12高等电磁场
高等电磁场理论课后习题答案
由于是远场,
e 1 e 2 e 3 e 4 e e 1 e 2 e 3 e 4 e
2
I ka sin jkr jk r1 jk r2 E E 1 E 2 E 3 E 4 e e jk r3 e jk r4 e e 4r 1 H e k E
2.7
解：
H j E E j H E k 2 E 0 H 0 E 0
比如 E e z e 2.11
jkz
(1)
2 E ( E) ( E) k 2 E 2 E k 2 E 0 (2)
代入公式，可得，
I ka sin1 jkr1 H e e x cos 1 cos 1 e y cos 1 sin 1 e z sin 1 4r1
2
I ka sin 2 jkr2 e e x cos 2 cos 2 e y cos 2 sin 2 e z sin 2 4r2
推导1 1 1 R ˆ 4 lim 2 dV lim dS lim 3 4 R 2 R V 0 R 0 R 0 R R R V S 1 1 又知道 2 在R 0处值为零，符合 (r r ')函数的定义。 4 R 推导2 点电荷q (r r ')产生的电场强度为 q 1 4 0 R 4 R q (r r ') 1 E 2 4 (r r ') 0 R E q
所以有
H 2 E1 H1 E2 E1 J 2 E2 J1 H 2 M1 H1 M 2
高等电磁场理论-格林函数
3. 除此之外，标量格林函数的一个重要的性质是对源 点和场点的偶对称性，即
G r',r Gr,r'
设有标量格林函数 G r',r1 和 G r',r2 ，它们是不同源点 r1 和 r2 在场点 r' 所产生的标量场，在同一体积 V
内，它们必满足以下方程
（5-2）
在直角坐标系中
r r' x x' y y' z z'
(5-3a)
在圆柱坐标系中
r
r'
1
'
'
'
z
z'
在圆球坐标系中
r
r'
r'2
1
sin
'
r
r'
'
'
(5-3b) (5-3c)
三维 函数 r r' 可以展开为傅里叶积分
r r'
1
2 3
e jk•
合边界 S 上所满足的边界条件，
p r 为已知函数，当 0, 0 时边界上的标量场已知，为第一类边界条件，
对应的问题称为第一类边值问题；
当 0, 0 时边界上的标量场法向导数已知，为第二类边界条件，对应的问题
称为第二类边值问题；
当 0, 0 时通常是在一部分边界上标量场已知而在其余的边界上标量场的法
本征函数归一化，即使本征函数满足
n
r
* m
r dV
mn
V
式中 mn 是克罗内克尔 函数。
mn
1, 0
mn mn
（5-31）
求出本征值与本征函数后，可将标量格林函数用本征函数 n (r) 展开， 即
高等电磁理论-基本电磁理论
卫星导航系统
卫星导航原理
卫星导航系统通过接收来自卫星的信号来确定接收设备的 位置。高等电磁理论在卫星导航原理、信号处理和误差修 正等方面具有重要应用。
导航精度提升
为了提高卫星导航的定位精度和稳定性，需要进行深入研 究和系统优化。高等电磁理论为导航精度提升提供了重要 的理论支撑和实践指导。
多系统兼容与互操作
天线辐射原理
01
02
03
偶极子天线
是最简单的天线结构，由 两个相反的电荷或电流源 组成，能够向空间辐射电 磁波。
磁偶极子天线
由长直导线绕成线圈构成， 其辐射场呈现环状结构。
电偶极子天线
由两个相距很近的等量异 号点电荷组成，其辐射场 呈现向外的发散状。
电磁散射原理
散射系数
散射相移
描述散射场强度的物理量，与散射体 的形状、大小、介电常数等有关。
电磁场具有物质性，可以与物质 相互作用，产生力的作用和能量
的传递。
电磁场具有波动性，其传播方式 为电磁波，包括无线电波、可见 光、不可见光（紫外线和红外线）
等。
麦克斯韦方程组
