16-3一维势阱和势垒问题解读

n4
x a
a x
第k激发态(n=k+1)有k个节点。
（2）一维无限深势阱 的粒子位置概率密度 分布
1
2
n 1
0 2 2 n 2 a
2
x
0 无数峰：量子 经典均匀分布 0
a a n 1，x 处，几率最大 0 3 2 b n ，峰数 ，当n 时，
4
U0
II
III
o
a
x
而在微观粒子的情形，却会发生反射。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（2）E<U0 从解薛定谔方程的结果来看，在 势垒内部存在波函数2。即在势垒内 部找出粒子的概率不为零，同时，在 x>a区域也存在波函数，所以粒子还 I 可能穿过势垒进入x>a区域。
V
V0
II
III
o
a
x
粒子在总能量E小于势垒高度时仍能贯穿势垒的 现象称为隧道效应。
式中 A和α是待定常数，由边界条件和归一化条 件确定。
( x) A sin( kx )
从物理上考虑，粒子不可能透过阱壁，因而按照波 函数的统计诠释，要求在阱壁上和阱外波函数为0。 考虑波函数在阱壁上等于零的情况，即
(0) 0, (a) 0
————边界条件
(0) 0
这说明：并非任何 E值所对应的波函数都能满足一维 无限深方势阱所要求的边界条件，只有当能量取上式 给出的那些分立的值 En（体系的能量本征值）时， 相应的波函数才是物理上有意义的，即本问题中体系 的能量是量子化的，亦即体系的能谱是分立的。
2
2
2 2 2
( x) A sin kx
nx n ( x) A sin( ) a
2 2 U (r ) (r ) E (r ) 2
————定态薛定谔方程 ①列出各区域的定态薛定谔方程

1 2
(0 x a )
( x 0及x a)

势阱内
2
0<x<a
d 1 2E 2 1 0 2 dx
势阱外
m n d

0
即不同能级的波函数是互相正交的。 解: 波函数 m 取其复共轭 m 相乘并积分，得
m ( x ) n ( x )d


a ( 0
2 mπx 2 nπx sin )( sin )dx a a a a

(m n) πx a1 [cos 0 a a
与其它表面分析技术相比，STM所具有的独特优点 是： 1. 具有原子级高分辨率。STM在平行和垂直于样品 表面方向的分辨率分别可达0.1nm和0.01nm，即可分 辨出单个原子。
粒子的最低能量状态称为基态，则一维无限深方势 阱的基态能量为：
E1 2 0 2 a
2 2
————零点能
与零点能相对应的，应存在零点运动。这与经典粒 子的运动是相矛盾的。零点能是微观粒子波动性的表 现，因为“静止的波”是没有意义的。
② 图形 一维无限深方势阱中粒子的能级、波函数和几率密度
隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。 若控制隧道电流不变，则探针在垂直于样品 方向上的高度变化就能反映样品表面的起伏。
因为隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。 若控制针尖高度不变，通过隧道电流的变化可 得到表面态密度的分布； 利用STM可以分辨表面上 原子的台阶、平台和原子 探针 阵列。可以直接绘出表面 的三维图象 使人类第一次能够实时地观 空气隙 测到单个原子在物质表面上 的排列状态以及与表面电子 样品 行为有关的性质。在表面科 学、材料科学和生命科学等 STM工作示意图 领域中有着重大的意义和广 阔的应用前景。
隧道效应和扫描隧道显微镜STM Scanning tunneling microscopy 由于电子的隧道效应，金属中的电子并不完全局限于 表面边界之内，电子密度并不在表面边界处突变为零， 而是在表面以外呈指数形式衰减，衰减长度越为1nm。
只要将原子线度的极细探针 以及被研究物质的表面作为 两个电极，当样品与针尖的 距离非常接近时，它们的表 面电子云就可能重叠。 若在样品与针尖之间 加一微小电压Ub电子 就会穿过电极间的势 垒形成隧道电流。
x ≤ 0 ;x ≥a
2 0
理由:因为势壁无限高,所以粒子不能穿透势壁,故势 阱外的 波函数为零
定态薛定谔方程为
d 2 E 2 0 2 dx
2
E是粒子的总能量，E > 0，令 定态薛定谔方程变为
2
k
2 E
d 2 k 0 2 dx
此薛定谔方程的解为
( x) A sin( kx )
1 (0) 2 (0)
2 ( a ) 3 ( a)
d 1 ( x) d 2 ( x ) | x 0 | x 0 dx dx d 3 ( x ) d 2 ( x ) |xa |xa dx dx
求出解的形式画于图中。
讨论：
U
（1）E>U0
按照经典力学观点,在E>U0情况 下，粒子应畅通无阻地全部通过势 垒，而不会在势垒壁上发生反射。 I
(a) 0
2
0, 或m , m 1,2,3,......
A sin kx
波函数改写为： ( x)
ka n , n 1,2,3,......
d 2 0 2 dx
讨论一：n不等于零
d 2 k 0 2 dx
( x) Cx D
(0) 0 (a) 0
R
1
A1
2
B1 A1
定义透射系数： ————粒子穿过势垒的概率 ————穿过势垒的粒子数 / 入射到势垒上的粒 2 2 子数
T
A3 A1
2
A3 A1
R T 1
————概率守恒
反射系数 R 和透射系数 T 的具体值，需要根据波函 数的归一化条件，以及边界条件（波函数及其导数 在全空间连续）来确定。 利用波函数“单值、有限、连续”的标准条件，可 得：
（1）一维无限深势阱的粒子波函数
n ( x)
2 nx sin , a a
0 x a;
x 0, x a.
1
n 1
0, 除端点外，
0
2 n 2
a x a x
0 0
0
基态的波函数(n=1)无节点， 第一激发态(n=2)有一个节点，
3 n 3
4
ka n , n 1,2,3,......
(0 x a ) n 1,2,3,...
与能量本征值En相对应的本征波函数n (x)为：
利用归一化条件

