得各数分：4，8，20，20，30，8，6，4，平均数：〔××××××××4〕÷〔cm〕⋯12分【点】本考了率分布直方的用，关是正确分析率分布直方的数据信息，准确算，属于基．20．〔12分〕C：x2+〔y 1〕2=9，直l：x my+m 2=0，且直l与C相交于A、精品文档精品文档B两点．〔Ⅰ〕假设|AB|=4，求直线l的倾斜角；〔Ⅱ〕假设点P〔2，1〕满足=，求直线l的方程．【考点】直线与圆相交的性质．【专题】综合题；方程思想；演绎法；直线与圆．【分析】〔Ⅰ〕假设|AB|=4，那么圆心到直线的距离为=1，利用点到直线的距离公式，建立方程，即可求直线l的倾斜角；〔Ⅱ〕假设点P〔2，1〕满足=，那么P为AB的中点，求出直线的斜率，即可求直线l的方程．【解答】解：〔Ⅰ〕假设|AB|=4，那么圆心到直线的距离为=1，∴=1，∴m=，∴直线的斜率为，∴直线l的倾斜角为30°或150°；〔Ⅱ〕假设点P〔2，1〕满足= ，那么P为AB的中点，kCP=0，∴直线l的斜率不存在，∴直线l的方程为x=2．【点评】此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，垂径定理，以及勾股定理的运用，当直线与圆相交时，常常根据垂径定理由垂直得中点，进而再由弦心距，圆的半径及弦长的一半，利用勾股定理解决问题．21．〔12分〕如下图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA=2．〔Ⅰ〕证明：平面PBE⊥平面PAB；〔Ⅱ〕求二面角B﹣PE﹣D的余弦值．精品文档【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【专题】证明题；数形结合；向量法；空间位置关系与距离；空间角．【分析】〔Ⅰ〕连结BD，推导出BE⊥AB，PA⊥B E，从而BE⊥平面PAB，由此能证明平面PBE⊥平面PAB．〔Ⅱ〕以点E为坐标原点，EB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴，过点E垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣PE﹣D的余弦值．【解答】证明：〔Ⅰ〕连结BD，∵四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，∴BE⊥AB，PA⊥BE，∵AB∩PA=A，∴BE⊥平面PAB，∵BE?平面PBE，∴平面PBE⊥平面PAB．解：〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知BE⊥CD，又PA⊥底面ABCD，以点E为坐标原点，EB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴，过点E垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系，那么E〔0，0，0〕，B〔，0，0〕，D〔0，﹣，0〕，A〔，﹣1，2〕，=〔0，1，2〕，=〔，0，0〕，=〔0，﹣，0〕，=〔，﹣1，2〕，设平面BPE的法向量=〔x，y，z〕，那么，取y=2，得 =〔0，2，﹣1〕，设平面DPE的法向量=〔a，b，c〕，精品文档那么，取a=2 ，得=〔2 ，0，﹣〕，设二面角B﹣PE﹣D的平面角为θ，cosθ== = ．∴二面角B﹣PE﹣D的余弦值为．【点评】此题考查面面垂直行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．22．〔12分〕椭圆C：+ =1〔a＞b＞0〕的上顶点为〔0，2〕，且离心率为．〔Ⅰ〕求椭圆C的方程；〔Ⅱ〕从椭圆C上一点M向圆x2+y2=1上引两条切线，切点分别为A、B，当直线AB分别与x轴、y轴交于P、Q两点时，求|PQ|的最小值．【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】〔Ⅰ〕由椭圆上顶点为〔0，2〕，且离心率为，列出方程组，求出a=6，b=3，由此能求出椭圆C的方程．〔Ⅱ〕设切点为〔x0，0〕，求出切线方程为，设点M 〔M，M〕，MA，MB是y x y圆x2+y2=1的切线，求出切点弦AB的方程为xMx+y My=1，由此能求出|PQ|的最小值．精品文档精品文档【解答】解：〔Ⅰ〕∵椭圆C：+ =1〔a＞b＞0〕的上顶点为〔0，2〕，且离心率为，∴，解得a=6，b=2，∴椭圆C的方程为．〔Ⅱ〕设切点为〔x0，y0〕，当切线斜率存在时，设切线方程为y﹣y0=k〔x﹣x0〕，∵k=﹣，∴切线方程为y﹣y0=﹣〔x﹣x0〕，∴，当k不存在时，切点坐标为〔±r，0〕，对应切线方程为x=±r，符合，综上知切线方程为，设点M〔xM，M〕，MA ，MB是圆x2+y2=1的切线，切点A〔1，1〕，〔2，2〕，y x y Bx y 过点A的圆的切线为x1x+y1y=1，过点B的圆的切线为x22，x+yy=1∵两切线都过M点，∴x1M1M，2M2M=1，x+yy=1x x+yy ∴切点弦AB的方程为xM M，x+y y=1由题意知xMyM≠0，∴P〔，0〕，Q〔0，〕，∴|PQ|2= =〔〕〔+ 〕精品文档精品文档=≥= ，当且仅当时，取等号，∴|PQ|≥，∴|PQ|的最小值为．【点评】此题考查椭圆方程的求法，考查两点间距离的最小值的求法，涉及到椭圆、直线方程、切线方程、两点间距离公式、根本不等式等知识点，是中档题．四、附加题23．函数f〔x〕=e x﹣ax，〔e为自然对数的底数〕．〔Ⅱ〕假设对任意实数x恒有f〔x〕≥0，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】函数思想；转化法；导数的综合应用．【分析】〔Ⅰ〕求出函数的导数，通过讨论a得到范围，求出函数的单调区间即可；〔Ⅱ〕由f〔x〕=e x﹣ax﹣a，f'〔x〕=e x﹣a，从而化恒成立问题为最值问题，讨论求实数 a 的取值范围．【解答】解：〔Ⅰ〕f〔x〕=e x﹣ax，f′〔x〕=e x﹣a，当a≤0时，f′〔x〕＞0，那么f〔x〕在R上单调递增；当a＞0时，令f′〔x〕=e x﹣a=0，得x=lna，那么在〔﹣∞，lna]上单调递减，在〔lna，+∞〕上单调递增；〔Ⅱ〕由f〔x〕=e x﹣ax，f'〔x〕=e x﹣a，精品文档河北省石家庄市高二上学期期末考试数学理试卷(解析版)精品文档假设a＜0，那么f'〔x〕＞0，函数f〔x〕单调递增，当x趋近于负无穷大时，f〔x〕趋近于负无穷大；当x趋近于正无穷大时，f〔x〕趋近于正无穷大，故a＜0不满足条件．假设a=0，f〔x〕=e x≥0恒成立，满足条件．假设a＞0，由f'〔x〕=0，得x=lna，当x＜lna时，f'〔x〕＜0；当x＞lna时，f'〔x〕＞0，所以函数f〔x〕在〔﹣∞，lna〕上单调递减，在〔lna，+∞〕上单调递增，所以函数f〔x〕在x=lna处取得极小值f〔lna〕=e lna﹣a?lna=a﹣a?lna，由f〔lna〕≥0得a﹣a?lna≥0，解得0＜a≤e．综上，满足f〔x〕≥0恒成立时实数a的取值范围是[0，e]．【点评】此题考查了导数的综合应用及恒成立问题，属于中档题．精品文档31 / 3131。
河北省石家庄市第二中学2018-2019学年高二上学期开学考试数学试题(精品解析)
河北省石家庄市第二中学2018-2019学年高二上学期开学考试数学试题(解析版)一、选择题（本大题共11小题，共44.0分）1.空间中两条不相交直线与另外两条异面直线都相交，则这两条直线的位置关系是A. 平行或垂直B. 平行C. 异面D. 垂直【答案】C【解析】解：不妨设空间中不相交的两条直线为a，b，另外两条异面直线为c，d，由于a，b不相交，故a，b平行或异面，设a，c确定的平面为，不妨设，当，则a，b与直线d的交点都在内，故，而这与c，d为异面直线矛盾；当时，由可知，又，故a，c没有公共点，与a，c相交矛盾，假设错误，故a，b为异面直线．故选：C．由两直线无交点可知两直线平行或异面，假设两直线平行得出矛盾，从而得出结论．本题考查了空间线面位置关系的定义与判断，属于中档题．2.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则角B等于A. B. C. 或 D. 或【答案】C【解析】解：，，，由正弦定理得，，则，又，，或，故选：C．由题意和正弦定理求出的值，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出角B．本题考查正弦定理，以及特殊角的三角函数值的应用，属于基础题．3.已知变量x，y满足，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：作出不等式组，对应的平面区域如图：由得，平移直线由图象可知当直线经过点A时，直线的截距最大，由，解得此时z最小为，当直线，z经过点B时，z取得最大值，由，可得，直线的截距最小，此时z最大为：，z的范围为：故选：D．作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，结合数形结合即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．4.等差数列中，如果，那么的最大值为A. 2B. 4C. 8D. 16【答案】B【解析】解：等差数列中，，那么，当且仅当时取等号．故选：B．等差数列中，，再利用基本不等式的性质即可得出．本题考查了等差数列的通项公式及其性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.如图是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边BD长为2；侧视图为一直角三角形；俯视图为一直角梯形，且，则此几何体的体积是A. B. C. D. 1【答案】A【解析】解：由三视图知几何体为四棱锥与三棱锥的组合体，其直观图如图：根据三视图中正视图是一等腰直角三角形，且斜边BD长为2，棱锥的高为1，底面直角梯形的底边长分别为1、2，高为1，底面面积为，几何体的体积．故选：A．由三视图知几何体为四棱锥与三棱锥的组合体，画出其直观图，判断几何体的高，计算底面面积，代入体积公式计算．本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是由三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量．6.一束光线从点出发，经x轴反射到圆C：上的最短路程是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：根据题意画出图形，结合题意知，圆C：关于x轴对称的圆：；光线从点A出发，经x轴反射到圆C上的最短路程是；所求的最短路程是．故选：D．根据题意画出图形，结合题意知圆C关于x轴对称的圆，求出光线从点从A出发，经x轴反射到圆C上的最短路程．本题考查了直线与圆的方程应用问题，是基础题．7.中，a、b、c分别是三内角A、B、C的对边，且，，，则的面积为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：，化简得，，由题意可知：，．由A，B，C为三角形的内角，．