高中2017级第四次诊断性考试数学试卷(文科)

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2017年湖北省新联考高考数学四模试卷(文科)有答案

2017年湖北省新联考高考数学四模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．已知全集U={x|x=2n，n∈Z}，集合A={﹣2，0，2，4}，B={﹣2，0，4，6，8}，则∁U A）∩B=（）A．{2，8}B．{6，8}C．{2，4，6}D．{2，4，8}2．设复数z满足z（1+i）=i（i为虚数单位），则|z|=（）A．B．C．1 D．3．在[﹣1，2]内任取一个数a，则点（1，a）位于x轴下方的概率为（）A．B．C．D．4．若x＞2m2﹣3是﹣1＜x＜4的必要不充分条件，则实数m的取值范围是（）A．[﹣3，3]B．（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）D．[﹣1，1]5．已知圆O：x2+y2=4与直线y=x交于点A，B，直线y=x+m（m＞0）与圆O相切于点P，则△PAB的面积为（）A． +1 B． + C． +2 D．6．=（）A．B．C．D．17．已知定义[x]表示不超过的最大整数，如[2]=2，[2，2]=2，执行如图所示的程序框图，则输出S=（）A．1991 B．2000 C．2007 D．20088．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C． D．9．如图，四边形ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，且PC=PD=CD=2，BC=2，O，M分别为CD，BC的中点，则异面直线OM与PD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．10．过抛物线x2=4y在第一象限内的一点P作切线，切线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则点P到抛物线焦点F的距离为（）A．1 B．2 C．3 D．411．已知函数f（x）=6sinωxcosωx﹣8cos2ωx+3（ω＞0），y=f（x）+1的部分图象如图所示，且f （x0）=4，则f（x0+1）=（）A．6 B．4 C．﹣4 D．﹣612．设定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），若f（3）=1，且3f（x）+xf′（x）＞1，则不等式（x﹣2017）3f（x﹣2017）﹣27＞0的解集为（）A． B．（0，2014）C．（0，2020）D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量||=2，||=1，，的夹角为60°，如果⊥（+λ），则λ= ．14．已知点（x ，y）满足约束条件（其中a 为正实数），则z=2x ﹣y 的最大值为．15．已知函数f （x ）=，若f （a ）=f （b ）（0＜a ＜b ），则当取得最小值时，f （a +b ）= ．16．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且bcosC +ccosB=3acosB ，b=2，且△ABC的面积为，则a +c= ．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17．已知各项均为正数的等比数列{a n }满足：﹣a 3，a 2，a 4成等差数列．（1）若a 1=1，求{a n }的前n 项和S n（2）若b n =log 2a 2n +1，且数列{b n }的前n 项和T n =n 2+3n ，求a 1．18．某校高三子啊一次模拟考试后，为了解数学成绩是否与班级有关，对甲乙两个班数学成绩（满分150分）进行分析，按照不小于120分为优秀，120分以下为非优秀的标准统计成绩，已知从全班100人中随机抽取1人数学成绩优秀的概率为，调查结果如表所示．（2）根据列联表的数据，问是否有95%的把握认为“数学成绩与班级有关系”；（3）若按下面的方法从甲班数学成绩优秀的学生中抽取1人：把甲班数学成绩优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数和被记为抽取人的编号，求抽到的编号为6或10的概率．19．如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，CE⊥平面ABCD，CE=AB，PD=λCE（λ＞1）（1）求证：PE⊥AD（2）若该几何体的体积被平面BED分成V B﹣CDE ：V多面体ABDEP=1：4的两部分，求λ的值．20．在平面直角坐标系xOy中，过点M（0，1）的椭圆Γ：=1（a＞b＞0）的离心率为（1）求椭圆Γ的方程；（2）已知直线l不过点M，与椭圆Γ相交于P，Q两点，若△MPQ的外接圆是以PQ为直径，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．21．已知函数f（x）=a+（bx﹣1）e x，（a，b∈R）（1）如曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=x，求a，b的值；（2）若a＜1，b=2，关于x的不等式f（x）＜ax的整数解有且只有一个，求a的取值范围．[选修4-4：参数方程与极坐标系]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣4=0（1）若直线l与曲线C没有公共点，求m的取值范围；（2）若m=0，求直线l被曲线C截得的弦长．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣2a|+|x+|（1）当a=1时，求不等式f（x）＞4的解集；（2）若不等式f（x）≥m2﹣m+2对任意实数x及a恒成立，求实数m的取值范围．2017年湖北省新联考高考数学四模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．已知全集U={x|x=2n，n∈Z}，集合A={﹣2，0，2，4}，B={﹣2，0，4，6，8}，则∁U A）∩B=（）A．{2，8}B．{6，8}C．{2，4，6}D．{2，4，8}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】利用集合的基本运算即可得到结论．【解答】解：全集U={x|x=2n，n∈Z}，集合A={﹣2，0，2，4}，B={﹣2，0，4，6，8}，则（∁A）∩B={6，8}，U故选：B．2．设复数z满足z（1+i）=i（i为虚数单位），则|z|=（）A．B．C．1 D．【考点】复数求模．【分析】先求出复数z，然后利用求模公式可得答案．【解答】解：由z（1+i）=i得z===+i，则则|z|==，故选：B3．在[﹣1，2]内任取一个数a，则点（1，a）位于x轴下方的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】根据几何概型的概率公式即可得到结论．【解答】解：在[﹣1，2]内任取一个数a，则点（1，a）位于x轴下方的概率为=，故选：C．4．若x＞2m2﹣3是﹣1＜x＜4的必要不充分条件，则实数m的取值范围是（）A．[﹣3，3]B．（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）D．[﹣1，1]【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式之间的关系进行求解即可．【解答】解：x＞2m2﹣3是﹣1＜x＜4的必要不充分条件，∴（﹣1，4）⊆（2m2﹣3，+∞），∴2m2﹣3≤﹣1，解得﹣1≤m≤1，故选：D．5．已知圆O：x2+y2=4与直线y=x交于点A，B，直线y=x+m（m＞0）与圆O相切于点P，则△PAB的面积为（）A． +1 B． + C． +2 D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由点到直线的距离求得m的值，将直线代入圆的方程，求得切点P，利用点到直线的距离公式求得P到直线y=x的距离d，则△PAB的面积S=•丨AB丨•d．【解答】解：由直线y=x过圆心O，则丨AB丨=4，由y=x+m与圆相切，则=2，则m=±4，由m＞0，则m=4，由，解得：，则P（﹣，1），则点P到直线y=x的距离d==，∴△PAB的面积S=•丨AB丨•d=+，故选B．6．=（）A．B．C．D．1【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用三角函数的切化弦及辅助角公式、诱导公式对函数式化简即可得答案．【解答】解：===．故选：A．7．已知定义[x]表示不超过的最大整数，如[2]=2，[2，2]=2，执行如图所示的程序框图，则输出S=（）A．1991 B．2000 C．2007 D．2008【考点】程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，依次写出每次循环得到的i，S的值，当i=10时，退出循环，输出的S的值为2000．【解答】解：i=1，s=2017，i=2；s=2016，i=3；s=2016，i=3；s=2016，i=4，s=2016，i=5；s=2015，i=6；s=2010，i=7；s=2009，i=8；s=2008，i=9；s=2007，i=10；s=2000，跳出循环，输出s=2000，故选：B．8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A ．B ．C ．D ．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由题意，该几何体是由一个半圆柱与一个半球组成的组合体，其中半圆柱的底面半径为1，高为4，半球的半径为1，即可求出几何体的体积．【解答】解：由题意，该几何体是由一个半圆柱与一个半球组成的组合体，其中半圆柱的底面半径为1，高为4，半球的半径为1，几何体的体积为=π，故选C ．9．如图，四边形ABCD 为矩形，平面PCD ⊥平面ABCD ，且PC=PD=CD=2，BC=2，O ，M 分别为CD ，BC 的中点，则异面直线OM 与PD 所成角的余弦值为（）A ．B ．C ．D ．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】连接BD ，OB ，PB ，则OM ∥BD ，∠PDB 或其补角为异面直线OM 与PD 所成角，△PBD 中，由余弦定理可得cos ∠PDB ．【解答】解：连接BD ，OB ，PB ，则OM ∥BD ，∴∠PDB 或其补角为异面直线OM 与PD 所成角．由条件PO ⊥平面ABCD ，则OB=3，PO=，BD=2，PB=2，△PBD 中，由余弦定理可得cos ∠PDB==，故选：C ．10．过抛物线x2=4y在第一象限内的一点P作切线，切线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则点P到抛物线焦点F的距离为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】抛物线的简单性质．【分析】确定点（a，a2）处的切线方程，进而可求切线与两坐标轴围成的三角形的面积，即可求得a的值，利用抛物线的定义，可得结论．【解答】解：抛物线x2=4y，即y=x2，求导数可得y′=x，所以在点（a，a2）处的切线方程为：y﹣a2=a（x﹣a），令x=0，得y=﹣a2；令y=0，得x=a．所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积S=，∴a=2，∴P（2，1），∴|PF|=1+1=2．故选B．11．已知函数f（x）=6sinωxcosωx﹣8cos2ωx+3（ω＞0），y=f（x）+1的部分图象如图所示，且f （x0）=4，则f（x0+1）=（）A．6 B．4 C．﹣4 D．﹣6【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数中的恒等变换应用．【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=5sin（2ωx﹣φ）﹣1，其中sinφ=，cosφ=，由函数图象可求周期T ，由f （x 0）=4，利用正弦函数的对称性可求sin [2ω（x 0+1）﹣φ）=﹣1，利用正弦函数的周期性进而可求f （x 0+1）的值．【解答】解：∵f （x ）=6sinωxcosωx ﹣8cos 2ωx +3 =3sin2ωx ﹣4cos2ωx ﹣1=5sin （2ωx ﹣φ）﹣1，其中sinφ=，cosφ=，∴设函数f （x ）的最小正周期为T ，则T=（θ+）﹣θ=，可得：T=2，∵f （x 0）=4，可得：sin （2ωx 0﹣φ）=1，即f （x ）关于x=x 0对称，而x=x 0+1与x=x 0的距离为半个周期，∴sin [2ω（x 0+1）﹣φ）=﹣1，∴f （x 0+1）=5sin [2ω（x 0+1）﹣φ]﹣1=5×（﹣1）﹣1=﹣6．故选：D ．12．设定义在R 上的可导函数f （x ）的导函数为f′（x ），若f （3）=1，且3f （x ）+xf′（x ）＞1，则不等式（x ﹣2017）3f （x ﹣2017）﹣27＞0的解集为（） A ． B ．（0，2014） C ．（0，2020） D ．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【分析】令g （x ）=x 3f （x ），判断出g （x ）在（0，+∞）递增，原不等式转化为g （x ﹣2017）＞g （3），解出即可．【解答】解：∵3f （x ）+xf′（x ）＞1， ∴3x 2f （x ）+x 3f′（x ）＞x 2＞0，故[x 3f （x ）]′＞0，故g （x ）=x 3f （x ）在（0，+∞）递增， ∵（x ﹣2017）3f （x ﹣2017）﹣27f （3）＞0， ∴（x ﹣2017）3f （x ﹣2017）＞33f （3），即g （x ﹣2017）＞g （3），故x ﹣2017＞3，解得：x ＞2020，故原不等式的解集是，故选：D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量||=2，||=1，，的夹角为60°，如果⊥（+λ），则λ= ﹣4 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量的垂直的条件以及数量积运算即可求出【解答】解：向量||=2，||=1，，的夹角为60°，∵⊥（+λ），∴•（+λ）=0，∴2+λ=0，即4+λ×2×1×=0，解得λ=﹣4，故答案为：﹣414．已知点（x，y）满足约束条件（其中a为正实数），则z=2x﹣y的最大值为4．【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解即可．【解答】解：点（x，y）满足约束条件（其中a为正实数），可行域如图：目标函数的z=2x﹣y在B处取得最大值，由可得B（，）．所以z的最大值为：2×=10，解得a=4．故答案为：4．15．已知函数f（x）=，若f（a）=f（b）（0＜a＜b），则当取得最小值时，f（a+b）=1﹣2lg2．【考点】基本不等式．【分析】根据函数的性质可得ab=1，再根据基本不等式得到当取得最小值，a，b的值，再代值计算即可【解答】解：由f（a）=f（b）可得lgb=﹣lga，即lgab=0，即ab=1，则==4a+b≥2=4，当且仅当b=4a时，取得最小值，由，可得a=，b=2，∴f（a+b）=f（）=lg=1﹣2lg2，故答案为：1﹣2lg2．16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC+ccosB=3acosB，b=2，且△ABC的面积为，则a+c=4．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sinA=3sinAcosB，结合sinA＞0，解得cosB=，利用同角三角函数基本关系式可求sinB，利用三角形面积公式可求ac的值，进而利用余弦定理可求a+c的值．【解答】解：∵由正弦定理有：，①由已知bcosC+ccosB=3acosB，②∴sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA=3sinAcosB，∴由于sinA＞0，解得：cosB=，∵B是△ABC的角，∴B∈[0，π]，可得：sinB==，∵△ABC的面积为=acsinB=，∴解得：ac=，∴由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，可得：4=a2+c2﹣ac，解得：a2+c2=4+3=7，∴a+c====4．故答案为：4．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17．已知各项均为正数的等比数列{a n}满足：﹣a3，a2，a4成等差数列．（1）若a1=1，求{a n}的前n项和S n（2）若b n=log2a2n+1，且数列{b n}的前n项和T n=n2+3n，求a1．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）只需要根据：﹣a3，a2，a4成等差数列建立方程求出公比，再代入等比数列的求和公式即可，（2）先求出数列{b n}的通项公式，再利用等差数列的求和公式求出T n，利用已知条件建立方程即可求出a1．【解答】解：（1）设{a n}的公比为q，由条件可知q＞0，由﹣a3，a2，a4成等差数列，∴2a2=﹣a3+a4，∴2=q2﹣q，解得q=2或q=﹣1（舍去），又a1=1，∴{a n}的前n项和S n==2n﹣1；（2）由（1）可知，a n=a1•2n﹣1，则b n=log2a2n+1=2n+log2a1，∴T n=+nlog2a1=n2+3n∴log2a1=2，∴a1=418．某校高三子啊一次模拟考试后，为了解数学成绩是否与班级有关，对甲乙两个班数学成绩（满分150分）进行分析，按照不小于120分为优秀，120分以下为非优秀的标准统计成绩，已知从全班100人中随机抽取1人数学成绩优秀的概率为，调查结果如表所示．（2）根据列联表的数据，问是否有95%的把握认为“数学成绩与班级有关系”；（3）若按下面的方法从甲班数学成绩优秀的学生中抽取1人：把甲班数学成绩优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数和被记为抽取人的编号，求抽到的编号为6或10的概率．【考点】独立性检验的应用．【分析】（1）根据题中所给条件，计算出两班数学成绩优秀的总人数为30，从而确定乙班数学成绩优秀的人数，进而得到甲班数学成绩非优秀的人数；（2）计算观测值K 2，对比临界值即可判断其关联性；（3）利用列举法求出基本事件数，计算对应的概率值．【解答】解：（1）数学考试优秀人数有100×=30人，所以乙班优秀人数为30﹣10=20人；补充完整列联表如下：（2）计算观测值K 2=≈4.762＞3.841，∵P （K 2＞3.841）=0.05， ∴1﹣0.05=95%，∴有95%的把握认为“成绩与班级有关系”；（3）记事件“抽到6号或10号”为事件A ，则所有的基本事件是（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），…，（6，6）共36个，其中事件A 包含的基本事件是（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），（4，6），（5，5），（6，4）共8个；故所求的概率为P （A ）==．19．如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，CE ⊥平面ABCD ，CE=AB ，PD=λCE （λ＞1）（1）求证：PE ⊥AD（2）若该几何体的体积被平面BED 分成V B ﹣CDE ：V 多面体ABDEP =1：4的两部分，求λ的值．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）证明：AD ⊥平面PDCE ，即可证明PE ⊥AD ；（2）分别求出体积，利用V B ﹣CDE ：V 多面体ABDEP =1：4，求λ的值．【解答】（1）证明：∵ABCD 是正方形，∴AD ⊥CD ， ∵PD ⊥平面ABCD ，∴AD ⊥PD ， ∵PD ∩CD=D ， ∴AD ⊥平面PDCE ， ∵PD ⊂平面PDCE ， ∴PE ⊥AD（2）解：设AB=a ，则AD=CE=a ，V B ﹣CDE ==，V 多面体ABDEP =V B ﹣PDE +V P ﹣ABD ==，∵V B ﹣CDE ：V 多面体ABDEP =1：4，∴λ=2．20．在平面直角坐标系xOy 中，过点M （0，1）的椭圆 Γ：=1（a ＞b ＞0）的离心率为（1）求椭圆 Γ的方程；（2）已知直线l 不过点M ，与椭圆 Γ相交于P ，Q 两点，若△MPQ 的外接圆是以PQ 为直径，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由过点M（0，1）的椭圆Γ：=1（a＞b＞0）的离心率为，得到a，b，c的方程组，解方程组求出a，b，由此能求出椭圆方程．（2）△MPQ的外接圆以PQ为直径，可得到MP⊥MQ，设直线MP方程，代入椭圆方程，求出点P的坐标，同理求出Q点坐标，从而求出直线PQ的方程，即可求出直线PQ过定点的坐标．【解答】解：（1）∵过点M（0，1）的椭圆Γ：=1（a＞b＞0）的离心率为，∴，解得a2=3，b=1，∴椭圆Γ的方程为．（2）证明：∵△MPQ外接圆是以PQ为直径，故MP⊥MQ，∴直线MP与坐标轴不垂直，由M（0，1）可设直线MP的方程为y=kx+1，直线MQ的方程为y=﹣（k≠0），将y=kx+1代入椭圆Γ的方程，整理，得；（1+3k2）x2+6kx=1，解得x=0，或x=﹣，∴P（﹣，﹣+1），即P（﹣，），同理，求得Q（，），∴直线l的方程为y=（x﹣）+，化简，得直线l的方程为y=，∴直线l过定点（0，﹣）．21．已知函数f（x）=a+（bx﹣1）e x，（a，b∈R）（1）如曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=x，求a，b的值；（2）若a＜1，b=2，关于x的不等式f（x）＜ax的整数解有且只有一个，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）由曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线方程为y=x，得，求出a，b 的值即可；（2）构造函数，通过对构造的函数求导并分类讨论，即可得出a的范围．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域是R，f′（x）=be x+（bx﹣1）e x=（bx+b﹣1）e x，∵曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=x，∴，∴，解得：；（2）当b=2时，f（x）=a+（2x﹣1）e x，（a＜1），关于x的不等式f（x）＜ax的整数解有且只有一个，等价于关于x的不等式a+（2x﹣1）e x﹣ax＜0的整数解有且只有1个，构造函数F（x）=a+（2x﹣1）e x﹣ax，x∈R，故F′（x）=e x（2x+1）﹣a，1°x≥0时，∵e x≥1，2x+1≥1，故e x（2x+1）≥1，又a＜1，故F′（x）＞0，故F（x）在（0，+∞）递增，∵F（0）=﹣1+a＜0，F（1）=e＞0，∴在[0，+∞）存在唯一整数x0，使得F（x0）＜0，即f（x0）＜ax0；2°当x＜0时，为满足题意，函数F（x）在（﹣∞，0）上不存在整数使得F（x）＜0，即F（x）在（﹣∞，﹣1]上不存在整数使得F（x）＜0，∵x≤﹣1，∴e x（2x+1）＜0，①当0≤a＜1时，函数F′（x）＜0，∴F（x）在（﹣∞，﹣1]递减，∴≤a＜1；②当a＜0时，F（﹣﹣1）=﹣+2a＜0，不合题意，综上，a的范围是[，1）．[选修4-4：参数方程与极坐标系]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣4=0（1）若直线l与曲线C没有公共点，求m的取值范围；（2）若m=0，求直线l被曲线C截得的弦长．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，直线l的参数方程为，代入并整理可得t2+（m﹣1）t+m2﹣4=0，利用直线l与曲线C没有公共点，即可求m的取值范围；（2）若m=0，若m=0，直线l的极坐标方程为θ=，代入C的极坐标方程并整理可得ρ2﹣ρ﹣4=0，利用极径的意义求直线l被曲线C截得的弦长．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程对应的直角坐标方程为x2+y2﹣2x﹣4=0，即（x﹣1）2+y2=5直线l的参数方程为，代入并整理可得t2+（m﹣1）t+m2﹣4=0∵直线l与曲线C没有公共点，∴△=（m﹣1）2﹣4（m2﹣4）＜0，∴m＜﹣﹣2或m＞﹣+2；（2）若m=0，直线l的极坐标方程为θ=，代入C的极坐标方程并整理可得ρ2﹣ρ﹣4=0．直线l被曲线C截得的弦的端点的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1+ρ2=1，ρ1ρ2=﹣4，∴直线l被曲线C截得的弦长=|ρ1﹣ρ2|==．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣2a|+|x+|（1）当a=1时，求不等式f（x）＞4的解集；（2）若不等式f（x）≥m2﹣m+2对任意实数x及a恒成立，求实数m的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）当a=1时，分类讨论，求不等式f（x）＞4的解集；（2）f（x）=|x﹣2a|+|x+|≥|2a+|=|2a|+||，利用不等式f（x）≥m2﹣m+2对任意实数x及a恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）当a=1时，不等式f（x）＞4为|x﹣2|+|x+1|＞4．x＜﹣1时，不等式可化为﹣（x﹣2）﹣（x+1）＞4，解得x＜﹣，∴x＜﹣；﹣1≤x≤2时，不等式可化为﹣（x﹣2）+（x+1）＞4，不成立；x＞2时，不等式可化为（x﹣2）+（x+1）＞4，解得x＞，∴x＞；综上所述，不等式的解集为{x|x＜﹣或x＞}；（2）f（x）=|x﹣2a|+|x+|≥|2a+|=|2a|+||，不等式f（x）≥m2﹣m+2对任意实数x及a恒成立，∴2m2﹣m+2，∴0≤m≤1．。

