离心率的简单计算
教学设计1：2.3.2 双曲线的简单几何性质
2．3.2双曲线的简单几何性质◆知识与技能目标了解平面解析几何研究的主要问题：（1）根据条件，求出表示曲线的方程；（2）通过方程，研究曲线的性质．理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念；掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题．◆过程与方法目标让学生参与并掌握利用信息技术探究点的轨迹问题，培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能．◆情感、态度与价值观目标在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探究，教学相长的教学活动情境，结合教学内容，培养学生科学探索精神、审美观和科学世界观，激励学生创新．◆教学过程一.复习引入双曲线的定义及标准方程二.思考分析问题1：双曲线的对称轴和对称中心各是什么？提示：坐标轴、坐标原点问题2：在双曲线中，有两条线与双曲线无限靠近，但不能相交，这条直线叫做什么？提示：双曲线的渐近线．问题3：过双曲线的某个焦点平行于渐近线的直线与双曲线有几个交点？提示：只有一个交点．三.抽象概括1．双曲线的几何性质F(－c,0)，F(c,0)F(0，－c)，F(0，c)实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是y ＝±x ，离心率为e ＝ 2.1．双曲线的焦点和顶点在同一条对称轴上．2．利用双曲线的渐近线可以较为精确地画出双曲线，渐近线是直线x ＝±a ，y ＝±b (或x ＝±b ，y ＝±a )围成的矩形的对角线，它决定了双曲线的形状．3．为了便于记忆，根据双曲线的标准方程求它的渐近线方程时，可以把双曲线标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)中等号右边的“1”改成“0”，然后分解因式即可得到渐近线的方程x a ±yb ＝0. 四.例题分析及练习[例1] 求双曲线nx 2－my 2＝mn (m >0，n >0)的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．[思路点拨] 化为标准形式→求a ，b ，c →得双曲线的几何性质 [精解详析] 把方程nx 2－my 2＝mn (m >0，n >0)化为标准方程x 2m －y 2n＝1(m >0，n >0)， 由此可知，半实轴长a ＝m ，半虚轴长b ＝n ，c ＝m ＋n ， 焦点坐标为(m ＋n ，0)，(－m ＋n ，0)，离心率e ＝ca ＝m ＋n m ＝1＋nm， 顶点坐标为(－m ，0)，(m ，0)，渐近线的方程为y ＝±n mx ，即y ＝±mn m x .[感悟体会] 已知双曲线的方程求其几何性质时，若方程不是标准形式的先化成标准方程．弄清方程中的a ，b 对应的值，再利用c 2＝a 2＋b 2得到c ，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的几何性质． 训练题组11．(2011·安徽高考)双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4D ．42解析：双曲线方程可变形为x 24－y 28＝1，所以a 2＝4，a ＝2，2a ＝4.答案：C2．已知双曲线C 的焦点、顶点恰好分别是椭圆x 225＋y 216＝1的长轴端点、焦点，则双曲线C的渐近线方程为( ) A ．4x ±3y ＝0B ．3x ±4y ＝0C ．4x ±5y ＝0D ．5x ±4y ＝0解析：由已知得，双曲线焦点在x 轴上，且c ＝5，a ＝3， ∴双曲线方程为x 29－y 216＝1.∴渐近线方程为x 29－y 216＝0，即x 3±y4＝0.答案：A[例2] 求适合下列条件的双曲线标准方程： (1)虚轴长为12，离心率为54；(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±32x ；(3)与双曲线x 2－2y 2＝2有公共的渐近线，且过点M (2，－2)． [思路点拨]分析双曲线的几何性质→求a ，b ，c →确定讨论焦点位置→求双曲线的标准方程[精解详析] (1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题意知2b ＝12，c a ＝54且c 2＝a 2＋b 2，∴b ＝6，c ＝10，a ＝8，∴标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1.(2)法一：当焦点在x 轴上时，b a ＝32且a ＝3，∴b ＝92.∴所求的方程为x 29－4y 281＝1.当焦点在y 轴上时，a b ＝32且a ＝3，∴b ＝2.∴所求的方程为y 29－x 24＝1.法二：设以y ＝±32x 为渐近线的双曲线方程为x 24－y 29＝λ(λ≠0)．当λ>0时，a 2＝4λ，∴2a ＝24λ＝6⇒λ＝94；当λ<0时，a 2＝－9λ，∴2a ＝2－9λ＝6⇒λ＝－1. ∴所求的方程为x 29－4y 281＝1和y 29－x 24＝1.(3)设与双曲线x 22－y 2＝1有公共渐近线的双曲线方程为x 22－y 2＝k ，将点(2，－2)代入得k ＝222－(－2)2＝－2，∴双曲线的标准方程为y 22－x 24＝1.[感悟体会] 由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论．为了避免讨论，也可设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)．若已知双曲线的渐近线方程y ＝±ba x ，还可以将方程设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)，可避免讨论焦点的位置．训练题组23．若双曲线的一个焦点为(0，－13)，且离心率为135，则其标准方程为( )A.x 252－y 2122＝1B.y 2122－x 252＝1C.x 2122－y 252＝1D.y 252－x 2122＝1 解析：依题意可知，双曲线的焦点在y 轴上，且c ＝13.又c a ＝135，所以a ＝5，b ＝c 2－a 2＝12，故其标准方程为y 252－x 2122＝1. 答案：D4．与椭圆x 29＋y 225＝1共焦点，离心率之和为145的双曲线标准方程为________．解析：椭圆的焦点是(0,4)，(0，－4)，∴c ＝4，e ＝45，∴双曲线的离心率等于145－45＝2，∴4a ＝2，∴a ＝2.∴b 2＝42－22＝12.∴双曲线的标准方程为y 24－x 212＝1. 答案：y 24－x 212＝1.[例3] 已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，PQ 是经过F 1且垂直于x 轴的双曲线的弦．如果∠PF 2Q ＝90°，求双曲线的离心率． [思路点拨]设F 1c ，0，将焦点F 1的横坐标代入方程→求出P 的纵坐标及|PF 1|→由∠PF 2Q ＝90°建立a ，b ，c 的关系→求出离心率[精解详析] 设F 1(c,0)，由|PF 2|＝|QF 2|，∠PF 2Q ＝90°，知|PF 1|＝|F 1F 2|＝2c ，|PF 2|＝22c . 由双曲线的定义得22c －2c ＝2a .∴e ＝c a ＝222－2＝1＋ 2.所以所求双曲线的离心率为1＋ 2.[感悟体会] (1)求双曲线离心率的常见方法：一是依据条件求出a ，c ，再计算e ＝ca；二是依据条件建立参数a ，b ，c 的关系式，一种方法是消去b 转化成离心率e 的方程求解，另一种方法是消去c 转化成含b a 的方程，求出ba后利用e ＝1＋b 2a2求离心率． (2)求离心率的范围一般是根据条件建立a ，b ，c 的不等式，通过解不等式得c a 或ba 的范围，再求得离心率的范围． 训练题组35．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为( )A. 3B. 2C.52D.22解析：由题意可知，此双曲线为等轴双曲线．等轴双曲线的实轴与虚轴相等，则a ＝b ，c ＝ a 2＋b 2＝2a ，于是e ＝ca ＝ 2.答案：B6．设a >1，则双曲线x 2a2－y 2a ＋12＝1的离心率e 的取值范围是( )A ．(2，2)B ．(2， 5)C ．(2,5)D ．(2, 5) 解析：e 2＝a 2＋a ＋12a 2＝1a 2＋2a ＋2＝(1a＋1)2＋1， ∵a >1，∴0<1a <1,1<1a ＋1<2，∴2<e 2<5.又e >1，∴2<e < 5.答案：B7．(2012·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m的值为________．解析：由题意得m ＞0，∴a ＝m ，b ＝m 2＋4，c ＝m 2＋m ＋4， 由e ＝ca ＝5得m 2＋m ＋4m ＝5，解得m ＝2.答案：2五.课堂小结与归纳1．已知双曲线的方程讨论其几何性质时，需先看所给方程是否为标准方程，若不是，需先把方程化为标准方程，然后由方程确定焦点所在的坐标轴，找准a 和b ，才能正确地写出焦点坐标、顶点坐标等．2．如果已知双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，那么双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．3．双曲线的离心率e ＝ca ＝1＋b a2(a >0，b >0)．六.当堂训练1．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 210－y 26＝1 D.x 26－y 210＝1 解析：由题意e ＝ca ＝2，∴c ＝2a .又c ＝4，∴a ＝2.∴b 2＝42－22＝12.∴双曲线方程是x 24－y 212＝1.答案：A2．(2011·湖南高考)设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：∵x 2a 2－y 29＝1(a >0)，∴双曲线的渐近线方程为x 2a 2－y 29＝0，即3x ±ay ＝0.又双曲线的渐近线方程为3x ±2y ＝0，∴a ＝2. 答案：C3．若双曲线x 29－y 2m ＝1的渐近线的方程为y ＝±53x ，则双曲线焦点F 到渐近线的距离为( )A. 5B.14 C ．2 D ．25解析：∵a ＝3，b ＝m ，∴m 3＝53，∴m ＝5，∴c ＝ a 2＋b 2＝14，∴一个焦点的坐标为(14，0)，到渐近线的距离d ＝|5×14－3×0|5＋9＝ 5.答案：A4．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为边作正△MF 1F 2.