现代控制理论上机实验
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根据得到的约当标准型的变换矩阵 V,运行下列文件得到约当标准型的矩阵系数: G1=ss2ss(G,V) a= x1 x1 x2 x3 -104 21 -4.2 x2 -613.6 123.1 -24.28 x3 -697.1 139.6 -27.58
b= u1 x1 x3 c= x1 y1 d= u1 y1 0 1 x2 x3 7.5 12.5 2.5 0.1 x2 -0.5
3.按图 4.1 电路接线,输入阶跃信号,观察记录输出波形,观测稳态输出值(或稳态
误差)和调整时间。(注意:电阻值可根据实际情况合理选取,但需尽量保证方框图中各环 节的比例放大倍数。) 按图 4.2 图 4.3 分别接线,观察并记录两个电路相应的阶跃响应曲线,并与图 4.1 所示系统阶跃响应曲线进行比较,它们是否一致?并简单解释其原因。 实验输出的参数要求及记录要求如下
由对角线标准型的变换阵 D,运行下列 m-文件的到对角线标准型矩阵系数: G1=ss2ss(G,D) a= x1 x1 x2 x3 b= u1 x1 -5 x2 x3 c= x1 x2 x3 0 0 -8.5 0.5 0 x2 -40 0 0.4 -62.5 0 0 x3
y1 d=
0
0
-1
u1 y1 0
计算矩阵 A 的特征值及与特征值对应的对角型变换矩阵 D 的 m-如下: [V,D]=eig(A) [V,D]=eig(A) V= -0.9798 0.1960 -0.0392 D= -5.0000 0 0 0 -2.5000 0 0 0 -1.0000 0.9184 -0.3674 0.1469 0.5774 -0.5774 0.5774
Continuous-time model. 由上可得,对角线标准型: ������������1 ̇ −8.5 ̇ � = � 0.5 �������������2 ������������3 ̇ 0 对角型变换矩阵为: −40 −62.5 ������������1 −5 0 0 � �������������2 � + � 0 � ������������ ������������3 0.4 0 0 ������������1 y = [0 0 −1] �������������2 � ������������3 0 0 −2.5 0 � 0 −1
(4) 伴随矩阵标准型
运行以下 m-程序可得到伴随矩阵标准型系数矩阵和其变换矩阵: >> [G1,V]=canon(G,'companion') a= x1 x1 x2 x3 b= u1 x1 x2 x3 c= x1 y1 0 x2 0 x3 1 1 0 0 0 1 0 x2 0 0 1 x3 -12.5 -20 -8.5
0 D= 0
0
1
因此,传递函数的一个状态空间实现是 ������������1 ̇ −8.5 ̇�=� 1 �������������2 ������������3 ̇ 0
G=ss(A,B,C,D); (1) 对角线标准型:
1 20 −12.5 ������������1 0 0 � �������������2 � + �0� ������������ ������������3 0 1 0 ������������1 y = [0 0 1] �������������2 � ������������3
2.根据所给系统的已知条件(可自行参阅选择刘豹教材中的例题或习题) ,如(A、B、C、
D)模型,判断其可控性和可观测性并进行可控性和可观测性分解。
判别可控、可观: (1) 构造系统的可控性判别矩阵 Tc 的 m-程序及结果如下: >> Tc=ctrb(A,B) Tc = 1.0000 0 0 -8.5000 1.0000 0 52.2500 -8.5000 1.0000
由 Tc 可得,系统可控。 (2) 构造系统的可观测性判别矩阵 To 的 m-程序及结果如下: >> Toห้องสมุดไป่ตู้obsv(A,C) To = 0 0 1 0 1 0 1 0 0
由 To 可得,系统可观。 运行以下 m-文件得到可控矩阵可观矩阵: 可控矩阵: >> W=gram(G,'c') W= 0.0635 -0.0000 -0.0032 可观矩阵: >> W= 0.0022 0.0183 0.0400 能控性分解 >> [Ac,Bc,Cc,Tc,Kc]=ctrbf(A,B,C) Ac = 0 0 12.5000 1.0000 0 20.0000 -8.5000 0 -1.0000 0.0183 0.1591 0.3670 0.0400 0.3670 1.0294 W=gram(G,'o') -0.0000 0.0032 -0.0000 -0.0032 -0.0000 0.0022
Continuous-time model 由上可得,约旦标准型: ������������1 ̇ −104 −613.6 −697.1 ������������1 2.5 ̇ � = � 21 �������������2 123.1 139.6 � �������������2 � + �−0.5� ������������ ������������3 ̇ −4.2 −24.28 −27.58 ������������3 0.1 ������������1 y = [1 7.5 12.5] �������������2 � ������������3 2.5 −1.6667 0.1667 V = �−0.5 0.6667 −0,1667� 0.1 −0.2667 0.1667
已知系统的传递函数如下:
= G ( s)
1 1 = 3 2 ( s + 1)( s + 2.5)( s + 5) s + 8.5s + 20 s + 12.5 −0.27 16 0.1 = + + s + 1 s + 2.5 s + 5
