苏教版数学高一《平面向量的数量积的物理背景及其含义》精品教学设计
高中数学_平面向量数量积的物理背景及其含义教学设计学情分析教材分析课后反思
2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义教学设计高中数学一、教学目标1、知识与技能掌握平面向量的数量积的定义、运算律及其物理意义2、过程与方法（1）通过平面向量数量积的定义，让学生体会类比归纳的思维方法；（2）通过本节学习，体会求解一些比较简单向量数量积的方法。
3、情感态度与价值观通过本节的学习，培养学生的动手操作能力、观察判断能力，体会类比归纳思想。
二、重点、难点1、教学重点：平面向量数量积的概念，用平面向量的数量积表示向量的模及向量的夹角。
2、教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解；平面向量数量积的应用。
三、教学方法与教学手段本节课为新授课。
根据班级的实际情况，在教学中积极践行新课程理念，倡导合作学习；注重学生动手操作能力与自主探究能力；在教学活动中始终以教师为主导、学生为主体，让学生经历动手操作、合作交流、观察发现、归纳总结等一系列的学习活动。
教学方法是综合法，多媒体辅助教学。
四、教学过程3、几何意义θcosbaba=⋅例2、在三角形ABC中，设向量CB=a ,CA=b ,a·b<0 ，AD为BC边上的高，AD=2.5，a=3，b =5,求a与b的夹角学生独立解决，教师进提问、引导、评价师生互动，教师给出数量积的几何意义。
幻灯片展示题目，师生互动，从不同的角度对向量夹角进行求解。
“温故而知新”，用学生已有的知识体系，构建新的知识体系。
教材上对这一知识点仅只概念而已，因此，有必要及时检测学生对几何意义这一知识点的掌握情况，查缺补漏。
4、性质（1）ae⋅=ea⋅=θcosa（2）ba⊥⇔0=⋅ba（3）当a与b同向时，baba=⋅，当a与b反向时，baba-=⋅（4）baba⋅=θcos（5）baba≤⋅学生思考，教师引导，师生共同完成证明进一步加深对平面向量数量积及其几何意义的理解，并做到灵活应用六、指导思想与理论依据1、向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着丰富的实际背景。
平面向量数量积的物理背景及其含义(教学设计)
2.4.1 平面向量的数量积的物理背景及其含义（教学设计）[教学目标]一、 知识与能力：1． 掌握平面向量的数量积的物理背景及几何意义；2． 掌握平面向量数量积的运算律；二、过程与方法：渗透数形结合的数学思想方法，培养学生转化问题的能力；借助物理背景，感知数学问题，探究知识的来龙去脉；培养学生转化问题的能力.三、情感、态度与价值观：培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题；树立学科之间相互联系、相互促进的辩证唯物主义观点.[教学重点]向量的数量积的定义及性质．[教学难点]对向量数量积的定义及性质的理解和应用．一、 复习回顾，新课引入1． 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa .2．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e3．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a +=，把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a =4．平面向量的坐标运算若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，),(y x a λλλ=. 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --= 5．a ∥b (b ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=06．线段的定比分点及λP 1， P 2是直线l 上的两点，P 是l 上不同于P 1， P 2的任一点，存在实数λ，使 P P 1=λ2PP ，λ叫做点P 分21P P 所成的比，有三种情况：λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)问题：如图一个力F 作用于一个物体上，使该物体位移S ，（1） 如何计算这个力所做的功？W =|S||F|cos θ.（2） 如何从数学的角度来理解这个公式呢？○1θ的意义是什么？ ○2|F|cos θ的意义是什么？○3|S|cos θ 的意义是什么？ 二、师生互动，新课讲解：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；（3）当θ＝2π时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ； （4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0︒≤θ≤180︒2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，我们把数量|a |·|b |·cos θ叫做a 和b 的数量积（或内积）。
平面向量数量积的物理背景及其含义教案
平面向量数量积的物理背景及其含义一、教学目标 1、知识与技能：理解平面向量数量积的含义及其物理意义；应用数量积的性质和运算律进行相关的判断和运算。
2、过程与方法：通过物理中功的计算方式引入向量数量积的概念；通过对定义的理解与拓展，得到向量数量积的性质及运算律；应用“引”“动”“展”“评”“考”的教学方法对向量数量积的习题的灵活掌握。
3情感、态度与价值观：培养学生类比迁移的能力。
二、教学重难点1、重点：向量数量积德相关运算2、难点：向量数量积的性质和运算律的综合应用 三、教学过程（一）、复习引入。
