5.4 三角函数的图象与性质(精讲)(原卷版附答案).docx
三角函数的图像和性质知识点及例题讲解
三角函数的图像和性质1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) (2π,1) (π,0) (23π,-1) (2π,0) 余弦函数y=cosx x ∈[0,2π]的图像中，五个关键点是：(0,1) (2π,0) (π,-1) (23π,0) (2π,1) 2 sin y x = cos y x = tan y x =图象定义域 R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值 当22x k ππ=+时，max 1y =；当22x k ππ=- 时，min 1y =-．当2x k π=时，max 1y =；当2x k ππ=+时，min1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π 2ππ奇偶性奇函数 偶函数 奇函数单调性 在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上是增函数； 在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦上是减函数． 在[]2,2k k πππ-上是增函数； 在[]2,2k k πππ+上是减函数．在,22k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭上是增函数．对称性 对称中心(),0k π 对称轴2x k ππ=+对称中心,02k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭对称轴x k π=对称中心,02k π⎛⎫⎪⎝⎭无对称轴函数 性质例作下列函数的简图(1)y=|sinx|，x ∈[0，2π]， (2)y=-cosx ，x ∈[0，2π]例利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x 的集合：21sin )1(≥x 21cos )2(≤x3、周期函数定义：对于函数()y f x =，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有：()()f x T f x +=，那么函数()y f x =就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。
注意： 周期T 往往是多值的（如sin y x = 2π,4π,…,-2π,-4π,…都是周期）周期T 中最小的正数叫做()y f x =的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）sin y x =, cos y x =的最小正周期为2π （一般称为周期）正弦函数、余弦函数：ωπ=2T 。
5.4 三角函数的图象与性质(解析版).pdf
y
1相邻两个交点之间距离为半个周期,从而可求出结
果.
【解析】因为函数
y
tanx
的最小正周期为 π ,由
tanx
1 x
可得
kπ
4
, kòZ
所以函数 y tanx 与直线 y 1相邻两个交点之间距离为函数 y tanx 的半个周期,即 2 .
10．（多选）对于函数 f x a sin x b tan x c （其中, a,b R, c Z ）,选取 a,b, c 的一组值计算 f 1
y＝sin
x
的定义域为[a,b],值域为
1,
1 2
,则
b－a
的最大值和最小值之和等于( )
4 A． 3
8 B． 3
C．2π
D．4π
【参考答案】C
【分析】作出
y＝sin
x
的图像,由其值域为
1,
1 2
,可得
b－a
的最大值和最小值,从而可得到结论.
【解析】解：如图,
13 5 4
3 5 2
可知 b－a 的最大值为 6 6 = 3 ,b－a 的最小值为 2 6 = 3 ,
即
2 cos2
x
cos
x
1
0
,解得
1 2
cos
x
1
．
2k 2 x 2k 2 , k Z
由余弦函数的图象,知
3
3
,
所以所求函数的定义域为
2k
2 3
,
2k
2 3
,
k
Z
．
19．利用“五点法”作出函数 y 2 sin x 1（ 0 x 2 ）的简图．
3 【分析】求出横坐标分别为 0 , 2 , , 2 , 2 时所对应的函数值,通过列表、描点、连线即可作出图象.
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5.4 三角函数的图象与性质考点一 五点画图【例1】（1）（2020·全国高一课时练习）用五点法作出函数1cos (02)y x x π=-≤≤的简图.（2）（2020·全国高一课时练习）利用正弦或余弦函数图象作出3sin 2y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象．【一隅三反】1．（2020·全国高一课时练习）利用“五点法”作出函数y ＝1－sin x (0≤x ≤2π)的简图．2．（2020·全国高一课时练习）利用正弦曲线,求满足1sin 22x <≤的x 的集合．3．（2020·武功县普集高级中学高一月考）用五点法作出函数32cos y x =+在[]0,2π内的图像.考点二 周期【例2】（1）（2020·福建高二学业考试）函数cos y x =的最小正周期为（ ） A ．2πB ．πC ．32π D ．2π（2）（2020年广东潮州）下列函数中,不是周期函数的是( ) A.y ＝|cos x | B ．y ＝cos|x |C ．y ＝|sin x | D ．y ＝sin|x |【一隅三反】1．（2020·全国高一课时练习）下列函数中,最小正周期为π的是( ) A ．sin y x = B ．cos y x =C ．sin 2y x =D ．1cos2y x =2．（2019·云南高二期末）函数 ()2sin 36f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为__________．考点三 对称性【例3】（2020·辽宁大连·高一期末）函数()cos 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像的一条对称轴方程为（） A ．6x π=B ．512x π=C ．23x π=D ．23x π=-【一隅三反】1．（2020·永昌县第四中学高一期末）函数y ＝12sin 3x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的图象的一条对称轴是（ ）A ．x ＝－2π B ．x ＝2π C ．x ＝－6π D ．x ＝6π2．（2020·山西省长治市第二中学校高一期末（理））下列函数中,最小正周期为π,且图象关于直线3x π=对称的函数是（ ）A ．2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．2sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．2sin 23x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭ D ．2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭3．（2020·河南平顶山·高一期末）如果函数()sin 2y x ϕ=+的图象关于直线πx =对称,那么ϕ取最小值时ϕ的值为（ ）A ．3π±B ．π3C ．π2-D ．2π±考点四 单调性【例4】（1）（2020·吉林扶余市第一中学高一期中）函数()1πsin 223f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递增区间为（ ） A ．5πππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦,k Z ∈ B ．π3ππ,π44k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦,k Z ∈ C ．2πππ,π36k k ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦,k Z ∈ D ．πππ,π44k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦,k Z ∈ （2）（2020·吉林扶余市第一中学高一期中）已知函数()()sin 2f x x ϕ=+在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,则实数ϕ的一个值是（ ）． A ．3π2B ．π2-C ．πD ．2π【一隅三反】1．（2020·湖南益阳·高一期末）函数()cos 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的单调递增区间为（ ）A ．()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦B ．()72,266k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦C ．()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦D ．()52,266k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦2．（2020·全国高三其他（理））已知函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭,对任意x ∈R ,都有()3f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭,并且()f x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上不单调,则ω的最小值是（ ） A ．1 B ．3C ．5D ．73．（2020·全国高三其他（理））函数()()cos f x x θ=+在[]0,π上为增函数,则θ的值可以是（ ）A ．0B ．2πC ．πD ．32π考点五 奇偶性【例5】（2020·上海黄浦·高一期末）下列函数中,周期是π的偶函数为（ ）. A ．cos 2xy = B ．sin 2y x = C ．|sin |y x = D ．sin ||y x =【一隅三反】1．（2019·贵州高三月考（文））函数sin 2y x =是（ ）A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为2π的偶函数 D ．最小正周期为π的偶函数2．（2020·辽宁辽阳·高一期末）下列函数中,周期为π的奇函数是（ ） A ．cos2xy π+=B ．sin(23)y x π=+C ．cos(2)y x π=+D ．cos 2y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭3．（2020·昆明市官渡区第一中学高一开学考试）已知函数()3()sin 42f x x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭,下面结论错误的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为2π B ．函数()f x 在区间0,16π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 C ．函数()f x 的图象关于直线4x π=对称 D ．函数()f x 是偶函数考点六 定义域【例6】（1）（2020·宁县第二中学高一期中）函数y =的定义域是________.（2）（2020·宁县第二中学高一期中）函数y =__________.【一隅三反】1（2020·辽宁沈阳·高一期中）函数1tan 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的定义域是（ ）A ．4,2xx k k Z ππ⎧⎫≠-+∈⎨⎬⎩⎭∣ B ．2,2xx k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭∣ C ．32,2xx k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭∣ D ．,2xx k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭∣2．（2020·湖南高一月考）函数()=ln(sin f x x 的定义域为（ ） A ．2(,)()33k k k Z ππππ++∈ B ．5(,)()66k k k Z ππππ++∈ C ．2(2,2)()33k k k Z ππππ++∈ D ．5(2,2)()66k k k Z ππππ++∈3．（2020·吉林公主岭·高一期末（理））函数()f x =的定义域为（ ）A ．0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(,]43ππD ．5,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦考点七 值域【例7】（1）（2019·福建高三学业考试）函数2sin y x =的最小值是 。
高中数学精品讲义第四章第三节三角函数的图象与性质Word版含答案
第三节三角函数的图象与性质1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图❶在正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)．在余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质函数y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x五点法作图有三步：列表、描点、连线(注意光滑)．正切函数的图象是由直线x＝kπ＋π2(k∈Z)隔开的无穷多支曲线组成的．判断三角函数的奇偶性，应首先判断函数定义域是否关于原点对称．求函数y＝A sin(ωx＋φ)的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω＞0时，才能把ωx＋φ看作一个整体，代入y＝sin t的相应单调区间求解，否则将出现错误．写单调区间时，不要忘记k∈Z.(1)y＝tan x无单调递减区间；(2)y＝tan x在整个定义域内不单调.函数y＝A sin(ωx＋φ)和y＝A cos(ωx＋φ)的最小正周期都是2π|ω|，y＝A tan(ωx＋φ)的最小正周期是π|ω|.[熟记常用结论]1．对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期．(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．2．奇偶性若f(x)＝A sin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)，则：(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝π2＋kπ(k∈Z)；(2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z)．[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)y ＝sin x 在第一、第四象限是增函数．( ) (2)余弦函数y ＝cos x 的对称轴是y 轴．( ) (3)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．( ) (4)y ＝sin|x |是偶函数．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ 二、选填题1．函数y ＝tan 3x 的定义域为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x ≠3π2＋3k π，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠π6＋k π，k ∈ZC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－π6＋k π，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠π6＋k π3，k ∈Z解析：选D 由3x ≠π2＋k π(k ∈Z)，得x ≠π6＋k π3，k ∈Z.2．函数y ＝2－cos x3(x ∈R)的最大值和最小正周期分别是( )A ．2,3πB ．1,6πC ．3,6πD ．3,3π解析：选C 由y ＝2－cos x 3知，y max ＝2－(－1)＝3，最小正周期T ＝2π13＝6π.3．下列函数中最小正周期为π且图象关于直线x ＝π3对称的是( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 解析：选B 函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的最小正周期T ＝2π2＝π， ∵sin ⎝⎛⎭⎫2×π3－π6＝1， ∴函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象关于直线x ＝π3对称． 4．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象的对称轴为______________，对称中心为________________． 解析：由x －π4＝π2＋k π，k ∈Z ，得x ＝3π4＋k π，k ∈Z ；由x －π4＝k π，k ∈Z ，得x ＝π4＋k π，k ∈Z ，故函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象的对称轴为x ＝3π4＋k π，k ∈Z ，对称中心为⎝⎛⎭⎫π4＋k π，0，k ∈Z.答案：x ＝3π4＋k π，k ∈Z ⎝⎛⎭⎫π4＋k π，0，k ∈Z 5．函数f (x )＝32cos x －12sin x ()x ∈[0，π]的单调递增区间为________． 解析：f (x )＝32cos x －12sin x ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，由2k π－π≤x ＋π6≤2k π(k ∈Z)，得2k π－7π6≤x ≤2k π－π6(k ∈Z)．∵x ∈[0，π]，∴f (x )在⎣⎡⎦⎤5π6，π上单调递增． 答案：⎣⎡⎦⎤5π6，π6．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为________． 解析：由x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，得2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1，故函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为－22. 答案：－22考点一三角函数的定义域[基础自学过关][题组练透]1．函数f (x )＝－2tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x ≠π6B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－π12C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π6，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π2＋π6，k ∈Z解析：选D 由正切函数的定义域，得2x ＋π6≠k π＋π2(k ∈Z)，即x ≠k π2＋π6(k ∈Z)，故选D.2．函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________．解析：法一：要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上函数y ＝sin x 和函数y ＝cos x 的图象，如图所示．在[0,2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期性，所以原函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | 2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z .法二：利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)．所以定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z .答案：⎣⎡⎦⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z) 3．函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x ＞0，9－x 2≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧k π＜x ＜k π＋π2，k ∈Z ，－3≤x ≤3.∴－3≤x ＜－π2或0＜x ＜π2.∴函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域为⎣⎡⎭⎫－3，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2. 答案：⎣⎡⎭⎫－3，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2 [名师微点]求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．考点二三角函数的值域(最值) [师生共研过关][典例精析](1)函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为________． (2)(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值是________． (3)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为_________________________________． [解析] (1)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， 故3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－32，3， ∴函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为⎣⎡⎦⎤－32，3. (2)依题意，f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－⎝⎛⎭⎫cos x －322＋1，因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以cos x ∈[0,1]， 因此当cos x ＝32时，f (x )max ＝1. (3)设t ＝sin x －cos x ，则－2≤t ≤2，t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ，则sin x cos x ＝1－t 22，∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－2时，y min ＝－12－ 2.∴函数的值域为⎣⎡⎦⎤－12－2，1.[答案] (1)⎣⎡⎦⎤－32，3 (2)1 (3)⎣⎡⎦⎤－12－2，1 [解题技法]求三角函数的值域(最值)的3种类型及解法思路(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求值域(最值)；(2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；(3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．[过关训练]1．若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x ，－π3≤x ≤π6，则f (x )的最大值为( )A ．1B ．2 C. 3D.3＋1解析：选C f (x )＝(1＋3tan x )cos x ＝cos x ＋3sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6.因为－π3≤x ≤π6，所以－π6≤x ＋π6≤π3，故当x ＝π6时，f (x )取最大值为3，故选C. 2．(2018·北京高考)已知函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，m 上的最大值为32，求m 的最小值． 解：(1)因为f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x ＝12－12cos 2x ＋32sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12， 所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)由(1)知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12. 由题意知－π3≤x ≤m ，所以－5π6≤2x －π6≤2m －π6. 要使f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，m 上的最大值为32，即sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤－π3，m 上的最大值为1. 所以2m －π6≥π2，即m ≥π3.所以m 的最小值为π3.考点三三角函数的单调性[全析考法过关][考法全析]考法(一) 求三角函数的单调区间[例1] (1)函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调递减区间为________________． (2)函数y ＝|tan x |的单调递增区间为______________，单调递减区间为________________． [解析] (1)函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递减区间是函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间．由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z.故所给函数的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z. (2)作出函数y ＝|tan x |的图象，如图．观察图象可知，函数y ＝|tan x |的单调递增区间为⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2，k ∈Z ；单调递减区间为⎝⎛⎦⎤k π－π2，k π，k ∈Z.[答案] (1)⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z(2)⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2，k ∈Z ⎝⎛⎦⎤k π－π2，k π，k ∈Z 考法(二) 已知三角函数的单调性求参数[例2] (2018·全国卷Ⅱ)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是( ) A.π4 B.π2 C.3π4D ．π[解析] f (x )＝cos x －sin x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， 当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，即x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2时， 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4单调递增， 则函数f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4单调递减． ∵函数f (x )在[－a ，a ]是减函数， ∴[－a ，a ]⊆⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，∴0＜a ≤π4， ∴a 的最大值为π4.[答案] A[规律探求]1．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π，则以下结论正确的是( ) A ．函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－π2，0上单调递减 B ．函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递增 C ．函数f (x )在⎣⎡⎦⎤π2，5π6上单调递减 D ．函数f (x )在⎣⎡⎦⎤5π6，π上单调递增解析：选C 由x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，0，得2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－4π3，－π3，所以函数f (x )先减后增；由x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，得2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，所以函数f (x )先增后减；由x ∈⎣⎡⎦⎤π2，5π6，得2x －π3∈⎣⎡⎦⎤2π3，4π3，所以函数f (x )单调递减；由x ∈⎣⎡⎦⎤5π6，π，得2x －π3∈⎣⎡⎦⎤4π3，5π3，所以函数f (x )先减后增．故选C.2．若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________.解析：∵f (x )＝sin ωx (ω＞0)过原点，∴当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 是增函数；当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时，y ＝sin ωx 是减函数． 由f (x )＝sin ωx (ω＞0)在⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增， 在⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，知π2ω＝π3，∴ω＝32. 答案：323．若函数y ＝12sin ωx 在区间⎣⎡⎦⎤－π8，π12上单调递减，则ω的取值范围是________． 解析：因为函数y ＝12sin ωx 在区间⎣⎡⎦⎤－π8，π12上单调递减，所以ω＜0且函数y ＝12sin(－ωx )在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π8上单调递增，则⎩⎨⎧ω＜0，－ω·⎝⎛⎭⎫－π12≥2k π－π2，k ∈Z ，－ω·π8≤2k π＋π2，k ∈Z ，即⎩⎪⎨⎪⎧ω＜0，ω≥24k －6，k ∈Z ，ω≥－16k －4，k ∈Z ，解得－4≤ω＜0.答案：[－4,0)考点四三角函数的周期性、奇偶性、对称性[全析考法过关][考法全析]考法(一) 三角函数的周期性[例1] 在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③[解析] ①y ＝cos|2x |＝cos 2x ，最小正周期为π； ②由图象知y ＝|cos x |的最小正周期为π； ③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的最小正周期T ＝2π2＝π； ④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4的最小正周期T ＝π2，故选A. [答案] A考法(二) 三角函数的奇偶性[例2] (2019·抚顺调研)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋θ＋π3⎝⎛⎭⎫θ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2是偶函数，则θ的值为________．[解析] ∵函数f (x )为偶函数，∴θ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z)．又θ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，∴θ＋π3＝π2，解得θ＝π6，经检验符合题意．[答案]π6考法(三) 三角函数的对称性[例3] (1)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω＞0)的最小正周期为4π，则该函数的图象( )A ．关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称 B ．关于点⎝⎛⎭⎫5π3，0对称 C ．关于直线x ＝π3对称D ．关于直线x ＝5π3对称 (2)(2018·江苏高考)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫－π2＜φ＜π2的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值为________．[解析] (1)因为函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω＞0)的最小正周期为4π，而T ＝2πω＝4π，所以ω＝12，即f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6.令x 2＋π6＝π2＋k π(k ∈Z)，解得x ＝2π3＋2k π(k ∈Z)， 故f (x )的对称轴为x ＝2π3＋2k π(k ∈Z)．令x 2＋π6＝k π(k ∈Z)，解得x ＝－π3＋2k π(k ∈Z)， 故f (x )的对称中心为⎝⎛⎭⎫－π3＋2k π，0(k ∈Z)，对比选项可知B 正确． (2)由题意得f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝±1， ∴2π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)，∴φ＝k π－π6(k ∈Z)． ∵φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴φ＝－π6. [答案] (1)B (2)－π6[规律探求]只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z)，求x 即可；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z)，求x 即可．(2)对于可化为f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(ω＞0)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z)，求x 即可；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z)，求x 即可找共性这类问题解题的关键是把原三角函数关系式统一角，统一名，即“一角一函数”，其解题思维流程是：[过关训练]1．若函数f (x )＝3sin(2x ＋θ)＋cos(2x ＋θ)(0＜θ＜π)的图象关于⎝⎛⎭⎫π2，0中心对称，则函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，π6上的最小值是________． 解析：f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋θ＋π6，又图象关于⎝⎛⎭⎫π2，0中心对称，所以2×π2＋θ＋π6＝k π(k ∈Z)， 所以θ＝k π－7π6(k ∈Z)，又0＜θ＜π，所以θ＝5π6，所以f (x )＝－2sin 2x ，因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π6， 所以2x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π3，f (x )∈[－3，2]， 所以f (x )的最小值是－ 3. 答案：－ 32．若x ＝π8是函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4，x ∈R 的一个零点，且0＜ω＜10，则函数f (x )的最小正周期为________．解析：依题意知，f ⎝⎛⎭⎫π8＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωπ8－π4＝0， 即ωπ8－π4＝k π，k ∈Z ，整理得ω＝8k ＋2，k ∈Z. 又因为0＜ω＜10，所以0＜8k ＋2＜10，得－14＜k ＜1，而k ∈Z ，所以k ＝0，ω＝2，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4，f (x )的最小正周期为π. 答案：π。
5.4 三角函数的图象与性质(精讲)(解析版)--人教版高中数学精讲精练必修一
5.4三角函数的图象与性质（精讲）一．三角函数的图像及性质π1.周期函数概念①对于函数f(x)，存在一个非零常数T(T>0)条件②当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)结论函数f(x)叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期2.最小正周期条件如果周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数结论这个最小正数叫做f(x)的最小正周期一．用三角函数图象解三角不等式(1)作出相应正弦函数或余弦函数在[0，2π]上的图象；(2)写出适合不等式在区间[0，2π]上的解集；(3)根据公式一写出不等式的解集.二．求三角函数周期(1)定义法，即利用周期函数的定义求解.. (2)公式法，对形如y＝A sin(ωx＋φ)或y＝A cos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝2π|ω|(3)观察法，即通过观察函数图象求其周期.三．判断函数奇偶性(1)看函数的定义域是否关于原点对称；(2)看f(－x)与f(x)的关系.对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断.四．单调区间的求法求形如y＝A sin(ωx＋φ)或y＝A cos(ωx＋φ)的函数的单调区间，要先把ω化为正数．(1)当A>0时，把ωx＋φ整体代入y＝sin x或y＝cos x的单调递增区间内，求得的x的范围即为函数的单调递增区间．(2)当A<0时，把ωx＋φ整体代入y＝sin x或y＝cos x的单调递增区间内，求得的x的范围即为函数的单调递减区间；代入y＝sin x或y＝cos x的单调递减区间内，可求得函数的单调递增区间．五．比较三角函数值大小(1)异名函数化为同名函数．(2)利用诱导公式把已知角转化到同一单调区间上．(3)利用函数的单调性比较大小．六．求三角函数值域或最值（1）形如y＝sin(ωx＋φ)的三角函数，令t＝ωx＋φ，根据题中x的取值范围，求出t的取值范围，再利用三角函数的单调性、有界性求出y＝sin t的最值(值域).(2)形如y＝a sin2x＋b sin x＋c(a≠0)的三角函数，可先设t＝sin x，将函数y＝a sin2x＋b sin x＋c(a≠0)化为关于t 的二次函数y＝at2＋bt＋c(a≠0)，根据二次函数的单调性求值域(最值).(3)对于形如y＝a sin x(或y＝a cos x)的函数的最值还要注意对a的讨论.考点一“五点法”作图的应用【例1-1】（2022·全国·高一专题练习）作出下列函数在一个周期图象的简图：(1)3sin3x y =；(2)2sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；(3)2sin 214y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；(4)2cos 23x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．【答案】函数图象见解析【解析】（1）解：因为3sin 3xy =，取值列表：x 032π3π92π6π3x02ππ32π2πy33-0描点连线，可得函数图象如图示：（2）解：因为2sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，取值列表：x4π-4π34π54π74π4x π+02ππ32π2πy22-0描点连线，可得函数图象如图示：（3）解：因为2sin 214y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，取值列表：x 8π-8π38π58π78π24x π+02ππ32π2πy1311-1描点连线，可得函数图象如图示：（4）解：因为2cos 23x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，取值列表：x 23π-3π43π73π103π23x π+02ππ32π2πy22-02描点连线，可得函数图象如图示：【例1-2】（2023秋·高一课时练习）当[]2,2x ππ∈-时，作出下列函数的图象，把这些图象与sin y x =的图象进行比较，你能发现图象变换的什么规律？（1）sin y x =-；（2）sin y x =；（3）sin y x =.【答案】答案见解析【解析】（1）该图象与sin y x =的图象关于x 轴对称，故将sin y x =的图象作关于x 轴对称的图象即可得到sin y x =-的图象.（2）sin ,2,0,sin sin ,0,2,x x x y x x x x ππππππ-≤≤-≤≤⎧==⎨--≤≤≤≤⎩将sin y x =的图象在x 轴上方部分保持不变，下半部分作关于x 轴对称的图形，即可得到sin y x =的图象.（3）sin ,0,sin sin ,0,x x y x x x ≥⎧==⎨-<⎩将sin y x =的图象在y 轴右边部分保持不变，并将其作关于y 轴对称的图形，即可得到sin y x =的图象.【一隅三反】1．（2023秋·高一课时练习）用“五点法”作出下列函数的简图.(1)2sin y x =，[]0,2πx ∈；(2)πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，π5π,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.（3）1π3sin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在一个周期（4πT =）内的图像．(4)2sin y x =-,[]0,2πx ∈;(5)πcos 6y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,π11,π66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．（6）πcos 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，π5π,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦【答案】图象见解析图象见解析【解析】（1）列表：x 0π2π3π22π2sin x22-0描点、连线、绘图，如图所示.（2）列表：π3x +π2π3π22πx π3-π62π37π65π3πsin 3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭010－1描点连线如图.（3）列表:x 2π35π38π311π314π31π23x -0π2π3π22πy10-10图像如图所示：（4）解:由题知2sin y x =-,[]0,2x π∈,列表如下:xπ2π3π22πy21232根据表格画出图象如下:（5）解:由题知πcos 6y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,π11,π66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,列表如下:x π6-π35π64π311π6π6x +π2π3π22πy10-101根据表格画出图象如下:（6）[]π5ππ,0,2π333x x ⎡⎤∈-∴+∈⎢⎥⎣⎦根据五点法作图列表得：π3x +π2π3π22πxπ3-π62π37π65π3y11-01画图像得：考点二正弦、余弦函数的周期【例2-1】（2023湖南）下列函数中，最小正周期为π的函数是（）A ．y ＝sin xB ．y ＝cos xC ．y ＝sin 1π23x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．y ＝cos π23x ⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D【解析】A.y ＝sin x 的最小正周期为2πT =，故错误；B.y ＝cos x 的最小正周期为2πT =，故错误；C.y ＝sin 1π23x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小正周期为2π4π12T ==，故错误；D.y ＝cos ππ2cos 233x x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2ππ2T ==，故正确；故选：D【例2-2】（2023秋·高一课时练习）下列函数，最小正周期为2π的是（）A ．sin 2x y =B ．sin2y x =C ．sin 2x y =D ．sin2y x=【答案】C【解析】函数sin 2x y =的最小正周期为2π4π12T ==，故A 不符合；函数sin2y x =，其最小正周期为2ππ2T ==，故B 不符合；因为函数sin2xy =的最小正周期为4πT =，所以函数sin 2x y =的最小正周期为2π，故C 符合；因为函数sin2y x =的最小正周期为2ππ2T ==，所以函数sin2y x =的最小正周期为π2，故D 不符合.故选：C.【一隅三反】1．（2023·全国·高一专题练习）函数()cos 26f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的最小正周期是（）A ．2πB ．πC ．2πD ．4π【答案】B【解析】由函数()cos 26f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则其最小正周期22T ππ==-.故选：B.2．（2023北京）下列函数中，最小正周期为π的函数是（）A ．sin y x =B ．cos y x =C ．cos y x =D ．sin y x=【答案】B【解析】对于A ，函数sin y x =的最小正周期为2π，故A 不符合题意；对于B ，作出函数cos y x =的图象，由图可知，函数cos y x =的最小正周期为π，故B 符合题意；对于C ，函数cos y x =的最小正周期为2π，故C 不符合题意；对于D ，函数sin ,0sin sin ,0x x y x x x ≥⎧==⎨-<⎩，其图象如图，由图可知，函数sin y x =不是周期函数，故D 不符合题意.故选：B.3．（2023·全国·高一假期作业）（多选）下列函数中，是周期函数的是（）A ．cos y x =B ．cos y x =C ．sin y x =D ．sin y x=【答案】ABC【解析】对于A ，()cos πcos cos x x x +=-= ，cos y x ∴＝的最小正周期为π；对于B ，()cos cos cos x x x =-= ，cos y x ∴=的最小正周期为2π；对于C ，()sin πsin sin x x x +=-= ，sin y x ∴=的最小正周期为π；对于D ，∵sin ,0sin sin ,0x x y x x x ≥⎧==⎨-<⎩，∴函数图象关于y 轴对称，不具有奇偶性，故错误.故选：ABC4．（2023春·江西上饶·高一校联考期中）（多选）下列函数，最小正周期为π的有（）A ．sin y x =B ．sin y x =C ．πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．2cos 1y x =-【答案】BC【解析】对于A ，sin ||y x =为偶函数，图象关于y 轴对称，其图象如下，不是周期函数，故A 错误；对于B ，作出函数|sin |y x =的图象如下，观察可得其最小正周期为π，故B 正确；对于C ，由周期公式可得2π||T ω=，可得πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为π，故C 正确；对于D ，由周期公式可得2π||T ω=，可得2cos 1y x =-的最小正周期为2π，故D 错误.故选：BC考点三正弦、余弦函数的奇偶性【例3-1】7．（2023春·四川眉山·高一校考期中）下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是（）A ．cos 2y x =B ．sin y x=C ．πsin(2)2y x =+D ．3πcos(2)2y x =-【答案】D【解析】对于A ，∵cos 2()cos 2x x -=，∴函数cos 2y x =是偶函数，故A 错误；对于B ，∵sin()sin sin x x x -=-=，∴函数sin y x =是偶函数，故B 错误；对于C ，函数πsin(2)cos 22y x x =+=是偶函数，故C 错误；对于D ，函数3πcos(2)sin 22y x x =-=-是奇函数，最小正周期2ππ2T ==，故D 正确．故选：D.【例3-2】（2021春·陕西榆林·高一校考阶段练习）若函数()cos 203f x x πφφ⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭（）是奇函数，则φ的最小值为（）A ．56πB ．43πC ．3πD ．512π【答案】A【解析】因为函数()cos 203f x x πφφ⎛⎫=+-> ⎝⎭（）是奇函数，所以,32k k Z ππφπ-=+∈，解得5,6k k Z πφπ=+∈，所以φ的最小值为56π，故选：A【例3-3】（2023秋·高一课时练习）判断下列函数的奇偶性．(1)1π()sin 22f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭；(2)2π()cos 2f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；(3)21sin cos ()1sin x x f x x+-=+.