巧用二重积分的对称性
二重积分积分区域的对称性
情形一：积分区域关于坐标轴对称定理4设二元函数在平面区域连续，且关于轴对称,则1)当(即就是关于得奇函数）时，有、2)当（即就是关于得偶函数）时，有、其中就是由轴分割所得到得一半区域.例5 计算,其中为由与围成得区域。
解:如图所示，积分区域关于轴对称，且即就是关于得奇函数，由定理１有、类似地，有:定理5设二元函数在平面区域连续，且关于轴对称,则其中就是由轴分割所得到得一半区域。
例6 计算其中为由所围。
解：如图所示,关于轴对称，并且,即被积分函数就是关于轴得偶函数，由对称性定理结论有：、定理6设二元函数在平面区域连续,且关于轴与轴都对称，则(１）当或时,有、（２)当时，有其中为由轴与轴分割所得到得1/4区域。
9例7 计算二重积分，其中: 、解：如图所示，关于轴与轴均对称，且被积分函数关于与就是偶函数,即有,由定理2，得其中就是得第一象限部分，由对称性知,，故、情形二、积分区域关于原点对称定理7 设平面区域，且关于原点对称,则当上连续函数满足１）时,有2）时，有、例8 计算二重积分，为与所围区域、解:如图所示，区域关于原点对称，对于被积函数，有,有定理7，得、情形三、积分区域关于直线对称定理8 设二元函数在平面区域连续，且,关于直线对称，则1）；、2)当时，有、3）当时,有、例9 求，为所围、解：积分区域关于直线对称，由定理8,得，故、类似地，可得:定理９设二元函数在平面区域连续,且，关于直线对称,则(１）当，则有；（2)当，则有、例10 计算,其中为区域：, 、解：如图所示，积分区域关于直线对称,且满足，由以上性质,得:、注:在进行二重积分计算时，善于观察被积函数得积分区域得特点，注意兼顾被积函数得奇偶性与积分区域得对称性，恰当地利用对称方法解题，可以避免繁琐计算,使二重积分得解答大大简化。
关于重积分_曲线积分_曲面积分的对称性定理的应用
dxdy = 2∫∫ sin ye− x − y dxdy 。因此选 A。
2 2
D1
在第一型曲线、曲面积分中，也有与重积分完全类似的对称性定理。 定理二：第一型曲线积分、曲面积分的对称性定理 1．奇偶对称性：若 f（x，y，z）关于 x 为奇函数（或偶函数） ，积分区域 L 或 S 关于 oyz 面对称，则对第一型曲线积分有 （L1 为 L 的一半） ：
（1）
2．如果积分域 D 关于 y 轴对称，f（x，y）为 x 的奇（或偶）函数，D2 为 D 中 x ≥ 0 的部分，则：
∫∫
D
（2）
3．如果积分域 D 关于原点对称，f（x，y）同时为 x，y 的奇（或偶）函数，D1 为 D 中 y ≥ 0 的部分，则：
∫∫ f ( x, y)dσ = ⎨2∫∫ f ( x, y)dσ ,
S
CHINA EDUCATION RESEARCH ANALECTS
·155·
中国教育研究论丛（2006）
∫∫ xyds = 0
2 ∫∫ x ds = 2 S S
，S 关于 Oyz 对称，f（x，y，z）= xy 关于 x 为奇函数。
S I{ x ≥ 0}
∫∫
x 2 ds = 2
⎛ ∂x ⎞ ⎛ ∂x ⎞ ( R 2 − y 2 − z 2 ) ⋅ 1 + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ dydz >0 ∫∫ ⎝ ∂y ⎠ ⎝ ∂z ⎠ y2 + z2 ≤ R2
D
⎧0 , ⎪ ⎪ ⎩
D1
f (− x, − y) = − f ( x, y) f (− x, − y) = f ( x, y)
（3）
4．如果积分域 D 是轮换区域，即 D 关于直线 y = x 对称，则有：
计算二重积分的几种简便方法
计算二重积分的几种简便方法一、极坐标法在二维平面上，如果点P在直角坐标系中的坐标为（x，y），那么以O点为极点，OP 线段所在直线为极轴的极坐标（r，θ）满足以下关系式：x=r*cosθy=r*sinθ将函数f(x,y)转化为g(r,θ)表示，则有：根据二重积分的定义式，可以得到用极坐标表示的二重积分：∬Df(x,y)dxdy=∬g(r*cosθ,r*sinθ)rdrdθ其中，D为定义域，r为极径。
二、对称性法对称性法即利用函数在定义域内的对称性简化计算。
具体方法如下：1. 翻折对称：如果定义域D为一个轴对称图形，那么可以将积分区域缩小一半，只计算一侧再乘以2。
3. 奇偶性：如果函数f(x,y)满足奇偶性，即满足f(-x,y)=-f(x,-y)或f(-x,-y)=f(x,y)，则可以将定义域限定在一个象限内（通常是第一象限），依次计算再乘以4或2。
轮换对称法即利用极坐标系下的轮换对称性简化计算。
对于一个n边形，将其边每隔2π/n取一条，则这些边的边长相等，角度之和为2π，因此在极坐标系下具有轮换对称性。
具体方法如下：1. 将定义域D分成n份，每份的极角为（k-1）2π/n和k2π/n（k=1,2,...,n）。
2. 对于每份，取中心点和每条边上的一个点，计算这些点构成的区域上的积分。
