有理函数之积分(部分分式法)
有理函数——精选推荐
本单元的重点与难点
1.重点：有理函数的部分分式分解方法． 2难点：将三角函数的有理函数，简单无理根式化为有 理函数的方法． 教学时数 3-4学时．
一、有理函数的不定积分
1.有理函数的部分分式分解方法
有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数，即具
有如下形式的函数：
( ) P x ( ) Q x
=
a0 xn b0 xm
⎟⎟⎠
⎥ ⎥ ⎦
t
=
x
+
p,a 2
=
q− p2 4
dt t2 +a2 n
而
∫ ( ) ( ) ∫ ( ) In−1 =
( ) dt
t2 + a2
n −1
=
t t2 + a2
n−1 + 2
n −1
t2 t 2 + a2 n dt
( ) ∫ ( ) ( ) =
t t2 + a2
n−1 + 2(n − 1)
⎠
= a2 + b2 (sinϕsin x + cosϕcos x)
= a2 + b2 cos( x −ϕ)
其中ϕ = arctan a , 则
b
∫
a sin
dx x+b
cos
x
=
1 a2 +
b2
∫
cos
(
1 x
−
ϕ
)dx
= 1 ln sec( x − ϕ ) + tan ( x − ϕ ) + C
N
−
Mp ⎞ 2 ⎟⎠
dx
⎡⎢⎣⎢⎛⎝⎜
x
+
第四节有理函数的积分
A (3
B A
1, 2B)
3,
A B
5 ,
6
x2
x3 5x
6
5 x2
x
6
. 3
例2
1 x( x1)2
A x
(x
B 1)2
C, x1
1 A( x 1)2 Bx Cx( x 1)
(1)
代入特殊值来确定系数 A, B,C
取 x 0, A 1 取 x 1, B 1
取 x 2, 并将 A, B 值代入(1) C 1
x
cos
x
dx.
解
由万能置换公式
sin
x
1
2u u2
,
cos
x
1 1
u2 u2
2 dx 1 u2 du,
1
sin sin x
x
cos
x
dx
(1
2u u)(1
u2
du )
2u 1 u2 1 u2
(1 u)(1 u2 ) du
(1 (1
u)2 (1 u)(1
u
u2 2)
cos x
sec2
x
2
1
tan2
2 x
,
2
2
令u tan x x 2arctan u（万能置换公式） 2
sin
x
1
2u u2
,
cos
x
1 1
u2 u2
,
dx
1
2 u2
du
R(sin x,cos x)dx
2u 1 u2 2
R
1
u2
,
1
u2
1
u2
有理函数的积分
§6.3 有理函数的积分法（1）【导语】 【正文】一、有理函数的积分设()n P x 与()m Q x 分别是n 次和m 次多项式，则称()()m n Q x P x 为有理函数； 当m n <时，()()m n Q x P x 称为真分式；当m n ≥时，()()m n Q x P x 称为假分式． A ax b +，()k A ax b +，2Bx C px qx r +++，2()kBx Cpx qx r +++称为最简分式（部分分式）． 定理6（多项式除法定理）任意一个假分式都可以表示成一个多项式与一个真分式之和．当m n ≥时，设()()()()()m n n Q x R x S x P x P x =+，则 ()()d ()d d ()()m nn Q x R x x S x x x P x P x =+∫∫∫． Remark 有理函数的积分问题转化为真分式的积分问题！（一）分母为一次重因式的真分式的积分法例1 求积分2353d (2)x x x ++∫．解 令 232353(2)2(2)(2)x A B Cx x x x +=++++++． 将右端通分得22323353(2)(2)(2)2(2)(2)(2)x A B C A x B x Cx x x x x +++++=++=+++++． 比较两端分子对应项的系数得5,40,42 3.A A B A B C =+=++=解得 5,20,23.A B C ==− =所以23235352023(2)2(2)(2)x x x x x +=−+++++， 于是2353d (2)x x x ++∫2352023d d d 2(2)(2)x x x x x x =−++++∫∫∫ 220235ln 222(2)x C x x =++−+++． （二）分母为不同一次因式乘积的真分式的积分法对于d ()()cx dx x a x b +−−∫，可令()()cx d A Bx a x b x a x b+=+−−−−， 等式右端通分得()()()()()()cx d A B A x b B x a x a x b x a x b x a x b +−+−=+=−−−−−−．比较两端分子对应项的系数得待定系数A 和B 满足的一次方程组，求出,A B 的值．于是d d d ln ||ln ||()()cx dA Bx x x A x a B x b C x a x b x a x b +=+=−+−+−−−−∫∫∫． 例2 求积分2d (3)(5)x x x x −−−∫．解 令2(3)(5)35x A Bx x x x −=+−−−−． 等式右端通分得2()(53)(3)(5)35(3)(5)x A B A B x A B x x x x x x −+−+=+=−−−−−−． 比较两端分子对应项的系数得1,53 2.A B A B +=+=解得12A =−，32B =．所以13222(3)(5)35x x x x x −−=+−−−−． 于是2d (3)(5)x x x x −−−∫113113d(3)d(5)ln 3ln 5232522x x x x C x x =−−+−=−−+−+−−∫∫．