两个非零向量 和 ，作OA a,OB b ==，则AOB ∠=θ叫做向量 和 的夹角 注意：向量的夹角，两向量必需共起点。
（二）、新课讲解1、物理中，一个物体在力 的作用下产生位移 ，则力所做的功w 计算，cos w F S θ=，其中θ是 与 的夹角。
像这样功w ，由力 和位移 ，和夹角θ确定的数量称为力 与 的数量积。
2、数量积的定义！ 已知两个非零向量 与 ，我们把数量 叫做 与 的数量积（或内积），记作a b ⋅。
cos a b a b θ⋅=即， 其中，θ为 与 的夹角。
规定：零向量与任一向量的数量积为0，注意：向量的数量积为一个实数，不是向量。
（老师提示，学生完成）.5,4,120.a b a b a b θ===⋅练习已知与的夹角，求 cos 54cos120154()10.2a b a b θ⋅==⨯⨯=⨯⨯-=-解： a b a b ,.a b <>记作b aA B O θF s F sF s F s a b cos a b θab a b a b3、向量数量积的性质设 与 是非零向量@2||||.a a a a a a ⋅==⋅(1)或 (2)0.a b a b ⊥⇔⋅= 4、投影的概念（1）cos b θ叫做向量 b 在 a 方向上的投影.（2）数量积的几何意义a 与b 的数量积等于 a 与b 在a 方向上投影 cos b θ的积.'5、向量数量积的运算律 12()()()(3)().a b b a a b a b a b a b c a c b c λλλ⋅=⋅⋅=⋅=⋅+⋅=⋅+⋅（）；（）；注意：()(),=a b c a b c a c b c a b ⋅⋅≠⋅⋅⋅=⋅(1) ；(2)不能得2222.||6,||4,60,(2)(-3).236||6||||||||cos606||36129672.a b a b a b a b a b a b a a a b b ba ab b a a b b ==+⋅+⋅-=⋅-⋅-⋅=-⋅-=--=--=-例1已知与的夹角为°求解：（）（）°（注：教师讲解，重点强调易错点）（三）课堂训练：（注：学生小组完成，让学生“动”“展”，教师完成“评”） cos a b a b θ⋅=o22||3,||2,()(2).·223cos302933224217oa b a b a b a ba b a b a a a b a b b ba ab b==+⋅+⋅⋅+⋅+⋅+⋅=++=+⨯⨯⨯+⨯=+已知与的夹角为30，求解：（+）(+2)=2222234,()()0.39,416,9160.3.43.4a b a b ka kb a kba kb a kba kb a kba bkkk a kb a kb==+-+⊥-∴+⋅-=====∴-=∴=±=±+-例2：已知，，且与不共线，为何值时，向量与互相垂直？解：（）（）又即时，与互相垂直（教师提示：向量的垂直可以转化为向量的数量积为零，由学生小组共同完成）（四）、课堂检测：（提示：由学生独立完成，限时5分钟，学生上交检测题，教师批改）…o22||1,||2,()(2).·22cos602111122482oa b a ba b a ba b a b a a a b a b b ba ab b==+⋅-⋅⋅-⋅+⋅-⋅=--=-⨯⨯⨯-⨯=-已知与的夹角为60，求解：（+）(-2)=（五）、课堂小结1.向量的数量积的定义cosa b a bθ⋅=2.向量数量积的性质2||||0.(2).a a a a a a b a b a ⋅==⋅⊥⇔⋅=(1)，或3.向量数量积的运算律、（六）、作业布置：课本108页 A 组第1题、五、课后思考题 ()()48.1|42|2k (2)(k )?o a b a b a b a b a b →→→→→→→→→→⊥已知＝，＝，与的夹角是120计算－；当为何值时，＋－六、教学反思：我作为高一数学组的代表,非常荣幸能够参加这次赛课，通过这次活动,我收获很多,在教学上进步很多.著名教育家布卢姆说:“教会学生思考,我们就给了他们自己教育自己的能力.”在新课标课程背景下衡量课堂教学效果好坏的一个重要标志就是学生的思维能力在多大程度上得到挖掘和培养.下面我将正式上课的主要环节做个反思：1、问题情景引入如果一个物体在力F 的作用下产生位移s,那么力所做的功是多少能否把“功”看成是两个向量的一种运算的结果呢为此,我们可以引入“向量数量积”的概念.但由于高一学生在物理上还没有学习到力与位移夹角不为零时功的计算公式，所以这里有一定的遗憾。
平面向量数量积的物理背景及其含义(教案
平面向量数量积的物理背景及其含义教学目标：1. 理解平面向量数量积的概念及其物理意义；2. 掌握平面向量数量积的计算公式；3. 能够运用平面向量数量积解决实际问题。
教学重点：1. 平面向量数量积的概念及其物理意义；2. 平面向量数量积的计算公式。
教学难点：1. 平面向量数量积的理解和应用；2. 平面向量数量积的计算公式的推导和运用。
教学准备：1. 教师准备PPT或黑板，用于展示向量数量积的物理背景和计算公式；2. 教师准备一些实际问题，用于引导学生运用向量数量积解决实际问题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师通过PPT或黑板，展示一些物理场景，如力的作用、位移等，引导学生思考向量数量积的物理背景；2. 学生分享自己对向量数量积的理解和疑问。
二、向量数量积的概念及其物理意义（15分钟）1. 教师通过PPT或黑板，介绍向量数量积的概念，即两个向量的点积；2. 教师解释向量数量积的物理意义，如力的作用、位移等；3. 学生跟随教师一起回顾向量数量积的定义和物理意义。
三、向量数量积的计算公式（15分钟）1. 教师通过PPT或黑板，推导出向量数量积的计算公式，即两个向量的点积等于它们的模长的乘积与它们的夹角的余弦值的乘积；2. 教师解释计算公式的推导过程和含义；3. 学生跟随教师一起推导计算公式，并理解其含义。
四、向量数量积的运用（15分钟）1. 教师提出一些实际问题，如力的合成、位移的计算等，引导学生运用向量数量积解决实际问题；2. 学生分组讨论，尝试解决实际问题；3. 各组汇报解题过程和结果，教师进行点评和指导。