3. 最后将n份的积分相加即得到原积分。
四、正交性法正交性法即根据正交性定理，将一些特殊的函数乘在被积函数上，使之变成正交函数的线性组合，从而简化计算。
常用的正交函数有勒让德多项式、柯西-斯瓦茨函数等。
1. 将f(x,y)表示为一些正交函数的线性组合。
2. 考虑在正交函数构成的正交系下计算积分。
3. 利用正交性定理，将积分转化为正交基上的系数计算，从而得到简化后的积分表达式。
五、变换法变换法即通过适当的变换将一些定义域较为复杂的积分转化为更加简单的形式。
常见的变换有参数化、奇异变换、极坐标变换等。
1. 找到适当的变换使定义域变得简单。
巧用二重积分的对称性
上 可积。
＝ ｙ ＋ ｔ ＝ ｙ ５ ＋ ； ｙ Ｓ ＋ ｙ ） ｏ ＇ ＝ １ ４ 。
（ ３ ） 若Ｄ． 与Ｄ 关于 原 点 对 称 ， 则
，
（ １ ） 若Ｄ。 与Ｄ ： 关于 Ｙ 轴对 称 ， 则
ｆ ， ｙ ｏ＝ ｆ ｘ ， ） 。ｌ
。 ＝ ０ － ｘ ， － ｙ ） ｄ ｃ ｒ ｔ
ｃ Ｏ Ｓ’ ’ ｄｏ － ＝ ｘ￣ ｄｏ －
，
＝
对 称 ，所 以 有
即 得
例 ２ ： 计 算 二 重 积 分ｉ ｆ （ ｘ ＋ ｙ ） ￣ ｄ ｃ ｒ ， 其中 Ｄ 由 曲 线 ： 、 而
＋ ｏ（ 被 积 函数 ３ ｘ ２ ＋ ｙ ３ 关 于 Ｙ 是 奇 函数 ）
＝
ｚ ｆ
＝ ｚ ＋ ｘ ２ ｙ ２ ［ ｘ ＝ － ． ／ ２ ｙ
１ 二重积分的对称性 基本性质 运用
设积分区域Ｄ 是有界平面区域， Ｄ ＝ Ｄ 。 Ｕ Ｄ ， 被积函数＿ 厂 （ ， Ｙ ） 在Ｄ
二 重 积分 计 算 时 ， 根 据 题 目中 的 条 件 ， 充 分 利 用积 分 区域 的 对 称 性 及 被 积 函数 的 奇 偶性 ， 往 往 可 以达 到 事 半功 倍 的 效 果 。 本 文结 合 实 例 探讨 二 重 积分 的 对 称 性 的 条 件 ， 结论 和技巧。
＝
＋ ３
摘 要 ： 利 用二重 积分被 积 函数的 奇 偶性 及积 分 区域 的对 称性 ， 可 以将一 些 繁琐 的二 重积分 的计 算 简化 。 关键 词 ： 二重积分 对称性 奇偶 性 中图分 类号 ： Ｏ １ ７ ２ ． ２ 文 献 标 识 码 ： Ａ 文章 编号 ： １ ６ ７ ３ —９ ７ ９ ５ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ６ （ ｂ ） －０ ０ ６ ０ —０ ２
高考数学中的二重积分解析技巧
高考数学中的二重积分解析技巧二重积分是高考数学中的重要内容，也是很多考生认为比较难的内容之一。
在学习二重积分的过程中，掌握解析技巧是非常重要的。
本文将介绍一些二重积分解析技巧，希望对考生有所帮助。
一、利用对称性进行变量替换有些二重积分中，被积函数具有对称性，可以通过变量替换来简化计算。
例如，若被积函数 $f(x,y)$ 关于 $y$ 轴对称，则可以令$x=-u$，从而将原来的二重积分转化为关于 $u$ 和 $y$ 的二重积分。
类似地，若被积函数 $f(x,y)$ 关于 $x$ 和 $y$ 对称，则可以分别令 $x=-u$ 和 $y=-v$，从而将原来的二重积分转化为关于 $u$ 和$v$ 的二重积分。
二、极坐标替换有些二重积分中，被积函数在直角坐标系下难以计算，但在极坐标系下可以化简。
对于极坐标 $r,\theta$，有 $x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$。
因此，对于形如 $\iint_Df(x,y)dxdy$ 的二重积分，可以进行极坐标替换，得到$\iint_Df(r\cos\theta,r\sin\theta)rdrd\theta$。
需要注意的是，要将原来的积分域 $D$ 在极坐标下用 $r$ 和 $\theta$ 表示出来。
三、利用奇偶性进行积分简化有些被积函数在积分域内的奇偶性可以帮助我们简化计算。
若被积函数 $f(x,y)$ 是偶函数，则有$\iint_Df(x,y)dxdy=2\iint_{D^+}f(x,y)dxdy$，其中 $D^+$ 表示$D$ 中 $x>0$ 的部分。
同理，若被积函数 $f(x,y)$ 是奇函数，则有$\iint_Df(x,y)dxdy=0$。
四、利用反对称性进行积分简化有些被积函数具有反对称性，即 $f(x,y)=-f(y,x)$。
在这种情况下，可以利用反对称性将被积函数化简。
例如，对于形如$\iint_D(x-y)f(x,y)dxdy$ 的二重积分，可以利用反对称性得到$\iint_D(x-y)(f(x,y)-f(y,x))dxdy$，从而将原来的二重积分化为两个二重积分的和。
对称性在二重积分计算中的应用