（三）分母为二次多项式(没有实根)的真分式的积分法1．积分21d x x px q++∫假设240p q −<，则22211d d 4()24x x p q p x px q x =−++++∫∫．记2pu x =+，A21d x x px q ++∫221d u u A =+∫1arctan uA A=C ．2．积分2d (0)ax bx a x px q+≠++∫假设240p q −<，则2222(2)()d d d 2bb x x p p ax b a a a x a x x x px q x px q x px q+++−+==++++++∫∫∫ 222d()21()d 22a x px q a bp x x px q a x px q +++−++++∫∫ 2221ln()d 22a a bx px q p x ax px q+++− ++ ∫． （四）分母为二次重因式的真分式的积分法例3 求积分322221d (1)x x x x x −+++∫．解 令3211222222221(1)1(1)A x B A x B x x x x x x x x ++−+=+++++++． 等式右端通分得32321122111121122222222()()21(1)1(1)(1)A x B A x B A x A B x A A B x B B x x x x x x x x x x +++++++++−+=+=++++++++．比较两端分子对应项的系数得111121121,2,0,1.A A B A A B B B = +=− ++= += 解得11221,3,2,4.A B A B ==− = = 所以 32222222132(2)(1)1(1)x x x x x x x x x x −+−+=+++++++． 对于积分23d 1x x x x −++∫，有2231(21)7d d 121x x x x x x x x −+−=++++∫∫221d(1)7212x x x x ++−++∫217ln(1)22x x C ++−．对于积分222(2)d (1)x x x x +++∫，有2222222222(2)(21)3d(1)1d d 3d (1)(1)(1)(1)x x x x xx x x x x x x x x x +++++==+++++++++∫∫∫∫222113d 13(1)[()]24x x x x =−+++++∫，其中22212d 133[()]3()244x x C x x =++++∫． （Remark 对于22d ()n nxI a x =+∫，有122222122()n nn n x I I na na a x +−=++） 于是32222222132(2)d d d (1)1(1)x x x x x x x x x x x x x −+−+=+++++++∫∫∫222112ln(1)32(1)4x x x C x x x ++−+++++．（五）分母为一次因式与二次因式乘积的真分式的积分法 对于积分22d ()()bx cx d xx a x px q ++−++∫2(40)p q −<，令 222()()bx cx d A Bx Cx a x px q x a x px q+++=+−++−++． 等式右端通分后，根据分子相等得恒等式22()()()bx cx d A x px q Bx C x a ++≡++++−．比较两端对应项的系数得待定系数,,A B C 满足的一次方程组，求出,,A B C 的值． 于是22d ()()bx cx dxx a x px q ++−++∫22d d ln ||d A Bx C Bx C x x A x a x x a x px q x px q +++=−+−++++∫∫∫．Remark1 在上述积分问题中牵扯到的简单积是： （1）d Ax ax b+∫ln Aax b C a++； （2）()d kAxax b +∫11(1)()k A C a k ax b −+−+；(0,1)k k >≠ （3）22d (40)Bx Cx q pr px qx r+−<++∫“2211211d d 2211x x x x x x x x x ++=+++++∫∫”（4）22d (40,0,1)()kBx Cx q pr k k px qx r +−<>≠++∫“2211211d d 22(1)(1)k k x x x x x x x x x ++=+++++∫∫．Remark2A ax b +，()k A ax b +，2Bx C px qx r +++，2()kBx Cpx qx r +++称为最简分式． 定理7 设()()Q x P x 是一真分式，则其可表示成最简分式之和，且表示形式唯一． 设 221122111222()()()()()k l P x a x b a x b p x q x r p x q x r =++++++ ，则12211222222()()()()k k A A A Q x AP x a x b a x b a x b a x b =++++ ++++112222222111222222222()()l l l B x C B x C B x C Bx Cp x q x r p x q x r p x q x r p x q x r +++++++++ +++++++++ ．【本讲总结与下讲预告】。
理学新不定积分分部积分
sinx
2t 1 t
2
,
cosx
1 1
t t
2 2
,
dx
1
2 t
2
dt
R(sin x,cos x)dx
R
1
2t t
2
1t2
, 1
t
2
1
2 t
2
dt.
