向量数乘运算
向量数乘运算
D
C
b
Aa
B
注意向量的方向，向量 AC=a+b,向量DB=a-b
练习1：选择题
uuur uuur uuur
（1）AB BC AD D
uuur
uuur
uuur
( A) AD (B)CD (C)DB
uuur (D)DC
uuur uuur uuur
（2）AB AC DB C
uuur
uuur
uuur
2、设e1，e2是两个不共线向量，已知 AB=2e1+re2，CB=e1+3e2，若A，B， C三点共线，求r的值.
如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB中点，点
1
N在线段BD上，且有BN= BD，求证：M、N、C
3
三点共线。
提示：设AB = a BC = b
则MN=
1
…=
a
+
1
b
63
D
C
MC= … = 1 a+ b 2
例2 如图，已知AD=3AB，DE=3BC， 试判断AC与AE是否共线。 E
C
A B D
练习1：设a，b是两个不共线的向量，已知 AB=a+b，BC=2a+8b，CD=3(a-b)，求证：A，
B，D三点共线。
证明：∵BD=BC+CD
=(2a+8b)+3(a-b)
=5a+5b
=5(a+b)
=5AB
∴BD//AB，又它们有公共点B， ∴A，B，D三点共线
特别地，当λ=0或a=0时, λa=0
(1) 根据定义，求作向量3(2a)和(6a) (a为 非零向量)，并进行比较。 (2) 已知向量 a,b，求作向量2(a+b)和
2.2.3_向量数乘运算及其几何意义
a的方向与a的方向相反；当 0， a 0.
注意：比较两个向量时,主要看它们的长度和方向
8
(1) 根据定义，求作向量3(2a)和(6a) (a为 非零向量)，并进行比较。 (2) 已知向量 a,b，求作向量2(a+b)和2a+2b， 并进行比较。
a
3(2a )
b
3(2a ) = 6 a
3 2 1 3 ①-③得 n 11 a 11 b, m 11 a 11 b
x y
例5 如图所示，已知 OA ' 3OA , A ' B ' 3 AB , 说明 向量 OB 与 OB 的关系．
'
B
'
解： 因为 OB' OA' A' B'
D
C
1 1 则MN= … = a + b 3 6 1 MC= … = a+ b 2
N A M B
15
练习
(1).设 a
是非零向量, 是非零实数,下列结论正确的 是( B ). A. a与 a 的方向相反 C. a a
2
的方向相同 D. a a B. a与 a (2).下列四个说法正确的个数有( C ).
课堂小结：
一、①λ
a 的定义及运算律
(a≠0) 向量a与b共线 b=λa
②向量共线定理
二、定理的应用： 1. 证明 向量共线 2. 证明 三点共线: AB=λBC 3. 证明 两直线平行:
AB=λCD AB∥CD
A,B,C三点共线
AB与CD不在同一直线上
直线AB∥直线CD
23
作业:
《向量数乘运算》课件
几何意义
要点一
总结词
向量数乘运算的几何意义是标量$k$与向量$mathbf{a}$的 模长相乘，再根据$k$的正负确定几何意义可以理解为标量$k$与向量 $mathbf{a}$的模长相乘，即新的向量的长度是原向量长 度乘以标量$k$。同时，根据标量$k$的正负来确定新向量 的方向。当$k > 0$时，新向量的方向与原向量方向相同 ；当$k < 0$时，新向量的方向与原向量方向相反；当$k = 0$时，新向量为零向量。这种几何意义有助于直观理解 向量数乘运算的过程和结果。
实数与向量的数乘的几何意义
实数与向量的数乘的几何表示
实数λ与向量a的数乘在几何上表示将向量a的长度扩大或缩小λ倍，并改变其方 向。
实数与向量的数乘在几何上的应用
在物理、工程和科学实验中，实数与向量的数乘常用于描述力的合成与分解、 速度和加速度等物理量。
实数与向量的数乘的性质
1 2 3
实数与向量的数乘的模的性质
02
向量数乘运算的性质
线性性质
总结词
线性性质是指向量数乘运算满足线性组合的特性。
详细描述
