高三数学上学期入学考试试题

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高三开学考试数学试题(附详解)

高三上学期开学考试数学试题一、单选题（每小题5分，共40分）1．已知集合{}1,2,4A =，集合{},2B a a =+，若A B B = ，则=a （）A ．0B ．12C ．1D ．2【答案】D【详解】由集合{}1,2,4A =，集合{},2B a a =+，因为A B B = ，可得B A ⊆，当1a =时，则23a +=，此时{}1,3B =，此时不满足B A ⊆，舍去；当2a =时，则24a +=，此时{}2,4B =，此时满足B A ⊆；当4a =时，则26a +=，此时{}4,6B =，此时不满足B A ⊆，舍去，综上可得，2a =.故选：D.2．命题：p ：R,0x x x ∀∈+≥的否定为（）A ．R,0x x x ∃∈+≥B ．,0x R x x ∃∈+≤C ．R,0x x x ∃∈+<D ．R,0x x x ∀∈+<【答案】C【详解】命题R x ∀∈，0x x +≥的否定为R x ∃∈，0x x +<.故选：C.3．下列函数为奇函数且在()0,1上为减函数的是（）A ．()()sin f x x =-B ．()tan f x x=C ．()cos f x x=D ．()sin f x x=【答案】A【详解】依题意，对于A ：()()sin sin f x x x =-=-为奇函数且在()0,1上为减函数，故A 正确；对于B ：()tan f x x =为奇函数，在()0,1上为增函数，故B 错误；对于C ：()cos f x x =为偶函数，故C 错误；对于D ：()sin f x x =为奇函数，在()0,1上为增函数，故D 错误.故选：A.4．设,a b 为实数，则“0a b <<”是“11a b <”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D【详解】当“0a b <<”时，则0,0b a ab ->>，则0b a ab ->，所以11a b>，所以“0a b <<”无法推出“11a b<”，当11a b<，即0b aab -<时，有可能0a b <<，但不会有0a b <<，所以“11a b>”无法推出“0a b <<”.所以“0a b <<”是“11a b>”既不充分也不必要条件.故选：D.5．若不等式224221mx mx x x +-<+-对任意实数x 均成立，则实数m 的取值范围是（）A ．()2,2-B ．(]10,2-C ．()[),22,-∞-+∞ D ．(],2-∞-【答案】B【详解】依题意，不等式224221mx mx x x +-<+-对任意实数x 均成立，即不等式()()22230m x m x -+--<恒成立，当2m =时，不等式可化为30-<恒成立，当2m <时，()()222122820m m m m ∆=-+-=+-()()1020m m =+-<，解得102m -<<，综上所述，m 的取值范围是(]10,2-.故选：B6．已知ππππ()sin 3333f x x x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则(1)(2)(2023)++⋅⋅⋅+f f f 的值为（）A ．BC ．1D ．0【答案】B【详解】因为ππππππππ()sin cos 2sin 2sin 33333333f x x x x x⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()f x 的周期为2π6π3=，因为π(1)2sin 3f ==2π(2)2sin3f ==3π(3)2sin 03f ==，4π(4)2sin3f ==5π(5)2sin 3f ==6π(6)2sin 03f ==，所以(1)(2)(3)(4)(5)(6)0f f f f f f +++++=，所以[](1)(2)(2016)337(1)(2)(6)(1)++⋅⋅⋅+=⨯++⋅⋅⋅++=f f f f f f f ，故选：B7．已知∆ABC 中，2AC =，sin tan A B =，π(0,]3∈A ，则边AB 的最小值为（）A ．2B ．3C ．2D ．52【答案】B【详解】ABC 中，2AC =，sin tan A B =，则sin cos sin A B B =，则cos 2a B b ==，则22422a c a ac+-=，整理得22440a c c +--=，又ABC 中，π0,3A ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则2241cos ,142c a A c +-⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭，整理得2222420440c a c c a c ⎧+--≥⎨+--<⎩，又2244a c c =+-，代入整理得223040c c c c ⎧-≥⎨-<⎩，解之得34c ≤<.故AB 的最小值为3.故选：B8．已知 1.4a =，0.41.1e b =，0.5e c =，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．c b a <<【答案】A【详解】构造函数()()1.5e xf x x =-，则()0.4b f =，()0.5c f =，且()()0.5e x f x x '=-，当0.5x <时，()0f x ¢>，函数()f x 在(),0.5-∞上单调递增，当0.5x >时，()0f x '<，函数()f x 在()0.5,+∞上单调递减，所以()()0.40.5b f f c =<=；设()e 1x g x x =--，则()e 1xg x '=-，当0x <时，()0g x '<，函数()g x 在(),0∞-上单调递减，当0x >时，()0g x '>，函数()g x 在()0,∞+上单调递增，所以()e 100xx g --≥=故e 1x x ≥+，所以0.41.1e 1.11.4 1.4>⨯>，即a b <．综上，a b c <<，故选：A ．二、多选题（每小题5分，共20分）9．已知实数a ，b 满足等式1123ab⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列不可能成立的有（）A ．a b =B ．0b a >>C ．0b a >>D ．0a b>>【答案】CD【详解】作出函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭和13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象如图所示：设1123a bm ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭= ，0m >，当1m >时，由图可知0a b <<；当1m =时，由图可知0a b ==；当01m <<时，由图可知0a b >>，故选：CD.103）A 22︒︒B ．2cos 15sin15cos 75︒︒-︒C ．2tan151tan 15︒-︒D ．1tan151tan15+︒-︒【答案】AD【详解】对于A 222sin(1545)2sin 603︒︒︒︒︒=+==A 项成立；对于B 项，2223cos 15sin15cos 75cos 15sin 15cos(215)cos302︒︒︒︒︒︒︒-=-=⨯==，故B 项不成立；对于C 项，22222sin151sin 30tan15sin15cos1513cos152tan 30sin 151tan 15cos 15sin 15cos3021cos 15︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒=====---C 项不成立；对于D 项，1tan15tan 45tan15tan(4515)tan 6031tan151tan 45tan15︒︒︒︒︒︒︒︒︒++==+==--，故D 项成立.故选：AD.11．已知函数π()cos()0,0,||2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，将()f x 的图像向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到函数()g x 的图像，则（）A ．π()2cos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．π()2cos 216g x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭C ．()g x 的图像关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．()g x 在π5π,π(Z)1212k k k π⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦上单调递减【答案】ABD【详解】由图像可知函数()f x 的最大值为2，最小值为2-，所以2A =，2,2362T T ππππ=-=⇒=，又22T πωω=⇒=，又(22cos(2)266f ππϕ=⇒⨯+=所以2(Z)2(Z)33k k k k ππϕπϕπ+=∈⇒=-∈，又π||2ϕ<，所以3πϕ=-所以π()2cos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故A 正确，将()f x 的图像向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得π()2cos 2++1=2cos 2+1436g x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故B 选项正确，由2+(Z)(Z)6262k x k k x k πππππ=+∈⇒=+∈所以()g x 的图像关于点π,16⎛⎫⎪⎝⎭对称，故C 错误.由22+2(Z)6k x k k ππππ≤≤+∈即π5ππ(Z)1212k x k k π-+≤≤+∈所以选项D 正确故选：ABD.12．已知函数()f x 定义域为R ，()1f x +是奇函数，()()()1g x x f x =-，函数()g x 在[)1,+∞上递增，则下列命题为真命题的是（）A ．()()11f x f x --=-+B ．函数()g x 在(],1-∞上递减C ．若21a b <-<，则()()()1g g b g a <<D ．若()()1g a g a >+，则12a <【答案】BCD【详解】对于A ，因为()1f x +是奇函数，所以()()11f x f x -+=-+，故A 错误；因为()1f x +是奇函数，所以()y f x =的图象关于点()1,0对称，即有()()=2f x f x --，所以()()()()()()()()2122121g x x f x x f x x f x g x ⎡⎤-=---=--=-=⎣⎦，所以()y g x =的图象关于直线1x =对称，函数()g x 在[)1,x ∞∈+上单调递增，所以()g x 在(],1x ∈-∞上单调递减，故B 正确；因为21a b <-<，所以()()()12g g b g a <-<，即()()()1g g b g a <<，故C 正确；因为()()1g a g a >+，且1a a <+，由函数()y g x =的图象关于直线1x =对称，得()112a a ++<，解得12a <，故C 正确.故选：BCD.三、填空题（每小题5分，共20分）13．扇形的圆心角为60︒，半径为4，则扇形的面积为；．【答案】8π3【详解】因为扇形的圆心角为60︒，转化为弧度为π3，所以该扇形的面积为21π8π4233⨯⨯=.故答案为：8π3.14．已知()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，5()log 1f x x =+，则(5)f -=；【答案】-2【详解】()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，5()log 1f x x =+，则有()5(5)(5)log 512f f -=-=-+=-.故答案为：-215．已知函数()πcos (0)6f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在区间7π,2π6ω⎛⎤⎥⎝⎦上有且只有2个零点，则ω的取值范围是；.【答案】4[,311)6【详解】因为7π,2π6x ω⎛⎤∈⎥⎝⎦，所以πππ,2π66x ωω⎛⎤-∈- ⎥⎝⎦，因为函数()πcos (0)6f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在区间7π,2π6ω⎛⎤⎥⎝⎦上有且只有2个零点，所以5ππ7π2π262ω≤-<，解得43116ω≤<，故答案为:4[,311)6.16．已知11,23a b >>，127a b +=，则312131a b +--的最小值．【答案】20【详解】令11,2131x y a b ==--，则1226711x y a b x y +=+=++，去分母化简得：57xy x y --=，所以(1)(5)12x y --=，所以3133(1)(5)88202131x y x y a b +=+=-+-+≥+=--，当且仅当24,311a b ==时，等号成立．故答案为：20四、解答题17．（本题满分10分）∆ABC 中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c cos 2sin cos B c A A =.（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若∆ABC的面积为a 是,b c 的等差中项，求∆ABC 的周长．17．【详解】（Ⅰ）cos 2sin cos B c A A =-，cos 2sin sin cos A B C A B A =-，cos cos 2sin sin 0A B B A C A +-=，()2sin sin 0A B C A +-=，2sin sin 0C C A -=，(),0,πC A ∈ ，sin 0C ∴≠，sin A ∴=π3A ∴=或23π.………5分（Ⅱ）因为ABC的面积为1sin 2S bc A ==16bc ∴=，………6分由边a 是,b c 的等差中项，得2b c a +=，且A 不是最大的角，π3A ∴=，………7分22222π2cos ()3()483a b c bc b c bc b c =+-=+-=+- ，22448a a ∴=-，216a ∴=，4a ∴=，28b c a ∴+==，所以ABC 的周长为8412b c a ++=+=.………10分18．（本题满分12分）已知数列{n a }是递增的等比数列，且23141227,a a a a +=⋅=．（Ⅰ）求数列{n a }的通项公式；（Ⅱ）设n S 为数列{n a }的前n 项和，11++=n n n n a b S S ，求数列{n b }的前n 项和n T ．18．【详解】（Ⅰ）根据题意，设该等比数列的公比为q ，若23141227,a a a a +=⋅=，则有211122311312927a q a q a q a q a q =⎧+=⎧⇒⎨⎨==⎩⎩或121933a q q a q =⎧⇒=⎨=⎩或13q =.………3分又由数列{n a }是递增的等比数列，则3q =，则有11a =，则数列{n a }的通项公式1113n n n a a q --==；………6分（Ⅱ）由（1）可得13n n a -=，则()113112nnn a q S q--==-，则1111111n n n n n n n n n n a S S b S S S S S S +++++-===-，………9分则1212231111111n n n n T b b b S S S S S S +=+++=-+-++-= 111111123313131n n n n S S ++++--=-=--………12分19．（本题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AB CD ，AB AD ⊥，1AB =，2PA AD CD ===．E 为棱PC 上一点，平面ABE 与棱PD 交于点F ．且BE PC ⊥．（Ⅰ）求证：F 为PD 的中点；（Ⅱ）求二面角B FC P --的余弦值．19．【详解】（Ⅰ）因为PA ⊥平面ABCD ，所以,PA AB PA AD ⊥⊥．在Rt PAB △中，PB ==．……1分在直角梯形ABCD 中，由1AB =，2AD CD ==，可求得BC =，所以PB BC =．………2分因为BE PC ⊥，所以E 为PC 的中点．………3分因为AB CD ∥，AB ⊄平面PCD ，所以//AB 平面PCD ．因为平面ABEF I 平面PCD EF =，所以AB EF ∥．………4分所以CD EF ∥．所以F 为PD 的中点．………5分（Ⅱ）因为PA ⊥平面ABCD ，所以,PA AB PA AD ⊥⊥．又AB AD ⊥，所以,,AB AD AP 两两相互垂直．如图建立空间直角坐标系A x yz -，………6分则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,0,2)P ，(0,2,0)D ，(0,1,1)F ．所以(,,)120BC =uuu r ，(,,)111BF =-uuu r ，(,,)011AF =uuu r．设平面BCF 的法向量为(,,)x y z =m ，则0,0,BC BF =⎧⎪⎨=⎪⎩⋅⋅uuu r uuu rm m 即20,0.x y x y z +=⎧⎨-++=⎩令1y =-，则2x =，3z =．于是(2,1,3)=-m ．………8分因为AB ⊥平面PAD ，且AB CD ∥，所以CD ⊥平面PAD ．所以AF CD ⊥．又PA AD =，且F 为PD 的中点，所以AF PD ⊥．所以AF ⊥平面PCD ，所以AF uuu r是平面PCD 的一个法向量． (10)分cos ,7||||AF AF AF 〈〉==⋅uuu ruuu r uuu r m m m ．………11分由题设，二面角B FC P --的平面角为锐角，所以二面角B FC P --．……12分20．（本题满分12分）某公司是一家集无人机特种装备的研发、制造与技术服务的综合型科技创新企业．该公司生产的甲、乙两种类型无人运输机性能都比较出色，但操控水平需要十分娴熟，才能发挥更大的作用．已知在单位时间内，甲、乙两种类型的无人运输机操作成功的概率分别为23和12，假设每次操作能否成功相互独立．（Ⅰ）该公司分别收集了甲型无人运输机在5个不同的地点测试的两项指标数i x ，i y （1,2,3,4,5i =），数据如下表所示：地点1地点2地点3地点4地点5甲型无人运输机指标数x 24568甲型无人运输机指标数y34445试求y 与x 间的相关系数r ，并利用r 说明y 与x 是否具有较强的线性相关关系；（若0.75r >，则线性相关程度很高）（Ⅱ）操作员连续进行两次无人机的操作有两种方案：方案一：在初次操作时，随机选择两种无人运输机中的一种，若初次操作成功，则第二次继续使用该类型设备；若初次操作不成功，则第二次使用另一类型进行操作．方案二：在初次操作时，随机选择两种无人运输机中的一种，无论初次操作是否成功，第二次均使用初次所选择的无人运输机进行操作．假定方案选择及操作不相互影响，试比较这两种方案的操作成功的次数的期望值．附：参考公式及数据：()()niix x y y r --=∑0.95≈．20．【详解】（Ⅰ）2456855x ++++==，3444545y ++++==，()()516iii x x yy =--=∑，==相关系数()()50.95iix x y y r --=∑，因为0.75r >，所以与具有较强的线性相关关系．………5分（Ⅱ）设方案一和方案二操作成功的次数分别为X ，Y ，则X ，Y 的所有可能取值均为0，1，2，方案一：()1211121011112322236P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯-+⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()121122112111351111123223322322272P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯+⨯⨯-+⨯-⨯+⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()12211125223322272P X ==⨯⨯+⨯⨯=，所以()13525850126727272E X =⨯+⨯+⨯=．………9分方案二：选择其中一种操作设备后，进行2次独立重复试验，所以()121172223226E Y =⨯⨯+⨯⨯=，………11分所以()()E X E Y >，即方案一操作成功的次数的期望值大于方案二操作成功的次数的期望值．………12分21．（本题满分12分）已知曲线E 上任意一点Q到定点F 的距离与Q到定直线:14m x =的距离之比为3．（Ⅰ）求曲线E 的轨迹方程；（Ⅱ）斜率为k k ⎛> ⎝⎭的直线l 交曲线E 于B ，C 两点，线段BC 的中点为M ，点M 在x 轴下方，直线OM 交曲线E 于点N ，交直线=1x -于点D ，且满足2||||||ON OD OM =（O 为原点）．求证：直线l 过定点．21．【详解】（Ⅰ）设曲线E 上任意一点(,)Q x y3=，化简整理得22195x y -=，所以曲线E 的轨迹方程为22195x y -=；………4分（Ⅱ）设()11,B x y ，()22,C x y ，直线l的方程为3y kx t k ⎛=+> ⎝⎭，联立22195y kx tx y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得()22259189450k x ktx t ----=，因为有两个交点，所以2590Δ0k ⎧-≠⎨>⎩，即22259095k k t ⎧-≠⎨<+⎩，所以1221859kt x x k +=-，()()22121222182591025959k t t k t y y k x x t k k +-+=++==--，即2295,5959ktt M k k ⎛⎫ ⎪--⎝⎭，………7分因为点M 在x 轴下方，所以25059t k <-，又3k >，所以0t >，所以直线OM 的斜率59OMk k =，则直线OM 的直线方程为59y x k=，将其代入双曲线E 的方程，整理得2228195Nk x k =-，所以2222222258125||18195NNNk ON x y x k k +⎛⎫=+=+= ⎪-⎝⎭，………9分将59y x k =代入直线=1x -，解得51,9D k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，又因为2295,5959ktt M k k ⎛⎫ ⎪--⎝⎭，所以有||OD ==，2||95k t t OM k ==-．由2||||||ON OD OM =，解得9t k =±，因为3k >，0t >，所以9t k =，因此直线l 的方程为9(9)y kx k k x =+=+，故直线l 过定点(9,0)-．………12分22．（本题满分12分）已知函数()(0)e xa f x x a =+>.（Ⅰ）求函数()f x 的极值；（Ⅱ）若函数()f x 有两个不相等的零点1x ，2x ，（i ）求a 的取值范围；（ii ）证明：122ln x x a +>.解：（Ⅰ）(e )(),()1e e ex x x x a a a f x x f x -'=+=-=，当0a >时，由f ’(x )=0得，ln x a =，x ，f ’(x )，f (x )的变化情况如下表：x (,ln )a -∞ln a(ln ,)a +∞f ’(x )-0+f (x )单调递减极小值单调递增所以f (x )的极小值为f (ln a )=ln a +1............................4分（Ⅱ）（i ）f (x )有两个零点的必要条件是ln a +1<0，即10e a <<；当10e a <<时，f (0)=a >0，f (-1)=-110ea -+<，ln 1a <-，所以f (x )在区间(ln ,)a +∞上有且仅有一个零点，又因为x →-∞时，()f x →+∞，（或111()0e aa f a a --=-+>）所以()f x 在区间(,ln )a -∞上有且仅有一个零点，所以()f x 有两个零点时，a 的取值范围是1(0,)e............................7分（ii ）12()()0f x f x ==，不妨设12x x <，可知12ln 1x a x <<-<，即12120e ex x a a x x +=+=，所以1212e e x x a x x =-=-，122ln a x x >+等价于122ln x a x >-，因为22ln ln x a a -<，所以212ln x a x >-等价于12()(2ln )f x f a x <-，即222ln 2ln 0a x a a x e --+>，令22222ln ()2ln 1)e a x ag x a x x -=-+>-，因为22e x a x =-，所以22221()2ln()g x x x x =-+-，2222222222121()10x x g x x x x ++'=++=>，所以2()g x 在区间(1,)-+∞上单调递增，所以2()(1)0g x g >-=，所以122ln x x a +>............................12分。

