1-1二阶与三阶行列式
线性代数Ⅰ—行列式
对角行列式
ann
11
a11 (3) a21 an 1,1 an1
a12 a22 an 1, 2 0
a1,n 1 a2,n 1 0 0
பைடு நூலகம்
a1n 0 0 = (1) 0
n ( n 1) 2
a1n a2,n 1 an1
(4)
1 1 x1 x2 2 x12 x2 n x1n 1 x2 1
n-1阶行列式 可化为 ……
n-2阶行列式
最终可用二阶、三阶行列式表示任意阶行列式。 注意：对角线法不适合四阶及四阶以上行列式的计算。 实际上，n阶行列式 展开式也有以下特点：
(1) 有n!项的代数和 Dn (2) 每项都取自n个不同列不同行，为n个元素乘积 (3) 每项前的符号一半为“+”，一半为“-”
6
推论： 推论：n阶行列式某一行（列）元素与另一行（列）对应元素代 数余子式乘积之和为0
ai1 A j1 + ai 2 A j 2 + + ain A jn = 0
或 例：
a1i A1 j + a2i A2 j + + ani A jn = 0
1 1 1 2 2 2
1
i ≠ j i, j = 1,2, , n
(1)
a11 0 0 a12 a1n a22 a2 n 0 0 ann 0 0 = a11a22 ann = a11a22 ann
上三角行列式
(2)
a11 a21 an1
a22
下三角行列式
an 2 ann a11 0 0 0 0
特例：
0 0 = a11a22 ann a22
(C) 3个
18
a
线性代数§1.1二阶、三阶行列式
线性代数§1.1⼆阶、三阶⾏列式本章说明与要求⾏列式的理论是⼈们从解线性⽅程组的需要中建⽴和发展起来的，它在线性代数以及其他数学分⽀上都有着⼴泛的应⽤。
在本章⾥我们主要讨论下⾯⼏个问题：(1) ⾏列式的定义；(2) ⾏列式的基本性质及计算⽅法；(3) 利⽤⾏列式求解线性⽅程组(克莱姆法则)。
本章的重点：是⾏列式的计算，要求在理解n阶⾏列式的概念，掌握⾏列式性质的基础上，熟练正确地计算三阶、四阶及简单的n阶⾏列式。
计算⾏列式的基本思路是：按⾏(列)展开公式，通过降阶来计算．但在展开之前往往先利⽤⾏列式性质通过对⾏列式的恒等变形，使⾏列式中出现较多的零和公因式，从⽽简化计算。
常⽤的⾏列式计算⽅法和技巧：直接利⽤定义法，化三⾓形法，降阶法，递推法，数学归纳法，利⽤已知⾏列式法。
⾏列式在本章的应⽤：求解线性⽅程组(克莱姆法则)．要掌握克莱姆法则并注意克莱姆法则应⽤的条件。
本章的重点：⾏列式性质；⾏列式的计算。
本章的难点：⾏列式性质；⾼阶⾏列式的计算；克莱姆法则。
==============================================§1.1 ⼆阶、三阶⾏列式⾏列式的概念起源于解线性⽅程组，它是从⼆元与三元线性⽅程组的解的公式引出来的。
因此我们⾸先讨论解⽅程组的问题。
设有⼆元线性⽅程组()()------1 ------2ax by c dx ey f +=+=?? ⽤消元法求解：()()12:e b - ()ae bd x ce bf -=-?，ce bf x ae bd-=-， ()()21:a d - ()ae bd y af dc -=-?，af dc y ae bd-=-。
即得⽅程组的解：ce bf x ae bd af dc y ae bd -?=??-?-?=?-?。
这就是⼀般⼆元线性⽅程组的解公式。
但这个公式很不好记忆，应⽤时⼗分不⽅便。
由此可想⽽知，多元线性⽅程组的解公式肯定更为复杂。
第一节二阶及三阶行列式空间直角坐标系
向量代数
空间解析几何
第一节
二阶及三阶行列式 空间直角坐标系
一、二阶及三阶行列式 二、空间直角坐标系
一、二阶及三阶行列式
1.二阶行列式 我们从解二元一次方程组入手，设二元一次方 程为
a1 x b1 y c1 , a 2 x b2 y c 2 .