向量数乘运算具有线性性质，即对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k_1, k_2$，有$(k_1 k_2)mathbf{a} = k_1(k_2mathbf{a}) = (k_2mathbf{a})k_1 = k_2(k_1mathbf{a})$。线性性质在向 量运算中非常重要，它使得向量数乘运算可以像标量运算一样进行简化。
乘运算来计算其合加速度。
实例三：向量的投影
向量的投影是向量数乘运算的一个重要应用
在物理和工程领域中，向量的投影是一个常见的概念 。通过向量数乘运算，可以方便地计算一个向量在另 一个向量上的投影。这有助于描述力的作用效果、速 度的方向变化等。例如，在机械工程中，当一个力作 用在物体上时，可以通过向量的投影来计算该力对物 体产生的旋转效应。在建筑学中，向量的投影可以用 来描述建筑结构在不同方向上的变形。
向量数乘运算及几何意义
总结向量数乘的应用
向量数乘在物理学、工程学、计算机图形学等领 域有着广泛的应用，例如在物理中描述速度和加 速度的变化，在工程中实现机器人的运动控制等 。
向量数乘运算及几何 意义
目录
CONTENTS
• 引言 • 向量数乘运算的定义和性质 • 向量数乘运算的几何意义 • 向量数乘运算的应用 • 结论
目录
CONTENTS
• 引言 • 向量数乘运算的定义和性质 • 向量数乘运算的几何意义 • 向量数乘运算的应用 • 结论
01
引言
01
引言
主题简介
向量数乘运算
机器人学
在机器人学中，向量数乘运算用于描述机器人的运动轨迹 和姿态。例如，通过标量积运算可以计算机器人的关节角 度和速度。
图形处理
在计算机图形学中，向量数乘运算用于描述图像的变换和 旋转。例如，通过将像素坐标向量进行数乘运算，可以实 现图像的缩放、旋转和平移等操作。
在工程中的应用
控制系统分析
在工程控制系统中，向量数乘运算用于分析系统的动态特 性。例如，通过标量积运算可以计算系统的传递函数和稳 定性。
其中u、v是向量。
零向量与任意向量数乘结果 仍为零向量，即0 * v = 0。
标量乘法的单位元是1，即1 * v = v。
03
向量数乘运算的几 何意义
03
向量数乘运算的几 何意义
向量数乘的几何表示
标量与向量的点乘
标量与向量点乘的结果是一个标量，表示向量在标量作用下的伸缩倍数。
标量与向量的叉乘
向量的加减乘除运算公式
向量的加减乘除运算公式
1. 向量加法：
计算两个向量相加时，需要对应位置上的数相加，例如：
a = (1, 2, 3)
b = (4, 5, 6)
a +
b = (1 + 4, 2 + 5, 3 + 6) = (5, 7, 9)
2. 向量减法：
计算两个向量相减时，需要对应位置上的数相减，例如：
a = (1, 2, 3)
b = (4, 5, 6)
a -
b = (1 - 4, 2 - 5, 3 - 6) = (-3, -3, -3)
3. 向量数乘：
将一个向量乘以一个数时，需要将向量中每个数都乘以该数，例如：
a = (1, 2, 3)
k = 2
k*a = (2*1, 2*2, 2*3) = (2, 4, 6)
4. 向量点乘：
向量点乘指对应位置上的数分别相乘，在将相乘的结果相加，例如：
a = (1, 2, 3)
b = (4, 5, 6)
a·b = 1*4 + 2*5 + 3*6 = 32
5. 向量叉乘：
向量叉乘只适用于三维向量，叉乘的结果是另一个向量，其方向垂直于原来两个向量组成的平面，大小等于这个平面的面积。
例如：
a = (1, 2, 3)
b = (4, 5, 6)
a×b = (-3, 6, -3)。
向量的数乘运算
向量的数乘运算
[典例 3] 设 a，b 是不共线的两个非零向量． (1)若―O→A ＝2a－b，―O→B ＝3a＋b，―O→C ＝a－3b，求证：A， B，C 三点共线； (2)若 8a＋kb 与 ka＋2b 共线，求实数 k 的值； (3)若―OM→＝m a，―ON→＝n b，―O→P ＝α a＋β b，其中 m，n， α，β 均为实数，m≠0，n≠0，若 M，P，N 三点共线，求证： mα ＋nβ＝1.
A．k＝0
B．k＝1
C．k＝2 解析：当
k＝12时，mD＝．－ke＝1＋12 12e2，n＝－2e1＋e2.