麦克斯韦方程组是描述电磁场运动和变化的数学 模型，由四个基本方程构成。
方程组揭示了电场和磁场之间的相互关系，以及 它们与电荷和电流密度的关系。
麦克斯韦方程组是经典电磁理论的基石，是研究 电磁波传播、辐射和吸收等问题的基本工具。
电磁波的传播特性
电磁波在空间中传播时，会受 到介质的影响，其传播速度、 波长和频率会发生变化。
电磁波的传播方向与电场和磁 场的振动方向相互垂直，符合 横波的特征。
电磁波的传播速度与介质的性 质有关，不同的介质对不同频 率的电磁波有不同的折射率和 吸收系数。
高等电磁场理论习题解答(作业)
第一章基本电磁理论1-1 利用Fourier 变换, 由时域形式的Maxwell方程导出其频域形式。
（作1-2—1-3）解：付氏变换和付氏逆变换分别为：麦氏方程：对第一个方程进行付氏变换：（时谐电磁场）同理可得：上面四式即为麦式方程的频域形式。
1-2 设各向异性介质的介电常数为当外加电场强度为(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5)求出产生的电通密度。
（作1-6）解：将E分别代入，得：1-3 设各向异性介质的介电常数为试求：(1) 当外加电场强度时，产生的电通密度D；(2) 若要求产生的电通密度，需要的外加电场强度E。
（作1-7—1-8）解：即：.附：又所以1-6 已知理想导电体表面上某点的电磁场为试求该点表面电荷及电流密度。
解：由已知条件，理想导体表面某点：(1-6-1)(1-6-2)知该点处的法向单位矢量为： (1-6-3)理想导体表面上的电磁场满足边界条件：(1-6-4)(1-6-5)将(1-6-2)、(1-6-3)式代入(1-6-4)式，得该点处的表面电流密度为：(1-6-6)将(1-6-1)、(1-6-3)式代入(1-6-5)式，得该点处的表面电荷密度为：(1-6-7)1-9 若非均匀的各向同性介质的介电常数为, 试证无源区中的时谐电场强度满足下列方程:（作1-9）证明：非均匀各向同性介质中（无源区）的时谐电磁场满足(1-9-1)(1-9-2)对(1-9-2)式两边取旋度，并利用(1-9-1)得又所以 (1-9-3)又在非均匀各向同性介质中即 (1-9-4)将(1-9-4)代入(1-9-3)，得即第2章平面电磁波2-1 导出非均匀的各向同性线性媒质中，正弦电磁场应该满足的波动方程及亥姆霍兹方程。
解：非均匀各向同性线性媒质中，正弦电磁场满足的Maxwell方程组为(2-1-1)(2-1-2)(2-1-3)(2-1-4)对(2-1-2)式两边取旋度，并应用(2-1-1)得即对(2-1-1)式两边取旋度，并应用(2-1-2)得所以非均匀各向同性媒质中，正弦电磁场满足的波动方程为 (2-1-5)(2-1-6)由(2-1-4)式得即 (2-1-7)由(2-1-3)式得即 (2-1-8)利用矢量关系式，并将(2-1-7)(2-1-8)式代入，得电磁场满足的亥姆霍兹方程为(2-1-9)(2-1-10)均匀介质中，无源区中2-4 推导式（2-2-8）。
大学物理第十二章变化的电磁场
是匀强磁场吗？ 是！
m = BScos ( t+o)
= Bosin t Scos t
i
dm
dt
= -BoS cos2 t
13
例12.1.4 长直电流I与ABC共面, AB=a, BC=b。
(1) I =Iocos t (Io 和为常量) , ABC 不 动, 求: ABC=？
解:
m
Bdscos
方向成右手螺旋关系。3
感应电流总是“企图”阻碍原磁通的改变，但又 阻止不了。
楞次定律是能量守恒定律的必然结果。
fm
fm
楞次定律能量守恒
“阻碍”改为“助长”则，不需外力作功，导线便会 自动运动下去，从而不断获得电能。这显然违背 能量守恒定律。
4
感应电动势和感应电流的关系
对闭合导体回路, 感应电动势的方向和感应电 流的方向是相同的。
B)