①
当 a1b2 a2b1 0 时， 方程组的解为
a2
换成方程组右端的常数项 c1，c2 而成的
行列式，记为 Dx .
a1 行列式 a2
c1 是把系数行列式中 y 的系数 c2
b1，b2 换成常数项 c1，c2 而成的行列式 ，记为 Dy .
所以，二元一次方程组的解又可表示为:
Dy Dx x ,y (其 中D 0) D D
例1
解方程组
2 x 3 y 7 0 5 x 4 y 6 0
c1 c2 b1 b2
.
c1b2 c 2 b1 x , a1b2 a 2 b1 a1c 2 a 2 c1 y . a1b2 a 2 b1
分母中的行列式
a1 a2
b1 b2
是由方程组 ① 中 x、
y 的系数按原来次序排列成的，称为方程组的系 数行列式，记为 D.
c1 行列式 c2 b2 是把系数行列式中 x 的系数 a1 ， b2
右手法则
让右手的四指从 x 轴的正向，以 2 的角度转向 y 轴的
正向， 这时大拇指所指的方向就是 z 轴的正向. 法则叫做右手法则.
这个
这样就组成了空间直角坐标系. O 称为坐标原 每两个坐标轴确定的平面称为坐标平面， 简称为 点， 坐标面. x 轴与 y 轴所确定的坐标面称为 x y 坐表 面， 类似地有 y z 坐标面，z x 坐标面. Ⅲ 这些坐标面把空间分成 八个部分，每一个称为一个
线性代数讲义一
• 二阶、三阶行列式 • n阶行列式的定义 • 行列式的性质 • 行列式按行（列）展开 • Cramer法则
§1. 二阶与三阶行列式
1、二阶行列式
用消元法解二元线性方程组
aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
1 2
1 a22 : 2 a12 :
a11a22 x1 a12a22 x2 b1a22 , a12a21 x1 a12a22 x2 b2a12 ,
不为零的项只有 (-1)t(12n) a11a22 ann.
a11 0
0
a21 a22 0 1 t12na11a22 ann
an1 an2 ann a11a22 ann.
定义4 将一个排列中的两个数位置对调称为对换，
将相邻两个数位置对调称为相邻对换。
定理1 一次对换改变排列的奇偶性。
32
33
34
a a a a 41
42
43
44
a11 a12 a14 M 23 a31 a32 a34
a41 a42 a44
A23 123 M 23 M 23 .
1 -1 2 3
104
11 D0ຫໍສະໝຸດ 4 ,M12 0 - 2 1 -4,
0 0 -2 1
002
0 -3 0 2
1 -1 2 M 44 1 1 0 -4,
a13
a21 a31
a22 a32
a11 A11 a12 A12 a13 A13
定理4 行列式等于它的任一行（列）的各元素 与其对应的代数余子式乘积之和，即
D ai1 Ai1 ai2 Ai2 ain Ain i 1,2,, n
线代1-1
线性代数 第一章Βιβλιοθήκη 行列式12a11 D
a12 a1n
a21 a22 a2n
an1 an 2 ann
分析： (1) 展开式为 n！项的代数和。
(2)每项为位于不同行、不同列的n个元素的乘积；
a (3)行标自然排列，各项的正负号与列标的排列对照：1 j a2 j anj
an1 an 2 ann
3）
D
1
N ( i1i2 in ) N ( j1 j2 jn )
ai1 j1 ai2 j2 ain jn
an1 an 2 ann
线性代数 第一章 行列式
16
例10 若 1 N ( i 432 k ) N ( 52 j14)ai 5a42a3 j a21ak 4 是五阶行列式 （ ）
a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33
偶排列
奇排列
1
N ( j1 j2 j3 )
a1 j1 a2 j2 a3 j3
线性代数 第一章 行列式
11
定义 设有 n 2 个数，排成 n 行 n 列的数表
a11 a12 a1n
记
a21 a22 a2 n 称为n 阶行列式. 简记为 a ij
例8 证明
a21 a22 0 D
an1 an 2 ann
下三角行列式
a11
上三角行列式
N ( j1 j2 jn )
证
a21 D
0 a22
1
a1 j1 a2 j2 anjn
an1 an 2 ann
所以D中可能不为0的项只有一项 1 其中N(12…n) = 0，
二阶、三阶行列式
1 − 2 =
例5用三阶行列式解线性方程组ቐ2 − 3 = 的值。
1 + 3 =
解
由于
1
= 0
1
−1 0
1 −1 =1+1=2≠ 0
0
1
1
2 = 0
1
0
−1 =b−a+c
1
1 =
−1
1
0
1 −1
3 = 0 1
1 0
0
−1 =a+b+c
1
=c−b−a
定行列式等于零。
线 性 代 数
31 32 33
