2.3向量的坐标表示和空间向量的基本定理
空间向量的基本定理及坐标表示
求
解:
a b , a b ,8a。
a b (2, 3,5) (3,1, 4) (1, 2,1)
a b (2, 3,5) (3,1, 4) (5, 4,9)
8a 8(2, 3,5) (16, 24, 40)
例2：P80例2.
base vectors. 空间任何三个 e1 , e 2 , e 3 都叫做 基向量
特别地, 设e1 , e 2 , e 3为有公共起点 O的三个两 两垂直的单位向量 ( 我们称它们为单位正交 基底) , 以 e1 , e 2 , e 3 的公共起点O为原点, 分别 以e1 , e 2 , e 3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向 建立空间直角坐标系 Oxyz. 那么, 对于空间任 意一个向量 p, 一定可以把它平移, 使它的起
基本定理：
间任一向量 p, 存在唯一的有序实数组 x, y, z,
定理： 如果三个向量e1 , e 2 , e 3不共面, 那么对空
使得p xe1 ye 2 ze 3 .
定理告诉我们，若三向 量不共面， 则空间任一向量都可由 他们线性表示 我们把e1 , e 2 , e 3 叫做空间的一个基底base , 不共面的向量都可构成 空间的一个基底 .
空间向量的基本定理及坐标表示
我们知道, 平面内任意一 个向量p都可以用两个不 共线的向量a, b来表示(平 面向量基本定理 ).对于空 间任意一个向量, 有没有 类似的结论呢? 如图3.1 15, 设i, j, k是空
i
z
P
k
O
j
Q
y
x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
图3.1 15
间三个两两垂直的向量, 且有公共起点O.对于空间 任意一个向量 p OP , 设点Q为点P在i, j所确定的 平面上的正投影,由平面向量基本定理可知, 在OQ , k所确定的平面上, 存在实数z , 使得OP OQ zk.
空间向量知识点总结简单
空间向量知识点总结简单一、空间向量的概念空间向量是指在空间中既有方向，又有大小的有向线段，它通常用两个端点来确定。
空间向量与数集合相似，但它比数多了方向和长度属性，而且可以进行加法运算。
二、空间向量的表示1. 向量的表示：（1）向量的坐标表示：设 A、B 两个点在空间直角坐标系中的坐标分别为 (x1, y1, z1) 和(x2, y2, z2)，则向量 AB 可用有向线段 OA = (x2-x1, y2-y1, z2-z1) 表示。
（2）向量的分量表示：向量的三个分量包括它在 x 轴、y 轴和 z 轴上的投影。
2. 向量的线性运算：（1）向量的加法：两个向量的加法就是将其对应分量相加。
（2）向量的数乘：一个向量的数乘就是将其三个分量都乘以同一个实数。
（3）向量的减法：向量 C 是向量 A 减向量 B 的运算，其方向由 A 指向 B。
3. 向量的模：（1）向量的模长：在空间直角坐标系中，向量 (x, y, z) 的模长公式为√(x^2 + y^2 +z^2) 。
（2）单位向量：模长为 1 的向量称为单位向量。
三、向量的线运算1. 点积（数量积）：两个向量的点积定义为：A · B = |A| × |B| × cosθ，其中 |A| 和 |B| 分别为 A 和 B 的模长，θ 为 A 和 B 的夹角。
性质：点积满足交换律、分配律、结合律。
应用：点积可以用来判断两个向量的夹角、求向量的投影、求向量的模等。
2. 叉积（向量积）：两个向量的叉积定义为：A × B = |A| × |B| × sinθ × n，其中 |A| 和 |B| 分别为 A 和 B 的模长，θ 为 A 和 B 的夹角，n 为法向量。
性质：叉积不满足交换律，但满足分配律。
应用：叉积可以用来求向量的方向、求平行四边形或平行六面体的面积、求直线、平面的方程等。
四、空间向量的几何应用1. 平面向量的应用：（1）平行四边形面积公式：S = |A × B| = |A| × |B| × sinθ。
§3 向量的坐标表示和空间向量基本定理
1:如何确定空间中点的坐标? (对空间任一点 P(x,y,z),如图(1)所示,过 P 作面 xOy 的垂线,垂足 为 P',在面 xOy 中,过 P'分别作 x 轴,y 轴的垂线,垂足分别为 A,C, 则|x|=P'C,|y|=AP',|z|=PP'.
比如在长方体 ABCD A1B1C1D1 中,AB=3,AD=2,AA1=1,则 B1(2,3,1),B(2,3,0),C1(0,3,1),A1(2,0,1),如图(2))
空间向量基本定理的应用
【例 3】 如图所示,在空间四边形 OABC 中,其对角 线为 OB、AC,M 为 OA 的中点,D 为 BC 的中点,G 为 △ABC 的重心,用向量 OA , OB , OC 表示 MG .
解:∵G 为△ABC 的重心,
1 ∴ AG = AD , 3
(2)向量的坐标等于它在坐标轴正方向上的投影.
2:投影是向量还是数量? (投影是数量,可正可负可为 0)
三、空间向量基本定理
3:在上述实例②中,向量 p 如何用向量 a,b,c 表示?
(p= AB + AD + AA1 =a+b+c)
3:(1)如果向量 e1、 e2、 e3 是空间三个不共面的向 量,a 是空间任一向量,那么存在唯一一组实数λ 1、λ 2、λ
BA = BA + AA =- OC + OO =c-b, CA = CA + AA = OA - OC + OO =a-b+c.
空间向量的坐标表示
e3 Oe 2
分别为x,y,z轴正方向上的单位向量，由空间向量 ( x, y, z) 基本定理，存在唯一的有序实数组
给定一个空间直角坐标系和向量 p 且设 ，
i、 k j、
A(x,y,z) y
e1
(1)设a (a1, a2 , a3 ), b (b1, b2 , b3 )
即对应坐标成比例.
4.判断下列各组中的两个向量是否共线.
9 (1)a (2,3, 4, ), b (3, , 6) 2 (2)a (2,0, 4,), b (4,1, 8) (3)a (2,0, 4,), b (4,0, 8)
5.已知m (8,3, a), n (2b, 6,5) ,若m n 则a=_____,b=______.
则:
2、空间向量的直角坐标运算律：
a (a1 , a2 , a3 )
(2)若A(a1 , b1 , c1 ), B(a2 , b2 , c2 )则 AB (a2 a1 , b2 b1 , c2 c1 )
a b (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ) a b (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 )
a b
a (a1, a2 )( R),
(a1 b1 , a2 b2 ),
(2)若A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
则AB ( x2 x1 , y2 y1 )
1、空间向量的坐标表示：
使得 p xi y j zk 则有序实数组 ( x, y, z ) 叫做 p 在空间直角坐标系 O-xyz中的坐标，上式可简记作 p ( x, y, z) z
2.3.2《空间向量基本定理》线上课程课件-北师大版高中数学选修2-1
2
2
= 1 AD + AC AB 2
（2）MN = 1 CD = 1 AD AC
2
2
EF MN = 1 AD + AC AB 1 AD AC
2
2
= 1
2
2
AD AC
=0
4
江西省新余市第一中学
刘斌
03 问题探究
如果向量e1 ,e2 ,e3是空间三个 不共面 的向量, a 是空间任一向量,
05 典例讲评
练习2 .如图，已知三棱锥O - ABC ,M 为 AB 中点, N为OM中点，OA OB OC 1 , 且OA,OB,OC 两两垂直，
(1)试用AO, AB, AC 表示CN ;
解: (1)
因为 CN = AN AC
= 1 AO AM AC 2
=
1 2
AO
1 2
AB
面的向量作为基底表 2.从上节课的空间向量的正交分解到本节课的空间向量基本
示其它向量，并解决 定理，体会从特殊到一般的辩证唯物主义.
一些简单问题
07 课后作业
1. O, A,B,C 为空间中的四点，且 向量 OA,OB,OC 不能构成空间中 的一个基底，则（ ） A. OA,OB,OC 共线 B. OA,OB 共线 C.OB,OC 共线 D.O, A,B,C四点共面
c = λa + μb λ, μ R且λμ 0 ,
则 a,b,c 构成空间的一个基底.