dl
a
b ++ B
dl
(1)若i 若i
>0, <0,
则i 则i
沿 dl方向，即ab的方向； 与dl的方向相反，即ba的方向。
-a-
(2)动生电动势只存在于运动导体内，无论导体是否构
成闭合回路，只要导体 B在 磁0场中运动切割磁场线，即
(3)若整个导体回路在磁场中运动，则在回路中产生的
动生电动势：
用法拉第电磁感应定律解题的步骤如下：
(i)首先求出回路面积上的磁通量(取正值)：
m
B dS
S
对匀强磁场中的平面线圈：
m B S BS cos
(ii)求导：
i
dm
dt
(ⅲ)判断i 的方向。
8
例12.1.1 圆线圈，m=8×10-5sin100t(wb), N=100匝，
高等电磁场理论第三章课后作业
第三章3-2 在Coulomb 规范条件下，矢量位和标量位满足微分方程： （1） （2）可得：又由电荷守恒定律可知：0t J ρ∂∂∇∙+=(r)J j ωρ∴∇∙=-所以， （3）将（3）带入（1）可得：即证明之 3-4 （1）电流元产生的电磁场求解电Hertz 位满足其中(r)(r)e J P j ω=s=I J dS∙⎰又所以可得：电Hertz 位与场量之间的关系为：2(r)j (r)(r)(r)(r)e e e e eH E ωεωμε=∇⨯∏=∇∇∙∏+∏22()()()j ()k μωμε∇+=-∇ΦA r A r J r +r ()()ρε∇Φ=-2r r ()()4V dV ρπε''Φ='-⎰r r |r r |1()()j 4V dV ωπε'∇⋅'Φ=-'-⎰J r r |r r |22()()()()4Vk dV μμπ'∇⋅'∇+=--∇'-⎰J r A r A r J r |r r |e 2e2e()()()k ε∇+=-P r Πr Πr e j ||j ||e j ()11()4||j 4||j 4k k krzz Vl e Ie Il dV dz er επωεπωεπ''-----''==≈''--⎰⎰r r r r P r Πr e e r r r r代入可得： 其中cos e sin z r e e θθ-θ=（2）磁流元产生的电磁场求解 由对偶原理可得：3-13 y11,εμZ22,εμ如图所示，由边界条件 1212(E )0(H H )Sn E n J⨯-=⨯-=e e j j 2j 221()j ()j j 4sin j 1cos sin 44z kr kr krr Il r Il e e k Il e r r kr k r θφωεωεωεπθθθππ---⎛⎫=∇⨯=∇⨯ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=∇⨯-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭H r Πr e e e e e e33j j 22332233()()j cos j 1sin 1j 1j j 24kr krr k Il k Il e e k r k r kr k r k r θωεθθπωεπωε--∇⨯=⎛⎫⎛⎫=-+--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭H r E r e e m mmj m j j 2m j 221()j ()j j 4sin j 1cos sin 44kr z kr kr krr I l e r I l e e k I l er r kr k r θφωμωμωμπθθθππ----⎛⎫=-∇⨯=-∇⨯ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=-∇⨯-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭E r Πr e e e e m m33j j 22332233()()j cos j1sin 1j 1j j 24m m kr kr rk I l k I l e e k rk r kr k rk r θωμθθπωμπωμ--∇⨯=-⎛⎫⎛⎫=-+--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭E r H r e e又因为(y)z J e I =δ所以可知磁场H 方向为x 方向，电场E 方向为z 方向。
