高考总复习：函数的单调性与最值

第三节函数的单调性与最值

[知识能否忆起]

一、函数的单调性

1．单调函数的定义

图象描述

自左向右看图象逐渐上升

自左向右看图象逐渐下降

2．单调区间的定义

若函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数y ＝f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．

二、函数的最值

前提 设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足

条件 ①对于任意x ∈I ，都有f (x )≤M ； ②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M

①对于任意x ∈I ，都有f (x )≥M ； ②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M

结论 M 为最大值 M 为最小值

[小题能否全取]

1．(2012·陕西高考)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x 3

C ．y ＝1

x

D ．y ＝x |x |

解析：选D 由函数的奇偶性排除A ，由函数的单调性排除B 、C ，由y ＝x |x |的图象可知此函数为增函数，又该函数为奇函数，故选D.

2．函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在(－∞，＋∞)上是减函数，则( ) A ．k >12

B ．k <12

C ．k >－1

2

D ．k <－1

2

解析：选D 函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 是减函数， 则2k ＋1<0，即k <－1

2

.

3．(教材习题改编)函数f (x )＝1

1－x 1－x 的最大值是( )

A.4

5 B.54 C.3

4

D.43

解析：选D ∵1－x (1－x )＝x 2

－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34

，∴0<11－x 1－x ≤43.

4．(教材习题改编)f (x )＝x 2

－2x (x ∈[－2,4])的单调增区间为________；f (x )max ＝________. 解析：函数f (x )的对称轴x ＝1，单调增区间为[1,4]，f (x )max ＝f (－2)＝f (4)＝8. 答案：[1,4] 8

5．已知函数f (x )为R 上的减函数，若m

⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x

范围是______．

解析：由题意知f (m )>f (n )；

⎪⎪⎪⎪

⎪⎪1x >1，即|x |<1，且x ≠0.

故－1 (－1,0)∪(0,1)

1.函数的单调性是局部性质

从定义上看，函数的单调性是指函数在定义域的某个子区间上的性质，是局部的特征．在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调．

2．函数的单调区间的求法

函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域．对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数函数、指数函数等；如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间．

[注意] 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．

函数单调性的判断

典题导入

[例1] 证明函数f (x )＝2x －1

x

在(－∞，0)上是增函数．

[自主解答] 设x 1，x 2是区间(－∞，0)上的任意两个自变量的值，且x 1

x 2

，

f (x 1)－f (x 2)＝⎝

⎛

⎭⎪⎫2x 1－1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫

2x 2－1x 2

＝2(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫1x 2－1x 1

＝(x 1－x 2)⎝

⎛

⎭

⎪⎫2＋

1x 1x 2

由于x 1

>0，

因此f (x 1)－f (x 2)<0， 即f (x 1)

故f (x )在(－∞，0)上是增函数．

由题悟法

对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法： (1)结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)证明；

(2)可导函数则可以利用导数证明．对于抽象函数单调性的证明，一般采用定义法进行．

以题试法

1．判断函数g (x )＝－2x

x －1在 (1，＋∞)上的单调性．

解：任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1

x 2－1

＝

2x 1－x 2

x 1－1x 2－1

，

由于1

所以x 1－x 2<0，(x 1－1)(x 2－1)>0， 因此g (x 1)－g (x 2)<0，即g (x 1)

求函数的单调区间

典题导入

[例2] (2012·长沙模拟)设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义．对于给定的正数k ，定义函数

f k (x )＝⎩

⎪⎨

⎪⎧

f x

，f x ≤k ，

k ，f x ＞k ，

取函数f (x )＝2

－|x |

.当k ＝1

2

时，函数f k (x )的单调递增区间为( )

A ．(－∞，0)

B ．(0，＋∞)

C ．(－∞，－1)

D ．(1，＋∞)

[自主解答] 由f (x )>12，得－1

2

，得x ≤－1或x ≥1.

所以f 1

2

(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

2－x

，x ≥1，

12，－1＜x ＜1，

2x

，x ≤－1.