数字电子技术基础简明教程第三版

主要要求：
掌握逻辑代数的基本公式和基本定律。 了解逻辑代数的重要规则。
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一、基本公式
逻辑常量运算公式 0· =0 0 0· =0 1 1· =0 0 1· =1 1 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=1
逻辑变量与常量的运算公式
0–1律 0+A=A 1+A=1 1· =A A 0· =0 A 重迭律 A+A=A A· =A A EXIT 互补律 还原律
AB BC 转换方法举例
与或式 与非式
与或非表达式 与或非式
Y AB BC AB BC 用还原律
A B BC 用摩根定律
或与式 或非式 Y ( A B )( B C )
( A B )( B C ) 用还原律 A B B C 用摩根定律
变换时注意： (1) 不能改变原来的运算顺序。 (2) 反变量换成原变量只对单个变量有效，而长非 号保持不变。
原运算次序为 可见，求逻辑函数的反函数有两种方法： 利用反演规则或摩根定律。 EXIT
(三) 对偶规则
对任一个逻辑函数式 Y，将“· ”换成 “+”，“+”换成“· ”，“0”换成 “1”，“1”换成“0”，则得到原逻 辑函数式的对偶式 Y 。
对偶规则：两个函数式相等，则它们的对偶式也相等。 变换时注意：(1) 变量不改变 (2) 不能改变原来的运算顺序 A + AB = A
A · + B) = A (A
应用对偶规则可将基本公式和定律扩展。 EXIT
1.4 逻辑函数的代数化简法
主要要求：
了解逻辑函数式的常见形式及其相互转换。 理解最简与 - 或式和最简与非式的标准。
第1章
概 述
逻辑代数基础
逻辑函数及其表示方法 逻辑代数的基本定律和规则 逻辑函数的代数化简法 逻辑函数的卡诺图化简法 本章小结
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1.1
主要要求：
概 述
理解逻辑值 1 和 0 的含义。
理解逻辑体制的含义。
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一、逻辑代数
用于描述客观事物逻辑关系的数学工具，又称布尔代数 (Boole Algebra)或开关代数。
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[例] 图示为控制楼道照明的开关电路。 两个单刀双掷开关 A 和 B 分别安装在楼上 和楼下。上楼之前，在楼下开灯，上楼后 关灯；反之，下楼之前，在楼上开灯，下 楼后关灯。试画出控制功能与之相同的逻 辑电路。 解：(1) 分析逻辑问题，建立逻辑函数的真值表 设开关 A、B合向左侧时为 0 方法： 状态，合向右侧时为 1 状态；Y 表 找出输入变量和输出函数， 示灯，灯亮时为 1 状态，灯灭时 对它们的取值作出逻辑规定， 为 0 状态。则可列出真值表为 然后根据逻辑关系列出真值表。 (2) 根据真值表写出逻辑式 A B Y
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2. 或逻辑 A B 0 0 0 1 1 0 1 1
决定某一事件的诸条件中，只要有一个 或一个以上具备时，该事件就发生。 Y 0 1 1 1 逻辑表达式 Y = A + B 开关 A 开关 B 灯 Y 断 断 灭 或门 ≥1 若有 1 出 1 合 亮 (OR gate) 若全 0 出 0 断 合 断 亮 合 合 亮
二、基本定律
(一) 与普通代数相似的定律
交换律 结合律 分配律 A+B=B+A (A + B) + C = A + (B + C) A (B + C) = AB + AC A· =B· B A (A · · = A · · B) C (B C) A + BC = (A + B) (A + C) 普通代数没有！ 逻辑等式的 证明方法 利用真值表
例如：开关闭合为 1 断开为 0
二、逻辑体制
正逻辑体制 规定高电平为逻辑 1、低电平为逻辑 0 负逻辑体制
规定低电平为逻辑 1、高电平为逻辑 0
通常未加说明，则为正逻辑体制
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1.2
逻辑函数及其表示方法
主要要求：
掌握逻辑代数的常用运算。
理解并初步掌握逻辑函数的建立和表示的方法。 掌握真值表、逻辑式和逻辑图的特点及其相 互转换的方法。
列 真 值 表 方 法
(1)按 n 位二进制数递增的方式列
出输入变量的各种取值组合。 (2) 分别求出各种组合对应的输出 逻辑值填入表格。 EXIT
例如 求函数 Y AB CD 的真值表。
