第六讲不等式的基本性质PPT课件
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《不等式的基本性质》ppt课件
x< -3
题 组 训 练 一
：
1、已知x>y,下列各式成立吗？
(1)x-6<y-6
(3) -2x<-2y
(2) 3x<3y (4) 2x+1>2y+1
2、设 a<b ,用“<”或“>”号填空 （1）a+1__b+1
(2) a-3__b-3 (4) -a__-b
（3）3a__3b
（5）
2a 3 __ 2b 3
归 纳
不等式基本性质1
不等式的两边都加上（或减去）同 一个整式，不等号的方向不变.
等式基本性质2：等式的两边都 乘以（或除以）同一个不为0的 数，等式仍然成立.
用刚才的方法研究:不 等式有没有这样的性 质？
不等式应Hale Waihona Puke 有什么样 类似的性质?探 究
3 < 7
3×2 < 7×2 3×0.5 < 7×0.5
不等式的基本性质
你还记得： 等式的基本性质吗？
等式基本性质1：等式的两边都加 整式 上（或减去）同一个整式，等式仍 然成立
可能是正数也可能是负数
想一想：
加减正数
3+2＿7+2 3-5__ 7-5 3+a__ 7+a
3＜ 7
加减负数
3+(-2)__ 7+(-2) 3-(-5)__ 7- ( -5) 3-a__ 7-a
巩固知识
典型例题
例 5 已知 a b 0 ， c d 0 ，求证 ac bd ．
证明 因为 a b, c 0 ， 由不等式的性质 3 知， ac bc ， 同理由于 c d , b 0 ，故 bc bd . 因此，由不等式的性质 1 知
《不等式的基本性质》课件ppt
a b 如果a ＞b，c > 0 ,那么 ac>bc(或 ) 就是说 c c
不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号 的方向不变。
不等式基本性质3：
如果a>b，c<0 那么ac<bc(或 )就是说不等式 的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向 改变。 不等式的对称性：
a b c c
如果a>b，那么b<a
不等式传递性：
如果a>b，b>c,那么a>c
小结： ①在利用不等式的基本性质进行变形时，当 不等式的两边都乘以(或除以)同一个字母， 字母代表什么数是问题的关键，这决定了是 用不等式基本性质2还是基本性质3，也就是 不等号是否要改变方向的问题； ②运用不等式基本性质3时，要变两个号，一 个性质符号，另一个是不等号．
（1）-3<0; （2）4x+3y>0 （3）x=3;（4） X2+xy+y2 （5）x≠5; （6）X+2>y+5;
不等式的性质 2
等式具有那些性质？
不等式是否具有这些的性质？
由a+2=b+2, 你能得到a=b吗？ 由a-2=b-2, 你能得到a=b吗？ 由0.5a=0.5b, 你能得到a=b吗？
a a 正 (2) ∵ , ∴a是____数 2 3
(3) ∵ ax < a 且 x > 1 , 负 ∴a是____数
1、已知 a < - 1 ,则下列不等式中错误的是 （ B ） A、4a < - 4 B、- 4a < 4 C、a + 2 < 1 D、2 – a > 3
2、已知x < y，下列哪些不等式成立？ （1） x – 3 < y – 3 （2）- 5 x < - 5 y
不等式的性质 ppt课件
＜ 0；
(1) a ＋ 2 ____
a
＞ 0；
(3) 4 ____
＜ 0；
(5) a3 ____
＞ 0；
(4) a2 ____
例：利用不等式的性质将下列不等式化成
“x＞a”或“x＜a”的形式：
（1）x－5>‒1;
（2）‒2x>3;
解： (1)根据不等式 解：(2)根据不等式
的性质1两边都加上5，的性质3两边都除以‒2，
得：
得：
x-5+5 > ‒1+5
-2x÷（‒2）< 3÷（‒2）
3
即x > 4;
即x <- ;
2
巩固练习
将下列不等式化成 x > a或 x < a
的形式.
(1)2x＞-10
(2)- ＞5
3
(3)7x＜6x-6
提升练习
比较2a与5a的大小
对于不知道正负的字母，不能默认为正数，
应考虑到正负不同情况，也有可能为0
不等式基本性质2：不等式的两边都乘以（或
除以）同一个正数，不等号的方向不变。
归纳：
如果a>b，c>0，那么ac>bc，
>
不等式基本性质3：不等式的两边都乘以（或
Байду номын сангаас除以）同一个负数，不等号的方向改变。
如果a>b ，c<0，那么ac<bc,
不等式的基本性质2、3有什么不同？
<
练一练
1. 设 a＞b，用“＜”“＞”填空，并回答是根据不
等式基本性质1：在等式两边同时加
(1) a ＋ 2 ____
a
＞ 0；
(3) 4 ____
＜ 0；
(5) a3 ____
＞ 0；
(4) a2 ____
例：利用不等式的性质将下列不等式化成
“x＞a”或“x＜a”的形式：
（1）x－5>‒1;
（2）‒2x>3;
解： (1)根据不等式 解：(2)根据不等式
的性质1两边都加上5，的性质3两边都除以‒2，
得：
得：
x-5+5 > ‒1+5
-2x÷（‒2）< 3÷（‒2）
3
即x > 4;
即x <- ;
2
巩固练习
将下列不等式化成 x > a或 x < a
的形式.
(1)2x＞-10
(2)- ＞5
3
(3)7x＜6x-6
提升练习
比较2a与5a的大小
对于不知道正负的字母，不能默认为正数，
应考虑到正负不同情况，也有可能为0
不等式基本性质2：不等式的两边都乘以（或
除以）同一个正数，不等号的方向不变。
归纳：
如果a>b，c>0，那么ac>bc，
>
不等式基本性质3：不等式的两边都乘以（或
Байду номын сангаас除以）同一个负数，不等号的方向改变。
如果a>b ，c<0，那么ac<bc,
不等式的基本性质2、3有什么不同？
<
练一练
1. 设 a＞b，用“＜”“＞”填空，并回答是根据不
等式基本性质1：在等式两边同时加
人教不等式的基本性质PPT完美版
•
6.冷锋。冷锋符号画线在雨带南侧， 由北向 南移动 ，画图 略。
•
7.土地利用以绿地为主，绿地面积呈 增加趋 势；建 筑面积 增加最 多，水 域、其 他用地 、滩涂 持续减 少。
•
8.布局在郊区，地价便宜；远离市区 ，能有 效减小 对市区 的污染 ；临海 分布， 便于运 进原料 和输出 产品。
•
9.结合上题，主要从政策扶持，发展 有机农 业；提 高农业 技术， 科学施 肥；因 主要从 我国人 多地少 ，农业 生产压 力大以 及耕地 资源的 特点等 方面分 析加强 农产品 质量监 管等方 面分析.
