沪科版-数学-九年级上册-九年级第22章二次函数单元测试题及答案
沪科版九年级(上) 中考题单元试卷：第22章 二次函数与反比例函数(33)
沪科版九年级（上）中考题单元试卷：第22章二次函数与反比例函数（33）一、选择题（共1小题）1．某种正方形合金板材的成本y（元）与它的面积成正比，设边长为x厘米．当x＝3时，y＝18，那么当成本为72元时，边长为（）A．6厘米B．12厘米C．24厘米D．36厘米二、填空题（共3小题）2．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为米．3．如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y＝﹣（x﹣6）2+4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是．4．科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部分数据如表：温度t/℃﹣4﹣2014植物高度增长量l/mm4149494625科学家经过猜想、推测出l与t之间是二次函数关系．由此可以推测最适合这种植物生长的温度为℃．三、解答题（共26小题）5．某超市经销一种绿茶，每千克成本为60元，经过市场调查发现，在一段时间内，该种绿茶的销售量y（千克）与销售价x（元）满足一次函数关系，其变化与下表所示．销售单价x（元）65707580销售量y（千克）1101009080（1）求y与x的函数解析式；（2）当销售单价为多少元时，该绿茶的销售利润最大？（3）如果物价部门规定这种绿茶每千克销售单价不高于95元，若超市计划在这段时间内获得高种绿茶的销售利润为1600元，其销售单价应定为多少？6．某商店经销甲、乙两种商品，现有如下信息：请根据以上信息，解答下列问题：（1）甲、乙两种商品的进货单价各是多少元？（2）该商店平均每天卖出甲商品500件，乙商品200件．经调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别每涨0.5元，这两种商品每天各少销售50件．为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都涨n元，在不考虑其它因素的条件下，当甲、乙两种商品的零售单价分别定为多少元时，才能使商店每天销售这两种商品获取的利润最大？每天的最大利润是多少元？7．巴西世界杯足球赛期间，某商店购进一批单价为30元的纪念品，如果按每件40元出售，那么每天可销售100件．经市场调研发现，纪念品的销售单价每上涨1元，其销售量每天相应减少5件，如果每件纪念品的利润不超过40%，设纪念品的销售单价上涨x元，每天销售量为y件．（1）直接写出y与x之间的函数关系式．（2）将纪念品销售单价定为多少，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？8．小明家今年种植的草莓喜获丰收，采摘上市20天全部销售完，爸爸让他对今年的销售情况进行跟踪记录，小明利用所学的数学知识将记录情况绘成图象（所得图象均为线段），日销售量y（单位：千克）与上市时间x（单位：天）的函数关系如图1所示，草莓的价格w（单位：元/千克）与上市时间x（单位：天）的函数关系如图2所示．（1）观察图象，直接写出当0≤x≤11时，日销售量y与上市时间x之间的函数解析式为；当11≤x≤20时，日销售量y与上市时间x之间的函数解析式为．（2）试求出第11天的销售金额；（3）若上市第15天时，爸爸把当天能销售的草莓批发给了邻居马叔叔，批发价为每千克15元，马叔叔到市场按照当日的价格w元/千克将批发来的草莓全部销售完，他在销售的过程中，草莓总质量损耗了2%．那么，马叔叔支付完来回车费20元后，当天能赚到多少元？9．网络购物越来越方便快捷，远方的朋友通过网购就可以迅速品尝到茂名的新鲜荔枝，同时也增加了种植户的收入，种植户老张去年将全部荔枝按批发价卖给水果商，收入6万元，今年的荔枝产量比去年增加2000千克，计划全部采用互联网销售，网上销售比去年的批发价高50%，若按此价格售完，今年的收入将达到10.8万元．（1）去年的批发价和今年网上售价分别是多少？（2）若今年老张按（1）中的网上售价销售，则每天的销量相同，20天恰好可将荔枝售完，经调查发现，当网上售价每上升0.1元/千克，每日销量将减少5千克，将网上售价定为多少，才能使日销量收入最大？10．某小商场以每件20元的价格购进一种服装，先试销一周，试销期间每天的销量（件）与每件的销售价x（元/件）如下表：x（元/件）38363432302826t（件）481216202428假定试销中每天的销售量t（件）与销售价x（元/件）之间满足一次函数．（1）试求t与x之间的函数关系式；（2）在商品不积压且不考虑其它因素的条件下，每件服装的销售定价为多少时，该小商场销售这种服装每天获得的毛利润最大？每天的最大毛利润是多少？（注：每件服装销售的毛利润＝每件服装的销售价﹣每件服装的进货价）11．在机器调试过程中，生产甲、乙两种产品的效率分别为y1、y2（单位：件/时），y1、y2与工作时间x（小时）之间大致满足如图所示的函数关系，y1的图象为折线OABC，y2的图象是过O、B、C三点的抛物线一部分．（1）根据图象回答：•调试过程中，生产乙的效率高于甲的效率的时间x（小时）的取值范围是； 说明线段AB的实际意义是．（2）求出调试过程中，当6≤x≤8时，生产甲种产品的效率y1（件/时）与工作时间x （小时）之间的函数关系式．（3）调试结束后，一台机器先以图中甲的最大效率生产甲产品m小时，再以图中乙的最大效率生产乙产品，两种产品共生产6小时，求甲、乙两种产品的生产总量Z（件）与生产甲所用时间m（小时）之间的函数关系式．12．某商店经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如下表：时间x（天）1≤x＜5050≤x≤90售价（元/件）x+4090每天销量（件）200﹣2x已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．（1）求出y与x的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？13．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m 长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝xm．（1）若花园的面积为192m2，求x的值；（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值．14．实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似地用二次函数y＝﹣200x2+400x刻画；1.5小时后（包括1.5小时）y与x可近似地用反比例函数y＝（k＞0）刻画（如图所示）．（1）根据上述数学模型计算：①喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值？最大值为多少？②当x＝5时，y＝45，求k的值．（2）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由．15．某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次（最低档次）的产品一天能生产95件，每件利润6元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．（1）若生产第x档次的产品一天的总利润为y元（其中x为正整数，且1≤x≤10），求出y关于x的函数关系式；（2）若生产第x档次的产品一天的总利润为1120元，求该产品的质量档次．16．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本＝每件的成本×每天的销售量）17．某研究所将某种材料加热到1000℃时停止加热，并立即将材料分为A、B两组，采用不同工艺做降温对比实验，设降温开始后经过xmin时，A、B两组材料的温度分别为y A℃、y B℃，y A、y B与x的函数关系式分别为y A＝kx+b，y B＝（x﹣60）2+m（部分图象如图所示），当x＝40时，两组材料的温度相同．（1）分别求y A、y B关于x的函数关系式；（2）当A组材料的温度降至120℃时，B组材料的温度是多少？（3）在0＜x＜40的什么时刻，两组材料温差最大？18．某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间满足关系：y＝ax2+bx﹣75．其图象如图所示．（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元？（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？19．某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共20台，空调的采购单价y1（元/台）与采购数量x1（台）满足y1＝﹣20x1+1500（0＜x1≤20，x1为整数）；冰箱的采购单价y2（元/台）与采购数量x2（台）满足y2＝﹣10x2+1300（0＜x2≤20，x2为整数）．（1）经商家与厂家协商，采购空调的数量不少于冰箱数量的，且空调采购单价不低于1200元，问该商家共有几种进货方案？（2）该商家分别以1760元/台和1700元/台的销售单价售出空调和冰箱，且全部售完．在（1）的条件下，问采购空调多少台时总利润最大？并求最大利润．20．某蔬菜经销商去蔬菜生产基地批发某种蔬菜，已知这种蔬菜的批发量在20千克～60千克之间（含20千克和60千克）时，每千克批发价是5元；若超过60千克时，批发的这种蔬菜全部打八折，但批发总金额不得少于300元．（1）根据题意，填写如表：蔬菜的批发量（千克）…25607590…所付的金额（元）…125300…（2）经调查，该蔬菜经销商销售该种蔬菜的日销售量y（千克）与零售价x（元/千克）是一次函数关系，其图象如图，求出y与x之间的函数关系式；（3）若该蔬菜经销商每日销售此种蔬菜不低于75千克，且当日零售价不变，那么零售价定为多少时，该经销商销售此种蔬菜的当日利润最大？最大利润为多少元？21．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按拟定的价格进行试销，通过对5天的试销情况进行统计，得到如下数据：单价（元/件）3034384042销量（件）4032242016（1）计算这5天销售额的平均数（销售额＝单价×销量）；（2）通过对上面表格中的数据进行分析，发现销量y（件）与单价x（元/件）之间存在一次函数关系，求y关于x的函数关系式（不需要写出函数自变量的取值范围）；（3）预计在今后的销售中，销量与单价仍然存在（2）中的关系，且该产品的成本是20元/件．为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少？22．甲经销商库存有1200千克A药材，每千克进价400元，每千克售价500元，一年内可卖完，现市场流行B药材，每千克进价300元，每千克售价600元，但一年内只允许经销商一次性订购B药材，一年内B药材销售无积压，因甲经销商无流动资金可用，只有低价转让A药材，用转让来的资金购进B药材，并销售，经与乙经销商协商，甲、乙双方达成转让协议，转让价格y（元/千克）与转让数量x（千克）之间的函数关系式为y＝﹣x+360（100≤x≤1200），若甲经销商转让x千克A药材，一年内所获总利润为W（元）．（1）求转让后剩余的A药材的销售款Q1（元）与x（千克）之间的函数关系式；（2）求B药材的销售款Q2（元）与x（千克）之间的函数关系式；（3）求W（元）与x（千克）之间的函数关系式，并求W的最大值．23．某店因为经营不善欠下38400元的无息贷款的债务，想转行经营服装专卖店又缺少资金．“中国梦想秀”栏目组决定借给该店30000元资金，并约定利用经营的利润偿还债务（所有债务均不计利息）．已知该店代理的品牌服装的进价为每件40元，该品牌服装日销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的关系可用图中的一条折线（实线）来表示．该店应支付员工的工资为每人每天82元，每天还应支付其它费用为106元（不包含债务）．（1）求日销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系式；（2）若该店暂不考虑偿还债务，当某天的销售价为48元/件时，当天正好收支平衡（收人＝支出），求该店员工的人数；（3）若该店只有2名员工，则该店最早需要多少天能还清所有债务，此时每件服装的价格应定为多少元？24．我国中东部地区雾霾天气趋于严重，环境治理已刻不容缓．我市某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种家用空气净化器，其进价是200元/台．经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低10元，就可多售出50台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务．（1）试确定月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式；（2）求售价x的范围；（3）当售价x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？25．受国内外复杂多变的经济环境影响，去年1至7月，原材料价格一路攀升，义乌市某服装厂每件衣服原材料的成本y1（元）与月份x（1≤x≤7，且x为整数）之间的函数关系如下表：8至12月，随着经济环境的好转，原材料价格的涨势趋缓，每件原材料成本y2（元）与月份x的函数关系式为y2＝x+62（8≤x≤12，且x为整数）．（1）请观察表格中的数据，用学过的函数相关知识求y1与x的函数关系式．（2）若去年该衣服每件的出厂价为100元，生产每件衣服的其他成本为8元，该衣服在1至7月的销售量p1（万件）与月份x满足关系式p1＝0.1x+1.1（1≤x≤7，且x为整数）；8至12月的销售量p2（万件）与月份x满足关系式p2＝﹣0.1x+3（8≤x≤12，且x为整数），该厂去年哪个月利润最大？并求出最大利润．26．我国中东部地区雾霾天气趋于严重，环境治理已刻不容缓．我市某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种家用空气净化器，其进价是200元/台．经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低10元，就可多售出50台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务．（1）试确定月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式；并求出自变量x的取值范围；（2）当售价x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？27．某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，这种水果每千克售价y1（元）与销售时间第x月之间存在如图1（一条线段）的变化趋势，每千克成本y2（元）与销售时间第x月满足函数关系式y2＝mx2﹣8mx+n，其变化趋势如图2所示．（1）求y2的解析式；（2）第几月销售这种水果，每千克所获得利润最大？最大利润是多少？28．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从点O正上方2米的点A处发出把球看成点，其运行的高度y（米）与运行的水平距离x（米）满足关系式y＝a（x﹣6）2+h，已知球网与点O的水平距离为9米，高度为2.43米，球场的边界距点O的水平距离为18米．（1）当h＝2.6时，求y与x的函数关系式．（2）当h＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由．（3）若球一定能越过球网，又不出边界．则h的取值范围是多少？29．一个批发商销售成本为20元/千克的某产品，根据物价部门规定：该产品每千克售价不得超过90元，在销售过程中发现的售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数关系，对应关系如下表：…50607080…售价x（元/千克）销售量y（千…100908070…克）（1）求y与x的函数关系式；（2）该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为多少元？（3）该产品每千克售价为多少元时，批发商获得的利润w（元）最大？此时的最大利润为多少元？30．阅读与应用：阅读1：a、b为实数，且a＞0，b＞0，因为（﹣）2≥0，所以a﹣2+b≥0从而a+b≥2（当a＝b时取等号）．阅读2：若函数y＝x+；（m＞0，x＞0，m为常数），由阅读1结论可知：x+≥2，所以当x＝，即x＝时，函数y＝x+的最小值为2．阅读理解上述内容，解答下列问题：问题1：已知一个矩形的面积为4，其中一边长为x，则另一边长为，周长为2（x+），求当x＝时，周长的最小值为；问题2：已知函数y1＝x+1（x＞﹣1）与函数y2＝x2+2x+10（x＞﹣1），当x＝时，的最小值为；问题3：某民办学校每天的支出总费用包含以下三个部分：一是教职工工资4900元；二是学生生活费成本每人10元；三是其他费用．其中，其他费用与学生人数的平方成正比，比例系数为0.01．当学校学生人数为多少时，该校每天生均投入最低？最低费用是多少元？（生均投入＝支出总费用÷学生人数）沪科版九年级（上）中考题单元试卷：第22章二次函数与反比例函数（33）参考答案一、选择题（共1小题）1．A；二、填空题（共3小题）2．；3．y＝﹣（x+6）2+4；4．﹣1；三、解答题（共26小题）5．；6．；7．；8．y＝x；y＝﹣10x+200；9．；10．；11．2＜x＜8且x≠6；从第一小时到第六小时甲的工作效率是3件/时；12．；13．；14．；15．；16．；17．；18．；19．；20．300；360；21．；22．；23．；24．；25．；26．；27．；28．；29．；30．2；8；2；6；。
沪科版 九年级上册 数学第21 22章测试卷(word版)
学校 姓名 成绩九年级数学第21 22章测试卷（本卷共八大题23小题，考试时间120分钟，满分150分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．若x∶y ＝1∶3，2y ＝3z ，则 2x ＋yz －y 的值是（ ）A ．－5B ．－10 3 C ． 103D ．5 2．若二次函数y ＝x 2＋4x －1配方后为y ＝(x ＋h )2＋k ，则h 、k 的值分别为（ ） A ．2，5 B ．4，－5 C ．2，－5 D ．－2，－5 3．二次函数y ＝x 2＋2x －5有（ ）A ．最大值－5B ．最小值－5C ．最大值－6D ．最小值－6 4．如图，已知点C 是线段AB 的黄金分割点，且BC ＞AC ．若S 1表示以BC 为边的正方形面积，S 2表示长为AB 、宽为AC 的矩形面积，则S 1与S 2的大小关系为（ ） A ．S 1＞S 2 B ．S 1＝S 2 C ．S 1＜S 2 D ．不能确定 5．如图，已知直线y ＝－2x ＋4与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，C 为OB 上一点，且∠1＝∠2，则S △ABC ＝（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．如图，在△ABC 中，A 、B 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是(－1，0)．以点C 为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形△A 1B 1C ，并把△ABC 的边长放大到原来的2倍．设点B 的对应点B 1的横坐标是a ，则点B 的横坐标是（ ）A ．－ 1 2(a －1)B ．－ 1 2aC ．－ 1 2(a ＋1)D ．－ 12(a ＋3)7．若当x ＞1时二次函数y ＝－x 2＋2bx ＋c 的值随x 值的增大而减小，则b 的取值范围是（ ） A ．b ≥－1 B ．b ≤－1 C ．b ≥1 D ．b ≤18．如图，AB ＝4，射线BM 和AB 互相垂直，点D 是AB 上的一个动点，点E 在射线BM 上，BD ＝2BE ，作EF ⊥DE 并截取EF ＝DE ，连接AF 并延长交射线BM 于点C ．设BE ＝x ，BC ＝y ，则y 关于x 的函数解析式是（ ）A ．y ＝－ 12x x －4B ．y ＝－ 2x x －1C ．y ＝－ 3x x －1D ．y ＝－ 8xx －49．如图，正方形ABCD 的顶点B 、C 在x 轴的正半轴上，反比例函数y ＝ kx (k ＞0，x ＞0)的图象过点A (m ，2)和CD 边上的点E (n ， 23)，过点E 的直线l 交x 轴于点F ，交y 轴于点G (0，－2)，则点F 的坐标是（ ）A ．( 5 4，0)B ．( 7 4，0)C ．( 9 4，0)D ．( 114，0)第9题图GOyB F CADExABCDEF PBEC MFDA 第8题图第10题图y B12AC OxCA yx BA 1B 1 O CABS 2 S 1第4题图第5题图第6题图10．如图，点P 是菱形ABCD 的对角线AC 上的一个动点，过点P 垂直于AC 的直线交菱形ABCD的边于E 、F 两点．设AC ＝2，BD ＝1，AP ＝x ，△AEF 的面积为y ，则y 关于x 的函数图象大致形状是（ ）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．如图，AB ∥DE ，若AC =4，BC =2，DC =1，则EC =____________．12．若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点(－3，0)且对称轴是直线x ＝－1，则a ＋b ＋c＝ ．13．如图，一次函数y 1＝ax ＋b 与反比例函数y 2＝ kx的图象交于A (1，4)、B (4，1)两点．若使y 1＞y 2，则x 的取值范围是 ．14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：y ＝－x －1，双曲线y ＝ 1x．在l 上取点A 1，过点A 1作x 轴的垂线交双曲线于点B 1，过点B 1作y 轴的垂线交l 于点A 2，请继续操作并探究：过点A 2作x 轴的垂线交双曲线于点B 2，过点B 2作y 轴的垂线交l 于点A 3，…，这样依次得到l 上的点A 1，A 2，A 3，…，A n ，…．记点A n 的横坐标为a n ，若a 1＝2，则a 2014＝ ．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC (注：网格线的交点称为格点)．(1)将△ABC 向上平移3个单位得到△A 1B 1C 1，请画出△A 1B 1C 1；(2)请画出一个格点△A 2B 2C 2，使△A 2B 2C 2∽△ABC ，且相似比不为1．16．已知反比例函数y ＝ kx的图象与二次函数y ＝ax 2＋x －1的图象相交于点(2，2)．(1)求a 和k 的值；OOOOxx x x y y y y 1 2 1 2 1 2 1 2 A ．B ．C ．D ． y第14题图第13题图xOABOyA 1B 1A 2l xAB C第15题图(2)判断反比例函数的图象是否经过二次函数图象的顶点并说明理由．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．如图，抛物线y ＝－x 2＋2x ＋c与x 轴交于点A (－1，0)、B ，对称轴与x 轴交于点D ，过顶点C 作CE ⊥y 轴于点E ，连接BE 交CD 于点F ． (1)求该抛物线的解析式及顶点C 的坐标；(2)求△CEF 与△DBF 的面积之比．18．如图，在□ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且EF ∥BD ，AE 、AF 分别交BD于点G 和点H ．已知BD ＝12，EF ＝8，求：(1)DFAB的值；(2)线段GH 的长．ABC DEF第17题图y x第18题图ABC D E F GH五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．反比例函数y＝kx 在第一象限的图象如图所示，过点A(1，0)作x轴的垂线，交反比例函数y＝kx的图象于点M，△AOM的面积为3．(1)求反比例函数的解析式；(2)设点B的坐标为(t，0)，其中t＞1．若以AB为一边的正方形有一个顶点在反比例函数y＝kx的图象上，求t的值．20．某商店经过市场调查，整理出某种商品在第x(1≤x≤90)天的售价与销量的相关信息如下表：时间x(天)1≤x＜50 50≤x≤90售价(元/件)x＋40 90每天销量(件)200－2x已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．(1)求出y与x的函数关系式；(2)问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？AO xMy第19题图y /℃1000六、（本题满分12分)21．（12分）如图，△ABC 和△CEF 均为等腰直角三角形，E 在△ABC 内，∠CAE +∠CBE=90°，连接BF ．（1）求证：△CAE ∽△CBF ． （2）若BE=1，AE=2，求CE 的长．七、（本题满分12分）22．某研究所将一种材料加热到1000℃时停止加热，并立即将材料分为A 、B 两组，采用不同工艺做降温对比实验，设降温开始后经过x min 时，A 、B 两组材料的温度分别为y A ℃、y B ℃，y A 、y B 与x 的函数关系式分别为y A ＝kx ＋b 、y B ＝ 14(x －60)2＋m (部分图象如图所示)，当x ＝40时，两组材料的温度相同．(1)分别求y A 、y B 关于x 的函数关系式；(2)当A 组材料的温度降至120℃时，B 组材料的温度是多少？ (3)在0＜x ＜40的什么时刻，两组材料温差最大？八、（本题满分14分）23．（14分）（2016•南宁）如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y=x ﹣2交于B，C两点．（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）求证：△ABC是直角三角形；（3）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．1～5：ACDBC 6～10：DDACC11.2 12．0 13．x＜0或1＜x＜4 14．215．解：如图(注：相似三角形的画法不唯一)．…每画对一个得4分．16．解：(1)∵函数y＝ax2＋x－1与y＝kx的图象交于点(2，2)，∴2＝4a＋2－1，2＝k2．∴a＝14，k＝4．………3分(2)反比例函数的图象经过二次函数图象的顶点．………4分由(1)知，二次函数和反比例函数分别是y＝14x2＋x－1和y＝4x．∵y＝14x2＋x－1＝14(x＋2)2－2，∴二次函数图象的顶点是(－2，－2)．………6分在反比例函数中，当x＝－2时，y＝4－2＝－2，∴反比例函数的图象过二次函数图象的顶点．………8分17．解：(1)根据题意，得－(－1)2＋2×(－1)＋c＝0，即c＝3．∴y＝－x2＋2x＋3．∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴顶点C(1，4)．………4分(2)∵A(－1，0），抛物线的对称轴为直线x＝1，∴点B(3，0)．∴CE＝1，BD＝2．∵CE∥BD，∴△CEF∽△BDF．∴S△CEF∶S△BDF＝(CE∶BD)2＝(1∶2)2＝1∶4．………8分18．解：(1)∵EF∥BD，∴CFCD＝EFBD．………2分∵BD＝12，EF＝8，∴CFCD＝23，DFCD＝13．………3分∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD．∴DFAB＝13．………4分(2)∵DF∥AB，∴FHAH＝DFAB＝13，AHAF＝34．………6分∵EF∥BD，∴GHEF＝AHAF＝34，GH＝34EF＝6．………8分19．解：(1)设点M的坐标为(m，n)(其中m、n＞0)，则k＝mn，S△AOM＝12mn＝12k＝3．∴k＝6，反比例函数解析式为y＝6x．………3分(2)若以AB为一边的正方形ABCD的顶点D在反比例函y＝6x的图象上，则D点与M点重合，即AB＝AM．把x＝1代入y＝6x，得y＝6．ABCA1A2C2C1B1B2∴点M 坐标为(1，6)． ∴AB ＝AM ＝6．∴t ＝1＋6＝7．………6分若以AB 为一边的正方形ABCD 的顶点C 在反比例函数y ＝ 6x的图象上，则AB ＝BC ＝t －1，点C 坐标为(t ，t －1)．∴t (t －1)＝6，解得 t 1＝3，t 2＝－2(舍去)．………9分 ∴t 的值为3或7．………10分20．解：(1)当1≤x ＜50时，y ＝(200－2x )(x ＋40－30)＝－2x 2＋180x ＋2000；当50≤x ≤90时，y ＝(200－2x )(90－30)＝－120x ＋12000．∴y ＝⎩⎨⎧－2x 2＋180x ＋2000(1≤x ＜50)，－120x ＋12000(50≤x ≤90)．………5分(2)当1≤x ＜50时，二次函数的图象开口下、对称轴为x ＝45， ∴当x ＝45时，y 最大＝－2×452＋180×45＋2000＝6050； 当50≤x ≤90时，一次函数y 随x 的增大而减小， ∴当x ＝50时，y 最大＝6000．………9分∴综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元． (10)分21.【解答】（1）证明：∵△ABC 和△CEF 均为等腰直角三角形， ∴==，∴∠ACB=∠ECF=45°， ∴∠ACE=∠BCF ， ∴△CAE ∽△CBF ；（2）解：∵△CAE ∽△CBF ， ∴∠CAE=∠CBF ，==，又∵==，AE=2∴=，∴BF=，又∵∠CAE +∠CBE=90°， ∴∠CBF +∠CBE=90°，∴∠EBF=90°， ∴EF 2=BE 2+BF 2=12+（）2=3，∴EF=，∵CE 2=2EF 2=6， ∴CE=． 22．解：(1)∵抛物线y B ＝ 14(x －60)2＋m 经过点(0，1000)，∴1000＝ 1 4(0－60)2＋m ，解得 m ＝100． ∴y B ＝ 14(x －60)2＋100．………2分当x ＝40时，y B ＝ 14×(40－60)2＋100，解得 y B ＝200．∵直线y A ＝k x ＋b ，经过点(0，1000)与(40，200)，则⎩⎨⎧b ＝1000，40k ＋b ＝200，解得 ⎩⎨⎧b ＝1000，k ＝－20．∴y A ＝－20x ＋1000．………5分 (2)当A 组材料的温度降至120℃时，有 120＝－20x ＋1000，解得 x ＝44．当x ＝44，y B ＝ 14(44－60)2＋100＝164(℃)，即B 组材料的温度是164℃．…8分(3)当0＜x ＜40时，y A －y B ＝－20x ＋1000－ 1 4(x －60)2－100＝－ 1 4x 2＋10x ＝－ 14(x －20)2＋100．23.【解答】解：（1）∵顶点坐标为（1，1），∴设抛物线解析式为y=a （x ﹣1）2+1，又抛物线过原点，∴0=a （0﹣1）2+1，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣（x ﹣1）2+1，即y=﹣x 2+2x ，联立抛物线和直线解析式可得，解得或，∴B （2，0），C （﹣1，﹣3）；（2）如图，分别过A 、C 两点作x 轴的垂线，交x 轴于点D 、E 两点，则AD=OD=BD=1，BE=OB +OE=2+1=3，EC=3，∴∠ABO=∠CBO=45°，即∠ABC=90°，∴△ABC 是直角三角形；（3）假设存在满足条件的点N ，设N （x ，0），则M （x ，﹣x 2+2x ），∴ON=|x |，MN=|﹣x 2+2x |，由（2）在Rt △ABD 和Rt △CEB 中，可分别求得AB=，BC=3，∵MN ⊥x 轴于点N∴∠ABC=∠MNO=90°，∴当△ABC和△MNO相似时有=或=，①当=时，则有=，即|x||﹣x+2|=|x|，∵当x=0时M、O、N不能构成三角形，∴x≠0，∴|﹣x+2|=，即﹣x+2=±，解得x=或x=，此时N点坐标为（，0）或（，0）；②当=时，则有=，即|x||﹣x+2|=3|x|，∴|﹣x+2|=3，即﹣x+2=±3，解得x=5或x=﹣1，此时N点坐标为（﹣1，0）或（5，0），综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（，0）或（，0）或（﹣1，0）或（5，0）．。
【初三数学】上海市九年级数学上(人教版)第22章二次函数单元测试题(含答案解析)