−1322131 −122133 −112332
11 12 13
= 21 22 23 称为三阶行列式，它由三行、三列共9个元素组成，
31 32 33
是6项的代数和，每一项都是三个元素的乘积并适当附上正号或负号，而且
这三个元素必须来自不同的行和不同的列。如图1-2所示，可用对角线法则
2
(1)当λ 为何值时，D=0;
解
λ
1
，问：
(2)当λ 为何值时，D≠0。
λ2 λ
因为 =
= λ2 − λ = λ(λ − 2)，所以
2 1
(1)当λ=0或λ=2时，D=0；
(2)当λ≠0且λ≠2时，D≠0。
3 − 42 = 2
例3用二阶行列式解线性方程组ቊ 1
1 + 22 = 4
解
=
表示a11a22-a12a21，称为
21 22
二阶行列式，即
a11
a12
D
a11a22 - a12 a21
线性代数1-1 二、三阶行列式
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 .
注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号．
注 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
2. 三阶行列式的计算
a 11 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33
(1)沙路法 D a 21
a 31
D a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31 .
(2)对角线法则
x 2 3,
有否统一的公式？
用消元法解二元线性方程组
a 11 x 1 a 12 x 2 b1 , a 21 x 1 a 22 x 2 b 2 .
1
2
1 a 22 : 2 a 12 :
a 11 a 22 x 1 a 12 a 22 x 2 b1 a 22 , a 12 a 21 x 1 a 12 a 22 x 2 b 2 a 12 ,
(6)
a 13 a 22 a 31 a 12 a 21 a 33 a 11 a 23 a 32
（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.
a 11 D a 21 a 31
a 12 a 22 a 32
a 13 a 23 a 33
.列标 行标
a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32
1.定义 设有 9 个数排成 3 行 3 列的数表
第一章 行列式
第一章行列式第一节二阶与三阶行列式1．二阶行列式：我们从二元方程组的解的公式，引出二阶行列式的概念。
在线性代数中，将含两个未知量两个方程式的线性方程组的一般形式写为（1）用加减消元法容易求出未知量x1，x2的值，当时，有（2）这就是二元方程组的解的公式。
但这个公式不好记，为了便于记这个公式，于是引进二阶行列式的概念。
我们称记号为二阶行列式，它表示两项的代数和：即定义（3）二阶行列式所表示的两项的代数和，可用下面的对角线法则记忆：从左上角到右下角两个元素相乘取正号，从右上角到左下角两个元素相乘取负号，即－＋由于公式（3）的行列式中的元素就是二元方程组中未知量的系数，所以又称它为二元方程组的系数行列式，并用字母D表示，即有如果将D中第一列的元素a11，a21换成常数项b1，b2，则可得到另一个行列式，用字母D1表示，于是有按二阶行列式的定义，它等于两项的代数和：，这就是公式（2）中x1的表达式的分子。
同理将D中第二列的元素a12，a22换成常数项b1，b2，可得到另一个行列式，用字母D2表示，于是有按二阶行列式的定义，它等于两项的代数和：a11b2-b1a21，这就是公式（2）中x2的表达式的分子。
于是二元方程组的解的公式又可写为其中D≠02. 三阶行列式含有三个未知量三个方程式的线性方程组的一般形式为（1）还是用加减消元法，即可求得方程组（1）的解的公式，当时，有（2）这就是三元方程组的解的公式。
这个公式更不好记，为了便于记它，于是引进三阶行列式的概念。
我们称记号为三阶行列式。
三阶行列式所表示的6项的代数和，也用对角线法则来记忆：从左上角到右下角三个元素相乘取正号，从右上角到左下角三个元素取负号，即（3）由于公式（3）的行列式中的元素是三元方程组中未知量的系数，所以称它为三元方程组的系数行列式，也用字母D来表示，即有同理将D中第一列、第二列、第三列的元素分别换成常数项就可以得到另外三个三阶行列式，分别记为于是有按照三阶行列式的定义，它们都表示6项的代数和；并且分别是公式（2）中x1，x2，x3的表达式的分子，而系数行列式D是它们的分母。
线性代数第一章课件
（五）性质5：把行列式的某一列（行） 的各元素乘以同一数，然后加到另一列 （行）对应的元素上去，行列式不变.