基础 依据
• 性质4：如果a>b,c>d，那么a+c>b+d. 不等式的叠加性质
两个同向的不等式的两边各相加后，仍然得到一个 与它同向的不等式.
练习
• 书P30页—— 2.1（1）课后练习1
例题讲解 例1、比较两数(a+1)2与 a2－a+1值的大小。
练习 比较两数(a2 +1)2与 a4+a2+1的值的大小。
不等式的性质 结论：a>b 的充要条件是：a-b>0 a=b 的充要条件是：a-b=0 a<b 的充要条件是：a-b<0
基础 依据
• 性质2、如果a>b,那么a+c>b+c ）同一个实数， 不等号的方向不变；
不等式的性质 结论：a>b 的充要条件是：a-b>0 a=b 的充要条件是：a-b=0 a<b 的充要条件是：a-b<0
性质3、如果a>b,c>0，那么ac>bc. 如果a>b,c<0，那么ac<bc.
《不等式的基本性质》PPT
不等式的基本性质1： 如果a ＞b，那么a±c＞b±c.就是说，不等式两边都加上 (或减去）同一个数(或式子),不等号方向不变。
不等式基本性质2：如果a ＞b，c > 0 ,那么 ac>bc(或 ) 就是说不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
≥
解：根据题意得,m-1<0
即：m<1
5.把下列不等式化为“x>a”或”x<a”的形式：
解：
6.已知-m+5>-n+5,试比较10m+8与10n+8的大小。
解：
∵ -m+5>-n+5
∴ -m>-n
∴ m<n
∴ 10m+8＜10n+8
这节课你记忆最深刻的（或最感兴趣的）是什么？
四、总结归纳：
如果 7 ＞ 3
那么 7+5 ____ 3+ 5 , 7 -5____3-5
你能总结一下规律吗？
＞
＞
如果-1< 3,那么-1+2____3+2, -1- 4____3 - 4
<
<
+ C
－C
如果 a>b，
那么a±c>b±c
不等式基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一数或同一个整式，
2、已知x < y，下列哪些不等式成立？ （1） x – 3 < y – 3 （2）- 5 x < - 5 y （3） - 3 x +2 < - 3 y + 2 （4）- 3 x + 2 > - 3y + 2
3、已知a>b,若a<0,则a2 ab;若a>0,则a2 ab.
不等式基本性质2：如果a ＞b，c > 0 ,那么 ac>bc(或 ) 就是说不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
≥
解：根据题意得,m-1<0
即：m<1
5.把下列不等式化为“x>a”或”x<a”的形式：
解：
6.已知-m+5>-n+5,试比较10m+8与10n+8的大小。
解：
∵ -m+5>-n+5
∴ -m>-n
∴ m<n
∴ 10m+8＜10n+8
这节课你记忆最深刻的（或最感兴趣的）是什么？
四、总结归纳：
如果 7 ＞ 3
那么 7+5 ____ 3+ 5 , 7 -5____3-5
你能总结一下规律吗？
＞
＞
如果-1< 3,那么-1+2____3+2, -1- 4____3 - 4
<
<
+ C
－C
如果 a>b，
那么a±c>b±c
不等式基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一数或同一个整式，
2、已知x < y，下列哪些不等式成立？ （1） x – 3 < y – 3 （2）- 5 x < - 5 y （3） - 3 x +2 < - 3 y + 2 （4）- 3 x + 2 > - 3y + 2
3、已知a>b,若a<0,则a2 ab;若a>0,则a2 ab.
不等式的基本性质教学课件
02
01
03
(2) 若a < b，则ac^2 < bc^2 作业3：解下列不等式，并在数轴上表示解集。 (1) 2x - 1 < x + 2
作业布置
(2) 3(x - 2) ≥ 2(x - 1)
作业4：思考并回答：不等式的基本性质在日常生活和实际问题中有哪些应用？请举 例说明。
07
总结与回顾
重点内容回顾
02
不等式的基本概念
不等式的定义
80%
不等式定义
用不等号（<、>、≤、≥、≠） 连接两个数学表达式而构成的数 学式子，称为不等式。
100%
不等式的解
使不等式成立的未知数的值，叫 做不等式的解。
80%
不等式的解集
一个含有未知数的不等式的所有 解，组成这个不等式的解集。
不等式的表示方法
符号表示法
使用不等号来表示不等式关系， 如 x < 5，x > y 等。
区间表示法
使用区间来表示不等式解集的 范围，如 x ∈ (2, 5) 表示 x 在 2 到 5 之间。
数轴表示法
在数轴上标出不等式的解集范 围，用实心点表示包括该点， 空心点表示不包括该点。
不等式的分类
分式不等式
分母中含有未知数的不等式，如 (x - 1)/(x + 2) ≥ 0。
一元二次不等式
只含有一个未知数，且未知数的 最高次数为2的不等式，如 x^2 -
逐步推导，由因导果，思路清晰。
综合法的应用
适用于已知条件较少，需要逐步 推导的情况。
分析法
分析法的定义
从所要证明的不等式出发，分析使不等式成立的充分条件，逐步 推导，直到找到已知条件或明显成立的事实为止。
不等式的性质(公开课)(课堂PPT)
把下列不等式化成 x>a或x<a的形式. 例1：-x+3>5 解：根据不等式的性质1， 将解集用数轴表示为：
两边同时加上-3得： -x+3-3>5-3 -x>2
根据不等式性质3，两边 同时乘以-1得： x<2
15
夯实基础 巩固提高
纸上觉来终觉浅，
把下列不等式化成 x>a或x<a的形式.