【答案】(1)偶函数(2)奇函数(3)非奇非偶函数．【解析】（1）()f x 的定义域为R ，1π11()sin cos cos 2222f x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为11()cos cos ()22f x x x f x ⎛⎫-=-== ⎪⎝⎭，所以()f x 为偶函数，（2）()f x 的定义域为R ，22π()cos sin 2f x x x x x ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，因为22()()sin()sin ()f x x x x x f x -=---==-，所以()f x 为奇函数，（3）由1sin 0x +≠，得sin 1x ≠-，解得π2π,Z 2x k k ≠-+∈，所以函数的定义域为πR 2π,Z 2x x k k ⎧⎫∈≠-+∈⎨⎬⎩⎭，因为定义域不关于原点对称，所以该函数是非奇非偶函数．【一隅三反】1．（2023秋·高一课时练习）函数()sin R f x x x x +∈=，（）A ．是奇函数，但不是偶函数B ．是偶函数，但不是奇函数C ．既是奇函数，又是偶函数D ．既不是奇函数，又不是偶函数【答案】A【解析】由()sin s ()(in )f x x x x x f x -=-+-=-=-可知()f x 是奇函数．故选:A2．（2023春·云南文山·高一校考阶段练习）下列函数中，最小正周期为π的偶函数是（）A ．cos y x =B ．2sin y x =C ．sin 2y x =D ．cos y x=【答案】A【解析】对于A ，()cos y f x x ==定义域为R ，因为()cos()cos ()f x x x f x -=-==，所以函数cos y x =为偶函数，因为cos y x =的图象是由cos y x =的图象在x 轴下方的关于x 轴对称后与x 轴上方的图象共同组成（如下图所示），又cos y x =的最小正周期为2π，所以cos y x =的最小正周期为π，故A 正确；对于B ：2sin y x =为最小正周期为2π的奇函数，故B 错误；对于C ：()sin 2y g x x ==定义域为R ，()()()sin 2sin 2g x x x g x -=-==，即sin 2y x =为偶函数，又()()ππsin 2sin 2πsin 2sin 222g x x x x x gx ⎛⎫⎛⎫+=+=+=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π2为sin 2y x =的周期，故C 错误；对于D ：cos y x =为最小正周期为2π的偶函数，故D 错误；故选：A3．（2023秋·高一课时练习）（多选）已知函数()πsin()4f x x ϕ=++是奇函数，则ϕ的值可以是（）A ．0B ．π4-C ．π2D ．3π4【答案】BD【解析】由函数()πsin()4f x x ϕ=++为奇函数，可得ππ,Z 4k k ϕ+=∈，解得ππ,Z 4k k ϕ=-+∈，当0k =时，π4ϕ=-，所以B 满足题意；当1k =时，43πϕ=，所以D 满足题意；故选：BD.4．（2023秋·宁夏吴忠·高一青铜峡市高级中学校考期末）（多选）以下函数是偶函数的是（）A ．2sin y x =B ．cos2y x =C ．3sin y x x =D ．|sin |cos y x x=【答案】BCD【解析】四个选项中函数的定义域均为全体实数，满足关于原点对称，对于A :()2sin f x x =,()()()2sin 2sin f x x x f x -=-=-=-,所以2sin y x =为奇函数,故A 错误对于B :()cos2g x x =,()()()cos 2cos2g x x x g x -=-==所以()cos2g x x =为偶函数,故B 正确;对于C :()3sin h x x x =,()()()()()333sin sin sin h x x x x x x x h x -=--=--==,所以()3sin h x x x =为偶函数,故C 正确;对于D :()|sin |cos t x x x =,()()()()|sin |cos |sin |cos |sin |cos t x x x x x x x t x -=--=-==,所以()|sin |cos t x x x =为偶函数,故D 正确;故选:BCD考点四正弦、余弦函数的对称性【例4-1】（2023春·北京·高一北京市第一六一中学校考期中）函数πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（）A ．关于直线π3x =对称B ．关于直线π3x =-对称C ．关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】B【解析】A.πππ5πsin 2sin13366f ⎛⎫⎛⎫=⨯+=≠± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数不关于直线π3x =对称，故A 错误；B.ππππsin 2sin 13362f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以函数关于直线π3x =对称，故B 正确；C.ππππsin 2sin 106662f ⎛⎫⎛⎫=⨯+==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数不关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称，故C 错误；D.πππ5πsin 2sin03366f ⎛⎫⎛⎫=⨯+=≠ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，所以函数不关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称，故D 错误；故选：B【例4-2】（2023春·上海杨浦·高一上海市控江中学校考期末）已知常数R ϕ∈，如果函数()cos 2y x ϕ=+的图像关于点4π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，那么ϕ的最小值为（）A ．π3B ．π4C ．π6D ．π2【答案】C【解析】因为函数()cos 2y x ϕ=+的图像关于点4π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，所以π24ππ32k ϕ⨯++=，Z k ∈，所以13ππ6k ϕ=-+，Z k ∈，所以当2k =时π6ϕ=-，当3k =时5π6ϕ=，1k =时7π6ϕ=-，所以ϕ的最小值为π6.故选：C 【一隅三反】1．（2023云南）函数π()2sin 213f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭图象的一个对称中心可以是（）A ．π,03⎛⎫⎪⎝⎭B ．π,112⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．5π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．,16π⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D【解析】对于A ，由π3x =，得π2π3x +=，1y =，则π,03⎛⎫⎪⎝⎭不是函数π()2sin 213f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭图象的一个对称中心，故A 错误；对于B ，由π12x =，得ππ232x +=，则π,112⎛⎫ ⎪⎝⎭不是函数π()2sin 213f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭图象的一个对称中心，故B 错误；对于C ，由5π12x =，得π7π236x +=，则5π,012⎛⎫⎪⎝⎭不是函数π()2sin 213f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭图象的一个对称中心，故C 错误；对于D ，π6x =-，得π203x +=，1y =，则,16π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数π()2sin 213f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭图象的一个对称中心，故D 正确.故选：D.2．（2023春·四川成都·高一校考期中）下列直线中，可以作为曲线πcos 22y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的对称轴的是（）A ．π4x =B ．π3x =C ．π2x =D ．2π3x =【答案】A【解析】πcos(2)sin 22y x x =-=，对于A ，当π4x =时，πsin 12y ==，则π4x =是曲线πcos 22y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的对称轴，A 是；对于B ，当π3x =时，2πsin 132y ==≠±，则π3x =不是曲线πcos 22y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的对称轴，B 不是；对于C ，当π2x =时，sin π01y ==≠±，则π2x =不是曲线πcos 22y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的对称轴，C 不是；对于D ，当2π3x =时，14π3sin 2y ==-≠±，则2π3x =不是曲线πcos 22y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的对称轴，D 不是.故选：A3．（2023春·河南驻马店·高一统考阶段练习）（多选）已知函数()πcos π4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则（）A ．()f x 的图象关于直线12x =对称B ．()f x 的图象关于点1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C ．()f x 的图象关于点1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭对称D ．()f x 的图象关于直线14x =对称【答案】BD【解析】因为()πcos π4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令πππ,Z 4x k k -=∈，则1,Z 4x k k =+∈，所以()f x 的对称轴方程为：1,Z 4x k k =+∈，令10,4k x ==，则D 正确，A 错误；令ππππ,Z 42x k k -=+∈，则3,Z 4x k k =+∈，所以()f x 的对称轴中心为：3,0,Z 4k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，令1k =-，则()f x 的一个对称中心为1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭，则B 正确，C 错误.故选：BD.考点五正弦、余弦函数的单调性【例5-1】（2023春·重庆江津·高一校考期中）（多选）函数πsin(2y x =-(R )x ∈在（）A ．区间ππ[,22-上是增函数B ．区间π[,π]2上是增函数C ．区间[π,0]-上是减函数D ．区间[,]-ππ上是减函数【答案】BC【解析】ππsin()sin cos 22y x x x ⎛⎫=-=--=- ⎪⎝⎭.A 选项，因cos y x =在π[,0]2-上单调递增，在π[0,]2上单调递减，则πsin()2y x =-在ππ[,]22-上无单调性，故A 错误；B 选项，因cos y x =在π[,π]2上单调递减，则πsin()cos 2y x x =-=-在π[,π]2上单调递增，故B 正确；C 选项，因cos y x =在[π,0]-上单调递增，则πsin()cos 2y x x =-=-在[π,0]-上单调递减，故C 正确；D 选项，因cos y x =在[π,0]-上单调递增，在[0,π]上单调递减，则πsin()2y x =-在[,]-ππ上无单调性，故D错误.故选：BC【例5-2】（2022春·上海浦东新·高一校考期末）函数π12cos 23y x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的单调递增区间是.【答案】πππ,π,36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 【解析】由π2ππ22π3k x k -≤-≤，解得ππππ36k x k -≤≤+，所以函数π12cos 23y x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的单调递增区间是πππ,π,36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z .故答案为：πππ,π,36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 【例5-3】（2023春·广西钦州·高一校考期中）（多选）下列函数在区间ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增的是（）A ．()sin f x x =B ．()cos f x x =C ．()sin 2f x x =D ．()cos 2f x x=【答案】AD【解析】A 选项，ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()sin sin f x x x ==，()f x 单调递增，故A 符合.B 选项，ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()cos cos f x x x ==，()f x 单调递减，故B 不符合.C 选项，ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，π2,π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()sin2sin 2f x x x ==，()f x 单调递减，故C 不符合.D 选项，ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，π2,π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()cos2cos 2f x x x ==-，()f x 单调递增，故D 符合.故选：AD.【例5-4】（2023春·安徽马鞍山·高一安徽省当涂第一中学校考期中）已知函数π()cos (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间π3,π44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数ω的取值范围为.【答案】80,9⎛⎤⎥⎝⎦【解析】由题意有3ππππ4422T ω-=≤=,可得02ω<≤,又由πππ5π3436ω<+≤，cos y x =在[]0,π上为减函数，故必有3πππ43ω+≤,可得809ω<≤.故实数ω的取值范围为80,9⎛⎤ ⎝⎦.故答案为：80,9⎛⎤⎥⎝⎦【一隅三反】1．（2023春·宁夏吴忠·高一青铜峡市高级中学校考期中）函数cos y x =的一个单调减区间是（）A ．ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．π3π,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．3ππ,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3π,2π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】作出函数cos y x =的图象如图所示，由图象可知，A 、B 都不是单调区间，D 是单调增区间，C 是单调减区间．故选：C2．（2023·全国·高一专题练习）函数()πcos 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的一个单调递减区间为（）A ．5ππ,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．11π5π,1212⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．π5π,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】令()π2π2π2πZ 6k x k k ≤-≤+∈，解得()π7ππ+πZ 1212k x k k ≤≤+∈，即函数()f x 的单调递减区间为π7ππ+,π,Z 1212k k k ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，取1k =-可得，11π5π,1212⎡⎤--⎢⎥⎣⎦为函数()f x 的单调递减区间，B 正确；取0k =可得，π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦为函数()f x 的单调递减区间，令()π2ππ22πZ 6k x k k -≤-≤∈，解得()5ππππZ 1212k x k k -≤≤+∈，即函数()f x 的单调递增区间为5πππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，取0k =可得，,12125ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦为函数()f x 的单调递增区间，A 错误；因为()f x 在π12π,6⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，C 错误；取1k =可得，7π13π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦为函数()f x 的单调递增区间，所以()f x 在7π5π,126⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，D 错误故选：B.3．（2023秋·高一课时练习）函数π3sin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递减区间为.【答案】5(Z)121,2k k k ππ⎡⎤-+ππ⎢⎥⎦∈+⎣【解析】因为3sin 23sin(2)33y x x ππ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，所以3sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递增区间就是3sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递减区间．令222(Z)232k x k k πππ-+π≤≤π∈-+，解得51212k x k ππππ-+≤≤+()k ∈Z .所以函数3sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递减区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z .故答案为：5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z .4．（2023·全国·高一课堂例题）函数2πlog cos 3y x ⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的单调递增区间为．【答案】5ππ2π,2π63k k ⎛⎤-+-+ ⎥⎝⎦，Zk ∈【解析】由题意，得πcos 03x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，所以πππ2π2π232k x k -+<+<+，Z k ∈，解得5ππ2π2π66k x k -+<<+，Z k ∈．令ππ2π2π3k x k -+≤+≤，Z k ∈，则4ππ2π2π33k x k -+≤≤-+，Z k ∈．所以πcos 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递增区间为4ππ2π,2π33k k ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈，所以函数2πlog cos 3y x ⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的单调递增区间为5ππ2π,2π63k k ⎛⎤-+-+ ⎥⎝⎦，Z k ∈．故答案为：5ππ2π,2π63k k ⎛⎤-+-+ ⎥⎝⎦，Z k ∈5．（2023秋·江苏宿迁·高一江苏省泗阳中学校考期末）已知函数其中0ω>．若()π,4f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x 在区间π3π,24⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值范围是（）A ．(]0,4B ．0,13⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．52,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．15,0332,⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【答案】D 【解析】由πππ2π2π,242k x k k ω-+≤+≤+∈Z 解得3π2ππ2π,44k k x k ωωωω-+≤≤+∈Z ，所以函数()f x 的单调递增区间为3π2ππ2π,,44k k k ωωωω⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ，因为()f x 在区间π3π,24⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以3πππ2422T ⎛⎫≥-= ⎪⎝⎭，所以04ω<≤.当0k =时，由()f x 在区间π3π,24⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增可知3ππ42π3π44ωω⎧-≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，得103ω<≤；当1k =时，由5ππ429π3π44ωω⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩解得332ω≤≤；当2k =时，13ππ4217π3π44ωω⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩无实数解.易知，当1k ≤-或2k ≥时不满足题意.综上，ω的取值范围为15,0332,⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦.故选：D6．（2023·全国·高一课堂例题）已知函数()πsin (0)4f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在区间(1,2)上不单调，则ω的取值范围为（）A ．3π,8∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．3π3π7π,,848∞⎛⎫⎛⎫⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．3π7π7π,,888∞⎛⎫⎛⎫⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．3π,4∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】()πsin (0)4f x x ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭ωω的图象的对称轴为直线3ππ4k x ω+=，k ∈Z ，因为()f x 在区间(1,2)上不单调，所以对称轴3ππ4k x ω+=，k ∈Z 在直线1x =与直线2x =之间，即3ππ412k ω+<<，k ∈Z ，化简得3ππ3ππ824k k ω+<<+，k ∈Z ，因为0ω>，所以令0k =，得3π3π84ω<<，又当1k ≥时，7π8ω>，综上3π3π7π,,848ω∞⎛⎫⎛⎫∈⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B ．考点六正弦、余弦函数的单调性的应用【例6-1】（2023春·福建泉州·高一校联考期中）下列结论正确的是（）A ．()sin 10sin50-︒>︒B ．tan70sin70︒<︒C ．()cos 40cos310-︒<︒D ．cos130cos200︒>︒【答案】D【解析】对于A ，因为()sin 10sin100-︒=-︒<，sin500︒>，所以()sin 10sin50-︒<︒，故A 错误；对于B ，因为0cos701<︒<，所以sin 70tan70sin70cos70︒︒=>︒︒，故B 错误；对于C ，因为()cos 40cos 40-︒=︒，()cos310cos 36050cos 50︒=︒-︒=︒，又cos 40cos50︒>︒，所以()cos 40cos310-︒>︒，故C 错误；对于D ，因为()cos130cos 9040sin 40︒=︒+︒=-︒，()cos 200cos 27070sin 70︒=-︒=-︒，又sin 40sin 70︒<︒，所以sin 40sin 70-︒>-︒，即cos130cos 200︒>︒，故D 正确.故选：D.【例6-2】（2023春·江苏苏州·高一统考期末）已知45a =，2sin 3b =，1cos 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c b a <<B ．a b c<<C ．b a c<<D ．b<c<a【答案】C【解析】因为2π4πsinsin sin 34253<=<<=b a <，14cos cos 32π65c a =>==，所以c a >，所以b a c <<.故选：C.【一隅三反】1．（2023春·广西钦州·高一校考期中）sin1︒，sin1，sin π︒的大小顺序是（）A ．sin1sin1sin π︒<<︒B ．sin1sin πsin1︒<︒<C ．sin1sin1sin π︒=<︒D ．sin1sin1sin π<︒<︒【答案】B【解析】由正弦函数的单调性可知：sin y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，又易知π0<1<π°<1<2︒，所以sin1sin sin1π︒<︒<.故选：B2．（2023·全国·高一假期作业）下列选项中错误的是（）A ．ππsin sin 1810⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．sin2sin1>C ．23π17πcos cos 54⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．sin508sin144︒︒>【答案】D 【解析】因为ππππ210182-<-<-<，sin y x =在ππ[,]22x ∈-上单调递增，所以ππsin sin 1810⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎝⎭⎝⎭，故A 正确；因为21π1.522+=<，所以2比1距离正弦函数的对称轴π2x =近，所以sin2sin1>，故B 正确；因为23π23π3π17π17ππcos cos 4πcos ,cos cos4πcos 555444⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而3ππ05π4-<<-<-，函数cos y x =在(π,0)-上单调递增，所以23π17πcos cos 54⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确；因为sin508sin148sin144︒︒=︒>，而90144148180︒<︒<︒<︒，由正弦函数的单调性可知sin508sin148sin144︒︒=︒<，故D 错误.故选：D3．（2023春·四川绵阳·高一四川省绵阳南山中学校考期中）设3sin20,cos80,4a b c =︒=︒=，则,,a b c 大小关系（）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．c b a <<D ．a c b<<【答案】B【解析】因为2030︒<︒，且sin y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则1sin 20sin 302︒<︒=，即12a <；又因为π80ππ41803<<，且cos y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则1ππcos cos80cos 2342=<︒<=，即122b <<，且34c =>a b c <<.故选：B.考点七正弦、余弦函数的最值(值域)问题【例7-1】（2023春·四川眉山·高一校考期中）已知函数()ππ2sin 2,0,62f x x x ⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则()f x 的值域是（）A ．[]22-,B ．[]1,1-C ．[]1,2-D ．2⎡⎤⎣⎦【答案】C【解析】因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦，所以ππ5π2,666x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以[]π2sin 21,26x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以()f x 的值域是[]1,2-.故选：C.【例7-2】（2023·全国·高一专题练习）函数22sin cos y x x =--的最小值是．【答案】34/0.75【解析】函数2213cos cos 1cos 24y x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，1cos 1x -≤≤，当1cos 2x =时，函数取得最小值34.故答案为：34【例7-3】（2023春·河南周口·高一周口恒大中学校考阶段练习）函数sin cos ()1sin cos =++x xf x x x的值域为．【答案】11,122⎡⎫⎛⎤--⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦【解析】令sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，[1)(t ∈-- ，则212sin cos t x x =+，即21sin cos 2t x x -=，所以2112()12t t f t t --==+，又因为[1)(t ∈-- ，所以()11,11,22f t ⎡⎫⎛⎤-∈--⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦，即函数sin cos ()1sin cos =++x xf x x x的值域为11,11,22⎡⎫⎛⎤---⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦．故答案为：11,122⎡⎫⎛⎤--⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦.【例7-4】（2023春·四川眉山·高一校联考期中）已知函数()πsin (0,[0,π])3f x x x ωω⎛⎫=->∈ ⎪⎝⎭的值域为[，则ω的取值范围是（）A ．15[,]33B ．5[,1]6C ．55[,63D ．513⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【答案】C【解析】因为[0,π]x ∈，可得πππ[,π333x ωω-∈--，因为函数()πsin()3f x x ω=-的值域为[，所以ππ4π,323ωπ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，解得55[,]63ω∈.故选：C.【一隅三反】1（2022秋·江苏常州·高一常州高级中学校考期末）函数ππcos ,,032y x x ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值域是（）A ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．⎤⎥⎣⎦C ．12⎡⎢⎣⎦D ．,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】因为,02πx ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以πππ,363x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，因为函数cos t x =在π,06⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递增，π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，又πcos 6⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos 01=，π1cos 32=，所以π1cos ,132x ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦即1,12y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.故选：A ．2．（2023秋·陕西安康·高一校联考期末）函数2π2πsin 2cos 33y x x x ⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭的最小值是．【答案】14-/-0.25【解析】由()222sin 2cos 1cos 2cos cos 12y x x x x x =+=-+=--+，又π2π33x ≤≤，则11cos 22x -≤≤，所以()217cos 1244x -≤--+≤，所以函数2π2πsin 2cos 33y x x x ⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭的最小值是14-．故答案为：14-．3．（2023春·江西宜春·高一江西省丰城中学校考阶段练习）已知函数()cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若()f x 在[]0a ，上的值域是112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，则实数a 的取值范围为（）A ．403π⎛⎤ ⎥⎝⎦，B ．2433ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．23π∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭，D ．2533ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【答案】B【解析】由题意可得()cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令3t x π=+则cos y t =,如图所示，∵()f x 的值域是112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，0x a ，∴333x a πππ++，即：33ta ππ+∴由图可知533aπππ+，解得2433a ππ，所以实数a 的取值范围为2433ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.故选：B.4．（2023春·四川南充·高一四川省南充市白塔中学校考期中）函数2cos ()2cos xf x x-=+的值域为.【答案】1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】2cos 4()12cos 2cos x f x x x-==++，[]cos 1,1x ∈-，则[]cos 21,3x +∈，44,42cos 3x ⎡⎤∈⎢⎥+⎣⎦，故()1,33f x ∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦考点八正切函数图像及性质【例8】（2024秋·广东）（多选）已知函数()πtan 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（）A ．()f x 的最小正周期为π2B ．()f x 在ππ,63⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减C ．π3π510f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()f x 的定义域为ππ,Z 3x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭【答案】AC【解析】因为()πtan 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对于A ：()f x 的最小正周期为π2T =，故A 正确；对于B ：当ππ,63x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，πππ2,662x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，因为tan y z =在π0,2z ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递增，故()f x 在ππ,63⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故B 错误；对于C ：因为()f x 的最小正周期为π2T =，所以πππ3π55210f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故C 正确；对于D ：令ππ2π62x k -≠+，Z k ∈，解得ππ32k x ≠+，Z k ∈，所以()f x 的定义域为ππ,Z 32k x x k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，故D 错误．故选：AC ．【一隅三反】1．（2023春·辽宁大连·高一大连八中校考阶段练习）（多选）已知函数()tan 2f x x =，则下列说法正确的是（）A ．函数()f x 是奇函数B ．函数()f x 的最小正周期是πC ．函数()f x 在ππ(,44-上单调递增D ．函数()f x 图象的对称中心是π(,0)(Z)4k k ∈【答案】ACD【解析】对于A ，()tan 2f x x =的定义域为ππππ,(Z)4242k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭，定义域关于原点对称，因为()()tan(2)tan 2f x x x f x -=-=-=-，所以()f x 是奇函数，所以A 正确，对于B ，()f x 的最小正周期为π2T =，所以B 错误，对于C ，由ππ,44x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，得ππ2,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，因为tan y x =在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，所以()f x 在ππ(,)44-上单调递增，所以C 正确，对于D ，由π2,Z 2k x k =∈，得π,Z 4k x k =∈，所以()f x 图象的对称中心是π(,0)(Z)4k k ∈，所以D 正确，故选：ACD2．（2023春·广西钦州·高一校考阶段练习）（多选）已知函数()πtan 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列说法错误的是（）A ．()f x 的最小正周期为π2B ．()f x 的定义域为ππ,3x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z C ．ππ44f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()f x 在ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减【答案】BD【解析】因为()πtan 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对于A ：所以()f x 的最小正周期为π2T =，故A 正确；对于B ：令ππ2π,Z 62x k k -≠+∈，解得ππ,Z 32kx k ≠+∈，所以()f x 的定义域为ππ,32k x x k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ，故B错误；对于C ：πππtan tan 4263πf ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭tan tan tan πππ242633π2ππf ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故C 正确；对于D ：当ππ,32x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，ππ5π2,626x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，因为tan y z =在π5π,26z ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递增，故()f x 在ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故D 错误.故选：BD3．（2023春·广东河源·高一校考阶段练习）（多选）已知函数()π7tan 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（）A ．π6f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．π6f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭为奇函数C ．()f x 图象的对称中心为()ππ,0Z 68k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭D ．()f x 的定义域为ππ,Z 122k xx k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭∣【答案】ABD【解析】因为函数()π7tan 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以πππ2π7tan 27tan76633f ⎛⎫⎛⎫=⨯+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A 正确；由()π7tan 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭得，π7tan 26f x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，对于函数7tan 2y x =，令π2π,Z 2x k k ≠+∈，得ππ,Z 24k x k ≠+∈，可知定义域为ππ,Z 24k x x k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭关于原点对称，又()7tan 27tan 2x x -=-，所以函数7tan 2y x =为奇函数，即π6f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭为奇函数，故B 正确；由ππ2(Z)32k x k +=∈，得到()ππZ 46k x k =-∈，所以()π7tan 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称中心为()ππ,0Z 46k k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，故C 错误；令ππ2π,Z 32x k k +≠+∈，得ππ,Z 212k x k ≠+∈，所以()f x 的定义域为ππ,Z 122k xx k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭∣，故D 正确；故选：ABD。
三角函数的图像和性质(附答案解析)
第 䁮页，共 3页
．
故 䁲 在区间 䁮 h上的最小值为 䁮，最大值为 1．
10.解：䁲Ⅰ 䁲
쀀 ݏ䁮 쳌 쀀 ݏ
ಀ쀀
1
ಀ쀀䁮 䁮
쳌
1 䁮
쀀
ݏ䁮
䁮 䁮
sin䁲䁮
쳌
1，
䁮
令䁮
쳌䁮
，
解得
䁮
쳌
3 8
．
䁲 的对称轴方程为
䁮
쳌
3 8
．
䁲Ⅱ 由 䁲
1
得
䁮 䁮
sin䁲䁮
쳌
1 䁮
1，
即 sin䁲䁮
䁮，
䁮
第 3页，共 3页
10. 已知 䁲쀀 ݏಀ쀀 ， 䁲쀀 ݏ쀀 ݏ，函数 䁲
．
䁲Ⅰ 求 䁲 的对称轴方程； 䁲Ⅱ 求使 䁲 1 成立的 x 的取值集合；
䁲Ⅲ 若对任意实数
h，不等式
3
䁲
一．选择题. 1--5CDABC
二．填空题 6. 1
7.
8.
三．解答题
t 䁮 恒成立，求实数 m 的取值范围． 答案
9.解：䁲1 䁲 1 쳌 䁮 3쀀 ݏಀ쀀 䁮쀀 ݏ䁮 ，
3쀀 ݏ䁮 쳌 ಀ쀀䁮 䁮쀀 ݏ䁲䁮 쳌 ，
令䁮
䁮쳌 䁮 쳌， ，
䁮
䁮
得
3
쳌， ，
可得函数 䁲 的单调增区间为
3 쳌 h，
；
令䁮 쳌䁮 䁮 쳌
䁮
쳌
3 䁮
，
，
得쳌
쳌
䁮 3
，
，
可得函数 䁲 的单调减区间为 쳌
쳌
䁮 3
h，
数学三角函数的图象与性质试题答案及解析
数学三角函数的图象与性质试题答案及解析1.将函数的图象向右平移个单位长后与直线相交，记图象在轴右侧的第个交点的横坐标为，若数列为等差数列，则所有的可能值为（）A．B．C．或D．或【答案】C【解析】将函数的图象向右平移个单位长得，由题意知，与函数的图象的最高点或最低点相交时满足题意，此时或得即或，故选C.2.已知函数（，m是实数常数）的图像上的一个最高点，与该最高点最近的一个最低点是，(1)求函数的解析式及其单调增区间；(2)在锐角三角形△ABC中，角A、B、C所对的边分别为，且，角A的取值范围是区间M，当时，试求函数的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】(1)∵，∴.∵和分别是函数图像上相邻的最高点和最低点，∴解得∴.由，解得.∴函数的单调递增区间是.(2)∵在中，，∴.∴，且，可解得：. ∴.当时，，考察正弦函数的图像，可知，.∴，即函数的取值范围是【考点】本题考查三角变换、三角函数的图象和性质、向量的数量积和解三角形等知识，意在考查学生的数形结合能力，整体思想的运用.3.（本题满分12分）已知，．（I）求函数的单调递增区间；（II）函数的图象可以由函数的图象经过怎样的变换得到？【答案】（I），（II）见解析【解析】（Ⅰ）由已知，4分当，，即，时，函数单调递增，所以函数的单调递增区间为，． 7分（II）函数图象向左平移个单位长度，得到函数的图象；然后使曲线上各点的横坐标缩为原来的倍得到函数的图象；再将曲线上各点的纵坐标伸长为原来的倍得到函数的图象． 12分另法：函数图象上各点的横坐标缩为原来的倍，得到函数的图象；然后使图象向左平移个单位长度，得到函数的图象；再将曲线上各点的纵坐标伸长为原来的倍得到函数的图象． 12分【考点】本题考查平面向量的坐标运算、三角恒等变换、三角函数图象得到变换等基础知识，意在考查考生的数学运算能力、作图视图的能力及应用数学知识解决问题的能力.4.函数的图象如图所示，则 .【答案】．【解析】由图象知，由的图象关于点以及直线对称知，，又，【考点】本题考查三角恒等变换、三角函数图象及其性质等知识，意在考查读图、识图、计算以及推理能力．5.如图所示，是函数图象的一部分．则的值为（）A．B．C．D．【答案】【解析】观察图象知，，即；将点代入得，结合，，即函数解析式为.所以，，故选.【考点】本题考查正弦型函数的图象和性质，三角函数的诱导公式等基础知识，意在考查计算能力及视图用图能力．6.将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为A．B．C．D．【答案】B【解析】得到的偶函数解析式为，显然【考点】本题考查三角函数的图象和性质，要注意三角函数两种变换的区别，选择合适的值通过诱导公式把转化为余弦函数是考查的最终目的.7.已知函数。
人教版高中数学精讲精练必修一5.4 三角函数的图象与性质(精练)(解析版)