(以数 k 乘第 j 列加到第 i 列上,记作：ci kc j 以数 k 乘第
j 行加到第 i 行上,记作： ri krj )
a11 a21 an1
a1i a2i ani
a11
aij
的第一个下标ｉ称为行标，表明该元
素位于第ｉ行，第二个下标ｊ称为列标,表明 该元素位于第ｊ列,位于第i行第j列的元素称
为行列式的 i, j 元
。
把
a11 到 a22 的实联线称为主对角
到
线， a12
a21
的虚联线称为副对
角线 。
3、二元线性方程组的解
a11 x1 a12 x2 b1 的解为 a21 x1 a22 x2 b2
第一章 行列式 § 1-1 n阶行列式的定义
一、二阶与三阶行列式 ㈠ 二阶行列式与二元线性方程组 1、二阶行列式计算式：
D
a11
a12
a21 a22
a11a22 a12 a21
2、相关名称 a11 a12 在二阶行列式 中，把数 a21 a22
aij i 1.2; j 1.2 称为行列式的元素,元素
注意不要与绝对值记号相混淆。
a a
2、n阶行列式展开式的特点 （1）行列式由n!项求和而成 （2）每项是取自不同行、不同列的n个 元素乘积，每项各元素行标按自然顺序 排列后就是行列式的一般形式，
1
j1 j2
jn
a1 j1 a2 j2
anjn
（3）若行列式每项各元素的行标按自然 数的顺序排列,列标构成n级排列 j1 j2 jn j1 j2 jn 则该项的符号为 1
1.1n阶行列式1.1.1二阶、三阶行列式n阶行列式的概念来源
此行列式可简记 (aij) 或 D 。aij n
记一阶行列式 a11 ；a11
例1.5 三角形行列式（或对角形行列式）等于 主对角线上n个元素的乘积。
a11 a12 a1n
0 D
a22
a2n
a11a22 ann ；
0 0 ann
例1.6 负三角形行列式
j1 j2 jn
(1) (i1i2 in )
； (1) a a a ( j1 j2 jn )
i1 j1
i2 j2
in jn
j1 j2 jn
D aij n (1) ( j1 j2 i jn )
(1) a a a (i1i2 in )
i1 j1
i2 j2
in jn
i1i2 in
定义: 称
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
= a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
为三阶行列式。
例如
304 112 210 0 0 411 41 2 3 21 0 . 10
例如:自然数1，2，3的排列共有六种：
123，132，213，231，312，321．
为了方便起见，今后把自然数 1,2,视为n n个不
同的元素的代表。用 表示这np个i 不同的元素中
的一个
，(且pi 1,2时,, n于) 是 i j 便是pi p j
的一个p1排p2列p3 。 pn
1,2, n
b1a22
a11a22 a11b2
a11a22
a12b2
a12a21 b1a21
1-1 二阶与三阶行列式
ai j
行标
即元素 aij 位于第 i 行第 j 列.
列标
二阶行列式的计算 —— 对角线法则
主对角线 副对角线
a11 a12 a11a22 a12a21 a21 a22
例1 计算行列式 D
5 10
29 8
.
解 D 5 8 29 ( 10) 330 例2 当 a 为何值时，行列式 解 因为
三阶行列式的计算 —— 对角线法则
a11 D a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
实线上的三个元素的乘积冠正号, 虚线上的三个元素的乘积冠负号.
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
a2 3 a 1 a
2
a 1
3
的值不为 0？
a 3a a(a 3),
2
要使行列式的值不为 0，必有 a 0 且 a 3.
二、三阶行列式
定义2 设有 9 个数排成 3 行 3 列的数表 a11 a12 a13 a21 a22 a23 , a31 a32 a33 记 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a31 a32 a33 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 , 称为该数表所确定的三阶行列式.