例16
求
1 sin x sin x(1 cos
x)
dx
.
解:令 t tan x , 则 2
sinx
1
2
tan
x 2
u tan x, v tan x
原式 = tan x lncos x tan2 x dx tan x lncos x (sec2 x 1) dx
tan x lncos x tan x x C
例9 求
解: 令 u
x2 a2 , v 1, 则 u
x x2a2
,
vx
x2 a2 dx x x2 a2
1 2
(1
1
1 x
2
)dx
x2 arctan x 1 ( x arctan x) C .
2
2
一般地
把被积函数视为两个函数之积 ,按“反对幂指三”的
顺序, 前者为 u 后者为 v.
例3 求积分 x2e xdx.
解 u x2 , e xdx de x dv,
x2e xdx x2e x 2 xe xdx
假定分子与分母之间没有公因式
(1) n m, 这有理函数是真分式； (2) n m, 这有理函数是假分式；
利用多项式除法, 假分式可以化成一个多项式和 一个真分式之和.
高数讲义第四节有理函数的积分全
例9
求积分
1
x
1 xdx x
解 令 1 x t 1 x t2,
x
x
x
t
1 2
, 1
dx
2tdt t2 1
2,
例9
求积分
1
x
1 xdx x
解
令 1 x t x
x
xt2211a12,dxdx
1
2a
ln
x2tdat tx2 a1
2
C,
1 x
1
x
xdx
t
2
1t
t
2
2t
12
dt
2
x
2)
1
A 2x
Bx 1
C x2
解：令：
x
1 (1
x)
2
A x
B 1 x
C (1 x)
2
1 A(1 x)2 B x(1 x) C x
取 x1, 得 C 1; 取 x0, 得 A1;
再取 x 2 , 得 1 (1 2)2 B2(1 2) 2 , B 1 ;
1 x (1 x) 2
t
3
1 t 1
1dt
6
(t
2
t
1
t
1
)dt 1
2t 3 3t 2 6t 6 ln | t 1 | C
2 x 1 33 x 1 36 x 1 6 ln(6 x 1 1) C.
说明 无理函数去根号时, 取根指数的最小公倍数.
例11 求积分
x 3x 1
dx. 2x 1
解 先对分母进行有理化
f (x) 为真分式 , 当 m n 时
f (x) 为假分式
有理函数的不定积分
例5. 求
( x 2 x 2) (2 x 2) d x 解: 原式 2 2 ( x 2 x 2)
dx d( x 2 x 2) 2 2 2 ( x 1) 1 ( x 2 x 2)
2
2
1 C arctan(x 1) 2 x 2x 2
2
2
例11. 求 解: 为去掉被积函数分母中的根式, 取根指数 2, 3 的最小公倍数 6, 令 x t , 则有 5 1 2 6 t d t 原式 3 2 6 ( t t 1 ) dt 1 t t t
6
6
2 1t 3 1 ln 1 t t t 3 2
2
例3. 求 解: 原式
x 2x 3 2 d( x 1) 1 d( x 2 x 3) 3 2 2 x 2x 3 ( x 1) 2 ( 2 ) 2 3 x 1 1 2 arctan C ln x 2 x 3 2 2 2
1 ( 2 x 2) 3 2
例2. 求 解: 已知 1 1 4 2x 1 2 2 (1 2 x)(1 x ) 5 1 2 x 1 x 1 x 2
2 d(1 2 x) 1 d(1 x ) 1 dx 原式 2 2 5 5 1 2x 5 1 x 1 x 2 1 1 2 ln 1 2 x ln (1 x ) arctan x C 5 5 5
1 Bx C A 2 (1 2 x)(1 x ) 1 2 x 1 x 2
A(1 x 2 ) ( Bx C )(1 2 x) 2 (1 2 x)(1 x ) 2 1 A(1 x ) ( Bx C)(1 2x), 1 4 1 取x 得A , 取x 0得1 A C, C , 5 5 2 2 取x 1得1 2 A 3( B C), B
部分分式展开法公式
部分分式展开法公式部分分式展开法公式是高等数学中常用的一种技巧，用于将一个分式拆分成多个分式之和的形式。
这种技巧在微积分、复变函数、常微分方程等领域都有广泛的应用。
一、部分分式展开法的基本思想部分分式展开法的基本思想是将一个分式表示成若干个分式之和的形式，其中每个分式的分母是不可约的一次多项式。