5.4三角函数的图象与性质（精练）1．（2023春·北京昌平·高一统考期末）下列函数中，是偶函数且其图象关于点π(,0)4对称的是（）A ．()sin f x x =B ．()cos f x x =C ．()sin4f x x =D ．()cos2f x x=【答案】D【解析】对于A ，函数()sin f x x =是奇函数，A 不是；对于C ，函数()sin4f x x =是奇函数，C 不是；对于B ，函数()cos f x x =是偶函数，而ππ(cos 0442f ==≠，即()cos f x x =的图象不关于点π(,0)4对称，B 不是；对于D ，函数()cos2f x x =是偶函数，ππ(cos 042f ==，即()cos2f x x =的图象关于点π(,0)4对称，D 是.故选：D2．（2023·全国·高一假期作业）设函数()πcos ,(0)4f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π5，则它的一条对称轴方程为（）A ．π8x =B ．π8x =-C ．π12x =D ．π12x =-【答案】A【解析】因为的()f x 最小正周期为π5，所以2π10T ω==，所以()πcos 104f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令104πx kπ-=，Z k ∈，解得()1040kππx k Z =+∈，所以()f x 的对称轴为直线()1040kππx k Z =+∈，当1k =时，π8x =，其它各项均不符合，所以π8x =是函数()f x 的对称轴，故选：A ．3．（2022·高一课时练习）已知函数()()2cos 3f x x ϕ=+，则“2πϕ=＋2kπ，k ∈Z ”是“()f x 为奇函数”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当22k πϕπ=+，k ∈Z 时，()2cos(3)2sin 3f x x x ϕ=+=-，所以()f x 为奇函数．当()f x 为奇函数时，2k πϕπ=+，k ∈Z ．综上，“22k πϕπ=+，k ∈Z ”是“()f x 为奇函数”的充分不必要条件．故选：A.4．（2023春·江苏盐城·高一校联考期中）设函数π()sin()3f x x ω=+在区间(0,π)恰有三条对称轴､两个零点，则ω的取值范围是（）A ．513,36⎡⎤⎢⎣⎦B ．519,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．138(,63D ．1319(,66【答案】C【解析】由函数π()sin()3f x x ω=+，其中π()0,x ∈，可得πππ(,)333x ωωπ+∈+，因为函数()f x 在区间(0,π)恰有三条对称轴､两个零点，则满足5ππ3π23ωπ<+≤，解得13863ω<≤，所以ω的取值范围为138(,]63.故选：C.5．（2023春·辽宁抚顺·高一校联考期中）已知函数()πcos 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[],m n 上单调递减，且()()2f m f n -=，则tan2m n+=（）A．BC．D【答案】D【解析】由函数()πcos 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[],m n 上单调递减，且()()2f m f n -=，可得()π22π6Z π2π2π6m k k n k ⎧-=⎪⎪∈⎨⎪-=+⎪⎩，两式相加得π2()π4π,Z 3m n k k +-=+∈，即ππ,Z 23m n k k +=+∈，所以πtan tan 23m n +==故选：D.6．（2023春·四川绵阳·高一绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）已知6πsin 7a =，4πsin 7b =，2πsin 7c =，则（）A ．a b c>>B ．c b a>>C ．c a b>>D ．b c a>>【答案】D【解析】由诱导公式知：ππsin πsin 77a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，3π3πsin πsin 77b ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，sin y x = 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，3π2ππsin sin sin 777∴>>，即b c a >>.故选：D.7．（2023秋·高一单元测试）函数y =的定义域是（）A ．}{π|2π2π2,Z x k x k k ≤≤+∈B ．π|ππZ}{2,x k x k k ≤≤+∈C ．}{π|2ππZ 2,x k x k k ≤≤+∈D ．}{ππ|ππ,Z 33x k x k k -≤≤+∈【答案】D【解析】函数y 有意义，则2cos 210x +≥，即1cos 22x ≥-，因此2π2π2π22π,Z 33k x k k -≤≤+∈，解得ππππ,Z 33k x k k -≤≤+∈，所以函数y =的定义域是}{ππ|ππ,Z 33x k x k k -≤≤+∈.故选：D8．（2023春·河北衡水·高一校考阶段练习）不等式cos 20x ≥在[]π,π-上的解集为（）A ．2π2ππ,,π33⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦U B ．2π2π,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．5π5ππ,,π66⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦U D ．5π5π,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】∵cos 20x ≥，则cos 2x ≥-，注意到[]π,πx ∈-，结合余弦函数图象解得5π5π,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.故选：D.9．（2023春·江西抚州·高一江西省抚州市第一中学校考阶段练习）已知函数()()lg 2cos 1f x x =-，则函数()f x的定义域为（）A ．ππ2π,2π,Z33k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭B ．ππ2π,2π,Z33k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C ．Zππ,ππ2,266k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭D ．Z ππ,ππ2,266k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】由题意得：2cos 10x ->，即1cos 2x >，则ππ2π,2π,Z 33x k k k ⎛⎫∈-+∈ ⎪⎝⎭.故选：A10．（2023春·四川眉山·高一校考阶段练习）已知()3sin2x f x =在区间π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为（）A ．1B ．13C ．12D ．43【答案】A【解析】因为π0,,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以,23π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦结合三角函数的图像性质，函数()f x 在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，所以()max π1,3f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭故选：A.11．（2023春·四川眉山·高一校考期中）函数23cos 4cos 1y x x =-+的最小值是（）A ．13-B ．154C ．0D ．14-【答案】A【解析】函数22213cos 4cos 13cos 33y x x x ⎛⎫=-+=--⎪⎝⎭又函数[]cos 1,1x ∈-，所以当2cos 3x =时，函数2213cos 33y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的最小值为13-.故选：A.12．（2023春·福建泉州·高一校考期中）（多选）若函数()π3sin 26f x x ϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭是偶函数，则ϕ的值不可能为（）A ．π6B ．π2C ．2π3D ．5π6【答案】ABD【分析】根据二次函数与余弦函数的性质求解最值即可.【详解】由函数()3sin 26f x x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭是偶函数，可得()03f =±，即πsin 16ϕ⎛⎫-+=± ⎪⎝⎭，则ππ,Z 62k k ϕπ-+=+∈，解得2ππ,Z 3k k ϕ=+∈，当0k =时，可得2π3ϕ=，无论k 取何值，ϕ都不可能等于π6或π2或5π6．故选：ABD ．13．（2023春·河南驻马店·高一校考阶段练习）（多选）下列大小关系中正确的是（）A ．cos11sin10cos168︒<︒<︒B ．cos168sin10cos11︒<︒<︒C ．sin11sin168cos10︒<︒<︒D ．sin168cos10sin11︒<︒<︒【答案】BC【分析】根据二次函数与余弦函数的性质求解最值即可.【详解】 cos11sin 79sin100︒=︒>︒>，又cos1680︒<，cos168sin10cos11∴︒<︒<︒；且sin11sin168sin12cos10cos80︒<︒=︒<︒=︒.故选：BC.14．（2023春·甘肃兰州·高一校考开学考试）（多选）下列不等式中成立的是（）A ．sin sin 810ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()cos400cos 50︒>-︒C ．sin 3sin 2>D ．87sincos 78ππ>【答案】BD【分析】根据二次函数与余弦函数的性质求解最值即可.【详解】对于A ，因为02810πππ-<-<-<，且函数sin y x =在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，则sin sin 810ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；对于B ，因为()cos 400cos 36040cos 40︒=︒+︒=︒，()cos 50cos50-︒=︒，且函数cos y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则cos 40cos50︒>︒，即()cos400cos 50︒>-︒，故B 正确；对于C ，因为32322ππ<<<，且函数sin y x =在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则sin3sin 2<，故C 错误；对于D ，因为7733cossin sin sin 82888πππππ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，8sin sin 77ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且30782πππ<<<，函数sin y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则3sin sin 78ππ<，即87sin cos 78ππ>，故D 正确；故选：BD15．（2022春·辽宁大连·高一大连八中校考期中）（多选）下列坐标所表示的点中，是函数πtan(26x y =-图像的对称中心的是（）A ．5π(,0)3-B ．π(,0)3C ．2π(,0)3D ．4π(,0)3【答案】ABD【分析】根据二次函数与余弦函数的性质求解最值即可.【详解】令ππ,Z 262x k k -=∈，解得ππ,Z 3x k k =+∈，A 选项，当2k =-时，π5π2π33x =-+=-，故对称中心为5π(,0)3-，A 正确；B 选项，当0k =时，π3x =，故对称中心为π(,0)3，B 正确；C 选项，令π2ππ33k +=，解得13k =，不合要求，舍去，C 错误；D 选项，当1k =时，4π3x =，故对称中心为4π,03⎛⎫⎪⎝⎭，D 正确；故选：ABD16．（2023·上海）（多选）已知函数()πtan 2(0)6f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期是π2，则（）A ．2ω=B ．()()π2π125f f ->C ．()f x 的对称中心为()ππ,0412k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z D ．()f x 在区间ππ,123⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增【答案】BCD【解析】因为函数()πtan 2(0)6f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期是π2，所以ππ22T ω==，又0ω>，得到1ω=，所以π()tan(26f x x =-，选项A ，因为1ω=，故选项A 错误；选项B ，因为()()πππ2π19π11πtan()tan ,tan()tan()123353030f f -=-=-==-，又π11ππ03302<<<，由tan y x =的性质知，π11πtan tan 330<，所以()()π2π125f f ->，故选项B 正确；选项C ，由ππ2(Z)62k x k -=∈，得到()ππ412k x k =+∈Z ，所以π()tan(2)6f x x =-的对称中心为()ππ,0412k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ，故选项C 正确；选项D ，当ππ,123x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，ππ2(0,62x -∈，由tan y x =的性质知，()f x 在区间ππ,123⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故选项D 正确.故选：BCD.17．（2023·全国·高一专题练习）（多选）下列关于函数πtan 23y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的说法正确的是（）A ．在区间ππ,312⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减B ．最小正周期是πC ．图象关于点5π,012⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称D ．图象关于直线π12x =-成轴对称【答案】AC【解析】对于A ，令ππππ2π232k x k -+<-<+，k ∈Z ，解得ππ5ππ122122k k x -+<<+，当1k =-时，7ππ1212x -<<-，所以πtan 23y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在7ππ,1212⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，又ππ7ππ,,3121212⎛⎫⎛⎫--⊆-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数πtan 23y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在区间ππ,312⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，正确；对于B ，πtan 23y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭最小正周期为ππ22T ==-，错误；对于C ，令ππ232k x -+=得，ππ,Z 64k x k =-∈，所以πtan 23y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭对称中心为ππ,0,Z 64k k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，当1k =-时，5π,012⎛⎫⎪⎝⎭是对称中心，正确；对于D ，函数πtan 23y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭不成轴对称，没有对称轴，错误.故选：AC.18．（2023·全国·高三专题练习）函数πtan 34y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的单调递减区间为．【答案】ππππ,()12343k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z 【解析】ππtan 3tan 344y x x ⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．由()()ππππ3πZ Z 242ππππ12343k k k k k x x k -+<-<+∈⇒+<<+∈-，故函数πtan 34y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的单调递减区间为ππππ,()12343k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z 故答案为：ππππ,()12343k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z 19．（2023春·广东佛山·高一校考阶段练习）若()ππcos 232f x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫=++< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭是奇函数，则ϕ=.【答案】6π/16π【解析】由题设πππ32k ϕ+=+且Z k ∈，故ππ6k ϕ=+，Z k ∈，又π2ϕ<，故0k =有π6ϕ=.故答案为：π620．（2023春·高一课时练习）函数1πsin 226y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与y 轴最近的对称轴方程是．【答案】π6x =-【解析】令ππ2π,62x k k -=+∈Z ，解得ππ,23k x k =+∈Z ，令1k =-，则π6x =-；令0k =，则π3x =；因为ππ63-<，所以与y 轴最近的对称轴方程是π6x =-.故答案为：π6x =-.21．（2023·全国·高一专题练习）已知函数()()()cos 2R ϕ=+∈f x x x 的图象关于点2π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，则ϕ的最小值为.【答案】π6【解析】因为函数()()()cos 2R ϕ=+∈f x x x 的图象关于点2π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，所以2ππ2π,Z 32k k ϕ⨯+=+∈，所以5ππ,Z 6k k ϕ=-+∈，则当1k =时，ϕ的最小值为π6.故答案为：π622．（2023春·高一单元测试）已知函数2π()log cos 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调增区间为．【答案】ππ(π,π+Z612k k k -∈【解析】令πcos 26t x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由0t >，可得πcos 206x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，所以πππ2π22π+,Z 262k x k k -<-<∈，解得ππππ+,Z 63k x k k -<<∈，所以函数的定义域为ππ(π,π+Z 63k k k -∈，由余弦函数的性质可知：πcos 26t x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在ππ(π,π+Z 612k k k -∈上单调递增，在ππ(π+,π+),Z 123k k k ∈上单调递减，又因为2()log f x t =在定义域上为单调递增函数，由复合函数的单调性可知：函数2π()log cos 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调增区间为ππ(π,π+),Z 612k k k -∈.故答案为：ππ(π,π+),Z612k k k -∈23．（2023春·陕西渭南·高一白水县白水中学校考期中）若0πϕ<<，函数()cos(2)f x x ϕ=+在区间ππ,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，且在区间π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上存在零点，则ϕ的取值范围是.【答案】ππ,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】当ππ,66x ⎡⎤∈-⎢⎣⎦时，ππ2,33x ϕϕϕ⎡⎤+∈-++⎢⎥⎣⎦，因为0πϕ<<，函数()cos(2)f x x ϕ=+在区间ππ,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以[]ππ,0,π33ϕϕ⎡⎤-++⊆⎢⎥⎣⎦，所以π03ππ3ϕϕ⎧-+≥⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，即π2π33ϕ≤≤，当π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，π2,3x ϕϕϕ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，因为0πϕ<<，()f x 在区间π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上存在零点，所以ππ23ϕϕ<<+，解得ππ62ϕ<<，综上：ππ32ϕ≤<，故答案为：ππ,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭24．（2023春·陕西西安·高一西北工业大学附属中学校考阶段练习）求函数()2ln cos 2f x x ⎛=- ⎝⎭的定义域为．【答案】ππ2π,2π,Z46k k k ⎛⎤-++∈ ⎥⎝⎦【解析】根据题意可得12sin 0x -≥，解得1sin 2x ≤，所以7ππ2π,2π,Z 66x k k k ⎡⎤∈-++∈⎢⎥⎣⎦；又2cos 02x -，即cos 22x >，解得ππ2π,2π,Z 44x k k k ⎛⎫∈-++∈ ⎪⎝⎭取交集部分可得，()f x 的定义域为ππ2π,2π,Z 46k k k ⎛⎤-++∈ ⎥⎝⎦.故答案为：ππ2π,2π,Z46k k k ⎛⎤-++∈ ⎥⎝⎦25．（2023·全国·高一专题练习）已知关于x 的不等式2cos 4cos 1x x a -+≥在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内恒成立，则实数a 的取值范围是．【答案】[)4,∞+【解析】由2cos 4cos 1x x a -+≥得2cos 4cos 1a x x ≥-++，设cos t x =，因π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以[]cos 0,1t x =∈，则241a t t ≥-++在[]0,1t ∈上恒成立，设()241f t t t =-++，则二次函数()f t 的对称轴为2t =，因其开口向下，所以[]0,1t ∈时函数()f t 单调递增，所以()f t 的最大值()14f =，故4a ≥，故答案为：[)4,∞+26．（2023春·山东日照·高一统考期中）函数()π3cos 23f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()0ω>在π5π,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数，且在[]0,2π上恰好取得一次最小值3-，则ω的取值范围是．【答案】12,65⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】因为02x π≤≤，所以πππ24π333x ωω≤+≤+.因为()f x 在[]0,2π上恰好取得一次最小值3-，所以ππ4π3π3ω≤+<，所以1263ω≤<.因为π5π36x -≤≤，所以ππππ5ππ1322π9333339x ωωω-<-+≤+≤+<.因为，()f x 在π5π,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数，根据余弦函数的单调性可知ππ20335πππ33ωω⎧-+≥⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，解得205ω<≤.所以，1265ω≤≤.故答案为：12,65⎡⎤⎢⎥⎣⎦.27．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·高一统考期末）函数()πsin 14f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象的对称轴方程为，对称中心为.【答案】()ππ4x k k =+∈Z ()ππ,04k k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z 【解析】由πππ,42x k k +=+∈Z ，解得ππ,4x k k =+∈Z ，所以函数()f x 的对称轴方程为()ππ4x k k =+∈Z .令ππ,4x k k +=∈Z ，得ππ,4x k k =-+∈Z ，所以函数()f x 的对称中心为()ππ,04k k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z .故答案为：()ππ4x k k =+∈Z ，()ππ,04k k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z 28．（2023·全国·高一课堂例题）求函数π2sin 36y x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，[0,π]x ∈的最大值为，最小值为．【答案】41【解析】因为[0,π]x ∈，所以ππ7π,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以1πsin 126x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，所以π22sin 16x ⎛⎫-≤-+≤ ⎪⎝⎭，所以π12sin 346x ⎛⎫≤-++≤ ⎪⎝⎭，故函数π2sin 36y x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，[0,π]x ∈的最大值为4，最小值为1．故答案为：4，129．（2023秋·高一课时练习）（1）函数()π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的值域为；（2）函数()23πsin 0,42f x x x x ⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的最大值是.【答案】⎡-⎣1【解析】（1）当π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π3ππ2,444x ⎡⎤+∈-⎢⎣⎦，πcos 242x ⎡⎤⎛⎫∴+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，()f x -∴∈⎡⎣，即()f x 的值域为⎡-⎣；（2）()222331sin 1cos cos 444f x x x x x x x =+-=-+-=-++，π0,2x ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭；令cos x t =，则[]0,1t ∈，()221142g t t t ⎛⎫=-++=--+ ⎪ ⎪⎝⎭，则当2t =时，()max 1g t =，即()f x 的最大值为1.故答案为：⎡-⎣；1.30．（2023秋·高一课时练习）求下列函数的值域．(1)212cos 2sin y x x =-+；(2)2sin 2sin x y x-=+；(3)ππ()2sin 2,0,62f x x x ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.【答案】(1)332,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(2)13,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦(3)[]1,2-【解析】（1）2221312cos 2sin 2sin 2sin 12sin .22y x x x x x ⎛⎫=-+=+-=+- ⎪⎝⎭当1sin 2x =-时，min 32y =-；当sin 1x =时，max 3y =.∴函数212cos 2sin y x x =-+的值域为3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.（2）()42sin 412sin 2sin x y x x-+==-++，∵1sin 1x -≤≤，∴12sin 3x ≤+≤，∴44432sin x≤≤+，141332sin x≤-≤+，即,133y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.∴函数2sin 2sin x y x -=+的值域为1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（3）πππ7π0,,2,2666x x ⎡⎤⎡⎤∈+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，根据正弦函数的性质，可知π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦故[]π2sin 21,26x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭.即函数的值域为[]1,2-.2．（2023·全国·高一课堂例题）已知函数()π2sin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间ππ,43⎛⎫- ⎪⎝⎭上恰有一个最大值点和一个最小值点，则实数ω的取值范围为（）A ．8,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．8,43⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．204,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．20,73⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】因为()f x 在区间ππ,43⎛⎫- ⎪⎝⎭上恰有一个最大值点和一个最小值点，所以ππ342T ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，所以127ω>．令π6t x ω=+，当ππ,43x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，ππππ,4636t ωω⎛⎫∈-++ ⎪⎝⎭，于是()π2sin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间ππ,43⎛⎫- ⎪⎝⎭上的最值点个数等价于()2sin g t t =在ππππ,4636ωω⎛⎫-++ ⎪⎝⎭上的最值点个数．由127ω>知，ππ046ω-+<，ππ036ω+>，因为()g t 在ππππ,4636ωω⎛⎫-++ ⎪⎝⎭上恰有一个最大值点和一个最小值点，所以3ππππ,2462πππ3π,2362ωω⎧-<-+<-⎪⎪⎨⎪<+<⎪⎩解得843ω<<．答案：B.2．（2023春·河南新乡·高一新乡市第一中学校考阶段练习）已知2πππ()sin (0),363f x x f f ωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且()f x 在区间ππ,63⎛⎫ ⎪⎝⎭上有最大值，无最小值，则ω的值为（）A ．223B ．263C ．343D ．383【答案】A 【解析】因为2πππ()sin (0),363f x x f f ωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 的图象关于πππ6324x +==对称，且()f x 在区间ππ,63⎛⎫ ⎪⎝⎭上有最大值，无最小值，所以ππ2πsin 1443f ω⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()π2ππ2π,Z 432k k ω+=+∈，所以()8282=8Z 33k k k ω=+--∈，当1k =时，223ω=，当2k =时，462π3πππ,46323363T ω===<-，此时在区间ππ,63⎛⎫ ⎪⎝⎭内已存在最小值;当2k >时，462π3πππ,46323363T ω><=<-，此时在区间ππ,63⎛⎫ ⎪⎝⎭内已存在最小值．故选：A ．3．（2023春·江西宜春·高一江西省宜丰中学校考阶段练习）已知函数()πcos (0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在ππ,64⎡⎤⎢⎣⎦上单调递增，且当ππ,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x ≥恒成立，则ω的取值范围为（）A ．522170,,232⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ B ．4170,8,32⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ C ．4280,8,33⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ D ．5220,,823⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【答案】B【解析】由已知，函数()πcos (0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在ππ,64⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()111π2ππ2πZ 3k x k k ω-≤-≤∈，解得：()1112π2π2ππZ 33k k x k ωωωω-≤≤+∈，由于()111Z π,π,642π2π2ππ33k k k ωωωω⎡⎤⎡⎤⊆⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦-+∈，所以112ππ2π632πππ43k k ωωωω⎧≥-⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩，解得：()11141248Z 3k k k ω-≤≤+∈①又因为函数()πcos (0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在ππ,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上()0f x ≥恒成立，所以()222πππ2π2π+Z 232k x k k ω-≤-≤∈，解得：()2222π2ππ5πZ 66k k x k ωωωω-≤≤+∈，由于()2222π2ππ5π,Z 6π,46π3k k k ωωωω-+⎡⎤⎡⎤⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣∈⎦，所以222πππ462ππ5π36k k ωωωω⎧≥-⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩，解得：()2222586Z 32k k k ω-≤≤+∈②又因为0ω>，当120k k ==时，由①②可知：04432532ωωω⎧⎪>⎪⎪-≤≤⎨⎪⎪-≤≤⎪⎩，解得403ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，；当121k k ==时，由①②可知：028*******2ωωω⎧⎪>⎪⎪≤≤⎨⎪⎪≤≤⎪⎩，解得1782ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，.所以ω的取值范围为4170,8,32⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦.故选：B.4．（2023春·辽宁·高一辽宁实验中学校考阶段练习）若函数()()cos 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，则实数ω的取值范围是.【答案】()()1,24,⋃+∞【解析】由题意得()()cos cos 033f x x x ππωωω⎛⎫⎛⎫=-=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若函数()()cos 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则π+2π2π,Z 3k x k k πω-≤-≤∈,解得：2+2π+2π33,Z k k x k ππωω-≤≤∈，所以2+2π36,Z +2π33k k k ππωππω⎧-⎪≤⎪⎪∈⎨⎪⎪≤⎪⎩，解得412,Z 16k k k ωω≥-+⎧∈⎨≤+⎩，即41216,Z k k k ω-+≤≤+∈，因为41216,k k k -+≤+∈Z ，所以56k ≤且0ω>，所以0k =，01ω<≤①若函数()()cos 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则2ππ+2π,Z 3k x k k πω≤-≤∈,解得4+2π+2π33,Z k k x k ππωω≤≤∈，所以+2π36,Z 4+2π33k k k ππωππω⎧⎪≤⎪⎪∈⎨⎪⎪≤⎪⎩，解得212,Z 46k k k ωω≥+⎧∈⎨≤+⎩，即21246,Z k k k ω+≤≤+∈，因为21246,Z k k k +≤+∈，所以13k ≤且0ω>，所以0k =，24ω≤≤②又因为函数()()cos 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，且0ω>，所以ω的取值为①②所表示的不等式的补集，即12ω<<或4ω>.故答案为：12ω<<或4ω>.。
专题01 三角函数的图象与性质(原卷版)
专题01 三角函数的图象与性质【要点提炼】1.常用的三种函数的图象与性质(下表中k ∈Z ) 函数y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象递增 区间 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2 [2k π－π，2k π]⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2 递减 区间 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2 [2k π，2k π＋π]奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称 中心 (k π，0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0 对称轴 x ＝k π＋π2 x ＝k π 周期性2π2ππ2.三角函数的常用结论(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )求得. (2)y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求得. (3)y ＝A tan(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数. 3.三角函数的两种常见变换 (1)y ＝sin x ――——————————→向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|个单位y ＝sin(ωx ＋φ)――——————————→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0).y ＝sin ωx ―————————————―→向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φω|个单位 y ＝sin(ωx ＋φ)————————————―→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0).考点一 三角函数的图像与性质考向一 三角函数的定义与同角关系式【典例1】 (1)在平面直角坐标系中，AB ︵，CD ︵，EF ︵，GH ︵是圆x 2＋y 2＝1上的四段弧(如图)，点P 在其中一段上，角α以Ox 为始边，OP 为终边.若tan α<cos α<sin α，则P 所在的圆弧是( )A.AB ︵B.CD ︵C.EF ︵D.GH ︵(2)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1，a )，B (2，b )，且cos 2α＝23，则|a －b |＝( ) A.15B.55C.255D.1解析 (1)设点P 的坐标为(x ，y )，且tan α＜cos α＜sin α，∴yx ＜x ＜y ，解之得－1＜x ＜0，且0＜y ＜1.故点P (x ，y )所在的圆弧是EF ︵.(2)由题意知cos α>0.因为cos 2α＝2cos 2α－1＝23，所以cos α＝306，sin α＝±66，得|tan α|＝55.由题意知|tan α|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －b 1－2，所以|a －b |＝55. 答案 (1)C (2)B探究提高 1.任意角的三角函数值仅与角α的终边位置有关，而与角α终边上点P 的位置无关.若角α已经给出，则无论点P 选择在α终边上的什么位置，角α的三角函数值都是确定的.2.应用诱导公式与同角关系开方运算时，一定要注意三角函数值的符号；利用同角三角函数的关系化简要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等.【拓展练习1】 (1)(2020·唐山模拟)若cos θ－2sin θ＝1，则tan θ＝( ) A.43B.34C.0或43D.0或34(2)(2020·济南模拟)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin α＝435，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋11π6＝________.解析 (1)由题意可得⎩⎨⎧cos θ－2sin θ＝1，cos 2θ＋sin 2θ＝1，解得⎩⎨⎧sin θ＝0，cos θ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝－45，cos θ＝－35，所以tan θ＝0，或tan θ＝43.故选C.(2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin α＝32cos α－12sin α－sin α＝32cos α－32sin α＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝435，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝－45， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋11π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋2π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝－45.答案 (1)C (2)－45考向二 三角函数的图象及图象变换【典例2】 (1)(多选题)(2020·新高考山东、海南卷)如图是函数y ＝sin(ωx ＋φ)的部分图象，则sin(ωx ＋φ)＝( )A.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3B.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2xC.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6D.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2x(2)(2019·天津卷)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g (x ).若g (x )的最小正周期为2π，且g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝( )A.－2B.－ 2C. 2D.2解析 (1)由图象知T 2＝2π3－π6＝π2，得T ＝π，所以ω＝2πT ＝2.又图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，由“五点法”，结合图象可得φ＋π3＝π，即φ＝2π3，所以sin(ωx ＋φ)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，故A 错误；由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 知B 正确；由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6知C 正确；由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5π6＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2x 知D 错误.综上可知，正确的选项为BC. (2)由f (x )是奇函数可得φ＝k π(k ∈Z )，又|φ|<π，所以φ＝0. 所以g (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12ωx ，且g (x )最小正周期为2π，可得2π12ω＝2π，故ω＝2，所以g (x )＝A sin x ，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝A sin π4＝22A ＝2，所以A ＝2. 所以f (x )＝2sin 2x ，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝2sin 3π4＝ 2.答案 (1)BC (2)C探究提高 1.在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换.变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向.2.已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，一般把第一个“零点”作为突破口，可以从图象的升降找准第一个“零点”的位置.【拓展练习2】 (1)(多选题)(2020·济南历城区模拟)将函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向左平移π12个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数g (x )的图象.若g (x 1)g (x 2)＝9，且x 1，x 2∈[－2π，2π]，则2x 1－x 2的可能取值为( ) A.－59π12B.－35π6C.25π6D.49π12(2)(2020·长沙质检)函数g (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，0＜φ＜2π)的部分图象如图所示，已知g (0)＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＝3，函数y ＝f (x )的图象可由y ＝g (x )图象向右平移π3个单位长度而得到，则函数f (x )的解析式为( )A.f (x )＝2sin 2xB.f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3C.f (x )＝－2sin 2xD.f (x )＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 解析 (1)将函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向左平移π12个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1的图象.由g (x 1)g (x 2)＝9，知g (x 1)＝3，g (x 2)＝3，所以2x ＋π3＝π2＋2k π，k ∈Z ，即x ＝π12＋k π，k ∈Z .由x 1，x 2∈[－2π，2π]，得x 1，x 2的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－23π12，－11π12，π12，13π12.当x 1＝－23π12，x 2＝13π12时，2x 1－x 2＝－59π12；当x 1＝13π12，x 2＝－23π12时，2x 1－x 2＝49π12.故选AD.(2)由函数g (x )的图象及g (0)＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＝3，知直线x ＝5π12为函数g (x )的图象的一条对称轴，所以T 4＝5π12－π6＝π4，则T ＝π，所以ω＝2πT ＝2，所以g (x )＝A sin(2x ＋φ)，由题图可知⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0为“五点法”作图中的第三点，则2×π6＋φ＝π，解得φ＝2π3，由g (0)＝3，得A sin 2π3＝3，又A ＞0，所以A ＝2，则g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，所以g (x )的图象向右平移π3个单位长度后得到的图象对应的解析式为f (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋2π3＝2sin 2x ，故选A. 答案 (1)AD (2)A 考向三 三角函数的性质【典例3】 (1)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]上是减函数，则a 的最大值是( ) A.π4B.π2C.3π4D.π(2)(2020·天一大联考)已知f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω＞0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3内有最小值，无最大值，则ω＝( ) A.83 B.143 C.8 D.4 (3)已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R .若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________. 解析 (1)f (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，且函数y ＝cos x 在区间[0，π]上单调递减，则由0≤x ＋π4≤π，得－π4≤x ≤3π4.因为f (x )在[－a ，a ]上是减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ≥－π4，a ≤3π4，解得a ≤π4.所以0<a ≤π4，所以a 的最大值是π4.