2


a
n ( x) dx n ( x) dx 1
2 2 0
2
a
2 a nx A sin dx A 0 n a 2 a n 2 a A A 1 n 2 2
一维无限深方势阱的数学表达形式 ：
U ( x)
0
(0 x a )
( x 0 及x a )
一维无限深方势阱的图形表达形式 ： ∞
U(x)
∞ 粒子只能在宽为 a 的两个无 限高势壁间运动，这种势称为 一维无限深方势阱。
0
a
x
因为系统的势能与时间无关，因此这是一个定 态问题，可以用定态薛定谔方程进行求解。
2 d 2 1 ( x) E 1 ( x), x 0 2 2 dx 2 d 2 2 ( x) U 0 2 ( x) E 2 ( x), 2 2 dx 2 d 2 3 ( x) E 3 ( x), x a 2 2 dx 2 E 2 (U 0 E ) 2 2 令： k 2 2

n
0
sin 2tdt
A 2/a
波 函 ( x) 数： n
取 A为正实数
0 x a;
x 0, x a.

2 nx sin , a a
0,
讨论：
2 k 2 22n2 ① 粒子的能量 E n , n 1,2,3, 2 2 2 a
mn
克罗内克符号
mn
二、势垒穿透和隧道效应 有限高的方形势垒 数学形式：
0, U ( x) U 0 ,
图形形式： U
U0
x 0( P区), x a(S区) 0 x a(Q区)
考虑粒子的动能 E小于势垒高 度 U0的情况。（ E < U0 ）
E
P
Q
S
o
a x
U ( x)
(m n) πx cos ]dx a
1 ( m n)

( m n ) 0
1 cos udu ( m n)

( mn) 0
cos vdv
0
属于不同能级的波函数是正交的。 把波函数的正交性和归一性表示在一起，
m n d

δ mn
mn
1, 0,
2右边的第一项表示穿入势垒的透射波，第二项 表示被“界面（x=a）”反射的反射波。
3右边的第一项表示穿出势垒的透射波， 3的第 二项为零，因为在x>a区域不可能存在反射波(B3=0)。
定义反射系数：
————粒子被势垒反射的概率 ————被势垒反射的粒子数 / 入射到势垒上的 2 2 粒子数 B

方程的通解为：
1 A1e B1e ik1x ik1x 2 A2e B2e ikx ikx 3 A3e B3e
ikx
ikx
三式的右边第一项表示沿x方向传播的平面波， 第二项为沿x负方向传播的平面波。 1右边的第一项表示射向势垒的入射波，第二项 表示被“界面（x=0）”反射的反射波。