中考数学拼图题型赏析

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中考数学拼图题型赏析

考拼图题型赏析拼图题就是在生动有趣的情境中，引导学生动手操作，巩固有关图形的知识，积累数学活动经验，发展有条理的思考，进一步形成空间概念，认识到图形在日常生活中的应用．它具有开放性、综合性、延伸性等特点，已成为近几年来中考数学命题的一大风景为帮助同学们熟悉题型，迎接挑战，笔者撷取几例中考拼图趣题，进行归类分析，供大家欣赏．一.开放型例1 (广东茂名)如图1，阴影部分是由5个小正方形组成的一个直角图形，请用二种方法分别在下图方格内．．．添涂黑二个小正方形，使它们成为轴对称图形．分析:本题没有给出对称轴,根据轴对称图形的特征,可以在不同的位置进行涂黑,解答时可先确定其对称轴,然后再涂黑,如图4所示.此题答案不唯一，只要在方格内添的二个正方形使整个图形是对称图形即可.解：如图2所示.评注：它是一个结论开放型拼图题，其结果可以是多种多样的，只要符合题目要求即方法一方法二图 1 方法一方法二方法三方法四图2图4 ① •••② ③可．在考查灵活运用所学数学知识解决问题的同时，能够让解答者感受到数学的美，较好地展示了解答者的创新精神.二.网格型例2 （山东日照）如图3所示的阴影部分图案是由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L 形．那么在由4×5个小方格组成的方格纸上最多可以画出不同位置的L 形图案的个数是( )A.16个B.32个C.48个D.64个分析:观察图形得到，L 形图案在4个小方格组成的正方形中,且这个正方形可以画出4个不同位置的L 形图案, 4×5个小方格组成的方格纸包含12个4个小方格组成的正方形,所以最多可以画出不同位置的L 形图案个数为4×12=48个.故选C.评注:注意本题的思考方法是分解法,先确定4个小方格组成的正方形中可画出L 形图案个数,再找出图3中包含小方格的个数,进而得到本题答案.三.规律型例3 (河南)如图4,将图①所示的正六边形进行分割得到图②，再将图②中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割得到图③，再将图③中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割，…，则第n 个图形中共有个正六边形．分析：由题知，图①为1个正六边形；图②为4个正六边形，是（1+3×1）个；图③为7个正六边形，是（1+3×2）个；则第n 个图形中正六边形的个数为：1+3×（n-1）个.评注: 本题是一道按规律拼图的题目，此类题目只要抓住了图形的变化规律，则问题可解．它着重考查的就是识图能力和归纳推理能力．图3四.选择型例 4 （广东梅州）如图5，已知BC为等腰三角形纸片ABC的底边，90AD BC BAC⊥∠≠，°．将此三角形纸片沿AD剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平面四边形，则能拼出中心对称图形 _______个．分析：可拼出如图6所示的两个平行四边形和一个矩形，它们都是中心对称图形,应填3.评注：本题宜采用平移、旋转、翻折等手段来拼图.五.计算型例5 (浙江丽水)如图6所示，在4×4的菱形斜网格图中（每一个小菱形的边长为1，有一个角是60°），菱形ABCD的边长为2，E是AD的中点，按CE将菱形ABCD剪成①、②两部分，用这两部分可以分别拼成直角三角形、等腰梯形、矩形，要求所拼成图形的顶点均落在格点上．（1）在下面的菱形斜网格中画出示意图；（2）判断所拼成的三种图形的面积（s）、周长（l）的大小关系（用“=”、“＞”或“＜”连接）：面积关系是；周长关系是．分析:（1）通过旋转或平移图形②,可以拼成直角三角形、等腰梯形、矩形;(2)因为三个图形都是由①、②两图形拼出的，所以其面积相等,都等于菱形ABCD的面积;计算CE= ,31222=-则直角三角形、等腰梯形、矩形的周长分别为:6+2,38,4+2,3于是可图5 图6图7得到三个图形的周长的大小关系.解:(1)如图7所示.（2） =S =S S 矩形直角三角形等腰梯形； l 直角三角形＞l 等腰梯形＞ l 矩形． ……评注：本题主要是依据勾股定理计算三种图形的周长,进而进行比较.（福建省三明市）用含30角的两块同样大小的直角三角板拼图形，下列四种图形：①平行四边形，②菱形，③矩形，④直角梯形．其中可以被拼成的图形是（）BA ．①②B ．①③C ．③④D ．①②③。

中考二轮复习专题分类中考数学作图型试题精讲

中考二轮复习——专题分类专题一、作图型试题例1、无锡已知图1和图2中的每个小正方形的边长都是1个单位.1将图1中的格点△ABC,先向右平移3个单位,再向上平移2个单位,得到△A 1B 1C 1,请你在图1中画出△A 1B 1C 1.2在图2中画出一个与格点△DEF 相似但相似比不等于1的格点三角形. 知识点：考查学生平移变换,利用勾股定理进行三角形的有关计算,全等及相似三角形的判定; 精析：本题关键是计算出△ABC的三边的长度,然后找一个不等于1的相似比,比如相似比为2,计算出△DEF 三边长或计算出一边长后,利用平移得出△DEF;准确答案．1 2答案不唯一.中考对该知识点的要求：,点阵中对称点对称图形问题及利用格点进行面积计算已经成为最近几年中考试题的考点问题;目标达成：1－1－1、太原在4×4的正方形网格中,每个小方形的边长都是1;线段AB 和CD 分别是图1－1中1×3的两个矩形的对角线,显然AB ∥CD;请你用类似的方法画出过点E 且垂直于AB 的直线,并证明;1－1－2、连云港如图1－2,在55 的正方形网格中, 每个小正方形的边长都为1.请在所给网格中按下列要求画出图形．图2F D E A B C 图1 A BC 图1A 1B 1C 1 图2F D EGF E D C BA图1－1－1（1）从点A 出发的一条线段AB ,使它的另一个端点落在格点即小正方形的顶点上,且长度为22； 2以1中的AB 为边的一个等腰三角形ABC , 使点C 在格点上,且另两边的长都是无理数；3以1中的AB 为边的两个凸多边形,使它们都是中心对称图形且不全等,其顶点都在格点上,各边长都是无理数． 1－1－3、宿迁如图1－3,方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形,我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”．如图一中四边形ABCD 就是一个“格点四边形”．1求图一中四边形ABCD 的面积；2在图二方格纸中画一个格点三角形EFG ,使△EFG 的面积等于四边形ABCD 的面积且为轴对称图形．图一图二 1－1－4、潍坊如图,ABC ∆等的一个格点三角形．1－1－5ABCD.1画出1B 1C 1D 1使 1B 1C 1D 1与 2画出 A 2B 2C 2D 2,A 2B 2C 2D 2与3 A 1B 1C 1D 1与A 2B 2C 2D 2是对称图形吗若是,请在图上画出对称轴或对称中心图1－1－2图1－3 DCBAB例2、河南课改有一块梯形状的土地,现要平均分给两个农户种植即将梯形的面积两等分,试设计两种方案平分方案画在备用图上,并给予合理的解释;知识点：考查有关图形的面积计算问题;精析：一般对于简单的图形可直观的进行分割,而对于稍复杂的题目,是通过计算或是转化为三角形问题来解决的;准确答案：设梯形上、下底分别为a 、b,高为h;方案一：如图1,连结梯形上、下底的中点E 、F,则S 四边形ABFE ＝S 四边形EFCD ＝错误!方案二：如图2,分别量出梯形上、下底a 、b 的长,在下底BC 上截取BE ＝错误!a ＋b,连接AE,则S △ABE ＝S 四边形AECD ＝错误!;方案三：如图3,连结AC,取AC 的中点E,连结BE 、ED,则图中阴影部分的面积等于梯形ABCD 的面积的一半;分析此方案可知,∵AE ＝EC,∴S △AEB ＝S △EBC ,S △AED ＝S △ECD , ∴S △AEB ＋S △AED ＝S △EBC ＋S △ECD ,∴图中阴影部分的面积等于梯形ABCD 的面积的一半中考对该知识点的要求：对于图形分割,是历年来各省市的中考试题的一个考点也是难点之一;它要求学生除了考查学生的基础知识外,还能较好的考查学生的观察、分析、创新能力;目标达成1－2－1.贵阳在一次数学实践探究活动中,小强用两条直线把平行四边形ABCD 分割成四个部分,使含有一组对顶角的两个图形全等；（1）根据小强的分割方法,你认为把平行四边形分割成满足以上全等关系的直线有组；A B C DE F 图1A B C D E 图 2A B CD E 图 3ABCDABCDDCBAA B CD 备用图⑴ABCD备用图⑵图1－1－5图1－2－12请在图1－2－1的三个平行四边形中画出满足小强分割方法的直线； 3由上述实验操作过程,你发现所画的饿两条直线有什么规律1－2－2.梅州如图5,Rt ΔABC 中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,用圆规和直尺作图,用两种方法把它分成两个三角形,且要求其中一个三角形的等腰三角形;保留作图痕迹,不要求写作法和证明1－2－3.黄冈蓝天希望学校正准备建一个多媒体教室,计划做长120cm,宽30cm 的长条形桌面;现只有长80cm,宽45cm 的木板,请你为该校设计不同的拼接方案,使拼出来的桌面符合要求;只要求画出裁剪、拼接图形,并标上尺寸,设计出一种得5分,设计出两种再加1分1－2－4. 临沂小芸在为班级办黑板报时遇到了一个难题,在版面设计过程中需将一个半圆面三等分,请你帮助她设计一个合理的等分方案．要求用尺规作出图形,保留作图痕迹,并简要写出作法．A B1－2－5. 2005年佛山学校有一块如图所示的扇形空地,请你把它平均分成两部分．要求：用尺规作图,保留作图痕迹,写出作法,不用证明．能力提高：A B C A B C 图1－2－2 80cm 45cm 80cm 45cm1－1.常州如图,有一木制圆形脸谱工艺品,H 、T 两点为脸谱的耳朵,打算在工艺品反面两耳连线中点D 处打一小孔．现在只有一块无刻度单位的直角三角板斜边大于工艺品的直径,请你用两种不同的方法确定点D 的位置画出图形表示,并且分别说明理由．1－2、武汉．用四块如图1所示的瓷砖拼成一个正方形图案,使拼成的图案成一个轴对称图形如图2,请你分别在图3、图4中各画一种与图2不同的拼法,要求两种拼法各不相同,且其中至少有一个图形既是中心对称图形,又是轴对称图形;1－3锦州如图,己知四边形ABCD,用尺规将它放大,使放大前后的图形对应线段的比为1：2.不写作法,但保留作图痕迹1－4.青岛某新建小区要在一块等边三角形的公共区域内修建一个圆形花坛; 1若要使花坛面积最大,请你在这块公共区域如图内确定圆形花坛的圆心P ； 2若这个等边三角形的边长为18米,请计算出花坛的面积;AB C1－5．上海1在图3所示编号为①、②、③、④的四个三角形中,关于y 轴对称的两个三角形的编号为；关于坐标原点O 对称的两个三角形的编号为； 2在图4中,画出与△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1A BDC1－6．苏州如图,平行四边形纸条ABCD 中,E 、F 分别是边AD 、BC的中点;张老师请同学们将纸条的下半部分平行四边形ABEF 沿EF 翻折,得到一个V 字形图案;1请你在原图中画出翻折后的图形平行四边形A 1B 1FE ；用尺规作图,不写画法,保留作图痕迹 2已知∠A=63°,求∠B 1FC 的大小;1－7．温州小明家用瓷砖装修卫生间,还有一块墙角面未完工如图甲所示,他想在现有的六块瓷砖余料中如图乙所示挑选2块或3块余料进行铺设,请你帮小明设计两种不同的铺设方案在下面图丙、图丁中画出铺设示意图,并标出所选用每块余料的编号;1-8.盐城已知：如图,现有的正方形和的矫形纸片若干块,试选用这些纸片每种至少用一次在下面的虚线方框中拼成一个矫形每两个纸片之间既不重叠,也无空隙,批出的图中必须保留拼图的痕迹,使批出的矫形面积为,并标出此矫形的长和宽;1－9.茂名一条小船,（1）若把小船平移,使点A 平移到点B,请你在图中画出平移后的小船；（2）若该小船先从点A 航行到达岸边L 的点P 处补给后,再航行到点B,但要求航程最短, 试在图中画出点P 的位置a b1－10.丽水某公园有一个边长为4米的正三角形花坛,三角形的顶点A 、B 、C 上各有一棵古树．现决定把原来的花坛扩建成一个圆形或平行四边形花坛,要求三棵古树不能移动,且三棵古树位于圆周上或平行四边形的顶点上．以下设计过程中画图工具不限． 1按圆形设计,利用图1画出你所设计的圆形花坛示意图；2按平行四边形设计,利用图2画出你所设计的平行四边形花坛示意图； 3若想新建的花坛面积较大,选择以上哪一种方案合适请说明理由1－11. 曲沃－阳城在下面方格纸中设计一个对称图案,在这个图案中必须用到等腰三角形、正方形、圆三种基本图形;1－12、曲沃－阳城下面是天都市三个旅游景点的平面图,请你选用适当的方式借助刻度尺、量角器等基本作图工具,确定出三个景点的位置;图1 图2 A B C A B C1－13、深圳南山区平移方格纸中的图形如图13,使A 点平移到A ′点处,画出平移后的图形,并写上一句贴切、诙谐的解说词．解说词：一、作图型试题答案1－1－1.1－1－2.天都市旅游景点示意图 •碑林 •博物馆 •动物园北比例尺 0 5 10千米A · ·A ′ C'BACD 6C 6D 5C 5D 4C 4C 2D 1D 3C 3D 2C 1BA 第2题答图1 第2题答图21－1－3. 1方法一：S ＝12×6×4 ＝12方法二：S ＝4×6－12×2×1－12×4×1－12×3×4－12×2×3＝122只要画出一种即可1－1－4. 只画出一个符合题意的三角形即可.1－1－5. 1如图,平行四边形A 1B 1C 1D 1,就是所求的平行四边形. -2如图,平行四边形A 2B 2C 2D 2,就是所求的平行四边形. 3是轴对称图形,对称轴是直线EF.1－2－1.1无数；2只要两条直线都过对角线的交点就给满分；3这两条直线过平行四边形的对称中心或对角线的交点； 1－2－2. 解：作法一：作AB 边上的中线；作法二：作∠CBA 的平分线；作法三：在CA 上取一点D,使CD=CB;1－2－3.D 2C 2C 1D,D 1C O FEN M A 2A 1A B B 1B 2A B C DAB C DABC D1－2－4. 作法：1作AB 的垂直平分线CD 交AB 于点O ； 2分别以A 、B 为圆心,以AO 或BO 的长为半径画弧,分别交半圆干点M 、N ；3连结OM 、ON 即可．1－2－5. 解法一：1以O 为圆心,任意长为半径画弧,分别交OA 、OB 于C 、D 两点；2分别以C 、D 为圆心,大于CD 21的长为半径画弧,两弧交于E 点不与O 点重合；注：也可直接以A 、B 为圆心作图． 3射线OE 交弧AB 于F ；则线段OF 将扇形AOB 二等分; 解法二：1连接AB ； 2分别以A 、B 为圆心,大于AB 21的长为半径画弧,两弧交于C 点不与O 点重合； 3连接OC 交弧AB 于D 点；则线段OD 将扇形AOB 二等分．能力提高：1－1③②①D LHTO反面D LH T O 反面反面OTHLC EFG D方法一：如图①,画TH 的垂线L 交TH 于D,则点D 就是TH 的中点;依据是垂径定理;方法二：如图②,分别过点T 、H 画HC ⊥TO,TE ⊥HO,HC 与TE 相交于点F,过点O 、F 画直线L 交HT 于点D,则点D 就是HT 的中点;由画图知,Rt △HOC ≌Rt △TOE,易得HF=TF,又OH=OT所以点O 、F 在HT 的中垂线上,所以HD=TD 方法三：如图③,原理同方法二 1－2、1－3.可按位似图形放大,且位似中心的位置可在图形顶点处、图形边上、图形内部、图形外部,在每一处都会有两种图形,因此,此题属开放试题,仅举示例供参考：1-4.12如图，中，米，Rt BOD BD OBD ∆=∠=︒930 ∴︒=tan30ODBD∴=⋅︒=⨯=OD BD tan 3093333 ∴⋅=花坛面积为：（米）ππ()3327221－5.1 ①、②； ①、③. 2如图1－6. 1作图如图；D 1 DC 1C B 1BA D D 1CC 1B 1BAAOB D C20000636318054ABFE EFB A A B EF ABEF B FE EFB B FC B FE EFB ∴∠=∠='''∴∠=∠=''∴∠=-∠-∠=是平行四边形，是由翻折得到的，。