㊀㊀㊀１２５㊀㊀对称性在二重积分计算中的应用对称性在二重积分计算中的应用Һ陈楚申１㊀廖小莲２㊀（１．湖南工业大学数学与应用数学专业１８０２班，湖南㊀株洲㊀４１２０００；２．湖南人文科技学院数学与金融学院，湖南㊀娄底㊀４１７０００）㊀㊀ʌ摘要ɔ‘数学分析“是所有高校数学与应用数学专业的一门重要的基础课，二重积分是‘数学分析“的内容之一，解二重积分的常见方法是在直角坐标系或极坐标系下根据积分区域的类型将其转化为定积分后进行计算，但遇到比较复杂的积分计算或证明时，常规方法解题有局限性．我们如果能灵活运用积分区域和被积函数的对称性，那么许多积分的解题过程可以得到简化．本文着重讨论了对称性在二重积分计算中的应用，并借助实例分五种情况进行了讨论，指出了对称性解题的优点及应该注意的条件．ʌ关键词ɔ二重积分；对称性；应用ʌ基金项目ɔ湖南省普通高校教学改革研究项目（编号：湘教通 ２０１９ ２９１号Ｎｏ９２０）１㊀引㊀言二重积分是二元函数在平面区域上的积分，在‘数学分析“中占据着重要的地位，对我们学习诸如‘概率论与数理统计“等后续课程至关重要，其在几何㊁力学等多方面都有着广泛的应用．因此，灵活掌握二重积分的计算是十分必要的．我们知道，二重积分的计算是通过将该二重积分转化为定积分而实现的，但这个转化过程既要受积分区域的类型又要受被积函数的特点的约束．在直角坐标系下，我们将积分区域分为Ｘ－型区域和Ｙ－型区域，或者将区域的划分转化为Ｘ－型区域与Ｙ－型区域的和，然后再将二重积分化为先对ｙ后对ｘ和先对ｘ后对ｙ的累次积分．有时我们利用二重积分的变量变换公式，可使得被积函数简单化或积分区域简单化．除此之外，用极坐标来计算二重积分也是常见的办法．但是，有些二重积分，单纯用这些方法来计算，计算量会很大且容易出错．我们如果能够充分利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性，有时就可达到事半功倍的效果．因此，本文对对称性在二重积分计算中的应用进行较详细的探讨，并辅以实例来分析二重积分的具体计算过程．２㊀文献综述积分学是‘数学分析“课程中的重要内容，而二重积分是积分学的重要组成部分，是学习曲线积分㊁三重积分问题的基础．许多学者对二重积分的计算的问题进行了研究，并给出了一些好的计算方法和计算技巧．张云艳在文献［１］中举例说明了积分区城的轮换对称性在积分计算中的应用，指出我们在某些复杂的积分计算过程中，若能注意并充分利用积分区域轮换对称性或被积函数的奇偶对称性，往往可以简化计算过程，提高解题的效率．马志辉在文献［２］中对对称性在积分中的应用进行了研究，文章首先阐述了对称性在多元函数积分下的性质，并借助实例对对称性在积分中的应用进行了研究，主要考虑了两种情况：一是当且仅当积分区域和被积函数都具有对称性时，我们可以利用对称性简化积分的计算，二是当积分区域和被积函数具有轮换对称性时，我们也可以利用对称性简化二重积分的计算．葛淑梅在文献［３］中通过由类比一元连续函数在对称区间上定积分的计算方法，导出二元连续函数在对称区域上二重积分的计算方法，使得对称区域上难于计算的二重积分得以简化．在原被积函数不具备奇偶性计算困难的情况下，利用积分对积分区域的可加性，将其转换为几个容易计算的二重积分来计算．景慧丽㊁屈娜在文献［４］中介绍了二重积分的计算具有较大的开放性，针对一道二重积分的题目存在许多计算方法，并且对每种方法的使用技巧及使用范围进行了说明，这可以培养学生的思维发散性．刘红梅在文献［５］中对二重积分的求解进行了研究，通过证明和推导指出二重积分在区域对称以及函数奇偶下有简便算法，并通过具体的实例进行求解进一步证明，巧妙利用二重积分的对称性质能极大地简化二重积分问题，提高求解的效率．３㊀对称性在二重积分计算中的应用利用对称性计算二重积分∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄσ，既要考虑积分区域的对称性，又要考虑被积函数ｆ（ｘ，ｙ）关于某一自变量ｘ或ｙ的奇偶性，而且还要将被积函数的奇偶性与积分区域的对称性相结合进行考虑．我们如果能充分利用对称性来考虑二重积分问题，那么很多时候可以简化计算．３．１㊀平面区域Ｄ是关于ｙ轴对称的情形引理１㊀若二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在平面区域Ｄ上连续，且平面区域Ｄ关于ｙ轴对称，则有如下结论：（１）当被积函数ｆ（ｘ，ｙ）关于自变量ｘ为奇函数时，即ｆ（－ｘ，ｙ）＝－ｆ（ｘ，ｙ），则二重积分∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄσ＝０；（２）当被积函数ｆ（ｘ，ｙ）关于自变量ｘ为偶函数时，即ｆ（－ｘ，ｙ）＝ｆ（ｘ，ｙ），则二重积分∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄσ＝２∬Ｄ１ｆ（ｘ，ｙ）ｄσ，其中Ｄ１是平面区域Ｄ的右半部分，即Ｄ１＝（ｘ，ｙ）ɪＤ｜ｘȡ０{}．例１㊀计算二重积分∬Ｄｘｓｉｎ（ｘ２＋ｙ２）ｄｘｄｙ，其中Ｄ＝（ｘ，ｙ）ｘ２＋ｙ２ɤ２ｙ{}．