2019-2020学年江苏省宿迁市宿豫区九年级(上)期中数学试卷

2019-2020学年江苏省宿迁市宿豫区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（3分）方程220x x -=的根是( )A ．120x x ==B ．122x x ==C ．10x =，22x =D ．10x =，22x =-2．（3分）小亮同学想知道自己的体重在班级中是否属于中等水平，则需了解全班同学体重的( )A ．平均数B ．中位数C ．众数D ．极差3．（3分）如图，点A 、B 、C 在O 上，点D 是AB 延长线上一点，若55CBD ∠=︒，则AOC ∠的度数为( )A ．100︒B ．105︒C ．110︒D ．125︒4．（3分）将一元二次方程22610x x -+=配方，得2()x h k +=，则h 、k 的值分别为( )A ．3、8B ．3-、8C ．32、74D ．32-、745．（3分）下列关于三角形的外心说法正确的是( )A ．三角形的外心一定在它的外部B ．三角形的外心是它三边垂直平分线的交点C ．三角形的外心到它的三边距离相等D ．三角形的外心与它的内心不可能重合6．（3分）下列方程中没有实数根的是( )A ．2430x x -+=B ．2440x x -+-=C ．2450x x -+-=D ．2460x x --=7．（3分）如图，正六边形ABCDEF 的半径为6，则它的面积为( )A．273B．543C．108D．36π8．（3分）已知O的直径为8，点P在直线l上，且4OP=，则直线l与O的位置关系是()A．相离B．相切C．相交D．相切或相交二、填空题（本大题共10小题，每题3分，共30分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9．（3分）有一组数据：8，9，7，9，7，8，8，这组数据的众数为．10．（3分）若关于x的一元二次方程260-+=的一个根为2，则它的另一个根为．x mx11．（3分）某单位要招聘1名英语翻译，对听、说、读、写进行素质测试，小张4项的分数分别为90分、85分、90分、80分．若把听、说、读、写的成绩按3:3:2:2计算，则小张的平均成绩为．12．（3分）一张面积是20.98m的长方形桌面，长比宽多70cm．设它的宽为xm，可得方程．13．（3分）用半径为24，圆心角为60︒的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为．14．（3分）若某个一元二次方程的两个实数根分别为2-、1，则这个方程可以是．（写出一个即可）15．（3分）如图，在O中，直径BA的延长线与弦ED的延长线相交于点C，且CD OA=．若75∠=︒，则C∠的度数为．BOE16．（3分）如图，O的半径为5，3OP=，过点P画弦AB，则AB的取值范围是．17．（3分）一块周长为1.2m 、面积为20.15m 的三角形铁皮（铁皮厚度忽略不计），现在从中裁下了一块面积最大的圆形铁皮，则裁下的圆形铁皮的半径为 ．18．（3分）关于x 的方程2210x k x +-=有两个不相等的实数根，k 的取值范围 ．三、解答题（本大题共10题，共96分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）解列方程：2860x x -+=．20．（8分）已知2123y x x =+，2510y x =-+．x 为何值时，1y 与2y 的值相等？21．（8分）如图，AB 是O 的直径，AC 是O 的弦过点C 的切线交AB 的延长线于点D ，若CA CD =，试求A ∠的度数．22．（8分）如图，AC 、BD 是O 的直径，且AC BD ⊥，请说明四边形ABCD 是正方形．23．（10分）甲、乙两人在相同条件下各立定跳远5次，距离如下（单位：):cm甲：225，230，240，230，225；乙：220，235，225，240，230．（1）计算这两组数据的方差；（2）谁的跳远技术较稳定？为什么？24．（10分）如图，O 的弦AB 、DC 的延长线相交于点E ．（1）如图1，若AD 为120︒，BC 为50︒，求E ∠的度数；（2）如图2，若AB CD =，求证：AE DE =．25．（10分）如图，在矩形ABCD 中，12AB cm =，6BC cm =，点P 从A 点出发沿AB 以2/cm s 的速度向点B 移动，一直到达点B 为止；同时，点Q 从C 点出发沿CD 以1/cm s 的速度向点D 移动，当点P 停止运动时，点Q 也停止运动．