(2)由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3内有最小值，∴f (x )在x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π3＝π4处取得最小值.因此π4ω－π6＝2k π＋π，即ω＝8k ＋143，k ∈Z .①又函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3无最大值，且ω＞0，∴T ＝2πω≥π3－π6＝π6，∴0＜ω≤12.②由①②知ω＝143.(3)f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4，因为f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x ＝ω对称，所以f (ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋π4＝2k π＋π2，k ∈Z ，所以ω2＝π4＋2k π，k ∈Z .又ω－(－ω)≤2πω2，即ω2≤π2，即ω2＝π4，所以ω＝π2. 答案 (1)A (2)B (3)π2探究提高 1.讨论三角函数的单调性，研究函数的周期性、奇偶性与对称性，都必须首先利用辅助角公式，将函数化成一个角的一种三角函数.2.求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的单调区间，是将ωx ＋φ作为一个整体代入正弦函数增区间(或减区间)，求出的区间即为y ＝A sin(ωx ＋φ)的增区间(或减区间).【拓展练习3】 (1)(多选题)(2020·济南质检)已知函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)(0<φ<π)，若将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度后，得到图象关于y 轴对称，则下列结论中正确的是( ) A.φ＝5π6B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0是f (x )的图象的一个对称中心 C.f (φ)＝－2D.x ＝－π6是f (x )图象的一条对称轴(2)(多选题)关于函数f (x )＝|cos x |＋cos|2x |，则下列结论正确的是( ) A.f (x )是偶函数 B.π是f (x )的最小正周期C.f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，5π4上单调递增D.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34π，54π时，f (x )的最大值为2解析 (1)将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度后，得到y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋φ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ－π3的图象，∵其关于y 轴对称，∴φ－π3＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π＋5π6，k ∈Z .又0<φ<π，∴当k ＝0时，φ＝5π6，故A 正确；f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0是f (x )的图象的一个对称中心，故B 正确；因为f (φ)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＝2，故C错误；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝2，则x ＝－π6是f (x )图象的一条对称轴，故D 正确.故选ABD.(2)f (x )＝|cos x |＋cos|2x |＝|cos x |＋cos 2x ＝|cos x |＋2cos 2x －1＝2|cos x |2＋|cos x |－1，由f (－x )＝2|cos(－x )|2＋|cos(－x )|－1＝f (x )，且函数f (x )的定义域为R ，得f (x )为偶函数，故A 正确.由于y ＝|cos x |的最小正周期为π，可得f (x )的最小正周期为π，故B 正确. 令t ＝|cos x |，得函数f (x )可转化为g (t )＝2t 2＋t －1，t ∈[0，1]， 易知t ＝|cos x |在⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，π上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，5π4上单调递减，由t ∈[0，1]，g (t )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋142－98，可得g (t)在[0，1]上单调递增，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，π上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，5π4上单调递减，故C 错误.根据f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤34π，π上递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，54π上递减，∴f (x )在x ＝π时取到最大值f (π)＝2，则D 正确. 答案 (1)ABD (2)ABD考向四 三角函数性质与图象的综合应用【典例4】 (2020·临沂一预)在①f (x )的图象关于直线x ＝5π6ω对称，②f (x )＝cos ωx －3sin ωx ，③f (x )≤f (0)恒成立这三个条件中任选一个，补充在下面横线处.若问题中的ω存在，求出ω的值；若ω不存在，请说明理由.设函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，0≤φ≤π2，_____________________________.是否存在正整数ω，使得函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调的？(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)解 若选①，则存在满足条件的正整数ω.求解过程如下： 令ωx ＋φ＝k π，k ∈Z ，代入x ＝5π6ω， 解得φ＝k π－5π6，k ∈Z .因为0≤φ≤π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，ωx ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，ωπ2＋π6.若函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调，则有ωπ2＋π6≤π，解得0<ω≤53.所以存在正整数ω＝1，使得函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调的.若选②，则存在满足条件的正整数ω.求解过程如下： f (x )＝cos ωx －3sin ωx ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3＝2cos(ωx ＋φ)，且0≤φ≤π2，所以φ＝π3.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，ωx ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，ωπ2＋π3. 若函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调，则有ωπ2＋π3≤π，解得0<ω≤43.所以存在正整数ω＝1，使得函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调的.若选③，则存在满足条件的正整数ω.求解过程如下： 因为f (x )≤f (0)恒成立，即f (x )max ＝f (0)＝2cos φ＝2， 所以cos φ＝1.因为0≤φ≤π2，所以φ＝0，所以f (x )＝2cos ωx .当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，ωx ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，ωπ2. 若函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调，则有ωπ2≤π，解得0<ω≤2.所以存在正整数ω＝1或ω＝2，使得函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调的.探究提高 1.研究三角函数的图象与性质，关键是将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋B )的形式，利用正余弦函数与复合函数的性质求解. 2.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))的最小正周期T ＝2π|ω|.应特别注意y ＝|A sin(ωx ＋φ)|的最小正周期为T ＝π|ω|.【拓展练习4】 (2020·威海三校一联)已知函数f (x )＝2cos 2ω1x ＋sin ω2x . (1)求f (0)的值；(2)从①ω1＝1，ω2＝2，②ω1＝1，ω2＝1这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6上的最小值，并直接写出函数f (x )的一个周期.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分) 解 (1)f (0)＝2cos 20＋sin 0＝2. (2)选择条件①.f (x )的一个周期为π.当ω1＝1，ω2＝2时，f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x ＝(cos 2x ＋1)＋sin 2x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin 2x ＋22cos 2x ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6，所以2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，7π12.所以－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤1，则1－2≤f (x )≤1＋ 2. 当2x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π8时，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6上取得最小值1－ 2.选择条件②.f (x )的一个周期为2π.当ω1＝1，ω2＝1时，f (x )＝2cos 2x ＋sin x ＝2(1－sin 2x )＋sin x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －142＋178.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6，所以sin x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12.所以当sin x ＝－1，即x ＝－π2时，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6上取得最小值－1.【专题拓展练习】一、选择题（1～10题为单项选择题，11～15题为多项选择题） 1．函数2()cos 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期为（ ） A ．4π B ．2πC ．2π D ．π2．把函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位长度，再把所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得函数图象的解析式为（ ） A ．sin y x =B ．cos y x =C ．sin()4y x π=+D ．sin y x =-3．若16x π=，256x π=是函数()sin()f x x ωϕ=+()0ω>两个相邻的极值点，则ω=（ ） A ．3B ．32C ．34D ．124．将函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移12π个单位长度后得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的单调递增区间是（ ） A ．(),36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦B ．(),63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C ．()44k ,k k Z ππ⎡⎤-+π+π∈⎢⎥⎣⎦D ．()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦5．函数()()2sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像最近两对称轴之间的距离为2π，若该函数图像关于点()0m ,成中心对称，当0,2m π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时m 的值为（ ）A ．6πB ．4π C ．3π D ．512π6．已知函数()22sin cos cos f x x x x x =+-，x ∈R ，则（ ） A ．()f x 的最大值为1 B ．()f x 的图象关于直线3x π=对称C ．()f x 的最小正周期为2π D ．()f x 在区间()0,π上只有1个零点7．已知函数()()()3cos 0g x x ωϕω=+>在7,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上具有单调性，且满足04g π⎛⎫=⎪⎝⎭，()3g π=，则ω的取值共有（ ）A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个8．函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后得到()y g x =的图象，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()g x 为奇函数B ．函数()g x 的最小正周期为2πC ．函数()g x 的图象的对称轴为直线()6x k k ππ=+∈ZD ．函数()g x 的单调递增区间为5,()1212k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z9．设函数()sin 2cos 2f x a x b x =+，其中,,0a b R ab ∈≠，若()6f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立，则以下结论：①函数()f x 的图象关于11,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称；②函数()f x 的单调递增区间是2,()63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ；③函数()f x 既不是奇函数也不是偶函数；④函数()f x 的图象关于()26k x k Z ππ=+∈对称．其中正确的说法是（ ） A ．①②③B ．②④C ．③④D ．①③④10．斐波那契螺线又叫黄金螺线，广泛应用于绘画、建筑等，这种螺线可以按下列方法画出：如图，在黄金矩形ABCD （51AB BC -=）中作正方形ABFE ，以F 为圆心，AB 长为半径作圆弧BE ；然后在矩形CDEF 中作正方形DEHG ，以H 为圆心，DE 长为半径作圆弧EG ；……；如此继续下去，这些圆弧就连成了斐波那契螺线.记圆弧BE ，EG ，GI 的长度分别为,,l m n ，对于以下四个命题：①l m n =+；②2m l n =⋅；③2m l n =+；④211m l n=+.其中正确的是（ ）A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④11．已知函数()3sin sin3f x x x =+，则（ ） A ．()f x 是奇函数 B ．()f x 是周期函数且最小正周期为2π C ．()f x 的值域是[4,4]- D ．当(0,)x π∈时()0f x >12．设函数cos 2()2sin cos xf x x x=+，则（ ）A ．()()f x f x π=+B ．()f x 的最大值为12C ．()f x 在,04π⎛⎫-⎪⎝⎭单调递增 D ．()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 13．若将函数f (x )=cos(2x +12π)的图象向左平移8π个单位长度，得到函数g (x )的图象，则下列说法正确的是（ ） A ．g (x )的最小正周期为π B ．g (x )在区间[0，2π]上单调递减 C ．x =12π是函数g (x )的对称轴D ．g (x )在[﹣6π，6π]上的最小值为﹣1214．下列说法正确的是（ ） A ．函数()23sin 30,42f x x x x π⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的最大值是1 B ．函数()cos sin tan 0,tan 2x f x x x x x π⎛⎫⎛⎫=⋅+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值域为(2 C ．函数()1sin 2cos 2f x x a x =+⋅在()0,π上单调递增，则a 的取值范围是(],1-∞-D ．函数()2222sin 42cos tx t x xf x x x π⎛⎫+++ ⎪⎝⎭=+的最大值为a ，最小值为b ，若2a b +=，则1t =15．如图是函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><的部分图象，则下列说法正确的是（ ）A ．2ω=B ．π,06⎛⎫-⎪⎝⎭是函数，()f x 的一个对称中心 C ．2π3ϕ= D ．函数()f x 在区间4ππ,5⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上是减函数。
高中试卷-5.4 三角函数的图象和性质(含答案)
5.4 三角函数的图象和性质1. 用“五点法”作三角函数的图象；2. 利用图象变换作三角函数的图象；3. 利用正、余弦函数的图象解三角不等式；4. 利用正弦函数、余弦函数图象判断方程根的个数；5. 求三角函数的周期；6. 三角函数奇偶性的判断；7. 三角函数奇偶性与周期性的综合运用；8. 求三角函数的单调区间；9. 三角函数对称轴、对称中心；10. 与三角函数有关的函数的值域(或最值)的求解问题；11. 求定义域；12.三角函数的图像和性质的综合应用.一、单选题1．（浙北四校2021届高三12月模拟）若函数f (x )=2x ，x ∈R ，则f (x )是（ ）A ． 最小正周期为π为奇函数B ． 最小正周期为π为偶函数C ． 最小正周期为π2为奇函数 D ． 最小正周期为π2为偶函数【答案】A 【解析】∵+2x =-sin2x ，∴f（x ）=-sin2x ，可得f （x ）是奇函数，最小正周期T=2π2=π故选：A ．2．（2021·永州市第四中学高一月考）函数1sin y x =-，[]0,2x p Î的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】当0x =时，1y =；当2x p=时，0y =；当πx =时，1y =；当3π2x =时，2y =；当2x p =时，1y =.结合正弦函数的图像可知B 正确.故选B.3．（2021·全国高三课时练习（理））已知函数，则()f x 在[]0,2p 上的零点的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】由下图可得()f x 在[]0,2p 上的零点的个数为3，故选C.4．（2021·河南濮阳·高一期末（文））下列函数中，为偶函数的是（ ）A ．()21y x =+B ．2xy -=C ．sin y x =D ．()()lg 1lg 1y x x =++-【答案】C 【解析】对于A,函数关于1x =-对称，函数为非奇非偶函数，故A 错误；对于B,函数为减函数，不具备对称性，不是偶函数，故B 错误；对于C,()()()sin sin sin f x x x x f x -=-==-=，则函数()f x 是偶函数，满足条件，故C 正确；对于D,由1010x x +>ìí->î得11x x >-ìí>î得1x >，函数的定义为()1,+¥，定义域关于原点不对称，为非奇非偶函数，故D 错误.故选：C.5．（2021·河南信阳·°的大小属于区间（A ．1,02æö-ç÷èøB ．æççèC ．10,2æöç÷èøD ．【答案】B 【解析】cos 2020cos(5360220)cos 220cos(18040)cos 40°=´°+°=°=°+°=-°，因为cos y x =在(0,90)°上递减，且304045°<°<°，所以cos30cos 40cos 45°>°>°，cos 40>°>所以cos 40<-°<所以cos 2020<°<故选：B6．（2021·辽宁大连·高一期末）函数()cos 26f x x p æö=+ç÷èø的图像的一条对称轴方程为（）A ．6x p=B ．512x p =C ．23x p =D ．23x p =-【答案】B 【解析】函数()cos 26f x x p æö=+ç÷èø令()26x k k pp +=ÎZ ，则,212k x k p p=-ÎZ ，当1k =时，512x p =，故选B.7．（2021·海南枫叶国际学校高一期中）函数()f x =cos()x w j +的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）A ．13(,44k k k Z p p -+ÎB ．13(2,2),44k k k Z p p -+ÎC ．13(,),44k k k Z-+ÎD ．13(2,244k k k Z-+Î【答案】D 【解析】由五点作图知，1+42{53+42pw j p w j ==，解得=w p ，=4p j ，所以()cos()4f x x p p =+，令22,4k x k k Z pp p p p <+<+Î，解得124k -＜x ＜324k +，k Z Î，故单调减区间为（124k -，324k +），k Z Î，故选D.8．（2021·河南林州一中高一月考）函数()21sin 1xf x x eæö=-ç÷+èø的图象的大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】()211sin sin 11x xxe f x x x ee æö-æö=-=ç÷ç÷++èøèø故()()f x f x -=则()f x 是偶函数，排除C 、D ，又当()0,0x f x ®> 故选：A.9．（2021·山东聊城·高一期末）用五点法作函数()sin 0,0,2y A x A p w j w j æö=+>><ç÷èø的图象时，得到如下表格：x6p 23p x w j+02pp32p 2py4-4则A ，w ，j 的值分别为（ ）A ．4，2，3p-B ．4，12，3p C ．4，2，6pD ．4，12，6p -【答案】A 【解析】由表中的最大值为4，最小值为4-，可得4A =，由21362T p p -=，则T p =，22p w p\==，4sin(2)y x j =+Q ，图象过(6p，0)，04sin(2)6p j \=´+，\226k pj p ´+=，()k ÎZ ，解得23k pj p =-，||2pj <Q ，\当0k =时，3pj =-．故选：A ．10．（2021·镇原中学高一期末）若点,26P p æö-ç÷èø是函数()()sin 0,2f x x m p w j w j æö=++><ç÷èø的图象的一个对称中心，且点P 到该图象的对称轴的距离的最小值为2p，则（ ）A ．()f x 的最小正周期是pB ．()f x 的值域为[]0,4C ．()f x 的初相3pj =D ．()f x 在4,23p p éùêúëû上单调递增【答案】D 【解析】由题意得()62k k Z m pw j p ì-+=Îïíï=î，且函数的最小正周期为422T p p =´=，故21T p w ==.代入()6k k Z p w j p -+=Î，得()6k k Z pj p =+Î，又2p j <，所以6π=j .所以()sin 26f x x p æö=++ç÷èø.故函数()f x 的值域为[]1,3，初相为6p.故A ，B ，C 不正确，当4[,2]3x p p Î时，313[,626x p p p +Î，而sin y x =在313[,26p p 上单调递增，所以()f x 在4,23p p éùêúëû上单调递增，故D 正确.故选：D.二、多选题11．（2021·陕西渭滨·高一期末）函数tan(2)6y x p=-的一个对称中心是（ ）A ．(,0)12pB ．2(,0)3pC ．(,0)6pD ．(,0)3p【答案】AD 【解析】因为tan()01266f p p p æö=-=ç÷èø；24tan()tan 3366f pp p p æö=-==ç÷èø；tan 66f p p æö==ç÷èø；当3x p =时， 2362p p p ´-=.所以(,0)12p 、(,0)3p 是函数tan(2)6y x p=-的对称中心.故选：AD12.（2021·浙江高三专题练习）下列函数中，是奇函数的是（ ）．A ．2sin y x x=B ．sin y x =，[0,2]x p ÎC ．sin y x =，[,]x p p Î-D ．cos y x x=【答案】ACD 【解析】对A ，由()2sin ==y f x x x ，定义域为R ，且()()()()22sin sin f x x x x x f x -=--=-=-，故函数2sin y x x =为奇函数，故A 正确对B ，由函数的定义域为[0,2]x p Î，故该函数为非奇非偶函数，故B 错对C ，()sin y gx x ==，定义域关于原点对称，且()()()sin sin -=-=-=-g x x x g x ，故C 正确对D ，()cos ==y m x x x 的定义域为R ，且()()()()cos cos -=--=-=-m x x x x x m x ，故该函数为奇函数，故D 正确故选：ACD13．（2021·湖南天心·长郡中学高三月考）下图是函数()sin()f x A x w j =+（其中0A >，0>w ，0||x j <<）的部分图象，下列结论正确的是（ ）A ．函数12y f x p æö=-ç÷èø的图象关于顶点对称B ．函数()f x 的图象关于点,012p æö-ç÷èø对称C ．函数()f x 在区间,34p p éù-êúëû上单调递增D ．方程()1f x =在区间23,1212p p éù-êúëû上的所有实根之和为83p 【答案】ABD 【解析】由已知，2A =，2543124T p p p=-=，因此T p =，∴22pw p==，所以()2sin(2)f x x j =+，过点2,23p æö-ç÷èø，因此43232k p pj p +=+，k ÎZ ，又0||j p <<，所以6π=j ，∴()2sin 26f x x p æö=+ç÷èø，对A ，2sin 212y f x x p æö=-=ç÷èø图象关于原点对称，故A 正确；对B ，当12x p=-时，012f p æö-=ç÷èø，故B 正确；对C ，由222262k x k pppp p -£+£+，有36k x k ppp p -££+，k ÎZ 故C 不正确；对D ，当231212x pp -££时，2[0,4]6x pp +Î，所以1y =与函数()y f x =有4个交点令横坐标为1x ，2x ，3x ，4x ，12317822663x x x x p p p+++=´+´=，故D 正确.故选：ABD.14．（2021·江苏海安高级中学高二期末）关于函数()sin cos f x x x =+()x R Î，如下结论中正确的是（ ）．A ．函数()f x 的周期是2pB ．函数()f x 的值域是éëC ．函数()f x 的图象关于直线x p =对称D ．函数()f x 在3,24p pæöç÷èø上递增【答案】ACD 【解析】A ．∵()sin cos f x x x =+，∴sin cos cos sin cos sin ()222f x x x x x x x f x p p p æöæöæö+=+++=+-=+=ç÷ç÷ç÷èøèøèø，∴()f x 是周期为2p的周期函数，A 正确，B ．当[0,]2x p Î时，()sin cos 4f x x x x p æö=+=+ç÷èø，此时3,444x p p p éù+Îêúëû，，∴()f x Î，又()f x 的周期是2p，∴x ÎR 时，()f x 值域是，B 错；C ．∵()()(2)sin 2cos 2sin cos sin cos ()f x x x x x x x f x p p p -=-+-=-+=+=，∴函数()f x 的图象关于直线x p =对称，C 正确；D ．由B 知[0,2x pÎ时，()4f x x p æö=+ç÷èø，当[0,]4x p Î时，[,]442x p p p +Î，()f x 单调递增，而()f x 是周期为2p的周期函数，因此()f x 在3,24p p æöç÷èø上的图象可以看作是在0,4p æöç÷èø上的图象向右平移2p 单位得到的，因此仍然递增．D 正确．故选：ACD ．三、填空题15．（2021·山东高一期末）函数tan 2xy =的定义域为_____．【答案】{}2,x x k k Z p p ¹+Î【解析】解不等式()22x k k Z pp ¹+Î，可得()2x k k Z p p ¹+Î，因此，函数tan2xy =的定义域为{}2,x x k k Z p p ¹+Î.故答案为：{}2,x x k k Z p p ¹+Î.16．（2021·河南林州一中高一月考）函数224sin 6cos 633y x x x pp æö=+--££ç÷èø的值域________．【答案】16,4éù-êúëû【解析】224sin 6cos 64(1cos )6cos 6y x x x x =+-=-+-22314cos 6cos 24(cos )44x x x =-+-=--+，233x p p -££Q ，1cos 12x \-££ ，故231164(cos )444x -£--+£，故答案为：16,4éù-êúëû17．（2021·全国高考题）关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题：①f（x ）的图像关于y 轴对称．②f（x ）的图像关于原点对称．③f（x ）的图像关于直线x=2p对称．④f（x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．【答案】②③【解析】对于命题①，152622f p æö=+=ç÷èø，152622f p æö-=--=-ç÷èø，则66f f p p æöæö-¹ç÷ç÷èøèø，所以，函数()f x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数()f x 的定义域为{},x x k k Z p ¹Î，定义域关于原点对称，()()()()111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x æö-=-+=--=-+=-ç÷-èø，所以，函数()f x 的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x p p p æöæö-=-+=+ç÷ç÷æöèøèø-ç÷èøQ ，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x p p p æöæö+=++=+ç÷ç÷æöèøèø+ç÷èø，则22f x f x p p æöæö-=+ç÷ç÷èøèø，所以，函数()f x 的图象关于直线2x p=对称，命题③正确；对于命题④，当0x p -<<时，sin 0x <，则()1sin 02sin f x x x=+<<，命题④错误.故答案为：②③.18．（2021·上海高一课时练习）函数42cos 133æö=+-ç÷èøx y p ，当x =_________时有最小值，最小值是___________.【答案】3,22k k Z pp +Î 3- 【解析】当4cos 133x p æö+=-ç÷èø时，即4233x k p p p +=+，可得3,22x k k Z pp =+Î，此时y 取得最小值；此时，最小值为3-；故答案为：3,22k k Z pp +Î； 3-.19．（2021·浙江高一课时练习）设函数()sin f x A B x =+，当0B <时，()f x 的最大值是32，最小值是12-，则A =_____，B =_____.【答案】121- 【解析】根据题意，得3212A B A B ì-=ïïíï+=-ïî，解得1,12A B ==-.故答案为：1,12-20．（2021·上海高一课时练习）函数sin 2sin =+xy x的最大值是________，最小值是________.【答案】131- 【解析】Q 21si 2sin 2sin n x y x x -==++，Q 221sin 11sin 232sin 23x x x -££Þ£+£Þ-£-£-+，\2111sin 23x -£-£+，\函数sin 2sin =+xy x 的最大值是13；最小值是1-.故答案为：13;1-.21．（2021·上海高一课时练习）若函数2()cos sin (0)=-+>f x x a x b a 的最大值为0，最小值为4-，则实数a =_________，b =________.【答案】2 2- 【解析】Q 2sin si )n (1x f a x b x =--++，令sin (11)t x t =-££，则21(11)y t at b t --++££=-，函数的对称轴为2a t =-，当12a-£-，即2a ³时，110,2,114,2,a b a a b b -+++==ììÞíí--++=-=-îî当102a -<-<，即02a <<时，2((1022a aa b ---×-++=且114a b --++=-，此时方程组无解；\2,2,a b =ìí=-î故答案为：2,2-.五、解答题22．（2021·全国高一课时练习）求下列函数的定义域.（1）y =（2）sin cos tan x xy x+=.【答案】（1）{|22,}x k x k k Z p p p ££+Î；（2）|,2k x x k Z p ìü¹Îíýîþ【解析】（1）要使函数有意义，必须使sin 0x ³.由正弦的定义知，sin 0x ³就是角x 的终边与单位圆的交点的纵坐标是非负数.∴角x 的终边应在x 轴或其上方区域，∴22,k x k k Z p p p ££+Î.∴函数y ={|22,}x k x k k Z p p p ££+Î.（2）要使函数有意义，必须使tan x 有意义，且tan 0x ¹.∴,()2x k k Z x k p p pì¹+ïÎíï¹î∴,2kx k Z p ¹Î.∴函数sin cos tan x x y x +=的定义域为|,2k x x k Z p ìü¹Îíýîþ.23.（2021·涡阳县第九中学高一月考）已知函数()()2sin (0,0)f x x w j w j p =+><<最小正周期为p，图象过点4p æçè.（1）求函数()f x 解析式（2）求函数()f x 的单调递增区间.【答案】（1）()2sin(2)4f x x p=+；（2）()3,88k k k Z p p p p éù-++Îêúëû.【解析】（1）由已知得2pp =w，解得2w =.将点4p æçè2sin 24p j æö=´+ç÷èø，可知cos j =，由0j p <<可知4pj =，于是()2sin 24f x x p æö=+ç÷èø.（2）令()222242k x k k Z pppp p -+£+£+Î解得()388k x k k Z p pp p -+££+Î， 于是函数()f x 的单调递增区间为()3,88k k k Z p pp p éù-++Îêúëû.24．（2021·全国高三（文））(1)利用“五点法”画出函数1()sin()26f x y x p==+在长度为一个周期的闭区间的简图.列表:126x p +x y 作图:(2)并说明该函数图象可由sin (R)y x x =Î的图象经过怎么变换得到的.(3)求函数()f x 图象的对称轴方程.【答案】(1)见解析(2) 见解析(3) 22,3x k k Z pp =+Î.【解析】（1）先列表,后描点并画图126x p +02pp32p 2px3p-23p 53π83p 113p y 01-1；（2）把sin y x =的图象上所有的点向左平移6p个单位, 再把所得图象的点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）,得到1sin(26y x p=+的图象，即1sin(26y x p=+的图象；（3）由12,2,2623x kx x k k Z p p pp +=+=+Î，所以函数的对称轴方程是22,3x k k Z pp =+Î.25．（2021·全国高一课时练习）求函数πtan(3)3y x =-的定义域、值域，并判断它的奇偶性和单调性.【答案】定义域为5|,,318k x x x k p p ìüι+ÎíýîþR Z 且，值域为R ，非奇非偶函数，递增区间为5,()183183k k k p p p pæö-++Îç÷èøZ 【解析】tan y t =的定义域为|,2t t k k Z p p ìü¹+Îíýîþ，单调增区间为,,22k k k Z pp p p æö-+Îç÷èø.又tan 33y x p æö=-ç÷èø看成tan ,33y t t x p==-的复合函数，由2t k pp ¹+得5,318k x k Z p p¹+Î，所以所求函数的定义域为5|,318k x x k Z p p ìü¹+Îíýîþ，值域为R ；函数tan 33y x p æö=-ç÷èø的定义域不关于原点对称，因此该函数是非奇非偶函数；令3232k x k pppp p -<-<+，解得5,318318k k x k Z p p p p -<<+Î，即函数tan 33y x p æö=-ç÷èø的单调递增区间为5,,318318k k k Z p p p p æö-+Îç÷èø.26．（2021·陕西省汉中中学（理））已知函数()2sin(1(0)6f x x pw w =-->的周期是p .（1）求()f x 的单调递增区间；（2）求()f x 在[0,2p上的最值及其对应的x 的值.【答案】（1）(),63k k k Z p p p p éù-++Îêúëû；（2）当0x =时，()min 2f x =-；当3x p =时，()max 1f x =.【解析】（1）解：∵2T pp w==,∴2w =,又∵0>w ,∴2w =,∴()2sin 216f x x p æö=--ç÷èø,∵222262k x k pppp p -+£-£+,k Z Î,∴222233k x k p pp p -+££+,k Z Î,∴63k x k ppp p -+££+,k Z Î,∴()f x 的单调递增区间为(),63k k k Z p p p p éù-++Îêúëû（2）解：∵02x p££,∴02x ££p ,∴52666x ppp-£-£,∴1sin 2126x p æö-£-£ç÷èø,∴12sin 226x p æö-£-£ç÷èø,∴22sin 2116x p æö-£--£ç÷èø,当0x =时,()min 2f x =-,当226x ππ-=,即3x p=时,()max 1f x =27．（2021·镇原中学高一期末）已知函数()()()sin 0,0,f x A x A w j w j p =+>><，在一周期内，当12x p=时，y 取得最大值3，当712x p=时，y 取得最小值3-，求（1）函数的解析式；（2）求出函数()f x 的单调递增区间、对称轴方程、对称中心坐标；（3）当,1212x p p éùÎ-êúëû时，求函数()f x 的值域.【答案】（1）()3sin 23f x x p æö=+ç÷èø；（2）增区间为()5,1212k k k Z p p p p éù-+Îêúëû，对称轴方程为212k x p p =+，k Z Î，对称中心为,062k p p æö-+ç÷èø（k Z Î）；（3）3,32éùêúëû.【解析】(1)由题设知，3A =，周期7212122T p p p =-=，T p =，由2T p w =得2w =.所以()()3sin 2f x x j =+.又因为12x p=时，y 取得最大值3，即3sin 36j p æö+=ç÷èø，262k p p j p \+=+，解得23k p j p =+，又j p <，所以3pj =，所以()3sin 23f x x p æö=+ç÷èø.(2)由222232k x k pppp p -£+£+，得51212k x k p p p p -££+.所以函数()f x 的单调递增区间为()5,1212k k k Z p p p p éù-+Îêúëû.由232x k ppp +=+，k Z Î，得212k x p p=+，k Z Î.对称轴方程为212k x p p=+，k Z Î..由23x k pp +=，得62πkπx =-+（k Z Î）.所以，该函数的对称中心为,062k p p æö-+ç÷èø（k Z Î）.(3)因为,1212x p p éùÎ-êúëû，所以2,362x p p p éù+Îêúëû，则1sin 2,132x p æöéù+Îç÷êúèøëû，所以33sin 2323x p æö£+£ç÷èø.所以值域为：3,32éùêúëû.所以函数()f x 的值域为3,32éùêúëû.。
专题01 三角函数的图象与综合应用(精讲精练)(原卷版)
专题01 三角函数的图象与综合应用【命题规律】三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容，主要从以下两个方面进行考查：1、三角函数的图象，涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题，主要以选择题、填空题的形式考查；2、利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以解答题的形式考查.3、三角恒等变换的求值、化简是高考命题的热点，常与三角函数的图象、性质结合在一起综合考查，如果单独命题，多用选择、填空题中呈现，难度较低；如果三角恒等变换作为工具，将其与三角函数及解三角形相结合求解最值、范围问题，多以解答题为主，中等难度．【核心考点目录】核心考点一：齐次化模型 核心考点二：辅助角与最值问题 核心考点三：整体代换与二次函数模型 核心考点四：绝对值与三角函数综合模型 核心考点五：ω的取值与范围问题 核心考点六：三角函数的综合性质【真题回归】1．（2022·全国·高考真题）记函数()sin (0)4f x x b πωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的最小正周期为T ．若23T ππ<<，且()y f x =的图象关于点3,22π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．1B ．32C ．52D ．32．（2022·全国·高考真题（理））设函数π()sin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是（ ）A ．513,36⎫⎡⎪⎢⎣⎭B ．519,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．138,63⎛⎤⎥⎝⎦D ．1319,66⎛⎤⎥⎝⎦3．（2022·全国·高考真题）若sin()cos()sin 4παβαβαβ⎛⎫+++=+⎪⎝⎭，则（ ）A ．()tan 1αβ-=B ．()tan 1αβ+=C ．()tan 1αβ-=-D ．()tan 1αβ+=-4．（2022·全国·高考真题（文））将函数π()sin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向左平移π2个单位长度后得到曲线C ，若C 关于y 轴对称，则ω的最小值是（ ）A ．16B ．14C ．13D ．125．（多选题）（2022·全国·高考真题）已知函数()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<的图像关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，则（ ）A ．()f x 在区间5π0,12⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 B ．()f x 在区间π11π,1212⎛⎫-⎪⎝⎭有两个极值点 C ．直线7π6x =是曲线()y f x =的对称轴D ．直线y x =-是曲线()y f x =的切线 6．（2022·全国·高考真题（理））记函数()()cos (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的最小正周期为T ，若()f T =，9x π=为()f x 的零点，则ω的最小值为____________． 【方法技巧与总结】1、三角函数图象的变换（1）将sin y x =的图象变换为sin()y A x ωϕ=+(0,0)A ω>>的图象主要有如下两种方法：（2）平移变换函数图象的平移法则是“左加右减、上加下减”，但是左右平移变换只是针对x 作的变换； （3）伸缩变换①沿x 轴伸缩时，横坐标x 伸长(01)ω<<或缩短(1)ω>为原来的1ω（倍）（纵坐标y 不变）；②沿y 轴伸缩时，纵坐标y 伸长(1)A >或缩短(01)A <<为原来的A （倍）（横坐标x 不变）． （4）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移． 2、三角函数的单调性 （1）三角函数的单调区间sin y x =的单调递增区间是2,2()22k k k ππ⎡⎤π-π+∈⎢⎥⎣⎦Z ，单调递减区间是32,2()22k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦Z ； cos y x =的单调递增区间是[2,2]()k k k π-ππ∈Z ，单调递减区间是[2,2]()k k k ππ+π∈Z ；tan y x =的单调递增区间是,()22k k k ππ⎛⎫π-π+∈ ⎪⎝⎭Z ．（2）三角函数的单调性有时也要结合具体的函数图象如结合|sin |y x =，sin ||y x =， |cos |y x =，cos ||cos y x x ==的图象进行判断会很快得到正确答案．3、求三角函数最值的基本思路（1）将问题化为sin()y A x B ωϕ=++的形式，结合三角函数的图象和性质求解. （2）将问题化为关于sin x 或cos x 的二次函数的形式，借助二次函数的图象和性质求解. （3）利用导数判断单调性从而求解. 4、对称性及周期性常用结论 （1）对称与周期的关系正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期.（2）与三角函数的奇偶性相关的结论若sin()y A x ωϕ=+为偶函数，则有()2k k ϕπ=π+∈Z ；若为奇函数，则有()k k ϕ=π∈Z .若cos()y A x ωϕ=+为偶函数，则有()k k ϕ=π∈Z ；若为奇函数，则有()2k k ϕπ=π+∈Z . 若tan()y A x ωϕ=+为奇函数，则有()k k ϕ=π∈Z ． 5、已知三角函数的单调区间求参数取值范刪的三种方法（1）子集法：求出原函数相应的单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式（组）求解． （2）反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正弦、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式（组）求解．（3）周期性：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过14个周期列不等式（组）求解.【核心考点】核心考点一：齐次化模型【规律方法】齐次分式：分子分母的正余弦次数相同，例如：αααα++sin cos sin cos a b c d （一次显型齐次化）或者αααααααααα++⇒+222222sin cos +sin cos sin cos +sin cos sin cos a b c a b c （二次隐型齐次化）这种类型题，分子分母同除以αcos （一次显型）或者α2cos （二次隐型），构造成αtan 的代数式，这个思想在圆锥曲线里面关于斜率问题处理也经常用到.【典型例题】例1．（2022·广东揭阳·高三阶段练习）若tan 2θ=-，则()sin 1sin 24θθπθ-=⎛⎫- ⎪⎝⎭（ ）A ．25B ．25-C ．65D ．65-例2．（2022·江苏省丹阳高级中学高三阶段练习）已知tan 3α=，则3cos cos πcos 2ααα-=⎛⎫+ ⎪⎝⎭（ ）A ．34-B ．34C ．310-D ．310例3．（2022·湖南·高三阶段练习）已知曲线y =()1,4处的切线的倾斜角为2α，则1sin cos π14ααα++=⎛⎫+ ⎪⎝⎭（ ） AB．C ．12D ．1例4．（2022·湖北·襄阳五中高三开学考试）若ππ2θ<<，tan 3θ=-，=（ ） A ．35 B ．54-C ．45-D ．45核心考点二：辅助角与最值问题【规律方法】第一类：一次辅助角:αα±sin cos a b αϕ±)．（其中ϕ=tan b a）第二类：二次辅助角()ωωω±>2sin cos cos ,0a x x b x a bωωω±=2sin cos cos a x x b x ()()ωωωϕϕ±+=±±=sin2cos212(tan )222a b b b x x x a【典型例题】例5．（2022·内蒙古·赤峰二中高三阶段练习（理））已知函数()41sin cos 55f x x x =+，当x β=时，()f x 取得最大值，则cos β=（ ） ABC ．47D ．17例6．（2022·四川省成都市新都一中高三阶段练习（理））若2,43⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x ππ，则函数2()3sin cos =f x x x x 的值域为（ ）A．⎡⎢⎣⎦B．⎡⎢⎣⎦C．D．[0,3+例7．（2022·四川省成都市新都一中高三阶段练习（文））若π0,2x ∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则函数()23sin cos f x x x x=的值域为（ ）A．⎡⎢⎣⎦B．⎡⎢⎣⎦C．⎡⎣ D．0,3⎡⎣例8．（2022·全国·高三专题练习）函数()222sin f x x x =+，若()()123f x f x ⋅=-，则122x x -的最小值是（ ） A ．23πB ．4πC ．3πD ．6π例9．