(完整版)一元二次方程的解法课件
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《解一元二次方程》一元二次方程PPT(因式分解法)
－m＝0的一个根，则a的值是
5
．
7．用因式分解法解下列方程：
(1)2(x －3)2＝x2－9；
(2)(3x＋2)2－4x2＝0；
解：2(x－3)2＝(x＋3)(x－3)，
解：(3x＋2＋2x)(3x＋2－2x)＝0，
(x－3)[2(x－3)－(x＋3)]＝0.
解得x1＝－ ，x2＝－2.
解得x1＝3，x2＝9.
x 2 5 x 0,
从而
x 2 0 ，或 5 x 0,
所以
x1 2 ，x2 5.
几种常见的用因式分解法求解的方程
（1）形如x2 +bx ＝ 0 的一元二次方程，将左边运用提公因式法因式分解为
x（x+b）＝ 0，则x ＝ 0 或x+b ＝ 0，即x1= 0， x2 ＝ -b.
(x + m) （x + n）＝0
解法选择基本思路
1.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时（ax2+c=0），
应选用直接开平方法；
2.若常数项为0（ ax2+bx=0），应选用因式分解法；
3.若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0），先化为一
般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因
180>0，
b b 2 4ac (12) 180 2 5
∴ x
,
2a
29
3
即x1 =
2+ 5
2- 5
, x2 =
.
3
3
一元二次方程的解法及适用类型
(x+m)2＝n（n ≥ 0）
x2 + px + q = 0 （p2 - 4q ≥0）
5
．
7．用因式分解法解下列方程：
(1)2(x －3)2＝x2－9；
(2)(3x＋2)2－4x2＝0；
解：2(x－3)2＝(x＋3)(x－3)，
解：(3x＋2＋2x)(3x＋2－2x)＝0，
(x－3)[2(x－3)－(x＋3)]＝0.
解得x1＝－ ，x2＝－2.
解得x1＝3，x2＝9.
x 2 5 x 0,
从而
x 2 0 ，或 5 x 0,
所以
x1 2 ，x2 5.
几种常见的用因式分解法求解的方程
（1）形如x2 +bx ＝ 0 的一元二次方程，将左边运用提公因式法因式分解为
x（x+b）＝ 0，则x ＝ 0 或x+b ＝ 0，即x1= 0， x2 ＝ -b.
(x + m) （x + n）＝0
解法选择基本思路
1.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时（ax2+c=0），
应选用直接开平方法；
2.若常数项为0（ ax2+bx=0），应选用因式分解法；
3.若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0），先化为一
般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因
180>0，
b b 2 4ac (12) 180 2 5
∴ x
,
2a
29
3
即x1 =
2+ 5
2- 5
, x2 =
.
3
3
一元二次方程的解法及适用类型
(x+m)2＝n（n ≥ 0）
x2 + px + q = 0 （p2 - 4q ≥0）
一元二次方程的解法公式法ppt课件
无实数根 两个实数根
动手试一试吧！
1、方程3 x2 +1=2 x中， b2-4ac= 0 .
2、若关于x的方程x2-2nx+3n+4=0 有两个相等的实数根，则n= -1或4 . 3、练习:用公式法解方程: x2 - 2 x+2= 0.
思考题
1、 m取什么值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0 有两个相等的实数解
用配方法解 ax2 bx c （0 a 0）.
对于方程
（1）将常数项移到方程的左边，得
.
（2）方程两边同除以a，得
.
（3）方程两边同时加上_______，得
左边写成完全平方式，右边通分，得 （4）开平方…
∵a≠0, 4a2>0, ∴当b2－4ac≥0时， ∴
∴
特别提醒 推导时必须
写
根的判别式
解：△=(2m+1)2-4m2
=4m+1
若方程有两个不等实根，则△ > 0
∴4m+1 > 0 ∴m >-1/4 ∴m >- 1/4 且m≠0
注对意吗二？次
项系数
的根由方程的系数a，b，c确定．
解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式
当 b2 4ac 0 时，将a，b，c代入式子
x b b2 4ac 2a
一元二次方程的 求根公式
利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，
由求根公式可知,一元二次方程最多有两个实数根．
求根公式 : X=
用公式法解一元二次方 程的一般步骤：
一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0)
解的情况由 b2 4ac 决定:
(1) 当 b2 4ac 0 时，方程有两个
动手试一试吧！
1、方程3 x2 +1=2 x中， b2-4ac= 0 .
2、若关于x的方程x2-2nx+3n+4=0 有两个相等的实数根，则n= -1或4 . 3、练习:用公式法解方程: x2 - 2 x+2= 0.
思考题
1、 m取什么值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0 有两个相等的实数解
用配方法解 ax2 bx c （0 a 0）.