高三数学上学期开学考试试题含解析试题

第二中学2021届高三数学上学期开学考试试题〔含解析〕制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日一.选择题：本大题一一共10小题，一共40分2{|log (1)}A x y x ==-，{|B y y ==，那么A B =〔〕A. (0,2]B. (1,2)C. (1,)+∞D. (1,2]【答案】C 【解析】因为{}1,{|0}A x x B y y ==≥，所以{|1}A B x x =>，应选答案C 。

,a b 均为单位向量，那么“,a b 夹角为2π3〞是“||3a b +=〞的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】【分析】由向量的模长公式结合充要条件判断即可【详解】因为,a b 均为单位向量假设,a b 夹角为2π3，那么22||||||2111a b a b a b +=++⋅=++，因此，由“,a b 夹角为2π3〞不能推出“||3a b +=〞；假设||3a b +=，那么22||||||211211cos ,3a b a b a b a b +=++⋅=++⨯⨯⨯=解得1cos ,2a b =，即,a b 夹角为π3，所以，由“||3a b +=〞不能推出“,a b 夹角为2π3〞因此，“,a b 夹角为2π3〞是“||3a b +=〞的既不充分也不必要条件. 应选D【点睛】此题主要考察充分条件与必要条件的判断，以及向量的数量积运算，熟记充分条件与必要条件的概念，以及向量的数量积运算法那么即可，属于常考题型 3.π2cos 63α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，那么5πcos 23α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是〔〕 A.59 B.19C. 19-D. 59-【答案】C 【解析】【分析】由诱导公式结合二倍角公式求解即可【详解】5πcos 23α⎛⎫+ ⎪⎝⎭=cos 23πα⎛⎫- ⎪⎝⎭=21cos 22cos 1669ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦应选：C【点睛】此题考察诱导公式及二倍角公式，准确计算是关键，是根底题4.()()sin f x x ωϕ=+，0>ω，2πϕ<，()f x 是奇函数，直线1y =与函数()f x 的图像的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为2π，那么〔〕 A. ()f x 在3,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 B. ()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减C. ()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D. ()f x 在3,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减增【答案】A 【解析】【分析】根据函数是奇函数，得0,ϕ=又由图像的两个相邻交点的横坐标之差得周期，从而可求出函数的解析式，进而求解.【详解】因为()f x 是奇函数，所以0,ϕ= 所以()sin f x x ω=；又由得2,,22T πππω=∴=所以 4.ω=所以()sin 4.f x x =由函数的解析式可知()f x 在3,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减。

浙江省名校协作体2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题

浙江省名校协作体2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题一、单选题1．已知集合{}1A x x =≥，{}22530B x x x =--<，则A B =U （）A ．{}1x x ≥B ．12x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭C ．312x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭D ．{}13x x ?2．已知复数z 满足5382i z z +=-，则z =（）A ．1B ．2C D ．3．已知等比数列{}n a 的前2项和为12，136a a -=，则公比q 的值为（）A ．12B ．2C ．13D ．34．已知平面向量,m n r r 满足：2m n ==r r ，且m r 在n r 上的投影向量为12n r ，则向量m r与向量n m-r r 的夹角为（） A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒5．已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭满足π13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,最小正周期为π，函数()sin2g x x =，则将()f x 的图象向左平移（）个单位长度后可以得到()g x 的图象A ．π12B ．π6C ．5π6D ．11π126．已知圆锥的底面半径为1，高为3，则其内接圆柱的表面积的最大值为（）A ．7π4B ．2πC ．9π4D ．5π27．已知,A B 是椭圆22143x y +=与双曲线22143x y -=的公共顶点，M 是双曲线上一点，直线,MA MB 分别交椭圆于,C D 两点，若直线CD 过椭圆的焦点F ，则线段CD 的长度为（）A ．32B ．3C ．D8．正三棱台111ABC A B C -中，11122AB A B AA ===，点D 为棱AB 中点，直线l 为平面111A B C 内的一条动直线．记二面角C l D --的平面角为θ，则cos θ的最小值为（）A ．0B ．18C D ．17二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．已知随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，σ越小，表示随机变量X 分布越集中B ．数据1，9，4，5，16，7，11，3的第75百分位数为9C ．线性回归分析中，若线性相关系数r 越大，则两个变量的线性相关性越弱D ．已知随机变量1~7,2X B ⎛⎫⎪⎝⎭，则()72E X =10．设函数()f x 与其导函数f ′ x 的定义域均为R ，且()2f x '+为偶函数，()()110f x f x +--=，则（）A ．()()11f x f x +='-'B ．()30f '=C ．()20250f '=D ．()()()2222f x f x f ++-=11．已知正项数列{}n a 满足()()()*121211,N ,n n n n n n a a a a a a a n ++++=-=-∈记12231n n n T a a a a a a +=+++L ，124T =．则（）A ．{}n a 是递减数列B ．202462029a =C ．存在n 使得43n T =D ．100110i i a =>∑三、填空题12．321x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为．13．已知正实数a 满足a<a 的取值范围是．14．将12张完全相同的卡牌分成3组，每组4张．第1组的卡牌左上角都标1，右下角分别标上1，2，3，4；第2组的卡牌左上角都标2，右下角分别标上2，3，4，5；第3组的卡牌左上角都标3，右下角分别标上3，4，5，6．将这12张卡牌打乱放在一起，从中随机依次不放回选取3张，则左上角数字依次．．不减小且右下角数字依次．．构成等差数列的概率为．四、解答题15．已知在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足,a a c =>，()()sin cos cos A B C B C ++=-； (1)求角C 的值；(2)若ABC V 的面积为14，求ABC V 的周长.16．已知三棱锥P ABC -满足,,AB AC AB PB AC PC ⊥⊥⊥，且3,AP BP BC ==(1)求证：⊥AP BC ；(2)求直线BC 与平面ABP 所成角的正弦值，17．已知函数()()224,2ln 25f x x x g x x x =++=++．(1)判断函数()g x 的零点个数，并说明理由； (2)求曲线y =f x 与y =g x 的所有公切线方程.18．如图，已知抛物线24y x =的焦点为F ，过点()1,2P -作一条不经过F 的直线l ，若直线l 与抛物线交于异于原点的,A B 两点，点B 在x 轴下方，且A 在线段PB 上．(1)试判断：直线,FA FB 的斜率之积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．(2)过点B 作PF 的垂线交直线AF 于点C ，若FBC V 的面积为4，求点B 的坐标， 19．对于一个四元整数集{},,,A a b c d =，如果它能划分成两个不相交的二元子集{},a b 和{},c d ，满足1ab cd -=，则称这个四元整数集为“有趣的”．(1)写出集合{}1,2,3,4,5,6,7,8的一个“有趣的”四元子集：(2)证明：集合{}1,2,3,4,5,6,7,8不能划分成两个不相交的“有趣的”四元子集：(3)证明：对任意正整数()2n n ≥，集合{}1,2,3,,4n L 不能划分成n 个两两不相交的“有趣的”四元子集．。

2023-2024学年高三上学期开学考试数学试题(解析版)