具体而言，对于一个有理函数 $frac{P(x)}{Q(x)}$，如果 $Q(x)$ 可以分解成若干个不可约的一次多项式的乘积，即 $Q(x) = (x - a_1)^{k_1} cdots (x - a_m)^{k_m}$，则我们可以将 $frac{P(x)}{Q(x)}$ 表示成如下形式的分式之和：$$frac{P(x)}{Q(x)} = frac{A_{1,1}}{x - a_1} + cdots +frac{A_{1,k_1}}{(x - a_1)^{k_1}} + cdots + frac{A_{m,1}}{x - a_m} + cdots + frac{A_{m,k_m}}{(x - a_m)^{k_m}}$$其中 $A_{i,j}$ 是待定系数，可以通过比较系数的方法求得。
这样，我们就成功地将一个分式展开成了若干个分式之和的形式，每个分式的分母都是不可约的一次多项式。
二、部分分式展开法的具体步骤部分分式展开法的具体步骤如下：1. 对于一个有理函数 $frac{P(x)}{Q(x)}$，首先将 $Q(x)$ 分解成不可约的一次多项式的乘积形式，即 $Q(x) = (x - a_1)^{k_1} cdots (x - a_m)^{k_m}$。
2. 对于每个不可约的一次多项式 $(x - a_i)^{k_i}$，分别列出如下形式的分式：$$frac{A_{i,1}}{x - a_i} + cdots + frac{A_{i,k_i}}{(x -a_i)^{k_i}}$$其中 $A_{i,j}$ 是待定系数。
求有理函数的不定积分中如何对分母因式分解
求有理函数的不定积分中如何对分母因式分解就是在实数范围内分解因式，下面看如何做部分分式：R(x)=\frac{2x^4-x^3+4x^2+9x-10}{x^5+x^4-5x^3-2x^2+4x-8}=\frac{P(x)}{Q(x)}而分母可分解为 Q(x)=(x-2)(x+2)^2(x^2-x+1)预先求出 P(2)=48,P(-2)=28,P'(-2)=-83 是有好处的。
由此设部分分式 R(x)=\frac{A_0}{x-2}+\frac{A_1}{x+2}+\frac{A_2}{(x+2)^2}+\frac{Bx+C}{x^2 -x+1} (※)要求出 A_0 ,两端同乘 x-2 :(x-2)R(x)=\frac{P(x)}{(x+2)^2(x^2-x+1)}=A_0+(x-2)\Big[\frac{A_1}{x+2}+...\Big]令 x=2 可得： A_0=\frac{P(2)}{(2+2)^2(2^2-2+1)}=\frac{48}{48}=1为了求 A_1 , A_2 两端同乘 (x+2)^2 :\frac{P(x)}{(x-2)(x^2-x+1)}=A_1(x+2)+A_2+(x+2)^2\Big[\frac{1}{x-2}+...\Big](*)令 x=-2 直接得到： A_2=-1 ,而要求 A_1 ,必须对 (*) 式求一下导，然后再令 x=-2最右边一堆可以不管了，因为得0，就剩下了： A_1=\lim_{x \rightarrow -2}\Big[\frac{P(x)}{(x-2)(x^2-x+1)}\Big]’=\lim_{x \rightarrow -2}\Big[\frac{P(x)}{(x-2)(x^2-x+1)}\Big]\Big[\frac{P'(x)}{P(x)}-\frac{1}{x-2}-\frac{2x-1}{x^2-x+1}\Big]=\Big[\frac{28}{-28}\Big]\Big[-\frac{83}{28}+\frac14+\frac57\Big]=\Big[-1\Big]\Big[-\frac{83}{28}+\frac{27}{28}\Big]=\frac{56}{28}=2为了求 Bx+C ,在(※)式两端同乘 (x^2-x+1) :\frac{P(x)}{(x-2)(x+2)^2}=Bx+C+(x^2-x+1)\Big[\frac1{x-2}+...