三角形的重心的推导及其性质

2020中考数学知识点：三角形的重心公式证明

2020中考数学知识点：三角形的重心公式证明重心是三角形三边中线的交点，三线交一点可用燕尾定理来证明。

三角形的重心已知：△ABC中，D为BC中点，E为AC中点，AD与BE交于O，CO延长线交AB于F。

求证：F为AB 中点。

证明：根据燕尾定理，S(△AOB)=S(△AOC)，又S(△AOB)=S(△BOC)，∴S(△AOC)=S(△BOC)，再应用燕尾定理即得AF=BF，命题得证。

重心的几条性质：1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3);空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3竖坐标：(Z1+Z2+Z3)/35.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。

如果用塞瓦定理证，则极易证三条中线交于一点。

如图，在△ABC中，AD、BE、CF是中线则AF=FB，BD=DC，CE=EA∵(AF/FB)*(BD/DC)*(CE/EA)=1∴AD、BE、CF交于一点即三角形的三条中线交于一点其实考试中不会单独的出现关于三角形的重心问题，而是综合图形知识要领，这就需要大家准确的分析了。

2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，一次函数y=－x 与二次函数y=ax 2+bx+c 的图象相交于点M 、N ，则关于x 的一元二次方程ax 2+(b+1)x+c=0的根的情况是( )A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.没有实数根D.以上结论都正确 2．刘主任乘公共汽车从昆明到相距千米的晋宁区办事，然后乘出租车返回，出租车的平均速度比公共汽车快千米/时，回来时路上所花时间比去时节省了小时，设公共汽车的平均速度为千米时，则下面列出的方程中正确的是（）A.B.C. D.3．已知二次函数y ＝ax 2+bx 的图象经过点A （﹣1，1），则ab 有（）A.最小值0B.最大值1C.最大值2D.有最小值﹣4．统计局信息显示，2018年嘉兴市农家乐旅游营业收入达到27.49亿元，若2020年全市农家乐旅游营业收入要达到38亿元，设平均每年比上一年增长的百分率是x ，则下列方程正确的是（）A ．27.49+27.49x 2＝38B ．27.49（1+2x ）＝38C ．38（1﹣x ）2＝27.49D ．27.49（1+x ）2＝385．某工厂接到加工 600 件衣服的订单，预计每天做 25 件，正好按时完成，后因客户要求提前 3 天交货，工人则需要提高每天的工作效率，设工人每天应多做件，依题意列方程正确的是( )A.B.C. D.6．64的立方根是（）A ．8B ．2C ．3D ．47．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，按以下步骤作图：①：以点B 为圆心，以小于BC 的长为半径画弧，分别交AB 、BC 于点E 、F ；②：分别以点E 、F 为圆心，以大于12EF 的长为半径画弧，两弧相交于点G ； ③：作射线BG ，交AC 边于点D ，若4BC =，5AB =，则ABD S ∆=（）A ．3B ．103C ．6D ．2038．已知点A （a ，b ）是一次函数y=-x+4和反比例函数y=1x 的一个交点，则代数式a 2+b 2的值为（） A ．8 B ．10 C ．12 D ．149．如图，A 、D 是⊙O 上的两个点，BC 是直径，若∠D ＝34°，则∠OAC 等于( )A ．68°B ．58°C ．72°D ．56°10．在半径为8cm 的圆中，垂直平分半径的弦长为( )A ．4cmB ．43cmC ．8cmD ．83cm11．休闲广场的边缘是一个坡度为i ＝1：2.5的缓坡CD ，靠近广场边缘有一架秋千．秋千静止时，底端A 到地面的距离AB ＝0.5m ，B 到缓坡底端C 的距离BC ＝0.7m ．若秋千的长OA ＝2m ，则当秋千摆动到与静止位置成37°时，底端A′到坡面的竖直方向的距离A′E 约为（）（参考数据：sin37°＝0.60，cos37°＝0.80，tan37°＝0.75）A ．0.4mB ．0.5mC ．0.6mD ．0.7m12．如图菱形OABC 中，∠A ＝120°，OA ＝1，将菱形OABC 绕点O 顺时针方向旋转90°，则图中阴影部分的面积是（）A.23πB.2332π-C.113122π-D.23π﹣1 二、填空题13．如图，在△ABC 中，点D 在BC 边上，△ABC ∽△DBA ．若BD ＝4，DC ＝5，则AB 的长为_____．14．﹣19的倒数是_____． 15．某工艺品车间有20名工人，平均每人每天可制作12个大花瓶或10个小饰品，已知2个大花瓶与5个小饰品配成一套，则要安排_____名工人制作大花瓶，才能使每天制作的大花瓶和小饰品刚好配套．16．抛物线y ＝x 2﹣2x+m 与x 轴只有一个交点，则m 的值为_____．17．如图，⊙O 的直径AB=8，点C 在⊙O 上，∠CAB=22.5°，过点C 作CD ⊥AB 交⊙O 于点D ，则弧CD 的长为______．18．抛物线22(5)3y x =-+-的顶点坐标是__________.三、解答题19．如图，等边△ABC 中，P 是AB 上一点，过点P 作PD ⊥AC 于点D ，作PE ⊥BC 于点E ，M 是AB 的中点，连接ME ，MD ．(1)依题意补全图形；(2)用等式表示线段BE ，AD 与AB 的数量关系，并加以证明；(3)求证：MD ＝ME ．20．如图，一次函数y ＝kx+3的图象分别交x 轴、y 轴于点B 、点C ，与反比例函数y x n =的图象在第四象限的相交于点P ，并且PA ⊥y 轴于点A ，已知A （0，﹣6），且S △CAP ＝18．（1）求上述一次函数与反比例函数的表达式；（2）设Q 是一次函数y ＝kx+3图象上的一点，且满足△OCQ 的面积是△BCO 面积的2倍，求出点Q 的坐标．21．如图,在平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别是AB 、BC 上的点，且AE CF =，AED CFD ∠=∠，求证：（1）DE DF =；（2）四边形ABCD 是菱形.22．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中方程式是重要的数学成就。