2023-2024学年度第一学期2024届高三开学测试数学本试卷分选择题和非选择题两部分，共5页，满分为150分.考试用时120分钟.注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上.2、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上.3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4、考生必须保持答题卡的整洁和平整.第一部分选择题（共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2{lg ,0100},450A y y x xB x x x ==<<=-++>∣∣，则A B = （）A.()0,2 B.()1,2- C.()1,2 D.()1,5-【答案】B 【解析】【分析】先求出集合,A B ，再由交集的定义可求出答案.【详解】因为lg ,0100y x x =<<，所以lg1002y <=，所以}{2,A yy =<∣{}{}245015B x x x x x =-++>=-<<∣，所以A B = ()1,2-.故选：B.2.已知a R ∈，i 为虚数单位，若3a ii-+为实数，则a ＝（）A.-3B.13C.3D.13-【答案】A【解析】【分析】先进行分母实数化，化简3a ii-+，再根据条件得虚部为零，计算即得结果.【详解】因为()(3)31(3)31(3)3(3)(3)101010a i a i i a a i a a i i i i -----+-+===-++-为实数，则(3)010a +-=，即30a +=，所以3a =-.故选：A.3.已知正项等比数列{}n a ，若355664,28a a a a =+=，则2a =（）A.16B.32C.48D.64【答案】B 【解析】【分析】根据等比中项，先求出4a ，然后根据5628a a +=求出公比，最后求2a 【详解】根据等比中项，235464a a a ==，又{}n a 是正项数列，故48a =（负值舍去）设等比数列{}n a 的公比为q ，由5628a a +=，即24428a q a q +=，解得12q =（正项等比数列公比不可是负数，负值舍去），故42232a a q==故选：B4.已知向量a ，b满足7a b += ，且3a = ，4b = ，则a b -=r r （）A.5B.3C.2D.1【答案】D 【解析】【分析】根据向量的模长的计算即可求解.【详解】22224924991624a b a b a b a b +=++⋅=⇒⋅=--=r r r r r r r r，所以2222916241,1a b a b a b a b -=+-⋅=+-=∴-=r r r r r r r r，故选：D5.甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用七局四胜制，先赢四局者获胜，没有平局、甲每局赢的概率为12，已知前两局甲输了，则甲最后获胜的概率为（）A.116B.18 C.316D.14【答案】C 【解析】【分析】利用独立事件同时发生的概率公式，即可求得甲最后获胜的频率.【详解】因为前两局甲都输了，所以甲需要连胜四局或第三局到第六局输1局且第七局胜，甲才能最后获胜，所以甲最后获胜的概率为344161111C 1222123⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎝⎭=⎭⎝⎭.故选：C6.函数(sin sin 2)y x x x =-的部分图象大致为（）A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】判断函数的奇偶性，再用赋值法，排除ABD ，即可.【详解】由()(sin sin 2)y f x x x x ==-，得()()()()()sin sin 2sin sin 2f x x x x x x x f x -=----=--+=⎡⎤⎣⎦，所以()f x 为偶函数，故排除BD.当π2x =时，ππππ(sin sin π)02222y f ⎛⎫==-=> ⎪⎝⎭，排除A.故选：C.7.已知ln 22a =，ln 3e b =，c =，则（参考数据：ln 20.7≈）（）A.a b c >>B.b a c >>C.b c a >>D.c a b>>【答案】B 【解析】【分析】由ln 22ln 2ln 4244a ===，c =考虑构造函数()ln x f x x =，利用导数研究函数的单调性，利用单调性比较大小即可.【详解】因为ln 22ln 2ln 4244a ===，c =，考虑构造函数()ln x f x x =，则()21ln xf x x -'=，当0e x <<时，()0f x ¢>，函数()f x 在()0,e 上单调递增，当e x >时，()0f x '<，函数()f x 在()e,+∞上单调递减，因为ln 20.7≈，所以0.7e 2≈，即()20.7e 4≈，所以所以ln3ln434>>，即ln3ln232>>，又ln3ln33e<，所以ln3ln2e 2>>，故b a c >>，故选：B.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于将被比较的数化为结构相似的形式，考虑构造函数利用函数的单调性比较大小.8.已知双曲线22:142x y Γ-=的左右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线分别交双曲线Γ的左右两支于,A B 两点，且22F AB F BA ∠∠=，则2BF =（）A.4 B.4 C. D.【答案】C 【解析】【分析】利用双曲线的定义和性质表示出各边长，再利用直角三角形的边角关系及余弦定理求出2BF 即可.【详解】由双曲线22:142x y Γ-=得出2,a b c ===.因为22F AB F BA ∠∠=，所以22F A F B =.作2F C AB ⊥于C ，则C 是AB 的中点.设22F A F B x ==，则由双曲线的定义211222,F A F A a F B F B a -=-=，可得114,4,8F A x F B x AB =-=+=.故2124cos CB BF xF BF =∠=，又由余弦定理得()(()()222221cos 444244F BF xx x x x x xx ++-+-=⋅∠=++⋅，所以()24444x x x x x+-=+⋅，解得x =.故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.有一组样本数据126,,,x x x ⋅⋅⋅，其中1x 是最小值，6x 是最大值，则（）A.2345,,,x x x x 的平均数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的平均数B.2345,,,x x x x 的中位数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的中位数C.2345,,,x x x x 的标准差不小于126,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差D.2345,,,x x x x 的极差不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的极差【答案】BD 【解析】【分析】根据题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概念逐项分析判断.【详解】对于选项A ：设2345,,,x x x x 的平均数为m ，126,,,x x x ⋅⋅⋅的平均数为n ，则()()165234123456234526412x x x x x x x x x x x x x x x x n m +-+++++++++++-=-=，因为没有确定()1652342,x x x x x x ++++的大小关系，所以无法判断,m n 的大小，例如：1,2,3,4,5,6，可得 3.5m n ==；例如1,1,1,1,1,7，可得1,2m n ==；例如1,2,2,2,2,2，可得112,6m n ==；故A 错误；对于选项B ：不妨设123456x x x x x x ≤≤≤≤≤，可知2345,,,x x x x 的中位数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的中位数均为342x x +，故B 正确；对于选项C ：因为1x 是最小值，6x 是最大值，则2345,,,x x x x 的波动性不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的波动性，即2345,,,x x x x 的标准差不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差，例如：2,4,6,8,10,12，则平均数()12468101276n =+++++=，标准差11053s =，4,6,8,10，则平均数()14681074m =+++=，标准差2s =，显然1053>，即12s s >；故C 错误；对于选项D ：不妨设123456x x x x x x ≤≤≤≤≤，则6152x x x x -≥-，当且仅当1256,x x x x ==时，等号成立，故D 正确；故选：BD.10.已知,,a b c 是两两异面的三条直线，a b ⊥r r，c a ⊥，直线d 满足d a ⊥，d b ⊥，a d P ⋂=，b d Q ⋂=，则c 与d 的位置关系可以是（）A.相交B.异面C.平行D.垂直【答案】BC 【解析】【分析】作出正方体模型，确定AB ，11B C ，1BB 所在直线分别为,,a b d ，符合题意，然后考虑直线c 的位置情况，根据空间的线面位置关系，一一判断各选项，即可得答案.【详解】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 上一点（异于1A ），AB ，11B C ，1BB 所在直线分别为,,a b d ．当1DD 所在直线为c 时，符合题中条件，此时c 与d 平行，C 正确；当1D E f 所在直线为c 时，符合题中条件，此时c 与d 异面，B 正确；若c 与d 相交，则a 垂直于,c d 确定的平面，又a 垂直于,b d 确定的平面，则,,b c d 在同一个平面内，即b 与c 共面，与已知矛盾，A 错误；若c 与d 垂直，则c 垂直于a,d 确定的平面，而b 垂直于a,d 确定的平面，推出b 与c 平行或重合，与已知矛盾，D 错误，故选：BC ．11.如图是函数()()sin f x A x =+ωϕ（0A >，0ω>，π2<ϕ）的部分图像，则（）A.()f x 的最小正周期为πB.5π6x =是的函数()y f x =的一条对称轴C.将函数()y f x =的图像向右平移π3个单位后，得到的函数为奇函数D.若函数()y f tx =（0t >）在[]0,π上有且仅有两个零点，则54,63t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭【答案】AD 【解析】【分析】先根据图像可得2,πA T ==，即可判断A ；令ππ2π(Z)32x k k +=+∈解出x 即可判断B ，接下来求得,ωϕ，即可得到()f x 的解析式，根据图象平移判断C ；令π()2sin(2)03f tx tx =+=，解出函数零点，然后根据在[]0,π上有且仅有两个零点列出不等式解t 即可判断D .【详解】由图像可知，2A =，πππ=43124T -=，即πT =，故A 正确；2π2T ω∴==，此时()2sin(2)f x x ϕ=+，又π(,2)12 在图像上，π22sin(2)12ϕ∴=⨯+，解得π2π(Z)3k k ϕ=+∈，ππ()2sin(22π)2sin(2)33f x x k x ∴=++=+，π()2sin(23f x x =+ ，ππ2π(Z)32x k k ∴+=+∈，ππ(Z)122k x k ∴=+∈，当5π6x =是函数()y f x =的一条对称轴时，此时32k =不符合题意，故B 错误；将()f x 的图象向右平移π3个单位后得到的图象对应的解析式为：πππ()2sin[2()]2sin(2)333g x x x =-+=-不为奇函数，故C 错误；令π()2sin(2)03f tx tx =+=，解得ππ(Z)62k x k t t =-+∈，当0k =时，π06x t =-<，不合题意1k =时，π3x t =；2k =时，5π6x t =；3k =时，4π3x t =；又因为函数()(0)y f tx t =>在[]0,π上有且仅有两个零点5ππ64ππ3t t⎧≤⎪⎪∴⎨⎪>⎪⎩，解得5463t ≤<，故D 正确.故选：AD .12.我国古代《九章算术》里记载了一个“羡除”的例子，羡除，隧道也，其所穿地，上平下邪，如图是一个“羡除”模型，该“羡除”是以,,,,,A B C D E F 为顶点的五面体，四边形ABCD 为正方形，EF 平面,24,ABCD AB EF AE DE BF CF ======，则（）A.该几何体的表面积为16++B.该几何体的体积为2073C.该几何体的外接球的表面积为40πD.AE 与平面FBC 所成角的正弦值为4212【答案】ABD 【解析】【分析】过E 作EK ⊥AB 于K ，作EM ⊥DC 于M ，过F 作FG ⊥AB 于G ，作FH ⊥DC 于H ，将该几何体分为一个棱柱与两个棱锥，取AD ，BC 的中点P ，Q ，则EP ⊥AD ，FQ ⊥BC ，然后求出表面积可判断A ；连接PQ ，交GH 于T ，则T 为GH 的中点，可证得FT ⊥面ABCD ，求出一个棱柱与两个棱锥的体积，可得该几何体的体积，从而判断B ；连接AC ，BD 交于点O ，可求得O 为该几何体的外接球的球心，半径R ＝，求出表面积即可判断C ；取AB 的中点N ，得AE ∥FN ，则AE 与平面FBC 所成角等于FN 与平面FBC 所成角，设N 到面FBC 的距离为h ，利用等体积法，由N FBC F NBC V V --=求得h ，进而可得AE 与平面FBC 所成角的正弦值，可判断D ．【详解】∵EF ∥平面ABCD ，EF 在平面ABFE 内，平面ABFE ∩平面ABCD ＝AB ，∴EF ∥AB ，∵AB ∥DC ，∴EF ∥DC ，∵24,AB EF AE DE BF CF ======∴ABFE ，DCFE 均为等腰梯形，过E 作EK ⊥AB 于K ，作EM ⊥DC 于M ，连接KM ，过F 作FG ⊥AB 于G ，作FH ⊥DC 于H ，连接GH ，∴EF ∥KG ∥MH ，EF ＝KG ＝MH ＝2，AK ＝GB ＝DM ＝HC ＝1，∵AB ∥DC ，FH ⊥DC ，∴AB ⊥FH ，又AB ⊥GF ，GF ，FH 在平面FGH 内，GF ∩FH ＝F ，∴AB ⊥面FGH ，同理，AB ⊥面EKM ，∴面FGH ∥面EKM ，∴该几何体被分为一个棱柱与两个棱锥.分别取AD ，BC 的中点P ，Q ，连接FQ ，EP ，∵23AEDE BF CF ====EP ⊥AD ，FQ ⊥BC ，∴FQ ()222223111FB BG -=-，∴14222EAD FBC S S ==⨯⨯△△，FG ()22222322FB BQ -=-()12411112DCFE ABFE S S ==⨯+⨯，又4416ABCD S =⨯=，∴该几何体的表面积为821116EAD FBC DCFE ABFE ABCD S S S S S ++++=+△△，故A 正确；连接PQ ，交GH 于T ，则T 为GH 的中点，连接FT ，∵AB ⊥面FGH ，FT 在面FGH 内，∴FT ⊥AB ，∵GF ＝FH ＝EK ＝EM ，∴FT ⊥GH ，又AB ，GH 在面ABCD 内，AB ∩GH ＝G ，∴FT ⊥面ABCD ，∴FT ()22222217FQ QT -=-=，∴14133E AKMDF GBCH V V --==⨯⨯⨯=，∵11422FGH S GH FT =⋅=⨯⨯=△∴2FGH EKM FGH V S GK -=⋅==△∴该几何体的体积为3E AKMDF GBCH FGH EKM V V V ---++=，故B 正确；连接AC ，BD 交于点O ，则O 也在PQ 上，连接OE ，OF ，∵EF ∥OQ ，EF ＝OQ ，∴EFQO 为平行四边形，∴EO ＝FQ ＝，同理，FO ＝EP ＝，∴OA ＝OB ＝OC ＝OD ＝OE ＝OF ＝∴O 为该几何体的外接球的球心，半径R ＝∴该几何体的外接球的表面积为24π32πR =，故C 错误；取AB 的中点N ，连接FN ，NC ，∵EF ∥AN ，EF ＝AN ，∴EFNA 为平行四边形，∴AE ∥FN ，∴AE 与平面FBC 所成角等于FN 与平面FBC 所成角，设为θ，设N 到面FBC 的距离为h ，∵N FBC F NBC V V --=，∴1133FBC NBC S h S FT ⋅=⋅△△，∴11124332h ⨯=⨯⨯⨯⨯，∴2h =，∴14422sin 12h FN θ===，即AE 与平面FBC 所成角的正弦值为4212，故D 正确．故选：ABD ．第二部分非选择题（共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足3()=(2)f x x x f -'⋅，则函数()f x 在点（2，(2)f ）处的切线方程为________________．【答案】6160x y --=【解析】【详解】试题分析：对函数3()=(2)f x x x f -'⋅，求导可得()()232f x x f '-'=，得()()22322f f ''=⨯-，因而切线的斜率(2)6k f '==而()()322228124f f '=-⨯=-=-，由点斜式可得切线方程为46(2)y x +=-即6160x y --=14.已知数列{}n a 各项均为正数，若11a =，且()1ln ln 1N n n a a n *+=+∈，则{}na 的通项公式为______．【答案】1e n n a -=##e enn a =【解析】【分析】推导出数列{}n a 为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列{}n a 的通项公式.