∴n＝2m，此时 m，n 共线． 答案：D
3.如图，已知 AM 是△ABC 的边 BC 上的中线，若―AB→＝a， ―A→ C ＝b，则―AM→等于( )
A.12(a－b)
B．－12(a－b)
[方法技巧] 用已知向量表示其他向量的两种方法
(1)直接法：
(2)方程法：当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形 法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量 关系，然后解关于所求向量的方程．
[对点练清]
1．在△ABC 中，若点 D 满足―BD→＝2―D→C ，则―AD→等于( )
A.13―AC→＋23―AB→
2．在四边形 ABCD 中，若―AB→＝－12―CD→，则此四边形是(
)
A．平行四边形
B．菱形
C．梯形
D．矩形
解析：因为―AB→＝－12―CD→，所以 AB∥CD，且 AB≠CD，所
以四边形 ABCD 是梯形．
答案：C
3．在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O，―AB→ ＋―AD→＝λ―AO→，则 λ＝________. 解析：∵四边形 ABCD 为平行四边形，对角线 AC 与 BD 交于点 O，∴―AB→＋―AD→＝―A→ C ＝2―AO→，∴λ＝2. 答案：2
6.2.3 向量的数乘运算-高一数学新教材配套课件(人教A版2019必修第二册)
课堂小结
1.实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如 λ＋a，λ－a 是没
有意义的．
2.若 b＝λa(a≠0)，且 b 与 a 所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，
→ → →→
→→
若AB＝λAC，则AB与AC共线，又AB与AC有公共点 A，从而 A，B，C 三点共线，
这是证明三点共线的重要方法．
D．2a－3b
解析: A→C＝A→B＋A→D＝2a＋3b.
3.在△ABC 中，若A→B＋A→C＝2A→P，则P→B等于( )
A．－12A→B＋32A→C
B. 12A→B－32A→C
√C. 12A→B－12A→C
D．－12A→B＋12A→C
解析：由A→B＋A→C＝2A→P得A→P＝12(A→B＋A→C)，所以P→B＝P→A＋A→B＝－12(A→B＋A→C) ＋A→B＝12A→B－12A→C.
总结
1.若 b＝λa(a≠0)，且 b 与 a 所在的直线无公共点，则这两条直线平行． 2.若 b＝λa(a≠0)，且 b 与 a 所在的直线有公共点，则这两条直线重合． 例如，若A→B＝λA→C，则A→B与A→C共线，又A→B与A→C有公共点 A，从而 A， B，C 三点共线，这是证明三点共线的重要方法．
二．向量共线定理 1.向量 a(a≠0)与 b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数 λ，使 b＝λa ．
注意： (1)定理中，向量 a 为非零向量 (2)要证明向量 a，b 共线，只需证明存在实数 λ，使得 b＝λa 即可． (3)由定理知，若向量A→B＝λA→C，则A→B，A→C共线．又A→B，A→C有公共点 A，从而 A，B， C 三点共线，这是证明三点共线的重要方法．
由O→D＝O→A＋O→B＝a＋b，得O→N＝12O→D＋16O→D＝23O→D＝23a＋23b.
《向量数乘运算》课件
• 向量数乘运算的基本概念 • 向量数乘运算的规则与性质 • 向量数乘运算的应用场景 • 向量数乘运算的几何解释 • 向量数乘运算的注意事项与常见错误
01
向量数乘运算的基本概念
向量的定义与表示
总结词
理解向量的定义和表示方法是学习向量数乘运算的基础。
详细描述
向量是具有大小和方向的量，通常用有向线段表示，起点为 原点。在二维平面上，向量可以用有序对（x, y）表示，在三 维空间中，向量可以用有序三元组（x, y, z）表示。
数乘运算的定义
总结词
理解数乘运算的定义是掌握向量数乘 运算的关键。
详细描述
数乘运算是指将一个标量与一个向量 相乘，结果仍为一个向量。标量可以 是实数或复数，与向量相乘时，标量 可以乘以向量的每一个分量。
向量数乘运算的意义
总结词