2. 学生分享自己的学习收获和反思。
教学延伸：1. 教师可以引导学生进一步学习向量数量积的应用，如力的分解、动量的计算等；2. 教师可以组织学生进行小组讨论或研究，深入研究向量数量积的性质和应用。
教学反思：教师在课后对自己的教学进行反思，包括教学内容的掌握情况、学生的参与程度、教学方法的适用性等，以便于改进教学策略，提高教学质量。
平面向量数量积的物理背景及其含义(教案
平面向量数量积的物理背景及其含义教学目标：1. 了解平面向量数量积的物理背景；2. 掌握平面向量数量积的定义及其计算公式；3. 理解平面向量数量积的几何意义；4. 能够运用平面向量数量积解决实际问题。
教学重点：1. 平面向量数量积的物理背景；2. 平面向量数量积的定义及其计算公式；3. 平面向量数量积的几何意义。
教学难点：1. 平面向量数量积的计算公式的推导；2. 平面向量数量积的几何意义的理解。
教学准备：1. 教学课件或黑板；2. 教学用具（如直尺、三角板等）；3. 练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入物理背景：以力的合成与分解为例，说明平面向量数量积的重要性；2. 引导学生思考：如何量化两个力的合力的大小和方向？二、平面向量数量积的定义及其计算公式（15分钟）1. 介绍平面向量数量积的定义：两个向量的数量积是它们的模的乘积与它们夹角的余弦值的乘积；2. 推导平面向量数量积的计算公式：a·b = |a||b|cosθ；3. 讲解计算公式的含义：数量积表示两个向量共线的程度，正值表示共线同方向，负值表示共线反方向，零值表示不共线。
三、平面向量数量积的几何意义（15分钟）1. 解释平面向量数量积的几何意义：数量积等于两个向量夹角的余弦值，表示两个向量之间的夹角的余弦值；2. 绘制图示：通过图示解释数量积的计算公式及几何意义；3. 讲解数量积的性质：交换向量a和b，数量积不变；数量积为零，表示两个向量垂直。
四、平面向量数量积的运算律（15分钟）1. 介绍平面向量数量积的运算律：交换律、分配律、结合律；2. 通过示例讲解运算律的应用：解决实际问题，如力的合成与分解。
五、练习与巩固（10分钟）1. 出示练习题：让学生独立完成，检验对平面向量数量积的理解；2. 讲解答案：解析学生答案，解答疑问，巩固知识点。
教学反思：本节课通过引入物理背景，引导学生了解平面向量数量积的重要性，接着讲解其定义、计算公式、几何意义、运算律，通过练习题进行巩固。
平面向量数量积的物理背景及其含义说课稿教案教学设计(20210712091110)
平面向量数目积的物理背景及其含义一、教材剖析1. 地位与作用本节课是人教版一般高中课程标准实验教科书 A 版必修 4 第二章《平面向量》的第 4节内容。
本节内容教材共分为两课时，此中第一课时主要研究数目积的观点，第二课时主要研究数目积的坐标运算，本节课是第一课时。
向量数目积运算是继向量的线性运算后的一种新的重要的运算，它有显然的物理意义、几何意义。
向量数目积是代数、几何与三角的联合点，应用宽泛，很好地表现了数形联合的数学思想。
2.学情剖析学生在学习本节内容以前，已经学习了平面向量的线性运算，理解并掌握了向量数乘运算及其几何意义。
学生会产生这样的疑问——平面向量之间能够进行向量与向量的乘法运算吗？而学生此时已学习了功等物理知识，能够解决简单的物理问题，并熟知了实数的运算系统，这为学生学习数目积做了很好的铺垫。
所以本节课我从学生所熟习的“功”引入“数目积”，经过学生的自主研究，小组合作研究，教师评论等环节达成本节知识的学习。
二、教课目的1.知识与技术⑴理解平面向量数目积和投影的观点及数目积的几何意义；⑵掌握平面向量数目积的性质与运算律；⑶会用平面向量数目积表示向量的模与向量的夹角，会用数目积判断两个平面向量的垂直关系；⑷以数学知识的教课为载体，为学生创建学习数学英语知识的环境，从而认识数学专业术语的英语表示，能用英语进行数学方面的沟通，培育学生的跨文化意识与双思想，提高英语理解能力。
2.过程与方法本节课以物体受力做功为背景引入向量数目积的观点，让学生理解数目积的物理背景，学习“投影”后，经过设置例 1 让学生练习计算数目积与投影，并指引学生察看达成的表格发现数目积与投影的关系，从而得出数目积的几何意义，随后经过学生的自主学习与小组活动，研究数目积的性质与运算律。
设置分层例题与分层练习，夯实基础，提高能力。
采纳双习的兴趣。
3.感情态度与价值观经过平面向量数目积的学习，加深学生对数学知识之间联系的认识，领会数形联合思想、类比思想，领会数学知识抽象性、归纳性和应用性，促进学生形成学数学、用数学的思想和意识。
平面向量数量积的物理背景及其含义教学设计
平面向量数目积的物理背景及其含义教课方案一、教课剖析前方已经知道 , 向量的线性运算有特别明确的几何意义 , 所以利用向量运算能够议论一些几何元素的地点关系 . 既然向量能够进行加减运算 , 一个自然的想法是两个向量可否做乘法运算呢 ?假如能 , 运算结果应当是什么呢 ?此外 , 距离和角是刻画几何元素 ( 点、线、面 ) 之间胸怀关系的基本量 . 我们需要一个向量运算来反应向量的长度和两个向量间夹角的关系 . 尽人皆知 , 向量观点的引入与物理学的研究亲密有关 , 物理学家很早就知道 , 假如一个物体在力 F 的作用下产生位移 s( 如图 1), 那么力 F 所做的功图 1θ功 W 是一个数目 , 此中既波及“长度” , 也波及“角” , 并且只与向量有关 . 熟习的数的运算启迪我们把上式解说为两个向量的运算 , 从而引进向量的数目积的定义a·θ.这是一个好定义 , 它不单知足人们熟习的运算律 ( 如互换律、分派律等 ), 并且还能够用它来更为简短地表述几何中的很多结果 .向量的数目积是一种新的向量运算 , 与向量的加法、减法、数乘运算同样 , 它也有显然的物理意义、几何意义 . 但与向量的线性运算不一样的是, 它的运算结果不是向量而是数目 .二、教课目的1、知识与技术：掌握平面向量的数目积及其几何意义；掌握平面向量数目积的重要性质及运算律；认识用平面向量的数目积能够办理有关长度、角度和垂直的问题；掌握向量垂直的条件。