2017届高三上学期四调数学(文科)试卷(附答案与解析)

i ，则复数 z 的共轭复数 z 在复平面内对应的点在（, 1 ⎫A ．，⎪B ． 0， ⎪⎭ D ． 0， ⎪⎛ 3 ⎫ ⎛ 3 ⎫ ⎛ 1 ⎫ ⎛⎝ 12 ,0 ⎪4 ⎭C ． 2B ． -8B ．x 2 + a 的图象可能是（河北省衡水中学 2017 届高三上学期四调数学（文科）试卷一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数 z = -2i + 3 - i）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设 A ， B 是全集 I = {1,2,3,4 }的子集， A = {1,2}，则满足 A ⊆ B 的 B 的个数是（A ．5B ．4C ．3D ．23．抛物线 y = 3x 2的焦点坐标是（）0 ⎝ 4 ⎭⎝ ⎝ 12 ⎭4．设向量 a = (-1,2 ) ， b = (m ,1) ，若向量 a + 2b 与 2a - b 平行，则 m = （））A ． - 71 2 C ． 3 2 D ．525．圆 x 2 + y 2 = 1 与直线 y = kx - 3 有公共点的充分不必要条件是（）A ． k ≤ -2 2或k ≥ -2 2B ． k ≤ -2 2C ． k ≥ 2D ． k ≤ -2 2或k ≥ 26．设等比数列 {a n }的前 n 项和为 Sn，若 a = 3 ，且 a32016+ a2017= 0 ，则 S 等于（101）A ．3B ．303C ．﹣3D ．﹣303 7．阅读如图所示程序框图，运行相应程序，则输出的 S 值为（）A ． - 11 8 C ．1 16D ． 1328．函数 f (x ) = x）1 25555:1A ．(1)(3)B ．(1)(2)(4)C ．(2)(3)(4)D ．(1)(2)(3)(4)9．在四棱锥 P - ABCD 中，底面 ABCD 是正方形， P A ⊥ 底面 ABCD ， P A = AB = 4 ， E ， F ， Q 分别是棱 PB ， BC ， PD 的中点，则过 E ， F ， H 的平面截四棱锥 P ﹣ABCD 所得截面面积为（）A ． 2 6B ． 4 6C ． 5 6D ． 2 3 + 4 610．设 F ，F 是椭圆 E 的两个焦点，P 为椭圆 E 上的点，以 PF 为直径的圆经过 F ，若 tan ∠PF F =12 1 2则椭圆 E 的离心率为（）A ．B ．C ．D ．6 5 4 32 5 15，11．四棱锥 P - ABCD 的三视图如图所示，四棱锥 P - ABCD 的五个顶点都在一个球面上， E 、 F 分别是棱 AB ， CD 的中点，直线 EF 被球面所截得的线段长为 2 2 ，则该球表面积为（）A ．12 πB ． 24πC ． 36πD ． 48π12．已知抛物线C ：y 2 = 4x 的焦点为 F ，定点 A (0,- 2 )，若射线 F A 与抛物线 C 交于点 M ，与抛物线C 的准线交于点 N ，则 MN : FN 的值是（）A ．( 5 - 2)5 B ． 2 : 5 C ．1: 2 5D ． 5 : ( + 5 )）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13．已知直线 l : (m + 1)x + 2 y + 2m - 2 = 0 ， l : 2 x + (m - 2 ) y + 2 = 0 ，若直线 l ∥l ，则 m = ________．121214．在 △ABC 中，角 A 、 B 、C 所对的边分别为 a ，b ，c ，且 A = 3C ，c = 6 ，(2a - c )cosB - b cosC = 0 ，则 △ABC 的面积是________．y ≥ 0 15．若不等式组 ⎨表示的平面区域是一个四边形，则实数 a 的取值范围是________． 1] ），且 S = 2n 2 + n ， n ∈ N * ，数列 {b }满足 a = 4log b n + 3 ， n ∈ N * ．18．设 f (x ) = 4sin 2 x - ⎪+ 3 ．(1)求 f (x ) 在 ⎢0, ⎥ 上的最大值和最小值； = 1(a > b > 0)的短轴长为 2，离心率为，直线 l 过点 (-1,0 ) 交椭圆 E 于 A 、 B ⎧ x ≥ 1 ⎪ ⎪⎪2 x + y ≤ 6 ⎪⎩ x + y ≤ a16．已知函数 f (x ) = e x + ae x， (a ∈ R ) 在区间 [0，上单调递增，则实数 a 的取值范围是________．三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列{a n}的 n 项和为 S nn n n 2(1)求 a ， b ；nn (2)求数列 {a b nn}的前 n 项和 T n．⎛ π ⎫ ⎝2 ⎭⎡ π ⎤ ⎣ 2 ⎦(2)把 y = f (x )的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），再把得到的图像向左平移2π 3个单位，得到函数 y = y = f (x )的图像，求 y = f (x ) 的单调减区间．19．如图所示的几何体 Q PABCD 为一简单组合体，在底面 ABCD 中，∠DAB = 60︒ ，AD ⊥ DC ，AB ⊥ BC ，QD ⊥ 平面 ABCD ， P A ∥QD ， P A = 1 ， AD = AB = QD = 2 ．(1)求证：平面 PAB ⊥ 平面 QBC ； (2)求该组合体 QPABCD 的体积．20．已知椭圆 E : x 2 y 2 6 +a 2b 2 3两点， O 为坐标原点．(1)求椭圆 E 的方程；(2)求 △OAB 面积的最大值．21．已知函数 f (x ) = ln x - a 2 x 2 = ax ， a ∈ R ，且 a ≠ 0 ．极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为 ρ = 2cos θ - ⎪ ．(2)若直线 l 与曲线 C 交于 A ， B 两点，设点 P  0， ⎪⎪ ，求 P A + PB ．⎫(1)若函数 f (x ) 在区间[1，+∞）上是减函数，求实数 a 的取值范围；(2)设函数 g (x ) = (3a +1)x - (a 2 + a )x 2 ，当 x > 1 时， f (x ) < g (x ) 恒成立，求 a 的取值范围．[选修 4-4：坐标系与参数方程]⎧ ⎪22．已知直线 l 的参数方程为 ⎨ ⎪ y = ⎩ x = t 2+ 3t 2 （ t 为参数），若以直角坐标系 xOy 的 O 点为极点， Ox 方向为⎛π ⎝4 ⎭(1)求直线 l 的倾斜角和曲线 C 的直角坐标方程；⎛ 2 ⎫ ⎝ 2 ⎭[选修 4-5：不等式选讲]23．设函数 f (x ) = 2 x + 1 - x - 2 ．(1)求不等式 f (x ) > 2 的解集；(2) ∀x ∈ R ，使 f (x ) ≥ t 2 - 11t ，求实数 t 的取值范围．2）⎥⎦ = = (4n - 1) 2n - ⎡⎣3 + 4 2n - 2 ⎤⎦ = (4n - 5) 2n + 5河北省衡水中学 2017 届高三上学期四调数学（文科）试卷答案一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分．1~5．BBDBB6~10．ABCCD 11~12．AD二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13．﹣214．18 3 15．（3，5）16． a ∈ [-1,1]三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：（Ⅰ）由 S = 2n 2 + n 可得，当 n = 1 时， a = S = 3n11当 n ≥ 2 时， a = S - Snnn -1= 2n 2+ n - 2 (n - 1)2 - (n - 1) = 4n - 1而 n = 1 ， a = 4 - 1 = 3 适合上式，1故 a = 4n - 1 ，n又∵ a = 4log b n + 3 = 4n - 1n2∴ b = 2n -1n（Ⅱ）由（Ⅰ）知， a b = (4n - 1) 2n -1n nT = 3 ⨯ 20 + 7 ⨯ 2 +n2T = 3 ⨯ 2 + 7 ⨯ 22 +n+ (4n - 1) 2n -1+ (4n - 5) 2n∴ T n = (4n - 1) 2n - ⎡⎣3 + 4(2 + 22 + + 2n -1)⎤⎦⎡= (4n - 1) 2n - ⎢3 + 4⎢⎣2 (1 - 2n -1 )⎤ ⎥ 1 - 2()18．解：(1) f (x ) = 4sin 2 x - ⎪+ 3 ．sin 2x - ⎪ = 1 时， f (x ) 取得最大值 4 + 3 ； sin 2x -⎪ = -1 时，函数 f (x ) 取得最小值 4 - 3 ． (2)把 y = f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），得到 y = 4sin x - ⎪ + 3 的π ⎫ 3 ⎭ 个单位，得到 y = 4sin x + ⎪ + 3 的图象． g (x )= 4sin x + ⎪ + 3 ．由 2k π + π7π ⎤( ) ∴ g (x) 的单调减区间是 ⎢2k π + ,2 k π + ⎥ k ∈ Z ．⎛ π ⎫ ⎝3 ⎭⎛ ⎛ π ⎫ ⎝ ⎝3 ⎭⎛ π ⎫ ⎝3 ⎭图象．再把得到的图象向左平移 2π⎛ π ⎫3 ⎝ 3 ⎭∴⎛ π ⎫ ⎝ 3 ⎭π 3π π 7π≤ x + ≤ 2k π + ⇒ 2k π + ≤ x ≤ 2k π + ． 2 3 2 6 6⎡π ⎣66 ⎦19．证明：(1)∵ QD ⊥ 平面 ABCD ， P A QD ，∴ P A ⊥ 平面 ABCD ，又∵ BC ⊂ 平面 ABCD ，∴ P A ⊥ BC ，又 BC ⊥ AB ， P A ⊂ 平面 PAB ⊥ ， AB ⊂ 平面 PAB ⊥ ， P A∴ BC ⊥ 平面 PAB ，又∵ BC ⊂ 平面 QBC ，解：(2)连接 BD ，过 B 作 BO ⊥ AD 于 O ，∵ P A ⊥ 平面 ABCD ， BO ⊂ 平面 ABCD ，AB=A，又BO⊥AD，AD⊂AD平面P ADQ，P A⊂平面P ADQ，P A AB=A，∴BO⊥平面P ADQ，∵AD=AB=2，∠DAB=60，∴ABC是等边三角形，∴BO=3．∴VB-P ADQ1=S3梯形P ADQ1132∵∠ADC=∠ABC=90∴∠CBD=∠CDB=30︒，又BD=AB=2，∴BC=CD=233，6/22BO=⨯⨯(1+2)⨯2⨯3=3．= ⨯ 2 ⨯ ⨯ sin30︒ ．= ． ⎩ + y = 2mm 2 + 3 m 2 + 323= -3 - ⎪ + ， 1 1 6 1 -2a 2 x + ax + 1 - (2ax + 1)(ax - 1)①当 a = 0 时， f '(x ) = > 0 ，∴ SBCD 1 2 32 3∵ QD ⊥ 平面 ABCD ，∴ V Q -BCD 1 = S 3 BCD 1 3 2 3QD = ⨯ ⨯ 2 =3 3 9 ．∴该组合体的体积V = V Q -BCD+ V 11 39⎧ c 6 ⎪ =20．解：(1)由题意得 b = 1 ，由 ⎨ a 3 得 a = 3 ， c = 2 ， b = 1 ，⎪a 2 = 1 + c 2x 2∴椭圆 E 的方程为 + y 2 = 1 ；3(2)依题意设直线 l 的方程为 x = my - 1 ，联立椭圆方程，得 (m 2 + 3)y 2 - 2my - 2 = 0 ，设 A (x , y )， B (x , y1122)，则 y1 ， y y =-2 1 2 2，S△AOB 1= ⨯1⨯ y - y =1 2 3m 2 + 6(m 2+ 3)，设 m 2 + 3 = t (t ≥ 3)，则△SAOB⎛ 1 1 ⎫23 ⎝ t 2 ⎭ 41 1∵ t ≥ 3 ，∴ 0 < ≤ t 3，∴当 = ，即 t = 3 时， OAB 面积取得最大值为，此时 m = 0 ．t 3 321．解：(1)∵ f (x ) = ln x - a 2 x 2 = ax ，其定义域为（0，+∞），∴ f '(x ) = - 2a 2 x + a = =x x x1 x∴ f (x ) 在区间（0，+∞）上为增函数，不合题意．．a．此时f(x)的单调递减区间为，∞⎪．⎛1⎫⎪≤1此时f(x)的单调递减区间为⎝2a,+∞⎪．2a≤1解之，得a≤-1⎩1⎤[综上所述，实数a的取值范围是 -∞,-⎥1,+∞)．()x-1<0h′x）=②当a>0时，f'(x)<0(x>0)等价于(2ax+1)(ax-1)>0(x>0)，即x>1+⎝a⎭⎧1依题意，得⎨a⎪⎩a>0解之，得a≥1．③当a<0时，f'(x)<0(x>0)等价于(2ax+1)(ax-1)>0(x>0)，即x>-1 2a⎛1⎫⎭．⎧1⎪-依题意，得⎨⎪a<02．⎛⎝2⎦(2)∵g(x)=(3a+1)x-a2+a x2，∴f(x)-g(x)=ln x-(2a+1)x+ax2<0，即ln x-x<2ax-ax2，在[1,+∞)恒成立，设h(x)=ln x-x，则h'(x)=1（1x﹣1＜0恒成立，∴h(x)在(1,+∞)为减函数，∴h(x)<h(1)=-1，∴ax2-2ax-1<0，在(1,+∞)上恒成立，设ϕ(x)=ax2-2ax-1当a=0时，-1<0，符合题意，当a>0时，显然不满足题意，当a<0，由于对称轴x=1，则ϕ(1)<0，即a-2a-1<0，解得-1<a<0，综上所述，a的取值范围为(-1,0]．由曲线 C 的极坐标方程得到： ρ 2 = 2ρcos θ - ⎪ ，利用 ρ 2 = x 2 + y 2 ，得到曲线 C 的直角坐标方程为x - + y - 2 ⎪⎭ 2 ⎪⎭(2)点 P  0， ⎪⎪ 在直线 l 上且在圆 C 内部，所以 P A + PB = AB ， ⎪⎪ 到直线 l 的距离 d = 6 ．所以 AB = 10 ，即 P A + PB = 10 所以圆心 - x - 3, x < - 2 23．解：(1) f (x ) = ⎨3x - 1,- ≤ x < 2 2{ }= - ，若 ∀x ∈ R ， f (x ) ≥ t 2 -22．解 (1)直线的斜率为 3 ，直线 l 倾斜角为π3⎛ π ⎫ ⎝4 ⎭⎛ 2 ⎫2 ⎛ 2 ⎫2= 1⎝⎝⎛ 2 ⎫ ⎝ 2 ⎭直线 l 的直角坐标方程为 y = 2 2+ 3x⎛ 2 2 ⎫ ⎝ 2 2 ⎭4 2 2⎧1 ⎪ ⎪⎪1⎪⎪ x + 3, x ≥ 2 ⎪ ⎩当 x <- 1 2， - x - 3 > 2 ， x < -5 ，∴ x < -5当 - 1 2≤ x < 2 ， 3x - 1 > 2 ， x > 1 ，∴1 < x < 2当 x ≥ 2 ， x + 3 > 2 ， x > -1 ，∴ x ≥ 2综上所述 x x > 1或x < -5 ．(2)由(1)得 f (x ) min5 2 11 2t 恒成立，则只需 f (x ) min 5 11 1= - ≥ t 2 - t ⇒ 2t 2 - 11t + 5 ≤ 0 ⇒ ≤ t ≤ 5 ，2 2 2综上所述 1 2≤ t ≤ 5 ．河北省衡水中学2017届高三上学期四调数学（文科）试卷解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．1．【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出．【解答】解：复数z=﹣2i+=﹣2i+=﹣2i﹣3i﹣1=﹣1﹣5i，则复数z的共轭复数=﹣1+5i在复平面内对应的点（﹣1，5）在第二象限．故选：B．2．【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】由题意可知：集合B中至少含有元素1，2，即可得出．【解答】解：A，B是全集I={1，2，3，4}的子集，A={l，2}，则满足A B的B为：{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}．故选：B．3．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先把方程化为标准方程，可知焦点在y轴上，进一步可以确定焦点坐标．【解答】解：化为标准方程为x，∴2p=，∴=，∴焦点坐标是（0，）．故选D4．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】根据题意，由向量、的坐标计算可得与2的坐标，进而由向量平行的坐标计算公式可得（﹣2﹣m）×4=3×（﹣1+2m），解可得m的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，向量=（﹣1，2），=（m，1），则若向量=（﹣1+2m，4），2与2=（﹣2﹣m，3），平行，则有（﹣2﹣m）×4=3×（﹣1+2m），解可得 m=﹣ ；故选：B ．5．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先求出圆 x 2+y 2=1 与直线 y=kx ﹣3 有公共点的等价条件，然后根据充分不必要条件的定义进行判断．【解答】解：若直线与圆有公共点，则圆心到直线 kx ﹣y ﹣3=0 的距离 d=，即，∴k 2+1≥9，即 k 2≥8，∴k或 k ，∴圆 x 2+y 2=1 与直线 y=kx ﹣3 有公共点的充分不必要条件是 k，故选：B ．6．【考点】等比数列的前 n 项和；等比数列的通项公式．【分析】由等比数列的通项公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出 S 101．【解答】解：∵等比数列{a n }的前 n 项和为 S n ，a 3=3，且 a 2016+a 2017=0，∴，解得 a 1=3，q=﹣1，∴a 101==3×（﹣1）100=3．故选：A ．7．【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次进行循环体后，S=cos ，n=1 不满足输出的条件，则 n=2，S=cos•cos ；当 n=2，S=cos•cos 时，不满足输出的条件，则 n=3，S=cos •cos•cos；当 n=3，S=cos•cos•cos 时，满足输出的条件，故 S=cos•cos•cos=sin= = =sinsinsin•cos•cos•cos•cos÷sin•cos•cos÷sin÷sin÷sin=故选：B8．【考点】函数的图象．【分析】分别令a=0，a＞0，a＜0，根据导数和函数的单调性即可判断．【解答】解：f（x）=，可取a=0，f（x）==，故(4)正确；∴f′（x）=，当a＜0时，函数f′（x）＜0恒成立，x2+a=0，解得x=±故函数f（x）在（﹣∞，﹣），（﹣，），（，+∞）上单调递减，故(3)正确；取a＞0，f′（x）=0，解得x=±当f′（x）＞0，即x∈（﹣，当f′（x）＜0，即x∈（﹣∞，﹣，）时，函数单调递增，），（，+∞）时，函数单调递减，故(2)正确函数f（x）=的图象可能是(2)，(3)，(4)，故选：C9．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面的基本性质及推论．【分析】取CD的中点G，PA的四等分点I，顺次连接E，F，G，H，I，则平面EFGHI即为过E，F，H 的平面截四棱锥P﹣ABCD所得截面，求其面积，可得答案．【解答】解：取CD的中点G，PA的四等分点I，顺次连接E，F，G，H，I，则平面EFGHI即为过E，F，H的平面截四棱锥P﹣ABCD所得截面，如图所示：∵四棱锥 P ﹣ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，PA ⊥底面 ABCD ，P A=AB=4，∴EF=HG= PC=2EH=FG= BD=2且 EF ∥HG ∥PC ，且 EH ∥FG ∥BD ，故四边形 EFGH 为矩形，面积是 4 ，△EIH 中，EI=HI=故△EIH 的面积为，故 EH 上的高 IJ=，，即平面 EFGHI 的面积为 5，故选：C ．10.【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意画出图形，结合已知及椭圆定义把|PF 1|、|PF 2|用 a ，c 表示，再由勾股定理求得答案．【解答】解：如图，∵以 PF 1 为直径的圆经过 F 2，∴PF 2⊥F 1F 2，又 tan ∠PF 1F 2= ，∴，则由|PF 1|+|PF 2|=2a ，得|PF 1|=，，在 △Rt PF 2F 1 中，得，即，解得：或（舍）．∴椭圆 E 的离心率为．故选：D．11．【考点】球内接多面体；由三视图还原实物图．【分析】将三视图还原为直观图，得四棱锥P﹣ABCD的五个顶点位于同一个正方体的顶点处，且与该正方体内接于同一个球．由此结合题意，可得正文体的棱长为2，算出外接球半径R，再结合球的表面积公式，即可得到该球表面积．【解答】解：将三视图还原为直观图如右图，可得四棱锥P﹣ABCD的五个顶点位于同一个正方体的顶点处，且与该正方体内接于同一个球．且该正方体的棱长为a设外接球的球心为O，则O也是正方体的中心，设EF中点为G，连接OG，OA，AG，即正方体面对角线长也是2，根据题意，直线EF被球面所截得的线段长为2∴得AG==a，所以正方体棱长a=2∴△Rt OGA中，OG=a=1，AO=，即外接球半径R=，得外接球表面积为4πR2=12π．故选A．12．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线C的焦点F的坐标，从而得到AF的斜率k=2．过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|．△Rt MPN中，根据tan∠NMP=k=2，从而得到|PN|=2|PM|，进而算出|MN|=|PM|，再求得|FN|=|MN|+|MF|=|MN|+|PM|=（）|PM|，则答案可求．【解答】解：∵抛物线 C ：y 2=4x 的焦点为 F （1，0），点 A 坐标为（0，﹣2），∴抛物线的准线方程为 l ：x=1，直线 AF 的斜率为 k=2，过 M 作 MP ⊥l 于 P ，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|，∵△Rt MPN 中，tan ∠NMP=k=2，∴得|MN|=，可得|PN|=2|PM|，|PM|，而|FN|=|MN|+|MF|=|MN|+|PM|=（）|PM|，∴|MN|：|FN|=：（1+ ），故选：D ．二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】根据直线的平行关系得到关于 m 的方程，解出即可．【解答】解：直线 l 1：（m+1）x+2y+2m ﹣2=0，l 2：2x+（m ﹣2）y +2=0，m=2 时，l 1：3x+2y+2=0，l 2：x+1=0，不合题意，m≠2 时，若直线 l 1∥l 2，则= ≠ ，即（m+1）（m ﹣2）=4，解得：m=3（舍）或 m=﹣2，故答案为：﹣2．14．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，根据 sinA不为 0 求出 cosB 的值，即可确定出 B 的度数，利用三角形内角和定理可求 A ，C ，进而利用正弦定理可求a ，利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：已知等式（2a ﹣c ）cosB ﹣bcosC=0，利用正弦定理化简得：（2sinA ﹣sinC ）cosB=sinBcosC ，整理得：2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin （B+C ）=sinA ，∵sinA≠0，∴cosB=，则B=60°．∵A=3C，c=6，可得：C=30°，A=90°，∴a===12，∴S△ABC=故答案为：acsinB=．=．15．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据平面区域是四边形，即可确定a的取值范围．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，当直线x+y=a经过点A（3，0）时，对应的平面区域是三角形，此时a=3，当经过点B时，对应的平面区域是三角形，由，解得，即B（1，4），此时a=1+4=5，∴要使对应的平面区域是平行四边形，则3＜a＜5，故答案为：（3，5）16．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系进行求解，注意要对a进行讨论．【解答】当a＞0时，f（x）=|e x+|=e x+，则函数的导数f′（x）=e x﹣=，且f（x）＞0恒成立，由f′（x）＞0解得e2x＞a，即x＞lna，此时函数单调递增，）由 f′（x ）＜0 解得 e 2x ＜a ，即 x ＜ lna ，此时函数单调递减，若 f （x ）在区间[0，1]上单调递增，则 lna≤0，解得 0＜a≤1，即 a ∈（0，1]当 a=0 时，f （x ）=|e x + |=e x 在区间[0，1]上单调递增，满足条件．当 a ＜0 时，y=e x + 在 R 单调递增，令 y=e x +=0，则 x=ln，则 f （x ）=|e x + |在（0，ln]为减函数，在[ln ，+∞）上为增函数则 ln≤0，解得 a≥﹣1综上，实数 a 的取值范围是[﹣1，1]故答案为：a ∈[﹣1，1]三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【考点】数列的求和；等差关系的确定；等比关系的确定．【分析】（Ⅰ）由 S n =2n 2+n 可得，当 n=1 时，可求 a 1=3，当 n≥2 时，由 a n =s n ﹣s n ﹣1 可求通项，进而可求 b n（Ⅱ）由（Ⅰ）知，【解答】解：（Ⅰ）由 S n =2n 2+n 可得，当 n=1 时，a 1=s 1=3 当 n≥2 时，a n =s n ﹣s n ﹣1=2n 2+n ﹣2（n ﹣1）2﹣（n ﹣1）=4n ﹣1 而 n=1，a 1=4﹣1=3 适合上式，故 a n =4n ﹣1，又∵a n =4log 2b n +3=4n ﹣1∴（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，利用错位相减可求数列的和2T n =3×2+7×22+…+（4n ﹣5）•2n ﹣1+（4n ﹣1）•2n∴，=（4n ﹣1）•2n=（4n ﹣1）•2n ﹣[3+4（2n ﹣2）]=（4n ﹣5）•2n +518．【考点】函数 y=Asin （ωx+φ）的图象变换；正弦函数的图象．【分析】(1)利用三角函数的单调性与值域即可得出．(2)利用坐标变换得到性即可得出．【解答】解：(1)f （x ）=4sin （2x ﹣的图象．可得．再利用三角函数的单调）+ ．sin （2x ﹣ ）=1 时，f （x ）取得最大值 4+；sin （2x ﹣ ）=﹣1 时，函数 f （x ）取得最小值 4﹣ ．(2)把 y=f （x ）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变）得到象．的图再把得到的图象向左平移∴由个单位，得到．的图象．．∴g （x ）的单调减区间是．19．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】(1)推导出 PA ⊥BC ，BC ⊥AB ，从而 BC ⊥平面 PAB ，由此能证明平面 PAB ⊥平面 QBC ．(2)连接 BD ，过 B 作 BO ⊥AD 于 O ，该组合体的体积 V=V B ﹣P ADQ +V Q ﹣BCD ．由此能求出结果．【解答】证明：(1)∵OD ⊥平面 ABCD ，PA ∥QD ，∴PA ⊥平面 ABCD ，又∵BC ⊂平面 ABCD ，∴PA ⊥BC ，又 BC ⊥AB ，PA ⊂平面 PAB ，AB ⊂平面 PAB ，PA∩AB=A ，∴BC ⊥平面 PAB ，又∵BC ⊂平面 QBC ，∴平面 PAB ⊥平面 QBC ．解：(2)连接 BD ，过 B 作 BO ⊥AD 于 O ，∵PA ⊥平面 ABCD ，BO ⊂平面 ABCD ，∴PA ⊥BO ，又BO⊥AD，AD⊂平面P ADQ，PA⊂平面P ADQ，PA∩AD=A，∴BO⊥平面P ADQ，∵AD=AB=2，∠DAB=60°，∴△ABD是等邊三角形，∴．∴．∵∠ADC=∠ABC=90°，∴∠CBD=∠CDB=30°，又BD=AB=2，∴，∴．∴∵QD⊥平面ABCD，．∴该组合体的体积．20．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】(1)由题意得b=1，由得a=，c=，b=1求得椭圆方程；(2)设直线l的方程为x=my﹣1，将直线方程代入椭圆方程，消去x，根据韦达定理代入三角形面积公式即可求得△AOB的面积，再换元配方即可得出结论．【解答】解：(1)由题意得b=1，由得a=，c=，b=1，∴椭圆E的方程为+y2=1；(2)依题意设直线 l 的方程为 x=my ﹣1，联立椭圆方程，得（m 2+3）y 2﹣2my ﹣2=0，设 A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则 y 1+y 2= ，y 1y 2=﹣，S △AOB = |y 1﹣y 2|= ，设 m 2+3=t （t≥3），则 S △AOB =，∵t≥3，∴0＜ ≤ ，∴当 = ，即 t=3 时，△OAB 面积取得最大值为，此时 m=0.21．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】(1)先求导，再分类讨论，根据导数和函数的单调性的关系即可求出 a 的取值范围，(2)当 x ＞1 时，f （x ）＜g （x ）恒成立，转化为 lnx ﹣x ＜2ax ﹣ax 2，在（1，+∞）恒成立，构造函数 h （x ）=lnx ﹣x ，利用导数求出函数最值，得到 ax 2﹣2ax ﹣1＜0，在（1，+∞）上恒成立，再分类讨论，根据二次函数的性质即可求出 a 的取值范围．【解答】解：(1)∵f （x ）=lnx ﹣a 2x 2+ax ，其定义域为（0，+∞），∴f′（x ）= ﹣2a 2x+a= = ．①当 a=0 时，f′（x ）=＞0，∴f （x ）在区间（0，+∞）上为增函数，不合题意．②当 a ＞0 时，f′（x ）＜0（x ＞0）等价于（2ax+1）（ax ﹣1）＞0（x ＞0），即 x ＞此时 f （x ）的单调递减区间为（，+∞）．依题意，得解之，得 a≥1．．③当 a ＜0 时，f′（x ）＜0（x ＞0）等价于（2ax+1）（ax ﹣1）＞0（x ＞0），即 x ＞﹣此时 f （x ）的单调递减区间为（，+∞）．依题意，得解之，得 a≤﹣ ．．20 / 22．所以|AB|=综上所述，实数 a 的取值范围是（﹣∞，﹣ ]∪[1，+∞）．(2)∵g （x ）=（3a+1）x ﹣（a 2+a ）x 2， ∴f （x ）﹣g （x ）=lnx ﹣（2a+1）x+ax 2＜0，即 lnx ﹣x ＜2ax ﹣ax 2，在（1，+∞）恒成立，设 h （x ）=lnx ﹣x ，则 h′（x ）= ﹣1＜0 恒成立，∴h （x ）在（1，+∞）为减函数，∴h （x ）＜h(1)=﹣1，∴ax 2﹣2ax ﹣1＜0，在（1，+∞）上恒成立，设 φ（x ）=ax 2﹣2ax ﹣1当 a=0 时，﹣1＜0，符合题意，当 a ＞0 时，显然不满足题意，当 a ＜0，由于对称轴 x=1，则 φ(1)＜0，即 a ﹣2a ﹣1＜0，解得﹣1＜a ＜0，综上所述，a 的取值范围为（﹣1，0]．[选修 4-4：坐标系与参数方程]22．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】(1)直线 l 的参数方程为（t 为参数），消去参数 t 化为普通方程可得，进而得到倾斜角．由曲线 C 的极坐标方程得到：ρ2=2ρcos （θ﹣ ），利用 ρ2=x 2+y 2，即可化为直角坐标方程．(2)将|P A|+|PB|转化为求|AB|来解答．【解答】解 (1)直线的斜率为，直线 l 倾斜角为 …由曲线 C 的极坐标方程得到：ρ2=2ρcos （θ﹣2+（y ﹣ ）2=1…），利用 ρ2=x 2+y 2，得到曲线 C 的直角坐标方程为（x ﹣）(2)点 P （0，）在直线 l 上且在圆 C 内部，所以|PA|+|PB|=|AB|…直线 l 的直角坐标方程为 y=x+ …所以圆心（，）到直线 l 的距离 d= ，即|P A|+|PB|=…21 / 22[选修4-5：不等式选讲]23．【考点】一元二次不等式的应用；分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的最值及其几何意义．【分析】(1)根据绝对值的代数意义，去掉函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣2|中的绝对值符号，求解不等式f（x）＞2，(2)由(1)得出函数f（x）的最小值，若∀x∈R，可，求出实数t的取值范围．【解答】解：(1)恒成立，只须即当当当x≥2，x+3＞2，x＞﹣1，∴x≥2综上所述{x|x＞1或x＜﹣5}．，∴x＜﹣5，∴1＜x＜2(2)由(1)得，若∀x∈R，恒成立，则只需综上所述．，22/22。