由余弦定理可知：，由，，，解得：，，故选：C．由，整理得：，由题意可知：求得则由余弦定理可知：，由，，，即可求得b的值，由三角形的面积公式：．本题主要考查了解三角形的实际应用可知两角和的正切公式，余弦定理的应用，考查了学生综合分析问题的能力，考查计算能力，属于中档题．8.在四棱锥ABCD中，底面ABCD是边长为的正方形，且各侧棱长均为，则该四棱锥外接球的表面积为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：由已知可得，四棱锥为正四棱锥．正四棱锥的外接球的球心在它的高上，记球心为O，，，，则，故，或此时O在的延长线上，在中，，解得，球的表面积．故选：C．先画出图形，正四棱锥外接球的球心在它的高上，然后根据勾股定理解出球的半径，最后根据球的面积公式求解即可．本题主要考查球的表面积，球的内接体问题，考查计算能力和空间想象能力，属于中档题．9.已知，，则m，n的大小关系是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立．因为，所以，所以；故选：A．对m变形为基本不等式的形式，利用基本不等式求m的最小值；对n利用指数函数的单调性判断与m最小值的关系．本题考查了基本不等式的运用以及指数函数的性质运用；关键是正确等价变形．10.抛物线与x轴交点分别为，，以表示该两点的距离，则的值是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：设，是关于的方程的两根是由韦达定理可知：，故选：B．先求出二次方程的两根，再求解．本题考查了数列和函数的综合应用．11.已知直线与圆交于不同的两点A、B，O是坐标原点，且有，那么k的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：设AB中点为D，则，直线与圆交于不同的两点A、B，，故选：C．利用平行四边形法则，借助于直线与圆的位置关系，利用直角三角形，即可求得结论．本题考查向量知识的运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）12.各项均为实数的等比数列，前n项和为，若，，则______．【答案】15【解析】解：设等比数列的公比为，，，，，化为：，解得，．则．故答案为：15．设等比数列的公比为，由，，可得，，解得，再利用求和公式即可得出．本题考查了等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.在中，，，，平面ABC，，M是AB上一个动点，则PM的最小值为______．【答案】【解析】解：如图，作于H，连PH，面ABC，，PH为PM的最小值，而，，．故答案为：要使PM的最小，只需CM最小即可，作于H，连PH，根据线面垂直的性质可知，PH为PM 的最小值，在直角三角形PCH中求出PH即可．本题主要考查了点、线、面间的距离计算，考查了空间想象能力，推理论证的能力，属于基础题．14.已知实数x，y满足约束条件，若目标函数仅在点处取得最小值，则a的取值范围是______．【答案】【解析】解：作出不等式对应的平面区域，若，则目标函数为，即此时函数在时取得最小值，满足条件．当，由得，若，目标函数斜率，此时平移，得在点处的截距最小，此时z取得最小值，满足条件可得．解得即：若，目标函数斜率，可使目标函数仅在点处取得最小值，不满足题意．故答案为：．作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，确定目标取最优解的条件，即可求出a的取值范围．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法根据条件目标函数，仅在点取得最小值，确定直线的位置是解决本题的关键．15.如图，在正方体中，，过直线的平面平面，则平面截该正方体所得截面的面积为______ ．【答案】【解析】解：如图所示，连接，与交于E，取的中点F，连接EF，则，易知平面，平面，平面．面，为平面截该正方体所得截面，在中，，，，平面截该正方体所得截面的面积为．故答案为：．如图所示，连接，与交于E，取的中点F，连接EF，证明平面，再进行求解即可．本题考查面面垂直的判定，考查三角形面积的计算，正确判定面面垂直是关键属于中档题．三、解答题（本大题共3小题，共36.0分）16.已知过点的动直线l与圆C：相交于P、Q两点，l与直线m：相交于N．当l与m垂直时，求直线l的方程，并判断圆心C与直线l的位置关系；当时，求直线l的方程．【答案】解：因为l与m垂直，直线m的一个法向量为，所以直线l的一个方向向量为，所以l的方程为，即．所以直线l过圆心．由，得圆心C到直线l的距离，设直线l的方程为，则由．解得，或，所以直线l的方程为或．【解析】根据直线m的一个法向量为，求得直线l的一个方向向量，由此求得l的点向式方程，可得直线l过圆心．由得圆心C到直线l的距离，设直线l的方程为，求得n的值，可得直线l的方程．本题主要考查两条直线垂直的性质，点到直线的距离公式，两个向量坐标形式的运算，属于中档题．17.如图，在四棱锥中，，且．证明：平面平面PAD；若，，且四棱锥的体积为，求该四棱锥的侧面积．【答案】证明：在四棱锥中，，，，又，，，平面PAD，平面PAB，平面平面PAD．解：设，取AD中点O，连结PO，，，平面平面PAD，底面ABCD，且，，四棱锥的体积为，由平面PAD，得，四边形，解得，，，，，该四棱锥的侧面积：侧．【解析】推导出，，从而，进而平面PAD，由此能证明平面平面PAD．设，取AD中点O，连结PO，则底面ABCD，且，，由四棱锥的体积为，求出，由此能求出该四棱锥的侧面积．本题考查面面垂直的证明，考查四棱锥的侧面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．18.如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，，E是CD的中点．Ⅰ证明：平面PAE；Ⅱ若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥的体积．【答案】解法一：Ⅰ连接AC，由，，，得，又，E是CD得中点，所以，平面ABCD，平面ABCD．所以，而PA，AE是平面PAE内的两条相交直线，所以平面PAE．Ⅱ过点B作，分别与AE，AD相交于点F，G，连接PF，由平面PAE知，平面PAE，于是为直线PB与平面PAE所成的角，且．由平面ABCD知，即为直线PB与平面ABCD所成的角．由题意，因为，，所以．由知，，又．所以四边形BCDG是平行四边形，故GD，于是．在中，，，，所以，．于是．又梯形ABCD的面积为．所以四棱锥的体积为．解法二：以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为X轴，Y轴，Z轴建立空间直角坐标系，设，则0，，0，，3，，5，，4，，0，．Ⅰ，2，，4，，0，．因为，．所以，，而AP，AE是平面PAE内的两条相交直线，所以平面PAE．Ⅱ由题设和第一问知，，分别是平面PAE，平面ABCD的法向量，而PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，所以：，，，即由第一问知2，，0，，又0，．故解得．又梯形ABCD的面积为．所以四棱锥的体积为．【解析】解法一：Ⅰ先根据条件得到；再结合平面ABCD即可得到结论的证明；Ⅱ先根据直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等得到，进而得到四边形BCDG 是平行四边形，在下底面内求出BF的长以及下底面的面积，最后代入体积计算公式即可．法二：Ⅰ先建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，进而得到以及即可证明结论；Ⅱ先根据直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等得到PA的长，再求出下底面面积，最后代入体积计算公式即可．本题是中档题，利用空间直角坐标系通过向量的计算，考查直线与平面所成角的求法，直线与直线的垂直的证明方法，考查空间想象能力，计算能力，是常考题型．。
2023届河北省石家庄二中实验学校高三上学期9月开学考试数学试题(解析版)
2023届河北省石家庄二中实验学校高三上学期9月开学考试数学试题一、单选题1．若集合{}{}21,0,1,2A x Z x B =∈-<<=，则A B ⋃=（ ） A ．(2,1)- B ．{1,0}- C ．(2,1]{2}-⋃ D ．{1,0,1,2}-【答案】D【分析】根据已知条件求出集合A ，再利用并集的定义即可求解. 【详解】由题意可知{}}{211,0A x Z x =∈-<<=-，又{}0,1,2B =， 所以}{{}1,00,1,2{1,0,1,2}A B =-=-．故选：D ．2．有四个关于三角函数的命题：1p ：∃x ∈R ，2sin 2x +2cos 2x =12 2p ： ∃x ，y ∈R ，sin()sin sin x y x y -=-3p ： sin cos 2x y x y π=⇒+=+2kπ (k ∈Z) 4p ： ∀x ∈[]0π，sin x = 其中真命题的是 （ ） A ．1p ，3p B ．1p ，4p C ．2p ，3p D ．2p ，4p【答案】D【分析】1:R p x ∀∈，22sincos 122x x+=，从而可判断正误； 2p ：存在0R x =∈，使sin()sin sin x y x y -=-成立； 3p ：举出反例34x π=，4y π=，从而可判断正误；4p |sin |x =，从而可知正误；【详解】1:R p x ∀∈，22sincos 122x x+=，故1p 错误； 2p ：存在0R x =∈，使sin(0)sin 0sin sin0sin y y y y -=-=-=-，故2p 正确； 3p ：当34x π=，4y π=时，sin cos x y =，此时x y +=π，故3p 错误；41cos :|sin |2p x -=，(0,)x π∴∀∈sin x =，故4p 正确． 故选：D ．3．若两个正实数,x y 满足12+1=x y ，且不等式2+32+<yx m m 有解，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(4,1)- B ．(1,4)-C ．()(),41,-∞-+∞D ．()(),14,-∞-⋃+∞【答案】C【分析】根据题意，结合基本不等式求得2yx +的最小值为4，把不等式2+32+<yx m m 有解，转化为2+34m m >，即可求得实数m 的取值范围.【详解】由题意，正实数,x y 满足12+1=x y，则122()()224222y y y x x x x y x y +=++=++≥+=， 当且仅当22y x x y=时，即2,4x y ==时，等号成立，即2yx +的最小值为4，又由不等式2+32+<yx m m 有解，可得2+34m m >，即2+340m m ->， 解得4m <-或1m >，即实数m 的取值范围为()(),41,-∞-+∞.故选：C.4．人们用分贝(dB)来划分声音的等级，声音的等级d (x )(单位：dB)与声音强度x (单位:2W m )满足d (x )＝9lg13110x-⨯.