若双曲线恰好平分该三角形的另两边，则双曲线的离心率为( ) A ．1＋ 3 B ．4＋2 3 C ．23－2 D ．23＋2解析：如图，设N 为MF 2的中点，N 在双曲线上，∴|NF 1|－|NF 2|＝2a .又|F 1N |＝3c ，|NF 2|＝c ，∴3c －c ＝2a ，∴e ＝c a ＝23－1＝3＋1.答案：A5．(2011·辽宁高考)已知点(2,3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上，C 的焦距为4，则它的离心率为________．解析：根据点(2,3)在双曲线上，可以很容易建立一个关于a ，b 的等式，即4a 2－9b 2＝1.考虑到焦距为4，可得到一个关于c 的等式，2c ＝4，即c ＝2.再加上a 2＋b 2＝c 2，可以解出a ＝1，b ＝3，c ＝2，所以离心率e ＝2. 答案：26．设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为________．解析：设椭圆C 1的方程为x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1>b 1>0)，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＝26，e ＝c 1a 1＝513，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝13，c 1＝5.∴焦距为2c 1＝10.又∵8<10，∴曲线C 2是双曲线．设其方程为 x 2a 22－y 2b 22＝1(a 2>0，b 2>0)，则a 2＝4，c 2＝5，∴b 22＝52－42＝32， ∴曲线C 2的方程为x 242－y 232＝1.答案：x 216－y 29＝17．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)． (1)求此双曲线的方程；(2)若点M (3，m )在此双曲线上，求证：1F M ·2FM ＝0. 解：(1)∵离心率e ＝ca ＝2，∴a ＝b .设双曲线方程为x 2－y 2＝n (n ≠0)，∵(4，－10)在双曲线上，∴n ＝42－(－10)2＝6.∴双曲线方程为x 2－y 2＝6. (2)∵M (3，m )在双曲线上，故m 2＝3.又F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∴kMF 1·kMF 2＝m 3＋23·m 3－23＝－m 23＝－1.∴1F M ·2F M ＝0. 8．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >1，b >0)的焦距为2c ，直线l 过点(a,0)和(0，b )，且点(1,0)到直线l 的距离与点(－1,0)到直线l 的距离之和s ≥45c ，求双曲线离心率e 的取值范围．解：设直线l 的方程为x a ＋yb＝1，即bx ＋ay －ab ＝0.由点到直线的距离公式，且a >1，得点(1,0)到直线l 的距离d 1＝ba －1a 2＋b 2，点(－1,0)到直线l 的距离d 2＝ba ＋1a 2＋b 2.∴s ＝d 1＋d 2＝2ab a 2＋b 2＝2abc . 由s ≥45c ，得2ab c ≥45c ，即5a c 2－a 2≥2c 2.∵e ＝ca ，∴5e 2－1≥2e 2，∴25(e 2－1)≥4e 4，即4e 4－25e 2＋25≤0，∴54≤e 2≤5(e >1)．∴52≤e ≤5，即e 的取值范围为[52，5]．。
高中数学知识点精讲精析 椭圆的简单性质
1.2 椭圆的简单性质1．我们把定值e=c/a(0<e<1) 叫做椭圆的离心率。
当e 越接近于1时，c 越接近于a ，从而b 越小，因此椭圆越扁；反之，e 越接近于0，从而b 越接近于a ，椭圆越接近于圆。
可见离心率是刻画椭圆圆扁程度的量。
2．．椭圆的顶点：曲线与坐标轴的交点叫做曲线的顶点。
同时我们把AA1,BB1分别叫做椭圆的长轴和短轴。
另外我们将a,b 叫半长轴长和半短轴长。
3．椭圆的范围：椭圆位于一个矩形内。
4．椭圆的对称性：椭圆既关于坐标轴对称，又关于原点对称。
1 设x ，R ∈y ，x y x 63222=+，求x y x 222++的最大值和最小值．分析：本题的关键是利用形数结合，观察方程x y x 63222=+与椭圆方程的结构一致．设m x y x =++222，显然它表示一个圆，由此可以画出图形，考虑椭圆及圆的位置关系求得最值．【解析】由x y x 63222=+，得123492322=+⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x 可见它表示一个椭圆，其中心在⎪⎭⎫ ⎝⎛023，点，焦点在x 轴上，且过（0，0）点和（3，0）点．设m x y x =++222，则()1122+=++m y x 它表示一个圆，其圆心为（－1，0）半径为()11->+m m ．在同一坐标系中作出椭圆及圆，如图所示．观察图形可知，当圆过（0，0）点时，半径最小，即11=+m ，此时0=m ；当圆过（3，0）点时，半径最大，即41=+m ，∴15=m ．∴x y x 222++的最小值为0，最大值为15．2 已知椭圆()012222>>=+b a by a x C ：，A 、B 是其长轴的两个端点． （1）过一个焦点F 作垂直于长轴的弦P P '，求证：不论a 、b 如何变化，120≠∠APB ． （2）如果椭圆上存在一个点Q ，使120=∠AQB ，求C 的离心率e 的取值范围． 分析：本题从已知条件出发，两问都应从APB ∠和AQB ∠的正切值出发做出估计，因此要从点的坐标、斜率入手．本题的第（2）问中，其关键是根据什么去列出离心率e 满足的不等式，只能是椭圆的固有性质：a x ≤，b y ≤，根据 120=∠AQB 得到32222-=-+ay x ay ，将22222y b a a x -=代入，消去x ，用a 、b 、c 表示y ，以便利用b y ≤列出不等式．这里要求思路清楚，计算准确，一气呵成．【解析】（1）设()0，c F ，()0，a A -，()0，a B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒⎩⎨⎧=+=a b c P ba y a xbc x 2222222， 于是()a c a b k AP +=2，()a c ab k BP -=2． ∵APB ∠是AP 到BP 的角．∴()()()2222242221tan c a a c a b a c a b a c a b APB -=-++--=∠ ∵22c a >∴2tan -<∠APB 故3tan -≠∠APB ∴ 120≠∠APB ．（2）设()y x Q ，，则a x y k QA +=，ax y k QB -=． 由于对称性，不妨设0>y ，于是AQB ∠是QA 到QB 的角． ∴22222221tan a y x ay a x y a x y a x y AQB -+=-++--=∠ ∵ 120=∠AQB ， ∴32222-=-+ay x ay 整理得()023222=+-+ay a y x ∵22222y b a a x -= ∴0213222=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-ay y b a ∵0≠y ， ∴2232cab y = ∵b y ≤， ∴b cab ≤2232 232c ab ≤，()222234c c a a ≤-∴04444224≥-+a c a c ，044324≥-+e e ∴232≥e 或22-≤e （舍），∴136<≤e ． 3 已知椭圆19822=++y k x 的离心率21=e ，求k 的值． 分析：分两种情况进行讨论．【解析】当椭圆的焦点在x 轴上时，82+=k a ，92=b ，得12-=k c ．由21=e ，得4=k ． 当椭圆的焦点在y 轴上时，92=a ，82+=k b ，得k c -=12． 由21=e ，得4191=-k ，即45-=k ． ∴满足条件的4=k 或45-=k ． 说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为8+k 与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上．故必须进行讨论．4 已知椭圆142222=+by b x 上一点P 到右焦点2F 的距离为b )1(>b ，求P 到左准线的距离．分析：利用椭圆的两个定义，或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解．解法一：由142222=+by b x ，得b a 2=，b c 3=，23=e ． 由椭圆定义，b a PF PF 4221==+，得b b b PF b PF 34421=-=-=． 由椭圆第二定义，e d PF =11，1d 为P 到左准线的距离， ∴b e PF d 3211==，即P 到左准线的距离为b 32．解法二：∵e d PF =22，2d 为P 到右准线的距离，23==a c e ， ∴b e PF d 33222==． 又椭圆两准线的距离为b c a 33822=⋅． ∴P 到左准线的距离为b b b 32332338=-． 说明：运用椭圆的第二定义时，要注意焦点和准线的同侧性．否则就会产生误解． 椭圆有两个定义，是从不同的角度反映椭圆的特征，解题时要灵活选择，运用自如．一般地，如遇到动点到两个定点的问题，用椭圆第一定义；如果遇到动点到定直线的距离问题，则用椭圆的第二定义．5 设椭圆⎩⎨⎧==.sin 32,cos 4ααy x (α为参数)上一点P 与x 轴正向所成角3π=∠POx ，求P 点坐标．分析：利用参数α与POx ∠之间的关系求解．【解析】 设)sin 32,cos 4(ααP ，由P 与x 轴正向所成角为3π， ∴ααπcos 4sin 323tan =，即2tan =α． 而0sin >α，0cos >α，由此得到55cos =α，552sin =α， ∴P 点坐标为)5154,554(．。
第二章 3.2双曲线的简单性质