河南省2017届高三数学阶段性测试试题四B卷文

2016—2017学年高中毕业班阶段性测试（四）数学（文科）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.设全集U N *=，集合{}{}1,2,3,5,2,4,6A B ==，则图中的阴影部分表示的集合为A. {}2B. {}2,4,6C.{}4,6D. {}1,3,52.已知i 是虚数单位，复数z 满足()1i z i -=，则z 的虚部为 A. 12- B. 12 C. 12i D. 12i - 3.若2cos 23πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则()cos 2πα-= A. 59 B. 59- C. 29 D.29- 4. “113x ⎛⎫< ⎪⎝⎭”是“11x >”的 A. 充分且不必要条件 B. 既不充分也不必要条件C.充要条件D. 必要不充分条件5.在区间[]0,1上任选两个数x 和y ，则21y x >- A. 16π- B. 6π C. 14π- D. 4π 6. 将函数cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上的点,4P t π⎛⎫ ⎪⎝⎭向右平移()0m m >个单位长度得到点P '，若P '位于函数cos 2y x =的图象上，则 A.32t =-，m 的最小值为6π B. 32t =-，m 的最小值为12π C. 12t =-，m 的最小值为12π D. 12t =-，m 的最小值为6π7. 执行如图所示的程序框图，若输入4,3m t ==，则输出y =A.184B. 183C. 62D.618.函数()2a f x x x =+（其中a R ∈）的图象不可能是9.已知M 是抛物线()2:20C y px p =>上一点，F 是抛物线C 的焦点，若,MF p K =是抛物线C 的准线与x 轴的交点，则MKF ∠=A. 60oB. 45oC. 30oD.15o 10.已知P 是矩形ABCD 所在平面内一点，AB=4，AD=3，5,25PA PC ==则PB PD ⋅=u u u r u u u rA. 0B.-5或0C.5D.-511.某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为A. 4πB. 3πC. 2πD.π12.已知函数()2,01,0x e x f x x ax x ⎧≤⎪=⎨++>⎪⎩， ()()1F x f x x =--，且函数()F x 有2个零点，则实数a 的取值范围是A. (],0-∞B. [)1,+∞C. ()0,+∞D.(),1-∞第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线与直线30x y -+=平行，则此双曲线的离心率为 .14.若实数,x y 满足1002x y x y -+≤⎧⎪>⎨⎪≤⎩，则221y x +的取值范围为 .15.《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖，周五张四尺，深一丈八尺.问受栗几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面周长为五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能装多少斛米.”则该圆柱形容器能装米斛.（古制1丈=10尺，1斛=1.62立方尺，圆周率3π=）16.在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且,a b a c >>，ABC ∆的外接圆半径为1，3a =若边BC 上一点D 满足2BD DC =，且90BAD ∠=o ，则ABC ∆的面积为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()21.n n a S n N *=+∈，（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()21n n b n a =-⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .18.（本题满分12分）某市为了制定合理的节电方案，供电局对居民用电情况进行了调查，通过抽样，获得了某年200户居民每户的约均用电量（单位：度），将数据按照[)[)[)0,100,100,200,300,400, [)[)[)[]400,500,600,700,700,800,800.900分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.（1）求直方图中m 的值并估计居民月均用电量的中位数；（2）现从第8组合第9组的居民中任选2户居民进行访问，则两组中各有一户被选中的概率..19.（本题满分12分）如图，在四棱锥A BCDE -中，CD ⊥平面ABC ,//,,,BE CD AB BC CD AB BC M ==⊥为AD 上一点，EM ⊥平面ACD .（1）求证：//EM 平面ABC ；（2）若2CD =，求四棱锥A BCDE -的体积.20.（本题满分12分）已知圆22:1O x y +=过椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的短轴端点，,P Q 分别是圆O 与椭圆C 上任意两点，且线段PQ 长度的最大值为3.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()0,t 作圆O 的一条切线交椭圆C 于,M N 两点，求OMN ∆的面积的最大值.21.（本题满分12分）已知函数()2ln 2a f x x x =-在点11,22f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线斜率为0. （1）讨论()f x 的增减性；（2）若()()12g x f x mx =+在()1,+∞上没有零点，求实数m 的取值范围.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。

2017届湖南省郴州市高三第四次质量检测数学(文)试卷(附参考答案)

郴州市2017届高三第四次教学质量监测试卷数学文科第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，若，则的值可以是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可知，由可知，所以，选D.2.已知复数在复平面对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可得点在第四象限，所以且，解得，答案选C.3.为考察某种药物对预防禽流感的效果，在四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验，根据四个进行动物试验，根据四个实验室得到的列联表画出如下四个等高形图，最能体现该药物对预防禽流感有效果的图形是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】选项D中不服药样本中患病的频率与服药样本中患病的频率差距离最大.所以选D.4.已知向量，且，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以2m-2=0,解得m=1,所以，选B.5.已知，且（），则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可得，，由于（），所以，=。

选C.6.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问，米几何？”如图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S=1.5（单位：升），则输入k的值为（）A. 4.5B. 6C. 7.5D. 9【答案】B【解析】当n=2,,当，当，结束。

则7.已知双曲线：（，）过点，过点的直线与双曲线的一条渐进线平行，且这两条平行线间的距离为，则双曲线的实轴长为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由双曲线C过点，可得，一条渐近线为bx-ay=0，点到这条渐近的距离，所以。

解得，所以实轴长为2.选A.8.若为奇函数，且是函数的一个零点，额下列函数中，一定是其零点的函数是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得，所以的一个根为。

2017届湖北省武汉市高中毕业生四月调研测试文科数学试题及答案精品

湖北省武汉市2017届高三下学期四月调考数学文试题2017.4.17本试卷共4页，共22题。

满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型B后的方框涂黑。

2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试题卷、草稿纸无效。

3. 填空题和解答题的作答：用签字笔直接在答题卡上对应的答题区域内。

答在试题卷、草稿纸上无效。

4. 考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合{}{}1,12====ax x B x x A .若A B ⊆,则实数a 的集合为A.{}1,0,1-B.{}1,1-C.{}0,1-D.{}1,0 2. 若一元二次不等式08322＜-+kx kx 对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为 A.(]0,3- B.[)0,3- C.[]0,3- D.)0,3(- 3. 同时投掷两个骰子，则向上的点数之差的绝对值为4的概率是A.181 B.121 C.91 D.61 4. 已知数列{}n a 满足751-=+n n a a ,且51=a ,设{}n a 的n 项和为n S ,则使得n S 取得最大值的序号n 的值为A.7B.8C.7或8D.8或95. 已知命题R p ∈∃ϕ:，使)sin()(ϕ+=x x f 为偶函数；命题x x R x q sin 42cos ,:+∈∀ 03＜-，则下列命题中为真命题的是A.q p ∧B.()q p ∨⌝C.()q p ⌝∨D.()()q p ⌝∨⌝6. 执行如图所示的程序框图,则输出的S 的值是 A.-1 B.32C.23D.47. 已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于A.1B.2C.212- D.212+ 8. 在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为c b a ,,，若A,B,C 成等差数列，c b a 2,2,2成等比数列，则=B A cos cosA.0B.61C.21D.32 9. 设函数xx x g x e x f x 1ln )(,44)(1-=-+=-.若0)()(21==x g x f ，则 A.)()(021x f x g ＜＜ B.)(0)(21x f x g ＜＜ C.)(0)(12x g x f ＜＜ D.0)()(12＜＜x g x f10. 已知抛物线x y 42=的焦点为F ,过点P (2,0)的直线交抛物线于A,B 两点,直线AF,BF 分别于抛物线交于点C,D.设直线AB,CD 的斜率分别为21,k k ，则=21k k A.31- B.21 C.1 D.2 二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模凌两可均不得分。

吉林省长春市2017届高三质量监测(四)数学(文)试题

长春市普通高中2017届高三质量监测（四）数学（文科）参考答案与评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. A2. D3. B4. A5. D6. C7. D 8. A 9. C 10. B 11. A 12. B简答与提示：1.【命题意图】本题考查复数的基本概念及运算.【试题解析】A 由错误！未找到引用源。

可知，原式错误！未找到引用源。

. 故选A.2.【命题意图】本题考查集合交运算.【试题解析】D 由错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，故错误！未找到引用源。