A.0 B.1 C.2 D.3
[解析] ①为真命题,构成基底的向量
必须不共面; ②为真命题;
③为假命题,a,b不共线,
当 c = λa + μb λ, μ R且λμ 0 ,
空间向量的分解与坐标表示 教学设计高二下学期数学湘教版(2019)选择性必修第二册
第二章空间向量与立体几何2．3空间向量基本定理及坐标表示2．3.1空间向量的分解与坐标表示新课程标准解读核心素养1．了解空间向量的基本定理及其意义数学抽象、直观想象2．掌握空间向量的正交分解及坐标表示数学抽象、数学运算教学设计一、目标展示二、情境导入如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，在AB，AD，AA1上分别取单位向量e1，e2，e3.问题(1)e1，e2，e3共面吗？―→(2)如何用e1，e2，e3表示向量AC1三、合作探究知识点一共面向量1．一般地，能平移到同一个平面内的向量叫作共面向量．2．向量共面的充要条件(1)如果两个向量e1，e2不共线，那么向量p与向量e1，e2共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得p＝x e1＋y e2．这就是说，向量p可以用两个不共线的向量e1，e2线性表示．(2)在三个向量a，b，c中，某个向量为0，或者某两个向量平行，则这三个向量共面．知识点二空间向量基本定理1．设e1，e2，e3是空间中三个不共面向量，则空间中任意一个向量p可以分解成这三个向量的实数倍之和：p＝x e1＋y e2＋z e3，上述表达式中的系数x，y，z由p唯一确定，即若p＝x e1＋y e2＋z e3＝x′e1＋y′e2＋z′e3，则x＝x′，y＝y′，z＝z′．2．我们把{e1，e2，e3}称为空间的一组基，e1，e2，e3叫作基向量．(x，y，z)称为向量p＝x e1＋y e2＋z e3在基{e1，e2，e3}下的坐标．知识点三空间向量的直角坐标表示1．标准正交基空间任意三个两两垂直、长度均为1的向量i，j，k不共面，可将它们组成空间的一组基，我们把这组基称为标准正交基．2．空间向量的直角坐标表示(1)在空间中任意取一点O 为原点，分别以标准正交基{i ，j ，k }中三个基向量的方向为三条坐标轴的正方向，以1为单位长度，建立空间直角坐标系．将任意空间向量p ＝(x ，y ，z )＝x i ＋y j ＋z k 用从原点O 出发的有向线段OP ―→表示，则有向线段的终点P 对应于这个向量p .(2)向量p ＝OP ―→在标准正交基{i ，j ，k }下的坐标(x ，y ，z )就是点P 在这个直角坐标系中的坐标．(3)标准正交基的基向量的坐标分别是i ＝(1，0，0)，j ＝(0，1，0)，k ＝(0，0，1)．(4)一个空间向量在空间直角坐标系中的坐标，等于表示这个空间向量的有向线段的终点的坐标减去它的起点的坐标．(5)向量在坐标轴正方向上的投影分别等于该向量在相应坐标轴上的坐标．四、精讲点拨【例1】 已知A ，B ，M 三点不共线，对于平面ABM 外的任意一点O ，确定在下列条件下，点P 是否与A ，B ，M 一定共面．(1)OM ―→＋OB ―→＝3OP ―→－OA ―→；(2)OP ―→＝4OA ―→－OB ―→－OM ―→.【例2】 (1)下列能使向量MA ―→，MB ―→，MC ―→成为空间的一组基的关系式是( )A ．OM ―→＝13OA ―→＋13OB ―→＋13OC ―→ B ．MA ―→＝MB ―→＋MC ―→C ．OM ―→＝OA ―→＋OB ―→＋OC ―→D ．MA ―→＝2MB ―→－MC ―→(2)设x ＝a ＋b ，y ＝b ＋c ，z ＝c ＋a ，且{a ，b ，c }是空间的一组基，给出下列向量：①{a ，b ，x }；②{b ，c ，z }；③{x ，y ，a ＋b ＋c }．其中可以作为空间的基的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个【例3】 如图所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝13BB 1，DF ＝23DD 1.。
空间向量基本定理PPT精品课件
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④
规律技巧总结
如何分析气压带的成因 (1)由于地面冷热不均，引起大气的膨胀上升， 或收缩下沉，从而导致近地面形成低气压区或高 气压区的原因，称之为热力原因。如赤道低气压 带和极地高气压带。
(1)图甲中字母所表示的纬度，正确的是( B )
A．A为10°N
B．C为30°N
考点2 气压带和风带的分布规律
气压带、风带的形成是全球性大气环流的结 果，由于大气环流的规律性，使得地球上气压带、 风带的分布也具有明显的规律性。从全球看，气 压带与风带是相间分布的，即两个气压带之间必 定存在一个风带。(如下图，以北半球为例)
【真题1】 (2013·四川)读下图，回答(1)～(2)题。
2.3.2
向量的坐标表示和空间向 量基本定理
一、空间向量基本定理：
如图，设i,j,k是空间三个两两垂直的向量，且有公共
起点O。对于空间任意一个向量p=OP,设点Q为点P
在i,j所确定的平面上的正投影，
由平面基本定理可知，
在OQ,k所确定的平面上，存在实数z，使得
OP=OQ+zk,
而在i,j所确定的平面上，由平面向量基本定理 可知，存在有序之前数对(x,y)， z
变式训练2：读风带示意图，回答(1)～(2)题。
规律技巧总结
(1)从气压带来看，全球七个气压带是高低 相间分布的，且以赤道为轴南北对称分布。
(2)风带的分布是以赤道为轴南北对称分布 的。
空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c 不共面，那么对空间任一向量p,存在有序 实数组{x,y,z},使得p=xa+yb+zc.
空间所有向量的集合{p|p=xa+yb+zc,x,y,z∈R}
空间向量的基本定理
空间向量的基本定理空间向量的基本定理是高中数学中的一个重要内容，它涉及到空间向量的表示、运算和应用。
本文将从以下几个方面介绍空间向量的基本定理：一、空间向量的概念和性质1.1 空间向量的定义空间向量是指空间中具有大小和方向的量，它可以用一个有向线段来表示。
有向线段的起点叫做向量的始点，终点叫做向量的终点，箭头表示向量的方向。
用字母 a, b, c 等表示向量，用 AB 表示以 A 为始点，B 为终点的向量。
1.2 空间向量的相等如果两个向量的长度相等且方向相同，那么这两个向量就是相等的。
相等的向量可以用平行移动的方法来判断，即如果一个向量平行移动后与另一个向量重合，那么这两个向量就是相等的。
例如，AB 和 CD 是相等的，因为 AB 平行移动后与 CD 重合。
1.3 空间向量的线性运算空间向量可以进行加法、减法和数乘三种线性运算，它们遵循以下法则：加法交换律：→a +→b =→b +→a加法结合律：(→a +→b )+→c =→a +(→b +→c )减法定义：→a −→b =→a +(−→b )数乘交换律：k →a =→ak 数乘结合律：(k 1k 2)→a =k 1(k 2→a )数乘分配律：(k 1+k 2)→a =k 1→a +k 2→a 和 k (→a +→b )=k →a +k →b空间向量的加法和减法可以用三角形法则或平行四边形法则来进行几何表示。
空间向量的数乘可以理解为对向量的长度和方向进行缩放，即数乘后的向量与原向量平行，长度为原长度与数乘因子的乘积，方向由数乘因子的正负决定。
例如，2→a 是 →a 的两倍长且同方向的向量，−12→b 是 →b 的一半长且反方向的向量。
二、空间坐标系和空间向量的坐标表示2.1 空间直角坐标系为了在空间中确定任意一点或任意一个向量的位置，我们需要建立一个参照系。
在数学中，我们常用空间直角坐标系来作为参照系。
空间直角坐标系由三条互相垂直且相交于原点 O 的坐标轴组成，分别称为 x 轴、y 轴和 z 轴。
高中数学课件-2.3向量的坐标表示和空间向量基本定理
(1)判断M→A，M→B，M→C三个向量是否共面． (2)判断点 M 是否在平面 ABC 内．
第二章 2.3 第1课时
[解析] (1)由已知，得O→A＋O→B＋O→C＝3O→M， ∴O→A－O→M＝(O→M－O→B)＋(O→M－O→C)． ∴M→A＝B→M＋C→M＝－M→B－M→C. ∴向量M→A，M→B，M→C共面． (2)由(1)向量M→A，M→B，M→C共面，三个向量的基线又过同 一点 M， ∴四点 M，A，B，C 共面． ∴点 M 在平面 ABC 内．
①{a，b，x}，②{x，y，z}，③{b，c，z}， ④{x，y，a＋b＋c}， 其中可以作为空间的基底的向量组有________个． [答案] 3 [解析] ②③④都可以作为空间的一组基底，对于①，x＝ a＋b，显然a，b，x共面，故{a，b，x}不能作为空间的一个基 底．
第二章 2.3 第1课时
A．13a＋13b＋13c
B．12a＋12b＋12c
C．a＋b＋c
D．3a＋3b＋3c
[答案] A
第二章 2.3 第1课时
[解析] 如图，取 AB 的中点 M，连结 CM，则必过 G 点， 则C→M＝12(C→A＋C→B)＝12[(O→A－O→C)＋(O→B－O→C)]＝12a＋12b－c.
