知识点07 一次方程(组)及其应用

知识点07 一次方程（组）及其应用8．（2019·德州）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四足五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺，现设绳长x尺，木长y尺，则可列二元一次方程组为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】本题考查了根据实际问题列二元一次方程组，等量关系是：绳长﹣木长＝4.5；木长﹣绳长＝1，据此可列方程组求解．设绳长x尺，长木为y尺，依题意得，故选B．8．（2019·嘉兴）中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马二匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（）A． B．C．D．【答案】D【解析】设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为：．故选D．4.（2019·杭州）已知九年级某班30位学生种树72棵，男生每人种3棵树，女生每人种2棵树.设男生有x人，则（）A.2x+3(72-x)=30B.3x+2(72-x)=30C.2x+3(30-x)=72D.3x+2(30-x)=72【答案】D【解析】设男生有x人，则女生（30-x）人，根据题意可得：3x+2（30-x）=72．故选D．1. （2019·怀化）一元一次方程x-2=0的解是（）A.x=2B.x=-2C.x=0D.x=1【答案】 A.【解析】解：方程x-2=0，解得：x=2．故选A．11．（2019·长沙，11，3分）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何?”意思是：用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是【】A．4.50.51y xy x=+⎧⎨=-⎩B．4.521y xy x=+⎧⎨=-⎩C．4.50.51y xy x=-⎧⎨=+⎩D．4.521y xy x=-⎧⎨=-⎩【答案】A【解析】根据题意找出相等关系式，可得方程组 4.50.51y x y x =+⎧⎨=-⎩，故本题选：A ．2. (2019·巴中) 已知关于x,y 的二元一次方程组434ax y x by ì-=ïí+=ïî的解是22x y ì=ïí=-ïî,则a+b 的值是( )A.1B.2C.－1D.0【答案】B【解析】将22x y ì=ïí=-ïî代入方程组,得:224624a b ì+=ïí-=ïî,解之,得:11a b ì=ïí=ïî,所以a+b ＝2,故选B.3. （2019·乐山）《九章算术》第七卷“盈不足”中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数、物价各几何？”译为：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又差4钱。

问人数、物价各多少？”根据所学知识，计算出人数、物价分别是 （ ）A ．1，11B ．7，53C ．7，61D ．6，50 【答案】B【解析】本题考查了二元一次方程组的应用，设合伙人数为x 人，物价为y 钱，根据题意得：8374x y y x -=⎧⎨-=⎩，，解得753x y =⎧⎨=⎩，，故选B ．4. （2019·天津市）方程组的解是【答案】D【解析】观察方程组可以发现，两个方程中y 的系数互为相反数，所以可以选择加减消元法，将两个方程相加，消去未知数y ，可得x=2，从而求出y 的值，故选D.5. (2019·宁波)小慧去花店购买鲜花,若买5支玫瑰和3支百合,则她所带的钱还剩下10元;若买3支玫瑰和5支百合,则她所带的钱还缺4元,若只买8支玫瑰,则她所带的钱还剩下 （ ）A.31元B.30元C.25元D.19元 【答案】A【解析】设一支玫瑰x 元,一支百合y 元,小慧带了z 元,根据题意得:5x+3y ＝z －10,3x+5y ＝z+4,∴x+y ＝34z -,∴3x+3y ＝394z -,∴2x ＝314z -,∴8x ＝z －31,即小慧买8支玫瑰后,还剩31元,故选A.6. (2019·台州)一道来自课本的习题：小红将这个实际问题转化为二元一次方程组问题,设未知数x,y 已经列出一个方程543460x y +=,则另一个方程正确的是( )A.424360x y += B. 425460x y +=C.424560x y +=D.423460x y += 【答案】B【解析】从方程543460x y +=可以得到上坡的路程为xkm,平路的路程为ykm,且返程上坡成为了下坡,故方程为425460x y +=,故选B.7. （2019·重庆A 卷）《九章算术》中有这样一个题：今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？