三角形的重心与外心

三角形的重心与外心三角形是几何学中最基本的多边形之一，在三角形的研究中，重心和外心是两个重要的概念。

本文将详细介绍重心和外心的定义、性质以及计算方法。

一、重心重心是指三角形内部所有三条中线所交的一点，通常表示为G。

在任意三角形ABC中，以A、B、C三个顶点为起点，分别向对边中点引垂线，这三条垂线交于一点G，即为三角形的重心。

重心的坐标可以通过以下公式计算得出：G(x,y) = [(x1+x2+x3)/3, (y1+y2+y3)/3]二、重心的性质1. 重心将三角形划分为六个三角形，其中三个小三角形的质心与重心重合。

2. 重心到三角形三个顶点的距离比例为2:1，即AG：BG：CG=2:1。

3. 重心是三角形内部离三条边最近的点。

4. 如果三角形的三边长度相等，则重心与内心、外心重合。

5. 重心是三角形垂心、内心和外心的连线的交点之一。

三、外心外心是指三角形外接圆的圆心，通常表示为O。

在任意三角形ABC 中，取三个角的外角平分线，这三条外角平分线的交点即为三角形的外心。

计算三角形外心的坐标比较复杂，可以利用外接圆的性质来简化计算。

由于外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等，因此可以通过求解三角形两边的垂直平分线的交点来确定外心的坐标。

四、外心的性质1. 外心是三角形外接圆的圆心，外接圆的半径等于三角形的外接圆半径。

2. 外心与三个顶点的连线相等，即OA=OB=OC。

3. 外心是三角形三条高的交点之一。

4. 如果三角形是等边三角形，则外心与重心、内心重合。

五、计算方法1. 重心的计算方法已在前文中提及，即取三个顶点的坐标的平均值。

2. 外心的计算方法可以通过以下步骤进行：（1）计算三边的中垂线斜率，分别记作k1，k2，k3；（2）计算三边中点的坐标，分别记作M1，M2，M3；（3）计算三条中垂线的方程，分别为L1：y = k1x + b1，L2：y = k2x + b2，L3：y = k3x + b3；（4）求解方程组 L1与L2，L2与L3的交点，即为外心的坐标。