13中考图形拼接问题中考讲义含答案清华附用

中考热点之-----切割拼接问题【简要分析】纵观近年全国各省市中考数学应用题，几何模型应用题悄然兴起，常处于“创新题”的地位，充当“选拔题”的重要角色.解几何应用题的一般方法是认真分析题意，洞察题中所蕴含的几何模型，然后把实际问题进行抽象，概括题意画出模型图，再利用几何图形的有关性质及相关定理来解决问题.中考来临之际编辑一些题，以助同学们顺利通过中考1请设计一种方案：把正方形ABCD 剪两刀，使剪得的三块图形能够拼成一个三角形,画出必要的示意图．(1)使拼成的三角形是等腰三角形．(图1)(2)使拼成的三角形既不是直角三角形也不是等腰三角形．(图2)答案：2已知：如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC ＝5，CD ＝6，∠DCB ＝60°，∠ABC ＝90°．等边三角形MPN (N 为不动点)的边长为a ，边MN 和直角梯形ABCD 的底边BC 都在直线l 上，NC ＝8．将直角梯形ABCD 向左翻折180°，翻折一次得到图形①，翻折二次得到图形②，如此翻折下去．(1) 求直角梯形ABCD 的面积；(2) 将直角梯形ABCD 向左翻折二次，如果此时等边三角形的边长a ≥2，请直接写出这时两图形重叠部分的面积是多少？(3) 将直角梯形ABCD 向左翻折三次，如果第三次翻折得到的直角梯形与等边三角形重叠部分的面积等于直角梯形ABCD 的面积，请直接写出这时等边三角形的边长a 至少应为多少？PN M D BAl 21答案：(1)如图，过点D 作DE ⊥BC 于点E ．∠ABC =90°，∴AB DE ∥．又 AD BC ∥，∴四边形ABED 是矩形．∴AD =BE ．在Rt △DEC 中，∠DCB =60°，∴DE = DC •sin60°……………………………1分CE = DC ·cos60°=6×12=3．∴AD =BE =BC -CE =5-3=2．……………………………………2分 ∴直角梯形ABCD 的面积=11()(25)22AD BC DE +⋅=+⋅……………3分(2)………………………………………………4分(3)等边三角形的边长a 至少为10． ………………………………………………5分3以下两图是一个等腰Rt △ABC 和一个等边△DEF ，要求把它们分别割成三个三角形，使分得的三个三角形互相没有重叠部分，并且△ABC中分得的三个三角形和△DEF 中分得的三个小三角形分别相似，请画出两个三角形中的分割线，标出分割得到的小三角形中两个角的度数。

中考趣味拼图解法举例

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湖北黄冈，课改卷) 图 1 中练习 : 1. (2005 ，的梯形符合条件时，以经过旋转和可翻折组合成图 2.
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2. (2005 ，广东佛山，课改卷) 图 3 是用形状、大小完全相同的等腰梯形密铺成的图案，则这个图案中的等腰梯形的底角 ( 指锐角) 是
成 k 个完全一样的矩形，其中上、下各横排两个，中间竖排若干个， k= 则 5. (2005，四川绵阳) 如图6 宽为50cm 矩形图案由 10 个全等的小长方形组成，其中一个小
长方形的面积为
图 21- ( 2)
硬诊
图 22 图 23
图4
图5
图6
6. 请将四个全等直角梯形(如图 7) 拼成一个平行四边形，并画出两种不同的拼法示意图 ( 拼出的两个图形只要不全等就认为是不同的
剪开后，既能拼出平行四边形和梯形，又能拼出三角形的是 (
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万产
硬
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图 25 图8
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图 24
边形 ABCD 是等腰梯形， AB// DC. 由4 个这样
的等腰梯形可以拼出图 2 所示的平行四边形.
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( 1) 求四边形 ABCD 四条边之间存在的等
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专题18尺规作图与操作探究拼图--浙江省2019-2021年3年中考真题数学分项汇编(解析版)