2、过程与方法：经过物理中“功”等实例，理解平面向量数目积的含义及其物理意义；领会平面向量的数目积与向量投影的关系。
3、感情态度与价值观：经过与物理中“功”的类比抽象出向量的数目积，培育学生的抽象归纳能力。
三、要点难点教课要点 : 平面向量数目积的定义 .教课难点 : 平面向量数目积的定义及其运算律的理解和平面向量数目积的应用 .四、教课假想（一）导入新课思路 1. 我们前方知道向量观点的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等观点 , 向量是既有大小、又有方向的量, 它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系 , 将向量这一工具应用到物理中 , 能够使物理题解答更简捷、更清楚 , 并且向量知识不单是解决物理很多问题的有益工具 , 并且用数学的思想方法去审察有关物理现象 , 研究有关物理问题 , 可使我们对物理问题认识更深刻 . 物理中有很多量 , 比方力、速度、加快度、位移等都是向量 , 这些物理现象都能够用向量来研究 .在物理课中 , 我们学过功的观点 , 即假如一个物体在力 F 的作用下产生位移 s,那么力 F 所做的功 W可由下式计算 :θ此中θ是 F 与 s 的夹角 . 我们知道力和位移都是向量, 而功是一个标量 ( 数量 ).故从力所做的功出发 , 我们就自然而然地引入向量数目积的观点.思路 2. 前方我们已学过 , 随意的两个向量都能够进行加减运算 , 并且两个向量的和与差还是一个向量 . 我们联合随意的两个实数之间能够进行加减乘除 ( 除数不为零 ) 运算 , 就自然地会想到 , 随意的两个向量能否能够进行乘法运算呢？假如能 , 其运算结果是什么呢？（二）推动新课、新知研究、提出问题①a·b 的运算结果是向量还是数目？它的名称是什么 ? ②由所学知识能够知道 , 任何一种运算都有其相应的运算律 , 数目积是一种向量的乘法运算 , 它能否知足实数的乘法运算律？③我们知道 , 对随意∈ R, 恒有 () 22+22,()() 22. 对随意愿量 a、b, 能否也有下边近似的结论 ?(1)()22+2a·2;(2)()·()22.活动 : 已知两个非零向量 a 与 b, 我们把数目θ叫做 a 与 b 的数目积 ( 或内积 ),记作 a·b, 即a·θ(0 ≤θ≤π ).此中θ是 a 与 b 的夹角θ( θ) 叫做向量 a 在 b 方向上 ( b 在 a 方向上 ) 的投影. 如图 2 为两向量数目积的关系, 并且能够知道向量夹角的范围是 0°≤θ≤180°.图 2在教师与学生一同研究的活动中, 应特别点拨指引学生注意:(1)两个非零向量的数目积是个数目 , 而不是向量 , 它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积 ;(2)零向量与任一直量的数目积为 0, 即 a·0=0;(3)符号“·”在向量运算中不是乘号 , 既不可以省略 , 也不可以用“×”取代 ;(4) 当 0≤θ <时θ >0,从而a· b>0;当<θ≤π时θ<0, 从而 a· b<0. 与22学生共同研究并证明数目积的运算律.已知和实数λ, 则向量的数目积知足以下运算律:①a·· a( 互换律 );②(λa) ·λ( a· b) ·(λb)( 数乘联合律 );③() ··· c( 分派律 ).特别是 :(1) 当 a≠0 时, 由 a·0不可以推出 b 必定是零向量 . 这是由于任一与 a 垂直的非零向量b, 都有 a·0.图 3(2)已知实数 a、b、c(b ≠0), 则 . 但对向量的数目积 , 该推理不正确 , 即a·· c 不可以推出 . 由图 3 很简单看出 , 固然 a·· c, 但 a≠c.(3)关于实数 a、 b、 c 有(a ·b)(b ·c); 但关于向量 a、b、c,( a·b)( b·c)不建立 . 这是由于 ( a· b) c 表示一个与 c 共线的向量 , 而 a( b·c) 表示一个与 a 共线的向量 , 而 c 与 a 不必定共线 , 所以 ( a·b)( b·c) 不建立 .议论结果 : ①是数目 , 叫数目积 .②数目积知足 a·· a( 互换律 );( λa) ·λ( a·b) ·(λb)( 数乘联合律 );() ··· c( 分派律 ).③(1)() 2=() ·()····2+2a·2;(2)()·()···· 22.提出问题①怎样理解向量的投影与数目积？它们与向量之间有什么关系？②能用“投影”来解说数目积的几何意义吗？活动: 教师指引学生来总结投影的观点, 能够联合“研究”, 让学生用平面向量的数目积的定义, 从数与形两个角度进行研究研究 . 教师给出图形并作结论性的总结 , 提出注意点“投影”的观点 , 如图 4.图 4定义θ叫做向量 b 在 a 方向上的投影 . 并指引学生思虑 :1°投影也是一个数目 , 不是向量 ;2°当θ为锐角时投影为正当 ; 当θ为钝角时投影为负值 ; 当θ为直角时投影为 0; 当θ =0°时投影为 ; 当θ=180°时投影为 .教师联合学生对“投影”的理解, 让学生总结出向量的数目积的几何意义:数目积 a·b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影θ的乘积 .让学生思虑 : 这个投影值可正、可负 , 也可为零 , 所以我们说向量的数目积的结果是一个实数 . 教师和学生共同总结两个向量的数目积的性质 :设 a、 b 为两个非零向量是与 b 同向的单位向量 .1° e··θ .2° a⊥ ·0.3°当 a 与 b 同向时· ; 当 a 与 b 反向时·.特别地 a·2或 a a .4°θ= a b.| a || b |5°·≤.上述性质要修业生联合数目积的定义自己试试推证 , 教师赐予必需的增补和提示 , 在推导过程中理解并记忆这些性质 .议论结果 : ①略 ( 见活动 ).②向量的数目积的几何意义为数目积 a·b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影θ的乘积 .