圆锥曲线大题十个大招——面积问题
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招式五：面积问题
例题1、已知椭圆C ：12222=+b y a x （a ＞b ＞0）的离心率为,3
6
短轴一个端点到右焦点的距离为3。
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为
2
3
，求△AOB 面积的最大值。 解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c
，依题意c a
a ⎧⎪⎨⎪⎩
1b
∴=，∴所求椭圆方程为2
213
x y +=。
（Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，。（1）当AB x ⊥
轴时，AB =。（2）当AB 与x 轴不垂直时，
设直线AB 的方程为y kx m =+
=2
23
(1)4
m k =+。 把y kx m =+代入椭圆方程，整理得22
2
(31)6330k x kmx m +++-=，
122631km x x k -∴+=+，21223(1)31m x x k -=+。22221(1)()AB k x x ∴=+-222222
23612(1)(1)(31)31k m m k k k ⎡⎤-=+-⎢⎥++⎣⎦
22222222212(1)(31)3(1)(91)(31)(31)k k m k k k k ++-++==++24222121212
33(0)341961
23696k k k k k k
=+=+≠+=++⨯+++≤。 当且仅当2
219k k =
，即k =时等号成立。当0k =
时，AB =， 综上所述max 2AB =。
∴当AB 最大时，AOB △
面积取最大值max 12S AB =⨯=。
例题2、已知椭圆C:2222b
y a x +=1(a ＞b ＞0)的离心率为36
,短轴一个端点到右焦点的距离为3.(Ⅰ)求椭圆C
的方程;(Ⅱ)设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为
2
3
，求△AOB 面积的最大值. 解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c
，依题意c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩
1b ∴=，∴所求椭圆方程为22
13x y +=．
（Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，．（1）当AB x ⊥
轴时，AB =
．（2）当AB 与x 轴不垂直时，
设直线AB 的方程为y kx m =+
=
，得223(1)4m k =+．
把y kx m =+代入椭圆方程，整理得2
2
2
(31)6330k x kmx m +++-=，
122631km x x k -∴+=+，2122
3(1)31m x x k -=+．222
21(1)()AB k x x ∴=+-22
222223612(1)(1)(31)
31k m m k k k ⎡⎤-=+-⎢⎥++⎣⎦ 2222222
22
12(1)(31)3(1)(91)
(31)(31)k k m k k k k ++-++==++2422
2121212
33(0)34196123696
k k k k k k
=+=+≠+=++⨯+++≤．
当且仅当221
9k k =
，即k =时等号成立．当0k =
时，AB =，综上所述max 2AB =． ∴当AB 最大时，AOB △
面积取最大值max 12S AB =
⨯=
． 例题3、已知椭圆22
132
x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ．过1F 的直线交椭圆于B D ，两点，过2F 的直
线交椭圆于A C ，两点，且AC BD ⊥，垂足为P ．（Ⅰ）设P 点的坐标为00()x y ，，证明：2200
132
x y +<；
（Ⅱ）求四边形ABCD 的面积的最小值．
解：（Ⅰ）
椭圆的半焦距1c ==，由AC BD ⊥知点P 在以线段12F F 为直径的圆上，故22
001x y +=，
所以，2222
00021
132222
y x y x ++=<≤．
（Ⅱ）（ⅰ）当BD 的斜率k 存在且0k ≠时，BD 的方程为(1)y k x =+，代入椭圆方程22
132x y +=，并化简得2222(32)6360k x k x k +++-=．设11()B x y ，，22()D x y ，，则
2122632k x x k +=-+，2122
36
32
k x x k -=
+2
2
2
12221(1)()4BD
x x k x x x x
⎡=-=++-=⎣；
因为AC 与BC 相交于点P ，且AC 的斜率为1k -，所以，2211132k AC k
⎫
+⎪
⎝⎭==⨯+． 四边形ABCD 的面积222222222124(1)(1)962(32)(23)25
(32)(23)2k k S BD AC k k k k +24+===++⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦
≥． 当21k =时，上式取等号．（ⅱ）当BD 的斜率0
k =或斜率不存在时，四边形ABCD 的面积4S =．
综上，四边形ABCD 的面积的最小值为
96
25
． 练习1.己知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，点1,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE x ⊥轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C