三年（2019-2021）中考真题数学分项汇编（浙江专用）专题18尺规作图与操作探究拼图一．选择题（共13小题）1．（2021•杭州）已知线段AB，按如下步骤作图：①作射线AC，使AC⊥AB；②作∠BAC的平分线AD；③以点A为圆心，AB长为半径作弧，交AD于点E；④过点E作EP⊥AB于点P，则AP：AB＝（）A．1：√5B．1：2C．1：√3D．1：√2【分析】直接利用基本作图方法得出AP＝PE,再结合等腰直角三角形的性质表示出AE,AP的长，即可得出答案．【解析】∵AC⊥AB，∴∠CAB＝90°,∵AD平分∠BAC,∴∠EAB=12×90°＝45°,∵EP⊥AB,∴∠APE＝90°,∴∠EAP＝∠AEP＝45°,∴AP＝PE,∴设AP＝PE＝x,故AE＝AB=√2x,∴AP：AB＝x:√2x＝1:√2．故选：D．2．（2021•湖州）如图，已知在△ABC中，∠ABC＜90°，AB≠BC，BE是AC边上的中线．按下列步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于线段BC长度一半的长为半径作弧，相交于点M，N；②过点M，N 作直线MN，分别交BC，BE于点D，O；③连接CO，DE．则下列结论错误的是（）A．OB＝OC B．∠BOD＝∠COD C．DE∥AB D．DB＝DE【分析】利用基本作图得到MN垂直平分BC，根据线段垂直平分线的性质得到OB＝OC，BD＝CD，OD ⊥BC，则可对A选项进行判断，根据等腰三角形的“三线合一”可对B选项进行判断；根据三角形中位线的性质对C选项进行判断；由于DE=12AB，BD=12BC，AB≠BC，则可对D选项进行判断．【解析】由作法得MN垂直平分BC，∴OB＝OC，BD＝CD，OD⊥BC，所以A选项不符合题意；∴OD平分∠BOC，∴∠BOD＝∠COD，所以B选项不符合题意；∵AE＝CE，DB＝DC，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥AB，所以C选项不符合题意；DE=12AB，而BD=12BC，∵AB≠BC，∴BD≠DE，所以D选项符合题意．故选：D．3．（2020•衢州）过直线l外一点P作直线l的平行线，下列尺规作图中错误的是（）A．B．C ．D ．【分析】根据平行线的判定方法一一判断即可．【解析】A 、本选项作了角的平分线与等腰三角形，能得到一组内错角相等，从而可证两直线平行，故本选项不符合题意．B 、本选项作了一个角等于已知角，根据同位角相等两直线平行，能判断是过点P 且与直线l 的平行直线，本选项不符合题意．C 、由作图可知，垂直于同一条直线的两条直线平行，本选项不符合题意．D 、作图只截取了两条线段相等，而无法保证两直线平行的位置关系，本选项符合题意．故选：D ．4．（2020•台州）如图，已知线段AB ，分别以A ，B 为圆心，大于12AB 同样长为半径画弧，两弧交于点C ，D ，连接AC ，AD ，BC ，BD ，CD ，则下列说法错误的是（）A ．AB 平分∠CAD B ．CD 平分∠ACBC ．AB ⊥CD D ．AB ＝CD【分析】根据作图判断出四边形ACBD 是菱形，再根据菱形的性质：菱形的对角线平分一组对角、菱形的对角线互相垂直平分可得出答案．【解析】由作图知AC ＝AD ＝BC ＝BD ，∴四边形ACBD 是菱形，∴AB 平分∠CAD 、CD 平分∠ACB 、AB ⊥CD ，不能判断AB ＝CD ，故选：D ．5．（2020•嘉兴）如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝2√5，BC ＝8，按下列步骤作图：①以点A 为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交AB ，AC 于点E ，F ，再分别以点E ，F 为圆心，大于12EF 的长为半径作弧相交于点H ，作射线AH ；②分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径作弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交射线AH 于点O ；③以点O 为圆心，线段OA 长为半径作圆．则⊙O 的半径为（）A ．2√5B ．10C ．4D ．5【分析】如图，设OA 交BC 于T ．解直角三角形求出AT ，再在Rt △OCT 中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【解析】如图，设OA 交BC 于T ．半径为r ，∵AB ＝AC ＝2√5，AO 平分∠BAC ，∴AO ⊥BC ，BT ＝TC ＝4，∴AT =√AC 2−CT 2=√(2√5)2−42=2，在Rt △OCT 中，则有r 2＝（r ﹣2）2+42，解得r ＝5，故选：D ．6．（2020•金华）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD 与正方形EFGH ．连接EG ，BD 相交于点O ，BD 与HC 相交于点P ．若GO ＝GP ，则S 正方形ABCDS 正方形EFGH 的值是（）A ．1+√2B ．2+√2C ．5−√2D ．154【分析】证明△BPG ≌△BCG （ASA ），得出PG ＝CG ．设OG ＝PG ＝CG ＝x ，则EG ＝2x ，FG =√2x ，由勾股定理得出BC 2＝（4+2√2）x 2，则可得出答案．【解析】∵四边形EFGH 为正方形，∴∠EGH ＝45°，∠FGH ＝90°，∵OG ＝GP ，∴∠GOP ＝∠OPG ＝67.5°，∴∠PBG ＝22.5°，又∵∠DBC ＝45°，∴∠GBC ＝22.5°，∴∠PBG ＝∠GBC ，∵∠BGP ＝∠BGC ＝90°，BG ＝BG ，∴△BPG ≌△BCG （ASA ），∴PG ＝CG ．设OG ＝PG ＝CG ＝x ，∵O 为EG ，BD 的交点，∴EG ＝2x ，FG =√2x ，∵四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，∴BF ＝CG ＝x ，∴BG ＝x +√2x ，∴BC 2＝BG 2+CG 2=x 2(√2+1)2+x 2=(4+2√2)x 2，∴S 正方形ABCDS 正方形EFGH =(4+2√2)x 22x 2=2+√2．故选：B ．7．（2020•宁波）△BDE 和△FGH 是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内．若求五边形DECHF的周长，则只需知道（）A．△ABC的周长B．△AFH的周长C．四边形FBGH的周长D．四边形ADEC的周长【分析】证明△AFH≌△CHG（AAS），得出AF＝CH．由题意可知BE＝FH，则得出五边形DECHF的周长＝AB+BC，则可得出答案．【解析】∵△GFH为等边三角形，∴FH＝GH，∠FHG＝60°，∴∠AHF+∠GHC＝120°，∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠ACB＝∠A＝60°，∴∠GHC+∠HGC＝120°，∴∠AHF＝∠HGC，∴△AFH≌△CHG（AAS），∴AF＝CH．∵△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，∴BE＝FH，∴五边形DECHF的周长＝DE+CE+CH+FH+DF＝BD+CE+AF+BE+DF，＝（BD+DF+AF）+（CE+BE），＝AB+BC．∴只需知道△ABC的周长即可．故选：A．8．（2019•绍兴）如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为（）A ．245B ．325C ．12√3417D ．20√3417【分析】设DE ＝x ，则AD ＝8﹣x ，由长方体容器内水的体积得出方程，解方程求出DE ，再由勾股定理求出CD ，过点C 作CF ⊥BG 于F ，由△CDE ∽△CBF 的比例线段求得结果即可．【解析】过点C 作CF ⊥BG 于F ，如图所示：设DE ＝x ，则AD ＝8﹣x ，根据题意得：12（8﹣x +8）×3×3＝3×3×6，解得：x ＝4，∴DE ＝4，∵∠E ＝90°，由勾股定理得：CD =√DE 2+CE 2=√42+32=5，∵∠BCE ＝∠DCF ＝90°，∴∠DCE ＝∠BCF ，∵∠DEC ＝∠BFC ＝90°，∴△CDE ∽△CBF ，∴CE CF =CD CB ，即3CF =58，∴CF =245．故选：A ．9．（2021•宁波）如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形ABCD，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1，另两张直角三角形纸片的面积都为S2，中间一张矩形纸片EFGH 的面积为S3，FH与GE相交于点O．当△AEO，△BFO，△CGO，△DHO的面积相等时，下列结论一定成立的是（）A．S1＝S2B．S1＝S3C．AB＝AD D．EH＝GH【分析】如图，连接DG,AH,过点O作OJ⊥DE于J．证明S△DGH＝S△AEH,S△DGC＝S△ADH,可得结论．【解析】如图，连接DG,AH,过点O作OJ⊥DE于J．∵四边形EFGH是矩形，∴OH＝OF,EF＝GH,∠HEF＝90°,∵OJ⊥DE,∴∠OJH＝∠HEF＝90°,∴OJ∥EF,∵HO＝OF,∴HJ＝JE,∴EF＝GH＝2OJ,∵S△DHO=12•DH•OJ,S△DHG=12•DE•GH,∴S△DGH＝2S△DHO,同法可证S△AEH＝2S△AEO,∵S△DHO＝S△AEO,∴S△DGH＝S△AEH,∵S△DGC=12•CG•DH,S△ADH=12•DH•AE,CG＝AE,∴S△DGC＝S△ADH,∴S△DHC＝S△ADE,∴S1＝S2,故选：A．10．（2021•绍兴）数学兴趣小组同学从“中国结”的图案（图1）中发现，用相同的菱形纵向排列放置，可得到更多的菱形．如图2，用2个相同的菱形放置，得到3个菱形．下面说法正确的是（）A．用3个相同的菱形放置，最多能得到6个菱形B．用4个相同的菱形放置，最多能得到16个菱形C．用5个相同的菱形放置，最多能得到27个菱形D．用6个相同的菱形放置，最多能得到41个菱形【分析】根据题意画出图形，从图形中找到出现的菱形的个数即可．【解析】如图所示，用2个相同的菱形放置，最多能得到3个菱形；用3个相同的菱形放置，最多能得到8个菱形，用4个相同的菱形放置，最多能得到16个菱形，故选：B．11．（2020•湖州）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，流行于世界各地．由边长为2的正方形可以制作一副中国七巧板或一副日本七巧板，如图1所示．分别用这两副七巧板试拼如图2中的平行四边形或矩形，则这两个图形中，中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数分别是（）A．1和1B．1和2C．2和1D．2和2【分析】根据要求拼平行四边形矩形即可．【解析】中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数都是2，如图所示：故选：D．12．（2019•衢州）如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为2的正六边形．则原来的纸带宽为（）A．1B．√2C．√3D．2【分析】根据正六边形的性质，正六边形由6个边长为2的等边三角形组成，其中等边三角形的高为原来的纸带宽度，然后求出等边三角形的高即可．【解析】边长为2的正六边形由6个边长为2的等边三角形组成，其中等边三角形的高为原来的纸带宽度，所以原来的纸带宽度=√32×2=√3．故选：C ．13．（2019•台州）如图，有两张矩形纸片ABCD 和EFGH ，AB ＝EF ＝2cm ，BC ＝FG ＝8cm ．把纸片ABCD 交叉叠放在纸片EFGH 上，使重叠部分为平行四边形，且点D 与点G 重合．当两张纸片交叉所成的角α最小时，tan α等于（）A ．14B ．12C ．817D ．815【分析】由“ASA ”可证△CDM ≌△HDN ，可证MD ＝DN ，即可证四边形DNKM 是菱形，当点B 与点E 重合时，两张纸片交叉所成的角a 最小，可求CM =154，即可求tan α的值．【解析】如图，∵∠ADC ＝∠HDF ＝90°∴∠CDM ＝∠NDH ，且CD ＝DH ，∠H ＝∠C ＝90° ∴△CDM ≌△HDN （ASA ）∴MD ＝ND ，且四边形DNKM 是平行四边形 ∴四边形DNKM 是菱形 ∴KM ＝DM∵sin α＝sin ∠DMC =CDMD∴当点B 与点E 重合时，两张纸片交叉所成的角a 最小，设MD ＝a ＝BM ，则CM ＝8﹣a ， ∵MD 2＝CD 2+MC 2， ∴a 2＝4+（8﹣a ）2， ∴a =174 ∴CM =154∴tan α＝tan ∠DMC =CDMC =815 故选：D ．二．填空题（共10小题）14．（2021•台州）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＜BC ．分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧交于D ，E 两点，直线DE 交BC 于点F ，连接AF ．以点A 为圆心，AF 为半径画弧，交BC 延长线于点H ，连接AH ．若BC ＝3，则△AFH 的周长为 6 ．【分析】直接利用基本作图方法得出DE 垂直平分AB ,AF ＝AH ,再利用等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质得出AF +FC ＝BF +FC ＝AH +CH ＝BC ，即可得出答案．【解析】由基本作图方法得出：DE 垂直平分AB , 则AF ＝BF ,可得AF ＝AH ,AC ⊥FH , ∴FC ＝CH ,∴AF +FC ＝BF +FC ＝AH +CH ＝BC ＝3,∴△AFH 的周长为:AF +FC +CH +AH ＝2BC ＝6．故答案为：6．15．（2021•温州）图1是邻边长为2和6的矩形，它由三个小正方形组成，将其剪拼成不重叠、无缝隙的大正方形（如图2），则图1中所标注的d 的值为 6﹣2√3 ；记图1中小正方形的中心为点A ，B ，C ，图2中的对应点为点A ′，B ′，C ′．以大正方形的中心O 为圆心作圆，则当点A ′，B ′，C ′在圆内或圆上时，圆的最小面积为（16﹣8√3）π．【分析】如图，连接FW，由题意可知点A′，O，C′在线段FW上，连接OB′，B′C′，过点O作OH⊥B′C′于H．证明∠EGF＝30°，解直角三角形求出JK，OH，B′H，再求出OB′2，可得结论．【解析】如图，连接FW，由题意可知点A′，O，C′在线段FW上，连接OB′，B′C′，过点O作OH⊥B′C′于H．∵大正方形的面积＝12，∴FG＝GW＝2√3，∵EF＝WK＝2，∴在Rt△EFG中，tan∠EGF=EFFG=22√3=√33，∴∠EGF＝30°，∵JK∥FG，∴∠KJG＝∠EGF＝30°，∴d＝JK=√3GK=√3（2√3−2）＝6﹣2√3，∵OF＝OW=12FW=√6，C′W=√2，∴OC′=√6−√2，∵B′C′∥QW，B′C′＝2，∴∠OC′H＝∠FWQ＝45°，∴OH＝HC′=√3−1，∴HB′＝2﹣（√3−1）＝3−√3，∴OB′2＝OH2+B′H2＝（√3−1）2+（3−√3）2＝16﹣8√3，∵OA′＝OC′＜OB′，∴当点A′，B′，C′在圆内或圆上时，圆的最小面积为（16﹣8√3）π．故答案为：6﹣2√3，（16﹣8√3）π．16．（2021•宁波）如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，△BEC与△FEC关于直线EC对称，点B的对称点F在边AD上，G为CD中点，连结BG分别与CE，CF交于M，N两点．若BM＝BE，MG＝1，则BN的长为2，sin∠AFE的值为√2−1．【分析】连接BF，FM，由翻折及BM＝ME可得四边形BEFM为菱形，再由菱形对角线的性质可得BN＝BA．先证明△AEF≌△NMF得AE＝NM，再证明△FMN∽△CGN可得CGFM =GNNM,进而求解．【解析】∵BM＝BE，∴∠BEM＝∠BME，∵AB∥CD，∴∠BEM＝∠GCM，又∵∠BME＝∠GMC，∴∠GCM＝∠GMC，∴MG＝GC＝1，∵G为CD中点，∴CD＝AB＝2．连接BF,FM，由翻折可得∠FEM＝∠BEM，BE＝EF,∴BM＝EF，∵∠BEM＝∠BME，∴∠FEM＝∠BME，∴EF∥BM，∴四边形BEFM为平行四边形，∵BM＝BE，∴四边形BEFM为菱形，∵∠EBC＝∠EFC＝90°，EF∥BG，∴∠BNF＝90°，∵BF平分∠ABN，∴F A＝FN，∴Rt△ABF≌Rt△NBF(HL)，∴BN＝AB＝2．∵FE＝FM,F A＝FN，∠A＝∠BNF＝90°，∴Rt△AEF≌Rt△NMF(HL)，∴AE＝NM，设AE＝NM＝x，则BE＝FM＝2﹣x，NG＝MG﹣NM＝1﹣x，∵FM∥GC，∴△FMN∽△CGN，∴CGFM =GNNM,即12−x =1−xx,解得x＝2+√2(舍)或x＝2−√2，∴EF＝BE＝2﹣x=√2，∴sin∠AFE=AEEF=√2√2=√2−1．故答案为：2；√2−1．17．（2021•丽水）一个多边形过顶点剪去一个角后，所得多边形的内角和为720°，则原多边形的边数是6或7．【分析】首先求得内角和为720°的多边形的边数，过顶点剪去一个角后边数不变或减少1，即可确定原多边形的边数．【解析】设内角和为720°的多边形的边数是n，则（n﹣2）•180＝720，解得：n＝6．∵多边形过顶点截去一个角后边数不变或减少1，∴原多边形的边数为6或7，故答案为：6或7．18．（2021•湖州）为庆祝中国共产党建党100周年，某校用红色灯带制作了一个如图所示的正五角星（A，B，C，D，E是正五角星的五个顶点），则图中∠A的度数是36度．【分析】正五角星中，五边形FGHMN是正五边形，根据正多边形及邻补角的性质，即可求得∠AFN＝∠ANF＝72°，然后根据三角形的内角和定理可求得∠A的度数．【解析】如图，∵正五角星中，五边形FGHMN是正五边形，∴∠GFN＝∠FNM=(5−2)×180°5=108°，∴∠AFN＝∠ANF＝180°﹣∠GFN＝180°﹣108°＝72°，∴∠A＝180°﹣∠AFN﹣∠ANF＝180°﹣72°﹣72°＝36°．故答案是：36．19．（2020•绍兴）如图1，直角三角形纸片的一条直角边长为2，剪四块这样的直角三角形纸片，把它们按图2放入一个边长为3的正方形中（纸片在结合部分不重叠无缝隙），则图2中阴影部分面积为4√5．【分析】根据题意和图形，可以得到直角三角形的一条直角边的长和斜边的长，从而可以得到直角三角形的另一条直角边长，再根据图形，可知阴影部分的面积是四个直角三角形的面积，然后代入数据计算即可．【解析】由题意可得，直角三角形的斜边长为3，一条直角边长为2，故直角三角形的另一条直角边长为：√32−22=√5，故阴影部分的面积是：2×√52×4=4√5，故答案为：4√5．20．（2020•金华）如图，平移图形M ，与图形N 可以拼成一个平行四边形，则图中α的度数是 30 °．【分析】根据平行四边形的性质解答即可．【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠D +∠C ＝180°，∴∠α＝180°﹣（540°﹣70°﹣140°﹣180°）＝30°，故答案为：30．21．（2020•绍兴）将两条邻边长分别为√2，1的矩形纸片剪成四个等腰三角形纸片（无余纸片），各种剪法剪出的等腰三角形中，其中一个等腰三角形的腰长可以是下列数中的 ①②③④ （填序号）． ①√2，②1，③√2−1，④√32，⑤√3．【分析】首先作出图形，再根据矩形的性质和等腰三角形的判定即可求解．【解析】如图所示：则其中一个等腰三角形的腰长可以是①√2，②1，③√2−1，④√32，不可以是√3．故答案为：①②③④．22．（2019•温州）三个形状大小相同的菱形按如图所示方式摆放，已知∠AOB ＝∠AOE ＝90°，菱形的较短对角线长为2cm ．若点C 落在AH 的延长线上，则△ABE 的周长为（12+8√2） cm ．【分析】连接IC ，连接CH 交OI 于K ，则A ，H ，C 在同一直线上，CI ＝2，根据△COH 是等腰直角三角形，即可得到∠CKO ＝90°，即CK ⊥IO ，设CK ＝OK ＝x ，则CO ＝IO =√2x ，IK =√2x ﹣x ，根据勾股定理即可得出x 2＝2+√2，再根据S 菱形BCOI＝IO ×CK =12IC ×BO ，即可得出BO ＝2√2+2，进而得到△ABE 的周长．【解析】如图所示，连接IC ，连接CH 交OI 于K ，则A ，H ，C 在同一直线上，CI ＝2， ∵三个菱形全等，∴CO ＝HO ，∠AOH ＝∠BOC ，又∵∠AOB ＝∠AOH +∠BOH ＝90°， ∴∠COH ＝∠BOC +∠BOH ＝90°，即△COH是等腰直角三角形，∴∠HCO＝∠CHO＝45°＝∠HOG＝∠COK，∴∠CKO＝90°，即CK⊥IO，设CK＝OK＝x，则CO＝IO=√2x，IK=√2x﹣x，∵Rt△CIK中，（√2x﹣x）2+x2＝22，解得x2＝2+√2，又∵S菱形BCOI＝IO×CK=12IC×BO，∴√2x2=12×2×BO，∴BO＝2√2+2，∴BE＝2BO＝4√2+4，AB＝AE=√2BO＝4+2√2，∴△ABE的周长＝4√2+4+2（4+2√2）＝12+8√2，故答案为：12+8√2．23．（2020•台州）如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F 沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是6．【分析】根据三等分点的定义可求EF的长，再根据等边三角形的判定与性质即可求解．【解析】∵等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点，∴EF＝2，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，又∵DE∥AB，DF∥AC，∴∠DEF＝∠B＝60°，∠DFE＝∠C＝60°，∴△DEF是等边三角形，∴剪下的△DEF的周长是2×3＝6．故答案为：6．三．解答题（共10小题）24．（2021•衢州）如图，在6×6的网格中，△ABC的三个顶点都在格点上．（1）在图1中画出△ACD，使△ACD与△ACB全等，顶点D在格点上．（2）在图2中过点B画出平分△ABC面积的直线l．【分析】（1）构造平行四边形ABCD，可得结论．（2）取线段AC与网格线的交点T，作直线BT即可．【解析】（1）如图1中，△ADC即为所求．（2）如图2中，直线BT即为所求．25．（2021•宁波）如图是由边长为1的小正方形构成的6×4的网格，点A，B均在格点上．（1）在图1中画出以AB为边且周长为无理数的▱ABCD，且点C和点D均在格点上（画出一个即可）．（2）在图2中画出以AB为对角线的正方形AEBF，且点E和点F均在格点上．【分析】（1）根据平行四边形的定义以及题目条件画出图形即可．（2）根据正方形的定义画出图形即可．【解析】（1）如图1中，四边形ABCD即为所求（答案不唯一）．（2）如图2中，四边形AEBF即为所求．26．（2021•嘉兴）如图，在7×7的正方形网格中，网格线的交点称为格点，点A，B在格点上，每一个小正方形的边长为1．（1）以AB为边画菱形，使菱形的其余两个顶点都在格点上（画出一个即可）．（2）计算你所画菱形的面积．【分析】（1）先以AB为边画出一个等腰三角形，再作对称即可；（2）根据菱形的面积等于对角线乘积的一半可求得．【解析】（1）如下图所示：四边形ABCD即为所画菱形，（答案不唯一，画出一个即可）．（2）图1菱形面积S=12×2×6＝6，图2菱形面积S=12×2√2×4√2=8，图3菱形面积S＝（√10）2＝10．27．（2020•衢州）如图，在5×5的网格中，△ABC的三个顶点都在格点上．（1）在图1中画出一个以AB为边的▱ABDE，使顶点D，E在格点上．（2）在图2中画出一条恰好平分△ABC周长的直线l（至少经过两个格点）．【分析】（1）根据平行四边形的定义画出图形即可（答案不唯一）．（2）利用数形结合的思想解决问题即可．【解析】（1）如图平行四边形ABDE即为所求（点D的位置还有6种情形可取）．（2）如图，直线l即为所求．28．（2020•温州）如图，在6×4的方格纸ABCD中，请按要求画格点线段（端点在格点上），且线段的端点均不与点A，B，C，D重合．（1）在图1中画格点线段EF，GH各一条，使点E，F，G，H分别落在边AB，BC，CD，DA上，且EF＝GH，EF不平行GH．（2）在图2中画格点线段MN，PQ各一条，使点M，N，P，Q分别落在边AB，BC，CD，DA上，且PQ=√5MN．【分析】（1）根据点E，F，G，H分别落在边AB，BC，CD，DA上，且EF＝GH，EF不平行GH，画出线段即可；（2）根据使点M，N，P，Q分别落在边AB，BC，CD，DA上，且PQ=√5MN．画出线段即可．【解析】（1）如图1，线段EF和线段GH即为所求；（2）如图2，线段MN和线段PQ即为所求．29．（2019•舟山）在6×6的方格纸中，点A，B，C都在格点上，按要求画图：（1）在图1中找一个格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形．（2）在图2中仅用无刻度的直尺，把线段AB三等分（保留画图痕迹，不写画法）．【分析】（1）由勾股定理得：CD＝AB＝CD'=√5，BD＝AC＝BD''=√13，AD'＝BC＝AD''=√10；画出图形即可；（2）根据平行线分线段成比例定理画出图形即可．【解析】（1）由勾股定理得：CD＝AB＝CD'=√5，BD＝AC＝BD''=√13，AD'＝BC＝AD''=√10；画出图形如图1所示；（2）如图2所示．30．（2019•温州）如图，在7×5的方格纸ABCD中，请按要求画图，且所画格点三角形与格点四边形的顶点均不与点A，B，C，D重合．（1）在图1中画一个格点△EFG，使点E，F，G分别落在边AB，BC，CD上，且∠EFG＝90°．（2）在图2中画一个格点四边形MNPQ，使点M，N，P，Q分别落在边AB，BC，CD，DA上，且MP＝NQ．【分析】（1）利用数形结合的思想构造全等三角形或等腰直角三角形解决问题即可．（2）如图3中，构造矩形即可解决问题．如图4中，构造MP＝NQ＝5√2即可．【解析】（1）满足条件的△EFG，如图1，2所示．（2）满足条件的四边形MNPQ如图所示．31．（2019•衢州）如图，在4×4的方格子中，△ABC的三个顶点都在格点上．（1）在图1中画出线段CD，使CD⊥CB，其中D是格点．（2）在图2中画出平行四边形ABEC，其中E是格点．【分析】（1）利用数形结合的思想解决问题即可．（2）根据平行四边形的判定即可解决问题．【解析】（1）线段CD即为所求．（2）平行四边形ABEC即为所求．32．（2019•金华）如图，在7×6的方格中，△ABC的顶点均在格点上．试按要求画出线段EF（E，F均为格点），各画出一条即可．【分析】图1，从图中可得到AC边的中点在格点上设为E，过E作AB的平行线即可在格点上找到F；图2，EC=√5，EF=√5，FC=√10，借助勾股定理确定F点；图3，根据格点特征，利用垂直平分线的判定画出图形即可．【解析】如图：33．（2019•宁波）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点．求证：四边形ABEF是邻余四边形．（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB 是邻余线，E，F在格点上．（3）如图3，在（1）的条件下，取EF中点M，连接DM并延长交AB于点Q，延长EF交AC于点N．若N为AC的中点，DE＝2BE，QB＝3，求邻余线AB的长．【分析】（1）AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，又AD⊥BC，则∠ADB＝90°，则∠F AB与∠EBA互余，即可求解；（2）如图所示（答案不唯一），四边形AFEB为所求；（3）证明△DBQ∽△ECN，即可求解．【解析】（1）∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠DBA＝90°，∠F AB与∠EBA互余，∴四边形ABEF是邻余四边形；（2）如图所示（答案不唯一），四边形AFEB为所求；（3）∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴BD ＝CD ， ∵DE ＝2BE ， ∴BD ＝CD ＝3BE ， ∴CE ＝CD +DE ＝5BE ，∵∠EDF ＝90°，点M 是EF 的中点， ∴DM ＝ME ， ∴∠MDE ＝∠MED ， ∵AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠C ， ∴△DBQ ∽△ECN ， ∴QB NC=BD CE=35，∵QB ＝3， ∴NC ＝5， ∵AN ＝CN ， ∴AC ＝2CN ＝10， ∴AB ＝AC ＝10．。