（三）应用示例思路 1例 1 已知平面上三点 A、B、C 知足 AB 2BC 1, CA 3 ,求AB·BC +BC·CA +CA AB的值.活动 : 教师指引学生利用向量的数目积并联合两向量的夹角来求解, 先剖析题设而后找到所需条件 . 由于已知 AB 、BC、CA的长度 , 要求得两两之间的数目积 , 一定先求出两两之间的夹角. 联合勾股定理能够注意到△A BC是直角三角形 ,而后可利用数形联合来求解结果.解: 由已知BC2CA2 AB 2, 所以△是直角三角形 . 并且∠ 90°,从而∠3∠1. 22∴∠ 60°, ∠30°.∴ AB 与BC的夹角为 120°,BC与CA的夹角为 90°,CA与 AB 的夹角为150°.故 AB·BC +BC·CA +CA· AB=2×1×120°+1× 3 90°+ 3 ×2150°4.评论 : 确立两个向量的夹角, 应先平移向量 , 使它们的起点同样 , 再观察其角的大小 , 而不是简单地当作两条线段的夹角, 如例题中 AB 与BC的夹角是 120°,而不是变式训练已知 64 与 b 的夹角为 60°, 求 (2 b) ·(3 b解: (2 b) ·(3 b) ··6b· b 22·62θ -6222=6 - 6×4×60° - 6×4 72.例 2已知 34, 且 a 与 b 不共线 , 当 k 为什么值时 , 向量与相互垂直 ?解与相互垂直的条件是 () ·()=0,即 a22b2=0.2222∵a =3 =9 =4 =16,3∴±.也就是说 , 当±3时与相互垂直 . 4评论 : 此题主要观察向量的数目积性质中垂直的充要条件.变式训练已知向量 a、b 知足2 =9·12, 求的取值范围 .解: ∵22=9,∴3.又∵ a·12,∴· 12.∵·≤,∴12≤3≥4.故的取值范围是［ 4∞).思路 2例 1 已知在四边形中AB BC CD DA ,且a····a,试问四边形的形状如何？解:∵ AB BC CD DA0,即 0,∴().由上可得 () 2=() 2,即 a2 +2a·22+2c·2.又∵ a·· d, 故a2222. 同理可得 a2222.由上两式可得 a22, 且 b22,即, 且, 也即,且, ∴是平行四边形 .故AB= CD,即.又 a··· b,即 a·０ , ∴ a⊥ b, 即 AB ⊥BC .综上所述是矩形 .评论 : 此题观察的是向量数目积的性质应用 , 利用向量的数目积解决有关垂直问题 , 而后联合四边形的特色从而判断四边形的形状 .例 2 已知是两个非零向量 , 且 , 求向量 b 与的夹角 .活动 : 教师指引学生利用向量减法的平行四边形法例 , 画出认为邻边的 , 若AB CB , 则 CA DB . 由, 可知∠ 60°与 DB 所成角是 150° . 我们还能够利用数目积的运算 , 得出向量 b 与的夹角 , 为了稳固数目积的有关知识 , 我们采纳此外一种角度来思虑问题 , 教师赐予必需的点拨和指导 , 即由〈〉 =b (ab)作为切入点 ,| b || a b |进行求解 .解: ∵, ∴b 2=() 2. ∴22+2a ·2.1 2∴a ·.而 b ·() ·21 223 2,①22由() 22-2 a · 22- 2×( 1) 22=32 ,2而 2=() 2=32 , ∴3. ②∵〈〉 =b (ab) ,| b || a b |代入①② , 得〈〉3| b | | b |23 .2 3 | b |2又∵〈〉∈［ 0, π］ , ∴〈〉 =5.6评论 : 此题观察的是利用平面向量的数目积解决有关夹角问题 , 解完后教师实时指引学生对本解法进行反省、总结、领会 .变式训练设向量 ( ∈R), 已知 2 2 4⊥· 4, 且 b 与 c 的夹角为 120°, 求的值 .解: ∵a ⊥c, ∴a ·0. 又, ∴c ·() · c,即 2·· c. ∴2· c.由已知 2 =16·4, ∴164n. ∴4.从而 4b.∵b ·120°4,∴· 4·(1)4. ∴ 2. 2由 4b, 得 a·2-4 a· b,∴84a·0, 即 a·2m.①再由 4b, 得 b··4b2.∴· 164, 即· 12. ②2联立①②得 2m=12, 即2m=6.∴±6.故±64.（四）讲堂小结1.先由学生回首本节学习的数学知识 , 数目积的定义、几何意义 , 数目积的重要性质 , 数目积的运算律 .2.教师与学生总结本节学习的数学方法, 归纳类比、定义法、数形联合等 . 在意会数学思想方法的同时 , 鼓舞学生多角度、发散性地思虑问题 , 并鼓舞学生进行一题多解 .（五）作业。
平面向量数量积的物理背景及其含义(教案
平面向量数量积的物理背景及其含义教学目标：1. 了解平面向量数量积的物理背景；2. 掌握平面向量数量积的定义及其计算方法；3. 理解平面向量数量积的性质及其在几何中的应用。
教学重点：1. 平面向量数量积的物理背景；2. 平面向量数量积的定义及其计算方法；3. 平面向量数量积的性质及其在几何中的应用。
教学难点：1. 平面向量数量积的计算方法；2. 平面向量数量积的性质及其在几何中的应用。
教学准备：1. 教学PPT；2. 教学黑板；3. 教学素材（如图片、实例等）。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 利用PPT展示一些与向量相关的物理现象，如力的合成与分解、速度与加速度等；2. 引导学生思考这些现象与向量有何关系；3. 提问：同学们是否了解向量的数量积？如果有，请简要介绍一下。
1. 讲解平面向量数量积的物理背景，如力的合成与分解、速度与加速度等；2. 引导学生理解平面向量数量积的概念及其在物理中的意义。
三、平面向量数量积的定义及其计算方法（10分钟）1. 讲解平面向量数量积的定义；2. 引导学生掌握平面向量数量积的计算方法，如三角形法则、平行四边形法则等；3. 举例讲解平面向量数量积的计算方法。
四、平面向量数量积的性质及其在几何中的应用（10分钟）1. 讲解平面向量数量积的性质，如交换律、分配律等；2. 引导学生理解平面向量数量积在几何中的应用，如求解三角形、平行四边形等问题。