C→G＝23C→M＝13a＋13b－23c， 所以O→G＝O→C＋C→G＝13a＋13b＋13c.
5．基底 (1)空间中不共面的三个向量e1、e2、e3叫作这个空间的一 个___基__底_____． (2)空间中任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个 __基__底____． (3)如果作为空间的一个基底的三个基向量两两互相垂直， 那么这个基底叫作__正__交__基__底__．
选修2-1第二章3.13.2空间向量的坐标表示和空间向量基本定理
3．1空间向量的标准正交分解与坐标表示3．2空间向量基本定理明目标、知重点 1.理解空间向量坐标的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标.2.理解向量a在向量b上的投影的概念，了解向量的数量积的几何意义.3.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题．1．标准正交基在给定的空间直角坐标系中，x轴，y轴，z轴正方向的单位向量i，j，k叫作标准正交基．2．标准正交分解与向量的坐标设i，j，k为标准正交基，对空间任意向量a，存在唯一一组三元有序实数(x，y，z)，使得a ＝x i＋y j＋z k，则把a＝x i＋y j＋z k叫作a的标准正交分解．(x，y，z)叫作向量a的坐标．3．向量坐标与投影(1)一般地，若b0为b的单位向量，则称a·b0＝|a|cos〈a，b〉为向量a在向量b上的投影．(2)向量的坐标等于它在坐标轴正方向上的投影．4．空间向量基本定理(1)如果向量e1，e2，e3是空间三个不共面的向量，a是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3，使得a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3.(2)空间中不共面的三个向量e1，e2，e3叫作这个空间的一个基底，a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3表示向量a关于基底e1，e2，e3的分解．探究点一空间向量的标准正交分解与坐标表示思考1类比平面向量的正交分解，空间向量也可以正交分解，请思考此时的基底应满足什么条件．答 此时可选用单位正交基底，如果空间一个基底的三个基向量互相垂直，且长度都为1，则这个基底叫做单位正交基底，通常用i ，j ，k 表示．单位——三个基向量的长度都为1；正交——三个基向量互相垂直． 思考2 在空间直角坐标系中，向量OP →和点P 的坐标有何关系？ 答 O 为坐标原点，OP →与P 点的坐标相同．例1 已知P A 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M 、N 分别是AB ，PC 的三等分点且PN ＝2NC ，AM ＝2MB ，P A ＝AB ＝1，求MN →的坐标．解 ∵P A ＝AB ＝AD ＝1，且P A 垂直于平面ABCD ，AD ⊥AB ， ∴可设AD →＝i ，AB →＝j ，AP →＝k .以i ，j ，k 为单位正交基建立如图所示的空间直角坐标系． ∵MN →＝MA →＋AP →＋PN → ＝－23AB →＋AP →＋23PC →＝－23AB →＋AP →＋23(－AP →＋AD →＋AB →)＝13AP →＋23AD →＝23i ＋13k ，∴MN →＝⎝⎛⎭⎫23，0，13. 反思与感悟 空间直角坐标系的建立必须寻求三条两两垂直的直线．在空间几何体中不具备此条件时，建系后要注意坐标轴与几何体中相关直线的夹角．跟踪训练1 在直三棱柱ABO —A 1B 1O 1中，∠AOB ＝π2，AO ＝4，BO ＝2，AA 1＝4，D 为A 1B 1的中点，则在如图所示的空间直角坐标系中，求DO →，A 1B →的坐标．解 ∵DO →＝－OD →＝－(OO 1→＋O 1D →) ＝－[OO 1→＋12(OA →＋OB →)]＝－OO 1→－12OA →－12OB →.又|OO 1→|＝4，|OA →|＝4，|OB →|＝2， ∴DO →＝(－2，－1，－4)，∵A 1B →＝OB →－OA 1→＝OB →－(OA →＋AA 1→)＝OB →－OA →－AA 1→. 又|OB →|＝2，|OA →|＝4，|AA 1→|＝4， ∴A 1B →＝(－4,2，－4)． 探究点二 向量的投影思考1 什么是向量a 在坐标轴正方向上的投影？答 设a ＝x i ＋y j ＋z k ，我们把a·i ＝x ，a·j ＝y ，a·k ＝z 分别称为向量a 在x 轴、y 轴、z 轴正方向上的投影．思考2 什么是向量a 在向量b 上的投影？答 若b 0为b 的单位向量，称a·b 0＝|a |cos 〈a ，b 〉为向量a 在向量b 上的投影． 思考3 怎样利用数量积来求向量a 在向量b 方向上的投影？ 答 ∵b 0＝b |b |，∴a·b 0＝|a|·|b |·cos θ|b |＝a·b|b |.例2 如图，已知单位正方体ABCD — A ′B ′C ′D ′.求： (1)向量CA ′→在CD →上的投影； (2)向量CA ′→在DC →上的投影． 解 (1)CA ′→在CD →上的投影是 |CA ′→|cos ∠A ′CD ＝|CD →|＝1； (2)CA ′→在DC →上的投影是|CA ′→|cos(π－∠A ′CD )＝－|DC →|＝－1.反思与感悟 (1)求向量a 在向量b 上的投影，应先求出|a |，再求出两个向量a 与b 的夹角，最后计算|a |cos 〈a ，b 〉，即为向量a 在向量b 上的投影，它可正、可负，也可以为零． (2)也可利用数量积计算向量的投影．跟踪训练2 如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，AD ＝AA 1＝2，求向量AC 1→在向量AD 1→上的投影．解 向量AC 1→在向量AD 1→上的投影是|AC 1→|cos ∠C 1AD 1＝|AD 1→|＝22＋22＝2 2.探究点三 空间向量基本定理思考1 类比平面向量基本定理，思考怎样表示任何一个空间向量？答 如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在三元有序实数(x ，y ，z )，使得p ＝x a ＋y b ＋z c .三个不共面的向量a 、b 、c 叫做这个空间的一个基底． 思考2 用基底表示向量应注意哪些问题？答 (1)明确目标．向量表示过程中可能出现新的向量，要逐步拆分，都用基向量表示； (2)结合图形的几何性质，利用向量的线性运算；(3)只要基底选定，空间任一向量用基底表达的形式是唯一的．思考3 设x ＝a ＋b ，y ＝b ＋c ，z ＝c ＋a ，且a ，b ，c 是空间的一个基底，给出下列向量组：①a ，b ，x ，②x ，y ，z ，③b ，c ，z ，④x ，y ，a ＋b ＋c ，其中可以作为空间的基底的向量组有________(写出序号)． 答案 ②③④解析 如图所示，设a ＝AB →，b ＝AA 1→，c ＝AD →，则x ＝AB 1→，y ＝AD 1→，z ＝AC →，a ＋b ＋c ＝AC 1→，由A 、B 1、C 、D 1四点不共面，可知向量x 、y 、z 也不共面，同理可知b 、c 、z 不共面，x 、y 、a ＋b ＋c 也不共面．例3 如图，在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，M 是平行四边形A ′B ′C ′D ′的对角线的交点，N 是棱BC 的中点．如果AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′→＝c ，试用a ，b ，c 表示MN →. 解 因为MN →＝MC ′→＋C ′C →＋CN →， 而MC ′→＝12A ′C ′→＝12AC →＝12(a ＋b )，C ′C →＝－c ， CN →＝12CB →＝－12b ，所以MN →＝12(a ＋b )－c －12b＝12a －c . 反思与感悟 用基底表示未知向量关键是结合图形，从所求向量出发，进行合理的分解． 跟踪训练3 在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′→＝c ，P 是CA ′的中点，M 是CD ′的中点，N 是C ′D ′的中点，点Q 是CA ′上的点，且CQ ∶QA ′＝4∶1， 用基底{a ，b ，c }表示以下向量：(1)AP →； (2)AM →； (3)AN →； (4)AQ →. 解 连接AC 、AD ′、AC ′.(1)AP →＝12(AC →＋AA ′→)＝12(AB →＋AD →＋AA ′→) ＝12(a ＋b ＋c )； (2)AM →＝12(AC →＋AD ′→)＝12(AB →＋2AD →＋AA ′→)＝12a ＋b ＋12c ； (3)AN →＝12(AC ′→＋AD ′→)＝12[(AB →＋AD →＋AA ′→)＋(AD →＋AA ′→)] ＝12(AB →＋2AD →＋2AA ′→)＝12a ＋b ＋c ； (4)AQ →＝AC →＋CQ →＝AC →＋45(AA ′→－AC →)＝15AB →＋15AD →＋45AA ′→＝15a ＋15b ＋45c .1．已知i ，j ，k 为标准正交基底，a ＝i ＋2j ＋3k ，则a 在i 方向上的投影为( ) A ．1 B ．－1 C.14 D ．－14 答案 A解析 a·i ＝|a|·|i |·cos 〈a ，i 〉，则|a |·cos 〈a ，i 〉＝a·i |i |＝(i ＋2j ＋3k )·i ＝i 2＝1.2．