用拼图理解乘法公式

baba b abaa用拼图理解乘法公式初中生对符号的抽象性把握不够，乘法公式只能凭法则加以推算，学生对法则的将信将疑无以验证，拼图的出现无疑是一场及时雨，不仅可以使学生头脑中的疑雾顿散，而充分体现、渗透了数形结合的数学思想。

请看下面几例：一、用拼图理解公式的几何意义理解1 将边长为a 的正方形纸片的剪出一个边是为b （b ＜a ＝的正方形，再将阴影部分剪一刀，拼成一个矩形或梯形。

（1）你能完成拼图吗？（2）根据前后两个图形阴影面积关系，你能发现什么结论？∴22()()a b a b a b +-=-或22()()a b a b a b -=+-理解2 将边长分别a 、b 的两个正方形和长宽为a 、b 的两个全等矩形拼成一个正方形。

（1）怎样拼？（2）用不同形式表示拼成正方形面积，你觉得以此可验证什么公式？分而算之：222S a b ab =++正总而算之：2()S a b =+正∴222()2a b a b ab +=++理解3 将大小相同的4块长、宽分别为a 、b （a ＞b ）长方形纸片拼成如图形状，从中你能发现（a ＋b ）2与（a －b ）2关系吗？事实上，大正方形边长为a ＋b ，小正方形边长为a －b ， ∴大正方形面积 =（a ＋b ）2，小正方形面积 =（a －b ）2∴（a ＋b ）2 = （a －b ）2＋4ab ，或者（a ＋b ）2 －4ab = （a －b ）或者（a ＋b ）2 －（a －b ）2=4ab二、典例剖析例1在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形（a ＞b ），再沿虚线剪开,如图1（1），然后拼成一个梯形，如图1（2），根据这两个图形的面积关系，表明下列式子成a丙乙ba-b甲22S a b=-阴()()S a b a b =+-阴1(22)()()()2S a b a b a b a b =+-=+-阴立的是（）.A.（a+b）（a-b）＝a2-b2B.（a+b）2=a2+2ab+b2C.（a-b）2=a2-2ab+b2D.a2-b2=（a-b）2分析：从这个题目的条件中可以看出，把图1（1）图形经过剪切成为第图1（2）图形，得到一个等腰梯形，它的面积为（上底+下底）×高÷2，上底为2b，下底为2a，高为a-b，所以面积为：（2b+2a）（a-b）÷2＝a2-b2，所以答案为：Ａ.解：Ａ.点评：利用割补图形和乘法公式来验证图形的面积，要求同学们有较强思维意识和对一些特殊图形面积公式的充分掌握.本题的关键是计算梯形面积.例2如图2（1），阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形的面积，即＿＿＿＿＿.若把小长方形Ⅲ旋转到小长方形Ⅳ的位置，则此时的阴影部分的面积又可以看成SⅠ+SⅢ＝SⅠ+SⅣ＝（a+b）（a－b）.从而验证了平方差公式：＿＿＿＿＿.如图2（2），大正方形的面积可以表示为＿＿＿＿，也可以表示为S＝SⅠ+ SⅡ+ SⅢ+SⅣ，同时S＝＿＿＿＿，.从而验证了完全平方公式：＿＿＿＿＿.分析：本题考查利用图形解释平方差和完全平方公式，体现数形几何思想。

中考数学中的三角拼板问题突破与提升策略(共15张PPT)

三.三角拼板中的多解问题
练习反馈 1.用一副三角尺，能够组合成的角度有哪些？这些角度有什么
共同特点？
综上所述，∠ACE=120°，75°，30°。
三.三角拼板中的多解问题
练习反馈 1.用一副三角尺，能够组合成的角度有哪些？这些角度有什么
共同特Hale Waihona Puke ？这些角度都是15°的整数倍.
练习反馈 1.如图,AB⊥CD,且AB=CD,E、F是AD上两点,CE⊥AD,BF⊥AD.若CE=a,BF=b,EF=c, 则AD的长为( ) A.a+c B.b+c C.a-b+c D.a+b-c
三角拼板中的长度问题
例1.小明将一副三角板的两个直角顶点C按如图的方式叠放在一起，当∠ACE<180°且点E在直线 AC的上方时，问∠ACE等于多少度时，三角板 BCE有一条边与斜边AD平行？
(3)当BC∥AD时 ∠BCA=∠A=60° ∴∠ACE=∠BCE－∠ACB=30°
三.三角拼板中的多解问题
例1.小明将一副三角板的两个直角顶点C按如图的方式叠放在一起，当∠ACE<180°且点E在直线AC的上方时，问∠ACE等于多少度时，三角板BCE有一条边与斜边AD平行？
综上所述，∠ACE=120°，75°，30°。
分析：将三角板BCE绕点C顺时针旋转，三角板BCE的三条边都会在某个时刻与斜边AD 平行，所以分三种情况求出 ∠ACE就解决了。
三.三角拼板中的多解问题
例1.小明将一副三角板的两个直角顶点C按如图的方式叠放在一起，当∠ACE<180°且点E在直线 AC的上方时，问∠ACE等于多少度时，三角板 BCE有一条边与斜边AD平行？