\Big]令 x^2-x+1=0 可得： Bx+C=\frac{2x^4-x^3+4x^2+9x-10}{(x-2)(x^2+4x+4)}|_{x^2-x+1=0}分子可以用长除法得出：2x^4-x^3+4x^2+9x-10=(2x^2+x+3)(x^2-x+1)+11x-13Bx+C=\frac{11x-13}{(x-2)(5x+3)}=\frac{11x-13}{5x^2-7x-6}=\frac{11x-13}{5(x-1)-7x-6}=\frac{11x-13}{-2x-11}\frac{2x-13}{2x-13}=\frac{22x^2-169x+169}{-4x^2+4x+143}=\frac{22(x-1)-169x+169}{-4(x-1)+4x+143}=\frac{-147x+147}{147}=-x+1所以： R(x)=\frac{2x^4-x^3+4x^2+9x-10}{(x-2)(x+2)^2(x^2-x+1)}=\frac1{x-2}+\frac2{x+2}-\frac1{(x+2)^2}+\frac{1-x}{x^2-x+1}可见求Bx+C 相当麻烦，其实用特殊值法就行，在A_0,A_1,A_2 已经求出的条件下,令 x=0 ,可得方程：\frac54=-\frac12+1-\frac14+C,C=1 ,求 B 可以用x=\infty ,在两端乘以 x ,再令 x\rightarrow\infty 可得方程： 2=1+2+B,B=-1。
有理函数的积分
1.有理函数的积分有理函数是指由两个多项式函数的商所表示的函数，一般形式为其中都是常数，为非负整数。
我们只需考虑真分式的积分，先来考虑两种特殊类型：（Ⅰ）这种类型是容易积出来的，（Ⅱ）作适当换元（令）,可化为上式右端第一个不定积分可用凑微分法积出来为：对第二个不定积分，记用分部积分法可导出递推公式：整理得重复使用递推公式，最终归结为计算而可积出来为这样就可完成对不定积分（Ⅱ）的计算。
对任一个有理函数而言，均可写成一个多项式与一个有理真分式的和，而多项式的积分问题已经解决，下面主要考虑有理真分式(不妨设)的积分问题。
为叙述简便，不妨设．其方法是将化成许多简单分式（即类型（Ⅰ）、（Ⅱ））的代数和然后逐项积分。
由于类型（Ⅰ）、（Ⅱ）总是可“积出来”的，从面有理函数总是可以“积出来”。
下面简述分解有理真分式（）的步骤：第一步按代数学的结论，将分母分解成实系数的一次因式与二次因式的乘幂之积。
其中均为自然数。
第二步根据因式分解结构，写出的部分分式的待定形式：对于每个形如的因式，所对应的部分分式为对于每个形如的因式，所对应的部分分式为把各个因式所对应的部分分式加起来，就完成了对的部分分式分解。
第三步确定待定系数：通分后比较分子上的多次式的系数，得待定系数的线性方程组，由此解得待定系数的值。
例8.13 求2.三角函数有理式和积分由及常数经过有限次四则运算所得的函数称为关于的有理式（或三角函数有理式）。
用表示对于这种函数的不定积分我们总可通过代换，化为以为变量的有理函数的积分。
理由是，，，又，故从而上面的讨论说明：三角函数有理式也总是可以“积出来”的，但对具体问题而言，用上述方法往往计算量太大，因此，有时要考虑用其它简便方法。
（1）如果是的奇函数时，即则设即可。
例如求（1）；（2）．（2）如果是的奇函数时，即则设即可。
例如求．（3）如果是关于与的偶函数时，即则设即可。
例如求（1）；（2）．（4）请研究被积函数为（为自然数）时的情况。
简单有理分式函数的积分
一、有理函数的积分
有理函数是指有理式所表示的函数，它包括有理整式和 有理分式两类：
有理整式 f(x)=a0xn+a1xn－1+…+an－1x+an;
有理分式
其中m，n都是非负整数，a0,a1,…,an及b0,b1,…,bn都是 实数，并且a0≠0,b0≠0.
一、有理函数的积分
1=A(1+x2)+(Bx+C)(1+x)，
一、有理函数的积分
整理得 1=(A+B)x2+(B+C)x+A+C.（4-19）
比较式（4-19）两端x的同次幂的系数及常数，有
一、有理函数的积分
3. 有理函数积分举例 【例1】
去分母,得 2x3+x－1=(Ax+B)(x2+1)+(Cx+D) =Ax3+Bx2+(A+C)x+(B+D),
三、积分表的使用
同时还应了解，求函数的不定积分与求函数的导数的 区别.求一个函数的导数总可以循着一定的规则和方法去做， 而求一个函数的不定积分却没有统一的规则可循，需要具 体问题具体分析，灵活应用各类积分方法和技巧.
实际应用中常常利用积分表来计算不定积分.求不定积 分时可按被积函数的类型从表中查到相应的公式，或经过 少量的运算和代换将被积函数化成表中已有公式的形式.
二、可化为有理函数的积分
二、可化为有理函数的积分
二、可化为有理函数的积分
【例3】
二、可化为有理函数的积分
【例4】
二、可化为有理函数的积分
二、可化为有理函数的积分
2. 简单无理函数的积分
【全文】有理函数的积分
1
dx 3x
2
3u2 1 u
du
3
(u2 1) 1 u
1
du
3
u
1
u
1
1
du
3 u2 u ln1 u C
2
3 3
( x 2)2 33
x 2 3ln 1 3
x 2 C.