. 故选D.3.【命题意图】本题考查分段函数的图像与性质.【试题解析】B 根据分段函数的错误！未找到引用源。

的图像可知，该函数的值域为错误！未找到引用源。

.故选B.4.【命题意图】本题考查统计学中残差图的概念.【试题解析】A 根据残差图显示的分布情况即可看出图1显示的残差分布集中，拟合度较好，故选A.5.【命题意图】本题依据中华传统文化算法割圆术考查程序框图.【试题解析】D 运行算法可获得结果24，故选D.6.【命题意图】本题主要考查三角变换公式与三角函数的图像与性质.【试题解析】C 由错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

. 故选C.7.【命题意图】本题考查三视图.【试题解析】D 最大面积为错误！未找到引用源。

. 故选D.8.【命题意图】本题考查函数图像辨析问题.【试题解析】A 由对数函数图像可知. 故选A.9.【命题意图】本题主要考查等差数列的相关性质.【试题解析】C 由题意知错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，因此错误！未找到引用源。

. 故选C.10.【命题意图】本题主要考查球内的几何体的相关性质.【试题解析】B 由题可知错误！未找到引用源。

为△错误！未找到引用源。

的直径，令球的半径为错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

，可得错误！未找到引用源。

，则球的表面积为错误！未找到引用源。

河南省2017届高三4月教学质量监测文科数学试题含答案

河南省2017届普通高中高三4月教学质量监测文科数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}20A x x =≤，{}1,2,3,4,5B =，则阴影部分所表示的集合的元素个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．42.已知复数z 的共轭复数为z ，若()()21234z z i i +-=-（i 为虚数单位），则在复平面内，复数z 所对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3.已知命题():1,p x ∀∈+∞，2168x x +>则命题p 的否定为（）A ．():1,p x ⌝∀∈+∞，2168x x +≤B ．():1,p x ⌝∀∈+∞，2168x x +<C ．()0:1,p x ⌝∃∈+∞，200168x x +≤D ．()0:1,p x ⌝∃∈+∞，200168x x +<4.已知等比数列{}n a ，满足23210log log 1a a +=，且368916a a a a =，则数列{}n a 的公比为（） A ．2 B ．4 C. 2± D ．4±5.已知向量()1,2m =-，()1,n λ=若m n ⊥，则2m n ⊥与m 的夹角为（） A ．23π B ．34π C. 3π D ．4π6.已知双曲线()2222:11,0x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，第二象限的点M 在双曲线C 的渐近线上，且OM a =，若直线MF 的斜率为ba，则双曲线C 的渐近线方程为（）A ．y x =±B ．2y x =± C. 3y x =± D ．4y x =±7.已知23cos 34a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin cos 263a a ππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=（）A ．332B ．332- C. 316 D ．316-8.如图，小正方形的边长为1，粗线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A ．328π+B ．8323π+C. 8163π+ D ．168π+ 9.《九章算术》是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出m 的值为35，则输入a 的值为（）A ．4B ．5 C. 7 D ．1110.某颜料公司生产,A B 两种产品，其中生产每吨A 产品，需要甲染料1吨，乙染料4吨，丙染料2吨，生产每吨B 产品，需要甲染料1吨，乙染料0吨，丙染料5吨，且该公司一条之内甲、乙、丙三种染料的用量分别不超过50吨，160吨和200吨，如果A 产品的利润为300元/吨，B 产品的利润为200元/吨，则该颜料公司一天之内可获得最大利润为（）A ．14000元B ．16000元 C.18000元 D ．20000元11.已知函数()2x x e af x e=-，或对任意的1x ，[]21,2x ∈且12x x ≠时，()()()12120f x f x x x ⎡⎤-->⎣⎦则实数a 的取值范围是（）A ．22,44e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．22,22e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.22,33e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．22,e e ⎡⎤-⎣⎦ 12.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1161n n n n a S nS S +++=-+，1a m =，现有下列说法：①25a =； ②当n 为奇数时，33n a n m =+-； ③224232n a a a n n ++⋅⋅⋅+=+.则上述说法正确的个数为（）A ．0B ．1 C. 2 D ．3第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数()()sin 0,02f x M x M πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，其中()2,3A （点A 为图象的一个最高点）5,02B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则函数()f x =___________.14.折纸已经成为开发少年儿童智力的一种重要工具和手段，已知在折叠“爱心”活动中，会产生如图所示的几何图形，其中四边形ABCD 为正方形，G 为线段BC 的中点，四边形AEFG 与四边形DGHI 也是正方形，连接EB ,CI ，则向多边形AEFGHID 中投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为．15.若圆C 过点()0,1，()0,5且圆心到直线20x y --=的距离为C 的标准方程为． 16.已知关于x 的方程()221ln 2x x x k k +=++在1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭上有两个不相符的实数根，则实数k 的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.）17. 在ABC ∆中，()01BD mBC m =<<，3AC =，AD ，3C π=.（1）求ABC ∆的面积；（2）若cos B ，求AB 的长度以及BAC ∠的正弦值. 18. 如图（1）所示，已知四边形SBCD 是由直角△SAB 和直角梯形ABCD 拼接而成的，其中SAB SDC ∠=∠ 90=.且点A 为线段SD 的中点，21AD DC ==，AB SD =现将△SAB 沿AB 进行翻折，使得二面角S AB -- C 的大小为90，得到图形如图（2）所示，连接SC ，点,E F 分别在线段,SB SC 上.（1）证明：BD AF ⊥；（2）若三棱锥B AEC -的体积为四棱锥S ABCD -体积的25，求点E 到平面ABCD 的距离. 19.国内，某知名连接店分店开张营业期间，在固定的时间段内消费达到一定标准的顾客可进行一次抽奖活动，随着抽奖的有效展开，参与抽奖活动的人数越来越多，该分店经理对开业前7天参加抽奖活动的人数进行统计，y 表示开业第x 天参加抽奖活动的人数，得到统计表格如下：经过进一步的统计分析，发现Y 与X 具有线性相关关系.（1）如从这7天中随便机抽取两天，求至少有1天参加抽奖人数超过10天的概率；（2）根据上表给出的数据，用最小二乘法，求出y 与x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+，并估计若该活动持续10天，共有多少名顾客参加抽奖.参考公式：1221ˆni ii nii x ynx ybxnx==-=-∑∑，ˆˆa y bx =-，721140i i x ==∑，71364i ii x y ==∑. 20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F，点1,⎛ ⎝⎭是椭圆C上的点，离心率为e =. （1）求椭圆C 的方程；（2）点()()000,0A x y y ≠在椭圆上C 上，若点N 与点A 关于原点的对称，连接2AF ，并延长与椭圆C 的另一个交点为M ，连接MN ，求AMN ∆面积的最大值. 21. 已知函数()ln 1x f x x x e =-+，（1）求函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；（2）证明：()sin f x x <在()0,+∞上恒成立.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按照所做的第一题记分.作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑.22. 已知直线l 的参数方程为12x ty =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是2sin 3cos 0p θθ-=.（1）求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的极坐标方程；（2）求直线l 与曲线C 交点的极坐标()0,02p θπ≥≤<. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()31f x x x =++-的最小值为m ，且()f a m = （1）求m 的值以及实数a 的取值集合；（2）若实数,,p q r 满足2222p q r m ++=，证明()2q p r +≤.试卷答案一、选择题1.C 【解析】依题意，{}{}2|680|24A x x x x x =-+≤=≤≤，阴影部分表示集合A B ，故{}2,3,4A B =.2.D 【解析】依题意，()()()()34121122121255i i z z i i i -++==+-+，设(),z a b i a b R =+∈，故112355a bi i -=+，故115a =，25b =-故在复平面内，复数z 所对应的点为112,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，位于第四象限.3.C 【解析】全称命题的否定为特称命题，故其否定为()0:1,p x ⌝∃∈+∞，20168x x +≤. 4.A 【解析】依题意，23210log log 1a a +=故()2310log 1a a =，故3102a a =，故()2231016a a q =，解得24q =，注意到该数列中3a 、10a 均为正数，故2q =.5.D 【解析】依题意，0m n ∙=，即120λ-+=解得12λ=，故()()()21,22,11,3m n +=-+=，则2m n +与m 的夹角的余弦值cos 2θ==，故4πθ=. 6.A 【解析】设(),0F c -，依题意，联立,,a b y x a ==-⎪⎩解得2,a ab M c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故20ab b c a a c c-=-+，解得a b =，故所求渐近线方程为y x =±.7.B 【解析】2333cos sin sin sin 3646464a a a a ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⇒-=-⇒-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故cos 213a π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭22sin 6a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭18-，故313sin cos 2634832a a ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.8.B 【解析】由三视图可知，该几何体是由一个圆锥和一个长方体构成的组合体，故其体积1884423233V ππ=⨯+⨯⨯=+. 9.A 【解析】起始阶段有23m a =-，1i =，第一次循环后，()23349m a a =--=-，2i =；第二次循环后，()2493821m a a =--=-，3i =；第三次循环后，()282131645m a a =--=-，4i =；接着计算()2164533293m a a =--=-，跳出循环，输出3293m a =-.令329335a -=，得4a =. 10.A 【解析】依题意，将题中数据统计如下表所示：设该公司一天内安排生产A 产品x 吨，B 产品y 吨，所获利润为z 元.依据题意得目标函数为300200z x y =+，约束条件为50,4160,25200,x 0,y 0,x y x x y +≤⎧⎪≤⎪⎨+≤⎪⎪≥≥⎩欲求目标函数()30020010032z x y x y =+=+的最大值，先画出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分所示，则点()40,0A ，()40,10B ，50100,33C ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,40D ，作直线320x y +=，当移动该直线过点()40,10B 时，32x y +取得最大值，则300200z x y =+也取得最大值（也可通过代入凸多边形端点进行计算，比较大小求得）.故max 300402001014000z =⨯+⨯=，所以工厂每天生产A 产品40吨，B 产品10吨时，才可获得最大利润，为14000元.11.B 【解析】因为()()()12120f x f x x x ⎡⎤-->⎣⎦，故函数()y f x =在[]1,2上单调递增；易知，当0a ≥时，()f x 在[]1,2上是增函数，()0f x ≥，解得202e a ≤≤；当0a <时，()()f x f x =，令2x x e ae=-，解得x =由对勾函数性质可知，函数()f x的单调递增区间为⎡⎤+∞⎣⎦，故l n ，得202e a -≤<，综上所述，实数a 的取值范围为22,22e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.12.D 【解析】因为1161n n n n a S n S S +++=-+，故1161n n n a S na +++=+，即()()()1116n n n a a S n +++=+；当1a =时，()()()1161n n n a a S ++=+，故5n a =；当2n ≥时，()()()111161nn n a aS n --++=+-，所以()()111n n a a +++()()()()1111661n n n n a a S n S n ---++=+-+-，即()()()11161n n n n a a a a +-+-=+，又0n a >，所以116n n a a +--=，所以()16166n a m k k m -=+-=+-，所以当m 为奇数时，33n a n m =+-；()256161n a n n =+-=-，m N ∙∈所以223232n a a a n n ++⋅⋅⋅+=+；综上所述，①②③都正确.二、填空题13. 3sin 36x ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】依题意，35932422M T ==+=，故6T =，故23T ππω==，将点()2,3A 代入可得()2232kx k Z ππϕ⨯+=+∈，故()26kx k Z πϕ=-+∈，因为2πϕ<，故()3sin 36f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.14.13【解析】设2AB =，则1BG =，AG =AEFGHID 的面积1222122S =+⨯⨯=；阴影部分为两个对称的三角形，其中90EAB GAB ∠=-∠，故阴影部分的面积1112sin 2cos 224222S AE AB EAB AE AB GAB =⨯∙∙∠=⨯∙∙∠=⨯⨯=，故所求概率13P =.15. ()2229x y +-=或()()228273x y -++=【解析】依题意，设圆C 的方程为()()()22220x a y r r-+-=>，则229,a r ⎧+==，解得0a =，3r =或8a =，r =C 的方程为()2229x y +-=或()()2282x y -+-73=.16. 9ln 21,105⎛⎤+ ⎥⎝⎦【解析】因为()221ln 2x x x k k +=++，分离参数可得2ln 22x x x k x -+=+，故问题转化为关于x 的方程2ln 22x x x k x -+=+在1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭上有两个不相等的实数根；令函数()2ln 22x x x h x x -+=+，1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，则()()2232l n 42x x x h x x +--'=+；令函数()232ln 4p x x x x =+--，1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，则()()()212x x p x x -+'=在1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭上有()0p x '≥，故()p x 在1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，∵()10p =，∴当1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，有()0p x <，即()0h x '<，∴()h x 单调递减：当[)1,x ∈+∞时，有()0p x >，即()0h x '>，∴()h x 单调递增；∴12h ⎛⎫= ⎪⎝⎭9ln 2105+，()11h =，注意到()6624ln 2810h +=，()15726ln 257268021010h h +-⎛⎫-=>> ⎪⎝⎭，故实数k 的取值范围为9ln 21,105⎛⎤+ ⎥⎝⎦. 三、解答题17.【解析】（Ⅰ）在ADC ∆中，由余弦定理，得22222371cos 2232AC CD AD CD C AC CD CD +-+-===∙⨯∙，解得1CD =或2；故ADC ∆的面积1sin 2S AC CD C =∙∙. （Ⅱ）因为3C π=，所以sin C =，在ABC ∆中，由正弦定理，得sin sinCAC ABB =.即AB =()11sin sin 42BAC B C ∠=+=⨯=18.【解析】（Ⅰ）证明：因为二面角S AB C --的大小为90，则SA AD ⊥，又SA AB ⊥，故SA ⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，所以SA BD ⊥；在直角梯形ABCD 中，90BAD ADC ∠=∠=，21AD CD ==，2AB =，所以1tan tan 2ABD CAD ∠=∠=,又90DAC BAC ∠+∠=，所以90ABD BAC ∠+∠=，即AC BD ⊥；又AC SA A =，故BD ⊥平面SAC ，因为AF ⊂平面SAC ，故BD AF ⊥.（Ⅱ）设点E 到平面ABCD 的距离为h ，因为B AEC E ABC V V --=，且25E ABC S ABCD V V --=，故511215321122132ABCD S ABCD E ABCABCD s SA V V s h h --⨯∙⨯===∙⨯⨯⨯，故12h =，做点E 到平面ABCD 的距离为12.19.【解析】（Ⅰ）这7天中参加抽奖的人数没有超过10的为第1，2，3，4天，超过10的为第5，6，7天，从这7天中任取两天的情况有()1,2，()1,3，()1,4，()1,5，()1,6，()1,7，()2,3，()2,4，()2,5，()2,6，()2,7，()3,4，()3,5，()3,6，()3,7，()4,5，()4,6，()4,7，()5,6，()5,7，()6,7，共21种，其中至少有1天参加抽奖人数超过10的有15种，所以57p =. （Ⅱ）依题意：()1123456747x =++++++=. ()158810141517117y =++++++=，721140i i x ==∑，71364i i i x y =+=∑，71722173647411ˆ21407167i ii i i x yx ybx x==--⨯⨯===-⨯-∑∑，ˆˆ11243a y bx =-=-⨯=，则y 关于x 的线性回归方程为ˆ23yx =+，预测8x =时ˆ19y=，9x =时，ˆ21y =，10x =时ˆ23y =，则此次活动参加抽奖的人数约为58810141517192123140+++++++++=人. 20.【解析】（Ⅰ）依题意，221112a b+=，c a =222a b c =+，解得a =1b c ==，故椭圆C 的方程为2212x y +=.（Ⅱ）①当直线AM的斜率不存在时，不妨取A ⎛ ⎝⎭，1,M ⎛ ⎝⎭，1,N ⎛- ⎝⎭，故122AMNS=⨯ ②当直线AM 的斜率存在时，设直线AM 的方程为()1x k x --，0k ≠，联立方程()22112y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩化简得()2222214220k x k x k +-+-=，设()11,A x y ，()22,M x y ，则2122421k x x k +=+，21222221k x x k -∙=+，AM =点O 到直线AM的距离d ==因为O 是线段AN 的中点，所以点N 到直线AM 的距离为2d =∴2211122221AMNkS AM dk⎛⎫+=∙=∙=⎪+⎝⎭综上，△AMN21.【解析】（Ⅰ）依题意，()11xf x nx e'=+=，又()11f e=-，()11f e'=-，故所求切线方程为()()111y e e x-+=--，即()1y e x=-，（Ⅱ）依题意，要证：()sinf x x<，即证ln1sinxx x e x-+<，即证：ln sin1xx x e x<+-；当01x<≤时，sin10xe x+->，ln0x x≤，故ln sin1xx x e x≤+-，即()sinf x x<；当1x>时，令()sin1lnxg x e x x x=+--，故()cos ln1xg x e x x'=+--，令()()cos ln1xh x g x e x x'==+--，()1sinxh x e xx=+-，当1x>时，111xe ex->->，所以()1sin0xh x e xx'=-->，故()h x在()1,+∞上单调递增，故()()1cos110h x h e>-+->，即()0g x'>，所以()()sin110g x g x e>=+->，即ln sin1xx x e x<+-，即()sinf x x<；综上所述，()sinf x x<在()0,+∞上恒成立.22.【解析】（Ⅰ）依题意，22sin3cosp pθθ-，故23yx=；因为12x ty=+⎧⎪⎨=⎪⎩20y--=，cos2sin0pθθ--=.（Ⅱ）联立2sin3cos0cos2sin0ppθθθθ⎧-=⎪--=，化简得：2cos cos330sin sinθθθθ⎛⎫⎫--=⎪⎪⎝⎭⎭，则cossinθθ=或cossinθθ=，即tanθ=，或tanθ=，又因为0p≥，02xθ≤<，则6πθ=或53θπ=，则直线l与曲线C的交点的极坐标为⎛⎝和52,3π⎛⎫⎪⎝⎭.23.【解析】（Ⅰ）依题意，()31314f x x x x x=++-≥+-+=，故m的值为4；当且仅当()()310x x +-≤，即31x -≤≤时等号成立，则a 的取值集合为[]3,1-. （Ⅱ）因为2222p q r m ++=，故()()22224p q q r +++=；因为222p q pq +≥，当且仅当p q =时等号成立；因为222q r pr +≥，当且仅当q r =时等号成立；故()()2222422p q q r pq qr +++=≥+，故()2q p r +≤（当且仅当p q r ==时等号成立）.。

2017届高三第四次模拟考试文科数学试卷(附答案)