三角形重心性质的有关推论及应用

三角形重心性质的有关推论及应用作者：刘家良来源：《中学数学杂志(初中版)》2011年第04期三角形的三条中线相交于一点,这一点叫做三角形的重心.三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍.以三角形重心的定义和性质为依据,可推导出三条结论：推论1 三角形的三条中线将三角形分成面积相等的六部分．如图1,△ABC的三条中线AD,BE,CF交于点G,则△ABC被分成面积相等的六部分,即S1=S2=S3=S4=S5=S6．证明：如图1,因为BE、CF分别是边AC、AB的中线,所以S△ABE=S△ACF=12S△ABC,即S1+S2+S3=S1+S2+S6,所以S3=S6.在△ABG中,GF为边AB的中线,则S3=S2,在△ACG中,GE 为边AC的中线,则S1=S6,所以S1=S2=S3=S6.依此类推,得S1=S2=S3=S4=S5=S6．推论2 三角形的重心与三角形的三个顶点构成的三个三角形的面积相等,且等于原三角形面积的13．如图1,根据推论1,得S△ABG=S△BCG=S△ACG=13S△ABC．推论3 以三角形的重心与三角形的三顶点的连线为边能构成一个三角形,且这个三角形的面积等于原三角形面积的13．证明：如图2,考虑到GD为△BCG的中线,现将其加倍延长(俗称中线加倍法),即延长GD 至点M,使MD=GD,连接BM,CM,则四边形BMCG为平行四边形,所以BM=CG.因为AG=2GD,MG=2GD,所以MG=AG.由此,得以AG,BG,CG为边组成一个三角形(△BMG或△CMG).因为S△BCG=S4+S5=13S△ABC,△BDM≌△CDG,所以S△BMG=S4+S5=13S△ABC．注三角形的顶点与重心的连线的延长线于对边的交点为这边的中点,此时,往往先将重心与中点的连线加倍延长来构造平行四边形,再利用平行四边形的知识解题．现应用三条推论解一题：例如图3,已知点G是△ABC的重心,AG=5,BG=13,GC=12,求△ABC的面积．解如图3,延长BG交AC于点D,延长GD至点E,使ED=GD,连接EC,AE,因为点G是△ABC的重心,所以AD=DC,则四边形AECG为平行四边形,所以CE=AG=5,又点G是△ABC的重心,所以BG=2GD,因为ED=GD,所以EG=2GD,所以EG=BG=13,在△CEG中,因为CG2+CE2=GE2,所以∠ECG=90°,所以S△ECG=12CE•CG=30,即以AG,BG,CG为边构成的三角形的面积为30,根据推论3,得S△ABC=3×S△ECG=90．作者简介：刘家良,男,天津静海人,1966年10月生,中学高级教师.近年来,先后荣获县级教改积极分子、县级优秀班主任和县级优秀教师称号.发表文章40余篇．。

三角形的重心、垂心、内心、外心

三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。

三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。

一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。

该点叫做三角形的重心。

三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。

（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。

2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。

即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。

外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。

2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。

3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。

4、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。

垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。

2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。

（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。

4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。

定理证明已知：ΔABC中，AD、BE是两条高，AD、BE交于点O，连接CO并延长交AB于点F ，求证：CF⊥AB证明：连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度∴A、B、D、E四点共圆∴∠ADE=∠ABE ∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC ∴ΔAEO∽ΔADC ∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE 又∵∠ABE+∠BAC=90度∴∠ACF+∠BAC=90度∴CF⊥AB 因此，垂心定理成立！四、三角形内心定理三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。

三角形重心的推导及其应用

三角形重心的推导及其应用在新课标人教版八年级数学下册的四边形这一章节中提出了重心这一概念，但是并没有作出具体的阐述，为了让学生深入的了解重心的特征，适应教学的需要，我根据学生现有的知识面，对三角形的重心特征进行了适当的归纳，并进行了合理的运用，目的是希望学生能通过这一过程的学习从而能很好的掌握重心的特性，并能灵活运用。

概念：三角形的重心就是它的三条中线的交点。

性质1：三角形的重心到三角形的一个顶点及其对边的距离之比是2：1。

证明：已知△ABC中，CE、BD是AB、AC上的中线，BD与CE相交于O，BO与DO的长之间有何关系？解析：作BO中点M，CO中点N，连结ED、EM、DN、MN∵ED为△ABC 中位线，∴ED= BC且ED∥BC，又∵MN为△OBC中位线，∴MN= BC且MN ∥BC，∴ED与MN平行且相等，∴EMND为□，∴MD与EN互相平分，∴OM=OD，∴OD：OB=1：2。

性质运用例1 已知，如图，AD为△ABC中线，E为AD中点，F为BE延长线与AC的交点，求AF：FC的值。

解析：过C作CG∥AD交BA延长线于G，∵D为BC中点，∴AD为△BGC 中位线，∴A为BG中点，延长BF交GC于H，∵E为AD中点，∴H为CG 中点，∴CA与BH交点F为△BGC的重心，∴AF：FC=1：2。