一般两人小声交谈时，声音的等级约为54 dB ，在有50人的课堂上讲课时，老师声音的等级约为63 dB ，那么老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的（ ） A ．1倍 B ．10倍 C ．100倍 D ．1 000倍【答案】B【分析】利用对数运算即可求解.【详解】设老师上课时声音强度，一般两人小声交谈时声音强度分别为21x W m ，22x W m根据题意得1()d x ＝1139lg 63110x -=⨯，解得6110x -=，2213()9lg 54110x d x -==⨯，解得7210x -=，所以1210x x = 因此，老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的10倍. 故选: B.5．已知R α∈，则函数2()1x f x x 的图像不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据含参函数的解析式和函数特殊值判断函数可能的图像.【详解】根据2()1x f x x可知210x ，所以当0x >时，0x α>，即()0f x >，故选项A 错误，而当α为其他值时，B,C,D 均有可能出现. 故选：A6．已知函数()tan 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，下列说法正确的有（ ）①函数()f x 最小正周期为2π； ②定义域为|R,,Z 28k x x x k ππ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭③()f x 图象的所有对称中心为,0,Z 48k k ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭； ④函数()f x 的单调递增区间为3,,Z 2828k k k ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】C【分析】根据正切函数的图象与性质，代入周期、定义域、对称中心和单调递增期间的公式即可求解.【详解】对①，函数()tan 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可得()f x 的最小正周期为2T π=，所以①正确； 对②，令2,Z 42x k k πππ-≠+∈，解得3,Z 82k x k ππ≠+∈，即函数()f x 的定义域为3{|,Z}82k x x k ππ≠+∈，所以②错误； 对③，令2,Z 42k x k ππ-=∈，解得,Z 84k x k ππ=+∈，所以函数()f x 的图象关于点,0,Z 48k k ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭对称，所以③正确； 对④，令2,Z 242k x k k πππππ-<-<+∈，解得3,Z 2828k k x k ππππ-<<+∈，故函数()f x 的单调递增区间为3,,Z 2828k k k ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，所以④正确； 故①③④正确； 故选：C7．若实数m ，n ，p 满足354m e =，235n e =，218p e =，则（ ） A ．p m n << B ．p n m << C ．m p n <<D ．n p m <<【答案】A【分析】根据作商法比较大小，即可得出结果.【详解】因为实数m ，n ，p 满足354m e =，255n e =，218p e =， 所以315152344155m e e n e -==⋅<，∴m n <；又313552421189m e e p e ==⋅>，∴m p >； ∴p m n <<． 故选：A ．【点睛】本题主要考查作商法比较大小，属于基础题型.8．()f x 的定义域为R ，且()()()()f x y f x y f x f y ++-=，()11f =，则20221()k f k ==∑（ ）A ．-3B ．-2C ．0D ．1【答案】C【分析】令1y =，则(1)()(1)f x f x f x +=--，由此可推出(6)(3)()f x f x f x +=-+=，则()f x 的周期为6，然后利用赋值法求出(2),(3),(4),(5),(6)f f f f f 的值，可求出一个周期上的6个函数值的和，从而可求出20221()k f k =∑【详解】令1y =，则(1)(1)()f x f x f x ++-=，即(1)()(1)f x f x f x +=--，所以(2)(1)()f x f x f x +=+-，(3)(2)(1)f x f x f x +=+-+， 所以(3)()f x f x +=-， 所以(6)(3)()f x f x f x +=-+=， 所以()f x 的周期为6，令1,0x y ==，则(1)(1)(1)(0)f f f f +=⨯，得(0)2f =， 因为(1)()(1)f x f x f x +=--， 所以(2)(1)(0)121f f f =-=-=-， (3)(2)(1)112f f f =-=--=-， (4)(3)(2)211f f f =-=-+=-， (5)(4)(3)121f f f =-=-+=，(6)(5)(4)112f f f =-=+=，所以(1)(2)(3)(4)(5)(6)0f f f f f f +++++=， 所以20221()33700k f k ==⨯=∑故选：C二、多选题9．设函数()21,21,ax x af x x ax x a-<⎧=⎨-+≥⎩，()f x 存在最小值时，实数a 的值可能是（ ）A ．2B ．-1C ．0D ．1【答案】BC【分析】分0a =，0a >和0a <三种情况讨论，结合二次函数的性质，从而可得出答案. 【详解】解：当x a ≥时，()()222211f x x ax x a a =-+=--+，所以当x a ≥时，()()2min 1f x f a a ==-+，若0a =，则()21,01,0x f x x x -<⎧=⎨+≥⎩，所以此时()min 1f x =-，即()f x 存在最小值， 若0a >，则当x a <时，()1f x ax =-，无最小值， 若0a <，则当x a <时，()1f x ax =-为减函数， 则要使()f x 存在最小值时，则22110a a a ⎧-+≤-⎨<⎩，解得1a ≤-，综上0a =或1a ≤-. 故选：BC.10．函数()()sin f x A x b ωϕ=++，（0>ω，πϕ<）部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 解析式为π2sin 213x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭B ．函数的单调增区间为()5ππ,πZ 1212k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭C ．函数()f x 的图象关于点()π,1Z 2k k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭对称D ．为了得到函数()f x 的图象，只需将函数π2cos 23x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭向右平移π4个单位长度【答案】AB【分析】由题意求出()f x 的解析式可判断A ；利用正弦函数的单调性和对称性可判断BC ；由三角函数的平移变换可判断D.【详解】对于A ，由图可知，3211A b A A b b +==⎧⎧⇔⎨⎨-+=-=⎩⎩，又因为由π1sin 425π1sin 122ωϕωϕ⎧⎡⎤⎛⎫⨯-+=-⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦⎨⎛⎫⎪⨯+=- ⎪⎪⎝⎭⎩，则1122ππ+2π,Z 465π7π+2π,Z 126k k k k ωϕωϕ⎧-+=-∈⎪⎪⎨⎪+=∈⎪⎩，两式相减得：()122π4π2π33k k ω=+-，所以()1223k k ω=+-①， 又因为π2π5ππ33212425ππ2π2π31243ωωωω⎧⎧≤≤+⎧⎪⎪≥⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨⎪⎪⎪≤≥+≥⎩⎪⎪⎩⎩T T ， 所以332ω≤≤，结合①，2ω=，因为π5ππ412212-+=，所以πππ21223ϕϕ⨯+=⇒=所以()π2sin 213⎛⎫=++ ⎪⎝⎭f x x ，故A 正确；对于B ，πππ2π22π,Z 232k x k k -+≤+≤+∈，解得：()5ππππ,1212-+≤≤+∈k x k k Z ，故B 正确； 对于C ，令π2ππ,Z 3+=+∈x k k ，解得：ππ,Z 32=+∈k x k ， 函数()f x 的图象关于点()ππ,132⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭k k Z 对称，所以C 不正确；对于D ，将函数π2cos 23x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭向右平移π4个单位得到πππ2cos 22sin 2433⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦x x ，故D 不正确.故选：AB.11．已知数列{}n a 满足()*213,3N ,n n n n a a a n S +=⋅=∈为数列{}n a 的前n 项和，则（ ）A ．{}n a 是等比数列B ．{}2n a 是等比数列C ．()10112022231S =-D ．{}n a 中存在不相等的三项构成等差数列 【答案】BC【分析】根据给定条件，求出数列{}n a 的通项表达式，再逐项分析计算、判断作答.【详解】数列{}n a 中，*N n ∈，213,3nn n a a a +=⋅=，则11a =，12121333n n n n n n n n a a a a a a +++++===， 因此，数列{}21n a -是以11a =为首项，公比为3的等比数列，1213n n a --=，数列{}2n a 是以23a =为首项，公比为3的等比数列，23nn a =，B 正确；因213a a =，321a a =，则数列{}n a 不是等比数列，A 不正确； 10111011202213520212462022313(31)()()22S a a a a a a a a --=+++++++++=+10112(31)=-，C 正确；假定{}n a 中存在不相等的三项构成等差数列，令此三项依次为3,3,3k l m ，且0k l m ≤<<，,,N k l m ∈，则有13323323k m lm l l k --+=⨯⇔+=，而1m l -≥，即33m l-≥，又103l k->，因此，1323m l l k --+=不成立， 所以{}n a 中不存在不相等的三项构成等差数列，D 不正确. 