对于方程
（1）将常数项移到方程的左边，得
.
（2）方程两边同除以a，得
.
（3）方程两边同时加上_______，得
左边写成完全平方式，右边通分，得 （4）开平方…
∵a≠0, 4a2>0, ∴当b2－4ac≥0时， ∴
∴
特别提醒 推导时必须
写
根的判别式
解：△=(2m+1)2-4m2
=4m+1
若方程有两个不等实根，则△ > 0
∴4m+1 > 0 ∴m >-1/4 ∴m >- 1/4 且m≠0
注对意吗二？次
项系数
的根由方程的系数a，b，c确定．
解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式
当 b2 4ac 0 时，将a，b，c代入式子
x b b2 4ac 2a
一元二次方程的 求根公式
利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，
由求根公式可知,一元二次方程最多有两个实数根．
求根公式 : X=
用公式法解一元二次方 程的一般步骤：
一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0)
解的情况由 b2 4ac 决定:
(1) 当 b2 4ac 0 时，方程有两个
《一元二次方程》PPT课件
《一元二次方程》PPT 课件
演讲人
《一元二次方程》PPT课件
1. 一元二次方程的一般形式: a≠0时，ax2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形 式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确 定一般形式中的a、 b、 c; 其中a 、 b,、c可能是具体数，也可能是含待定字 母或特定式子的代数式。 2. 一元二次方程的解法: 一元二次方程的四种解法要求灵活运用， 其中直接开 平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适解法适用范围较大，且计算简便，是方法，配方法使 用较少。 3. 一元二次方程根的判别式: 当ax2+bx+c=0 (a≠0)时，Δ=b2-
《一元二次方程》PPT课件
4ac 叫一元二次方程根的判别 式.请注意以下等价命题：
Δ<0 <=> 无实根; Δ≥0 <=> 有两个实根(等或不等)。
Δ>0 <=> 有两个不等的实根; Δ=0 <=> 有两个相等的实根;
谢谢
演讲人
《一元二次方程》PPT课件
1. 一元二次方程的一般形式: a≠0时，ax2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形 式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确 定一般形式中的a、 b、 c; 其中a 、 b,、c可能是具体数，也可能是含待定字 母或特定式子的代数式。 2. 一元二次方程的解法: 一元二次方程的四种解法要求灵活运用， 其中直接开 平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适解法适用范围较大，且计算简便，是方法，配方法使 用较少。 3. 一元二次方程根的判别式: 当ax2+bx+c=0 (a≠0)时，Δ=b2-
《一元二次方程》PPT课件
4ac 叫一元二次方程根的判别 式.请注意以下等价命题：
Δ<0 <=> 无实根; Δ≥0 <=> 有两个实根(等或不等)。
Δ>0 <=> 有两个不等的实根; Δ=0 <=> 有两个相等的实根;
谢谢
《解一元二次方程》一元二次方程PPT课件(公式法)
配方,得
即
x2
b
c
x .
a
a
2
2
b
c b
b
x2 x ,
a
a 2a
2a
b b 2 4ac
.
x
2
2a
4a
2
②
b b 2 4ac
对于 x
. ②
2
2a
4a
2
因为a≠0,
由②式得
∴ 原方程无实数根.
用公式法解一元二次方程的一般步骤
1.变形: 化已知方程为一般形式;
2.确定系数:确定a,b,c的值（注意符号）;
3.计算: 求出b2-4ac的值;
4.判断：若b2-4ac ≥0，则利用求根公式求出;
若b2-4ac<0，则方程没有实数根.
★ 根的判别式
b b 2 4ac
3 x 2 6 x 5 0;
（1）
（2）
4 x 2 -x-9 0.
2、用配方法解方程的一般步骤有哪些？
一般步骤
方法
一移
移项
将常数项移到右边，含未知数的项移到左边
二化
二次项系数化为1
左、右两边同时除以二次项系数
三配
配方
左、右两边同时加上一次项系数一半的平方
四开
开平方
利用平方根的意义直接开平方
＝
−1 ± 1.96 −1 ± 1.4
＝
，
2 × 0.3
0.6
2
∴ 1＝ ，2＝ − 4.
3
(2)6x2－11x＋4＝2x－2；
一元二次方程的解法ppt课件
的各项系数a、b、c确定的，当 2 -4ac≥0时，它的实数根
是
公式法推导过程
这叫做一元二次方程的求根公式，解一元二次方程时，
2
把各项系数的值直接代入这个公式，若 -4ac≥0就可以
求得方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
尝试与交流
2
2
在一元二次方程 +bx＋c=0(a≠0)中，如果 -4ac<0那
解:原方程可变形为(2x-1+x)(2x-1-x)=0
即(3x-1)(x-1)=0
3x-1=0或x-1=0
所以x1=
，x
2=1
观察与思考
2=4(x+2)
(x＋2)
解方程
小丽、小明的解法如下：
小丽、小明的解法，哪个正确?