中考数学复习题型四《图形的折叠与剪拼》解析

中考数学复习题型四《图形的折叠与剪拼》分析题型四图形的折叠与剪拼例 1（ 2016 中考）如图，△ ABC中，∠ A=78°， AB=4，AC=6.将△ ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的暗影三角形与原三角形不相像的是（）．．．例 1 图【答案】 C.【分析】试题剖析：只需三个角相等，或许一角相等，两边成比率即可。

选项C项不可以判断两个三角形相像，故答案选 C考点：相像三角形的判断.例 2（河北）如图，将长为2、宽为 1 的矩形纸片切割成n 个三角形后，拼成面积为 2 的正方形，则 n≠（）A．2B．3C． 4 D． 5考点：图形的剪拼剖析：利用矩形的性质以及正方形的性质，联合勾股定理得出切割方法即可．解答：解：如下图：将长为2、宽为 1 的矩形纸片切割成n 个三角形后，拼成面积为2的正方形，则 n 能够为： 3，4，5，故 n≠ 2．应选： A．1．(2016 保定高阳县一模 ) 如下图，将正方形纸片三次对折后，沿图中 AB线剪掉一个等腰直角三角形，睁开摊平获得的图形是( )2．(2016 定州二模 ) 如图，在矩形纸片 ABCD中， AB＝ 4， BC＝8，将纸片沿 EF折叠，使点 C 与点 A 重合，则以下结论错误的选项是 ( )A ．AF＝AE B．△ABE≌△ AGF C ．EF＝2 5D．AF＝EF3．(2016 唐山开平区模拟 ) 将一张宽为 4 cm的长方形纸片 ( 足够长 ) 折叠成如下图图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是( )82 2 162 2A. 3 3 cm B ． 8 cmC. 3 3 cm D．16 cm4．(2016 唐山滦南县模拟 ) 将一个无盖正方体纸盒睁开( 如图 1) ，沿虚线剪开，用获得的 5 张纸片 ( 此中 4 张是全等的直角三角形纸片 ) 拼成一个正方形 ( 如图 2) ，则所剪得的直角三角形较短的与较长的直角边的比是 ( )1 12 4A. 2B. 3C. 3D. 55．(2016 河北模拟 ) 如图，在边长为 2a 的正方形中央剪去一个边长为(a ＋2) 的小正方形(a ＞2) ，将节余部分剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为( )A ．a2＋ 4B．2a2＋4a C．3a2－4a－4D．4a2－a－26．(2016 河北模拟 ) 如图，在矩形 ABCD中， AB＝8，BC＝12，点 E 是 BC的中点，连结AE，将△ ABE沿 AE折叠，点 B 落在点 F 处，连结 FC，则 sin ∠ECF＝( )3 4 4 3A. 4B. 5C. 3D. 57．(2016 邢台模拟 ) 如下图，假如将矩形纸沿虚线①对折后，沿虚线②剪开，剪出一个直角三角形，睁开后获得一个等腰三角形，则睁开后三角形的周长是( )A ．2＋10B．2＋210C．12D．188．(2016 石家庄第四十二中学模拟) 如图，将矩形ABCD对折，得折痕PQ，再沿MN翻折，使点 C 恰巧落在折痕 PQ上的点 C′处，点 D 落在 D′处，此中 M是 BC的中点，连结AC′， BC′，则图中共有等腰三角形的个数是 ( )A．1B．2C．3D．49．(2016 唐山玉田县模拟 ) 如图，在△ ABC中，∠ C＝90 °，BC＝6，D，E 分别在 AB，AC 上，将△ ABC沿 DE折叠，使点 A 落在点 A′处，若 A′为 CE的中点，则折痕 DE的长为．10．(2016 石家庄模拟 ) 如图，若将左侧的正方形剪成两个直角三角形和两个四边形后，恰巧能拼成右侧的矩形．设a＝2，则正方形的边长为．答案： 1. A 2.D 3.B 4.A 5.C 6.B 7.B 8.C 9.2 10. 5＋3。

中考数学中的图形折叠拼接问题分析试题

中考数学中的图形折叠拼接问题分析2021年中考题中很多地方出现了图形折叠、拼接问题，它考察了学生的动手操作与空间想象才能，培养了学生的创新精神和理论才能，已成为中考的一个热点之一。

下面我们一起研究一下。

一、平面展开图与折叠例1、〔2021〕年图1是正方体的一个平面展开图，假如折叠成原来的正方体时与边a重合的是〔〕〔A〕d〔B〕e〔C〕f〔D〕i答案：A 此题考察了学生的空间想象才能。

二、对折例2、〔2021年〕现有一张长和宽之比为2：1的长方形纸片，将它折两次〔第一次折后也可翻开铺平再折第二次〕，使得折痕将纸片分为面积相等且不重叠的四个局部〔称为一次操作〕，如图甲〔虚线表示折痕〕．除图甲外，请你再给出三种不同的．．．操作，分别将折痕画在图①至图③中〔规定：一个操作得到的四个图形，和另一个操作得到的四个图形，假如可以“配对〞得到四组全等的图形，那么就认为是一样的操作，如图乙和图甲示一样的操作〕．〔甲〕〔乙〕①②③解析:三、按要求拼接此题考察了学生动手操作与创新的才能，学生必须转换角度，调整思路，灵敏处理变化了的新问题。

三、拼接例3、〔海淀区2021年〕以下矩形中，按虚线剪开后，既能拼出平行四边形和梯形，又能拼出三角形的是图形.________ 〔请填图形下面的代号〕。

答案：②此题假设学生把矩形纸按实际要求操作一下，答案很容易得到，但只凭想象答案很有可能出现多项选择情况。

四、沿某一条直线对折出的复杂题型例4、〔2OO6年〕矩形纸片ABCD，AB=2，AD=1，将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合.(1)假如折痕FG分别与AD、AB交与点F、G(如图1)，23AF ，求DE的长；(2)假如折痕FG分别与CD、AB交与点F、G(如图2)，△AED的外接圆与直线BC相切，求折痕FG的长．解：⑴在矩形ABCD 中，AB=2,AD=1AF=23,∠D=900.根据轴对称的性质得：EF=AF=23，∵DF=AD-AF=13，在RT △DEF 中DE=223-=21（）（）33。

深度剖析中考数学高频折叠图形问题规律，了解为什么这样考

深度剖析中考数学高频折叠图形问题规律，了解为什么这样考在上一篇文章中我通过归纳汇总了中考里一定会出现的五大类型题，但并不齐全，近年中考还有一种类型题经常出现，那就是图形折叠问题。

而至于这种类型题为啥会成为中考的高频题目，跟随我的思路来给你慢慢分析。

折叠型问题是近年中考的热点问题，通常题目是把某个图形按照给定的条件折叠，通过折叠前后图形变换的相互关系来命题。

折叠型问题立意新颖，变幻巧妙，对培养学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力非常有效。

下面我们一起来探究这种题型的解法。

折叠的规律是：折叠部分的图形，折叠前后，关于折痕成轴对称，两图形全等。

折叠图形问题常用知识点：全等三角形、相似三角形，勾股定理等性质。

由以上分析可见折叠型问题成为热点主要原因是：1、变化多，有新意，不重复。

2、可考察同学们对多个知识点的掌握情况。

3、可激发同学们的发散思维，不止一种解题思路。

下面通过一道简单例题和中考出现过得题目来分析，教会一般同学如何根据题目意思形成自己的解题思路。

案例一：利用三角形全等、勾股定理、方程思想解题解题分析：利用折叠造成的三角形全等补充已知条件，题目由△ADE≌△AFE可得AD=AF=10、DE=EF,题目的条件一下子就多了起来，再利用矩形直角用勾股定理解题就是轻而易举的事情。

案例二：两份折叠，一份思路，长度不变（选自惠州2017年中考数学16题）题目分析：此题目看起来虽长但是并复杂和难，但这样长的题目常常会让许多同学望而却步，被题目绕晕。

但这个题目同样是利用折叠的规律由△ADF≌△AEF、△FHG≌△FCG得AD=AE=3、FH=FC=5-3=2,EH=3-2=1,再利用勾股定理就能求出AH的长度。

折叠型的题目往往有很长的题目描述，因为题目需要严谨的描述图形的折叠过程，特别是多个折叠图形时更是。

并且得出的折叠的图形也会有好几个，但是我们往往只需要看折叠成型的图形，找到折叠相等的线段就会有更多的已知条件帮助解题，并且常常是用到勾股定理来求得最后的答案。

初中数学图形拼图教案及反思

初中数学图形拼图教案及反思教案标题：初中数学图形拼图教案及反思教案目标：1. 学生能够通过图形拼图游戏的方式巩固对初中数学图形的认知和理解。

2. 学生能够运用所学的数学知识解决图形拼图问题。

3. 学生能够培养观察力、逻辑思维和解决问题的能力。

教学准备：1. 图形拼图游戏素材：包括各种不同形状的图形拼图，如正方形、长方形、三角形、圆形等。

2. 教学投影仪或白板。

3. 学生练习纸和铅笔。

教学过程：1. 导入（5分钟）：- 引入图形拼图游戏的概念，解释图形拼图游戏的目的和好处。

- 引导学生回顾已学的数学图形知识，例如正方形、长方形、三角形、圆形等。

2. 示范与解释（10分钟）：- 在投影仪或白板上展示一个简单的图形拼图问题，并解释如何解决该问题。

- 强调使用数学知识和逻辑思维来解决图形拼图问题的重要性。

3. 练习与合作（20分钟）：- 将学生分成小组，每个小组分发一些图形拼图素材和练习纸。

- 学生在小组内合作解决图形拼图问题，鼓励他们讨论和分享解决方法。

- 教师巡视并提供必要的指导和帮助。

4. 结果展示与总结（10分钟）：- 邀请每个小组选择一个图形拼图问题进行展示，并分享他们的解决方法。

- 引导学生总结解决图形拼图问题的关键思路和方法。

5. 反思（5分钟）：- 引导学生回顾整个教学过程，让他们思考自己在图形拼图问题中的收获和困惑之处。

- 鼓励学生提出问题和意见，教师进行解答和指导。

教案反思：本节课的教学方法采用了图形拼图游戏的形式，通过实际操作和合作解决问题的方式，培养了学生的观察力、逻辑思维和解决问题的能力。

学生在小组内进行了积极的讨论和合作，提高了他们的团队合作和沟通能力。

然而，教师在课堂管理方面需要更加灵活和高效，确保每个学生都能参与到活动中，并及时给予指导和帮助。

此外，在设计图形拼图问题时，需要根据学生的实际水平和能力进行调整，确保问题的难度适中，既能够挑战学生，又不会让他们感到过于困惑。

2021年中考数学重难点复习：图形的分割与拼接(附答案解析)

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2021年中考数学重难点复习：《图形的分割与拼接》
破解策略
把一个几何图形按某种要求分成几个图形，就叫做图形的分割；反过来，按一定的要求也可以把几个图形拼接成一个完美的图形，就叫做图形的拼接．通常，我们会将一个或多个图形先分割，再拼接成一种指定的图形．
常见的图形的分割与拼接有：
1．三角形分割成两个等腰三角形
（1）已知：Rt△ABC ，∠BAC ＝90°．
作法：取斜边BC 的中点D ，连结A D ．
结论：△DAB 和△DAC 是等腰三角形．
D A
B C
（2）已知：△ABC ，∠BAC ≥∠B ，∠C ＝2∠B ．
作法：在边BC 上作一点D ，使得点D 在AB 的垂直平分线上，连结A D ．
结论：△DAB 和△DAC 是等腰三角形．
D C
B A
（3）已知：△ABC ，∠ACB ＝3∠B．
作法：在边AB 上作一点D ，使得点D 在BC 的垂直平分线上，连结C D ．
结论：△DBC 和△CAD 是等腰三角形．
A
B D
C
2．三角形分割成多个等腰三角形
（1）已知：任意等腰△ABC ，AB ＝A C ．
①作法：一条垂线＋两条斜边中线．
结论：△EAD ，△FAD ，△EBD ，△FCD 均为等腰三角形．。