故选：BC12．已知函数()()211x x f x x x =->-，()()2log 11x g x x x x =->-的零点分别为α，β，给出以下结论正确的是（ ） A ．αββα=+ B ．22log ααββ+=+ C ．4αβ+> D ．2αβ->-【答案】ABCD【分析】函数1xy x =-的图象关于直线y x =对称，,αβ是函数2x y =和2log y x =的图象与函数1xy x =-的图象的交点的横坐标，则有2log αβ=，2αβ=．1αβα=-111α=+-，直接变形判断AB ，利用基本不等式判断C ，由零点存在定理判断322α<<，构造函数()1h αααβαα=-=--，确定单调性，再计算函数值31()2222h =->-，利用单调性判断D ．【详解】因为函数1xy x =-的图象关于直线y x =对称，,αβ是函数2x y =和2log y x =的图象与函数1xy x =-的图象的交点的横坐标，因此已知2log αβ=，2αβ=． 又1αβα=-111α=+-，()()111αβ--=，即αββα=+， 因而A 、B 均正确． 又112411ααβαααα+=+=-++--≥，当且仅当111αα-=-即2α=时等号成立，但()22222021f =-=-≠-， 因而2α≠，上式等号不成立， 所以4αβ+>．C 正确．记32332302f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，()22220f =-<，因此322α<<而函数()1111h αααβαααα=-=-=----在区间()1,+∞范围内单调递增，所以()312222h h α⎛⎫>=->- ⎪⎝⎭，所以D 正确．故选：ABCD ．三、填空题13．在正项等比数列{}n a 中，已知4568=a a a ，则129lg lg lg a a a +++=________．【答案】9lg 2lg512【分析】利用等比数列中项的性质结合对数的运算性质可求得结果.【详解】由等比中项的性质可得345658a a a a ==，则52a =，因此，()991291295lg lg lg lg lg lg29lg2a a a a a a a +++====.故答案为：9lg 2.14．在ABO 中，1OA OB ==，3AOB π∠=，若OC 与线段AB 交于点P ，且满足OC OA OB λμ=+，||3OC =，则λμ+的最大值为_________．【答案】2【分析】由题意设=OC xOP （1≥x ），则λμ=+OP OA OB xx，再由P 、A 、B 三点共线，则1xxλμ+=，而1OA OB ==，从而可得当P 为AB 中点时||OP 最小，此时x 最大，进而可求得答案【详解】∵线段OC 与线段AB 交于点P ，设=OC xOP （1≥x ）， 则λμ=+xOP OA OB ，即λμ=+OP OA OB xx，又∵P 、A 、B 三点共线，则1xxλμ+=，即x λμ+=，∵1OA OB ==，∴当P 为AB 中点时||OP 最小，此时x 最大， 又3AOB π∠=，故此时32OP =∴2=OC OP ，即2x =，即λμ+的最大值为2， 故答案为：2．15．已知函数3tan 1y x ω=+在ππ,34⎛⎫- ⎪⎝⎭内是减函数，则ω的取值范围是______．【答案】3[,0)2-【分析】利用正切函数的单调性得到ππ()32ω-⨯-≥-且42ππω-⨯≤，解不等式,可求得答案．【详解】函数3tan()1y x ω=+在ππ(,)34-内是减函数，0ω∴<，函数3tan()1y x ω=--+， ππ()32ω∴-⨯-≥-且42ππω-⨯≤，32ω∴≥-，又0ω<，302ω∴-≤<．故答案为：3[,0)2-16．已知函数()265,0,11,0,2xx x x f x x ⎧---<⎪=⎨⎛⎫-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩若关于x 的方程()()()22210f x a f x a a +-+-=⎡⎤⎣⎦有5个不同的实数根，则a 的取值范围为___________. 【答案】(]1,1-【分析】根据函数的解析式作出函数的大致图像，再将()()()22210f x a f x a a +-+-=⎡⎤⎣⎦整理变形，然后将方程的根的问题转化为函数图象的交点问题解决.【详解】由题意得()()10f x a f x a +-+=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，即()1f x a =-或()f x a =-，()f x 的图象如图所示，关于x 的方程()()()22210f x a f x a a +-+-=⎡⎤⎣⎦有5个不同的实数根，则50011a a -<-<⎧⎨≤-<⎩或01114a a ≤-<⎧⎨≤-<⎩，解得11a -<≤，故答案为：(]1,1-四、解答题17．已知平面向量,,a b c ，且()2,1a =-， (1)若a c ∥，且25c =，求向量c 的坐标；(2)若()3,2b =，求a 在b 方向的投影向量（用坐标表示）. 【答案】(1)(105,55-或(105,55- (2)128,1313⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】（1）设(),c x y =，利用平面向量的共线定理及坐标表示即可求解； （2）利用平面向量数量积的坐标表示求解a 在b 方向的投影向量即可. 【详解】(1)解：设(),c x y =，()2,1a =-，2a c x y ∴=-∥，又2225625c x y =∴+=，212555y y ∴=∴=±10555x y ⎧=-⎪∴⎨=⎪⎩10555x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩(105,5c ∴=-或(-.(2)解：()2,1a =-，()3,2b =，设a 与b 的夹角为θ. 故624a b ⋅=-+=-4cos 13a b a b θ⋅∴==-=，a ∴在b 上的投影向量为128,1313⎛⎫-- ⎪⎝⎭.18．已知n S 是等差数列{}n a 前n 项和，96881,26S a a =+=. (1)求{}n a 的通项公式；(2)在{}n a 中，去掉以1a 为首项，以2a 为公比的数列的项，剩下的项按原来顺序构成的数列记为{}n b ，求{}n b 前100项和100T 【答案】(1)21n a n =- (2)10904【分析】（1）利用基本量代换列方程组求出首项与公差，即可得到通项公式； （2）设以1a 为首项，以2a 为公比的数列为{}{},n n c c 前n 项和为n M .利用 1001055T S M =-即可求解.【详解】(1)（1）设数列{}n a 的公差为d .96881,26S a a =+=，1119898125726a d a d a d ⨯⎧+=⎪∴⎨⎪+++=⎩, 解得: 1a 1,d 2.所以，()()11121n a a n d n =+-=+-，即21n a n =-.(2)设以1a 为首项，以2a 为公比的数列为{}{},n n c c 前n 项和为n M .由（1）知11123n n n c a a --==，所以()13131132n nn M -==-- 5610581,243,209c c a ===()510010551051041105123110904.22T S M ⨯∴=-=⨯+⨯--=19．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知2sin sin 12,cos sin 7a A C C c B ==(1)求B ；(2)若ABC ，且D 为AC 的中点，求线段BD 的长. 【答案】(1)π6【分析】（1）先利用正弦定理化简2sin sin 12sin B 7a A C c =求得22a b =127，设a 2=12k （k >0），则b 2=7k ，利用余弦定理求得c 2=25k ，然后利用余弦定理即可求解.（2）利用三角形面积公式求得ac=.【详解】(1)因为2sin sin 12sin B 7a A C c =，所以22c c a b =22a b =127.设a 2=12k （k >0），则b 2=7k ，由cos ，得222-2a b c ab +2，解得c 2=25k ，所以cos B=222-2a c b ac +0<B<π，所以B=π6.(2)因为△ABC 的面积S=12ac sin B=14ac=又22a c=1225，所以a=c=5.由（1）知22b a =712，所以所以BD 2=BC 2+CD 2-2BC ·CD ·cos C=674，故.20．设函数())(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<，该函数图象上相邻两个最高点间的距离为4π，且()f x 为偶函数. (1)求ω和ϕ的值；(2)已知角A ，B ，C 为ABC 的三个内角，若(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=，求()()22f A f C +的取值范围.【答案】(1)12ω=，2ϕπ= (2)5,32⎛⎤⎥⎝⎦【分析】（1）根据题意求得12ω=，得到1()2f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再结合()f x 为偶函数，即可求得ϕ的值；（2）由题意结合三角恒等变换的公式，化简得到1cos 2B =，求得3B π=，得到23C A π=-，由（1）知1()2f x x =，化简22()()sin 26f A f C A π⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，结合三角函数的图象与性质，即可看求解.【详解】(1)解：因为()()x f x ωϕ=+的图象上相邻两个最高点间的距离为4π，可得24ππω=，解得12ω=，所以1()2f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 又因为()f x 为偶函数，可得2k πϕπ=+，k Z ∈，因为0ϕπ<<，所以2ϕπ=. (2)解：因为(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=，可得2sin cos sin cos sin cos A B C B B C -=，所以2sin cos sin()A B B C =+， 又因为A B C π++=，且0A π<<，所以sin()sin 0B C A +=≠，所以1cos 2B =， 因为0B π<<，所以3B π=，则23A C π+=，即23C A π=-，由（1）知，函数1()2f x x =，所以222211()()2cos2cos cos cos 222f A f C A C A C +=+=++21cos cos 2cos cos 232A A A A A π⎛⎫=+-+=-+ ⎪⎝⎭1cos 22A A =++sin 26A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因为203A π<<，可得5666A πππ<+<，所以1sin ,162A π⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，则5sin 2,362A π⎛⎫⎛⎤++∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，即()()22f A f C +的取值范围为5,32⎛⎤ ⎥⎝⎦.21．