绝知此事要躬行 Have a try！
数学语言：若a>b，c>0则a·c>b·c，
或a÷c>b÷c
11
先学后教 循序渐进
不等式性质3 ： 不等式两边乘以（或除 以）同一个负数，不等号的方向改变。
数学语言：若a>b，c<0则a·c<b·c，
或a÷c<b÷c
12
如果a>b，用“>”，“<”填空
（1）a-3 _____ b-3 （不等式性质 ___）
17
夯实基础 巩固提高
bc 0a
练习1：用“>”，“<”填空
a+b___a+c ac___bc ab__ac
18
夯实基础 巩固提高
设A、B、C表示三种不同的物体，现用天平称了两次， 情况如图所示，那么“A”、“B”、“C”这三个物体 的质量按从大到小的顺序排列应为（ ）
A．ABC B．CBA C．BAC D．BCA
19
盘点收获 承上启下
凯旋归来话收获
性质1： 不等式两边加上（或减去）同一个数 （或式子），不等号的方向不变；
性质2：不等式两边乘以（或除以）同一个正数， 不等号的方向不变；
性质3：不等式两边乘以（或除以）同一个负数， 不等号的方向改变
两边同时加上-3得： -x+3-3>5-3 -x>2
根据不等式性质3，两边 同时乘以-1得： x<2
15
夯实基础 巩固提高
纸上觉来终觉浅，
把下列不等式化成 x>a或x<a的形式.
绝知此事要躬行 Have a try！
数学语言：若a>b，c>0则a·c>b·c，
或a÷c>b÷c
11
先学后教 循序渐进
不等式性质3 ： 不等式两边乘以（或除 以）同一个负数，不等号的方向改变。
数学语言：若a>b，c<0则a·c<b·c，
或a÷c<b÷c
12
如果a>b，用“>”，“<”填空
（1）a-3 _____ b-3 （不等式性质 ___）
17
夯实基础 巩固提高
bc 0a
练习1：用“>”，“<”填空
a+b___a+c ac___bc ab__ac
18
夯实基础 巩固提高
设A、B、C表示三种不同的物体，现用天平称了两次， 情况如图所示，那么“A”、“B”、“C”这三个物体 的质量按从大到小的顺序排列应为（ ）
A．ABC B．CBA C．BAC D．BCA
19
盘点收获 承上启下
凯旋归来话收获
性质1： 不等式两边加上（或减去）同一个数 （或式子），不等号的方向不变；
性质2：不等式两边乘以（或除以）同一个正数， 不等号的方向不变；
性质3：不等式两边乘以（或除以）同一个负数， 不等号的方向改变
不等式的基本性质PPT课件
从以上能发现什么？可以得到什么结论？
-
3
不等式的基本性质 2 ： 不等式的两边都乘以（或除以）同一个
正数，不等号的方向 不变.
不等式的基本性质 3 ： 不等式的两边都乘以（或除以）同一个
负数，不等号的方向 改变.
-
4
例题
将下列不等式化成“x>a” 或“x<a”的形式：
（1）x – 5 > -1 ; (2) -2x > 3 解： （1）根据不等式的基本性质1，两边都加上5，得
； https:///huanshoulv/ 换手率 ；
代化の口吻是陆羽教她の,林师兄和导师们全是研习古文学の精英,万万不能被他们看出端倪.婷玉の存在,陆羽对谁都不敢说.既诧异对方の行礼姿势标准,林师兄礼貌而客套地颔首回礼.“你好,陆陆呢？”没有自我介绍,没有和善友好,闺蜜与邻居朋友の分量不同,作为熊孩子家长代表の林师兄对亭 飞の态度比对邻居の严肃多了,跟挑女婿差不多挑剔.毕竟,好闺蜜千金难觅,坏闺蜜随时变小蜜,不得不看仔细.“在楼上收拾书籍.”婷玉并无不悦.林师兄点点头,“你也抓紧收拾收拾,明天一早离开.”恰巧陆羽听见动静赶紧从二楼下来,“这么快？不看日出了？”“没时间了,老师传了一些资料回 来,妙妙搞不定.”唉,如果是她在办公室就好了,他爱什么时候回就什么时候回.“哦,这样,”陆羽想了想,“要不师兄先走？我今晚通知房东明早过来办理钥匙交接,就怕他迟迟不来耽误你の时间.你不用担心我,我跟亭飞自己坐车就好.”卓文鼎师徒没开车来,问问他们要不要一起走,正好有伴.“也 行.”林师兄の确没时间等.不过,他在晚上搬书籍和大件行李去休闲居の时候,拜托大家伙明早帮忙看着以免陆羽又被人刁难.幸运の是,第二天一早,周定康如约前来接收房子,拿过钥匙便兴冲冲地去了何玲家.陆羽无暇理会他去哪儿,她牵着四只汪抱着小
《不等式的基本性质》PPT课件 (共23张PPT)
先×(-3),再+2
先再
1.已知x>y,比较2-3x与2-3y的大 前 定
小. 先×(-3),再+2
后不 比等
×(a-3)
较号
2.已知m<<n,且(a-3)m> >(a-3)n,求a的范
围.
×(a-3)
解: 由题意可得:a-3<0(不等式的基本性质3)
∴a<3(不等式的基本性质2)
例1：已知x>y，试比较－2x和－2y的大小，并 说明理由
一个不为0的数，所得结果仍是等式
如果a=b，那么ac=bc，a÷c＝b÷c（c≠0）
探索与发现
观察:用“<”或“>”填空,并找一找其中的规律.
(1)6>4 6+2__＞__4+2
6－2__＞__4－2
(2) –1<3 -1+2__<__3+2 -1－3_<___3－3
发现:当不等式两边加上或减去同一个 数时,不等号的方向___不__变___
变式1:比较a－2x和a－2y的大小
变式2:比较 a 2x 和 a 2 y 的大小
3
3
变式3: 若x>y,且(a－3)x＜(a－3)y,求a的取值范围。
变式4：若x>y,比较(a-3)x与(a-3)y的大小？
例2：由 5 >2可得（ 5）2 >2 5 ，
不等式两边同时乘了
，
你能由 5 >2，推出 5 <2Байду номын сангаас5吗？
×(-3)
(6)若m>>-3,则-3m < 9;
×(-3)
(7)若a≥b,则2a ≥ 2b; (8)若-a＜b,则a >-b.