运行如下 m-文件,得到传递函数的状态空间模型: num=[0 0 0 1]; den=[1 8.5 20 12.5]; [A,B,C,D]=tf2ss(num,den) 得到 A= -8.5000 1.0000 0 B= 1 0 0 C= -20.0000 -12.5000 0 1.0000 0 0
4.1 仿真图
4.1 仿真结果 由 4.1 仿真结果图可知,稳态输出值为 0.08,调整时间为 6
4.2 仿真图
4.2 仿真结果 由 4.2 仿真结果图可知,稳态输出值为 0.08,调整时间为 6.3
4.3 仿真图
4.3 仿真结果 由 4.3 仿真结果图可知,稳态输出值为 0.078,调整时间为 7.7
约旦标准型的变换矩阵为:
(3) 模态标准型
运行以下 m-程序可得到模态标准型系数矩阵和其变换矩阵: >> [G1,V]=canon(G,'modal') a= x1 x1 x2 x3 b= u1 x1 -0.825 x2 x3 c= -0.95 0.375 -5 0 0 x2 0 -2.5 0 x3 0 0 -1
d= u1 y1 0
Continuous-time model. V= 1.0000 0 0 8.5000 1.0000 0 20.0000 8.5000 1.0000
由上可得,伴随矩阵标准型: ������������1 ̇ 0 ̇ � = �1 �������������2 ������������3 ̇ 0 模态标准型的变换矩阵为: 1 0 −12.5 ������������1 0 −20 � �������������2 � + �0� ������������ 0 1 −8.5 ������������3 ������������1 y = [0 0 1] �������������2 � ������������3 1 8.5 V = �0 1 0 0 20 8.5� 1
x1 y1 d= u1 y1 0 -0.1212
x2 0.2807
x3 0.4444
Continuous-time model. V= -0.8250 -0.9500 0.3750 -2.8875 -5.7000 2.8125 -2.0625 -4.7500 4.6875
由上可得,模态标准型: ������������1 ̇ −5 ̇�=� 0 �������������2 ������������3 ̇ 0 模态标准型的变换矩阵为: 0 0 ������������1 −0.825 −2.5 0 � �������������2 � + � −0.95 � ������������ 0 −1 ������������3 0.375 ������������1 y = [−0.1212 0.2807 0.4444] �������������2 � ������������3 −0.825 −2.8875 −2.0625 V = � −0.95 −5.7 −4.75 � 0.37 2.8125 4.6875
Bc = 0 0 1
Cc = -1 0 0
Tc =
0 0 1
0 -1 0
-1 0 0
Kc = 1 >> sum(Kc) ans = 3 由上可得,可控性分解子矩阵: ������������1 ������������1 ̇ 0 1 0 0 ̇�=� 0 �������������2 0 −1 � �������������2 � + �0� ������������ ������������3 ̇ 12.5 20 −8.5 ������������3 1 ������������1 y = [−1 0 0] �������������2 � ������������3 1 1
能观测性分解
>> [Ao,Bo,Co,To,Ko]=obsvf(A,B,C) Ao = -8.5000 -1.0000 0 20.0000 0 -1.0000 -12.5000 0 0
Bo = -1 0 0
Co = 0 0 -1
To =
-1 0 0
0 1 0
0 0 -1
Ko = 1 >> sum(Ko) ans = 3 由上可得,可观性分解子矩阵: ������������1 ̇ −8.5 20 ̇ � = � −1 �������������2 0 ������������3 ̇ 0 −1 −1 −12.5 ������������1 0 � �������������2 � + � 0 � ������������ ������������3 0 0 ������������1 y = [0 0 −1] �������������2 � ������������3 1 1
现代控制理论上机实验
利用 MATLAB 求取状态空间模型的相似变换及其标准型、控制 系统的不同状态模型实现
实验目的: 1、通过实验掌握线性系统的对角线标准型、约旦标准型、模态标准型以及伴随矩阵标准型 的表示及相应变换阵的求解; 2、通过编程、上机调试,掌握系统可控性和可观测性的判别方法、系统的可控性和可观测 性分解等; 3、加深理解由控制系统传递函数建立能控、能观、约当标准型等不同状态模型的方法。 实验要求: 1.实现同一系统传递函数的状态模型是唯一的吗? 2.系统传递函数除上面三种不同状态模型实现外,常见的还有串连实现,对否? 3.对于上述系统传递函数,其输出稳态值与输入阶跃信号幅值有何关系? 实验步骤: 1. 根据所给系统的已知条件(可自行参阅选择刘豹教材中的例题或习题) ,如传递函数、 零极点模型或(A、B、C、D) ,实现状态空间模型之间的相似变换、写出其对角线标准 型、 约当标准型、 模态标准型以及伴随矩阵标准型的表示及求解相应变换阵, 采用 MATLAB 的相关函数编写 m-文件。
(2) 约旦标准型:
−5 V=� 0 0
计算矩阵 A 变换为约当标准型 J,并得到变换矩阵 V,运行下列 m-文件: >> [V,J]=jordan(A) V= 2.5000 -0.5000 0.1000 -1.6667 0.6667 -0.2667 0.1667 -0.1667 0.1667
J= -5.0000 0 0 0 -2.5000 0 0 0 -1.0000