解㊀因为积分域Ｄ关于ｙ轴对称，被积函数ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘｓｉｎ（ｘ２＋ｙ２）是关于ｘ的奇函数，所以由对称性得∬Ｄｘｓｉｎ（ｘ２＋ｙ２）ｄｘｄｙ＝０．３．２㊀平面区域Ｄ是关于ｘ轴对称的情形引理２㊀若二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在平面区域Ｄ上连续，且平面区域Ｄ关于ｘ轴对称，则有如下结论：（１）当被积函数ｆ（ｘ，ｙ）关于自变量ｙ为奇函数时，即ｆ（ｘ，－ｙ）＝－ｆ（ｘ，ｙ），则二重积分∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄσ＝０；（２）当被积函数ｆ（ｘ，ｙ）关于自变量ｙ为偶函数时，即ｆ（ｘ，－ｙ）＝ｆ（ｘ，ｙ），则二重积分∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄσ＝２∬Ｄ２ｆ（ｘ，ｙ）ｄσ，其中Ｄ２是平面区域Ｄ的上半部分，即Ｄ２＝｛（ｘ，ｙ）ɪＤ｜ｙȡ０｝．㊀㊀㊀㊀㊀１２６㊀例２㊀计算二重积分∬Ｄ(ｘｙ２＋ｘｙｅｘ２＋ｙ２２)ｄｘｄｙ，其中Ｄ是由直线ｘ＝１，ｙ＝ｘ与ｙ＝－ｘ所围区域．解㊀由积分对区域的可加性，有∬Ｄｘｙ２＋ｘｙｅｘ２＋ｙ２２()ｄｘｄｙ＝∬Ｄｘｙ２ｄｘｄｙ＋∬Ｄｘｙｅｘ２＋ｙ２２ｄｘｄｙ．设区域Ｄ：０ɤｘɤ１，－ｘɤｙɤｘ，{区域Ｄ１：０ɤｘɤ１，０ɤｙɤｘ，{则区域Ｄ是关于ｘ轴对称的区域，且函数ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘｙ２是关于ｙ的偶函数，函数ｇ（ｘ，ｙ）＝ｘｙｅｘ２＋ｙ２２是关于ｙ的奇函数，因此，由上面的引理知，∬Ｄｘｙ２ｄｘｄｙ＝２∬Ｄ１ｘｙ２ｄｘｄｙ，∬Ｄｘｙｅｘ２＋ｙ２２ｄｘｄｙ＝０，所以原二重积分∬Ｄ(ｘｙ２＋ｘｙｅｘ２＋ｙ２２)ｄｘｄｙ＝∬Ｄ１２ｘｙ２ｄｘｄｙ＝ʏ１０ｄｘʏｘ０２ｘｙ２ｄｙ＝２１５．３．３㊀平面区域Ｄ是关于ｙ轴以及ｘ轴均对称的情形引理３㊀若二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在平面区域Ｄ上连续，且平面区域Ｄ关于ｙ轴以及ｘ轴均对称，则如果ｆ（ｘ，ｙ）关于变量ｘ，ｙ都是偶函数，即ｆ（－ｘ，ｙ）＝ｆ（ｘ，ｙ），且ｆ（ｘ，－ｙ）＝ｆ（ｘ，ｙ），则∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄσ＝４∬Ｄ３ｆ（ｘ，ｙ）ｄσ，其中Ｄ３是平面区域Ｄ在第一象限的部分，即Ｄ３＝（ｘ，ｙ）ɪＤ｜ｘȡ０，ｙȡ０{}．例３㊀计算二重积分：∬Ｄ（ｘ＋ｙ）ｄｘｄｙ，其中区域Ｄ的范围是ｘ＋ｙɤ１．解㊀区域Ｄ是关于两坐标轴都对称的区域，同时被积函数ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ＋ｙ关于变量ｘ，ｙ都是偶函数，由引理３知∬Ｄ（ｘ＋ｙ）ｄｘｄｙ＝４∬Ｄ１（ｘ＋ｙ）ｄｘｄｙ，其中Ｄ１为区域Ｄ中的第一象限所在的部分且Ｄ１是关于直线ｙ＝ｘ对称的，所以∬Ｄ（ｘ＋ｙ）ｄｘｄｙ＝４∬Ｄ１（ｘ＋ｙ）ｄｘｄｙ＝４∬Ｄ１（ｘ＋ｙ）ｄｘｄｙ＝４ʏ１０ｄｘʏ１－ｘ０（ｘ＋ｙ）ｄｙ＝４３．其中Ｄ１是平面区域Ｄ在第一象限的部分，即Ｄ１＝｛（ｘ，ｙ）ɪＤ｜ｘȡ０，ｙȡ０｝．３．４㊀平面区域Ｄ是关于原点对称的情形引理４㊀若二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在平面区域Ｄ上连续，且平面区域Ｄ关于原点对称，则：（１）如果ｆ（ｘ，ｙ）关于变量ｘ为奇函数而关于ｙ是偶函数（或者ｆ（ｘ，ｙ）关于变量ｘ为偶函数而关于ｙ是奇函数），则∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄσ＝∬Ｄ１ｆ（ｘ，ｙ）ｄσ＋∬Ｄ１ｆ（－ｘ，－ｙ）ｄσ＝０；（２）如果ｆ（ｘ，ｙ）关于变量ｘ，ｙ都是偶函数（或者ｆ（ｘ，ｙ）关于变量ｘ，ｙ都是奇函数），则∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄσ＝２∬Ｄ１ｆ（ｘ，ｙ）ｄσ，其中Ｄ１为原点一侧的部分．例４㊀计算二重积分：Ｉ＝∬Ｄｘｙｄσ，其中平面区域Ｄ是由方程（ｘ２＋ｙ２）２＝２ｘｙ所确定的区域．解㊀因为区域Ｄ是关于原点对称的，且被积函数ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘｙ关于变量ｘ为奇函数，关于变量ｙ也为奇函数，所以由引理４，有：Ｉ＝２∬Ｄ１ｘｙｄσ，其中Ｄ１为平面区域Ｄ的第一象限部分．下面利用极坐标计算此二重积分，得Ｉ＝２∬Ｄ１ｘｙｄσ＝２ʏπ２０ｃｏｓθｓｉｎθｄθʏｓｉｎ２θ０γ２ｄγ．（计算略）３．