注意 对角线法则仅适用于二阶与三阶行列式的计算，但 对于三阶以上的行列式则不适用.
1
2 4
例3 计算行列式 D 2 2 1 . 3 4 2
第一讲 二阶、三阶、N阶行列式
第一讲Ⅰ 授课题目（章节）：§1.1 二阶、三阶行列式；§1.2 n 阶行列式 Ⅱ 教学目的与要求：理解排列的概念，以及逆序数的计算方法；了解行列式的定义和性质，会用行列式的定义及性质计算一些较简单的行列式； 掌握二、三阶行列式的计算法；Ⅲ 教学重点与难点：重点：n 阶行列式的定义 难点：n 阶行列式的定义 Ⅳ 讲授内容： §1.1 二阶、三阶行列式一、二元线性方程组与二阶行列式二元一次方程组的代入消元解法：⎩⎨⎧=+=+)2.....()1.....(2222111211b y a x a b y a x a 1211a a 、不可能同时为0，不妨设011≠a ，则： )()1(1121a a -⨯得：)3.........(1121111211221a ab y a a a x a -=-- )3()2(+得（消去x ）：112111121121122211a ab a b y a a a a a -=-即：)4( (21)122211211211a a a a a b b a y --=将(4)代入(1)得：21122211212221a a a a b a a b x --=可见，方程组的解完全可由方程组中的未知数系数22211211,,,a a a a 以及常数项21,b b 表示出来⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=2112221121121121122211212221a a a a a b b a y a a a a b a a b x ，如果规定记号2112221122211211a a a a a a a a -=，则有：222121212221a b a b b a a b =-，221111211211b a b a a b b a =-因此二元一次方程组的解可以表示为：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧==2221121122111122211211222121a a a a b a b a y a a a a a b a b x定义1. 1 记号22211211a a a a 表示代数和21122211a a a a -，称为二阶行列式。
§1 二阶与三阶行列式
说明: 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式． 说明 (1) 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式． (2) 三阶行列式包括 项,每一项都是位于不同行 三阶行列式包括3!项 每一项都是位于不同行 每一项都是位于不同行, 不同列的三个元素的乘积,其中三项为正 三项为负 不同列的三个元素的乘积 其中三项为正,三项为负 其中三项为正 三项为负.
3. 利用三阶行列式求解三元线性方程组
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 , 三元线性方程组 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 , a x + a x + a x = b ; 31 1 32 2 33 3 3 a11 a12 a13 a23 a33
2. 二阶行列式的计算 二阶行列式的计算——对角线法则 对角线法则 主对角线 副对角线
a11 a21
a12 a22
= a 1 1a 2 2 − a 1 2 a 2 1 .
a11 x1 + a12 x2 = b1 , 对于二元线性方程组 a21 x1 + a22 x2 = b2 . a11 a12 D= , 称为其系数行列式 称为其系数行列式 a21 a22
称为其系数行列式 称为其系数行列式
D = a21 a22 a31 a32
例1 解
x1 − 2 x2 + x3 = −2, 解线性方程组 2 x1 + x2 − 3 x3 = 1, − x + x − x = 0. 1 2 3
1
−2 1 D= 2 1 − 3 = −1 − 6 + 2 − ( −1) − 4 − ( −3) = −5 ≠ 0 , −1 1 −1
线性代数_第一章
印证以上结论。
方法2 n个数中比i大的数有n- i个(i=1,2,…,n),若在排 列x1x2…xn中对i构成的逆序为li个,则在xnxn-1…x1中 对i构成的逆序为(n- i)-li,于是两排列中对i构成的 逆序之和为 表示 li+[(n-i)-li]= n-i (i=1,2,…,n) …… 从而 ( x1 x2 xn ) ( xn xn1 x1 ) n( n 1) ( n 1) ( n 2) 2 1 2 n( n 1) I .为所求 即 ( x n x n 1 x 1 ) 2
第1章 行列式
行列式是线性代数的一个重要组 成部分.它是研究矩阵、线性方程组、 特征多项式的重要工具.本章介绍了 n阶行列式的定义、性质及计算方 法，最后给出了它的一个简单应 用——克莱姆法则.