五、课堂练习与总结（5分钟）1. 布置一些有关平面向量数量积的练习题，让学生独立完成；2. 对学生的练习情况进行点评，解答学生的问题；3. 总结本节课所学内容，强调平面向量数量积的物理背景、定义、计算方法和性质等。
教学反思：本节课通过讲解平面向量数量积的物理背景、定义、计算方法和性质等内容，使学生了解了平面向量数量积的概念及其在几何中的应用。
在教学过程中，要注意引导学生主动思考、积极参与，提高学生的学习兴趣和动手能力。
结合实例和练习题，让学生更好地理解和掌握平面向量数量积的相关知识。
平面向量数量积的物理背景及其含义(教案)
平面向量数目积的物理背景及其含义三维目标：1、知识与技术：（1）理解平面向量数目积的几何意义及其物理意义；（2）掌握平面向量的数目积及其几何意义；掌握平面向量数目积的重要性质及运算律；（3）理解平面向量的数目积与向量投影的关系；（4）认识用平面向量的数目积可以办理有关长度、角度和垂直的问题能运用数目积表示两个向量的夹角，会用数目积判断两个平面向量的垂直关系。
2、过程与方法（1）在学习和运用向量的数目积的过程中，进一步领会平面向量实质及它与生活和自然科学联系，认识事物的一致性，并经过学习向量的数目积感觉数形联合的思想方法；（2）培育学生数形联合的思想方法以及解析问题、解决问题的能力及研究精神，培育学生的运算能力、慎重的思想习惯以及解题的规范性。
（3）经过对向量的数目积的研究、交流、总结，从各角度、用各方法来领会向量之间的关系和作用，不停从感性认识提升到理性认识，。
3、神态与价值观（1）经过用向量数目积解决问题的思想的学习，使学生加深认识数学知识之间的联系，领会数学知识抽象性、概括性和应用性，培育起学生学习数学的兴趣，形成学数学、用数学的思维和意识，培育学好数学的信心，为远大的理想而不懈奋斗。
（2）经过对向量数目积及所产生的思想方法的学习及研究，不停培育自主学习、主动研究、擅长反思、勤于总结的科学态度和持之以恒的研究精神，并提升参加意识和合作精神；教课要点：平面向量的数目积定义及应用( 能利用数目积解决求平行、垂直、夹角等问题)教课难点：平面向量的数目积与向量投影的关系；运算律的理解和平面向量数目积的应用。
教课过程：一、情形导入、引出新课1、提出问题 1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？希望学生回答：向量的加法、减法及数乘运算。
2、提出问题 2：请同学们连续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是依据如何的序次研究了这类运算的？希望学生回答：物理模型→看法→性质→运算律→应用3、新课引入：本节课我们仍旧依据这类研究思路来研究向量的别的一种运算：平面向量数目积的物理背景及其含义二、合作研究，精讲点拨研究一：数目积的看法1、给出有关资料并提出问题3：F （ 1）以以下图，一物体在力 F 的作用下产生位移 S，αS那么力 F 所做的功： W= | F| |S| cos α 。
平面向量数量积的物理背景及其含义教案
课 题§2.4.1 平面向量数量积的物理背景及含义（第一课时）数学组 黄凌晨教学目标(一)知识目标1、了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及了解其几何意义；2、体会平面向量的数量积与向量夹角、向量投影的关系；3、体会类比、分类讨论的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括的能力。
(二)能力目标通过对平面向量数量积定义的探究,体会各学科之间是密不可分的，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力,使学生的思维能力得到训练.继续培养学生的探究能力和创新的精神。
(三)情感目标通过本节课的学习,激发学生学习数学的兴趣和善于发现、勇于探索的精神,.培养学生思考问题认真严谨的学习态度。
教学重点：平面向量的数量积的定义、几何意义。
教学难点：平面向量数量积的概念。
教学方法：启发探究式,讲练结合法。
教学准备：多媒体、粉笔。
课型：新授课.教学过程(一)知识复习1.功的概念： 如果一个物体受到力的作用，并且在力的方向上发生了位移，物理学就说这个力对物体做了功。
如果一个物体在力F 作用下产生位移S ，那么F 所做的功为:(图1)中力所做的功W=F s (图2)中力所做的功cos W F s θ=,a bθθ与向量的关系以及的范围；r r 0=90=0a b a b θ⊥⇒当时，r r r r g =a b r r 与的数量积_________cos a b a b θ=r r r r g 即[]0θπ∈，b r 000=________=________=1________a b a b a b θθθθ⋅=⋅=⋅=r r r r r r 当为特殊角时，即当0， 即当90， 即当80，05,4,=120a b a b a b θ==r r r r r r g 例1 已知则与的夹角，求 ；(二)知识引入结合物理学中功大小的定义cos W F s θ=和前面我们说的把功看成是F 和s 两个向量的运算结果，两者是等价的.如果把F 和s 这两个向量推广到一般的向量，引出平面向量数量积的概念．(三)数量积定义的形成 思考一：类比物理学功的公式，你能推出两个非零向量 思考二：引导学生分析 (四)数量积的定义分析通过数量积定义的上述推导，得到数量积的定义．1、数量积的定义：已知两个非零向量a r 和b r ，把数量cos a b θr r 叫做a r 与b r 数量积（或内积），记作a b r r g θ为向量a b r r ，的夹角，且 我们规定：零向量与任何向量的数量积为0.2、书写要求与条件分析 ①a b r r 与的数量积记作：a b r r g （类比数量乘法，但二者有本质区别，不可省略“.”