人教版九年级上册第二十二章二次函数单元检测（含答案）(7) 一．选择题1．二次函数y＝3（x﹣1）2+2，下列说法正确的是（）A．图象的开口向下B．图象的顶点坐标是（1，2）C．当x＞1时，y随x的增大而减小D．图象与y轴的交点坐标为（0，2）2．二次函数y＝x2﹣ax+b的图象如图所示，对称轴为直线x＝2，下列结论不正确的是（）A．a＝4B．当b＝﹣4时，顶点的坐标为（2，﹣8）C．当x＝﹣1时，b＞﹣5D．当x＞3时，y随x的增大而增大3．若抛物线y＝x2﹣mx+9的顶点在x轴上，则m的值为（（）A．6 B．﹣6 C．±6 D．无法确定4．已知点（﹣3，y1），（5，y2）在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，点（x0，y0）是函数图象的顶点．则（）A．当y1＞y2≥y0时，x0的取值范围是1＜x0＜5B．当y1＞y2≥y0时，x0的取值范围是x0＞5C．当y0≥y1＞y2时，x0的取值范围是x0＜﹣3D．当y0≥y1＞y2时，x0的取值范围是x0＜15．将抛物线y＝x2﹣2x﹣3沿x轴折得到的新抛物线的解析式为（）A．y＝﹣x2+2x+3 B．y＝﹣x2﹣2x﹣3 C．y＝x2+2x﹣3 D．y＝x2﹣2x+3 6．抛物线y＝2x2，y＝﹣x2，y＝x2共有的性质是（）A．开口向下B．对称轴是y轴C．都有最低点D．y随x的增大而减小7．已知抛物线y＝﹣3kx2+6kx+2（k＞0）上有三点（﹣，y1）、（，y2）、（3，y3），则（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y2＜y1D．y2＜y3＜y1 8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是（）A．a＞0B．abc＞0C．2a+b＜0D．ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根9．若关于x的方程ax2﹣3x﹣1＝0的两个不相等实数根均大于﹣1且小于0，则a的取值范围为（）A．a＞0 B．﹣2＜a＜﹣1 C．﹣＜a＜﹣1 D．﹣＜a＜﹣2 10．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，对于下列说法：①ac＞0，②2a+b＞0，③4ac ＜b2，④a+b+c＜0，⑤当x＞0时，y随x的增大而减小，其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．③④⑤二．填空题11．抛物线y＝7x2+3向下平移2个单位得到y＝7x2+c，则c的值为．12．若二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（4，3），且对称轴是x＝1，则关于x的方程ax2+bx+c＝3的解为．13．抛物线y＝（x﹣3）2+4的顶点坐标是．14．已知，抛物线y＝（1﹣m）x2+2x+1的开口向下，则m的取值范围是．15．若函数y＝（m﹣）是二次函数，则m＝．16．如图，已知A（﹣4，0），B（4，0），点C（m，0）是线段AB上一动点，抛物线y1＝﹣x2+b1x+c1，经过点A，C，顶点为D，抛物线y2＝﹣x2+b2x+c2经过点B，C，顶点为E，直线AD与直线BE交于点F，当点C从A点运动至B点时，点F在二次函数y ＝ax2+bx+c的图象上运动（1）二次函数y＝ax2+bx+c的解析式为；（2）当AF⊥BF时，点F的坐标为．三．解答题17．已知：二次函数y＝x2+px+q，当x＝1时，y＝4；当x＝2时，y＝﹣5．（1）求这个二次函数的解析式．（2）求这个二次函数的顶点坐标和对称轴．18．根据下列条件求二次函数解析式（1）已知一个二次函数的图象经过了点A（0，﹣1），B（1，0），C（﹣1，2）；（2）已知抛物线顶点P（﹣1，﹣8），且过点A（0，﹣6）；19．已知函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（﹣2，4）．（1）求b，c满足的关系式；（2）设该函数图象的顶点坐标是（m，n），当b的值变化时，求n关于m的函数解析式；（3）若该函数的图象不经过第三象限，当﹣5≤x≤1时，函数的最大值与最小值之差为16，求b的值．20．已知一抛物线与x轴的交点是A（﹣2，0）、B（1，0），且经过点C（2，8）．（1）求该抛物线的解析式；（2）作出该抛物线的简图（自建坐标系）；（3）在抛物线对称轴上求一点E，使EC+EB最小．21．已知二次函数y＝x2+3x+2m﹣3的图象与x轴只有一个交点．（1）求m的值；（2）直接写出x满足什么条件时，y随x的增大而减小．22．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．（1）若设该种品牌玩具上x元（0＜x＜60）元，销售利润为w元，请求出w关于x的函数关系式；（2）若想获得最大利润，应将销售价格定为多少，并求出此时的最大利润．23．平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y＝x2﹣x+c交x轴于A，B两点（如图），顶点是C，对称轴交x轴于点D，OB＝2OA，（1）如图1，求抛物线的解析式；（2）如图2，E是第三象限抛物线上一点，连接ED并延长交抛物线于点F，连接EC，FC，求证：∠ECF＝90°；（3）如图3，在（2）问条件下，M，N分别是线段OA，CD延长线上一点，连接MN，CM，过点C作CQ⊥MN于Q，CQ交DM于点P，延长FE交MC于R，若∠NMD ＝2∠DMC，DN+BO＝MP，MR：RC＝7：3，求点F坐标．24．如图，抛物线y＝﹣x2﹣x+c与x轴交于A，B两点，且点B的坐标为（3，0），与y轴交于点C，连接AC，BC，点P是抛物线上在第二象限内的一个动点，点P的横坐标为a，过点P作x轴的垂线，交AC于点Q．（1）求A，C两点的坐标．（2）请用含a的代数式表示线段PQ的长，并求出a为何值时PQ取得最大值．（3）试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以B，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一．选择题1．解：A、因为a＝3＞0，所以开口向上，错误；B、顶点坐标是（1，2），正确；C、当x＞1时，y随x增大而增大，错误；D、图象与y轴的交点坐标为（0，5），错误；故选：B．2．解：∵二次函数y＝x2﹣ax+b∴对称轴为直线x＝＝2∴a＝4，故A选项正确；当b＝﹣4时，y＝x2﹣4x﹣4＝（x﹣2）2﹣8∴顶点的坐标为（2，﹣8），故B选项正确；当x＝﹣1时，由图象知此时y＜0即1+4+b＜0∴b＜﹣5，故C选项不正确；∵对称轴为直线x＝2且图象开口向上∴当x＞3时，y随x的增大而增大，故D选项正确；故选：C．3．解：∵抛物线y＝x2﹣mx+9的顶点在x轴上，∴b2﹣4ac＝m2﹣36＝0，∴m＝±6，故选：C．4．解：A选项时，函数有最小值，图象开口向上，若已知两点在对称轴同侧时，关系不成立；B选项时，函数有最小值，图象开口向上，若已知两点在对称轴异侧时，关系不成立；C选项时，函数有最大值，图象开口向下，若已知两点在对称轴异侧时，关系不成立；D选项时，函数有最大值，图象开口向下，已知两点不论在对称轴的同侧还是异侧都成立．故选：D．5．解：将抛物线y＝x2﹣2x﹣3沿x轴折得到的新抛物线的解析式为：﹣y＝x2﹣2x﹣3，即y＝﹣x2+2x+3．故选：A．6．解：抛物线y＝2x2，y＝﹣x2，y＝x2共有的性质是顶点坐标是都是（0，0），对称轴都是y轴，故选项B符合题意，选项A、C、D不符合题意，故选：B．7．解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，而抛物线开口向下，点（﹣，y1）到直线x＝1的距离最大、点（，y2）到直线x＝1的距离最小，∴y1＜y3＜y2．故选：B．8．解：A、抛物线开口向下，则a＜0，故错误；B、杭虎对称轴在y轴右侧，则ab异号，而c＞0，则abc＜0，故错误；C、函数对称轴x＝﹣＝1，则2a+b＝0，故错误；D、抛物线与x轴有2个交点，故ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，正确；故选：D．9．解：△＝b2﹣4ac＞0，即：9+4a＞0，解得：a，两个不相等实数根均大于﹣1且小于0，则x＝﹣1时，y＜0，x＝0时，y＜0，即：a+3﹣1＜0，0+0﹣1＜0，解得：a＜﹣2，故选：D．10．解：①由图象可知：a＞0，c＜0，∴ac＜0，故①错误；②由于对称轴可知：＜1，∴2a+b＞0，故②正确；③由于抛物线与x轴有两个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，故③正确；④由图象可知：x＝1时，y＝a+b+c＜0，故④正确；⑤当x＞时，y随着x的增大而增大，故⑤错误；故选：C．二．填空题（共6小题）11．解：抛物线y＝7x2+3向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为抛物线y＝7x2+1．当x＝0时，y＝1，故答案为1．12．解：对称轴是x＝1，∴点（4，3）关于对称轴对称的点为（﹣2，3），∴ax2+bx+c＝3的解可以看作y＝ax2+bx+c与直线y＝3的交点问题，∴方程ax2+bx+c＝3的解为x＝﹣2或x＝4；故答案为x＝﹣2或x＝4；13．解：∵抛物线y＝（x﹣3）2+4是顶点式，∴抛物线的顶点坐标是（3，4），故答案为：（3，4）．14．解：∵抛物线y＝（1﹣m）x2+2x+1的开口向下，∴1﹣m＜0，解得m＞1，故答案为m＞1．15．解：∵函数y＝（m﹣）是二次函数，∴m2＝2，且m﹣≠0，解得：m＝﹣．故答案为：﹣．16．解：（1）设点C（m，0），﹣4≤m≤4，∵抛物线y1＝﹣x2+b1x+c1经过点A，C，顶点为D，∴y1＝﹣（x+4）（x﹣m），顶点D（），设直线AD表达式为y＝kx+n，则，解得，∴直线AD表达式为y＝，①∵抛物线y2＝﹣x2+b2x+c2经过点B，C，顶点为E，同理可求得直线BF的表达式为，②由①②，解得交点F为（﹣m，），设点F（x，y），即x＝﹣m，y＝，∴二次函数y＝ax2+bx+c的解析式为．（2）设点F（x，y），则当AF⊥BF时，有AF2+BF2＝AB2，∴（x+4）2+y2+（x﹣4）2+y2＝64，解得y＝2或y＝0（舍去），∴x＝，∴点F的坐标为（，2）或（，2）．三．解答题（共8小题）17．解：（1）将x＝1时，y的值为4，当x＝2时，y的值为﹣5代入得：，解得：，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣12x+15；（2）y＝x2﹣12x+15＝（x﹣6）2﹣21，∴二次函数的顶点坐标是（6，﹣21），对称轴为x＝6．18．解：（1）设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，根据题意得：，解得：，∴抛物线解析式为y＝2x2﹣x﹣1；（2）设抛物线解析式为y＝a（x+1）2﹣8，把（0，﹣6）代入得a﹣8＝﹣6，解得a＝2，∴抛物线解析式为y＝2（x+1）2﹣6＝2x2+4x﹣4．19．解：（1）将点（﹣2，4）代入y＝x2+bx+c，得﹣2b+c＝0，∴c＝2b；（2）m＝﹣，n＝，∴n＝，∴n＝2b﹣m2＝﹣4m﹣m2；（3）y＝x2+bx+2b＝（x+）2﹣+2b，对称轴x＝﹣，当b≤0时，c≤0，函数不经过第三象限，则c＝0；此时y＝x2，当﹣5≤x≤1时，函数最小值是0，最大值是25，∴最大值与最小值之差为25；（舍去）当b＞0时，c＞0，函数不经过第三象限，则△≤0，∴0≤b≤8，∴﹣4≤x＝﹣≤0，当﹣5≤x≤1时，函数有最小值﹣+2b，当﹣5≤﹣＜﹣2时，函数有最大值1+3b，当﹣2＜﹣≤1时，函数有最大值25﹣3b；函数的最大值与最小值之差为16，当最大值1+3b时，1+3b+﹣2b＝16，∴b＝6或b＝﹣10，∵4≤b≤8，∴b＝6；当最大值25﹣3b时，25﹣3b+﹣2b＝16，∴b＝2或b＝18，∵2≤b≤4，∴b＝2；综上所述b＝2或b＝6；20．解：（1）函数的表达式为：y＝a（x+2）（x﹣1），将点C的坐标代入上式得：8＝a（2+2）（2﹣1），解得：a＝2，故抛物线的表达式为：y＝2（x+2）（x﹣1）＝2x2+2x﹣4；（2）抛物线图象如下图：（3）点A是点B关于函数对称轴的对称点，连接AC交函数对称轴与点E为所求点，将点A、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝﹣2x﹣4，当x＝﹣时，y＝﹣3，则点E（﹣，﹣3），EC+EB最小为AC＝＝2．21．解：（1）由题意得：△＝b2﹣4ac＝9﹣4（2m﹣3）＝0，解得：m＝；（2）函数的对称轴为：x＝﹣，a＝1＞0，故当x＜﹣时，y随x的增大而减小．22．解：（1）根据题意得：w＝[600﹣10（x﹣40）]（x﹣30）＝﹣10x2+1300x﹣30000；（2）w＝[600﹣10（x﹣40）]（x﹣30）＝﹣10x2+1300x﹣30000＝﹣10（x﹣65）2+12250，∵a＝﹣10＜0，∴对称轴为x＝65，∴当x＝65时，W最大值＝12250（元）答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润是12250元，此时玩具的销售单价应定为65元．23．解：（1）∵抛物线对称轴为：直线x＝1，∴D（1，0），由抛物线对称性知：DA＝DB，设DA＝DB＝m，则：A（1﹣m，0），B（1+m，0），∵OB＝2OA∴1+m＝2（m﹣1），解得：m＝3∴A（﹣2，0），B（4，0），将A（﹣2，0）代入y＝x2﹣x+c，得0＝×（﹣2）2×（﹣2）+c，解得：c＝∴抛物线的解析式为：y＝x；（2）如图2，∵y＝x＝；∴顶点C（1，﹣3），设点E（n，n2﹣n﹣），F（m，m2﹣n﹣），过点E作EH⊥CD于G，过F作FG⊥CD于G，则G（1，m2﹣n﹣），H（1，n2﹣n﹣），∴EH＝1﹣n，FG＝m﹣1，DG＝m2﹣n﹣，DH＝﹣（n2﹣n﹣），∵EH⊥CD，FG⊥CD∴∠DHE＝∠DGF＝90°∵∠EDH＝∠FDG∴△DEH∽△DFG∴＝，即＝，∴＝∵EH≠FG∴m+n﹣2≠0∴（m﹣1）（1﹣n）＝﹣9∵tan∠GFC＝＝＝（m﹣1），tan∠ECH＝＝＝﹣∴＝＝＝1∴tan∠GFC＝tan∠ECH∴∠GFC＝∠ECH∵∠GFC+∠FCG＝90°∴∠ECH+∠FCG＝90°即∠ECF＝90°．（3）如图3，以DM为边在x轴上方作正方形DMKT，延长CQ交KT于S，过S作SG ⊥DM于G，连接MT，作∠SCT平分线交MT于I，过点I作IJ⊥CT于J，设DM＝t，则DT＝TK＝t，∵正方形DMKT，∴∠DTM＝∠KTM＝∠DMT＝45°∴四边形TLIJ是正方形，∴IJ＝TJ＝TL∵CI平分∠SCT∴∠JCI＝∠SCT∵CQ⊥MN∴∠SCT+∠MND＝∠NMD+∠MND＝90°∴∠NMD＝∠SCT∵∠NMD＝2∠DMC，∴∠DMC＝∠SCT∴∠JCI＝∠DMC∴∠JCI+∠DTM＝∠DMC+∠DMT即∠CIM＝∠CMI∴CM＝CI∵∠MDC＝∠CJI＝90°∴△MDC≌△CJI（AAS）∴IJ＝CD＝3∴JT＝TL＝3在△MDN和△SGP中∴△MDN≌△SGP（AAS）∴DN＝PG∵DN+BO＝MP，MG+PG＝MP∴MG＝BO＝4∴KS＝4∴SL＝t﹣7，易证：SZ＝SL＝t﹣7，CZ＝CJ＝t，CS＝2t﹣7在Rt△CST中，∵ST2+CT2＝CS2∴（t﹣4）2+（t+3）2＝（2t﹣7）2，解得：t1＝12，t2＝1（不符合题意，舍去）∴M（﹣11，0），过点R作RW⊥DM于W，则△MRW∽△MCD∵MR：RC＝7：3，∴＝，∴＝＝＝，∴MW＝，RW＝∴R（﹣，﹣）设直线DR解析式为y＝kx+b，则解得：∴直线DR解析式为y＝x﹣解方程组，得，；∴E（﹣，），F（5，）．24．解：（1）把点B的坐标（3，0）代入抛物线解析式得，，解得：c＝4，令y＝0，则，解得x1＝3，x2＝﹣4，∴A（﹣4，0），C（0，4）；（2）∵A（﹣4，0），C（0，4），设直线AC的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴直线AC的解析式y＝x+4，点P的横坐标为a，P（a，），则点Q（a，a+4），∴PQ＝＝，∵，∴a＝﹣2时，PQ有最大值；（3）存在，理由：点A、B、C的坐标分别为（﹣4，0）、（3，0）、（0，4），则BC＝5，AB＝7，AC＝4，∠OAC＝∠OCA＝45°，将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n并解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4，设BC的中点为H，由中点坐标公式可得H（），∴过BC的中点H且与直线BC垂直直线的表达式为：y＝，①当BC＝BQ时，如图1，∴BC＝BQ＝5，设：QM＝AM＝n，则BM＝7﹣n，由勾股定理得：（7﹣n）2+n2＝25，解得：n＝3或4（舍去4），故点Q1（﹣1，3）；②当BC＝CQ时，如图1，∴CQ＝5，则AQ＝AC﹣CQ＝4，∴，∴，③当CQ＝BQ时，联立直线AC解析式y＝x+4和y＝，解得x＝﹣（不合题意，舍去），综合以上可得点Q的坐标为：Q（﹣1，3）或（）．人教版九年级上册第二十二章二次函数单元检测（含答案）(7) 一．选择题1．二次函数y＝3（x﹣1）2+2，下列说法正确的是（）A．图象的开口向下B．图象的顶点坐标是（1，2）C．当x＞1时，y随x的增大而减小D．图象与y轴的交点坐标为（0，2）2．二次函数y＝x2﹣ax+b的图象如图所示，对称轴为直线x＝2，下列结论不正确的是（）A．a＝4B．当b＝﹣4时，顶点的坐标为（2，﹣8）C．当x＝﹣1时，b＞﹣5D．当x＞3时，y随x的增大而增大3．若抛物线y＝x2﹣mx+9的顶点在x轴上，则m的值为（（）A．6 B．﹣6 C．±6 D．无法确定4．已知点（﹣3，y1），（5，y2）在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，点（x0，y0）是函数图象的顶点．则（）A．当y1＞y2≥y0时，x0的取值范围是1＜x0＜5B．当y1＞y2≥y0时，x0的取值范围是x0＞5C．当y0≥y1＞y2时，x0的取值范围是x0＜﹣3D．当y0≥y1＞y2时，x0的取值范围是x0＜15．将抛物线y＝x2﹣2x﹣3沿x轴折得到的新抛物线的解析式为（）A．y＝﹣x2+2x+3 B．y＝﹣x2﹣2x﹣3 C．y＝x2+2x﹣3 D．y＝x2﹣2x+3 6．抛物线y＝2x2，y＝﹣x2，y＝x2共有的性质是（）A．开口向下B．对称轴是y轴C．都有最低点D．y随x的增大而减小7．已知抛物线y＝﹣3kx2+6kx+2（k＞0）上有三点（﹣，y1）、（，y2）、（3，y3），则（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y2＜y1D．y2＜y3＜y1 8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是（）A．a＞0B．abc＞0C．2a+b＜0D．ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根9．若关于x的方程ax2﹣3x﹣1＝0的两个不相等实数根均大于﹣1且小于0，则a的取值范围为（）A．a＞0 B．﹣2＜a＜﹣1 C．﹣＜a＜﹣1 D．﹣＜a＜﹣2 10．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，对于下列说法：①ac＞0，②2a+b＞0，③4ac ＜b2，④a+b+c＜0，⑤当x＞0时，y随x的增大而减小，其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．③④⑤二．填空题11．抛物线y＝7x2+3向下平移2个单位得到y＝7x2+c，则c的值为．12．若二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（4，3），且对称轴是x＝1，则关于x的方程ax2+bx+c＝3的解为．13．抛物线y＝（x﹣3）2+4的顶点坐标是．14．已知，抛物线y＝（1﹣m）x2+2x+1的开口向下，则m的取值范围是．15．若函数y＝（m﹣）是二次函数，则m＝．16．如图，已知A（﹣4，0），B（4，0），点C（m，0）是线段AB上一动点，抛物线y1＝﹣x2+b1x+c1，经过点A，C，顶点为D，抛物线y2＝﹣x2+b2x+c2经过点B，C，顶点为E，直线AD与直线BE交于点F，当点C从A点运动至B点时，点F在二次函数y ＝ax2+bx+c的图象上运动（1）二次函数y＝ax2+bx+c的解析式为；（2）当AF⊥BF时，点F的坐标为．三．解答题17．已知：二次函数y＝x2+px+q，当x＝1时，y＝4；当x＝2时，y＝﹣5．（1）求这个二次函数的解析式．（2）求这个二次函数的顶点坐标和对称轴．18．根据下列条件求二次函数解析式（1）已知一个二次函数的图象经过了点A（0，﹣1），B（1，0），C（﹣1，2）；（2）已知抛物线顶点P（﹣1，﹣8），且过点A（0，﹣6）；19．已知函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（﹣2，4）．（1）求b，c满足的关系式；（2）设该函数图象的顶点坐标是（m，n），当b的值变化时，求n关于m的函数解析式；（3）若该函数的图象不经过第三象限，当﹣5≤x≤1时，函数的最大值与最小值之差为16，求b的值．20．已知一抛物线与x轴的交点是A（﹣2，0）、B（1，0），且经过点C（2，8）．（1）求该抛物线的解析式；（2）作出该抛物线的简图（自建坐标系）；（3）在抛物线对称轴上求一点E，使EC+EB最小．21．已知二次函数y＝x2+3x+2m﹣3的图象与x轴只有一个交点．（1）求m的值；（2）直接写出x满足什么条件时，y随x的增大而减小．22．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．（1）若设该种品牌玩具上x元（0＜x＜60）元，销售利润为w元，请求出w关于x的函数关系式；（2）若想获得最大利润，应将销售价格定为多少，并求出此时的最大利润．23．平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y＝x2﹣x+c交x轴于A，B两点（如图），顶点是C，对称轴交x轴于点D，OB＝2OA，（1）如图1，求抛物线的解析式；（2）如图2，E是第三象限抛物线上一点，连接ED并延长交抛物线于点F，连接EC，FC，求证：∠ECF＝90°；（3）如图3，在（2）问条件下，M，N分别是线段OA，CD延长线上一点，连接MN，CM，过点C作CQ⊥MN于Q，CQ交DM于点P，延长FE交MC于R，若∠NMD ＝2∠DMC，DN+BO＝MP，MR：RC＝7：3，求点F坐标．24．如图，抛物线y＝﹣x2﹣x+c与x轴交于A，B两点，且点B的坐标为（3，0），与y轴交于点C，连接AC，BC，点P是抛物线上在第二象限内的一个动点，点P的横坐标为a，过点P作x轴的垂线，交AC于点Q．（1）求A，C两点的坐标．（2）请用含a的代数式表示线段PQ的长，并求出a为何值时PQ取得最大值．（3）试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以B，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一．选择题1．解：A、因为a＝3＞0，所以开口向上，错误；B、顶点坐标是（1，2），正确；C、当x＞1时，y随x增大而增大，错误；D、图象与y轴的交点坐标为（0，5），错误；故选：B．2．解：∵二次函数y＝x2﹣ax+b∴对称轴为直线x＝＝2∴a＝4，故A选项正确；当b＝﹣4时，y＝x2﹣4x﹣4＝（x﹣2）2﹣8∴顶点的坐标为（2，﹣8），故B选项正确；当x＝﹣1时，由图象知此时y＜0即1+4+b＜0∴b＜﹣5，故C选项不正确；∵对称轴为直线x＝2且图象开口向上∴当x＞3时，y随x的增大而增大，故D选项正确；故选：C．3．解：∵抛物线y＝x2﹣mx+9的顶点在x轴上，∴b2﹣4ac＝m2﹣36＝0，∴m＝±6，故选：C．4．解：A选项时，函数有最小值，图象开口向上，若已知两点在对称轴同侧时，关系不成立；B选项时，函数有最小值，图象开口向上，若已知两点在对称轴异侧时，关系不成立；C选项时，函数有最大值，图象开口向下，若已知两点在对称轴异侧时，关系不成立；D选项时，函数有最大值，图象开口向下，已知两点不论在对称轴的同侧还是异侧都成立．故选：D．5．解：将抛物线y＝x2﹣2x﹣3沿x轴折得到的新抛物线的解析式为：﹣y＝x2﹣2x﹣3，即y＝﹣x2+2x+3．故选：A．6．解：抛物线y＝2x2，y＝﹣x2，y＝x2共有的性质是顶点坐标是都是（0，0），对称轴都是y轴，故选项B符合题意，选项A、C、D不符合题意，故选：B．7．解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，而抛物线开口向下，点（﹣，y1）到直线x＝1的距离最大、点（，y2）到直线x＝1的距离最小，∴y1＜y3＜y2．故选：B．8．解：A、抛物线开口向下，则a＜0，故错误；B、杭虎对称轴在y轴右侧，则ab异号，而c＞0，则abc＜0，故错误；C、函数对称轴x＝﹣＝1，则2a+b＝0，故错误；D、抛物线与x轴有2个交点，故ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，正确；故选：D．9．解：△＝b2﹣4ac＞0，即：9+4a＞0，解得：a，两个不相等实数根均大于﹣1且小于0，则x＝﹣1时，y＜0，x＝0时，y＜0，即：a+3﹣1＜0，0+0﹣1＜0，解得：a＜﹣2，故选：D．10．解：①由图象可知：a＞0，c＜0，∴ac＜0，故①错误；②由于对称轴可知：＜1，∴2a+b＞0，故②正确；③由于抛物线与x轴有两个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，故③正确；④由图象可知：x＝1时，y＝a+b+c＜0，故④正确；⑤当x＞时，y随着x的增大而增大，故⑤错误；故选：C．二．填空题（共6小题）11．解：抛物线y＝7x2+3向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为抛物线y＝7x2+1．当x＝0时，y＝1，故答案为1．12．解：对称轴是x＝1，∴点（4，3）关于对称轴对称的点为（﹣2，3），∴ax2+bx+c＝3的解可以看作y＝ax2+bx+c与直线y＝3的交点问题，∴方程ax2+bx+c＝3的解为x＝﹣2或x＝4；故答案为x＝﹣2或x＝4；13．解：∵抛物线y＝（x﹣3）2+4是顶点式，∴抛物线的顶点坐标是（3，4），故答案为：（3，4）．14．解：∵抛物线y＝（1﹣m）x2+2x+1的开口向下，∴1﹣m＜0，解得m＞1，故答案为m＞1．15．解：∵函数y＝（m﹣）是二次函数，∴m2＝2，且m﹣≠0，解得：m＝﹣．故答案为：﹣．16．解：（1）设点C（m，0），﹣4≤m≤4，∵抛物线y1＝﹣x2+b1x+c1经过点A，C，顶点为D，∴y1＝﹣（x+4）（x﹣m），顶点D（），设直线AD表达式为y＝kx+n，则，解得，∴直线AD表达式为y＝，①∵抛物线y2＝﹣x2+b2x+c2经过点B，C，顶点为E，同理可求得直线BF的表达式为，②由①②，解得交点F为（﹣m，），设点F（x，y），即x＝﹣m，y＝，∴二次函数y＝ax2+bx+c的解析式为．（2）设点F（x，y），则当AF⊥BF时，有AF2+BF2＝AB2，∴（x+4）2+y2+（x﹣4）2+y2＝64，解得y＝2或y＝0（舍去），∴x＝，∴点F的坐标为（，2）或（，2）．三．解答题（共8小题）17．解：（1）将x＝1时，y的值为4，当x＝2时，y的值为﹣5代入得：，解得：，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣12x+15；（2）y＝x2﹣12x+15＝（x﹣6）2﹣21，∴二次函数的顶点坐标是（6，﹣21），对称轴为x＝6．18．解：（1）设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，根据题意得：，解得：，∴抛物线解析式为y＝2x2﹣x﹣1；（2）设抛物线解析式为y＝a（x+1）2﹣8，把（0，﹣6）代入得a﹣8＝﹣6，解得a＝2，∴抛物线解析式为y＝2（x+1）2﹣6＝2x2+4x﹣4．19．解：（1）将点（﹣2，4）代入y＝x2+bx+c，得﹣2b+c＝0，∴c＝2b；（2）m＝﹣，n＝，∴n＝，∴n＝2b﹣m2＝﹣4m﹣m2；（3）y＝x2+bx+2b＝（x+）2﹣+2b，对称轴x＝﹣，当b≤0时，c≤0，函数不经过第三象限，则c＝0；此时y＝x2，当﹣5≤x≤1时，函数最小值是0，最大值是25，∴最大值与最小值之差为25；（舍去）当b＞0时，c＞0，函数不经过第三象限，则△≤0，∴0≤b≤8，∴﹣4≤x＝﹣≤0，当﹣5≤x≤1时，函数有最小值﹣+2b，当﹣5≤﹣＜﹣2时，函数有最大值1+3b，当﹣2＜﹣≤1时，函数有最大值25﹣3b；函数的最大值与最小值之差为16，当最大值1+3b时，1+3b+﹣2b＝16，∴b＝6或b＝﹣10，∵4≤b≤8，∴b＝6；当最大值25﹣3b时，25﹣3b+﹣2b＝16，∴b＝2或b＝18，∵2≤b≤4，∴b＝2；综上所述b＝2或b＝6；20．解：（1）函数的表达式为：y＝a（x+2）（x﹣1），将点C的坐标代入上式得：8＝a（2+2）（2﹣1），解得：a＝2，故抛物线的表达式为：y＝2（x+2）（x﹣1）＝2x2+2x﹣4；（2）抛物线图象如下图：（3）点A是点B关于函数对称轴的对称点，连接AC交函数对称轴与点E为所求点，将点A、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝﹣2x﹣4，当x＝﹣时，y＝﹣3，则点E（﹣，﹣3），EC+EB最小为AC＝＝2．21．解：（1）由题意得：△＝b2﹣4ac＝9﹣4（2m﹣3）＝0，解得：m＝；（2）函数的对称轴为：x＝﹣，a＝1＞0，故当x＜﹣时，y随x的增大而减小．22．解：（1）根据题意得：w＝[600﹣10（x﹣40）]（x﹣30）＝﹣10x2+1300x﹣30000；（2）w＝[600﹣10（x﹣40）]（x﹣30）＝﹣10x2+1300x﹣30000＝﹣10（x﹣65）2+12250，∵a＝﹣10＜0，∴对称轴为x＝65，∴当x＝65时，W最大值＝12250（元）答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润是12250元，此时玩具的销售单价应定为65元．23．解：（1）∵抛物线对称轴为：直线x＝1，∴D（1，0），由抛物线对称性知：DA＝DB，设DA＝DB＝m，则：A（1﹣m，0），B（1+m，0），∵OB＝2OA∴1+m＝2（m﹣1），解得：m＝3∴A（﹣2，0），B（4，0），将A（﹣2，0）代入y＝x2﹣x+c，得0＝×（﹣2）2×（﹣2）+c，解得：c＝∴抛物线的解析式为：y＝x；（2）如图2，∵y＝x＝；∴顶点C（1，﹣3），设点E（n，n2﹣n﹣），F（m，m2﹣n﹣），过点E作EH⊥CD于G，过F作FG⊥CD于G，则G（1，m2﹣n﹣），H（1，n2﹣n﹣），∴EH＝1﹣n，FG＝m﹣1，DG＝m2﹣n﹣，DH＝﹣（n2﹣n﹣），∵EH⊥CD，FG⊥CD∴∠DHE＝∠DGF＝90°∵∠EDH＝∠FDG∴△DEH∽△DFG∴＝，即＝，∴＝∵EH≠FG∴m+n﹣2≠0∴（m﹣1）（1﹣n）＝﹣9∵tan∠GFC＝＝＝（m﹣1），tan∠ECH＝＝＝﹣∴＝＝＝1∴tan∠GFC＝tan∠ECH∴∠GFC＝∠ECH∵∠GFC+∠FCG＝90°∴∠ECH+∠FCG＝90°即∠ECF＝90°．（3）如图3，以DM为边在x轴上方作正方形DMKT，延长CQ交KT于S，过S作SG ⊥DM于G，连接MT，作∠SCT平分线交MT于I，过点I作IJ⊥CT于J，设DM＝t，则DT＝TK＝t，∵正方形DMKT，∴∠DTM＝∠KTM＝∠DMT＝45°∴四边形TLIJ是正方形，∴IJ＝TJ＝TL∵CI平分∠SCT∴∠JCI＝∠SCT∵CQ⊥MN∴∠SCT+∠MND＝∠NMD+∠MND＝90°∴∠NMD＝∠SCT∵∠NMD＝2∠DMC，∴∠DMC＝∠SCT∴∠JCI＝∠DMC∴∠JCI+∠DTM＝∠DMC+∠DMT即∠CIM＝∠CMI∴CM＝CI∵∠MDC＝∠CJI＝90°∴△MDC≌△CJI（AAS）∴IJ＝CD＝3∴JT＝TL＝3在△MDN和△SGP中∴△MDN≌△SGP（AAS）∴DN＝PG∵DN+BO＝MP，MG+PG＝MP∴MG＝BO＝4∴KS＝4∴SL＝t﹣7，易证：SZ＝SL＝t﹣7，CZ＝CJ＝t，CS＝2t﹣7在Rt△CST中，∵ST2+CT2＝CS2∴（t﹣4）2+（t+3）2＝（2t﹣7）2，解得：t1＝12，t2＝1（不符合题意，舍去）∴M（﹣11，0），过点R作RW⊥DM于W，则△MRW∽△MCD∵MR：RC＝7：3，∴＝，∴＝＝＝，∴MW＝，RW＝∴R（﹣，﹣）设直线DR解析式为y＝kx+b，则解得：∴直线DR解析式为y＝x﹣解方程组，得，；∴E（﹣，），F（5，）．24．解：（1）把点B的坐标（3，0）代入抛物线解析式得，，解得：c＝4，令y＝0，则，解得x1＝3，x2＝﹣4，∴A（﹣4，0），C（0，4）；（2）∵A（﹣4，0），C（0，4），设直线AC的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴直线AC的解析式y＝x+4，点P的横坐标为a，P（a，），则点Q（a，a+4），∴PQ＝＝，∵，∴a＝﹣2时，PQ有最大值；（3）存在，理由：点A、B、C的坐标分别为（﹣4，0）、（3，0）、（0，4），则BC＝5，AB＝7，AC＝4，∠OAC＝∠OCA＝45°，将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n并解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4，设BC的中点为H，由中点坐标公式可得H（），∴过BC的中点H且与直线BC垂直直线的表达式为：y＝，①当BC＝BQ时，如图1，∴BC＝BQ＝5，设：QM＝AM＝n，则BM＝7﹣n，由勾股定理得：（7﹣n）2+n2＝25，解得：n＝3或4（舍去4），故点Q1（﹣1，3）；②当BC＝CQ时，如图1，∴CQ＝5，则AQ＝AC﹣CQ＝4，∴，∴，③当CQ＝BQ时，联立直线AC解析式y＝x+4和y＝，解得x＝﹣（不合题意，舍去），综合以上可得点Q的坐标为：Q（﹣1，3）或（）．