（2022·浙江省杭州第二中学高三阶段练习）已知关于x 的方程sin cos 2a x b x +=有实数解，则()()2211a b -+-最小值是______．例10．（2022·全国·高三专题练习）函数()44sin sin cos 44xf x x x =+的最小值为___________. 例11．（2022·全国·高三专题练习）已知2251x y -+=，,x y R ∈，则22x y +的最小值为____.核心考点三：整体代换与二次函数模型【规律方法】三角函数和二次函数交汇也是一种常见题型，我们将其分为三类，第一类是最简单的，就是sin x ，cos x 与cos2x 之间的二次函数关系，第二类则有一点隐藏，就是±sin cos x x 与sin cos x x 之间的关系，第三类则是+sin cos a x b x 与sin2x 之间的关系.【典型例题】例12．（2022·全国·高三专题练习）函数3π()sin(2)3cos 2f x x x =+-的最小值为___________． 例13．（2022·全国·高考真题（文））函数cos 22sin y x x =+的最大值为________.例14．（2022·全国·高考真题（理））函数sin cos sin cos y x x x x =++的最大值是_________. 例15．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()sin cos 2sin cos 2f x x x x x =+++，则()f x 的最大值为___________.例16．（2022·全国·高三专题练习）若x 是三角形的最小内角，则函数sin cos sin cos y x x x x =+-的最小值是 A．12+B．12-+C ．1 D核心考点四：绝对值与三角函数综合模型 【规律方法】关于=sin y x 和=sin y x ，如图，=sin y x 将=sin y x 图像中x 轴上方部分保留，x 轴下方部分沿着x 轴翻上去后得到，故=sin y x 是最小正周期为π的函数，同理ωφ=+sin()y A x 是最小正周期为πω的函数；=sin y x 是将=sin y x 图像中y 轴右边的部分留下，左边的删除，再将y 轴右边图像作对称至左边，故=sin y x 不是周期函数.我们可以这样来表示：ππππππ⎧∈+⎪=⎨-∈-⎪⎩，，sin ([22])sin sin ((22))x x k k x x x k k ，⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩sin (0)sin sin (0)x x x x x 【典型例题】例17．（2022·安徽·铜陵一中高三阶段练习（理））已知函数()sin cos f x x x =+，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f xC ．()3f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭D ．()f x 5,012π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有解 例18．（2022·全国·高三专题练习）已知()sin |||sin |cos |||cos |=+++f x x x x x ，给出下述四个结论: ①()y f x =是偶函数; ②()y f x =在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数; ③()y f x =在(,2)ππ上为增函数; ④()y f x =的最大值为 其中所有正确结论的编号是（ ）A ．①②④B ．①③④C ．①②③D ．①④例19．（2022·江苏·泗阳县实验高级中学高三阶段练习）已知函数()cos ||2|sin |f x x x =-，以下结论正确的是（ ）A ．π是()f x 的一个周期B ．函数在2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减C ．函数()f x 的值域为[D ．函数()f x 在[2π,2π]-内有6个零点例20．（多选题）（2022·安徽·砀山中学高三阶段练习）已知函数()sin cos 336x x f x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则（ ） A ．()f x 的最小正周期为3π B ．()f xC ．()f x 在[5,7]ππ上单调递减D ．()f x 在[4,4]ππ-上有4个零点例21．（2022·湖南省临澧县第一中学高三阶段练习）函数()sin sin cos cos f x x x x x =+++的最大值为______.例22．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()sin 2f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则 ①()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是1； ②()f x 的最小正周期是2π；③直线()2k x k Z π=∈是()fx 图象的对称轴；④直线2y x π=与()fx 的图象恰有2个公共点.其中说法正确的是________________.例23．（2022·陕西·长安一中高一期末）关于函数()sin sin f x x x =+有下述四个结论： ①()f x 是偶函数；②()f x 在区间()2,π上递增； ③()f x 在[]π,π-上有4个零点； ④()f x 的最大值为2.其中所有正确结论的编号__________.例24．（2022·云南省玉溪第一中学高二期中（文））设函数()cos 2sin f x x x =+，下述四个结论正确结论的编号是__________.①()f x 是偶函数； ②()f x 的最小正周期为π； ③()f x 的最小值为0； ④()f x 在[]0,2π上有3个零点.核心考点五：ω的取值与范围问题【规律方法】1、()sin()f x A x ωϕ=+在()sin()f x A x ωϕ=+区间()a b ，内没有零点⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+≤+<+<+≤≤-⇒ππϕωπππϕωπk b k k a k T a b 2⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+≤-≥≤-⇒ωϕππωϕπk b k a T a b 2 同理，()sin()f x A x ωϕ=+在区间[]a b ，内没有零点 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<+<+<+<≤-⇒ππϕωπππϕωπk b k k a k T a b 2⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+<-><-⇒ωϕππωϕπk b k a T a b 2 2、()sin()f x A x ωϕ=+在区间()a b ，内有3个零点⎪⎩⎪⎨⎧+≤+<++<+≤≤-<⇒ππϕωππππϕωπk b k k a k Ta b T 432(1)(3)(24)T b a k T k a k k b πϕπϕωωπϕπϕωω⎧⎪⎪-+-⎪⇒≤<⎨⎪⎪+<-≤-+-<≤⎪⎩同理()sin()f x A x ωϕ=+在区间[]a b ，内有2个零点⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<+≤++≤+<<-≤⇒ππϕωππππϕωπk b k k a k T a b T 32232(2))2(332k TT b k a k b a k πϕππϕωωπϕπϕωω⎧⎪⎪-+-⎪⇒<≤⎨⎪⎪+≤-<-+-≤<⎪⎩ 3、()sin()f x A x ωϕ=+在区间()a b ，内有n 个零点⇒(()(+1)1)(1)22n Tn T b a k k a k n k n b πϕππϕωωπϕπϕωω-+≤-⎧⎪⎪-+-⎪≤<⎨⎪⎪+-+-<≤⎩<⎪同理()sin()f x A x ωϕ=+在区间[]a b ，内有n 个零点(1)(1()()22+1)n T n T b k k a k n k n b a πϕππϕωωπϕπϕωω-+≤-<⎧⎪⎪-+-⎪⇒<≤⎨⎪⎪+-+-≤<⎪⎩4、已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为214n T +，则21(21)42n n T b a πω++==-． 5、已知单调区间(,)a b ，则2T a b -≤.【典型例题】例25．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数()()2sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭，3x π=-为()f x 的一个零点，3x π=为()y f x =图象的一条对称轴，且()f x 在,20216ππ⎛⎫⎪⎝⎭内不单调，则ω的最小值为______. 例26．（2022·全国·高三专题练习）若函数()()cos 0f x x ωω=>在区间()2,3ππ内既没有最大值1，也没有最小值1-，则ω的取值范围是___________.例27．（2022·上海·高三专题练习）已知函数cos ,[],y a x x ωππ=+∈-（其中,a ω为常数，且0ω>）有且仅有3个零点，则ω的最小值是_________．例28．（2022·宁夏·平罗中学高三期中（理））已知函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()f x 在()2ππ，内单调且有一个零点，则ω的最大值是______________．例29．（2022·湖南·永州市第一中学高三阶段练习）若函数()()π2sin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在ππ,46⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，则ω的最大值为________.例30．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知函数π()2cos (0)4f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为T ，()f x 的一个极值点为πx=.若π2π33T <<，则ω的最大值是_____.例31．（2022·陕西·蒲城县蒲城中学高三阶段练习（文））将函数()sin2cos 222x x x f x ωωω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭(0ω>)的图象向左平移π3个单位长度,得到曲线C .若C 关于y 轴对称,则ω的最小值是______．例32．（2022·北京师大附中高三阶段练习）记函数()()()cos 0,0f x x ωϕωϕ=+><<π的最小正周期为T ，若()f T =π12x =为()f x 的零点，则ω的最小值为_______． 例33．（2022·云南·高三阶段练习）已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，若π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心，()f x 在区间5π7π,1818⎛⎫⎪⎝⎭上有最大值点无最小值点，且5π7π1818f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，记满足条件的ω的取值集合为M ，则=M ______.例34．（2022·四川成都·模拟预测（理））已知函数()()2sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若03f π⎛⎫=⎪⎝⎭，且()f x 在5,312ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有最大值，没有最小值，则ω的最大值为______． 例35．（2022·全国·高三专题练习（理））设函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0ω>．且1(0),0263f f f ππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则ω的最小值为________．例36．（2022·福建省福州教育学院附属中学高三开学考试）已知()()sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值，无最大值，则ω=______.例37．（多选题）（2022·山西·高三阶段练习）已知函数()(0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，若()f x 在区间π,π3⎛⎤⎥⎝⎦内没有零点，则ω的值可以是（ ）A ．18B ．12C ．76D ．32核心考点六：三角函数的综合性质 【典型例题】例38．（多选题）（2022·山东德州·高三期中）已知函数()sin()0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭同时满足下列三个条件：②该函数图象的两条对称轴之间的距离的最小值为π； ③该函数图象关于5,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称. 那么下列说法正确的是（ ） A ．ϕ的值可唯一确定B ．函数56f x π⎛⎫-⎪⎝⎭是奇函数 C ．当52()6x k k ππ=-∈Z 时，函数()f x 取得最小值 D ．函数()f x 在区间,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增例39．（多选题）（2022·湖北襄阳·高三期中）函数π()sin(2)3f x x =-的图象向左平移π4个单位长度，得到函数()g x 的图象，则下列结论正确的有（ ） A ．直线5π6x =-是()g x 图象的一条对称轴B ．()g x 在ππ(,)26-上单调递增C ．若()g x 在(0,)α上恰有4个零点，则23π29π(,]1212α∈ D ．()g x 在ππ[,]42上的最大值为12例40．（多选题）（2022·江苏南通·高三期中）已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，它们的导函数分别为()f x '，()g x '．若()1y f x =+是奇函数，()()cos g x x π'=，()f x 与()g x 图象的交点为()11,x y ，()22,x y ，…，(),m m x y ，则（ ）A ．()f x 的图象关于点()1,0-对称B ．()f x '的图象关于直线1x =对称C ．()g x 的图象关于直线12x =对称D ．()1mi i i x y m =+=∑例41．（多选题）（2022·山东菏泽·高三期中）已知函数()()()sin 0,0,0πf x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）．A ．π2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()f x 在区间5π0,12⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C ．()f x 在区间π11π,1212⎛⎫-⎪⎝⎭上有且仅有2个零点 D ．将()f x 的图象向右平移π12个单位长度后，可得到一个奇函数的图象 例42．（多选题）（2022·河北·模拟预测）已知函数π()sin()(0,0π),()04f x x f ωϕωϕ=+><<=，且对任意x ∈R均有π()(),()2f x f f x 在π[0,]2上单调递减，则下列说法正确的有（ ） A ．函数()f x 为偶函数B ．函数()f x 的最小正周期为2πC ．若1()([0,2π])3f x x =∈的根为(1i x i =，2，⋯，)n ，则14πn i i x ==∑ D ．若(2)()f x f x >在(,)m n 上恒成立，则n m -的最大值为π3例43．（多选题）（2022·广东·深圳实验学校光明部高三期中）已知函数π()sin()0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图（1）所示，函数()()1111()cos 0,0,||πg x A x A ωαωα=+>><的部分图象如图（2）所示，下列说法正确的是（ ）A ．函数()y f x =的周期为2πB ．函数()y f x =的图象关于直线1912x π=对称 C ．函数()1y f x =-在区间[0,2]π上有4个零点 D ．将函数()y f x =的图像向左平移23π可使其图像与()y g x =图像重合例44．（多选题）（2022·福建·厦门外国语学校高三期中）将函数()πcos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图像上所有的点向右平移π6个单位长度，得到函数()g x 的图像，则下列说法正确的是（ ） A ．()g x 的最小正周期为π B ．()g x 图像的一个对称中心为7π,012⎛⎫⎪⎝⎭C ．()g x 的单调递增区间为()π5ππ,πZ 36k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D ．()g x 的图像与函数πsin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像重合例45．（多选题）（2022·黑龙江齐齐哈尔·高三期中）已知()44cossin 22x xf x =+，则下列说法错误的是（ ） A ．函数()f x 的最小正周期为2π B ．函数4f x π⎛⎫- ⎪⎝⎭为奇函数C ．函数()f x 在,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的值域为5,18⎛⎫⎪⎝⎭D ．函数()34y f x =-在区间[]2,2ππ-上的零点个数为8【新题速递】一、单选题1．（2022·河北·张家口市第一中学高三期中）函数()()πtan 0,02f x x ωϕϕω⎛⎫=+<<> ⎪⎝⎭某相邻两支图象与坐标轴分别交于点π,06A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2π,03B ⎛⎫⎪⎝⎭，则方程()[]πsin 2,0,π3f x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭所有解的和为（ ） A ．5π12B ．5π6 C ．π2D ．π2．（2022·北京市第十一中学高三阶段练习）已知函数()2π2cos 4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭则（ ）A ．()f x 是奇函数B ．函数()f x 的最小正周期为4πC ．曲线()y f x =关于π2x =对称D ．()()12f f >3．（2022·贵州·顶效开发区顶兴学校高三期中（理））已知函数()()sin f x x ωϕ=+（0ω>，π<ϕ），其图象相邻两条对称轴的距离为π2，且对任意x ∈R ，都有()7π12f x f ⎛⎫⎪⎝⎭，则在下列区间中，()f x 为单调递减函数的是（ ） A ．ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．7π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．π12π,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．7π,π12⎡⎤⎢⎥⎣⎦4．（2022·吉林长春·模拟预测）定义域为[]0,π的函数())()1cos cos 02f x x x x ωωωω=-+>，其值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则ω的取值范围是（ ） A ．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．10,3⎛⎤⎥⎝⎦D ．12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦5．（2022·江苏南通·高三期中）已知112tan sin =-αα，则πtan 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．7-B ．17-C ．19D ．436．（2022·河南·高三阶段练习（理））设函数()sin()(0)5f x x πωω=+>，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论中，正确结论的编号是（ ） ①()f x 在(0,2)π有且仅有3个极大值点②()f x 在(0,2)π有且仅有2个极小值点③()f x 在05π⎛⎫⎪⎝⎭，单调递增④ω的取值范围是1229510⎡⎫⎪⎢⎣⎭， A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④7．（2022·天津市南开中学滨海生态城学校高三阶段练习）下列关于函数()4cos cos 3f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π的命题，正确的有（ ）个（1）它的最小正周期是π2（2）π,012⎛⎫-⎪⎝⎭是它的一个对称中心 （3）π6x =是它的一条对称轴 （4）它在π0,3⎛⎤⎥⎝⎦上的值域为[]2,3A ．0B ．1C ．2D ．38．（2022·宁夏六盘山高级中学高三期中（理））已知函数()()sin f x x ωϕ=+（其中0,2πωϕ><），()30,88f f x f ππ⎛⎫⎛⎫-=≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，且()f x 在区间,1224ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调，给出下列命题①()f x 是偶函数；②()304f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭；③ω是奇数；④ω的最大值为3；其中正确的命题有（ ）A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①③④二、多选题9．（2022·重庆八中高三阶段练习）已知函数()()sin 2(0π)f x x ϕϕ=+<<，曲线()y f x =关于点7π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称，则（ ）A ．将该函数向左平移π6个单位得到一个奇函数B ．()f x 在3π7π,46⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 C ．()f x 在π7π,1212⎛⎫-⎪⎝⎭上只有一个极值点 D ．曲线()y f x '=关于直线π6x =对称10．（2022·福建·泉州五中高三期中）已知函数()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ）A ．直线7π6x =是()fx 的对称轴B ．点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的对称中心 C ．()f x 在区间π22π,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．()f x 的图象向右平移7π12个单位得cos 2y x =的图象11．（2022·山东青岛·高三期中）已知函数i π()sin 23s n 2cos π66f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ）A ．()f x 的最大值为2B ．π3x =是()f x 的图象的一条对称轴C ．()f x 在ππ,63⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减 D ．()f x 的图象关于π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭对称12．（2022·湖北·荆门市龙泉中学高三阶段练习）设()()sin f x x ωϕ=+（其中ω为正整数，π2<ϕ），且()f x 的一条对称轴为π12x =-；若当0ϕ=时，函数()f x 在ππ,55⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增且在ππ,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦不单调，则下列结论正确的是（ ） A ．2ω=B ．()f x 的一个对称中心为5π,06⎛⎫⎪⎝⎭C ．函数()f x 向右平移π12个单位后图象关于y 轴对称 D ．将()f x 的图象的横坐标变为原来的一半，得到()g x 的图象，则()g x 的单调递增区间为()ππ5ππ,Z 242242k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭三、填空题13．（2022·甘肃·兰州市外国语高级中学高三阶段练习（文））已知函数()()πsin 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭的相邻对称轴之间的距离为π2，且()f x 图象经过点π,03P ⎛⎫⎪⎝⎭，则下列说法正确的是___________.（写出所有正确的题号）A ．该函数解析式为()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；B ．函数()f x 的一个对称中心为2π,03⎛⎫-⎪⎝⎭C ．函数y =()π5ππ,π2424k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z D ．将函数()y f x =的图象向右平移(0)b b >个单位，得到函数()g x 的图象，且函数()g x 的图象关于原点对称，则b 的最小值为π3.14．（2022·四川省遂宁市教育局模拟预测（文））正割（Secant ，sec ）是三角函数的一种，正割的数学符号为sec ，出自英文secant ．该符号最早由数学家吉拉德在他的著作《三角学》中所用，正割与余弦互为倒数，即1sec cos x x=．若函数()sec sin f x x x x =⋅-，则下列结论正确的有__ ①函数()f x 的图像关于直线x π=对称；②函数()f x 图像在(),()f ππ处的切线与x 轴平行，且与x 轴的距离为π； ③函数()f x 在区间95,168ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增； ④()f x 为奇函数，且()f x 有最大值，无最小值．15．（2022·河南·驻马店市第二高级中学高三阶段练习（理））若1sin cos 2θθ=，则()sin 1sin 2sin cos θθθθ-=+______．16．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测）已知函数()sin ||f x x x =，若关于x 的方程()f x m =在4π,2π3⎛⎤- ⎥⎝⎦上有三个不同的实根，则实数m 的取值范围是_________． 四、解答题17．（2022·江西·丰城九中高三开学考试（理））已知函数()2cos 2cos 1f x x x x =-+．(1)求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；(2)若函数()()g x f x k =-在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有两个不同的零点，求实数k 的取值范围．18．（2022·江苏盐城·高三阶段练习）已知函数()22cos 2sin cos sin (04)f x x x x x ωωωωω=+-<<，且_____．从以下①②③三个条件中任选一个，补充在上面条件中，并回答问题：①过点;8π⎛⎝②函数()f x 图象与直线0y 的两个相邻交点之间的距离为;π③函数()f x 图象中相邻的两条对称轴之间的距离为2π．(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)设函数()2cos 23g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则是否存在实数m ，使得对于任意1[0,]2x π∈，存在2[0,]2x π∈，()()21m g x f x =-成立?若存在，求实数m的取值范围;若不存在，请说明理由．19．（2022·黑龙江·哈师大附中高三阶段练习）已知函数()4sin cos 3f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)若函数()()32g x f x =-在区间（0，π）上恰有2个零点()1212,x x x x <，求()12cos x x -的值．20．（2022·福建省诏安县桥东中学高三期中）已知函数()()()sin 0,0,πf x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示.(1)求()f x 的解析式及对称中心；(2)先将()f x 的图象横坐标不变，纵坐标缩短到原来的12倍，得到函数()g x 图象，再将()g x 图象右平移π12个单位后得到()h x 的图象，求函数()y h x =在π3π,124x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的单调减区间.21．（2022·青海·西宁市海湖中学高三期中）某同学用“五点法”画函数()sin()0,||2f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：()f x 的解析式；(2)将()y f x =图象上所有点向左平移(0)θθ>个单位长度，得到()y g x =的图象．若()y g x =图象的一个对称中心为5,012π⎛⎫⎪⎝⎭，求θ的最小值．22．（2022·北京·北大附中高三阶段练习）已知函数()()sin 0,22f x x ππωϕωϕ⎛⎫=+>-<<⎪⎝⎭的部分图像如下图所示.(1)直接写出()f x 的解析式；(2)若对任意0,3s π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，存在[]0,t m ∈，满足()()f s f t =-，求实数m 的取值范围.。
三角函数的图象与性质 高中数学例题课后习题详解
第五章三角函数5.4三角函数的图象与性质例1画出下列函数的简图：（1）1sin y x =+，[0,2π]x ∈；（2）cos y x =-，[0,2π]x ∈.解：（1）按五个关键点列表：x0π2π3π22πsin x010-101sin x+1211描点并将它们用光滑的曲线连接起来（图5.4-6）：（2）按五个关键点列表：x0π2π3π22πcos x10-101cos x--11-1描点并将它们用光滑的曲线连接起来（图5.4-7）：例2求下列函数的周期：（1）3sin y x =，x ∈R ；（2）cos 2y x =，x ∈R ；（3）1π2sin 26y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，x ∈R .分析：通常可以利用三角函数的周期性，通过代数变形，得出等式()()f x T f x +=而求出相应的周期.对于（2），应从余弦函数的周期性出发，通过代数变形得出cos 2()cos 2x T x +=，x ∈R ；对于（3），应从正弦函数的周期性出发，通过代数变形得出1π1πsin ()sin 2626x T x ⎡⎤⎛⎫+-=- ⎪⎢⎣⎦⎝⎭，x ∈R .解：（1）x ∀∈R ，有3sin(2π)3sin x x +=.由周期函数的定义可知，原函数的周期为2π.（2）令2z x =，由x ∈R 得z ∈R ，且cos y z =的周期为2π，即cos(2π)cos z z +=，于是cos(22π)cos 2x x +=，所以cos 2(π)cos 2x x +=，x ∈R .由周期函数的定义可知，原函数的周期为π.（3）令1π26z x =-，由x ∈R 得z ∈R ，且2sin y z =的周期为2π，即2sin(2π)2sin z z +=，于是1π1π2sin 2π2sin 2626x x ⎛⎫⎛⎫-+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1π1π2sin (4π)2sin 2626x x ⎡⎤⎛⎫+-=- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭.由周期函数的定义可知，原函数的周期为4π.例3下列函数有最大值､最小值吗？如果有，请写出取最大值､最小值时自变量x 的集合，并求出最大值､最小值.（1）cos 1y x =+，x ∈R ；（2）3sin 2y x =-，x ∈R ；解：容易知道，这两个函数都有最大值､最小值.（1）使函数cos 1y x =+，x ∈R 取得最大值的x 的集合，就是使函数cos y x =，x ∈R 取得最大值的x 的集合{}2|π,x x k k =∈Z ；使函数cos 1y x =+，x ∈R 取得最小值的x 的集合，就是使函数cos y x =，x ∈R 取得最小值的x 的集合(){}1|2π,x x k k =+∈Z .函数cos 1y x =+，x ∈R 的最大值是112+=；最小值是110-+=.（2）令2z x =，使函数3sin y z =-，z ∈R 取得最大值的z 的集合，就是使sin y z =，z ∈R 取得最小值的之的集合π2π,2z z k k ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭Z .由π22π2x z k ==-+，得ππ4x k =-+.所以，使函数3sin 2y x =-，x ∈R 取得最大值的x 的集合是ππ,4x x k k ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭Z .同理，使函数3sin 2y x =-，x ∈R 取得最小值的x 的集合是ππ,4x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z .函数3sin 2y x =-，x ∈R 的最大值是3，最小值是-3.例4不通过求值，比较下列各组数的大小：（1）πsin 18⎛⎫-⎪⎝⎭与πsin 10⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）23πcos 5⎛⎫-⎪⎝⎭与17πcos 4⎛⎫- ⎪⎝⎭.分析：可利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小.为此，先用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角，然后再比较大小.解：（1）因为πππ021018-<-<-<，正弦函数sin y x =在区间π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以ππsin sin 1810⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎝⎭⎝⎭.（2）23π23π3πcos cos cos 555⎛⎫-== ⎪⎝⎭，17π17ππcos cos cos 444⎛⎫-== ⎪⎝⎭.因为π3π0π45<<<，且函数cos y x =在区间[0,π]上单调递减，所以π3πcos cos 45>，即17π23πcos cos 45⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.例5求函数1πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，[2π,2π]x ∈-的单调递增区间.分析：令1π23z x =+，[2π,2π]x ∈-，当自变量x 的值增大时，z 的值也随之增大，因此若函数sin y z =在某个区间上单调递增，则函数1πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在相应的区间上也一定单调递增.解：令1π23z x =+，[2π,2π]x ∈-，则24π,π33z ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.因为sin y z =，24π,π33z ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的单调递增区间是ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，且由π1ππ2232x -≤+≤，得5ππ33x -≤≤.所以，函数1πsin 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，[2π,2π]x ∈-的单调递增区间是5ππ,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.例6求函数ππtan 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的定义域､周期及单调区间.分析：利用正切函数的性质，通过代数变形可以得出相应的结论.解：自变量x 的取值应满足ππππ232x k +≠+，k ∈Z ，即123x k ≠+，k ∈Z .所以，函数的定义域12,3x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z .设ππ23z x =+，又tan(π)tan z z +=，所以ππππtan πtan 2323x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即()ππππtan 2tan 2323x x ⎡⎤⎛⎫++=+ ⎪⎢⎣⎦⎝⎭.因为12,3x x x k k ⎧⎫∀∈≠+∈⎨⎬⎩⎭Z 都有()ππππtan 2tan 2323x x ⎡⎤⎛⎫++=+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，所以，函数的周期为2由ππππππ2232k x k -+<+<+，k ∈Z 解得512233k x k -+<<+，k ∈Z .因此，函数在区间512,233k k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，k ∈Z 上都单调递增.5.4.1正弦函数､余弦函数的图象练习1.在同一直角坐标系中,画出函数sin y x =,[0,2]x πÎ,cos y x =,3,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的图象.通过观察两条曲线,说出它们的异同.【答案】见解析【解析】【分析】根据五点作图法画出图像,再直观分析即可.【详解】解:可以用“五点法”作出它们的图象,还可以用图形计算器或计算机直接作出它们的图象,图象如图.两条曲线的形状相同,位置不同.【点睛】本题主要考查了正余弦函数图像之间的关系,属于基础题.2.用五点法分别画下列函数在[,]-ππ上的图象:(1)sin y x =-;(2)2cos y x =-.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】根据五点作图法的方法描点,再用光滑曲线连接起来即可.【详解】解:xπ-2π-02ππsin y x =-010-102cos y x=-32123【点睛】本题主要考查了五点作图法的运用,属于基础题.3.想一想函数|sin |y x =与sin y x =的图象及其关系,并借助信息技术画出函数的图象进行检验.【答案】见解析【解析】【分析】分析可知当sin 0y x =≥时|sin |y x =与sin y x =的图象相同,当sin 0y x =<时,|sin |y x =与sin y x =的图象关于x 轴对称,再分析即可.【详解】解:把sin y x =的图象在轴下方的部分翻折到x 轴上方,连同原来在x 轴上方的部分就是|sin |y x =的图象,如图所示.【点睛】本题主要考查了绝对值图像与原图像之间的关系,属于基础题.4.函数y=1+cos x ，,23x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的图象与直线y =t （t 为常数）的交点可能有（）A.0个B.1个C.2个D.3个E.4个【答案】ABC 【解析】【分析】画出1cos y x =+在,23x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的图象，即可根据图象得出.【详解】画出1cos y x =+在,23x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的图象如下：则可得当0t <或2t ≥时，1cos y x =+与y t =的交点个数为0；当0=t 或322t ≤<时，1cos y x =+与y t =的交点个数为1；当302t <<时，1cos y x =+与y t =的交点个数为2.故选：ABC.5.4.2正弦函数､余弦函数的性质练习5.等式2sin sin 636πππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭是否成立?如果这个等式成立,能否说23π是正弦函数sin y x =,x ∈R 的一个周期?为什么?【答案】见解析【解析】【分析】2sin sin 636πππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭成立，再利用函数的周期的定义说明不能说23π是正弦函数sin y x =,x ∈R 的一个周期.【详解】等式2sin sin 636πππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭成立,但不能说23π是正弦函数sin y x =,x ∈R 的一个周期.因为不满足函数周期的定义,即对定义内任意x ,2sin 3x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭不一定等于sin x ,如2sin sin 333πππ⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭,所以23π不是正弦函数sin y x =,x ∈R 的一个周期.【点睛】本题主要考查周期函数的定义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6.求下列函数的周期,并借助信息技术画出下列函数的图象进行检验:(1)3sin4y x =,x ∈R ;(2)cos 4y x =,x ∈R ;(3)1cos 223y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,x ∈R ;(4)1sin 34y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,x ∈R .【答案】(1)周期为83π.见解析(2)周期为2π.见解析(3)周期为π.见解析(4)周期为6π.见解析【解析】【分析】利用周期函数的定义证明函数的周期，再作出函数的图象得解.【详解】解:(1)因为33388()sin sin 2sin 44433y f x x x x f x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===+=+=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,所以由周期函数的定义可知,原函数的周期为83π.函数的图象如图所示：(2)因为()cos 4cos(42)cos 422y f x x x x f x πππ⎛⎫⎛⎫===+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以由周期函数的定义可知,原函数的周期为2π.函数的图象如图所示：(3)因为111()cos 222cos 2()()232323y f x x x x f x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤==-=-+=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦,所以由周期函数的定义可知,原函数的周期为π.函数的图象如图所示：(4)因为111()sin sin 2sin (6)(6)343434y f x x x x f x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤==+=++=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦,所以由周期函数的定义可知,原函数的周期为6π.函数的图象如图所示：【点睛】本题主要考查三角函数的周期的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7.下列函数中,哪些是奇函数?哪些是偶函数?(1)2sin y x =;(2)1cos y x =-;(3)sin y x x =+;(4)sin cos y x x =-.【答案】(1)(3)(4)是奇函数;(2)是偶函数.【解析】【分析】利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性.【详解】(1)()2sin f x x =,函数的定义域为R ，()2sin()2sin ()f x x x f x ∴-=-=-=-，所以函数是奇函数；(2)()1cos f x x =-，函数的定义域为R ，()1cos()1cos ()f x x x f x ∴-=--=-=，所以函数是偶函数；(3)()sin f x x x =+，函数的定义域为R ，()sin (sin )()f x x x x x f x ∴-=--=-+=-，所以函数是奇函数；(4)()sin cos f x x x =-，函数的定义域为R ，()sin()cos()sin cos ()f x x x x x f x ∴-=---==-所以函数是奇函数.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8.设函数()()f x x ∈R 是以2为最小正周期的周期函数,且当[0,2]x ∈时,2()(1)f x x =-.求(3)f ,72f ⎛⎫⎪⎝⎭的值.【答案】(3)0f =,7124f ⎛⎫=⎪⎝⎭【解析】【分析】直接利用函数的周期求解.【详解】解:由题意可知,2(3)(21)(1)(11)0f f f =+==-=;2733312122224f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【点睛】本题主要考查函数的周期性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.练习9.观察正弦曲线和余弦曲线,写出满足下列条件的x 所在的区间:(1)sin 0x >;(2)sin 0x <;(3)cos 0x >;(4)cos 0x <.【答案】(1)(2,2)()k k k πππ+∈Z ;(2)(2,2)()k k k πππ-∈Z ;(3)2,2()22k k k ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ;(4)32,2()22k k k ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z 【解析】【分析】观察正弦曲线和余弦曲线得解.【详解】(1)sin 0x >,观察正弦曲线得(2,2)()x k k k πππ∈+∈Z ；(2)sin 0x <，观察正弦曲线得(2,2)()x k k k πππ∈-∈Z ；(3)cos 0x >，观察余弦曲线得2,2()22x k k k ππππ⎛⎫∈-+∈ ⎪⎝⎭Z ；(4)cos 0x <，观察余弦曲线得32,2()22x k k k πππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭Z .【点睛】本题主要考查正弦曲线和余弦曲线的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10.求使下列函数取得最大值､最小值的自变量的集合,并求出最大值､最小值.(1)2sin y x =,x ∈R ;(2)2cos3xy =-,x ∈R .【答案】(1)当|2,2x x x k k ππ⎧⎫∈=+∈⎨⎬⎩⎭Z 时,函数取得最大值2;当|2,2x x x k k ππ⎧⎫∈=-+∈⎨⎬⎩⎭Z 时,函数取得最小值-2.(2)当{|63,}x x x k k ππ∈=+∈Z 时,函数取得最大值3;当{|6,}x x x k k π∈=∈Z 时,函数取得最小值1.【解析】【分析】（1）利用2sin y x =取得最大值和最小值的集合与正弦函数sin y x =取最大值最小值的集合是一致的求解；（2）利用2cos 3xy =-取得最大值和最小值的集合与余弦函数cos y x =取最小值最大值的集合是一致的求解.【详解】（1）当sin 1x =即|2,2x x x k k ππ⎧⎫∈=+∈⎨⎬⎩⎭Z 时,函数取得最大值2;当sin 1x =-|2,2x x x k k ππ⎧⎫∈=-+∈⎨⎬⎩⎭Z 时,函数取得最小值-2；(2)当cos 13x=-即2+,3x k k Z ππ=∈即{|63,}x x x k k ππ∈=+∈Z 时,函数取得最大值3;当cos13x=即2,3x k k Z π=∈即当{|6,}x x x k k π∈=∈Z 时,函数取得最小值1.【点睛】本题主要考查三角函数的最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11.下列关于函数4sin y x =,[0,2]x πÎ的单调性的叙述,正确的是.A.在[0,]π上单调递增,在[,2]ππ上单调递减B.在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减C.在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦及3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D.在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦及3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减【答案】C 【解析】【分析】利用正弦函数的单调性分析判断得解.【详解】因为4sin y x =,[0,2]x πÎ，所以函数的单调性和正弦函数sin y x =的单调性相同，所以函数在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦及3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.故选：C【点睛】本题主要考查三角函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12.不通过求值,比较下列各组中两个三角函数值的大小:(1)2cos 7π与3cos 5π⎛⎫-⎪⎝⎭;(2)sin 250︒与sin 260︒.