高等电磁理论第二章
结论：在时谐场中，无源区域赫兹矢量满足齐次亥姆霍兹方程。 理想介质：
⎧(∇ 2 + k 2 )Π e = 0 ⎪ ⎨ 2 ⎪(∇ + k 2 )Π m = 0 ⎩
⎧ 2 ~2 P (∇ + k )Π e = − ⎪ ε ⎨ ~ ⎪(∇ 2 + k 2 )Π = − M m ⎩
在有耗媒质中：
其中： k = ω
得：
∂Π ∂φ = με ∇ ⋅ e ∂t ∂t
φ = −∇ ⋅ Π e
高等电磁理论 电磁场表示为：
∂ ⎧ B = ∇ × A = με (∇ × Π e ) ⎪ ∂t ⎪ ⎨ ∂ 2Π e ⎪ E = ∇∇ ⋅ Π − με e ⎪ ∂t 2 ⎩
在无源区：
∇× H = ε
∂E ∂t 1 1 ∂ ∂ ∇ × B = ⋅ ( με ∇ × ∇ × Π e ) = ε (∇ × ∇ × Π e ) μ μ ∂t ∂t
(1) n
H
(2) n
2 j n − jkr r (kr r ) → j e π kr r
高等电磁理论 则标量Helmholtz方程的通解为：
ψ (r , ϕ , z ) = ∑∑ C (n, k z )Bn (kr r )h(nϕ ) h( k z z )
n kz
或：
⎛ cos nφ ⎞ j (ωt ± k z z ) ψ = ∑∑ C (n, k z )Bn (kr r ) ⎜ ⎟⋅e n kz ⎝ sin nφ ⎠
高等电磁理论 电场：
E = ∇∇ ⋅ Π e − ∇ 2 Π e = ∇ × ∇ × Π e
Am = με ∂Π m ∂t
2. 磁赫兹矢量位定义： 根据对偶原理：
Φ m = −∇ ⋅ Π m
高等电磁场答案
高等电磁场答案【篇一：电磁场作业题答案全】>1.1 什么是场？什么是矢量场？什么是标量场？什么是静态场？什么是时变场？答：如果在空间某一个区域内上任意一点都有一确定物理量值与之对应，则这个区域就构了一个物理量的场。
如果这个确定物理量值是一个标量（只有大小没有方向），我们称这种场为标量场，如温度场、密度场、电位场等等。
如果这个确定物理量值是一个矢量（既有大小又有方向），我们称这种场为矢量场，如电场、磁场、重力场等等。
如果在场中的这个物理量仅仅是空间位置的函数，而不是时间的函数（即不随时间变化的场），我们称这种场为静态场。
如果在场中的这个物理量不仅仅是空间位置的函数，而且还是时间的函数（即随时间变化的场），我们称这种场为时变场。
1.2 什么是标量？什么是矢量？什么是常矢？什么是变矢？什么是单位矢量？答：一个物理量如果仅仅只有大小的特征，我们称此物理量为标量。
例如体积、面积、重量、能量、温度、压力、电位等。
如果一个物理量不仅仅有大小，而且还具有方向的特征，我们称此物理量为矢量。
例如电场强度，磁感应强度、电位移矢量、磁场强度、速度、重力等。
一个矢量如果其大小和方向都保持不变的矢量我们称之为常矢。
如果矢量的大小和方向或其中之一是变量的矢量称为变矢。
矢量与矢量的模值的比值，称为单位矢量。
即模值为1的矢量称为单位矢量 1.3什么是等值面？什么是等值面方程？什么是等值线？什么是等值线方程？答：在标量场中许多相同的函数值（他们具有不同的位置）。
构成的曲面，称为等值面。
例如，温度场中由相同温度构成的等温面，电位场中相同电位构成的等位面等都是等值面。