3.2 双曲线的简单性质学习目标 1.了解双曲线的简单性质(对称性、范围、顶点、实轴长和虚轴长等).2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.掌握标准方程中a，b，c，e间的关系．知识点一 双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线思考 类比椭圆的简单性质，结合图像，你能得到双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的哪些性质？答案 范围、对称性、顶点、离心率、渐近线．梳理图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈R y≥a或y≤－a，x∈R知识点二 双曲线的离心率双曲线的焦距与实轴长的比ca，叫作双曲线的离心率，记为e＝ca，其取值范围是(1，＋∞)．e越大，双曲线的张口越大．知识点三 双曲线的相关概念1．双曲线的对称中心叫作双曲线的中心．2．实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线，它的渐近线方程是y＝±x.1．双曲线有四个顶点，分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点．( × )2．双曲线的离心率越大，双曲线的开口越开阔．( √ )3．双曲线x2－y2＝m(m≠0)的离心率为2，渐近线方程为y＝±x.( √ )4．平行于渐近线的直线与双曲线相交，且只有一个交点．( √ )类型一 由双曲线方程研究其性质例1 求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．考点 双曲线的简单性质题点 由双曲线方程研究其性质解 将9y2－4x2＝－36变形为x29－y24＝1，即x232－y222＝1，所以a＝3，b＝2，c＝13，因此顶点坐标为(－3,0)，(3,0)；焦点坐标为(－13，0)，(13，0)；实轴长是2a＝6，虚轴长是2b＝4；离心率e＝ca＝133；渐近线方程为y＝±ba x＝±23x.反思与感悟 由双曲线的方程研究其性质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类问题的关键．(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值．(3)由c2＝a2＋b2求出c值，从而写出双曲线的简单性质．跟踪训练1 求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．考点 双曲线的简单性质题点 由双曲线方程研究其性质解 把方程9y2－16x2＝144化为标准方程y242－x232＝1.由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3；c＝a2＋b2＝42＋32＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0,5)；离心率e＝ca＝54；渐近线方程为y＝±43x.类型二 由双曲线的简单性质求标准方程例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)虚轴长为12，离心率为54；(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±32x；(3)求与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)的双曲线方程．考点 双曲线性质的应用题点 由双曲线的性质求方程解 (1)设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1或y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)．由题意知2b＝12，ca＝54，且c2＝a2＋b2，∴b＝6，c＝10，a＝8.∴双曲线的标准方程为x264－y236＝1或y264－x236＝1.(2)设以y＝±32x为渐近线的双曲线方程为x24－y29＝»(»≠0)．当»>0时，a2＝4»，∴2a＝24λ＝6⇒»＝94；当»<0时，a2＝－9»，∴2a＝2－9λ＝6⇒»＝－1.∴双曲线的标准方程为x29－y2814＝1或y29－x24＝1.(3)设与双曲线x22－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为x22－y2＝»(»≠0)．将点M(2，－2)代入双曲线方程，得»＝222－(－2)2＝－2，∴双曲线的标准方程为y22－x24＝1.反思与感悟 1.求双曲线的标准方程的步骤(1)确定或分类讨论双曲线的焦点所在的坐标轴．(2)设双曲线的标准方程．(3)根据已知条件或简单性质列方程，求待定系数．(4)求出a，b，写出方程．2．(1)与双曲线x2a2－y2b2＝1共焦点的双曲线方程可设为x2a2－λ－y2b2＋λ＝1(»≠0，－b2<»<a2)．(2)与双曲线x2a2－y2b2＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝»(»≠0)．(3)渐近线为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝»(»≠0)．跟踪训练2 求满足下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为53；(2)两顶点间的距离是6，两焦点的连线被两顶点和中心四等分；(3)焦点在x轴上，离心率为2，且过点(5,4)．考点 双曲线性质的应用题点 由双曲线的几何性质求方程解 (1)由题意知，2b＝8，ca＝53，又c2＝a2＋b2，∴a＝3，b＝4，故双曲线方程为x29－y216＝1.(2)由题意知，2a＝6,2c＝4a＝12，又b2＝c2－a2，∴a2＝9，b2＝27，∴双曲线方程为x29－y227＝1或y29－x227＝1.(3)∵ca＝2，∴双曲线为等轴双曲线，则可设双曲线方程为x2－y2＝»(»>0)，将点(5,4)代入双曲线方程，得»＝9，∴双曲线方程为x29－y29＝1.类型三 与双曲线有关的离心率问题命题角度1 求双曲线离心率的值例3 设F1，F2分别为双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝94ab，则该双曲线的离心率为( )A.43B.53C.94D．3考点 双曲线的简单性质题点 求双曲线的离心率的值答案 B解析 考虑双曲线的对称性，不妨设P在右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a，而|PF1|＋|PF2|＝3b，两式等号左右两边平方后相减，得|PF1|·|PF2|＝9b2－4a24.又已知|PF1|·|PF2|＝94ab，∴94ab＝9b2－4a24，得ba＝43(负值舍去)．∴该双曲线的离心率e＝ca＝1＋(ba2＝1＋(432＝53.引申探究若本例条件“|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝94ab”改为“若PF1⊥PF2，且∠PF1F2＝30°”，结果如何？解 作出满足题意的几何图形(如图)，设点P在双曲线右支上．∵PF1⊥PF2，|F1F2|＝2c，且∠PF1F2＝30°，∴|PF2|＝c，|PF1|＝3c.又点P在双曲线的右支上，∴|PF1|－|PF2|＝(3－1)c＝2a，∴e＝ca＝23－1＝3＋1.反思与感悟 求双曲线离心率的常见方法(1)依据条件求出a，c，再计算e＝ca.(2)依据条件建立参数a，b，c的关系式，一种方法是消去b转化为离心率e的方程求解，另一种方法是消去c转化成含ba的方程，求出ba后，利用e＝1＋(ba2求解．跟踪训练3 双曲线x2a2－y2b2＝1(0<a<b)的半焦距为c，直线l过(a,0)，(0，b)两点，且原点到直线l的距离为34c.求双曲线的离心率．考点 双曲线的简单性质题点 求双曲线的离心率的值解 依题意，直线l：bx＋ay－ab＝0.由原点到l的距离为34c，得aba2＋b2＝34c，即ab＝34c2，∴16a2b2＝3(a2＋b2)2，即3b4－10a2b2＋3a4＝0，∴3(b2a22－10×b2a2＋3＝0，解得b2a2＝13或b2a2＝3.又∵0<a<b，∴b2a2＝3.∴e＝1＋b2a2＝2.命题角度2 求双曲线离心率的取值范围例4 已知F1，F2是双曲线x2a2－y2b2＝1(a，b>0)的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2为钝角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围为( ) A．(1，＋∞) B．(2＋1，＋∞)C．(1，2＋1) D．(1，3)考点 双曲线的几何性质题点 求双曲线离心率的取值范围答案 B解析 由题设条件可知△ABF2为等腰三角形，且AF2＝BF2，只要∠AF2B为钝角即可．由题设可得AF1＝b2a，所以有b2a>2c，即2ac<c2－a2，解得e∈(1＋2，＋∞)．故选B.反思与感悟 求离心率的取值范围技巧(1)根据条件建立a，b，c的不等式．(2)通过解不等式得ca或ba的取值范围，求得离心率的取值范围．跟踪训练4 若在双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右支上到原点O和右焦点F距离相等的点有两个，则双曲线的离心率的取值范围为________．考点 双曲线的几何性质题点 求双曲线离心率的取值范围答案 (2，＋∞)解析 由于到原点O和右焦点F距离相等的点在线段OF的垂直平分线上，其方程为x＝c2.依题意，在双曲线x2a2－y2b2＝1 (a>0，b>0)的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个，所以直线x＝c2与右支有两个交点，故应满足c2>a，即ca>2，得e>2.1．双曲线x215－y2＝1与椭圆x225＋y29＝1的( )A．焦点相同B．顶点相同C．实轴与长轴相同D．短轴与虚轴相同考点 双曲线的简单性质题点 由双曲线方程研究其性质答案 A解析 x215－y2＝1的焦点坐标是(±4,0)，x225＋y29＝1的焦点坐标为(±4,0)，故选A.2．设双曲线x2a＋y29＝1的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为( )A．－4 B．－3 C．2 D．1考点 双曲线性质的应用题点 以离心率或渐近线为条件的简单问题答案 A解析 ∵方程表示双曲线，∴a<0，标准方程为y29－x2－a＝1，∴渐近线方程为y＝±3－a x，∴3－a＝32，解得a＝－4.3．设F1和F2为双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的两个焦点，若F1，F2，P(0,2b)是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为( )A.32B．2C.52D．3考点 双曲线的简单性质题点 求双曲线的离心率的值答案 B解析 由题意知tan 60°＝2bc，即2b＝3c，则4b2＝3c2可得4c2－4a2＝3c2，∴(ca2＝4，∴e＝2.4．已知双曲线x2a2－y25＝1(a>0)的右焦点为(3,0)，则双曲线的离心率e＝________.