人教版九年级上册第二十二章二次函数单元检测（含答案）(7) 一．选择题1．二次函数y＝3（x﹣1）2+2，下列说法正确的是（）A．图象的开口向下B．图象的顶点坐标是（1，2）C．当x＞1时，y随x的增大而减小D．图象与y轴的交点坐标为（0，2）2．二次函数y＝x2﹣ax+b的图象如图所示，对称轴为直线x＝2，下列结论不正确的是（）A．a＝4B．当b＝﹣4时，顶点的坐标为（2，﹣8）C．当x＝﹣1时，b＞﹣5D．当x＞3时，y随x的增大而增大3．若抛物线y＝x2﹣mx+9的顶点在x轴上，则m的值为（（）A．6 B．﹣6 C．±6 D．无法确定4．已知点（﹣3，y1），（5，y2）在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，点（x0，y0）是函数图象的顶点．则（）A．当y1＞y2≥y0时，x0的取值范围是1＜x0＜5B．当y1＞y2≥y0时，x0的取值范围是x0＞5C．当y0≥y1＞y2时，x0的取值范围是x0＜﹣3D．当y0≥y1＞y2时，x0的取值范围是x0＜15．将抛物线y＝x2﹣2x﹣3沿x轴折得到的新抛物线的解析式为（）A．y＝﹣x2+2x+3 B．y＝﹣x2﹣2x﹣3 C．y＝x2+2x﹣3 D．y＝x2﹣2x+3 6．抛物线y＝2x2，y＝﹣x2，y＝x2共有的性质是（）A．开口向下B．对称轴是y轴C．都有最低点D．y随x的增大而减小7．已知抛物线y＝﹣3kx2+6kx+2（k＞0）上有三点（﹣，y1）、（，y2）、（3，y3），则（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y2＜y1D．y2＜y3＜y1 8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是（）A．a＞0B．abc＞0C．2a+b＜0D．ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根9．若关于x的方程ax2﹣3x﹣1＝0的两个不相等实数根均大于﹣1且小于0，则a的取值范围为（）A．a＞0 B．﹣2＜a＜﹣1 C．﹣＜a＜﹣1 D．﹣＜a＜﹣2 10．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，对于下列说法：①ac＞0，②2a+b＞0，③4ac ＜b2，④a+b+c＜0，⑤当x＞0时，y随x的增大而减小，其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．③④⑤二．填空题11．抛物线y＝7x2+3向下平移2个单位得到y＝7x2+c，则c的值为．12．若二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（4，3），且对称轴是x＝1，则关于x的方程ax2+bx+c＝3的解为．13．抛物线y＝（x﹣3）2+4的顶点坐标是．14．已知，抛物线y＝（1﹣m）x2+2x+1的开口向下，则m的取值范围是．15．若函数y＝（m﹣）是二次函数，则m＝．16．如图，已知A（﹣4，0），B（4，0），点C（m，0）是线段AB上一动点，抛物线y1＝﹣x2+b1x+c1，经过点A，C，顶点为D，抛物线y2＝﹣x2+b2x+c2经过点B，C，顶点为E，直线AD与直线BE交于点F，当点C从A点运动至B点时，点F在二次函数y ＝ax2+bx+c的图象上运动（1）二次函数y＝ax2+bx+c的解析式为；（2）当AF⊥BF时，点F的坐标为．三．解答题17．已知：二次函数y＝x2+px+q，当x＝1时，y＝4；当x＝2时，y＝﹣5．（1）求这个二次函数的解析式．（2）求这个二次函数的顶点坐标和对称轴．18．根据下列条件求二次函数解析式（1）已知一个二次函数的图象经过了点A（0，﹣1），B（1，0），C（﹣1，2）；（2）已知抛物线顶点P（﹣1，﹣8），且过点A（0，﹣6）；19．已知函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（﹣2，4）．（1）求b，c满足的关系式；（2）设该函数图象的顶点坐标是（m，n），当b的值变化时，求n关于m的函数解析式；（3）若该函数的图象不经过第三象限，当﹣5≤x≤1时，函数的最大值与最小值之差为16，求b的值．20．已知一抛物线与x轴的交点是A（﹣2，0）、B（1，0），且经过点C（2，8）．（1）求该抛物线的解析式；（2）作出该抛物线的简图（自建坐标系）；（3）在抛物线对称轴上求一点E，使EC+EB最小．21．已知二次函数y＝x2+3x+2m﹣3的图象与x轴只有一个交点．（1）求m的值；（2）直接写出x满足什么条件时，y随x的增大而减小．22．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．（1）若设该种品牌玩具上x元（0＜x＜60）元，销售利润为w元，请求出w关于x的函数关系式；（2）若想获得最大利润，应将销售价格定为多少，并求出此时的最大利润．23．平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y＝x2﹣x+c交x轴于A，B两点（如图），顶点是C，对称轴交x轴于点D，OB＝2OA，（1）如图1，求抛物线的解析式；（2）如图2，E是第三象限抛物线上一点，连接ED并延长交抛物线于点F，连接EC，FC，求证：∠ECF＝90°；（3）如图3，在（2）问条件下，M，N分别是线段OA，CD延长线上一点，连接MN，CM，过点C作CQ⊥MN于Q，CQ交DM于点P，延长FE交MC于R，若∠NMD ＝2∠DMC，DN+BO＝MP，MR：RC＝7：3，求点F坐标．24．如图，抛物线y＝﹣x2﹣x+c与x轴交于A，B两点，且点B的坐标为（3，0），与y轴交于点C，连接AC，BC，点P是抛物线上在第二象限内的一个动点，点P的横坐标为a，过点P作x轴的垂线，交AC于点Q．（1）求A，C两点的坐标．（2）请用含a的代数式表示线段PQ的长，并求出a为何值时PQ取得最大值．（3）试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以B，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一．选择题1．解：A、因为a＝3＞0，所以开口向上，错误；B、顶点坐标是（1，2），正确；C、当x＞1时，y随x增大而增大，错误；D、图象与y轴的交点坐标为（0，5），错误；故选：B．2．解：∵二次函数y＝x2﹣ax+b∴对称轴为直线x＝＝2∴a＝4，故A选项正确；当b＝﹣4时，y＝x2﹣4x﹣4＝（x﹣2）2﹣8∴顶点的坐标为（2，﹣8），故B选项正确；当x＝﹣1时，由图象知此时y＜0即1+4+b＜0∴b＜﹣5，故C选项不正确；∵对称轴为直线x＝2且图象开口向上∴当x＞3时，y随x的增大而增大，故D选项正确；故选：C．3．解：∵抛物线y＝x2﹣mx+9的顶点在x轴上，∴b2﹣4ac＝m2﹣36＝0，∴m＝±6，故选：C．4．解：A选项时，函数有最小值，图象开口向上，若已知两点在对称轴同侧时，关系不成立；B选项时，函数有最小值，图象开口向上，若已知两点在对称轴异侧时，关系不成立；C选项时，函数有最大值，图象开口向下，若已知两点在对称轴异侧时，关系不成立；D选项时，函数有最大值，图象开口向下，已知两点不论在对称轴的同侧还是异侧都成立．故选：D．5．解：将抛物线y＝x2﹣2x﹣3沿x轴折得到的新抛物线的解析式为：﹣y＝x2﹣2x﹣3，即y＝﹣x2+2x+3．故选：A．6．解：抛物线y＝2x2，y＝﹣x2，y＝x2共有的性质是顶点坐标是都是（0，0），对称轴都是y轴，故选项B符合题意，选项A、C、D不符合题意，故选：B．7．解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，而抛物线开口向下，点（﹣，y1）到直线x＝1的距离最大、点（，y2）到直线x＝1的距离最小，∴y1＜y3＜y2．故选：B．8．解：A、抛物线开口向下，则a＜0，故错误；B、杭虎对称轴在y轴右侧，则ab异号，而c＞0，则abc＜0，故错误；C、函数对称轴x＝﹣＝1，则2a+b＝0，故错误；D、抛物线与x轴有2个交点，故ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，正确；故选：D．9．解：△＝b2﹣4ac＞0，即：9+4a＞0，解得：a，两个不相等实数根均大于﹣1且小于0，则x＝﹣1时，y＜0，x＝0时，y＜0，即：a+3﹣1＜0，0+0﹣1＜0，解得：a＜﹣2，故选：D．10．解：①由图象可知：a＞0，c＜0，∴ac＜0，故①错误；②由于对称轴可知：＜1，∴2a+b＞0，故②正确；③由于抛物线与x轴有两个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，故③正确；④由图象可知：x＝1时，y＝a+b+c＜0，故④正确；⑤当x＞时，y随着x的增大而增大，故⑤错误；故选：C．二．填空题（共6小题）11．解：抛物线y＝7x2+3向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为抛物线y＝7x2+1．当x＝0时，y＝1，故答案为1．12．解：对称轴是x＝1，∴点（4，3）关于对称轴对称的点为（﹣2，3），∴ax2+bx+c＝3的解可以看作y＝ax2+bx+c与直线y＝3的交点问题，∴方程ax2+bx+c＝3的解为x＝﹣2或x＝4；故答案为x＝﹣2或x＝4；13．解：∵抛物线y＝（x﹣3）2+4是顶点式，∴抛物线的顶点坐标是（3，4），故答案为：（3，4）．14．解：∵抛物线y＝（1﹣m）x2+2x+1的开口向下，∴1﹣m＜0，解得m＞1，故答案为m＞1．15．解：∵函数y＝（m﹣）是二次函数，∴m2＝2，且m﹣≠0，解得：m＝﹣．故答案为：﹣．16．解：（1）设点C（m，0），﹣4≤m≤4，。
沪科版-数学-九年级上册-九上22.5二次函数的应用同步练习及答案
22.5二次函数的应用同步练习第1题. 用8m 长木条，做成如图的窗框（包括中间棱），若不计损耗，窗户的最大面积为2m ．答案：43第2题. 在底边长20cm BC =，高12cm AM =的三角形铁板ABC 上，要截一块矩形铁板EFGH ，如图所示．当矩形的边EF =cm 时，矩形铁板的面积最大，其最大面积为2cm ．答案：6 60ＡＥＭ ＣＨＮ第3题. 如图，用20m 长的铁丝网围成一个一面靠墙的矩形养殖场，其养殖场的最大面积为（）2m Ａ．45 Ｂ．50Ｃ．60Ｄ．65答案：Ｂ第4题. 用长8m 的铝合金条制成如图形状的矩形窗框，为了使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是（）Ａ．264m 25 Ｂ．24m 3Ｃ．28m 3Ｄ．24m答案：Ｃ第5题. 用长8m 的铝合金条制成如图形状的矩形窗框，为了使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是（ ） Ａ．264m 25Ｂ．24m 3 Ｃ．28m 3Ｄ．24m答案：Ｃ第6题. 如图，用长10m 的铝合金条制成下部为矩形、上部为半圆的窗框（包括窗棱CD ），若使此窗户的透光面积最大，则最大透光面积为（）2mＡ．50πＢ．504+π Ｃ．508+πＤ．5016+π答案：Ｃ第7题. 图是某市一处十字路口立交桥的横断面在平面直角坐标系中的示意图，横截面的地平线为x 轴，横断面的对称轴为y 轴，桥拱的DGD '部分为一段抛物线，顶点G 的高度为8m ，AD 和A D ''是两侧高为5.5m 的支柱，OA 和OA '为两个方向的汽车通行区，宽都为15m ，线段CD 和C D ''为两段对称的上桥斜坡，其坡度为1:4（即:1:4DA AC =）．（1）求桥拱DGD '所在抛物线的函数表达式．（2）BE 和B E ''为支撑斜坡的立柱，其高都为4m ，为相应的AB 和A B ''两个方向的行人及非机动车通行区，试求AB 和A B ''的宽．（3）按规定，汽车通过桥下时，载货最高处和桥拱间的距离不得小于0.4m ，今有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽为4m ，设备的顶部与地面距离为7m ，它能否从OA （或OA '）区域安全通过，请说明理由．Ｄ ＣＢD 'E ''B ' A 'ＯＡ ＢＣxyＧ Ｄ Ｅ答案：（1）设DGD '所在抛物线为2(0)y ax c a =+<，(08)G ，，(15)D ，5.5，8225 5.5c a c =⎧∴⎨+=⎩，，190a =-，8c =，21890y x ∴=-+． （2）14EB BC =，4BE =，16BC =，22166AB AC BC =-=-=，AB ∴和A B ''宽都为6m ． （3）在21890y x =-+中，当4x =时，137********y =-⨯+=．37197(70.4)04545∴-+=>，∴该货车可以从OA （或OA '）区域安全通过．第8题. 如图所示，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA ，O 恰在水面中心， 1.25m OA =，由A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流离OA 距离为1m 处达到距水面最大高度2.25m ．（1）以O 为坐标轴原点，OA 为y 轴建立直角坐标系，求抛物线ACB 的函数表达式； （2）水池半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外？（3）若水池的半径为3.5m ，要使水流不落到池外，此时水流高度应达多少米（精确到0.1m ）？Ｃ ＡＯy答案：（1）依题意可知(01.25)A ，，(12.25)C ，．抛物线开口向下，∴表达式为22(1) 2.252 1.25y x x x =--+=-++（2）令2(1) 2.250x --+=，得10.5x =-（舍去），2 2.5x =，∴水池半径至少2.5m ． （3）由于抛物线形状与上面相同，即二次项系数为1-，故可设此抛物线为2()y x h k =--+，求得117h =，1413 3.7(m)196k =≈，水流的最大高度为3.7m ．第9题. 如图，在△ABC 中，6AC =，12AB =，3cos 5A =，点M 在AB 上运动，MP AC ∥交BC 于P ，MQ AC ⊥于Q ，设AM x =，梯形MPCQ 的面积为y ．（1）求y 关于x 的函数表达式及自变量x 的取值范围； （2）当梯形MPCQ 的面积为4时，求x 的值；（3）梯形MPCQ 的面积是否有最大值，如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由．答案：（1）由MP AC ∥，得△MBP ∽△ABC ，MP MB AC AB =，162MP x =-．在Rt AQM △中，3cos 5A =，35AQ x =，365CQ x =-，45MQ x =．1()2y MP CQ MQ =+1134662255x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭， ＰＢＱ21124255y x x ∴=-+，06x <<． （2）当1011x =时，4y =．（3）当6011x =时，梯形面积最大，为14411．第10题. 某农场种植一种蔬菜，销售员张平根据往年的销售情况，对今年这种蔬菜的销售价格进行了预测，预测情况如图，图中的抛物线（部分）表示这种蔬菜销售价与月份之间的关系．观察图象，你能得到关于这种蔬菜销售情况的哪些信息？ 答题要求：（1）请提供四条信息； （2）不必求函数的表达式．答案：（1）2月份每千克销售价是3.5元 （2）7月份每千克销售价是0.5元（3）1月到7月的销售价逐月下降（4）7月到12月的销售价逐月上升（5）2月与7月的销售差价是3元／kg （6）7月份销售价最低，1月份销售价最高（7）6月与8月、5月与9月、4月与10月、3月与11月、2月与12月的销售价相同（答案不唯一）第11题. 用12m 长的木条，做一个有一条横档的矩形窗子，为使透进的光线最多，则窗子的横档长为 m ．1 2 3 4 5 6 7 8 9 11112 3 45月份每千克销售价/元答案：2第12题. 如图，用12m 长的木方，做一个有一条横档的矩形窗子，为使透进的光线最多，应选择窗子的长、宽各为 m ．答案：3、2第13题. 如图，在矩形ABCD 中，6cm AB =，12cm BC =，点P 从A 出发沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，同时点Q 从点B 出发沿BC 边以2cm/s 的速度移动，分别到达B ，C 两点后就停止运动．（1）设运动开始后第s t 时，五边形APQCD 的面积为2cm S ，试写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量t 的取值范围．（2）第几秒五边形APQCD 的面积最小？是多少？答案：（1）第s t 时，AP t =，6PB t =-，2BQ t =， 故21(6)262PBQSt t t t =⨯-=-+． 61272ABCD S =⨯=矩形，272672(06)PBQS St t t ∴=-=-+≤≤．ＤＣＱＢＡ（2）2(3)63S t =-+，故当3t =时，S 有最小值63，即第3s 时，五边形APQCD 的面积最小，为263cm ．第14题. 如图，有长为24m 的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度a 为10m ）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB 为cm x ，面积为2m S ． （1）求S 与x 的函数关系式．（2）要围成面积为245m 的花圃，AB 的长是多少米？（3）能围成面积比245m 还大的花圃吗？如果能，求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．答案：（1）243BC x =-，故214(243)32483S x x x x x ⎛⎫=-=-+<⎪⎝⎭≤． （2）由已知得232445x x -+=，即28150x x -+=，解得13x =，25x =，当3x =时，24331510BC =-⨯=>，不合题意，故5x =，即5m AB =． （3）2223243(8)3(4)48S x x x x x =-+=--=--+．1483x <≤，1443>，S ∴随着x 的增大而减小． 故当143x =时，S 有最大值22142483446(m )33⎛⎫--= ⎪⎝⎭．∴能围成面积比245m 还大的花圃．围法：42431031-⨯=，花圃的长BC 为10m ，宽为4m 32．这时花圃面积最大，为2246m 3．第15题. 如图，在Rt△ABC 中，90C ∠=，4BC =，8AC =，点D 在斜边AB 上，分别作DE AC ⊥于E ，DF BC ⊥于F ，设DE x =，DF y =． （1）求y 与x 之间的函数关系，并求出x 的取值范围． （2）设四边形DECF 的面积为S ，试求S 的最大值．答案：（1）由已知得DECF 是矩形，故EC DF y ==，88AE EC y =-=-．由DE BC ∥得△ADE ∽△ABC ，DE AE BC AC ∴=，即848x y-=，82(04)y x x ∴=-<<． （2）2(82)2(2)8S xy x x x ==-=--+． 当2x =时，S 有最大值8．第16题. 某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品． 已知每件产品的进价为40元，每年销售该种产品的总开支 （不含进价）总计120万元．在销售过程中发现，年销售量y （万件）与销售单位x （元）之间存在着如图所示的一次函数关系．（1）求y 关于x 的函数关系式；（2）试写出该公司销售该种产品的年获利z （万元）关于销售单价x （元）的函数关系式（年获利＝年销售额－年销售产品总进价－年总开支）．当销售单价x 为何值时，年获利最大？并求这个最大值；（3）若公司希望该种产品一年的销售获利不低于40万元，借助（2）中函数的图象，请你帮助该公司确定销售单价的范围．在此情况下，要使产品销售量最大，你认为销售单价应定为多少元？ＡＣＤ答案：解：（1）设y kx b =+，它过点(605)(804)，，，560480k b k b =+⎧⎨=+⎩解得：1208k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩1820y x =-+∴． （2）21140120(8)(40)120104402020z yx y x x x x =--=-+--=-+- ∴当100x =元时，最大年获利为60万元．（3）令40z =，得21401044020x x =-+-， 整理得：220096000x x -+= 解得：180x =，2120x =由图象可知，要使年获利不低于40万元，销售单价应在80元到120元之间．又因为销售单价越低，销售量越大，所以要使销售量最大，又要使年获利不低于40万元，销售单价应定为80元．第17题. 如图9，在平行四边形ABCD 中，AD =4 cm ，∠A =60°，BD ⊥AD . 一动点P 从A 出发，以每秒1 cm 的速度沿A →B →C 的路线匀速运动，过点P 作直线PM ，使PM ⊥AD .(1) 当点P 运动2秒时，设直线PM 与AD 相交于点E ，求△APE 的面积；0 20 4060 8012 3 4 5 6 y (万件)x (元4060 080 100 120x (元)z (万元)(2) 当点P 运动2秒时，另一动点Q 也从A 出发沿A →B →C 的路线运动，且在AB 上以每秒1 cm 的速度匀速运动，在BC 上以每秒2 cm 的速度匀速运动. 过Q 作直线QN ，使QN ∥PM . 设点Q 运动的时间为t 秒(0≤t ≤10)，直线PM 与QN 截平行四边形ABCD 所得图形的面积为S cm 2 .① 求S 关于t 的函数关系式；② (附加题) 求S 的最大值.答案：(1) 当点P 运动2秒时，AP =2 cm ，由∠A =60°，知AE =1，PE =3.∴ S ΔAPE =23. (2) ① 当0≤t ≤6时，点P 与点Q 都在AB 上运动，设PM 与AD 交于点G ，QN 与AD 交于点F ，则AQ =t ，AF =2t ，QF =t 23，AP =t +2，AG =1+2t ，PG =t 233+. ∴ 此时两平行线截平行四边形ABCD 的面积为S =2323+t . 当6≤t ≤8时，点P 在BC 上运动，点Q 仍在AB 上运动. 设PM 与DC 交于点G ，QN 与AD 交于点F ，则AQ =t ，AF =2t，DF =4-2t ，QF =t 23，BP =t-6，CP =10-t ，PG =3)10(t -， 而BD =34，故此时两平行线截平行四边形ABCD 的面积为S =3343108352-+-t t . 当8≤t ≤10时，点P 和点Q 都在BC 上运动. 设PM 与DC 交于点G ，QN 与DC 交于点F ，则CQ =20-2t ，QF =(20-2t )3，CP =10-t ，PG =3)10(t -.∴ 此时两平行线截平行四边形ABCD 的面积为S =31503302332+-t t .故S 关于t 的函数关系式为2233(06)53103343(68)33303150 3.(810)t t S t t t t t t ⎧+⎪⎪⎪⎪=-+-⎨⎪⎪-+⎪⎪⎩，≤≤，≤≤≤≤ ②(附加题)当0≤t ≤6时，S 的最大值为237； 当6≤t ≤8时，S 的最大值为36；当8≤t ≤10时，S 的最大值为36；所以当t =8时，S 有最大值为36第18题. 在青岛市开展的创城活动中，某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m ）的空地上修建一个矩形花园ABCD ，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围成（如图所示）．若设花园的BC x 边长为（m ），花园的面积为y （m 2）．（1）求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）满足条件的花园面积能达到200 m 2吗？若能，求出此时x 的值；若不能，说明理由；（3）根据(1)中求得的函数关系式,描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当x 取何值时，花园的面积最大？最大面积为多少？解：（1）（2）A BCD（3）答案：解：（1）根据题意得：(40)2x y x-= 2120(015)2y x x x =-+<∴≤ （2）当200y =时，即21202002x x -+= ∴2404000x x -+=解得：2015x =>015x <∵≤∴此花园的面积不能达到200m 2（3）21202y x x =-+的图像是开口向下的抛物线，对称轴为20x =． ∴当015x <≤时，y x 随的增大而增大∴当15x y =时，有最大值21152015187.52y =-⨯+⨯=最大值（m 2） 即：当15x =时，花园面积最大，最大面积为187.5m 2第19题. 市政府为改善居民的居住环境，修建了环境幽雅的环城公园，为了给公园内的草评定期喷水，安装了一些自动旋转喷水器，如图所示，设喷水管AB 高出地面1.5m ，在B 处有一个自动旋转的喷水头，一瞬间喷出的水流呈抛物线状．喷头B 与水流最高点C 的连线与地平面成45的角，水流的最高点C 离地平面距离比喷水头B 离地平面距离高出2m ，水流的落地点为D ．在建立如图所示的直角坐标系中：（１） 求抛物线的函数解析式；（２） 求水流的落地点D 到A 点的距离是多少m ？答案： 解：在如图所建立的直角坐标系中， 由题意知，B 点的坐标为(01.5)，， 45CBE BEC ∠=∴，△为等腰直角三角形， 2BE ∴=，C ∴点坐标为(23.5)，（1）设抛物线的函数解析式为2(0)y ax bx c a =++≠， 则抛物线过点(01.5)，顶点为(23.5)，，∴当0x =时， 1.5y c ==由22ba -=，得4b a =-， 由24 3.54ac b a -=，得2616 3.54a a a -=解之，得0a =（舍去），1422a b a =-∴=-=，．所以抛物线的解析式为213222y x x =-++．（２）D 点为抛物线213222y x x =-++的图象与x 轴的交点，∴当0y =时，即：2132022x x -++=，解得27x =±，27x =-不合题意，舍去，取27x =+． D ∴点坐标为()(2727AD ∴=+，，（m ）． 答：水流的落地点D 到A 点的距离是(27+m ．Ｅ ＣＦＡ(Ｏ)x D 1.5m45 B。
沪科版九年级数学上册试题 第22章《相似形》单元测试卷(含答案详解)
第22章《相似形》单元测试卷一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P 是线段AB 上一点（AP ＞BP ），若满足，则称点P 是AB 的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x 米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x 满足的方程是（ ）A ．（20﹣x ）2＝20xB ．x 2＝20（20﹣x ）C ．x （20﹣x ）＝202D ．以上都不对2．如图，点D ，E ，F 分别在的边上，，，，点M 是的中点，连接并延长交于点N ，则的值是（ ）A ．B ．C ．D ．3．将含有的三角板按如图所示放置，点在直线上，其中，分别过点，作直线的平行线，，点到直线，的距离分别为，，则的值为（ ）BP APAP AB=ABC V 13AD BD =DE BC ∥EF AB ∥EF BM AC ENAC32029161730︒ABC A DE 15BAD ∠=︒B C DE FG HIB DE HI 1h 2h 12h hA ．1 BCD4．如图，点D 是△ABC 中AB 边上靠近A 点的四等分点，即4AD ＝AB ，连接CD ，F 是AC 上一点，连接BF 与CD 交于点E ，点E 恰好是CD 的中点，若S △ABC ＝8，则四边形ADEF 的面积是（ ）A ．4B ．C ．2D ．5．如图，在边长为的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，的三个顶点均在格点（网格线的交点）上．以原点为位似中心，画使它与的相似比为，则点的对应点的坐标是（ ）A ．B ．C ．或D ．或6．如图，已知、，与相交于点，作于点，点是的中点，于点，交于点，若，，则值为（ ）11-1181171ABC V O 111A B C △ABC V 2B 1B ()42，()42--，()42，()42--，()42，()42，-AB BC ⊥DC BC ⊥AC BD O OM BC ⊥M E BD EF BC ⊥G AC F 4AB =6CD =OM EF -A．B ．C ．D ．7．如图，在平面直角坐标系中，为原点，为平面内一动点，，连接，点是线段上的一点，且满足．当线段取最大值时，点的坐标是（ ）A ．B ．C ．D ．8．如图，四边形是矩形，平分，，、的延长线交于点，连接，连接交于点．下列结论错误的是（）A ．图中共有三个等腰直角三角形B ．C ．D ．9．如图，在平面直角坐标系中，点，点B 是线段上任意一点，在射线上取一点C ，使，在射线上取一点D ，使．所在直线的关系式为，点F 、G分别为线段的中点，则的最小值是（）751253525O OA OB ==C 32BC =AC M AC :1:2CM MA =OM M36,55⎛⎫ ⎪⎝⎭612,55⎛⎫ ⎪⎝⎭ABCD CE BCD ∠AE CE ⊥EA CB F DE BD CE G DGC EBC∠=∠AB AD CG CE⋅=⋅∽CDG CEBV V ()E OE OA OB BC =BC BD BE =OA 12y x =OC DE 、FGABC ．D ．4．810．如图所示，正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，且内接于正方形，连接，．已知正方形与正方形面积之比为，若，则（ ）A BCD ．二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．已知，且，则 ．12．在中，M ，N 分别是BC ，AC 边上一点，连接AM ，BN 交于点P ，若，，则 ．13．正方形中，E ，F 分别是，上的点，连结交对角线于点G ，若恰好平分，，则的值为 ．ABCD FGHI DE BE CE>ABCD FGHI 59DE CH ∥BECE=32::3:5:7a b c =10a b c -+=a b c ++=ABC V :2:3BM CM =:1:4AN CN =:AP MP =ABCD AD DC EF BD BE AEF ∠413DG GB =DE AE14．宽与长的比等于黄金比的矩形称为黄金矩形．古希腊很多矩形建筑中宽与长的比都等于黄金比，如图，矩形ABCD 为黄金矩形，AB ＜AD ，以AB 为边在矩形ABCD 内部作正方形ABEF ，若AD ＝1，则DF ＝ ．15．如图，矩形的两条对角线相交于点O ，，垂足为E ，F 是的中点，连接交于点P，那么．16．如图，中，，，，若正方形的顶点在上，顶点、都在上，射线交边于点，则长为 ．17．如图：等腰直角三角形中，E 为边上一点，．将沿着翻折得到线段，连接，若．ABCD AC BD ，OE AB ⊥OC EF OB OPPB=ABC V 90ACB ∠=︒2BC =4AC =DEFC D AB F G AC AF BC H CH ABC BC 3BE CE =AB AE AD CD AB =CD =18．如图，在矩形中，，，点在直线上，从点出发向右运动，速度为每秒，点在直线上，从点出发向右运动，速度为每秒，相交于点，则的最小值为 ．三、解答题19．（8分）如图，，于点D ，M 是的中点，交于点P ，．若，求的长．ABCD 5cm AB =6cm BC =E AD A 0.5cm F BC B 2cm BE AF 、G BG CG +cm AB AC =AD BC ⊥AD CM AB DN CP ∥6cm AB =PN20．（8分）如图，四边形ABCD 中，AB=AC=AD ，AC 平分∠BAD ，点P 是AC 延长线上一点，且PD ⊥AD ．（1）证明：∠BDC=∠PDC ；（2）若AC 与BD 相交于点E ，AB=1，CE ：CP=2：3，求AE 的长．21．（10分）如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB ，B 是CD 的中点，CD 是水平的，在阳光的照射下，塔影DE 留在坡面上.若铁塔底座宽CD=12m ，塔影长 m ，小明和小华的身高都是1.6m ，同一时刻小明站在点E 处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m 和1m ，求塔高AB．18DE22．（10分）如图1，在，，，D 为上一点，连接，分别过点A 、B 作于点N ，于点M ．（1）求证：；（2）若点D 满足，求的长；（3）如图2，若点E 为中点，连接，求证：．图1 图2Rt ABC △90ACB ∠=︒1AC BC ==AB CD AN CD ⊥BM CD ⊥ACN CBM V V ≌21BDAD =∶∶DM AB EM 45EMN ∠=︒23．（10分）如图，在正方形中，点是对角线上一点，的延长线交于点，交的延长线于点，连接．（1）求证：；（2）求证：；（3）若的长．