描述等值面的方程称为等值面方程。
假定u?x,y,z?是坐标变量的连续可微函数。
则等值面方程可表述为 u?x,y,z??c （c为任意常数）在标量场中平面中相同的函数值构成的曲线，称为等值线。
描述等值线的方程称为等值线方程。
假定u?x,y?是坐标变量的连续可微函数。
则等值线方程可表述为 u?x,y??c （c为任意常数） 1.4求下列电场的等位线方程 (1)??xz， (2) ??4 x?y22解：根据等值线方程的定义即电位函数应为一常数，所以等位线方程为⑴ ??c?xz，即 x?c；⑵ ??4?c 即 x2?y2?4?k （k为常数） zcx?y1.5 求下电场的等值面方程 1）??2221222， 2） ?=x-x0)?(y?y0)?(z-z0) ， 3）?=ln(x+y+z) 22x?y?z2解：根据等值面方程的定义即电位函数应为一常数，所以等位面方程为⑴ ??1即 x2?y2?z2?1?k2 ?ccx2?y2?z2⑵?=x-x0)2?(y?y0)2?(z-z0)2 ?c 即(x?x0)2?(y?y0)2?(z?z0)2?c2?k2 ⑶ ln?x2?y2?z2??c 即x2?y2?z2?ec?k2，（k为常数）1.6 什么方向导数？什么梯度？梯度与方向导数的关系？答：在标量场中任一点在某一方向上的变化率称为方向导数。
电磁场基本方程
（1）分析电场是否具有对称性。 （2）取合适的高斯面(封闭面)，即取在E相等的曲面上。
（3）E相等的面不构成闭合面时，另选法线方向垂直于E
的面，使其成为闭合面。
（4）分别求出
D ds
s
，从而求得 D 及 E 。
qi
S内
16
高等教育出版社出版
2.1.3 电流密度，电荷守恒定律
电流 —— 电荷的定向运动而形成，用i 表示，其大小定义为： 单位时间内通过某一横截面S的电荷量，即
E
EdS S
4 r2E
01o 43Vr0d3V
E 0r ,Do0r
a
r
3o
3
高等教育出版社出版
13
例2 如图所示，同轴线的内外导体半径分别为a 和b。在内外导体间加电压U，则内导体通过的 电流为I，外导体返回的电流为-I。
a)设内外导体上单位长度的带电量分别为
作为封闭面，还应加上前后圆盘底面，但是它们与 D相平行，因而没有通量
穿过，不必考虑。
于是
sD d sD ˆ2l ll
得
D ˆ l , 2
E D ˆ l
ab
2
14
高等教育出版社出版
b) UlEd la b2 l d2 l ln b a 故
利用斯托克斯定理 E dS E dl
S
C
导出： E0
表明静电场是无旋场。
静电场的基本性质 （1）静电场是由通量源、不是 由旋涡源产生的场； （2）静电场是有源无旋场。
高等教育出版社出版
12
例1 求真空中均匀带电球体的电场强度和电通密度分布。已
知球体半径为a ，电 荷密度为 0 。
应用电子技术导论 第12讲 电磁场与微波技术
2. 电波和磁波的互生规律
• 电磁波是电磁场的一种运动形态。电与磁 电磁波是电磁场的一种运动形态。 可说是一体两面， 可说是一体两面，变化的电场会产生磁场 变化的磁场则会产生电场。 ，变化的磁场则会产生电场。变化的电场 和变化的磁场构成了一个不可分离的统一 的场，这就是电磁场， 的场，这就是电磁场，而变化的电磁场在 空间的传播形成了电磁波， 空间的传播形成了电磁波，电磁的变动就 如同微风轻拂水面产生水波一般， 如同微风轻拂水面产生水波一般，因此被 称为电磁波，也常简称为电波。 称为电磁波，也常简称为电波
一个问题？
• 纵观微波的波段范围不足一米 （0.1mm~~1m）,为什么要把 这个不足一米 为什么要把 的波段的无线电波专门加以研究， 的波段的无线电波专门加以研究，而又形 成一个独立学科呢？ 成一个独立学科呢？ 要回答这个问题，就需要研究微波的特点。 要回答这个问题，就需要研究微波的特点。