考点 双曲线的简单性质题点 求双曲线的离心率答案 32解析 由题意知a2＋5＝9, 解得a＝2，则e＝ca＝32.5．设双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为________．考点 双曲线的简单性质题点 由条件求渐近线方程答案 y＝±22x解析 由条件知2b＝2,2c＝23，∴b＝1，c＝3，a2＝c2－b2＝2，即a＝2.∴双曲线的渐近线方程为y＝±ba x＝±22x.1．渐近线是双曲线特有的性质，两方程联系密切，把双曲线的标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)右边的常数“1”换为“0”，就是渐近线方程．反之由渐近线方程ax±by＝0变为a2x2－b2y2＝»，再结合其他条件求得»就可得双曲线方程．2．准确画出几何图形是解决解析几何问题的第一突破口．对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质．利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形．一、选择题1．双曲线25x2－9y2＝225的实轴长、虚轴长、离心率分别是( )A．10,6，345B．6,10，343C．10,6，45D．6,10，43考点 双曲线的简单性质题点 由双曲线的方程研究几何性质答案 B解析 双曲线25x2－9y2＝225即为x29－y225＝1，可得a＝3，b＝5，c＝a2＋b2＝34，则实轴长为2a＝6，虚轴长为2b＝10，离心率e＝ca＝343.2．双曲线x24－y212＝1的焦点到渐近线的距离为( )A．2 B．23 C.3 D．1考点 双曲线的简单性质题点 由双曲线方程研究其性质答案 B解析 ∵双曲线x24－y212＝1的一个焦点为F(4,0)，其中一条渐近线方程为y＝3x，∴点F(4,0)到3x－y＝0的距离为432＝23.3．已知双曲线x2－y2m＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m的值是( )A．－4 B.14 C．－14 D．4考点 双曲线性质的应用题点 由双曲线的性质求方程答案 D解析 ∵双曲线x2－y2m＝1的虚轴长和实轴长分别为2m和2，∴2m＝4，∴m＝4.4．已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则双曲线C的方程为( )A.x220－y25＝1B.x25－y220＝1C.x280－y220＝1D.x220－y280＝1考点 双曲线性质的应用题点 由双曲线的性质求方程答案 A解析 双曲线C的渐近线方程为x2a2－y2b2＝0，点P(2,1)在渐近线上，∴4a2－1b2＝0，即a2＝4b2，又a2＋b2＝c2＝25，解得b2＝5，a2＝20，故选A.5．已知双曲线C的焦点、顶点恰好分别是椭圆x225＋y216＝1的长轴端点、焦点，则双曲线C的渐近线方程为( )A．4x±3y＝0 B．3x±4y＝0C．4x±5y＝0 D．5x±4y＝0考点 双曲线的简单性质题点 由条件求渐近线方程答案 A解析 由椭圆x225＋y216＝1知，长轴端点分别为(－5,0)和(5,0)，焦点是(－3,0)，(3,0)，由此可知，双曲线的焦点为(－5,0)，(5,0)，顶点为(－3,0)，(3,0)，所以双曲线方程为x29－y216＝1，所以渐近线方程为4x±3y＝0.6．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，离心率等于32，则双曲线C的方程是( )A.x24－y25＝1B.x24－y25＝1C.x22－y25＝1D.x22－y25＝1答案 B解析 依题意得，c＝3，e＝32，所以a＝2，从而a2＝4，b2＝c2－a2＝5，故选B.7．已知双曲线x22－y2b＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，其一条渐近线方程为y＝x，点P(3，y0)在该双曲线上，则PF1→·PF2→等于( )A．－12 B．－2 C．0 D．4答案 C解析 ∵y＝x为渐近线方程，则b＝2，即双曲线方程为x2－y2＝2.当x＝3时，y20＝1.又双曲线的半焦距为2，∴F1(－2,0)，F2(2,0)，∴PF1→·PF2→＝(－2－3，－y0)·(2－3，－y0)＝－1＋y20＝－1＋1＝0.故选C.8．点P是双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)上的点，F1，F2是其焦点，双曲线的离心率是54，且PF1⊥PF2，若△F1PF2的面积是9，则a＋b的值等于( )A．4 B．5 C．6 D．7考点 双曲线的定义题点 双曲线的焦点三角形答案 D解析 设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则|m－n|＝2a，①又因为PF1⊥PF2，所以m2＋n2＝4c2，②①2－②得－2mn＝4a2－4c2，所以mn＝－2a2＋2c2.又因为△F1PF2的面积是9，所以12mn＝9，所以c2－a2＝9.又因为双曲线的离心率ca＝54，所以c＝5，a＝4，所以b＝3，所以a＋b＝7.二、填空题9．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线方程为y＝±33x，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为________________．考点 双曲线性质的应用题点 由双曲线的性质求方程答案 x24－y243＝1解析 ∵顶点(±a,0)到渐近线的距离为1，∴33a1＋13＝1，解得a＝2.∵ba＝33，∴b＝233.∴双曲线方程为x24－y243＝1.10.如图，F1，F2分别是双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左，右两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则该双曲线的离心率为________．考点 双曲线的简单性质题点 求双曲线的离心率的值答案 3＋1解析 由题意知A点坐标为(－c2，32c，又点A在双曲线上，将点A的坐标代入双曲线方程，得c24a2－3c24b2＝1.①又∵b2＝c2－a2，②由①②，得e＝3＋1.11．设双曲线x29－y216＝1的右顶点为A，右焦点为F.过点F且与双曲线的一条渐近线平行的直线与另一条渐行线交于点B，则△AFB的面积为________．考点 直线与双曲线的位置关系题点 直线与双曲线的综合应用答案 103解析 双曲线x29－y216＝1的右顶点为A(3,0)，右焦点为F(5,0)，其渐近线方程为y＝±43x，由双曲线的对称性，不妨取与y＝43x平行的直线，则FB所在直线的方程为y＝43(x－5)，联立方程 {y＝43x－5，y＝－43x，解得{x＝52，y＝－103，∴S△AFB＝12×||－103×(5－3)＝103.三、解答题12．已知圆M：x2＋(y－5)2＝9，双曲线G与椭圆C：x250＋y225＝1有相同的焦点，且双曲线G的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程．考点 圆锥曲线的综合应用题点 圆锥曲线的综合应用解 椭圆C：x250＋y225＝1的两焦点为F1(－5,0)，F2(5,0)，故双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，且c＝5.设双曲线G的方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，则G的渐近线方程为y＝±ba x，即bx±ay＝0，且a2＋b2＝25.∵圆M的圆心为(0,5)，半径为r＝3.∴|5a|a2＋b2＝3，∴a＝3，b＝4.∴双曲线G的方程为x29－y216＝1.13．已知双曲线E：x2m－y25＝1.(1)若m＝4，求双曲线E的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程；(2)若双曲线E的离心率为e∈(62，2，求实数m的取值范围．考点 双曲线的几何性质题点 由双曲线的方程研究几何性质解 (1)当m＝4时，双曲线方程化为x24－y25＝1，所以a＝2，b＝5，c＝3，所以焦点坐标为(－3,0)，(3,0)，顶点坐标为(－2,0)，(2,0)，渐近线方程为y＝±52x.(2)因为e2＝c2a2＝m＋5m＝1＋5m，e∈(62，2，所以32<1＋5m<2，解得5<m<10，所以实数m的取值范围是(5,10)．四、探究与拓展14.如图，过双曲线x23－y25＝1的左焦点F引圆x2＋y2＝3的切线FP交双曲线右支于点P，T为切点，M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|－|MT|等于( )A.3B.5C.5－3D.5＋3考点 双曲线的定义题点 双曲线定义的应用答案 C解析 由双曲线x23－y25＝1，知a＝3，b＝5，设双曲线的右焦点为F1，连接PF1，可以得到|MO|＝12|PF1|，又∵|PF1|＝|FP|－2a，∴|MO|＝|FP|－2a2.连接OT，∵|FT|2＝|OF|2－|OT|2＝c2－a2＝b2，∴|FT|＝b，∴|MT|＝|MF|－|FT|＝|FP|2－b，∴|MO|－|MT|＝b－a＝5－3.15．已知等轴双曲线的顶点在x轴上，两顶点间的距离是4，右焦点为F.(1)求双曲线的标准方程和渐近线方程；(2)椭圆E的中心在原点O，右顶点与F点重合，上述双曲线中斜率大于0的渐近线交椭圆于A，B两点(A在第一象限)，若AB⊥AF，试求椭圆E的离心率．考点 双曲线的几何性质题点 求双曲线的离心率解 (1)设双曲线的方程为x2λ2－y2λ2＝1(»>0)，则2»＝4，解得»＝2，∴双曲线的方程为x24－y24＝1，渐近线方程为y＝±x.(2)设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，由(1)知F(22，0)，于是a＝22.设A(x0，y0)，则x0＝y0.①∵AB⊥AF，且AB的斜率为1，∴AF的斜率为－1，故y0x0－22＝－1，②由①②解得x0＝2，∴A(2，2)，代入椭圆方程得 2222＋2b2＝1，解得b2＝83，∴c2＝a2－b2＝8－83＝163，得c＝433，∴椭圆E的离心率e＝ca＝43322＝63.。
高考数学专题复习：双曲线(含解析)
高考数学专题复习：双曲线(含解析)本文存在大量的格式错误和段落问题，需要进行修正和删减。
修正后的文章如下：研究目标：1.理解双曲线的定义、几何图形、标准方程以及简单几何性质。
2.理解数形结合的思想。
3.了解双曲线的实际背景及其简单应用。
