有限元方法ppt-02.

2.2节点力与节点位移之间的关系— —单元刚度矩阵
单元节点的单位位移与单元节点力的关系 单元节点的位移与单元节点力的关系 单元刚度矩阵
2.2节点力与节点位移之间的关系— —单元刚度矩阵
F1 u1
1 1
u1=1 1
l x
a
对于单元a
F2
u2来自百度文库

F1 F2


Ka

N6
N4
∑FX=0 ∑FY=0
3 建立节点 4 的平衡方程——求杆件内力N
2.1有限元法基本思路
一个节点处的未知力的数目，往往多于一个节点 所能建立的平衡方程的数目。
节点的位移数目，恰好等于该节点能够建立的平 衡方程的数目。
只要将单元节点力用节点位移表示，无论有多少 个未知力，都可以通过建立以节点位移表示的节 点力平衡方程求出。
12E l3
I
6EI

l2
6EI
l2 4EI
l 6EI l2 2EI
l
12EI l3 6EI
l2 12EI
l3 6EI
l2
6EI
l2 2EI

l

6E l2
I

4EI

l
材料力学超静定01
超静定系统：支反力或内力不能单凭静力 平衡方程式求解的结构系统。
多余约束：多于维持结构的几何不变性所 需的支座或杆件或自由度。
p
A
B
L
Ubx=0, Uby=0, θbz=0 超静定梁,B端三次超静定。Fbx≠0, Fby≠0, Mbz≠0
材料力学超静定02
解超静定系统的一般原则： 1)解除超静定系统中的多余约束，得到静定 的基本系统。与多余约束相对应的未知力 称为多余未知力。
K 22 K32 K 42
K 23 K33 K 43
K 24 K34 K 44


v21 2

12EI
v1 当v21
2


1 K11 00，KK1123 0 K14
uu12



K11 K 21
K12 K 22


uu12

2
即FF12

K11u1 K 21u1
K12u2 K22u2
2
令uu12


10,
那么KK1211


FF12

建立单元节点力与单元节点位移之间的关系—— 单元方程。
2.2节点力与节点位移之间的关系— —单元刚度矩阵
在结构力学中，直接应用材料力学公式和结构力 学公式来建立结构的单元刚度矩阵和力向量。也 称为直接公式法。
涉及的力学原理有： 1)线性叠加原理； 2)杆与梁的拉伸、扭转和弯曲公式； 3)超静定结构的刚度法或柔度法； 4)力系平衡。

u1EA

l u1E
A；
l
2
令uu12


10,
那么KK
21 22



F1 F2


uu2 2ElEAA。
l
u2=1
EA
K
a


l EA
l
EEAlA l
A
B
L
超静定梁的基本系统：解除的多余约束 Ubx, Uby, θbz 对应的多余未知力Fbx, Fby Mbz
材料力学超静定03
2)将原系统上的载荷以及多余未知力加在基 本系统上，称为相当系统。
p
Fy
A
B
Mz Fx
超静定梁的相当系统
材料力学超静定04
3)要使相当系统能够代替原来系统，则两 者在变形情况上应完全一致。即，相当系 统在多余未知力作用处的位移能够满足一 定条件——符合原系统在多余约束处的变 形谐调条件。
有限元的直接法
2.1有限元法的基本思路 2.2直接法
单元节点单位位移与节点力的关系 材料力学超静定 柔度法——力法 刚度法——位移法 单元刚度矩阵、系统总刚度矩阵
2.1有限元法基本思路
1区域的离散 2插值多项式 3单元刚度矩阵和力向量# 4系统方程的建立# 5引入边界条件# 6有限元方程的求解 7单元数据的处理
2.1有限元法基本思路
单元划分原则: 两个节点之间的杆件构成一个单元 杆件的交点 杆件截面变化处 支承点、自由端 集中载荷作用处 欲求位移处
2.1有限元法基本思路
p
p
3
2
4
24
6
3
5
1
1
5
p
p
p
绗架的力学计算简图——移置载荷
2.1有限元法基本思路
p
4 N3
UY UX
N2
Ux=0, Uy=0, θz=0
材料力学超静定05
线性叠加原理： p
A
=
p
+
Ubx=0,
+
Uby=0,
θbz=0
+
Fy B
Mz Fx
Fx
Fy
Mz
材料力学超静定06
柔度法——力法
D1=D1P+ δ11F1 + δ12 F2+ δ13 F3+… +δ1nFn
Dn=DnP+ δn1F1 + δn2 F2+ δn3 F3+… +δnnFn
柔度方程与矩阵
D1
δ11δ12δ13δ14δ15…δ1n F1 D1P
D2
δ21
F2 D2P
=
+
Dn
δn1
δnn Fn DnP
柔度法——力法
对于n次超静定结构，解除n个约束条件； 选择对应的n个未知力F1,F2,,,Fn； 将实际载荷作用在基本系统上，得到相应于n个未知力处
的n个位移D1P,D2P,…,DnP。 将n个未知力的单位值分别作用在基本系统上。由每个单
2.2节点力与节点位移之间的关系— —单元刚度矩阵
v1
Q1
l
M1
θ1 1
a
2
M2
v2 θ2
Q2
Q1
v1 K11 K12 K13 K14 v1

M1 Q2
M 2


K
a

v21 2


K 21 KK3411


Q1

M1 Q2
M 2



l3 6EI
l2 12EI
l3 6EI
；
l 2
并依次令仅其他位移为单位1，可以求得：
12EI

l3 6EI
Ka

l2

位力，确定相应于所有n个未知力处的n个柔度δij。 柔度δij：定义为由于Fj处力的单位值所引起相应于Fi力处 的位移。 实际位移D1,D2,…,Dn等于载荷产生的位移与未知力产生的 位移之和。（位移的协调方程）