了解向量数乘运算的意义有助于理解其在物理和工程领域的应用。
详细描述
向量数乘运算在物理学和工程学中有着广泛的应用，如速度和加速度的计算、 力的合成与分解、交流电的相量表示等。通过向量数乘运算，可以方便地描述 和解决物理问题，简化计算过程。
分类与回归分析
在分类与回归分析中，向量数乘运算用于训练模型和预测结果。通过向量数乘运算，可以对数据进行特 征提取和变换，进而训练分类器或回归模型。同时，向量数乘运算也用于预测新数据的分类或回归结果 。
04
向量数乘运算的几何解释
向量的模与方向
总结词
描述向量的模与方向的概念。
详细描述
向量的模表示向量的大小，方向表示向量的指向。通过几何图形可以直观地表示 向量，其中箭头长度代表向量的模，箭头指向代表向量的方向。
详细描述
在进行向量数乘运算时，如果数乘的系数过 大或过小，可能会导致结果溢出或下溢。为 了避免这种情况，应选择合适的数据类型和 算法，或者采用适当的缩放因子来调整数乘 的系数，以确保结果的精度和准确性。同时 ，在编写代码时，可以使用异常处理机制来
向量数乘运算及其几何意义新
解释力和力矩的方向
在分析力学中，向量数乘可以用来解释力和力矩的 方向，以及它们对物体运动状态的影响。
描述磁场和电场的变化
在电磁学中，向量数乘可以用来描述磁场和 电场的变化，以及它们对电荷和电流的作用 。
在数学中的应用
描述向量的缩放
向量数乘可以用来描述向量的缩 放，即改变向量的长度而不改变 其方向。
实例分析
标量与向量的数乘实例
在二维平面中，假设有一个向量$overset{longrightarrow}{a} = (1,2)$，当标量为 $k = 2$时，数乘后的向量为$overset{longrightarrow}{b} = (2,4)$；当标量为$k = -3$时，数乘后的向量为$overset{longrightarrow}{c} = (-3,-6)$。
详细描述
向量数乘在数学中可以丰富数学理论体系，例如在解析几 何中，通过向量数乘运算可以描述平面几何图形的旋转和 缩放，从而丰富了平面几何的理论基础。
总结词
促进数学与其他学科的交叉融合
总结词
解决数学难题
详细描述
向量数乘在数学与其他学科的交叉融合中也有着重要的应 用，例如在生物力学中，通过向量数乘运算可以描述肌肉 收缩和骨骼运动的关系，从而促进了生物学和力学的交叉 融合。
在物理建模过程中，向量数乘运算可以简化复杂的物理模 型，例如在力学中，通过向量数乘运算可以描述力的合成 与分解，从而简化了对物体运动轨迹的分析。
详细描述
向量数乘在物理中有着广泛的应用，例如在电磁学中，通 过向量数乘运算可以描述电荷的运动轨迹和电场线的分布 ，从而揭示电磁现象的本质。
总结词
提高物理实验的精度
案例三：向量数乘在工程中的运用
向量的运算的乘法公式
向量的运算的乘法公式向量是数学中最重要的概念之一，它们有助于我们更好地理解和推导数学结论。
向量乘法定义了一种将两个向量组合或运算的方式，这种运算叫做“向量乘法”。
它也被称为向量的运算，而它的乘法公式则可以定义内积或外积。
关于向量的乘法，它的乘法公式可以分为两种：内积和外积。
积（也称为点积）是用来衡量向量夹角的大小的，计算内积的乘法公式为：<a,b> = |a|*|b|*cosθ，其中a、b均为复数，|a|和|b|代表a 和b向量的大小，θ代表a和b向量之间的夹角（用弧度表示）。
另一种向量运算也被称为外积，是向量a和b的叉乘，外积乘法公式为：a b = |a|*|b|*sinθ。
其中a、b均为复数，θ代表a和b 向量之间的夹角（用弧度表示）。
外积在三维空间中最常用的用途是计算向量的叉乘的大小，当夹角很小时，a b的结果实际上是考虑了a和b向量的叉乘大小的近似值。
另外，如果a和b向量的夹角接近90度时，a b的结果则是非常精确的。
外积还可以用来计算向量的叉乘和夹角，如果知道向量a和b的叉乘，可以使用外积乘法公式来计算它们之间的夹角：θ = arcsin(a ×b/|a|*|b|)，其中a、b均为复数，|a|和|b|代表a和b向量的大小，a×b代表a和b向量的叉乘。
此外，外积还可以用来表示向量的外法线（normal vector），即在两个向量中间所形成的垂直向量，它与两个向量共面（coplanar）。
它也可以用来计算外法线的大小：|a×b| = |a|*|b|*sinθ，其中a、b均为复数，|a|和|b|代表a和b向量的大小，θ代表a和b向量之间的夹角（用弧度表示）。