５㊀平面区域Ｄ具有轮换对称性的情形引理５㊀若二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在平面区域Ｄ上连续，则：（１）如果积分区域Ｄ关于ｘ，ｙ具有轮换对称性，则∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝∬Ｄｆ（ｙ，ｘ）ｄｘｄｙ＝１２∬Ｄ（ｆ（ｘ，ｙ）＋ｆ（ｙ，ｘ））ｄｘｄｙ．（２）如果区域Ｄ关于直线ｙ＝ｘ对称，则：①如果被积函数满足ｆ（ｘ，ｙ）＝ｆ（ｙ，ｘ），则∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝２∬Ｄ１ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ．②如果被积函数满足ｆ（ｘ，ｙ）＝－ｆ（ｙ，ｘ），则∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝０．其中Ｄ１为Ｄ位于直线ｙ＝ｘ上半部分的区域．例５㊀计算二重积分Ｉ＝∬Ｄｘ２－ｙ２ｘ＋ｙ＋３ｄｘｄｙ，其中区域Ｄ＝（ｘ，ｙ）丨ｘ＋ｙɤ１{}．解㊀因为在积分区域中ｘ与ｙ互换不影响积分结果，所以该积分具有轮换对称性，由引理５，我们可得：∬Ｄｘ２ｘ＋ｙ＋３ｄｘｄｙ＝∬Ｄｙ２ｘ＋ｙ＋３ｄｘｄｙ所以Ｉ＝∬Ｄｘ２ｘ＋ｙ＋３ｄｘｄｙ－∬Ｄｙ２ｘ＋ｙ＋３ｄｘｄｙ＝∬Ｄｘ２ｘ＋ｙ＋３ｄｘｄｙ－∬Ｄｘ２ｘ＋ｙ＋３ｄｘｄｙ＝０．小结：该题巧用了积分区域的轮换性简化了计算，解题十分容易，但如果用常规方法求解，计算量很大．二重积分是‘数学分析“中积分学的重要内容之一，是学习后续课程的基础．二重积分计算的方法灵活，常常是借助直角坐标系或极坐标系，将二重积分化为定积分进行计算，但遇到比较复杂的积分计算或证明时，常规方法解题有局限性．对于被积函数或者积分区域具有某种对称性的积分计算问题，我们如果能灵活运用对称性，那么许多积分的解题过程可以化繁为简㊁化难为易，提高解题效率．ʌ参考文献ɔ［１］张云艳．轮换对称性在积分计算中的应用［Ｊ］．毕节师范高等专科学校学报，２００２（０３）：９０－９２．［２］马志辉．对称性在积分计算中的应用［Ｊ］．高等数学研究，２０１７（０１）：１０２－１０５．［３］葛淑梅．对称区域上二重积分的简化计算方法［Ｊ］．焦作大学学报，２０１８（０１）：１０１－１０３．［４］景慧丽，屈娜．一个二重积分的计算方法探讨［Ｊ］．商丘职业技术学院学报，２０１８（０１）：７４－７６．［５］刘红梅．二重积分计算巧用对称性简化求解［Ｊ］．普洱学院学报，２０１８（０６）：４５－４７．。
对称性在二重积分计算中的应用
对称性在二重积分计算中的应用在对称图形的积分计算中，对称性可以将积分区域划分为若干个相同或相似的子区域，从而简化积分计算。
例如，当积分区域具有关于x轴的对称性时，可以将整个积分区域划分为上下两个对称的子区域，然后只计算其中一个子区域的积分，再乘以2即可得到整个积分的结果。
同样地，对于具有关于y轴或原点对称性的积分区域，也可以利用对称性进行类似的简化。
这种方法可以大大减少计算量，并且适用于各种形式的对称图形，如关于斜线对称、关于点对称等。
另外，对称性还可以用来简化函数的积分计算。
如果被积函数具有关于一些轴的对称性，则可以将函数在整个积分区域上的积分转化为仅在一个子区域上的积分。
例如，当被积函数具有关于y轴的对称性时，可以将积分区域限定在y轴右侧的一个子区域上，然后只计算在该子区域上的积分，最后再乘以2得到整个积分的结果。
同样地，对于具有关于x轴或原点对称性的函数，也可以利用对称性进行类似的简化。
这种方法常常用于计算一些特殊函数的积分，如奇偶函数的积分等。
此外，对称性还可以通过坐标变换来进行利用。
通过适当的坐标变换，可以将原始的积分区域变换为具有对称性的新区域，在新区域上进行积分计算。
例如，当积分区域关于x轴对称时，可以利用变换u=x-y和v=x+y将原始区域变换为关于v轴对称的新区域，在新区域上进行积分计算，最后再进行恢复变换得到原始区域的积分结果。
通过这种方式，可以将积分区域的形状简化为对称的形状，从而方便进行积分计算。
在实际问题中，对称性在二重积分计算中的应用也十分广泛。
例如，在求解物体的质量、重心、转动惯量等物理量时，常常可以利用对称性简化计算过程。
又如在求解电荷分布、电场、电势等电磁问题中，对称性也可以起到重要的作用。
此外，对称性还可以用于求解微分方程的特解问题，通过对微分方程和边界条件的对称性进行分析，可以得到特殊的对称函数解，从而简化问题的求解过程。
综上所述，对称性在二重积分计算中的应用是十分广泛的。
二重积分的对称性计算
• 10、你要做多大的事情，就该承受多大的压力。12/12/
2020 11:55:31 AM11:55:312020/12/12
• 11、自己要先看得起自己，别人才会看得起你。12/12/
谢 谢 大 家 2020 11:55 AM12/12/2020 11:55 AM20.12.1220.12.12
f ( x, y)d 0.