已知e 1，e 2，e 3是空间直角坐标系中分别与x 轴，y 轴，z 轴同向的单位向量，且p ＝e 1＋2e 2－3e 3，则p 的坐标是( ) A ．(1,2,3) B ．(－1，－2,3) C ．(1,2，－3) D ．(1，－2，－3)答案 C3．已知点A 在基底a ，b ，c 下的坐标为(8,6,4)，其中a ＝i ＋j ，b ＝j ＋k ，c ＝k ＋i ，则点A在基底i ，j ，k 下的坐标是( ) A ．(12,14,10) B ．(10,12,14) C ．(14,12,10) D ．(4,3,2)答案 A解析 设点A 在基底a ，b ，c 下对应的向量为p ，则p ＝8a ＋6b ＋4c ＝8i ＋8j ＋6j ＋6k ＋4k ＋4i ＝12i ＋14j ＋10k ，故点A 在基底i ，j ，k 下的坐标为(12,14,10)．4．从空间一点P 引出三条射线P A ，PB ，PC ，在P A ，PB ，PC 上分别取PQ →＝a ，PR →＝b ，PS →＝c ，点G 在PQ 上，且PG ＝2GQ ，H 为RS 的中点，则GH →＝________________.(用a ，b ，c 表示)答案 －23a ＋12b ＋12c解析 GH →＝PH →－PG →＝12(b ＋c )－23a .[呈重点、现规律]1．空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底；基底选定后，任一向量可由基底唯一表示．2．向量的坐标是在单位正交基底下向量的表示．在表示向量时，要结合图形的几何性质，充分利用向量的线性运算．一、基础过关1．以下四个命题中正确的是( )A ．空间的任何一个向量都可用其它三个向量表示B ．若a ，b ，c 为空间向量的一个基底，则a ，b ，c 全不是零向量C ．△ABC 为直角三角形的充要条件是AB →·AC →＝0 D ．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底 答案 B解析 使用排除法．因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示，故A 不正确；△ABC 为直角三角形并不一定是AB →·AC →＝0，可能是BC →·BA →＝0，也可能是CA →·CB →＝0，故C 不正确；空间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故D 不正确． 2．下列说法中不正确的是( )A ．只要空间的三个向量的模为1，那么它们就能构成空间的一个单位正交基底B ．竖坐标为0的向量平行于x 轴与y 轴所确定的平面C ．纵坐标为0的向量都共面D ．横坐标为0的向量都与x 轴上的基向量垂直 答案 A解析 单位正交基底除要求模为1外，还要求三个向量两两垂直．3．O 、A 、B 、C 为空间四点，且向量OA →，OB →，OC →不能构成空间的一个基底，则( ) A.OA →、OB →、OC →共线 B.OA →、OB →共线C.OB →、OC →共线 D ．O 、A 、B 、C 四点共面答案 D解析 由OA →、OB →、OC →不能构成基底知OA →、OB →、OC →三向量共面，所以O 、A 、B 、C 四点共面．4．在空间直角坐标系中，下列说法正确的是( ) A ．向量AB →与点B 的坐标相同 B ．向量AB →与点A 的坐标相同 C ．向量AB →与向量OB →的坐标相同 D ．向量AB →与向量OB →－OA →的坐标相同 答案 D解析 ∵AB →＝OB →－OA →， ∴AB →与OB →－OA →的坐标相同．5．如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AC 与BD 的交点为M ，设A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则下列向量中与B 1M →相等的向量是______________．答案 －12a ＋12b ＋c解析 B 1M →＝B 1B →＋BM →＝B 1B →＋12BD →＝B 1B →＋12(BA →＋BC →)＝B 1B →＋12(－A 1B 1→＋A 1D 1→)＝－12a ＋12b ＋c .6.如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中建立空间直角坐标系，若正方体的棱长为1，则AB →的坐标为__________，DC 1→的坐标为__________，B 1D →的坐标为__________．答案 (1,0,0) (1,0,1) (－1,1，－1) 解析 DC 1→＝AA 1→＋AB →，B 1D →＝B 1A 1→＋B 1C 1→＋B 1B →＝－AB →＋AD →－AA 1→.7.如图所示，在正方体AC 1中，取AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c 作为基底． (1)求BD 1→；(2)若M ，N 分别为边AD ，CC 1的中点，求MN →. 解 (1)BD 1→＝BD →＋DD 1→＝BA →＋AD →＋DD 1→＝－a ＋b ＋c . (2)MN →＝MC →＋CN →＝MD →＋DC →＋12CC 1→＝12AD →＋AB →＋12AA 1→ ＝a ＋12b ＋12c .二、能力提升8．一个向量p 在基底a ，b ，c 下的坐标为(1,2,3)，则p 在a ＋b ，a －b ，c 下的坐标为__________． 答案 ⎝⎛⎭⎫32，－12，3 9．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点E 、F 分别是底面A 1C 1和侧面CD 1的中心，若EF →＋λA 1D →＝0 (λ∈R )，则λ＝______. 答案 －12解析 如图，连接A 1C 1，C 1D ，则E 在A 1C 1上，F 在C 1D 上易知EF 綊12A 1D ，∴EF →＝12A 1D →，即EF →－12A 1D →＝0，∴λ＝－12.10．若{a ，b ，c }是空间的一个基底，且存在实数x ，y ，z 使得x a ＋y b ＋z c ＝0，则x ，y ，z 满足的条件是________． 答案 x ＝y ＝z ＝0解析 若x ≠0，则a ＝－y x b －zxc ，即a 与b ，c 共面．由{a ，b ，c }是空间的一个基底，知a ，b ，c 不共面，故x ＝0，同理y ＝z ＝0. 11．平行六面体OABC —O ′A ′B ′C ′，且OA →＝a ，OC →＝b ，OO ′→＝c . (1)用a ，b ，c 表示向量AC ′→；(2)设G ，H 分别是侧面BB ′C ′C 和O ′A ′B ′C ′的中心，用a ，b ，c 表示GH →.解 (1)AC ′→＝AC →＋CC ′→＝OC →－OA →＋OO ′→＝b ＋c －a . (2)GH →＝GO →＋OH →＝－OG →＋OH → ＝－12(OB →＋OC ′→)＋12(OB ′→＋OO ′→)＝－12(a ＋b ＋c ＋b )＋12(a ＋b ＋c ＋c )＝12(c －b )．12．已知P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，AB ＝2，P A ＝3，求向量PC →在向量CD →和向量CB →上的投影．解 如图，∵P A ⊥平面ABCD . ∴P A ⊥CD ，又CD ⊥AD ， ∴CD ⊥平面P AD ， ∴CD ⊥PD ，故PC →在CD →上的投影为|PC →|·cos(π－∠PCD )＝－|CD →|＝－2. 同理PC →在CB →上的投影为|PC →|·cos(π－∠PCB )＝－|CB →|＝－2. 三、探究与拓展13.如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，侧棱P A ⊥底面ABCD ，AB ＝1，BC ＝3，∠ABC ＝60°，P A ＝2，求向量PB →在AC →上的投影． 解 ∵P A ⊥底面ABCD ， ∴P A ⊥AB ，P A ⊥BC ， 则P A →·AB →＝0，P A →·BC →＝0. 又∠ABC ＝60°，∴AB →·BC →＝|AB →||BC →|·cos 〈AB →，BC →〉 ＝3cos 120°＝－32.又∵AC →·PB →＝(AB →＋BC →)·(P A →＋AB →) ＝AB →·P A →＋|AB →|2＋BC →·P A →＋BC →·AB → ＝|AB →|2－32＝1－32＝－12.AC →＝AB →＋BC →，∴|AC →|＝(AB →＋BC →)2＝AB →2＋BC →2＋2AB →·BC → ＝1＋9＋2×3cos 120°＝ 7，∴向量PB →在AC →上的投影为 PB →·AC →|AC →|＝－127＝－714.。
3.2 空间向量的基本定理与空间向量的坐标表示-王后雄学案