以上就是关于向量的乘法公式的简单介绍，它们为我们提供了一种更加直观地理解向量乘法，从而能更好地推导出数学结论的方式。
学习并利用它们，我们可以更快更准确地解决数学问题，提高学习的效率和成绩。
数学(2.2.3向量数乘运算及其几何意义)
运算规则
总结词
向量数乘运算的规则包括与标量乘法类似，但需要注意向量的方向性。
详细描述
向量数乘运算的规则与标量乘法类似，实数与向量的每个分量相乘，得到的结果仍为一个向量。但需要注意的是， 向量的方向性在数乘运算中会发生变化。当实数为正时，向量的方向保持不变；当实数为负时，向量的方向会反 向；当实数为零时，向量的长度为零，方向任意。
性质
总结词
向量数乘运算具有分配律和结合律。
详细描述
向量数乘运算具有分配律，即对于任意实数$k$和$l$， 以及任意向量$overset{longrightarrow}{a}$和 $overset{longrightarrow}{b}$，有$(k + l)overset{longrightarrow}{a} = koverset{longrightarrow}{a} + loverset{longrightarrow}{a}$。同时，向量数乘运算也 具有结合律，即对于任意实数$k$、$l$和向量 $overset{longrightarrow}{a}$、 $overset{longrightarrow}{b}$、 $overset{longrightarrow}{c}$，有 $(kl)overset{longrightarrow}{a} = k(loverset{longrightarrow}{a})$。
向量的长度和方向的变化
长度变化
标量数乘会导致向量的长度发生变化。设$k > 0$，则$koverset{longrightarrow}{a}$ 的长度是$overset{longrightarrow}{a}$长度的$|k|$倍；设$k < 0$，则
$koverset{longrightarrow}{a}$的长度是$overset{longrightarrow}{a}$长度的 $frac{1}{|k|}$倍。
向量的数乘运算
向量的数乘运算
向量的数乘运算是一种内积运算，一般表示为：a·b=Σaibi。
其中a,b分别表示两个向量，a=[a1,a2...an], b=[b1,b2...bn]，这里的a,b 的维数n要相等。
这个运算有点像乘法，但是其实指的是向量a,b之间的内积，事实上，它就是对a,b中对应元素的乘积进行求和。
数乘的结果并不是一个向量，而是一个数值，即a·b。
如果a·b大于0，说明a,b在空间中是夹角小于90°的，反之亦然。
如果a·b等于0，表示a,b相互垂直，在空间中夹角等于90°。
此外，数乘运算还可以用来解决向量的大小问题。
如果a,b都是单位向量，a·b的结果就表示a,b的大小关系，它等于ab的夹角cosθ，因此用a·b计算两个向量之间的角度。
因此，数乘运算是一种重要的运算，可以用来衡量两个向量之间的关系及大小，也可以用来计算两个向量之间的夹角。
《向量的数乘》 讲义
《向量的数乘》讲义一、向量的数乘的定义向量是既有大小又有方向的量。
在数学中，我们常常会遇到对向量进行数乘的运算。
所谓向量的数乘，就是一个实数与一个向量相乘的运算。
设向量＄＼vec{a}＄，实数＄＼lambda$，则＄＼lambda ＼vec{a}＄就是向量＄＼vec{a}＄的数乘。
例如，有向量＄＼vec{A} ＝（2, 3)＄，若实数＄＼lambda ＝ 2$ ，则数乘后的向量为＄2\vec{A} ＝（4, 6)＄。
二、向量数乘的几何意义从几何角度来看，向量的数乘具有以下重要意义：当＄＼lambda ＞ 0$ 时，＄＼lambda ＼vec{a}＄与＄＼vec{a}＄的方向相同，且＄＼vert ＼lambda ＼vec{a} ＼vert ＝＼lambda ＼vert ＼vec{a} ＼vert$ 。
比如，向量＄＼vec{a} ＝（1, 0)＄，实数＄＼lambda ＝ 3$ ，那么＄3\vec{a} ＝（3, 0)＄，其长度是向量＄＼vec{a}＄的 3 倍。
当＄＼lambda ＝ 0$ 时，＄＼lambda ＼vec{a} ＝＼vec{0}＄，即零向量。
当＄＼lambda ＜ 0$ 时，＄＼lambda ＼vec{a}＄与＄＼vec{a}＄的方向相反，且＄＼vert ＼lambda ＼vec{a} ＼vert ＝＼lambda ＼vert ＼vec{a} ＼vert$ 。