D
（3）若D对称于y轴，且f ( x, y) f ( x, y)则
f ( x, y)d 2 f ( x, y)d .
D
D1
其中D1是D位于y轴右侧的部分。
（4）若D对称于y轴，且f ( x, y) f ( x, y)则
f ( x, y)d 0.
D
（5）若D对称于原点，且 f ( x, y) f ( x, y)则
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2、阅读一切好书如同和过去最杰出的 人谈话 。11:5 5:3111: 55:3111 :5512/ 12/2020 11:55:31 AM
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3、越是没有本领的就越加自命不凡。 20.12.1 211:55: 3111:5 5Dec-20 12-Dec-20
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4、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的 错儿。 11:55:3 111:55: 3111:5 5Saturday, December 12, 2020
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7、最具挑战性的挑战莫过于提升自我 。。20 20年12 月上午 11时55 分20.1 2.1211: 55Dece mber 12, 2020
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8、业余生活要有意义，不要越轨。20 20年12 月12日 星期六 11时55 分31秒 11:55:3 112 December 2020
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9、一个人即使已登上顶峰，也仍要自 强不息 。上午 11时55 分31秒 上午11 时55分 11:55:3 120.12. 12
1对称性在二重积分中的应用
定义 2：若二元函数 f (x, y)的定义域 D 关于 x
轴对称，且满足 f (x, y) f (x, y)
（或 f (x, y) f (x, y)），则称 f (x, y) 关于y
为奇（偶）函数.
定义 3：若二元函数 f (x, y) 的定义域 D 关于
直线 y 对x称，且满足 f (x, y) f ( y，, x)
解：由 e ydxdy etdudt exdydx
x2 y2 R2
u2 t2 R2
y2 x2 R2
exdxdy x2 y2 R2
计算
(ex e y )dxdy
x2 y2 R2
解： 由 e ydxdy exdxdy
x2 y2 R2
x2 y2 R2
故 (ex e y )dxdy exdxdy e ydxdy
片的质量M.
解：根据二重积分的物理意义，M e|x||y|dxdy. D
由于积分区域 D 关于x 轴，y 轴都对称，且
数关于 x, y 都是偶函数，根据推论1.1得
被积函
y
1
D
y 1 x
M e|x||y| dx d y 4 exy dx d y
D1DD1源自1 1x1 O1x
4 d x exy d y 4.
y
定理 1’
D1 D
若有界闭区域 D 关于 x 轴对称，f (x, y) O
x
在区域 D 上连续， 则
f
(x,
y)
dx
d
y
0
当 f (x, y) 关于y 为奇函数时
D
2 f (x, y)dxdy
D1 当 f (x, y) 关于 y 为偶函数时
二重积分的对称性
f ( x , y ) f ( x , y ).
则
f ( x , y ) d
D
2 f ( x , y ) d .
D1
( 2) 若被积函数 f ( x , y ) 关于 y 是奇函数，即 是奇函数
f ( x , y ) f ( x , y ).
则
f ( x , y ) d
64 . 15
157 页 2（3）
y
y 1 x
( 3)
解
x y e d , D : x y 1. D
1
y 1 x
e
D
x y
d
×
2 e
D1
x y
d
1
y x 1
o D1 1
1
x
y x 1
157 页 2（3）
y
y 1 x
( 3)
利用对称性化简二重积分计算
使用对称性时应注意： １、积分区域关于坐标轴的对称性；
２、被积函数在积分区域上的关于坐标轴的 奇偶性．
二重积分的对称性：
1、积分区域 D 关于 x 轴对称，D1 是 D 中对应于 y ≥0 的部分，则：
(1) 若被积函数 f ( x , y ) 关于 y y 是偶函数 是偶函数，即
0 2 x 1 1 1
0
x 1
x y
1
x 1 x y e e dy x 1
e )dx 0 (e e 2 x 1 )dx
e e 1 .