其意思为：今有甲乙二人，不如其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的数为50；而甲把其23的钱给乙．则乙的钱数也为50，问甲、乙各有多少钱？设甲的钱数为x ，乙的钱数为y ，则可建立方程组为 （ ） A ．15022503x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ B ．15022503x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩C ．15022503x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩D ．15022503x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩【答案】A ．【解析】根据“甲的钱＋乙的钱的一半＝50；甲的钱的23＋乙的钱＝50”可得方程组15022503x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，故选A ．二、填空题13．（2019·常德） 二元一次方程组627x y x y +=⎧⎨+=⎩的解为 ．【答案】15x y =⎧⎨=⎩【解析】627x y x y +=⎧⎨+=⎩①②，②－①得x ＝1，将x ＝1代入①得，y ＝5，∴方程组的解为15x y =⎧⎨=⎩．1. （2019·岳阳）我国古代的数学名著《九章算术》中有下列问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺．问日织几何？”其意思为：今有一女子很会织布，每日加倍增长，5日共织布5尺，问每日各织多少布？根据此问题中的已知条件，可求得该女子第一天织布 尺． 【答案】531【解析】设该女子第一天织布x 尺，根据题意得：x ＋2x ＋4x ＋8x ＋16x =5, 解得：531x =.所以，该女子第一天织布531尺. 14．（2019·苏州）若a + 2b =8，3a +4b =18．则a +b 的值为 ． 【答案】5【解析】本题考查了二元一次方程组的应用，∵a +2b =8，3a +4b =18，则a =8-2b ，代入3a +4b =18，解得b =3，则a =2，故a +b =5．故答案为5．2. (2019·泰安)《九章算术》是我国古代数学的经典著作,书中有一个问题:”今有黄金九枚,白银一十一枚,称之重适等,交易其一,金轻十三两,问金,银一枚各重几何?”意思是:甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金重量相同),乙袋中装有白银11枚(每枚白银重量相同),称重两袋相等,两袋互相交换1枚后,甲袋比乙袋轻了13两(袋子的重量忽略不计),问黄金,白银每枚各重多少两?设每枚黄金重x 两,每枚白银重y 两,根据题意可列方程组为_______________. 【答案】()()9x 11y10y x 8x y 13=⎧⎪⎨+-+=⎪⎩【解析】甲袋中装有黄金9枚,乙袋中装有白银11枚,称重两袋相等,设每枚黄金重x 两,每枚白银重y 两,可得9x ＝11y,两袋互相交换1枚后,甲袋比乙袋轻了13两,可得(10y+x)－(8x+y)＝13,∴方程组为()()9x 11y10y x 8x y 13=⎧⎪⎨+-+=⎪⎩.3. （2019·凉山） 方程10216x y x y +=⎧⎨+=⎩，的解是 ．【答案】64x y =⎧⎨=⎩，【解析】由方程②减去方程①，得x =6，把x =6 代入x +y =10，得y =4，∴⎩⎨⎧==46y x .故答案为64x y =⎧⎨=⎩，.4. （2019·眉山）已知关于x 、y 的方程组1254x y k x y k +=-⎧⎨+=+⎩的解满足x +y =5，则k 的值为 ．【答案】2【解析】21254x y k x y k +=-⎧⎨+=+⎩①②，①+②，得x+y=2k+1，又∵x+y=5，∴2k+1=5，解得：k=2，故答案为：2.17．（2019·株洲）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之?”其意思为：速度快的人走100步，速度慢的人只走60步，现速度慢的人先走100步，速度快的人去追赶，则速度快的人要走 步才能追到速度慢的人． 【答案】250【解析】设速度快的人走的时间为x ，根据题意可得，100x=100+60x,所以x=2.5，所以速度快的人要走=⨯100 2.5250步才能追到速度慢的人.5. （2019·自贡）某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费了466元，其中篮球的单价比足球的单价多4元，求篮球的单价和足球的单价.设篮球的单价为x 元，足球的单价为y 元，依题意，可列方程组为 . 