【答案】(1)23cos cos 75ππ⎛⎫>-⎪⎝⎭(2)sin 250sin 260︒︒>【解析】【分析】（1）利用cos y x =在(0,)π内为减函数判断它们的大小；（2）利用sin y x =在()90,270︒︒内为减函数判断它们的大小.【详解】解:(1)33cos cos 55ππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,∵23075πππ<<<,且cos y x =在(0,)π内为减函数,∴23cos cos 75ππ>,即23cos cos 75ππ⎛⎫>-⎪⎝⎭.(2)∵90250260270︒︒︒︒<<<,且sin y x =在()90,270︒︒内为减函数,∴sin 250sin 260︒︒>.【点睛】本题主要考查正弦余弦函数的单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.13.求函数3sin(2),[0,2]4y x x ππ=+∈的单调递减区间．【答案】5[,88ππ和913[,]88ππ.【解析】【分析】根据正弦型函数的性质有3222242k x k πππππ+≤+≤+时函数单调递减，即可求出3sin(2)4y x π=+的递减区间，进而讨论k 值确定[0,2]x πÎ上的递减区间即可.【详解】∵3222242k x k πππππ+≤+≤+()k ∈Z 上3sin(2)4y x π=+单调递减，∴588k x k ππππ+≤≤+上3sin(2)4y x π=+单调递减，当0k =：5[,][0,2]88x πππ∈⊂；当1k =：913[,][0,2]88x πππ∈⊂；∴5[,]88ππ、913[,]88ππ为3sin(2),[0,2]4y x x ππ=+∈的单调递减区间.5.4.3正切函数的性质与图象练习14.借助函数tan y x =的图象解不等式tan 1x ≥-，0,22x πππ⎡⎫⎛⎫∈⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭.【答案】30,,24πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭【解析】【分析】画出0,,2tan ,2x x y πππ⎡⎫⎛⎫∈⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭=和1y =-的图象，观察图象即可.【详解】在同一坐标系中画出0,,2tan ,2x x y πππ⎡⎫⎛⎫∈⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭=和1y =-的图象，如下：当tan 1x =-时，34x π=，由图象可知不等式tan 1x ≥-的解集为30,,24πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭.【点睛】本题考查了正切函数不等式，考查了用数形结合法，属于基础题.15.观察正切曲线，写出满足下列条件的x 值的范围：（1）tan 0x >；（2）tan 0x =；（3）tan 0x ≤．【答案】（1）2k x k πππ<<+()k ∈Z ；（2）x k π=()k ∈Z ；（3）2k x k πππ-<≤()k ∈Z ；【解析】【分析】画出tan y x =的函数图象，通过图象判断（1）、（2）、（3）对应自变量的取值范围即可.【详解】（1）tan 0x >：2k x k πππ<<+()k ∈Z ；（2）tan 0x =：x k π=()k ∈Z ；（3）tan 0x ≤：2k x k πππ-<≤()k ∈Z ；16.求函数tan 3y x =的定义域.【答案】,36k x x k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】令()32x k k Z ππ≠+∈，解出x 的范围即可求得定义域.【详解】令()32x k k Z ππ≠+∈，得()36k x k Z ππ≠+∈，所以函数tan 3y x =的定义域为,36k x x k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭.【点睛】本题考查正切函数的定义域，属于基础题.17.求下列函数的周期：（1）tan 2y x =，()42k x k ππ≠+∈Z ；（2）5tan 2xy =，(21)()x k k π≠+∈Z .【答案】（1）周期为2π（2）周期为2π【解析】【分析】（1）由诱导公式，得tan 2tan(2)x x π=+，即()2f x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，问题得解；（2）由诱导公式，得2tan tan tan 222x x x ππ+⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，即()(2)f x f x π=+，问题得解；【详解】（1）令()y f x =，因为()tan 2tan(2)tan 222f x x x x f x πππ⎛⎫⎛⎫==+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数tan 2y x =，()42k x k ππ≠+∈Z 的周期为2π.（2）令()y f x =，因为2()5tan5tan 5tan (2)222x x x f x f x πππ+⎛⎫==+==+ ⎪⎝⎭，所以函数5tan2xy =，(21)()x k k π≠+∈Z 的周期为2π.【点睛】本题考查了诱导公式，函数周期性定义，属于中档题.18.不通过求值，比较下列各组中两个正切值的大小：（1）()tan 52-︒与()tan 47-︒；（2）13tan4π与17tan 5π【答案】（1）()()tan 52tan 47-︒<-︒；（2）1317tan tan 45ππ<【解析】【分析】（1）根据tan y x =在()90,0-︒︒的单调性进行比较，得到答案；（2）根据正切函数的周期对所求的值进行化简，再根据tan y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭的单调性进行比较，得到答案.【详解】解：（1）9052470-︒<-︒<-︒<︒，且tan y x =在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭内为增函数，()()tan 52tan 47∴-︒<-︒.（2）13tantan 3tan 444ππππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，1722tantan 3tan 555ππππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，20452πππ<<< ，且tan y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内为增函数，2tantan 45ππ∴<，故1317tan tan 45ππ<.【点睛】本题考查根据正切函数的单调性比较函数值的大小，属于简单题.习题5.4复习巩固19.画出下列函数的简图：（1）1sin ,[0,2]y x x π=-∈；（2）3cos 1,[0,2]y x x π=+∈.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）根据五点作图法作图法作图；（2）根据五点作图法作图法作图.【详解】解：（1）x2ππ32π2π1sin y x=-10121描点连线得如图①，（2）x2ππ32π2π3cos 1y x =+412-14描点连线得如图②.【点睛】本题考查考查五点作图法作图，考查基本分析作图能力，属基础题.20.求下列函数的周期：（1）2sin ,3y x x R =∈；（2）1cos ,2y x x R =Î．【答案】（1）3k π()k ∈Z ；（2）2k π()k ∈Z .【解析】【分析】利用正余弦的性质，结合2||T πω=可求（1）（2）中三角函数的最小正周期，进而可写出函数的周期.【详解】（1）由题设知：23ω=，故最小正周期为2232||3T πππω===，即2sin ,3y x x R =∈的周期为3k π()k ∈Z ；（2）由题设知：1ω=，故最小正周期为222||1T πππω===，即1cos ,2y x x R =Î的周期为2k π()k ∈Z ；21.下列函数中，哪些是奇函数？哪些是偶函数？哪些既不是奇函数，也不是偶函数.（1）|sin |y x =；（2）1cos 2y x =-；（3）3sin 2y x =-；（4）12tan y x =+.【答案】（1）偶函数；（2）偶函数；（3）奇函数；（4）非奇非偶函数.【解析】【分析】（1）根据奇偶性定义进行判断；（2）根据奇偶性定义进行判断；（3）根据奇偶性定义进行判断；（4）根据奇偶性定义进行判断；【详解】（1）|sin |y x =定义域为R,且|sin()||sin |x x -=，所以|sin |y x =是偶函数；（2）1cos 2y x =-定义域为R,且1cos 2()1cos 2x x --=-，所以1cos 2y x =-是偶函数；（3）3sin 2y x =-定义域为R,且3sin 2()3sin 2(3sin 2)x x x --==--，所以3sin 2y x =-是奇函数；（4）12tan y x =+定义域为π{|π,}2x x k k ≠+∈Z ,但12tan()12tan ,12tan()12tan ,x x x x +-≠++-≠--，所以12tan y x =+既不是奇函数，也不是偶函数.【点睛】本题考查函数奇偶性，考查基本分析判断能力，属基础题.22.求使下列函数取得最大值、最小值的自变量x 的集合，并求出最大值、最小值.（1）11cos ,23y x x R π=-∈；（2）3sin 2,4y x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭.（3）31cos ,226y x x R π⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭；（4）11sin ,223y x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭.【答案】（1）使y 取得最大值的x 的集合是max 3{|63,},2x x k k Z y =+∈=；使y 取得最小值的x 的集合是min 1{|6,},2x x k k Z y =∈=.（2）使y 取得最大值的x 的集合是max |,,38x x k k Z y ππ⎧⎫=+∈=⎨⎬⎩⎭；使y 取得最小值的x 的集合是min 3|,,38x x k k Z y ππ⎧⎫=-∈=-⎨⎬⎩⎭.（3）使y 取得最大值的x 的集合是max 73|4,,32x x k k Z y ππ⎧⎫=+∈=⎨⎬⎩⎭；使y 取得最小值的x 的集合是min 3|4,,32x x k k Z y ππ⎧⎫=+∈=-⎨⎬⎩⎭.（4）使y 取得最大值的x 的集合是max 1|4,,32x x k k Z y ππ⎧⎫=+∈=⎨⎬⎩⎭；使y 取得最小值的x 的集合是min 51|4,,32x x k k Z y ππ⎧⎫=-∈=-⎨⎬⎩⎭.【解析】【分析】（1）根据余弦函数性质求最值以及对应自变量范围；（2）根据正弦函数性质求最值以及对应自变量范围；（3）根据余弦函数性质求最值以及对应自变量范围；（4）根据正弦函数性质求最值以及对应自变量范围.【详解】（1）由2,3x k k Z πππ=+∈得使y 取得最大值的x 的集合是max 3{|63,},2x x k k Z y =+∈=；由2,3x k k Z ππ=∈使y 取得最小值的x 的集合是min 1{|6,},2x x k k Z y =∈=.（2）由22,42x k k Z πππ+=+∈得使y 取得最大值的x 的集合是max |,,38x x k k Z y ππ⎧⎫=+∈=⎨⎬⎩⎭；由22,42x k k Z πππ+=-∈得使y 取得最小值的x 的集合是min 3|,,38x x k k Z y ππ⎧⎫=-∈=-⎨⎬⎩⎭.（3）由12,26x k k Z πππ-=+∈得使y 取得最大值的x 的集合是max 73|4,,32x x k k Z y ππ⎧⎫=+∈=⎨⎬⎩⎭；由12,26x k k Z ππ-=∈得使y 取得最小值的x 的集合是min3|4,,32x x k k Z y ππ⎧⎫=+∈=-⎨⎬⎩⎭.（4）由12,232x k k Z πππ+=+∈得使y 取得最大值的x 的集合是max1|4,,32x x k k Z y ππ⎧⎫=+∈=⎨⎬⎩⎭；由12,232x k k Z πππ+=-∈得使y 取得最小值的x 的集合是min 51|4,,32x x k k Z y ππ⎧⎫=-∈=-⎨⎬⎩⎭.【点睛】本题考查正余弦函数最值，考查基本分析求解能力，属基础题.23.利用函数的单调性比较下列各组中两个三角函数值的大小：（1）sin10315︒'与sin16430︒'；（2）3cos 10π⎛⎫- ⎪⎝⎭与4cos 9π⎛⎫- ⎪⎝⎭.（3）sin 508︒与sin144︒；（4）47cos 10π⎛⎫ ⎪⎝⎭与44cos 9π⎛⎫ ⎪⎝⎭.【答案】（1）'sin10315sin16430︒'︒>（2）34cos cos 109ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）sin 508sin144︒︒<（4）4744cos cos 109ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】（1）根据正弦函数单调性判断大小；（2）先根据诱导公式化简，再根据余弦函数单调性判断大小；（3）先根据诱导公式化简，再根据正弦函数单调性判断大小；（4）先根据诱导公式化简，再根据余弦函数单调性判断大小.【详解】解：（1）901031516430180︒︒︒︒'︒<<< ，且sin y x =在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内为减函数，'sin10315sin16430︒'︒∴>.（2）3344cos cos ,cos cos 101099ππππ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.340109πππ<<< ，且cos y x =在(0,)π内为减函数.34coscos 109ππ∴>，即34cos cos 109ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（3）()sin 508sin 360148sin148︒︒︒︒=+=.90144148180︒︒︒︒<<< ，且sin y x =在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内为减函数，sin144sin148︒︒∴>，即sin 508sin144︒︒<.（4）4777coscos 4cos 101010ππππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，4488cos cos 4cos 999ππππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.782109ππππ<<<，且cos y x =在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内为减函数，78coscos 109ππ∴>，即4744cos cos 109ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】本题考查诱导公式以及正余弦函数单调性，考查基本分析判断能力，属基础题.24.求下列函数的单调区间：（1）1sin ,[0,2]y x x π=+∈；（2）cos ,[0,2]y x x π=-∈.【答案】（1）单调递增区间为30,,,222πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；单调递减区间为3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（2）单调递增区间为[0,]π，单调递减区间为[,2]ππ.【解析】【分析】（1）根据正弦函数单调性求单调区间；（2）根据余弦函数单调性求单调区间【详解】（1）当22,()22k x k k Z ππππ-≤≤+∈时；1sin y x =+单调递增；因为[0,2]x πÎ，所以单调递增区间为30,,,222πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；当322,()22k x k k Z ππππ+≤≤+∈时；1sin y x =+单调递减；因为[0,2]x πÎ，所以单调递减区间为3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）当22,()k x k k Z πππ≤≤+∈时；cos y x =-单调递增；因为[0,2]x πÎ，所以单调递增区间为[0,]π；当222,()k x k k Z ππππ+≤≤+∈时；cos y x =-单调递减；因为[0,2]x πÎ，所以单调递减区间为[,2]ππ.【点睛】本题考查正余弦函数单调区间，考查基本分析求解能力，属基础题.25.求函数tan 26y x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭的定义域.【答案】|,3x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】根据正切函数性质列式求解，即得结果.【详解】解：由()62x k k Z πππ+≠+∈，得()3x k k Z ππ≠+∈，∴原函数的定义域为|,3x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭.【点睛】本题考查正切函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.26.求函数5tan 2,()3122k y x x k Z πππ⎛⎫=-≠+∈ ⎪⎝⎭的周期.【答案】2π【解析】【分析】根据周期定义或正切函数周期公式求解.【详解】解法一：()tan 2tan 2tan 233232f x x x x f x ππππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ ∴所求函数的周期为2π.解法二：所求函数的周期2ππT ω==.【点睛】本题考查正切函数周期，考查基本分析求解能力，属基础题.27.利用正切函数的单调性比较下列各组中两个函数值的大小：（1）tan 5π⎛⎫- ⎪⎝⎭与3tan 7π⎛⎫-⎪⎝⎭；（2）tan1519︒与tan1493︒；（3）9tan 611π与3tan 511π⎛⎫- ⎪⎝⎭；（4）7tan8π与tan 6π.【答案】（1）3tan tan 57ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）tan1519tan1493︒︒>（3）93tan 6tan 51111ππ⎛⎫>- ⎪⎝⎭（4）7tantan 86ππ<【解析】【分析】（1）先根据诱导公式化简，再根据正切函数单调性判断大小；（2）先根据诱导公式化简，再根据正切函数单调性判断大小；（3）先根据诱导公式化简，再根据正切函数单调性判断大小；（4）先根据诱导公式化简，再根据正切函数单调性判断大小【详解】解：（1）33tan tan ,tan tan 5577ππππ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.30572πππ<<< ，且tan y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，33tantan ,tan tan 5757ππππ⎛⎫⎛⎫∴<∴->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）()tan1519tan 436079tan 79︒︒︒︒=⨯+=，()tan1493tan 436053tan 53︒︒︒︒=⨯+=.0537990︒︒︒︒<<< ，且tan y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，tan 53tan 79︒︒∴<，即tan1519tan1493︒︒>.（3）9938tan 6tan ,tan 5tan 11111111ππππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.893211112ππππ<<<，且tan y x =在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，89tantan 1111π∴<，即93tan 6tan 51111ππ⎛⎫>- ⎪⎝⎭.（4）7tantan tan 888ππππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.2862ππππ-<-<< ，且tan y x =在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上为增函数，tan tan 86ππ⎛⎫∴-< ⎪⎝⎭，即7tan tan 86ππ<.【点睛】本题考查周期函数单调性以及诱导公式，考查基本分析求解能力，属基础题.综合运用28.求下列函数的值域：（1）5sin ,,44y x x ππ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦；（2）cos ,0,32y x x ππ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.【答案】（1）,12y ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦；（2）1,22y ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.【解析】【分析】（1）根据正弦函数单调性求值域；（2）根据余弦函数单调性求值域.【详解】（1）当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时sin y x =单调递增，22y ∈；当5(,24x ππ∈时sin y x =单调递减，2[,1)2y ∈-；因此5sin ,,44y x x ππ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦的值域为,1][,1)[,1]222-=- ；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，5,336x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，cos 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递减，31[,]22y ∈-；因此cos ,0,32y x x ππ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值域为1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；【点睛】本题考查根据正余弦函数单调性求值域，考查基本分析求解能力，属基础题.29.根据正弦函数、余弦函数的图象，写出使下列不等式成立的x 的取值集合.（1）3sin ()2x x R ∈；（22cos 0()x x R +∈ .【答案】（1）2|22,33x k x k k Z ππππ⎧⎫++∈⎨⎬⎩⎭；（2）33|22,44x k x k k Z ππππ⎧⎫-++∈⎨⎬⎩⎭ .【解析】【分析】（1）先作一个周期的图象，再根据图象写结果；（2）先作一个周期的图象，再根据图象写结果.【详解】（1）所以3sin ()2x x R ∈成立的x 的取值集合为2|22,33x k x k k Z ππππ⎧⎫++∈⎨⎬⎩⎭（2）22cos 0cos 2x x ∴-22cos 0()x x R +∈ 成立的x 的取值集合为33|22,44x k x k k Z ππππ⎧⎫-++∈⎨⎬⎩⎭【点睛】本题考查根据正余弦函数图象解简单三角不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.30.下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减的是（）A.|sin |y x =B.cos y x= C.tan y x= D.cos2x y =【答案】A 【解析】【分析】先判断各函数最小正周期，再确定各函数在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调性，即可选择判断.【详解】|sin |y x =最小正周期为π，在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上|sin |sin y x x ==单调递减；cos y x =最小正周期为2π，在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；tan y x =最小正周期为π，在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；cos 2xy =最小正周期为4π，在区间,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；故选：A【点睛】本题考查函数周期以及单调性，考查基本分析判断能力，属基础题.31.若x 是斜三角形的一个内角，写出使下列不等式成立的x 的集合：（1）1tan 0x + ；（2）tan 0x .【答案】（1）3|24x x ππ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭；（2）|32x x ππ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭.【解析】【分析】（1）根据正切函数单调性求解三角不等式；（2）根据正切函数单调性求解三角不等式.【详解】（1）1tan 0tan 1,()24x x k x k k Z ππππ+∴-∴-+<≤-+∈ 3(0,)(,)2224x x πππππ∈∴<≤ ，即所求集合为3|24x x ππ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭；（2））tan 0tan ,()32x x k x k k Z ππππ∴≥+≤<+∈ (0,)(,)2232x x πππππ∈∴≤< ，即所求集合为|32x x ππ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭【点睛】本题考查根据正切函数单调性解三角不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.32.求函数3tan 24y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的单调区间.【答案】单调递减区间为5,,2828k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭；无单调递增区间.【解析】【分析】根据正切函数单调性列不等式，解得结果.【详解】当32,()242k x k k Z πππππ-+<-<+∈时，3tan 24y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭单调递减，即5,,2828k k x k Z ππππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭所以3tan 24y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的单调递减区间为5,,2828k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭；无单调递增区间.【点睛】本题考查正切函数单调性，考查基本分析求解能力，属基础题.33.已知函数()y f x =是定义在R 上周期为2的奇函数，若(0.5)1f =，求(1),(3.5)f f 的值.【答案】(1)0f =，(3.5)=1f -【解析】【分析】根据函数周期以及奇偶性找自变量之间关系，即可解得结果.【详解】解：由题意可得(1)(12)(1)(1)(1)f f f f f ，=-=-=-，2(1)0,(1)0f f ∴=∴=.(3.5)(40.5)(0.5)(0.5)1f f f f =-=-=-=-.【点睛】本题考查根据函数周期以及奇偶性求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.34.已知函数1()sin 2,23f x x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【答案】（1）T π=（2）最大值为14，最小值为12-【解析】【分析】（1）根据正弦函数周期公式求解；（2）根据正弦函数单调性求最值.【详解】解：（1）最小正周期为22T ππ==.（2）5,244636x x πππππ-∴--≤ ，11111sin 2,sin 2322234x x ππ⎛⎫⎛⎫∴--∴-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .即()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为14，最小值为12-.【点睛】本题考查正弦函数周期以及最值，考查基本分析求解能力，属基础题.拓广探索35.在直角坐标系中，已知O 是以原点O 为圆心，半径长为2的圆，角x （rad ）的终边与O 的交点为B ，求点B 的纵坐标y 关于x 的函数解析式，并画出其图象【答案】2sin y x =，图象见解析【解析】【分析】根据三角函数定义可得点B 的纵坐标y 关于x 的函数解析式，利用五点作图法可画图.【详解】解：三角函数定义可得sin 2sin y r x x ==，x 02ππ32π2π2sin y x =020-20描点连线，再向两边延伸得图象如图所示：【点睛】本题考查三角函数定义以及五点作图法，考查基本分析求解能力，属基础题.36.已知周期函数()y f x =的图象如图所示，（1）求函数的周期；（2）画出函数(1)y f x =+的图象；（3）写出函数()y f x =的解析式.【答案】（1）2T =.（2）见解析（3）|2|,[21,21],y x k x k k k Z=-∈-+∈【解析】【分析】（1）根据周期定义结合图象求得结果；（2）把()y f x =向左平移一个单位得(1)y f x =+的图象；（3）根据一次函数解析式得()y f x =在一个周期上的解析式，再根据周期得结果.【详解】解：（1）1(1)2T =--=.（2）把()y f x =向左平移一个单位得(1)y f x =+的图象，即如图所示（3）,[0,1],[1,1],[1,0)x x y x x x x ∈⎧==∈-⎨-∈-⎩所以|2|,[21,21],y x k x k k k Z =-∈-+∈.【点睛】本题考查函数周期、图象变换以及解析式，考查基本分析求解能力，属基础题.37.容易知道，正弦函数sin y x =是奇函数，正弦曲线关于原点对称，即原点是正弦曲线的对称中心，除原点外，正弦曲线还有其他对称中心吗？如果有，那么对称中心的坐标是什么？另外，正弦曲线是轴对称图形吗？如果是，那么对称轴的方程是什么？你能用已经学过的正弦函数性质解释上述现象吗？对余弦函数和正切函数，讨论上述同样的问题【答案】见解析【解析】【分析】根据正弦函数、余弦函数以及正切函数性质即可得到结果.【详解】解：由正弦函数的周期性可知，除原点外，正弦曲线还有其他对称中心，它们的坐标为(,0)()k k Z π∈，正弦曲线是轴对称图形，对称轴的方程为()2x k k Z ππ=+∈.能.由余弦函数和正切函数的周期性可知，余弦曲线的对称中心坐标为,0()2k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，对称轴的方程是()x k k Z π=∈，正切曲线的对称中心坐标为,0()2k k Z π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，正切曲线不是轴对称图形.【点睛】本题考查正弦函数、余弦函数以及正切函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题.。
人教版高中数学必修一精品讲义5.4 三角函数的图象与性质(精练)(解析版)
5.4 三角函数的图象与性质【题组一 五点画图】1．（2020·永州市第四中学高一月考）函数1sin y x =-,[]0,2x π∈的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．【正确答案】B【详细解析】当0x =时,1y =;当2x π=时,0y =;当πx =时,1y =;当3π2x =时,2y =;当2x π=时,1y =.结合正弦函数的图像可知B 正确.故选B.2．（2020·全国高一课时练习）请用“五点法”画出函数1sin 226y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象． 【正确答案】作图见详细解析. 【详细解析】令2X x π=-,则当x 变化时,y 的值如下表:描点画图:这是一个周期上的图像,然后将函数在13,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图像向左、向右平移周期的正整数倍个单位即得1sin 226y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像． 3．（2020·全国高一课时练习）画出下列函数的简图: ( 1)1sin y x =+,[0,2]x π; ( 2)cos y x =-,[0,2]x π.【正确答案】（1）见详细解析（2）见详细解析( 1)按五个关键点列表:描点并将它们用光滑的曲线连接起来( 如图):( 2)按五个关键点列表:描点并将它们用光滑的曲线连接起来( 如图):5．（2020·全国高一课时练习）“五点法”作正弦函数、余弦函数在x ∈[0,2π]上的图象时是哪五个点?【正确答案】正确答案见详细解析. 【详细解析】6．（2020·全国高一课时练习）在同一直角坐标系中,画出函数sin y x =,[0,2]x π,cos y x =,3,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的图象.通过观察两条曲线,说出它们的异同. 【正确答案】见详细解析【详细解析】可以用“五点法”作出它们的图象,还可以用图形计算器或计算机直接作出它们的图象,图象如图.两条曲线的形状相同,位置不同.【题组二 周期】1．（2020·永昌县第四中学高一期末）函数2cos 53y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是（ ）A ．5πB ．52πC ．2πD ．5π【正确答案】D【详细解析】由题意,函数2cos()53y x π=+,所以函数的最小正周期是:2525T ππ==.故选:D ． 2．（2020·辽宁沈阳·高一期中）下列函数中最小正周期为π的是（ ）A ．sin y x =B ．1sin y x =+C ．cos y x =D ．tan 2y x =【正确答案】C【详细解析】对A 选项,令32x π=-,则33sin 122f ππ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭3sin 122f πππ⎛⎫-+=-= ⎪⎝⎭,不满足3322f f πππ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 所以sin y x =不是以π为周期的函数,其最小正周期不为π; 对B 选项,1sin y x =+的最小正周期为:2T π=; 对D 选项,tan 2y x =的最小正周期为:2T π=;排除A 、B 、D 故选C3．（2020·河南洛阳·高一期末（文））tan 2y x =的最小正周期是（ ） A ．2πB ．πC ．2πD ．3π【正确答案】A【详细解析】tan 2y x =的最小正周期是2T π=.故选:A.4．（2020·林芝市第二高级中学高二期末（文））函数()tan 23f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【正确答案】B【详细解析】函数()tan 23f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是22T ππ==,故选:B ． 【题组三 对称性】1．（2019·伊美区第二中学高一月考）函数sin(2)3y x π=+图象的对称轴方程可能是（ ）A ．6x π=-B ．12x π=-C ．6x π=D ．12x π=【正确答案】D【详细解析】函数的对称轴方程满足:()232x k k Z πππ+=+∈ ,即:()212k x k Z ππ=+∈ ,令0k = 可得对称轴方程为12x π= .本题选择D 选项. 2．（2020·山西省长治市第二中学校高一期末（文））函数()sin()4f x x π=-的图像的一条对称轴是（ ）A ．4x π=B ．2x π=C ．4πx =-D ．2x π=-【正确答案】C【详细解析】对称轴穿过曲线的最高点或最低点,把4πx =-代入后得到()1f x =-,因而对称轴为4πx =-,选C .3．（2020·江苏鼓楼·南京师大附中高三其他）曲线()π2sin 04y x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的一个对称中心的坐标为()3,0,则ω的最小值为__________．【正确答案】π4【详细解析】令2sin(3)04πω+=,可得sin(3)04πω+=,3=,4πωπ+∈k k Z +,123ππω=-∈k k Z ,当1,4πω==k 最小故正确答案为:4π【题组四 单调性】 1．下列函数中,在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内是增函数且以π为最小正周期的函数是 （ ） A ．|sin |y x = B ．tan 2y x =C ．sin 2y x =D ．cos 4y x =【正确答案】A【详细解析】由于最小正周期等于π,而tan 2y x =的周期为与cos 4y x =的周期为2π,故排除B 、D 两个选项;在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内,sin 2y x =不是增函数,排除选项C,只有|sin |y x =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内是增函数且以π为最小正周期,故选A.2．（2020·全国高一课时练习）函数()tan 4f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的单调递增区间为（ ） A ．(),22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭B ．()(),k k k Z πππ+∈C ．()3,44k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭D ．()3,44k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭【正确答案】C【详细解析】根据正切函数性质可知,当πππππ242k xk k Z 时,函数()tan 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递增,即3ππππ44k xk k Z ,故选:C.3．（2020·阜新市第二高级中学高一期末）设函数f ( x )=cos ( x +3π),则下列结论错误的是 A ．f( x)的一个周期为−2π B ．y=f( x)的图像关于直线x=83π对称 C ．f( x+π)的一个零点为x=6πD ．f( x)在(2π,π)单调递减 【正确答案】D【详细解析】f ( x )的最小正周期为2π,易知A 正确; f 8π3⎛⎫⎪⎝⎭＝cos 8ππ33⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cos3π＝－1,为f ( x )的最小值,故B 正确; ∵f ( x ＋π)＝cos ππ3x ⎛⎫++⎪⎝⎭＝－cos π3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,∴f ππ6⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－cos ππ63⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－cos 2π＝0,故C 正确;由于f 2π3⎛⎫⎪⎝⎭＝cos 2ππ33⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cosπ＝－1,为f ( x )的最小值,故f ( x )在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调,故D 错误．故选D.4．（2019·四川仁寿一中高三其他（文））已知函数π()sin()0,0||2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭的最小正周期为π,且关于,08π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称,则下列结论正确的是（ ） A ．(1)(0)(2)f f f << B ．(0)(2)(1)f f f << C ．(2)(0)(1)f f f << D ．(2)(1)(0)f f f <<【正确答案】B【详细解析】根据()f x 的最小正周期为π,故可得2T ππω==,解得2ω=.又其关于,08π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称,故可得sin 04πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,又0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭, 故可得4πϕ=-.则()sin 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. 令222,242k x k k Z πππππ-≤-≤+∈,解得()3,,88x k k k Z ππππ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦. 故()f x 在3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增. 又()3224f f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,且30,?2,14π-都在区间3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦中, 且30214π<-<,故可得()()()021f f f <<. 故选:B .【题组五 奇偶性】1．（2020·全国高一课时练习）对于函数cos 22y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,下列命题正确的是（ ） A ．周期为2π的偶函数 B ．周期为2π的奇函数 C ．周期为π的偶函数 D ．周期为π的奇函数【正确答案】D【详细解析】因为函数cos 2sin22y x x π⎛⎫=-=⎪⎝⎭,2ππ2T ==,且sin2y x =是奇函数,故正确答案为D. 2．（2020·山西省长治市第二中学校高一期末（文））函数()3sin(2)3f x x πϕ=-+,()0,ϕπ∈为偶函数,则ϕ的值为______ 【正确答案】56π【详细解析】因为()3sin(2)3f x x πϕ=-+为偶函数,故y 轴为其图象的对称轴,所以20,32k k Z ππϕπ⨯-+=+∈,故5,6k k Z πϕπ=+∈,因为()0,ϕπ∈,故56πϕ=,故正确答案为:56π.3.下列函数不是奇函数的是 A ．y ＝sin x B ．y ＝sin 2x C ．y ＝sin x ＋2D ．y ＝12sin x【正确答案】C【详细解析】当x ＝π2时,y ＝sin π2＋2＝3,当x ＝－π2时,y ＝sin( －π2)＋2＝1,∴函数y ＝sin x ＋2是非奇非偶函数．4.（2019·陕西高一期末）若函数()[]()3cos 0,223x f x πϕϕπ+⎛⎫=+∈⎪⎝⎭的图像关于y 轴对称,则ϕ=（ ） A ．34πB ．32π C ．23π D ．43π 【正确答案】B【详细解析】∵函数f （x ）＝cos （323x πϕ++）＝sin 3x ϕ+ （φ∈[0,2π]）的图象关于y 轴对称,∴,32k k Zϕππ=+∈,由题知 φ32π=,故选:B ．【题组六 定义域】1．（2020·全国专题练习）函数y =的定义域是（ ）A ．{|22,}2x k x k k Z πππ≤≤+∈B ．{|,}2x k x k k Z πππ≤≤+∈C ．{|,}3x k x k k Z πππ≤≤+∈D ．{|,}33x k x k k Z ππππ-≤≤+∈【正确答案】D【详细解析】要使原函数有意义,则2210cos x +≥ ,即122cos x ≥-， 所以2222233k x k k Z ππππ-≤≤+∈，．解得:33k x k k Z ππππ-≤≤+∈，． 所以,原函数的定义域为{|}33x k x k k Z ππππ-≤≤+∈，． 故选D ． 2．（2020·内蒙古集宁一中高一期末（理））函数y =的定义域是（ ）A ．()2,266k k k Z ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦π-π+∈ B ．()22,333k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦C ．()2,233k k k Z 2π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ-π+∈ D ．()2,233k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【正确答案】C【详细解析】由2cos 10x +≥得:2222,33k x k k πππ-≤≤π+∈Z .所以函数y =()2,233k k k Z 2π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ-π+∈.故选:C. 3．（2020·全国高一课时练习）求函数f ( x )＝lgsin x的定义域 ．【正确答案】[4,)(0,)ππ--⋃【详细解析】由题意,要使f ( x )有意义,则2sin 0160x x >⎧⎨-≥⎩,由sin 0x >,得22,k x k k Z πππ<<+∈, 由2160x -≥,得44x -≤≤,所以4x π-≤<-或0πx <<所以函数f ( x )的定义域为[4,)(0,)ππ--⋃ 【题组七 值域】1．（2020·重庆高三其他（文））设函数()()cos 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦,则ω的取值范围为（ ） A ．24,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【正确答案】A【详细解析】因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以,3323x ππππωω⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦,所以0233πππω≤-≤,解得2433ω≤≤. 故选:A2．（2020·涡阳县第九中学高一月考）cos 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为( )A ．12⎡-⎢⎣⎦B ．12⎡⎢⎣⎦C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．⎤⎥⎣⎦【正确答案】C 【详细解析】102x π≤≤,663x πππ∴-≤-≤,1cos 126x π⎛⎫∴≤-≤ ⎪⎝⎭即112y ≤≤,故选C ．3．函数cos ,,62y x x ππ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦的值域是 ______. 【正确答案】[0,1]【详细解析】因为()cos f x x =在[,0]6π-上递增,在[0,]2π上递减,所以()cos f x x =有最大值()0cos01f ==,又因为0,06222f f ππ⎛⎫⎛⎫-==> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 所以()cos f x x =有最小值0,函数()cos ,,62f x x x ππ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦的值域是[]0,1.故正确答案为[]0,1. 4．（2020·上海市进才中学高一期末）函数3cos 2,0,32y x x ππ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的最小值为________.【正确答案】3-【详细解析】0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,42,333x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦,1cos 21,32y x π⎛⎫⎡⎤∴=+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦, 3cos 233y x π⎛⎫∴=+≥- ⎪⎝⎭所以函数的最小值为3-.故正确答案为:3-5．（2020·河南宛城·南阳中学高一月考）函数2()sin cos 2f x x x =+-的值域是________ 【正确答案】3[3,]4--【详细解析】22()sin cos 2cos cos 1f x x x x x =+-=-+-,设cos x t =,[]1,1t ∈-,则2213124y t t t ⎛⎫=-+-=--- ⎪⎝⎭, 当12t =时,函数有最大值为34-;当1t =-时,函数有最小值为3-.故函数值域为3[3,]4--.故正确答案为:3[3,]4--.6．（2020·永州市第四中学高一月考）设x ∈（0,π）,则f （x ）=cos 2x+sinx 的最大值是 ． 【正确答案】【详细解析】∵f （x ）=cos 2x+sinx=1﹣sin 2x+sinx=﹣+,故当sinx=时,函数f （x ）取得最大值为,故正确答案为． 7．（2020·河南林州一中高一月考）函数224sin 6cos 633y x x x ππ⎛⎫=+--≤≤ ⎪⎝⎭的值域________．【正确答案】16,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【详细解析】224sin 6cos 64(1cos )6cos 6y x x x x =+-=-+-22314cos 6cos 24(cos )44x x x =-+-=--+, 233x ππ-≤≤,1cos 12x ∴-≤≤ ,故231164(cos )444x -≤--+≤,故正确答案为:16,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 8．（2020·广东广州·期末）已知函数f ( x )=sin( ωx +ϕ)( ω>0)的图象相邻两对称轴间的距离等于4π,若∀x ∈R .f ( x )≤6f π⎛⎫ ⎪⎝⎭,则正数ϕ的最小值为（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【正确答案】D 【详细解析】依题意得24T π=,所以2T π=,所以22ππω=,所以4ω=, 又对∀x ∈R .f ( x )≤6f π⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以直线6x π=是函数()f x 的对称轴, 所以462k ππϕπ⨯+=+,k Z ∈,即6k ϕπ=π-,k Z ∈,又0ϕ>,所以1k =时,ϕ取得最小值56π.故选:D. 【题组八 正切函数性质】1．（2020·山东潍坊·高一期末）若函数()tan (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π,则（ ） A ．(2)(0)5f f f π⎛⎫>>- ⎪⎝⎭ B ．(0)(2)5f f f π⎛⎫>>-⎪⎝⎭ C ．(0)(2)5f f f π⎛⎫>-> ⎪⎝⎭D ．(0)(2)5f f f π⎛⎫->> ⎪⎝⎭ 【正确答案】C【详细解析】由题意,函数()tan (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π, 可得w ππ=,解得1w =,即()tan()4f x x π=+, 令,242k x k k Z πππππ-+<+<+∈,即3,44k x k k Z ππππ-+<<+∈,当1k =时,544x ππ<<,即函数()f x 在5(,)44ππ上单调递增, 又由4(0)(),()()()555f f f f f πππππ=-=-+=, 又由425ππ>>,所以(0)(2)5f f f π⎛⎫>-> ⎪⎝⎭.故选:C. 2．（2020·陕西渭滨·高一期末）函数tan(2)6y x π=-的一个对称中心是（ ） A ．(,0)12πB ．2(,0)3πC ．(,0)6πD ．(,0)3π【正确答案】AD【详细解析】因为tan()01266f πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭;24tan()tan 33663f ππππ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭;tan 663f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭;当3x π=时, 2362πππ⨯-=. 所以(,0)12π、(,0)3π是函数tan(2)6y x π=-的对称中心.故选:AD 3．（2019·伊美区第二中学高一月考）求函数tan 23x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭的定义域和单调区间． 【正确答案】定义域为{|2,}3x x k k Z ππ≠+∈,单调增区间为5{|22,}33x k x k k Z ππππ-<<+∈,无单调减区间. 【详细解析】令,232x k k Z πππ+≠+∈,解得2,3x k k Z ππ≠+∈, 故tan 23x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭的定义域为{|2,}3x x k k Z ππ≠+∈; 令,2232x k k k Z πππππ-<+<+∈,解得522,33k x k k Z ππππ-<<+∈, 故tan 23x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调增区间为5{|22,}33x k x k k Z ππππ-<<+∈, 该函数没有单调减区间.4．（2020·全国高一课时练习）求函数1tan 24π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭y x 的单调区间及最小正周期．【正确答案】32,222ππππ⎛⎫-++⎪⎝⎭k k k Z∈,2Tπ=【详细解析】因为11tan tan2424ππ⎛⎫⎛⎫=-+=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x,又12242πππππ-+<-<+k x k,k Z∈,解得32222ππππ-+<<+k x k,k Z∈,所以1tan24π⎛⎫=-+⎪⎝⎭y x的单调减区间为32,222ππππ⎛⎫-++⎪⎝⎭k k k Z∈.因为1tan24π⎛⎫=-+⎪⎝⎭y x,所以212ππ==-T.。