3D．-32B．1辽宁省实验中学2017届高三第四次模拟考试文科数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合A={x∈N|x<6}，B={x|(x-2)(x-9)<0}，则A B=（）A．{3,4,5}B．{x|2<x<6}C．{x|3≤x≤5}D．{2,3,4,5}2．复数z=m-2i1+2i（m∈R，i为虚数单位）在复平面上对应的点不可能在（）A．每一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．设向量a=(1,2)，b=(m,m+1)，a∥b且实数m的值为（）A．1B．-1C．-14．已知x，y∈R，下列不等式不能恒成立的是（）A．-1C．2D．125．如图，在A、B间有四个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致电路不通，如今发现A、B之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有（）A．10B．13C．12D．156．我国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的x为（）A．1B．1.2C．1.4D．1.6π7．已知函数f(x)=3cos(2x-)，则下列结论正确的是（）3πA．导函数为f'(x)=3sin(2x-)32πB．函数f(x)的图象关于直线x=对称3π5πC．函数f(x)在区间(-,)上是增函数1212D．函数f(x)的图象可由函数y=3cos2x的图象向右平移π3个单位长度得到8．在一次某地区中学联合考试后，汇总3217名文科考生的数学成绩，用a,a,12,aA ． -B ．C ．D ．6B ．12．已知函数 f ( x ) = ⎨ f (2 -x),1 ≤ x < 2 ，则函数 f ( x) 的图像与直线 x - 2 y - 4 = 0 所有交的横坐标的和为⎪- f (2 - x),2 ≤ x ≤ 8于 120 的考分叫“优分”，将这些数据按下图的程序框图进行信息处理，则输出的数据为这 3 217 名学生的（）A ．平均分B ．“优分”人数C ．“优分”率9．已知 cos(α - π) + sin α = 6 D ．“优分”人数与非“优分”人数的比值4 π 53 ，且 α ∈ (0, ) ，则 sin(α + π) 的值是（）5 3 122 3 2 3 7 2 7 25 5 10 15π10．如图圆 C 内切于扇形 AOB ，∠AOB = ，若在扇形 AOB 内任取一点，则该点在圆 C 内的概率为（）3A ． 13 4 C ． 2 3 D ．1311．在等腰梯形 ABCD 中， AB ∥CD ，且 | AB |= 2 ， | AD |= 1 ， | CD |= 2x ，其中 x ∈ (0,1)，所以 A ，B 为焦点且过点 D 的双曲线的离心率为 e ，以 C ，D 为焦点且过点 A 的椭圆的离心率为 e ，若对任意 x ∈ (0,1)，12不等式 t < e + e 恒成立，则 t 的最大值为（）12A ． 5B ．2C ． 3D ． 2⎧2x - 1,0 ≤ x < 1⎪ ⎩（）A ．8B ．12C ．16D ．20二、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分．“ （Ⅱ）数列{b } 满足 b = 1 ，且 b n +1 = ⎨ ，求数列{b } 的前 n 项和 S ．2 log b , n 是偶数⎪⎩ ⎧13．在 △ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a 、b 、c ，且 a = 2 ， b = 3 ， c = 4 ，则sin2CsinA= ________ ．14．某次考试后，A 、B 、C 三名同学取得了全校前三名并且名次没有并列，老师猜测： C 不是第一名，A 是第三名，B 不是第三名．”结果只猜对了一个，则第一名，第二名，第三名依次是________．15．如图，矩形 A BCD 中， AB = 2AD ，E 为边 AB 的中点，将△ADE 沿直线 DE 翻折成△A DE ．若 M 为1线段 A C 的中点，则在 △ADE 翻折过程中，下面四个命题中正确的是＿＿＿＿．（填序号即可）1② | BM | 是定值；②点 M 在某个球面上运动；③存在某个位置，使 DE ⊥ AC ；1④存在某个位置，使 MB ∥平面A DE ．116．设 a ，b 是两个非零向量，| a |=| a + 2b |= 2 ，则 | a + b | + | b | 的最大值是＿＿＿＿．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知等差数列{a } 的公差不为 0，其前 4 项和为 26， a 和 a 和 a 的等比中项．n3111（Ⅰ）求数列{a}的通项公式；na ⎪2b n +2 , n 是奇数 n 1 n n 2 n18．某城市随机抽取一年（365 天）内 100 天的空气质量指数 API 的检测数据，结果统计如下：API空气质量天数[0,50]优4 (50,100]良13 (100,150]轻微污染18 (150,200]轻度污染30 (200,250]中度污染9 (250,300]中度重污染11> 300重度污染15记某企业每天由空气污染造成的经济损失 S （单位：元），空气质量指数 API 为 x ．在区间 [0,100] 对企业没有造成经济损失；在区间 (100,300]对企业造成经济损失成直线模型（当 API 为 150 时造成的经济损失为 500元，当 API 为 200 时，造成的经济损失为 700 元）；当 API 大于 300 时造成的经济损失为 2 000 元．（Ⅰ）试写出 S ( x ) 的表达式；（Ⅱ）估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元的概率；（Ⅲ）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下列2⨯2列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？P(χ2≥k)0.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k1.322.07 2.703.848.02 6.637.8710.82χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)非重度污染重度污染合计供暖季非供暖季合计10019．如图，已知四棱锥S-ABCD的侧面SAD与侧面SCD互相垂直，底面ABCD是边长为32的正方形，AS=DS=3．（Ⅰ）求证平面SAD⊥底面ABCD；（Ⅱ）点E在棱DS上，若三棱锥E-SBC的体积是四棱锥S-ABCD体积的一半，求出DE的长．20．已知抛物线C：y2=4x，过点E(2,1)作斜率分别为k、k的两条直线AB、CD．其中A、B、C、D四12点均为直线与抛物线的交点，M、N分别是线段AB、CD的中点．（Ⅰ）若k k=-1，且△EMN的面积为4，求直线MN的方程；12（Ⅱ）若k+k=2，试判断直线MN是否过定点，若直线MN过定点，求出该点坐标，若直线MN不过定12点，说明理由．21．已知函数f(x)=sinx-cosx+a．（Ⅰ）求函数f(x)=2f(x)-6x,x∈[0,π]的单调区间；（Ⅱ）函数h(x)=f(2x)+[f(x)]2-2ax，若h(x)≥a(a-1)在x∈[0,π]上恒成立，求a的取值范围．2请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ=32⎧⎪x=1+2cosθ22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为⎨（θ为参数），以原点O为极点，x轴的⎪⎩y=-1+2sinθπ2cos(θ+)4．（Ⅰ）分别写出曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程．（Ⅱ）设直线l与曲线C的两个交点分别为A，B，求|OA||OB|的值．23．已知a>b>c>0，函数f(x)=|x-a|+b+|x+c|的最小值为4．（Ⅰ）求a+b+c的值；a2b2（Ⅱ）求++c2的最小值．94⎪⎩(a + 10d ) a = (a + 2d )2 ⇒⎨1 17．解：（Ⅰ）设数列{a } 的公差为 d ，则 ⎨ ⎩d = 3 ⎪⎩22+log 2b n = 4b n , n 是偶数， b = 21+2 = 8 ，= ⎨ ⎪⎩ 2n +1 , n 是偶数⎧⎪4 + 2n +1 - 8 ………….……10 分S =⎨ + 2n +2 - 8, n 是偶数．……………………………….…………..……12 分 ∴ n ⎩ 4+ 2n +1 - 8, n 是奇数 18．（Ⅰ） S ( x ) = ⎨4 x - 100, x ∈ (100,300] ；…………………………………………………………….4 分 ⎪300, x ∈ (300, +∞) 100 ，……………………………………8 分S辽宁省实验中学 2017 届高三第四次模拟考试文科数学试卷答案一、选择题1~5．AAACB 6~10．DBCCC 11~12．AB13． -1 14．ACB 15．①②④ 16． 2 2⎧⎪4a + 6d = 26 ⎧a = 2 1 n 111∴ a = 3n - 1 ．…………………………………………………………………...……4 分n（Ⅱ） b = 1 ， b 1 n +2⎧⎪log 2b n +2 = b + 2, n 是奇数 2 n2∴ b = ⎨n, n 是奇数 n∴ n 是偶数时，…………………………………………………………….……6 分S = [1+ 3 + 5 + ⋅⋅⋅ + (n - 1)]+ (23 + 25 + 27 + ⋅⋅⋅ + 2n +1 ) =n n2 4 + 2n +2 - 8 ……….……8 分n 是奇数时，S = (1+ 3 + 5 + ⋅⋅⋅ + n) + (23 + 25 + 27 + ⋅⋅⋅ + 2n ) = (n + 1)2 nn = 1 时， S = 1 ．n⎧⎪1,n = 1 ⎪⎪ n 2 ⎪ 4⎪ (n + 1)2 ⎪⎧0, x ∈[0,100]⎪ ⎩（Ⅱ）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失 S 大于 200 元且不超过 600 元”为事件 A ，由 2 得 150 < w ≤ 250 ，频数为 39，所以 P( A ) = 39< 60 ≤ ，K 2的观测值 k 2 =≈ 4.575 > 3.841…………………………..10 分 k联立方程 ⎨ ⇒ - m y + m - 2 = 0 ⎩ y 2 = 4 x 4 222 k k2(m -m )2(m + m ) - 1（Ⅲ）根据以上数据得到如下列联表：供暖季非供暖季合计非重度污染226385重度污染8715合计3070100100 ⨯ (63 ⨯ 8 - 22 ⨯ 7)2 85 ⨯15 ⨯ 30 ⨯ 70所以有 95%的把握认为空气重度污染与供暖有关…………………………12 分19．解：（Ⅰ）记 AC 与 BD 相交于点 O ，∵平面 PBD ⊥ 平面 ABCD ， AC ⊥ BD ∴ AC ⊥ 平面 PBD ，又∵ PO ⊂ 平面 PBD ，∴ AC ⊥ PO ，又∵ AO = OC ，∴ P A = AC ………………………………………………………….……….….4 分（Ⅱ） 6 5 - 12 ……………………………………………………………………………....………….12 分20．解：（Ⅰ）由题设，直线 AB 、CD 均与 x 轴不垂直，否则与抛物线 C 仅有一个公共点．设 AB ： x - 2 = m ( y - 1) ， CD ： x - 2 = m ( y - 1) ，其中 m = 11 2 1 1⎧ x - 2 = m ( y - 1) y 211 1y = y 1 + y2 = 2m ， x= m ( y - 1) + 2 = 2m 2 - m + 2 ，M1M1M11∴ M (2m 2 - m + 2,2 m ) ，同理， N (2m 2 - m + 2,2 m ) ，11 12 2 21S| EM | | EN |= ( 1 + m 2 ⋅ | m |) ( 1 + m 2 | m |)1 12 2 ∵ m m = 1= -1 ，1 21 2， m =2 1k 2∴ S∆EMN= 2 1 + m 2 + m 2 = 4 ， S1 2∆EMN= 2 1+ m 2 + m 2 = 4 ∴ m 2 + m 2 = 2 ，又 m 2 + m 2 ≥ 2 | m m |= 2 ， 1 2 1 2 1 2 1 2∴ | m |=| m |= 1 ．………………………………………………………………………………………6 分12不妨令 m = 1 ， m = -1 ，则 M (1,2)， N (5,-2) ，直线 MN 的方程为 x + y - 3 = 0 ．12（Ⅱ） k21 2 =(2m 2 - m + 2) - (2m 2 - m + 2) 2(m + m ) - 11 12 2 1 2∴直线 MN 的方程为 y - 2m = 2( x - 2m 2 + m - 2) ．11112[2(m + m ) - 1]y - 4m m = 2x - 4-7-/9当 x [0, ]时， 2sin(x ) a 1 0 ， h (x) 012 分xx 6 …8分arcsin(2 4 2sin(x) 1 0 ， 2sin(x) a 1 0 ， h (x) 0∵ k1k21 1 m m1 22 ，∴ m1m22m m12∴ (4m m121)y 4m m 122x 4， 4m m (y 1) y 2x 4 1 23∴直线 MN 过定点 ( ,1)．……………………………………………………………………….221．解：（Ⅰ） g (x) 2(sinxcosx a) 6x,x [0,π]π3 g (x) 2(sinx cosx) 6 2 2[sin(x ) ],x [0,π]42π 5π π 5π∴函数 g(x)在 [0, ]和 [ ,π]上是增函数，在[ , ]上是减函数．……4 分12 12 12 12（Ⅱ） h(x) (sin2x cos2xa) (sinx cosx a)22axcos2x 2a(sinx cosx) 2axa 2 a 1h (x) 2sin2x2a(sinx cosx) 2a2[(sin cosx)2 1 a(sinx cosx) a]2(sinx cosx 1)(sin cosx a 1)ππ2[ 2sin(x) 1][ 2sin(x ) a 1]……………………………………分 …………44h(0) a(a 1)，πππ当 x [0, ]时， 2sin(x) 1 0 ，只需考察 2sin(x ) a 1的正负， 24 4①若 a 12 ，即 a 2 1，π π 2 4π∴函数 h(x)在 [0, ]上是减函数，2π∴ x (0, )时， h(x) h(0) a(a 1)，不符合题设；………………………………………2②若1a 1 2 ，即 2 1 a 2，记xa 1 π) ，当 x [0,x ]时，π π 44∴函数 h(x)在 [0,x ]上是减函数，∴ x ∈ (0, x ) 时，h(x) < h(0) = a(a -1) ，不符合题设；……………………………10 分当 x ∈[0, ] 时， 2sin( x + ) + a + 1 ≥ 0 ， h '(x) ≥ 0∴ x ∈[0, ] 时， h(x) ≥ h(0) = a(a -1) ，原不等式成立．ρ= 3 28 27③若 -a - 1 ≤ 1 ，即 a ≥ -2 ，π π2 4π∴函数 h( x ) 在 [0, ] 上是增函数，2π2综上可知 a ≥ -2 ．…………………………………………………………………………………………12 分22．解：（Ⅰ）曲线 C 的普通方程为 ( x - 1)2 + ( y + 1)2 = 2直线 l 的直角坐标方程 x - y - 3 = 0 ；………………………………………………………….4 分π（Ⅱ）曲线 C 的极坐标方程为 ρ = 2 2cos(θ + ) ；4代入 π ，得 ρ = 2 3 ， | OA |=| OB |= 2 3 ，2cos(θ + )4∴ | OA | | OB |= 6 ……………………………………………………………………………………………10 分23．解：（Ⅰ）函数 f ( x ) =| x - a | +b + | x + c | 的最小值为 | a + c | +b = a + b + c = 4 ．……………………………………….4 分a 2b 2 a b（Ⅱ） ( + + c 2 ) (9 +4 +1)? ( 3 2 + c 1)2 = (a +b + c )2 =16 ，9 4 3 2a b 18 a 2 b 2 8 当且仅当 = = c ，即 a = ， b = ， c = 时， + + c 2 有最小值． (10)9 4 7 7 9 47分。

2017届高三第四次联合模拟文科数学试卷

成都市9校2017届高三第四次联合模拟文科数学试卷一、选择题（共60分）1、设集合A ＝{x ︱x 2－2x －3＜0}，B ＝{x ︱y ＝ln(2－x)}，则A ∩B ＝（） A ：{x ︱－1＜x ＜3} B ：{x ︱－1＜x ＜2}C ：{x ︱－3＜x ＜2}D ：{x ︱1＜x ＜2}2、已知i iz+=+221，则复数z ＋5的实部与虚部的和为（） A ：0 B ：－10C ：10D ：－53、在等差数列{n a }中，已知5a ＋10a ＝12，则37a ＋9a ＝（） A ：12 B ：18 C ：24 D ：304、右侧程序框图所示的算法来自于《九章算术》，若输入a 的值为16，b 的值为24，则执行该程序框图输出的结果为（） A ：6 B ：7 C ：8 D ：95、直线x ＋2y －5＋5＝0被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为（） A ：1B ：2C ：46D ：46、设3.02=a ，23.0=b ，)3.0(log 2+=x c x （x ＞1），则a 、b 、c 的大小关系是（）A ：a ＜b ＜cB ： b ＜a ＜cC ： c ＜b ＜aD ：b ＜c ＜a7、若x 、y 满足不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤+≥0262y x y x x ，则z ＝x 2＋y 2的最小值是（）A ：2B ：5C ：4D ：58、已知函数f(x)＝[)⎩⎨⎧-∈+∈0,2,1]2,0[,2x x x x ，在集合M ＝{y ︱y ＝f(x) }中随机取一个数m ，则事件“m ＞0”的概率为（） A ：43 B ：41 C ：54 D ：51 9、如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（） A ：27πB ：273π C ：227π D ：2327π 10、定义在R 上的函数g(x)＝x e e xx++-，则满足)12(-x g ＜)3(g 的x 取值范围是（）A ：(－∞，2)B ：(－2，2)C ：(2，＋∞)D ：(－1，2)11、已知函数f(x)＝sin(ωx ＋ϕ)＋cos(ωx ＋ϕ)（ω＞0，0＜ϕ＜π）是奇函数，若直线y ＝2与函数f(x)的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为2π，则（）。

2017年高考诊断性测试文科数学参考答案

2017年高考诊断性测试文科数学参考答案一、选择题A DB BC AD B C C 二、填空题11. 68 12.0120 13.33π 14. (],4-∞- 15. ③ 三、解答题16.解：（1）()f x 1cos 21=2222-+-x x =sin(26π-）x , …………………3分由 3222,262k x k k πππππ+≤-≤+∈Z ，得5,36k x k k ππππ+≤≤+∈Z ， …………………5分所以()x f 的单调递减区间为5[,]()36k k k ππππ++∈Z . ………………6分（2）由（1）知()sin(2)6π=-f x x ,当()0,π∈x 时，112666πππ-<-<x , 结合正弦函数图象可知，当262x ππ-=，即3x π=时()x f 取得最大值.因为()f A 是()f x 在(0,)π上的最大值，所以3π=A . …………………8分在ABC ∆中，由余弦定理得 A bc c b a cos 2222-+=，即 214216122⨯⨯-+=b b , 解得 2b =, …………………10分于是11sin 24sin 602322ABC S bc A ∆==⨯⨯=. …………………12分 17.(1)证明：因为在平面ABCD 内以BD 为直径的圆经过点A ,AD AB =，所以平行四边形ABCD 为正方形，所以BC AB ⊥ ,因为⊥EA 平面ABCD ，又⊂BC 平面ABCD ,所以⊥EA BC . ……………………2分因为⊥BC EA ，BC AB ⊥，=EAAB A ，EA ⊂平面ABEG ,AB ⊂平面ABEG ,所以BC ⊥平面ABEG ，又EF ⊂平面ABEG ,所以BC EF ⊥. …………………4分因为在三角形EAG 中，2==EA EG ，F 为AG 的中点所以⊥EF AG又在平行四边形ABEG 中，//BE AG ，所以⊥EF BE . …………………6分因为⊥EF BC ，⊥EF BE ，BCBE B =，BE ⊂平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，所以EF ⊥平面BCE ， ……………………7分又EF ⊂平面EFP ，所以平面EFP ⊥平面BCE . ……………………8分(2)解：由（1）知EF ⊥平面BCE ，所以EF 是三棱柱ADG BCE -的高， …………………10分所以1222242ADG BCE BCE V S EF -∆=⋅=⨯⨯=. …………………12分 18.解：（1）由题意，可知100.012100.056100.018100.010101x +⨯+⨯+⨯+⨯=，∴0.004x =． ……………………2分（2）甲部门服务情况的满意度为0.056100.018100.010100.84⨯+⨯+⨯=． …………………3分乙部门服务情况的满意度为610.8850-=． …………………5分 ∴乙部门服务情况的满意度较高. ……………………6分（3）由题意，设乙部门得分为[)[)50,60,60,70的6个样本数据从小到大依次为121234,,,,,A A B B B B ．则随机抽取两个样本数据的所有基本事件有：{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}121112131421222324121314232434,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A A AB A B A B A B A B A B A B A B B B B B B B B B B B B B 共15个． ………………… 9分其中“至少有一个样本数据落在[)50,60内”包含{}{}{}{}{}1211121314,,,,,,,,,,A A A B A B A B A B {}{}2122,,,A B A B {}{}2324,,,,A B A B共9个基本事件． ……………………11分 ∴至少有一个样本数据落在[)50,60内的概率为93155P ==. ………………12分 19.解：（1）由已知，22n S n n =+，当2n ≥时，221(2)[(1)2(1)]21n n n a S S n n n n n -=-=+--+-=+，…………………2分当1n =时，13a =，适合上式，所以21n a n =+. ……………………4分由于11=3b a =，24=9b a =，所以公比3q =，所以3nn b =. ……………………6分（2） (1)=(1)(21)3n n nn n n c a b n =-+-++,当n 为偶数时，n T =[(35)(79)+-(21)(21)]n n -++-+-++23+(3+3+3+3)+n3(13)=2213⨯-⨯+-n n 133=22n n ++-. ……………9分当n 为奇数时，1-n 为偶数，()()()(1)1133T =T [1]121322n n n n n c n n -+-+=+--+-⨯++137.22n n +=--………………11分综上所述，1133,22T 3722n n n n n n n ++⎧+-⎪⎪=⎨⎪--⎪⎩为偶数,,为奇数. ………………12分20. 解：（1）抛物线24y x =的焦点为10（，），1∴=c ………………2分又椭圆上的点到F 的最大距离为3+=a c ，2∴=a . …………………4分由222=+a b c，知=b 所以椭圆C 的方程为22143x y +=. …………………5分(2)设直线AB 的方程为1x my =+，由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩整理得22(43)690m y my ++-=， …………7分设直线l 与椭圆C 的交点为()()1122,,A x y B x y ，，则有 12122269,4343m y y y y m m+=-=-++ ， ………………………8分于是∆OAB 的面积1212=-S OF y y ………………………9分243m==+， ……………10分(1)t t ≥，于是()266=11313)3=≥++（t S t t t t，令()()113f t t t t =+≥，()2221311033-'=-=>t f t t t ，所以()13=+f t t t 在[1,)+∞单调递增，所以当1t =时，13t t +取最小值43，()6==113)3S t t t≥+（取最大值32所以∆OAB 的面积S 最大值为32. ………………13分 21. 解：（1）1()ln ln 1f x x x x x'=+⋅=+，当1x =时，(1)1f '=，所以()ln f x x x =在1x =处的切线方程为：1y x =-， …………2分联立212y x y x ax =-⎧⎨=-+-⎩，消y 可得，2(1)10x a x +-+=，由题意可知，2(1)40a =--=，所以31a =-或； ………………………………4分(2)由（1）知'()ln 1f x x =+，当1(0,)x e∈，'()0f x <，()f x 单调递减，当1(,)x e∈+∞，'()0f x >，()f x 单调递增． …………………………6分①1104e t t <<+≤，即110e 4t <≤-时，min 111()()()ln()444f x f t t t =+=++； ② 110e 4t t <<<+，即111e 4et -<<时，min 11()()f x f e e ==-；③11e 4t t ≤<+，即1t e ≥时，()f x 在1[,]4t t +上单调递增，min ()()ln f x f t t t ==；所以min1111()ln()044e 41111()e e 4e 1ln ,e t t t f x t t t t ⎧++<≤-⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪≥⎪⎩，，． ……………………………9分（3）设2()((0,))x x m x x e e=-∈+∞，则1'()x x m x e -=， ……………………………10分当(0,1)x ∈时，()0m x '>,()m x 单调递增；当(1,)x ∈+∞时，()0m x '<,()m x 单调递减，可得max 1()(1)m x m e==-，当且仅当1x =时取到. …………12分由（2）知()ln ((0,))f x x x x =∈+∞的最小值是1e -，当且仅当1x e=时取到.因此当(0,)x ∈+∞时，()()min max 1ef x m x ≥-≥恒成立. 又两次最值不能同时取到，所以对一切(0,)x ∈+∞，都有2ln e exx x x >-.……14分。