例2 如图在△ABC中，∠BAC=90O，M为AC中点，AG⊥BM，且BG=2GM，①求证：BC=3AG。

②若AB=√6，求BM的长。

解析：①∵M为AC中点且BG=2GM，∴点G为△ABC的重心，延长AG 交BC于H，∵点G为重心，∴AG=2GH且H为BC的中点，设GH=x，则AG=2x，AH=3x，∵△ABC为直角三角形，∴AH=12BC ，∴BC=6x，∴BC=3AG。

性质2：三角形三条中线所分得的6个小三角形的面积相等，且每个小三角形的面积都为大三角形面积的16。

证明如图，在△ABC中，点D、E、F分别为BC、AC、AB的中点，求证：S1= S2= S3= S4= S5= S6解析：∵F为AB的中点，∴S1= S2D为BC的中点，∴S3= S4E为AC的中点，∴S5= S6又∵DF为△ABC的中位线，∴DF∥AC，∴S△AFD=S△CFD ∴S1= S4∴S1= S2= S3= S4，又∵AO：OD=2：1∴S△AOC：S△DOC=2：1即2S6：S4=2：1 ∴S6= S4∴S1= S2= S3= S4= S5= S6例3 如图，点E、F为正方形ABCD的两边AB、BC的中点，AF、CE相交于G点，若正方形ABCD的面积等于1，求四边形AGCD的面积。

三角形重心

三角形重心三角形是几何学中最简单、最基本的图形之一，它由三条边和三个顶点组成。

在三角形中，有一个特殊的点称为三角形的重心，它是三条中线的交点。

重心在三角形的性质和应用中有着很重要的地位。

在本文中，将深入探讨三角形重心的定义、性质、计算方法和应用领域。

1. 重心的定义和性质三角形的重心定义为三条中线的交点，其中中线是连接一个顶点与对边中点的线段。

如果一个三角形的三条中线相交于一点，则该点就是三角形的重心。

以下是三角形重心的一些性质：（1）三角形的重心和顶点的连线是三等分角的角平分线；（2）三角形的重心到三边的距离满足距离定理，即重心到顶点所在边的距离是重心到对边的距离的两倍；（3）重心到三边的距离和相等；（4）三角形的重心是三个中线的交点，也是质心的两倍。

2. 重心的计算方法计算三角形的重心可以使用向量法或坐标法。

以坐标法计算为例，假设一个三角形的顶点坐标分别为A(x1, y1)，B(x2, y2)和C(x3,y3)。

可以通过以下公式计算重心的坐标G(x, y)：x = (x1 + x2 + x3) / 3y = (y1 + y2 + y3) / 3通过坐标法计算重心的好处是，无论三角形的形状和大小如何改变，只要知道顶点的坐标，就能准确计算重心的坐标。

3. 重心的应用领域重心在几何学和物理学中有着广泛的应用。

以下是几个重心的应用领域：（1）建筑物和桥梁设计：重心在建筑物和桥梁的设计中起着关键作用。

确定一个建筑物或桥梁的重心可以帮助工程师分析和预测结构的稳定性和平衡性。

（2）机械工程：在机械工程中，重心的概念经常用于计算和设计运动系统的稳定性。

（3）物理学：在物理学中，重心是许多力学问题的重要概念。

通过确定物体的重心，可以帮助理解和分析物体的运动和平衡状态。

（4）地理学：在地理学中，重心被用来计算地球表面的重心，以便更好地了解地球的质量分布和地理数据分析。

（5）航空航天工程：在航空航天工程中，重心对于飞机和火箭的稳定性和控制至关重要。

三角形重心性质的有关推论及应用

三角形重心性质的有关推论及应用
三角形重心性质的推论以及应用如下：三角形的三条边的中线交于一点。

这个点叫做三角形的重心。

三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。

性质一、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

性质二、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数。

性质三、在△ABC中，若MA向量+MB向量+MC向量=0（向量），则M 点为△ABC的重心，反之也成立。

性质四、设△ABC重心为G点，所在平面有一点O，则向量OG=1/3（向量OA+向量OB+向量OC）。

按角分
1、锐角三角形：三角形的三个内角都小于90度。

2、直角三角形：三角形的三个内角中一个角等于90度，可记作Rt△。

3、钝角三角形：三角形的三个内角中有一个角大于90度。

三角形重心定理

一、三角形重心定理二、三角形外心定理三、三角形垂心定理四、三角形内心定理五、三角形旁心定理三角形五心定理二、三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。