，不可写成“×” ）②定义中，向量a r 和 是非零向量，若=________a b a b ⋅r r r r 与中有一个为零向量，则3、数量积的定义分析 探究一：从平面向量数量积定义来看，cos a b a b θ=r r r r g①数量积a b r r g 的运算结果最终是一个数还是一个向量？② ③数量积在什么时候是正数？在什么时候是负数？在什么时候为0？讨论结果： 当[)︒︒∈90,0θ时，0cos >θ，0a b >r r g ； ;当(]︒︒∈180,90θ时，0cos <θ，0a b <r r g .④例题演练cos a θr(五)投影的概念1.投影的定义 cos a θr （cos b θr ）叫做向量a r 在b r 方向上(b r 在a r 方向上）的投影.探究二：我们该如何理解投影，从投影定义来看，a r 在b r 方向上(b r 在a r 方向上）的投影 有正、负、零之分吗？在什么时候为正？什么时候为负？什么时候为0？2、引导学生说出数量积的结构，也就是数量积的几何意义： 数量积a b a r r r g 等于与b r 在a r 方向上的投影cos b θr 的乘积3.例题解析（六）提升检验，学生解析，并分析对错原因，教师补充不足。
平面向量数量积的物理背景及其含义教案
平面向量数量积的物理背景及其含义教案一、教学目标1. 让学生理解平面向量的概念，掌握向量的表示方法。
2. 引导学生了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义。
3. 培养学生运用数量积解决实际问题的能力。
二、教学重点与难点1. 教学重点：平面向量数量积的物理意义，数量积的计算公式。
2. 教学难点：数量积在坐标系中的表示，数量积的性质。
三、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生从实际问题中提炼出向量数量积的概念。
2. 利用多媒体课件，直观展示向量数量积的物理背景。
3. 运用实例分析，让学生体会向量数量积在实际问题中的应用。
四、教学内容1. 向量的概念及表示方法：向量的大小、方向，向量的几何表示。
2. 向量数量积的物理背景：力的合成与分解，功的计算。
3. 向量数量积的计算公式：a·b = |a||b|cosθ，其中θ为a与b之间的夹角。
4. 数量积的性质：交换律、分配律、共线向量的数量积为零。
5. 数量积在坐标系中的表示：利用坐标计算向量的数量积。
五、教学过程1. 导入新课：通过一个简单的物理问题，引导学生思考向量数量积的必要性。
2. 讲解向量的概念及表示方法：结合图形，解释向量的大小、方向及几何表示。
3. 阐述向量数量积的物理背景：以力的合成与分解为例，说明向量数量积的含义。
4. 推导向量数量积的计算公式：引导学生从物理意义出发，推导出公式。
5. 讲解数量积的性质：通过实例，演示交换律、分配律、共线向量的数量积为零。
6. 数量积在坐标系中的表示：利用坐标计算向量的数量积，让学生理解坐标与向量数量积的关系。
7. 课堂练习：布置一些有关向量数量积的题目，让学生独立完成。
8. 总结与拓展：回顾本节课所学内容，引导学生思考向量数量积在实际问题中的应用。
六、教学评价1. 课堂讲解：评价学生对向量概念、数量积物理背景的理解程度。
2. 课堂练习：检查学生运用数量积解决实际问题的能力。
3. 课后作业：评估学生对数量积计算公式、性质的掌握情况。
高中数学《2.4.1平面向量数量积物理背景及其含义》教学设计
课题：§2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义一、教学目标1、了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；2、体会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算；b5E2RGbCAP3、体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。
二、教学重、难点教学重点：1、平面向量数量积的含义与物理意义2、性质与运算律及其应用教学难点：1、平面向量数量积的概念2、平面向量数量积的运算律〔2〕、〔3〕的证明三、教学过程活动一：创设问题情景，引出新课1、提出问题1：请同学们回忆一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？期望学生答复：向量的加法、减法及数乘运算。
2、提出问题2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？p1EanqFDPw期望学生答复：物理模型→概念→性质→运算律→应用3、新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算：平面向量数量积的物理背景及其含义活动二：探究数量积的概念1、给出有关材料并提出问题3：F〔1〕如下列图，一物体在力F的作用下产生位移S，那么力F所做的功：W=|F|| S|cosα。
αS 〔2〕这个公式的有什么特点？请完成以下填空：①W〔功〕是量，②F〔力〕是量，③S〔位移〕是量，④α是。
〔3〕你能用文字语言表述“功的计算公式〞吗?期望学生答复：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积2、明晰数量积的定义〔1〕数量积的定义：两个非零向量a与b，它们的夹角为，我们把数量︱a︱·︱b的数量积〔或内积〕，记作：a·b，即：a·b=︱a︱·︱b︱cos〔2〕定义说明：bb︱cos叫做a与DXDiTa9E3d①记法“a·b〞中间的“·〞不可以省略，也不可以用“〞代替。
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使 P P 1=λ2PP ，λ叫做点P 分21P P 所成的比，有三种情况：
λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)
7. 定比分点坐标公式：
若点P １(x 1，y 1) ，Ｐ２(x 2，y 2)，λ为实数，且P P 1＝λ2PP ，则点P 的坐标为