主要内容
1.1 1.2 1.3 1.4
n阶行列式的定义 行列式的性质 行列式按行（列）展开 克莱姆法则—行列式应用
是所有取自不同行、不同列n个元素的乘积 a1 j1 a2 j2 anjn ( j1 j2 jn ) 并冠以符号 ( 1) 的项的和.
(i) a1 j1 a 2 j2 a nj n 是取自不同行、不同列的n个元素乘积 (ii)行标按自然顺序排列，列标排列的奇偶性 ( j1 j2 jn ) 决定每一项的符号； (iii) 表示对所有的 j1 j2 jn 构成的n！个排列求和.
上三角行列式的值等于其主对角线上各元素的乘积 .
例5 计算
=-4-6+32-24-8-4
=-14
3 x1 x 2 x 3 26 例3 解线性方程组 2 x1 4 x 2 x 3 9 x1 2 x 2 x 3 16
二阶和三阶行列式(一)
12n n n n nn n a x a x a x +++= （1。
2。
1) 1b ，（1．2．2)引入符号称为三阶行列式(（1。
2。
2)的系数行列式)。
当系数行列式0≠D 时，三元一次方程组（1.2.2）有惟一解， 其中 DD x D Dx D D x 332211,,===3、三阶行列式的对角线法则：＝312213332112322311322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++补充：三阶行列式具有以下特点:（1)三阶行列式值的每一项都是位于不同行，不同列的三个元素的乘积,除去符号，每项的三个元素按它们在行列式中的行的顺序排成332211p p p a a a ，其中第一个下标（行标）都按自然顺序排列成123，而第二个下标（列标）排列成 321p p p ，它是自然数1,2,3的某个排列；（2）各项所带的符号只与列标的排列有关：带正号的三项列标排列:123 ，231,312 ；带负号的三项列标排列是：132,213，321．前三个排列为偶排列，而后三个排列为奇排列,因此各项所带符号可以表示为t)1(-，其中111122133121122223323113223332a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，，，111213212223313233a a a D a a a a a a =112233122331132132112332122133132231a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++---1121312222333233,b a a D b a a b a a =1111322122331333,a b a D a b a a b a =1112132122231323a ab D a a b a a b =简记为)det(ij a D =。
1_1_二阶三阶行列式
(1) × a21 − (2) × a11 得： y=
§1.1 二阶三阶行列式
二元线性方程组 { a11 x + a12 y = b1 a21 x + a22 y = b2 (1) (2)
用消元法解： (1) × a22 − (2) × a12 得： x= b1 a22 − a12 b2 a11 a22 − a12 a21 a11 b2 − b1 a21 a11 a22 − a12 a21
§1.1 二阶三阶行列式 6/12 ▹ ◃ △ ▽
三元线性方程组 a11 x + a12 y + a13 z = b1 a21 x + a22 y + a23 z = b2 a x + a y + a z = b 31 32 33 3 用消元法解： (2) × a13 − (1) × a23 得： (a21 a13 − a11 a23 )x + (a22 a13 − a12 a23 )y = b2 a13 − b1 a23 (3) × a13 − (1) × a33 得： (a31 a13 − a11 a33 )x + (a32 a13 − a12 a33 )y = b3 a13 − b1 a33
4/12 ▹ ◃ △ ▽
(1) × a21 − (2) × a11 得： y=
§1.1 二阶三阶行列式
定义二阶行列式： a11 a12 = a11 a21 − a12 a22 a21 a22 则方程的解可简单地表示为： b1 b2 x= a11 a21 a12 a22 , a12 a22 a11 a21 y= a11 a21 b1 b2 a12 a22
3/12 ▹ ◃ △ ▽
高等数学附录1二阶三阶行列式简介
当主对角线元素相等且副对角线元素 也相等时，二阶行列式的值为零。
对于二阶行列式，主对角线元素之积 减去副对角线元素之积等于行列式的 值。
典型例题分析与解答
例题1
计算二阶行列式 |3 1|，|2 4| 的值。
解答
根据二阶行列式的定义，该行列式的值为 3*4 - 1*2 = 10 。
例题2
已知二阶行列式 |a 4|，|2 b| 的值为 -6，求a和b的值。
工程领域
在工程中，线性方程组常用于描述物理系统的状态或行为，如电路中的电流电压关系、力学中的力平衡等。 通过求解线性方程组，可以得到系统的稳定状态或行为规律。
计算机科学领域
在计算机科学中，线性方程组常用于图像处理、机器学习等领域。通过求解线性方程组，可以实现图像的变 换、数据的拟合等任务。
05 矩阵与行列式关系探讨
矩阵概念引入及基本运算回顾
矩阵定义与表示方法
由数字组成的矩形阵列，常用大写字母表示，如A、B等。
矩阵基本运算
包括加法、减法、数乘和乘法等，需满足相应运算规则。
矩阵转置
将矩阵的行和列互换得到的新矩阵，记为$A^T$。
矩阵秩、逆矩阵与行列式关系
矩阵秩
矩阵中非零子式的最高阶数，反映了矩阵的行或列向量组的线性 无关性。