【答案】【解析】根据“篮球的单价比足球的单价多4元”可列方程x =y +4;根据“买了4个篮球和5个足球，一共花费了466元”可列方程4x +5y =466. 联立组成方程组.6.（2019·衢州市） 已知实数m ，n 满足1,3.m n m n -=⎧⎨+=⎩则代数式m 2-n 2的值为 .【答案】3【解析】本题考查方程组的解法：方法一：解方程组得m=2，n=1，所以m 2-n 2=22-12=3. 方法二：方程组两式两边分别相乘得m 2-n 2=3.7. （2019·重庆A 卷）在精准扶贫的过程中，某驻村服务队结合当地高山地形，决定在该村种植中药材川香、贝母、黄连增加经济收人．经过一段时间，该村已种植的川香、贝母、黄连面积之比4:3:5．根据中药材市场对川香、贝母、黄连的需求量，将在该村余下土地上继续种植这三种中药材，经测算需将余下土地面积的169种植黄连，则黄连种植总面积将达到这三种中药材种植总面积的4019．为使川香种植总面积与贝母种植总面积之比达到3:4，则该村还需种植贝母的面积与该村种植这三种中药材的总面积之比是 ． 【答案】320． 【解析】设该村土地总面积为a 亩，该村已种植的川香、贝母、黄连面积分别为4k 亩、3k 亩、5k 亩，根据题意得5k ＋916(a －12k )＝1940a ，解得a ＝20k ．再令在余下的土地(20k －9.5k －4k －3k )亩x 亩种植贝母，根据题意，得(4k ＋3.5k －x )﹕(3k ＋x )＝3﹕4，解得x ＝3k ，故该村还需种植贝母的面积与该村种植这三种中药材的总面积之比是320k k ＝320．因此答案为320．三、解答题22．（2019山东滨州，22，12分）有甲、乙两种客车，2辆甲种客车与3辆乙种客车的总载客量为180人，1辆甲种客车与2辆乙种客车的总载客量为105人．（1）请问1辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为多少人？（2）某学校组织240名师生集体外出活动，拟租用甲、乙两种客车共6辆，一次将全部师生送到指定地点．若每辆甲种客车的租金为400元，每辆乙种客车的租金为280元，请给出最节省费用的租车方案，并求出最低费用． 【解题过程】解：（1）设辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为a 人，b 人，23=1802=105a b a b ，ì+ïïíï+ïî，………………………………………………………………………3分 解得=45=30.a b ，ìïïíïïî答：1辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为45人和30人．………………5分 （2）设租用甲种客车x 辆，租车费用为y 元，根据题意，得y=400x+280（6－x ）=120x+1680．………………………………8分 由45x+30（6－x ）≥240，得x≥4．………………………………………………10分 ∵120＞0，∴y 随x 的增大而增大，∴当x 为最小值4时，y 值最小．即租用甲种客车4辆，乙种客车2辆，费用最低，………………………………11分 此时，最低费用y=120×4+1680=2160（元）．……………………………………12分24．（2019·益阳）为了提高农田利用效益，某地由每年种植双季稻改为先养殖小龙虾再种植一季水稻的“虾·稻”轮作模式，某农户有农田20亩，去年开始实施“虾·稻”轮作，去年出售小龙虾每千克获得的利润为32元(利润=售价一成本).由于开发成本下降和市场供求关系变化，今年每千克小龙虾的养殖成本下降25%，售价下降10%，出售小龙虾每千克获得利润为30元. (1)求去年每千克小龙虾的养殖成本与售价；(2)该农户今年每亩农田收获小龙虾100千克，若今年的水稻种植成本为600元/亩，稻谷售价为2.5元/千克，该农户估计今年可获得“虾·稻”轮作收入不少于8万元，则稻谷的亩产量至少会达到多少千克？ 【解题过程】解：(1)设去年小龙虾的养殖成本与售价分别为每千克x 元、y 元，由题意得⎩⎨⎧=---=-30%)251(%)101(32x y x y ，解得⎩⎨⎧==408y x . 答：去年小龙虾的养殖成本与售价分别为每千克8元、40元. (2)设今年稻谷的亩产量为z 千克，由题意得 20×100×30+20×25z-20×600≥8000， 解得；z ≥640.答：稻谷的亩产量至少会达到640千克. 23．（2019·娄底）某商场用14500元购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的成本价与销售价如表（二）所表（二）求：（1）购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？（2）该商场售完这500箱矿泉水，可获利多少元？解：（1）设购进甲种矿泉水x 箱，则乙种矿泉水（500－x ）箱，根据题意得 ()253550014500x x +-=解得 300x = ∴500500300200x -=-=答：购进甲种矿泉水300箱，则乙种矿泉水200箱．