3.2 空间向量的基本定理与空间向量的坐标表示一、空间向量的基本定理如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在唯一的有序实数组x 、y 、z 使.zc yb xa p ++=二、空间向量的坐标表示1．单位正交基底，如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用{i ，j ，k}表示．2．空间直角坐标系．在空间选一点O 和一个单位正交基底{i ，j ，k}．以点O 为原点，分别以i ，j ，k 的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴，这样我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz ，其中点0叫原点，向量i ，j ，k 都叫坐标向量，经过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，它们分别是xOy 平面，xO z 平面，yoz 平面．3．空间直角坐标系的画法，作空间直角坐标系Oxyz 时，一般使用,135o xOy =∠.90 =∠yOz在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指能指向z 轴的正方向，则称此坐标系为右手直角坐标系，一般使用的坐标系都是右手直角坐标系．4．空间向量的坐标表示. 给定一个空间直角坐标系和向量a ，其坐标向量为i,j ，k ，若,321k a j a i a a ++=则有序数组),,(321a a a 叫做向量a 在此直角坐标系中的坐标，上式可简记作).,,(321a a a a =在空间直角坐标系Oxyz 中，对于空间任一点A ，对应一个向量:,.OA 若,0zk yj xi ++=则有序数组(x ，y ，z)叫点A 在此空间直角坐标系中的坐标，记为A （x ，y ，z ），其中x 叫做点A 的横坐标，y 叫点A 的纵坐标，z 叫点A 的竖坐标．写点的坐标时，三个坐标之间的顺序不可颠倒．5．空间任一点P 的坐标的确定．过P 作面xOy 的垂线，垂足为P 1，在面xOy 中，过P 1分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为A 、C ，则|,||,|AP y PC x ==.||PP z =如图3 -2 -2．[注意](1)空间相等向量的坐标是唯一的；(2)当向量与坐标轴或坐标平面平行（或垂直）时，向量的坐标有一定特点，请同学们思考． 三、空间向量的坐标运算空间向量加法、减法、数量积、平行、垂直的坐标运算都类似于平面内向量的这些坐标运算.设),,,(),,,(321321b b b b a a a a ==则).,,(332211b a b a b a b a +++=+ ).,,(332211b a b a b a b a ---=-).)(,,(321R a a a a ∈=λλλλλ⋅++=⋅332211b a b a b a b a),(,,//332211R b a b a b a b a ∈===⇔λλλλ或332211b a b a b a ==).0(321=/b b b .0332211=++⇔⊥b a b a b a b a典例分类考点1 空间向量的基本定理[例1] 已知{a ，b ，c}是空间向量的一个基底，从a ，b ，c 中选出哪一个向量，一定可以与向量b a q b a P -=+=,构成空间的另一个基底？[例2] 如图3-2 -3，在平行六面体D C B A ABCD ''''-中，='==A A b A a .D ,P c ,是A C ' 的中点，M 是D C '的中点，N 是D C ''的中点，点Q 是A C '上的点，且:CQ ,1:4='A Q 用基底{a ，b ，c}表示以下向量：;)1( ;)2( ;)3( )4(考点2空间向量的坐标表示[例3] 已知在正四棱锥P- ABCD 中，0为底面中心，底面边长和高都是2，E 、F 分别是侧棱PA 、PB 的中点，分别按照下列要求建立空间直角坐标系，写出点A 、B 、C 、 D 、P 、E 、F 的坐标．考点3 空间向量的坐标运算[例4] 已知A 、B 、C 三点的坐标分别为A （2，-1，2），B(4，5，-1)，C( -2，2，3)，分别求点D 的坐标，使：);(21)1(-= ⋅-=)(21)2([例5] 在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别是BD D D 、1的中点，G 在棱CD 上，且H CD CG ,41=是G C l 的中点．利用空间向量解决下列问题： (1)求EF 与C B 1所成的角； (2)求EF 与G C 1所成角的余弦值； (3)求F 、H 两点间的距离．学业水平测试1、设,,,a c z c b y b a x +=+=+=且{a ，b ，c}是空间的一个基底，给出下列向量组：},,,{x b a ①,,{y x ②},,,{},z c b z ③},,,{c b a y x ++④其中可以作为空间的基底的向量组有( )．A.l 个 B ．2个 C.3个 D ．4个2),9,2,1(),3,1,2(.y b x a -==如果a 与b 为共线向量，则( )．1,1.==y x A 21,21.-==y x B 23,61.-==y x C 23,61.=-=y x D 3．已知),3,2,4(),4,1,6(),11,2,1(C B A --则△ABC 是( )．A ．锐角三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形 4．若),1,sin 2,cos 2(),1,sin 3,cos 3(θθααB A 则||的取值范围是( )．]5,0.[A ]5,1.[B )5,1(⋅C )5,0(⋅D5．已知点),1,1,1()4,3,1()1,3,1(D B A 、、--若,2=则||的值是 6．如图3 -2 -4，四棱锥P - OABC 的底面为一矩形，PO ⊥平面OABC ，设,,b OC a OA ==F E c 、,=分别是PC 和PB 的中点，试用a ，b ，c 表示 ：.AE 、7．如图3 -2 -6所示，已知PA ⊥平面ABCD ，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，并且PA= AD ，四边形ABCD 为正方形，以A 为原点建立如图3 -2 -6所示的空间直角坐标系，求.的坐标表示.8．如图3 -2 -7．ABEDFC 为多面体，平面ABED 与平面ACFD 垂直，点O 在线段AD 上，OA =1，OD =2，△OAB，△OAC．△ODE，△ODF 都是正三角形．(1)证明直线BC//EF ；(2)求棱锥F- OBED 的体积．9．如图3 -2 -9所示，在正方体 ABCD 1111D C B A 中，E 是棱1DD 的中点．(1)求直线BE 和平面11A ABB 所成的角的正弦值；(2)在棱11D C 上是否存在一点F ，使//1F B 平面?1BE A 证明你的结论．能力测试一、选择题1．以下四个命题中正确的是( )．A ．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示B ．若},,{c b a 为空间向量的一组基底，则},,{a c c b b a +++构成空间向量的另一组基底C ．△ABC 为直角三角形的充要条件是0=⋅AC ABD ．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底2．已知向量),2,0,1(),0,1,1(-==b a 且b ka +与b a -2互相垂直，则k 值是( )．1.A 51.B 53.C 57.D3．已知),cos ,1,(sin ),sin ,1,(cos αααα==b a 则向量b a +与b a -的夹角是( )．90.A 60.B 30.C 0.D4．已知),2,12,6(),2,0,1(λμλ-=+=b a 若,//b a 则λ与μ的值分别为( )．21,51.A 21,51.--B 2,5.C 2,5.--D 5．已知点),4,1,6(),3,2,4(),11,2,1(--C B A 则△ABC 的形状是( )．A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角-角形D ．等腰直角三角形6．已知),2,4,2()0,2,0()1,0,3(---C B A 、、则△ABC 是( )．A ．等边三角形 C ．直角三角形B ．等腰三角形 D ．以上都不对 7．已知),4,2,3()2,2,2()1,1,1(C B A 、、则△ABC 的面积为( )．3.A 32.B 6.C 26.D8．在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，M ，N 分别为11B A 和1BB 的中点，那么直线AM 与CN 所成的角的余弦值为( )．23.A 1010.B 53.C 52.D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．答案须填在题中横线上） 9．已知向量),2,,2(),,4,2(y b x a ==若,6=a 且a ⊥b ，则y x +的值为 10.已知空间三点),3,2,2()4,0,1()1,1,1(--C B A 、、则与的夹角θ的大小是 11.已知向量=-=b a ),1,1,0(29||),0,1,4(=+b a λ且,0>λ则=λ12.等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C-AB-D 的余弦值为N M 、,33分别是AC 、BC 的中点，则EM 、AN 所成角的余弦值等于三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 13.如图3-2 -11，在平行六面体ABCD ABCD -中，E ，F ，G 分别是DC DD AD ,,的中点，请选择恰当的基底向量证明：;//)1(AC EG (2)平面EFG∥平面.ABC14.如图3-2 -12，在正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别是DC BB 、1的中点，求证：⊥F D 1平面ADE.15.如图3-2 -13，在三棱锥P- ABC 中，D AC AB ,=为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足0落在线段AD上，已知.2,3,4,8====OD AO PO BC (1)证明：;BC AP ⊥(2)在线段AP 上是否存在点M ，使得二面角A-MC -B 为直二面角？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．16、如图3-2 -14，在四棱锥P- ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，=∠=BAD AB ,2.60o(1)求证：BD ⊥平面PAC ；(2)若,AB PA =求PB 与AC 所成角的余弦值； (3)当平面PBC 与平面PDC 垂直时，求PA 的长．。