【详解】由已知可得11ln ln ln1n n n n a a a a ++-==，所以，1e n naa +=，所以，数列{}n a 是等比数列，且该数列的首项为1，公比为e ，因此，111e e n n n a --=⋅=.故答案为：1en n a -=.15.已知二项式51a x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中含3x y 的项的系数为40-，则=a ________．【答案】2【解析】【分析】51a x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭表示有5个51a x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭因式相乘，根据3x y 的来源分析即可求出答案.【详解】51a x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭表示有5个51a x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭因式相乘，3x y 来源如下：有1个51a x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭提供a y ，有3个51a x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭提供x ，有1个51a x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭提供常数，此时3x y系数是()31354C C 140a -=-，即2040a -=-，解得：2a =故答案为：2.16.设()f x 为定义在整数集上的函数，()11f =，()20f =，()10f -<，对任意的整数,x y 均有()()()()()11f x y f x f y f x f y +=-+-．则()55f =______．【答案】1-【解析】【分析】采用赋值的方式可求得()()0,1f f -，令1y =和y x =-可证得()f x 的对称轴和奇偶性，由此可推导得到()f x 的周期性，利用周期性可求得函数值.【详解】令1x y ==，则()()()()()()21001200f f f f f f =+==，()00f ∴=；令2x =，1y =-，则()()()()22212111f ff f =+-=-=，又()10f -<，()11f ∴-=-；令1y =，则()()()()()()10111f x f x f f x f f x +=+-=-，()f x \关于直线1x =对称；令y x =-，则()()()()()()()()01110f f x f x f x f x f x f x f x =++--=+-+=⎡⎤⎣⎦，()10f x += 不恒成立，()()0f x f x ∴+-=恒成立，()f x \为奇函数，()()()2f x f x f x +=-=- ，()()()42f x f x f x ∴+=-+=，()f x \是周期为4的周期函数，()()()55414111f f f ∴=⨯-=-=-.故答案为：1-.【点睛】关键点点睛：本题考查利用抽象函数的周期性求解函数值的问题，解题关键是能够通过赋值的方式，借助已知中的抽象函数关系式推导得到函数的对称性和奇偶性，以及所需的函数值，进而借助对称性和奇偶性推导得到函数的周期.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在ABC 中，角A 的平分线交线段BC 于点D．（1）证明AB BDAC DC=；（2）若6AB =，8AC =，7BC =，求AD ．【答案】（1）证明见解析；（2）6AD =．【解析】【分析】（1）由题得ACD ABD S ACS AB= ，再代入面积公式即得证；（2）由题得3BD =，4CD =，求出1cos 4B =，再利用余弦定理得解.【详解】（1）证明：依题意AD 为A ∠的平分线，设1,2,CAD BAD ∠=∠∠=∠∴12∠=∠∵1sin 12ACD S AC AD =⋅⋅∠ 1sin 22ABD S AB AD =⋅⋅∠ 故ACD ABD S ACS AB= ，设A 点到BC 的距离为h ，则可知1212ACDABDCD hS CDS BD BD h ⋅==⋅∴可知AC CDAB BD=（2）由8463AC CD AB BD ===，又7BD DC BC +==∴可知3BD =，4CD =在ABC 中，2226781cos 2674B +-==⨯⨯∴在ABD △中，2222cos 36AD AB BD AB BD B =+-⋅⋅=即6AD =.【点睛】方法点睛：解三角形的主要考点有正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式，解答三角形问题时，主要从这几个考点出发.18.中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京召开，为弘扬中国共产党百年奋斗的光辉历程，某校团委决定举办“中国共产党党史知识”竞赛活动.竞赛共有A 和B 两类试题，每类试题各10题，其中每答对1道A 类试题得10分；每答对1道B 类试题得20分，答错都不得分.每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽出3道题回答（每道题抽后不放回）.已知小明同学A 类试题中有7道题会作答，而他答对各道B 类试题的概率均为25.（1）若小明同学在A 类试题中只抽1道题作答，求他在这次竞赛中仅答对1道题的概率；（2）若小明只作答A 类试题，设X 表示小明答这3道试题的总得分，求X 的分布列和期望.【答案】（1）99250（2）分布列见解析，期望21【解析】【分析】（1）分A 类试题答对和B 类试题答对两种类型计算概率；（2）列出X 所有可能的取值，求出随机变量取每一个值的概率值，即可求随机变量的分布列及数学期望.【小问1详解】小明仅答对1题的概率2127332399C 1051055250P ⎛⎫=⨯+⨯⨯=⎪⎝⎭⨯ .【小问2详解】X 可能的取值为0，10，20，30，33310C 1(0)C 120P X ===，1273310C C 7(10)C 40P X ===，2173310C C 21(20)C 40P X ===，37310C 7(30)C 24P X ===，所以X 的分布列为X102030P11207402140724所以17217()010203021120404024E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.19.已知数列{}n a 的首项135a =，且满足1321n n n a a a +=+．（1）求证：数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；（2）设数列{}n b 满足13,,2,,2nn n a b n n n nn ⎧-⎪⎪=⎨+⎪+⎪+⎩为偶数时为奇数时求最小的实数m ，使得122k b b b m +++< 对一切正整数k 均成立．【答案】（1）证明见解析（2）94【解析】【分析】（1）根据等比数列的定义即可证明.（2）根据奇偶项的特点，由裂项求和和分组求和，结合等比数列求和公式即可求解122k b b b +++，由不等式的性质即可求解.【小问1详解】由已知得，112133n n a a +=+，所以1111113n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．因为112103a -=≠，所以数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为23，公比为13的等比数列．【小问2详解】证明：（2）由（1），当n 为偶数时，12323n n n b a =-=-，当n 为奇数时，222222n n n b n n n n +=+=+-++，故()()1221321242k k kb b b b b b b b b -+++=+++++++ 24222222222222222213352121333k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-+++-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 242222222221333k k k k ⎛⎫=+-++++- +⎝⎭222211233212113k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-++-292142143k k =--+⋅，由29219421434k k --<+⋅所以m 的最小值为94．20.如图，PO 是三棱锥-P ABC 的高，PA PB =，AB AC ⊥，E 是PB的中点．（1）证明：//OE 平面PAC ；（2）若30ABO CBO ∠=∠=︒，3PO =，5PA =，求二面角C AE B --的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）1113【解析】【分析】（1）连接BO 并延长交AC 于点D ，连接OA 、PD ，根据三角形全等得到OA OB =，再根据直角三角形的性质得到AO DO =，即可得到O 为BD 的中点从而得到//OE PD ，即可得证；（2）建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦的绝对值，再根据同角三角函数的基本关系计算可得.【小问1详解】证明：连接BO 并延长交AC 于点D ，连接OA 、PD ，因为PO 是三棱锥-P ABC 的高，所以PO ⊥平面ABC ，,AO BO ⊂平面ABC ，所以PO AO ⊥、PO BO ⊥，又PA PB =，所以POA POB ≅△△，即OA OB =，所以OAB OBA ∠=∠，又AB AC ⊥，即90BAC ∠=︒，所以90OAB OAD ∠+∠=︒，90OBA ODA ∠+∠=︒，所以ODA OAD∠=∠所以AO DO =，即AO DO OB ==，所以O 为BD 的中点，又E 为PB 的中点，所以//OE PD ，又OE ⊄平面PAC ，PD ⊂平面PAC ，所以//OE 平面PAC【小问2详解】解：过点A 作//Az OP ，如图建立空间直角坐标系，因为3PO =，5AP =，所以224OA AP PO =-=，又30OBA OBC ∠=∠=︒，所以28BD OA ==，则4=AD ，3AB =，所以12AC =，所以()3,2,0O ，()43,0,0B ，()23,2,3P ，()0,12,0C ，所以333,1,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则333,1,2AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，()3,0,0AB =，()0,12,0AC = ，设平面AEB 的法向量为(),,n x y z = ，则3330230n AE x y z nAB x ⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅==⎩，令2z =，则=3y -，0x =，所以()0,3,2n =-；设平面AEC 的法向量为(),,m a b c =，则302120m AE b c m AC b ⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅==⎩ ，令a =6c =-，0b =，所以)6m =-；所以43cos ,13n m n m n m⋅==-.设二面角C AE B --的大小为θ，则43cos cos ,=13n m θ=，所以11sin 13θ==，即二面角C AE B --的正弦值为1113.21.设1F ，2F 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，P 是椭圆C 的短轴的一个端点，已知12PF F △的面积为，121cos 3F PF ∠=-．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）是否存在与2PF 平行的直线l ，满足直线l 与椭圆C 交于两点M ，N ，且以线段MN 为直径的圆经过坐标原点？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）2213x y +=；（Ⅱ）存在满足条件的直线l ，方程为23224y x =+或23224y x =-．【解析】【分析】（Ⅰ）由12PF F △的面积得cb =121cos 3F PF ∠=-得33b a =，结合,,a b c 关系即可求得椭圆C 的标准方程；公众号：全元高考（Ⅱ）可设直线l 的方程代入椭圆方程求得两根关系，以线段MN 为直径的圆经过坐标原点O ，则0OM ON ⋅=，代入坐标化简求取m 值，即可求得直线方程．【详解】解：（Ⅰ）设122F F c =，则12PF F △的面积等于1212F F OP cb =，所以cb =．①由2121cos 2cos 3OPF F PF ∠=∠=-，即2212cos 13OPF ∠-=-，得23cos 3OPF ∠=．因为在直角2OPF 中，OP b =，2OF c =，2PF a ===，所以2cos b OPF a ∠=，所以33b a =．②由①②及222a b c =+，得a =1b =，c =，所以椭圆C 的标准方程为2213x y +=．（Ⅱ）因为直线2PF 的斜率为22-，所以可设直线l 的方程为22y x m =+，代入2213x y +=，整理得225106x m +-=．由)()2254106m ∆=-⨯->，得252m <．设112,2M x x m ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭，222,2N x x m ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭，则12625x x +=，()212615m x x -=．若以线段MN 为直径的圆经过坐标原点O ，则0OM ON ⋅=，即121222022x x x m x m ⎛⎫⎛⎫+-+-+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，得()212123022x x m x x m -++=，所以()2261326202525m m m -⨯-⨯+=，得298m =．因为9582<，所以324m =±．公众号：全元高考所以存在满足条件的直线l，方程为24y x=+或24y x=-．【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．22.已知函数()ln1f x a x ax=-+，Ra∈.（1）若经过点()0,0的直线与函数()f x的图像相切于点()()22f,，求实数a的值；（2）设()()2112g x f x x=+-，若()g x有两个极值点为1x，()212x x x≠，且不等式()()()1212g x g x x xλ+<+恒成立，求实数λ的取值范围.【答案】（1）11ln2a=-（2）[2ln23,)-+∞【解析】【分析】（1）由题意，对函数求导，根据导数的几何意义进行求解即可；（2）将()g x有两个极值点为1x，()212x x x≠，转化为方程20x ax a-+=在(0,)+∞上有两个不同的根，根据根的判别式求出a的取值范围，将不等式()()()1212g x g x x xλ+<+恒成立，转化为()()1212g x g xx xλ+>+恒成立，通过构造函数，将问题转化为函数极值问题，进而即可求解.【小问1详解】公众号：全元高考()f x的定义域为(0,)+∞，由()ln1f x a x ax=-+，得()af x ax'=-，则()222a af a'=-=-，因为经过点()0,0的直线与函数()f x的图像相切于点()()22f,，所以(2)22f ak==-，所以ln 221a a a -+=-，解得11ln 2a =-，【小问2详解】()()22111ln 22g x f x x a x ax x =+-=-+，则()2(0)a x ax a g x a x x x x-+'=-+=>，因为()g x 有两个极值点为1x ，()212x x x ≠，所以()20x ax a g x x-+'==在(0,)+∞上有两个不同的根，此时方程20x ax a -+=在(0,)+∞上有两个不同的根，则240a a ∆=->，且12120,0x x a x x a +=>=>，解得4a >，若不等式()()()1212g x g x x x λ+<+恒成立，则()()1212g x g x x x λ+>+恒成立，因为221211122211()()(ln )(ln )22g x g x a x x x a x x x +=-++-+221212121ln()()()2a x x a x x x x =-+++2121212121ln()()()22a x x a x x x x x x ⎡⎤=-+++-⎣⎦21ln 2a a a a =--不妨设()()212121ln 12()ln 1(4)2a a a a g x g x h a a a a x x a --+===-->+，则112()22a h a a a-'=-=，因为4a >，所以()0h a '<，所以()h a 在(4,)+∞上递减，所以()(4)2ln 23h a h <=-，所以2ln 23λ≥-，即实数λ的取值范围为[2ln 23,)-+∞.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查导数几何意义，考查利用导数解决不等式恒成立问题，解题的关键是将极值点问题转化为方程20x ax a -+=在(0,)+∞上有两个不同的根，求出a 的范围，再将不等式()()()1212g x g x x x λ+<+恒成立，则()()12121ln 1(4)2g x g x a a a x x λ+>=-->+恒成立，然后构造关于a的函数，利用导数求出其范围，考查数学转化思想和计算能力，属于难题.。