输 A 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 B 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 入 变 C 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 量 D 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 输出变量 Y 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0
由基本逻辑运算组合而成 A B 0 0 0 1 1 0 1 1 A B 0 0 0 1 1 0 1 1 Y 1 1 1 0 Y 1 0 0 0 若有 0 出 1 若全 1 出 0
若有 1 出 0
若全 0 出 1
先或后非
与或非逻辑 (AND – OR – INVERT)
先与后或再非 EXIT
异或逻辑 (Exclusive – OR)
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一、基本逻辑函数及运算
与逻辑 基本逻辑函数 或逻辑 非逻辑 与运算(逻辑乘) 或运算(逻辑加) 非运算(逻辑非)
1. 与逻辑 决定某一事件的所有条件都具备时，该事件才发生
A B Y 逻辑表达式 开关 A 开关 B 灯 Y 规定: 0 开关闭合为逻辑 1 0 0 Y = A · 或 Y = AB灭 断B 断 0 断开为逻辑 0 1 0 断 合 灭 灯亮为逻辑 1 1 0 0 合 断 与门 灭 灯灭为逻辑 0 开关 A、B 都闭合时， 1 1 1 (AND亮 gate) 合 合 灯 Y 真值表 才亮。 若有 0 出 0；若全 1 出 1
(二) 逻辑代数的特殊定理
吸收律 A + AB = A
A + AB = A (1 + B) = A
EXIT
(二) 逻辑代数的特殊定理
吸收律 A + AB = A 推广公式：
摩根定律(又称反演律) 推广公式： A+B A B A· B A B A+B A · B 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 A 0 0 思考：(1) 若已知 A + B = 1 + C，则 B = C 吗？ 1 0 1 1 1 0 0 0 (2) 若已知 AB = AC，则 B = C 吗？ 1 1 0 0 1 1 0 0
4 个输入 变量有 24 = 16 种取 值组合。
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2.
逻辑函数式
表示输出函数和输入变量逻辑关系的 表达式。又称逻辑表达式，简称逻辑式。
真值表 (1)找出函数值为 1 的项。 (2)将这些项中输入变量取值为 1 的用原变量代替， 逻辑函数式一般根据真值表、卡诺图或逻辑图写出。 取值为 0 的用反变量代替，则得到一系列与项。 逻辑式 (3)将这些与项相加即得逻辑式。
利用基本公式和基本定律
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[例] 证明等式 A + BC = (A + B) (A + C) 解： 真值表法 A B C A + BC (A + B) (A + C) 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 公式法 右式 = (A + B) (A + C) 用分配律展开 = AA + AC + BA + BC = A + AC + AB + BC = A (1 + C + B) + BC = A · +BC 1 = A + BC EXIT
了解逻辑函数的代数化简法。
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一、逻辑函数式的几种常见形式和变换
例如 Y AB BC 与或表达式 ( A B )( B C ) 或与表达式 逻辑式有多种形式，采用何种形式视 与非 - 与非表达式 A B BC 需要而定。各种形式间可以相互变换。 或非 - 或非表达式 A B B C
将两项合并为一项，并消去一个变量。
Y ABC ABC AB
Y A( BC BC ) A( BC BC ) A B C A( B C ) A
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吸收法
运用A+AB =A 和 AB AC BC AB AC ， 消去多余的与项。
Y AB AB( E F ) AB
A B 0 0 0 1 1 0 1 1
Y 0 1 1 0
若相异出 1 若相同出 0