2020中考数学图形折叠与拼接问题（含答案）

2020中考数学图形折叠与拼接问题（含答案）2020中考数学⼏何培优之图形折叠与拼接问题（含答案）【例1】如图，矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4，将矩形沿AC 折叠，点D 落在D '处，则重叠部分△AFC 的⾯积为＿＿＿＿＿.例1题图例2题图【例2】如图，直线26y x =-+ 与x 轴，y 轴分别交于P ，Q 两点，把△POQ 沿PQ 翻折，点O 落在R 处，则点R 的坐标是（）A .2412(,)55B .（2,1）C .（6,3）D .（7，3.5）【例3】如图，将边长为12cm 的正⽅形ABCD 折叠，使得A 点落在CD 边上点E 处，然后压平折痕FG ，若FG ＝13cm ，求CE 长.【例4】将⼀矩形纸⽚OABC 放在平⾯直⾓坐标系中，(00)O ，，(60)A ，，(03)C ，．动点Q 从点O 出发以每秒1个单位长的速度沿OC 向终点C 运动，运动23秒时，动点P 从点A 出发以相等的速度沿AO 向终点O 运动．当其中⼀点到达终点时，另⼀点也停⽌运动．设点P 的运动时间A（1）⽤含t 的代数式表⽰OP OQ ，；（2）当1t 时，如图1，将OPQ △沿PQ 翻折，点O 恰好落在CB 边上的点D 处，求点D 的坐标；（3）连结AC ，将OPQ △沿PQ 翻折，得到EPQ △，如图2．问：PQ 与AC 能否平⾏？PE 与AC 能否垂直？若能，求出相应的t 值；若不能，说明理由．【例5】⽤10个边长分别为3，5，6，11，17，19，22，23，24，25的正⽅形，可以拼接⼀个长⽅形.（1）求这个长⽅形的长和宽；（2）请画出拼接图.【例6】将正⽅形纸⽚ABCD 折叠，使顶点A 与CD 边上的点M 重合，折痕交AD 于E ，交BC 于F ，边AB 折叠后与BC 交于点G.（1）如果M 为CD 边的中点，求证：DE ：DM ：EM ＝3：4：5；（2）如果M 为CD 边上的任意⼀点，设AB ＝2a ，问△CMG 的周长是否有与点M 的位置关系？若有关，请把△CMG 的周长⽤含CM 的长x 的代数式表⽰；若⽆关，请说明理由．图1能⼒训练1、如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，若将矩形折叠，使B点与D点重合，则折痕EF的长为＿＿＿cm.2、如图，矩形ABCD中，AB＝12，AD＝10，将此矩形折叠使B点落在AD边上的中点E处，则折痕FG的长为_________.第1题图第2题图第3题图3、如图是⽤12个全等的等腰梯形镶嵌成的图形，这个等腰梯形的上底与下底长的⽐是_____.4、如图，EF为正⽅形纸ABCD的对折线，将∠A沿DK折叠，使它的顶点A落在EF上的G 点，则∠DKG＝_______度.5、如图，已知等边△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使80，则∠EGC的度数点B落在点B′处，DB′，EB′分别交边AC于点F，G，若∠ADF＝0为________.第4题图第5题图第6题图6、将⼀张长为70cm的长⽅形纸⽚ABCD沿对称轴EF折叠成如图的形状，若折叠后，AB与CD间的距离为60cm，则原纸⽚的宽AB是______cm.7、如图，在矩形纸⽚ABCD 中，已知AD ＝8，折叠纸⽚使AB 边与对⾓线AC 重合，点B 落在F 处，折痕为AE ，且EF ＝3，则AB 的长为( )A .3B .4C .5D .68、如图，在△ABC 中，∠C ＝900，BC ＝6，D ，E 分别在AB ，AC 上，将△ABC 沿DE 折叠，使点A 落在点A ′处，若A ′为CE 的中点，则折痕DE 的长为 ( )A .B 、2C 、3D 、4第7题图第8题图第9题图9、如图，有⼀块菱形的草地，要在其上⾯修筑两条笔直的道路，道路把这块草地分成⾯积相等的四部分，如果道路的宽度可以忽略不计，请你设计三种不同的⽅案. 10、如图，折叠矩形纸⽚ABCD ，先折出折痕(对⾓线)BD ，再折叠使AD 边与对⾓线BD 重合，得折线DG ，若AB ＝2，BC ＝1，求AG.11、如图，折叠矩形ABCD 的⼀边AD ，使点D 落在BC 边上的点F处，已知折痕3.4EC AE FC == ，求矩形ABCD 的周长.EA12、如图1，⼀张矩形纸⽚ABCD，其中AD＝8cm，AB＝6cm，先沿对⾓线BD对折，点C落在点C′处的位置，BC′交AD于点(1) 求证：AG＝G(2) 如图2，再折叠⼀次，使点D与点A重合，得折痕EN，EN交AD于点M，求EM的长.B级1、如图，⼀张宽为3，长为4的矩形纸⽚ABCD，先沿对⾓线BD对折，点C落在C′的位置，BC′交AD于G，再折叠⼀次使D点与A点重合，得折痕EN，EN交AD于点M，则ME 的长为__________.2、如图，矩形纸⽚ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm，现将A，C重合，使纸⽚折叠压平，设折痕为EF，则重叠部分△AFE的⾯积为_________.第1题图第2题图第3题图3、如图，矩形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，若AD＝8，AB＝4，则DE的长为________.4、如图，把矩形纸⽚OABC放⼊平⾯直⾓坐标系中，使OA，OC分别落在x轴上，y轴上，连结AC，将矩形纸⽚OABC沿AC 折叠，使点B落在点D的位置，若B(1，2)，则点D的横坐标是______.5、如图，在平⾯直⾓坐标系中，已知直线334y x=-+与x轴，y轴分别交于A，B两点，第4题图第5题图第6题图6、如图，矩形纸⽚ABCD，AB＝5cm，BC＝10cm，CD上有⼀点E，ED＝2cm，AD上有⼀点P，PD＝3cm，过P作PF⊥AD 交BC于F，将纸⽚折叠，使P点与E点重合，折痕与PF交于Q点，则PQ的长是_____cm.7、在三⾓形纸⽚ABC中，已知∠ABC＝900，AB＝6，BC＝8，过点A作直线l平⾏于BC，折叠三⾓形纸⽚ABC，使直⾓顶点B落在直线上的T处，折痕为MN，当点T在直线l上移动时，折痕的端点M，N也随之移动，若限定端点M，N分别在AB，BC边上移动，则线段AT 长度的最⼤值与最⼩值之和为__________(计算结果不取近似值)8、如图，矩形纸⽚ABCD中，AB＝8，将纸⽚折叠，使顶点B落在边AD上的E点处，BG＝10.（1）当折痕的另⼀端F在AB边上时，如图．求△EFG的⾯积；（2）当折痕的另⼀端F在AD边上时，如图．证明四边形BGEF为菱形，并求出折痕GF 的长.9、如图，已知三⾓形纸⽚ABC的⾯积为25，BC的长为10，∠B，∠C都为锐⾓，M是AB 边上的⼀动点(M与A，B不重合)，过点M作MN∥BC交AC于点N，设MN＝x.(1）⽤x表⽰△AMN的⾯积；（2）△AMN沿MN折叠，使△AMN紧贴四边形BCNM（边AM、AN落在四边形BCNM 所在的平⾯内），设点A落在平⾯BCNM 内的点A′，△A′MN与四边形BCNM重叠部分的⾯积为y．①⽤含x的代数式表⽰y，并写出x的取值范围．10、如图：⼀正⽅形纸⽚，根据要求进⾏多次分割，把它分割成若⼲个直⾓三⾓形．具体操作过程如下：第⼀次分割：将正⽅形纸⽚分成4个全等的直⾓三⾓形；第⼆次分割：将上次得到的直⾓三⾓形中的⼀个再分成4个全等的直⾓三⾓形；以后按第⼆次分割的⽅法重复进⾏．（1）请你设计出两种符合题意的分割⽅案（分割3次）；（2）设正⽅形的边长为a，请你通过对其中⼀种⽅案的操作和观察，将第⼆、第三次分割后所得的最⼩的直⾓三⾓形的⾯积S 填⼊下表：（3）在条件（2）下，请你猜想：分割所得的最⼩直⾓三⾓形⾯积S 与分割次数n 有什么关系？⽤数学表达式表⽰出来．11、如图1，将边长为4cm 的正⽅形纸⽚ABCD 沿EF 折叠(点E ，F 分别在边AB ，CD 上)，使点B 落在AD 边上的点M 处，点C 落在点N 处，MN 与CD 交于点P ，连结EP .(1)如图②，若M 为AD 边的中点，①△AEM 的周长＝_________cm ；②求证：EP ＝AE ＋DP ；（2）随着落点M 在AD 边上取遍所有的位置（点M 不与A 、D 重合），△PDM 的周长是否发⽣变化？请说明理由.12、如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝1，点P 在线段AB 上运动，设AP ＝x ，现将纸⽚折叠，使点D 与点P 重合，得折痕EF (点E ，F 为折痕与矩形边的交点)，再将纸⽚还原.（1）当0 x 时，折痕EF 的长为________；（2）写出使四边形EPFD 为菱形的x 的取值范围，并求出当x ＝2时菱形的边长；（3）令2EF ＝y ，当点E 在AD 上、点F 在BC 上时，写出y 与x 的函数关系式（写出x的取值范围），当y 取最⼤值时，判断△EAP 与△PBF 是否相似．若相似，求出x 的值；若不相似，请说明理由.参考答案例1 10例2 A 提⽰：作RE ⊥y 轴于E ，RF ⊥x 轴于F ，则Rt △QRE ∽Rt △PRF ，从⽽PFQERF RE PR QR ==，设R (x ，y )，⼜PR ＝OP ＝3，QR ＝OQ ＝6，于是3636--==x y y x ，得x ＝524，y ＝512．例3 7 提⽰：过F 作FM ⊥BC 于M ，证明△FGM ≌△ADE ，则FG ＝AE ＝13，DE ＝5 例4 （1）OP ＝6－t ，OQ ＝t ＋32（2）D (1，3) （3）①PQ 能与AC 平⾏，若PQ ∥AC ，则OC OA OQ OP =，即326+-t t ＝36．得t ＝914，⽽0≤t ≤37，∴t ＝914．②PE 不能与AC 垂直．若PE ⊥AC ，延长QE 交OA 于F ，则OC OQ AC QF =，即33253+=t QF，QF ＝5(t ＋32)．∴EF ＝QF －QE ＝QF －OQ ＝5(t ＋32)－(t ＋32)＝(5－1)t ＋32(5－1)．⼜Rt △EPF ∽Rt △OCA ，∴OA OC EF PE =，即63)32)(15(6=+--t t ，t ≈3.45，⽽0≤t ≤37，∴t 不存在．例5 （1）10个正⽅形的⾯积和：32＋52＋62＋112＋172＋192＋222＋232＋242＋252＝3055＝5×13×47．因为所拼成的长⽅形⾯积是3055．长⽅形的宽显然≥25，所以它的宽应当是47，长应当是5×13＝65．（2）注意23+24=47,25+22=47,23+17+25=65,24+19+22=65.由此便可得拼图.（图略）例6 提⽰：（1）证明：设正⽅形边长为a ，DE 为x ，则DM =（2）设DE=y，则DM=2a-x，EM=2a-y，可证明△DEM∽△CMG.△周长△周长==△CMG的周长△周长，在△DEM中，由勾股定理得（2）2=2+（2）2，化简得4ay=x（4a-x）即. ∴△CMG的周长=44（y+2a-x+2a-y）=（4a-x）=4a，为定值.A级1. 2.656 3.1:2 4.75° 5.80° 6.10 提⽰：长⽅形纸⽚折叠时，AB与CD间的距离缩短了10cm。

例说“拼图法”在初中数学解题中的应用

拼在一起（拼成一个直角梯形），利用图形面积之间的关系一样的长方形按照图5所示的方式拼在一起，正好拼成
可得 1（a+b）2=2伊 1 ab+ 1 c2，整理得a2+b2=c2；还可以将四
2
22
一个大正方形，这个大正方形的边长正好是长方形的长与宽的和，它的中间是一个小正方形，其边长正好是
个全等的直角三角形按照图2所示的 D
我们没有学习正弦定理，因此需要另想他法 . 一个好的
牛刀小试院如图8，在Rt吟A BC和Rt吟DEF中，蚁C= 蚁F=90毅，A C=3cm，BC=4cm，DE=3cm，EF=2cm.求sin（蚁E蚁B）的值.
C
B
A
E
2 1
A
D
C
图7
D
BF
E
图8
三尧证明几何命题
我们知道，满足“ 两边及其中一边的对角对应相等
的两个三角形 ”不一定全等，但是在某些特殊情况下全
a
aa
c b
a
那么什么是“拼图法”呢？所谓“拼图法”，是指由于解决数学问题的需要， b
c
b
b
图5
二尧求两角的和
1
2
图6
有意识地将几个图形拼在一起，然后根据拼图前后图形的面积
a
b
图3
（或周长、角度等）之间的关系解决
b
a
问题“. 拼图法”不仅巧妙，而且为我们
解决数学问题寻觅到一个全新的思 a
即（a-b）2=a2+b2-2ab =（a2+b2+2ab）-4ab=（a+b）2-4ab=72- 之和，我们可以将蚁1、蚁2按图7所示的方式拼在一起，

中考数学解题技巧(9)旋转聚一起(零散线段问题)

中考数学解题技巧（九）、旋转聚一起（零散线段之间关系）（马铁汉）有时遇到较难的选择题或填空题，是在特殊几何图形背景下，有零散的几条线段（一般2、3条），要我们寻找它们之间关系时，可以通过三角形的旋转把它们连在一起（或形成三角形）——这就是“旋转聚一起”，构成了新的特殊几何图形（一般是特殊的三角形）。