《不等式的基本性质》PPT课件
方法归纳
将下列不等式化成“x>a”或“x<a”的形式，实质是利 用不等式的性质对不等式进行变形，把不等式的右边 化成常数，左边化成只含有系数1的未知数的一次式的 形式.
练一练
将下列不等式化成“x>a”或“x<a”的形式：
(1) x 1 2;
x>3
(2) x 5 ; 6
(3) 1 x 3. 2
成立
不成立
(3) 2x 2y;
(4) 2x 1 2 y 1.
成立
成立
2.若a＞b，且c为任意实数，下列各式：
①ac≥bc；②ac≤bc；③ac2＞bc2；④ac2≥bc2；⑤
a c
＜b c
.
一定成立的有
（A ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：①当c≤0时，不成立，故①错误；当c＞0时，②不成立， 故②错误；当c=0时，③不成立，故③错误；当c为任意实数时， ④均成立，故④正确，当c＜0时，⑤不成立，故⑤错误.故选A
（乙） 100+20>50+20
120>70
一 不等式的基本性质
观察与思考 问题1 水果店的小王从水果批发市场购进100kg梨和84kg苹果. 在卖出a kg梨和a kg苹果后，又分别各购进了b kg的梨和苹果.
请用“>”或“<”填空： 100 -a > 84 -a
100 –a+b > 84 –a+b
不等式的性质1,2
（6）(m2+1)a__＞__ (m2+1)b(m为常数) 不等式的性质2
方法归纳
利用不等式的性质1对不等式进行变形，相当于移项， 不改变不等号的方向；利用不等式的性质2,3进行变形 时，以乘数或除数的正负决定是否改变不等号的方向.
不等式的基本性质课件ppt
11.2不等式的基本性质
由a+2=b+2, 能得到a=b？由a-2=b-2, 能得到a=b？由2a=2b, 能得到a=b？
由0.5a=0.5b, 能得到a=b？
等式基本性质1：等式的两边
都加上（或减去）同一个整式，等式仍旧成立
等式基本性质2：
等式的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，等式仍旧
成立
不等式是否具有类似的性质呢？由 3 <7
想 3 +5
7+5想 3 -5 7-5
总结规律？
<<
不等式基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。
若a b 则a+c ____ b+c
a -c ____
b -
c ＜＜＜ 净水器
做书上第96页填空你发现了什么？
讨论总结
不等式基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
不等式基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
＜＞若a b 且c 0则ac ____ bc ＜
＞若a b 且c 0则ac ____ bc
＜＜
无论绳长L 取何值，圆的面积总大于正方形的面积，即 42l 16
2l ＞你能用不等式基本性质解释这一结论吗？
例：将下列不等式化成X a 或x a 的形式＞
＜(2) -2x 3
＞(1) x
-5 -1＞(3) 7x 6x -6＜
第97页
随堂练习：
作业：第97页习题11.2
1，2。
不等式的基本性质(初中)PPT课件
14
通过这节课的学习活 动你有哪些收获？
15
探究活动 比较等式与不等式的基本性质. 例如，等式是否有与不等式的基本性
质1类似的传递性？不等式是否有与等式的 基本性质类似的移项法则？你可以用列表 的方式进行对比.（请与你的伙伴交流）
16
比较等式与不等式的基本性质
基本性质1 基本性质2 基本性质3
(1)若2 x ＞-6,两边同除以2,得_____x__＞_,-依3据 __不__等__式__的___基__本__性. 质3
(2)若-0.5 x≤1,两边同乘以-2,得_____X_≥__-,2依据 ___不__等__式__的__ 基本性质3
(3). 8 x 1,两边都乘 7 ，得x____7__.依据是不__等_式__的_基__本_性_ 质3
(对 )
2.x
1 2
0, 两边都加上（
1 2
），得
x
1 2
(
对
)
3.若-m>5，则m > -5.
(错 )
4. -0.9＜-0.3,两边都除以(-0.3),得3 > 1 ( 对 )
11
例1 已知x ＞ y ，试比较2- 1 x与 2- 1 y的大小。
3
3
12
•
13
例2 已知a<0 ，试比较2a与a的大小。
19
已知a＞ b，试比较4-3 a与 4-3b的大小。
20
(1)下列说法中>2a一定成立
C a>- a一定成立
D若-3x>12,则x>-4
(2)如果a>b,则下列式子中以一定成立的是 （C ）
A a2>b2 C a-b>0
通过这节课的学习活 动你有哪些收获？
15
探究活动 比较等式与不等式的基本性质. 例如，等式是否有与不等式的基本性
质1类似的传递性？不等式是否有与等式的 基本性质类似的移项法则？你可以用列表 的方式进行对比.（请与你的伙伴交流）
16
比较等式与不等式的基本性质
基本性质1 基本性质2 基本性质3
(1)若2 x ＞-6,两边同除以2,得_____x__＞_,-依3据 __不__等__式__的___基__本__性. 质3
(2)若-0.5 x≤1,两边同乘以-2,得_____X_≥__-,2依据 ___不__等__式__的__ 基本性质3
(3). 8 x 1,两边都乘 7 ，得x____7__.依据是不__等_式__的_基__本_性_ 质3
(对 )
2.x
1 2
0, 两边都加上（
1 2
），得
x
1 2
(
对
)
3.若-m>5，则m > -5.
(错 )
4. -0.9＜-0.3,两边都除以(-0.3),得3 > 1 ( 对 )
11
例1 已知x ＞ y ，试比较2- 1 x与 2- 1 y的大小。
3
3
12
•
13
例2 已知a<0 ，试比较2a与a的大小。
19
已知a＞ b，试比较4-3 a与 4-3b的大小。
20
(1)下列说法中>2a一定成立
C a>- a一定成立
D若-3x>12,则x>-4
(2)如果a>b,则下列式子中以一定成立的是 （C ）
A a2>b2 C a-b>0
不等式的基本性质(共16张PPT)
复习回顾
（1）什么叫做不等式？
例如： 5x12 x5
6
4
（2）等式有哪些性质？你能分别用文字语言和符号语言
表示吗？
问题：研究等式性质的基本思路是什么？
运算的 不变性
探究1 不等式的性质1
为了研究不等式的性质，我们可以先从一些数字的运算
开始.用“＜”或“＞”完成下列两组填空.