四川省泸州市2017届高三数学四诊试卷(文科) Word版含解析

2017年四川省泸州市高考数学四诊试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={x|（x+2）（x﹣1）＜0}，N={x|x+1＜0}，则M∩N=（）A．（﹣1，1）B．（﹣2，1）C．（﹣2，﹣1）D．（1，2）2．已知复数z满足（1+i）z=2i（i为虚数单位），则|z|=（）A．B．C．D．23．“a＞b”是“log2a＞log2b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．某位股民购进某只股票，在接下来的交易时间内，他的这只股票先经历了3次涨停（每次上涨10%）又经历了3次跌停（每次下降10%），则该股民这只股票的盈亏情况（不考虑其他费用）为（）A．略有盈利 B．无法判断盈亏情况C．没有盈也没有亏损 D．略有亏损5．已知函数f（x）=3sinx﹣4cosx（x∈R）的一个对称中心是（x0，0），则tanx0的值为（）A．B．C．D．6．已知函数F（x）=f（x）+x2是奇函数，且f（2）=1，则f（﹣2）=（）A．9 B．﹣9 C．﹣7 D．77．《孙子算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中一个问题的解答可以用如图的算法来实现，若输入的S，T的值分别为40，126，则输出a，b的值分别为（）A．17，23 B．21，21 C．19，23 D．20，208．已知，则=（）A．B．C．D．9．正四面体ABCD的棱长为4，E为棱AB的中点，过E作此正四面体的外接球的截面，则截面面积的最小值是（）A．4πB．8πC．12π D．16π10．某几何体的正视图和侧视图如图（1）所示，它的俯视图的直观图是A'B'C'，如图（2）所示，其中O'A'=O'B'=2，，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．11．过抛物线C：y2=2px（p＞0）焦点F的直线l与C相交于A，B两点，与C的准线交于点D，若|AB|=|BD|，则直线l的斜率k=（）A．B．±3 C．D．12．已知函数f（x）=，关于x的不等式f2（x）+af（x）＞0只有一个整数解，则实数a的取值范围是（）A．（﹣，﹣] B．（﹣，﹣] C．[，﹣]D．[，）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知函数f（x）=，若f（a）=1，则a 的值为．14．已知向量=（λ，1），=（λ+2，1），若|+|=|﹣|，则实数λ= ．15．当实数x，y满足不等式组时，ax+y+a+1≥0恒成立，则实数a的取值范围是．16．在等腰△ABC中，AB=AC，AC边上的中线BD长为6，则当△ABC的面积取得最大值时，AB 的长为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{a n}的前n项和S n满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=2log2a n﹣1，求数列的前n项和T n．18．某市对创“市级示范性学校”的甲、乙两所学校进行复查验收，对办学的社会满意度一项评价随机访问了20位市民，这20位市民对这两所学校的评分（评分越高表明市民的评价越好）的数据如下：甲校：58，66，71，58，67，72，82，92，83，86，67，59，86，72，78，59，68，69，73，81；乙校：90，80，73，65，67，69，81，85，82，88，89，86，86，78，98，95，96，91，76，69，．检查组将成绩分成了四个等级：成绩在区间的为A等，在区间22．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（ϕ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）设直线l的极坐标方程是，射线x ﹣y=0（x≥0）与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．23．设函数f（x）=|x﹣|+|x+a|（a＞0）．（1）证明：f（x）≥4；（2）若f（2）＜5，求a的取值范围．2017年四川省泸州市高考数学四诊试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={x|（x+2）（x﹣1）＜0}，N={x|x+1＜0}，则M∩N=（）A．（﹣1，1）B．（﹣2，1）C．（﹣2，﹣1）D．（1，2）【考点】1E：交集及其运算．【分析】由题意M={x|（x+2）（x﹣1）＜0}，N={x|x+1＜0}，解出M和N，然后根据交集的定义和运算法则进行计算．【解答】解：∵集合M={x|（x+2）（x﹣1）＜0}，∴M={x|﹣2＜x＜1}，∵N={x|x+1＜0}，∴N={x|x＜﹣1}，∴M∩N={x|﹣2＜x＜﹣1}故选C．2．已知复数z满足（1+i）z=2i（i为虚数单位），则|z|=（）A．B．C．D．2【考点】A8：复数求模．【分析】直接利用复数两边求模的运算法则求解即可．【解答】解：复数z满足（1+i）z=2i，则：|（1+i）||z|=|2i|，可得|z|=2，∴|z|=．．故选：C3．“a＞b”是“log2a＞log2b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】a＞b不一定得到log2a＞log2b，a，或b为负数时便得不到；而根据对数函数log2x 的单调性，由log2a＞log2b便得到a＞b，所以“a＞b”是“log2a＞log2b”的必要不充分条件．【解答】解：a＞b得不到log2a＞log2b，比如2＞﹣1，log2（﹣1）无意义；log2a＞log2b，根据对数函数y=log2x在定义域上是增函数便得到a＞b；∴“a＞b”是“log2a＞log2b”的必要不充分条件．故选B．4．某位股民购进某只股票，在接下来的交易时间内，他的这只股票先经历了3次涨停（每次上涨10%）又经历了3次跌停（每次下降10%），则该股民这只股票的盈亏情况（不考虑其他费用）为（）A．略有盈利 B．无法判断盈亏情况C．没有盈也没有亏损 D．略有亏损【考点】46：有理数指数幂的化简求值．【分析】由题意可得：（1+10%）3（1﹣10%）3=0.993≈0.97．即可判断出结论．【解答】解：由题意可得：（1+10%）3（1﹣10%）3=0.993≈0.97＜1．因此该股民这只股票的盈亏情况为：略有亏损．故选：D．5．已知函数f（x）=3sinx﹣4cosx（x∈R）的一个对称中心是（x0，0），则tanx0的值为（）A．B．C．D．【考点】H2：正弦函数的图象；GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】利用辅助角化简f（x），一个对称中心是（x0，0），建立关系，表示出x0，即可求出tanx0的值．【解答】解：函数f（x）=3sinx﹣4cosx=5sin（x+θ），其中tanθ=．∵f（x）的一个对称中心是（x0，0），∴sin（x0+θ）=0，即x0+θ=kπ，k∈Z．则x0=kπ﹣θ．那么：tanx0=tan（kπ﹣θ）=﹣tanθ=．故选：D．6．已知函数F（x）=f（x）+x2是奇函数，且f（2）=1，则f（﹣2）=（）A．9 B．﹣9 C．﹣7 D．7【考点】3L：函数奇偶性的性质．【分析】根据函数y=f（x）+x2是奇函数，且f（2）=1，建立方程组，即可求f（﹣2）．【解答】解：∵F（x）=f（x）+x2是奇函数，∴F（﹣x）=﹣F（x），即f（﹣x）+x2=﹣f（x）﹣x2，∴f（﹣x）+f（x）=﹣2x2，即f（﹣2）+f（2）=﹣2×（﹣2）2=﹣8，∴f（﹣2）=﹣f（2）﹣8=﹣9，故选：B．7．《孙子算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中一个问题的解答可以用如图的算法来实现，若输入的S，T的值分别为40，126，则输出a，b的值分别为（）A．17，23 B．21，21 C．19，23 D．20，20【考点】EF：程序框图．【分析】根据程序框图的内容，进行模拟计算即可．【解答】解：若输入的S，T的值分别为40，126，第一次，126≥2×40，满足条件．则T﹣2S=126﹣80=46除以2的余数为0，满足t=0，则b===23，a=S﹣b=40﹣23=17，即a=17，b=23，故选：A8．已知，则=（）A．B．C．D．【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】利用诱导公式和二倍角公式即可计算．【解答】解：由，可得：cos（）=sin[﹣（）]=．那么： =cos2（）=2cos2（）﹣1=2×=．故选：B．9．正四面体ABCD的棱长为4，E为棱AB的中点，过E作此正四面体的外接球的截面，则截面面积的最小值是（）A．4πB．8πC．12π D．16π【考点】LR：球内接多面体．【分析】根据题意，将四面体ABCD放置于如图所示的正方体中，则正方体的外接球就是四面体ABCD的外接球．因此利用题中数据算出外接球半径R，当球心O到截面的距离最大时，截面圆的面积达最小值，再利用球的截面圆性质可算出截面面积的最小值．【解答】解：将四面体ABCD放置于正方体中，如图所示可得正方体的外接球就是四面体ABCD的外接球，∵正四面体ABCD的棱长为4，∴正方体的棱长为2，可得外接球半径R满足2R=2×，R=．E为棱BC的中点，过E作其外接球的截面，当球心O到截面的距离最大时，截面圆的面积达最小值，此时球心O到截面的距离等于正方体棱长的一半，可得截面圆的半径为r=．得到截面圆的面积最小值为S=πr2=4π．故选：A．10．某几何体的正视图和侧视图如图（1）所示，它的俯视图的直观图是A'B'C'，如图（2）所示，其中O'A'=O'B'=2，，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由俯视图的直观图可得原图形：为边长为4的等边三角形．可得原几何体为四棱锥P ﹣ABC．其中PC⊥底面ABC．【解答】解：由俯视图的直观图可得原图形：为边长为4的等边三角形．可得原几何体为四棱锥P﹣ABC．其中PC⊥底面ABC．∴该几何体的表面积S=++=24．故选：C．11．过抛物线C：y2=2px（p＞0）焦点F的直线l与C相交于A，B两点，与C的准线交于点D，若|AB|=|BD|，则直线l的斜率k=（）A．B．±3 C．D．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】如图，设A，B两点的抛物线的准线上的射影分别为A′，B′，过B作AA′的垂线BH，在三角形ABH中，∠BAH等于直线AB的倾斜角，其正切值即为k值，利用在直角三角形ABN中，tan∠BAH=，从而得出直线AB的斜率．【解答】解：如图，设A，B两点的抛物线的准线上的射影分别为A′，B′，过B作AA′的垂线BH，在三角形ABH中，∠BAH等于直线AB的倾斜角，其正切值即为丨k值，由抛物线的定义可知：设|BF|=n，B为AD中点，根据抛物线的定义可知：丨AF丨=丨AA′丨，丨BF丨=丨BB′丨，丨BB′丨=丨AA′丨，可得2|BF|=|AA′|，即|AF|=2|BF|，∴|AF|=2n，|AA′|=2n，|BF|=n，∴|AH|=n，在直角三角形ABH中，tan∠BAH===2，则直线l的斜率k=2；同理求得：直线l的斜率k=﹣2；故选：D．12．已知函数f（x）=，关于x的不等式f2（x）+af（x）＞0只有一个整数解，则实数a的取值范围是（）A．（﹣，﹣] B．（﹣，﹣] C．[，﹣]D．[，）【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】利用导数，求出f（x）的单调性，通过讨论a的符号，结合图象，解关于f（x）的不等式结合不等式解的个数，求出a的范围即可．【解答】解：（1）f′（x）=，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜e，令f′（x）＜0，解得：x＞e，∴f（x）的递增区间为（0，e），递减区间为（e，+∞），故f（x）的最大值是f（e）=．x→+∞时，f（x）→0，x→0时，x→﹣∞，f（1）=0，故在（0，1）时，f（x）＜0，在（1，+∞）时，f（x）＞0，函数f（x）的图象如下：①a＜0时，由不等式f2（x）+af（x）＞0得f（x）＞﹣a＞0或f（x）＜0，而f（x）＜0的解集为（0，1）无整数解，f（x）＞﹣a＞0的解集整数解一个，∵f（x）在（0，e）递增，在（e，+∞）递减，而2＜e＜3，f（2）=f（4）＜f（3），这一个正整数只能为3，∴f（2）≤﹣a＜f（3），∴﹣＜a②a=0时，由不等式f2（x）+af（x）＞0，得f（x）≠0，解集为（0，1）∪（1，+∞），整数解有无数多个，不合题意；③a＞0时，由不等式f2（x）+af（x）＞0，得f（x）＞0或f（x）＜﹣a＜0，∵f（x）＜﹣a＜0的解集为（0，1）无整数解，而f（x）＞0的解集为（1，+∞），整数解有无数多个，不合题意；综上，故选：A二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知函数f（x）=，若f（a）=1，则a 的值为 2 ．【考点】3T：函数的值．【分析】根据题意，由函数的解析式分2种情况讨论：①、若a＜2，则有，②、若a≥2，则有，分别求出a的值，综合可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）=，若f（a）=1，分2种情况讨论：①、若x＜2，则有，此时无解；②、若a≥2，则有，解可得a=2，综合可得a=2；故答案为：2．14．已知向量=（λ，1），=（λ+2，1），若|+|=|﹣|，则实数λ= ﹣1 ．【考点】9P：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【分析】先求得得和的坐标，再根据|+|=|﹣|，求得λ的值．【解答】解：由题意可得=（2λ+2，2），=（﹣2，0），再根据|+|=|﹣|，可得=，解得λ=﹣1，故答案为：﹣1．15．当实数x，y满足不等式组时，ax+y+a+1≥0恒成立，则实数a的取值范围是．【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义结合数形结合进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：直线ax+y+a﹣1=a（x+1）+（y+1）=0，过定点D（﹣1，﹣1）．ax+y+a+1≥0恒成立等价为可行域都在直线ax+y+a+1=0的上方；则由图象知只要B（1，0）满足ax+y+a+1≥0即可，即2a+1≥0，得a≥，故答案为：；16．在等腰△ABC中，AB=AC，AC边上的中线BD长为6，则当△ABC的面积取得最大值时，AB的长为4．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】设AB=AC=2x，三角形的顶角θ，则由余弦定理求得cosθ的表达式，进而根据同角三角函数基本关系求得sinθ，最后根据三角形面积公式表示出三角形面积的表达式，根据一元二次函数的性质求得面积的最大值．【解答】解：在等腰△ABC中，设AB=AC=2x，AD=x．设三角形的顶角为θ，则由余弦定理得cosθ=，∴sinθ=，由公式三角形：S=absinθ==得：当 x2=20时，三角形面积有最大值，即AB=2x=4时三角形面积有最大值．所以答案为：4．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{a n}的前n项和S n满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=2log2a n﹣1，求数列的前n项和T n．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（1）利用数列递推关系、等比数列与等差数列的通项公式即可得出．（2）利用裂项求和方法即可得出．【解答】解：（1）因为S n=2a n﹣a1，所以a n=S n﹣S n﹣1（n≥2），即a n=2a n﹣1（n≥2），即数列{a n}是以2为公比的等比数列，又a1，a2+1，a3成等差数列，所以a1+a3=2（a2+1），即a1+4a1=2（2a1+1），解得a1=2，所以数列{a n}的通项公式为．（2）由（1）得b n=2log2a n﹣1=2n﹣1，因为，所以．18．某市对创“市级示范性学校”的甲、乙两所学校进行复查验收，对办学的社会满意度一项评价随机访问了20位市民，这20位市民对这两所学校的评分（评分越高表明市民的评价越好）的数据如下：甲校：58，66，71，58，67，72，82，92，83，86，67，59，86，72，78，59，68，69，73，81；乙校：90，80，73，65，67，69，81，85，82，88，89，86，86，78，98，95，96，91，76，69，．检查组将成绩分成了四个等级：成绩在区间的为A等，在区间．22．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（ϕ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）设直线l的极坐标方程是，射线x ﹣y=0（x≥0）与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）因为，利用平方关系消参得：（x﹣1）2+y2=1，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得圆C的极坐标方程．（2）射线的极坐标方程是，设点P（ρ1，θ1），则：，解得ρ1，θ1．设点Q（ρ2，θ2），则：，解得ρ2，θ2，根据θ1=θ2，可得|PQ|=|ρ1﹣ρ2|．【解答】解：（1）因为，消参得：（x﹣1）2+y2=1，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入得（ρcosθ﹣1）2+（ρsinθ）2=1，所以圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ；（2）射线的极坐标方程是，设点P（ρ1，θ1），则有：，解得，设点Q（ρ2，θ2），则：，解得，由于θ1=θ2，所以|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2，所以线段PQ的长为2．23．设函数f（x）=|x﹣|+|x+a|（a＞0）．（1）证明：f（x）≥4；（2）若f（2）＜5，求a的取值范围．【考点】R6：不等式的证明；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用绝对值三角不等式，化简，然后利用基本不等式证明即可．（2）化简f（2）＜5，通过对a与2的大小比较，讨论求解不等式的解集即可．【解答】证明：（1）；当且仅当a=2时取等号．…解：（2）①当a=2时，显然满足；②当0＜a≤2时，，即a2﹣5a+4＜0⇒1＜a＜4，联立求解得1＜a≤2；③当a＞2时，⇒a2﹣a﹣4＜0，⇒，联立求解得综上，a的取值范围为．。