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
二重积分的对称性的5种情形：
1、当积分区域关于X轴对称，被积函数关于Y为偶函数， 则二倍关系。被积函数关于Y为奇函数，则为零。
二重积分积分区域的对称性
情形一：积分区域D 关于坐标轴对称定理4 设二元函数(,)f x y 在平面区域D 连续，且D 关于x 轴对称，则 1)当(,)(,)f x y f x y -=-（即(,)f x y 是关于y 的奇函数）时，有(,)0Df x y dxdy =⎰⎰ .2)当(,)(,)f x y f x y -=（即(,)f x y 是关于y 的偶函数）时，有1(,)2(,)DD f x y dxdy f x y dxdy =⎰⎰⎰⎰ .其中1D 是由x 轴分割D 所得到的一半区域。
例5 计算3()DIxy y dxdy =+⎰⎰，其中D 为由22y x =与2x =围成的区域。
解：如图所示，积分区域D 关于x 轴对称，且3(,)()(,)f x y xy y f x y -=-+=-即(,)f x y 是关于y 的奇函数，由定理1有3()0Df xy y dxdy +=⎰⎰.类似地，有：定理5 设二元函数(,)f x y 在平面区域D 连续，且D 关于y 轴对称，则其中2D 是由y 轴分割D 所得到的一半区域。
例6 计算2,DIx ydxdy =⎰⎰其中D 为由22;-220y x y x y =+=+=及所围。
解：如图所示，D 关于y 轴对称，并且2(,)(,)f x y x y f x y -==，即被积分函数是关于x 轴的偶函数，由对称性定理结论有：1122222022215x DD I x ydxdy x ydxdy dx x ydxdy -+====⎰⎰⎰⎰⎰⎰.定理6 设二元函数(,)f x y 在平面区域D 连续，且D 关于x 轴和y 轴都对称，则 （1）当(,)(,)f x y f x y -=-或(,)(,)f x y f x y -=-时，有(,)0Df x y dxdy =⎰⎰.（2）当(,)(,)(,)f x y f x y f x y -=-=时,有其中1D 为由x 轴和y 轴分割D 所的到的1/4区域。
二重积分的对称性计算
二重积分的对称性计算1.关于x轴对称：如果函数f(x,y)在以x轴为对称轴的区域D上连续，则有：∬D f(x, y) dxdy = ∬D f(x, -y) dxdy通过对称轴的改变，积分结果不会改变。
2.关于y轴对称：如果函数f(x,y)在以y轴为对称轴的区域D上连续，则有：∬D f(x, y) dxdy = ∬D f(-x, y) dxdy同样地，通过对称轴的改变，积分结果不会改变。
3.极坐标对称：如果函数f(r,θ)在以极轴（θ=0或θ=π）为对称轴的极坐标区域D上连续，则有：∬D f(r, θ) rdrdθ = ∬D f(r, -θ) rdrdθ通过极坐标的对称性，可以简化求解一些区域的积分。
4.直角坐标轴对称：如果函数f(x,y)在以直角坐标轴为对称轴的区域D上连续，则有：∬D f(x, y) dxdy = ∬D f(-x, y) dxdy = ∬D f(x, -y) dxdy = ∬D f(-x, -y) dxdy通过直角坐标轴的对称性，可以简化计算积分。
5.奇偶函数对称：如果函数f(x,y)在区域D上连续，且满足：f(-x,y)=-f(x,y)，称之为关于x轴的奇函数；f(x,-y)=-f(x,y)，称之为关于y轴的奇函数；f(-x,-y)=f(x,y)，称之为关于原点的偶函数。
对于奇函数∬D f(x, y) dxdy = 0对于偶函数，有：∬D f(x, y) dxdy = 2∬R f(x, y) dxdy其中，R是D在第一象限的对称区域。
通过奇偶函数对称性，可以将积分范围缩小到对称区域，从而简化计算。
除了以上的对称性，还有一些特殊的积分对称性，例如平移对称、旋转对称等。
这些对称性的应用能够大大简化二重积分的计算过程，提高计算效率。
总结起来，二重积分的对称性计算是通过改变积分区域或者改变函数本身的形式，使得积分结果保持不变。
在具体计算的过程中，可以利用对称性将积分范围缩小，从而简化计算。
9.2-2利用对称性求解二重积分
利用对称性求解二重积分第九章多元函数积分学第2节(1)直角坐标计算二重积分主讲韩华利用对称性求解二重积分一、对称性公式复习 当)(x f 在],[a a -上连续，且有①)(x f 为偶函数，则()d 2()d aaaf x x f x x -=⎰⎰；②)(x f 为奇函数，则()d 0a af x x -=⎰.xy o D 设函数D 位于x 轴上方的部分为D 1 , (1)(,)(,),f x y f x y -=(2)(,)(,),f x y f x y -=-(,)d Df x y σ⎰⎰(,)d 0Df x y σ=⎰⎰当区域关于y 轴对称, 函数关于变量x 有奇偶性时, 1D 在D 上12(,)d D f x y σ=⎰⎰在闭区域上连续,D 关于x 轴对称,则则仍有类似结果.在第一象限部分, 则有⎰⎰+ Dyxyx dd)(⎰⎰+=1dd)(422Dyxyx=利用对称性求解二重积分二、计算举例例10 计算其中D 由,42x y -=1,3=-=x x y 所围成.oyx124xy -=xy 3-=2D 1D 1=x 解:令)1ln(),(2y y x y x f ++=21D D D +=(如图所示)显然,,1上在D ),(),(y x f y x f -=-,2上在D ),(),(y x f y x f -=-yx y y x I D d d )1ln(12⎰⎰++=∴0.=yx y y x D d d )1ln(22⎰⎰+++4谢谢THANK YOU。
巧用对称性妙解二重积分
D
4
蓦 蓦 蓦 解: 因
2
x
dσ=
1
2
（x
2
＋y
）dσ＝
1
3
r
drdθ＝
πa
（巧用推论 2）
2
2
4
D
D
D
蓦（－2x＋3y）dσ＝0 （巧用性质 2）
D
4
2
所以，原式＝ πa
2
＋0＋2πa
＝
πa
2
4 计 算 x［1＋yf（x ＋y ）］dσ，其 中 f（u）连 续 ，D 由 曲 线 y＝x ，