（2）()()3003525200483530010200135600⨯-+⨯-=⨯+⨯=（元）答：商场售完这500箱矿泉水，可获利5600元 23．（2019浙江省温州市，23，10分）（本题满分10分）某旅行团32人在景区A 游玩，他们由成人、少年和儿童组成．已知儿童10人，成人比少年多12人． （1）求该旅行团中成人与少年分别是多少人?（2）因时间充裕，该团准备让成人和少年（至少各1名）带领10名儿童去另一景区B 游玩．景区B 的门票价格为100元/张，成人全票，少年8折，儿童6折，一名成人可以免费携带一名儿童．①若由成人8人和少年5人带队，则所需门票的总费用是多少元?②若剩余经费只有1200元可用于购票，在不超额的前提下，最多可以安排成人和少年共多少人带队?求所有满足条件的方案，并指出哪种方案购票费用最少． 【解题过程】（1）该旅行团中成人有x 人,少年有y 人，根据题意，得：103212x y x y ++=⎧⎨=+⎩，解得175x y =⎧⎨=⎩. 答：该旅行团中成人有17人,少年有5人；（2）①∵成人8人可免费带8名儿童，∴所需门票的总费用为：100×8+100×0.8×5+100×0.6×(10-8)=1320(元). ②设可以安排成人a 人、少年b 人带队，则1≤a ≤17，1≤b ≤5. 设10≤a ≤17时，(i) 当a=10时，100×10+80b ≤1200，∴b ≤52， ∴ b 最大值=2，此时 a+b=12，费用为1160元； (ii) 当a=11时，100×11+80b ≤1200，∴b ≤54， ∴ b 最大值=1，此时 a+b=12，费用为1180元；(iii) 当a ≥12时，100a ≥1200，即成人门票至少需要1200元，不符合题意，舍去.设1≤a ＜10时，(i) 当a=9时，100×9+80b+60≤1200，∴b ≤3，∴ b 最大值=3，此时 a+b=12，费用为1200元；(ii) 当a=8时，100×8+80b+60×2≤1200，∴b ≤72， ∴ b 最大值=3，此时 a+b=11＜12，不符合题意，舍去； (iii) 同理，当a ＜8时，a+b ＜12，不符合题意，舍去.综上所述，最多可以安排成人和少年共12人带队，有三个方案：成人10人、少年2人；成人11人、少年1人；成人9人、少年3人.其中当成人10人、少年2人时购票费用最少. 21．（2019山东烟台，21，9分）亚洲文明对话大会召开期间，大批的大学生志愿者参与服务工作．某大学计划组织本校全体志愿者统一乘车去会场，若单独调配36座新能源客车若干辆，则有2人没有座位；若只调配22座新能源客车，则用车数量将增加4辆，并空出2个座位．(1)计划调配36座新能源客车多少辆？该大学共有多少名志愿者？(2)若同时调配 36座和22座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？ 【解题过程】（1）方法1：解：设计划调配36座新能源客车x 辆，该大学共有y 名志愿者．由题意，得36222(4)2x y x y +=⎧⎨+-=⎩，解得6218x y =⎧⎨=⎩所以计划调配36座新能源客车6辆，该大学共有218名志愿者．方法2：解：设计划调配36座新能源客车x 辆．由题意，得36222(4)2x x +=+-，解得6x =， 所以该大学共有(3662)218⨯+=名志愿者所以计划调配36座新能源客车6辆，该大学共有218名志愿者．（2）解：设36座和22座两种车型各需m ，n 辆.由题意，得3622218m n +=，且m ，n 均为非负整数，经检验，只有35m n =⎧⎨=⎩符合题意． 所以36座和22座两种车型各需3，5辆.22．（2019江苏盐城卷，22，10）体育器材是有A 、B 两种型号的，是星球，1只A 型球与1只B 型球的质量共7千克，3只A 型球与1只B 型球的质量共13千克. （1）每只A 型球B 型球的治疗分别是多少千克？（2）现有A 型球B 型球的质量共17千克，则A 型球B 型球各有多少只？ 【解题过程】（1）解：设A 型球x 千克，B 型球y 千克，由题意得：，解之得 答：A 型球3千克，B 型球4千克. （2）设A 型球a 只，B 型球b 只.则3a+4b=17, ∴，∵a 、b 分别是正整数，∴答：A 球有3只，B 球有2只.16．（2019·山西）(2)解方程组:32820x y x y -=-⎧⎨+=⎩【解题过程】 (2)32820x y x y -=-⎧⎨+=⎩L L L L L ①②,①＋②,得:3x+x ＝－8+0,∴4x ＝－8,x ＝－2,把x ＝－2代入②,得－2+2y ＝0,∴y ＝1,∴,原方程组的解为:21x y =-⎧⎨=⎩.20．（2019·陇南）小甘到文具超市去买文具．请你根据如图中的对话信息，求中性笔和笔记本的单价分别是多少元？