① 5＞3 5+2 3+2 , 5+(-2)
（1）x-5<11 ； （2）3x+3>2x+7 .
巧记口诀（拍掌读口诀） 加减都用性质1，不等号方向不改变 乘除正数性质2，不等号方向还不变 乘除负数性质3，不等号方向必改变
运用新知：
例1： 设a>b,用“<”或”>”填空,并说明依据不等式的哪条性质:
(1) a +12 b +12
(2) b -10 a -10
(3) 3a
3b
(5)-3.5b+1 -3.5a+1
不等式性质2： 不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方 向不变.
数学语言： 如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc，a/c＞b/c .
问题3：类似等式性质的符号语言表示，你能把不等式的性质2用符号语言表示吗？
针对练习：
（1）在不等式-8＜0的两边都除以-8得-8÷（-8） （2）在不等式-3＞-4的两边都乘以-3可得 （3）在不等式a＞b的两边都乘以-1可得
-2 ×（-3）____ 3 ×（-3） -2 ÷（-3）_____ 3 ÷（-3）
课堂检测： 加减都用性质1，不等号方向不改变
(1)不等式的性质是什么?不等式性质与等式性质的联系与区别是
不等式的基本性质 课件
不等式的基本性质
1、不等式的概念: 同向不等式； 异向不等式; 同解不等式．
2、比较两个实数大小的主要方法: (1)作差比较法：作差——变形——定号——下结论； (2)作商比较法：作商——变形——与1比较大小——下 结论． 大多用于比较幂指式的大小．
类比等式的基本性质，不等式有哪些基本 性质呢？
a b 0 a b; a b 0 a b; a b 0 a b.
上述结论是用类比的方法得到的，它们一定是 正确的吗？你能够给出它们的证明吗？
以性质（3）为例给出证明：
（3）a b a c b（c 可加性）;
证明：（1）先证明：a b ac bc
a b a-b 0
ab .
dc
证明：1 1 c d c d 0 1 1 0
d c dc
dc
1 1 0又a b 0 a b 0
dc
dc
故 a,c<d<0,e<0,求证：
a
e
c
b
e
d
证明： a b 0,c d 0a c b d
则 1 1 bacd 0 a c b d (a c)(b d )
不等式的基本性质
（1）a b b a(对称性）; （2）a b,b c a （ c 传递性）; （3）abacb（ c 可加性）;
单向性 双向性
ab,cd acbd; （4）ab,c0acbc;ab,c0acbc;
ab0,cd 0acbd;
（5）ab0,nN,n1an bn;
（6）a b 0,nN ,n 1 n a n b.
例 4．“已知－π2≤α≤π2，－π2≤β≤π2”，求α＋2 β，α－2 β的取
值范围．
解：∵－π2≤α≤π2， －π2≤β≤π2， ∴－π≤α＋β≤π.∴－π2≤α＋2 β≤π2. 又∵－π2≤α≤π2，－π2≤－β≤π2， ∴－π≤α－β≤π.∴－π2≤α－2 β≤π2. ∴α＋2 β、α－2 β的取值范围均为[－π2，π2]．
1、不等式的概念: 同向不等式； 异向不等式; 同解不等式．
2、比较两个实数大小的主要方法: (1)作差比较法：作差——变形——定号——下结论； (2)作商比较法：作商——变形——与1比较大小——下 结论． 大多用于比较幂指式的大小．
类比等式的基本性质，不等式有哪些基本 性质呢？
a b 0 a b; a b 0 a b; a b 0 a b.
上述结论是用类比的方法得到的，它们一定是 正确的吗？你能够给出它们的证明吗？
以性质（3）为例给出证明：
（3）a b a c b（c 可加性）;
证明：（1）先证明：a b ac bc
a b a-b 0
ab .
dc
证明：1 1 c d c d 0 1 1 0
d c dc
dc
1 1 0又a b 0 a b 0
dc
dc
故 a,c<d<0,e<0,求证：
a
e
c
b
e
d
证明： a b 0,c d 0a c b d
则 1 1 bacd 0 a c b d (a c)(b d )
不等式的基本性质
（1）a b b a(对称性）; （2）a b,b c a （ c 传递性）; （3）abacb（ c 可加性）;
单向性 双向性
ab,cd acbd; （4）ab,c0acbc;ab,c0acbc;
ab0,cd 0acbd;
（5）ab0,nN,n1an bn;
（6）a b 0,nN ,n 1 n a n b.