ABCD G BD CG AB E DA F AG CG AG =2AB BE DF =⋅GE =GC =EF24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点A 在轴的正半轴上，点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，且，线段、的长是一元二次方程的两个根，且.（1）求点A 、点的坐标；（2）求点的坐标；（3）若直线过点A 交线段于点，且，求点坐标；（4）在平面内是否存在一点，使得以为直角顶点的与相似，若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.x B x C y 90ACB ∠=︒OB OA 213360x x -+=OB OA <B C l BC D :1:2ABD ADC S S =△△D P P APC △ABC V P答案一、单选题1．A【分析】点P 是AB 的黄金分割点，且PB ＜PA ，PB ＝x ，则PA ＝20−x ，则，即可求解．解：由题意知，点P 是AB 的黄金分割点，且PB ＜PA ，PB ＝x ，则PA ＝20−x ，∴，∴（20−x ）2＝20x ，故选：A ．2．A【分析】过点F 作交AC 于点G,可证．同理，可得，，；由,得，于是；设，则，，，从而得．解：过点F 作交AC 于点G,∴∴．BP AP AP AB=BP AP AP AB =FG BN ∥EN GN =13AE AD EC DB ==3EC AE =13AE BF EC FC ==FG BN ∥13BF NG FC GC ==3GC NG =EN NG a ==3=GC a 5EC a =203AC a =320EN AC =FG BN ∥1EN EM GN FM==EN GN =∵，∴．∴．∵，∴．∵,∴．∴．设，则，∴∴．∴．∴．∴．故选：A3．B【分析】设交于点，由，得三角形BCM 为等腰直角三角形，再由含30度角直角三角形三边长比及等腰直角三角形的边长比，设BC 为x ，可得MA 为，再由平行线分线段成比例求解．解：设交于点，∵，，DE BC ∥13AE AD EC DB ==3EC AE =EF AB ∥13AE BF EC FC ==FG BN ∥13BF NG FC GC ==3GC NG =EN NG a ==3=GC a 5EC EN NG GC a=++=35EC AE a ==53AE a =520+533AC AE EC a a a =+==320203EN a AC a ==CE FG M 45DAC BAD CAB ∠=∠+∠=︒MA x =-CE FG M 30CAB ∠=︒15BAD ∠=︒∴，∵，∴，三角形为等腰直角三角形，在Rt △ABC 中，设长为，则，∵，∴，∴，∵，∴，故选：B ．4．D【分析】过D 点作DG∥EF ，连接AE ，，GF ＝FC ，再计算△ADE 和△AEF 的面积即可．解：过D 点作DG ∥EF ，连接AE ，∵点E 恰好是CD 的中点，4AD ＝AB ，∴，GF ＝FC ，设AG ＝k ，则AF ＝4k ，GF ＝3k ，FC ＝3k ，∴，∵，S △ABC ＝8，∴，∴，∵，∴，∴＝．45DAC BAD CAB ∠=∠+∠=︒//FG DE 45CMB DAC ∠=∠=︒BCM BC x CM BC x ==30CAB ∠=︒CA ==MA x =-////HI FG DE 121h MA h CM ===14AG AD AF AB ==14AG AD AF AB ==43AF FC =14ACD ABC S AD S AB ∆∆==124ACD ABC S S ∆∆==112ADE AEC ACD S S S ∆∆∆===43AEFCEF S AF S CF ∆∆==4477AEF AEC S S ∆∆==417ADE AEF ADEF S S S ∆∆=+=+四边形117故选：D ．5．C【分析】直接利用位似图形的性质画出三角形顶点的对应点，再顺次连接即可画出图形，根据点的位置写出坐标即可．解：如图所示，当和在原点同侧时，∵与的相似比为2，，∴，即；如图所示，当和在原点两侧时，∵与的相似比为2，，∴，即；综上所述，或，故选C．1B ABC V 111A B C △111A B C △ABC V ()2,1B ()122,12B ⨯⨯()142B ，ABC V 111A B C △111A B C △ABC V ()2,1B ()122,12B -⨯-⨯()142B --，()142B --，()142B ，6．A【分析】证明，，，，求出，求出，，得出即可得出答案．解：、，，∴，，，∴，，∴，，∴，，∴，点是的中点，，，，∴，，∴，∴，故选：．7．DCOM CAB △∽△BOM BDC V V ∽OM CM AB BC =OM BM DC BC =125OM =132EG CD ==122FG AB ==1EF EG FG =-=AB BC ⊥ DC BC ⊥OM BC ⊥OM AB CD ∥∥COM CAB ∴V V ∽BOM BDC V V ∽OM CM AB BC =OM BM DC BC =4OM CM BC =6OM BM BC=125OM =EF BC ⊥ EG AB CD ∥∥ E BD BE DE ∴=BG CG ∴=CF AF ∴=132EG CD ==122FG AB ==1EF EG FG =-=75OM EF -=A【分析】由题意可得点在以点为圆心，为半径的上，在轴的负半轴上取点，连接，分别过、作，，垂足为、，先证，得，从而当取得最大值时，取得最大值，结合图形可知当，，三点共线，且点在线段上时，取得最大值，然后分别证，，利用相似三角形的性质即可求解．解：∵点为平面内一动点，，∴点在以点为圆心，为半径的上，在轴的负半轴上取点，连接，分别过、作，，垂足为、，∵∴∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴当取得最大值时，取得最大值，结合图形可知当，，三点共线，且点在线段上时，取得最大值，C B 32OB x 0D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭BD C M CF OA ⊥ME OA ⊥F E OAM DAC V V ∽23OM OA CD AD ==CD OM D B C B DC CD BDO CDF V V ∽AEM AFC V V ∽C 32BC =C B 32OB x 0D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭BD C M CF OA ⊥ME OA ⊥F E OA OB ==AD OD OA =+=23OA AD =:1:2CM MA =23OA CM AD AC==OAM DAC ∠∠=OAM DAC V V ∽23OM OA CD AD ==CD OM D B C B DC CD∵∴，∴，∵，∴，∵轴轴，，∴，∵，∴，∴，解得同理可得，，∴，解得∴∴当线段取最大值时，点的坐标是，故选D ．8．A【分析】根据矩形的性质以及角平分线的性质得，是等腰直角三角形，，是等腰直角三角形，由证明，可得，，则，是等腰直角三角形，由，可得，由三角形外角的性质可得，证明，列比例式并结合等量代换可得．OAOB ==OD =BD =152==9CD BC BD =+=23OM CD =6OM =y x ⊥CF OA ⊥90DOB DFC ∠∠==︒BDO CDF ∠∠=BDO CDF V V ∽OB BD CF CD =1529=CF =AEM AFC V V ∽23ME AM CF AC ==23=ME =OE ===OM M 45DCE BCE ∠=∠=︒CEF △45F DCE ∠=∠=︒ABF △SAS (SAS)≌EBF EDC V V FEB CED ∠=∠BE ED =90FEB CEB CEB CED ∠+∠=∠+∠=︒BED V EBF EDC △≌△FEB CED ∠=∠DGC EBC ∠=∠∽CDG CEB V V AB AD CG CE ⋅=⋅解：如图：四边形是矩形，，，，平分，，，，是等腰直角三角形，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，故A 错误；，，，，故B 正确；，，故D正确；ABCD AB CD ∴=90ABC BCD ADC ∠=∠=∠=︒90ABF ∴∠=︒CE BCD ∠45DCE BCE ∴∠=∠=︒AE CE ⊥ 90FEC ∴∠=︒CEF ∴V EF CE ∴=45F ∠=︒ABF ∴V BF AB CD ∴==45F DCE ∠=∠=︒ (SAS)≌EBF EDC ∴V △FEB CED ∴∠=∠BE ED =90FEB CEB CEB CED ∴∠+∠=∠+∠=︒BE ED = BED ∴V DCH V 45EBD ∴∠=︒45DGC GCB CBG CBG ∠=∠+∠=︒+∠ 45EBC EBD CBG CBG ∠=∠+∠=︒+∠DGC EBC ∴∠=∠DCG ECB ∠=∠ ∽CDG CEB ∴V V，，，，，故C 正确．故选：A ．9．A【分析】如图所示，连接，设射线交射线于H ，过点H 作于M ，连接，先根据三线合一定理得到，，进而证明四边形是矩形，得到，，故当点B 与点M 重合时，最小，即最小，最小值为，设，则，求出，利用相似三角形的性质求出（舍去），则的最小值为．解：如图所示，连接，设射线交射线于H ，过点H 作于M ，连接，∵，，点F 、G 分别为线段的中点，∴，，∵，∴，即，∴四边形是矩形，∴，，∴当最小时，最小，∴当点B 与点M 重合时，最小，即最小，最小值为，∵点H 在直线上，∴可设，∴，∵，CD CG CE CB∴=CD AB = BC AD =AB CG CE AD∴=AB AD CG CE ∴⋅=⋅BF BG ，ED OA HM OE ⊥BH BF OC BG DE ⊥，⊥OBF CBF DBG EBG ==∠∠，∠∠BFHG FG BH =90OHE ∠=︒BH FG HM ()2H m m ，2OM m HM m ==，OE =OMH HME △∽△m =0m =FG BF BG ，ED OA HM OE ⊥BH OB BC =BD BE =OC DE 、BF OC BG DE ⊥，⊥OBF CBF DBG EBG ==∠∠，∠∠180OBF CBF DBG EBG +++=︒∠∠∠∠90CBF DBG +=︒∠∠90FBG ∠=︒BFHG FG BH =90OHE ∠=︒BH FG BH FG HM 12y x =()2H m m ，2OM m HM m ==，()E∴∵，∴，又∵，∴，∴，∴∴（舍去），经检验，∴，故选A ．10．A【分析】设，，则，根据正方形与正方形面积之比为，得到，求出，作交于点M ，作交于点P ，证明出，设，则然后利用相似三角形的性质得到，然后解方程求解即可．解：由题意可得，∴设，，则，∵，∴，OE =90MEH HOE MHO MOH +=︒=+∠∠∠∠MHO MEH =∠OMH HME =∠∠OMH HME △∽△OM HM HM ME=2m m =m =0m =m =FG CI DH a ==CH b =IH a b =+ABCD FGHI 59()22259a b a b +=+2BI CH a ==BM GH ⊥GH NE BM ⊥BM BPE ENC ∽V V CN m =IN BP a m ==+a m a a m +=BIC CHD ≌V V CI DH a ==CH b =IH a b =+90H ∠=︒22222CD CH DH a b =+=+∵正方形与正方形面积之比为，∴，即，∴整理得，∴，解得或（舍去），∴，∴，如图所示，作交于点M ，作交于点P ，由题意可得，，∵，∴四边形，是矩形，∴，，∴，∴设，则，∵，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，ABCD FGHI 592259CD IH =()22259a b a b +=+222520a ab b -+=25220a a b b ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭12a b =2a b=2b a =2BI CH a ==BM GH ⊥GH NE BM ⊥BM AGD DHC ≌V V ED CH ∥BINP ENHD 2PN BI a ==EN DH a ==PE PN EN a =-=CN m =IN BP a m ==+BE CE ⊥90BEP CEN ∠+∠=︒BP PN ⊥90BEP PBE ∠+∠=︒CEN PBE ∠=∠90BPE ENC ∠=∠=︒BPE ENC ∽V V∴，即，∴整理得，∴，∴解得，∴故选：A ．二、填空题11．30【分析】设，，，根据得到，求得，从而得出，，，代入进行计算即可．解：，设，，，，，解得：，，，，，故答案为：30．12．【分析】过点M 作，交于点Q ，根据平行线分线段成比例可得，设，求出，即可求解．解：过点M 作，交于点Q ，BP PE BE EN CN CE ==a m a a m+=220a am m -+=210a a m m ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭a m =BE CE =3a k =5b k =7c k =10a b c -+=35710k k k -+=2k =6a =10b =14c =::3:5:7a b c = ∴3a k =5b k =7c k =10a b c -+= 35710k k k ∴-+=2k =6a ∴=10b =14c =6101430a b c ∴++=++=5:8MQ BN ∥AC 23BM NQ CM CQ ==2,3NQ k CQ k ==54k AN =MQ BN ∥AC∵，∴，设，∴，∵，∴，则，∵，∴，故答案为：．13．或4【分析】延长交于R ，作于T ，不妨设，，，可证得是等腰三角形，可推出，进而表示出，然后解，从而求出x 的值，进而可得结果．解：如图，延长交于R ，作于T ，，不妨设，，则，设，MQ BN ∥23BM NQ CM CQ ==2,3NQ k CQ k ==5CN NQ CQ k =+=:1:4AN CN =154AN k =54k AN =MQ PN ∥55428kAP AN MP NQ k ===5:812EF BC GT DE ⊥4DG =13GB =4DE x =REB V 413EG DE DG RG BR BG ===EG DEG △EF BC GT DE ⊥ 413DG GB =∴4DG =13GB =17BD =4DE x =四边形是正方形，，，，，，恰好平分，，，，，在中，，由勾股定理得，解得，，当，当，综上所述，或4，故答案为：或4．14【分析】先根据黄金矩形求出AB ，再利用正方形的性质求出AF ，然后进行计算即可解答．解：∵矩形ABCD 为黄金矩形，AB ＜AD ，ABCD ∴BC AD ∥AD ==∴EBC AEB ∠=∠4AE AD DE x =-=413EG DE DG RG BR BG ===∴13BR x = BE AEF ∠∴AEB FEB ∠=∠∴EBC FEB ∠=∠∴13ER BR x ==∴4521717EG ER x ==Rt EGT V GT DT DG ===4ET DE DT x =-=-((22252417x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭1x =2x =∴4DE x ==DE =AE ==∴4DE AE=DE =AE ==∴12DE AE =12DE AE =12∴∴∵四边形ABEF 是正方形，∴∴DF=AD -AF=15．【分析】根据矩形性质得到，利用三角形的三线合一得，过O 作交于点Q ，则有，，计算即可．解：∵是矩形，∴，∵F 是的中点，∴，又∵，∴，过O 作交于点Q ，∴，，∴，故答案为：．16．AB AD =AB AD ==1=13OA OB OC ==AE EB =OQ AB P EF OQF AEF V V ∽OQP BEP V V ∽ABCD OA OB OC ==OC 1122OF OC OA ==OA OB =OE AB⊥AE EB =OQ AB P EF OQF AEF V V ∽OQP BEP V V ∽13OP OQ OQ OF PB BE AE AF ====1343【分析】证明，，由相似三角形的性质得出 ， ，设， 可得，， 从而可得出答案．解：∵四边形为正方形， ，∴，，∴，， ∴， ， 设， ∴，， ∴， ∴， ∴．故答案为 ．17．2【分析】如图，作，使，连接，，交于，过作于，可得，，可得，求解，，可得，由对折可得：，，，证明，可得，再证明，可得，有，，求解，可得，从而可得答案．解：∵等腰直角三角形，∴，如图，作，使，连接，，交于，过作于，△∽△ADG ABC AEF AHC V V ∽DG AG BC AC=EF AF CH AC =DG EF x ==24x AG =4x AG x CH +=DGFE 90ACB ∠=︒DG EF BC ∥∥DG EF =△∽△ADG ABC AEF AHC V V ∽DG AG BC AC=EF AF CH AC =DG EF x ==24xAG =4x AG x CH +=2AG x =24x x x CH +=43CH =43AH AE ⊥AH AE =DE EH CH DE K A AF BC ⊥F BAE CAH ∠=∠BC ==12AF CF BC ===()SAS BAE CAH ≌△△454590BCH ∠=︒+︒=︒BE CH ==CE EF ==AH AE ===52EH ==AB AD ==BAE DAE ∠=∠DE BE =45ADE ABE ∠=∠=︒()SAS AEC AHD V V ≌90ECH EDH ∠=∠=︒()Rt Rt HL HEC EHD V V ≌HED CHE ∠=∠CH DE ==EK HK =CK DK =EK HK ==CK DK ===HKE CKD V V ∽ABC AB =AB AC ==BC =AH AE ⊥AH AE =DE EH CH DE K A AF BC ⊥F∵等腰直角三角形，∴，，∴，∴，∴，，∴，∵，∴，，∴∴，由对折可得：，，，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，ABC 90BAC EAH ∠=︒=∠AB AC ==45B ACB ∠=∠=︒BAE CAH ∠=∠BC ==12AF CF BC ===()SAS BAE CAH ≌△△BE CH =45B ACH ∠=∠=︒454590BCH ∠=︒+︒=︒3BE CE =BE CH ==CE EF ==AH AE ===52EH =AB AD ==BAE DAE ∠=∠DE BE ==45ADE ABE ∠=∠=︒90BAC EAH ∠=∠=︒90BAE EAC DAE DAH ∠+∠=︒=∠+∠EAC DAH ∠=∠AE AH =AB AC AD ==()SAS AEC AHD V V ≌45ACE AHD ∠=∠=︒CE HD ==454590EDH ∠=︒+︒=︒90ECH EDH ∠=∠=︒EH EH =CE DH =()Rt Rt HL HEC EHD V V ≌∴，，∴，，由勾股定理可得：，∴，∴，∴，∴，，∴，∴，∴，故答案为：218．10【分析】过点作直线，分别交、于点，过点作直线，分别交、于点，易知四边形、、为矩形，证明，由相似三角形的性质可得；设两点运动时间为，则，，易得，；作点关于直线的对称点，由轴对称的性质可得，故当三点共线时，的值最小，即取最小值，此时，在中，由勾股定理求得的值，即可获得答案．解：如下图，过点作直线，分别交、于点，过点作直线，分别交、于点，HED CHE ∠=∠CH DE ==EK HK =CK DK =222EK CE CK =+222EK EK ⎫=-+⎪⎪⎭EK HK ==CK DK ===45DK CK EK HK ===HKE DKC ∠=∠HKE CKD V V ∽45CD CK HE HK ==4452552CD EH ==⨯=G MN BC ⊥AD BC M N 、G PQ CD ∥AB DC P Q 、ABNM PBNG GNCQ GAE GFB V V ∽AE GM BF GN =E F 、t 0.5AE t =2BF t =1cm GM =4cm GN =C PQ K CG KG =B G K 、、BG KG +BG CG +Rt BCK △BK G MN BC ⊥AD BC M N 、G PQ CD ∥AB DC P Q 、易知四边形、、为矩形，，∵四边形为矩形，∴，∴，，∴，∴，设两点运动时间为，则，，则有，即，∵，∴，，∵四边形为矩形，∴，作点关于直线的对称点，如图，则，，由轴对称的性质可得，当三点共线时，的值最小，即取最小值，此时，在中，，∴的最小值为．故答案为：10．三、解答题19．ABNM PBNG GNCQ 5cm MN AB ==ABCD AD BC ∥AB DC∥GAE GFB ∠=∠GEA GBF ∠=∠GAE GFB VV ∽AEGM BF GN=E F 、t 0.5AE t =2BF t =0.5124GM t GN t ==4GN GM =5cm MN =1cm GM =4cm GN =GNCQ 4cm QC GN ==C PQ K 4cm QK QC ==8cm KC QK QC =+=CG KG =B G K 、、BG KG +BG CG +Rt BCK △10cm BK ===BG CG +10cm解：∵，，∴，又∵，∴，∴，∵点M 是线段的中点，，∴，∴，∴，∵，∴．20．解：（1）证明：∵AB=AD ，AC 平分∠BAD ，∴AC ⊥BD ，∴∠ACD+∠BDC=90°，∵AC=AD ，∴∠ACD=∠ADC ，∴∠ADC+∠BDC=90°，∵PD ⊥AD ，∴∠ADC+∠PDC=90°，∴∠BDC=∠PDC ；（2）解：过点C 作CM ⊥PD 于点M ，AB AC =AD BC ⊥BD DC =DN CM ∥1BN BD PN DC==BN NP =AD DN CM ∥1AP AM PN MD==AP PN =13PN AB =6cm AB =()1162cm 33PN AB ==⨯=∵∠BDC=∠PDC ，∴CE=CM ，∵∠CMP=∠ADP=90°，∠P=∠P ，∴△CPM ∽△APD ，∴=，设CM=CE=x ，∵CE ：CP=2：3，∴PC=x ，∵AB=AD=AC=1，∴=，解得：x=，故AE=1-=．21．解：如图，过点D 作，交AE 于点F ，过点F 作，垂足为点G.由题意得，，∴，∵，，∴，∴，答：塔高AB 为24m.CM AD PC PA32x 13x 23x 12+131323DF CD ⊥FG AB ⊥1.62DF DE =18 1.6214.4(m)DF =⨯÷=16m 2GF BD CD === 1.61AG GF =1.669.6(m)AG =⨯=14.49.624(m)AB =+=22．解：（1）证明：∵，，∴，，又∵，∴，∴∵，∴；（2）解：∵，，∴，∴，设，则，由（1）知，，∵，∴，∴，∴，∴，∴；（3）解：延长，相交于点H，AN CD ⊥BM CD ⊥90ANC ∠=︒90BMC ∠=︒90ACB ∠=︒90ACN BCM BCN CBM ∠+∠=∠+∠=︒ACN CBM∠=∠AC BC =()ACN CBM ASA V V ≌AND BMD ∠=∠ADN BDM ∠=∠AND BMD V V ∽12AN DN AD BM DM DB ===AN x =2BM x =AN CM x ==2BM CN x ==222AN CN AC +=()22221x x +=x =CM =CN =MN 2233DM MN ===ME AN∵E 为的中点，∴∵，，∴，∴，，∴，∴，又∵，∴，又∴，∴，∴．23．解：（1）证明：∵是正方形的对角线，∴，，在和中，，∴，∴；（2）证明：∵四边形是正方形，∴，，，AB AE BE=90ANM ∠=︒90BMN ∠=︒AN BM ∥HAE MBE ∠=∠AHE BME ∠=∠()AAS AHE BME V V ≌AH BM =BM CN =CN AH =CM AN=MN HN =45HMN ∠=︒45EMB ∠=︒BD ABCD 45C D B A D B ∠=∠=︒DC DA =CDG V ADG △DC DA CDG ADG DG DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SAS CDG ADG ≌△△CG AG =ABCD 90CBE FDC ∠=∠=︒CB CD AB ==CB DF ∥∴，∴，∴，即，∴；（3）解：∵∴，∵四边形是正方形，∴，，，∴，∴，，∴，∴，设，则，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，∴的长为24．（1）解：∵，∴．∴．∵点A 在轴的正半轴上，点在轴的负半轴上，BCE DFC ∠=∠BCE DFC ∽△△CB FD BE DC =AB FD BE AB=2AB BE DF =⋅GE =GC =CE CG GE =+=ABCD CD AB ∥CD AB =CB AD ∥BE CD ∥EBG CDG ∠=∠BEG DCG ∠=∠BEG DCG ∽△△BE GE DC GC ==BE =6CD x =(66AE AB BE CD BE x x =-=-==AF CB ∥FAE CBE ∠=∠AFE BCE ∠=∠AFE BCE △∽△EF AE EC BE==EF =EF 213360x x -+=(4)(9)0x x --=124,9x x ==x B x∴A 点坐标为，B 点坐标为，（2）∵A 点坐标为，B 点坐标为，∴，设点C 的坐标为，则，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，解得，经检验，是方程的解且符合题意，∴点C 的坐标是；（3）过点D 作轴于点E ，轴于点F ，如图，则，∴，，∵，∴．∴；，∵，，∴；，()9,0()4,0-()9,0()4,0-9,4OA OB ==()0,t ()0t >OC t =90ACB ∠=︒90AOC COB ∠=∠=︒90OCB ACO OCB OBC ∠+∠=∠+∠=︒ACO OBC ∠=∠ACO CBO V V ∽OC AO OB OC=94tt =6t =6t =()0,6DE x ⊥DF y ⊥DE OC ∥DF OB∥BED BOC V V ∽CDF CBO V V ∽:1:2ABD ADC S S =△△:1:2BD DC =13DE BD OC BC ==23DF CD BO BC ==4OB =6OC =2DE =243DF =解得．∴．（4）解：存在，求解过程如下：设，由题意可得：，，当时，，即，，解得，或，即点坐标为或，当时，，即，，解得或，即点坐标为或，综上可知，满足条件的P 点为：或或或83DF =8,23D ⎛⎫- ⎪⎝⎭(,)P x y 13AB OB OA =+=BC ===AC ===AP =CP =APC ACB △∽△AP AC PC AC AB CB ==29AC AP AB===6AC CB CP AB ⨯===00x y =⎧⎨=⎩721310813x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩P (0,0)72108,1313⎛⎫⎪⎝⎭APC BCA △∽△AP AC PC BC AB AC ==6AC BC AP AB ⨯===29AC CP AB===96x y =⎧⎨=⎩45133013x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩P ()9,64530,1313⎛⎫- ⎪⎝⎭(0,0)72108,1313⎛⎫ ⎪⎝⎭()9,64530,1313⎛⎫- ⎪⎝⎭。
沪科版九年级数学上21.2二次函数的图象和性质同步练习含答案
【一课一练】22.2二次函数y=ax 2的图象和性质(50分钟，共100分)班级：_______ 姓名：_______ 得分：_______ 一、请准确填空(每小题3分，共24分)1.设一圆的半径为r ，则圆的面积S =______，其中变量是_____.2.有一长方形纸片，长、宽分别为8 cm 和6 cm ，现在长宽上分别剪去宽为x cm (x <6)的纸条(如图1)，则剩余部分(图中阴影部分)的面积y =______，其中_____是自变量，_____是函数.图1 3.下列函数中：①y =－x 2；②y =2x ；③y =22+x 2－x 3；④m =3－t －t 2是二次函数的是__ ____(其中x 、t 为自变量).4.函数y =622--a a ax是二次函数，当a =_____时，其图象开口向上；当a =__ _ 时，其图象开口向下.5.如图2，根据图形写出一个符合图象的二次函数表达式：______.6.若抛物线y =ax 2经过点A (3，－9)，则其表达式为______.7.函数y =2x 2的图象对称轴是______，顶点坐标是______.8.直线y =x +2与抛物线y =x 2的交点坐标是______. 二、相信你的选择(每小题3分，共24分)9.下列各关系式中，属于二次函数的是(x 为自变量) （ ） A.y =81x 2B.y =12-xC.y =21xD.y =a 2x 10.函数y =ax 2+bx +c (a ，b ，c 是常数)是二次函数的条件是（ ） A.a ≠0，b ≠0，c ≠0 B.a <0，b ≠0，c ≠0 C.a >0，b ≠0，c ≠0 D.a ≠011.函数y =ax 2(a ≠0)的图象与a 的符号有关的是（ ） A.顶点坐标 B.开口方向 C.开口大小 D.对称轴12.函数y =ax 2(a ≠0)的图象经过点(a ，8)，则a 的值为（ ） A.±2 B.－2 C.2 D.313. 自由落体公式h =21gt 2(g 为常量)，h 与t 之间的关系是（ ） A.正比例函数 B.一次函数 C.二次函数 D.以上答案都不对 14.如图3平面直角坐标系中，函数图象的表达式应是（ ）xA.y =23x 2 B.y =32x 2 C.y =34x 2 D.y =43x 2 15.下列结论正确的是（ ） A.y =ax 2是二次函数B.二次函数自变量的取值范围是所有实数C.二次方程是二次函数的特例D.二次函数的取值范围是非零实数16.在图4中，函数y =－ax 2与y=ax +b 的图象可能是（ ）yxyyCD图4三、考查你的基本功(共16分)17.(8分)已知函数y =(m 2－m )x 2+(m －1)x +m +1. (1)若这个函数是一次函数，求m 的值;(2)若这个函数是二次函数，则m 的值应怎样？18.(8分)先画出函数图象，然后结合图象回答下列问题：(1)函数y =3x 2的最小值是多少？(2)函数y =－3x 2的最大值是多少？(3)怎样判断函数y =ax 2有最大值或最小值？与同伴交流.四、生活中的数学(共16分)19.(8分)如图5，一块草地是长80 m 、宽60 m 的矩形，欲在中间修筑两条互相垂直的宽为x m 的小路，这时草坪面积为y m 2.求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.20.(8分)图6中动物身体的部分轮廓线呈抛物线形状，你还能找出类似的动物或植物吗？(最少举三个)图6 五、探究拓展与应用(共20分)21.(10分)二次函数y =－2x 2的图象与二次函数y =2x 2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？作图看看.它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？与同伴交流.22.(10分)已知一次函数y =ax +b 的图象上有两点A 、B ，它们的横坐标分别是3，－1，若二次函数y =31x 2的图象经过A 、B 两点. (1)请求出一次函数的表达式;(2)设二次函数的顶点为C ，求△ABC 的面积.参考答案一、1.πr2S、r 2.(6－x)(8－x) x y 3.①④4.4 －25.y=－2x2(不唯一)6.y=－3x27.y轴 (0，0) 8.(2，4)，(－1，1)二、9.A 10.D 11.B 12.C 13.C 14.D 15.B 16.D三、17.解：(1)∵m2－m=0，∴m=0或m=1.∵m－1≠0，∴当m=0时，这个函数是一次函数.(2)∵m2－m≠0，∴m1=0，m2=1.则当m1≠0，m2≠1时，这个函数是二次函数.18.解：(1)0 (2)0(3)当a>0时，y=ax2有最小值,当a<0时，y=ax2有最大值.四、19.解：y=(80－x)(60－x)=x2－140x+4800(0≤x＜60).20.如：某些树的树冠、叶片等；动物中鸡的腹部、背部等.五、21.解：两个图象关于x 轴对称；整个图象是个轴对称图形.y =－2x 2 ⎪⎩⎪⎨⎧(0,0)顶点坐标轴对称轴开口方向向下yy =2x 2⎪⎩⎪⎨⎧(0,0) 顶点坐标轴对称轴开口方向向上y 22.解：(1)设A 点坐标为(3，m )；B 点坐标为(－1，n ). ∵A 、B 两点在y =31x 2的图象上, ∴m =31×9=3, n =31×1=31. ∴A (3，3),B (－1，31). ∵A 、B 两点又在y =ax +b 的图象上,∴⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=.31,33b a b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧==.1,32b a∴一次函数的表达式是y =32x +1. (2)如下图，设直线AB 与x 轴的交点为D ，则D 点坐标为(－23，0). ∴|DC |=23. S △ABC =S △ADC －S △BDC=21×23×3－21×23×31 =49－41=2.。
九年级上册第二十二章《二次函数》单元测试卷(含答案解析)