向量的坐标表示和空间向量的基本定理北师大版高中数学选修课件
D1 A1
ห้องสมุดไป่ตู้D A
C1 B1
C B
平面向量基本定理:
如果 e1 , e 2是同一平面内的两个不共线向量,那么对 这一平面内的任一向量 ,有a 且只有一对实数 1 , 2
使 a1e12e2
说明：
(1)不共线的向量 e1 , e 2叫做这一平面内所有向量
的一组基底;
(3) 任方一向向）量分解a 都成可两以个沿向两量个（不1共e1,线2的e）2方和向的（形式e1 ,；e的2
一、空间向量基本定理：
∴点 的坐标是
.
的某一个向量，二者是相关连的不同概念。 OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1)
P=(x,y,z)其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.
二、空间直角坐标系下空间向量的直角坐标
这种分解我们把它叫做空间向量的正交分解.
(4)基底给定时,分解形式唯一.
则 cos a, b a b
x1 x2 y1 y2 z1z2
ab
x12 y12 z12 x22 y22 z22
注意：
（1）当 cosa,b1时，a 与 b同向； （2）当 cosa,b1 时，a 与 b反向； （3）当 cosa,b0时， a b 。
3.中点坐标公式
已知 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 )
D1F1
z
A1B1，求
4
B E 1与
D
F
所成的角的余弦值.
1
解：设正方体的棱长为1，如图建
立空间直角坐标系 O xyz，则
B(1,1,0) , E11,43,1,
O
y
人教版高中数学必修四2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.2-2.3.3含答案
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3 平面向量的坐标运算 课时目标 1.掌握向量的正交分解，理解平面向量坐标的概念，会写出给定向量的坐标，会作出已知坐标表示的向量.2.掌握平面向量的坐标运算，能准确运用向量的加法、减法、数乘的坐标运算法则进行有关的运算．1．平面向量的坐标表示(1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个__________的向量，叫作把向量正交分解．(2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个____________i ，j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x ，y 使得a ＝____________，则________________叫作向量a 的坐标，________________叫作向量的坐标表示．(3)向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若A (x ，y )，则OA →＝________，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝________________________.2．平面向量的坐标运算(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝________________，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和．(2)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a －b ＝________________________，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差．(3)若a ＝(x ，y )，λ∈R ，则λa ＝________，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．一、选择题1．已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b 等于( ) A ．(－2，－1) B ．(－2,1)C ．(－1,0)D ．(－1,2)2．已知a －12b ＝(1,2)，a ＋b ＝(4，－10)，则a 等于( ) A ．(－2，－2) B ．(2,2)C ．(－2,2)D ．(2，－2)3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，c ＝(3,4)，且c ＝λ1a ＋λ2b ，则λ1，λ2的值分别为( )A ．－2,1B ．1，－2C ．2，－1D ．－1,24．已知M (3，－2)，N (－5，－1)且MP →＝12MN →，则点P 的坐标为( ) A ．(－8,1) B.⎝⎛⎭⎫1，32 C.⎝⎛⎭⎫－1，－32 D ．(8，－1) 5．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线．若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →等于( )A ．(－2，－4)B ．(－3，－5)C ．(3,5)D ．(2,4)6．已知四边形ABCD 为平行四边形，其中A (5，－1)，B (－1，7)，C (1,2)，则顶点D 的坐标为( )A ．(－7,0)B ．(7,6)C ．(6,7)D ．(7，－6)题 号 1 2 3 4 5 6 答 案二、填空题7．已知平面上三点A (2，－4)，B (0,6)，C (－8,10)，则12AC →－14BC →的坐标是________． 8．已知A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2,0)，D (x ，y )，且AC →＝2BD →，则x ＋y ＝________.9．若向量a ＝(x ＋3，x 2－3x －4)与AB →相等，其中A (1,2)，B (3，2)，则x ＝________.10．函数y ＝x 2＋2x ＋2按向量a 平移所得图象的解析式为y ＝x 2，则向量a 的坐标是________．三、解答题11．已知a ＝(－2,3)，b ＝(3,1)，c ＝(10，－4)，试用a ，b 表示c .12．已知平面上三个点坐标为A (3,7)，B (4,6)，C (1，－2)，求点D 的坐标，使得这四个点为构成平行四边形的四个顶点．能力提升13．已知P ＝{a |a ＝(1,0)＋m (0,1)，m ∈R }，Q ＝{b |b ＝(1,1)＋n (－1,1)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q 等于( )A ．{(1,1)}B ．{(－1,1)}C ．{(1,0)}D ．{(0,1)}14．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－2的图象F 按向量a 平移到F ′，F ′的函数解析式为y ＝f (x )，当y ＝f (x )为奇函数时，向量a 可以等于( )A.⎝⎛⎭⎫－π6，－2B.⎝⎛⎭⎫－π6，2 C.⎝⎛⎭⎫π6，－2 D.⎝⎛⎭⎫π6，21．在平面直角坐标系中，平面内的点、以原点为起点的向量、有序实数对三者之间建立一一对应关系．关系图如图所示：2．向量的坐标和这个向量的终点的坐标不一定相同．当且仅当向量的起点在原点时，向量的坐标才和这个终点的坐标相同．2．3.2 平面向量的正交分解及坐标表示2．3.3 平面向量的坐标运算答案知识梳理1．(1)互相垂直 (2)单位向量 x i ＋y j 有序数对(x ，y ) a ＝(x ，y ) (3)(x ，y ) (x 2－x 1，y 2－y 1)2．(1)(x 1＋x 2，y 1＋y 2) (2)(x 1－x 2，y 1－y 2) (3)(λx ，λy )作业设计1．D 2.D3．D [由⎩⎪⎨⎪⎧ λ1＋2λ2＝3，2λ1＋3λ2＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－1，λ2＝2.] 