备战中考数学《二次函数的综合》专项训练附答案

一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+（2k﹣1）x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标；

（3）对于（2）中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使∠POB=90°？若存在，求出点P 的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y=x2﹣3x。

（2）点B的坐标为：（4，4）。

（3）存在；理由见解析；

【解析】

【分析】

（1）将原点坐标代入抛物线中即可求出k的值，从而求得抛物线的解析式。

（2）根据（1）得出的抛物线的解析式可得出A点的坐标，也就求出了OA的长，根据△OAB的面积可求出B点纵坐标的绝对值，然后将符合题意的B点纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出B点的坐标，然后根据B点在抛物线对称轴的右边来判断得出的B点是否符合要求即可。

（3）根据B点坐标可求出直线OB的解析式，由于OB⊥OP，由此可求出P点的坐标特点，代入二次函数解析式可得出P点的坐标．求△POB的面积时，求出OB，OP的长度即可求出△BOP的面积。

【详解】

解：（1）∵函数的图象与x轴相交于O，∴0=k+1，∴k=﹣1。

∴这个二次函数的解析式为y=x2﹣3x。

（2）如图，过点B做BD⊥x轴于点D，

令x 2﹣3x=0，解得：x=0或3。∴AO=3。

∵△AOB 的面积等于6，∴

12

AO•BD=6。∴BD=4。 ∵点B 在函数y=x 2﹣3x 的图象上，

∴4=x 2﹣3x ，解得：x=4或x=﹣1（舍去）。

又∵顶点坐标为：（ 1.5，﹣2.25），且2.25＜4，

∴x 轴下方不存在B 点。

∴点B 的坐标为：（4，4）。

（3）存在。 ∵点B 的坐标为：（4，4），∴∠BOD=45°，22BO 442=

+=。 若∠POB=90°，则∠POD=45°。

设P 点坐标为（x ，x 2﹣3x ）。 ∴2x x 3x =-。

若2x x 3x =-，解得x="4" 或x=0（舍去）。此时不存在点P （与点B 重合）。 若()2x x 3x =--，解得x="2" 或x=0（舍去）。

当x=2时，x 2﹣3x=﹣2。

∴点P 的坐标为（2，﹣2）。 ∴22OP 222=+=

∵∠POB=90°，∴△POB 的面积为：12PO•BO=12×2×2=8。 2．如图：在平面直角坐标系中，直线l ：y=

13x ﹣43与x 轴交于点A ，经过点A 的抛物线y=ax 2﹣3x+c 的对称轴是x=

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． （1）求抛物线的解析式；

（2）平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，点P 是直线m 上任意一点，PB ⊥x 轴于点B ，PC ⊥y 轴于点C ，若点E 在线段OB 上，点F 在线段OC 的延长线上，连接PE ，PF ，且PE=3PF ．求证：PE ⊥PF ；

（3）若（2）中的点P 坐标为（6，2），点E 是x 轴上的点，点F 是y 轴上的点，当

PE ⊥PF 时，抛物线上是否存在点Q ，使四边形PEQF 是矩形？如果存在，请求出点Q 的坐标，如果不存在，请说明理由．

【答案】（1）抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4；（2）证明见解析；（3）点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．

【解析】

【分析】

（1）先求得点A 的坐标，然后依据抛物线过点A ，对称轴是x=

32列出关于a 、c 的方程组求解即可；

（2）设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ，然后再证明∠FPC=∠EPB ，最后通过等量代换进行证明即可；

（3）设E （a ，0），然后用含a 的式子表示BE 的长，从而可得到CF 的长，于是可得到点F 的坐标，然后依据中点坐标公式可得到22x x x x Q P F E ++=，22

y y y y Q P F E ++=，从而可求得点Q 的坐标（用含a 的式子表示），最后，将点Q 的坐标代入抛物线的解析式求得a 的值即可．

【详解】

（1）当y=0时，14033x -=，解得x=4，即A （4，0），抛物线过点A ，对称轴是x=32，得161203322a c a -+=⎧⎪-⎨-=⎪⎩

， 解得14

a c =⎧⎨=-⎩，抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4； （2）∵平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，

∴直线m 的解析式为y=

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x ． ∵点P 是直线1上任意一点， ∴设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ．

又∵PE=3PF ， ∴PC PB PF PE =． ∴∠FPC=∠EPB ．

∵∠CPE+∠EPB=90°，

∴∠FPC+∠CPE=90°，

∴FP ⊥PE ．

（3）如图所示，点E 在点B 的左侧时，设E （a ，0），则BE=6﹣a ．

∵CF=3BE=18﹣3a ，

∴OF=20﹣3a ．

∴F （0，20﹣3a ）．

∵PEQF 为矩形，

∴

22x x x x Q P F E ++=，22

y y y y Q P F E ++=， ∴Q x +6=0+a ，Q y +2=20﹣3a+0，

∴Q x =a ﹣6，Q y =18﹣3a ． 将点Q 的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a ﹣6）2﹣3（a ﹣6）﹣4，解得：a=4或a=8（舍去）．

∴Q （﹣2，6）．

如下图所示：当点E 在点B 的右侧时，设E （a ，0），则BE=a ﹣6．

∵CF=3BE=3a ﹣18，

∴OF=3a ﹣20．