2）、微波的特点 ）、微波的特点 ）、
4）、两点提醒 ）、两点提醒 ）、
• （1）长期接受电磁辐射会造成人体免疫力下 ） 新陈代谢紊乱、记忆力减退、提前衰老、 降、新陈代谢紊乱、记忆力减退、提前衰老、 心率失常、视力下降、血压异常、 心率失常、视力下降、血压异常、皮肤产生斑 粗糙，甚至导致各类癌症等； 痘、粗糙，甚至导致各类癌症等；男女生殖能 力下降、妇女易患月经紊乱、流产、畸胎等症。 力下降、妇女易患月经紊乱、流产、畸胎等症。 • （2）慎用微波炉、电热毯：现在人们使用的 慎用微波炉、 慎用微波炉 电热毯： 绝大多数微波炉和电热毯电磁波的辐射强度超 过安全值20～ 过安全值 ～100倍，对人体健康的伤害极为 倍 严重。 严重。
5）.电磁波的类型 ） 电磁波的类型
• （1）横电磁波（TEM波即 波即Ez=0;Hz=0）； ）横电磁波（ 波即 ）； • （2）横电波（TE波即 波即Ez=0; Hz≠0）； ）横电波（ 波即 ）； • （ 3）横磁波（TM波即 ≠0 ； Hz =0）。 ）横磁波（ 波即Ez 波即 ）。
大学物理12 真空中的静电场
注意：直接对dE 积分是常见的错误
d q dV
lim
q d q dV V 0 V
一般 E dE
体密度 面密度
dq dS dq dl
q d q lim dS S 0 S
lim
l 0
r
dq
P
dE
q d q l dl
a. 电场中的带电体，受电场的作用力。 b. 移动带电体，电场力作功：场具有能量 c. 变化的电磁场以光速传播：场具有动量、质量
场和实物是物质存在的不同形式。 但实物具有不可入性，而场可以叠加。
二、电场强度
从力的角度研究电场 F 单位正电荷（检验பைடு நூலகம்荷）在电 E q 场中某点所受到的力。 它与检验电荷无关，反映电场本身的性质。
根据万有引力定律可得两粒子间万有引力大小： me m p 6.7 1011 9.11031 1.7 1027 Fg G 2 r (5.3 1011 ) 2 3.7 1047 (N)
可以看出，氢原子中电子与质子的相互作用的 静电力远大于万有引力，前者约为后者的1039倍。
dl acsc 2d .
p a
dEy
dEx
0
1
x
dE
r 2 a 2csc 2 .
dE d 4 0 a
24
dE d 4 0 a
dE x sind 4 0 a dE y cosd 4 0 a
E y dEy
7
电磁学的学习特点
1. 与力学相比，电磁学的思路与学习方法不同 力学 牛顿运动 定律 电现象 磁现象 电生磁 磁生电 动量规律 功能规律
电磁学
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E zL( x)
z
H K (J )
对于（5），在等效源无需作用的情况下，在某些情况下能化简场得到简洁的表达式，此表
达形式一般用于计算远场：
对于（6），对场点作用在格林函数 G 中，对源点作用在等效源点，一般用于计算近场。
V1
V2
S
磁导体
电导体
V2
S
(c)
(d)
第三种等效：如图（d）所示，假设 S 内填充理想导磁体，这样
S 内场为 0;由互易定理可
J S 的作用，使其在 S 外产生的
知理想磁体面上的磁流源不会产生辐射，故我们只需考虑
场与原问题相同，需满足 J S n H ，由边界连续性条件可知，此等效问题
AAm
m
t
2 AAm
2 Am
Jm
t 2
2 m
m
A
t 2
U
2
m
m
A
H m
t
通过以上 4 式可以计算 H 的解。
3 赫兹矢量
赫兹矢量特别适合于计算发生极化和磁化时产生的二次场,令
A
A 2 J t （ J t 电流密度矢量的无散部分）
t
2
（2）优越性：通过在规范条件下，A 和 Φ 之间的关系：
2
A
2
； A
；
J
A
t
t 2