例如，向量＄＼vec{b} ＝（－1, 2)＄，实数＄＼lambda ＝－2$ ，则＄－2\vec{b} ＝（2, －4)＄。
通过向量的数乘，可以实现对向量的缩放和方向的改变。
三、向量数乘的运算律向量数乘满足以下运算律：1、结合律：＄（＼lambda ＼mu) ＼vec{a} ＝＼lambda （＼mu ＼vec{a}）＄。
例如，若有向量＄＼vec{c} ＝（2, 1)＄，实数＄＼lambda ＝ 2$ ，＄＼mu ＝ 3$ ，则＄（2×3) ＼vec{c} ＝ 2 （3\vec{c}）＝ 6\vec{c} ＝（12, 6)＄。
向量的乘法运算
向量的乘法运算在数学中，向量的乘法运算是指将两个向量相乘得到一个新的向量的过程，具有非常重要的意义。
这种乘法运算可以让我们快速地、简单地计算向量之间的关系，在很多领域，如机械工程、经济学、物理学等等，都有它的应用。
首先，我们来看看什么是向量，它是由一系列实数组成的有序数列，比如a=(a1,a2,a3,…,an)，以及另一种形式，b=(b1,b2,b3,…,bn)。
这两个向量可以用来描述平面上的一定区域，但它们之间的关系又是怎样的呢？这时，就需要用到向量的乘法运算了。
把它们看作一种函数，我们可以将它们按照函数乘法的规则进行乘法运算：a*b=(a1*b1,a2*b2,a3*b3,…,an*bn)，这样就会产生新的向量，它就是a与b的乘积。
因此，向量的乘法运算不仅可以描述更为丰富的平面区域，而且极大地简化了计算的步骤，大大减少了人工计算的时间。
虽然向量的乘法运算比较简单，但在实际应用中，也存在一些技巧。
首先是流形乘法运算。
当我们想要把多个向量的乘积拼合成一个新的组合向量时，可以使用流形乘法运算，它可以很快地计算出组合向量，从而把复杂的计算任务简化成一个简单的运算。
另外，关于向量的乘法运算，还有几个常见的技巧，比如向量乘积规则和矩阵乘积规则。
向量乘积规则是指：a*b=(a1*b1,a2*b2,…,an*bn)，矩阵乘积规则是指：A*B=C，其中A 和B是两个矩阵，C是A和B的乘积矩阵。
这些规则可以使我们在复杂的数学计算中更加精确地控制结果，提高计算准确性。
综上所述，向量的乘法运算是一种重要的数学运算，它可以在多个领域有效地运用，让计算的过程更加便捷、高效，为广大实践者提供了更好的数学解决方案，是无可估量的价值。
向量数乘运算
VS
详细描述
在数学表达式中，应遵循先乘除后加减的 原则。在进行向量运算时，数乘作为乘法 运算的一种，应优先于加法和减法进行。 因此，在复杂的数学表达式中，应特别注 意数乘运算的优先级，确保运算顺序的正 确性。
理解数乘运算的实际意义
总结词
理解数乘运算的实际意义对于正确应用向量 数乘至关重要。
详细描述
数乘在物理和工程领域有着广泛的应用，如 速度和加速度的缩放、力的放大或缩小等。 理解数乘运算在具体问题中的应用背景和意 义，有助于正确理解和应用数乘运算，避免 出现错误或偏差。在进行向量数乘运算时， 应结合具体问题，深入理解数乘运算的实际
向量数乘运算
CONTENTS 目录
• 向量数乘运算的定义 • 向量数乘运算的几何意义 • 向量数乘运算的代数性质 • 向量数乘运算的应用 • 向量数乘运算的注意事项
CHAPTER 01
向量数乘运算的定义
标量与向量的数乘
标量与向量的数乘
标量与向量相乘时，标量会与向量的每个分量相乘，得到新的向量。
总结词
数乘和点乘是两种不同的运算，具有不同的数学意义和性质 ，容易混淆。
详细描述
数乘是指向量与标量的乘法，结果仍为向量，其长度或模发 生变化，方向可能改变。点乘则是向量的内积，结果为标量 ，表示两向量的夹角和大小关系。在进行向量数乘运算时， 应明确区分这两种运算，避免混淆。
注意数乘运算的优先级
总结词
CHAPTER 03
向量数乘运算的代数性质
数乘运算的结合律
总结词
数乘运算满足结合律，即对于任意标量$k_1, k_2$和向量$vec{a}$，有$(k_1 k_2) vec{a} = k_1 (k_2 vec{a}) = (k_2 vec{a}) k_1$。
人教版高中数学必修2《向量的数乘运算》PPT课件
)
2.4(a-b)-3(a+b)-b等于(
)
A.a-2b B.a
C.a-6b D.a-8b
答案 D
解析 原式=4a-4b-3a-3b-b=a-8b.