4．C [设P (x ，y )，由(x －3，y ＋2)＝12×(－8,1)， ∴x ＝－1，y ＝－32.] 5．B [∵AC →＝AB →＋AD →，∴AD →＝AC →－AB →＝(－1，－1)．∴BD →＝AD →－AB →＝(－3，－5)．]6．D [设D (x ，y )，由AD →＝BC →，∴(x －5，y ＋1)＝(2，－5)．∴x ＝7，y ＝－6.]7．(－3,6)8.112解析 ∵AC →＝(－2,0)－(－1，－2)＝(－1,2)，BD →＝(x ，y )－(2,3)＝(x －2，y －3)，又2BD →＝AC →，即(2x －4,2y －6)＝(－1,2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －4＝－1，2y －6＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝32，y ＝4，∴x ＋y ＝112. 9．－1解析 ∵A (1,2)，B (3,2)，∴AB →＝(2,0)．又∵a ＝AB →，它们的坐标一定相等．∴(x ＋3，x 2－3x －4)＝(2,0)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3＝2，x 2－3x －4＝0， ∴x ＝－1.10．(1，－1)解析 函数y ＝x 2＋2x ＋2＝(x ＋1)2＋1的顶点坐标为(－1,1)，函数y ＝x 2的顶点坐标为(0,0)，则a ＝(0,0)－(－1,1)＝(1，－1)．11．解 设c ＝x a ＋y b ，则(10，－4)＝x (－2,3)＋y (3,1)＝(－2x ＋3y,3x ＋y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 10＝－2x ＋3y ，－4＝3x ＋y ， 解得x ＝－2，y ＝2，∴c ＝－2a ＋2b .12．解 (1)当平行四边形为ABCD 时，AB →＝DC →，设点D 的坐标为(x ，y )．∴(4,6)－(3,7)＝(1，－2)－(x ，y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x ＝1，－2－y ＝－1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝－1. ∴D (0，－1)； (2)当平行四边形为ABDC 时，仿(1)可得D (2，－3)；(3)当平行四边形为ADBC 时，仿(1)可得D (6,15)．综上可知点D 可能为(0，－1)，(2，－3)或(6,15)．13．A [设a ＝(x ，y )，则P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝m ， ∴集合P 是直线x ＝1上的点的集合．同理集合Q 是直线x ＋y ＝2上的点的集合，即P ＝{(x ，y )|x ＝1}，Q ＝{(x ，y )|x ＋y －2＝0}．∴P ∩Q ＝{(1,1)}．故选A.]14．B [函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－2按向量a ＝(m ，n )平移后得到y ′＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －2m ＋π6＋n －2.若平移后的函数为奇函数，则n ＝2，π6－2m ＝k π＋π2(k ∈Z )，故m ＝－π6时适合．]附赠材料答题六注意：规范答题不丢分提高考分的另一个有效方法是减少或避免不规范答题等非智力因素造成的失分,具体来说考场答题要注意以下六点:第一,考前做好准备工作。
空间向量及其运算的坐标表示
平面向量
平面向量的坐标运算： a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ) a b ( x1 x2 , y1 y2 );
空间向量
空间向量的坐标运算： a ( x1 , y1 , z1 ), b ( x2 , y2 , z 2 ) a b ( x1 x2 , y1 y2 , z1 z 2 );
空间向量
空间向量的夹角： a ( x1 , y1 , z1 ), b ( x2 , y2 , z 2 ) ab cos a,b | a || b | x1 x2 y1 y2 z1 z 2 2 2 2 2 2 x1 y1 z12 x2 y2 z 2
垂直与平行： a ( x1 , y1 , z1 ), b ( x2 , y2 , z 2 ) x1 y1 z1 a // b (?) x2 y 2 z 2 a b x1 x2 y1 y2 z1 z 2 0
x1 x 2 y1 y 2 z1 z 2 （3）中点坐标公式： ( , , ) 2 2 2
2.两个向量夹角公式
a1b1 a2b2 a3b3 a b cos a, b ; 2 2 2 2 2 2 | a || b | a1 a2 a3 b1 b2 b3
垂直与平行： a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ) a // b x1 y2 x2 y1 0 a b x1 x2 y1 y2 0
对比表4
平面向量
平面向量基本定理： 如果e1 , e 2是同一平面内的两个不 共线 的向量，那么对于这个 平面内的任一 向量a，有且仅有一对实数 x, y，使a xe1 ye 2 .
2.3.1,2向量的坐标表示和空间向量基本定理课件(北师大版选修2-1)
→ → ∵ CA1 ＝a＋b＋c， C1D ＝b－c，∴(a＋b＋c)· (b－c)＝0⇒a·b ＋|b|2＋c· b－a· c－b· c－|c|2＝0. 1 2 1 1 1 2 ∴2m ＋m ＋2m－2m－2m－1＝0⇒3m2－m－2＝0， 2 解得：m＝1或m＝－ (舍去)． 3 → → 当m＝1时，由 CA1 · BD ＝(a＋b＋c)· (b－a)⇒a·b＋|b|2＋c· b－ |a|2－a· b－a· c＝0，∴CA1⊥BD. CD 综上，当CC ＝1时，A1C⊥平面C1BD. 1
1 1 1 1＋1－ ＋ －1＝ . 2 2 2
→ → 1 EF·AC 2 2 → → 则有：cos〈EF，AC〉＝ ＝ ＝2， → → 2 |EF||AC| 2 π → → → → ∵〈EF，AC〉∈[0，π ]，∴〈EF，AC〉＝ 4 .(12分) → → → 【题后反思】 用已知模和夹角的基底 OA 、 OB 、 OC 表示目标 向量是解决本题的关键．
→ → → [规范解答] 设 OA ＝a， OB ＝b， OC ＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1， π 〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈a，c〉＝ 3 ， 1 ∴a·b＝a· c＝b· c＝2.(3分) 1→ → → → 1 → → (1)EF＝OF－OE＝ (OB＋OC)－ OA 2 2 1 1 1 1 ＝－ a＋ b＋ c＝－ (a－b－c)， 2 2 2 2
解
→ → → → 2 → 1→ 2 → → OG＝OM＋MG＝OM＋ MN＝ OA＋ (ON－OM) 3 2 3
1 → 2 1→ → → 1 ＝2OA＋3 （OB＋OC）－ OA 2 2 1→ 1 → → 1→ 1→ 1→ 1→ ＝2OA＋3(OB＋OC)－3OA＝6OA＋3OB＋3OC， → 1→ 1→ 1→ ∴OG＝ OA＋ OB＋ OC. 6 3 3 规律方法 利用向量加减法，把目标向量用已知的基底表示，
空间向量知识点总结
空间向量知识点总结空间向量是高中数学中的重要内容，它为解决立体几何问题提供了一种全新的思路和方法。
下面我们来对空间向量的相关知识点进行一个系统的总结。
一、空间向量的基本概念1、空间向量的定义在空间中，具有大小和方向的量称为空间向量。
2、空间向量的表示空间向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。
向量通常用小写字母加箭头表示，如\（＼vec{a}＼）。
3、空间向量的模空间向量\（＼vec{a}＼）的模（长度）记作\（｜＼vec{a}｜＼），其计算公式为\（｜＼vec{a}｜＝＼sqrt{a_1^2 ＋ a_2^2 ＋ a_3^2}＼）（假设\（＼vec{a} ＝（a_1, a_2, a_3)＼））。
4、零向量长度为\（0\）的向量称为零向量，记作\（＼vec{0}＼），其方向是任意的。
5、单位向量模为\（1\）的向量称为单位向量。
若\（＼vec{a}＼）是非零向量，则与\（＼vec{a}＼）同向的单位向量为\（＼frac{＼vec{a}｝｛｜＼vec{a}｜｝＼）。
6、相等向量长度相等且方向相同的向量称为相等向量。
7、相反向量长度相等但方向相反的向量称为相反向量。
二、空间向量的运算1、加法空间向量的加法满足三角形法则和平行四边形法则。
设\（＼vec{a}＼）、＼（＼vec{b}＼）为两个空间向量，则它们的和向量\（＼vec{c} ＝＼vec{a} ＋＼vec{b}＼）。
2、减法空间向量的减法是加法的逆运算，＼（＼vec{a} ＼vec{b} ＝＼vec{a} ＋（＼vec{b}）＼）。
3、数乘运算实数\（＼lambda\）与空间向量\（＼vec{a}＼）的乘积\（＼lambda\vec{a}＼）仍然是一个向量。