湖北省新高考联考协作体2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题含答案

高三数学试卷（答案在最后）试卷满分：150分注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用28铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试装、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}21,Z |M x x n n ==+∈，{}31,Z |N x x n n ==+∈，{}61,Z |P x x n n ==+∈，则（）A.M P⊂ B.N P⊂ C.P M N = D.M N =∅2.已知b ，R λ∈，虚数1i z b =+是方程2230x x λ++=的根，则λ=（）A.4- B.2- C.4D.23.已知向量(cos ,sin )m θθ= ，(1,2)n = ，若//m n，则2sin 2cos θθ+=（）A.2B.85C.1D.04.已知相互啮合的两个齿轮，大轮有45齿，小轮有30齿.如果大轮的转速为180r/min （转/分），小轮的半径为10cm ，那么小轮周上一点每1s 转过的弧长是（）cm.A.5400πB.90πC.180πD.40π5.已知随机变量()2~2,N ξσ，且()()1P P a ξξ≤=≥，则19(0)x a x a x+<<-的最小值为（）A.5B.112C.203D.1636.已知某圆台上下底面半径分别为2.5和6，母线长为7，则该圆台内能放入最大球的表面积为（）A.147π4B.3433π16C. D.48π7.设函数320.5()()log ()f x x ax x a x b =-+-+，若()0f x ≤，则a ，b 满足的关系式为（）A.a b= B.a b=- C.1a b += D.1b a -=8.小明有一枚质地不均匀的骰子，每次掷出后出现1点的率为()01p p <<，他掷了k 次骰子，最终有6次出现1点，但他没有留意自己一共掷了多少次骰子.设随机变量X 表示每掷N 次骰子出现1点的次数，现以使()6P X =最大的N 值估计N 的取值并计算()E X .（若有多个N 使()6P X =最大，则取其中的最小N 值）.下列说法正确的是（）A.()6E x >B.()6E X <C.()6E X = D.()E X 与6的大小无法确定二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数()332f x x x =--，则（）A.()f x 的极小值点为1B.()f x 有三个零点C.点()0,2-为曲线()y f x =的对称中心D.过点()0,2可以做曲线()y f x =的两条切线10.受潮汐影响，某港口5月份每一天水深y （单位：米）与时间x （单位：时）的关系都符合函数sin()y A x h ωϕ=++（0A >，0ω>，ππ22ϕ-<<，R h ∈）.根据该港口的安全条例，要求船底与水底的距离必须不小于2.5米，否则该船必须立即离港，一艘船满载货物，吃水（即船底到水面的距离）6米，计划于5月10日进港卸货（该船进港立即可以开始卸货），已知卸货时吃水深度以每小时0.3米的速度匀速减少，卸完货后空船吃水3米（不计船停靠码头和驶离码头所需时间）.下表为该港口5月某天的时刻与水深关系：时刻2：005：008：0011：0014：0017：0020：0023：00水深/米1074710747以下选项正确的有（）A.水深y （单位：米）与时间x （单位：时）的函数关系为ππ3sin 766y x ⎛⎫=++⎪⎝⎭，[0,24)x ∈B.该船满载货物时可以在0：00到4：00之间以及12：00到16：00之间进入港口C.该船卸完货物后可以在19：00离开港口D.该船5月10日完成卸货任务的最早时间为16：0011.已知圆()22:201M x ax y a -+=>-，过点()2,0P -向圆M 引切线l，切点为Q ，记Q 的轨迹为曲线C ，则（）A.曲线C 关于x 轴对称B.C 在第二象限的纵坐标最大的点对应的横坐标为1-C.C 的渐近线为1x =D.当点()00,x y 在C 上时，0y ≤三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在()3nx -的展开式中，若2x 的系数为()2n a n ≥，则2323333nna a a +++= --_____.13.M 、N 分别为曲线e 2xy x =+与直线31y x =-上的点，则MN 的最小值为______.14.将椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>上所有的点绕原点逆时针旋转π02θθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭角，得到椭圆2C 的方程：223x y xy +-=，椭圆2C 的离心率为______.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本题满分13分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()1cos sin b C B +=.（1）求角C 的大小；（2）若c =2b a -=，求AB 边上的中线长.16.（本题满分15分）已知平面内一动圆过点()2,0P ，且在y 轴上截得弦长为4，动圆圆心的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）若过点()4,0Q 的直线l 与曲线C 交于点M ，N ，问：以MN 为直径的圆是否过定点？若过定点，求出这个定点；若不过定点，请说明理由.17.（本题满分15分）某学校有A ，B 两家餐厅，王同学开学第1天（9月1日）午餐时去A 餐厅用餐的概率是23.如果第1天去A 餐厅，那么第2天继续去A 餐厅的概率为13；如果第1天去B 餐厅，那么第2天去A 餐厅的概率为12，如此往复.（1）计算王同学第2天去A 餐厅用餐的概率.（2）记王同学第n 天去A 餐厅用餐概率为n P ，求n P ；（3）求九月（30天）王同学去A 餐厅用餐的概率大于去B 餐厅用餐概率的天数.18.（本题满分17分）已知函数()()()2ln 1cos 2g x t t =--+--.（1）函数()f x 与()g x 的图像关于1x =-对称，求()f x 的解析式；（2）()1f x ax -≤在定义域内恒成立，求a 的值；（3）求证：2111ln 42nk n f k =+⎛⎫-< ⎪⎝⎭∑，*N n ∈.19.（本题满分17分）类似平面解析几何中的曲线与方程，在空间直角坐标系中，可以定义曲面（含平面）S 的方程，若曲面S 和三元方程(),,0F x y z =之间满足：①曲面S 上任意一点的坐标均为三元方程(),,0F x y z =的解；②以三元方程(),,0F x y z =的任意解()000,,x y z 为坐标的点均在曲面S 上，则称曲面S 的方程为(),,0F x y z =，方程(),,0F x y z =的曲面为S .已知曲面C 的方程为2221114x y z +-=.（1）写出坐标平面xOz 的方程（无需说明理由），并说明xOz 平面截曲面C 所得交线是什么曲线；（2）已知直线l 过曲面C 上一点()1,1,2Q ---，以()1,0,2d =为方向量，求证：直线l 在曲面C 上（即l 上任意一点均在曲面C 上）；（3）已知曲面C 可视为平面xOz 中某双曲线的一支绕z 轴旋转一周所得的旋转面；同时，过曲面C 上任意一点，有且仅有两条直线，使得它们均在曲面C 上.设直线l '在曲面C 上，且过点()1,0,0T ，求异面直线l （第二间中的直线l ）与l '所成角的余弦值.2024年高三9月起点考试高三数学答案1234567891011C AC BD ACBACABDABD12.()181n n-13.514.31.因为6为2和3的公倍数，故P M N= 2.1i z b =+是方程的根，则方程另一根为1i z b =-，故242λλ-=⇒=-.3.由于//sin 2cos tan 2m n θθθ⇒=⇒=，2222222sin cos cos 2tan 1sin 2cos 2sin cos cos 1sin cos tan 1θθθθθθθθθθθθ+++=+===++.4.大轮有45齿，小轮有30齿，…当大轮转动一周时小轮转动453302=周，当大轮的转速为180/min r 时，小轮转速为2180270/min 3r ⨯=，小轮周上一点每1s 转过的弧度数为：2702π609π⨯÷=.又小轮的半径为10cm ，所以小轮周上一点每1s 转过的弧长为：9π1090cm ⨯=.5.143a a +=⇒=，1911913916(3)1033333x x x x x a x x x x x -⎛⎫⎛⎫+=+-+=++≥⎪⎪---⎝⎭⎝⎭，当且仅当393x x x x -=-，即34x =时取等. 6.四台轴截面等腰梯形底角为60°，高为732，边长为12的正三角形内切圆半径为4>，故能放入最大球半径为4，表面积为42147π4π44⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭7.3220.50.5()()log ()(1)()log ()f x x ax x a x b x x a x b =-+-+=+-+，且210y x =+>恒成立， y x a =-在定义域上单调增且零点为x a =，()0.5log y x b =+在定义域上单调减且零点为1x b =-，故y x a =-与()0.5log y x b =+在定义域内函数值正负相反且零点重合，则11a b a b =-⇔+=.8.X 服从二项分布(),B N P ，则666(6)C (1)N N P X p p -==-，()6P X =最大即为满足66666511C (1)C (1)N N N N p p p p --++-≥-的最小N ，即为6666651C (1)15611111C (1)N N N N p p N N p N p p p -----≥⇔⋅≥⇔≥--+-，又N N +∈，故61p -为整数时，61N p=-，()6E X Np =<；61p -不为整数时N 为大于61p -的最小整数，为6p的整数部分，()6E X Np =<.故()6E X <，9.2()3301f x x x '=-=⇒=±，其中1-为极大值点，1为极小值点，A 对；()10f -=，()14f =-，故()f x 有两个零点，B 错；()600f x x x ''==⇒=，()02f =-，故()0,2-为曲线()y f x =的对称中心，C 对；()0,2在对称中心()0,2-处的切线上方，故只能做一条切线，D 错.10.依题意3A =，10472h +==，2π142ω=-，解得π6ω=，显然函数3sin 76y x πϕ=+⎛⎫⎪⎝⎭+的图象过点()2,10，即πsin 13ϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭，又ππ22ϕ-<<，因此π6ϕ=，所以函数表达式为ππ3sin 766y x ⎛⎫=++⎪⎝⎭，[0,24]x ∈.故A 对依题意，ππ3sin 76 2.566024x x ⎧⎛⎫++≥+⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪≤≤⎩，整理得ππ1sin 662024x x ⎧⎛⎫+≥⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪≤≤⎩，即有πππ5π2π2π(Z)6666024k x k k x ⎧+≤+≤+∈⎪⎨⎪≤≤⎩，即12412(Z)024k x k k x ≤≤+∈⎧⎨≤≤⎩解得04x ≤≤或1216x ≤≤，所以该船可以在0点到4点以及12点到16点进入港口.故B 对.该船卸完货后符合安全条例的最小水深为5.5，19时水深为ππ3sin 1977 5.5662y ⎛⎫=⨯++=+<⎪⎝⎭，故C 错，该船0点进港即可以开始卸货，设自0点起卸货x 小时后，该船符合安全条例的最小水深为0.36 2.5y x =-++函数0.36 2.5y x =-++与ππ3sin 766y x ⎛⎫⎪⎝⎭=++的图像交于点()5,7，即卸货5小时后，在5点该船必须暂时驶离港口，此时该船的吃水深度为4.5米，下次水深为7米时刻为11点，故该船在11点可返回港口继续卸货，5小时后完成卸货，此时为16点，综上，该船在0点进港开始卸货，5点暂时驶离港口，11点返回港口继续卸货，16点完成卸货任务.故D 对.11.圆222:()M x a y a -+=，圆心(,0)M a ，半径a ，且1a >-，且0a ≠.()2240440a a -++=+> ，则点()2,0P -在圆M 外.由题意知MQ PQ ⊥，设(),Q x y ，则22(,)(2,)(2)20MQ PQ x a y x y x y a x a ⋅=-⋅+=++--= ①又点Q 在圆M 上，则2220x ax y -+=②，①-②得，()22a x a +=，解得22xa x=-③，由1a >-且0a ≠，解得22x -<<，且0x ≠将③代入②消a 得，22(2)2x x y x+=-，(2,0)(0,2)x ∈- 即为曲线C 的方程.设2(2)()2x x f x x +=-，[2,2)x ∈-，则222(24)()(2)x x x f x x --'=--，令()0f x '=解得1x =-，或0x =，或1x =+当21x -<<-时，()0f x '>，()f x 单调递增；当10x -<<时，()0f x '<，()f x 单调递减；当02x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增.且()20f -=，()00f =，当2x →时，y →+∞.且当0y ≥时，函数()g x =与()f x 单调性相同，且()20g -=，()00g =，当2x →时，y →+∞.故()g x 的大致图象如下图，又由方程22(2)2x x y x+=-可知曲线C 关于x 轴对称，2x ≠-且0x ≠.故曲线C的大致图象为如下图，故C 在第二象限的纵坐标最大的点对应的横坐标为15-，浙近线为2x =，A 、B 项正确，C 错误；D 项，当点00(,)x y 在C 上时，则2200022x y x x +=⋅-由020x -<<，或002x <<.得2004x <<，又00202x x +>-，2200000022422x x y x x x ++=⋅<⋅--，则00022x y x +<-，所以000222x y x +≤-D 正确；12.由二项式定理通项公式得222(1)332n n n n n n a C ---==⋅，则2323181818(1)1(1)3n n n n a n n n nn n -⋅===----⋅，则23233331818181818181818(1)182123131n n n a a a n n n n-+++=-+-++-=-=--- .13.x()e 2(31)e 10xf x x x x =+--=-+>恒成立，则曲线e 2x y x =+在直线31y x =-上方，则当M 处切线与直线31y x =-平行时MN 最小，e 2x y x =+求导得e 230x y x '=+=⇒=，此时点()0,1M 到直线距离即为最短距高，此时5MN ===∣∣.14.设点(),P x y 在该椭圆上，则其关于y x =的对称点(),P y x '代入椭圆方程有223y x yx +-=，即223x y xy +-=，则该对称点位于椭圆方程上，同理其关于y x =-的对称点(),P y x '--也位于椭圆方程上，则223x y xy +-=关于y x =±对称，将y x =代入223x y xy +-=可得23x =，可得椭圆长轴的顶点为，(，所以a ==将y x =-代入223x y xy +-=可得21x =，可得椭圆短轴的顶点为(1,1)-，(1,1)-，所以b ==，则2c ==，则e3c a ===.15.（1）π3C =（2解：（1）因为()1cos sin b C B +=，由正弦定理可得()sin 1cos sin B C C B +=.又因为()0,πB ∈，则sin 0B ≠，所以1cos C +=.整理得π2sin 16C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即π1sin 62C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.因为()0,πC ∈，所以ππ5π,666C ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以ππ66C -=，所以π3C =.（6分）（2）由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，且c =则有22252()a b ab a b ab =+-=-+，又2b a -=，故48ab =.（8分）设AB 边上中线为CM ，则1()2CM CA CB =+∣，222211()[()3]3744CM a b ab a b ab =++=-+= ，故AB （13分）16.（1）24y x =；（2）过定点，定点为原点.解：（1）设动圆圆心(),x y ，当0x ≠=24y x =；当0x =时，点C 的轨迹为点()0,0，满足24y x =.综上可知，点C 的轨迹方程为24y x =.（5分）（2）设直线l 方程为：4x my =+，则22441604x my y my y x=+⎧⇒--=⎨=⎩，0∆>恒成立，1212416y y m y y +=⎧⇒⎨=-⎩，设圆心为P ，则2p y m =，224p x m =+，2(24,2)P m m +，（8分）直径12MN y =-=，故圆P 的方程为222222[(24)](2)4(1)(4)2MN x m y m m m ⎛⎫-++-==++ ⎪⎝⎭，由对称性可知，若存在定点，则必在x 轴上，令0y =，则22222[(24)](2)4(1)(4)x m m m m -++=++，（12分）化简得：()22420x m x -+=对R m ∀∈恒成立，故0x =，∴存在定点()0,0，故以MN 为直径的圆过定点()0,0.（15分）17.（1）718；（2）13517216n n P -⎛⎫=+⨯- ⎪⎝⎭；（3）1天.解：（1）设1A 表示第1天去A 餐厅，2A 表示第2天去A 餐厅，则1A 表示第1天去B 餐厅，根据题意得，12()3P A =，()113P A =，()2113P A A =，()2111122P A A =-=，所以()()()()()212112121117333218P A P A P A A P A P A A =+=⨯+⨯=.（4分）（2）设n A 表示第n 天去A 餐厅用餐，则()n n P P A =，()1n n P A P =-，根据题意得，()113n n P A A +=∣，()111122n n P A A +=-=，由全概率公式得，()()()()()()111111113262n n n n n n n n n n P A P A P A A P A P A A P P +++=+=+-=-+，即11162n n P P +=-+，（7分）整理得，1313767n n P P +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，又1350721P -=≠，所以37n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以521为首项，16-为公比的等比数列，13517216n n P -⎛⎫=+⨯- ⎪⎝⎭（10分）（3）由题意，只需1n n P P >-，即1(1,2,,10)2n P n >= ，则1351172162n -⎛⎫+⨯-> ⎪⎝⎭，即113(1,2,,30)610n n -⎛⎫->= ⎪⎝⎭ ，显然n 必为奇数，n 为偶数时不成立，当1,3,,29n = 时，考虑111136610n n --⎛⎫⎛⎫-=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的解，当1n =时，3110>显然成立，当3n =时，2130610⎛⎫-< ⎪⎝⎭，不成立，由116n y -⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减得，5,7,,29n = 时，也不成立，综上，该同学只有1天去A 餐厅用餐的概率大于去B 餐厅用餐概率.（15分）18.（1）()()2ln 1cos f x x x =++，()1x >-；（2）2a =；（3）证明见解析.解：（1）依题意，设()f x 图像上任意一点坐标为()00,x y ，则其关于1x =-对称的点()002,x y --在()g x 图像上，则000()(2)y f x g x ==--，则0000()(2)2ln(1)cos f x g x x x =--=++，0(1)x >-故()()2ln 1cos f x x x =++，()1x >-；（5分）（2）令()()()12ln 1cos 1h x f x ax x x ax =--=++--，()1x >-，则在()0h x ≤在)1(,x ∈-+∞恒成立，又()00h =，且()h x 在)1(,x ∈-+∞上是连续函数，则0x =为()h x 的一个极大值点，2()sin 1h x x a x '=--+，(0)202h a a '=-=⇒=，下证当2a =时，()0h x ≤在)1(,x ∈-+∞恒成立，令()ln(1)x x x ϕ=+-，1()111x x x x ϕ'=-=-++,当()1,0x ∈-，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增，当,()0x ∈+∞，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减，故()()00x ϕϕ≤=，()ln 1x x +≤在()1,-+∞上恒成立，又cos 1x ≤，则2a =时，()()()()12ln 1cos 10h x f x ax x x x ⎡⎤=--=+-+-⎦≤⎣恒成立，综上，2a =.（11分）（3）证明：由（2）可知：()12f x x -≤，则11111222f k k ⎛⎫⎛⎫--≤-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1122f k k⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，则211111122122n k n f k n n n =+⎛⎫⎛⎫-≤+++ ⎪ ++⎝⎭⎝⎭∑，又由（2）可知：()ln 1x x +≤在()1,-+∞上恒成立，则ln 1x x ≤-在()0,+∞上恒成立且当且仅当1x =时取等，令(0,1)1n x n =∈+，*N n ∈，则1ln 1111n n n n n -<-=+++，即11ln ln ln(1)ln 11n n n n n n n +<-==+-++，则111ln(1)ln ln(2)ln(1)ln(2)ln(21)122n n n n n n n n n +++<+-++-+++--++ ln(2)ln ln 2n n =-=，综上，21112ln 2ln 42nk n f n =+⎛⎫-<= ⎪⎝⎭∑，即证.（17分）19.（1）0y =，双曲线：（2）证明见解析：（3）810+.解：（1）根据坐标平面xOy 内点的坐标的特征可知，坐标平面xOz 的方程为0y =，已知曲面C 的方程为2221114x y z +-=，当0y =时，xOz 平面截曲面C 所得交线上的点(),0,M x z 满足2214z x -=，从而xOz 平面截曲面C 所得交线是平面xOz 上，以原点O 为对称中心，焦点在x 轴上，实轴长为2，虚轴长为4的双曲线.（4分）（2）设000(,,)P x y z 是直线l 上任意一点，由()1,0,2d = ，QP 均为直线l 的方向向量，有//QP d ，从而存在实数λ，使得//QP d λ ，即()()0001,1,21,0,2x y z λ+++=，则00011022x y z λλ+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，解得01x λ=-，01y =-，022z λ=-，所以点p 的坐标为()1,1,22λλ---，于是22222(1)(1)(22)211(21)1114λλλλλλ---+-=-++--+=，因此点P 的坐标总是满足曲面C 的方程，从而直线l 在曲面C 上.（10分）（3）直线l '在曲面C 上，且过点()1,0,0T ,设()111,,M x y z 是直线l '上任意一点，直线!的方向向量为(,,)d a b c '= ，由d ' ，TM 均为直线l '的方向向量，有//TM d ' ，从而存在实数t ，使得TM td '= ，即()()1111,,,,x y z t a b c -=，则1111x at y bt z ct -=⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得11x at =+，1y bt =，1z ct =，所以点M 的坐标为()1,,at bt ct +，111(,,)M x y z 在曲面C 上，222(1)()()1114at bt ct +∴+-=，整理得2222204c a b t at ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭，由题意，对任意的t ，有2222204c a b t at ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭恒成立，22204c a b ∴+-=，且20a =，2c b ∴=或2c b =-，不妨取1b =，2c =或2-，(0,1,2)d '∴= ，或(0,1,2)d '=- ，又直线l 的方向向量为(0,1,2)d =则异面直线l 与l '所成角的余弦值均为45d d d d '⋅==' .（17分）。