A
E
t
《电磁场》课程教学大纲
《电磁场》课程教学大纲大纲执笔人：胡登宇大纲审核人：课程编号：0806145英文名称：Electric magnetic field学分：2学分总学时：32。
其中，讲授32学时。
适用专业: 电气工程及其自动化、电子信息工程等先修课程：高等教学、大学物理一、课程性质与教学目的电磁场是关于电与磁现象的一门学科，是工科电类专业的一门理论性比较强的专业课，它的任务是阐明电磁场的基本概念、基本规律和基本的分析计算方法。
本课程是学生在学习了大学物理以后再继续学习的，在内容编写上，即保证了与大学物理电磁学部分的衔接，又保证了理论的完整性，同时避免了一些不必要的重复。
本课程具体分为电场与磁场2个部分进行讲述，通过本课程的学习，可为后续课程，如电机学、高电压技术等打下良好的基础。
同时，培养学生的辨证思维能力，树立理论联系实际的科学观点；提高学生分析和解决问题的能力。
二、基本要求(一)掌握电场强度、电位、静电力、电容的计算方法。
(二)掌握绝缘电阻、接地电阻的计算方法。
(三)掌握磁通量、电感量以及磁场能量的计算。
三、重点与难点重点内容：高斯定理，镜像法，电场强度、电位、电容的计算，电流密度、绝缘电阻、接地电阻的计算，磁感应强度、磁通量、磁场的能量与电感的计算，电磁感应定律。
难点内容：高斯定理，镜像法，电流密度、绝缘电阻、电感的计算四、教学方法课堂讲授，运用启发、讨论、教学互动的多模式教学方法。
五、课程知识单元、知识点及学时分配见表1表1 课程的知识单元、知识点及学时分配知识单元知识点讲课序号描述序号描述1 静电场1 电场强度152 电位3 导体与电介质4 高斯定理5 静电场的基本方程、边界条件6 泊松方程与拉普拉斯方程7 镜象法8 部分电容2 恒定电场1 电流强度与电流密度82 恒定电场的基本方程3 分界面上的边界条件4 恒定电场静电场的比拟5 电导与接地电阻3 恒定磁场1 磁感应强度72 安培环路定理（真空）3 媒质的磁化4 恒定磁场的基本方程与边界条件5 电感6 磁场能量4 时变场1 电磁感应定理2 2 全电流定理六、实验教学内容实验单独开设七、作业要求每个知识单元后均布置一定数量的作业，要求学生独立书面完成。
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22
解：（1）先求正交归一本征函数
d 2 K (ax x 2 ) / 0 g ( x) Ka 2 ( x / a x 2 / a 2 ) 2 dx d2 dx 2 u (0) 0 ； u (a ) 0
XII-2 平面波在无界双各向同性媒质传播。设传播方向为正 Z 方向。求本征波的 传播常数和电场、磁场。 D E H XII-3
B E H
把下列函数在给定的区域做本征展开。
（1） f ( x) x
A
n 0 2
n cos nx Bn cos nx n 1
n
表示对所有可能出现的 TE 和 TM 模求和。于是，求场分布的问题转
化为求系数 Cn 和 C n 的问题。
y
J
z1 z2
图 14-2 波导中的电流源
z
（以下省略）详细叙述参见 波导的激励问题 例题 XII-2
傅君眉编著《高等电磁理论》第六章第 7 节:
平板波导的激励问题
三、非互易媒质中的本征波
式中， a , b 表示 a 与 b 的内积。 取内积，可得
m n m n
(12.5)
n un , g
未知解函数 u 也可以用 un 展开为
u n un
n
于是求 u 的问题转化为求 n 的问题。 代入算子方程，得
n 1
n Ln u n n u n n 1
（2） f ( x) x x
B
n 1
n
sin nx
（3） f ( x) x x
3
B
n 1 4
n
sin nx
（4） f ( x) x x 2 x
2
B
n 1
n
sin nx