一、单选题1.设 $F_1,F_2$ 分别是双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左右焦点，点 $P$ 在双曲线 $C$ 的右支上，且 $F_1P=F_2P=c$，则 $\frac{c^2}{a^2-b^2}$ 的值为：A。
$1$B。
$\frac{1}{2}$C。
$\frac{1}{3}$D。
$\frac{1}{4}$答案】B解析】根据双曲线的性质求出 $c$ 的值，结合向量垂直和向量和的几何意义进行转化求解即可。
点睛】本题主要考查双曲线性质的意义，根据向量垂直和向量和的几何意义是解决本题的关键。
2.设 $F_1(-1,0),F_2(1,0)$ 是双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左右焦点，$A(0,b)$ 为左顶点，点$P$ 为双曲线右支上一点，且 $AP=\frac{a}{2}$，则$\frac{b^2}{a^2}$ 的值为：A。
$1$B。
$\frac{1}{2}$C。
$\frac{1}{3}$D。
$\frac{1}{4}$答案】D解析】先求出双曲线的方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，再求出点 $P$ 的坐标，最后求$\frac{b^2}{a^2}$。
点睛】本题主要考查双曲线的几何性质和向量的数量积运算，考查双曲线方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力。
双曲线的通径为 $2a$。
3.已知直线$l$ 的倾斜角为$\theta$，且$l: y=x\tan\theta$，直线 $l$ 与双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左、右两支分别交于 $A,B$ 两点，$OA\perp$轴，$OB\perp$轴（其中 $O$、$F_1,F_2$ 分别为双曲线的坐标原点、左、右焦点），则该双曲线的离心率为：A。
高中数学圆锥曲线有好用的公式
高中数学圆锥曲线有什么好用的公式吗那些考试拿高分的，一定是简单的题目做得又快又对，这样他们才有时间去思考难题。
因此，适当地掌握一些教材中没有提到，但是可以加速解题过程的公式和定理，对提高解题速度，尤其是选择和填空题的解题速度极为有效。
下面就来简单总结一下与圆锥曲线有关的好用公式：1.利用椭圆的焦点三角形快速求离心率通过这一简单的结论，我们可以把一些出现在选择和填空题中的求离心率类的题目迅速解决，只需要画出图，找出角度，代入公式，避免了a，b，c换来换去的繁琐运算，为我们后面的大题节约时间。
我们先证明一下这个公式：通过这一简单的结论，我们可以把一些出现在选择和填空题中的求离心率类的题目迅速解决，只需要画出图，找出角度，代入公式，避免了a，b，c换来换去的繁琐运算，为我们后面的大题节约时间。
【我们先不使用这个定理来解决这个问题】：【在知道公式的情况下】翻译的图像和条件不变：那我们比较这两种做法，显然第一种需要用数学三招去思考，去动点脑筋去想，但如果利用好这个公式，我们几乎不需要思考，只需要熟练的计算即可迅速解出答案！2.利用椭圆的切线方程快速解题只需记下这个简单的结论，在圆锥曲线中椭圆这一章中，遇到切线问题就可以思路更清晰，解题更迅速噢。
【直接记住结论解题】再盯住已经转化过的目标，要求上述式子的最小值，联想有关的定理和定义，我们想到了利用函数的性质或者不等式的方法求最值，所以要把x1•x2，y1•y2，x1+x2换成与m有关的代数式。
利用这个定理，有效的缩短了解题时间，让我们对这一类型的题目处理起来更得心应手。
不仅是椭圆，在圆上这个定理也是成立的：大家记住了吗？3.利用双曲线的焦点三角形快速求离心率通过这一简单的结论，我们可以把一些出现在选择和填空题中的求离心率类的题目迅速解决，只需要画出图，找出角度，代入公式，避免了a，b，c换来换去的繁琐运算，为我们后面的大题节约时间。
我们先证明一下这个公式：因为上次椭圆的已经进行简便性验证了，那么同学们多记这4个字——椭加双减，再加上本身这个公式就很好记，结合三角形对比一下，多记4个字又可以解决一类题，投资回报比是很高的！利用本质教育的第一招翻译，翻译出图形：再利用本质教育的第三招盯住目标立马联想我们背过的公式：椭加双减3.二次曲线弦长万能公式（另外一个类似，可以证明）这就是泽宇老师在录播课中提到的“韦达定理模式”，解大题的时候，把以上证明过程写出来即可。
解析几何-2020年高考数学十年真题精解(全国Ⅰ卷) 解析几何(原卷版)
十年高考真题精解解析几何十年树木，百年树人，十年磨一剑。
本专辑按照最新2020年考纲，对近十年高考真题精挑细选，去伪存真，挑选符合最新考纲要求的真题，按照考点/考向同类归纳，难度分层精析，对全国卷Ⅰ具有重要的应试性和导向性。
三观指的观三题（观母题、观平行题、观扇形题），一统指的是统一考点/考向，并对十年真题进行标灰（调整不考或低频考点标灰色）。
（一）2020考纲（二）本节考向题型研究汇总一、考向题型研究一： 圆锥曲线的基础性质（2019新课标I 卷T10理科）．已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=(2013新课标Ⅰ卷T4理科)已知双曲线C ：2222=1x y a b -(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，则C 的渐近线方程为( )．A ．y ＝14x ±B ．y ＝13x ±C ．y ＝12x ± D ．y ＝±x(2013新课标Ⅰ卷T10理科)已知椭圆E ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )．A ．22=14536x y +B ．22=13627x y +C ．22=12718x y + D ．22=1189x y +（2015新课标I 卷T14理科）一个圆经过椭圆221164x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 .(2014新课标Ⅰ卷T4理科)已知F 为双曲线C ：x 2﹣my 2=3m （m ＞0）的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为（ ） A. B. 3 C.m D.3m（2011新课标I 卷T14理科）在平面直角坐标系xoy ，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1F 2在x 轴上，离心率为．过F l 的直线交于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C的方程为．（2012新课标I 卷T10文科）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线216y x =的准线交于A 、B 两点，||AB =C 的实轴长为（A （B ） （C ）4 （D ）8轨迹条件点集：({M ｜｜MF 1+｜MF 2｜=2a,｜F 1F 2｜＜2a ＝点集：{M ｜｜MF 1｜-｜MF 2｜. =±2a,｜F 2F 2｜＞2a}.点集{M ｜ ｜MF ｜=点M 到直线l 的距离}.图形方程标准方程 (>0) (a>0,b>0) px y 22=参数方程(t 为参数) 范围 ─a x a ，─b y b |x| a ，y R x 0中心原点O （0，0） 原点O （0，0）顶点(a,0), (─a,0), (0,b) ,(0,─b) (a,0), (─a,0) (0,0)对称轴x 轴，y 轴；长轴长2a,短轴长2bx 轴，y 轴;实轴长2a, 虚轴长2b.x 轴焦点 F 1(c,0), F 2(─c,0) F 1(c,0), F 2(─c,0)12222=+b y a x b a >12222=-by a x 为离心角）参数θθθ(sin cos ⎩⎨⎧==b y a x 为离心角）参数θθθ(tan sec ⎩⎨⎧==b y a x ⎩⎨⎧==pt y pt x 222)0,2(p F双曲线：（1）等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率. （2）共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：. （3）共渐近线的双曲线系方程：的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为. 抛物线：（1）抛物线2y =2px(p>0)的焦点坐标是(2p ,0)，准线方程x=-2p，开口向右；抛物线2y =-2px(p>0)的焦点坐标是(-2p ,0)，准线方程x=2p ，开口向左；抛物线2x =2py(p>0)的焦点坐标是(0,2p )，准线方程y=-2p，开口向上；抛物线2x =-2py （p>0）的焦点坐标是（0,-2p ），准线方程y=2p，开口向下. （2）抛物线2y =2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F 的距离20p x MF +=；抛物线2y =-2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F 的距离02x pMF -=（3）设抛物线的标准方程为2y =2px(p>0)，则抛物线的焦点到其顶点的距离为2p ，顶点到准线的距离2p ，焦点到准线的距离为p.（4）已知过抛物线2y =2px(p>0)焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，则线段AB 称为焦点弦，设222a y x ±=-x y ±=2=e λ=-2222b y a x λ-=-2222b y a x 02222=-by a x )0(2222≠=-λλb y a x 02222=-b y a x 0=±b y a x )0(2222≠=-λλby a xA(x1,y1),B(x2,y2)，则弦长AB =21x x ++p 或α2sin 2pAB =(α为直线AB 的倾斜角)，221p y y -=，2,41221p x AF p x x +==(AF 叫做焦半径).二、考向题型研究二： 简单的离心率求解问题（2019新课标I 卷T10文科）双曲线C ：﹣＝1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为（ ） A ．2sin40° B ．2cos40°C ．D ．（2016新课标I 卷T5文科）直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( ) A ．13 B ．12 C ．23 D ．34（2011新课标I 卷T7理科）设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于 A ，B 两点，|AB|为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（ ） A ．B ．C ．2D ．3（2012新课标I 卷T4文科）设1F ,2F 是椭圆E ：2222x y a b+=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，△21F PF 是底角为030的等腰三角形，则E 的离心率为（A ）12 （B ）23 （C ）34 D .45一、直接求出或求出a 与b 的比值，以求解。