江西省丰城市第九中学2023届高三上学期入学考数学(理)试题(解析版)

丰城九中高三上学期理科数学开学考试试卷一、单选题（共12题，共60分）1.已知集合{}{}2220,log 1A x x x B x x =--<=≤，则A B = （）A.{}02x x <≤B.{}02x x <<C.{}12x x -<< D.{}12x x -<≤【答案】B 【解析】【分析】分别解二次不等式和对数不等式，求得集合,A B ，进而利用交集的定义求得A B ⋂.【详解】A {}{}12,02x x B x x =-<<=<≤，则{}02A B x x ⋂=<<.故选：B2.已知命题p ：∀x ∈R ，cosx≤1，则（）A.￢p ：∃x 0∈R ，cosx 0≥1B.￢p ：∀x ∈R ，cosx≥1C.￢p ：∀x ∈R ，cosx ＞1D.￢p ：∃x 0∈R ，cosx 0＞1【答案】D 【解析】【分析】对于全称命题的否命题，首先要将全称量词“∀”改为特称量词“∃”，然后否定原命题的结论，据此可得答案.【详解】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p ：∀x ∈R ，cosx≤1，￢p ：∃x 0∈R ，cosx 0＞1．故选D．【点睛】本题考查了命题中全称量词和存在量词，解题的关键是要知晓全称命题的否定形式是特称命题.3.设122a =，133b =，3log 2c =，则A.b a c <<B.a b c <<C.c b a <<D.c<a<b【答案】D 【解析】【详解】试题分析：由已知1221a =>，1331b =>，且616228a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，616339b ⎛⎫== ⎪⎝⎭,1b a ∴>>，而3log 2c =<1，所以c<a<b考点：指数的幂运算.4.已知3sin , (,)52πα=α∈π，则πcos()3α+=（）A.410- B.410+ C.410+-D.310+【答案】C 【解析】【分析】由两角和的余弦公式展开即可.【详解】 3sin ,(,)52πααπ=∈，4cos 5α∴=-，cos()cos cos sin sin333ππ∴+=-πααα4134525210+=-⨯-⨯=-故选：C5.已知命题()2000:R,110p x x a x ∃∈+-+<，若命题p 是假命题，则a 的取值范围为（）A.1≤a ≤3B.-1<a <3C.-1≤a ≤3D.0≤a ≤2【答案】C 【解析】【分析】先写出命题p 的否定，然后结合一元二次不等式恒成立列不等式，从而求得a 的取值范围.【详解】命题p 是假命题，命题p 的否定是：()2R,110x x a x ∀∈+-+≥，且为真命题，所以()()()214130a a a ∆=--=+-≤，解得13a -≤≤.故选：C 6.“04x k ππ=-+，k ∈Z ”是“函数()tan 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象关于点()0,0x 对称”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据题意，求出函数()f x 的对称中心，即可判断.【详解】函数()tan 4f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象关于点()0,0x 对称042k x ππ⇔+=，k ∈Z ，即042k x ππ=-+，k ∈Z ，故“02442k x k ππππ=-+=-+，k ∈Z ”是“函数()tan 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象关于点()0,0x 对称”的充分不必要条件．故选:A7.如图，有一古塔，在A 点测得塔底位于北偏东60°方向上的点D 处，塔顶C 的仰角为30°，在A 的正东方向且距D 点60m 的B 点测得塔底位于北偏西45°方向上（A ，B ，D 在同一水平面），则塔的高度CD 约为（） 2.4≈）A.38mB.44mC.40mD.48m【答案】D 【解析】【分析】转化为解三角形问题，利用正弦定理、直角三角形的性质进行求解.【详解】如图，根据题意，CD ⊥平面ABD ，30CAD ∠=︒，30BAD ∠=︒，45ABD ∠=︒，60BD =.在ABD △中，因为sin sin BD AD BAD ABD =∠∠，所以60sin 30sin 45AD=︒︒，所以AD =.在Rt ACD △中，3tan 30483CD AD =⋅︒==m .故A ，B ，C 错误.8.已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.将函数()f x 的图象向右平移316π个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，则()g x =（）A.2sin 8x π⎛⎫- ⎪⎝⎭B.2sin 8x π⎛⎫+⎪⎝⎭C.2sin 48x π⎛⎫-⎪⎝⎭D.2sin 48x π⎛⎫+⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】由最值可求得A ，根据最小正周期可求得ω，由28f π⎛⎫= ⎪⎝⎭可求得ϕ，从而得到()f x 解析式；由三角函数平移和伸缩变换原则可得()g x .【详解】由图象可知：()()max min22f x f x A -==，最小正周期3488T πππ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，22T πω∴==，()()2sin 2f x x ϕ∴=+，2sin 284f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()242k k ππϕπ∴+=+∈Z ，解得：()24k k πϕπ=+∈Z ，又2πϕ<，4πϕ∴=，()2sin 24f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭；将()f x 图象向右平移316π个单位长度可得：332sin 22sin 216848f x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；将316f x π⎛⎫-⎪⎝⎭横坐标变为原来的2倍得：()2sin 8g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.9.已知()21sin 42f x x x π⎛⎫++ ⎝=⎪⎭，()f x '为()f x 的导函数，则()f x '的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】对函数()f x 求导，判断导函数的奇偶性，排除部分答案，接着将6x π=代入导函数即可解得答案.【详解】解：∵()2211sin cos 424f x x x x x π⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭，∴()1sin 2f x x x '=-，∴()()()11sin sin 22f x x x x x '-=---=-+∴()()f x f x ''-=-∴()1sin 2f x x x '=-是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B ，D ，将6x π=代入()f x '得：106122f ππ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，排除C ．故选：A ．10.已知定义在R 上的函数()f x 在(],3-∞上单调递增，且()3f x +为偶函数，则不等式()()12f x f x +>的解集为（）．A.51,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B.()5,1,3⎛⎫-∞⋃+∞⎪⎝⎭C.()3,2-- D.()(),32,-∞--+∞ 【答案】B 【解析】【分析】根据已知条件，可得()f x 对称轴为3x =，且在[)3,+∞上单调递减.根据函数的对称性与单调性，可得只需223x x -<-即可，解出不等式即可.【详解】由题意可得，()f x 对称轴为3x =，且在[)3,+∞上单调递减.则由()()12f x f x +>，可得出1323x x +-<-，即()()22223x x -<-，即()()23853510x x x x -+=-->，解得1x <或53x >.所以，不等式()()12f x f x +>的解集为()5,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭.故选：B.11.已知a 是()323652f x x x x =--+-的一个零点，b 是()e 1xg x x =++的一个零点，132log 5c =，则（）A.a c b <<B.a b c<<C.b<c<a D.a c b <<或c b a<<【答案】A 【解析】【分析】利用导数研究函数()f x 的单调性得()f x 仅有1个零点，且3a <-，结合函数()g x 的单调性与零点的存在性定理得21b -<<-，根据对数运算得3log 25c =-，进而32c -<<-，再根据范围得大小.【详解】解：因为()323652f x x x x =--+-，()()()2336321f x x x x x '=--+=-+-，所以()f x 在(),2-∞-上是减函数，在()2,1-上是增函数，在()1,+∞上是减函数，因为()3102f =-<，所以()f x 仅有1个零点，因为()19302f -=-<，所以3a <-，因为()e 1xg x x =++是增函数，且()110e g -=>，()21210eg -=-<，所以21b -<<-，因为1332log 5log 25c ==-，32log 253<<，所以32c -<<-，所以a c b <<.故选：A ．12.已知函数()ln f x x x =-，若()59f x m ≥-恒成立，则实数m 的取值范围为（）A.1,e∞⎛⎤- ⎥⎝⎦B.(],1-∞ C.(],2-∞ D.(],e ∞-【答案】C 【解析】【分析】令()0t t =>，问题转化为2e 2ln 59t t t t m --≥-，构造函数()2e 2ln tg t t t t =--，通过导数，对()g t 的单调性进行讨论，进而可以得到()min g t ，进而可求答案.()0t t =>，则2x t =，问题转化为2e 2ln 59t t t t m --≥-恒成立.令()2e 2ln tg t t t t =--，则()()()()()222e 122e 10tt t t g t t t t t t+-=+--'=>，因为0t >，所以20t t+>.令()()2e 10t h t t t =->，则()()22e 0t h t t t =+>'，所以()h t 在()0,∞+上单调递增，又()1e 10h =->，11024h ⎛⎫=-<⎪⎝⎭，所以存在01,12t ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()00h t =，即020e t t 10-=，所以当()00,t t ∈时，()0h t <，即()0g t '<，当()0,t t ∞∈+时，()0h t >，即()0g t '>，所以()g t 在()00,t 上单调递减，在()0,t +∞上单调递增，所以()()020000min e 2ln tg t g t t t t ==--，又020e 10t t -=，所以020e 1tt =，0201et t =，所以()0000min 11ln 11e t g t t t t =--=-+=，所以159m ≥-，解得2m ≤.故选：C二、填空题（共4题，共20分）13.已知幂函数()()213m f x m x-=-在()0,∞+内是单调递减函数，则实数m =______．【答案】2-【解析】【分析】由已知，函数()f x 为幂函数且在()0,∞+内是单调递减，可进行列式，即231m -=且10m -＜即可完成求解.【详解】由题意得，函数()f x 为幂函数且在()0,∞+内是单调递减，所以23110m m ⎧-=⎨-<⎩，解得2m =-．故答案为：2-.14.在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2,A C a ==，若228c +=，则ABC ∆的面积为____________．【答案】【解析】【详解】试题分析：由正弦定理，知sin sin a A c C =，即sin 22cos sin 2cos sin sin C C C C C C ===，所以3cos 2C =，所以30C =︒，所以60,90A B =︒=︒．因为a =，所以2b c =228c +=，所以2c =，所以12S ac ==．考点：正弦定理．【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，其基本步骤是：（1）确定三角形中的已知和所求，（2）根据条件和所求合理选择正弦定理与余弦定理，使边化角或角化边；（3）求解．15.命题[]:1,1p x ∃∈-，使得2x a <成立；命题():0,q x ∀∈+∞，不等式21ax x <+恒成立．若命题p q ∧为假，则实数a 的取值范围为___________．【答案】[)1,2,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦【解析】【分析】首先求出命题,p q 为真时a 的取值范围，再根据复合命题的真假即得.【详解】命题p :[1,1]x ∃∈-，使得2x a <成立，当[1,1]x ∈-时，1,222x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，若命题p 为真，则12a >，命题:(0,)q x ∀∈+∞，不等式21ax x <+恒成立，则211x a x x x+<=+，当0x >时，12x x+≥，当且仅当1x =时等号成立，若命题q 为真，则2a <；当命题p q ∧为真命题时，有122a a ⎧>⎪⎨⎪<⎩，即122a <<，所以命题p q ∧为假时，12a ≤或2a ≥，所以实数a 的取值范围为[)1,2,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦.故答案为：[)1,2,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦．16.已知sin (20)26()|ln 1(0)x x f x x x πππ⎧⎛⎫+-≤≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪-⎩，若方程()(),0f x m m =>恰有4个不同的实数解a ，b ，c ，d ，且a b c d <<<，则cda b=+___________.【答案】2320e -【解析】【分析】画出函数的图象，利用数形结合方法判定易知112m <<，a ，b 关于直线103x =-对称，结合0c e d <<<可知|ln 1||ln 1|c d -=-，进而求得.【详解】如图，易知112m <<，a ，b 关于直线103x =-对称，所以203a b +=-，又0c e d <<<且|ln 1||ln 1|c d -=-，所以1ln ln 1c d -=-，所以ln ln ln 2cd c d =+=，所以2cd e =，从而2320cd e a b =-+.故答案为：2320e -三、解答题（共6题，共70分）17.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足πsin()cos 6⎛⎫+=- ⎪⎝⎭a A Cb A ．（1）求角A ；（2）若3,5a b c =+=，求ABC 的面积．【答案】（1）π3A =（2）433【解析】【分析】（1）由条件和正弦定理可得πsin sin sin cos 6A B B A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后结合三角函数的知识可得答案；（2）由条件结合余弦定理求出bc 的值即可.【小问1详解】由正弦定理得πsin sin sin cos 6A B B A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为0πB <<，所以sin 0B >，所以πsin cos 6A A ⎛⎫=-⎪⎝⎭，化简得1sin sin 22A A A =+，所以πcos 06A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为0πA <<，所以π3A =．【小问2详解】因为π3A =，由余弦定理得2222()3a b c bc b c bc =+-=+-，又3,5a b c =+=，所以2229()3b c bc b c bc =+-=+-，即9253=-bc ，解得163bc =，则ABC 的面积1116sin 22323S bc A ==⨯⨯=．18.已知函数()2cos 2cos 1f x x x x =-+．（1）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；（2）若函数()()g x f x k =-在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有两个不同的零点，求实数k 的取值范围．【答案】（1）πT =，增区间为πππ,π63k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈；（2）12k ≤<.【解析】【分析】（1）用二倍角公式以及辅助角公式化简()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后根据正弦函数的性质即得；（2）由题可得()f x k =在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有两个不同的根，然后利用数形结合即得.【小问1详解】由()2cos 2cos 1f x x x x =-+得，()π2cos 22sin 26f x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎭，故最小正周期为2ππ2T ==，由πππ2π22π262k x k -+≤-≤+，解得ππππ63k x k -+≤≤+，k ∈Z ，故()f x 的单调递增区间为πππ,π63k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ；【小问2详解】令()()0g x f x k =-=，则()f x k =，故问题转化为()f x k =在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有两个不同的根，令π26t x =-，且π5π,66t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则问题等价于2sin t k =在π5π,66t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦有两个根，画出函数2sin y t =的图象，由2sin y t =的图象可知：当12k ≤<时，有两个根，故实数k 的取值范围为12k ≤<．19.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是cos sin 90ρθθ++=.（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）若P 是曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值，并求此时点P 的坐标.【答案】（1）2214x y +=，90x ++=（232⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）结合22cos sin 1αα+=消元即可得出曲线C 的普通方程；由cos ,sin x y ρθρθ==即可得出直线l 的直角坐标方程；（2）设点()2cos ,sin P αα，结合点线距离公式，讨论最大值即可【小问1详解】由2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），得2214x y +=，故曲线C 的普通方程为2214x y +=.由cos sin 90ρθθ++=，得90x ++=，故直线l 的直角坐标方程为90x ++=.【小问2详解】设点()2cos ,sin P αα，则点P 到直线l 的距离π4sin 96d α⎛⎫++ ⎪==故当πsin 16α⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，点P 到直线l .此时，点P 的坐标为⎛ ⎝⎭.20.（1）设α，β为锐角，且5sin 5α=，310cos 10β=，求αβ+的值；（2）已知πsin 410α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求πsin 24α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．【答案】（1）π4；（2）17250-.【解析】【分析】（1）根据三角恒等式求出cos α和sin β，利用两角和的余弦公式求出()cos αβ+，结合范围即可得结果；（2）通过两角和的正弦公式以及三角恒等式求出sin α，cos α，然后利用二倍角公式求出sin 2α，cos 2α的值，最后由两角差的正弦可得结果.【详解】（1）∵α为锐角，5sin 5α=，且22sin cos 1αα+=，∴cos 5α=．∵β为锐角，310cos 10β=，且22sin cos 1ββ+=，∴sin 10β=，∴()253105102cos cos cos sin sin 5105102αβαβαβ+=-=⨯-⨯=，∵()0,παβ+∈，∴π4αβ+=．（2）因为πsin 410α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ2sin cos cos sin 4410αα+=，即1sin cos 5αα+=．又π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，22sin cos 1αα+=，解得：4sin 5α=，3cos 5α=-，所以4324sin 22sin cos 25525ααα⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，2222347cos 2cos sin 5525ααα⎛⎫⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以πππsin 2sin 2cos cos 2sin 444ααα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭2427217225225250⎛⎫⎛⎫=-⨯--⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．21.已知函数()|26||36|f x x x =---．（1）求不等式()1f x >的解集；（2）若不等式()||f x k x ≤恒成立，求实数k 的取值范围【答案】（1）111,5⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）[)1,+∞【解析】【分析】（1）分类讨论去绝对值后再求解不等式即可；（2）讨论0x =，当0x ≠时6623x k x ---≥，利用绝对值的三角不等式求解6623x x---的最大值即可；【小问1详解】(),22636512,23,3x x f x x x x x x x <⎧⎪=---=-+≤≤⎨⎪->⎩，当2x <时，1x >，即12x <<，当23x ≤≤时，5121x -+>，解得115x <，即1125x ≤<，当3x >时，1x ->，解得1x <-，此时无解，综上：不等式()1f x >的解集为111,5⎛⎫ ⎪⎝⎭；【小问2详解】0x =时上述不等式显然成立，当0x ≠时，上述不等式可化为()26362366x x f x x k xx x ---=---≥=，令()()666623231x x x f g x x xx ==---≤--+=，当且仅当02x <≤时等号成立，所以1k ≥，即实数k 的取值范围为[)1,+∞．22.已知函数()ln f x x ax =-.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）当1x ≥时，函数()()()1ln 0k x x f x a x =++-⎡⎤⎣⎦≤恒成立，求实数a 取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）求出函数()f x 的定义域，求得()1ax f x x='-，分0a ≤、0a >两种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数()f x 的增区间和减区间；（2）由题意可知()2ln 10x x a x --≤对任意的1x ≥恒成立，令()()()2ln 11g x x x a x x =--≥，分0a ≤、102a <<、12a ≥三种情况讨论，利用导数分析函数()g x 在[)1,+∞上的单调性，验证()()10g x g ≥=能否恒成立，综合可得出实数a 的取值范围.【小问1详解】解：函数()f x 的定义域为()0,∞+，()11ax f x a x x-'=-=①当0a ≤时，则()0f x ¢>，所以()f x 在()0,∞+上单调递增；②当0a >时，则由()0f x ¢>知10x a <<，由()0f x '<知1x a>，所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；综上，当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为()0,∞+，当0a >时，()f x 的单调递增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【小问2详解】解：由题意知()0k x ≤恒成立，而()()()()201ln 0ln 10k x x f x a x x x a x ⇔++-⇔-⎡⎤⎣⎦-≤≤≤，由()()()2ln 11g x x x a x x =--≥，得()ln 12g x x ax '=+-，令()ln 12h x x ax =+-，则()1122ax h x a x x-'=-=.①若0a ≤，()0h x '>，则()g x '在[)1,+∞上单调递增，故()()1120g x g a ''-≥=≥，所以()g x 在[)1,+∞上单调递增，所以()()10g x g ≥=，从而()2ln 10x x a x --≥，不符合题意；②若102a <<，则112a >，当11,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>，()g x '在11,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，从而()()1120g x g a ''>=->，所以()g x 在11,2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭在单调递增，所以()1102g g a ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，不符合题意；③若12a ≥，则1012a<≤，()0h x '≤在[)1,+∞上恒成立，所以()g x '在[)1,+∞上单调递减，()()1120g x g a ≤=-'≤'，从而()g x 在[)1,+∞上单调递减，所以()()10g x g ≤=，所以()2ln 10x x a x --≤恒成立.综上所述，a 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数，本题涉及端点效应，一般的解题思路就是对参数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在定义域上的单调性，验证对应的不等式能否恒成，由此求解.第17页/共17页。

重庆市第八中学校2025届高三上学期开学考试数学试题

秘密★启用前【考试时间：8月8日15：00-17：00】重庆八中高2025届高三上开学考试数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合{}||2|2A x x =+≤，{}2|23B x x x =+≤，{|C x x A =∈且}x B ∉，则集合C =A ．∅B ．[4,3)−−C ．(4,3]−−D ．[0,1)2．赵佶所作《瑞鹤图》中房殿顶的设计体现了古人的智慧，如下图，分别以OA ，OB 为x 轴、y 轴正方向建立平面直角坐标系，屋顶剖面的曲线与x 轴、y 轴均相切，A ，B 两点间的曲线可近似看成函数()f x 的图象，()f x 有导函数()f x '，为了让雨水最快排出，()f x需要满足螺旋线方程()f x '=，其中a ，b 为常数，则A ．0a >，0b >B ．0a >，0b <C ．0a <，0b >D ．0a <，0b <3．使得“函数()f x =[]1,1−上单调递减”成立的一个充分不必要条件是 A ．1a −≤B ．03a <≤C ．30a −<≤D ．31a −<<−4．已知直线:10l x ay −−=与22:2440C x y x y +−+−=交于A ，B 两点，设弦AB 的中点为M ，O 为坐标原点，则OM 的取值范围为 A．[3+ B．1]−+ C．[2D．1]5．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()20f x f x +−=，当,1()1x ∈−时，()2log (1)1af x b x =−+−，则20231()3k k f ==∑A ．0B ．1C ．1−D ．20236．定义在R 上的函数()f x 满足2()2()f x f x x x =+−，则函数21()()g x xf x x=−的零点个数为 A ．3 B ．4 C ．5 D ．67．已知数列{}n a 满足11a =，且对任意m ，n *()N m n ∈>均有22m n m n m n a a a a +−+=+.记{}n a 的前n 项和为n S ，则7S = A ．28B ．140C ．256D ．7848．将1到30这30个正整数分成甲、乙两组，每组各15个数，使得甲组的中位数比乙组的中位数小2，则不同的分组方法数是A ．72132(C )B ．7713142C CC ．6714142C CD ．72142(C )二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

北京市2024-2025学年高三上学期入学定位考试数学试题含答案

2024—2025学年北京市新高三入学定位考试本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合，则（A）（B）（C）（D）（2）已知复数满足，则（A）（B）（C）（D）（3）已知抛物线，则抛物线的焦点到其准线的距离为（A）（B）（C）3（D）（4）在的展开式中，常数项为（A）（B）（C）（D）（5）已知等比数列满足，，则的公比为（A）或（B）或（C）或（D）或（6）已知函数.若时，取得最大值，则的值可能是（A）（B）（C）（D）（7）如图，在四棱锥中，平面，底面是边长为的正方形，，则点到直线的距离为（A）（B）（C）（D）（8）若圆的圆心到轴、轴的距离相等，则（A）（B）（C）（D）（9）已知单位向量，则“”是“任意都有”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（10）设集合．对于集合的子集，若任取中两个不同元素，有，且中有且只有一个为，则称是一个“好子集”．下列结论正确的是（A）一个“好子集”中最多有个元素（B）一个“好子集”中最多有个元素（C）一个“好子集”中最多有个元素（D）一个“好子集”中最多有个元素第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