三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。

一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。

该点叫做三角形的重心。

重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。

2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。

即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。

二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。

外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。

2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。

3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。

4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。

c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。

外心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。

5、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。

垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。

2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。

3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。

4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。

三角形五心定律及性质

三角形五心定律及性质
三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心这五心称之为三角形的五心。

三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。

三角形五心是三角形的重要相关点，五心定理具体如下：
重心定理：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。

该点叫做三角形的重心。

外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。

该点叫做三角形的外心。

垂心定理：三角形的三条高交于一点。

该点叫做三角形的垂心。

内心定理：三角形的三内角平分线交于一点。

该点叫做三角形的内心。

旁心定理：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点。

该点叫做三角形的旁心。

三角形有三个旁心。

另有三角形的中心，但只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。

三角形重心外心垂心内心的向量表示及其性质

三角形重心外心垂心内心的向量表示及其性质三角形是几何学中的基础概念之一，具有丰富的性质和特点。

其中，重心、外心、垂心和内心是三角形重要的特殊点，它们在三角形的研究和计算中起着重要的作用。

本文将介绍三角形重心、外心、垂心和内心的向量表示及其性质。

一、三角形重心的向量表示及性质重心是三角形三条中线的交点，记为G。

设三角形的三个顶点分别为A、B、C，对应的向量为a、b、c。

则三角形重心G的向量表示为：G = (a + b + c)/3重心G的性质如下：1. 重心到三角形各顶点的向量和为0向量，即AG + BG + CG = 0。

2. 重心将中线分成2:1的比例，即AG : GM = 2:1，BG : GN = 2:1，CG : GP = 2:1，其中M、N、P分别为中线BC、AC、AB的中点。

3. 重心是三角形内切圆和外接圆的同一个圆心。

二、三角形外心的向量表示及性质外心是三角形三条垂直平分线的交点，记为O。

设三角形的三个顶点分别为A、B、C，对应的向量为a、b、c。

则三角形外心O的向量表示为：O = (a⊥ + b⊥ + c⊥)/3其中，a⊥、b⊥、c⊥分别表示向量a、b、c的垂直平分线的向量。

外心O的性质如下：1. 外心到三角形各顶点的距离相等，即OA = OB = OC。

2. 外心是三角形外接圆的圆心，且外接圆的半径为OA、OB、OC中的一个。

三、三角形垂心的向量表示及性质垂心是三角形三条高线的交点，记为H。

设三角形的三个顶点分别为A、B、C，对应的向量为a、b、c。

则三角形垂心H的向量表示为：H = (a⊥ + b⊥ + c⊥)/3其中，a⊥、b⊥、c⊥分别表示向量a、b、c的高线的向量。

垂心H的性质如下：1. 垂心到三角形各顶点的距离相等，即HA = HB = HC。

2. 垂心是三角形内接圆的圆心，且内接圆的半径为HA、HB、HC中的一个。

四、三角形内心的向量表示及性质内心是三角形三条角平分线的交点，记为I。

2018中考数学知识点：三角形的重心公式证明

2018中考数学知识点：三角形的重心公式证明
重心是三角形三边中线的交点，三线交一点可用燕尾定理来证明。

三角形的重心
已知：△ABC中，D为BC中点，E为AC中点，AD与BE交于O，CO延长线交AB 于F。

求证：F为AB中点。

证明：根据燕尾定理，S(△AOB)=S(△AOC)，又S(△AOB)=S(△BOC)，∴S(△AOC)=S(△BOC)，再应用燕尾定理即得AF=BF，命题得证。

重心的几条性质：
1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3);空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3竖坐标：(Z1+Z2+Z3)/3
5.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。

如果用塞瓦定理证，则极易证三条中线交于一点。

如图，在△ABC中，AD、BE、CF是中线
则AF=FB，BD=DC，CE=EA
∵(AF/FB)*(BD/DC)*(CE/EA)=1
∴AD、BE、CF交于一点
即三角形的三条中线交于一点
其实考试中不会单独的出现关于三角形的重心问题，而是综合图形知识要领，这就需要大家准确的分析了。