第二十二章《二次函数》单元测试卷一、选择题（每小题只有一个正确答案） 1．下列函数中，是二次函数的为（ ）A ． y =2x +1B ． y =(x −2)2−x 2C ． y =2x 2 D ． y =2x(x +1) 2．二次函数y=2（x ﹣1）2+3的图象的对称轴是（ ） A ． x=1 B ． x=﹣1 C ． x=3 D ． x=﹣33．将抛物线y=x 2向左平移2个单位，再向下平移5个单位，平移后所得新抛物线的表达式为（ ）A ． y=（x +2）2﹣5B ． y=（x +2）2+5C ． y=（x ﹣2）2﹣5D ． y=（x ﹣2）2+5 4．（已知二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc ＞0；②2a +b ＞0；③b 2﹣4ac ＞0；④a ﹣b +c ＞0，其中正确的个数是（ ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 45．已知二次函数y =ax 2−bx −2（a≠0）的图象的顶点在第四象限，且过点（﹣1，0），当a ﹣b 为整数时，ab 的值为（ ）A ． 34或1 B ． 14或1 C ． 34或12D ． 14或346．下列具有二次函数关系的是( )A ． 正方形的周长y 与边长xB ． 速度一定时，路程s 与时间tC ． 三角形的高一定时，面积y 与底边长xD ． 正方形的面积y 与边长x7．给出下列四个函数：y=，2x，y=2x，1，y=3x ，x，0，，y=，x 2+3，x，0），其中y 随x 的增大而减小的函数有（ ）A ． 3个B ． 2个C ． 1个D ． 0个8．在直角坐标系xOy 中，二次函数C 1，C 2图象上部分点的横坐标、纵坐标间的对应值如下表：则关于它们图象的结论正确的是（）A．图象C1，C2均开口向下B．图象C1的顶点坐标为（2.5，，8.75，C．当x，4时，y1，y2D．图象C1，C2必经过定点（0，，5，9．如图，二次函数y=ax 2+bx+c的图象过点A（3，0），对称轴为直线x=1，给出以下结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③a+b+c≥ax2+bx+c；④若M（x2+1，y1）、N（x2+2，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2，其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④10．已知二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，则一次函数y=ax+b的图象是（）A．B．C．D．11．如图，抛物线y=−23x2+103x+4分别交x轴于A，B两点，与y轴交于点C，动点P从D(0,2)出发，先到达x轴上的某点E，再到达抛物线对称轴上的某点F，最后运动到点C，求点P运动的最短路径长为()A．√61B．8C．7D．912．二维码已经给我们的生活带来了很大方便，它是由大小相同的黑白两色的小正方形（如图1中C）按某种规律组成的一个大正方形，现有25×25格式的正方形如图1，角上是三个7×7的A型大黑白相间正方形，中间右下一个5×5的B型黑白相间正方形，除这4个正方形外，若其他的小正方形白色块数y与黑色块数x正好满足如图2所示的函数图象，则该25×25格式的二维码共有多少块黑色的C型小正方形（）A．153B．218C．100D．216二、填空题13．二次函数y，kx2，x，2经过点(1，5)，则k，_________.14．若函数y，(m，3)x m2＋2m－13是二次函数，则m，______.15．若抛物线y=x2−6x+m与x轴没有交点，则m的取值范围是______，16．已知抛物线y=ax2+bx+c，a，0）的顶点为（2，4），若点（﹣2，m，，，3，n）在抛物线上，则m_____n（填“，”，“=”或“，”，，17．用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长20m，当矩形的长、宽各取某个特定的值时，菜园的面积最大，这个最大面积是_____m2．三、解答题18．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2﹣2hx+h的图象的顶点为点D．（1）当h=﹣1时，求点D的坐标；（2）当﹣1≤x≤1时，求函数的最小值m．（用含h的代数式表示m）19．二次函数y=，m+1，x2，2，m+1，x，m+3，，1）求该二次函数的对称轴；，2）过动点C，0，n）作直线l，y轴，当直线l与抛物线只有一个公共点时，求n关于m的函数表达式；，3）若对于每一个给定的x值，它所对应的函数值都不大于6，求整数m，20．某商场销售一种商品，进价为每个20元，规定每个商品售价不低于进价，且不高于60元.经调查发现，每天的销售量y(个）与每个商品的售价x(元）满足一次函数关系，其部分数据如下表所示：，1，求y与x之间的函数关系式；，2，设商场每天获得的总利润为w（元），求w与x之间的函数关系式；，3，不考虑其他因素，当商品的售价为多少元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是多少？21．已知二次函数y=kx2+（k+1）x+1（k≠0）．（1）求证：无论k取任何实数时，该函数图象与x轴总有交点；（2）如果该函数的图象与x轴交点的横坐标均为整数，且k为整数，求k值．22．如图，抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A，经过点A的直线交该抛物线于点B，交y轴于点C，且点C是线段AB的中点．(1)求这条抛物线对应的函数解析式；(2)求直线AB对应的函数解析式．23．如图所示，二次函数y=﹣2x2+4x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一个交点为B．且与y轴交于点C．（1）求m的值及点B的坐标；（2）求△ABC的面积；（3）该二次函数图象上有一点D（x，y），使S△ABD=S△ABC，请求出D点的坐标．参考答案1．D【解析】【分析】先把它们整理成一般形式，再根据二次函数的定义解答．【详解】A选项：一次函数，错误；B选项：原函数可化为：y=-4x+4，一次函数，错误；C选项：不是整式，错误；D选项：原函数可化为：y=2x2+2x，正确．故选：D．【点睛】考查二次函数的定义，一般地，把形如y=ax2+bx+c(a≠0)（a、b、c是常数）的函数叫做二次函数.2．A【解析】【分析】由抛物线解析式可求得其顶点坐标及对称轴．【详解】∵y，2，x−1，2，3，∴抛物线顶点坐标为（1，3），对称轴为x，1，故选：A，【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y，a，x−h，2，k 中，对称轴为x，h，顶点坐标为（h，k，，3．A【解析】【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【详解】抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），先向左平移2个单位再向下平移5个单位后的抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣5），所以，平移后的抛物线的解析式为y=（x+2）2﹣5．故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答本题的关键．4．D【解析】【分析】由抛物线的对称轴的位置判断ab的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】①∵抛物线对称轴是y轴的右侧，∴ab＜0，∵与y轴交于负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，故①正确；＜1，②∵a＞0，x=﹣b2a∴﹣b＜2a，∴2a+b＞0，故②正确；③∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故③正确；④当x=﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，故④正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y=ax 2+bx +c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y 轴的交点、抛物线与x 轴交点的个数确定． 5．A 【解析】 【分析】首先根据题意确定a，b 的符号，然后进一步确定a 的取值范围，根据a，b 为整数确定a，b 的值，从而确定答案． 【详解】依题意知a，0，b2a ，0，a+b，2=0， 故b，0，且b=2，a， a，b=a，，2，a，=2a，2， 于是0，a，2， ∴，2，2a，2，2， 又a，b 为整数， ∴2a，2=，1，0，1， 故a=12，1，32， b=32，1，12，∴ab=34或1，故选A，【点睛】根据开口和对称轴可以得到b 的范围。
第22章 相似形数学九年级上册-单元测试卷-沪科版(含答案)
第22章相似形数学九年级上册-单元测试卷-沪科版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC平分∠DAB，且∠DAC=∠DBC，那么下列结论不一定正确的是（）A.△AOD∽△BOCB.△AOB∽△DOCC.CD=BCD.BC•CD=AC•OA2、如果点D、E，F分别在△ABC的边AB、BC，AC上，联结DE、EF，且DE∥AC，那么下列说法错误的是（）A.如果EF∥AB，那么AF：AC＝BD：ABB.如果AD：AB＝CF：AC，那么EF∥ABC.如果△EFC∽△ABC，那么EF∥ABD.如果EF∥AB，那么△EFC∽△BDE3、如图，∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，则下列结论成立的是（）A.△PAB∽△PCAB.△PAB∽△PDAC.△ABC∽△DBAD.△ABC∽△DCA4、如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝2，点M为边AD的中点，连接BD交CM于点N，则BN的长是（）A.1B.C.D.5、如图所示，△ABC∽△ACD，且AB=10cm，AC=8cm，则AD的长是（）A.6.4cmB.6cmC.2cmD.4cm6、如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（4，4）、D（6，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段CD缩小为线段AB，若点B的坐标为（3，1），则点A的坐标为（）A.（0，3）B.（1，2）C.（2，2）D.（2，1）7、已知= ，则下列结论一定正确的是（）A.x=2，y=3B.2x=3yC.D.8、已知，下列变形错误的是（）A. B. C. D.9、若△ABC∽△DEF，且对应中线比为2：3，则△ABC与△DEF的面积比为（）A.3：2B.2：3C.4：9D.9：1610、若，则的值为( )A. B. C. D.11、如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AB=BC= ,E、F分别是AD、CD的中点,连接BE、BF、EF.若四边形ABCD的面积为6,则△BEF的面积为 ( )A.2B.C.D.312、如图，过菱形ABCD的顶点C的直线与AB的延长线交于点E，与AD的延长线交于点F，若菱形的边长为x，BE＝a，DF＝b，则a，b，x满足的关系是（）A.2x＝a+bB.x 2＝a•bC.x（a+b）＝a•bD.2x 2＝a 2+b 213、把△ABC的各边分别扩大为原来的3倍，得到△A′B′C′，下列结论不能成立的是（）A.△ABC∽△A′B′C′B.△ABC与△A′B′C′的各对应角相等C.△ABC与△A′B′C′的相似比为D.△ABC与△A′B′C′的相似比为14、如图，等边三角形ABC的边长为3，点P为BC边上一点，且BP=1，点D为AC边上一点，若∠APD=60°，则CD的长为( )A. B. C. D.115、下列命题中，①有一组邻边互相垂直的菱形是正方形②若2x=3y，则=③若（﹣1，a）、（2，b）是双曲线y= 上的两点，则a＞b正确的有（）个．A.1B.2C.3D.0二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，点Q在对角线AC上，且AQ=AD，连接DQ并延长，与边BC交于点P，则线段AP=________．17、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在边AB上，线段DC绕点D逆时针旋转，端点C恰巧落在边AC上的点E处．如果=m，=n．那么m与n满足的关系式是：m=________（用含n的代数式表示m）．18、小明身高是1.6m，影长为2m，同时刻教学楼的影长为24m，则楼的高是________．19、在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，D是边AB上的一点，E是边AC上的一点（D，E均与端点不重合），如果△CDE与△ABC相似，那么CE=________20、如图，小明在A时测得某树的影长为3米，B时又测得该树的影长为12米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为________米．21、已知线段AB=1，点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则AC=________（精确到0.01）22、如图，在Rt△BEG中，∠BEG=90°，ED平分∠BEG，点H、F在EG上，∠CFG=2∠EDH，∠EBG=∠DEB+∠EDH，BD=CD=CG=2，则CF的长为________。
2019年沪科版九年级上册数学《第22章相似形》单元测试卷(解析版)
2019年沪科版九年级上册数学《第22章相似形》单元测试卷一．选择题（共10小题）1．已知甲、乙两地图的比例尺分别为1：5000和1：20 000，如果甲图上A、B两地的距离与乙图上C、D两地的距离恰好一样长，那么A、B两地的实际距离与C、D两地的实际距离之比为（）A．5：2B．2：5C．1：4D．4：12．已知＝＝，则的值等于（）A．B．C．D．3．点P把线段AB分割成AP和PB两段，如果AP是PB和AB的比例中项，那么下列式子成立的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝4．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点E是DC中点，AF平分∠EAB，FH⊥AD交AE 于点G，则GH的长为（）A．B．C．D．5．如图，l1∥l2∥l3∥l4∥l5，且l1，l2，l3，l4，l5中相邻两条直线之间的距离相等，△ABC 的顶点A，B，C分别在l1，l3，l5上，AB交l2于点D，BC交l4于点E，AC交l2于点F，若△DEF的面积是1，则△ABC的面积是（）A．3.5B．4C．4.5D．56．如图，l1∥l2∥l3∥l4∥l5∥l6，每相邻两条直线之间的距离为1，点A，B，C分别在直线l1，l3，l6上，AB交l2于点D，BC交l4于点E，CA交l2于点F．若△DEF的面积为2，则△ABC的面积为（）A．8B．9C．10D．127．若△ABC的各边都分别扩大到原来的2倍，得到△A1B1C1，下列结论正确的是（）A．△ABC与△A1B1C1的对应角不相等B．△ABC与△A1B1C1不一定相似C．△ABC与△A1B1C1的相似比为1：2D．△ABC与△A1B1C1的相似比为2：18．下列说法中正确的是（）①在两个边数相同的多边形中，如果各对应边成比例，那么这两个多边形相似；②两个矩形有一组邻边对应成比例，这两个矩形相似；③有一个角对应相等的平行四边形都相似；④有一个角对应相等的菱形都相似．A．①②B．②③C．③④D．②④9．已知△ABC∽△DEF，AB：DE＝1：4，则△ABC与△DEF的面积之比是（）A．1：2B．1：4C．1：16D．16：110．如图，在△ABC中，AB＝9，BC＝18，AC＝12，点D在边AC上，且CD＝4，过点D 作一条直线交边AB于点E，使△ADE与△ABC相似，则DE的长是（）A．12B．16C．12或16D．以上都不对二．填空题（共8小题）11．已知，则＝．12．已知线段b是线段a、c的比例中项，且a＝1，c＝4，那么b＝．13．已知线段MN＝2，点P是线段MN的黄金分割点，MP＞NP，则MP＝．14．如图，已知l1∥l2∥l3，CH＝1.2cm，DH＝2.4cm，AB＝3cm，那么AG＝cm．15．下列说法中：①所有的等腰三角形都相似；②所有的正三角形都相似；③所有的正方形都相似；④所有的矩形都相似．其中说法正确的序号是．16．若△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的相似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积比为．17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点E，F分别在边BC，AC上，沿EF所在的直线折叠∠C，使点C的对应点D恰好落在边AB上，若△EFC和△ABC 相似，则AD的长为．18．如图，在矩形ABCD中，∠ACB＝30°，过点D作DE⊥AC于点E，延长DE交BC于点F，连接AF，若AF＝，线段DE的长为．三．解答题（共8小题）19．解答下列各题：（1）解方程：（x+2）（x+3）＝2x+16（2）已知a、b、c均为非零的实数，且满足＝＝，求的值20．（1）已知a＝4，c＝9，若b是a，c的比例中项，求b的值．（2）已知线段MN是AB，CD的比例中项，AB＝4cm，CD＝5cm，求MN的长．并思考两题有何区别．21．若等腰三角形的顶角为36°，则这个三角形称为黄金三角形．如图，在△ABC中，BA ＝BC，D在边CB上，且DB＝DA＝AC．（1）如图1，写出图中所有的黄金三角形，并证明；（2）若M为线段BC上的点，过M作直线MH⊥AD于H，分别交直线AB，AC于点N，E，如图2，试写出线段BN、CE、CD之间的数量关系，并加以证明．22．如图，矩形纸片ABCD，AB＝8，AE＝EG＝GD＝4，AB∥EF∥GH．将矩形纸片沿BE 折叠，得到△BA′E（点A折叠到A′处），展开纸片；再沿BA′折叠，折痕与GH，AD分别交于点M，N，然后将纸片展开．（1）连接EM，证明A′M＝MG；（2）设A′M＝MG＝x，求x值．23．某校九年级数学兴趣小组在探究相似多边形问题时，他们提出了下面两个观点：观点一：将外面大三角形按图1的方式向内缩小，得到新三角形，它们对应的边间距都为1，则新三角形与原三角形相似．观点二：将邻边为6和10的矩形按图2的方式向内缩小，得到新的矩形，它们对应的边间距都为1，则新矩形与原矩形相似．请回答下列问题：（1）你认为上述两个观点是否正确？请说明理由．（2）如图3，已知△ABC，AC＝6，BC＝8，AB＝10，将△ABC按图3的方式向外扩张，得到△DEF，它们对应的边间距都为1，求△DEF的面积．24．已知四边形ABCD中，AB＝AD，AC平分∠DAB，过点C作CE⊥AB于点E，点F为AB上一点，且EF＝EB，△DGC∽△ADC．（1）求证：CD＝CF；（2）H为线段DG上一点，连结AH，若∠ADC＝2∠HAG，AD＝5，DC＝3，求的值．25．如图，已知矩形OABC，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中A（2，0），C （0，3），点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线CO上运动，连接BP，作BE ⊥PB交x轴于点E，连接PE交AB于点F，设运动时间为t秒．（1）当t＝4时，求点E的坐标；（2）在运动的过程中，是否存在以P、O、E为顶点的三角形与△ABE相似．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．26．如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，分别交AD、AC于点E、点F．点G 是BC上一点，连接AG交BE于点H，过点H作BC的平行线，交AC于点P．（1）若∠ABC＝60°，AH＝5，BH＝6，求△ABH的面积；（2）若∠BAG＝∠ACB，求证：AP＝CF．2019年沪科版九年级上册数学《第22章相似形》单元测试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．已知甲、乙两地图的比例尺分别为1：5000和1：20 000，如果甲图上A、B两地的距离与乙图上C、D两地的距离恰好一样长，那么A、B两地的实际距离与C、D两地的实际距离之比为（）A．5：2B．2：5C．1：4D．4：1【分析】根据题意，列比例式分别求出A、B和C、D两地的实际距离，再求得A、B两地的实际距离与C、D两地的实际距离之比的值．【解答】解：把图上距离看作单位1，设A、B和C、D两地的实际距离分别为x和y，则：1：5000＝1：x，解得x＝5000，1：20000＝1：y，解得y＝20000，∴x：y＝5000：20000＝1：4．故选：C．【点评】解此题的关键是可以把图上距离看作单位1，再根据比例尺分别表示其实际距离，进一步求得比值．2．已知＝＝，则的值等于（）A．B．C．D．【分析】设a＝5k，b＝7k，c＝5k'，d＝7k'，代入代数式进行计算即可．【解答】解：设a＝5k，b＝7k，c＝5k'，d＝7k'，则＝＝＝，故选：A．【点评】本题主要考查了分式的求值，解决问题的关键是依据条件设a＝5k，b＝7k，c ＝5k'，d＝7k'．3．点P把线段AB分割成AP和PB两段，如果AP是PB和AB的比例中项，那么下列式子成立的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值（）叫做黄金比．【解答】解：∵点P把线段AB分割成AP和PB两段，AP是PB和AB的比例中项，∴根据线段黄金分割的定义得：＝．故选：D．【点评】考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．4．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点E是DC中点，AF平分∠EAB，FH⊥AD交AE 于点G，则GH的长为（）A．B．C．D．【分析】在Rt△ADE中，根据勾股定理可求AE，设AG＝x，可得GF＝x，HG＝2﹣x，根据相似三角形的性质列出方程求出x，进一步得到GH的长即可求解．【解答】解：∵在正方形ABCD中，AB＝2，点E是DC中点，∴DE＝1，在Rt△ADE中，AE＝＝，∵AF平分∠EAB，∴∠GAF＝∠BAF，∵FH⊥AD，∴AB∥HF∥CD，AB＝HF，∴∠GFA＝∠BAF，∴AG ＝GF ，设AG ＝x ，则GF ＝x ，GH ＝2﹣x ，则＝，即＝，解得x ＝，GH ═2﹣x ＝2﹣＝． 故选：B ．【点评】考查了勾股定理，相似三角形的性质，角平分线的性质，条件多而复杂，注意知识的综合运用与转化．5．如图，l 1∥l 2∥l 3∥l 4∥l 5，且l 1，l 2，l 3，l 4，l 5中相邻两条直线之间的距离相等，△ABC 的顶点A ，B ，C 分别在l 1，l 3，l 5上，AB 交l 2于点D ，BC 交l 4于点E ，AC 交l 2于点F ，若△DEF 的面积是1，则△ABC 的面积是（ ）A ．3.5B ．4C ．4.5D ．5【分析】每相邻两条直线之间的距离为1，△DEF 的面积为1，即可得到DF ＝1，再根据DF ∥BG ，即可得出BG ＝2，即可求得△ABC 的面积．【解答】解：如图，∵每相邻两条直线之间的距离为1，△DEF 的面积为2，∴×DF ×2＝1，∴DF ＝1，∵DF ∥BG ，∴＝＝，∴BG ＝2，∴S △ABC ＝S △ABG +S △BCG ＝×2×2+×2×2＝4，故选：B ．【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．6．如图，l 1∥l 2∥l 3∥l 4∥l 5∥l 6，每相邻两条直线之间的距离为1，点A ，B ，C 分别在直线l 1，l 3，l 6上，AB 交l 2于点D ，BC 交l 4于点E ，CA 交l 2于点F ．若△DEF 的面积为2，则△ABC 的面积为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．12【分析】每相邻两条直线之间的距离为1，△DEF 的面积为2，即可得到DF ＝2，再根据DF ∥BG ，即可得出BG ＝4，即可求得△ABC 的面积．【解答】解：如图，∵每相邻两条直线之间的距离为1，△DEF 的面积为2，∴×DF ×2＝2，∴DF ＝2，∵DF ∥BG ，∴＝＝，∴BG ＝4，∴S △ABC ＝S △ABG +S △BCG ＝×4×2+×4×3＝10，故选：C ．【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．7．若△ABC的各边都分别扩大到原来的2倍，得到△A1B1C1，下列结论正确的是（）A．△ABC与△A1B1C1的对应角不相等B．△ABC与△A1B1C1不一定相似C．△ABC与△A1B1C1的相似比为1：2D．△ABC与△A1B1C1的相似比为2：1【分析】相似三角形的对应边之比等于相似比，据此即可解答．【解答】解：因为△ABC的各边都分别扩大到原来的2倍，得到△A1B1C1，那么△A1B1C1的各边为△ABC的2倍，即△ABC与△A1B1C1的相似比为1：2．故选：C．【点评】此题主要考查学生对相似三角形判定方法的运用．8．下列说法中正确的是（）①在两个边数相同的多边形中，如果各对应边成比例，那么这两个多边形相似；②两个矩形有一组邻边对应成比例，这两个矩形相似；③有一个角对应相等的平行四边形都相似；④有一个角对应相等的菱形都相似．A．①②B．②③C．③④D．②④【分析】根据相似多边形的定义：各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形判定则可．【解答】解：①虽然各对应边成比例，但是各对应角不一定相等，所以不相似，比如：所有菱形的对应边都成比例，但是它们不一定相似；②两个矩形有一组邻边对应成比例，就可以得出四条边对应成比例，并且它们的角都是90°，所以这两个矩形相似；③有一个角对应相等的平行四边形的对应边不一定成比例，所以不一定相似；④有一个角对应相等就可以得出菱形的其他角对应相等，并且菱形的对应边是成比例的，所以相似．故选：D．【点评】本题考查了相似多边形的判定，根据定义判定则可．注意：一定要满足各角对应相等，各边对应成比例两个条件，缺一不可．9．已知△ABC∽△DEF，AB：DE＝1：4，则△ABC与△DEF的面积之比是（）A．1：2B．1：4C．1：16D．16：1【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形的面积之比等于相似比的平方，即可求出答案．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，∴＝，∵＝，∴△ABC与△DEF的面积比是＝1：16，故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的性质的应用，注意：相似三角形的面积之比等于相似比的平方，而不等于相似比，题目比较典型，难度不大．10．如图，在△ABC中，AB＝9，BC＝18，AC＝12，点D在边AC上，且CD＝4，过点D 作一条直线交边AB于点E，使△ADE与△ABC相似，则DE的长是（）A．12B．16C．12或16D．以上都不对【分析】为两种情况：①∠ADE＝∠C，根据△ADE∽△ACB，得出＝，代入求出DE即可；②∠ADE′＝∠B，根据△ADE∽△ABC，得出＝，代入求出AE＞AB．【解答】解：∵∠A＝∠A，分为两种情况：①DE∥BC（即∠ADE＝∠C），∴△ADE∽△ACB，∴＝，∴，∴DE＝12，②∠ADE′＝∠B，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∴＝，∴AE＝＞AB，不合题意，故选：A．【点评】本题考查了相似三角形的性质的应用，关键是求出符合条件的所有情况，主要考查学生的理解能力和计算能力，用的数学思想是方程思想和分类讨论思想．二．填空题（共8小题）11．已知，则＝．【分析】设＝a，代入计算即可．【解答】解：设＝a，则x＝3a，y＝4a，∴＝＝，故答案为：．【点评】本题考查的是比例的性质，灵活运用参数思想是解题的关键．12．已知线段b是线段a、c的比例中项，且a＝1，c＝4，那么b＝2．【分析】根据比例中项的定义可得b2＝ac，从而易求b．【解答】解：∵b是a、c的比例中项，∴b2＝ac，即b2＝4，∴b＝±2（负数舍去）．故答案是：2．【点评】本题考查了比例线段，解题的关键是理解比例中项的含义．13．已知线段MN＝2，点P是线段MN的黄金分割点，MP＞NP，则MP＝．【分析】根据黄金分割的概念得到MP＝MN，把MN＝2代入计算即可．【解答】解：∵点P是线段MN的黄金分割点，MP＞NP，∴MP＝MN＝×2＝﹣1；故答案为：﹣1．【点评】本题考查了黄金分割的概念；熟练掌握黄金分割值是解题的关键．14．如图，已知l1∥l2∥l3，CH＝1.2cm，DH＝2.4cm，AB＝3cm，那么AG＝1cm．【分析】根据平行线分线段成比例定理得出＝，代入得出＝，求出AG 即可．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴＝，∵CH＝1.2cm，DH＝2.4cm，AB＝3cm，∴＝，解得：AG＝1（cm），故答案为：1．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：定理（一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例）中的对应成比例．15．下列说法中：①所有的等腰三角形都相似；②所有的正三角形都相似；③所有的正方形都相似；④所有的矩形都相似．其中说法正确的序号是②③．【分析】根据正方形、矩形、等边三角形、等腰三角形的性质进行判断即可．【解答】解：①所有的等腰三角形都相似，错误；②所有的正三角形都相似，正确；③所有的正方形都相似，正确；④所有的矩形都相似，错误．故答案为：②③．【点评】本题考查了相似图形的知识，熟练掌握各特殊图形的性质是解题的关键，难度一般．16．若△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的相似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积比为1：4．【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的相似比为1：2，∴△ABC与△DEF的面积比为1：4，故答案为：1：4．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点E，F分别在边BC，AC上，沿EF所在的直线折叠∠C，使点C的对应点D恰好落在边AB上，若△EFC和△ABC相似，则AD的长为或．【分析】△CEF与△ABC相似，分两种情况：①若CF：CE＝3：4，此时EF∥AB，CD 为AB边上的高；②若CE：CF＝3：4，由相似三角形角之间的关系，可以推出∠B＝∠ECD与∠A＝∠FCD，从而得到CD＝AD＝BD，即D点为AB的中点．【解答】解：若△CEF与△ABC相似，分两种情况：①若CF：CE＝3：4，∵AC：BC＝3：4，∴CF：CE＝AC：BC，∴EF∥AB．连接CD，如图1所示：由折叠性质可知，CD⊥EF，∴CD⊥AB，即此时CD为AB边上的高．在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5，∴cos A＝＝，∴AD＝AC•cos A＝3×＝；②若CE：CF＝3：4，∵AC：BC＝3：4，∠C＝∠C，∴△CEF∽△CBA，∴∠CEF＝∠A．连接CD，如图2所示：由折叠性质可知，∠CEF+∠ECD＝90°，又∵∠A+∠B＝90°，∴∠B＝∠ECD，∴BD＝CD．同理可得：∠A＝∠FCD，AD＝CD，∴D点为AB的中点，∴AD＝AB＝；故答案为：或．【点评】本题考查的是相似三角形的性质、翻转变换的性质，掌握相似三角形的对应边的比相等、运用分类讨论及数形结合思想是解题的关键．18．如图，在矩形ABCD中，∠ACB＝30°，过点D作DE⊥AC于点E，延长DE交BC于点F，连接AF，若AF＝，线段DE的长为．【分析】由直角三角形的性质得出AD＝CD，EF＝CF，CD＝CF，设CF＝x，则AB＝CD＝x，BC＝AD＝CD＝3x，得出BF＝BC﹣CF＝3x﹣x＝2x，在Rt△ABF中，由勾股定理得（x）2+（2x）2＝（）2，解得x＝，得出CF＝，EF＝，AD＝3，证明△ADE∽△CFE，得出＝，即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ADC＝∠B＝∠BCD＝90°，AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB＝30°，∴AD＝CD，∠DCE＝60°，∵DF⊥AC，∴EF＝CF，∠CDF＝30°，∴CD＝CF，设CF＝x，则AB＝CD＝x，BC＝AD＝CD＝3x，∴BF＝BC﹣CF＝3x﹣x＝2x，在Rt△ABF中，由勾股定理得：（x）2+（2x）2＝（）2，解得：x＝，∴CF＝，EF＝，AD＝3，∵AD∥BC，∴△ADE∽△CFE，∴＝，即＝，∴DE＝；故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解题的关键．三．解答题（共8小题）19．解答下列各题：（1）解方程：（x+2）（x+3）＝2x+16（2）已知a、b、c均为非零的实数，且满足＝＝，求的值【分析】（1）先展开，再合并同类项，根据因式分解法解方程即可求解．；（2）根据比例的等比性质解决分式问题．注意分两种情况：a+b+c≠0；a+b+c＝0进行讨论．本题还可以设参数法解答．