（11）函数的定义域为________．（12）已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为，则_______；_______．（13）已知双曲线（其中）的右焦点为，则________，的离心率为________．（14）函数是奇函数，且对任意成立，则满足条件的一组值可以是________，________．（15）在棱长为的正方体中，点分别为棱的中点.点为正方体表面上的动点，满足.给出下列四个结论：①线段长度的最大值为；②存在点，使得；③存在点，使得；④△EPF是等腰三角形.其中，所有正确结论的序号是________．三、解答题共6小题，共85分。

高三上学期开学考试数学试卷)

高三数学考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：高考范围．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题“()1,14a a a ∀∈-≤R ”的否定是（） A ．()1,14a a a ∀∈->R B ．()1,14a a a ∃∈-≤R C ．()1,14a a a ∀∉-≤RD ．()1,14a a a ∃∈->R2．双曲线()22440x y a a -=≠的渐近线方程为（） A ．y x =±B ．2y x =±C ．y a x =±D ．y ax =±3．若21x +可分解因式为()()12x z x z --，且()12i 0z z ->，则复数121z z +的虚部为（） A ．1 B ．12C ．1-D ．12-4．已知函数()12f x x x =--+，则下列函数为奇函数的是（） A ．()11y f x =++ B ．()11y f x =-+ C ．()11y f x =+-D ．()11y f x =--5．已知O 是ABC △所在平面内一点，且2AO OB OC =+，若AO AB AC λμ=+，则λμ+=（） A ．23B ．13C ．12D ．146．已知异面直线a 与b 所成的角为π,3a 与c 所成的角为π2，则b 与c 所成角的范围是（）A ．ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．ππ,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦7．如图，,A B 和,C D 分别为函数()()sin (0,π0)f x x ωϕωϕ=+>-<<图象上的两个最高点、两个最低点，若四边形ABCD 的面积为2π，直线AD 过点5π,012⎫⎛-⎪⎝⎭，则2π3f ⎫⎛= ⎪⎝⎭（）A ．22-B ．22C ．32-D ．328．已知()f x 为R 上的减函数，设函数()()(),0,,0,f x x g x f x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩则满足不等式()()4g m g m ->的m 的取值范围是（） A ．()1,+∞B ．()2,+∞C ．()(),11,-∞+∞ D ．()(),22,-∞+∞二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．2023年央视主持人大赛，在某场比赛中，17位专业评审为某参赛者的打分分别为94.2，94.6，95.8，96.2，96.4，96.8，96.8，97.0，97.0，97.2，97.2，97.6，97.6，98.0，98.2，98.6，98.6，记该组数据为M ，去掉一个最高分和一个最低分后余下的数据记为N ，且N 组数据的平均分为97.0，则（） A ．M 组与N 组数据的极差相等 B ．M 组与N 组数据的中位数相等C ．M 组数据的平均数小于N 组数据的平均数D ．M 组数据的70%分位数小于N 组数据的80%分位数10．如图，球O 与棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的六个面都相切，,,P Q R 分别为棱111,,AA BC C D 的中点，G 为正方形11BCC B 的中心，则（）A ．球O 与该正方体的体积之比为π3 B ．球O 与该正方体的表面积之比为π6C ．直线PQ 被球O 2D ．过,,A R G 三点的正方体的截面与球O 的球面的交线长为π 11．已知22:(2)4C x y -+=，直线:2,l x O =为原点，点P 在C 上，直线OP 与l 交于点,Q R 在直线OP 上，且PQ OR =，点R 的轨迹为史留斯蚌线，记为曲线E ，其中l 是E 的渐近线，如图所示．设()00,M x y 是E 上一点，则（）A ．022x -≤<B ．存在异于原点O 的点M ，使得M 关于点O 的对称点仍在E 上C ．若M 在第二象限，则0y 3D ．若M 在第一象限，则直线OM 的斜率大于02e x三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．29tan 18π⎫⎛+ ⎪⎝⎭的值是____________．13．已知椭圆22:143x y C +=的上顶点为A ，左焦点为1F ，线段1AF 的中垂线与C 交于,M N 两点，则AMN △的周长为____________．14．有甲、乙两个口袋，甲口袋装有2个红球，乙口袋装有1个红球，2个白球，有放回地从两个口袋中各取1个球，并记为1次取球，若取到的2个球均为红球，则停止取球；否则在两个口袋中各加进1个白球，然后再按照以上规则取球，直到取到的2个球均为红球为止．记k A =“取了k 次球后停止取球”()1,2,3,k =，则()1P A =____________；()4P A =____________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 23sin 2cos 2Aa C c =．（1）求A ；（2）若2,3a b c =+=，求ABC △的面积S ． 16．（本小题满分15分）如图，在六棱锥P ABCDEF -中，底面ABCDEF 是边长为1的正六边形，PA AB =，平面PAF ⊥平面ABCDEF ，平面PAB ⊥平面ABCDEF ．（1）证明：PA CD ⊥；（2）求二面角C PF A --的正弦值． 17．（本小题满分15分）已知函数()()()2()20f x a x a x a a =-+-≠．（1）当2a =时，求()f x 的极值；（2）若()f x 在x a =处有极小值，求a 的取值范围． 18．（本小题满分17分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为,l O 为坐标原点，G 是C 上一点，且G 到l 的距离为4,p OFG △7．（1）求C 的方程；（2）已知过点F 且不与坐标轴垂直的直线与C 交于,A B 两点．（ⅰ）设直线,OA OB 分别与l 交于点,M N ，证明：AN BM ∥；（ⅱ）设l 与x 轴的交点为K ，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于Q 点，则,,,A Q B K 四点是否在同一个圆上？并说明理由．19．（本小题满分17分）设集合(){}()**,,,,,k A m n k m n k m n k m n k =<<+≥∈∈N N ，记kA 中元素的个数为ka，数列{}k a 的前k项和为k S ．（1）求4S 的值；（2）当4k ≥时，从k A 中随机取出一个元素(),,m n k ，求以,,m n k 为长度的三条线段为边能构成一个三角形的概率；（3）求k S ．参考公式：()()222211231216n n n n ++++=++．。

四川省成都市蓉城名校联考2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题

四川省成都市蓉城名校联考2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题一、单选题1．已知集合{251},A xx =-<∣{}1,0,1,2,3,4B =-，则A B =I （） A ．{}1,0,1- B ．{}1,0,1,2- C ．{}1,2 D ．{}1,0,1,3-2．设命题2:,31p x x x ∀∈≤+Z ，则p 的否定为（） A ．2,31x x x ∀∈>+Z B ．2,31x x x ∃∉>+Z C ．2,31x x x ∀∉>+Z D ．2,31x x x ∃∈>+Z3．已知x ∈R ，则“12x -≤≤”是“021x x ≤-+”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．某旅游旺地出租车的费用按下列规则制定： ①行程在3km 以内的（含3km ），车费10元；②行程在3km 以上且不超过10km 的，前3km 车费10元，以后每增加1km 车费增加2元（不足1km 的按1km 计算）；③行程超过10km ，则超过的部分每公里车费3元（不足1km 的按1km 计算）. 小明某天乘坐该地的出租车，共花费39元，那么他的行程大约为（） A ．13kmB ．14kmC ．15kmD ．16km5．某电影公司为了解某部电影宣传对票房的影响，在某市内随机抽取了5个大型电影院，得到其宣传费用x （单位：十万元）和销售额y （单位：十万元）的数据如下：由统计数据知y 与x 满足线性回归方程ˆˆˆybx a =+，其中ˆ 6.5b =，当宣传费用10x =时，销售额y 的估计值为（） A ．85.5B ．86.5C ．87.5D ．88.56．设01x <<，已知11,e ,sin 1x a x b c x x=++==+，则,,a b c 的大小关系为（） A ．c b a >> B ．b c a >> C ．a b c >>D ．a c b >>7．某高中运动会设有8个项目，甲､乙两名学生每人随机选取3个项目，则至少选中2个相同项目的报名情况有（） A ．420种B ．840种C ．476种D ．896种8．已知12x ≤≤，不等式ln e ln x a ax -≥恒成立，则a 的最大值为（） A ．eB ．1C ．1e -D ．2e二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．函数()2f x 的定义域为()0,1，则函数()1f x -的定义域为()1,1-B ．y =y x =表示同一个函数C ．关于x 的不等式()()10ax a x -+>的解集为{},1A B xx =≥∣，若A B ⊆，则0a = D ．若13,24a b a b -<+<<-<，则23a b +的取值范围为913,22⎛⎫- ⎪⎝⎭10．已知,a b 为正实数，()()111a b --=，则（）A．2ab 的最小值为4 B ．2a b +的最小值为3+C ．22a b +的最小值为8D ．1111a b +--的最小值为2 11．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有()()11f x f x -=-+，当[]0,1x ∈时，()22f x x x a =+-，则下列说法正确的是（）A ．()()201920250f f +=B ．点()10,0是函数()f x 的一个对称中心C ．当[]5,6x ∈时，()21445f x x x =-+-D ．函数()3log 53y f x x =--恰有6个零点三、填空题12．二项式61x ⎛ ⎝的展开式中第5项为. 13．若函数()log ,221,2a x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩，在R 上单调递增，则a 的取值范围为.14．已知函数()()21e ln 02x f x ax x x a =⋅--≠有两个零点，实数a 的取值范围为.四、解答题15．已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项为1，且133557111319a a a a a a ++=. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n n a b +是公比为2的等比数列，且31b =，求数列{}n b 的前n 项和n T .16．研究表明，人在23点之前入睡最有益身体健康，熬夜通常会导致睡眠时间不足或规律作息被打乱.某中学为研究熬夜与短期记忆力减退是否有关联，在高三年级随机抽取两个班共90名学生调查，列表如下：(1)完善列联表，根据概率值0.05α=的独立性检验，分析熬夜与短期记忆力减退是否有关联？(2)从样本中熬夜的学生中随机选取2人，其中短期记忆力较差的人数为随机变量X ，求X 的分布列与期望；(3)以样本频率估计概率，从该校300个熬夜的学生中随机抽取5名学生，用()P k 表示这5名学生中恰有k 名短期记忆力较差的概率，求()P k 取最大值时k 的值. 附：参考公式：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.下表是2χ独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值：17．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面,2,1,ABCD PA AC BC AB ====.(1)若AD PB ⊥，证明：//AD 平面PBC ； (2)若//AD BC ，且23AD =，线段PB 上是否存在一点E ，使得二面角D AC E --的正弦值E 在线段PB 上的位置；若不存在，请说明理由.18．已知M 为曲线C 上一动点，动点M 到1F 和2(F 的距离之和为定值，且点P 在曲线C 上. (1)求曲线C 的方程；(2)若过点)1F 的直线l 交曲线C 于,A B 两点，求ABP V 面积的取值范围.19．已知()f x . (1)求()f x 的定义域；(2)若()f x a ≥恒成立，求a 能够取得的最大整数值； (3)证明：()2*268102432ln 1492n n n n n +++++++>∈N L .。

上海市闵行中学2024届高三上学期开学考试数学试题

）
0, x 0
A．0
B．1
C．2
D．3
16．已知 R, 0, 2π ，若对任意实数 x 均有 sin x cos x ，则满足条件的有
序实数对 , 的个数为（）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．无数个
三、解答题
17．已知等差数列an 的前 n 项和为 Sn ， a3 a4 2 ， S8 8 ． (1)求数列 an 的通项公式； (2)若 Sk 5ak 0 ，求 k 的值．
将这 100 名技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员 x 名 x N* ，
调整后研发人员的年人均投入增加
4x%
，技术人员的年人均投入调整为
60
m
2x 25
万
元.
(1)要使这100 x 名研发人员的年总投入不低于调整前的 100 名技术人员的年总投入，
求调整后的技术人员的人数 x 最多为多少人？
(2)若技术人员在已知范围内调整后，必须研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年
总投入，求出正整数 m 的最大值.
20．已知 P 0,1 为椭圆 C： x2 y2 1 内一定点，Q 为直线 l： y 3 上一动点，直线 PQ
43 与椭圆 C 交于 A､B 两点（点 B 位于 P､Q 两点之间），O 为坐标原点.
(1)求函数 f x 在 x 0 处切线方程；
(2)若对任意的 x 0, ， f x f x 4lnx 8恒成立，求 a 的取值范围；
(3)当 a 3 时，设函数 g x f x kx ，对于任意的 k 1，试确定函数的零点个数，并
试卷第 3 页，共 4 页
说明理由. 试卷第 4 页，共 4 页

江苏省2023年高三上学期开学考试数学试题

（1）求A和a的大小；
（2）若为锐角三角形求的面积S的取值范围．
19．如图在圆锥中已知底面的直径是的中点为的中点.
(1)证明：平面平面；
(2)求三棱锥的体积；
(3)求二面角的余弦值.
20．已知椭圆上一点与它的左、右两个焦点的距离之和为且它的离心率与双曲线的离心率互为倒数．
C.
D.
8.已知函数若关于的方程有四个不相等实数根则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
二､多项选择题：本题共4小题每小题5分共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求.全部选对的得5分部分选对的得2分有选错的得0分.
9.设为实数且则下列不等式一定成立的是（）
A. B.
C. D.
5.已知是定义在上的奇函数且满足为偶函数当时（且）.若则（）
A. B. C. D.
6.如图所示在中点是的中点且与相交于点若则满足（）
A. B.
C D.
7.如图所示是双曲线：的左、右焦点过的直线与的左、右两支分别交于A 两点．若则双曲线的离心率为（）
A.
B.
16.已知函数若恒成立则实数的取值范围为______.
四、解答题：本题共6小题共70分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程成演算步骤
17．已知数列满足且．
（1）若证明：数列是等比数列；（2）求数列的前项和．
18．已知的内角ABC的对边分别是abc 的面积为S且满足．
10.关于平面向量下列说法不正确的是（）
A.若则
B
C.若则
D.
11.已知向量函数则（）

高中数学高三(上)入学数学试卷(文科)