同或逻辑 (Exclusive - NOR，即异或非) A B Y 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 注意：异或和同或互为反函数，即
若相同出 1 若相异出 0
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[例]
试对应输入信号波形分别画出下图各电路的输出波形。
(1)乘积项(即与项)的个数最少 (2)每个乘积项中的变量数最少
用与门个数最少 与门的输入端数最少
最简与非式标准 (1)非号个数最少 (2)每个非号中的变量数最少 用与非门个数最少 与非门的输入端数最少
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三、代数化简法
运用逻辑代数的基本定律和 公式对逻辑式进行化简。
并项法 运用 AB AB A，
有0出0 相同出 0
全1出1 相异出 1
0 1 1 0 0 1 1 0
0 0 1 1 0 0 1 1 解： Y1 Y2 Y3 EXIT
三、逻辑符号对照
国家标准 曾用标准 美国标准
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四、逻辑函数及其表示方法
逻辑函数描述了某种逻辑关系。
常采用真值表、逻辑函数式、卡诺图和逻辑图等表示。 1. 真值表 列出输入变量的各种取值组合及其对 应输出逻辑函数值的表格称真值表。
Y ABC AD C D BD
ABC D( A C ) BD
逻辑指事物因果关系的规律。
与普通代数比较
相似处 相异处
用字母表示变量，用代数式描述客观事物间的关系。
逻辑代数描述客观事物间的逻辑关系，相应的函数 称逻辑函数，变量称逻辑变量。 逻辑变量和逻辑函数的取值都只有两个， 通常用 1和 0 表示。 运算规律有很多不同。 EXIT
注意
逻辑代数中的 1 和 0 不表示数量大小， 仅表示两种相反的状态。 晶体管导通为 1 截止为 0 电位高为 1 低为 0
例如 A 0 0 0 0 1 1 1 1 B 0 0 1 1 0 0 1 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1 Y 1 0 0 0 0 0 0 1
逻辑式为
ABC
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3. 逻辑图
例如 画
由逻辑符号及相应连线构成的电路图。 的逻辑图 相加项用或门实现
反变量用非门实现
与项用与门实现 运算次序为先非后与再或，因此用三级电路实现之。 根据逻辑式画逻辑图的方法: 将各级逻辑运算用 相应逻辑门去实现。
AB BC 用摩根定律
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二、逻辑函数式化简的意义与标准
化 使逻辑式最简，以便设计出最简的逻辑电路， 简 从而节省元器件、优化生产工艺、降低成本和提 意 义 高系统可靠性。 不同形式逻辑式有不同的最简式，一般先求取 最简与 - 或式，然后通过变换得到所需最简式。
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最简与 - 或式标准
决定某一事件的条件满足时， 3. 非逻辑 事件不发生；反之事件发生。 开关 A 或 B 闭合或两者都闭合时，灯 Y 才亮。 A Y 0 1 1 0 Y=A 1 非门(NOT gate) 开关闭合时灯灭， 又称“反相器” 开关断开时灯亮。 EXIT
二、常用复合逻辑运算
与非逻辑(NAND) 先与后非 或非逻辑 ( NOR )
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三、重要规则
(一) 代入规则
A A A 将逻辑等式两边的某一变量均用同 一个逻辑函数替代，等式仍然成立。
A均用 代替 A均用 代替
B均用C代替 利用代入规则能扩展基本定律的应用。
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(二) 反演规则
对任一个逻辑函数式 Y，将“· ”换成 “+”，“+”换成“· ”，“0”换成“1”， “1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量 换成原变量，则得到原逻辑函数的反函数 Y 。
0 0
1
0 1
0
1
0 0 1 EXIT
1
1
来自百度文库
Y AB AB =Ａ⊙B A B
与或表达式(可用 2 个非门、 异或非表达式(可用 1 个异 2 个与门和 1 个或门实现) 或门和 1 个非门实现) (3) 画逻辑图
设计逻辑电路的基本原则是使电路最简。 EXIT
3.3
逻辑代数的基本定律和规则