椭圆公式离心率
椭圆公式离心率
椭圆的离心率公式是：e=c/a=√(1-b²/a²)。
其中，e代表离心率，c代表焦距，a代表长半轴，b²代表短半轴的平方。
离心率是描述椭圆扁平程度的一种量度，定义为椭圆两焦点间的距离和长轴长度的比值。
在椭圆的长轴不变的前提下，离心率越大，椭圆越扁平；离心率越小，椭圆越接近于圆形。
此外，离心率也可以表示为动点到焦点的距离和动点到准线的距离之比。
在圆锥曲线统一定义中，圆锥曲线（二次非圆曲线）的统一极坐标方程为
ρ=ep/(1-e×cosθ)，其中e表示离心率，p为焦点到准线的距离。
离心率的定义
离心率的定义
离心率是一种测量物体匀加速运动能力的量度，用来衡量某物体在受到外力时能够产生怎样的运动轨迹。
它是指物体在给定的作用力和初始速度下，能够达到的最大速度。
离心率的定义如下：离心率（v）=外力（F）/物体的质量（m）
举例来说，当物体在作用力F的作用下，受到物体质量m的影响而产生的加速度a的大小，就是离心率的定义。
因此，离心率就是物体在作用力的作用下，受到物体质量的影响而产生的加速度。
离心率有两种类型：相对离心率和绝对离心率。
相对离心率是指物体受到外力F的作用，导致物体以前未有的加速度a，使得物体朝着外力F的方向运动，物体产生的加速度是其未受外力作用前未曾产生的，称为相对离心率。
而绝对离心率是指物体在受到外力F的作用下，加速度会大于物体于外力无关时的加速度，即物体的加速度大于0的情况，称为绝对离心率。
离心率的公式只能用于静止的或者不断加速的情况，不能用于摩擦力或其他非加速的情况。
此外，运动学定律也提供了离心率的简单公式：
离心率（v）=a／t
其中，a是指加速度变化值，t是指时间变化值，例如当在一定时间内加速度从0变化a1，则离心率为：
v＝a1/t
由于加速度本身不需要力来产生，因此它可以视为单独的动量计
算量，可以求得物体的加速度，从而计算出物体的离心率。
此外，还可以用物体运动状态来求取离心率，即根据物体的加速度和速度变化趋势，来计算离心率。
离心率是一种常用的测量物体匀加速运动能力的量度，它能帮助我们更准确地估算物体的运动状态，做出更有效的科学判断。
因此，离心率具有重要的意义，在物理、分子力学和力学等不同领域中都有广泛的应用。
离心率的常见求法
离心率的常见求法
离心率是一个有重要意义的机械物理概念，是描述物质或者物体在离心力作用下运动的特性。
常见的离心率求法有：
1、对角法：对角法测量离心率的原理是：根据观察介质的同心圆状态，用视线衡量介质的对角线，从而获得两个半径，离心率就是两个半径之比。
3、椭圆法：椭圆法测量离心率的原理是：由介质形成的椭圆形折线变化，衡量介质的长轴和短轴，利用椭圆长轴和短轴之比，进行求解离心率。
4、三角法：三角法测量离心率的原理是：根据三角形的相关公式，利用介质的试样在极坐标系下的不同的极坐标点的坐标，计算出夹角的正弦、余弦，再求出离心率。
离心率的测量方法有很多，上述的这五种比较常用，其中对角法和三角法最为简单方便，但测量精度较低，旋转法和椭圆法测量精度较高，但较复杂，重力法测量不受介质的影响，推荐使用。
椭圆中的离心率最值问题
椭圆中的离心率最值问题作者：柯淑芳来源：《高中生学习·高二版》2016年第03期椭圆中的离心率最值问题是解析几何中的重点和难点，往往借助于图形的性质、椭圆的范围、正余弦函数的有界性、均值不等式等来构造关于a，b，c的不等式，从而达到求解的目的. 本文主要研究如何利用椭圆焦点三角形中的角求解椭圆中的离心率最值问题.首先给出一些关于椭圆焦点三角形的相关概念和性质如下：椭圆上任意一点P与两焦点所构成的三角形，称为焦点三角形.性质1 若[F1，F2]是椭圆[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的两个焦点，[P]是椭圆上一点，且[∠F1PF2=θ]，则[SΔF1PF2=b2tanθ2].[P][F1][F2][x][y][θ] [O]证明设[PF1=m]，[PF2=n]，由余弦定理得[m2+n2-2mncosθ=F1F22=4c2，]由椭圆定义得[m+n=2a，]由上得：[mn=2（a2-c2）1+cosθ=2b21+cosθ]，[∴][SΔF1PF2=12mnsinθ=b2sinθ1+cosθ=b2tanθ2].性质2 已知椭圆方程为[x2a2+y2b2=1（a>b>0），]两焦点分别为[F1，F2，]设焦点三角形[PF1F2]中[∠F1PF2=θ，]则[cosθ≥1-2e2]（当且仅当动点为短轴端点时取等号）.证明在[△F1PF2]中，由余弦定理可知[cos∠F1PF2=PF12+PF22-F1F222PF1∙PF2][=（PF1+PF2）2-2PF1∙PF2-4c22PF1∙PF2][=2a2-2c2PF1∙PF2-1≥2a2-2c2PF1+PF222-1][=2a2-2c2a2-1=1-2e2].性质3 已知[B]为椭圆短轴的端点，[F1，F2]为椭圆的两个焦点，[O]为坐标原点.①[sin∠F1BO=ca=e]，②[P]为椭圆上任意一点，当[P]位于短轴端点时[∠F1PF2]达到最大值即[∠F1BF2≥∠F1PF2].[P][B][F1][F2][x][y][θ] [O]例1 [F1，F2]为椭圆[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的左右焦点，若椭圆上存在点[P]，使得[∠F1PF2=π2]，求椭圆离心率[e]的取值范围.解法一设[B]为椭圆短轴上的一个端点，则[∠F1BF2≥∠F1PF2=π2].所以，[∠F1BO≥π4].所以，[sin∠F1BO=ca=e≥22].又因为[0解法二利用余弦定理，∵[∠F1BF2≥90°]，∴[cos∠F1BF2=a2+a2-4c22a2≤0]，即[a2≤2c2]，∴[e=ca≥22]，∴[e∈22，1].解法三由焦点三角形的性质可知[S△F1PF2=b2tan45°]，∴[b2≤S△F1PF2=12∙2c∙b=bc]，即[b≤c]，∴[b2≤c2]，∴[a2-c2≤c2]，∴[e∈22，1].解法四由焦半径公式得[PF1=a+ex0]，[PF2=a-ex0]，由勾股定理得[（a+ex0）2+（a-ex0）2=4c2]，即[x02=2a2-a2c2≥0]，∴[e=ca≥22]，∴[e∈22，1].解法五利用均值不等式，设[PF1=m，PF2=n]，∴[m2+n2=4c2]，又[2a=m+n]，∴[4a2=m2+n2+2mn≤2（m2+n2）=8c2]，即[a2≤2c2]，∴[e=c a≥22]，∴[e∈22，1] .点评在这五种解题方法中，主要从两个方向构造不等式最终得到椭圆离心率的最值，一个是角度（如解法一、二、三），另一个是长度（如解法四和五）. 显然，用长度构造计算量稍大些；用角度构造，特别是利用焦点三角形的性质直接计算简单方便得多.下面看看利用椭圆焦点三角形的角度求离心率最值的应用.例2 已知椭圆[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的两焦点分别为[F1，F2，]若椭圆上存在一点[P，]使得[∠F1PF2=120°，]求椭圆的离心率[e]的取值范围.解析由椭圆焦点三角形性质可知[cos120°≥1-2e2，] 即[-12≥1-2e2]，于是得到[e]的取值范围是[32，1].例3 [F1，F2]为椭圆[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的左右焦点，[P]是椭圆上一点，且[SΔPF1F2=33b2]，求椭圆离心率[e]的取值范围.解析由焦点三角形的性质得[SΔPF1F2=b2×tan12∠F1PF2]，可以得到[∠F1PF2=π3]，∴[cosπ3≥1-2e2]，即[12≥1-2e2]，∴[e∈12，1].总之，利用椭圆焦点三角形中的角求椭圆中的离心率最值可以更加简便，为我们节省了解题的时间，而归根到底椭圆焦点三角形的角的特殊性质还是抓住课本——椭圆的定义[PF1+PF2=2a][2a>F1F2]，再结合正余弦定理或勾股定理，由边的关系找出a与c的关系，从而求出离心率的最值或取值范围.。
椭圆曲线中的离心率定值问题的四种模型
椭圆曲线中的离心率定值问题的四种模型摘要本文讨论了椭圆曲线中的离心率定值问题，并提出了四种模型。
通过对这四种模型的介绍和比较，我们可以更好地理解椭圆曲线的离心率定值问题。
引言椭圆曲线是数学中一种重要的曲线形式，在密码学和通信领域有着广泛的应用。
离心率是椭圆曲线的一个重要属性，它描述了曲线的形状。
离心率定值问题旨在找到使得离心率满足特定条件的曲线，其中离心率的取值范围为0到1。
模型一：参数化模型该模型通过设定一组参数来定值离心率。
将这些参数代入椭圆曲线方程中，可以求解出满足条件的离心率定值。
这种方法适用于特定的离心率取值范围，并需要数值计算的支持。
模型二：基于半长轴和焦距的模型该模型以椭圆曲线的半长轴和焦距作为参数，通过调整这两个参数的值来实现离心率定值。
这种方法简单易懂，可以在不进行复杂计算的情况下找到满足要求的离心率定值。
模型三：基于椭圆面积的模型该模型利用椭圆的面积和半长轴来确定离心率。
通过设定面积和半长轴的取值，可以计算得到满足条件的离心率定值。
这种方法相对直观，但需要数值计算的支持。
模型四：基于椭圆周长的模型该模型以椭圆的周长和半长轴为参数，通过调整这两个参数的值来实现离心率定值。
这种方法相对简单，并且可以在不进行复杂计算的情况下找到满足要求的离心率定值。
结论通过对这四种模型的介绍和比较，我们可以发现每种模型都有其优缺点，适用于不同的场景和要求。
在椭圆曲线中的离心率定值问题中，可以根据具体情况选择适合的模型进行计算和研究。
这些模型的使用将有助于我们更好地理解和应用椭圆曲线中的离心率定值问题。
《椭圆的离心率》教学设计
《椭圆的离心率》教学设计作者：胡嘉玉来源：《学校教育研究》2017年第25期一、教材分析本节是一轮复习第十章第一节椭圆的第二课时，已经把大部分知识复习完在教材上是对椭圆的进一步研究，是对椭圆的几何性质的应用，并对之后研究双曲线和抛物线的几何性质，打下基础。
所以本节是本章教学的重点和难点，是高考重点考察的内容之一，应引起教师和学生的足够重视。
二、学情分析本节是在学习了椭圆的定义和标准方程、简单的几何性质之后学习的，学生已经对简单的椭圆几何性质有所了解，而本节是针对几何性质中的离心率重点研究，既复习离心率，又要对前面知识进行综合应用，而且又在1401班授课，属于文科普通班，学生基础知识掌握较差、运算能力较差，所以要做好引导和渗透数形结合的数学思想的工作。
