高考数学几何证明选讲
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几何证明选讲
沙市五中高三数学组
一、填空题(每小题6分，共48分)
1．如图所示，l1∥l2∥l3，下列比例式正确的有________(填序号)．
(1)AD
DF
＝
CE
BC
；(2)
AD
BE
＝
BC
AF
；(3)
CE
DF
＝
AD
BC
；(4)
AF
DF
＝
BE
CE
.
2．如图所示，D是△ABC的边AB上的一点，过D点作DE∥BC交AC于E.已
知AD
DB
＝
2
3
，则
S
△ADE
S
四边形BCED
＝
__________________________________________________________________.
3．如图，在四边形ABCD中，EF∥BC，FG∥AD，则EF
BC
＋
FG
AD
＝________.
4．在直角三角形中，斜边上的高为6，斜边上的高把斜边分成两部分，这两部分的比为3∶2，则斜边上的中线的长为________．
5．(2010·苏州模拟)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD与AC相交于点O，过点O的直线分别交AB，CD于E，F，且EF∥BC，若AD＝12，BC＝20，则EF＝________.
6．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，CE是中线，DC＝BE，DG⊥CE于G，EC 的长为4，则EG＝________.
7．(2010·天津武清一模)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，EF ∥BC，AB＝15，AF＝4，则DE＝________.
8．如图所示，BD、CE是△ABC的中线，P、Q分别是BD、CE的中点，则PQ BC ＝
________.
二、解答题(共42分)
9．(14分)如图所示，在△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC于D，BE是∠ABC
的平分线，交AD于F，求证：DF
AF
＝
AE
EC
.
10．(14分)如图，△ABC中，D是BC的中点，M是AD上一点，BM、CM的延长线分别交AC、AB于F、E.
求证：EF∥BC.
11．(14分)(2010·苏州模拟)如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于O 点，直线l平行于BD且与AB，DC，BC，AD及AC的延长线分别相交于点M，N，R，S和P，
求证：PM·PN＝PR·PS.
1．(4)
解析由平行线分线段成比例定理可知(4)正确．
2．
4 21
解析由AD
DB
＝
2
3
知，
AD
AB
＝
2
5
，
S
△ADE
S
△ABC
＝
4
25
，
故
S
△ADE
S
四边形BCED
＝
4
21
.
3．1
解析∵EF∥BC，∴EF
BC
＝
AF
AC
，
又∵FG∥AD，∴FG
AD
＝
CF
AC
，
∴
EF BC ＋FG AD ＝AF AC ＋CF AC ＝AC
AC
＝1. 4．562
解析 设斜边上的两段的长分别为3t,2t ，由直角三角形中的射影定理知：62＝3t ·2t ，解得t ＝6(t >0，舍去负根)，所以斜边的长为56，故斜边上的
中线的长为56
2
.
5．15
解析 ∵AD ∥BC ，∴OB OD ＝BC AD ＝2012＝53，∴OB BD ＝5
8
，
∵OE ∥AD ，∴OE AD ＝OB BD ＝5
8，
∴OE ＝58AD ＝58×12＝15
2
，
同理可求得OF ＝38BC ＝38×20＝15
2
，
∴EF ＝OE ＋OF ＝15. 6．2
解析 连结DE ，因为AD ⊥BC ，所以△ADB 是直角三角形，则DE ＝1
2
AB ＝BE
＝DC .又因为DG ⊥CE 于G ，所以DG 平分CE ，故EG ＝2.
7．6
解析 设DE ＝x ，∵DE ∥AC ， ∴BE 15＝x x ＋4，解得BE ＝15x x ＋4
. ∴BD DC ＝BE EA ＝BE 15－BE ＝x 4
. 又∵AD 平分∠BAC ，∴BD DC ＝BA AC ＝15x ＋4＝x
4
，
解得x ＝6. 8．14
解析 连结DE ，延长QP 交AB 于N ， 则⎩⎪⎨
⎪⎧
NP ＝12ED ＝14BC ，NP ＋PQ ＝1
2BC .
得PQ ＝14
BC .
9．证明 由三角形的内角平分线定理得，
在△ABD 中，DF AF ＝BD
AB ， ①
在△ABC 中，AE EC ＝AB
BC
， ② (4分)
在Rt △ABC 中，由射影定理知，AB 2＝BD ·BC ， 即BD AB ＝AB
BC
. ③ (8分) 由①③得：DF AF ＝AB
BC ， ④ (12分)
由②④得：DF AF ＝AE
EC
. (14分)
10．证明 延长AD 至G ，使DG ＝MD ，连结BG 、CG . ∵BD ＝DC ，MD ＝DG ，
∴四边形BGCM 为平行四边形． (4分)
∴EC ∥BG ，FB ∥CG ，
∴
AE AB ＝AM AG ，AF AC ＝AM AG ， ∴AE AB ＝AF
AC
， (12分)
∴EF ∥BC .
(14分)
11．证明 ∵BO ∥PM ，