1
3.在△ABC 中,D 是 AB 边上一点.若 = , = +λ,则
2
λ=
.
1
答案
2
解析 ∵ = ,∴D 是 AB 的中点.
|| ||
,则是以 A 为起点,向量
与
所在线段为邻边的菱形对角线对应
|| ||
的向量,即在∠BAC 的平分线上.
∵=λ,∴, 共线.
∴点 P 的轨迹一定通过△ABC 的内心.
方法点睛 (1)三角形的内心:三角形内切圆的圆心,三角形三条角平分线的
交点,内心到三角形三边的距离相等.
=x+y 且 x+y=1.
2.利用向量共线求参数的方法
判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数λ,
使得b=λa(a≠0).而已知向量共线求λ,常根据向量共线的条件转化为相应向
量系数相等求解,利用待定系数法建立方程,从而解方程求得λ的值.若两向
量不共线,必有向量的系数为零.
(2)三角形的外心:三角形外接圆的圆心,三角形三条边的中垂线的交点,外
心到三角形三个顶点的距离相等.若M是△ABC内一点,且满足
||=| |=| |,则点 M 为△ABC 的外心.
(3)三角形的垂心:三角形三条高线的交点.
(4)三角形的重心:三角形三条中线的交点.若 G 是△ABC 内一点,且满足 +
C.b-a D.a-b
(2)已知2a-b=m,a+3b=n,那么a,b用m,n可以表示为
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全国名校高中数学优质学案、专题汇编（附详解）
1
2.2.3向量数乘运算及其几何意义
学习目标
1.通过实例，掌握向量数乘运算，并理解其几何意义。
2.理解两个向量共线的等价条件，能运用向量共线条件判定两向量是否平行。
3.体会类比迁移的思想方法。
自学探究
问题1.已知向量为非零向量，试用作图方式表示
（1）＋＋与3； （－）+（－）+（－）与3-； ★（2）32⨯与6； 5与32+； )(2+与22+.
由（1），你能得出λ与的长度和方向有什么规律吗？
由（2），你能得出向量满足什么运算律吗？运算律的几何意义是什么呢？
★ 问题2.引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗？你能得出怎样判断向量共线吗？怎样理解两向量平行？与两直线平行有什么异同？
问题3.λ=则与共线吗？与共线，一定有λ=吗?
【技能提炼】
1.计算（1）()a 43⨯- （2）()()a b a b a ---+23 （3）()()
c b a c b a +---+2332
总结:向量数乘运算与多项式运算的异同：
2.如图：已知任意两个非零向量b a ,，试作=+，=2+, OC =3+,你能判断C B A ,,三点之间的位置关系吗？为什么？
变式：已知BC DE AB AD 3,3==，试判断AC 与AE 是否共线？ 总结:向量共线定理的特点：
3.如图：平行四边形ABCD 的两条对角线相交于点M ，且,,b AD a AB ==，你能用,表示,→MA ,→MB ,→MC 和,
→
MD 吗？
必做题1,2,3,4,5,6 习题2.2 A 组9,10,11,12,13
变式反馈
1.下列各式中不表示向量的是：（ ）
A 、⋅0
B 、3+ C
、3 D 、
()y x R y x y
x ≠∈-且,,1
2.化简
()[()]24482212
1
--+的结果为（ ）
A 、b a -2
B 、a b -2
C 、-
D 、- 3.若O 为平行四边形ABCD 的中心，213,2e BC e AB ==→
→
则
122
3
e e -等于（ ） A 、→
AO B 、→
BO C 、→
CO D 、→
DO 4.
,3=b 与a
5=，则=a b .
5.设21,e e 是两个不共线的非零向量，若向量
21212142,42,23e e e e e e --=+-=-=试证:D C A ,,三点共线.
6.若()
32
1
312=+-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-
，其中,,为已知向量，则未知向量= . 7.已知向量→
AB 的方向是东南方向，且→
AB =4，则向量-2→AB 的方向是 ，=-→
AB 2 .
a
b
A B
D C
M。