例 4．“已知－π2≤α≤π2，－π2≤β≤π2”，求α＋2 β，α－2 β的取
值范围．
解：∵－π2≤α≤π2， －π2≤β≤π2， ∴－π≤α＋β≤π.∴－π2≤α＋2 β≤π2. 又∵－π2≤α≤π2，－π2≤－β≤π2， ∴－π≤α－β≤π.∴－π2≤α－2 β≤π2. ∴α＋2 β、α－2 β的取值范围均为[－π2，π2]．
《不等式的基本性质》PPT
本课小结：
不等式基本性质3：如果a>b，c<0 那么ac<bc(或 )就是说不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
10.2 不等式的基本性质
【学习目标】知道不等式的基本性质，能用不等式的基本性质将不等式变形。【学习重点】不等式的基本性质的导出过程。【学习难点】利用不等式的基本性质将不等式变形。
2023最新整理收集do
something
思考一下
等式具有那些性质？不等式是否具有这些类似性质？
等式基本性质1：等式的两边都加上（或减去）同一个整式，等式仍旧成立
等式基本性质2：等式的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，等式仍旧成立
如果a=b,那么a±c=b±c
如果a=b,那么ac=bc或 （c≠0），
感谢阅读
感谢阅读
>
<
<
>
>
<
通过上面的变形，你发现的规律是：
不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变
不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变
2：判断下列各题的推导是否正确？为什么(口答)(1)因为7.5＞5.7，所以-7.5＜-5.7；(2)因为a+8＞4，所以a＞-4；(3)因为4a＞4b，所以a＞b；(4)因为-1＞-2，所以-a-1＞-a-2；(5)因为3＞2，所以3a＞2a．答：．
加上5
2 < 17
a+7 > a
-21>-28
64 > 0
2x>28+7x
2、若m>n，判断下列不等式是否正确：（1）m-7<n-7 ( )（2）3m<3n （ ）（3）-5m>-5n （ ）（4） ( )（5） m+5≥n+5 ( )
不等式基本性质3：如果a>b，c<0 那么ac<bc(或 )就是说不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
10.2 不等式的基本性质
【学习目标】知道不等式的基本性质，能用不等式的基本性质将不等式变形。【学习重点】不等式的基本性质的导出过程。【学习难点】利用不等式的基本性质将不等式变形。
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something
思考一下
等式具有那些性质？不等式是否具有这些类似性质？
等式基本性质1：等式的两边都加上（或减去）同一个整式，等式仍旧成立
等式基本性质2：等式的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，等式仍旧成立
如果a=b,那么a±c=b±c
如果a=b,那么ac=bc或 （c≠0），
感谢阅读
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通过上面的变形，你发现的规律是：
不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变
不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变
2：判断下列各题的推导是否正确？为什么(口答)(1)因为7.5＞5.7，所以-7.5＜-5.7；(2)因为a+8＞4，所以a＞-4；(3)因为4a＞4b，所以a＞b；(4)因为-1＞-2，所以-a-1＞-a-2；(5)因为3＞2，所以3a＞2a．答：．
加上5
2 < 17
a+7 > a
-21>-28
64 > 0
2x>28+7x
2、若m>n，判断下列不等式是否正确：（1）m-7<n-7 ( )（2）3m<3n （ ）（3）-5m>-5n （ ）（4） ( )（5） m+5≥n+5 ( )
不等式的基本性质(优秀公开课课件)
不等式的基本性质
万源市井溪乡中心小学校 伍高兴
回顾旧知
a±c a=b
等式的基本性质：
=
b±c
ac = bc
a÷c = b ÷c （c ≠ 0）
1、等式两边同时加（或减）同一个代数式，结果仍是等式。
2、等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数）， 所得结果仍是等式。
不等式的基本性质还是这样吗？
回顾旧知
不等式的定义：
一般地，用符号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”）连 接的式子叫做不等式。
我 会 判 断
5x + 3y = 0
m2 m2 ＞ 4 π 16
5x + 3y
6 + 5t ≤ 180
情境引入
通过师生对话，年龄的差异现场生成不等式。你能告 诉我你的年龄吗？你知道老师的年龄吗？ 14 < 34
收获新知
不等式的性质2 不等式的两边同时乘（或除以）同一个 正数，不等号的方向不变. 不等式的性质3 不等式的两边同时乘（或除以）同一个 负数，不等号的方向改变.
符号表示为：
如果a＜b,c >0那么ac ﹤
bc
(或
如果a＜b,c＜0那么ac ＞
a b ＞ ). 如果a＞b,c >0那么ac ＞ bc (或 ___ c ac b ﹤ ). 如果a＞b,c＜0那么ac ﹤ bc (或 ___
乘胜追击
2、不计算，完成下列填空
x＞y x-z ＞ y-z
z＜0
x z
xz ＜ yz
＜
y z
善于观察
3、 x ＞ y，下列不等式一定成立吗？
x-6＜y-6
2x ＞
3y
-2 x ＞ -2y
万源市井溪乡中心小学校 伍高兴
回顾旧知
a±c a=b
等式的基本性质：
=
b±c
ac = bc
a÷c = b ÷c （c ≠ 0）
1、等式两边同时加（或减）同一个代数式，结果仍是等式。
2、等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数）， 所得结果仍是等式。
不等式的基本性质还是这样吗？
回顾旧知
不等式的定义：
一般地，用符号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”）连 接的式子叫做不等式。
我 会 判 断
5x + 3y = 0
m2 m2 ＞ 4 π 16
5x + 3y
6 + 5t ≤ 180
情境引入
通过师生对话，年龄的差异现场生成不等式。你能告 诉我你的年龄吗？你知道老师的年龄吗？ 14 < 34
收获新知
不等式的性质2 不等式的两边同时乘（或除以）同一个 正数，不等号的方向不变. 不等式的性质3 不等式的两边同时乘（或除以）同一个 负数，不等号的方向改变.
符号表示为：
如果a＜b,c >0那么ac ﹤
bc
(或
如果a＜b,c＜0那么ac ＞
a b ＞ ). 如果a＞b,c >0那么ac ＞ bc (或 ___ c ac b ﹤ ). 如果a＞b,c＜0那么ac ﹤ bc (或 ___
乘胜追击
2、不计算，完成下列填空
x＞y x-z ＞ y-z
z＜0
x z
xz ＜ yz
＜
y z
善于观察
3、 x ＞ y，下列不等式一定成立吗？
x-6＜y-6
2x ＞
3y
-2 x ＞ -2y
相关主题
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1 不等关系 不相等 处处可见 在古代，我们的祖先就懂得了翘翘板的工作原理， 并且根据这一原理设计出了一些简单机械， 并把它们用到了生活实践当中．
由此可见，“不相等”处处可见。 从今天起，我们开始学习一类新的数学知识：不等式．
复习： 含有等号的式子叫等式 由a+5=b+5, 能得到a=b？ 由a-5=b-5, 能得到a=b？
由5a=5b, 能得到a=b？
由0.5a=0.5b, 能得到a=b？
等式基本性质1 等式两边都加上（或减去）同一个数 （或式子），等式仍旧成立。
即：若a=b，则a±c=b±c
等式基本性质2
等式的两边都乘以（或除以）同一 个不为0的数，等式仍旧成立。
即：若a=b，则ac=bc， 或a÷c＝b÷c（c≠0）
如果a＞b且c ＞ 0，那么ac＞bc.（或 a ＞ b ） cc
ab
如果a＞b且c
＜
0，那么ac＜bc.（或
c
＜
）
c
知识形成
不等的基本性质
文字表示
(1)如果第一个数大于第二个数，第二个数 有大于第三个数，那么第一个数大于第三
个数.（传递性）
符号表示
若a>b, b>c, 则a>c
(2)不等式的两边都加上（或减去）同一个 数或同一个式子，不等号的方向不变. （可加性）
3.不等式3x-2<-1解集是 x_X__<_1_/3.
