狼追击兔子问题

狼追击兔子问题

已知条件：兔子位于兔子窝正南方60米处，狼位于兔子正东方80米处，狼的速度是兔子速度的二倍。狼发现兔子时兔子也发现狼，这时二者一起起跑，并且狼始终盯着兔子跑。

问题：狼是否能追击到兔子？

在分析问题时我们先对理想条件进行判断，狼足够聪明以至于直接就看到了兔子窝，所以狼只需要直接跑直线就可以了，设兔子的速度为u ，那么狼的速度为u 2，狼距离兔子窝为1008060d 22=+=米，那么浪跑到兔子窝的时间为u /60u 2/100u 2/d t ?==，由此可知狼先于兔子跑到窝边，狼只需要守窝待兔就可以吃到兔子。

但是在现实的大自然中，我们都知道兔子不吃窝边草因此狼在机智也不可能直接发现兔子窝，兔子窝通常有两个入口，两个入口距离10米左右。

我们现在对其进行实际分析需作如下假设

（1）兔子与狼速度恒定即兔子速度为1v ，狼的速度为2v ，并且21v v 2=。

（2）离兔子最近的窝的入口位于兔子正北60米。

（3）兔子再回窝的过程中始终沿直线运动。

建立二维坐标系，取兔子初始时刻的位置上为坐标原点（0,0），兔子窝坐标为（0,60），狼的坐标为（80,0）；那么兔子的坐标位置与时间的关系为（0，t v 1）；设狼的坐标位置为（x,y ）. 由于狼始终盯着兔子跑，那么狼运动轨迹的切向方程为

）（x dx

dy y -=-X Y ……（1）（（X,Y ）为切线上的点） 那么兔子的坐标一定在切向方程上将（0，t v 1）带入（1）得到

dx

dy -x y -t v 1= ……（2） 狼的速度在水平方向的分量为

dt

dx v =- ……（3） 狼速度在垂直方向的分量为 dt dy v =

⊥ ……（4） 由速度合成与分解得

222dt

dx dt dy v ）（）（+= ……（5） 将（2）式两边同时关于t 求导得

）（x *dt

dx *dx y d v 221-= (6)

由（5）知2

222v }dt dx dt dy

{1dt dx =+）（）（则22dx

dy 1v -dt dx ）（+=将此式带入（6）中得到 2/dx

dy 1x *dx y d 222））（（）（+=……（7） 编写MATLAB 程序

>> y=dsolve('x*D2y-sqrt(1+Dy^2)/2','y(80)=0','Dy(80)=0','x')

得到方程y =

(8*5^(1/2)*80^(1/2))/3 + (4*5^(1/2)*x^(1/2)*(x/80 - 3))/3

- (8*5^(1/2)*80^(1/2))/3 - (4*5^(1/2)*x^(1/2)*(x/80 - 3))/3

进行取舍得到狼的运动轨迹方程为

3

160)380)(*5(*34y +-=x x sqrt 得到函数图像

clear all ;

clc;

x=80:-1:0

y = 160/3 + 4*sqrt(5*x).*(x/80 - 3)/3

plot(0,y,'y',x,y,'r');

title('狼的追击曲线')

运行得

狼的追击曲线

根据已知条件知兔子的窝在（0,60）处，然而兔子在（53.333,0）处已经被狼捕获，所以我们知道兔子有一次被吃掉了，这就是血淋林的事实。

通过这个模型其实还可以引申出好多其他的追击问题，如导弹轨迹方程等。但是此模型仍有许多因素是难以确定的并且没有考虑的，也是在一定的优化条件的基础上，现实的大自然中猎物与猎手始终是在相互进化的，不同的狼拥有不同的捕猎技巧，很难通过一个固定的模型来说明，但在可以很大程度地符合曲线。