然后通过特殊几何图形的性质解决问题。

近几年，也有零散的三角形，通过旋转组合到一起的情况。

下面通过几个中考真题，作简要介绍。

鉴赏题：1、（2022十堰）16.【阅读材料】如图①，四边形中，，，点，分别在，上，若，则．分析：此问题背景比较特殊：AB=AD，∠B+∠D=180°。

要证明三条线段EF、BE、DF之间的大小关系：EF=BE+DF。

BE、DF是分散的，可通过三角形的旋转，将这两条线段组合到同一个三角形中，连在一起，成为一条线段。

如右上图将△ADF绕点A顺时针旋转∠BAD的度数，得到△ABF’。

这样△ABF’替换了△ADF，线段BF’替换了线段DF。

△ABF’与△ABE组合成△AEF’。

可以证明∆AEF≌∆AEF’,得出结论。

证明：将△ADF绕点A顺时针旋转∠BAD的度数，得到△ABF’。

有旋转得DF=BF’,AF=AF’∠DAF=∠BAF’∵∠DAB=2∠EAF∴∠DAF+∠BAE=∠EAF∵∠DAF=∠BAF’∴∠BAF’+∠BAE=∠EAF∴∠EAF’=∠EAF在△EAF和△EAF’中AF=AF’∠EAF’=∠EAFAE=AE∴△EAF≌△EAF’（SAS）∴EF=EF’∵EF’=BE+BF’=BE+DF∴EF=BE+DF.【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形．已知，，，，道路，上分别有景点，，且，，若在，之间修一条直路，则路线的长比路线的长少___370______（结果取整数，参考数据：）．分析：对照图1的背景条件知，本题已经有CB=CD，∠ABC+∠D=120°+60°=180°两个条件。

2022 年宿迁市中考画图题的解法及反思

中学数学教学2022年第5期2022年宿迁市中考画图题的解法及反思江苏省淮安市淮阴区开明中学何良（邮编：223300）摘要2022年江苏省宿迁市中考数学第27题是一道阅读理解网格画图题．文章介绍该题的两个小题的多种解法，并给出作者的反思．关键词网格画图；圆；直尺；解法1考题呈现如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A 、B 、C 、D 、M 均为格点．操作探究在数学活动课上，佳佳同学在如图1的网格中，用无刻度的直尺画了两条互相垂直的线段AB CD ，相交于点P ，并给出部分说理过程，请你补充完整：解在网格中取格点E ，构建两个直角三角形，分别是△ABC 和△CDE ．在Rt△ABC 中，tan∠BAC =12，在Rt△CDE 中，，所以tan∠BAC =tan∠DCE ．所以∠BAC =∠DCE ．因为∠ACP +∠DCE =∠ACB =90°，所以∠ACP+∠BAC =90°．所以∠APC =90°，即AB ⊥CD ．拓展应用（1）如图2是以格点O 为圆心，AB 为直径的圆，请你只用无刻度的直尺，在BM 上找出一点P，使 PM =AM ，写出作法，并给出证明；（2）如图3是以格点O 为圆心的圆，请你只用无刻度的直尺，在弦AB 上找出一点P ，使AM 2=AP ·AB ，写出作法，不用证明．这是2022年江苏省宿迁市中考第27题（全卷共28题），是一道阅读理解画图题，其题型新颖，问题层次清晰，题意一目了然．该题需考生解答的共有三处，其中，拓展应用部分是两个网格画图题，它们均与圆相关，且画图工具均限制为“无刻度的直尺”．在苏科版初中数学教科书中，与网格相关的画图题几乎贯穿整个初中内容，但唯独“圆”所在的九上课本中没有网格画图问题．那么这道教材不曾涉及的网格画图题该如何解决呢？2考题解答第（1）小题：解法1如图4，取格点C ，连接AC ，则OM ⊥AC ．延长AC ，交⊙O 于点P ．因而 PM =AM ．故点P 就是所要画的点.解法2如图5，连接BM ，取格点C ，则点C 、O 关于直线BM 对称．连接BC ，并延长交⊙O 于点P ，则∠MBP =∠MBA ．因而PM =AM ．故P 就是所要画的点．解法3如图6，取格点C 、D ，则点D 、A 关于直线CM 对称．连接CD ，并延长，交⊙O 于点P ，则∠MCP =∠MCA ．因而 PM =AM ，故点P 就是所要画的点．解法4如图7，取格点C 、D ，连接OC 、OD ，则∠COD =90°，MC 是⊙O 的直径．连接BM 、BC ，则∠CBM =90°．设BM 交OD 于点E ，连接CE ，则点O 、B 在以CE 为直径的圆上．因而∠OCE =∠OBE ．延长CE ，交⊙O 于点P ，则PM =AM ．故P 就是所要画的点．图1图2图3图4图图6图7612022年第5期中学数学教学反思1要在 BM 上找出一点P ，使PM =AM ，即M 是AP 的中点．当联想到垂径定理时，问题就转化为利用网格，寻找过点A 且与半径OM 垂直的直线了，即得解法1．当联想到圆周角定理时，若“就地取材”，将点B 作为圆周角的顶点，发现格点O 关于直线BM 的对称点C 也是格点，则得解法2．若另辟蹊径，在ABM 上另取一点C （与点A 不重合），连接CA ，设格点A 关于直线CM 的对称点为点D ，当点C 运动时，点D 也随之运动，但点D 总落在以点M 为圆心，22为半径的圆上．显然，满足这个条件的格点只有图6中的点D ，这就得到解法3．将AM 、弦AB 、MB 作为一个整体绕圆心O 作顺时针旋转，当点A 旋转后与点M 重合时，相应地，点M 、B 旋转后的对应点分别为点P 、C ．此时，弦MB 、PC 相交于点E ．显然， PM 与BC 是等弧，且关于直线OE 对称．反之，先找到直径MC 的垂直平分线OD ，与MB 相交于点E ，画射线CE 与⊙O 相交，交点即为点P ，这就是解法4．解法3、解法4均是运用了“静中看动”思想．当然，在图7中，延长CB ，交直线OD 于点F ，连接FM 与⊙O 相交，交点也是点P （图略）．第（2）小题：分析如图8，由于待画的点P ，满足AM 2=AP ·AB ，即依次满足AM AB =APAM，△AMP ∽△ABM ，∠AMP =∠ABM ，而∠ABM 是圆周角，故可设法将∠AMP 转化为圆周角．于是，延长MP 交⊙O 于点C ．此时，问题归结为在ABM 上找一点C ，使 AC =AM 了．①若沿用第（1）小题的解法，则仿图2，添加半径OA 或过点M 的直径．于是，得如下三种解法：解法1如图8，取格点D ，连接MD ，交AB 于点P ．点P 就是所要画的点．理由：连接OA ，则OA ⊥MD ．延长MD ，交⊙O 于点C ，则AC =AM ．连接BM ，则∠AMC =∠ABM ，即∠AMP=∠ABM ．由于∠MAP =∠BAM ，因而△AMP ∽△ABM ．所以AM 2=AP ·AB ．解法2如图9，取格点D 、E ，画射线DE 交⊙O 于点C ，连接MC ，交AB 于点P ．点P 就是所要画的点．理由：连接MD 、MB ，则MD 是⊙O 的直径．在图9①（图9②）中，点E 与O （M ）关于直线AD 对称．因而∠ADC =∠ADM ．因而 AC =AM ．下同第（2）小题的解法1（以下称解法1）．解法3如图10，取格点D 、E 、G ，连接OG 、AE 、MD ，则AE 、MD 是⊙O 的直径，∠EOG =90°．设OG 交AD 于点F ，由于∠ADE =90°，因而点O 、D 在以EF 为直径的圆上．所以∠OEF =∠ODF ．进而 AC =AM ．连接MC ，交AB 于点P ．下同解法1．②若不使用半径OA 以及过点M 的直径，则又有如下两种解法：解法4如图11，取格点D ，则点D 、M 关于直线BA 对称．连接BD 、BM ，则∠ABD =∠ABM ．延长BD ，交⊙O 于点C ，则AC =AM ．连接MC 交AB 于点P ．下同解法1．解法5如图12，取格点D ，则 BD =AM ．取格点E ，连接OE 、AD ，则AE =DE ，OE ⊥AD ．设OE 交AB 于点F ，连接DF ，则FA =FD ．进而∠FAD =∠FDA ．延长DF ，交⊙O 于点C ，则 BD = AC ．进而AC=AM ．连接MC ，交AB 于点P ．下同解法1．③若运用正切函数定义，则有解法6如图13，取格点D ，连接MD ，交AB 于点P ．点P 就是所要画的点．理由：取格点C ，连接MC 、BM ，则MC ⊥AB ，且tan ∠ABM =MCBC =13．由于tan∠AMP =DE ME =13，因而∠AMP =∠ABM ．下同解法1．图12图13图11图10图89①9②图962中学数学教学2022年第5期④若直接计算，则有解法7如图14，取格点C 、D ，连接CD ，交AB 于点P ．点P 就是所要画的点．理由：由于AM =2，AP=AB =42，因而AM 2=AP ·AB ．反思2从确定点P 的方法看，第（2）小题的7种解法总体上分为两大类，前6种解法最终均是转化为使∠AMP ＝∠ABM ，其中，前5种解法又是在 ABM 找点C ，通过 AC =AM ，使∠AMP ＝∠ABM 的，解法6是利用正切函数的定义，说明∠AMP =∠ABM 的．解法7属于第二类，即通过直接计算AP 的长，发现AP 为单位正方形对角线的一半，从而巧妙确定点P ．另外，值得一提的是，解法3、解法5添加的辅助线较多，其实，这两个解法也是很容易理解的，它们均是在圆的旋转对称性下，作整体旋转得来的，如解法3是将AM 、弦MD 、AD 作为一个整体，解法5是将AM 、弦AB 、MB 作为一个整体，均是绕圆心O 顺时针旋转，旋转角等于∠MOA ．解法6与解法1确定点P 的方法是相同的，均是取格点D ，连接MD ，与AB 的交点即为点P ，但理据不同，解法1是应用垂径定理，解法6是应用正切函数的定义．相对而言，解法7最简单，当然，其它6法也并不复杂，只要基本功扎实，思维灵活，考生总是有路可走的．可见，2022年宿迁市中考画图题是一道多角度考查学生思维能力的考题，其解法多样，既可静态转化，也可动态切入．虽然苏科版课本不曾涉及与“圆”相关的网格画图问题，但由于解决这道考题涉及的知识完全来自于课本，因而这仍是一道源于课本，注重核心素养考查的试题，也是一道高于课本的好题．结合考题在试卷中所处的位置看，该题的命制无疑切合国家的“双减”政策，对一线教师的教学具有很好的指导作用．（收稿日期：2022－07－18）图142022年8月7日，《中学数学教学》编委会换届暨学术研讨会在合肥召开.杨世国代表编辑部向参加本次会议的领导、编委、专家表示热烈欢迎和衷心感谢，并宣读名誉主编苏淳发来的“中学数学教学”编委会胜利召开的贺信.杨世国代表上一届编委会作工作总结，回顾了期刊44年的办刊历程与取得的成绩.经过参会编委审议讨论，会议顺利产生了新一届编委会，杨世国担任名誉主编，张新全担任主编，郭要红、王文担任副主编.新任主编张新全代表新一届编委会发言，他希望新一届编委会充分发挥专家学术引领作用，争取推动期刊迈向新台阶.新一届编委会成员如下：杨世国，张新全，郭要红，王文，陈发来，李思敏，汤敏，李院德，余树宝，陈耀忠，董建功，万家练，赵玉华，潘根安，许和乾，张晓贵，沈南山.编委会换届完成后，新一届编委专家对如何提高办刊水平、扩大优质稿源、推动中学数学教学改革、新课标解读等话题进行了充分交流和研讨.编委们积极发言，提出了很多具体建议，讨论热烈而有效.此次期刊编委会换届为期刊发展注入了新的血液，明确了今后的发展方向，为期刊高质量发展提供了保证.《中学数学教学》召开编委会换届暨学术研讨会63。