三角形的重心知识点详解2024人教版

三角形的重心知识点详解2024人教版三角形的重心是几何学中的一个重要概念，它不仅在理论上有着丰富的性质和应用，而且在实际生活中也有广泛的应用。

本文将详细介绍三角形重心的定义、性质、计算方法及其应用，帮助读者全面理解这一重要知识点。

一、三角形重心的定义三角形的重心是指三角形三条中线的交点。

中线是从一个顶点到对边中点的线段。

重心具有以下几个重要特点：1. 重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。

这意味着重心将每条中线分成两部分，其中靠近顶点的部分是靠近对边中点部分的两倍。

2. 重心和三角形三个顶点组成的三个三角形面积相等。

这表明重心将三角形分成了三个面积相等的小三角形。

3. 重心到三角形三个顶点距离的平方和最小。

这意味着重心是三角形内到三个顶点距离的平方和最小的点。

二、三角形重心的性质三角形重心具有许多重要的性质，这些性质在几何学中有着广泛的应用。

以下是一些主要性质：1. 重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。

这一性质可以通过中线定理证明。

2. 重心和三角形三个顶点组成的三个三角形面积相等。

这一性质可以通过面积公式证明。

3. 重心到三角形三个顶点距离的平方和最小。

这一性质可以通过向量法或解析几何的方法证明。

4. 重心是三角形内到三边距离之积最大的点。

这一性质可以通过均值不等式证明。

5. 在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均。

这一性质可以通过坐标几何的方法证明。

三、三角形重心的计算方法计算三角形重心的方法有很多种，以下是几种常见的方法：1. 坐标法：在平面直角坐标系中，设三角形的三个顶点坐标分别为((x_1, y_1))、((x_2, y_2))和((x_3, y_3))，则重心的坐标为：这一公式表明重心的坐标是三个顶点坐标的算术平均。

2. 向量法：设三角形的三个顶点分别为(mathbf{A})、(mathbf{B})和(mathbf{C})，则重心(mathbf{G})的向量表示为：这一公式表明重心的向量是三个顶点向量的算术平均。

证明三角形重心判定性质

证明三角形重心判定性质三角形重心是三角形内部所有中线的交点，是三角形的一个重要点。

在三角形的研究中，三角形重心有着重要的作用，包括判定三角形的形状、判断三角形的大小和计算三角形的面积等。

在本文中，我们将探讨证明三角形重心判定性质的方法。

三角形重心判定定理是三角形研究中一条非常重要的定理，也是几何学中的一道经典问题。

这个定理可以用来判断三角形的性质，以及计算三角形的重心坐标。

三角形重心的坐标可以用以下公式计算：$G = (\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3})$其中，$G$表示三角形重心的坐标，$x_1$、$x_2$、$x_3$、$y_1$、$y_2$和$y_3$分别表示三角形三个顶点的坐标。

证明三角形重心判定定理需要以下两个步骤：第一步，证明三角形重心是三条中线的交点。

首先，我们需要知道中线是什么。

中线是连结三角形两个顶点及其对边中点的线段。

因此，三角形有三条中线。

中线可以通过以下公式计算出来：$AB: \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}$$BC: \frac{x_2 + x_3}{2}, \frac{y_2 + y_3}{2}$$AC: \frac{x_1 + x_3}{2}, \frac{y_1 + y_3}{2}$其中，$AB$、$BC$、$AC$表示三角形的三条边，$x_1$、$x_2$、$x_3$、$y_1$、$y_2$和$y_3$分别表示三角形三个顶点的坐标。

我们需要证明三条中线的交点是三角形的重心。

假设$G$为三角形的重心，且$G$在$AB$和$BC$上，那么$G$必定在$AC$上。

这是因为$AC$是由两点$(x_1, y_1)$和$(x_3, y_3)$组成，而重心$G$又满足以下条件：$\frac{AG}{AB} = \frac{BG}{BC} = \frac{CG}{AC}$由此可得：$\frac{AG}{AB} = \frac{2}{3}$$\frac{BG}{BC} = \frac{2}{3}$$\frac{CG}{AC} = \frac{2}{3}$因为$AG$和$BG$都是中线，所以它们分别等于$AB$和$BC$的一半。

三角形重心向量结论推导

三角形重心向量结论推导
三角形是初中数学中常见的一个几何图形，它具有丰富的性质和定理。

其中，三角形重心向量是一个重要的概念，在数学物理学中应用广泛。

本文将介绍三角形重心向量的定义及其推导过程。

首先，我们来定义三角形的重心向量：
定义：设三角形ABC的重心为G，向量AG、BG、CG分别为向量a、向量b、向量c，则三角形ABC的重心向量为：
G = 1/3(G + G + G)
接下来，我们来推导重心向量的公式。