因式分解法练习
1.用因式分解法解下列方程
①x2－3x=0
② 3x2= x
③2（ x－1 ） ＋ x （ x－1 ） =0
叫做因式分解法
例题8
解下列方程
① = −
② + − + =
原方程可变形为x2+4x=0
原方程可变形为
x(x+4)=0
(x+3)(1-x)=0
x=0或x+4=0
x+3=0或1-x=0.
所以x1=0，x2=-4
所以x1=-3，x2=1
例题9
解方程
(2x-1)2－x2=0
的矩形割补成一个正方形
数学实验室
一个矩形通过割、拼、补，成为一个正方形的过程配方
的过程
数学实验室
数学实验室
数学实验室
数学实验室
是
公式法推导过程
这叫做一元二次方程的求根公式，解一元二次方程时，
2
把各项系数的值直接代入这个公式，若 -4ac≥0就可以
求得方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
尝试与交流
2
2
在一元二次方程 +bx＋c=0(a≠0)中，如果 -4ac<0那
解:原方程可变形为(2x-1+x)(2x-1-x)=0
即(3x-1)(x-1)=0
3x-1=0或x-1=0
所以x1=
，x
2=1
观察与思考
2=4(x+2)
(x＋2)
解方程
小丽、小明的解法如下：
小丽、小明的解法，哪个正确?
因式分解法练习
1.用因式分解法解下列方程
①x2－3x=0
② 3x2= x
③2（ x－1 ） ＋ x （ x－1 ） =0
叫做因式分解法
例题8
解下列方程
① = −
② + − + =
原方程可变形为x2+4x=0
原方程可变形为
x(x+4)=0
(x+3)(1-x)=0
x=0或x+4=0
x+3=0或1-x=0.
所以x1=0，x2=-4
所以x1=-3，x2=1
例题9
解方程
(2x-1)2－x2=0
的矩形割补成一个正方形
数学实验室
一个矩形通过割、拼、补，成为一个正方形的过程配方
的过程
数学实验室
数学实验室
数学实验室
数学实验室
解一元二次方程ppt课件
21.2 解一元二次方程
重
难 ■题型二 利用根的判别式判断三角形的形状
题 型
例 2 已知△ABC 中，a，b，c 分别是∠A，∠B，∠C 的对边，且关于 x
突 的一元二次方程 b（x2-1）-2ax+c（x2+1）=0 有两个相等的实数根．判断
破 △ABC 的形状.
［解析］ 根据已知条件得出 Δ=0，将等式变形，利用勾股定理的逆定理
B． 只有一个实数根
读
C． 有两个不相等的实数根
D． 没有实数根
［解题思路］
原方程
x（x-2）=1
化为一般形式
x2-2x-1=0
确定 a，b，c 的值
a=1，b=-2，c=-1
代入判别式 Δ
b2-4ac=8＞0
判断根的情况
［答案］ C
有两个不相等的实数根
方法点拨 应用根的判别式时要准确确定 a，b，c 的值，代入时要注意不 要丢掉各项系数的符号.
清 单
（1）x2-4x-3=0； （2）2x2-6x=1； （3）（t+3）（t-1）=12．
解
［解题思路］ 按照下面的顺序进行求解.