2
例8
求
1 x
1 x dx. x
解令
1 x x
u,
则
x
1 u2 1 ,
dx
2udu (u2 1)2
则分解后为
M1x N1 M2x N2 Mk x Nk ,
x2 px q ( x2 px q)2
( x2 px q)k
其中 Mi , Ni 都是常数 (i 1,2,, k ).
特殊地:
k
1,分解后为
Mx N .
x2 px q
真分式化为部分分式之和的待定系数法.
例1
求
x2
i
i
i
i
i
i
有理函数化为部分分式之和的一般规律:
(1) 分母中若有因式 ( x a)k , 则分解后为
A1 A2 Ak ,
x a ( x a)2
( x a)k
其中 A1 , A2 ,, Ak 都是常数. 特殊地: k 1,分解后为 A ;
xa
(2) 分母中若有因式 ( x2 px q)k ,其中 p2 4q 0,
解
2u
sin x
,
1 u2
cos x 1 u2 , 1 u2
2
dx
du,
1 u2
2u
sin x
dx
关于有理函数的部分分式展开
关于有理函数的部分分式展开
理函数是指可以表示成分式的形式的函数。
有理函数的部分分式展开是指对有理函数的分式进行化简或展开，使其变得更简单或更易于求值。
下面是关于有理函数的部分分式展开的几个方法：
约分法。
约分法是指将分式的分子和分母同时除以他们的最大公因数，使分式变得简化。
分式化简法。
分式化简法是指将分式的分子和分母的一些因子同时提出来，使分式变得简化。
分式展开法。
分式展开法是指将分式的分子和分母分别进行乘法展开，使分式变得更加简单。
分式变形法。
分式变形法是指通过将分式进行一些分式变形法是指通过将分式进行一些变形来求得分式的值，例如分数化分式、同乘分式、同加分式等。
例如，对于分式$\frac{x^2-4x+3}{x^2-5x+3}$，我们可以进行分式变形来求得其值：
$\frac{x^2-4x+3}{x^2-5x+3}=\frac{(x-1)(x-3)}{(x-1)(x-3)}=1$
通过分式变形，我们可以得到有理函数的部分分式展开的结果。
高数4.2(2)有理函数的积分。。
解
x3 x3 A B 例1 2 , x 5 x 6 ( x 2)( x 3) x 2 x 3
x 3 A( x 3) B( x 2), x 3 ( A B ) x ( 3 A 2 B ),
A B 1, A 5 , ( 3 A 2 B ) 3, B 6 x3 5 6 . 2 x 5x 6 x 2 x 3
这两个公式称为分部积分公式.
•分部积分过程
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分部积分法
分部积分过程： 例1 x sin xcos xC . 例2 例3
使用经验 “反对幂指三”
x2ex2xex2exC ex(x22x2 )C.
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在后的凑微分
分部积分过程：
分部积分法
第四章
§5.2 有理函数的积分
• 基本积分法:直接、换元、分部积分法 • 初等函数 求导 初等函数
积分
一、分部积分公式
二、积分方法比较
三、有理函数的积分
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分部积分法
一、分部积分公式
•分部积分公式 设函数uu(x)及vv(x)具有连续导数. 那么, (uv)uvuv, 移项得 uv(uv)uv. 对这个等式两边求不定积分, 得
假定分子与分母之间没有公因式
(1) n m , 这有理函数是真分式； ( 2) n m , 这有理函数是假分式；
利用多项式除法, 假分式可以化成一个 多项式和一个真分式之和.
1 x3 x 1 例 x 2 . 2 x 1 x 1
难点 将有理函数化为部分分式之和.
有理函数的积分 三角函数有理式的积分 简单无理函数的积分 小结与作业 练习题
分部积分法-有理函数积分法ppt课件
f ( x)dx f ( x),
f ( x)dx ex2 C ,
两边同时对 x求导, 得 f ( x) 2 xex2 ,
xf ( x)dx xf ( x) f ( x)dx
2
x
2e
x
2
ex2
C.
11
二、小结
合理选择 u, v ，正确使用分部积
分公式
uvdx uv uvdx
取 x 2, 并将 A, B 值代入(1) C 1
1 x( x 1)2
1 x
(x
1 1)2
1. x1
21
例3
(1
1 2x)(1
x2
)
1
A 2x
Bx C 1 x2
,
1 A(1 x2 ) (Bx C )(1 2x),
整理得 1 ( A 2B)x2 (B 2C )x C A,
2
1 2
(1
1
1 x
2
)dx
x2 arctan x 1 ( x arctan x) C .