三、教学目标1、知识与技能：熟练掌握椭圆的离心率及其有关实际问题；2、过程与方法：由易到难，建立信心，体会数形结合思想等数学思想，掌握求椭圆离心率的一般解法；3、情感态度和价值观：通过课堂活动参与，获得成功的体验，激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索，敢于创新的科学的精神。
四、教学重点、难点重点：求椭圆的离心率；难点：运用椭圆的几何性质解决有关椭圆的离心率的取值范围问题。
五、教学方法多媒体、导学案。
六、学法根据学生情况，应用复习--练习--讨论--归纳--提升的学习方法。
七、教学过程一、基础巩固1、画出椭圆并标明a，b，c的位置关系及其大小关系。
c2=a2-b22、写出椭圆的离心率及其范围e=a（c），且e∈（0，1）3、椭圆离心率的作用？反映了焦点远离中心的程度，决定椭圆形状，反映了椭圆的扁平程度。
先分析椭圆离心率e的取值范围：∵a>c>0，∴ 0再结合图形分析离心率的大小对椭圆形状的影响：（1）当e接近0时，c越接近0，从而b越接近a，因此椭圆接近圆；（2）当e=0时，c=0，a=b两焦点重合，椭圆的标准方程成为，图形就是圆了。
4、4、已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，.若P为椭圆上一点，则，。
离心率
离心率1．已知21,F F 分别是双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的左、右焦点，O 为坐标原点，P 为双曲线右支上的一点，1PF 与以2F 为圆心，2OF 为半径的圆相切于点Q ，且Q 恰好是1PF 的中点，则双曲线C 的离心率为（ ） 2．椭圆29x ＋24y k +＝1的离心率为45，则k 的值为（ ） 3．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线与实轴的夹角为30 ，则双曲线的离心率为（ ） 4．已知12,F F 分别是双曲线221(0)x my m -=>的左，右焦点，P 为双曲线左支上任意一点，若221||||PF PF 的最小值为8，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）5．已知椭圆22221x y a b+=(0,0)a b >>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且[,]64ππα∈，则该椭圆的离心率e 的取值范围是（） 6．设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，离心率为e ，过2F 的直线与双曲线的右支交于B A ,两点，若AB F 1∆是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则=2e （ ）7．已知椭圆C 的中心在原点，左焦点F 1，右焦点F 2均在x 轴上，A 为椭圆的右顶点，B 为椭圆短轴的端点，P 是椭圆上一点，且PF 1⊥x 轴，PF 2∥AB ，则此椭圆的离心率等于（ ）8．设双曲线)0,0(12222>>=-b a bx a y 的渐近线与抛物线12+=x y 相切，则该双曲线的离心率等于( ) 9．设双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为e ，右顶点为A ，点()3,0Q a ，若C 上存在一点P ，使得AP PQ ⊥，则10．已知双曲线22221(0)x y a b a b -=>>22221x y a b =＋的离心率为（）。
双曲线的性质知识点题型梳理
双曲线的性质知识点题型梳理【要点梳理】要点一、双曲线的简单几何性质双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的简单几何性质范围22221x x aa x a x a即或≥≥∴≥≤- 双曲线上所有的点都在两条平行直线x=-a 和x=a 的两侧，是无限延伸的。
因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a 或x≥a. 对称性对于双曲线标准方程22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0），把x 换成-x ，或把y 换成-y ，或把x 、y 同时换成-x 、-y ，方程都不变，所以双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。
顶点①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。
②双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A 1（-a ，0），A 2（a ，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。
③两个顶点间的线段A 1A 2叫作双曲线的实轴；设B 1（0，-b ），B 2（0，b ）为y 轴上的两个点，则线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴。
实轴和虚轴的长度分别为|A 1A 2|=2a ，|B 1B 2|=2b 。
a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长。
①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆。
②双曲线的焦点总在实轴上。
③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。
离心率①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e 表示，记作22c c e a a==。
②因为c ＞a ＞0，所以双曲线的离心率1ce a=>。
由c 2=a 2+b 2，可得22222()11b c a c e a a a-==-=-，所以b a 决定双曲线的开口大小，b a 越大，e 也越大，双曲线开口就越开阔。
高三数学双曲线的简单几何性质2
课 题：8．4双曲线的简单几何性质 （二）教学目的：1．使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质 2．掌握等轴双曲线，共轭双曲线等概念3．并使学生能利用上述知识进行相关的论证、计算、作双曲线的草图以及解决简单的实际问题4．通过教学使同学们运用坐标法解决问题的能力得到进一步巩固和提高，“应用数学”的意识等到进一步锻炼的培养 教学重点：双曲线的渐近线、离心率教学难点：渐近线几何意义的证明，离心率与双曲线形状的关系 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入： 1．范围、对称性由标准方程12222=-by a x ，从横的方向来看，直线x=-a,x=a 之间没有图象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线 双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心 2．顶点 顶点：()0,),0,(21a A a A -特殊点：()b B b B -,0),,0(21实轴：21A A 长为2a, a 叫做半实轴长虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做虚半轴长双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异3．渐近线过双曲线12222=-by a x 的两顶点21,A A ，作Y 轴的平行线a x ±=，经过21,B B 作X 轴的平行线b y ±=，四条直线围成一个矩形 矩形的两条对角线所在直线方程是x a b y ±=（0=±bya x ），这两条直线就是双曲线的渐近线 4．等轴双曲线定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：x y ±=；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率=e等轴双曲线可以设为：)0(22≠=-λλy x ，当0>λ时交点在x 轴，当0<λ时焦点在y 轴上5．共渐近线的双曲线系如果已知一双曲线的渐近线方程为x a b y ±=)0(>±=k x kakb，那么此双曲线方程就一定是：)0(1)()(2222>±=-k kb y ka x 或写成λ=-2222b y a x 6．双曲线的草图具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线的顶点及第一象限内任意一点的位置，然后过这两点并根据双曲线在第一象限从渐近线下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分，最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线二、讲解新课： 7．离心率概念：双曲线的焦距与实轴长的比aca c e ==22，叫做双曲线的离心率 范围：1>e双曲线形状与e 的关系：1122222-=-=-==e ac a a c a b k ， 因此e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。
离心率的简单计算
Ａ、 2 -1 B、 2
C、 2 1
D、 2 2
解析：由性质 3 sin( )
sin 45
e sin sin sin 90 - sin 45 2 1
y2 b2
1(a
b
0)
的左、右焦点分是 F1 ， F2 ，
如果在椭圆上存在一点P，使 率的取值范围是_________。
F1PF2 为钝角，则椭圆离心
解析：根据性质 5，设 F1PF2 ，根据最大角问题
cos 1 2e2 ，所以 1- 2e2 0
，即
2 e 1 2
b
0)
的任意一条弦，O 为椭
圆的中心，M 为 AB的中点，则 ； kABkOM e2 1
双曲线中的结论同样为：
例1：已知椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
kABkOM e
，直线
2
l
1
:x
2
。
y4
0
与椭
圆相交于 A，B 两点，且AB的中点 M坐标为（2，
1），则椭圆的离心率为___________．
x2 y2
例３：已知椭圆 a2 b2 1(a b 0) ，左右焦点分别是 F1 、F2 ，
焦距为 2c，若直线 y 3(x c) 与椭圆交于 点M，
满足 MF1F2 2MF2F1 ，则离心率是 （
）
A、 2
2
B、 3 -1
C、 3 -1