读
［答案］ 解：（1）移项，得 x2-4x=3，配方，得 x2-4x+4=3+4，即（x-
2）2=7，开方，得 x-2=±
，所以 x1=2+
，x2=2-
；
（2）二次项系数化为 1，得 x2-3x= ，配方，得 x2-3x+
21.2 解一元二次方程
考
点
21.2.1 配 方 法
清
单 ■考点一 直接开平方法
解
读
原理 根据平方根的意义进行“降次”，转化为一元一次方程求解
一元二次方程课件
配方法
通过将一元二次方程转化为完全平方的形式来求解。
公式法
利用求根公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a求解。
图像法
通过观察一元二次方程的图像来求解。
利用配方法解一元二次方程
1
步骤一
将一元二次方程展开。
2
步骤二
通过加减同项式转化为完全平方。
3
步骤三
应用二次平方公式求解。
利用公式法解一元二次方程
一元二次方程在数学竞赛中的应用
一元二次方程是数学竞赛中常见的考点，通过掌握解法和技巧，可以更好地应对竞赛题目。
利用解一元二次方程的方法求 解其他方程
解一元二次方程的方法可以应用于解其他类型的方程，如三次方程、指数方 程等。
一元二次方程的解法总结
一元二次方程的解法可以分类为配方法和公式法，根据方程的性质和判别式的值来选择解法。
解一元二次方程的常见错误及 避免方法
常见错误包括计算错误、应用错误的解法、无效的代数操作等。避免方法包 括检查计算过程、理解方程的性质等。
凹凸性
当a > 0时，抛物线开口朝上；当 a < 0时，抛物线开口朝下。
解一元二次方程在实际生活中的应用
物理学
用于求解自由落体、抛体运动等问题。
经济学
用于建立成本、收益或利润方程来研究最佳决策。
工程学
用于计算曲线的最高或最低点，以便优化设计。
一元二次方程的根与系数的关系
两实根
当判别式Δ > 0时，方程有两个 不相等的实根。
找出一元二次方程的零点
方程y = ax^2 + bx + c的零点就是使y = 0的x值，即方程的实根。
求一元二次方程的最大值或最 小值
通过将一元二次方程转化为完全平方的形式来求解。
公式法
利用求根公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a求解。
图像法
通过观察一元二次方程的图像来求解。
利用配方法解一元二次方程
1
步骤一
将一元二次方程展开。
2
步骤二
通过加减同项式转化为完全平方。
3
步骤三
应用二次平方公式求解。
利用公式法解一元二次方程
一元二次方程在数学竞赛中的应用
一元二次方程是数学竞赛中常见的考点，通过掌握解法和技巧，可以更好地应对竞赛题目。
利用解一元二次方程的方法求 解其他方程
解一元二次方程的方法可以应用于解其他类型的方程，如三次方程、指数方 程等。
一元二次方程的解法总结
一元二次方程的解法可以分类为配方法和公式法，根据方程的性质和判别式的值来选择解法。
解一元二次方程的常见错误及 避免方法
常见错误包括计算错误、应用错误的解法、无效的代数操作等。避免方法包 括检查计算过程、理解方程的性质等。
凹凸性
当a > 0时，抛物线开口朝上；当 a < 0时，抛物线开口朝下。
解一元二次方程在实际生活中的应用
物理学
用于求解自由落体、抛体运动等问题。
经济学
用于建立成本、收益或利润方程来研究最佳决策。
工程学
用于计算曲线的最高或最低点，以便优化设计。
一元二次方程的根与系数的关系
两实根
当判别式Δ > 0时，方程有两个 不相等的实根。
找出一元二次方程的零点
方程y = ax^2 + bx + c的零点就是使y = 0的x值，即方程的实根。
求一元二次方程的最大值或最 小值
人教九年级数学上21.2一元二次方程的解法(4种解法全共84张ppt)
这时,我们常用χ1、χ2来表示未知数为χ的一元 二次方程的两个根。 ∴ 方程 χ2=4的两个根为 χ1=2，χ2=－2.
利用平方根的定义直接开平方求一元二 次方程的解的方法叫直接开平方法。
例1、解下列方程 （1）x2-1.21=0
（2）4x2-1=0
解：（1）移项，得x2=1.21 ∵x是1.21的平方根 ∴x=±1.1 即 x1=1.1，x2=-1.1 （2）移项，得4x2=1 1 两边都除以4，得 x2= 1 4 ∵x是 4 的平方根 ∴x=
若x2=a，则x=
2 4 ±3 ， 的平方根是______ 如：9的平方根是______ 5
a 即x= a 或x= a
4.平方根有哪些性质？ (1)一个正数有两个平方根，这两个平方根 互为相反数的； (2)零的平方根是零； (3)负数没有平方根.
25
如何解方程：（1）x2=4，（2）x2-2=0呢?
7 5 ∴x1= ，x2= 4 4
将方程化成
(mx n) p
2
(p≥0）的形式, 再求解
1、小试身手 :
判断下列一元二次方程能否用直接开平方法求解并 说明理由.
1） x2=2
( √ )
2） p2 - 49=0
3） 6 x2=3 4) （5x+9）2+16=0 5) 121-(y+3) 2 =0
21.2解一元二次方程
21.2.1 直接开平方法
1、一元二次方程的概念 等号两边都是整式，只含有一个未知数 （一元），并且未知数的最高次数是2 （二次）的方程，叫做一元二次方程.
2、一元二次方程的一般形式
ax bx c 0 （a 0)
2
3.什么叫做平方根? 如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫 做a的平方根.
一元二次方程课件ppt
• 问题1、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼 房之间，开辟面积为900平方米的一块长方 形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长 和宽各为多少？
（x＋10）
x
问题1、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间， 开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且 长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？
例1．将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次 方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次
项系数及常数项．
• 分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此， 方程（8-2x） （•5-2x）=18必须运用整式运算进行整理，包括 去括号、移项等．
• 解：去括号，得： • 40-16x-10x+4x2=18 • 移项，得：4x2-26x+22=0 • 其中二次项系数为4，一次项系数为-26，常数项为22．
3
你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗?