【解答】解：（1）（x+2）（x+3）＝2x+16，x2+5x+6＝2x+16，x2+3x﹣10＝0，（x﹣2）（x+5）＝0，解得x1＝2，x2＝﹣5；（2）若a+b+c≠0，由等比定理有＝＝＝＝1，所以a+b﹣c＝c，a﹣b+c＝b，﹣a+b+c＝a，于是有＝＝8．若a+b+c＝0，则a+b＝﹣c，b+c＝﹣a，c+a＝﹣b，于是有＝＝﹣1．【点评】考查了因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．同时考查了等比性质：若＝＝…＝＝k，则＝k，（b+d+…+n≠0）．特别注意条件的限制（分母是否为0）．比例有一系列重要的性质，在解决分式问题时，灵活巧妙地使用，便于问题的求解．引进一个参数k表示以连比形式出现的已知条件，可使已知条件便于使用．20．（1）已知a＝4，c＝9，若b是a，c的比例中项，求b的值．（2）已知线段MN是AB，CD的比例中项，AB＝4cm，CD＝5cm，求MN的长．并思考两题有何区别．【分析】（1）根据比例中项的概念，a：b＝b：c，则可求得b的值；（2）根据比例中项的概念，AB：MN＝MN：CD，则可求得线段MN的值．【解答】解：（1）∵b是a，c的比例中项，∴a：b＝b：c，∴b2＝ac；b＝±，∵a＝4，c＝9，∴b＝±＝±6，即b＝±6；（2）∵MN是线段，∴MN＞0；∵线段MN是AB，CD的比例中项，∴AB：MN＝MN：CD，∴MN 2＝AB•CD，∴MN＝±；∵AB＝4cm，CD＝5cm，∴MN＝±＝±2；MN不可能为负值，则MN＝2，通过解答（1）、（2）发现，c、MN同时作为比例中项出现，c可以取负值，而MN不可以取负值．【点评】本题考查了比例中项的概念，根据两条线段的比例中项的平方是两条线段的乘积，可得出方程求解．21．若等腰三角形的顶角为36°，则这个三角形称为黄金三角形．如图，在△ABC中，BA ＝BC，D在边CB上，且DB＝DA＝AC．（1）如图1，写出图中所有的黄金三角形，并证明；（2）若M为线段BC上的点，过M作直线MH⊥AD于H，分别交直线AB，AC于点N，E，如图2，试写出线段BN、CE、CD之间的数量关系，并加以证明．【分析】（1）由等腰三角形的性质和黄金三角形的定义即可得出结论；（2）证明△ANH≌△AEH（ASA），得出AN＝AE，借助已知利用线段的和差可得CD＝BN+CE．【解答】解：（1）△ABC和△ADC都是黄金三角形，理由如下：∵BA＝BC，∴∠BAC＝∠BCA，∵DB＝DA，∴∠BAD＝∠B，∵DA═AC，∴∠ADC＝∠C＝∠BAC＝2∠B，又∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，∴∠B+2∠B+2∠B＝180°，∴∠B＝∠DAC＝36°，∴△ABC和△ADC都是黄金三角形；（2）CD＝BN+CE，理由如下；由（1）知，∠BAD＝∠B＝36°，∠CAD＝36°＝∠BAD，∴AD是∠BAC的平分线，在△ANH和△AEH中∴△ANH≌△AEH（ASA），∴AN＝AE，即AB﹣BN＝AC+CE，又∵BA＝BC＝BD+DC，AC＝AD＝BD，∴BC﹣BN＝AD+CE∴BD+CD﹣BN＝AD+CE，又∵AD＝BD，∴CD﹣BN＝CE，即CD＝BN+CE．【点评】本题主要考查等腰三角形的判定和性质、黄金三角形的定义、全等三角形的判定与性质等知识；掌握等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．22．如图，矩形纸片ABCD，AB＝8，AE＝EG＝GD＝4，AB∥EF∥GH．将矩形纸片沿BE 折叠，得到△BA′E（点A折叠到A′处），展开纸片；再沿BA′折叠，折痕与GH，AD分别交于点M，N，然后将纸片展开．（1）连接EM，证明A′M＝MG；（2）设A′M＝MG＝x，求x值．【分析】（1）证明Rt△EA'M≌Rt△EGM即可证明A′M＝MG；（2）设A′M＝MG＝x，则MH＝8﹣x，BH＝8，BM＝BA'+A'M＝8+x，在Rt△BHM中，由BH2+HM2＝BM2，即82+（8﹣x）2＝（8+x）2，求出x即可．【解答】解：（1）证明：连接EM，如图．由折叠可知EA＝EA'，∵AE＝EG，∠EA'B＝∠A＝90°∴A'E＝EG，∵四边形ABCD为矩形，AB∥EF∥GH，∴∠EGM＝90°∴∠EGM＝∠EA'M，∴Rt△EA'M≌Rt△EGM（HL），∴A′M＝MG；（2）∵AB＝8，AE＝EG＝GD＝4，AB∥EF∥GH，∴GH＝8，A'B＝AB＝8，MH＝8﹣x，BH＝8，BM＝BA'+A'M＝8+x在Rt△BHM中，BH2+HM2＝BM2，即82+（8﹣x）2＝（8+x）2，解得x＝2，即x的值为2．【点评】本题考查的是全等三角形的性质和勾股定理的应用，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．23．某校九年级数学兴趣小组在探究相似多边形问题时，他们提出了下面两个观点：观点一：将外面大三角形按图1的方式向内缩小，得到新三角形，它们对应的边间距都为1，则新三角形与原三角形相似．观点二：将邻边为6和10的矩形按图2的方式向内缩小，得到新的矩形，它们对应的边间距都为1，则新矩形与原矩形相似．请回答下列问题：（1）你认为上述两个观点是否正确？请说明理由．（2）如图3，已知△ABC，AC＝6，BC＝8，AB＝10，将△ABC按图3的方式向外扩张，得到△DEF，它们对应的边间距都为1，求△DEF的面积．【分析】（1）根据相似三角形以及相似多边形的判定定理来判定甲乙的观点是否正确；（2）首先根据勾股定理的逆定理求出∠C是直角，求出△ACB的内切圆半径，进而△DEF的内切圆的半径，根据相似三角形的性质以及面积公式即可求出△DEF的边长，进而求出△DEF的面积．【解答】解：（1）观点一正确；观点二不正确．理由：①如图（1）连接并延长DA，交FC的延长线于点O，∵△ABC和△DEF对应的边的距离都为1，∴AB∥DE，AC∥DF，∴∠FDO＝∠CAO，∠ODE＝∠OAB，∴∠FDO+∠ODE＝∠CAO+∠OAB，即∠FDE＝∠CAB，同理∠DEF＝∠ABC，∴△ABC∽△DEF，∴观点一正确；②如图（2）由题意可知，原矩形的邻边为6和10，则新矩形邻边为4和8，∵，，∴，∴新矩形于原矩形不相似，∴观点二不正确；（2）如图（3），延长DA、EB交于点O，∵A到DE、DF的距离都为1，∴DA是∠FDE的角平分线，同理，EB是∠DEF的角平分线，∴点O是△ABC的内心，∵AC＝6，BC＝8，AB＝10，∴△ABC是直角三角形，设△ABC的内切圆的半径为r，则6﹣r+8﹣r＝10，解得r＝2，过点O作OH⊥DE于点H，交AB于G，∵AB∥DE，∴OG⊥AB，∴OG＝r＝2，∴，同理，∴DF＝9，EF＝12，∴△DEF的面积为：..【点评】本题主要考查了相似三角形的综合题，主要涉及到相似三角形以及相似多边形的判定，熟练应用相似多边形的判定方法是解题关键．24．已知四边形ABCD中，AB＝AD，AC平分∠DAB，过点C作CE⊥AB于点E，点F为AB上一点，且EF＝EB，△DGC∽△ADC．（1）求证：CD＝CF；（2）H为线段DG上一点，连结AH，若∠ADC＝2∠HAG，AD＝5，DC＝3，求的值．【分析】（1）求出∠DAC＝∠BAC，根据全等三角形的判定得出△ADC≌△ABC，根据全等三角形的性质得出CD＝CB即可；（2）根据相似三角形的性质和判定定理即可得到结论．【解答】（1）证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠BAC，在△ADC和△ABC中，∴△ADC≌△ABC（SAS），∴CD＝CB，∵CE⊥AB，EF＝EB，∴CF＝CB，∴CD＝CF；（2）解：∵△DGC∽△ADC，∴∠DGC＝∠ADC，∵∠ADC＝2∠HAG，∴∠DCG＝2∠HAG，∵∠DGC＝∠HAG+∠AHG，∴∠HAG＝∠AHG，∴HG＝AG，∵∠GDC＝∠DAC＝∠FAG，∠DGC＝∠AGF，∴△DGC∽△AGF，∴△AGF∽△ADC，∴＝＝，即＝．【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．25．如图，已知矩形OABC，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中A（2，0），C （0，3），点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线CO上运动，连接BP，作BE ⊥PB交x轴于点E，连接PE交AB于点F，设运动时间为t秒．（1）当t＝4时，求点E的坐标；（2）在运动的过程中，是否存在以P、O、E为顶点的三角形与△ABE相似．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由相似三角形的性质求出BH＝6，得出OE＝8即可求出点E的坐标．（2）本题需先证出△BCP∽△BAE，求出AE＝t，再分两种情况讨论，求出t的值，即可得出P点的坐标．【解答】解：（1）当t＝4时，PC＝4，过点E作CB的垂线，垂足为H，如图1所示：∵A（2，0），C（0，3），∴OA＝2，OC＝3，∵四边形OABC是矩形，∴AB＝OC＝3，BC＝OA＝2，∵∠BPC+∠PBC＝90°，∠PBC+∠EBH＝90°，∴∠BPC＝∠EBH，∵∠EHB＝∠BCP＝90°，∴△PBC∽△BEH，∴＝，即＝，解得：BH＝6，∴AE＝BH＝6，∴OE＝OA+AE＝2+6＝8，∴点E的坐标是（8，0）；（2）存在，理由如下：∵∠ABE+∠ABP＝90°，∠PBC+∠ABP＝90°，∴∠ABE＝∠PBC，∵∠BAE＝∠BCP＝90°，∴△BCP∽△BAE∴＝，∴＝，∴AE＝t，当点P在点O上方时，如图2所示：若＝时，△POE∽△EAB，∵OP＝3﹣t，OE＝2+t，∴＝，解得：t1＝，t2＝（舍去），∴OP＝3﹣＝，∴P的坐标为（0，），当点P在点O下方时，如图3所示：①若＝，则△OPE∽△ABE，＝，解得：t1＝3+，t2＝3﹣（舍去），OP＝t﹣3＝3+﹣3＝，P的坐标为（0，﹣），②若＝，则△OEP∽△ABE，＝，整理得：t2＝﹣9，∴这种情况不成立，综上所述，存在以P、O、E为顶点的三角形与△ABE相似，P的坐标为：（0，）或（0，﹣）．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，在解题时要根据已知条件再结合图形是解题的关键，注意分类讨论．26．如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，分别交AD、AC于点E、点F．点G 是BC上一点，连接AG交BE于点H，过点H作BC的平行线，交AC于点P．（1）若∠ABC＝60°，AH＝5，BH＝6，求△ABH的面积；（2）若∠BAG＝∠ACB，求证：AP＝CF．【分析】（1）过点H作HN⊥AB于N，则∠ABH＝30°，HN＝BH＝3，由勾股定理求得BN＝＝3，AN＝＝4，则AB＝4+3，由三角形面积公式即可得出结果；（2）在BC上截取BM＝AB，连接FM，证出∠AGB＝∠BAC，得出∠AFB＝∠AHF，则AH＝AF，由SAS证得△ABF≌△MBF得出AF＝FM，∠AFB＝∠MFB，推出AH＝FM，∠AHF＝∠MFB，则AG∥FM得出∠HAP＝∠MFC，由HP∥BC得出∠APH＝∠FCM，由AAS证得△APH≌△FCM，即可得出结论．【解答】（1）解：过点H作HN⊥AB于N，如图1所示：∵BE平分∠ABC，∠ABC＝60°，∴∠ABH＝30°，∴HN＝BH＝3，BN＝＝＝3，AN＝＝＝4，∴AB＝AN+BN＝4+3，∴S＝AB•HN＝×（4+3）×3＝6+；△ABH（2）证明：在BC上截取BM＝AB，连接FM，如图2所示：∵∠BAG＝∠ACB，∠AGB＝∠ACB+∠CAG，∠BAC＝∠BAG+∠CAG，∴∠AGB＝∠BAC，∵∠AFB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABF，∠AHF＝∠BHG＝180°﹣∠AGB﹣∠CBF，∠ABF ＝∠CBF，∴∠AFB＝∠AHF，∴AH＝AF，在△ABF和△MBF中，，∴△ABF≌△MBF（SAS），∴AF＝FM，∠AFB＝∠MFB，∴AH＝FM，∠AHF＝∠MFB，∴AG∥FM，∴∠HAP＝∠MFC，∵HP∥BC，∴∠APH＝∠FCM，在△APH和△FCM中，，∴△APH≌△FCM（AAS），∴AP＝CF．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质、角平分线定义、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积公式等知识，熟练掌握平行线的性质、证明三角形全等是解题的关键．。
九年级数学上册 21.2.3 二次函数的图象与性质课时练习 (新版)沪科版-(新版)沪科版初中九年级
二次函数y=a(x+h)2的图象和性质一、精心选一选1﹒在平面直角坐标系中，二次函数y＝a(x－h)2（a≠0）的图象可能是（）A. B. C. D.2﹒二次函数y＝3(x－2)2的图象的对称轴是（）A.直线x＝2B.直线x＝－2C.y轴D.x轴3﹒函数y＝a(x－1)2，y＝ax+a的图象在同一坐标系的图象可能是（）A. B. C. D.4﹒与函数y＝2(x－2)2形状相同的抛物线解析式是（）A.y＝x2B.y＝－2x2C.y＝(2x+1)2D.y＝(x－2)25﹒关于二次函数y＝－(x－2)2的图象，下列说法正确的是（）A.该函数图象是中心对称图形B.开口向上C.对称轴是直线x＝－2D.最高点是（2，0）6﹒在下列二次函数中，其图象对称轴为x＝－2的是（）A.y＝(x+2)2B.y＝2x2－2C.y＝－2x2－2D.y＝2(x－2)27﹒将二次函数y＝－2x2的图象平移后，可得到二次函数y＝－2(x+3)2的图象，平移的方法是（）A.向上平移3个单位B.向下平移3个单位C.向左平移3个单位D.向右平移3个单位8﹒二次函数y＝a(x+h)2的图象的位置（）A.只与a有关B.只与h有关C.与a、h都有关D.与a、h都无关9﹒已知抛物线y＝5(x－1)2，下列说法中错误的是（）A.顶点坐标为（1，0）B.对称轴为直线x＝0C.当x＞1时，y随x的增大而增大D.当x＜1时，y随x的增大而增减小y＝a(x+h)2的图象如图所示，下列结论：①a＞0；②h＞0；③y的最小值是0；④x＜0时，y随x的增大而减小.其中正确结论的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个二、细心填一填11.将二次函数y＝x2的图象沿x轴向左平移2个单位，则平移后的抛物线对应的二次函数的表达式为____________________.12.若抛物线y＝ax2向右平移3个单位后经过（－1，4），则a＝______，平移后的抛物线所对应的函数关系式为_______________________.13.抛物线y＝3(x－1)2的图象关于x轴成轴对称的图象的关系式为___________________.14.二次函数y＝－2(x－2)2的图象在对称轴左侧部分是________.（填“上升”或“下降”）15.二次函数y＝－2(x+1)2图象的顶点坐标为___________，函数的最大值为____________.16.抛物线y＝－3(x－5)2的开口方向是___________，对称轴是______________.17.抛物线y＝49(x－3)2与x轴的交点为A，与y轴的交点为B，则△AOB的面积为_______.18.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝(x－2)2与x轴交于点A，与y轴交于点B.过点B作BC∥x轴，交抛物线于点C，过点A作AD∥y轴，交BC于点D，点P在BC下方的抛物线上（P不与B、C重合），连接PC，PD，则△PCD面积的最大值是___________.三、解答题19.已知二次函数y＝－12(x－2)2.（1）画出函数图角，确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴；（2）当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y随x的增大而减小？20.已知：抛物线y＝a(x+h)2的对称轴为直线x＝12，形状、开口方向均与抛物线y＝－3x2相同.（1）试求该抛物线的函数关系式；（2）求出该抛物线与y轴的交点坐标.21.二次函数y＝12(x－h)2的图象如图所示，已知抛物线的顶点为A，与y轴交于点B，且OA＝OB.（1）求该抛物线的函数关系式；（2）请直接写出该抛物线关于y轴对称的图象表达式.22.如图，直线y＝－x－2交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝a(x+h)2的顶点为A，且经过点B.（1）求该抛物线的函数关系式；（2）若点C（m，－92）在该抛物线上，求m的值.23.如图，已知抛物线y＝2(x+2)2交y轴于点A，交直线y＝2x+4于点B、C两点，试求△ABC的面积.24.如图，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，O为坐标原点，边OA在x轴上，OA＝AB＝1个单位长度，，现把△OAB沿x轴的正方向平移1个单位长度后得△AA1B1.（1）求以A为顶点，且经过点B1的抛物线的解析式；（2）若（1）中的抛物线与OB交于点C，与y轴交于点D，求点D、C的坐标.二次函数y=a(x+h)2的图象和性质课时练习题参考答案一、精心选一选题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 D B B C D A C B B C1﹒在平面直角坐标系中，二次函数y＝a(x－h)2（a≠0）的图象可能是（）A. B. C. D.解答：抛物线y＝a(x－h)2（a≠0）顶点在x轴上，故D选项符合，故选：D.2﹒二次函数y＝3(x－2)2的图象的对称轴是（）A.直线x＝2B.直线x＝－2C.y轴D.x轴解答：二次函数y＝3(x－2)2的图象的对称轴是直线x＝2，故选：B.3﹒函数y＝a(x－1)2，y＝ax+a的图象在同一坐标系的图象可能是（）A. B. C. D.解答：∵抛物线y＝a(x－1)2的对称轴是x＝1，∴可排除D选项错误；当a＞0时，直线y＝ax+a经一、二、三象限，抛物线y＝a(x－1)2开口向上，故B选项符合要求，故选：B.4﹒与函数y＝2(x－2)2形状相同的抛物线解析式是（）A.y＝x2B.y＝(2x+1)2C.y＝－2x2D.y＝(x－2)2∴它与y＝－2x2的图象形状相同，解答：∵函数y＝2(x－2)2中a＝2，且2＝2故选：C.5﹒关于二次函数y＝－(x－2)2的图象，下列说法正确的是（）A.该函数图象是中心对称图形B.开口向上C.对称轴是直线x＝－2D.最高点是（2，0）解答：A.该函数图象是轴对称图形，故A选项错误；B.抛物线 y＝－(x－2)2的开口向下，故B选项错误；C.对称轴是直线x＝2，故C选项错误；D.抛物线y＝－(x－2)2的最高点是（2，0），故D选项正确，故选：D.6﹒在下列二次函数中，其图象对称轴为x＝－2的是（）A.y＝(x+2)2B.y＝2x2－2C.y＝－2x2－2D.y＝2(x－2)2解答：二次函数y＝(x+2)2的对称轴为x＝－2，故选：A.7﹒将二次函数y＝－2x2的图象平移后，可得到二次函数y＝－2(x+3)2的图象，平移的方法是（）A.向上平移3个单位 B.向下平移3个单位C.向左平移3个单位D.向右平移3个单位解答：二次函数y＝－2x2的图象的顶点坐标为（0，0），二次函数y＝－2(x+3)2的图象的顶点坐标为（－3，0），所以平移的方法是向左平移3个单位，故选：C.8﹒二次函数y＝a(x+h)2的图象的位置（）A.只与a有关B.只与h有关C.与a、h都有关D.与a、h都无关解答：二次函数y＝a(x+h)2中a决定抛物线的开口方向，h决定抛物线的位置，故选：B.9﹒已知抛物线y＝5(x－1)2，下列说法中错误的是（）A.顶点坐标为（1，0）B.对称轴为直线x＝0C.当x＞1时，y随x的增大而增大D.当x＜1时，y随x的增大而增减小解答：抛物线y＝5(x－1)2，其顶点坐标为（1，0），故A选项不合题意；对称轴为直线x＝1，故B 符合题意；当x＞1时，y随x的增大而增大，故C选项不符合题意；当x＜1时，y随x的增大而增减小，故D不符合题意，故选：B.10. 已知二次函数y＝a(x+h)2的图象如图所示，下列结论：①a＞0；②h＞0；③y的最小值是0；④x＜0时，y随x的增大而减小.其中正确结论的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个解答：由二次函数图象可知：抛物线开口向上，故①正确；抛物线的对称轴在y轴的左侧，则h＞0，故②正确；抛物线的开口向上，所以顶点是最低点，y有最小值，而顶点在x轴上，所以y的最小值是0，故③正确；x＜0时图象在y轴的左侧，在左侧部分x＜－h时，y随x的增大而减小，－h ＜x＜0时，y随x的增大而增大，故④错误，故3个选项都是正确的，故选：C.二、细心填一填11.y＝(x+2)2； 12. 14，y＝14(x－3)2； 13. y＝－3(x－1)2；14. 上升； 15. （－1，0），0； 16. 向下，直线x＝5；17. 4； 18. 6.y＝x2的图象沿x轴向左平移2个单位，则平移后的抛物线对应的二次函数的表达式为____________________.解答：将二次函数y＝x2的图象沿x轴向左平移2个单位，则平移后的抛物线对应的二次函数的表达式为y＝(x+2)2，故答案为：y＝(x+2)2.y＝ax2向右平移3个单位后经过（－1，4），则a＝______，平移后的抛物线所对应的函数关系式为_______________________.解答：抛物线y＝ax2向右平移3个单位后得到的解析式为y＝a(x－3)2，把（－1，4）代入y＝a(x－3)2得：4＝a(－1－3)2，解得：a＝14，故答案为：14，y＝14(x－3)2.y＝3(x－1)2的图象关于x轴成轴对称的图象的关系式为___________________.解答：抛物线y＝3(x－1)2的图象关于x轴成轴对称的图象的关系式为y＝－3(x－1)2，故答案为：y＝－3(x－1)2.y＝－2(x－2)2的图象在对称轴左侧部分是________.（填“上升”或“下降”）解答：∵a＝－2，∴抛物线开口向下，故在对称轴的左侧部分是上升的，故答案为：上升.y＝－2(x+1)2图象的顶点坐标为___________，函数的最大值为____________.解答：二次函数y＝－2(x+1)2图象的顶点坐标为（－1，0），函数的最大值为0，故答案为：（－1，0），0.y＝－3(x－5)2的开口方向是___________，对称轴是______________.解答：抛物线y＝－3(x－5)2的开口方向是向下，对称轴是直线x＝5，故答案为：向下，直线x＝5.y＝49(x－3)2与x轴的交点为A，与y轴的交点为B，则△AOB的面积为_______.解答：∵当y＝0时，即49(x－3)2＝0，∴x＝3，∴A（3，0），∵当x＝0时，y＝4，∴B（0，4），∴OA＝3，OB＝4，∴S△AOB＝12×3×4＝6，故答案为：6.18.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝(x－2)2与x轴交于点A，与y轴交于点B.过点B作BC∥x轴，交抛物线于点C，过点A 作AD∥y轴，交BC于点D，点P在BC下方的抛物线上（P不与B、C重合），连接PC，PD，则△PCD面积的最大值是___________.解答：∵抛物线y＝(x－2)2与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴A（2，0），B（0，4），∵抛物线y＝(x－2)2的对称轴为x＝2，BC∥x轴，AD∥y轴，∴直线AD就是抛物线y＝(x－2)2的对称轴，∴B、C关于直线BD对称，∴BD＝DC＝2，∵顶点A到直线BC的距离最大，∴点P与A重合时，△PCD面积最大，最大值为：12DC×AD＝12×2×4＝4，故答案为：4.三、解答题y＝－12(x－2)2.（1）画出函数图角，确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴；（2）当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y随x的增大而减小？解答：（1）二次函数y＝－12(x－2)2的图象为：抛物线的开口向下、顶点坐标为（2，0），对称轴为直线x＝2；（2）当x＜2时，y随x的增大而增大，当x＞2时，y随x的增大而减小.20.已知：抛物线y＝a(x+h)2的对称轴为直线x＝12，形状、开口方向均与抛物线y＝－3x2相同.（1）试求该抛物线的函数关系式；（2）求出该抛物线与y轴的交点坐标.解答：（1）∵抛物线y＝a(x+h)2的对称轴为直线x＝12，∴h＝－12，则y＝a(x－12)2，又∵抛物线y＝a(x－12)2的形状、开口方向均与抛物线y＝－3x2相同，∴a＝－3，∴该抛物线的函数关系式为：y＝－3(x－12 )；（2）∵当x＝0时，y＝－3(x－12)＝－3×(－12)＝32，∴该抛物线与y轴的交点坐标为（0，32）.y＝12(x－h)2的图象如图所示，已知抛物线的顶点为A，与y轴交于点B，且OA＝OB.（1）求该抛物线的函数关系式；（2）请直接写出该抛物线关于y轴对称的图象表达式.解答：（1）∵点A为抛物线y＝12(x－h)2的顶点，∴A（h，0），∴OA＝h，∵OA＝OB，且点B在y轴的正半轴上，∴OB＝h，∴B（0，h），把B（0，h）代入y＝12(x－h)2得：h＝12(0－h)2，解得：h1＝0（不合题意，舍去），h2＝2，∴该抛物线的函数关系式y＝12(x－2)2，（2）由（1）知：OA＝2，∴将该抛物线向左平移4个单位即可得到它的关于y轴对称的图象，∴平移后的抛物线的解析式为：y＝12(x+2)2，故该抛物线关于y轴对称的图象表达式为y＝12(x+2)2.22.如图，直线y＝－x－2交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝a(x+h)2的顶点为A，且经过点B.（1）求该抛物线的函数关系式；（2）若点C（m，－92）在该抛物线上，求m的值.解答：（1）∵直线y＝－x－2交x轴于点A，交y轴于点B，∴A（－2，0），B（0，－2），∵抛物线y＝a(x+h)2的顶点为A，∴h＝2，则y＝a(x+2)2，∵该抛物线经过点B（0，－2），∴a(0+2)2＝－2，解得：a＝－12，∴该抛物线的函数关系式为：y＝－12(x+2)2，（2）∵点C（m，－92）在该抛物线y＝－12(x+2)2上，∴－12(m+2)2＝－92，解得：m1＝1，m2＝－5，即m的值为1或－5.23.如图，已知抛物线y＝2(x+2)2交y轴于点A，交直线y＝2x+4于点B、C两点，试求△ABC的面积.解答：∵当x＝0时，y＝2(x+2)2＝8，∴A（0，8），由22(2)24y xy x⎧=+⎨=+⎩，得：112xy=-⎧⎨=⎩，2212xy=-⎧⎨=⎩，∴B（－2，0），C（－1，2），设直线BC的解析式为y＝kx+b，交y轴于点D，∴202k bk b-+=⎧⎨-+=⎩，解得：24kb=⎧⎨=⎩，∴直线BC的解析式为y＝2x+4，当x＝0时，y＝4，∴D（0，4），∴AD＝8－4＝4，∴S△ABC＝S△ABD－S△ACD＝12×4×2－12×4×1＝2.24.如图，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，O为坐标原点，边OA在x轴上，OA＝AB＝1个单位长度，，现把△OAB沿x轴的正方向平移1个单位长度后得△AA1B1.（1）求以A为顶点，且经过点B1的抛物线的解析式；（2）若（1）中的抛物线与OB交于点C，与y轴交于点D，求点D、C的坐标.解答：（1）∵OA＝AB＝1，∠OAB＝90°，∴A（1，0），B（1，1），由平称性质得：A1（2，0），B1（2，1），∵抛物线的顶点A（1，0），∴可设抛物线的解析式为y＝a(x－1)2，把B1（2，1）代入y＝a(x－1)2得：a＝1，∴以A为顶点，且经过点B1的抛物线的解析式为y＝(x－1)2；（2）设直线OB的解析式为y＝kx，把B（1，1）代入得：k＝1，∴直线OB 的解析式为y ＝x ，由2(1)y x y x =⎧⎨=-⎩，得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 故点C的坐标为（32-，32-），对于y ＝(x －1)2，当x ＝0时，y ＝1， ∴D （0，1）故C（32，32-），D （0，1）.。
【初三数学】上海市九年级数学上(人教版)第22章二次函数测试题(含答案解析)
人教版九年级上册数学第22章二次函数单元测试卷（解析版）一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）下列函数中，是二次函数的是（）A．y＝3x﹣1B．y＝3x3﹣x2C．y＝1﹣x﹣x2D．y＝x2+2．（3分）抛物线y＝x2﹣6x+24的顶点是（）A．（﹣6，﹣6）B．（﹣6，6）C．（6，6）D．（6，﹣6）3．（3分）由二次函数y＝2（x﹣3）2+1，可知正确的结论是（）A．其图象的开口向下B．其图象的对称轴为过点（﹣3，0）且与y轴平行的直线C．其最小值为1D．当x＜3时，y随x的增大而增大4．（3分）函数y＝ax2与y＝ax﹣a的图象大致是（）A．B．C．D．5．（3分）二次函数y＝m2x2﹣4x+1有最小值﹣3，则m等于（）A．1B．﹣1C．±1D．±6．（3分）若y＝（m+1）是二次函数，则m＝（）A．7B．﹣1C．﹣1或7D．以上都不对7．（3分）y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下面六个代数式：abc；b2﹣4ac；a﹣b+c；a+b+c；2a﹣b；9a﹣4b，值小于0的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．（3分）一名男同学推铅球时，铅球行进中离地的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是y＝﹣x2+x+，那么铅球推出后落地时距出手地的距离是（）A．m B．4 m C．8 m D．10 m9．（3分）若二次函数y＝ax2﹣x+c的图象上所有的点都在x轴下方，则a，c应满足的关系是（）A．B．C．D．10．（3分）已知函数y＝x2﹣2x+k的图象经过点（，y1），（，y2），则y1与y2的大小关系为（）A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．不能确定二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）11．（4分）抛物线y＝3x2+（m﹣2）x+m﹣2，当m＝时，图象顶点在y轴上，当m ＝时，图象顶点在x轴上，当m＝时，图象过原点，当m＝时，图象顶点在原点．12．（4分）将二次函数y＝5（x+2）2﹣4的图象向左平移3个单位，再向上平移8个单位，所得二次函数图象的表达式为．13．（4分）抛物线上有三点（﹣2，3）、（2，﹣8）、（1，3），此抛物线的解析式为．14．（4分）周长为50cm的矩形，设其一边长为x cm，则当x＝时，矩形面积最大，为．15．（4分）若点A（3，m）是抛物线y＝﹣x2上一点，则m＝．16．（4分）抛物线y＝﹣x2+3x﹣2在y轴上的截距是，与x轴的交点坐标是．17．（4分）根据下图中的抛物线，当x时，y随x的增大而增大；当x时，y 随x的增大而减小．三．解答题（共8小题，满分62分）18．（6分）已知二次函数的图象如图所示，求它的解析式．19．（6分）已知是x的二次函数，求出它的解析式．20．（6分）画出函数y＝﹣x2+2x+3的图象，观察图象说明：当x取何值时，y＜0，当x取何值时，y＞0．21．（8分）已知二次函数y＝﹣3x2﹣6x+5．（1）求这个函数图象的顶点坐标、对称轴以及函数的最大值；（2）若另一条抛物线y＝x2﹣x﹣k与上述抛物线只有一个公共点，求k的值．22．（8分）已知二次函数y＝﹣x2+x+2．（1）求函数图象的开口方向，顶点坐标及对称轴；（2）画出函数的图象；（3）由图象回答：当x为何值时，y＜0；当x为何值时，y＞0．23．（8分）某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，生产厂家要求每箱售价在40～70元之间．市场调查发现：若每箱以50元销售，平均每天可销售90箱，价格每升高1元，平均每天少销售3箱．（1）求商场平均每天销售这种牛奶的利润W（元）与每箱牛奶的售价x（元）之间的函数关系式；（每箱的利润＝售价﹣进价）（2）求出（1）中二次函数图象的顶点坐标，并当x＝40，70时W的值．在直角坐标系中画出函数图象的草图；（3）根据图象可以看出，当牛奶售价为多少时，平均每天的利润最大，最大利润是多少？24．（10分）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（﹣3，﹣6），并与x轴交于点B（﹣1，0）和点C，顶点为P．（1）求二次函数的解析式；（2）设点M为线段OC上一点，且∠MPC＝∠BAC，求点M的坐标；说明：若（2）你经历反复探索没有获得解题思路，请你在不改变点M的位置的情况下添加一个条件解答此题，此时（2）最高得分为3分．25．（10分）已知OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA＝10，OC＝6，（1）如图甲：在OA上选取一点D，将△COD沿CD翻折，使点O落在BC边上，记为E．求折痕CD所在直线的解析式；（2）如图乙：在OC上选取一点F，将△AOF沿AF翻折，使点O落在BC边，记为G．①求折痕AF所在直线的解析式；②再作GH∥AB交AF于点H，若抛物线过点H，求此抛物线的解析式，并判断它与直线AF的公共点的个数．（3）如图丙：一般地，在以OA、OC上选取适当的点I、J，使纸片沿IJ翻折后，点O 落在BC边上，记为K．