专题05 三角函数的图象及性质(原卷版)
专题05三角函数的图象及性质一、单选题1．（2022·江苏海安·高三期末）函数()cos()6f x x πω=+的部分图象如图，则下列选项中是其一条对称轴的是（ ）A ．724x π= B ．38x π= C ．512x π=D ．1124x π=【答案】C 【分析】由给定解析式及图象确定ω值的表达式，再逐项分析判断作答. 【详解】 依题意，点2(,0)3π是函数()cos()6f x x πω=+的图象对称中心，且2π3在函数()f x 的一个单调增区间内，则22,Z 362k k πππωπ+=-∈，即31k ω=-，Z k ∈， 令函数()f x 周期为T ，由图象知2233243T T ππ⎧<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，即有8493T ππ<<，而2T πω=，则有3924ω<<， 因此，393124k <-<，解得513612k <<，而Z k ∈，则1k =，2ω=，()cos(2)6f x x π=+， 由2,Z 6x n n ππ+=∈得函数()f x 图象的对称轴：,Z 212n x n ππ=-∈， 当0n =时，12x π=-，当1n =时，512x π=，当2n =时，1112π=x ，即选项A ，B ，D 不满足，选项C 满足.故选：C2．（2022·江苏海安·高三期末）通信卫星与经济发展、军事国防等密切关联，它在地球静止轨道上运行，地球静止轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为h km （轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球（球心为O ，半径为r km ），地球上一点A 的纬度是指OA 与赤道平面所成角的度数，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面，在点A 处放置一个仰角为θ的地面接收天线（仰角是天线对准卫星时，天线与水平面的夹角），若点A 的纬度为北纬30，则tan θ=（ ）A2rr h + B2rr h + C2hr h+ D2hr h+ 【答案】A 【分析】根据题意作出图形，由三角形的边角关系以及正弦定理结合同角三角函数基本关系、两角差的正弦公式即可求解. 【详解】如图：30AOB ∠=，CAD θ∠=，BC h =， 在Rt AOD 中3tan 303AD OA =⋅=，2cos303OA OD ==，所以BD OD OB r =-=-=，CD BC BD h =-=， 因为180903060ADO ∠=--=，所以18060120ADC ∠=-=，18012060ACD θθ∠=--=-，在ACD △中，由正弦定理可得：sin sin CD ADCAD ACD =∠∠即()33sin sin 60h θθ=-，所以1sin sin 2h θθθ⎛⎫-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, sin 2r hθθ+=，所以sin 2tan cos rr hθθθ==+， 故选：A.3．（2022·江苏如东·高三期末）正弦信号是频率成分最为单一的一种信号，因为这种信号的波形是数学上的正弦函数而得名，很多复杂的信号都可以通过多个正弦信号叠加得到，因而正弦信号在实际中作为典型信号或测试信号获得广泛应用.已知某个信号的波形可以表示为f (x )＝sin x ＋sin2x ＋sin3x .则（ ） A ．f (x )的最大值为3 B ．π是f (x )的一个周期 C ．f (x )的图像关于(π，0)对称 D ．f (x )在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增【答案】C 【分析】由函数解析式判断各选项中的性质可得． 【详解】sin y x =取最大值1时，22x k ππ=+，k Z ∈，sin 2y x =取最大值1时，,4x k k Z ππ=+∈，sin3y x =取最大值1时，2,36k x k Z ππ=+∈，三者不可能同时取得，因此sin sin 2sin 33y x x x =++<，A 错； ()sin()sin(22)sin(33)sin sin 2sin3f x x x x x x x ππππ+=+++++=-+-与()f x 不可能恒相等，π不可能是周期，B 错；()()()()()2sin 2πsin 42sin 63sin sin 2sin3f x x x x x x x f x πππ-=-+-+-=---=-，所以()f x 的图象关于点(,0)π对称，C 正确； 函数图象是连续的，而3sin sin sin0222f ππππ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，()sin sin sin ()66322f f πππππ=++=>，因此()f x 在(0,)2π上不可能递增，D 错误． 故选：C ．4．（2022·江苏如皋·高三期末）已知1sin 32πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．12B ．12-C D 【答案】B 【分析】利用诱导公式及二倍角的正弦公式即可求解. 【详解】1sin 32πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭2sin 2sin 2cos 212sin 63233πππππαααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+-=-+=--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦22112sin 121322πα⎛⎫⎛⎫=+-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：B5．（2022·江苏常州·高三期末）函数()sin 2tan f x x x =+的最小正周期是（ ）A ．π4B ．π2C ．πD ．2π【答案】C 【分析】分别判断函数sin 2y x =和tan y x =的最小正周期，从而可得出答案. 【详解】解：因为函数sin 2y x =的最小正周期为22ππ=，函数tan y x =的最小正周期为π， 且()()()()πsin2πtan πsin 22πtan sin2tan f x x x x x x x +=+++=++=+， πT ∴=.故选：C.6．（2022·广东揭阳·高三期末）已知函数()3sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则该函数的增区间为（ ）A ．()2,222k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦ZB ．()52,266k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z C ．()5,1212k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z D ．()7,1212k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z 【答案】C 【分析】利用整体代换法和复合函数的单调性求函数的增区间. 【详解】 令222232k x k πππππ-+≤+≤+，解得5,1212k x k k ππππ-+≤≤+∈Z ，所以函数的增区间是()5,1212k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z . 故选：C.7．（2022·广东潮州·高三期末）己知1cos 3x =，则sin(2)2x π+=（ ）A ．79-B ．79C ．89-D ．89【答案】A 【分析】利用诱导公式和二倍角公式化简计算. 【详解】解：217sin(2)cos 22cos 121299x x x π+==-=⨯-=-.故选：A8．（2022·广东东莞·高三期末）若π(0,)2α∈，212tan cos αα=，则tan α=（ ）A ．12B ．1C ．2D 【答案】B 【分析】根据22sin cos 1αα+=，和sin tan cos ααα=，即可得到22tan tan 1αα=+，进而求出结果. 【详解】因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 0α≠，所以222221sin cos tan 1cos cos ααααα+==+， 所以22tan tan 1αα=+，即()2tan 10α-=，所以tan 1α=， 故选：B.9．（2022·广东东莞·高三期末）已知函数()sin f x x =，()x x g x e e -=+，则下列结论正确的是（ ） A ．()()f x g x 是偶函数 B ．|()|()f x g x 是奇函数 C ．()|()|f x g x 是奇函数 D ．|()()|f x g x 是奇函数【答案】C 【分析】先以偶函数定义去判断选项A 的正误，再以奇函数的定义去判断选项B 、C 、D 的正误.选项A: ()()(e e )sin x x f x g x x -=+()()(e e )sin()(e e )sin ()()x x x x f x g x x x f x g x ----=+-=-+=-，是奇函数，判断错误；选项B: sin (e e )|())|(x xf x xg x -=+sin()(e e )sin (e e )|()|()()()x x x x f x g x f x x x g x ----=-++==,是偶函数，判断错误；选项C: ()|()|e e sin x xg x f x x -=+e e sin()e ()|()|()e sin ()x x x x x xf xg x f x g x --+-+=---==-， 是奇函数，判断正确；选项D: (e |()()e s |)in x xf xg x x -+=(e e )sin()(e e )si |()()||()n ()|x x x x x f x g x f x x g x --+---==+， 是偶函数，判断错误. 故选：C10．（2022·广东罗湖·高三期末）已知3sin 35πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则cos 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．45B ．45-C ．35D ．35【答案】D 【分析】利用三角函数诱导公式将所求式子转化后即可得出结论. 【详解】3sin 35πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，3cos cos sin 63235ππππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=+-=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：D.11．（2022·广东佛山·高三期末）已知1sin ,,0222ππαα⎛⎫⎛⎫+=∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan α等于（ ）A ．BC ．D 【答案】A利用诱导公式求出cos α，再用平方关系求出sin α即可计算作答. 【详解】因1sin 22πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则1cos 2α=，而,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，于是得sin α=所以sin tan cos ααα== 故选：A12．（2022·湖南常德·高三期末）已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（0A >，0>ω，2πϕ<）的部分图象如图所示，则下列四个结论中正确的是（ ）A ．若,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π，则函数f (x )的值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．点,03π⎛-⎫⎪⎝⎭是函数f （x ）图象的一个对称中心C ．函数f （x ）在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数D ．函数f （x ）的图象可以由函数cos 2y x =的图象向右平移12π个单位长度得到 【答案】A 【分析】结合五点法求得函数解析式，然后利用正弦函数性质确定单调性、对称中心、函数值域及三角函数图象变换判断即得． 【详解】由题图及五点作图法得1A =，512πωϕπ⋅+=，2332πωϕπ⋅+=， 则2ω=，6π=ϕ，故()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭.由,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π，得52,666x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，故()1sin 21,62f x x π⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，函数f (x )在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上不是增函数，故A 正确，C 错误；∵当3x π=-时，262x ππ+=-，所以点,03π⎛-⎫⎪⎝⎭不是函数f (x )图象的一个对称中心，故B 错误；由cos 2sin 22y x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，将函数cos 2y x =的图象向右平移12π个单位长度得到sin 2122y x ππ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，故D 错误.故选：A ．13．（2022·湖南娄底·高三期末）将函数()()cos 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()g x 在5,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则ω的最大值为（ ）A ．14B ．34C ．12D ．1【答案】B 【分析】求得()cos 44g x x ωππω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由5,44x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可求得4444x πωπππωωπ<-+<+，结合函数()g x 的单调性可得出关于ω的不等式，由此可得出ω的最大值. 【详解】将()f x 的图象向右平移4π个单位长度后得到()cos 44g x x ωππω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象. 因为5,44x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以4444x πωπππωωπ<-+<+， 因为()g x 在5,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以4πωππ+≤，304ω<≤，所以ω的最大值为34.故选：B.14．（2022·湖北武昌·高三期末）已知函数()y g x =的图象与函数sin 2y x =的图象关于直线x π=对称，将()g x 的图象向右平移3π个单位长度后得到函数()y f x =的图象，则函数()y f x =在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时的值域为（ ）A ．⎡⎢⎣⎦ B ．1⎡-⎢⎣⎦C ．1⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[]01，【答案】C 【分析】由对称性先求出()g x 的解析式，再由平移得出()y f x =的解析式，再由正弦函数的性质得出其值域. 【详解】设(),x y 为()g x 的图像上一点，则点(),x y 关于直线x π=对称的点为()2,x y π- 由题意点()2,x y π-在函数sin 2y x =的图象上，则()sin 22sin 2y x x π=-=-所以()sin 2g x x =-，则()2sin 2sin 233f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，223323,x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦-，则2sin 23x π⎡⎛⎫-∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦所以()1f x ≤≤ 故选：C15．（2022·湖北江岸·高三期末）计算)tan 70cos10201︒︒︒-=（ ）A ．1B ．﹣1C ．12D ．12-【答案】B 【分析】根据诱导公式、三角恒等变换、二倍角公式可得结果，尽可能地化简为同角的三角函数值 【详解】)))()tan 70cos10201cot 20cos10201cos 20cos101sin 20cos 20cos10sin 20cos1020cos 20sin 20cos102sin10sin 20sin 20sin 201︒︒︒-=︒︒︒-︒⎫=︒⎪︒⎭︒=︒︒⎝⎭︒=︒-︒︒︒=-︒︒-︒=︒=-故选：B16．（2022·湖北江岸·高三期末）下列四个函数中，以π为最小正周期，其在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减的是（ ）A ．sin y x =B ．sin y x =C ．cos 2y x =D ．sin 2y x =【答案】A 【分析】对于A ，sin y x =符合题中要求，对于B, sin y x =不是周期函数，对于C ，D ，sin 2y x =,cos 2y x =在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上都不是单调函数，由此可判断正确答案. 【详解】sin y x =的最小正周期为π，在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，符合题意，故A 正确；sin y x =不是周期函数，故B 错误；cos 2y x =中，,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2π,2πx，故cos 2y x =中在,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时不是单调函数，故C 错误；sin 2y x =,,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2π,2πx，故sin 2y x =中在,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时不是单调函数，故D 错误，故选：A.17．（2022·湖北襄阳·高三期末）已知tan 226θπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 3πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．35B ．35 C ．45D ．45-【答案】B 【分析】利用倍角公式可得cos 3πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭22cos sin 2626θπθπ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再利用弦化切，即求.【详解】∵tan 226θπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,∴cos 3πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭22cos 2cos sin 262626θπθπθπ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222cos sin 2626cos sin 2626θπθπθπθπ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭221tan 1426141tan 26θπθπ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭==+⎛⎫+- ⎪⎝⎭35=-.18．（2022·湖北省鄂州高中高三期末）已知tan 2θ=-，则sin sin cos θθθ=+（ ）A ．2B ．12-C ．12D ．2-【答案】A 【分析】以齐次式法去求值即可解决. 【详解】sin sin tan 2cos 2sin cos sin cos tan 121cos cos θθθθθθθθθθθ-====++-++ 故选：A19．（2022·湖北·高三期末）若点55sin ,cos 66M ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭在角α的终边上，则cos2=α（ ）A ．12-B ．12C． D【答案】A 【分析】先将点55sin ,cos 66M ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭化简，得1,2M ⎛ ⎝⎭，结合同角三角函数先求出cos α，再结合二倍角公式求出cos2α即可【详解】 由55sin ,cos66M ππ⎛⎫⎪⎝⎭得1,2M ⎛ ⎝⎭， 则1cos 2α=，21cos22cos 12αα=-=-.故选：A.20．（2022·山东省淄博实验中学高三期末）已知函数()() 2sin 10,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭，()1f α=-，()3f β=，若αβ-的最小值为32π，且的图像关于点,14π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，则函数()f x 的所有对称轴中，离原点最近的对称轴方程是（ ） A ．34x π=-B ．2x π=-C ．12x π=D ．4x π=【分析】根据题意分别求出ω与ϕ，即求出()f x 的解析式，再求出()f x 的对称轴，找到离原点最近的对称轴方程即可. 【详解】由()1f α=-，()3f β=，αβ-的最小值为32π知， 3T π=，223T πω==， ()22sin 13f x x ϕ⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭.()f x 的图像关于点,14π⎛⎫⎪⎝⎭对称， 2()2sin()11sin()04346f πππϕϕ∴=⨯++=⇒+=2πϕ<6πϕ∴=-.()22sin 136f x x π⎛⎫∴=-+ ⎪⎝⎭.()f x 的对称轴为2=,362x k k z πππ-+∈.3,2x k k z ππ⇒=+∈.当1k =-时，2x π=-是离原点最近的对称轴方程. 故选：B.21．（2022·山东青岛·高三期末）已知角α的终边上一点P 的坐标为55sin ,cos 66ππ⎛⎫⎪⎝⎭，则角α的最小正值为（ ） A ．6πB ．23π C ．76π D ．53π 【答案】D 【分析】先根据角α终边上点的坐标判断出角α的终边所在象限，然后根据三角函数的定义即可求出角α的最小正值． 【详解】 因为5sin06π>，5cos 06π<，所以角α的终边在第四象限， 根据三角函数的定义，可知5sin cos6πα==， 故角α的最小正值为5233ππαπ=-=． 故选：D ．22．（2022·山东枣庄·高三期末）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为120°的扇形，则该圆锥的体积为（ ）．A．2πB ．CD ．π【答案】C 【分析】设此圆锥的底面半径为r ，高为h ，母线长为l ，根据底面圆周长等于展开扇形的弧长，建立关系式解出r ，再根据勾股定理，即可求出此圆锥高，进而求得体积. 【详解】设此圆的底面半径为r ，高为h ，母线长为l ， ∵圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为23π的扇形， ∴3l =，又2223r l πππ=⨯=，解得1r =，因此，此圆锥的高h =圆锥的体积为21133V r h ππ==⨯ 故选：C ．23．（2022·山东枣庄·高三期末）已知30.4tan 1,tan0.1,a b c πππ⎛⎫=+-== ⎪⎝⎭，则（ ）．A ．b c a <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．a b c <<【答案】D 【分析】 由3010.12ππ<-<<，得到3tan(1)tan0.1π-<，令()tan f x x x =-，利用导数求得()f x 在(0,1)上单调递增，得到()0f x >，得出tan ,(0,1)x x x >∈，进而得到b c < ，即可求解. 【详解】因为3010.12ππ<-<<，且tan y x =在(0,)2π为单调递增函数， 所以33tan(1)tan(1)tan0.1πππ+-=-<，即a b <，令()tan ,(0,1)f x x x x =-∈，可得()211cos f x x'=-， 当(0,1)x ∈时，21cos y x=单调递减，所以()f x '在(0,1)单调递增，且()00f '=， 所以()0f x '>在(0,1)上恒成立，所以()f x 在(0,1)上单调递增，且()00f =， 所以()0f x >，即tan 0x x ->，即tan ,(0,1)x x x >∈，所以0.1tan0.1>， 又因为0.40.1c π=>，所以a b c <<.故选：D.24．（2022·山东枣庄·高三期末）已知sin 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则4cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）． A ．59- B ．59 C ．13- D ．13【答案】A 【分析】利用三角恒等变换公式化简求值得解. 【详解】解：2cos 2cos(2)cos(2)[12sin ()]3336πππππαααα⎛⎫-+-=--=--=--- ⎪⎝⎭25(12)99=--⋅=-.故选：A25．（2022·山东枣庄·高三期末）θ为第三或第四象限角的充要条件是（ ）． A ．sin 0<θ B ．cos 0<θC ．sin tan 0θθ<D ．cos tan 0θθ<【答案】D 【分析】第三或第四象限角，不含终边在y 轴负半轴. 【详解】对于A ：第三或第四象限角，以及终边在y 轴负半轴，故A 错误； 对于B ：第二或第三象限角，以及终边在x 轴负半轴，故B 错误； 对于C ：第二或第三象限角，故C 错误； 对于D ：第三或第四象限角，故D 正确.故选：D26．（2022·山东莱西·高三期末）要得到cos 34y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将sin3y x =的图象（ ）A ．向左平行移动4π个单位长度 B ．向右平行移动12π个单位长度 C ．向右平行移动712π个单位长度D ．向左平行移动512π个单位长度 【答案】C 【分析】首先利用诱导公式统一函数名，即3sin 3cos 32y x x π⎛⎫==+⎪⎝⎭，然后根据平移变换即可求解. 【详解】解：因为函数37sin3cos 3cos 32124y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以要得到cos 34y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将sin3y x =的图象向右平行移动712π个单位长度，故选：C.27．（2022·山东青岛·高三期末）已知04παβ<<<，则下列大小关系中正确的是（ ）A ．cos cos (sin )(sin )αβαα>B ．sin sin log cos log cos αααβ>C ．sin sin (cos )(cos )αβαβ>D ．sin cos (cos )(sin )ββαα< 【答案】C 【分析】A.构造函数()sin xy α=，利用其单调性比较大小； B.构造函数sin log y x α=，利用其单调性比较大小；C.构造函数()cos xy α=及函数sin y x β=，利用其单调性比较大小；D.将sin cos (cos )(sin )ββαα<转化为cos tan log sin αβα>，判断cos tan ,log sin αβα的大小关系即可. 【详解】04παβ<<<，则0sin cos 1αα<<<，且cos cos αβ>，sin sin αβ<A.因为函数()sin xy α=在R 上单调递减，故cos cos sin sin αβαα<，A 错误；B.因为函数sin log y x α=在()0,∞+上单调递减，故sin sin log cos log cos αααβ<，B 错误；C.因为函数()cos xy α=在R 上单调递减，函数sin y x β=在()0,∞+上单调递增，sin sin sin (cos )(cos )(cos )αββααβ>>，C 正确；D.sin cos sin ln (cos )(sin )(cos )cos ln(sin )ββαααβαβ⇔<<cos ln(sin )tan log sin cos (c sin l s )n o αααβαββ⇔>⇔> 04πβ<<，0tan 1β∴<<又cos cos log sin log cos 1αααα>=，cos tan log sin αβα∴<，D 错误； 故选：C.28．（2022·山东德州·高三期末）若函数()cos f x x x ωω-，0>ω，x ∈R ，又()12f x =，()20f x =，且12x x -的最小值为3π8，则ω的值为（ ）A ．43B ．83C ．4D ．163【答案】A 【分析】利用辅助角公式化简函数()y f x =的解析式，由12x x -的最小值为函数()y f x =的最小正周期的14，可求得函数()y f x =的最小正周期，进而可求得正数ω的值. 【详解】()()cos 2sin 06πωωωω⎛⎫=-=-> ⎪⎝⎭f x x x x ，所以()22sin 26πω⎛⎫-≤=-≤ ⎪⎝⎭f x x ，因为12x x -的最小值为函数()y f x =的最小正周期的14，所以，函数()y f x =的最小正周期为33482ππ=⨯=T ， 因此，222433ππωπ⨯===T . 故选：A29．（2022·山东济南·高三期末）已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则（ ）A ．()2sin 32f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()2sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．()12sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】A 【分析】由函数()()sin f x A x ωϕ=+的部分图象，即可求出,,A ωϕ的值，即可求出结果． 【详解】由图象可知，327=4126πππω⎛⎫⨯-- ⎪⎝⎭，所以2ω=， 又()f x 过点7,212π⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以2A =，且772sin 221212f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭即7sin 16πϕ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，所以73=2,62k k ππϕπ++∈Z ，即=2,3k k πϕπ+∈Z ， 又2πϕ<，所以=3πϕ，所以()2sin 32f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.故选：A.30．（2022·山东临沂·高三期末）已知πsin (,π)2αα=∈，则cos()6πα-=（ ）A ．-1B ．0C ．12D 【答案】B 【分析】先根据πsin (,π)2αα=∈求出2π3α=，进而求出πcos()6α-∵πsin (,π)2αα=∈，∴2π3α=，故ππcos()cos 0.62α-== 故选：B31．（2022·河北深州市中学高三期末）函数()2sin 1x f x x x =++在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D 【分析】利用函数的奇偶性排除部分选项，再由函数的值域判断. 【详解】∵()()f x f x -=，∴()f x 为偶函数，故排除A ，B ．∵sin 1x ≤，211x x ++≥，∴()1f x <，故排除C ， 故选：D ．32．（2022·河北深州市中学高三期末）235cos sinsin 242412πππ=（ ）A ．116BC ．18D【分析】利用诱导公式及二倍角的正弦公式计算可得； 【详解】 解：235cos sinsin cos sin sin 2424122424212ππππππππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 111cossincossin cos sin 24241221212468ππππππ====． 故选：C33．（2022·河北唐山·高三期末）为了得到函数sin 2y x =的图像，只需把函数sin 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像（ ）A ．向左平移2π个单位 B ．向右平移2π个单位 C ．向左平移4π个单位 D ．向右移4π个单位 【答案】D 【分析】先对函数sin 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的解析式进行整理，再结合三角函数的平移规律即可得到结论．【详解】因为：sin 2sin 224y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以：函数sin 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位，可得到函数sin 2y x =的图象． 故选:D.34．（2022·河北保定·高三期末）已知函数()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为2πB ．()510log 42f <<C ．()f x 的图象关于点,03π⎛-⎫⎪⎝⎭对称D ．()451log log 23f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭【答案】D根据三角函数的周期性定义和三角函数的对称性的概念，即可判断选项A ，C 是否正确；当02x π<<时，易得1()f x ⎤⎥⎝⎦∈，再根据50log 412π<<<，即可判断B 是否正确；由函数sin y x =的单调性，可知()f x 在,36ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，再根据4511log log 232613ππ-<<<<-<，由单调性新即可判断D 是否正确. 【详解】因为函数()()sin =sin =sin =333f x x x x f x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()f x 的最小正周期为π，故A 错误； 当02x π<<时，5,336x πππ⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1sin ,132x π⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，所以()1,12f x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，而50log 412π<<<，所以()51log 412f <<，故B 错误； 若()f x 的图象关于点,03π⎛-⎫⎪⎝⎭对称，则()23f x f x π⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭， 又22sin =sin 3333f x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，()sin =sin =sin 333f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=--+----- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以()23f x f x π⎛⎫-≠-- ⎪⎝⎭，故C 错误；由于函数sin y x =的图象是将函数sin y x =在x 轴下方的图象翻折到x 轴上方，所以可知sin y x =在,,2k k k πππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭Z 上单调递增， 令,32k x k k ππππ<+<+∈Z ，所以()f x 在区间,,36k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z 上单调递增，所以()f x 在,36ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，又44511log 3log log 123263ππ<-=<<<<--，所以()451log log 23f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，故D 正确.故选：D.35．（2022·山东淄博·高三期末）cos102cos102sin10-=（ ）ABCD ．2【答案】A 【分析】利用二倍角的正弦公式以及两角差的正弦公式化简可得结果. 【详解】()cos102sin 3010cos10cos104sin10cos10cos102sin 202cos102sin102sin102sin102sin10-----===()cos10cos103sin1032sin10--==.故选：A.36．（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）已知11tan ,tan ,37αβ==-且,(0,)αβπ∈，则2αβ-=（ ）A ．4πB ．4π-C ．34π-D ．34π-或4π 【答案】C 【分析】根据给定条件利用三角恒等变换求出tan 2()αβ-的值，再判断2αβ-的范围即可得解. 【详解】因11tan ,tan 37αβ==-，则22122tan 33tan 211tan 41()3ααα⨯===--， 31()tan 2tan 47tan(2)1311tan 2tan 1()47αβαβαβ----===++⨯-， 因,(0,)αβπ∈，tan 0,tan 0αβ><，则0,22ππαβπ<<<<，又tan 20α>，有022πα<<，于是得20παβ-<-<，因此，324παβ-=-， 所以324παβ-=-. 故选：C37．（2022·湖南常德·高三期末）若1tan 5α=，则cos2α的值为（ ） A ．1213-B ．126-C ．1213D ．2526【答案】C 【分析】根据二倍角公式以及商数关系即可求出． 【详解】2222222211cos sin 1tan 125cos 2cos sin 1tan 13115ααααααα⎛⎫- ⎪--⎝⎭====++⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 故选：C ．38．（2022·江苏扬州·高三期末）已知ππsin 136αα⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos2=α（ ）A．B ．12CD【答案】B 【分析】化简已知条件，求得sin α，进而求得cos2α. 【详解】由题意可知，11sin cos 122αααα⎫-=⎪⎪⎭， 即2sin 1α=，解得1sin 2α=， 所以2211cos 212sin 1222αα⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭.故选：B二、多选题39．（2022·江苏扬州·高三期末）已知函数()cos f x x x ωω+(ω>0)，下列说法中正确的有（ ）A ．若ω=1，则f (x )在(0,)2π上是单调增函数B ．若()()66f x f x ππ+=-，则正整数ω的最小值为2C ．若ω=2，则把函数y =f (x )的图象向右平移6π个单位长度，所得到的图象关于原点对称 D ．若f (x )在(0,)π上有且仅有3个零点，则1723<66ω≤ 【答案】BD 【分析】化简函数f (x )的表达式，再逐一分析各个选项中的条件，计算判断作答. 【详解】依题意，()2sin()6f x x πω=+，对于A ，1ω=，()2sin()6f x x π=+，当(0,)2x π∈时，有2(,)663x πππ+∈，因sin y x =在2(,)63ππ上不单调，所以()2sin()6f x x π=+在(0,)2π上不单调，A 不正确；对于B ，因()()66f x f x ππ+=-，则6x π=是函数()f x 图象的一条对称轴，,Z 662k k πππωπ+=+∈，整理得62k ω=+，而0>ω，即有N k *∈，min 2ω=，B 正确；对于C ，2ω=，()2sin(2)6f x x π=+，依题意，函数()2sin[2()]2sin(2)6666y f x x x ππππ=-=-+=-，这个函数不是奇函数，其图象关于原点不对称，C 不正确； 对于D ，当(0,)x π∈时，(,)666x πππωωπ+∈+，依题意，3<46ππωππ+≤，解得1723<66ω≤，D 正确.故选：BD40．（2022·江苏通州·高三期末）已知函数()3sin 2f x A x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(A ＞0，0＜φ＜π)的图象如图所示，则（ ）A ．π4ϕ=B ．π6f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭是偶函数C ．当ππ,3x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，f (x )的最大值为1D ．若()()()12122f x f x x x ⋅=≠，则12x x +的最小值为π【答案】AC 【分析】根据图象求得,A ϕ，根据三角函数的奇偶性、最值等知识对选项逐一分析，从而确定正确选项. 【详解】由图可知()35π5π3πsin 12ππ264240π0πk k Z ϕϕϕϕϕ⎧⎛⎫⎧⨯+=-+=+⎪⎪ ⎪⇒∈⇒=⎝⎭⎨⎨⎪⎪<<<<⎩⎩，A 选项正确. ()3πsin 24f x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()π0sin14f A A ==⇒= 所以()3π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.π3ππ362642f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦为奇函数，B 选项错误.π33π53πππ,π,π32224244x x x -≤≤--≤≤--≤+≤-，3π3π1sin 124224x x ⎛⎫⎛⎫-≤+≤+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，C 选项正确.()3π24f x x ⎛⎫⎡=+∈ ⎪⎣⎝⎭， 若()()()12122f x f x x x ⋅=≠，则11223ππ3ππ2π,2π242242x k x k +=++=+，12,Z k k ∈，11224π4ππ,π3636x k x k =+=+，12,Z k k ∈， 12124π4πππ3636x x k k +=+++()124ππ33k k =++， 当120k k +=时，12x x +取得最小值为π3，D 选项错误.故选：AC41．（2022·江苏宿迁·高三期末）将函数()()sin f x A x ωϕ=+的图象向左平移6π个单位长度后得到()y g x =的图象如图，则（ ）A ．()f x 为奇函数B ．()f x 在区间,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C ．方程()1f x =在()0,2π内有4个实数根D ．()f x 的解析式可以是()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】BC 【分析】利用图象可求得函数()g x 的解析式，利用函数图象平移可求得函数()f x 的解析式，可判断D 选项；计算()0f 可判断A 选项；利用正弦型函数的单调性可判断B 选项；当()0,2x π∈时，求出方程()1f x =对应的223x π-可能取值，可判断C 选项. 【详解】由图可知，函数()g x 的最小正周期为453123T πππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，22Tπω∴==，()max 2A g x ==， 所以，()()2sin 2g x x ϕ=+，则552sin 2126g ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得5sin 16⎛⎫+= ⎪⎝⎭πϕ， 所以，()52Z 62k k ππϕπ+=+∈，得()2Z 3k k πϕπ=-∈， 因为2πϕ<，则3πϕ=-，所以，()2sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将函数()g x 的图象向右平移6π个单位可得到函数()f x 的图象，故()22sin 22sin 2633f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.