假设三角形ABC的顶点坐标分别为A （x1，y1），B （x2，y2），C （x3，y3）。

那么，向量AG的坐标为（X1,Y1）-（Xg,Yg），向量BG的坐标为（X2,Y2）-（Xg,Yg），向量CG的坐标为（X3,Y3）-（Xg，Yg）。

其中，重心G的坐标为：
Xg = (x1 + x2 + x3) / 3，Yg = (y1 + y2 + y3) / 3
现在，我们来计算重心向量：
= [0, 0]
由推导可知，三角形的重心向量是一个位于原点的向量。

这表明重心向量的大小和方向不受三角形形状和大小的影响，只与三角形的顶点坐标有关。

因此，我们可以在使用三角形重心向量时利用这个特性来进行计算，从而简化问题。

最后，需要注意的是，在实际应用中，我们也可以利用向量之间的线性运算（加法、减法、数乘等）来计算三角形重心向量，并利用重心向量来推导出一些相关的结论和定理。

总的来说，三角形重心向量是一个非常重要的概念，在数学、物理、机械等领域有着广泛的应用。

通过本文的推导，希望能够让读者对三角形重心向量有更深入的认识和理解。

证明三角形重心判定性质整理

证明三角形重心判定性质整理重心是三角形三边中线的交点。

重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等，重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

下面我给大家带来证明三角形重心判定性质，盼望能关心到大家!证明三角形重心判定定理例：已知：△ABC，E、F是AB，AC的中点。

EC、FB交于G。

求证：EG=1/2CG证明：过E作EH△BF交AC于H。

△AE=BE，EH//BF△AH=HF=1/2AF(平行线分线段成比例定理)又△ AF=CF△HF=1/2CF△HF:CF=1/2△EH△BF△EG:CG=HF:CF=1/2△EG=1/2CG（方法）二连接EF利用三角形相像求证：EG=1/2CG 即证明EF=1/2BC利用中位线可证明EF=1/2BC利用中位线可证明EF=1/2BC证明三角形重心判定性质证明方法：在△ABC内，三边为a，b，c，点O是该三角形的重心，AOA、BOB、COC分别为a、b、c边上的中线。

依据重心性质知：OA=1/3AAOB=1/3BBOC=1/3CC过O，A分别作a边上高OH，AH可知OH=1/3AH则，S△BOC=1/2×OHa=1/2×1/3AHa=1/3S△ABC同理可证S△AOC=1/3S△ABCS△AOB=1/3S△ABC所以，S△BOC=S△AOC=S△AOB在三角形ABC中，向量BO与向量BF共线，故可设BO=xBF 依据三角形加法法则：向量AO=AB+BO=a+ xBF=a+ x(AF-AB)= a+ x(b/2-a)=(1-x)a+(x/2)b向量CO与向量CD共线，故可设CO=yCD,依据三角形加法法则：向量AO=AC+CO=b+ yCD=b+y(AD-AC)= b+y(a/2-b)=(y/2)a+(1-y)b.所以向量AO=(1-x)a+(x/2)b=(y/2)a+(1-y)b则1-x= y/2，x/2=1-y，解得x=2/3,y=2/3.向量BO=2/3BF，向量CO=2/3CD即BO：OF=CO：OD=2。

三角形重心坐标公式推导过程

三角形重心坐标公式推导过程三角形是几何学中最基本的形状之一，它有许多重要的性质和公式。

其中一个重要的公式是三角形的重心坐标公式，它可以帮助我们计算三角形的重心的坐标。

下面，我们将推导出这个公式。

让我们考虑一个任意的三角形ABC，其中A、B、C分别是三角形的三个顶点。

我们的目标是找到三角形的重心坐标。

由于重心是三角形三条中线的交点，我们可以先找到三条中线的方程，然后求解它们的交点坐标。

中线是连接一个顶点和对边中点的线段。

设D、E、F分别是BC、AC、AB的中点，即D是BC的中点，E是AC的中点，F是AB的中点。

我们可以通过求取D、E、F的坐标来得到中线的方程。

我们知道中点D的坐标是BC两个顶点坐标的平均值，即D的坐标为：D = (B+C)/2同样地，中点E的坐标是AC两个顶点坐标的平均值，即E的坐标为：E = (A+C)/2中点F的坐标是AB两个顶点坐标的平均值，即F的坐标为：F = (A+B)/2现在，我们已经得到了三个中点的坐标。