7313x y x y ì+=ïí+=ïî34x y ì=ïí=ïî1743b a -=32a b ì=ïí=ïî解：设中性笔和笔记本的单价分别是x 元、y 元，根据题意可得：，解得：，答：中性笔和笔记本的单价分别是2元、6元．19试问每节火车车皮和每辆汽车平均各装物资多少吨？【解题过程】解：设每节火车车皮和每辆汽车平均各装物资x 吨、y 吨，由题意得⎩⎨⎧=+=+2183413052y x y x ，解得⎩⎨⎧==650y x . 答：每节火车车皮和每辆汽车平均各装物资50吨、6吨. 17．（2019安徽，17题号，8分）为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难问题，当地政府决定修建一条高速公路.其中一段为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工.甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米，已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？【解题过程】 解：设甲工程队每天掘进x 米，乙工程队每天掘进y 米，根据题意，得⎩⎨⎧=+=-2632y x y x ， ………………4分 解得 ⎩⎨⎧==57y x ，所以，（146﹣26）÷（7+5）=10. ………………6分答：甲乙两个工程队还需联合工作10天. ………………8分1. （2019·金华）解方程组：34(2y)2 1.5x x x y ---==⎧⎨⎩，解：34(2y)2 1.5x x x y ---==⎧⎨⎩，①②由①，得－x ＋8y ＝5，③②＋③，得6y ＝6，解得y ＝1． 把y ＝1代入y ＝1，得x －2×1＝1. 解得x ＝3．∴原方程组的解为31.x x ==⎧⎨⎩，．2. （2019·淄博）“一带一路”促进了中欧贸易的发展，我市某机电公司生产的A 、B 两种产品在欧洲市场热销．今年第一季度这两种产品的销售总额为2060万元，总利润为1020万元(利润＝售价－成本)，其每件产品的成本和售价信息如下表：问该公司这两种产品的销售件数分别是多少?解：设A 种产品销售件数为x 件，B 种产品销售件数为y 件，由题意列方程得 572060331020x y x y +=⎧⎨+=⎩,解得160180x y =⎧⎨=⎩， 答：A 种产品销售件数为160件，B 种产品销售件数为180件.3. （2019·潍坊）已知关于x ，y 的二元一次方程组2352x y x y k-=⎧⎨-=⎩的解满足x ﹥y ，求k 的取值范围．解：方法一： 2352x y x y k -=⎧⎨-=⎩①②①－②得： x －y =5－k ∵x ﹥y ， ∴5－k ﹥0 ∴k ＜5． 方法二：2352x y x y k-=⎧⎨-=⎩解之得：31025x k y k =-+⎧⎨=-+⎩∵x ﹥y ，∴－3k ＋10﹥－2k ＋5 ∴k ＜5．4. (2019·聊城)某商场的运动服装专柜,对A,B 两种品牌的运动服分两次采购试销后,效益可观,计划继续采购进行(1)(2)由于B 品牌运动服的销量明显好于A 品牌,商家决定采购B 品牌的件数比A 品牌件数的32倍多5件,在采购总价不超过21300元的情况下,最多能购进多少件B 品牌运动服?解：(1)设A,B 两种品牌运动服的进货单价分别为x 元和y 元,根据题意得:203010200304014400x y x y +=⎧⎨+=⎩,解之,得:240180x y =⎧⎨=⎩,经检验,方程组的解符合题意.答:A,B 两种品牌运动服的进货单价分别为240元和180元.(2)设购进A 品牌运动服m 件,则购进B 品牌运动服(32m+5)件,∴240m+180(32m+5)≤21300,解得,m ≤40,经检验,不等式的解符合题意,∴32m+5≤32×40+5＝65.答:最多能购进65件B 品牌运动服.5. （2019·岳阳）岳阳市整治农村“空心房”新模式，获评全国改革开放40年地方改革创新40案例．据了解，我市某地区对辖区内“空心房”进行整治，腾退土地1200亩用于复耕和改造，其中复耕土地面积比改造土地面积多600亩．（1）求复耕土地和改造土地面积各为多少亩？（2）该地区对需改造的土地进行合理规划，因地制宜建设若干花卉园和休闲小广场，要求休闲小广场总面积不超过花卉园总面积的13，求休闲小广场总面积最多为多少亩？解：（1）设复耕土地面积为x 亩，改造土地面积为y 亩，根据题意，得： 1200600x y x y +=⎧⎨-=⎩.解得：900300x y =⎧⎨=⎩.答：复耕土地面积为900亩，改造土地面积为300亩．（2）设休闲小广场的面积为m 亩，则花卉园的面积为（300－m ）亩，根据题意，得：1(300)3m m ≤- 解得：m ≤75.答：休闲小广场总面积最多为75亩．6.（2019·怀化）解二元一次方程组：3731x y x y +=⎧⎨-=⎩ 解：3731x y x y +=⎧⎨-=⎩①②，∴+∴，得2x =8，解得x =4，把x =4代入∴，得y =1，所以方程组的解为31 xy=⎧⎨=⎩.。