2018年上海市普通高等学校春季招生统一文化考试数学试卷及答案

2018年上海市普通高等学校春季招生统一文化考试
数学试卷
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）
1．不等式||1x >的解集为__________． 2．计算：31
lim
2
n n n →∞-=+__________．
3．设集合{|02}A x x =<<，{|11}B x x =-<<，则A B =__________．
4．若复数z i i =+（i 是虚数单位），则2
z z
+
=__________． 5．已知{}n a 是等差数列，若2810a a +=，则357a a a ++=__________．
6．已知平面上动点P 到两个定点(1,0)和(1,0)-的距离之和等于4，则动点P 的轨迹为
__________．
7．如图，在长方形1111B ABC A C D D -中，3AB =，4BC =，15AA =， O 是11AC 的 中点，则三棱锥11A AOB -的体积为__________．
第7题图 第12题图
8．某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、 四辩．若其中学生
甲必须参赛且不担任四辩，则不同的安排方法种数为__________．
9．设a R ∈，若9
22x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭与9
2a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中的常数项相等，则a =__________．
10．设m R ∈，若z 是关于x 的方程2
2
10x mx m -+=+的一个虚根，则||z 的取值范围
是__________．
11．设0a >，函数()2(1)sin()f x x x ax =+-，(0,1)x ∈，若函数21y x =-与()y f x =
的图象有且仅有两个不同的公共点，则a 的取值范围是__________．
12．如图，正方形ABCD 的边长为20米，圆O 的半径为1米，圆心是正方形的中心，点P 、
Q 分别在线段AD 、CB 上，若线段PQ 与圆O 有公共点，则称点Q 在点P 的“盲
区”
中．已知点P 以1．5米/秒的速度从A 出发向D 移动，同时，点Q 以1米/秒的速度从
C 出发向B 移动，则在点P 从A 移动到
D 的过程中，点Q 在点P 的盲区中的时长约为
__________秒（精确到0．1）
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）
13．下列函数中，为偶函数的是（ ） （A ）2
y x -= （B ）13
y x =
（C ）1
2
y x
-=
（D ）3
y x =
14．如图，在直三棱柱111AB A B C C -的棱虽在的直线中，与直线1BC 异面的直线条数为（ ） （A ）1 （B ）2
（C ）3
（D ）4
15．记n S 为数列{}n a 的前n 项和．“{}n a 是递增数列”是“n S 为递增数列”的（ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件
（C ）充要条件
（D ）既非充分也非必要条件
16．已知A 、B 为平面上的两个定点，且|2|AB =．该平面上的动线段PQ 的端点P 、Q ， 满足||5AP ≤，6AB AP ⋅=，2AQ AP =-，则动线段PQ 所形成图形的面积为（ ）
（A ）36
（B ）60
（C ）81
（D ）108
三、解答题（本大题共有5题，满分76分，第17~19题每题14分，20题16分，21题18分）
17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知cos y x =．
（1）若3(1)f α=
，且[0,]απ∈，求()3
f π
α-的值； （2）求函数(2)2()y f x f x =-的最小值．
18． （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知a R ∈，双曲线22
2:1x y a
Γ-=．
（1）若点(2,1)在Γ上，求Γ的焦点坐标；
（2）若1a =，直线1y kx =+与Γ相交于A 、B 两点，且线段AB 中点的横坐标为1，
求实数k 的值．
19．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）
利用“平行于圆锥曲线的母线截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，某快餐店用两
个射灯（射出的光锥视为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2是投影出的抛物线的平面图，图3是一个射灯的直观图，在图2与图3中，点O 、A 、B 在抛物线上，OC 是抛物线的对称轴，OC AB ⊥于C ，3AB =米， 4.5OC =米． （1）求抛物线的焦点到准线的距离；
（2）在图3中，已知OC 平行于圆锥的母线SD ，AB 、DE 是圆锥底面的直径，求
圆锥的母线与轴的夹角的大小（精确到0．01°）．
图1 图2 图3 20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
设0a >，函数1
()12x
f x a =
+⋅．
（1）若1a =，求()f x 的反函数1
()f x -；
（2）求函数()()y f x f x ⋅-=的最大值（用a 表示）；
（3）设()()(1)g x f x f x =--．若对任意(,0]x ∈-∞，)(()0g x g ≥恒成立，求a 的
取值范围．
21．（本题满分18分，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分）
若{}n c 是递增数列，数列{}n a 满足：对任意*
n N ∈，存在*
m N ∈，使得
1
0m n
m n a c a c +-≤-，
则称{}n a 是{}n c 的“分隔数列”． （1）设2n c n =，1n a n =+，证明：数列{}n a 是{}n c 的“分隔数列”；
（2）设4n c n =-，n S 是{}n c 的前n 项和，31n n d c -=，判断数列{}n S 是否是数列{}
n d 的分隔数列，并说明理由；
（3）设1
n n c aq
-=，n T {}n c 的前n 项和，若数列{}n T 是{}n c 的分隔数列，求实数a 、
q 的取值范围．
参考答案
一、填空题
1．(,1)
(1,)-∞-+∞
2．3
3．(0,1)
4．2 5．15
6．22
143
x y +=
7．5 8．180 9．4
10．)+∞ 11．1119(,]66
ππ
12．4.4
二、选择题
13．A
14．C
15．D
16．B
三、解答题
17．（1）
16+；（2）3
2
-
18．（1）(1,0)，(1,0)-；（2． 19．（1）
1
4
；（2）9.59︒． 20．（1）1
2
1()log (01)x f
x x x --=<<；（2）2
1
12max y a a =++（0x =时取最值）；
（3）
21．（1）证明略；（2）不是．反例：4n =时，m 无解；（3）0
2
a q ≥>⎧⎨⎩．。