当\（＼lambda ＞ 0\）时，＼（＼lambda\vec{a}＼）与\（＼vec{a}＼）同向；当\（＼lambda ＜ 0\）时，＼（＼lambda\vec{a}＼）与\（＼vec{a}＼）反向；当\（＼lambda ＝0\）时，＼（＼lambda\vec{a} ＝＼vec{0}＼）。
空间向量知识点总结图
空间向量知识点总结图一、空间向量的概念1.1 空间向量的定义空间中具有大小和方向的量称为空间向量，通常用有向线段表示。
1.2 空间向量的表示空间向量通常用坐标表示，如果空间中有两点A(X1, Y1, Z1)和B(X2, Y2, Z2)，则向量AB 可以表示为AB = (X2 - X1, Y2 - Y1, Z2 - Z1)。
1.3 空间向量的运算空间向量之间可以进行加法和数量乘法运算。
1.3.1 加法两个空间向量A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)的和为A+B = (x1+x2, y1+y2, z1+z2)。
1.3.2 数量乘法一个空间向量A(x, y, z)和一个实数k的乘积为kA = (kx, ky, kz)。
二、空间向量的性质2.1 零向量的性质零向量是长度为0的向量，任何向量与零向量的和都是它自身。
2.2 相等向量的性质如果两个向量A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)的对应坐标相等，则它们是相等向量。
2.3 空间向量的线性运算性质空间向量的加法和数量乘法满足交换律、结合律和分配律。
2.4 向量共线的性质如果两个非零向量A和B共线，则存在一个非零实数k，使得A = kB。
2.5 向量共面的性质如果三个向量A、B、C共线，则它们共面。
三、空间向量的应用3.1 向量的数量积向量的数量积又称为点积，定义为A·B = |A| |B| cosθ，其中|A|和|B|分别为向量A和B的模，θ为向量A和B的夹角。
数量积的性质有交换律、分配律和数量积的几何意义。
3.2 向量的向量积向量的向量积又称为叉积，定义为A × B = |A| |B| sinθ n，其中|A|和|B|分别为向量A和B 的模，θ为向量A和B的夹角，n为垂直于A和B的单位向量。
向量积的性质有反交换律、分配律和向量积的几何意义。
3.3 应用举例空间向量在物理学、工程学和计算机图形学等领域有着广泛的应用，如力的合成、面积计算、三维坐标系中的投影等。
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M
23
1 OA 2 1 (OB OC) 6 32
A
Q P
C
1 OA 1 OB 1 OC
633
B
N
例 2 如图，M，N分别是四面体OABC的边 OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分.用向
量OA，OB，OC 表示OP和OQ.
解:OQ OM MQ 1 OA 1 MN 1 OA 1 (ON OM） 23 23
Ⅲ
yoz面
Ⅳ
xoy面
Ⅶ
x
Ⅷ
z zox 面
Ⅱ
o
yⅠ
Ⅵ Ⅴ
空间直角坐标系共有八个卦限
一、向量的直角坐标运算
设a (a1,a2,a3 ),b (b1,b2,b3 ) , 则
a b (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ) a b (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 )
注：对于基底{a,b,c},除了应知道a,b,c不共面，
还应明确： （1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。
（2） 由于可视 0 为与任意一个非零向量共线，与任
意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着
它们都不是 0 。
（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基 底中的某一个向量，二者是相关连的不同概念。
i, j, k上的分向量。
pP
k
iO j
y
Q
这种分解我们把它叫做空间向 x 量的正交分解.
二、空间直角坐标系下空间向量的直角坐标
单位正交基底：如果空间的一个基底的 三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个 基底叫做单位正交基底,常用e1 , e2 , e3 表示
空间向量的直角坐标：
给定一个空间坐标系和向
i (1, 0), j (0,1), 0 (0, 0). i
oj
a
x
在空间中，能得出类似的结论:
一、空间向量基本定理：
如果三个向量 a, b, c不共面，那么对空间任一
向量 p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，
使 p xa yb zc.
任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。
a, b, c都叫做基向量
1 OA 1 (ON 1 OA)
O
23 2
1 OA 1 1 (OB OC)
M
3 32
1 OA 1 OB 1 OC 36 6
Q
A
P
C
B
N
空间向量运算 的坐标表示
空间直角坐标系 z
从空间某一个定点O引三条
互相垂直且有相同单位长度的
数轴，这样就建立了空间直角
坐标系O-xyz．
O
y
x 点O叫作坐标原点，x，y，z轴统称为坐标轴，
|CA1|cos(A1CB)|CB|1
C1 B1
C B
平面向量基本定理:
如果e1, e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么 对这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数1, 2 ,
使 a 1e1 2e2
说明： (1)不共线的向量e1, e2 叫做这一平面内所有向量
的一组基底;
(3) 任一向量 a 都可以沿两个不共线的方向（e1, e2 的
这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称
为xOy平面、 yOz平面和 xOz平面．
右手系：伸出右手，让四指与大拇指垂直，并使四 指先指向x轴正方向，然后让四指沿握拳方向旋转
90o 指向y轴正方向，此时大拇指的指向即为z轴正向.
我们也称这样的坐标系为右手系．
说明:
☆本书建立的坐标系 都是右手直角坐标系.
量 p,且设e1,e2,e3为坐标向量，
由空间向量基本定理，存在唯 一的有序实数组(x,y, z)使
p = xe1+ye2+ze3
有序数组( x, y, z)叫做p在空间 直角坐标系O--xyz中的坐标， 记作.P=(x,y,z)其中x叫做点A的 横坐标，y叫做点A的纵坐标， z叫做点A的竖坐标.
z
e3
e1
O e2
A(x,y,z) y
z
解: (1)因为AB=2,BC=3,AA1=5 A1
所以C1为(3,2,5)
D1
从而
A C 1(3,2,5)3i2j5k (2)因为点D1为(3,0,5)
所A 以 1D (3,0,5)
(A) O
D
x
B1 C1
By C
设a xi y j zk, 那么 a i (xi y j zk) i xi i y j i zk i 由于ii |i|21, 而i j,i j 0同理ki 0 所 a i以 x 同 a j理 y ,a k z
a (a1, a2 , a3 )( R)
A1
(1)向量 CA1在CB上的投 ; 影 D
解:(1)向量CA1在CB上的投;影 A
|CA1 |cosA1CB|CB|1
C1 B1
C B
D1
例2.如图,已知单位正方体 A1
ABCD-A1B1C1D1,求
D
(2)BC是单位向,且 量垂直于平A面
ABB1A1,求向量 CA1在BC上的投.影 解:(2)向量 CA1在BC上的投影为
我 们 把 aix,ajy,akz分 别 称 为 向 量 a 在 x轴 ,y轴 ,z轴 正 方 向 上 的 投 影 . 向量的坐标等于 标它 轴在 正坐 方向上. 的
一般地,若b0为b的单位向量, 称ab0 | a | cos a,b 为向量a在向量b上的投影.
例2.如图,已知单位正方体
D1
ABCD-A1B1C1D1,求
方向）分解成两个向量（1e1, 2e2）和的形式；
(4)基底给定时,分解形式唯一.
例题讲解
例 2 如图，M，N分别是四面体OABC的边 OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分.用向
量OA，OB，OC 表示OP和OQ.
解:OP OM MP 1 OA 2 MN
O
23
1 OA 2 (ON OM )
特殊的： i, j, k两两垂直时
OP OQ zk. OQ xi y j.
OP OQ zk xi y j zk.
z
由此可知，如果 i, j, k 是空间两
两垂直的向量，那么，对空间任一
向量 p ，存在一个有序实数组
{x,y,z}使得 p xi y j zk.
我们称 xi, y j, zk 为向量 p 在
3.1.4空间向量的正交 分解及其坐标表示
复习： 平面向量基本定理：
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有
一对实数1，2，使a＝1e1＋2 e2。
（e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。）
平面向量的正交分解及坐标表示 y
a xi y j