2
D、 3
2
解析：由题可知，直线 y 3(x c) 过椭圆左焦点，
双曲线离心率的范围
双曲线离心率的范围
双曲线的离心率取决于其宽度和位置，但总的来说，它的离心率在0.2和1之间，其中0.2为椭圆形或“超精准”，而1.0为十字形或“偏离”。
有些数学家还表示，双曲线可以具有负离心率，但离心率也不要高于-0.2
或太低，尤其是当双曲线用于显示模型上的路径时。
当双曲线宽度改变时，所有参数（包括离心率）都会变化，因此它的范围也就随之而变化。
双曲线离心率的范围取决于它的宽度和位置，但是它的离心率通常范
围在0.2到1.0之间，其中0.2代表“超精准”，1.0代表“偏离”，负离心率也可能出现，但不要太高或太低。
与此同时，宽度的变化也会影响离
心率，因此可以认为双曲线离心率的范围是可变的，它也可以用来建模物
体的运动轨迹，并且可以精确地计算出预期的轨迹。
另外，因为双曲线是一种非线性函数形式，因此该函数的变量也可以
用来表示任何一个变量的变化，尤其是任何一个相关的数学和物理的变化，因此它在科学和工程中有着广泛的应用。
由于它的复杂性，它也可以用来
处理比较复杂的问题，例如信号处理，将复杂的问题转化为更加简单的表
达形式，从而更好地使用它们。
另外，根据该曲线的宽度要求，它可以调
整自身以适应噪声等更复杂的因素，这些都可以用它来更好地处理问题。
双曲线离心率的范围应根据其宽度，位置和角度进行调整，以适应不同的任务要求。
圆柱截面45椭圆离心率求法
圆柱截面45椭圆离心率求法
求圆柱截面45椭圆离心率是一个常见的几何求解问题，它在许多应用中都有着重要的作用。
先来了解一下椭圆离心率：椭圆离心率是椭圆长轴与短轴之比，它表示椭圆的形状，给定离心率就能画出椭圆，所以确定椭圆离心率的重要性也不言而喻。
而圆柱截面45椭圆离心率就是指将一个圆柱截面偏移45度之后，椭圆的离心率。
计算圆柱截面45椭圆离心率的方法其实可以简单归结为两个步骤：首先计算圆柱截面椭圆的长短轴，然后计算以长轴为准的离心率。
计算圆柱截面的长短轴可以通过以下公式：将圆柱截面半径a除以根号2得到长轴，将圆柱截面高h除以2得到短轴，根据以上的公式，长轴和短轴之和就即为a+h/2。
接下来可以计算出椭圆的离心率，只需要用长轴除以短轴，得到离心率，即可得出椭圆的离心率。
而由于这个椭圆是以45度偏移出圆柱截面而形成的，所以椭圆的离心率必定低于1。
综上所述，求圆柱截面45椭圆离心率的方法其实是非常简单的，只需要按照步骤进行相关计算就可以实现：首先计算出圆柱截面的长短轴，接下来根据长短轴计算出离心率就可以了。
最后要注意，由于该椭圆是偏移出圆柱截面而形成的，所以它的离心率一定小于1。
离心率的平方等于1+k2
离心率的平方等于1+k2
离心率是地球上物体绕圆周运动的大小，表示它有多大几率运动出轨道。
提到离心率，有一个熟悉的公式，即：1+k2=离心率的平方，其中，k为离心率。
现在，让我们从简单的角度来解释这个公式的意义。
如果我们将圆的半径定义为1，那么它的周长为2π，而对于圆周运动的物体来说，它的轨道是简单的圆，那么它将绕圆周1到2π(2π表示一圈轨道)运动，那么当它以离心率k离开轨道时，它将以2π(1+k2)的距离离开圆周，因此，它的离心率k2就是它离开圆周的距离，也就是它离轨道的距离，也就是它的离心率。
从这里可以得出，公式1+k2=离心率的平方，其中，k为离心率，就是将离心率定义为物体离轨道边的距离。
从物理角度来看，k2可以表示物体受外力的作用，使物体运动失去轨道，出现离心运动，也就是说，要计算离心率，就要计算物体被外力推开的距离，用k2来表示。
当被外力推开的距离小于0.5时，则表明物体的离心率小于0.7，无明显的离心性；而当外力推动的距离大于0.7时，则物体的离心率大于0.7，明显的离心性。
另外，离心率的空间模型也可以证明公式1+k2=离心率的平方的正确性。
离心率的空间模型是指，如果有一个圆形平面，其中心点到圆周的画线为半径为1，此时将一个物体放在该圆形平面，这个物体所在该圆形平面上，到圆心点的距离，就是前面所说的k2值；而物体离开圆上的距离，就是离心率。
由此可以看出，空间模型也能证明1+k2=离心率的平方，其中，k为离心率的正确性。
总之，由于圆周运动的物体会遇到外力的影响而产生离心性，公式1+k2=离心率的平方，其中，k为离心率的正确性，可以用来表示物体受外力影响时离心性的大小，也是一个非常有用的物理公式。
椭圆体体积公式计算公式
椭圆体体积公式计算公式
椭圆体是一种具有特殊形状的立体，它可以用椭圆体体积公式来计算体积。
椭圆体体积公式可以描述为：体积等于长轴、短轴和离心率的函数。
椭圆体体积公式的推导过程相对复杂，但我们可以用简单明了的语言来描述它。
首先，我们需要了解什么是椭圆体。
椭圆体是一个立体，其截面是一个椭圆。
与球体和圆柱体不同，椭圆体的形状是不规则的，它的长轴和短轴不相等。
要计算椭圆体的体积，我们需要知道椭圆体的长轴、短轴以及离心率。
长轴是椭圆体截面的最大直径，短轴是椭圆体截面的最小直径，而离心率则描述了椭圆体的形状。
根据椭圆体体积公式，我们可以得到体积的计算公式为：体积等于4/3乘以π乘以长轴的一半乘以短轴的一半乘以离心率的平方根。
这个公式可以用来计算任意椭圆体的体积，只要我们知道它的长轴、短轴和离心率。
通过这个公式，我们可以计算出椭圆体的体积。
椭圆体的体积与其长轴、短轴和离心率有关，不同的参数会得到不同的体积。
通过改变这些参数，我们可以得到不同形状和大小的椭圆体。
椭圆体体积公式是一种用来计算椭圆体体积的数学公式。
它描述了椭圆体的形状和大小对体积的影响。
通过这个公式，我们可以计算
出任意椭圆体的体积，从而更好地理解和研究椭圆体的特性和应用。
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s in 120 sin 30 - sin 90
2 1- 1
3
2
所以选B
， 由性质 3
性质
4：已知椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)
，两焦点分别为 F1，F2
，
设焦点三角形PF1F2 中，F1PF2 ，则 cos 1 2e2 。
例5、设椭圆
x2 a2
分别为 α、 满足 tan tan 1 ，则直线 PA的斜率为
________．
解析、由题可知
解得
k1
1 2
2
k1k2
tan
tan
e2
1
1 4
，又 tan tan k1 k2 1
1 2
故答案为： 2
２曲则、线双过于曲双线P、曲的Q线离，的心一率F1 个是ｅ焦另等点一于焦F（2 点作），垂若直于实PF轴1Q的 直2 线，交，双
解析：根据性质１：kABkOM e2 1 从而 e 1 1 ．3
42
，所以 - 1 1 e2 1 ，
22
性质 2： AB是椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)
上过原点的弦，
P是椭
圆上异于A、B 的任意一点，则 kPAkPB e2 1 ；（此性质也
称为椭圆的第三定义）
b
0)
的任意一条弦，O 为椭
圆的中心，M 为 AB的中点，则 ； kABkOM e2 1
双曲线中的结论同样为：
例1：已知椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
kABkOM e
，直线
2
l
1
:x
2
。
y4
0
与椭
圆相交于 A，B 两点，且AB的中点 M坐标为（2，
1），则椭圆的离心率为___________．
Ａ、 2 -1 B、 2
C、 2 1
D、 2 2
解析：由性质 3 sin( )
sin 45
e sin sin sin 90 - sin 45 2 1
双曲线中的结论同样为：kPAkPB e2 1 。
例2：已知 A、B为双曲线 E的左，右顶点，点 M在 E上， ������ABM 为等腰三角形，顶角为120°，则E 的离心率为 ( )
A、 5 B、2 C、 3 D、 2
解析：由题可知kMAkMB
3 3
3 1
，
根据性质 2 kMAkMB e2 1 ，从而 e 2
例6、设椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
的左、右焦点分别是F1 ，F2 ，
如果在椭圆上存在一点 P ，使 F1PF2 120，则椭圆离心 率的取值范围是 （ ）
A、
3 2
， 1
B、
3 2
， 1
C、
0， 3 2
D、
故选：D。
性质 3：椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
中，设
F1
、F2
是椭圆的两个
焦点， P为椭圆上任一点．若 PF1F2 , PF2F1
则 e sin( ) ；
sin sin
双曲线中的结论为：e
sin( ) sin - sin
y2 b2
1(a
b
0)
的左、右焦点分是 F1 ， F2 ，
如果在椭圆上存在一点P，使 率的取值范围是_________。
F1PF2 为钝角，则椭圆离心
解析：根据性质 5，设 F1PF2 ，根据最大角问题
cos 1 2e2 ，所以 1- 2e2 0
，即
2 e 1 2
x2 y2
例３：已知椭圆 a2 b2 1(a b 0) ，左右焦点分别是 F1 、F2 ，
焦距为 2c，若直线 y 3(x c) 与椭圆交于 点M，
满足 MF1F2 2MF2F1 ，则离心率是 （
）
A、 2
2
B、 3 -1
C、 3 -1
2
D、 3
2
解析：由题可知，直线 y 3(x c) 过椭圆左焦点，
椭圆双曲线离心率的求法
学习目标：
1．掌握离心率的定义，并由定义推导出常见 的离 心率速算公式； 2．会利用椭圆双曲线的几何性质来简化离心率的计
算公式．
学习重难点：
1．离心率的推导公式及变形；
2．椭圆双曲线中一些二级结论在离心率求解中 的应用．
性质 1：AB 是椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0的) 左、右焦点分别是
F1、 F2，
过 F1 作倾斜角为 30 的直线交双曲线右支于M 点， 若 MF2 垂直于 X轴，则双曲线的离心率为 （ ）
A、 6
B、 3
C、 2
D、33
解析：由题可知 MF1F2 30 ，MF1F2 90
3
e
sin( ) sin - sin
0， 3 2
解析，根据性质 5，设 F1PF2 ，根据最大角问题 ，cos 1 2e2 ，所以 - 2e2 - 12
即
3 e 1
2
所以 选A
当堂检测：
1、已知椭圆C：
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
的离心率
e 3 2
， A 、 B分别是
椭圆的左、右顶点，点P是椭圆上的一点，直线PA 、PB 的倾斜角
且 MF1F2 60 ，由 MF1F2 2MF2F1 得，MF2F1 30 ，
由性质 3，可得 e
sin( ) sin sin
sin
sin 90 60 sin
30
1 31
3 1
22
例4：双曲线
x2 a2
-
y2 b2
1(a