【关键词】对称性；奇偶性；二重积分
我们知道,运用一元奇(偶)函数在对称区间上的定积分性质(即奇 偶对称性)常常可以简化定积分的运算.多元函数的积分也具有相应的 性质,利用这些性质往往也能起到很好的化简作用,一些看似很复杂甚 至无法直接求解的积分只要巧施此法，便能很快求解，效果奇妙。 在多 元函数积分的习题里面,大多数积分都涉及到对称性,因此,若能很好 的加以应用,对提高解题效率、增强应试能力等都大有帮助。 然而,在一 般的高数教材里面对此很少提及,虽然有的教师在教学中想极力作些 补充,但面对本来繁重的课堂教学任务往往也只能是蜻蜓点水，达不 到预期的效果;学术刊物上也有不少关于这方面的著述,但主要还是注 重理论推导，对此法的“巧”与“妙”讲得不够深入细仔。 因此，笔者觉得 对此有必要作一个详细的介绍,但限于篇幅，本文只谈谈该法在二重 积分计算中的巧妙运用。
● 【参考文献】
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二重积分■f(x,y)dxdy的对称性计算技巧
二重积分■f(x,y)dxdy的对称性计算技巧
二重积分是数学中一个重要的概念，它是指在一个二维平面上，将一个函数分解为两个独立的变量，通过不断积分来计算出函数的定义域。
在计算二重积分时，有一种特殊的技巧，即对称性计算技巧。
对称性计算技巧是指，当二重积分的定义域是对称的，即它的边界是对称的，我们可以利用它的对称性来提高计算效率。
例如，假设f(x,y)dxdy的定义域是以原点为中心，垂直于x轴和y轴的正方形，此时，我们可以利用它的对称性，将它分解为四个独立的定义域，分别是以原点为中心，垂直于x轴和y轴的两个半正方形，然后将它们的积分值相加，就可以得到f(x,y)dxdy的积分值。
因此，对称性计算技巧是一种有效的技巧，可以帮助我们提高计算效率，节省时间。
然而，我们也必须注意，这种技巧只适用于定义域是对称的情况，如果定义域不是对称的，我们就不能使用这种技巧。
因此，在使用对称性计算技巧时，我们需要仔细分析定义域，以确保它是对称的。
对称性在二重积分中的应用
对称性在二重积分中的应用
在数学中，“对称性”是指两个数学定义或操作之间的一种特殊关系。
它可以很容易地在函数、几何图形以及更多领域中表现出来。
“对称性”很多时候会用来解决两个数学知识体系之间的矛盾，同样也会被用于二重积分。
“对称性”在二重积分中被广泛用于对某个函数的二重积分进行求解。
若函数具有‘对称’特性，则某一坐标轴可以被忽略，也可以减少积分的面积，从而使求解的过程更加简化。
例如，函数y = x^2 具有"对称性"，则可以将积分的面积从原始的最大面积缩小为半径为2的圆区域，从而更容易求解。
“对称性”被普遍用于二重积分中求解非常复杂函数的情况。
例如，二重积分用来求解弦形曲线在某点处的法线投影长度，这是一个例子。
当函数具有“对称性”，可以非常容易地将积分从面积从直线或曲线切割成多边形时，这项工作就变得容易许多。
总之，“对称性”在二重积分中有着重要的作用。
它可以简化求解复杂函数的过程，并使积分的面积减少，这在许多应用和研究中都是很有用的。
利用对称计算二重积分1
3.设D关于原点对称则：
(1)若对任意点(x,y) D均有f(-x,-y)=-f(x,y),则I=0
(2)若对任意点(x,y) D均有f(-x,-y)=f(x,y)
则I=2 f(x,y)d 2 f(x,y)d , 其中D1D2如上定义
D1 D2
4.设D关于直线y=x对称（轮换对称），则：
(1) f ( x, y)d f ( y, x)d
D D
(2) f ( x, y )d f ( x, y )d 其中D1，D2为y x两侧
D1 D2
(3)如果f ( x, y) f ( y, x) 则 I 0
(4)如果f ( x, y ) f ( y, x) 则I 2 f ( x, y) d
I 4 e x y d 4
D0
其中D0是第一象限部分
-1 1
例2.计算二重积分
2 2 xy d 其中 D= (x,y) 2 x y 2x
若D= (x,y) 2 x y 2 y
2 2
D
, 结果等于多少？
解：由于D关于x轴对称，且被积函数关于y是奇函数， 故结果等于0.
解：由于D关于y轴对称，且被积函数中第一项关于x是奇函数， 故结果等于0.
例6.计算二重积分
2 x yd 其中D由-1 x 1,1 y 0 D
所围成的闭区域。
解：由于D关于y轴对称，且被积函数中第一项关于x是偶函数， 1 故原式=2 dy x ydx . 0 0 3
解：由于D关于直线y=x对称， x2 y 2 1 x2 y 2 y 2 x2 （ 2 + 2 ）d = [ （ 2 + 2 ）d （ 2 + 2）d ] a b 2 D a b a b D D 1 1 1 2 4 1 1 2 2 ( 2 + 2 ) （x +y ）d R ( 2 + 2) 2 a b D 4 a b
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巧用二重积分的对称性
作者：韩英裴丹妹刘庞凤宝杨竞艳邵诗雅吴婷婷
来源：《中国科教创新导刊》2013年第17期
摘要：利用二重积分被积函数的奇偶性及积分区域的对称性，可以将一些繁琐的二重积分的计算简化.
关键词：二重积分，对称性，奇偶性
中图分类号：O172.2 文献标识码：A 文章编号：1673-9795（2013）06（b）-0000-00
二重积分计算时，根据题目中的条件，充分利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性，往往可以达到事半功倍的效果.本文结合实例探讨二重积分的对称性的条件，结论和技巧.
1 二重积分的对称性基本性质运用
4 结束语
计算二重积分是高等数学教学中的重要内容，利用二重积分积分区域的对称性以及被积函数的奇偶性，往往能减少计算量. 需注意的是，只有具备积分域的对称性与被积函数的奇偶性两个条件才能使用对称性的结论。
参考文献
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