请你猜想：①折痕IJ所在直线与第（2）题②中的抛物线会有几个公共点；②经过K作KL∥AB与IJ相交于L，则点L是否必定在抛物线上．将以上两项猜想在（l）的情形下分别进行验证．2019-2020学年九年级第22章二次函数单元测试卷参考答案一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）下列函数中，是二次函数的是（）A．y＝3x﹣1B．y＝3x3﹣x2C．y＝1﹣x﹣x2D．y＝x2+【分析】整理成一般形式后，根据二次函数的定义判定即可．【解答】解：A、是一次函数，错误；B、最高次是3次，故错误；C、符合二次函数的一般形式y＝ax2+bx+c，正确；D、不是有关自变量的整式，故错误．故选：C．2．（3分）抛物线y＝x2﹣6x+24的顶点是（）A．（﹣6，﹣6）B．（﹣6，6）C．（6，6）D．（6，﹣6）【分析】化为顶点式表达式即可求出抛物线y＝x2﹣6x+24的顶点坐标．【解答】解：抛物线y＝x2﹣6x+24＝（x﹣6）2+6，所以抛物线y＝x2﹣6x+24的顶点是（6，6）．故选：C．3．（3分）由二次函数y＝2（x﹣3）2+1，可知正确的结论是（）A．其图象的开口向下B．其图象的对称轴为过点（﹣3，0）且与y轴平行的直线C．其最小值为1D．当x＜3时，y随x的增大而增大【分析】根据二次函数的性质对各选项进行逐一判断即可．【解答】解：A、∵二次函数y＝2（x﹣3）2+1中，a＝2＞0，∴其图象的开口向上，故本选项错误；B、∵二次函数的解析式是y＝2（x﹣3）2+1，∴其图象的对称轴是直线x＝3，故本选项错误；C、∵由函数解析式可知其顶点坐标为（3，1），∴其最小值为1，故本选项正确；D、∵二次函数的图象开口向上，对称轴是直线x＝3，∴当x＜3时，y随x的增大而减小，故本选项错误．故选：C．4．（3分）函数y＝ax2与y＝ax﹣a的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】由抛物线的图象可知a＞0，由此可知直线y＝ax﹣a中，a＞0，﹣a＜0，再判断一次函数图象的位置．【解答】解：观察抛物线的图象可知a＞0，∴在直线y＝ax﹣a中，a＞0，﹣a＜0，直线经过一、三、四象限，故选B．5．（3分）二次函数y＝m2x2﹣4x+1有最小值﹣3，则m等于（）A．1B．﹣1C．±1D．±【分析】对二次函数y＝m2x2﹣4x+1，a＝m2＞0，存在最小值，且在顶点取得，有＝﹣3，求得m的值即可．【解答】解：在y＝m2x2﹣4x+1中，m2＞0，则在顶点处取得最小值，＝＝﹣3，解得：m＝±1．故选：C．6．（3分）若y＝（m+1）是二次函数，则m＝（）A．7B．﹣1C．﹣1或7D．以上都不对【分析】让x的指数为2，系数不为0，列出方程与不等式解答即可．【解答】解：由题意得：m2﹣6m﹣5＝2；且m+1≠0；解得m＝7或﹣1；m≠﹣1，∴m＝7，故选：A．7．（3分）y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下面六个代数式：abc；b2﹣4ac；a﹣b+c；a+b+c；2a﹣b；9a﹣4b，值小于0的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据抛物线的开口方向和对称轴的位置及定顶点的位置，再结合图形可推出a ＜0，b＜0，c＜0，由此可判断各式的符号．【解答】解：①由抛物线的开口方向向下可推出a＜0；因为对称轴在y轴左侧，对称轴为x＝＜0，又因为a＜0，b＜0；由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c＜0，故abc＜0；②抛物线与x轴有两个交点，b2﹣4ac＞0；③当x＝﹣1时，a﹣b+c＞0；④当x＝1时，y＝a+b+c＜0；⑤对称轴x＝﹣＝﹣1，2a＝b，2a﹣b＝0；⑥∵b＝2a，且a＜0，∴9a﹣4b＝9a﹣8a＝a＜0，则①④⑥的值小于0，故选：C．8．（3分）一名男同学推铅球时，铅球行进中离地的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是y＝﹣x2+x+，那么铅球推出后落地时距出手地的距离是（）A．m B．4 m C．8 m D．10 m【分析】铅球落地时高度y＝0，求出此时x的值，即得铅球推出后落地时距出手地的距离．【解答】解：当y＝0时，﹣x2+x+＝0，整理得：x2﹣8x﹣20＝0，解得：x＝10，x＝﹣2（不合题意，舍去），故x＝10，即铅球推出后落地时距出手地的距离是10米．故选：D．9．（3分）若二次函数y＝ax2﹣x+c的图象上所有的点都在x轴下方，则a，c应满足的关系是（）A．B．C．D．【分析】根据函数图象上所有点都在x轴下方可知，函数图象开口向下且顶点纵坐标小于0，列出不等式．【解答】解：由题意得：，解得：，故选A．10．（3分）已知函数y＝x2﹣2x+k的图象经过点（，y1），（，y2），则y1与y2的大小关系为（）A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．不能确定【分析】先求得函数y＝x2﹣2x+k的对称轴为x＝1，再判断点（，y1）的对称点的坐标为（，y2），从而判断出y1＝y2．【解答】解：∵对称轴为x＝﹣＝1，∴点（，y1）的对称点的横坐标为，即称点坐标为（，y2），∴y1＝y2．故选：B．二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）11．（4分）抛物线y＝3x2+（m﹣2）x+m﹣2，当m＝2时，图象顶点在y轴上，当m＝2或14时，图象顶点在x轴上，当m＝2时，图象过原点，当m＝2时，图象顶点在原点．【分析】图象顶点在y轴上，即顶点的横坐标为0，即﹣＝0；图象顶点在x轴上，即顶点的纵坐标为0，即＝0；图象过原点，则m﹣2＝0；图象顶点在原点，即顶点的横、纵坐标都为0，即m﹣2＝0，然后分别解方程求出对应的m的值．【解答】解：当﹣＝0，即m＝2时，图象顶点在y轴上；当＝0时，图象顶点在x轴上，解得m＝2或m＝14；当m﹣2＝0，即m＝2时，图象过原点；当m﹣2＝0时，图象顶点在原点．故答案为2，2或14，2，2．12．（4分）将二次函数y＝5（x+2）2﹣4的图象向左平移3个单位，再向上平移8个单位，所得二次函数图象的表达式为y＝5（x+5）2+3．【分析】利用变化规律：左加右减，上加下减进而得出答案．【解答】解：按照“左加右减，上加下减”的规律，y＝5（x+2）2﹣4的图象向左平移3个单位，再向上平移8个单位得到y＝5（x+5）2+3．故答案为：y＝5（x+5）2+3．13．（4分）抛物线上有三点（﹣2，3）、（2，﹣8）、（1，3），此抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+．【分析】把点（﹣2，3）、（2，﹣8）、（1，3）代入y＝ax2+bx+c，解得a，b，c的值，即可得出抛物线的解析式．【解答】解：设此抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，把点（﹣2，3）、（2，﹣8）、（1，3）代入得，解得．所以此抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+，故答案为：y＝﹣x2﹣x+．14．（4分）周长为50cm的矩形，设其一边长为x cm，则当x＝时，矩形面积最大，为．【分析】根据矩形的面积公式求出矩形的面积表达式，再利用配方法求出最值．【解答】解：设矩形的面积为S，则S＝x（25﹣x）＝﹣x2+25x＝﹣（x2﹣25x）＝﹣[x2﹣25x+（）2﹣（）2]＝﹣（x﹣）2+．故答案为，．15．（4分）若点A（3，m）是抛物线y＝﹣x2上一点，则m＝﹣9．【分析】将A（3，m）代入y＝﹣x2即可求解．【解答】解：当x＝3时，m＝﹣32，即m＝﹣9．16．（4分）抛物线y＝﹣x2+3x﹣2在y轴上的截距是﹣2，与x轴的交点坐标是（2，0）（1，0）．【分析】令x＝0，即可求出抛物线与y轴的交点坐标，交点纵坐标即为抛物线在y轴上的截距；令y＝0，所得关于x的一元二次方程的解即为与x轴交点的横坐标．【解答】解：当x＝0时，y＝﹣2，则抛物线在y轴上的截距为﹣2；当y＝0时，原式可化为﹣x2+3x﹣2＝0，整理得，x2﹣3x+2＝0，解得x1＝2，x2＝1，于是抛物线与x轴的交点坐标为（2，0），（1，0）．故答案为﹣2；（2，0），（1，0）．17．（4分）根据下图中的抛物线，当x＜2时，y随x的增大而增大；当x＞2时，y随x的增大而减小．【分析】已知抛物线与x轴的两交点坐标，对称轴是两交点横坐标的平均数，根据对称轴及开口方向，可判断函数的增减性．【解答】解：因为抛物线与x轴两交点坐标（﹣2，0），（6，0），所以，抛物线对称轴为x＝＝2，所以，当x＜2时，y随x的增大而增大；当x＞2时，y随x的增大而减小．三．解答题（共8小题，满分62分）18．（6分）已知二次函数的图象如图所示，求它的解析式．【分析】从图上可知道顶点坐标和与x轴的交点坐标，设成顶点式利用待定系数法求解即可．【解答】解：∵抛物线顶点坐标为（1，4），代入抛物线顶点式y＝a（x﹣h）2+k（a≠0），得：y＝a（x﹣1）2+4，∵该抛物线又过点（﹣1，0），∴4a+4＝0，解得a＝﹣1，∴y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3．19．（6分）已知是x的二次函数，求出它的解析式．【分析】根据二次函数的定义得出有关m的方程与不等式解答即可．【解答】解：由二次函数的定义，可知m2+m≠0，即m≠0，m≠﹣1又因为m2﹣2m﹣1＝2，m2﹣2m﹣3＝0解得m＝3或m＝﹣1（不合题意，舍去）所以m＝3故y＝12x2+9．20．（6分）画出函数y＝﹣x2+2x+3的图象，观察图象说明：当x取何值时，y＜0，当x取何值时，y＞0．【分析】先把函数y＝﹣x2+2x+3化成顶点式，即可直接得出其顶点坐标，分别令x＝0，y＝0求出图象与x、y轴的交点，根据其四点可画出函数的图象，根据图象便可直接解答y＜0或y＞0时x的取值范围．【解答】解：∵y＝﹣x2+2x+3，＝﹣（x﹣1）2+4，∴开口方向向下，对称轴x＝1，顶点坐标（1，4），令x＝0得：y＝3，∴与y轴交点坐标（0，3），令y＝0得：﹣x2+2x+3＝0，∴x1＝1 x2＝3，∴与x轴交点坐标（﹣1，0），（3，0），作出函数如图所示的图象，由图象可以看出：当x＜﹣1或x＞3时，y＜0；当﹣1＜x＜3时，y＞0．21．（8分）已知二次函数y＝﹣3x2﹣6x+5．（1）求这个函数图象的顶点坐标、对称轴以及函数的最大值；（2）若另一条抛物线y＝x2﹣x﹣k与上述抛物线只有一个公共点，求k的值．【分析】（1）根据抛物线的解析式易得顶点坐标与对称轴方程，进而可得函数的最大值；（2）若两条抛物线只有一个公共点，联立两个方程可得一个一元二次方程，令△＝0可得k的值．【解答】解：（1）∵y＝﹣3x2﹣6x+5＝﹣3（x2+2x+1）+8＝﹣3（x+1）2+8，∴对称轴x＝﹣1，顶点坐标（﹣1，8），即当x＝﹣1时，函数有最大值是8．（2）∵只有一个公共点∴方程﹣3x2﹣6x+5＝x2﹣x﹣k有相等实数根，即4x2+5x﹣5﹣k＝0△＝52﹣4×4×（﹣5﹣k）＝0，∴k＝﹣．22．（8分）已知二次函数y＝﹣x2+x+2．（1）求函数图象的开口方向，顶点坐标及对称轴；（2）画出函数的图象；（3）由图象回答：当x为何值时，y＜0；当x为何值时，y＞0．【分析】（1）通过配方法求对称轴，顶点坐标，当a＞0时，开口向上，当a＜0时，开口向下；（2）可以利用描点法作图，要注意确定顶点坐标；（3）根据图象确定取值范围，当y＜0时，即为x轴下方的部分，即可确定x的取值范围，当y＞0时，即为x轴的上方部分，即可确定x的取值范围．【解答】解：（1）y＝﹣x2+x+2＝﹣（x2﹣x）+2＝﹣（x﹣）2+，∴开口向下，顶点坐标为（，），对称轴为直线x＝；（2）图象如图：（3）根据图象可知：x＜﹣1或x＞2时，y＜0；﹣1＜x＜2时，y＞0．23．（8分）某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，生产厂家要求每箱售价在40～70元之间．市场调查发现：若每箱以50元销售，平均每天可销售90箱，价格每升高1元，平均每天少销售3箱．（1）求商场平均每天销售这种牛奶的利润W（元）与每箱牛奶的售价x（元）之间的函数关系式；（每箱的利润＝售价﹣进价）（2）求出（1）中二次函数图象的顶点坐标，并当x＝40，70时W的值．在直角坐标系中画出函数图象的草图；（3）根据图象可以看出，当牛奶售价为多少时，平均每天的利润最大，最大利润是多少？【分析】（1）每天的利润＝每箱的利润×销售量，注意售价的范围；（2）用配方法或公式法可求顶点坐标，把x＝40、70分别代入关系式中计算求值；（3）根据图象回答问题．【解答】解：（1）当每箱牛奶售价为x元时，每箱利润为（x﹣40）元，每天售出90﹣3（x﹣50）＝240﹣3x箱，故W＝（240﹣3x）（x﹣40）＝﹣3x2+360x﹣9600；（2）W＝﹣3（x﹣60）2+1200，∴此二次函数图象的顶点坐标为（60，1200），当x＝40时，W＝﹣3（40﹣60）2+1200＝0，当x＝70时，W＝﹣3（70﹣60）2+1200＝900；（3）由图象易知：当牛奶售价为每箱60元时，平均每天利润最大，最大利润为1200元．24．（10分）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（﹣3，﹣6），并与x轴交于点B（﹣1，0）和点C，顶点为P．（1）求二次函数的解析式；（2）设点M为线段OC上一点，且∠MPC＝∠BAC，求点M的坐标；说明：若（2）你经历反复探索没有获得解题思路，请你在不改变点M的位置的情况下添加一个条件解答此题，此时（2）最高得分为3分．【分析】（1）二次函数解析式中有两个未知数，且它的图象经过点A、B，把两点代入求解得出系数，即可求得．（2）画出二次函数图象，根据二次函数图象求解．【解答】解：把两点代入求解得：﹣3b+c＝0，b﹣c+＝0，解得：b＝1，c＝，代入原函数解析式得：y＝﹣x2+x+．（2）如图所示：M点在OC上，由题目可知∠MPC＝∠BAC，点P的坐标为（1，2），由已知个点坐标可以求得：CP＝，AC＝6，BC＝4，∠PCM＝∠ACB＝45°；由以上可以知道△PCM与△ACB相似，所以有：，解得：CM＝，所以M点的坐标为（），答：M点的坐标为（）．25．（10分）已知OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA＝10，OC＝6，（1）如图甲：在OA上选取一点D，将△COD沿CD翻折，使点O落在BC边上，记为E．求折痕CD所在直线的解析式；（2）如图乙：在OC上选取一点F，将△AOF沿AF翻折，使点O落在BC边，记为G．①求折痕AF所在直线的解析式；②再作GH∥AB交AF于点H，若抛物线过点H，求此抛物线的解析式，并判断它与直线AF的公共点的个数．（3）如图丙：一般地，在以OA、OC上选取适当的点I、J，使纸片沿IJ翻折后，点O 落在BC边上，记为K．请你猜想：①折痕IJ所在直线与第（2）题②中的抛物线会有几个公共点；②经过K作KL∥AB与IJ相交于L，则点L是否必定在抛物线上．将以上两项猜想在（l）的情形下分别进行验证．【分析】（1）根据折叠可知四边形ODEC是正方形，由此可得知C、D点坐标，设出直线解析式，代入两点坐标即可求得；（2）借用直角△ABG和△FCG，可以求出OF、CG的长度，由此可得折痕AF所在直线的解析式，由CG的长得知G点坐标，设出H点坐标，由H在直线和抛物线上可求出抛物线的解析式，再将直线解析式代入抛物线解析式中，由根的判别式△＝0可得知仅有一个交点；（3）结合（2）得出猜想，再到图甲中找到特殊情况下，各点所对应的点，代入即可得以验证．【解答】解：（1）由折法知：四边形ODEC是正方形，∴OD＝OC＝6，∴D（6，0），C（0，6），设直线CD的解析式为y＝kx+b，则，解得，∴直线CD的解析式为y＝﹣x+6．（2）①在直角△ABG中，因AG＝AO＝10，故BG＝＝8，∴CG＝2，设OF＝m，则FG＝m，CF＝6﹣m，在直角△CFG中，m2＝（6﹣m）2+22，解得m＝，则F（0，），设直线AF为y＝k′x+，将A（10，0）代入，得k′＝﹣，∴AF所在直线的解析式为：y＝﹣x+．②∵GH∥AB，且G（2，6），可设H（2，y F），由于H在直线AF上，∴把H（2，y F）代入直线AF：y F＝﹣×2+＝，∴H（2，），又∵H在抛物线上，＝﹣×22+h，解得h＝3，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3，将直线y＝﹣x+，代入到抛物线y＝﹣x2+3，得﹣x2+x﹣＝0，∵△＝﹣4×（﹣）×（﹣）＝0，∴直线AF与抛物线只有一个公共点．（3）可以猜想以下两个结论：①折痕IJ所在直线与抛物线y＝﹣x2+3只有一个公共点；②经过K作KL∥AB与IJ相交于L，则点L一定在抛物线y＝﹣x2+3上．验证①，在图甲的特殊情况中，I即为D，J即为C，G即为E，K也是E，KL即为ED，L就是D，将折痕CD：y＝﹣x+6代入y＝﹣x2+3中，得﹣x2+x﹣3＝0，∵△＝1﹣4×（﹣）×（﹣3）＝0，∴折痕CD所在的直线与抛物线y＝﹣x2+3只有一个公共点．验证②，在图甲的特殊情况中，I就是C，J就是D，那么L就是D（6，0），当x＝6时，y＝﹣×62+3＝0，∴点L在这条抛物线上．人教版九年级数学上册第22章二次函数单元测试卷含答案一、选择题（共8题；共24分）1.二次函数y=x2-2x+3顶点坐标是（）A. （-1，-2）B. （1，2）C. （-1，2）D. （0，2）2.已知抛物线y=(x−4)2-3与y轴交点的坐标是（）A. （0，3）B. （0，-3）C. （0，）D. （0，-）3.二次函数y= -的图象如何移动就得到-的图象（）A. 向左移动1个单位，向上移动3个单位B. 向右移动1个单位，向上移动3个单位C. 向左移动1个单位，向下移动3个单位D. 向右移动1个单位，向下移动3个单位4.在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=2x2先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后所得到的抛物线的解析式为（）A. y=2(x-1)2-3B. y=2(x-1)2+3C. y=2(x+1)2-3D. y=2(x+1)2+35.已知二次函数的图象如下图所示，则四个代数式，，，中，值为正数的有（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个6.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）．下列结论：①2a ﹣b=0；②（a+c）2＜b2；③当﹣1＜x＜3时，y＜0；④当a=1时，将抛物线先向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线y=（x﹣2）2﹣2．其中正确的是（）A. ①③B. ②③C. ②④D. ③④7.已知一次函数y=ax2+bx+c+2的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac=0；③a＞2；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 48.如图，已知顶点为（-3，-6）的抛物线y=ax2+bx+c经过点（-1，-4），则下列结论中错误的是（）A. b2＞4acB. ax2+bx+c≥-6C. 若点（-2，m），（-5，n）在抛物线上，则m＞nD. 关于x的一元二次方程ax2+bx+c=-4的两根为-5和-1二、填空题（共10题；共30分）9.若抛物线的开口向上，则的取值范围是________．10.抛物线的顶点坐标是________．11.若A（，），B（，），C（1，）为二次函数y= +4x﹣5的图象上的三点，则、、的大小关系是________．12.抛物线与x轴交于点（1，0），（﹣3，0），则该抛物线可设为：________．13.把二次函数y=﹣2x2+4x+3化成y=a（x﹣m）2+k的形式是________．14.如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于（1，0），（3，0）两点，则它的对称轴为________．15.将二次函数y＝x2－2x化为y＝(x－h)2＋k的形式，结果为________16.二次函数y=x2+（2m+1）x+（m2﹣1）有最小值﹣2，则m=________．17.若二次函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是________．18.抛物线y=ax2+bx+c满足下列条件：（1）4a﹣b=0；（2）a﹣b+c＞0；（3）与x轴有两个交点，且两交点的距离小于2．以下有四个结论：①a＜0；②c＞0；③ac= b2；④ ＜a＜．则其中正确结论的序号是________．三、解答题（共9题；共66分）19.如图，一块矩形草地的长为100m，宽为80m，欲在中间修筑两条互相垂直的宽为x（m）的小路，这时草坪的面积为y（m2）．求y与x的函数关系式，并求出x的取值范围．20.已知抛物线C1：y1=2x2﹣4x+k与x轴只有一个公共点．（1）求k的值；（2）怎样平移抛物线C1就可以得到抛物线C2：y2=2（x+1）2﹣4k？请写出具体的平移方法；（3）若点A（1，t）和点B（m，n）都在抛物线C2：y2=2（x+1）2﹣4k上，且n＜t，直接写出m的取值范围．21.直线l：y=﹣x+6交y轴于点A，与x轴交于点B，过A、B两点的抛物线m与x轴的另一个交点为C，（C在B的左边），如果BC=5，求抛物线m的解析式，并根据函数图像指出当m的函数值大于0的函数值时x的取值范围．22.如图，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为C（1，4），交x轴于点A（3，0），B两点，交y轴于点D．（1）求点B、点D的坐标，（2）判断△ACD的形状，并求出△ACD的面积．23.某产品每件成本28元，在试销阶段产品的日销售量y（件）与每件产品的日销售价x（元）之间的关系如图中的折线所示．为维持市场物价平衡，最高售价不得高出83元．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）要使每日的销售利润w最大，每件产品的日销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？24.已知，抛物线y=ax²+bx+4与x轴交于点A（-3，0）和B（2，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点D为CB的中点，将线段DB绕点D旋转，点B的对应点为点G，当点G 恰好落在抛物线的对称轴上时，求点G的坐标；（3）如图2，若点D为直线BC或直线AC上的一点，E为x轴上一动点，抛物线对称轴上是否存在点F，使以B，D，F，E为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．25.如图，抛物线y=﹣x2﹣2x+3的图象与x轴交A、B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．（1）求点A、B、C的坐标；（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过Q作QN⊥x轴于N，当矩形PMNQ的周长最大时，求△AEM的面积；（3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ，过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方），若FG=2 DQ，求点F的坐标．26.甲、乙两人分别站在相距6米的A、B两点练习打羽毛球，已知羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，甲在离地面1米的C处发出一球，乙在离地面1.5米的D处成功击球，球飞行过程中的最高点H与甲的水平距离AE为4米，现以A为原点，直线AB为x轴，建立平面直角坐标系（如图所示）．求羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式及飞行的最高高度．27.已知如图，在△ABC中，AB=BC=4，∠ABC=90°，M是AC的中点，点N在AB上（不同于A、B），将△ANM绕点M逆时针旋转90°得△A1PM（1）画出△A1PM（2）设AN=x，四边形NMCP的面积为y，直接写出y关于x的函数关系式，并求y的最大或最小值．参考答案一、单选题1.B2.C3.C4.C5.A6.D7.C8.C二、填空题9.a＞2 10.（0，-1）11.＜＜12.y=a（x﹣1）（x+3）（a≠0）13.y=﹣2（x﹣1）2+5 14.直线x=2 15.16.17.1 18.①三、解答题19.解：设中间修筑两条互相垂直的宽为x（m）的小路，草坪的面积为y（m2），根据题意得出：y=100﹣80﹣80x﹣100x+x2=x2﹣180x+8000（0＜x＜80）20.解：（1）根据题意得：△=16﹣8k=0，解得：k=2；（2）C1是：y1=2x2﹣4x+2=2（x﹣1）2，抛物线C2是：y2=2（x+1）2﹣8．则平移抛物线C1就可以得到抛物线C2的方法是向左平移2个单位长度，向下平移8个单位长度；（3）当x=1时，y2=2（x+1）2﹣8=0，即t=0．在y2=2（x+1）2﹣8中，令y=0，解得：x=1或﹣3．则当n＜t时，即2（x+1）2﹣8＜0时，m的范围是﹣3＜m＜1．21.解：∵y=﹣x+6交y轴于点A，与x轴交于点B，∴x=0时，y=6，∴A（0，6），y=0时，x=8，∴B（8，0），∵过A、B两点的抛物线m与x轴的另一个交点为C，（C在B的左边），BC=5，∴C（3，0）．设抛物线m的解析式为y=a（x﹣3）（x﹣8），将A（0，6）代入，得24a=6，解得a= ，∴抛物线m的解析式为y= （x﹣3）（x﹣8），即y= x2﹣x+6；函数图像如下：当抛物线m的函数值大于0时，x的取值范围是x＜3或x＞8．22.解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（1，4），∴可设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+4，∵与x轴交于点A（3，0），∴0=4a+4，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+4=﹣x2+2x+3，令y=0，可得﹣x2+2x+3=0，解得x=﹣1或x=3，令x=0，可得y=3∴B点坐标为（﹣1，0），D点坐标为（0，3）；（2）∵A（3，0），D（0，3），C（1，4），∴AD==3，CD==，AC==2，∴AD2+CD2=（3）2+（）2=20=（2）2=AC2，∴△ACD是以AC为斜边的直角三角形，∴S△ACD=AD•CD=×3×=3．23.解：（1）当30＜x≤40时，设此段的函数解析式为：y=kx+b，解得，k=﹣3，b=156∴当30＜x≤40时，函数的解析式为：y=﹣3x+156；当40＜x≤80时，设此段函数的解析式为：y=mx+n，解得，m=，n=56，∴当40＜x≤80时，函数的解析式为：y=；当80＜x≤83时，y=16；由上可得，y与x之间的函数关系式是：y=；（2）当30＜x≤40时，w=（x﹣28）y=（x﹣28）（﹣3x+156）=﹣3x2+240x﹣4368=﹣3（x﹣40）2+432∴当x=40时取得最大值，最大值为w=432元；当40＜x≤80时，w=（x﹣28）y=（x﹣28）（）==，∴当x=70时，取得最大值，最大值为w=882元；当80＜x≤83时，w=（x﹣28）×16∴当x=83时，取得最大值，最大值为w=880元；由上可得，当x=70时，每日点的销售利润最大，最大为882元，即要使每日的销售利润w最大，每件产品的日销售价应定为70元，此时每日销售利润是882元．24.（1）由A（-3，0）和B（2，0），得：即= ax²+bx+4∴∴∴.（2）易得C（0,4），则BC= .由可对称轴为x= ,则可设点G的坐标为（，，∵点D是BC的中点∴点D的坐标为（，，由旋转可得，DG=DB∴……………∴………∴点G的坐标为（，或（，（3）①当BE为对角线时，因为菱形的对角线互相垂直平分，所以此时D即为对称轴与AC 的交点或对称轴对BC的交点，F为点D关于x轴的对称点，设，∵C（，，A（，，∴，∴，∴，∴当时，，∴D（，，∴F（，；易得∴当时，y=5，∴D（，，∴F（，；②当BE为菱形的边时，有DF∥BEI)当点D在直线BC上时设D（，，则点F（，∵四边形BDFE是菱形∴FD=DB根据勾股定理得，（整理得：=0，解得：，∴F（，或（，II）当点D在直线AC上时设D（，人教版九年级数学上册第22章二次函数单元测试卷含答案一、选择题（共8题；共24分）1.二次函数y=x2-2x+3顶点坐标是（）A. （-1，-2）B. （1，2）C. （-1，2）D. （0，2）2.已知抛物线y=(x−4)2-3与y轴交点的坐标是（）A. （0，3）B. （0，-3）C. （0，）D. （0，-）3.二次函数y= -的图象如何移动就得到-的图象（）A. 向左移动1个单位，向上移动3个单位B. 向右移动1个单位，向上移动3个单位C. 向左移动1个单位，向下移动3个单位D. 向右移动1个单位，向下移动3个单位4.在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=2x2先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后所得到的抛物线的解析式为（）A. y=2(x-1)2-3B. y=2(x-1)2+3C. y=2(x+1)2-3D. y=2(x+1)2+35.已知二次函数的图象如下图所示，则四个代数式，，，中，值为正数的有（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个6.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）．下列结论：①2a ﹣b=0；②（a+c）2＜b2；③当﹣1＜x＜3时，y＜0；④当a=1时，将抛物线先向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线y=（x﹣2）2﹣2．其中正确的是（）A. ①③B. ②③C. ②④D. ③④7.已知一次函数y=ax2+bx+c+2的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac=0；③a＞2；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 48.如图，已知顶点为（-3，-6）的抛物线y=ax2+bx+c经过点（-1，-4），则下列结论中错误的是（）A. b2＞4acB. ax2+bx+c≥-6C. 若点（-2，m），（-5，n）在抛物线上，则m＞nD. 关于x的一元二次方程ax2+bx+c=-4的两根为-5和-1二、填空题（共10题；共30分）9.若抛物线的开口向上，则的取值范围是________．10.抛物线的顶点坐标是________．11.若A（，），B（，），C（1，）为二次函数y= +4x﹣5的图象上的三点，则、、的大小关系是________．12.抛物线与x轴交于点（1，0），（﹣3，0），则该抛物线可设为：________．13.把二次函数y=﹣2x2+4x+3化成y=a（x﹣m）2+k的形式是________．14.如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于（1，0），（3，0）两点，则它的对称轴为________．15.将二次函数y＝x2－2x化为y＝(x－h)2＋k的形式，结果为________16.二次函数y=x2+（2m+1）x+（m2﹣1）有最小值﹣2，则m=________．17.若二次函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是________．18.抛物线y=ax2+bx+c满足下列条件：（1）4a﹣b=0；（2）a﹣b+c＞0；（3）与x轴有两个交点，且两交点的距离小于2．以下有四个结论：①a＜0；②c＞0；③ac= b2；④ ＜a＜．则其中正确结论的序号是________．三、解答题（共9题；共66分）19.如图，一块矩形草地的长为100m，宽为80m，欲在中间修筑两条互相垂直的宽为x（m）的小路，这时草坪的面积为y（m2）．求y与x的函数关系式，并求出x的取值范围．20.已知抛物线C1：y1=2x2﹣4x+k与x轴只有一个公共点．（1）求k的值；（2）怎样平移抛物线C1就可以得到抛物线C2：y2=2（x+1）2﹣4k？请写出具体的平移方法；（3）若点A（1，t）和点B（m，n）都在抛物线C2：y2=2（x+1）2﹣4k上，且n＜t，直接写出m的取值范围．21.直线l：y=﹣x+6交y轴于点A，与x轴交于点B，过A、B两点的抛物线m与x轴的另一个交点为C，（C在B的左边），如果BC=5，求抛物线m的解析式，并根据函数图像指出当m的函数值大于0的函数值时x的取值范围．22.如图，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为C（1，4），交x轴于点A（3，0），B两点，交y轴于点D．（1）求点B、点D的坐标，。
初三九年级数学学沪科 第22章 训练习题课件全章整合与提升
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∴C2M＝12.2，解得 CM＝130 m. ∵BC＝4 m，∴BM＝BC＋CM＝4＋130＝232(m)．
∴
AB 22
＝12.2，解得 AB＝4.4 m，即这棵树的高度是 4.4 m.
