有理函数之积分(部分分式法)

☆3一3 有理函數之積分(部分分式法)

●部分分式法

部分分式法：就是將一個分式化成數個分式的和。其步驟與原則如下

(1)檢查原分式，看分子的次數有沒有比分母低，如果沒有，依照公式

=+被除式餘式

商式除式除式

將原分式化成帶分式的形態

(2)將分母作因式分解，按照多項式的性質得知，得到的因式只可能出現

下面四種可能 ①ax b +

②2

ax

bx c ++

③()n

ax b + ④2

()n ax

bx c ++

(3)按照下面的形態將原分式化成數個分式的和 ①所有的因式都是一次不重複的

12

11221122

()

()()

()

n

n n n n

A A A P x a x b a x b a x b a x b a x b a x b =

++

+

++++++

②重複的一次因式

122

()()()

()

n

n n

A A A P x ax b ax b ax b ax b =+++

++++

③所有的因式都是二次不重複的

222

111222()

()()

()

n n n P x a x b x c a x b x c a x b x c ++++++

1122

22

2

111222n n

n n n

A x

B A x B A x B a x b x c a x b x c a x b x c +++=+++++++++

④重複的二次因式

2()()n P x ax bx c ++112

2222

2()

()

n n

n

A x

B A x B A x B ax bx c ax bx c ax bx c +++=+++

++++++

例題1. 求21

4

x dx x +-⎰

Sol ：

24(2)(2

)x x x -=+- 令

2

1422

x A B x x x +=+-+- 【等號兩邊同乘2

4(2)(2)x x x -+-或】

⇒1(2)(2)

x A x B x +=-++ 令2x =-代入⇒

41A -=-1

4

A ∴=

令2x =代入⇒43B =34

B ∴=

∴原式143413

()ln 2ln 22244

dx x x C x x =+=++-++-⎰

提示： 公式 11

ln dx ax b C ax b a =+++⎰

例題2. 求32232

x x

dx x x -++⎰

Sol ：

【因為分子的次數沒有比分母低，所以必須把32232x x

x x -++化成帶分式】

【利用多項式的除法與公式=+被除式餘式

商式除式除式

】

得32232

x x

x x -++2

56332x x x x +=-+++ ∴原式=

2

56

(3)32

x x dx x x +-+

++⎰ 【接下來依規定將256

32

x x x +++化成部分分式】

232(1)(2)

x x x x ++=++ 設

2

563212

x A B

x x x x +=+++++ 【等號兩邊同乘2

32(1)(2)x x x x ++++或】

⇒56(2)(1)x A x B x +=+++

令1x =-代入⇒1A =

令2x =-代入⇒

44B B -=-∴=

∴原式=

2

56

(3)32

x x dx x x +-+

++⎰

=14

(3)12

x dx x x -++++⎰

2

3l n 14l n 22

x x x x C

=-+++++

例題3. 求23

26

(1)

x x dx x +--⎰ Sol ：

令23

26

(1)

x x x +--=231(1)(1)A B C x x x ++--- 【等號兩邊同乘3

(1)x -】

⇒

2226(1)(1)x x A x B x C +-=-+-+

2(21)(1)A x x B x C =-++-+

2(2)()

A x

B A x A B

C =+-+-+ 【比較係數後，得到下面的聯立方程式】

1226A B A A B C =⎧

⎪

-=⎨⎪-+=-⎩

⇒1,4,3A B C ===- ∴23

26(1)

x x dx x +--⎰23143()1(1)(1)dx x x x -=++---⎰ =1

23

ln 14(1)(1)2

x x x K -----+-+