2
2
5
例4 求积分 x3 ln xdx.
解 u ln x, x3dx d x4 dv,
4
x3
ln
xdx
1 4
x
4
ln
x
1 4
x
3dx
1 x4 ln x 1 x4 C .
4
16
总结 若被积函数是幂函数和对数函数或幂
dx
x
dx 1
ln x 1 ln( x 1) C. x1
23
1
例5 求积分 (1 2x)(1 x2 ) dx.
解
(1
1 2 x )(1
【考研数学】高数有理分式积分法
第四节1•基本积分法: 直接积分法;换元积分法;分部积分法•初等函数求导初等函数积分一、有理函数的积分二、可化为有理函数的积分举例有理函数的积分本节内容:第四章n1m>时,为真分式为假分式;n简单分式:形如3456789解:(1) 用拼凑法111-)1(--x x10112C +42-=B已知1⎡1=1213原式x x 22⎰+=)22(21+x 如何求变形方法同例3, 并利用上一节课件例1415⎰+++=x x x x x d 4552243⎰++x x 52416原式⎰+=x x 2(2)22(2++x x172arctan2211xx -=21-221 ln 21-+x x 21++x x C+比较系数定a , b , c , d . 得化为部分分式. 即令比较系数定A , B , C , D..此解法较繁18xcos-x sinxA=xsin)(cos++⎰x(sinR,20212223⎰=原式xxd 2cos 1⎰=tan d 12425xb cos +⎢⎣⎡2+b a a sin 22ba +x ba +tan(12226=Ct +-31C x +cos 22728uu d 1)1(32⎰+-=29为去掉被积函数分母中的根式6 ,t x =令30t t td )1(222--内容小结31 1. 可积函数的特殊类型有理函数分解多项式及部分分式之和三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换2.特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定要注意综合使用基本积分法,简便计算.简便,32:1.⎰-=233()(d 31a x 原式a x a x a +--=33333ln 61ax ax a -+33333ln 61作业33P218 1-2434⎰11t551t -=t -d x =511113x x +35前式令arctan21u=; 后式配元13cos x+cos x2tanxu =2d u ⋅1。
有理函数积分
万能代换
t 的有理函数的积分
x x 2 tan 2 tan x x 2 , 2 sin x 2sin cos 2 x 2 2 2 x 1 tan sec 2 2 2 x 2 x 1 tan 1 tan 2 x 2 x 2 2, cos x cos sin 2 2 2 x 2 x 1 tan sec 2 2 x x 2arctan u （万能置换公式） 令 u tan 2
Mx N 3. 2 dx x px q Mx N 4. 2 dx n ( x p x q)
变分子为
M 2
(2 x p)分 2 n ( x px q )
2 p p 2 x px q x q , 2 4 2
x dx 使用凑微分法比较简单 3 x 1
尽量使分母简单——降幂、拆项、同乘等
2
基本思路
化部分分式，写成分项积分 可考虑引入变量代换
例2. 求积分
解：
1 dx . 2 x( x 1)
1 1 1 1 dx dx 2 2 x( x 1) x 1 x ( x 1)
2 2u 2 1 u sin x , cos x du , dx 2 2 2 1 u 1 u 1 u
2u 1 u 2 2 R(sin x ,cos x ) dx R 1 u2 , 1 u2 1 u2 du.
1 sin x dx . 例8. 求 sin x(1 cos x) x 解: 令 t tan , 则 2 x cos x x 2 sin 2 2 tan 2t 2 2 sin x 2 x cos 2 x 1 tan 2 x 1 t 2 sin 2 2 2
有理式的不定积分与有理化方法
2tan x 2
sec2 x
2
2tan x
1
2 tan2
x
,
2
cos x cos2 x sin2 x
1 tan2 x
2
2
2
sec2 x
1 tan2 x
1
tan2
2 x
,
2
2
万能替换公式： 令 t tan x 则 x 2arctan t 2
sin x 2t , 1 t2
cos
x
1 1
t2 t2
dx
.
例3
计算
2x3
x2 1 3x2
x
dx
.
例4
计算
1
x x
2x2 x2 1 2
x3 dx
.