吉林省长春市2017届高三数学四模试卷文科含解析精品

2017年吉林省长春市高考数学四模试卷（文科）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上）1．i为虚数单位，则i+i2+i3+i4=（）A．0 B．i C．2i D．﹣i2．已知集合A={x|x＜﹣2或x＞4}，B={x|2x﹣1＜8}，则A∩B=（）A．{x|x≥4} B．{x|x＞4} C．{x|x≥﹣2} D．{x|x＜﹣2}3．已知函数f（x）=，则函数f（x）的值域为（）A．上的所有实根之和为（）A．﹣5 B．﹣7 C．﹣9 D．﹣11二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）. 13．数列{a n}是等比数列，满足a2=2，a2+a4+a6=14，则a6= ．14．已知实数x，y满足条件，则z=y﹣2x的最小值为．15．若非零向量，满足||=|+|=2，||=1，则向量与夹角的余弦值为．16．有甲、乙二人去看望高中数学张老师，期间他们做了一个游戏，张老师的生日是m月n 日，张老师把m告诉了甲，把n告诉了乙，然后张老师列出来如下10个日期供选择：2月5日，2月7日，2月9日，5月5日，5月8日，8月4日，8月7日，9月4日，9月6日，9月9日．看完日期后，甲说“我不知道，但你一定也不知道”，乙提听了甲的话后，说“本来我不知道，但现在我知道了”，甲接着说，“哦，现在我也知道了”．请问张老师的生日是．三、解答题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．如图，在四边形ABCD中，AB=5，BC=7，AC=8，CD=6，BC⊥CD．（Ⅰ）求∠BAC的大小；（Ⅱ）求四边形ABCD的面积．18．某市对大学生毕业后自主创业人员给予小额贷款补贴，贷款期限分为6个月、12个月、18个月、24个月、36个月五种，对于这五种期限的贷款政府分别补贴200元、300元、300元、400元、400元，从2016年享受此项政策的自主创业人员中抽取了100人进行调查统计，选取贷款期限的频数如表：贷款期限 6个月 12个月 18个月 24个月 36个月频数 20 40 20 10 10 （Ⅰ）若小王准备申请此项贷款，求其获得政府补贴不超过300元的概率（以上表中各项贷款期限的频率作为2017年自主创业人员选择各种贷款期限的概率）；（Ⅱ）若小王和小李同时申请此项贷款，求两人所获得政府补贴之和不超过600元的概率．19．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，AA1⊥底面ABCD，E为B1D的中点．（Ⅰ）证明：平面ACE⊥平面ABCD；（Ⅱ）若AA1=AB=1，点C到平面AED的距离为，求三棱锥C﹣AED的体积．20．如图，在矩形ABCD中，|AB|=4，|AD|=2，O为AB中点，P，Q分别是AD和CD的中点，且直线AQ与BP的交点在椭圆E： +y2=1（a＞0）上．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设R为椭圆E的右顶点，T为椭圆E的上顶点，M为椭圆E第一象限部分上一点，求梯形ORMT面积的最大值．21．已知函数f（x）=（2﹣a）lnx++2ax（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）当a＜0时，讨论f（x）的单调性；（Ⅲ）若对任意的a∈（﹣3，﹣2），x1，x2∈恒有（m+ln3）a﹣2ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求实数m的取值范围．请考生在22、23中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22．在平面直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ2（1+3sin2θ）=4，曲线C2：（θ为参数）．（Ⅰ）求曲线C1的直角坐标方程和C2的普通方程；（Ⅱ）极坐标系中两点A（ρ1，θ0），B（ρ2，θ0+）都在曲线C1上，求+的值．23．（Ⅰ）已知函数f（x）=|x+1|+|x﹣a|（a＞0），若不等式f（x）≥5的解集为{x|x≤﹣2或x≥3}，求a的值；（Ⅱ）已知实数a，b，c∈R+，且a+b+c=m，求证： ++≥．2017年吉林省长春市高考数学四模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上）1．i为虚数单位，则i+i2+i3+i4=（）A．0 B．i C．2i D．﹣i【考点】A1：虚数单位i及其性质．【分析】直接利用虚数单位i的性质运算．【解答】解：由i2=﹣1可知，i+i2+i3+i4=i﹣1﹣i+1=0．故选：A．2．已知集合A={x|x＜﹣2或x＞4}，B={x|2x﹣1＜8}，则A∩B=（）A．{x|x≥4} B．{x|x＞4} C．{x|x≥﹣2} D．{x|x＜﹣2}【考点】1E：交集及其运算．【分析】解指数不等式求得B，再根据两个集合的交集的定义求得A∩B【解答】解：由A={x|x＜﹣2或x＞4}，B={x|x＜4}，故A∩B={x|x＜﹣2}．故选：D．3．已知函数f（x）=，则函数f（x）的值域为（）A．=cos（2x+）=﹣sin2x的图象，故函数F（x）是奇函数，且它的最小值为﹣，故选：A．7．某四面体的三视图如图所示，则其四个面中最大面的面积是（）A．4 B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为三棱锥PABC，AC⊥CB．过点P作PO⊥底面ABC，垂足为O．连接OA，则OA∥BC，OA=BC．【解答】解：由三视图可知：该几何体为三棱锥PABC，AC⊥CB．过点P作PO⊥底面ABC，垂足为O．连接OA，则OA∥BC，OA=BC．∴最大面积为△PBC，其面积S==．故选：D．8．函数f（x）=的大致图象为（）A．B．C．D．【考点】3O：函数的图象．【分析】根据lnx的符号判断f（x）的符号，得出答案．【解答】解：当0＜x＜1时，lnx＜0，∴f（x）＜0，当x＞1时，ln＞0，∴f（x）＞0，故选A．9．已知数列{a n}是等差数列，其前n项和S n有最大值，且＜﹣1，则使得S n＞0的n的最大值为（）A．2016 B．2017 C．4031 D．4033【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式求和公式及其性质即可判断出结论．【解答】解：由题意知d＜0，a2016＞0，a2016+a2017＜0，因此S4031＞0，S4032＜0．故选：C．10．球面上有A，B，C三点，球心O到平面ABC的距离是球半径的，且AB=2，AC ⊥BC，则球O的表面积是（）A．81π B．9πC．D．【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】求出截面圆的半径，根据已知中球心到平面ABC的距离，利用直角三角形求出球的半径，代入球的表面积公式，即可得到答案．【解答】解：由题可知AB为△ABC的直径，令球的半径为R，则，可得，则球的表面积为S=4πR2=9π．故选B．11．设F1、F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2最小内角的大小为30°，则双曲线C的渐近线方程是（）A． x±y=0 B．x±y=0 C．x±2y=0 D．2x±y=0【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】不妨设P为右支上一点，由双曲线的定义，可得，|PF1|﹣|PF2|=2a，求出△PF1F2的三边，比较即可得到最小的角，再由余弦定理，即可得到c=a，再由a，b，c的关系，结合渐近线方程，即可得到所求．【解答】解：不妨设P为右支上一点，由双曲线的定义，可得，|PF1|﹣|PF2|=2a，又|PF1|+|PF2|=6a，解得，|PF1|=4a，|PF2|=2a，且|F1F2|=2c，由于2a最小，即有∠PF1F2=30°，由余弦定理，可得，cos30==．则有c2+3a2=2ac，即c=a，则b==a，则双曲线的渐近线方程为y=x，即为y=x，故选A．12．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，且f（x+2）=f（x），g（x）=，则方程f（x）=g（x）在区间上的所有实根之和为（）A．﹣5 B．﹣7 C．﹣9 D．﹣11【考点】5B：分段函数的应用．【分析】将方程根的问题转化为函数图象的交点问题，由图象读出即可．【解答】解：∵f（x）=，且f（x+2）=f（x），∴f（x﹣2）﹣2=，又g（x）=，则g（x）=2+，∴g（x﹣2）﹣2=，当x≠2k﹣1，k∈Z时，上述两个函数都是关于（﹣2，2）对称，；由图象可得：方程f（x）=g（x）在区间上的实根有3个，x1满足﹣5＜x1＜﹣4，x2=﹣3，x4满足0＜x3＜1，x1+x3=﹣4，∴方程f（x）=g（x）在区间上的所有实根之和为﹣7．故选：B．二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）. 13．数列{a n}是等比数列，满足a2=2，a2+a4+a6=14，则a6= 8 ．【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】由等比数列基本量运算可知q2=2，因此a6=8．【解答】解：设公比为q，a2=2，a2+a4+a6=14，则2+2q2+2q4=14，解得q2=2，∴a6=2q4=8，故答案为：8．14．已知实数x，y满足条件，则z=y﹣2x的最小值为﹣2 ．【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由z=y﹣2x，则y=2x+z作出不等式组对应的平面区域如图：平移直线y=2x+z，由图象知当直线y=2x+z，经过点A时，直线y=2x+z的截距最大，此时m 最大，当直线y=2x+z经过点B时，直线y=2x+z的截距最小，此时z最小，由，得，即B（1，0），此时z=0﹣2=﹣2，即z=y﹣2x的最小值﹣2，给答案为：﹣2．15．若非零向量，满足||=|+|=2，||=1，则向量与夹角的余弦值为﹣．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】运用向量的平方即为模的平方，计算可得•=﹣，再由向量夹角公式：cos ＜，＞=，计算即可得到所求值．【解答】解：由非零向量，满足||=|+|=2，||=1，可得||2=|+|2=||2+||2+2•=4，则•=﹣，即有向量与夹角的余弦值为==﹣．故答案为：﹣．16．有甲、乙二人去看望高中数学张老师，期间他们做了一个游戏，张老师的生日是m月n 日，张老师把m告诉了甲，把n告诉了乙，然后张老师列出来如下10个日期供选择：2月5日，2月7日，2月9日，5月5日，5月8日，8月4日，8月7日，9月4日，9月6日，9月9日．看完日期后，甲说“我不知道，但你一定也不知道”，乙提听了甲的话后，说“本来我不知道，但现在我知道了”，甲接着说，“哦，现在我也知道了”．请问张老师的生日是8月4日．．【考点】F4：进行简单的合情推理．【分析】甲说“我不知道，但你一定也不知道”，可排除五个日期，乙听了甲的话后，说“本来我不知道，但现在我知道了”，再排除2个日期，由此能求出结果．【解答】解：根据甲说“我不知道，但你一定也不知道”，可排除5月5日、5月6日、9月4日、9月6日、9月9日；乙听了甲的话后，说“本来我不知道，但现在我知道了”，可排除2月7日、8月7日；甲接着说“哦，现在我也知道了”，现在可以得知张老师生日为8月4日．故答案为：8月4日．三、解答题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．如图，在四边形ABCD中，AB=5，BC=7，AC=8，CD=6，BC⊥CD．（Ⅰ）求∠BAC的大小；（Ⅱ）求四边形ABCD的面积．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（Ⅰ）在△BAC中，利用余弦定理求∠BAC的大小；（Ⅱ）利用三角形的面积公式，即可求四边形ABCD的面积．【解答】解：（Ⅰ）由题意，在△BAC中，，则．（Ⅱ）在△BAC中，，则，．综上四边形ABCD的面积为．18．某市对大学生毕业后自主创业人员给予小额贷款补贴，贷款期限分为6个月、12个月、18个月、24个月、36个月五种，对于这五种期限的贷款政府分别补贴200元、300元、300元、400元、400元，从2016年享受此项政策的自主创业人员中抽取了100人进行调查统计，选取贷款期限的频数如表：贷款期限 6个月 12个月 18个月 24个月 36个月频数 20 40 20 10 10 （Ⅰ）若小王准备申请此项贷款，求其获得政府补贴不超过300元的概率（以上表中各项贷款期限的频率作为2017年自主创业人员选择各种贷款期限的概率）；（Ⅱ）若小王和小李同时申请此项贷款，求两人所获得政府补贴之和不超过600元的概率．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由题意，所求概率为P=．（2）记a，b，c，d，e分别为选择6个月、12个月、18个月、24个月、36个月贷款，由题意知小王和小李的所有选择有：aa，ab，ac，ad，ae，ba，bb，bc，bd，be，ca，cb，cc，cd，ce，da，db，dc，dd，de，ea，eb，ec，ed，ee，共25种，得出其中使得小王和小李获补贴之和不超过600的有13种，即可得出所求概率．【解答】解：（1）由题意，所求概率为（2）记a，b，c，d，e分别为选择6个月、12个月、18个月、24个月、36个月贷款，由题意知小王和小李的所有选择有：aa，ab，ac，ad，ae，ba，bb，bc，bd，be，ca，cb，cc，cd，ce，da，db，dc，dd，de，ea，eb，ec，ed，ee，共25种，其中使得小王和小李获补贴之和不超过600的有aa，ab，ac，ad，ae，ba，bb，bc，ca，cb，cc，da，ea，共13种，所以所求概率为．19．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，AA1⊥底面ABCD，E为B1D的中点．（Ⅰ）证明：平面ACE⊥平面ABCD；（Ⅱ）若AA1=AB=1，点C到平面AED的距离为，求三棱锥C﹣AED的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LY：平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）连接BD，设AC与BD的交点为F，连接EF，由三角形中位线定理可得EF∥BB1，进一步得到EF⊥平面ABCD，再由面面垂直的判定可得平面ACE⊥平面ABCD；（Ⅱ）连接AB1，C1D，CD1，设C1D交CD1于点G，由题意知四边形CDD1C1为正方形，求得，结合点C到平面AED的距离为，可得CD1⊥平面ADE，则CD1⊥AD，再由AD⊥DD1，可得AD⊥平面CDD1C1，即AD⊥CD，从而得到菱形ABCD为正方形，然后利用等积法求得三棱锥C﹣AED的体积．【解答】解：（Ⅰ）证明：连接BD，设AC与BD的交点为F，连接EF，∵E为B1D中点，F为BD中点，∴EF∥BB1，则EF⊥平面ABCD，又∵EF⊂平面ACE，∴平面ACE⊥平面ABCD；（Ⅱ）连接AB1，C1D，CD1，设C1D交CD1于点G，由题意知四边形CDD1C1为正方形，且CD=AB=1，得，又∵点C到平面AED的距离为，∴CD1⊥平面ADE，则CD1⊥AD，又∵AD⊥DD1，∴AD⊥平面CDD1C1，∴AD⊥CD，∴菱形ABCD为正方形，由于E到平面ABCD的距离为，∴．20．如图，在矩形ABCD中，|AB|=4，|AD|=2，O为AB中点，P，Q分别是AD和CD的中点，且直线AQ与BP的交点在椭圆E： +y2=1（a＞0）上．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设R为椭圆E的右顶点，T为椭圆E的上顶点，M为椭圆E第一象限部分上一点，求梯形ORMT面积的最大值．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由题可知，，整理即可求得椭圆E的方程；（Ⅱ）由，则四边形面积，即可求得梯形ORMT面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）设AQ于BP交点C为（x，y），P（﹣2，y1），Q（x1，2），由题可知，，从而有，整理得，即为椭圆方程，椭圆E的方程；（Ⅱ）R（2，0），设M（x0，y0），由，从而所求四边形面积，当且仅当取得最大值，梯形ORMT面积的最大值．21．已知函数f（x）=（2﹣a）lnx++2ax（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）当a＜0时，讨论f（x）的单调性；（Ⅲ）若对任意的a∈（﹣3，﹣2），x1，x2∈恒有（m+ln3）a﹣2ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求实数m的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（Ⅱ）先求出函数的导数，通过讨论a的范围，从而求出函数的单调区间；（Ⅲ）分别求出函数f（x）的最大值和最小值，从而得到|f（x1）﹣f（x2）|≤f（1）﹣f（3），根据（m+ln3）a﹣2ln3＞﹣4a+（a﹣2）ln3，求出m的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=﹣+4，令f′（x）=0，解得：x=，x=﹣（舍），故f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，故f（x）的极小值是f（）=4，无极大值；（Ⅱ）由题意得函数f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=﹣+2a=，当a＜﹣2时，﹣＜，令f′（x）＜0，得：0＜x＜﹣或x＞，令f′（x）＞0，得﹣＜x＜，当﹣2＜a＜0时，得﹣＞，令f′（x）＜0，得0＜x＜或x＞﹣，令f′（x）＞0，得＜x＜﹣，当a=﹣2时，f′（x）=﹣＜0，综上所述，当a＜﹣2时，f（x）的递减区间为（0，﹣）和（，+∞）单调区间为（﹣，），当a=﹣2时，f（x）在（0，+∞）单调递减，当﹣2＜a＜0时，f（x）的递减区间为（0，）和（﹣，+∞），递增区间为：（，﹣）．（Ⅲ）由（Ⅱ）得，当x∈（﹣3，﹣2]时，f（x）在区间上单调递减，当x=1时，f（x）取得最大值，当x=3时，f（x）取得最小值，|f（x1）﹣f（x2）|≤f（1）﹣f（3）=（1﹣2a）﹣=﹣4a+（a﹣2）ln3，∵|f（x1）﹣f（x2）|＜（m+ln3）a﹣2ln3恒成立，∴（m+ln3）a﹣2ln3＞﹣4a+（a﹣2）ln3，整理得ma＞﹣4a，∵a＜0，∴m＜﹣4恒成立，∵﹣3＜a＜﹣2，∴﹣＜﹣4＜﹣，∴m≤﹣．请考生在22、23中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22．在平面直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ2（1+3sin2θ）=4，曲线C2：（θ为参数）．（Ⅰ）求曲线C1的直角坐标方程和C2的普通方程；（Ⅱ）极坐标系中两点A（ρ1，θ0），B（ρ2，θ0+）都在曲线C1上，求+的值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）由曲线C1的极坐标方程能求出曲线C1的直角坐标方程；曲线C2的参数方程消去参数，能求出C2的普通方程．（Ⅱ）由已知得，，由此能求出+的值．【解答】（本小题满分10分）解：（Ⅰ）∵曲线C1的极坐标方程为ρ2（1+3sin2θ）=4，∴ρ2+3ρ2sin2θ=4，∴曲线C1的直角坐标方程，∵曲线C2：（θ为参数）．∴C2的普通方程．（Ⅱ）∵A（ρ1，θ0），B（ρ2，θ0+）都在曲线C1上，∴，，，，∴．23．（Ⅰ）已知函数f（x）=|x+1|+|x﹣a|（a＞0），若不等式f（x）≥5的解集为{x|x≤﹣2或x≥3}，求a的值；（Ⅱ）已知实数a，b，c∈R+，且a+b+c=m，求证： ++≥．【考点】R6：不等式的证明；R4：绝对值三角不等式．【分析】（Ⅰ）化简函数f（x）=|x+1|+|x﹣a|（a＞0）为分段函数，然后通过不等式f（x）≥5的解集为{x|x≤﹣2或x≥3}，求a的值；（Ⅱ）利用“1”的代换，利用基本不等式转化证明即可．【解答】（本小题满分10分）解：（Ⅰ）因为a＞0，所以，又因为不等式f（x）≥5的解集为{x|x≤﹣2或x≥3}，就是x=﹣2或x=3时，f（x）=5，解得a=2．（Ⅱ）证明：= =2017年6月29日。

四川省2017级高中毕业班诊断性测试文科数学试卷

20．（12 分）随着经济的快速增长、规模的迅速扩张以及人民生活水平的逐渐提高，日益剧增的垃圾
给城市的绿色发展带来了巨大的压力，相关部门在有 5 万居民的光明社区采用分层抽样方法得到年内家庭人均 GDP 与人均垃圾清运量的统计数据如下表：
人均 GDP x （万元/垃圾清运量 y （吨/人） 0.13 0.23 0.31 0.41 0.52
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1．复数 3 i 的虚部是 1 i
A．1
B． 1
C． 2
D． 2
2．设全集U =0,1, 2,3, 4,5,6 ，集合 A=1, 2,3,5 ， B=2,3, 4 ,则将韦恩图（Venn）图中的阴
A． 3.0
B． 3.2
C． 3.4
D． 3.6
10．为弘扬新时代的中国女排精神，甲、乙两个女排校队举行一场友谊比赛，采用五局三胜制（即某队先赢三局则获胜，比赛随印结束）.若甲队以 3：2 赢得比赛，则甲队输掉的两局恰好相邻的概率是
A．
1 6
B．
1 3
C．
1 2
D．
2 3
11．设向量 a,b 满足 a b 2 ，且 (3a b) (a b) ，则 (2a b) b
程为 A． ex y 1 0
B． ex y 1 0
C． ex y 1 0
D． ex y 1 0
7．设 O 、F 分别是抛物线 y2 4x 的顶点和焦点，点 P 在抛物线上，若 OP FP 10 ，则 FP
A． 2
B． 3
C． 4

四川省成都市九校2017届高三第四次联合模拟文科数学试卷Word版含答案

成都市9校2017届高三第四次联合模拟文科数学试卷考试时间共120分钟，满分150分试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、班级、准考证号用毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条码由监考老师粘贴在答题卡上的“条码粘贴处”。