设a 为实数，函数()3223f x x x a =-+，()()22ln 3g x x x =-.(1)若函数()f x 与x 轴有三个不同交点，求实数a 的取值范围；(2)对于[]11,2x ∀∈-，[]21,e x ∃∈，都有()()12f x g x ≥，试求实数a 的取值范围. 【答案】(1)01a <<(2))25e ,⎡-+∞⎣【分析】（1）先利用导数求得函数()f x 的单调区间和极值，再利用题给条件列出关于实数a 的不等式，解之即可求得实数a 的取值范围；（2）先求得()f x 在[]1,2-上的最小值，和()g x 在[]1,e 上的最小值，再依据题给条件列出关于实数a 的不等式，解之即可求得实数a 的取值范围【详解】(1)()()26661f x x x x x '=-=-，由()0f x '>，解得1x >或0x <；由()0f x '<解得01x <<，所以()f x 在(),0∞-上单调递增，在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，若函数()f x 与x 轴有三个不同交点，则(0)0(1)10f a f a =>⎧⎨=-+<⎩，解得01a <<，所以若函数()f x 与x 轴有三个不同交点，实数a 的取值范围为01a <<； (2)对于[]11,2x ∀∈-，[]21,e x ∃∈，都有()()12f x g x ≥，则()()12min min f x g x ≥， 由（1）知函数()f x 在[)1,0-上单调递增，在(]0,1上单调递减，在(]1,2上单调递增，又()15f a -=-，()11f a =-， 故当[]1,2x ∈-时()()min 15f x f a =-=-，因为()()22ln 3g x x x =-，且[]1,e x ∈，则()()()4ln 14110g x x x x '=-≤-=， 故函数()g x 在[]1,e 上单调递减，故()()2min e e g x g ==-，由题意可得25e a -≥-，故25e a ≥-.所以实数a 的取值范围为)25e ,⎡-+∞⎣.22．设函数()2ln kf x x kx x=+-. (1)讨论函数()f x 的单调性；(2)证明：()22211ln 11ln 1ln 182n ⎛⎫⎛⎫++++⋅⋅⋅++< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()*N n ∈.【答案】(1)见解析 (2)见解析【分析】（1）求导，再分0k ≤，01k <<和1k 三种情况讨论，再根据导函数的符号即可得出答案；（2）由（1）知：当2k =时，()f x 在[)1,+∞上单调递减，从而有()()10f x f ≤=，则有1ln x x x≤-，再令11x n =+，再利用放缩法及裂项相消法即可得证.【详解】(1)解：()f x 的定义域为()0,∞+，()22222k kx x kf x k x x x -+-'=--=，令()22g x kx x k =-+-，当0k ≤时，()0g x ≥恒成立，即()0f x '≥恒成立， 故()f x 在()0,∞+上单调递增，当01k <<时，()0g x =有二正根，1x =2x =当x ⎛⎫∈⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()0f x '<， ()f x在⎛ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减，当x ∈⎝⎭，()0f x '>，()f x在⎝⎭上单调递增， 当1k时，()0g x ≤恒成立，即()0f x '≤恒成立，故()f x 在()0,∞+上单调递减；综上：当0k ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递增； 当01k <<时，()f x在⎛ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减，()f x在⎝⎭上单调递增； 当1k时，()f x 在()0,∞+上单调递减；(2)证明：由（1）知：当2k =时，()f x 在[)1,+∞上单调递减， 所以()()22ln 210f x x x f x=+-≤=， 所以1ln x x x≤-，当且仅当1x =时取等号，令11x n =+，则2222111114ln 11111n n n n nn ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫+<+-=+< ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭ ⎪+⎝⎭，所以()2222222111111ln 11ln 1ln 142123n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⋅⋅⋅++<+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()11111111141411223112231n n n n ⎛⎫⎛⎫<+++⋅⋅⋅+=+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯--⎝⎭⎝⎭144288n n ⎛⎫=-=-< ⎪⎝⎭，所以()22211ln 11ln 1ln 182n ⎛⎫⎛⎫++++⋅⋅⋅++< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()*N n ∈.【点睛】本题考查了利用导数求含参函数的单调区间，考查了利用导数证明不等式问题，考查了分类讨论思想及放缩思想，有一定的难度.。
河北省石家庄市第二中学2021-2022学年高二上学期期末数学试题及参考答案
河北省石家庄市第二中学2021-2022学年高二上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．已知点((,A B -，则直线AB 的倾斜角为（ ） A ．23π B ．6πC ．3π D ．56π 2．已知点()1,1在抛物线C ：()220y px p =>上，则C 的焦点到其准线的距离为（ ） A ．14B ．12C ．1D ．23．已知变量x ，y 具有线性相关关系，它们之间的一组数据如下表所示，若y 关于x 的线性回归方程为ˆ 1.31yx =-，则m ＝（ ）A ．3.1B ．4.3C ．1.3D ．2.34．已知两圆相交于两点()1,3A ，(),1B t -，两圆圆心都在直线20x y c ++=上，则t c +的值为（ ）A ．3-B ．2-C ．0D ．15．设1F 、2F 是椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，21F PF ∆是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为 A ．12B ．23C ．34D ．456．若()()()()727201271222x x a a x a x a x ++=+++++⋅⋅⋅++，则2a =（ ）A ．22B ．19C ．－20D ．－197．已知ABC 三个顶点都在抛物线28x y =上，且F 为抛物线的焦点，若()13AF AB AC =+，则AF BF CF ++=（ ） A ．6 B ．8 C ．10 D ．128．某公司门前有一排9个车位的停车场，从左往右数第三个，第七个车位分别停着A 车和B 车，同时进来C ，D 两车．在C ，D 不相邻的情况下，C 和D 至少有一辆与A 和B 车相邻的概率是（ ） A ．1017B ．1417C ．916 D ．79二、多选题9．下列关于成对样本数据的统计分析的判断中正确的有（ ） A ．若样本相关系数0r =，则说明成对样本数据没有相关性 B ．样本相关系数r 越大，成对样本数据的线性相关性越强 C ．用最小二乘法求得的一元线性回归模型的残差和一定是0 D ．决定系数2R 越大，残差平方和越小，模型的拟合效果越好10．甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以1A ，2A 和3A 表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以B 表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ） A ．()25P B =B ．()1411P B A =C ．事件1A 与事件B 相互独立D ．1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件 11．将杨辉三角中的每一个数r n C 都换成()11r n n C +，得到如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形．莱布尼茨三角形具有很多优美的性质，如从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和，如果2n ≥（N n *∈），那么下面关于莱布尼茨三角形的结论正确的是（ ）第0行 11第1行1212第2行 131613第3行14112 11214…… ……第n 行()011n n C +()111n n C + ……()11n n n C +A ．当n 是偶数时，中间的一项取得最大值；当n 是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值B ．第8行第2个数是172C ．()()1111r n r n n n C n C -=++（N r ∈，0r n ≤≤）D ．()()1111111r r r n n n n C n C nC --+=++（N r ∈，1r n ≤≤）12．画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，12,F F 分别为椭圆的左､右焦点，,A B 为椭圆上两个动点.直线l 的方程为220bx ay a b +--=.下列说法正确的是（ ）A ．C 的蒙日圆的方程为2223x y b +=B ．对直线l 上任意点P ，0PA PB ⋅>C ．记点A 到直线l 的距离为d ，则2d AF -D ．若矩形MNGH 的四条边均与C 相切，则矩形MNGH 面积的最大值为26b 三、填空题13．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布()22,Nσ（0σ>），若ξ在()0,2内取值的概率为0.4，则ξ在()2,4内取值的概率为______14．在()41x y ++的展开式中，含2x y 项的系数为______（结果用数值表示）． 