离心率的简单计算

例6、设椭圆
x2 a2

y2 b2
1(a
b
0)
的左、右焦点分别是F1 ，F2 ，
如果在椭圆上存在一点 P ，使 F1PF2 120，则椭圆离心 率的取值范围是 （ ）
A、
3 2
， 1
B、
3 2
， 1
C、
0， 3 2

D、
解析：根据性质１：kABkOM e2 1 从而 e 1 1 ．3
42
，所以 - 1 1 e2 1 ，
22
性质 2： AB是椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)
上过原点的弦，
P是椭
圆上异于A、B 的任意一点，则 kPAkPB e2 1 ；（此性质也
称为椭圆的第三定义）
0， 3 2


解析，根据性质 5，设 F1PF2 ，根据最大角问题 ，
cos 1 2e2 ，所以 1- 2e2 - 1
2
即
3 e 1
2
所以 选A
当堂检测：
1、已知椭圆C：
x2 a2
Βιβλιοθήκη Baidu
y2 b2
1(a

b

0)
的离心率
e 3 2
， A 、 B分别是
椭圆的左、右顶点，点P是椭圆上的一点，直线PA 、PB 的倾斜角
双曲线中的结论同样为：kPAkPB e2 1 。
例2：已知 A、B为双曲线 E的左，右顶点，点 M在 E上， ������ABM 为等腰三角形，顶角为120°，则E 的离心率为 ( )
A、 5 B、2 C、 3 D、 2
解析：由题可知kMAkMB
3 3
3 1
，
根据性质 2 kMAkMB e2 1 ，从而 e 2

b

0)
的任意一条弦，O 为椭
圆的中心，M 为 AB的中点，则 ； kABkOM e2 1
双曲线中的结论同样为：
例1：已知椭圆
x2 a2

y2 b2
1(a

b

0)
kABkOM e
，直线
2
l
1
:x
2
。
y4

0
与椭
圆相交于 A，B 两点，且AB的中点 M坐标为（2，
1），则椭圆的离心率为___________．

s in 120 sin 30 - sin 90

2 1- 1

3
2
所以选B
， 由性质 3
性质
4：已知椭圆
x2 a2

y2 b2
1(a b 0)
，两焦点分别为 F1，F2
，
设焦点三角形PF1F2 中，F1PF2 ，则 cos 1 2e2 。
例5、设椭圆
x2 a2
椭圆双曲线离心率的求法
学习目标：
1．掌握离心率的定义，并由定义推导出常见 的离 心率速算公式； 2．会利用椭圆双曲线的几何性质来简化离心率的计
算公式．
学习重难点：
1．离心率的推导公式及变形；
2．椭圆双曲线中一些二级结论在离心率求解中 的应用．
性质 1：AB 是椭圆
x2 a2

y2 b2
1(a
故选：D。
性质 3：椭圆
x2 a2

y2 b2
1(a
b
0)
中，设
F1
、F2
是椭圆的两个
焦点， P为椭圆上任一点．若 PF1F2 , PF2F1
则 e sin( ) ；
sin sin
双曲线中的结论为：e
sin( ) sin - sin

b

0的) 左、右焦点分别是
F1、 F2，
过 F1 作倾斜角为 30 的直线交双曲线右支于M 点， 若 MF2 垂直于 X轴，则双曲线的离心率为 （ ）
A、 6
B、 3
C、 2
D、33
解析：由题可知 MF1F2 30 ，MF1F2 90
3
e
sin( ) sin - sin
Ａ、 2 -1 B、 2
C、 2 1
D、 2 2
解析：由性质 3 sin( )
sin 45
e sin sin sin 90 - sin 45 2 1
x2 y2
例３：已知椭圆 a2 b2 1(a b 0) ，左右焦点分别是 F1 、F2 ，
焦距为 2c，若直线 y 3(x c) 与椭圆交于 点M，
满足 MF1F2 2MF2F1 ，则离心率是 （
）
A、 2
2
B、 3 -1
C、 3 -1
2
D、 3
2
解析：由题可知，直线 y 3(x c) 过椭圆左焦点，
且 MF1F2 60 ，由 MF1F2 2MF2F1 得，MF2F1 30 ，
由性质 3，可得 e
sin( ) sin sin

sin
sin 90 60 sin
30

1 31
3 1
22
例4：双曲线
x2 a2
-
y2 b2
1(a

y2 b2
1(a

b

0)
的左、右焦点分是 F1 ， F2 ，
如果在椭圆上存在一点P，使 率的取值范围是_________。
F1PF2 为钝角，则椭圆离心
解析：根据性质 5，设 F1PF2 ，根据最大角问题
cos 1 2e2 ，所以 1- 2e2 0
，即
2 e 1 2
分别为 α、 满足 tan tan 1 ，则直线 PA的斜率为
________．
解析、由题可知
解得
k1

1 2
2
k1k2

tan
tan


e2
1

1 4
，又 tan tan k1 k2 1
1 2
故答案为： 2
２曲则、线双过于曲双线P、曲的Q线离，的心一率F1 个是ｅ焦另等点一于焦F（2 点作），垂若直于实PF轴1Q的 直2 线，交，双