本征值 1 ，对应的本征矢为
k H1 0 jkh 0 H 2 h 0
(14-39)
本征值 2 对应的本征矢为
(14-40)
H 1 表示椭圆极化波， H 2 表示线极化波。其传播常数分别为
Lu n n u n
设
n 1,2,
(12.3)
为本征值序列， u 为本征函数系。
n n
若 un 是完备的函数系，则 g 可以用本征函数系 un 展开为
g n un
n
(12.4)
若 un 还为正交归一函数系，即
0 um , un mn 1
1 0 0 r (
2 k2 )
(14-41)
2 0 0 r z
(14-42)
在铁氧体中传播的任何波均可以分解为上述本征波的线性组合。
习题
XII-1
14
平行， 平面波在无界等离子体中传播。 传播方向与外加磁场 B0 B0 z 张量
1 j 2 0 介电常数为 -j 2 1 0 , 试求本征波的传播常数和场表示式。 0 0 3
容易求出正交归一本征函数系
L g ； L d2 L 2 u u dx
列为
u n ( x) C n sin
nx a
2 nx sin a a
（2）把源函数用正交归一函数系展开
g ( x) Ka 2 ( x / a x 2 / a 2 )
二、波导激励问题
如图 14-2 所示，考虑一无限长的波导，其中的电流源 J 位于 z1 z z 2 的区 域内。现在我们要求电流源 J 在 z z 2 和 z z 1 区域中辐射的场。根据本征函数 展开理论， J 所辐射的场可以用无源区域的波导模式场(本征函数系)展开，即 (14-11) 式中，
H H m e j r
(14-20)
(14-21)
考虑无限大空间的均匀平面波，设 (14-22)
式中， H m 为常矢。 (14-27)
（1）
纵向磁化。外场 H 0 与传播方向 平行，这时
jk r -jk 0 0
0 0 z
本征波：有固定的相速度、相移常数的平面波（或者球面波、柱面波） 考虑非互易媒质 0 r , 0 r 。在无源情况下，满足
于是
H j E 0 r E j0 r H 2 H k0 r r H
(14-32)
(14-29)
1 对应的本征矢为
h H1 jh 0
2 对应的本征矢为
式中， h 为任意常数。
h H 2 jh 0
(14-33)
因此， 在纵向磁化时， 对应有两个本征波， 一个是 xoy 平面的右旋(相对于 H 0 ) 圆极化波， H 1 ，对应的传播常数为
(12.6)
比较左右的系数，有
n
n n
例题 XII-1
设平行板电容器的两个极板分别位于 x=0 和 x=a,电容器内
的介质为空气，极板之间填充的电荷体密度为 ( x) K (ax x 2 ) ， 已知两个极板均接地。求电容器内的电位分布。 解：依对称性，容易判断出极板间的电位仅仅是 x 的函数。
1 0 0 r 0 ( k )
(14-34)
另一个本征波是 xoy 平面的左旋(相对于 H 0 )圆极化波 H 2 ，对应的传播常数 为
2 0 0 r 0 ( k )
(14-35)
横向磁化。 H 0 与传播方向垂直。设 H 0 为 y 方向，则 (14-36)
第三章
电磁场基本解法
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5
镜像法 分离变量法 本征函数法 格林函数法 并矢格林函数
XII
本征函数展开法
一、本征函数法的基本概念
研究线性算子方程
Lu g
2 2
(12.1)
2 2
例如，对于波动方程 ( k )u f ，则 L ( k ), g f 。 其中线性算子 L 和激励源函数 g 是给定的，位函数或者常函数 u 是待求解的。 引入本征方程 (12.2) Lu u 其中的 称为本征值， u 称为对应于 的本征函数。 若边界有限，则本征值 为离散的。若边界无界，则本征值 为连续的。对 于有限边界而言