15．已知数列{}n a 满足：112a =，212n n a a a n a ++⋅⋅⋅+=⋅，则10a =______ 16．已知1F ，2F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，过1F 作b y x a=-的垂线分别交双曲线的左、右两支于B ，C 两点（如图）．若22CBF CF B ∠∠=，则双曲线的渐近线方程为______四、解答题17．已知直线l 的斜率为-2，且与两坐标轴的正半轴围成三角形的面积等于1．圆C 的圆心在第四象限，直线l 经过圆心，圆C 被x 轴截得的弦长为4．若直线x －2y －1＝0与圆C 相切，求圆C 的方程． 18．已知公差大于零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足34117a a ⋅=，2522a a +=， （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 是等差数列，且nn S b n c=+，求非零常数c ； 19．已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点()2,0F - (1)求双曲线方程；(2)设Q 是双曲线上一点，且过点F 、Q 的直线l 与y 轴交于点M ，若2MQ QF =，求直线l 的方程．20．2021年10月16日，搭载“神州十三号”的火箭发射升空，有很多民众通过手机、电视等方式观看有关新闻．某机构将关注这件事的时间在2小时以上的人称为“天文爱好者”，否则称为“非天文爱好者”，该机构通过调查，从参与调查的人群中随机抽取100人进行分析，得到下表（单位：人）：(1)能否有99%的把握认为“天文爱好者”或“非天文爱好者”与性别有关？(2)现从抽取的女性人群中，按“天文爱好者”和“非天文爱好者”这两种类型进行分层抽样抽取5人，然后再从这5人中随机选出3人，记其中“天文爱好者”的人数为X ，求X 的分布列和数学期望． 附：()()()()()22n ad bc X a b c d a c b d -=++++，其中n=a +b+c+d21．近年来某村制作的手工艺品在国内外备受欢迎，该村村民成立了手工艺品外销合作社，为严把质量关，合作社对村民制作的每件手工艺品都请3位行家进行质量把关，质量把关程序如下：（ⅰ）若一件手工艺品3位行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为A 级； （ⅰ）若3位行家中仅有1位行家认为质量不过关，再由另外2位行家进行第二次质量把关．若第二次质量把关这2位行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为B 级；若第二次质量把关这2位行家中有1位或2位认为质量不过关，则该手工艺品质量为C 级；（ⅰ）若3位行家中有2位或3位行家认为质量不过关，则该手工艺品质量为D 级．已知每一次质量把关中一件手工艺品被1位行家认为质量不过关的概率为13，且各手工艺品质量是否过关相互独立． (1)求一件手工艺品质量为B 级的概率；(2)求81件手工艺品中，质量为C 级的手工艺品件数的方差； (3)求10件手工艺品中，质量为D 级的手工艺品最有可能是多少件？22．已知动点P 在椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）上，1F ，2F 为椭圆C 的左、右焦点．过点P 作x 轴的垂线，垂足为0P ，点T 满足002PT P P =，且点T 的轨迹是过点(Q 的圆．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点1F ，2F 分别作平行直线1l 和2l ，设1l 交椭圆C 于点A ，B ，2l 交椭圆C 于点D ，E ，求四边形ABDE 的面积的最大值．参考答案：1．A 【解析】由两点坐标，求出直线AB 的斜率，利用tan k α=，结合倾斜角的范围即可求解. 【详解】设直线AB 的倾斜角为α，因为((,A B -，所以直线AB 的斜率k ==tan α=因为[)0,απ∈，所以23πα=. 故选：A 2．B 【解析】 【分析】由点()1,1在抛物线上，求得参数p ，焦点到其准线的距离即为p . 【详解】由点()1,1在抛物线上，易知12p =，12p =，故焦点到其准线的距离为12. 故选：B. 3．A 【解析】 【分析】先求得样本中心(),x y ，代入回归方程，即可得答案. 【详解】 由题意得12340.1 1.84 5.92.5,444m mx y +++++++====， 又样本中心(),x y 在回归方程上， 所以5.9 1.3 2.514m+=⨯-，解得 3.1m =. 故选：A 4．A【解析】 【分析】由相交弦的性质，可得AB 与直线20x y c ++=垂直，且AB 的中点在这条直线20x y c ++=上；由AB 与直线20x y c ++=垂直，可得3(1)21t--=-，解可得t 的值，即可得B 的坐标，进而可得AB 中点的坐标，代入直线方程可得2c =-；进而将t 、c 相加可得答案． 【详解】根据题意，由相交弦的性质，相交两圆的连心线垂直平分相交弦，可得AB 与直线20x y c ++=垂直，且AB 的中点在这条直线20x y c ++=上； 由AB 与直线20x y c ++=垂直，可得3(1)21t--=-，解可得1t =-， 则(1,1)B --，故AB 中点为(0,1)，且其在直线20x y c ++=上， 代入直线方程可得，02+⨯10c +=，可得2c =-； 故(1)(2)3t c +=-+-=-； 故选：A 【点睛】方法点睛：解答圆和圆的位置关系时，要注意利用平面几何圆的知识来分析解答. 5．C 【解析】 【详解】试题分析：如下图所示，21F PF ∆是底角为30的等腰三角形，则有1221221,30F F PF PF F F PF =∠=∠=所以2260,30PF A F PA ∠=∠=，所以22322322PF AF a c a c ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭又因为122F F c =，所以，232c a c =-，所以34c e a ==所以答案选C.考点：椭圆的简单几何性质. 6．C 【解析】 【分析】将所求进行变形可得()72271[2(2)][1(2)]x x x x ++=-+++-++，根据二项式定理展开式，即可求得答案. 【详解】由题意得()72271[2(2)][1(2)]x x x x ++=-+++-++ 所以225227(1)20a C C +=--=. 故选：C 7．D 【解析】 【分析】设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，由向量关系化为坐标关系，再结合抛物线的焦半径公式即可计算． 【详解】由28x y =得焦点()0,2F ，准线方程为2y =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y 由()13AF AB AC =+得()()()112121313111,2,,33x y x x y y x x y y --=--+--则()12131123y y y y y -=-+-，化简得1236y y y ++= 所以123236612A y F BF C y y F ++=+++⨯=+= 故选：D 8．B 【解析】 【分析】先求出基本事件总数222227222234n A A A A A =---=，C 和D 至少有一辆与A 和B 车相邻的对立事件是C 和D 都不与A 和B 车相邻，由此能求出C 和D 至少有一辆与A 和B 车相邻的概率． 【详解】解：某公司门前有一排9个车位的停车场，从左往右数第三个，第七个车位分别停着A 车和B 车，同时进来C ，D 两车，在C ，D 不相邻的条件下， 基本事件总数222227222234n A A A A A =---=，C 和D 至少有一辆与A 和B 车相邻的对立事件是C 和D 都不与A 和B 车相邻，C ∴和D 至少有一辆与A 和B 车相邻的概率：231413417A P =-=．故选：B ． 9．CD 【解析】 【分析】根据样本相关系数判断A 和B ，根据一元线性回归模型的最小二乘估计判断C 和D. 【详解】对于选项A ：当0r =时，只表明成对样本数据间没有线性相关关系，但是不排除它们之间有其他相关关系. 故A 错误；对于选项B ：样本相关系数r 越大，成对样本数据的线性相关性越强. 故B 错误； 对于选项C ：残差和为()()()11111ˆ0nnnnniiiiiii i i i i y y y bx a y b x a ny nbx na n y bx a =====-=-+=--=--=--=⎡⎤⎣⎦∑∑∑∑∑. 故C正确；对于选项D ：决定系数2R 越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好. 故D 正确. 故选：CD. 10．BD 【解析】 【分析】根据条件概率求得123(|),(|),(|)P B A P B A P B A ，由全概率公式求得()P B ，以及互斥事件、独立事件的概念判断各选项． 【详解】 解：()1310P A =，()2210P A =，()3510P A =．因为()1431110P B A ⋂=⨯， 所以()()()111434111031110P B A P B A P A ⨯⋂===． 同理()2323111021110P B A ⨯==，()3353111051110P B A ⨯==． 因为1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件，由全概率公式得()()()()123P B P B A P B A P B A =⋂+⋂+⋂()()()()()()112233P B A P A P B A P A P B A P A =++ 433235311101110111010=⨯+⨯+⨯= 因为()()1P B A P B ≠， 所以选项C 错误．综上，选项A 错误，选B 项正确，选 D 项正确． 故选：BD ． 【点睛】本题考查条件概率，解题关键是正确理解事件123,,A A A 是互斥事件，由全概率公式有()()()()123P B P B A P B A P B A =⋂+⋂+⋂．11．BC 【解析】 【分析】A. 由莱布尼茨三角形判断；B. 由莱布尼茨三角形判断；C. 由组合数性质判断；D. 由从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和判断. 【详解】A. 由莱布尼茨三角形知：当n 是偶数时，中间的一项取得最小值；当n 是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最小值，故错误；B. 由莱布尼茨三角形知：第8行第2个数是()18118172C =+，故正确；C. 由组合数性质知：r n r n n C C -=，所以()()1111r n r n n n C n C -=++（N r ∈，0r n ≤≤），故正确；D. 