观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算 相应的y值,完成下表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
描点,连线 y 10
y=x2
8
6
4
2
?
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -2
二次函数 y=x2的图象 形如物体抛 射时所经过 的路线,我们 把它叫做抛 物线
方程
二次项 一次项 常数 系数 系数 项
2x2 x 3 0 2
1
－3
3x2 5 0
3
0
－5
x2 3x 0 1
－3
0
2、将下列一元二次方程化为一般形式，并分别 指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：
一元二次方程数学PPT课件
解得：m=20
∴ 方程的解为：x1=55， x2=15。
D 拓展训练 ● 推导求根公式 ● 几何意义 ● 韦达定理
拓展训练 之 求根公式推导
一元二次方程 ax²+bx+c=0（a≠0）求根公式推导过程如下：
第一步：约分
第二步：配方
第三步：通分
第四步：开平方
拓展训练 之 几何意义
一元二次方程 ax²+bx+c=0（a≠0）的几何意义
整理，得x2-36x+35=0.
解方程，得x1=1，x2=35. x2=35不合题意舍去，所以 x=1.
答:道路宽为1米.
解应用题 之 精选例题
【数学问题】
5、一个两位数，十位上数字与个位上数字之和为5;把十位上的数字与个位上数字互 换后再乘以原数得736，求原来两位数. 解:设原来两位数个位上的数字为x，则十位上的数字为(5-x)，原来的两位数就是: 10(5-x)+x，新的两位数就是:10x+(5-x).可列出方程:
【例题】
1、解方程 x²-8x+15=0 解：利用十字相乘法，-8=-3-5， 15=3×5
∴原式可化为(x-3)(x-5)=0 ∴ x1=3；x2=5
方程解法 之 基本方法 • 配方法
【之三 配方法】
将一元二次方程配成(x+m)2=n 的形式，再利用直接开平方法求解的方法。配方法 的理论依据是完全平方公式。配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1， 然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。
基本步骤
①把原方程化为一般形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤进一步通过直接开平方法求出方程的解，如果右边是非负数，则方程有两个实根； 如果右边是一个负数，则方程有一对共轭虚根。
一元二次方程ppt课件
定义
一元二次方程是一个整式方程， 其一般形式为ax^2 + bx + c = 0 ，其中a、b、c是常数，且a≠0。
解释
一元二次方程只含有一个未知数， 并且未知数的最高次数是2。
举例
如2x^2 + 3x - 4 = 0，3x^2 - 5x + 2 = 0等。
一元二次方程的一般形式
形式
ax^2 + bx + c = 0，其中a、b 、c是常数，且a≠0。
判断下列哪个方程有两个不相 等的实数根，并说明理由： x^2 + 2x + 1 = 0
综合练习题
对于任何一个一元二次方程，如 何判断它的根的情况？
根据一元二次方程的特点，如何 利用配方法求解其根？
对于一个一元二次方程，如果它 的根的判别式小于0，那么这个
方程有什么特点？
CHAPTER 07
总结与回顾
• 如果Δ>0，方程有两个不同的实数解；
根的判别式的性质
• 如果Δ=0，方程有两个相同的实 数解；
• 如果Δ<0，方程没有实数解。
根的判别式的应用
通过根的判别式，我们可以快速判断一元二次方程的实数解的情况，不 需要求解方程。
在数学、物理、工程等领域中，根的判别式被广泛应用于解决涉及二次 方程的问题。
加强对一元二次方程的应用，结合实际 生活和相关学科，拓展应用领域。
进一步学习其他数学知识和方法，为后 培养自主学习和终身学习的意识，不断
续学习和工作打下坚实的基础。
学习和进步。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
公式法
通过配方法或公式法求解。
求根公式法
当Δ=b^2-4ac≥0时，方程有 实数解。此时，x=(b±√Δ)/(2a)。
一元二次方程是一个整式方程， 其一般形式为ax^2 + bx + c = 0 ，其中a、b、c是常数，且a≠0。
解释
一元二次方程只含有一个未知数， 并且未知数的最高次数是2。
举例
如2x^2 + 3x - 4 = 0，3x^2 - 5x + 2 = 0等。
一元二次方程的一般形式
形式
ax^2 + bx + c = 0，其中a、b 、c是常数，且a≠0。
判断下列哪个方程有两个不相 等的实数根，并说明理由： x^2 + 2x + 1 = 0
综合练习题
对于任何一个一元二次方程，如 何判断它的根的情况？
根据一元二次方程的特点，如何 利用配方法求解其根？
对于一个一元二次方程，如果它 的根的判别式小于0，那么这个
方程有什么特点？
CHAPTER 07
总结与回顾
• 如果Δ>0，方程有两个不同的实数解；
根的判别式的性质
• 如果Δ=0，方程有两个相同的实 数解；
• 如果Δ<0，方程没有实数解。
根的判别式的应用
通过根的判别式，我们可以快速判断一元二次方程的实数解的情况，不 需要求解方程。
在数学、物理、工程等领域中，根的判别式被广泛应用于解决涉及二次 方程的问题。
加强对一元二次方程的应用，结合实际 生活和相关学科，拓展应用领域。
进一步学习其他数学知识和方法，为后 培养自主学习和终身学习的意识，不断
续学习和工作打下坚实的基础。
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公式法
通过配方法或公式法求解。
求根公式法
当Δ=b^2-4ac≥0时，方程有 实数解。此时，x=(b±√Δ)/(2a)。
解一元二次方程 公式法ppt课件
解题思路：
1.方程有两个相等的实数解，等价于 b2 4ac 0，把方程系数
代入解出m的值.