关键知识点总结回顾
二阶行列式的定义
由2x2矩阵通过特定运算得到的数值，表示两个向量在二 维空间中的相对位置关系。
二阶、三阶行列式的计算方法
通过展开式或对角线法则进行计算。
ABCD
三阶行列式的定义
由3x3矩阵通过特定运算得到的数值，表示三个向量在三 维空间中的相对位置关系。
行列式的性质
包括行列式与矩阵转置的关系、行列式的乘法性质、行 列式的加法性质等。
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a13 a23 a33
= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 − a12a21a33 − a11a23a32
注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素
的乘积冠以负号。
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说明
1.对角线法则只适用于二阶与三阶行列式。 2.三阶行列式包括3!项，每一项都是位于不同行， 不同列的三个元素的乘积，其中三项为正，三项 为负。
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例
1 1 求解方程 2 3 4 9
1 x =0 x2
解 方程左端
D = 3 x 2 + 4 x + 18 − 9 x − 2 x 2 − 12 = x − 5x + 6
2
由 x2 − 5 x + 6 = 0 解得
x=2 或 x=3
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利用三阶行列式求解三元线性方程组
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二阶行列式的计算——对角线法则
主对角线 副对角线
a11 a21 a12 a22 = a11a22 − a12a21
例
用对角线法则计算下列二阶行列式
2 3 −1 7 2 0 −1 = 7 × ( −1) − 0 × 2 = −7 1 3 7 0
解 1
= 1 × ( −1) − 3 × 2 = −7
（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式。
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三阶行列式的计算
沙路法
a11 D = a21 a31 − − a12 a22 a32 −
a11 a21 a31
a12 a22 a32 a12 a22 a32 +
a13 a23 a33
a13 a11 a23 a21 a33 a31 +
12 −2 1 1 D1 14 x = = = = 2 1 3 −2 D 7 用此方法解方程组的前提 2 1
条件是系数行列式 D ≠ 0。 3 12 2 1 D2 −21 x2 = = = = −3 3 −2 D 7 2 1
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三阶行列式的定义
定义 设有9个数排成3行3列的数表
5
= 1× 0 − 3 × 7 = −21
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b1 a11 x1 + a12 x2 = 二元线性方程组 的解为： b2 a21 x1 + a22 x2 = b1a22 − a12b2 a11b2 − b1a21 x1 = , x2 a11a22 − a12a21 a11a22 − a12a21
3 2016/12/24
(3)
定义 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称
列）的数表
a11 a21 a12 a22 (4)
表达式a11a22 －a12a21称为数表(4)所确定的二阶行列 式，并记作
a11 a21 a12 列标(j) a22 行标(i) (5)
a11 a12 = = a11a22 − a12a21 ，记为D＝det(aij)。 即D a21 a22
故所求多项式为
f ( x ) = 2 x2 − 3 x + 1
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作业题
P21 1
24
D1 −2 −2 1 1 1 −3 = −5 0 1 −1
−2 x1 − 2 x2 + x3 = 1 2 x1 + x2 − 3 x3 = −x + x − x = 0 2 3 1
D2
1 −2 −2 1 −2 1 1 = −5 2 1 −3 = −10 D3 = 2 1 0 −1 1 −1 0 −1 D3 D1 D2 = x1 = 1, = x2 = 2, = x3 = 1 D D D
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例
−2 x1 − 2 x2 + x3 = 1 解线性方程组 2 x1 + x2 − 3 x3 = −x + x − x = 0 2 3 1
解 由于方程组的系数行列式
1 −2 1 = D 2 1 −3 = −5 ≠ 0 −1 1 −1
18
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于是