2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。

3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合{}2230A x x x =--<,{}ln(2)B x y x ==-,则A B =A ．{}13x x -<< B ．{}12x x -<< C ．{}32x x -<<D ．{}12x x <<2．已知212zii =++，则复数5z +的实部与虚部的和为A ．0B ．-10C ．10D ．-53．在等差数列{}n a 中，已知51012a a ＋=，则793a a ＋=A ．12B ．18C ．24D ．30 右侧程序框图所示的算法来自于《九章算术》.若输入a 的值为16，b 的值为24，则执行该程序框图输出的结果为 A ．6B ．7C ．8D ．95．直线2550x y +-+=被圆22240x y x y +--=截得的弦长为 A ．1B ．2C ．46D ．46．设0.32a =，20.3b =，()2log 0.3(1)x c x x =+>，则,,a b c 的大小关系是A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．b c a <<7．若,x y 满足不等式2620x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则22z x y =+的最小值是A ．2B ．5C ．4D ．5开始是否是否a ab =-b b a=-a输出结束,a b输入a b ≠ a b > （第4题图）8．已知函数()[][)20,212,0x x f x x x ⎧∈⎪=⎨+∈-⎪⎩,在集合{}()M y y f x ==中随机取一个数m ，则事件“0m >”的概率为A ．34B ．14C ．45D ．159．如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为 A ．π27B ．π327C ．π227D ．π232710．定义在R 上的函数()||x xg x e e x -=++，则满足 (21)(3)g x g -<的x 取值范围是A ．(-∞，2)B ．(2-，2)C ．(2，)+∞D ．(1-，2) 11．已知函数()()()()sin cos 0,0=+++><<ωϕωϕωϕπf x x x 是奇函数，直线2y =与函数()f x 的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为2π，则A ．()f x 在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减B ．()f x 在3,88ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增C ．()f x 在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增D ．()f x 在3,88ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减已知函数()2f x x ax =-（1x e e ≤≤，e 为自然对数的底数）与()xg x e =的图象上存在关于直线y x =对称的点，则实数a 取值范围是A ．11,e e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ B ． 11,e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ． 11e ,e e e ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦ D ． 1,e e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.13．已知1sin cos ,5αα-=则sin 2α= ．（第9题图）14．设直线过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，与C 交于A 、B 两点，AB为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为．15．在直角三角形ABC 中，2π=C ,,3=AC 对平面内的任一点M ，平面内有一点D 使得23+=，则=• ．16．设n S 为数列{}n a 的前n 项和, 已知12a =,对任意*,p q N ∈,都有p q p q a a a +=+，则()601n S f n n +=+)(*N n ∈的最小值为 .三、解答题：本大题共6小题，前5题每题12分，选考题10分，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）如图, 在△ABC 中, 点P 在BC 边上,60,2,4PAC PC AP AC ︒∠==+=. （Ⅰ）求ACP ∠；（Ⅱ）若△APB 33求sin ∠BAP .18．（本小题满分12分）某中学拟在高一下学期开设游泳选修课，为了了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关，该学校对100名高一新生进行了问卷调查，得到如下22⨯列联表：喜欢游泳不喜欢游泳合计男生 10 女生 20 合计已知在这100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为35．（Ⅰ）请将上述列联表补充完整；（Ⅱ）并判断是否有%的把握认为喜欢游泳与性别有关？并说明你的理由；（Ⅲ）已知在被调查的学生中有5名来自甲班，其中3名喜欢游泳，现从这5名学生中随机P CBA抽取2人，求恰好有1人喜欢游泳的概率． P （K2≥k ）k参考公式：2K 的观测值：()()()()()2n ad bc k a b c d a c b d -=++++（其中n a b c d =+++）19．（本小题满分12分）如图1，在直角梯形ABCD中，AD BC AB BC BD DC E BC ABD BD ABD BCD AE AC DE （Ⅰ）求证：AB ⊥平面ADC ；（Ⅱ）若1,AD =2AB =，求点B 到平面ADE 的距离.E DCB AEDCB A图1 图220. （本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>3且过点()2,1A .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若,P Q 是椭圆C 上的两个动点,且使PAQ ∠的角平分线总垂直于x 轴, 试判断直线PQ 的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由.21. （本小题满分12分）已知函数()()ln 0=+>af x x a x .（Ⅰ）若函数()f x 有零点, 求实数a 的取值范围；（Ⅱ）证明：当2a e ≥时, ()->xf x e .请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号. 22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线3:sin x aC y a ⎧=⎪⎨=⎪⎩（a 为参数），在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为 1)4cos(22-=+πθρ.（Ⅰ）求曲线C 的普通方程和直线的直角坐标方程；（Ⅱ）过点(1,0)M -且与直线平行的直线1l交C 于A ，B 两点，求点M 到A ，B 两点的距离之积.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数()12=+-+-f x x a x a.（Ⅰ）若()13<f ，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若1,≥∈a x R ，求证：()2≥f x .文数双向细目表序号知识考点能力要求考点分值识记理解简单应用综合应用 1 集合的运算 √ 5 2 复数的运算 √ 5 3等差数列√54 框图算法√ 55 直线和圆√ 56 指数对数的运算√ 57 线性规划√ 58 几何概率√ 59 三视图√ 510 函数单调性、偶函数√ 511 三角函数√ 512 函数与导数√ 513 三角函数√ 514 双曲线的离心率√ 515 平面向量的运算√ 516 数列的最值√ 517 正弦定理、余弦定理√1218 变量的相关性、古典概率√1219 空间位置关系证明、点到平面的距离√1220 直线与椭圆综合应用√1221 函数零点、函数与导数的综合应用√122223 参数方程、极坐标方程的互化直线参数方程的应用解绝对值不等式及证明√10√合计150 比例文数答案一、选择题（1）B （2）A （3）C （4）C （5）D （6）B （7）D （8）C （9）A （10）D （11）B （12）A二、填空题（13）2425（143（15）6（16）292三、解答题(17) 解:(Ⅰ) 在△APC 中, 因为60,2,4PAC PC AP AC ︒∠==+=, 由余弦定理得2222cos PC AP AC AP AC PAC =+-⋅⋅⋅∠, ………………………1分所以()()2222424cos 60AP AP AP AP ︒=+--⋅⋅-⋅,整理得2440AP AP -+=, ………………………2分解得2AP =. ………………………3分所以2AC =. ………………………4分所以△APC 是等边三角形. ………………………5分所以60.ACP ︒∠= ………………………6分(Ⅱ)由于APB ∠是△APC 的外角, 所以120APB ︒∠=. ………………………7分因为△APB 33所以133sin 2⋅⋅⋅∠=AP PB APB .…………………8分所以3PB =. ………………………………………………………………………9分在△APB 中, 2222cos AB AP PB AP PB APB =+-⋅⋅⋅∠ 2223223cos120︒=+-⨯⨯⨯ 19=,所以19AB =………………………………………………………………………10分在△APB 中, 由正弦定理得sin sin =∠∠AB PBAPB BAP , ………………………11分所以sin ∠BAP 19=357=12分（18）解：（1）因为在100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为35，所以喜欢游泳的学生人数为3100605⨯=人P CBA其中女生有20人，则男生有40人，列联表补充如下：喜欢游泳不喜欢游泳合计男生 40 10 50 女生 20 30 50 合计6040100（2）因为()221004030201016.6710.82860405050k ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯所以有%的把握认为喜欢游泳与性别有关（3）5名学生中喜欢游泳的3名学生记为a ，b ，c ，另外2名学生记为1， 2，任取2名学生，则所有可能情况为（a ，b ）、（a ，c ）、（a ，1）、（a ，2）、（b ，c ）、（b ，1）、（b ，2）、（c ，1）、（c ，2）、（1，2），共10种…其中恰有1人喜欢游泳的可能情况为（a ，1）、（a ，2）、（b ，1）、（c ，1）、（c ，2），共6种…所以，恰好有1人喜欢游泳的概率为63105= (19) 解：(Ⅰ) (Ⅰ) 因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD平面BCD BD =，又BD ⊥DC ，所以DC ⊥平面ABD ……………………1分因为AB ⊂平面ABD ，所以DC ⊥AB ………………………2分又AD ⊥ABDC ∩AD D =所以AB ⊥平面ADC . …………………………………………4分 (Ⅱ)2AB =1AD =.3BD ∴=依题意△ABD ～△BDC ，所以AB CD AD BD =23=6CD ∴= …………5分故3BC =. ……………………………6分由于AB ⊥平面ADC ，AB ⊥AC , E 为BC 的中点,得AE322BC ==EDCA同理DE322==BC ……………………………8分所以22131212222ADES…………………9分因为DC ⊥平面ABD ，所以3331=⋅=-ABD BCD A S CD V . …………………10分设点B 到平面ADE 的距离为d ,则632131====⋅---BCD A BDE A ADE B ADE V V V S d , ……………………11分所以26=d ，即点B 到平面ADE 的距离为26. ……………………12分（20）解：(Ⅰ) 因为椭圆C 3且过点()2,1A ,所以22411a b +=, 3c a= ………………………………………………2分因为222a b c =+,解得28a =, 22b =, ………………………………………………3分所以椭圆C 的方程为22182x y +=. ……………………………………………4分(Ⅱ)因为PAQ ∠的角平分线总垂直于x 轴, 所以PA 与AQ 所在直线关于直线2x =对称. 设直线PA 的斜率为k , 则直线AQ 的斜率为k -. ………………………………5分所以直线PA 的方程为()12y k x -=-,直线AQ 的方程为()12y k x -=--.设点(),P P P x y ,(),Q QQ x y ,由()2212,1,82y k x x y -=-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ,得()()222214168161640k x k k x k k +--+--=. ①因为点()2,1A 在椭圆C 上, 所以2x =是方程①的一个根, 则2216164214P k k x k --=+,……………………………………………6分所以2288214P k k x k --=+. ……………………………………………7分同理2288214Q k k x k +-=+. ……………………………………………8分所以21614P Q kx x k -=-+. ……………………………………………9分又()28414P Q P Q ky y k x x k -=+-=-+. ……………………………………………10分所以直线PQ 的斜率为12P Q PQ P Qy y k x x -==-. …………………………………………11分所以直线PQ 的斜率为定值，该值为12. ……………………………………………12分（21）解:(Ⅰ)函数()ln af x x x =+的定义域为()0,+∞.由()ln a f x x x =+, 得()221a x af x x x x -'=-=. ……………………………………1分因为0a >,则()0,x a ∈时,()0f x '<;(),x a ∈+∞时,()0f x '>.所以函数()f x 在()0,a 上单调递减, 在(),a +∞上单调递增. ………………………2分当x a =时, ()min ln 1f x a =+⎡⎤⎣⎦. …………………………………………………3分当ln 10a +≤, 即0a <≤1e 时, 又()1ln10=+=>f a a , 则函数()f x 有零点. …4分所以实数a 的取值范围为10,e ⎛⎤⎥⎝⎦. ……………………………………………………5分(Ⅱ) 要证明当2a e ≥时, ()->xf x e ,即证明当0,x >2a e ≥时, ln x a x e x -+>, 即ln x x x a xe -+>.………………………6分令()ln h x x x a =+, 则()ln 1h x x '=+.当10x e <<时, ()0f x '<;当1x e >时, ()0f x '>. 所以函数()h x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减, 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. 当1x e =时, ()min 1h x a e =-+⎡⎤⎣⎦. ……………………………………………………7分于是,当2a e ≥时, ()11.h x a e e ≥-+≥ ① ……………………………………8分令()x x xe ϕ-=, 则()()1x x x x e xe e x ϕ---'=-=-.当01x <<时, ()0f x '>;当1x >时, ()0f x '<.所以函数()x ϕ在()0,1上单调递增, 在()1,+∞上单调递减.当1x =时, ()max 1x e ϕ=⎡⎤⎣⎦. ……………………………………………………9分于是, 当0x >时, ()1.x e ϕ≤ ② ……………………………………………………10分显然, 不等式①、②中的等号不能同时成立. …………………………………11分故当2a e ≥时, ()->x f x e . ……………………………………………………12分（22）解：（Ⅰ）曲线C 化为普通方程为：2213x y +=,………………………（2分）由1)4cos(22-=+πθρ，得2sin cos -=-θρθρ，……………………（4分）所以直线的直角坐标方程为02=+-y x .……………………………………（5分）（2）直线1l 的参数方程为21,2.x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（为参数），……………………（8分）代入2213x y +=化简得：22220t t -=，…………………………（9分）设B A ,两点所对应的参数分别为21,t t ，则121t t =-， ∴12||||||1MA MB t t ⋅==. …………………………………………（10分）（23）解： (Ⅰ) 因为()13<f ，所以123+-<a a . ………………………………………1分① 当0≤a 时，得()123-+-<a a ，解得23>-a ，所以203-<≤a ; ……………2分 ② 当102<<a 时，得()123+-<a a ，解得2>-a ，所以102<<a ; ……………3分 ③ 当12a ≥时，得()123--<a a ，解得43<a ，所以1423a ≤<; ……………4分综上所述，实数a 的取值范围是24,33⎛⎫- ⎪⎝⎭. ………………………………………5分(Ⅱ) 因为1,≥∈a x R ,所以()()()1212=+-+-≥+---f x x a x a x a x a ……………………………7分 31=-a ……………………………………………………………………8分 31=-a ……………………………………………………………………9分 2≥. ……………………………………………………………………10分。

2017届山西省高三第四次诊断考试文科数学试题及答案

山西省2017学年度高三第四次诊断考试数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、设集合{}215x x A =-≥，集合x y ⎧⎫B ==⎨⎩，则A B 等于（） A ．()3,7 B ．[]3,7 C ．(]3,7 D ．[)3,72、已知向量()2,1a m =，向量()1,8b =- ，若a b ⊥ ，则实数m 的值是（）A ．4-B ．4C ．43D ．143、设sin 6a ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，函数()(),0,0x a x f x f x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩，则21log 6f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值等于（）A ．14B ．4C ．16D ．6 4、若Rm ∈，则“6log 1m =-”是“直线1:l 210x my +-=与2:l ()3110m x my ---=平行”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5、已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于（）A ．1 B ． C ．D ．126、若等比数列{}n a 的各项均为正数，且510119122a a a a e +=，则1220ln ln ln a a a ++⋅⋅⋅+等于（）A ．50B ．25C ．75D ．1007、为得到函数sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，可将函数sin y x =的图象向左平移m 个单位长度，或向右平移n 个单位长度（m ，n 均为正数），则m n -的最小值是（）A ．3π B ．23π C ．43π D ．53π8、已知奇函数()f x 是R 上的单调函数，若函数()()2y f x f k x =+-只有一个零点，则实数k 的值是（）A ．14B ．2C ．23D ．19、在C ∆AB 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若222b c a +-=，且b =，则下列关系一定不成立的是（）A ．a c =B ．b c =C ．2a c =D ．222a b c +=10、若实数x 、y 满足22030x y y ax y a +-≥⎧⎪≤⎨⎪--≤⎩，且22x y +的最大值等于34，则正实数a 的值等于（）A ．12B ．34C ．43D ．311、已知O 为原点，双曲线2221x y a-=（0a >）上有一点P ，过P 作两条渐近线的平行线，且与两渐近线的交点分别为A ，B ，平行四边形OBPA 的面积为1，则双曲线的离心率为（） A． B． C．D．12、已知函数()221ln f x x x a x =-++有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，则（）A ．()212ln 24f x +<- B ．()212ln 24f x -<C ．()212ln 24f x +> D ．()212ln 24f x ->二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13、已知α为锐角，且3cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin α= ．14、若直线l 与幂函数n y x =的图象相切于点()2,8A ，则直线l 的方程为． 15、1by +=（其中a 、b 为非零实数）与圆221x y +=相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且∆AOB 为直角三角形，则2212a b +的最小值为．16、点A ，B ，C ，D 在同一球面上，C AB =B =C 2A =，若球的表面积为254π，则四面体CD AB 体积的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17、（本小题满分10分）在C ∆AB 中，已知()sin sin sin Csin sin sin A +B A -=A +B A -B．()1求角B ；()2若4tan 3A =，求sin C 的值．18、（本小题满分12分）已知命题:p 方程22121x y m m -=-表示焦点在y 轴上的椭圆；命题:q 双曲线2215y x m -=的离心率()1,2e ∈，若p 、q 有且只有一个为真命题，求实数m 的取值范围．19、（本小题满分12分）数列{}n a 满足11a =，()()111n n na n a n n -=---，2n ≥且n *∈N ．()1证明：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；()2设13n n b -={}n b 的前n 项和n S ．20、（本小题满分12分）如图，四棱锥CD P -AB 中，C//D B A ，C 1B =，D 3A =，C CD A ⊥，且平面CD P ⊥平面CD AB ． ()1求证：C D A ⊥P ；()2在线段PA 上，是否存在点E ，使//BE 平面CD P ？若存在，求PEPA 的值；若不存在，请说明理由．21、（本小题满分12分）如图，分别过椭圆:E 22221x y a b+=（0a b >>）左、右焦点1F 、2F 的动直线1l ，2l 相交于P 点，与椭圆E 分别交于A 、B 与C 、D 不同四点，直线OA 、OB 、C O 、D O 的斜率1k 、2k 、3k 、4k 满足1234k k k k +=+．已知当1l 与x 轴重合时，AB =，CD =．()1求椭圆E 的方程；()2是否存在定点M 、N ，使得PM +PN 为定值？若存在，求出M 、N 点坐标并求出此定值；若不存在，请说明理由．22、（本小题满分12分）已知函数()ln f x x x =，()()23x g x x ax e =-+-（a 为实数）．()1求()f x 在区间[],2t t +（0t >）上的最小值；()2若存在两不等实根1x ，21,x e e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使方程()()2xg x e f x =成立，求实数a 的取值范围．。

2017诊断-数学(文)答案

兰州市2017年高考诊断考试数学参考答案（文科）12．解析：依题意，函数()y f x =是周期为2的偶函数，在02x ≤<上，由图像可得0a =或14-时，直线y x a =+与函数()y f x =的图象有两个不同的公共点，所以a 的值为2n 或12()4n n Z -∈.二、填空题（每小题5分）13. 14. 232a 15. 16. 2016201716.解析：由11n n n b b a --=+得11n n n b b a ---=，所以211b b a -=，322b b a -=，…，所以213211211111223(1)n n n b b b b b b a a a n n---+-++-=+++=+++⨯⨯-⨯L L L 即11211111223(1)n n b b a a a n n--=+++=+++⨯⨯-⨯L L 11111111=112231n n n n n--+-++-=-=-L 由于10b =，所以1n n b n -=，故201720162017b =三、解答题17.解：（Ⅰ）∵sin cos 0a B b A +=∴sin sin sin cos 0A B B A += 即 sin (sin cos )0B A A += 由于B 为三角形内角，所以sin cos 0A A +=)04A π+=而A 为三角形内角∴3=4A π……………………6分（Ⅱ）在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos a c b cb A =+-即22044(2c c =+--，解得c =-（舍）或c =∴11sin 22222S bc A ==⨯⨯= ……………………12分 18. 解：（I ）由题意得：669803409803404101506060n=++++++，解得100n =． …………………… 4分（II ）因为所有参与调查的人数为9803404101506060=2000+++++，所以从在“带头闯红灯”的人中用分层抽样抽取的人数为100(6060)=62000+⨯，其中男生为10060=32000⨯人，女生为10060=32000⨯人，设从 “带头闯红灯”中抽取的6人中男生用1A ，2A ，3A 表示，女生分别用1B ，2B ，3B 表示，则从这6人中任选取2人所有的基本事件为：12()A A ，13()A A ，23()A A ，11()A B ，12()A B ，13()A B ，21()A B ，22()A B ，23()A B ，31()A B ，32()A B ，33()A B ，12()B B ，13()B B ，23()B B 共有15个．这两人均是男生的基本事件为12()A A ，13()A A ，23()A A ，则至少有一个是女生的基本事件共有12个．故从这6人中任选取2人，至少有一个是女生的概率124155P == ………………… 12分 19.解：（Ⅰ）证明，连接1A C 交1AC 于F ，则F 为1AC 的中点连接DF ，则1//A B DF ，而DF ⊂平面1AC D所以1//A B 平面1AC D ； ……………………6分（Ⅱ）∵1AE mEC =u u u r u u u u r∴1AE mEC =过E 作EM ⊥AC 于M ，则EM ⊥平面ABC ，设=EM h ，则1111132122CD AD h BC AD AA ⨯⋅⋅=⨯⋅⋅ 解得32h =所以此时E 为1AC 的中点，故=1m ……………………12分20.解：（Ⅰ）2()32(32)f x x x x x '=-+=--，令()0f x '=，得0x=或23x =．当1(,0)2x ∈-时，()0f x '<，函数()f x 为减函数；当2(0,)3x ∈时，()0f x '>，函数()f x 为増函数；当2(,1)3x ∈时，()0f x '<，函数()f x 为减函数；∵13()28f b -=+，24()327f b =+，∴12()()23f f ->．即最大值为133()288f b -=+=， ∴0b =． ……………………4分（Ⅱ）由2()(2)g x x a x ≥-++，得2(ln )2x x a x x -≤-∵[1,]x e ∈，∴ln 1x x ≤≤，由于不能同时取等号，所以ln x x <，即ln 0x x ->∴22ln x xa x x-≤-（[1,]x e ∈）恒成立令22()ln x xh x x x -=-[1,]x e ∈，则2(1)(22ln )()(ln )x x x h x x x -+-'=- 当[1,]x e ∈时，10x -≥，22ln 2(1ln )0x x x x +-=+->，从而()0h x '≥所以函数22()ln x xh x x x-=-在[1,]x e ∈上为增函数，所以min ()(1)1h x h ==-所以1a ≤- ……………………12分21.解：(Ⅰ)∵2e = ∴2212b a = 又∵椭圆C经过点∴22211a b += 解得：24a=， 22b =所以椭圆C 的方程为22142x y +=． ……………………5分 (Ⅱ)设(,)P x y ，11(,)M x y ，22(,)N x y ，则由2OP OM ON =+u u u r u u u u r u u u r得即12122,2x x x y y y =+=+，因为点M ，N 在椭圆22142x y +=上，所以221124x y +=，222224x y +=，故222222112211222(44)2(44)x y x x x x y y y y +=+++++222211221212(2)4(2)4(2)x y x y x x y y =+++++ 1212204(2)x x y y =++设OM k ，ON k 分别为直线OM 与ON 的斜率，由题意知，121212OM ON y y k k x x ⋅==-，因此121220x x y y += 所以22220x y +=，所以点P 是椭圆2212010x y +=上的点，所以由椭圆的定义知存在点1F 、2F ，满足12||||PF PF +=又因为12||F F ==，所以1F 、2F坐标分别为(、．……………………12分22.解：（I ）圆C 的直角坐标方程为222()24a a x y +-=；直线l 的普通方程为4380x y +-=. （II ）圆C ：2221()24a xy a +-=，直线l ：4380x y +-=，∵直线l 截圆C 的弦长等于圆C的半径长的倍，∴圆心C 到直线的距离3|8|1||2522aa d -==⨯，解得32a =或3211a=. 23.解：（I ）因为函数的定义域为R ，所以|1||3|0x x m ++--≥恒成立，设函数()|1||3|g x x x =++-，则m 不大于函数()g x 的最小值，又|1||3||(1)(3)|4x x x x ++-≥+--=，即()g x 的最小值为4 所以4m ≤.（II ）当m 取最大值4时，原不等式等价于|3|24x x --≤ 所以有3324x x x ≥⎧⎨--≤⎩，或3324x x x <⎧⎨--≤⎩，解得3x ≥或133x -≤<.所以，原不等式的解集为1{|}3x x≥-.。