2.方程的两根为互为相反数，等价于 b2 4ac＞0，且x1 x2，用
求根公式求解.
即：x1 x2 b
b2 4ac b
2a
b2 4ac 0(b2 4ac＞0). 2a
答案：1.m＝ 17 .
方程有两个相等的实数根：
x1
x2
b 2a
2 3 21
3.
例3.用公式法解方程 (x－2)(1－3x)＝6. 解：去括号，化简为一般式 3x2－7x＋8＝0. a＝3，b＝－7，c＝8.
b2 4ac (7)2 4 38 47＜0.
方程没有实数根.
归纳总结
用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1.把方程化成一般形式，并写出 a，b，c 的值.
2.求出＝b2－4ac 的值. 注意：当＝b2－4ac ＜0 时，方程无解.
3.代入求根公式: x = b
b2 4ac .
2a
4.写出方程的解：x1，x2 .
随堂练习
用公式法解下列方程：
（1）2x2－9x＋8＝0； （2）9x2＋6x＋1＝0； （3）16x2＋8x＝3.
（1）2x2－9x＋8＝0. 解：a＝2，b＝－9，c＝8. b2 4ac (9)2 4 28 17＞0. 方程有两个不等的实数根：
x2
2a
.
(2)当b2
4ac
0时，这时
b2 4ac 4a2
0，
方程有两个相等的实数根：
x1
x2
b. 2a
(3)当b2
4ac＜0时，这时
b2
4ac 4a2
＜0，
《解一元二次方程公式法》PPT课件
D．当k≠0时，方程总有两个不相等的实数解
24．2 解一元二次方程 公式法
【易错盘点】 【例】用公式法解方程：3x2－2x＝5. 【错解】∵a＝3，b＝－2，c＝5.∴b2－4ac＝(－2)2－4×3×5 ＝－56＜0，∴方程无解． 【错因分析】没有将一元二次方程化为一般形式，因此，公式 中的c值是错误的，从而导致方程的解错误． 【正解】
1．(6分)一元二次方程x2－3x－4＝0中，a＝____1____， b＝___－__3___，c＝___－__4___，b2－4ac＝___2_5____， 用求根公式可解得x1＝____4____，x2＝___－__1___．
2．(4分)用公式法解方程 3x2－2 3x＝1－ 3x时，
其中的a＝___3_____，b＝___－ ____3_，c＝___－__1___， b2－4ac＝__1_5_____．
m＝5，x1＝x2＝2 18．(10分)要建一个面积为150 m2的长方形养鸡场，为了节约材料， 鸡场的一边靠着原有的一堵墙，墙长150 m，另三边用竹篱笆围成，如 果篱笆的长为35 m．求鸡场的长和宽各是多少？
设鸡场垂直于墙的宽度为x m，依题意得x(35－2x)＝150， 解得x1＝7.5，x2＝10，当x＝7.5时鸡场长宽分别为20 m，7.5 m， 当x＝10时，鸡场长宽分别为15 m，10 m
若方程/k无eji解，则有_b_2_－__4_a_c_＜．0
7．au(nw3/e分y )若关于x的方程ax2＋2(a＋2)x＋a＝0有实数解，那么实数a的取
值范围n/是__a_≥__－__1_．
8．数 课(3学件分)关于x的一元二次方程x2＋x＋1＝0的根的情况是( C )
Hale Waihona Puke A．/k有ej两i 个不相等的正根
《解一元二次方程》一元二次方程PPT课件
解一元二次方程
直接开平方法
1、一元二次方程的概念
等号两边都是整式，只含有一个未知数 （一元），并且未知数的最高次数是2 （二次）的方程，叫做一元二次方程.