浙江省中考数学总复习全程考点训练专题四图形操作

图形操作型问题一、选择题1．下列矩形中，按虚线剪开后，既能拼出平行四边形和梯形，又能拼出三角形的是(B)【解析】四幅图均能拼成平行四边形；能拼出梯形的有A，B和D；而拼成三角形需要的条件是拼接边相等，对接的边在一条直线上，故能拼成三角形的有B和C，所以既能拼出平行四边形和梯形，又能拼出三角形的只有B.(第2题)2．将一张长为70 cm的长方形纸片ABCD沿对称轴EF折叠后得到如图所示的形状，若折叠后AB与CD的距离为60 cm，则原纸片的宽度为(A)A．10 cm B．15 cmC．20 cm D．30 cm【解析】设AB＝x(cm)．根据轴对称图形的性质，得BE＝DF＝(35－x)cm.则有2(35－x)＋x＝60，解得x＝10.∴AB＝10 cm，即原纸片的宽度为10 cm.(第3题)3．如图，在一张三角形纸片ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，DE是中位线，现把纸片沿中位线DE剪开，计划拼出以下四个图形：①邻边不等的矩形；②等腰梯形；③有两个角为锐角的菱形；④正方形．那么以上图形一定能被拼出的个数为(C)A．1 B．2C ．3D ．4(第3题解①)【解析】 ①把△ADE 绕点E 旋转180°，即可构成邻边不等的矩形，如解图①. 理由：∵∠B ＝60°，∴AC ＝3BC ， ∴CD ＝32BC ≠BC . ②把△ADE 以AD 为对称轴作轴对称变换，再向下平移DC 的长度，即可构成等腰梯形，如解图②.(第3题解②)③把△ADE 绕点D 旋转180°，即可构成有两个角为锐角的菱形，如解图③.(第3题解③)④正方形无法拼成．(第4题)4．如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，且AE ＝13AB ，将矩形沿直线EF 折叠，点B 恰好落在AD 边上的点P 处，连结BP 交EF 于点Q ，有下列结论：①EF ＝2BE ；②PF ＝2PE ；③FQ ＝4EQ ；④△PBF 是等边三角形．其中正确的是(D )A ．①②B ．②③C ．①③D ．①④ 【解析】 ∵AE ＝13AB ，∴BE ＝2AE .由翻折的性质，得PE ＝BE .∴PE ＝2AE . ∵∠A ＝90°，∴∠APE ＝30°，∴∠AEP ＝90°－30°＝60°，∴∠BEF ＝12(180°－∠AEP )＝12(180°－60°)＝60°，∴∠EFB ＝90°－60°＝30°， ∴EF ＝2BE ，故①正确； ∵BE ＝PE ，∴EF ＝2PE .∵EF ＞PF ，∴ 2PE ＞PF ，故②错误；由翻折可知EF ⊥PB ，∴∠EBQ ＝90°－∠BEF ＝30°， ∴BE ＝2EQ .∵EF ＝2BE ，EQ ＋FQ ＝4EQ ，∴FQ ＝3EQ ，故③错误；由翻折的性质，得∠EFP ＝∠EFB ＝30°， ∴∠BFP ＝30°＋30°＝60°.又∵∠PBF ＝90°－∠EBQ ＝90°－30°＝60°， ∴△PBF 是等边三角形，故④正确．综上所述，正确的结论是①④.(第5题)5．如图，一张等腰三角形纸片，底边长15 cm ，底边上的高长22.5 cm.现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3 cm 的矩形纸条．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是(C )A ．第4张B ．第5张C ．第6张D ．第7张(第5题解)【解析】如解图，过点A 作AN ⊥BC 于点N ，AN 交正方形DEFG 的边DE 于点M ，可知DE ＝3，AN ＝22.5，BC ＝15.易得△ADE ∽△ABC ，∴DE BC ＝AMAN，即315＝AM 22.5，∴AM ＝4.5， ∴MN ＝22.5－4.5＝18，18÷3＝6，即这张正方形纸条是第6张．二、填空题(第6题)6．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，∠B ＝50°.现将△ADE 沿DE 折叠，使点A 落在三角形所在平面内的点A 1处，则∠BDA 1的度数为80°．【解析】 ∵DE 为△ABC 的中位线，∴DE ∥BC ，∴∠ADE ＝50°.由折叠的性质，得∠A 1DE ＝∠ADE ＝50°.∴∠BDA 1＝180°－∠ADE －∠A 1DE ＝180°－50°－50°＝80°.(第7题)7．如图，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，按图中所示的方法将△BCD 沿BD 折叠，使点C 落在AB 边上的点C ′处，则折痕BD【解析】易得AB ＝10，BC ′＝6，∴AC ′＝4.设CD ＝x ，则C ′D ＝x ，AD ＝8－x ， ∴x 2＋42＝(8－x )2，解得x ＝3， ∴BD ＝62＋32＝3 5.(第8题)8．如图，将Rt △ABC 绕点A 按顺时针方向旋转一定角度得到Rt △ADE ，点B 的对应点D 恰好落在BC 边上．若AC ＝3，∠B ＝60°，则CD 的长为__1__．【解析】 ∵∠B ＝60°，∴∠C ＝90°－60°＝30°. ∵AC ＝3，∴AB ＝3×33＝1， ∴BC ＝2AB ＝2.由旋转的性质，得AB ＝AD ，∴△ABD 是等边三角形，∴BD ＝AB ＝1， ∴CD ＝BC －BD ＝2－1＝1.9．如图①所示，用形状相同、大小不等的三块直角三角形木板，恰好能拼成如图②所示的四边形ABCD ，如果AE ＝4，CE ＝3BE ，那么这个四边形的面积是(第9题)【解析】 ∵三块直角三角形木板的形状相同、大小不等， ∴△ABE ∽△ECD ∽△DEA ，∠B ＝∠C ＝∠AED ＝90°，∠BAE ＝∠EDA ，∴BE ∶CD ＝AB ∶EC ，∠BAD ＝∠BAE ＋∠DAE ＝∠EDA ＋∠DAE ＝90°，∴四边形ABCD 为矩形． ∴AB ＝CD ，∴AB 2＝BE ·EC . ∵CE ＝3BE ，∴AB ＝3BE . ∵AE ＝4，AB 2＋BE 2＝AE 2，∴BE ＝2，AB ＝23，∴BC ＝BE ＋CE ＝4BE ＝8. ∴这个四边形的面积S ＝AB ·BC ＝23×8＝16 3.(第10题)10．在Rt△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝3 cm ，AC ＝4 cm ，以斜边BC 上距离B 点3 cm 的点P 为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°得到Rt△DEF ，则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积为3625cm 2.【解析】设DF 与AC ，BC 分别交于点R ，Q ，过点P 作PM ⊥QR 于点M ，作PN ⊥AC 于点N ，易得四边形PMRN 为正方形，重叠部分的面积和正方形PMRN 的面积相等，易得△CPN ∽△CBA ，∴PN BA ＝CPCB，即PN 3＝25，∴PN ＝65(cm)， ∴正方形PMRN 的面积为3625 cm 2，故重叠部分的面积为3625 cm 2.三、解答题(第11题)11．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝60°，BC ＝2.O 是AC 的中点，过点O 的直线l 从与AC 重合的位置开始，绕点O 作逆时针旋转，交AB 边于点D .过点C 作CE ∥AB 交直线l 于点E ，设直线l 的旋转角为α.(1)①当α＝30°时，四边形EDBC 是等腰梯形，此时AD 的长为1． ②当α＝60°时，四边形EDBC 是直角梯形，此时AD 的长为1.5． (2)当α＝90°时，判断四边形EDBC 是否为菱形，并说明理由．【解析】 (1)①∵CE ∥AB ，∴当∠EDB ＝∠B ＝60°时，四边形EDBC 是等腰梯形． ∵∠A ＝30°，∴α＝∠EDB －∠A ＝60°－30°＝30°，即当α＝30°时，四边形EDBC 是等腰梯形．此时DE ＝BC ＝2.易得△AOD ≌△COE ，∴OD ＝OE ＝12DE ＝1.又∵∠A ＝α＝30°，∴AD ＝OD ＝1. ②∵CE ∥AB ，∠B ＝60°，∴当∠EDB ＝90°时，四边形EDBC 是直角梯形． ∵∠A ＝30°，∴α＝∠EDB －∠A ＝90°－30°＝60°， ∴当α＝60°时，四边形EDBC 是直角梯形．在Rt△ABC 中，BC ＝2，∠A ＝30°， ∴AB ＝2BC ＝4.∴AC ＝AB 2－BC 2＝2 3.∵O 是AC 的中点， ∴AO ＝ 3.在Rt△AOD 中，∵∠A ＝30°，∴OD ＝12AO ＝32，∴AD ＝AO 2－OD 2＝32.(2)当α＝90°时，四边形EDBC 是菱形．理由如下： ∵α＝∠ACB ＝90°，∴BC ∥ED .∵CE ∥AB ，∴四边形EDBC 是平行四边形． ∵O 为AC 的中点，OD ∥BC ， ∴BD ＝12AB ＝2，∴BD ＝BC .∴四边形EDBC 是菱形．12．如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝8 cm ，AD ＝6 cm ，按下列步骤进行裁剪和拼图：(第12题)第一步：如图①，在线段AD 上任意取一点E ，沿EB ，EC 剪下一个三角形纸片EBC (余下部分不再使用)．第二步：如图②，沿三角形EBC 的中位线GH 将纸片剪成两部分，并在线段GH 上任意取一点M ，线段BC 上任意取一点N ，沿MN 将梯形纸片GBCH 剪成两部分．第三步：如图③，将MN 左侧纸片绕点G 按顺时针方向旋转180°，使线段GB 与GE 重合，将MN 右侧纸片绕点H 按逆时针方向旋转180°，使线段HC 与HE 重合，拼成一个与三角形纸片EBC 面积相等的四边形纸片．则拼成的这个四边形纸片的周长的最小值为多少？最大值为多少？ (注：裁剪和拼图过程均无缝且不重叠．)【解析】通过操作，我们可以看到最后所得的四边形纸片是一个平行四边形，其上下两条边的长度等于原来矩形的边AD ＝6，左右两边的长等于线段MN 的长．当MN 垂直于BC 时，MN 的长度最短，等于原来矩形的边AB 的一半，此时MN ＝4，于是这个平行四边形的周长的最小值为2×(6＋4)＝20；当点E 与点A 重合，点M 与点G 重合，点N 与点C 重合时，线段MN 最长，此时MN ＝42＋62＝213，此时这个四边形的周长最大，最大值为2×(6＋213)＝12＋413.综上所述，这个四边形纸片的周长的最小值为20，最大值为12＋413.13．如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－2，0)，B (0，2)，E, F 分别为OA ，OB 的中点．将正方形OEDF 绕点O 顺时针旋转，得正方形OE ′D ′F ′，记旋转角为α.(1)如图①，当α＝90°，求AE ′，BF ′ 的长．(2)如图②，当α＝135°，求证：AE ′＝BF ′，AE ′⊥BF ′.(3)若直线AE ′与直线BF ′交于点P ，求点P 的纵坐标的最大值(直接写出结果即可)．(第13题)【解析】 (1)当α＝90°时，点E ′与点F 重合． ∵点A (－2，0)，B (0，2)， ∴OA ＝OB ＝2.∵E, F 分别为OA ，OB 的中点， ∴OE ＝OF ＝1.由旋转的性质，得OE ′＝OE ＝1，OF ′＝OF ＝1. ∴在Rt △AOE ′中，AE ′＝OA 2＋OE ′2＝22＋12＝5；在Rt △BOF ′中，BF ′＝OB 2＋OF ′2＝22＋12＝ 5.(2)由旋转的性质，得∠AOE ′＝∠BOF ′＝135°.在△AOE ′和△BOF ′中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AO ＝BO ，∠AOE ′＝∠BOF ′，OE ′＝OF ′，∴△AOE ′≌△BOF ′(SAS )． ∴AE ′＝BF ′，∠OAE ′＝∠OBF ′.∵∠ACB ＝∠CAO ＋∠AOC ＝∠CBP ＋∠CPB ，∠CAO ＝∠CBP ， ∴∠CPB ＝∠AOC ＝90°， ∴AE ′⊥BF ′.(3)在第一象限内，当点D ′与点P 重合时，点P 的纵坐标最大．过点P 作PH ⊥x 轴，垂足为H ，如解图所示．(第13题解)∵∠AE ′O ＝90°，E ′O ＝1，AO ＝2， ∴∠E ′AO ＝30°，AE ′＝ 3. ∴AP ＝3＋1.∵∠AHP ＝90°，∴PH ＝12AP ＝3＋12，∴点P 的纵坐标的最大值为3＋12.。

解读中考“七巧板”试题

解读中考“七巧板”试题近年来，全国各省市中考中出现了一些以“七巧板”为背景的题目，这类题目操作性强、趣味性浓，能很好体现新课标“在玩中学、在学中思、在思中得”的全新理念。

一、认识“七巧板”（一）定义与构成：七巧板是一种智力游戏，完整图案为一正方形。

它由七块板组成的，这七这块板又可拼成多种多样的图形(千种以上)。

（二）特点：1、正规七巧板包括五块等腰直角三角形(两块小三角形、一块中等三角形和两块大三角形)、一块正方形和一块平行四边形。

2、七巧板共有直角9个；45度角12个；135度角2个。

它们都是45度角的倍数。

因此用七巧板可拼出450、900、1350、1800、2250、2700、3150、3600等八种度数的角。

不重叠不留空，运用一幅七巧板只能拼出1种度数的钝角,就是1350。

3、七巧板各块所占比例。

最大的两个三角形各占整块的四分之一；平行四边形、正方形和中等三角形各占整块的八分之一；剩下两个最小三角形各占整块的十六分之一。

4、由等腰直角三角形的三边关系1:1: 2 ,不难得到“七巧板”中七板块的各边长存在比例关系1： 2 ：2：2 2 (由小到大)。

即假设小正方形边长为1（如右图），那么最小等腰直角三角形直角边的长度也是1；最小等腰直角三角形斜边和中等等腰直角三角形直角边的长度是2；中等等腰直角三角形斜边和最大等腰直角三角形直角边的长度是2；最大等腰直角三角形斜边的长度是22。

可以简单的理解为：各线段的端点处于对应的中点位置上。

二、“七巧板”与中考（一）有关面积计算题例1:（06衢州）七巧板被西方人称为“东方魔板”.下边的两幅图是由同一副七巧板拼成的，已知七巧板拼成的正方形的边长为4，则“一帆风顺”图中阴影部分的面积为___________.解析1:解决本题的关键是找到阴影部分在“七巧板”中的对应板块是Rt△CEF。

所以CE =CF = 12BC =12×4 = 2。

即：S阴=S△CEF=12×2×2=2。

中考数学拼图题型赏析