第1页共22页 ◎ 第2页共22页绝密★启用前高中数学高三（上）入学数学试卷（文科）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、选择题（本题共计 12 小题，每题 5 分，共计60分）1. 已知复数，则A.B.C.D.2. 已知，且是第四象限角，则（） A.B.C.D.3. “ ＝ ”是“ ＝ ”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.即不充分也不必要件4. 若满足关系式＝，则的值为（） A.B. C. D.5.已知双曲线的渐近线分别为，倾斜角为的直线过双曲线的右焦点，且分别与直线交于两点．若为线段的中点，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.6. 学校选派甲、乙、丙、丁、戊名学生代表学校参加市级“演讲”和“诗词”比赛，下面是他们的一段对话．甲说：“乙参加‘演讲’比赛”；乙说：“丙参加‘诗词’比赛”；丙说“丁参加‘演讲’比赛”；丁说：“戊参加‘诗词’比赛”；戊说：“丁参加‘诗词’比赛”．已知这个人中有人参加“演讲”比赛，有人参加“诗词”比赛，其中有人说的不正确，且参加“演讲”的人中只有人说的不正确．根据以上信息，可以确定参加“演讲”比赛的学生是（） A.甲和乙 B.乙和丙 C.丁和戊 D.甲和丁7. 已知函数，若，则之间的大小关系是( )A. B. C. D.8. 曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 A.B.C.D.9. 已知函数，当时，对于任意的实数，都有不等式成立，则实数的取值范围是（） A. B. C. D.10. 偶函数的大致图象是( ) A.B.C.D.外…………○………………○…………订※※请※※在※※装※※订※※线※※内※※内…………○………………○…………订11. 已知正四棱锥的各条棱长均为，则其外接球的表面积为（）A. B. C. D.12. 已知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为（）A. B.C. D.卷II（非选择题）二、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）13. 设全集，集合，，则________.14. 已知函数的定义域为，且＝，若当时，＝，则＝________15. 设，，且，．则的值为________．16. 过轴上一定点作直线与抛物线交于两点，若，则点的坐标为________．三、解答题（本题共计 7 小题，共计90分）17.(14分) 设常数，函数．（1）若为偶函数，求的值；（2）若，求方程在区间上的解．18.(14分) 某中学为研究学生的身体素质与与课外体育锻炼时间的关系，对该校名高三学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）将学生日均课外体育运动时间在上的学生评价为“课外体育达标”．（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？（2）从上述名学生中，按“课外体育达标”、“课外体育不达标”分层抽样，抽取人得到一个样本，再从这个样本中抽取人，求恰好抽到一名“课外体育不达标”学生的概率．参考公式：，其中．参考数据：19.(14分) 如图，直三棱柱中，＝＝＝，，，分别是，的中点．（1）证明：平面平面；（2）求三棱锥的高．20.(14分) 已知椭圆的离心率为，抛物线＝的准线被椭圆截得的线段长为．（1）求椭圆的方程；（2）如图，点、分别是椭圆的左顶点、左焦点直线与椭圆交于不同的两点、（、都在轴上方）．且＝．证明：直线过定点，并求出该定点的坐标．第3页共22页◎第4页共22页第5页共22页 ◎ 第6页共22页21.(14分) 已知 .若在上单调递增，求的取值范围；若有两个极值点，，证明：① ；② .22.(10分) 在直角坐标系中，直线，圆 .以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 求的极坐标方程.若直线的极坐标方程为，设与的交点为（异于原点），求的面积.23.(10分) 已知函数．（1）若，求不等式的解集；（2）关于的不等式有解，求实数的取值范围．第7页共22页◎第8页共22页参考答案与试题解析高中数学高三（上）入学数学试卷（文科）一、选择题（本题共计 12 小题，每题 5 分，共计60分）1.【答案】C【考点】复数的运算【解析】此题暂无解析【解答】解：,.故选.2.【答案】B【考点】运用诱导公式化简求值同角三角函数间的基本关系【解析】首先利用诱导公式得出的值，然后利用同角三角函数的平方关系，即可得出结论．【解答】解：∵，∴又是第四象限角，∴∴.故选3.【答案】B【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】由＝，解得＝或＝，故“＝”是“＝”必要不充分条件，4.【答案】A【考点】求函数的值函数的求值【解析】由已知得，从而求出，由此能求出的值．【解答】∵满足关系式＝，∴，解得，∴．5.【答案】A【考点】双曲线的离心率【解析】【解答】解：依题意得，直线的方程为．双曲线的渐近线方程分别为，设，．依题意知，点的坐标分别为方程组和的解．解两方程组，得．∵为线段的中点，第9页共22页 ◎ 第10页共22页∴， ∴，化简的，∴．故选．6. 【答案】 D【考点】进行简单的合情推理【解析】分别假设参加“演讲”比赛的学生是甲和乙，乙和丙，丁和戊，甲和丁，分析名学生的话，能确定参加“演讲”比赛的学生．【解答】假设参加“演讲”比赛的学生是甲和乙，由甲、乙、丁、戊四个人说的都正确，丙说的不正确，不合题意；假设参加“演讲”比赛的学生是乙和丙，由甲、丁、戊三个人说的都正确，乙和丙说的不正确，但参加“演讲”的人说得都不正确，不合题意；假设参加“演讲”比赛的学生是丁和戊，由甲、丁、戊三个人说的都错误，乙和丙说的都正确，不合题意；假设参加“演讲”比赛的学生是甲和丁，由甲、丙、戊三个人说的都正确，乙和醒丙说的不正确，且参加“演讲”的人中只有人说的不正确，符合题意．综上，确定参加“演讲”比赛的学生是甲和丁． 7.【答案】 C【考点】对数值大小的比较【解析】此题暂无解析【解答】解：由题得，，由复合函数的单调性可知，为上的减函数，又，，由，得，而，故，结合的单调性，得 . 故选 . 8.【答案】 D【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】由题意易知，点为切点，故根据导数的几何意义，可得切线的方程，从而求出切线与两坐标轴的截距，故切线与两坐标轴围成的三角形的面积可求．【解答】解：由题意易知，点为切点，，，∴ 切线方程为：，∴ 它在两坐标轴的截距分别为，，∴ 与两坐标轴围成的三角形面积．故选． 9.【答案】 D【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】求得的导数，可得的单调性，令，可得的单调性，以及，将原不等式转化，可得恒成立，由正弦函数的值域即可得到所求范围．【解答】函数，导数为，可得时，在上递增，可令，可得在上递增，且，由成立，可得成立，即为，即，可得，第11页共22页◎第12页共22页即有恒成立，由于的最大值为，可得，10.【答案】C【考点】函数的图象【解析】此题暂无解析【解答】解：∵函数，可得，∴是偶函数，其图象关于轴对称，排除，；当时，，当时，，当时，.故选.11.【答案】C【考点】球的体积和表面积【解析】正四棱锥外接球的球心在它的底面的中心，然后根据勾股定理解出球的半径，最后根据球的表面积公式求解即可．【解答】如图，设正四棱锥底面的中心为，则在直角三角形中，，∴，在直角三角形中，，∴正四棱锥的各个顶点到它的底面的中心的距离都为，∴正四棱锥外接球的球心在它的底面的中心，且球半径，球的表面积，12.【答案】D【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】构造函数，利用导数研究函数的单调性，转化不等式即可得到结论．【解答】解：构造函数，则，因为,所以, 故函数在上为减函数，又，所以，则不等式可化为,即,所以,即所求不等式的解集为.故选.二、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）13.【答案】【考点】交、并、补集的混合运算【解析】此题暂无解析【解答】解：，.故答案为：.14.【答案】【考点】求函数的值函数的周期性函数的求值【解析】推导出＝＝，当时，＝，从而＝＝，由此能求出结果．【解答】∵函数的定义域为，且＝，∴＝＝，当时，＝，∴＝＝＝故答案为：15.【答案】【考点】二倍角的三角函数两角和与差的三角函数【解析】第13页共22页 ◎ 第14页共22页由的值，利用二倍角的正切函数公式求出的值大于，确定出的范围，进而与的值，再由的值范围求出的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出的值，所求式子的角＝，利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值．【解答】 ∵， ∴，∴， ∴，，∵， ∴， ∴，则＝＝． 16.【答案】或【考点】抛物线的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：设直线的方程为，，，联立消元得，则．由得，所以或，所以或，即或，则直线的方程为或，故直线过轴上一定点或，即为所求的坐标．故答案为：或．三、解答题（本题共计 7 小题，共计90分） 17. 【答案】解：（1）∵ ， ∴ ， ∵ 为偶函数， ∴ ，∴ ， ∴ ， ∴ ；（2）∵，∴，∴ ，∴， ∵ ，∴， ∴，∴ ，或，， ∴，或，， ∵ ， ∴或或或【考点】两角和与差的三角函数二倍角的三角函数【解析】（1）根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出，（2）先求出的值，再根据三角形函数的性质即可求出．【解答】解：（1）∵ ， ∴ ， ∵ 为偶函数， ∴ ，∴ ， ∴ ， ∴ ；（2）∵，∴， ∴ ，∴，第15页共22页 ◎ 第16页共22页∵ ，∴， ∴，∴ ，或，， ∴，或，， ∵， ∴或或或18.【答案】根据题意，由频率分布表可得：则，顾在犯错误的概率不超过的前提下不能认为“课外体育达标”与性别有关；根据题意，样本中“课外体育不达标”有人，分别记为、、，“课外体育达标”的有人，记为；从名学生中任意选出人，有、、、、、，共种情况，其中恰好抽到一名“课外体育不达标”学生的情况有：、、，共种情况，则恰好抽到一名“课外体育不达标”学生的概率．【考点】独立性检验【解析】（1）根据题意，由由频率分布表可得列联表，计算可得，由独立性检验的意义分析可得答案；（2）根据题意，样本中“课外体育不达标”有人，分别记为、、，“课外体育达标”的有人，记为；列举从名学生中任意选出人以及恰好抽到一名“课外体育不达标”学生的情况，由古典概型的计算公式计算可得答案．【解答】根据题意，由频率分布表可得：则，顾在犯错误的概率不超过的前提下不能认为“课外体育达标”与性别有关；根据题意，样本中“课外体育不达标”有人，分别记为、、，“课外体育达标”的有人，记为；从名学生中任意选出人，有、、、、、，共种情况，其中恰好抽到一名“课外体育不达标”学生的情况有：、、，共种情况，则恰好抽到一名“课外体育不达标”学生的概率． 19. 【答案】由已知得：所以所以＝，所以又因为＝，是的中点，所以所以平面，所以而＝，所以平面又平面，所以平面平面；设三棱锥的高为，因为，所以，由，得：，所以，所以，由，得：，所以＝．【考点】平面与平面垂直点、线、面间的距离计算【解析】（1）由已知得：，，可得，，平面，可得平面平面；（2）设三棱锥的高为，由，得：，＝．【解答】由已知得：所以所以＝，所以又因为＝，是的中点，所以所以平面，所以而＝，所以平面第17页共22页 ◎ 第18页共22页又平面，所以平面平面；设三棱锥的高为，因为，所以，由，得：，所以，所以，由，得：，所以＝． 20.【答案】由题意可知，抛物线的准线方程为＝，又椭圆被准线截得弦长为， ∴ 点在椭圆上，∴，① 又， ∴， ∴ ＝，②，由①②联立，解得＝，＝， ∴ 椭圆的标准方程为：＝，设直线＝，设，，把直线代入椭圆方程，整理可得＝，＝＝，即，∴，，∵，， ∵ 、都在轴上方）．且＝，∴ ＝， ∴，即＝，整理可得＝， ∴＝，即＝，整理可得＝，∴ 直线为＝＝，∴ 直线过定点【考点】椭圆的应用直线与椭圆的位置关系【解析】（1）根据题意可得，＝，解得即可，（2）设直线的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式以及＝；即可求，的关系式，即可求出【解答】由题意可知，抛物线的准线方程为＝，又椭圆被准线截得弦长为， ∴ 点在椭圆上，∴，① 又，∴， ∴ ＝，②，由①②联立，解得＝，＝，∴ 椭圆的标准方程为：＝，设直线＝，设，，把直线代入椭圆方程，整理可得＝，＝＝，即， ∴，，∵，，∵ 、都在轴上方）．且＝， ∴ ＝，∴，即＝，整理可得＝， ∴＝，即＝，整理可得＝，∴ 直线为＝＝， ∴ 直线过定点 21.【答案】解：，第19页共22页◎第20页共22页令，则，显然，在上单调递增，且.所以当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以的最小值为，即的最小值为，要使为单调递增函数，则有，所以，故.证明：①由得的两个零点为，，且.在和上单调递增，在上单调递减.令，则，.所以在上单调递减，当时，.所以，从而，又，所以，因为在上单调递减，，所以，故.②.由①得，所以，由在上单调递减，可得，从而有.所以.【考点】利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】解：，令，则，显然，在上单调递增，且.所以当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以的最小值为，即的最小值为，要使为单调递增函数，则有，所以，故.证明：①由得的两个零点为，，且.在和上单调递增，在上单调递减.令，则，.所以在上单调递减，当时，.所以，从而，又，所以，因为在上单调递减，，所以，故.②.由①得，所以，由在上单调递减，可得，从而有.所以.22.【答案】解：因为，所以的极坐标方程为，所以的极坐标方程为.第21页共22页 ◎ 第22页共22页因为直线的极坐标方程为，所以，所以，点到直线的距离，所以. 【考点】圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化点到直线的距离公式【解析】此题暂无解析【解答】解：因为，所以的极坐标方程为，所以的极坐标方程为 . 因为直线的极坐标方程为，所以，所以，点到直线的距离，所以. 23.【答案】当时，原不等式等价于：．—————————-当时，，解得：当时，，无解—————————-当时，，解得：∴ 原不等式的解集为：或令，依题意：∵ ，∴∴ ，解得或故：的取值范围为【考点】绝对值不等式的解法与证明【解析】（1）通过讨论的范围，求出不等式的解集即可；（2）令，依题意：，求出的范围即可．【解答】当时，原不等式等价于：．—————————-当时，，解得：当时，，无解—————————-当时，，解得：∴ 原不等式的解集为：或令，依题意：∵ ，∴∴ ，解得或故：的取值范围为。

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港澳台2017届高三数学上学期入学考试试题
一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

请将答案填在题后括号内。

1.若一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比为（） A ．
ππ221+ B ．π
π
41+ C ．
π
π
21+ D ．
π
π
21+ 2. 若0a b >>，则下列不等式不成立．．．
的是（） A ．11
a b < B ．||||a b > C ．ab b a 2>+ D ．b
a ⎪
⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛2121
3。

已知函数()()()2
4606
0x x x f x x x ⎧-+≥⎪=⎨+<⎪⎩，则满足()()1f x f >的x 取值范围是（）
A.()()3 13 -+∞，，
B. ()()3 12 -+∞，，
C. ()
()1 13 -+∞，，
D. ()() 31 3-∞-，， 4．圆020422
2
=-+-+y x y x 截直线0125=+-c y x 所得弦长为8，则C 的值为（） A 10 B -68 C 12 D 10或-68
5．已知ΔABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →
成立，则m ＝( ) A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
6．如果方程x 2
－4ax +3a 2
=0的一根小于1，另一根大于1，那么实数a 的取值范围是（） A 1
13
a << B 1a >
C 1
3
a < D 1a =
7．将x y cos =的图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的一半，然后再将图象沿x 轴负方向平移4
π
个单位，则所得图象的解析式为（）
（A ）x y sin = （B ）x y 2sin -= （C ）cos 24y x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
（D ）cos 24x y π⎛⎫=+
⎪⎝⎭
8．数列a n ＝
1n (n ＋1)，其前n 项之和为9
10
，则在平面直角坐标系中，直线(n ＋1)x ＋y ＋n ＝0在y 轴上的截距为 ( )
A ．－10
B ．－9
C ．10
D ．9 9.若==+
θθ
θ2sin ,4tan 1tan 则( ) 21
.31.41.51.D C B A 10. 直线与两条直线1=y ，07=--y x 分别交于P 、Q 两点。

线段PQ 的中点坐标为)1,1(-，那么直线的斜率
是（） A.
32 B. 2
3 C. 32- D. 23-
11. 设函数f (x )＝x m
-ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则m a ⋅的值为（）
A.1
B.2
C.3
D.-2
12. 已知点M 是抛物线y 2
＝2px (p >0)上的一点，F 为抛物线的焦点，若以|MF |为直径作圆，则这个圆与y 轴的关系是( )
A ．相交
B ．相切
C ．相离
D ．以上三种情形都有可能
二、填空题：本大题共6小题；每题5分。

将答案填在题中横线上。

13. 把4名中学生分别推荐到3所不同的大学去学习，每个大学至少收一名，全部分完，不同的分配方案数为_________ 14．甲、乙两人下棋，两人和棋的概率是12，乙获胜的概率是1
3
，则乙不输的概率是
15. 点P 是双曲线112
42
2=-y x 上任意一点，则P 到二渐近线距离的乘积是
16.已知BC CD y x BC AB 且),3,2(),,(),1,6(--===∥DA ，则x+2y 的值为 17.用x x +2除34335-++x x x 得到的余式为
18.在空间直角坐标系O xyz -中，经过点(2,1,1)P 且与直线310,
32210x y z x y z -++=⎧⎨--+=⎩
垂直的平面方程为
____________________．
三、解答题：本大题共4小题；每小题15分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

19．已知：1
tan 3
α=-
，5cos 5β=，α，()0βπ∈，．
（1）求()tan αβ+的值；（2）求函数()()()2sin cos f x x x αβ=-++的最值。

20．已知函数)0(2
1)(>+-
=x x
a x f （1）判断)(x f 在),0(+∞上的增减性，并证明你的结论（2）解关于x 的不等式0)(>x f 21．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2，0），右顶点为)0,3(
(1)求双曲线C 的方程 (2)若直线2:+=kx y l 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2OA OB ⋅>（其中O 为原点）求 K 的取值范围.
22．设二次方程()
2*110n n a x a x n N +-+=∈有两根α和β，且满足6263ααββ-+=．（1）试用n a 表示1+n a ；（2）求证：23n a ⎧
⎫-⎨⎬⎩⎭
是等比数列；（3）当6
7
1=
a 时，求数列{}n a 的通项公式．
答案：ADADB --ABBDC-- DB 13题.36 14题.
6
5
15题.3 16题.0 17题.8X-3 18题.8x+5y+7z-28=0 19（1）1 （2）最大值5，最小值5- 20（1）减函数（2）
)
2,0(0),0(0a x a x a ∈>+∞∈<时，时，
21（1）
1322=-y x （2）)1,33()33,1( --∈k 22（1）31
211+=
+n n a a (2) (3)3
2
)21(+=n n a。