2、一元二次方程的一般形式
ax2 bx c 0 （a 0)
1、判断下面哪些方程是一元二次方程
(1)x2 3x 4 x2 7 ×
首先将一元二次方程化为左边是含有未知数的一个 完全平方式，右边是非负数的形式，然后用平方根的 概念求解 .
3.任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？ 请举例说明.
练一练
1、下列解方程的过程中，正确的是（ D ）
(A)x2=-2,解方程，得x=± 2
(B)(x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4
●学习目标
• 1．理解解一元二次方程降次的转化思想； • 2．会利用直接开平方法解形如x2＝p或(mx
＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程； • 3.体会类比的思想；
重点: 能够熟练而准确的运用直接开平方法 求一元二次方程的解.
难点: 探究( x－m)2=a的解的情况,具有分类 讨论的意识.
知识回顾
问题1.什么叫做平方根?用式子如何表示？ 如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫
做a的平方根。
若x2=a，则x叫做a的平方根。记作x=
即x= a 或x= a
问题如2：.9平的方平根方根有是哪_些_±__性_3_质2？45 的平方根是______
(1)一个正数有两个平方根，这两个平方根是互为相反 数的；(2)零的平方根是零； (3)负数没有平方根。
例1、解下列方程
（1）x2-1.21=0
（2）4x2-1=0
解：（1）移项，得x2=1.21
直接开平方法
1、一元二次方程的概念
等号两边都是整式，只含有一个未知数 （一元），并且未知数的最高次数是2 （二次）的方程，叫做一元二次方程.
2、一元二次方程的一般形式
ax2 bx c 0 （a 0)
1、判断下面哪些方程是一元二次方程
(1)x2 3x 4 x2 7 ×
首先将一元二次方程化为左边是含有未知数的一个 完全平方式，右边是非负数的形式，然后用平方根的 概念求解 .
3.任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？ 请举例说明.
练一练
1、下列解方程的过程中，正确的是（ D ）
(A)x2=-2,解方程，得x=± 2
(B)(x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4
●学习目标
• 1．理解解一元二次方程降次的转化思想； • 2．会利用直接开平方法解形如x2＝p或(mx
＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程； • 3.体会类比的思想；
重点: 能够熟练而准确的运用直接开平方法 求一元二次方程的解.
难点: 探究( x－m)2=a的解的情况,具有分类 讨论的意识.
知识回顾
问题1.什么叫做平方根?用式子如何表示？ 如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫
做a的平方根。
若x2=a，则x叫做a的平方根。记作x=
即x= a 或x= a
问题如2：.9平的方平根方根有是哪_些_±__性_3_质2？45 的平方根是______
(1)一个正数有两个平方根，这两个平方根是互为相反 数的；(2)零的平方根是零； (3)负数没有平方根。
例1、解下列方程
（1）x2-1.21=0
（2）4x2-1=0
解：（1）移项，得x2=1.21
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一元二次方程的解法
知识梳理
1.一元二次方程的概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数 是2的整式方程叫做一元二次方程.
2.关于x的一元二次方程的一般形式
ax2+bx+c=0,(a≠0)，其中a为二次项系数， b为一次项系数，c为常数项.
3.一元二次方程的解法
（1）基本思想：降次. （2）基本解法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配 方法. （3）求根公式 关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0,(a≠0)
【解析】x2 6x 10 x2 6x 9 1 (x 3)2 1, Q (x 3)2 0 ,(x-3)2 1 0, 不论x取何值,代数式x2 -6x 10的值总大于零, 当x-3 0时, 即x 3时, 代数式x2 -6x 10的值最小,最小值是1.
答案： x=0 或 x=1
答案：x= -1或 x=0
答案： x=4或 x 3 2
答案：x=3 或x= -3
答案：x= -5 或x=1
答案：x =3或 x 1 3
2.运用根的定义解题
例1：关于x的方程(m-3) xm2 7 -x+3=0为一元二次方程，那 么m的值为多少？ 【解析】m2-7=2且m-3≠0, 进而求出m的值为-3 .
例2：当m=?时关于x的方程2x2-mx+m-1=0有一个根为零. 【解析】把x=0代入方程中，解得m=1.
例3：如果α是关于x的方程x2-3x+m=0的一个根，-α是关于 x的方程x2+3x-m=0的一个根，那么α的值是多少?
【解析】由根的定义得： 2 3 m 0 (1) 2 3 m 0 (2)
解得:m=0, α=0或α=3
3.配方法的应用
思路导引：方程配方与二次三项式的配方的区别.
方程配方的关键：二次项系数化1时要在方程的两边同时
（等式性质） 除以二次项系数，配方时在方程的两 边加上一次项系数一半的平方.