接下来，我们将求取中线和坐标轴之间的关系。

我们来求取中线DE的方程。

由于D和E分别是BC和AC的中点，我们可以得到中线DE的斜率k1为：k1 = (E.y - D.y) / (E.x - D.x)同样地，我们来求取中线EF的方程。

由于E和F分别是AC和AB的中点，我们可以得到中线EF的斜率k2为：k2 = (F.y - E.y) / (F.x - E.x)我们来求取中线FD的方程。

由于F和D分别是AB和BC的中点，我们可以得到中线FD的斜率k3为：k3 = (D.y - F.y) / (D.x - F.x)现在，我们已经得到了三条中线的方程。

接下来，我们需要求解它们的交点坐标。

为了方便计算，我们可以将上面的斜率方程化简为截距方程。

假设中线DE的截距为b1，中线EF的截距为b2，中线FD的截距为b3，则有：b1 = D.y - k1 * D.xb2 = E.y - k2 * E.xb3 = F.y - k3 * F.x现在，我们可以通过求解这个线性方程组来得到交点的坐标。

证明三角形重心判定性质

证明三角形重心判定性质证明三角形重心判定定理例：已知：△ABC，E、F是AB，AC的中点。

EC、FB交于G。

求证：EG=1/2CG证明：过E作EH∥BF交AC于H。

∵AE=BE，EH//BF∴AH=HF=1/2AF(平行线分线段成比例定理)又∵ AF=CF∴HF=1/2CF∴HF:CF=1/2∵EH∥BF∴EG:CG=HF:CF=1/2∴EG=1/2CG方法二连接EF利用三角形相似求证：EG=1/2CG 即证明EF=1/2BC利用中位线可证明EF=1/2BC利用中位线可证明EF=1/2BC证明三角形重心判定性质证明方法：在△ABC内，三边为a，b，c，点O是该三角形的重心，AOA'、BOB'、COC'分别为a、b、c边上的中线。

根据重心性质知：OA'=1/3AA'OB'=1/3BB'OC'=1/3CC'过O，A分别作a边上高OH'，AH可知OH'=1/3AH则，S△BOC=1/2×OH'a=1/2×1/3AHa=1/3S△ABC同理可证S△AOC=1/3S△ABCS△AOB=1/3S△ABC所以，S△BOC=S△AOC=S△AOB在三角形ABC中，向量BO与向量BF共线，故可设BO=xBF根据三角形加法法则：向量AO=AB+BO=a+ xBF=a+ x(AF-AB)= a+ x(b/2-a)=(1-x)a+(x/2)b向量CO与向量CD共线，故可设CO=yCD,根据三角形加法法则：向量AO=AC+CO=b+ yCD=b+y(AD-AC)= b+y(a/2-b)=(y/2)a+(1-y)b.所以向量AO=(1-x)a+(x/2)b=(y/2)a+(1-y)b则1-x= y/2， x/2=1-y，解得x=2/3,y=2/3.向量BO=2/3BF，向量CO=2/3CD即BO：OF=CO：OD=2。

三角形的重心

重心垂心
A
D.外心重心内心
解析：
AA
答案：(C)
P NO
B
C
BB
CC
【课后思考】：1．设G为△ABC的重心，
M、N分别为AB、CA的中点，
求证：四边形GMAN和A△GBC的面积相等．
则
.
三、三角形的五“心〞简介
重心五个性质及其变化形式
，下列结论正确的是（）重心五个性质及其变化形式
M
N
☺(4)(5)只作了解 .
三角形的重心
主要内容：
一、三角形重心的定义二、重心的五个重要性质三、三角形的五“心〞简介
重心的定义
三角形的三条中线交于一点,这点称为三角形的重心．
A
如图所示：在△ABC中，
点D、E分别是BC、 AC的中点.
O E 连接AD,BE,交于点O，
B
D
C O点即为△ABC的重心.
重心性质1
A．2 B．2
3
C．3
D．6
解析： A M
AM1AB1AC 33
B
C
【补充内容】
三角形“五心”向量形式的充要条件：设O为△ABC所在平面内一点，角A,B,C
所对的边长分别为a,b,c,则
（1） O为重心（三条中线的交点） A
O AO BO C0
O
B
C
（2） O为垂心（三条垂线的交点）
OO A B OO B C OO CA
E Ia
☺(4)(5)只作了解 .
【友情链接】
2.（2009•宁夏海南卷）已知O,N,P在△ABC所在平面内，
且
OAOBO ，C N A N B N C ， 0