(完整版)一元二次方程的解法课件
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x b b2 4ac (b2 4ac 0). 2a
典例解析
1.一题多解 例源自文库 解方程 2x2 7x 3 0
解法1 配方法
2(x2 7 x 3) 0, x2 7 x 3 0,
22
22
x2 7 x ( 7)2 3 ( 7)2,
2
4
24
(x 7)2 25 , 4 16
例2：当m=?时关于x的方程2x2-mx+m-1=0有一个根为零. 【解析】把x=0代入方程中，解得m=1.
例3：如果α是关于x的方程x2-3x+m=0的一个根，-α是关于 x的方程x2+3x-m=0的一个根，那么α的值是多少?
【解析】由根的定义得： 2 3 m 0 (1) 2 3 m 0 (2)
9 例1：填空：x2-3x+__4___
=（ x 3 ）2 2
x2+6x-4=（ x 3 ）2 +_(__1_3)__
例2：当a=____ 时，x2+4x+a2-1 是完 全平方式.
【解析】b2-4ac=42-4（a2-1)=0
解得： a 5 答案： 5
例3：先用配方法说明：不论x取何值，代数式x2-6x+10 的值总大于零,再求出当 x取何值时，代数式x2-6x+10的 值最小，最小值是多少?
x
7 4
5 4
, x1
3,x 2
1. 2
解法2 因式分解法
(x-3)(2x-1)=0
x-3=0 或 2x-1=0
x1
3
,x 2
1 2
解法3 公式法
7 x
(7)2 4 2 3 7 5
22
4
x 7 5 或x 7 5
4
4
x1
3,x 2
1 2
练习
解下列方程
1.x2 x 0 2.(x 1)2 (x 1) 0 3. 2 (x 1)2 7(x 1) 3 0 4. x2 9 0 5. (x 2)2 9 0 6. (x 2)2 (2x 1)2
答案： x=0 或 x=1
答案：x= -1或 x=0
答案： x=4或 x 3 2
答案：x=3 或x= -3
答案：x= -5 或x=1
答案：x =3或 x 1 3
2.运用根的定义解题
例1：关于x的方程(m-3) xm2 7 -x+3=0为一元二次方程，那 么m的值为多少？ 【解析】m2-7=2且m-3≠0, 进而求出m的值为-3 .
解得:m=0, α=0或α=3
3.配方法的应用
思路导引：方程配方与二次三项式的配方的区别.
方程配方的关键：二次项系数化1时要在方程的两边同时
（等式性质） 除以二次项系数，配方时在方程的两 边加上一次项系数一半的平方.
二次三项式的配方：二次项系数化1时要提取二次项
（恒等变形）
系数，应该在一端同时加或减 相同的式子.
【解析】x2 6x 10 x2 6x 9 1 (x 3)2 1, Q (x 3)2 0 ,(x-3)2 1 0, 不论x取何值,代数式x2 -6x 10的值总大于零, 当x-3 0时, 即x 3时, 代数式x2 -6x 10的值最小,最小值是1.
一元二次方程的解法
知识梳理
1.一元二次方程的概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数 是2的整式方程叫做一元二次方程.
2.关于x的一元二次方程的一般形式
ax2+bx+c=0,(a≠0)，其中a为二次项系数， b为一次项系数，c为常数项.
3.一元二次方程的解法
（1）基本思想：降次. （2）基本解法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配 方法. （3）求根公式 关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0,(a≠0)
典例解析
1.一题多解 例源自文库 解方程 2x2 7x 3 0
解法1 配方法
2(x2 7 x 3) 0, x2 7 x 3 0,
22
22
x2 7 x ( 7)2 3 ( 7)2,
2
4
24
(x 7)2 25 , 4 16
例2：当m=?时关于x的方程2x2-mx+m-1=0有一个根为零. 【解析】把x=0代入方程中，解得m=1.
例3：如果α是关于x的方程x2-3x+m=0的一个根，-α是关于 x的方程x2+3x-m=0的一个根，那么α的值是多少?
【解析】由根的定义得： 2 3 m 0 (1) 2 3 m 0 (2)
9 例1：填空：x2-3x+__4___
=（ x 3 ）2 2
x2+6x-4=（ x 3 ）2 +_(__1_3)__
例2：当a=____ 时，x2+4x+a2-1 是完 全平方式.
【解析】b2-4ac=42-4（a2-1)=0
解得： a 5 答案： 5
例3：先用配方法说明：不论x取何值，代数式x2-6x+10 的值总大于零,再求出当 x取何值时，代数式x2-6x+10的 值最小，最小值是多少?
x
7 4
5 4
, x1
3,x 2
1. 2
解法2 因式分解法
(x-3)(2x-1)=0
x-3=0 或 2x-1=0
x1
3
,x 2
1 2
解法3 公式法
7 x
(7)2 4 2 3 7 5
22
4
x 7 5 或x 7 5
4
4
x1
3,x 2
1 2
练习
解下列方程
1.x2 x 0 2.(x 1)2 (x 1) 0 3. 2 (x 1)2 7(x 1) 3 0 4. x2 9 0 5. (x 2)2 9 0 6. (x 2)2 (2x 1)2
答案： x=0 或 x=1
答案：x= -1或 x=0
答案： x=4或 x 3 2
答案：x=3 或x= -3
答案：x= -5 或x=1
答案：x =3或 x 1 3
2.运用根的定义解题
例1：关于x的方程(m-3) xm2 7 -x+3=0为一元二次方程，那 么m的值为多少？ 【解析】m2-7=2且m-3≠0, 进而求出m的值为-3 .
解得:m=0, α=0或α=3
3.配方法的应用
思路导引：方程配方与二次三项式的配方的区别.
方程配方的关键：二次项系数化1时要在方程的两边同时
（等式性质） 除以二次项系数，配方时在方程的两 边加上一次项系数一半的平方.
二次三项式的配方：二次项系数化1时要提取二次项
（恒等变形）
系数，应该在一端同时加或减 相同的式子.
【解析】x2 6x 10 x2 6x 9 1 (x 3)2 1, Q (x 3)2 0 ,(x-3)2 1 0, 不论x取何值,代数式x2 -6x 10的值总大于零, 当x-3 0时, 即x 3时, 代数式x2 -6x 10的值最小,最小值是1.
一元二次方程的解法
知识梳理
1.一元二次方程的概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数 是2的整式方程叫做一元二次方程.
2.关于x的一元二次方程的一般形式
ax2+bx+c=0,(a≠0)，其中a为二次项系数， b为一次项系数，c为常数项.
3.一元二次方程的解法
（1）基本思想：降次. （2）基本解法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配 方法. （3）求根公式 关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0,(a≠0)