对于A 选项，因为()202sin 03f π⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭，故函数()f x 不是奇函数，A 错；对于B 选项，当63x ππ<<时，22033x ππ-<-<，故函数()f x 在区间,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，B 对；对于C 选项，由()22sin 213f x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，可得21sin 232x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 当()0,2x π∈时，22102333x πππ-<-<，所以，2513172,,,36666x πππππ⎧⎫-∈⎨⎬⎩⎭，C 对； 对于D 选项，()22sin 22sin 233f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，D 错.故选：BC.42．（2022·江苏如皋·高三期末）已知函数2cos sin cos 1()()f x x x x =+-，则下列说法正确的是（ ）A ．5()()8f x f π≥B ．()()88f x f x ππ+=-C ．()()088f x f x ππ++-=D ．()1)(2f f >【答案】ABD 【分析】根据给定条件利用二倍角公式、辅助角公式化简函数()f x ，再逐项分析判断作答. 【详解】依题意，2()2sin cos 2cos 1sin 2cos2)4f x x x x x x x π=+-=++，对于A ，553())8842f ππππ=⨯+==min ()f x = 即R x ∀∈，5()()8f x f π≥，A 正确；对于B ，()sin(2)282f x x x ππ+=+=，()2)82f x x ππ-=-2x =，即()()88f x f x ππ+=-，B 正确；对于C ，取8x π=，()()()(0)20884f x f x f f πππ++-=+=≠，C 不正确；对于D ，因3244πππ<+<，34224πππ<+<，则10))2((f f >>，D 正确. 故选：ABD43．（2022·广东潮州·高三期末）已知函数()sin cos (*)n n f x x x n N =+∈，则（ ） A ．对任意正奇数n ，f (x )为奇函数B ．当n =3时，f (x )在[0，2π]上的最小值为2C ．当n =4时，f (x )的单调递增区间是[,]()4Z k k k πππ-+∈D ．对任意正整数n ，f (x )的图象都关于直线4x π=对称【答案】BD 【分析】通过判断(0)f 的值，判断A 的正误；利用函数的导数判断函数的单调性，求解最大值，判断B 的正误；求出函数的单调增区间判断C 的正误；判断()()2f x f x π-=，判断D 的正误．【详解】解：对于A ，取1n =，则()sin cos f x x x =+，从而(0)10f =≠，此时()f x 不是奇函数，则A 错误； 对于B ，当3n =时，22()3sin cos 3cos sin 3sin cos (sin cos )f x x x x x x x x x '=-=-，当x [0,)4π∈时，()0f x '<；当(,]42x ππ∈时，()0f x '>．所以()f x 在[0,)4π上单调递减，在(,]42ππ上单调递增，所以()f x 的最小值为33()4f π=+=B 正确；对于C ，当4n =时，4422222211cos413()sin cos (sin cos )2sin cos 1sin 21cos42444x f x x x x x x x x x -=+=+-=-=-=+， 令242k x k πππ-+≤≤，则4,442k k x k Z πππ-+≤≤∈， 所以()f x 的递增区间为[,]()422k k k Z πππ-+∈，则C 错误；对于D ，因为()sin ()cos ()cos sin ()222n n n n f x x x x x f x πππ-=-+-=+=，所以()f x 的图象关于直线4x π=对称，则D 正确； 故选：BD.44．（2022·广东东莞·高三期末）已知函数()sin cos f x a x b x =+，若()0f x ∈R 都有()3f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ）A ．()s 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()6πf x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()f x 的图象向左平移 6π个单位后，图象关于原点对称D ．()f x 的图象向右平移2 3π个单位后，图象关于y 轴对称 【答案】BD 【分析】先根据条件()0f =b 值，根据()3f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭可知3f π⎛⎫⎪⎝⎭为函数最大值，据此列出关于a 的方程，求出a 值，得到函数f(x)的解析式，结合辅助角公式和诱导公式，可判断A 、B 的正误，再根据三角函数图象的变换规律，可判断B 、D 的正误. 【详解】()sin cos ,(0)f x a x b x f =+=，b ∴=，又对任意x ∈R 都有()3f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，则()3f π为()f x 的最大值，()3f π∴== ，整理得：2(3)0a -= ，则3a = ，所以()3sin ))63f x x x x x ππ==+=- ，因此A 选项错误，B 正确；()f x 的图象向左平移6π个单位后得到的图象对应的函数解析式为：()))663g x x x πππ=++=+ ，该函数图象不关于原点对称，故C 错误；()f x 的图象向右平移23π个单位后，得到函数2())63x x x ππϕ=+-=- 的图象， 该图象关于y 轴对称，故D 正确， 故选：BD45．（2022·广东汕尾·高三期末）设函数1,0()cos ,0x xx f x e x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩，下列四个结论中正确的是（ ）A ．函数()f x 在区间[),1π-上单调递增B ．函数()y f x x =-有且只有两个零点C ．函数()f x 的值域是[]1,1-D ．对任意两个不相等正实数12,x x ，若12()()f x f x =，则122x x +> 【答案】CD 【分析】利用导数判断0x >时，()y f x =的单调性，根据单调性可求值域，然后结合0x ≤时，()cos f x x =，从而可判断选项A ，C ；首先利用导数判断0x ≤时，()()cos g x f x x x x =-=-的零点个数；然后再利用单调性判断0x >时，()1()ex x g x f x x x -=-=-的零点个数，从而可判断选项B ；不妨设1201x x <<<，根据题意把要证明122x x +>，转化为证明()()112f x f x ->；然后构造函数112()(01)ee x xxxx x ϕ---=-<<，利用导数判断函数的单调性即可证明，从而判断选项D. 【详解】 当0x >时，1()e x x f x -=，所以()11211e e 1()e e x x x x x x f x -----='-=，所以当01x <<时，()0,()f x y f x '>=在(0,1)单调递增， 当1x >时，()0,()f x y f x '<=在(1,)+∞单调递减， 故0x >时，0()(1)1f x f <≤=，又当0x ≤时，()cos f x x =，所以(0)1f =，1()1f x -≤≤， 所以函数()f x 在[,0),(0,1)π-单调递增，所以A 错误，C 正确； 当0x ≤时，令()()cos g x f x x x x =-=-，则()sin 10g x x =-'-≤， 所以()cos g x x x =-在(,0]-∞单调递减，所以当0x ≤时，()(0)1g x g ≥=， 所以函数()y f x x =-在(,0]-∞上没有零点； 当0x >时，()1()ex x g x f x x x -=-=-，所以只需求函数11()1e x h x -=-在(0,)+∞上零点个数，又因为11()1ex h x -=-在(0,)+∞上单调递减，且111(1)10e h -=-=， 所以函数()y f x x =-在(0,)+∞上只有一个零点． 所以函数()y f x x =-有且仅有一个零点，所以B 错误；当0x >时，若()()12f x f x =，因为函数()f x 在(0,1)单调递增，在()1,+∞单调递减， 所以不妨设1201x x <<<，则1122x <-<，所以要证122x x +>，只需证122x x -<，即只需证()()122f x f x ->， 又因为()()12f x f x =，所以只需证()()112f x f x ->.因为()()111111111112111222x x x x x x x x f x f x ee e e ---------=-=-， 所以令函数112()(01)ee x xx xx x ϕ---=-<<， 则()22111(1)e e 11()0e e e xx x x x x x x ϕ--+----=-'=>，所以112()e e x xx xx ϕ---=-在(0,1)单调递增，所以1111121()(1)0e e x ϕϕ---<=-=， 即112()0(01)ee x xxxx x ϕ---=-<<<恒成立，所以1()0x ϕ<， 即()()11111111220x x x x f x f x e e -----=-<，所以()()112f x f x ->， 从而122x x +>成立. 所以选项D 正确. 故选：CD.46．（2022·广东清远·高三期末）将函数1cos (0)6⎛⎫=+> ⎪⎝⎭y x πωω图象上所有的点向右平移6π个单位长度后，得到函数2cos(2)||2⎛⎫=+< ⎪⎝⎭y x πϕϕ的图象，若函数12()f x y y =+，则（ ）A ．()f x 的最小值是B ．()f x 的图象关于直线4x π=对称C ．()f x 的最小正周期是πD ．()f x 的单调递增区间是,()2k k k πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦Z【答案】ACD 【分析】根据题意先求出2y ，进而求出()f x ，然后通过两角和与差的余弦公式进行化简，最后结合三角函数值的图象和性质求得答案. 【详解】由题意知，12cos 2,cos 2cos 26666⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦y x y x x ππππ，则11()cos 2cos 2cos 2sin 2cos 2sin 26622f x x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++-=⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2x =，()f x 的最小值是π，故A ，C 正确；令2()x k k π=∈Z ，得()2k x k π=∈Z ，若24k ππ=，则12=∉Z k ，故B 错误；令222()-≤≤∈Z k x k k πππ，得()2-≤≤∈Z k x k k πππ，即()f x 的单调递增区间是,()2k k k πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦Z ，故D 正确． 故选：ACD.47．（2022·广东汕尾·高三期末）以下关于函数()sin 22f x x x =的命题，正确的是（ ） A ．函数()y f x =的最小正周期为πB ．点,012π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()y f x =图象的一个对称中心C ．直线3x π=的函数()y f x =图象的一条对称轴D ．将函数()y f x =的图象向右平移6π个单位后得到的函数的图象关于原点对称 【答案】AD 【分析】整理可得2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，代入周期公式，可判断A 的正误，根据212f π⎛⎫= ⎪⎝⎭可判断B 的正误，根据03f π⎛⎫= ⎪⎝⎭可判断C 的正误，求得平移后的解析式，可判断D 的正误，即可得答案. 【详解】由题意得()sin 222sin 23f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以最小正周期22T ππ==，所以A 对． 2sin 2212123πππf ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以直线12x π=是函数()f x 图象的一条对称轴，所以B 错．2sin 20333πππf ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心，所以C 错．将函数2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位后得到的图象对应的函数为2sin 22sin 263y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，是奇函数，所以D 对．故选：AD ．48．（2022·广东·铁一中学高三期末）将函数()()πcos 02f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象向右平移π2个单位长度后得到函数()g x 的图象，且()01g =-，则下列说法正确的是（ ） A ．()g x 为奇函数 B ．π02g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭。
(完整word版)三角函数图像与性质试题及配套答案
xO y1 2 3三角函数测试题一、选择题1、函数)32sin(2π+=x y 的图象（ ）A ．关于原点对称B ．关于点(－6π,0)对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线x=6π对称 2、函数sin(),2y x x R π=+∈是 （ )A ．[,]22ππ-上是增函数 B ．[0,]π上是减函数C ．[,0]π-上是减函数D ．[,]ππ-上是减函数 3、如图，曲线对应的函数是 ( ） A ．y=｜sin x | B ．y=sin ｜x ｜C ．y=－sin ｜x |D ．y=－|sin x |4.下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3x π=对称的( ）. A 。
)62sin(+=x y B.sin()26x y π=+ C.sin(2)6y x π=- D.sin(2)3y x π=-5.函数)sin(ϕω+=x y 的部分图象如右图,则ω，ϕ可以取的一组值是（ )。
A 。
,24ωϕππ== B.,36ωϕππ==C.5,44ωϕππ==D.,44ωϕππ==6。
要得到3sin(2)4y x π=+的图象，只需将x y 2sin 3=的图象（ ）.A.向左平移4π个单位B.向右平移4π个单位C 。
向左平移8π个单位 D.向右平移8π个单位7。
设tan()2απ+=，则sin()cos()sin()cos()αααα-π+π-=π+-π+（ ）.A.3 B 。
13C 。
1D 。
1- 8。
A 为三角形ABC 的一个内角，若12sin cos 25A A +=，则这个三角形的形状为（ ）.A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形9.定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数,若)(x f 的最小正周期是π，且当[0,]2x π∈时，x x f sin )(=,则5()3f π的值为（ ）.A.21-B.23 C.23-D 。
2110.函数2cos 1y x =+的定义域是( )。
5.4 三角函数的图象和性质(解析版)
5.4 三角函数的图象和性质1. 用“五点法”作三角函数的图象；2. 利用图象变换作三角函数的图象；3. 利用正、余弦函数的图象解三角不等式；4. 利用正弦函数、余弦函数图象判断方程根的个数；5. 求三角函数的周期；6. 三角函数奇偶性的判断；7. 三角函数奇偶性与周期性的综合运用；8. 求三角函数的单调区间；9. 三角函数对称轴、对称中心；10. 与三角函数有关的函数的值域(或最值)的求解问题；11. 求定义域；12.三角函数的图像和性质的综合应用.一、单选题1．（浙北四校2019届高三12月模拟）若函数f (x )=cos (π2+2x)，x ∈R ，则f (x )是（ ） A ． 最小正周期为π为奇函数 B ． 最小正周期为π为偶函数 C ． 最小正周期为π2为奇函数 D ． 最小正周期为π2为偶函数 【答案】A 【解析】∵cos (π2+2x)=-sin2x ， ∴f（x ）=-sin2x ，可得f （x ）是奇函数，最小正周期T=2π2=π 故选：A ．2．（2020·永州市第四中学高一月考）函数1sin y x =-，[]0,2x π∈的大致图像是（ ）A ．B ．主要命题方向配套提升训练C ．D ．【答案】B 【解析】当0x =时，1y =；当2x π=时，0y =；当πx =时，1y =；当3π2x =时，2y =；当2x π=时，1y =.结合正弦函数的图像可知B 正确. 故选B.3．（2020·全国高三课时练习（理））已知函数()1cos 2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x 在[]0,2π上的零点的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】由下图可得()f x 在[]0,2π上的零点的个数为3，故选C.4．（2020·河南濮阳�高一期末（文））下列函数中，为偶函数的是（ ） A ．()21y x =+ B ．2x y -=C ．sin y x =D ．()()lg 1lg 1y x x =++-【答案】C 【解析】对于A,函数关于1x =-对称，函数为非奇非偶函数，故A 错误； 对于B,函数为减函数，不具备对称性，不是偶函数，故B 错误；对于C,()()()sin sin sin f x x x x f x -=-==-=，则函数()f x 是偶函数，满足条件，故C 正确；对于D,由1010x x +>⎧⎨->⎩得11x x >-⎧⎨>⎩得1x >，函数的定义为()1,+∞，定义域关于原点不对称，为非奇非偶函数，故D 错误. 故选：C.5．（2020·河南信阳�高一期末）估计cos2020︒的大小属于区间（ ）A ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．22⎛ ⎝⎭【答案】B 【解析】cos 2020cos(5360220)cos 220cos(18040)cos 40︒=⨯︒+︒=︒=︒+︒=-︒，因为cos y x =在(0,90)︒上递减，且304045︒<︒<︒， 所以cos30cos40cos45︒>︒>︒，cos 40>︒>，所以cos 4022-<-︒<-所以cos 2020<︒< 故选：B6．（2020·辽宁大连�高一期末）函数()cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像的一条对称轴方程为（） A ．6x π=B ．512x π=C ．23x π=D ．23x π=-【答案】B 【解析】函数()cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭令()26x k k ππ+=∈Z ，则,212k x k ππ=-∈Z ， 当1k =时，512x π=，故选B .7．（2020·海南枫叶国际学校高一期中）函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）A ．13(,),44k k k Z ππ-+∈ B ．13(2,2),44k k k Z ππ-+∈ C ．13(,),44k k k Z -+∈D ．13(2,2),44k k k Z -+∈【答案】D 【解析】由五点作图知，1+42{53+42πωϕπωϕ==，解得=ωπ，=4πϕ，所以()cos()4f x x ππ=+，令22,4k x k k Z πππππ<+<+∈，解得124k -＜x ＜324k +，k Z ∈，故单调减区间为（124k -，324k +），k Z ∈，故选D.8．（2020·河南林州一中高一月考）函数()21sin 1xf x x e⎛⎫=- ⎪+⎝⎭的图象的大致形状是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A 【解析】()211sin sin 11x x x e f x x x e e ⎛⎫-⎛⎫=-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭故()()f x f x -=则()f x 是偶函数，排除C 、D ，又当()0,0x f x →> 故选：A.9．（2020·山东聊城�高一期末）用五点法作函数()sin 0,0,2y A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图象时，得到如下表格：则A ，ω，的值分别为（ ） A ．4，2，3π- B ．4，12，3π C ．4，2，6πD ．4，12，6π- 【答案】A 【解析】由表中的最大值为4，最小值为4-，可得4A =， 由21362T ππ-=，则T π=，22πωπ∴==， 4sin(2)y x ϕ=+，图象过(6π，0)， 04sin(2)6πϕ∴=⨯+，∴226k πϕπ⨯+=，()k ∈Z ，解得23k πϕπ=-，||2πϕ<，∴当0k =时，3πϕ=-．故选：A ．10．（2020·镇原中学高一期末）若点,26P π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()()sin 0,2f x x m πωϕωϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭的图象的一个对称中心，且点P 到该图象的对称轴的距离的最小值为2π，则（ ） A ．()f x 的最小正周期是πB ．()f x 的值域为[]0,4C ．()f x 的初相3πϕ=D ．()f x 在4,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 【答案】D 【解析】由题意得()62k k Z m πωϕπ⎧-+=∈⎪⎨⎪=⎩，且函数的最小正周期为422T ππ=⨯=， 故21T πω==.代入()6k k Z πωϕπ-+=∈，得()6k k Z πϕπ=+∈， 又2πϕ<，所以6π=ϕ.所以()sin 26f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. 故函数()f x 的值域为[]1,3，初相为6π.故A ，B ，C 不正确， 当4[,2]3x ππ∈时，313[,]626x πππ+∈，而sin y x =在313[,]26ππ上单调递增，所以()f x 在4,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故D 正确. 故选：D. 二、多选题11．（2020·陕西渭滨�高一期末）函数tan(2)6y x π=-的一个对称中心是（ ）A ．(,0)12πB ．2(,0)3πC ．(,0)6πD ．(,0)3π【答案】AD 【解析】 因为tan()01266f πππ⎛⎫=-=⎪⎝⎭；24tan()tan 3366f ππππ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭；tan 66f ππ⎛⎫==⎪⎝⎭3x π=时， 2362πππ⨯-=. 所以(,0)12π、(,0)3π是函数tan(2)6y x π=-的对称中心.故选：AD12.（2020·浙江高三专题练习）下列函数中，是奇函数的是（ ）． A ．2sin y x x =B ．sin y x =，[0,2]x πC ．sin y x =，[,]x ππ∈-D ．cos y x x =【答案】ACD 【解析】对A ，由()2sin ==y f x x x ，定义域为R ，且()()()()22sin sin f x x x x x f x -=--=-=-， 故函数2sin y x x =为奇函数，故A 正确对B ，由函数的定义域为[0,2]x π，故该函数为非奇非偶函数，故B 错 对C ，()sin y gx x ==，定义域关于原点对称，且()()()sin sin -=-=-=-g x x x g x ，故C 正确 对D ，()cos ==y m x x x 的定义域为R ， 且()()()()cos cos -=--=-=-m x x x x x m x ， 故该函数为奇函数，故D 正确 故选：ACD13．（2020·湖南天心�长郡中学高三月考）下图是函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω，0||x ϕ<<）的部分图象，下列结论正确的是（ ）A ．函数12y f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象关于顶点对称B ．函数()f x 的图象关于点,012π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 C ．函数()f x 在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．方程()1f x =在区间23,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的所有实根之和为83π 【答案】ABD 【解析】 由已知，2A =，2543124T πππ=-=，因此T π=， ∴22πωπ==，所以()2sin(2)f x x ϕ=+，过点2,23π⎛⎫- ⎪⎝⎭， 因此43232k ππϕπ+=+，k ∈Z ，又0||ϕπ<<， 所以6π=ϕ，∴()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对A ，2sin 212y f x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭图象关于原点对称，故A 正确； 对B ，当12x π=-时，012f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故B 正确； 对C ，由222262k x k πππππ-≤+≤+，有36k x k ππππ-≤≤+，k ∈Z 故C 不正确；对D ，当231212x ππ-≤≤时，2[0,4]6x ππ+∈，所以1y =与函数()y f x =有4个交点令横坐标为1x ，2x ，3x ，4x ，12317822663x x x x πππ+++=⨯+⨯=，故D 正确.故选：ABD.14．（2020·江苏海安高级中学高二期末）关于函数()sin cos f x x x =+()x R ∈，如下结论中正确的是（ ）．A ．函数()f x 的周期是2πB ．函数()f x 的值域是⎡⎣C ．函数()f x 的图象关于直线x π=对称D ．函数()f x 在3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭上递增 【答案】ACD 【解析】A ．∵()sin cos f x x x =+， ∴sin cos cos sin cos sin ()222f x x x x x x x f x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++=+-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴()f x 是周期为2π的周期函数，A 正确，B ．当[0,]2x π∈时，()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，此时3,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，sin 4x π⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，∴()f x ∈，又()f x 的周期是2π，∴x ∈R 时，()f x 值域是，B 错；C ．∵()()(2)sin 2cos 2sin cos sin cos ()f x x x x x x x f x πππ-=-+-=-+=+=， ∴函数()f x 的图象关于直线x π=对称，C 正确；D ．由B 知[0,]2x π∈时，()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当[0,]4x π∈时，[,]442x πππ+∈，()f x 单调递增，而()f x 是周期为2π的周期函数，因此()f x 在3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的图象可以看作是在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上的图象向右平移2π单位得到的，因此仍然递增．D 正确． 故选：ACD ． 三、填空题15．（2020·山东高一期末）函数tan 2xy =的定义域为_____． 【答案】{}2,x x k k Z ππ≠+∈ 【解析】解不等式()22x k k Z ππ≠+∈，可得()2x k k Z ππ≠+∈， 因此，函数tan 2xy =的定义域为{}2,x x k k Z ππ≠+∈.故答案为：{}2,x x k k Z ππ≠+∈.16．（2020·河南林州一中高一月考）函数224sin 6cos 633y x x x ππ⎛⎫=+--≤≤ ⎪⎝⎭的值域________．【答案】16,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】224sin 6cos 64(1cos )6cos 6y x x x x =+-=-+-22314cos 6cos 24(cos )44x x x =-+-=--+，233x ππ-≤≤，1cos 12x ∴-≤≤ ，故231164(cos )444x -≤--+≤，故答案为：16,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦17．（2020·全国高考题）关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题： ①f （x ）的图像关于y 轴对称． ②f （x ）的图像关于原点对称． ③f （x ）的图像关于直线x =2π对称． ④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________． 【答案】②③ 【解析】 对于命题①，152622f π⎛⎫=+=⎪⎝⎭，152622f π⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，则66f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数()f x 的定义域为{},x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称，()()()()111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x ⎛⎫-=-+=--=-+=- ⎪-⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭， 11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=++=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭，则22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，命题③正确；对于命题④，当0x π-<<时，sin 0x <，则()1sin 02sin f x x x=+<<， 命题④错误. 故答案为：②③.18．（2020·上海高一课时练习）函数42cos 133⎛⎫=+- ⎪⎝⎭x y π，当x =_________时有最小值，最小值是___________. 【答案】3,22k k Z ππ+∈ 3- 【解析】 当4cos 133x π⎛⎫+=-⎪⎝⎭时，即4233x k πππ+=+， 可得3,22x k k Z ππ=+∈，此时y 取得最小值； 此时，最小值为3-； 故答案为：3,22k k Z ππ+∈； 3-. 19．（2020·浙江高一课时练习）设函数()sin f x A B x =+，当0B <时，()f x 的最大值是32，最小值是12-，则A =_____，B =_____. 【答案】121- 【解析】根据题意，得3212A B A B ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩，解得1,12A B ==-.故答案为：1,12- 20．（2020·上海高一课时练习）函数sin 2sin =+xy x的最大值是________，最小值是________.【答案】131- 【解析】 21si 2sin 2sin n x y x x -==++，221sin 11sin 232sin 23x x x -≤≤⇒≤+≤⇒-≤-≤-+，∴2111sin 23x -≤-≤+，∴函数sin 2sin =+xy x 的最大值是13；最小值是1-.故答案为：13;1-.21．（2020·上海高一课时练习）若函数2()cos sin (0)=-+>f x x a x b a 的最大值为0，最小值为4-，则实数a =_________，b =________. 【答案】2 2- 【解析】2sin si )n (1x f a x b x =--++，令sin (11)t x t =-≤≤，则21(11)y t at b t --++≤≤=-，函数的对称轴为2a t =-， 当12a-≤-，即2a ≥时，110,2,114,2,a b a a b b -+++==⎧⎧⇒⎨⎨--++=-=-⎩⎩当102a -<-<，即02a <<时，2()()1022a aa b ---⋅-++=且114a b --++=-， 此时方程组无解；∴2,2,a b =⎧⎨=-⎩故答案为：2,2-. 五、解答题22．（2020·全国高一课时练习）求下列函数的定义域. （1）y =（2）sin cos tan x xy x+=.【答案】（1）{|22,}x k x k k Z πππ≤≤+∈；（2）|,2k x x k Z π⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭【解析】（1）要使函数有意义，必须使sin 0x ≥.由正弦的定义知，sin 0x ≥就是角x 的终边与单位圆的交点的纵坐标是非负数. ∴角x 的终边应在x 轴或其上方区域， ∴22,k x k k Z πππ≤≤+∈.∴函数y ={|22,}x k x k k Z πππ≤≤+∈.（2）要使函数有意义，必须使tan x 有意义，且tan 0x ≠.∴,()2x k k Z x k πππ⎧≠+⎪∈⎨⎪≠⎩ ∴,2kx k Z π≠∈. ∴函数sin cos tan x x y x +=的定义域为|,2k x x k Z π⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭.23.（2020·涡阳县第九中学高一月考）已知函数()()2sin (0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<最小正周期为π，图象过点4π⎛⎝.（1）求函数()f x 解析式 （2）求函数()f x 的单调递增区间. 【答案】（1）()2sin(2)4f x x π=+；（2）()3,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦. 【解析】 （1）由已知得2ππ=ω，解得2ω=.将点4π⎛⎝2sin 24πϕ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭，可知cos 2ϕ=，由0ϕπ<<可知4πϕ=，于是()2sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. （2）令()222242k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈解得()388k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， 于是函数()f x 的单调递增区间为()3,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.24．（2020·全国高三（文））(1)利用“五点法”画出函数1()sin()26f x y x π==+在长度为一个周期的闭区间的简图. 列表:作图:(2)并说明该函数图象可由sin (R)y x x =∈的图象经过怎么变换得到的.(3)求函数()f x 图象的对称轴方程.【答案】(1)见解析(2) 见解析(3) 22,3x k k Z ππ=+∈. 【解析】（1）先列表,后描点并画图；（2）把sin y x =的图象上所有的点向左平移6π个单位, 再把所得图象的点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）,得到1sin()26y x π=+的图象，即1sin()26y x π=+的图象； （3）由12,2,2623x kx x k k Z ππππ+=+=+∈， 所以函数的对称轴方程是22,3x k k Z ππ=+∈. 25．（2020·全国高一课时练习）求函数πtan(3)3y x =-的定义域、值域，并判断它的奇偶性和单调性.【答案】定义域为5|,,318k x x x k ππ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭R Z 且，值域为R ，非奇非偶函数，递增区间为5,()183183k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z 【解析】tan y t =的定义域为|,2t t k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，单调增区间为,,22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭. 又tan 33y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭看成tan ,33y t t x π==-的复合函数，由2t k ππ≠+得5,318k x k Z ππ≠+∈， 所以所求函数的定义域为5|,318k x x k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，值域为R ； 函数tan 33y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域不关于原点对称，因此该函数是非奇非偶函数； 令3232k x k πππππ-<-<+，解得5,318318k k x k Z ππππ-<<+∈， 即函数tan 33y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调递增区间为5,,318318k k k Z ππππ⎛⎫-+∈⎪⎝⎭. 26．（2020·陕西省汉中中学（理））已知函数()2sin()1(0)6f x x πωω=-->的周期是π.（1）求()f x 的单调递增区间； （2）求()f x 在[0,]2π上的最值及其对应的x 的值.【答案】（1）(),63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）当0x =时，()min 2f x =-；当3x π=时，()max 1f x =.【解析】 （1）解：∵2T ππω==,∴2ω=,又∵0>ω,∴2ω=,∴()2sin 216f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭, ∵222262k x k πππππ-+≤-≤+,k Z ∈,∴222233k x k ππππ-+≤≤+,k Z ∈, ∴63k x k ππππ-+≤≤+,k Z ∈,∴()f x 的单调递增区间为(),63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）解：∵02x π≤≤,∴02x ≤≤π,∴52666x πππ-≤-≤, ∴1sin 2126x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭, ∴12sin 226x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭, ∴22sin 2116x π⎛⎫-≤--≤ ⎪⎝⎭, 当0x =时,()min 2f x =-, 当226x ππ-=,即3x π=时,()max 1f x = 27．（2020·镇原中学高一期末）已知函数()()()sin 0,0,f x A x A ωϕωϕπ=+>><，在一周期内，当12x π=时，y 取得最大值3，当712x π=时，y 取得最小值3-，求 （1）函数的解析式；（2）求出函数()f x 的单调递增区间、对称轴方程、对称中心坐标；（3）当,1212x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域. 【答案】（1）()3sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；（2）增区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，对称轴方程为212k x ππ=+，k Z ∈，对称中心为,062k ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（k Z ∈）；（3）3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】(1)由题设知，3A =， 周期7212122T πππ=-=，T π=，由2T πω=得2ω=.所以()()3sin 2f x x ϕ=+. 又因为12x π=时，y 取得最大值3，即3sin 36ϕπ⎛⎫+=⎪⎝⎭，262k ππϕπ∴+=+，解得23k πϕπ=+，又ϕπ<，所以3πϕ=，所以()3sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. (2)由222232k x k πππππ-≤+≤+，得51212k x k ππππ-≤≤+. 所以函数()f x 的单调递增区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. 由232x k πππ+=+，k Z ∈，得212k x ππ=+，k Z ∈. 对称轴方程为212k x ππ=+，k Z ∈.. 由23x k ππ+=，得62πk πx =-+（k Z ∈）. 所以，该函数的对称中心为,062k ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（k Z ∈）. (3)因为,1212x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以2,362x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则1sin 2,132x π⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以33sin 2323x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭.所以值域为：3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 所以函数()f x 的值域为3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦.。
专题5.4 三角函数的图象与性质(基础)(解析版).
y sin x 在 [0 ， 90] 上单调递增，
sin11 sin12 sin80 ，即 a c b ．
故答案为： a c b ．
sin( 54 )
sin( 63 )
【变式训练 1】比较大小：
7
8．
【解答】解： sin( 54 ) sin 54 sin(8 2 ) sin 2 ．
C． 2
D． 2 3
【解答】解：函数 y sin(3x ) 的周期是 2 ，
3
3
故选： D ．
【变式训练 1】下列函数中最小正周期为 的是 (
)
A． y | sin x |
B． y sin x
C． y tan x 2
D． y cos 4x
【解答】解： A 中，令 y f (x) | sin x | ， f (x ) | sin(x ) || sin x | ，所以最小正周期为
6
3
C． [n 2 ， n ](nZ)
3
6
D． [2n 2 ， 2n ](n Z)
3
6
【解答】解： f (x) sin(2x ) sin(2x ) 的单调增区间，即函数 y sin(2x ) 的单
6
6
6
调减区间．
令 2k 3 2x 2k ，求得 k 2 x k ， kz ，
【解答】解：将 y sin x ， x [0 ， 2 ] 与 y 1的函数图象绘制在同一直角坐标系，如下所
示：
显然，数形结合可知，只有 1 个交点．
故选： A ．
【变式训练 2】函数 y 1 sin x ， x [0 ， 2 ] 的图象与直线 y 3 的交点个数为 (
)
2
A．0
专题5.4 三角函数的图象和性质(解析版)
解不等式 ，得 .
因此，函数 最小正周期为 ，单调递增区间为 ；
（2） ， .
当 时，即当 时，函数 取得最大值，即 ；
当 时，即当 时，函数 取得最小值，即 .
B选项， ，所以 的最小正周期为 ，B选项正确.
C选项，由①知 ，所以选项C不正确.
D选项，当 时， ，由 解得 （ ），令 可得 ，所以 在 上单调递增，所以D选项正确.
综上所述，不正确的选项为C.故选：C
5．已知函数 的最小正周期为π，且关于 中心对称，则下列结论正确的是（）
A． B．
C． D．
（1）求 ；
（2）求函数 在 的值域．
【解析】（1）因为 是函数 的图像的对称轴，所以 .
所以 ， ，得 ，又 ，
所以 时， .
（2）由（1）可得 ， ，
令 ， ，则 ，
则 ，根据正弦函数的图象得
16．已知函数 ， ．
（1）求函数 的最小正周期和单调递增区间；
（2）求函数 在区间 上的最小值和最大值，并求出取得最值时 的值.
故选：B
7．已知函数 在区间 上单调递增，则实数 的可能值为（）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】因为 ，所以 ，
所以 在 单调递增，所以 ，解得 ，
所以 的取值范围是
故选：AB.
8．已知函数 ，下列结论正确的有（ ）
A．函数 是奇函数；
B．函数 是周期函数，且周期为2 ；
C．函数 的最小值为-2；
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，函数 在区间 上的最小值为 ，
所以 时， ，所以 ， ，
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5.4 三角函数的图象与性质
考点一 五点画图
【例1】（1）（2020·全国高一课时练习）用五点法作出函数1cos (02)y x x π=-≤≤的简图.
（2）（2020·全国高一课时练习）利用正弦或余弦函数图象作出3sin 2y x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图象．
【一隅三反】
1．（2020·全国高一课时练习）利用“五点法”作出函数y ＝1－sin x (0≤x ≤2π)的简图．
2．（2020·全国高一课时练习）利用正弦曲线,求满足
1sin 22
x <≤
的x 的集合．
3．（2020·武功县普集高级中学高一月考）用五点法作出函数32cos y x =+在[]0,2π内的图像.
考点二 周期
【例2】（1）（2020·福建高二学业考试）函数cos y x =的最小正周期为（ ） A ．
2
π
B ．π
C ．
32
π D ．2π
（2）（2020年广东潮州）下列函数中,不是周期函数的是( ) A.y ＝|cos x | B ．y ＝cos|x |C ．y ＝|sin x | D ．y ＝sin|x |
【一隅三反】
1．（2020·全国高一课时练习）下列函数中,最小正周期为π的是( ) A ．sin y x = B ．cos y x =
C ．sin 2y x =
D ．1
cos
2
y x =
2．（2019·云南高二期末）函数 ()2sin 36f x x π⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
的最小正周期为__________．
考点三 对称性
【例3】（2020·辽宁大连·高一期末）函数()cos 26f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图像的一条对称轴方程为（） A ．6
x π
=
B ．512
x π=
C ．23
x π=
D ．23
x π=-
【一隅三反】
1．（2020·永昌县第四中学高一期末）函数y ＝
12sin 3x π⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的图象的一条对称轴是（ ）
A ．x ＝－2
π B ．x ＝
2
π C ．x ＝－6
π D ．x ＝
6
π
2．（2020·山西省长治市第二中学校高一期末（理））下列函数中,最小正周期为π,且图象关于直线3
x π
=对
称的函数是（ ）
A ．2sin 23y x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
B ．2sin 26y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
C ．2sin 23x y π⎛⎫=+
⎪⎝
⎭ D ．2sin 23y x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
3．（2020·河南平顶山·高一期末）如果函数()sin 2y x ϕ=+的图象关于直线πx =对称,那么ϕ取最小值时
ϕ的值为（ ）
A ．3
π
±
B ．
π3
C ．π2
-
D ．2
π±
考点四 单调性
【例4】（1）（2020·吉林扶余市第一中学高一期中）函数()1πsin 223f x x ⎛
⎫=
+ ⎪⎝
⎭的单调递增区间为（ ） A ．5πππ,π1212k k ⎡
⎤
-
+⎢⎥⎣⎦,k Z ∈ B ．π3ππ,π44k k ⎡
⎤
+
+⎢⎥⎣
⎦,k Z ∈ C ．2πππ,π36k k ⎡⎤
-
-⎢⎥⎣
⎦
,k Z ∈ D ．πππ,π44k k ⎡⎤
+
+⎢⎥⎣
⎦
,k Z ∈ （2）（2020·吉林扶余市第一中学高一期中）已知函数()()sin 2f x x ϕ=+在π0,6⎡
⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递减,则实数ϕ的
一个值是（ ）． A ．3π
2
B ．π2
-
C ．π
D ．2π
【一隅三反】
1．（2020·湖南益阳·高一期末）函数()cos 26f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
的单调递增区间为（ ）。