1
x x
2x2 x2 1 2
x3
dx
1dx x
x
x1 2 1 dx
x x2 1 2 dx
1 d x2 1 1
1 dx2 1
ln x 2
x2 1
x2
（2）万能代换不一定是最好的；
（3）常用的将三角函数有理式的积分化为有理函数 的积分的代换方法（非“万能的”）： 1）若 R(-sinx, cosx) = -R(sinx, cosx) ，可取 u=cosx 为 积分变量；
2）若 R(sinx, -cosx) = -R(sinx, cosx) ，可取 u=sinx 为 积分变量；
3、有理函数积分法
多项式除法
(1) 假分式 多项式（ 真分式）;
待定系数法
(2) 真分式 部分分式之和：
真分式 P(x) 分母因式分解 Q(x)
P(x) b0 (x a1)n1 (x ak )nk (x2 p1x q1)m1
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☆3一3 有理函數之積分(部分分式法)
●部分分式法
部分分式法：就是將一個分式化成數個分式的和。
其步驟與原則如下
(1)檢查原分式，看分子的次數有沒有比分母低，如果沒有，依照公式
=+被除式餘式
商式除式除式
將原分式化成帶分式的形態
(2)將分母作因式分解，按照多項式的性質得知，得到的因式只可能出現
下面四種可能 ①ax b +
②2
ax
bx c ++
③()n
ax b + ④2
()n ax
bx c ++
(3)按照下面的形態將原分式化成數個分式的和 ①所有的因式都是一次不重複的
12
11221122
()
()()
()
n
n n n n
A A A P x a x b a x b a x b a x b a x b a x b =
++
+
++++++
②重複的一次因式
122
()()()
()
n
n n
A A A P x ax b ax b ax b ax b =+++
++++
③所有的因式都是二次不重複的
222
111222()
()()
()
n n n P x a x b x c a x b x c a x b x c ++++++
1122
22
2
111222n n
n n n
A x
B A x B A x B a x b x c a x b x c a x b x c +++=+++++++++
④重複的二次因式
2()()n P x ax bx c ++112
2222
2()
()
n n
n
A x
B A x B A x B ax bx c ax bx c ax bx c +++=+++
++++++
例題1. 求21
4
x dx x +-⎰
Sol ：
24(2)(2
)x x x -=+- 令
2
1422
x A B x x x +=+-+- 【等號兩邊同乘2
4(2)(2)x x x -+-或】
⇒1(2)(2)
x A x B x +=-++ 令2x =-代入⇒
41A -=-1
4
A ∴=
令2x =代入⇒43B =34
B ∴=
∴原式143413
()ln 2ln 22244
dx x x C x x =+=++-++-⎰
提示： 公式 11
ln dx ax b C ax b a =+++⎰
例題2. 求32232
x x
dx x x -++⎰
Sol ：
【因為分子的次數沒有比分母低，所以必須把32232x x
x x -++化成帶分式】
【利用多項式的除法與公式=+被除式餘式
商式除式除式
】
得32232
x x
x x -++2
56332x x x x +=-+++ ∴原式=
2
56
(3)32
x x dx x x +-+
++⎰ 【接下來依規定將256
32
x x x +++化成部分分式】
232(1)(2)
x x x x ++=++ 設
2
563212
x A B
x x x x +=+++++ 【等號兩邊同乘2
32(1)(2)x x x x ++++或】
⇒56(2)(1)x A x B x +=+++
令1x =-代入⇒1A =
令2x =-代入⇒
44B B -=-∴=
∴原式=
2
56
(3)32
x x dx x x +-+
++⎰
=14
(3)12
x dx x x -++++⎰
2
3l n 14l n 22
x x x x C
=-+++++
例題3. 求23
26
(1)
x x dx x +--⎰ Sol ：
令23
26
(1)
x x x +--=231(1)(1)A B C x x x ++--- 【等號兩邊同乘3
(1)x -】
⇒
2226(1)(1)x x A x B x C +-=-+-+
2(21)(1)A x x B x C =-++-+
2(2)()
A x
B A x A B
C =+-+-+ 【比較係數後，得到下面的聯立方程式】
1226A B A A B C =⎧
⎪
-=⎨⎪-+=-⎩
⇒1,4,3A B C ===- ∴23
26(1)
x x dx x +--⎰23143()1(1)(1)dx x x x -=++---⎰ =1
23
ln 14(1)(1)2
x x x K -----+-+
提示：23
43
()(1)(1)
dx x x -+--⎰的積分方法(代換法)
1u x d u d x
=-⇒= 23
43()(1)(1)dx x x -+--⎰2343
()du u u
=-⎰
2
3
1
23
(43)42
u
u
d u u u
----=-=-+
⎰
1
23
4(1)(1)2
x x --=--+-
【提示：其實利用綜合除法也可以求,,A B C (比較方便)】
A
1 2+ 6-
C。