4.如果a>-1,那么a-b _>___ -1-b.
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看谁做得快
5、由x<y得mx>my的条件是 ( D ) A . m≥0 B . m≤0 C. m＞0 D. m＜0 ６、若mx<m,且x>1,则应为 ( A ) A. m<0 B. m>0 C. m≤0 D. m≥0 ７、若m是有理数,则-7m与3m的大小关系应是 ( D ) A. -7m<3m B. -7m>3m C. -7m≤3m D. 不能确定
a <b
b<c
∴你们班某同学年龄 比爸爸妈妈 小.
则a < c
性质一: （传递性） 如果a>b, b>c, 那么a>c,
即a>b, b>c a>c;
如：5>2,2>0所以5>0
性质二：可加性
情景再探
数学老师比 爸爸妈妈年龄小.
假设数学,爸爸妈妈的年 龄分别为a,b
a<b
①10年后谁的年龄大? 则a+10 < b+10
通过这题，你可以得到什么样的结论， 说给其他同学听听！
概括
性质三：可乘性
不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数， 不等号的方向 不变
性质三：可乘性
如果a ＞ b,并且c ＞ 0,那么ac ＞ bc
概括
性质三：可乘性
不等式的两边都乘以（或除以）同一个负 数，
不等号的方向 改变
性质三： 如果a ＞ b,并且c ＜ 0,那么ac ＜ bc
课堂小结
1.不等式的概念：含有不等号的式 子称为不等式
2.不等式的性质是通过与等式的类比、 观察、发现、实验、归纳的方法而得 到. 3.不等式的三个性质： ①传递性：若a>b, b>c, 则a>c ②可加性：若a>b，则a+c>b+c或a-c>b-c ③可乘性：若a>b，且c>0,则ac>bc
②20年之后呢?
a+20 < b+20
③5年之前呢?
a-5 < b-5
不等式性质2 不等式两边加（或减）同一个数（或式子）， 不等号的方向不变。
观察
b
bc
a
+c a c
-c
不等式性质2 不等式两边加（或减）
同一个数（或式子），不等号的方向不变。
如果a＞b，那么a±c＞b±c. （性质二：可加性）
练习：看谁填得又快又准确
(1) 若 x﹥y， 则 x － z ﹤ y － z ;
(2) 若 x﹤0， 则 3x ﹤ 5x ;
(3) 若 x﹥y， 则 x z 2 ﹥ y z 2 ;
你同意他的做法吗？
知识应用
例1. 根据不等式的基本性质,把下列不等式化成
x>a或x<a的形式.
1
1. x-2<3 2. 6x<5x-1 3. 2 x>5 4. –4x>3
新课引入：
1：x＞2 2：x ＜3 3：t≥-5 4：t≤10 5：a ＜17 6：-7＜-5 7：3+4＞1+4 8：5+3≠12-5 9：a+2＞a+1 10：x+3 ＜6 11：a≠0 (1)这些符号两侧的代数式可随意交换
位置吗？ 不可随意互换位置 (2)什么叫不等式？
用不等号表示不等关系的式子叫不等式。
若a<b,则a+c< b+c （或a-c< b-c)
(3) 不等式的两边都乘以（或除以）同一个 若a<b , 且c>0,
> > 正数（负数）不等号的方向不变（改变）
则ac
bc(或
a c
b c
)
若a<b且c＜0则ac＜bc或（c／a＜c／b） （可乘性）
小辉在学了不等式的基本性质这一节后，他 觉得很容易；并用很快的速度做了一道填空题， 结果如下：
(1)5＜7,则5+4__＜__7+4 (2)-12＜-4,则-12+a_＜__-4+a (3)若a＞b,则2a_＞___a+b
性质三：可乘性
• 请用＜、＞、=填空 • 12___4 • 12 × 8___4 × 8 • 10 × 6___4 × 6 • 10 × 0.5___4 × 0.5
10 ÷2 ___4 ÷2
表示不等关系的词语
大于 ＞
不大于≤ 小于＜
不小于≥ 不等于≠ 至多≤ 至少≥
超过 ＞ 不超过 ≤ 不到＜ 多于 ＞ 少于 ＜ 高于＞ 低于 ＜
讲授新课：
性质一：传递性
情情景景初二探
你们班某同学年龄 比数学老师小,
数学老师年龄 比爸爸妈妈小,
假设你们,数学, 爸爸妈妈 三位老师的年龄分别为 a,b,c
• 10 ×（-3）____4 ×（-3） • 10 ×（-2）____4 ×（-2）
答案
• 12 ＞ 4 • 12 × 8 ＞ 4 × 8 • 10 × 6 ＞ 4 × 6
• 10 × 0.5＞4 × 0.5 10 ÷2 ＞4 ÷2
• 10 ×（-3） ＜ 4 ×（-3） • 10 × （-2） ＜ 4 ×（-2）
解：x-2+2<3+2
解：6x-5x<-1
解：1x×2>5×2
2
解–4x×
(
1 4
)
<3×(
1 4
)
x<5
x<－1
x>10
x<
3 4
知识应用
例2. 设a>b,用“<”或“>”填空. 1. a －3__>__b –3 2. -4a__<__-4b 3. 2－3a___<___2－3b
1.若-m>5，则m _<____ - 5. 2.如果x/y>0, 那么xy _>____ 0.