（λ
λλλ++++1,12121y y x x ），我们称λ为点P 分21P P 所成的比. 8. 点P 的位置与λ的范围的关系：
①当λ＞０时，P P 1与2PP 同向共线，这时称点P 为21P P 的内分点.
②当λ＜０(1-≠λ)时，P P 1与2PP 反向共线，这时称点P 为21P P 的外分点.
9.线段定比分点坐标公式的向量形式：
在平面内任取一点O ，设1OP ＝ａ，2OP ＝ｂ，
可得OP =b a b a λ
λλλλ+++=++1111. 10．力做的功：W = |F |⋅|s |cos θ，θ是F 与s 的夹角.
二、讲解新课：
1．两个非零向量夹角的概念
已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的
夹角.
说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；
（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；
（3）当θ＝2
π时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ； （4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0︒≤θ≤180︒
2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量
C
|a ||b |cos θ叫ａ与ｂ的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，
（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.
⋅探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别
（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos θ的符号所决定.
（2）两个向量的数量积称为内积，写成a ⋅b ；今后要学到两个向量的外积a ×b ，而a ⋅b 是两
个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，
也不能用“×”代替.
（3）在实数中，若a ≠0，且a ⋅b =0，则b =0；但是在数量积中，若a ≠0，且a ⋅b =0，不能推出
b =0.因为其中cos θ有可能为0.
（4）已知实数a 、b 、c (b ≠0)，则ab=bc ⇒ a=c .但是a ⋅b = b ⋅c
a = c
如右图：a ⋅b = |a ||b |cos β = |b ||OA|，b ⋅c = |b ||c |cos α = |b ||OA|
⇒ a ⋅b = b ⋅c 但a ≠ c
(5)在实数中，有(a ⋅b )c = a (b ⋅c )，但是(a ⋅b )c ≠ a (b ⋅c )
显然，这是因为左端是与c 共线的向量，而右端是与a 共线的向量，而一般a 与c 不共
线.
3．“投影”的概念：作图
定义：|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影.
投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为
直角时投影为0；当θ = 0︒时投影为 |b |；当θ = 180︒时投影为 -|b |.
4．向量的数量积的几何意义：
数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积.
5．两个向量的数量积的性质：
设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量.
1︒ e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ
2︒ a ⊥b ⇔ a ⋅b = 0
3︒ 当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |. 特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=||
时，有0°或180°两种可能.
四、课堂练习：
1.已知|a |=1，|b |=2，且(a -b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是（ ）
A.60° B .30° C.135° D.４５°
2.已知|a |=2，|b |=1，a 与b 之间的夹角为3
π，那么向量m =a -4b 的模为（ ） A.2 B .23 C.6 D.12
3.已知a 、b 是非零向量，则|a |=|b |是(a +b )与(a -b )垂直的（ ）
A.充分但不必要条件 B .必要但不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.已知向量a 、b 的夹角为3
π，|a |=2，|b |=1，则|a +b |·|a -b |= . 5.已知a +b =2i -8j ，a -b =-8i +16j ，其中i 、j 是直角坐标系中x 轴、y 轴正方向上的单位向量，那么a ·b = .
6.已知a ⊥b 、c 与a 、b 的夹角均为60°，且|a |=1，|b |=2，|c |=3，则(a +2b -c )２
＝______.
7.已知|a |=1，|b |=2，(1)若a ∥b ，求a ·b ；(2)若a 、b 的夹角为６０°，求|a +b |；(3)若a -b 与a 垂直，求a 与b 的夹角.
8.设m 、n 是两个单位向量，其夹角为６０°，求向量a =2m +n 与b =2n -3m 的夹角.
9.对于两个非零向量a 、b ，求使|a +tb |最小时的t 值，并求此时b 与a +tb 的夹角.
五、小结（略）
六、课后作业（略）
七、教学后记：。