两式相减消去 x2，得 (a11a22 －a12a21)x1 ＝ b1a22 －b2a12 类似的，消去 x1，得 (a11a22 －a12a21) x2 ＝ a11b2 －b1a21 当a11a22 －a12a21≠0时，方程组的解为 b1a22 − a12b2 a11b2 − b1a21 x1 = , x2 a11a22 − a12a21 a11a22 − a12a21 分母由方程组的四个系数确定
例 解
7 x1 + 2 x2 = 解二元线性方程组 0 3 x1 − x2 =
8
7 2 1 7 1 2 = −7 D2 = = −21 D= = −7 ≠ 0 D1 = 0 −1 3 0 3 −1 D1 D2 = x1 = 1, = x2 = 3 2016/12/24 D D
例 解
0 3 x1 − 2 x2 − 12 = 求解二元线性方程组 0 2 x1 + x2 − 1 =
+
D = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a11a23a32 − a12a21a33 − a13a22a31
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对角线法则
a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33 a13 a23 a33
b1 a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b2 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = a x + a x + a x = b3 32 2 33 3 31 1 a11 D3 = a21 a31 a12 a22 a32 a b a12 b1 11 1 a22 b21 b2 D1 = a 2 a32 a b31 b3 3 a13 a23 a33
a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 (5)
a11 记 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 (6) a33 − a11a23a32 − a12a21a33 − a13a22a31
则三元线性方程组的解为 D3 D1 D2 = x1 = , x2 = , x3 D D D 16
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其中D1，D2，D3分别是用方程组右端的常数替换掉 系数行列式中对应的列所得到的行列式，如
a11 D = a21 a31 a11 D2 = a21 a31
17
a12 a22 a32 b1 b2 b3
故方程组的解为
19
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小结
1.二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组 引入的。 2.二阶与三阶行列式的计算——对角线法则。
a11 a21 a11 a21 a31
20
a12 = a11a22 − a12a21 a22 a12 a22 a32 a13 a23 = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a11a23a32 − a12a21a33 − a13a22a31 a33
13
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例
1 2 −4 计算三阶行列式 D = −2 2 1 −3 4 −2
解 按对角线法则，有
D = 1 × 2 × ( −2) + 2 × 1 × ( −3) + ( −4) × ( −2) × 4 −1 × 1 × 4 − 2 × ( −2) × ( −2) − ( −4) × 2 × ( −3) = −4 − 6 + 32 − 4 − 8 − 24 = −14
其中分母为由方程组系数所构成的二阶行列式
a11 D= a21 a12 a22
该行列式称为方程组的系数行列式。
6 2016/12/24
同样的，解的分子部分也分别是一个二阶行列式
b1 b1a22 − a12b2 = b2 a12 a22 a11b2 − b1a21 = a11 a21 b1 b2
这些行列式分别是用方程组右端的常数替换系数行列 式中对应的列所得到的行列式，如
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思考题
求一个二次多项式 f ( x ) ，使
f ( 1= ) 0, f ( 2= ) 3, f ( −3= ) 28
21
2016/12/24
思考题解答
解
设所求的二次多项式为
f ( x ) = ax 2 + bx + c
由题意得
f ( 1) = a + b + c = 0 f ( 2 ) = 4a + 2b + c = 3 f ( −3 ) = 9a − 3b + c = 28
b1 a11 x1 + a12 x2 = b2 a21 x1 + a22 x2 = a b11 1 a12 D1 = a22 a b21 2
7
a11 a b12 1 D2 = a21 a b22 2
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则二元线性方程组的解为
D1 x1 = = D b1 a12 b2 a22 D2 ,= x2 = a11 a12 D a21 a22 a11 b1 a21 b2 a11 a12 a21 a22
第一节 二阶与三阶行列式
二阶行列式的引入
用消元法解二元线性方程组 a11x1+a12x2 ＝ b1 a21x1+a22x2 ＝ b2 (1) (2)