由此可见，“不相等”处处可见。 从今天起，我们开始学习一类新的数学知识：不等式．
复习： 含有等号的式子叫等式 由a+5=b+5, 能得到a=b？ 由a-5=b-5, 能得到a=b？
由5a=5b, 能得到a=b？
由0.5a=0.5b, 能得到a=b？
等式基本性质1 等式两边都加上（或减去）同一个数 （或式子），等式仍旧成立。
即：若a=b，则a±c=b±c
等式基本性质2
等式的两边都乘以（或除以）同一 个不为0的数，等式仍旧成立。
即：若a=b，则ac=bc， 或a÷c＝b÷c（c≠0）
如果a＞b且c ＞ 0，那么ac＞bc.（或 a ＞ b ） cc
ab
如果a＞b且c
＜
0，那么ac＜bc.（或
c
＜
）
c
知识形成
不等的基本性质
文字表示
(1)如果第一个数大于第二个数，第二个数 有大于第三个数，那么第一个数大于第三
个数.（传递性）
符号表示
若a>b, b>c, 则a>c
(2)不等式的两边都加上（或减去）同一个 数或同一个式子，不等号的方向不变. （可加性）
3.不等式3x-2<-1解集是 x_X__<_1_/3.
4.如果a>-1,那么a-b _>___ -1-b.
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看谁做得快
5、由x<y得mx>my的条件是 ( D ) A . m≥0 B . m≤0 C. m＞0 D. m＜0 ６、若mx<m,且x>1,则应为 ( A ) A. m<0 B. m>0 C. m≤0 D. m≥0 ７、若m是有理数,则-7m与3m的大小关系应是 ( D ) A. -7m<3m B. -7m>3m C. -7m≤3m D. 不能确定
a <b
b<c
∴你们班某同学年龄 比爸爸妈妈 小.
则a < c
性质一: （传递性） 如果a>b, b>c, 那么a>c,
即a>b, b>c a>c;
如：5>2,2>0所以5>0
性质二：可加性
情景再探
数学老师比 爸爸妈妈年龄小.
假设数学,爸爸妈妈的年 龄分别为a,b
a<b
①10年后谁的年龄大? 则a+10 < b+10
通过这题，你可以得到什么样的结论， 说给其他同学听听！
概括
性质三：可乘性
不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数， 不等号的方向 不变
性质三：可乘性
如果a ＞ b,并且c ＞ 0,那么ac ＞ bc
概括
性质三：可乘性
不等式的两边都乘以（或除以）同一个负 数，
不等号的方向 改变
性质三： 如果a ＞ b,并且c ＜ 0,那么ac ＜ bc
课堂小结
1.不等式的概念：含有不等号的式 子称为不等式
2.不等式的性质是通过与等式的类比、 观察、发现、实验、归纳的方法而得 到. 3.不等式的三个性质： ①传递性：若a>b, b>c, 则a>c ②可加性：若a>b，则a+c>b+c或a-c>b-c ③可乘性：若a>b，且c>0,则ac>bc
②20年之后呢?
a+20 < b+20
③5年之前呢?
a-5 < b-5
不等式性质2 不等式两边加（或减）同一个数（或式子）， 不等号的方向不变。
观察
b
bc
a
+c a c
-c
不等式性质2 不等式两边加（或减）
同一个数（或式子），不等号的方向不变。
如果a＞b，那么a±c＞b±c. （性质二：可加性）
练习：看谁填得又快又准确
(1) 若 x﹥y， 则 x － z ﹤ y － z ;
(2) 若 x﹤0， 则 3x ﹤ 5x ;
(3) 若 x﹥y， 则 x z 2 ﹥ y z 2 ;
你同意他的做法吗？
知识应用
例1. 根据不等式的基本性质,把下列不等式化成
x>a或x<a的形式.
1
1. x-2<3 2. 6x<5x-1 3. 2 x>5 4. –4x>3
新课引入：
1：x＞2 2：x ＜3 3：t≥-5 4：t≤10 5：a ＜17 6：-7＜-5 7：3+4＞1+4 8：5+3≠12-5 9：a+2＞a+1 10：x+3 ＜6 11：a≠0 (1)这些符号两侧的代数式可随意交换
位置吗？ 不可随意互换位置 (2)什么叫不等式？
用不等号表示不等关系的式子叫不等式。
若a<b,则a+c< b+c （或a-c< b-c)
(3) 不等式的两边都乘以（或除以）同一个 若a<b , 且c>0,
> > 正数（负数）不等号的方向不变（改变）
则ac
bc(或
a c
b c
)
若a<b且c＜0则ac＜bc或（c／a＜c／b） （可乘性）
小辉在学了不等式的基本性质这一节后，他 觉得很容易；并用很快的速度做了一道填空题， 结果如下：
(1)5＜7,则5+4__＜__7+4 (2)-12＜-4,则-12+a_＜__-4+a (3)若a＞b,则2a_＞___a+b
性质三：可乘性
• 请用＜、＞、=填空 • 12___4 • 12 × 8___4 × 8 • 10 × 6___4 × 6 • 10 × 0.5___4 × 0.5
10 ÷2 ___4 ÷2
表示不等关系的词语
大于 ＞
不大于≤ 小于＜
不小于≥ 不等于≠ 至多≤ 至少≥
超过 ＞ 不超过 ≤ 不到＜ 多于 ＞ 少于 ＜ 高于＞ 低于 ＜
讲授新课：
性质一：传递性
情情景景初二探
你们班某同学年龄 比数学老师小,
数学老师年龄 比爸爸妈妈小,
假设你们,数学, 爸爸妈妈 三位老师的年龄分别为 a,b,c
• 10 ×（-3）____4 ×（-3） • 10 ×（-2）____4 ×（-2）
答案
• 12 ＞ 4 • 12 × 8 ＞ 4 × 8 • 10 × 6 ＞ 4 × 6
• 10 × 0.5＞4 × 0.5 10 ÷2 ＞4 ÷2
• 10 ×（-3） ＜ 4 ×（-3） • 10 × （-2） ＜ 4 ×（-2）
解：x-2+2<3+2
解：6x-5x<-1
解：1x×2>5×2
2
解–4x×
(
1 4
)
<3×(
1 4
)
x<5
x<－1
x>10
x<
3 4
知识应用
例2. 设a>b,用“<”或“>”填空. 1. a －3__>__b –3 2. -4a__<__-4b 3. 2－3a___<___2－3b
1.若-m>5，则m _<____ - 5. 2.如果x/y>0, 那么xy _>____ 0.