由从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和知：()()11111111r r r n n n n C n C nC ---+=++（N r ∈，1r n ≤≤），故错误； 故选：BC 12．AD 【解析】 【分析】由(),Q a b 在蒙日圆上可得蒙日圆的方程，结合离心率可得,a b 关系，由此可知A 正确； 由l 过(),P b a 且(),P b a 在蒙日圆上，可知当,A B 恰为切点时，PA PB ⊥，知B 错误； 根据椭圆定义可将2d AF -转化为12d AF a +-，可知1F A l ⊥时，1d AF +取得最小值，由点到直线距离公式可求得1d AF +最小值，代入可得2d AF -的最小值，知C 错误； 由题意知蒙日圆为矩形MNGH 的外接圆，由矩形外接圆特点可知矩形长宽与圆的半径之间的关系22212x y b +=，利用基本不等式可求得矩形面积最大值，知D 正确. 【详解】对于A ，过(),Q a b 可作椭圆的两条互相垂直的切线：x a =，y b =，(),Q a b ∴在蒙日圆上，∴蒙日圆方程为：2222x y a b +=+；由c e a ==得：222a b =，∴C 的蒙日圆方程为：2223x y b +=，A 正确；对于B ，由l 方程知：l 过(),P b a ，又P 满足蒙日圆方程，∴(),P b a 在圆2223x y b +=上， 过(),P b a ，当,A B 恰为过P 作椭圆两条互相垂直切线的切点时，0PA PB ⋅=，B 错误； 对于C ，A 在椭圆上，122AF AF a ∴+=，()21122d AF d a AF d AF a ∴-=--=+-；当1F A l ⊥时，1d AF +取得最小值，最小值为1F 到直线l 的距离，又1F 到直线l 的距离d '==，()2min2d AF a ∴-=-，C 错误； 对于D ，当矩形MNGH 的四条边均与C 相切时，蒙日圆为矩形MNGH 的外接圆，∴矩形MNGH 的对角线为蒙日圆的直径，设矩形MNGH 的长和宽分别为,x y ，则22212x y b +=，∴矩形MNGH 的面积22262x y S xy b +=≤=（当且仅当x y ==时取等号）， 即矩形MNGH 面积的最大值为26b ，D 正确. 故选：AD. 【点睛】关键点点睛：本题考查圆锥曲线中的新定义问题的求解，解题关键是能够根据蒙日圆的定义，结合点(),a b 在蒙日圆上，得到蒙日圆的标准方程，从而结合圆的方程来判断各个选项. 13．0.4##25【解析】 【分析】根据正态分布曲线的对称性求解 【详解】因为ξ服从正态分布()22,Nσ（0σ>），即正态分布曲线的对称轴为2x =，根据正态分布曲线的对称性，可知ξ在()0,2与()2,4取值的概率相同，所以ξ在()2,4内取值的概率为0.4.故答案为：0.4 14．12 【解析】 【分析】通过二次展开式就可以得到. 【详解】()41x y ++ 的展开式中含()334C x y +∴ 含2x y 项的系数为314312C C =故答案为：12 15．1110【解析】 【分析】令n=n -1代回原式，相减可得11(2)1n n a n n a n --=≥+，利用累乘法，即可得答案. 【详解】因为212n n a a a n a ++⋅⋅⋅+=⋅，所以21211(1)(2)n n a a a n a n --++⋅⋅⋅+=-⋅≥，两式相减可得221(1)(2)n n n a n a n a n -=⋅--⋅≥，整理得221(1)1(2)11n n a n n n a n n ---==≥-+， 所以1098298719871111093a a a a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯， 整理得101211110a a ⨯=⨯，又112a =，解得101110a =. 故答案为：1110 16．)1y x =±【解析】【分析】根据双曲线的定义先计算出24BF a =，12BF a =，注意到1F C ⊥图中渐近线，于是利用cos 12BF F ∠两种不同的表示法列方程求解.【详解】22CBF CF B ∠∠=，则2CB CF =，由双曲线的定义及C 在右支上，121212CF CF CB BF CF BF a +=-=-=，又B 在左支上，则212BF BF a -=，则24BF a =，在12BF F △中，由余弦定理，22212(2)(2)(4)cos 8a c a BF F ac+-∠=，而1F C ⊥图中渐近线，于是1F C a k b =，得12cos b BF F c ∠=，于是222(2)(2)(4)8b a c a c ac+-=，不妨令1a =，化简得2220b b --=，解得1b =)1y x =±.故答案为：)1y x =±.17．()()223420x y -++= 【解析】 【分析】先根据题意设直线方程，由条件求出直线的方程，再根据条件列出等量关系，求出圆心和半径，进而求得答案. 【详解】解：设直线l 的方程为y ＝－2x ＋b （b ＞0）， 它与两坐标轴的正半轴的交点依次为()0,b ，,02b ⎛⎫⎪⎝⎭，因为直线l 与两坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积等于1，所以1122bb ⨯=，解得b ＝2，所以直线l 的方程是22y x =-+，即220x y +-=． 由题意，可设圆C 的圆心为(),22C a a -，半径为r ，又因为圆C 被x 轴截得的弦长等于4，所以()22224r a --=ⅰ， 由于直线210x y --=与圆相切，所以圆心C 到直线210x y --=的距离1d r ==-=ⅰ，所以ⅰⅰ联立得：()()2251422a a -=+-，解得：1a =-或3a =， 又圆心在第四象限，所以3a =， 则圆心()3,4C -，r =所以圆C 方程是()()223420x y -++=. 18．（1）43n a n =- （2）12c =-【解析】 【分析】(1)利用等差数列的性质可得25343422117a a a a a a +=+=⋅=⎧⎨⎩ ,联立方程可得34,a a ,代入等差数列的通项公式可求n a ;(2)代入等差数列的前n 和公式可求n S ,进一步可得n b ,然后结合等差数列的定义可得2132b b b =+,从而可求c .【详解】（1）{}n a 为等差数列，34117a a ⋅=，2522a a += 又253422a a a a +=+=34,a a ∴是方程2221170x x -+=的两个根，0d > 349,13a a ∴==1129313a d a d +=⎧∴⎨+=⎩ 14,1d a ∴==1(1)443n a n n ∴=+-⨯=-（2）由（1）可知，2(1)422n S n n n n n -⨯=+=-22n n n nb nc c n S -==++ 1231615,,123b b b c c c∴===+++n b 为等差数列，22132,20b b b c c ∴=+∴+=1(02c c ∴=-=舍去)当12c =-时，2n b n =为等差数列，满足要求【点睛】本题主要考查了等差数列的定义、性质、通项公式、前n 项和公式的综合运用,属于中档题. 19．(1)2213y x -=(2))2y x =+或)2y x =+ 【解析】 【分析】（1）依题意设所求的双曲线方程为22221x y a b-=，则2c =，再根据离心率求出a ，即可求出b ，从而得到双曲线方程；（2）依题意可得直线l 的斜率存在，设():2l y k x =+，即可得到M 的坐标，依题意可得2MQ QF =或2MQ QF =-，分两种情况分别求出Q 的坐标，再根据Q 的双曲线上，代入曲线方程，即可求出k ，即可得解； (1)解：设所求的双曲线方程为22221x y a b-=（0a >，0b >），则2c e a ==，2c =，ⅰ1a =，又222c a b =+则b =ⅰ所求的双曲线方程为2213y x -=．(2)解：ⅰ直线l 与y 轴相交于M 且过焦点()2,0F -，ⅰl 的斜率一定存在，则设():2l y k x =+．令0x =得()0,2M k ， ⅰ2MQ QF =且M 、Q 、F 共线于l ，ⅰ2MQ QF =或2MQ QF =- 当2MQ QF =时，43Q x =-，23Q y k =，ⅰ42,33Q k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，ⅰQ 在双曲线2213y x -=上，ⅰ21641927k -=，ⅰk =， 当2MQ QF =-时，()4,2Q k --，代入双曲线可得： 241613k -=，ⅰk = 综上所求直线l的方程为：)2y x =+或)2y x =+． 20．(1)有(2)分布列见解析，65【解析】 【分析】（1）依题意由列联表计算出卡方，与参考数值比较，即可判断；（2）按照分层抽样得到有2人为“天文爱好者”，有3人为“非天文爱好者”， 记“天文爱好者”的人数为X ，则X 的可能值为0，1，2，即可求出所对应的概率，从而得到分布列与数学期望； (1)解：由题意，()()()()()()222100201530359.091 6.63550505545n ad bc X a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈>++++⨯⨯⨯所以有99%的把握认为“天文爱好者”或“非天文爱好者”与性别有关. (2)解：抽取的100人中女性人群有50人，其中“天文爱好者”有20人，“非天文爱好者”有30人，所以按分层抽样在50个女性人群中抽取5人，则有2人为“天文爱好者”，有3人为“非天文爱好者”．再从这5人中随机选出3人，记其中“天文爱好者”的人数为X ，则X 的可能值为0，1，2，ⅰ()0323351010C C P X C ⋅===，()122335631105C C P X C ⋅====，()2123353210C C P X C ⋅===， X 的分布列如下表：()1336012105105E X =⨯+⨯+⨯=． 21．(1)1681(2)122081(3)2件 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件的概率公式计算可得；（2）首先求出一件手工艺品质量为C 级的概率，设81件手工艺品中质量为C 级的手工艺品是X 件，则2081,81XB ⎛⎫⎪⎝⎭，再根据二项分布的方差公式计算可得； （3）首先求出一件手工艺品质量为D 级的概率，设10件手工艺品中质量为D 级的手工艺品是ξ件，则710,27B ξ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，根据二项分布的概率公式求出()P k ξ=的最大值，即可得解； (1)解：一件手工艺品质量为B 级的概率为2213111161133381C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．