二次三项式的配方：二次项系数化1时要提取二次项
（恒等变形）
系数，应该在一端同时加或减 相同的式子.
x b b2 4ac (b2 4ac 0). 2a
典例解析
1.一题多解 例1 解方程 2x2 7x 3 0
解法1 配方法
2(x2 7 x 3) 0, x2 7 x 3 0,
22
22
x2 7 x ( 7)2 3 ( 7)2,
2
4
24
(x 7)2 25 , 4 16
x
7 4
5 4
, x1
3,x 2
1. 2
解法2 因式分解法
(x-3)(2x-1)=0
x-3=0 或 2x-1=0
x1
3
,x 2
1 2
解法3 公式法
7 x
(7)2 4 2 3 7 5
22
4
x 7 5 或x 7 5
4
4
x1Leabharlann 3,x 21 2练习
解下列方程
1.x2 x 0 2.(x 1)2 (x 1) 0 3. 2 (x 1)2 7(x 1) 3 0 4. x2 9 0 5. (x 2)2 9 0 6. (x 2)2 (2x 1)2
9 例1：填空：x2-3x+__4___
=（ x 3 ）2 2
x2+6x-4=（ x 3 ）2 +_(__1_3)__
例2：当a=____ 时，x2+4x+a2-1 是完 全平方式.
【解析】b2-4ac=42-4（a2-1)=0
解得： a 5 答案： 5
例3：先用配方法说明：不论x取何值，代数式x2-6x+10 的值总大于零,再求出当 x取何值时，代数式x2-6x+10的 值最小，最小值是多少?
知识梳理
1.一元二次方程的概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数 是2的整式方程叫做一元二次方程.
2.关于x的一元二次方程的一般形式
ax2+bx+c=0,(a≠0)，其中a为二次项系数， b为一次项系数，c为常数项.
3.一元二次方程的解法
（1）基本思想：降次. （2）基本解法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配 方法. （3）求根公式 关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0,(a≠0)
【解析】x2 6x 10 x2 6x 9 1 (x 3)2 1, Q (x 3)2 0 ,(x-3)2 1 0, 不论x取何值,代数式x2 -6x 10的值总大于零, 当x-3 0时, 即x 3时, 代数式x2 -6x 10的值最小,最小值是1.
答案： x=0 或 x=1
答案：x= -1或 x=0
答案： x=4或 x 3 2
答案：x=3 或x= -3
答案：x= -5 或x=1
答案：x =3或 x 1 3
2.运用根的定义解题
例1：关于x的方程(m-3) xm2 7 -x+3=0为一元二次方程，那 么m的值为多少？ 【解析】m2-7=2且m-3≠0, 进而求出m的值为-3 .
例2：当m=?时关于x的方程2x2-mx+m-1=0有一个根为零. 【解析】把x=0代入方程中，解得m=1.
例3：如果α是关于x的方程x2-3x+m=0的一个根，-α是关于 x的方程x2+3x-m=0的一个根，那么α的值是多少?
【解析】由根的定义得： 2 3 m 0 (1) 2 3 m 0 (2)
解得:m=0, α=0或α=3
3.配方法的应用
思路导引：方程配方与二次三项式的配方的区别.
方程配方的关键：二次项系数化1时要在方程的两边同时
（等式性质） 除以二次项系数，配方时在方程的两 边加上一次项系数一半的平方.
二次三项式的配方：二次项系数化1时要提取二次项
（恒等变形）
系数，应该在一端同时加或减 相同的式子.
x b b2 4ac (b2 4ac 0). 2a
典例解析
1.一题多解 例1 解方程 2x2 7x 3 0
解法1 配方法
2(x2 7 x 3) 0, x2 7 x 3 0,
22
22
x2 7 x ( 7)2 3 ( 7)2,
2
4
24
(x 7)2 25 , 4 16
x
7 4
5 4
, x1
3,x 2
1. 2
解法2 因式分解法
(x-3)(2x-1)=0
x-3=0 或 2x-1=0
x1
3
,x 2
1 2
解法3 公式法
7 x
(7)2 4 2 3 7 5
22
4
x 7 5 或x 7 5
4
4
x1Leabharlann 3,x 21 2练习
解下列方程
1.x2 x 0 2.(x 1)2 (x 1) 0 3. 2 (x 1)2 7(x 1) 3 0 4. x2 9 0 5. (x 2)2 9 0 6. (x 2)2 (2x 1)2
9 例1：填空：x2-3x+__4___
=（ x 3 ）2 2
x2+6x-4=（ x 3 ）2 +_(__1_3)__
例2：当a=____ 时，x2+4x+a2-1 是完 全平方式.
【解析】b2-4ac=42-4（a2-1)=0
解得： a 5 答案： 5
例3：先用配方法说明：不论x取何值，代数式x2-6x+10 的值总大于零,再求出当 x取何值时，代数式x2-6x+10的 值最小，最小值是多少?