3
(方法二：作垂线)过点 D 作 DM⊥AB 于点 M，如图②.
易知△AMD∽△FGH，∴MAMD＝GFGH.
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9．如图，在离某建筑物 CE 4 m 处有一棵树 AB，在某时刻，1.2 m 的竹竿 FG 垂直地面放置，影子 GH 长为 2 m，此时树的 影子有一部分落在地面上，还有一部分落在建筑物的墙上， 墙上的影子 CD 高为 2 m，那么这棵树的高度是多少？
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解：(方法一：作延长线)延长 AD，与地面交于点 M，如图①. 由 AM∥FH 知∠AMB＝∠FHG. ∵AB⊥BG，DC⊥BG，FG⊥BG， ∴∠ABC＝∠DCM＝∠FGH＝90°. 又∵∠AMB＝∠DMC，∴△ABM∽△DCM∽△FGH. ∴BAMB ＝CCMD ＝GFGH. ∵CD＝2 m，FG＝1.2 m，GH＝2 m，
沪科版 九年级上
第22章 相似形
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1．[2018·淮北期中]下列四组线段中，不是成比例线段的是 ( C) A．a＝3，b＝6，c＝2，d＝4 B．a＝1，b＝ 2，c＝ 6，d＝2 3 C．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10 D．a＝2，b＝ 5，c＝ 15，d＝2 3
沪科版九年级数学上册第22章测试题(含答案)
沪科版九年级数学上册第22章测试题（含答案）(考试时间：120分钟 满分：150分)姓名：______ 班级：______ 分数：______一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分) 每小题都给出A 、B 、C 、D 四个选项，其中只有一个是正确的．1．观察下列每组图形，相似图形是 ( C )2．已知x y ＝35，那么下列等式中，不一定正确的是( B ) A ．5x ＝3y B ．x ＋y ＝8C.x ＋y y ＝85D.x y ＝x ＋3y ＋53．已知△ABC ∽△DEF ，其相似比为1 ∶4，则它们的面积比是( D ) A ．1 ∶2B ．1 ∶4C ．1 ∶6D ．1 ∶164．根据有关测定，当外界气温处于人体正常体温的黄金比值时，人体感到最舒适(人体正常体温约为37 ℃)，这个气温大约为 ( A )A ．23 ℃B ．28 ℃C ．30 ℃D ．37 ℃5．如图，已知AB ∥CD ∥EF ，它们依次交直线l 1，l 2于点A ，D ，F 和点B ，C ，E ，如果AD ∶DF ＝3 ∶1，BE ＝10，那么CE 等于 ( C )A.103B.203C.52D.152第5题图第6题图第7题图 6．如图，在正△ABC 中，D ，E 分别在AC ，AB 上，且AD AC＝13，E 是AB 的中点，则有 ( B )A ．△AED ∽△BEDB ．△AED ∽△CBDC ．△AED ∽△ABD D ．△BAD ∽△BCD7．如图，△OE ′F ′与△OEF 关于原点O 位似，相似比为1 ∶2，已知E (－4，2)，F (－1，－1)，则点E 的对应点E ′的坐标为( C ) A ．(2，1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12 C ．(2，－1) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12 8．如图，在△ABC 中，点D 在边BC 上，点G 在线段AD 上，GE ∥BD ，且交AB 于点E ，GF ∥AC ，且交CD 于点F ，则下列结论一定正确的是(A)A.AEAB＝CFCD B.AEEB＝DFFC C.EGBD＝FGAC D.AEAG＝ADAB第8题图第9题图第10题图9．据《九章算术》记载：“今有山居木西，不知其高．山去五十三里，木高九丈五尺，人立木东三里，望木末适与山峰斜平．人目高七尺．问山高几何？”译文如下：如图，今有山AB位于树的西面．山高AB为未知数，山与树相距53里，树高CD为9丈5尺，人站在离树3里的地方，观察到树梢C恰好与山峰A处在同一斜线上，人眼离地7尺，则山AB的高为(保留到整数，1丈＝10尺)(D) A．162丈B．163丈C．164丈D．165丈10．如图，在△ABC中，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN，MN，则下列结论：①PM＝PN；②AMAB＝ANAC；③若∠ABC＝60°，则△PMN为等边三角形；④若∠ABC＝45°，则BN＝2PC.其中正确的(B) A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分) 11．在比例尺为1∶25 000 000的地图上，2 cm所表示的实际长度是500 千米．12．小明用这样的方法来测量某建筑物的高度：如图，在地面上放一面镜子，调整位置，直至刚好能从镜子中看到建筑物的顶端．如果此时小明与镜子的距离是2 m，镜子与建筑物的距离是20 m．他的眼睛距地面1.5 m，那么该建筑物的高是15 m .第12题图第13题图第14题图13．★如图，△ABC与△DEA是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠D＝90°，BC分别与AD，AE相交于点F，G，则图中共有4 对相似三角形．14．★在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝4，BC＝3，将△ABC 的一角沿着MN折叠，点B落在AC上的点D处，如图，若△ABC与△DMC相似，则BM的长度为32或127.三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)15．在下列两组图形中，每组的两个三角形相似，m表示已知数．试分别确定α，x的值．解：(1)如图中，∵△ABC ∽△A ′B ′C ′，∴x 18＝m 2m，α＝40°， ∴x ＝9.(2)如图中，∠D ＝180°－65°－70°＝45°，∵△ABO ∽△CDO ，∴α＝∠D ＝45°.∴AO OC ＝AB CD， 即35＝x m ，∴x ＝35m. 16．如图，△ABC 在坐标平面内三顶点的坐标分别为A(1，1)，B(3，3)，C(3，0)．(1)根据题意，请你在图中画出△ABC ；(2)以B 为位似中心，在如图的格子中画出一个与△ABC 相似的△BA′C′，且△BA′C′与△BAC 相似比是2 ∶1，并分别写出顶点A′和C′的坐标．解：(1)如图，△ABC 为所作． (2)顶点A′的坐标为(－1，－1)，C ′的坐标为(3，－3)．四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)17．如图，P 为△ABC 边BC 上的中线AD 上的一点，且BD 2＝PD·AD ，求证：△ADC ∽△CDP.证明：∵AD 是△ABC 边BC 上的中线，∴BD ＝CD ，∴CD 2＝PD·AD ，即CD PD ＝AD CD ， 又∠CDP ＝∠ADC ，∴△ADC ∽△CDP.18．如图，为了测量一池塘的宽AB ，在岸边找到了一点C ，使AC ⊥AB ，在AC 上找到一点D ，在BC 上找到一点E ，使DE ⊥AC ，测出AD ＝30 m ，DC ＝25 m ，DE ＝30 m ，那么你能算出池塘的宽AB 吗？解：由题意可得：AB ∥DE ， 则△DCE ∽△ACB ，故CD AC ＝DE AB， ∵AD ＝30 m ，DC ＝25 m ，DE ＝30 m ，∴2555＝30AB，解得AB ＝66.答：池塘的宽AB 为66 m.五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)19．如图，△AOB 是直角三角形，∠AOB ＝90°，点A 在反比例函数y ＝1x (x ＞0)的图象上，点B 在反比例函数y ＝－4x(x ＜0)的图象上，求OA OB的值．解：过点A ，B 作AC ⊥x 轴，BD ⊥x 轴，垂足分别为C ，D.易证△OCA ∽△BDO. ∵点A 在反比例函数y ＝1x(x ＞0)的图象上， 点B 在反比例函数y ＝－4x(x ＜0)的图象上， ∴S △AOC ∶S △OBD ＝12∶2＝1 ∶4， ∴OA OB ＝ 12. 20．如图，在△ABC 中，BD ⊥AC 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，BD 2＝BC·BE.(1)求证：△BCD ∽△BDE ；(2)如果BC ＝10，AD ＝6，求AE 的值．(1)证明：∵BD ⊥AC 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，∴∠BDC ＝90°，∠BED ＝90°，∵BD 2＝BC·BE ，∴BC BD ＝BD BE ，∴△BCD ∽△BDE. (2)解：易证△BDE ∽△BAD ，∴BD 2＝BE·BA ， ∵BD 2＝BC·BE ，∴BA ＝BC ＝10，易证△ADE ∽△ABD ，∴AD 2＝AE·AB ，∴AE ＝6210＝3.6. 六、(本题满分12分)21．如图，小华在晚上由路灯A 走向路灯B.当他走到点P 时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯A 的底部；当他向前再步行12 m 到达点Q 时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B 的底部．已知小华的身高是1.6 m ，两个路灯的高度都是9.6 m ，且AP ＝QB.(1)求两个路灯之间的距离；(2)当小华走到路灯B 的底部时，他在路灯A 下的影长是多少？题图 答图解：(1)如题图，∵PM ∥BD ，∴△APM ∽△ABD ， AP AB ＝PM BD ，即AP AB ＝1.69.6，∴AP ＝16AB ， 同理可得BQ ＝16AB ， 而AP ＋PQ ＋BQ ＝AB ，∴16AB ＋12＋16AB ＝AB ，∴AB ＝18. 答：两路灯的距离为18 m.(2)如答图，他在路灯A 下的影子为BN ，∵BM ∥AC ，∴△NBM ∽△NAC ，∴BN AN ＝BM AC ，即BN BN ＋18＝1.69.6， 解得BN ＝3.6 m.答：当他走到路灯B 时，他在路灯A 下的影长是3.6 m.七、(本题满分12分)22．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，点P 由点A 出发沿AB 方向向终点点B 匀速移动，速度为1 cm /s ，点Q 由点B 出发沿BC 方向向终点点C 匀速移动，速度为2 cm /s .如果动点P ，Q 同时从A ，B 出发，当P 或Q 到达终点时运动停止．几秒后，以Q ，B ，P 为顶点的三角形与△ABC 相似？解：设t 秒后，以Q ，B ，P 为顶点的三角形与△ABC 相似， 则PB ＝(6－t )cm ，BQ ＝2t cm ，∵∠B ＝90°，∴分两种情况：①当PB AB ＝BQ BC 时，即6－t 6＝2t 8，解得t ＝2.4； ②当PB BC ＝BQ AB 时，即6－t 8＝2t 6，解得t ＝1811； 综上所述，2.4秒或1811秒后，以Q ，B ，P 为顶点的三角形与△ABC 相似．八、(本题满分14分)23．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BE 是AC 边上的中线，点D 在射线BC 上．猜想：如图①，点D 在BC 边上，BD ∶BC ＝2 ∶3，AD 与BE 相交于点P ，过点A 作AF ∥BC ，交BE 的延长线于点F ，则AP PD的值为______． 探究：如图②，点D 在BC 的延长线上，AD 与BE 的延长线交于点P ，CD ∶BC ＝1 ∶2，求AP PD的值． 应用：在探究的条件下，若CD ＝2，AC ＝6，则BP ＝______．解：猜想：如图①，∵BE 是AC 边上的中线，∴AE ＝CE ，∵AF ∥BC ，∴AF BC ＝AE CE ＝EF BE＝1， ∵BD ∶BC ＝2 ∶3，∴BD ∶AF ＝2 ∶3，∵AF ∥BD ，∴△APF ∽△DPB ，∴AP PD ＝AF BD ＝32； 探究：过点A 作AF ∥BC ，交BE 的延长线于点F ，如图②， 设DC ＝k ，则BC ＝2k ，∵AF ∥BC ，∴AF BC ＝AE CE＝1，即AF ＝BC ＝2k ， ∵AF ∥BD ，∴△APF ∽△DPB ，∴AP PD ＝AF BD ＝2k 3k ＝23；应用：CE＝12AC＝3，BC＝2CD＝4，在Rt△BCE中，BE＝32＋42＝5，∴BF＝2BE＝10，∵AF∥BD，∴△APF∽△DPB，∴PFBP＝APPD＝23，∴BP＝35BF＝35×10＝6.。
九年级数学上册第二十二章二次函数单元复习试题大全(含答案)(120)
/.0<x<6 ;九年级数学上册第二十二章二次函数单元复习试题大全(含答案)如图，在△46C 中，ZS= 90。
，AB= 12米，6U= 24米，动点夕从点A 开始沿边46向6以2米/秒的速度运动(不与点6重合)，动点Q 从点6开始 沿6U 向C 以4米做的速度运动(不与点C 重合).如果P 、Q 分别从4、B 同时出发，设运动时间为*秒，四边形VQQC 的面积为y 平方米.(1)求卜与x 之间的函数关系式，直接写出自变量*的取值范围；(2 )求当x 为多少时，夕有最小值，最小值是多少？【答案】(1) 0 < x< 6 ; ( 2 )当x= 3时，y 取得最小值，最小值为108【解析】【分析】(1)根据等量关系“四边形2PQC 的面积二三角形28c 的面积-三角形 国Q 的面积”列出函数关系；(2)将函数解析式配方成顶点式，再根据二次函数的性质求最小值.【详解】(1 )根据题意知S=S N ABC - S"BQ=1x12x24-^-x4^x( 12-2%)2 2= 4x 2 - 24x+144 ,由 12-2x>0 得x<6,(2 )片4〃 - 24%+144 = 4 (^-3)2+108 .V4>0・••当x= 3时，y取得最小值，最小值为108 .【点睛】此题考查了函数关系式的求法以及最值的求法，解题的关键是根据题意列出函数关系式，并根据二次函数的性质求出最值.107.已知：二次函数,，=缎2 + bx + c(" 0)中的x和.V满足下表：(1)请直接写出m的值为_____________ .(2)求出这个二次函数的解析式.(3 )当0<x<3时，则y的取值范围为_________________________________ .【答案】(l)m=3;(2))，= *-2>1 ;(3)-l<y<3【解析】【分析】(1 )根据x = 0 ,1=4关于对称轴对称求解；(2 )由表格可知顶点坐标为(2 , -1),设出顶点式，代入(1,0 )即可求出解析式；(3 )求出抛物线对称轴为x = 2 ,根据抛物线的性质可得当x = 0时，N有最大值3 , x = 2时，y有最小值-1 ,问题得解.【详解】解(1 )由表可知x = 0 , x = 4 ,关于对称轴对称，・••〃? = 3 ;(2 )设顶点式y = 4(x-2)?-l ,・・•过(1,。
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二次函数综合能力测试
（说明：本试题共100分，90分钟完成）
一、填空题：(每空2分,共24分)
1．当m 时，函数m x m x m m y +-+--=)2()32(2
2
是二次函数；
2．正方形边长是3，若边长增加x ，则面积增加y ，则y 与x 之间的函数关系式为 3．函数)0(2
≠+=a c ax y 的对称轴是 ；顶点是 ；
4．要函数2
mx y -=开口向上，则 m ；
5．抛物线y=-x 2上有两点(x 1,y 1), (x 2,y 2)若x 1<x 2<0,则y 1______y 2 (比较大小) . 6．抛物线2)2(31-=
x y 的图象可由抛物线23
1
x y =向 平移 个单位得到。
7．抛物线1)1(2
2
-++-=a ax x a y 经过原点，则a = ；
8．抛物线2
ax y =与直线x y -=交于（1，m ），则抛物线的解析式为_________ 9．如图：在一幅长80cm ，宽50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂画，设整个挂画总面积为ｙcm 2，金色纸边的宽为ｘcm ，则ｙ与ｘ的关系式是___________________． 10．如图，在平面直角坐标系中，二次函数
2(0)y ax c a =+≠的图象过正方形ABOC 的三个顶点
A B C ，，，则ac 的值是 ．
二．选择题：(每题3分，共36分)
11.对于)0(2
≠=a ax y 的图象下列叙述正确的是 ( )
A a 的值越大，开口越大
B a 的值越小，开口越小
C a 的绝对值越小，开口越大
D a 的绝对值越小，开口越小
C
A
O
B
y x
第10题图
12．抛物线2
2n mx x y --=)0(≠mn 的图象与x 轴交点为 （ ） A ． 二个交点 B ． 一个交点 C ． 无交点 D ． 不能确定
13. 根据如图的程序计算出函数值，若输入的x 的值为3
2
，则输出的结果为（ ）. A 72 B 94 C 12 D 92
14.57x x 4
1y 2
--=
与y 轴的交点坐标为（ ）. A -5 B (0，-5) C (-5，0) D (0，-20) 15. 若函数x
a y =
的图象经过点（1，-2），那么抛物线3)1(2
++-+=a x a ax y 的性 质说得全对的是（ ）
A. 开口向下，对称轴在y 轴右侧，图象与y 轴正半轴相交
B. 开口向下，对称轴在y 轴左侧，图象与y 轴正半轴相交
C. 开口向上，对称轴在y 轴左侧，图象与y 轴负半轴相交
D. 开口向下，对称轴在y 轴右侧，图象与y 轴负半轴相交
16．已知二次函数y ＝-2 x 2＋9x+34，当自变量x 取两个不同的值x 1、x 2时，函数值相等，则当自变量x 取x 1＋x 2 时的函数值与 （ ） A ．x ＝1 时的函数值相等 B ． x ＝0时的函数值相等 C ．x ＝
41时的函数值相等 D ． x ＝－4
9
时的函数值相等 17.已知二次函数2
y ax bx c =++且0a <，0a b c -+>，则一定有（ ） （A ）2
40b ac ->． （B ）2
40b ac -=． （C ）2
40b ac -<． （D ）2
40b ac -≤． 18.下列函数关系中,是二次函数的是( )
A 弹簧的长度y 与所挂物体质量x 之间的关系
B 当距离一定时,火车行驶的时间t 与速度v 之间的关系
C 等边三角形的周长c 与边长a 之间的关系
D 圆心角为120°的扇形面积s 与半径r 之间的关系
(D)
19.竖直上抛物体的高度h 和时间t 符合关系式h ＝v 0t －
2
1gt 2
，其中重力加速g 以10米/秒2计算.爆
竹点燃后以初速度v 0＝20米/秒上升，问经过多少时间爆竹离地15米( ) A.1秒 B.2秒 C.3秒 D. 1或3秒.
20.已知如下表, a 、b 、c 满足表格中的条件，那么抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的解析式为（ ） A y ＝x 2-3x ＋4 B y ＝x 2-4x ＋4 C y ＝x 2-3x ＋5 D y ＝x 2-4x ＋5
21.已知抛物线y ＝x 2-(m-2)x ＋9的顶点在坐标轴上,则m 的值为( ) A m=-4 B m=2 C m=-8 D m=2, m=-4或m=8 22．如图，已知：正方形ABCD 边长为1，E 、F 、G 、H 分别为各边上的点， 且AE=BF=CG=DH, 设小正方形EFGH 的面积为s ，AE 为x ，则s 关于x 的函数图象大致是（ ）
三．解答题：
23．已知抛物线ｙ＝ｘ２
－４ｘ＋ｃ的顶点Ｐ在直线ｙ＝－４ｘ－１上，
(1)求ｃ的值
(2))求抛物线与ｘ轴两交点Ｍ、Ｎ的坐标并求△ＰＭＮ的面积。
x
0 1 2 ax 2 1 ax 2＋bx ＋c
5
1
24.如图，点P 在抛物线)0(2
12
≥=x x y 的图象上，y PQ ⊥轴于Q,若OQ+QP=24,求P 点的坐标.
25．抛物线与y 轴交于点(0,3)
（1）求出m 的值并画出这条抛物线
（2）求它与x 轴的交点和抛物线顶点的坐标； （3）x 取什么值时，抛物线在x 轴上方？
（4）x 取什么值时，y 的值随x 值的增大而减小？ 26.
已
知
两
个
关
于
x
的二次函数
1
y 与
222112()2(0)612y y a x k k y y x x =-+>+=++，，；当x k =时，217y =；且二次函数
2y 的图象的对称轴是直线1x =-．
（1）求k 的值；
（2）求函数12y y ，的表达式；
（3）在同一直角坐标系内，问函数1y 的图象与2y 的图象是否有交点？请说明理由．
x
第25题图
2(1)y x m x m
=-+-
+
二次函数综合能力测试
答案
一． 填空题
1.1-≠m 且3≠m
2.x x y 62
+= 3. x=0 (0,c) 4. m<0 5.21y y < 6.右 2 7.a=-1 8. 2
x y -= 9. 400026042
++=x x y 10. ac=-2 二．选择题 CAABBBADDDDB 解答题
23.解：(1)c=5 (2) M(5,0) N(-1,0) 27=∆PMN S
24. 解：由题意，设)21,
(2x x P ,24=+QP OQ Q ,,242
1
2=+x x 解得：,8,621-==x x P 在第一象限，)18,6(P ∴
25.（1）由抛物线2
(1)y x m x m =-+-+与y 轴交于(03)，，得：3m =． ∴抛物线为2
23y x x =-++．
图象略．
（2）由2230x x -++=，得121
3x x =-=，． ∴抛物线与x 轴的交点为(1
0)(30)-，，，．抛物线顶点坐标为(14)，． （3）由图象可知：当13x -<<时，抛物线在x 轴上方．
（4）由图象可知：当1x >时，y 的值随x 值的增大而减小． 26． 解：（1）由22112()2612
y a x k y y x x =-++=++，
得
2222
2121()612()2610()y y y y x x a x k x x a x k =+-=++---=++--．
又因为当x k =时，217
y =，即2
61017k k ++=，
解得
11
k =，或
27
k =-（舍去），故k 的值为1．
（2）函数
2
y 的图象的对称轴为)1(262a a x -+-
=有1)
1(26
2-=-+-
a a ，解得1a =-，
所以
2212212411y x x y x x =-++=++，．
（3）由21(1)2
y x =--+，得函数
1
y 的图象为抛物线，其开口向下，顶点坐标为(1
2)，； 由
22224112(1)9
y x x x =++=++，得函数
2
y 的图象为抛物线，其开口向上，顶点坐标
为(1
9)-，； 故在同一直角坐标系内，函数1
y 的图象与
2
y 的图象没有交点．。