(2)解：一件手工艺品质量为C 级的概率为2211321111120113333381C C ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯-⨯⨯⨯-+=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，设81件手工艺品中质量为C 级的手工艺品是X 件，则2081,81X B ⎛⎫⎪⎝⎭， 所以()2061122081818181D X =⨯⨯=． (3)解：一件手工艺品质量为D 级的概率为2323331117133327C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯-+⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 设10件手工艺品中质量为D 级的手工艺品是ξ件，则710,27B ξ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，则()10107202727k kk P k C ξ-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()1911010107201707272720207202727k kk k k k P k k C k C k P ξξ+-+-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+-⎝⎭⎝⎭===+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 由70712020k k ->+解得5027k <，所以当1k =时，()()211P P ξξ=>=，即()()21P P ξξ=>=， 由70712020k k -<+解得5027k >，所以当2k =时，()()1P k P k ξξ=+<=，所以当2k =时，()P k ξ=最大，即10件手工艺品中质量为D 级的最有可能是2件． 22．（1）2212x y +=；（2）【解析】 【分析】(1)设点(),T x y 和()00,P x y ，由题意可得点T 的轨迹方程，将点Q 的坐标代入T 的方程计算出22a b 、即可；(2)设2l 的方程，()11,D x y 和()22,E x y ，联立椭圆方程并消元得到关于y 的一元二次方程，根据韦达定理得到1212y y y y +、，进而求出DE 和AB ，根据平行线间的距离公式可得1l 与2l 的距离，得出所求四边形面积的表达式，结合换元法和基本不等式化简求值即可. 【详解】解：（1）设点(),T x y ，()00,P x y ，则点()00,0P x ，()00,PT x x y =-，()000,P P y =， ⅰ002PT P P =，ⅰ000x x y -=⎧⎪⎨=⎪⎩，ⅰ00x xy =⎧⎪⎨=⎪⎩， ⅰ点()00,P x y 在椭圆C 上，ⅰ222212x y a b+=，即为点T 的轨迹方程． 又ⅰ点T 的轨迹是过(Q 的圆，ⅰ2222212a b b⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得2221a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆C 的方程为2212x y +=．（2）由题意，可设2l 的方程为1x ty =+， 联立方程22121x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()222210t y ty ++-=．设()11,D x y ，()22,E x y ，则()2810t ∆=+>，且1221222212t y y t y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩，所以)2212t DE t +=+，同理)2212t AB t +=+， 又1l 与2l 的距离为d =所以，四边形ABDE的面积为S DE d =⨯=u =，则1u ≥，且S u u =≤=+， 当且仅当1u =，即0=t 时等号成立．所以，四边形ABDE 的面积最大值为。
石家庄市高二上学期开学数学试卷A卷
石家庄市高二上学期开学数学试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高二上·青海期中) 已知直线a∥平面α，直线b⊂平面α，则（）A . a∥bB . a与b异面C . a与b相交D . a与b无公共点2. （2分）函数f（x）= cosx－ cos（x+）的最大值为（）A . 2B .C . 1D .3. （2分） (2018高一下·台州期中) 已知角的终边过点 ,且，则的值为（）A .B .C .D .4. （2分） (2017高一上·定州期末) 函数的图象经过平移后所得图像关于点中心对称，这个平移变换可以是（）A . 向左平移个单位B . 向左平移个单位C . 向右平移个单位D . 向右平移个单位5. （2分）与同一平面平行的两条直线（）A . 平行B . 相交C . 异面D . 平行、相交或异面6. （2分）已知角α的终边过点P（﹣6，8），则cosα的值是（）A .B .C .D .7. （2分）三个实数成等差数列，首项是9，若将第二项加2、第三项加20可使得这三个数依次构成等比数列，则的所有取值中的最小值是（）A . 1B . 4C . 36D . 498. （2分） (2016高二上·洛阳期中) 设等差数列{an}的前n项和为Sn ，若Sk=2，S3k=18，则S4k=（）A . 24B . 28C . 32D . 549. （2分） (2018高二下·重庆期中) 已知函数，若是从1，2，3三个数中任取的一个数，是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为（）A .B .C .D .10. （2分）设为基底向量,已知向量,若A,B,D三点共线,则实数k 的值等于（）A . 10B . -10C . 2D . -211. （2分） (2015高一上·娄底期末) 一个几何体的三视图如图所示，俯视图为等边三角形，若其侧面积为12 ，则a是（）A .B .C . 2D .12. （2分）直线过点且与圆相切，则的斜率是（）A . ；B . ；C . ；D . .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高一下·集宁期末) 关于f(x)＝4sin (x∈R)，有下列命题①由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2是π的整数倍；②y＝f(x)的表达式可改写成y＝4cos ；③y＝f(x)图象关于对称；④y＝f(x)图象关于x＝－对称．其中正确命题的序号为________(将你认为正确的都填上)。
石家庄二中2020-2021学年高二8月线上考试(一)数学试题含答案
石家庄二中2020-2021学年高二8月线上考试（一)数学一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分） 1。
已知a 〈0，0〈b <1，则下列结论正确的是( )A.a 〉abB.a >ab 2C.ab 〈ab 2D.ab 〉ab 2 2。
记nS 为等差数列{}n a 的前n 项和.若3243SS S =+,12a =，则=5a ( )A ．12-B ．10-C ．10D ．123。
在△ABC 中，,3,4AB BC ABC π∠===则sin BAC ∠ =（ ）。
A ．10B ．5C ．10D ．54。
圆224690x y x y +--+=的圆心到直线10ax y ++=的距离为2，则a =（ ） A ．43-B ．34-C D ．2 5. 数列{}n a 中,121n n a a +=+，11a =，则6a =(）A ．32B ．62C ．63D ．646。
若直线220(0,0)ax by a b -+=>>，被圆222410xy x y ++-+=截得弦长为4，则41a b +的最小值是(）A ．9B ．4C ．12D ．147. 在数列{}n a 中，10a =，11ln 1n n a a n +⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,则{}n a 的通项公式为（ )．A ．ln nan = B ．()()1ln 1na n n =-+ C ．ln nan n = D ．ln 2nan n =+-8。
在ABC ∆中，2,6AB C π==,则3AC BC +的最大值为（）A ．27B ．37C ．47D ．579。
若00x y x y y a -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，若2z x y =+的最大值为3,则a 的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 10。
如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为（ ）A 。
河北省石家庄市正中实验中学2022-2023学年高二上学期开学考试数学试题
河北省石家庄市正中实验中学2022-2023学年高二上学期开学考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题9．已知直线l ：()2110a a x y ++-+=，其中R a Î，下列说法正确的是（ ）A ．当1a =-时，直线l 与直线0x y +=垂直B ．若直线l 与直线0x y -=平行，则0a =C ．直线l 过定点()0,1D ．当0a =时，直线l在两坐标轴上的截距相等10．已知正方体1111ABCD A B C D -，则（ ）22．如图，PO 是三棱锥-P ABC 的高，PA PB =，AB AC ^，E是PB 的中点．(1)证明：//OE 平面PAC ；(2)若30ABO CBO Ð=Ð=°，3PO =，5PA =，求二面角C AE B --的正弦值．错误；对于C ，当0x =时，则1y =，所以直线过定点()0,1，所以C 正确；对于D ，当0a =时，直线l 的方程为10x y -+=，易得在x 轴、y 轴上的截距分别是1,1-，所以D 错误.故选：AC.10．ABD【分析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可.【详解】如图，连接1B C 、1BC ，因为11//DA B C ，所以直线1BC 与1B C 所成的角即为直线1BC 与1DA 所成的角，因为四边形11BB C C 为正方形，则1B C ^1BC ，故直线1BC 与1DA 所成的角为90°，A 正确；连接1AC ，因为11A B ^平面11BB C C ，1BC Ì平面11BB C C ，则111A B BC ^，因为1B C ^1BC ，1111A B B C B =I ，所以1BC ^平面11A B C ，又1AC Ì平面11A B C ，所以11BC CA ^，故B 正确；连接11A C ，设1111A C B D O =I ，连接BO ，因为1BB ^平面1111D C B A ，1C O Ì平面1111D C B A ，则11C O B B ^，因为111C O B D ^，1111B D B B B Ç=，所以1C O ^平面11BB D D ，。