（1）经过多长时间P 、Q 两点之间的距离是6cm ？（2）经过多长时间P 、Q 两点之间的距离是10cm ？26．（10分）如图，AB 是O 的直径，C 为O 上的一点，点D 为BC 的中点，DE AC ⊥于点E ．（1）求证：DE 是O 的切线；（2）若8AE =，4DE =，求O 的半径．27．（12分）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．（1）如果商场销售这批衬衫要保证每天盈利1050元，同时尽快减少库存，那么衬衫的单价应降多少元？（2）能否通过降价后商场销售这批衬衫每天盈利1500元？（3）能否通过降价后商场销售这批衬衫每天盈利最大？若能，求出最大值；若不能，请说明理由．28．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为4的正方形ABCD的中心在原点O处，且//→→→→→→⋯AB x轴，点P在正方形ABCD的边上，点P从点A处沿A B C D A B匀速运动，以点P为圆心，以1为半径长画圆，在运动过程中：（1）当P第1次与x轴相切时，则圆心P的坐标为；（直接写出结果）（2）当圆心P的运动路程为2019时，判断P与y轴的位置关系，并说明理由；（3）当P第一次回到出发的位置时，即P运动一周，求P运动一周覆盖平面的区域的面积．2019-2020学年江苏省宿迁市宿豫区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（3分）方程220x x-=的根是()A．120x x==B．122x x==C．10x=，22x=D．10x=，22x=-【分析】直接利用因式分解法将方程变形进而求出答案．【解答】解：220x x-=(2)0x x-=，解得：10x=，22x=．故选：C．【点评】此题主要考查了因式分解法解方程，正确分解因式是解题关键．2．（3分）小亮同学想知道自己的体重在班级中是否属于中等水平，则需了解全班同学体重的()A．平均数B．中位数C．众数D．极差【分析】根据中位数的定义进行解答即可．【解答】解：小亮同学想知道自己的体重在班级中是否属于中等水平，则需了解全班同学体重的中位数；故选：B．【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、极差．反映数据集中程度的平均数、中位数、众数各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．3．（3分）如图，点A、B、C在O上，点D是AB延长线上一点，若55CBD∠=︒，则AOC∠的度数为()A ．100︒B ．105︒C ．110︒D ．125︒【分析】设点E 是优弧AB （不与A ，B 重合）上的一点，则12AEC AOC ∠=∠，根据圆内接四边形的外角等于它的内对角即可求得．【解答】解：设点E 是优弧AC （不与A ，C 重合）上的一点，连接AE 、CE ，55CBD ∠=︒．18055E ABC CBD ∴∠=︒-∠=∠=︒．2110AOC E ∴∠=∠=︒．故选：C ．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键． 4．（3分）将一元二次方程22610x x -+=配方，得2()x h k +=，则h 、k 的值分别为( )A ．3、8B ．3-、8C ．32、74D ．32-、74【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤计算可得．【解答】解：2261x x -=-，2132x x ∴-=-， 则29193424x x -+=-+，即237()24x -=， 32h ∴=-，74k =， 故选：D ．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．5．（3分）下列关于三角形的外心说法正确的是( )A ．三角形的外心一定在它的外部B ．三角形的外心是它三边垂直平分线的交点C ．三角形的外心到它的三边距离相等D ．三角形的外心与它的内心不可能重合【分析】分别根据三角形外心内心逐项判断即可．【解答】解：A ．三角形的外心还可以在三角形的边上或三角形的内部，故错误； B ．三角形的外心是它三边垂直平分线的交点，正确；C ．根据三角形的外心到三个顶点的距离相等，故此选项错误；D ．只有等边三角形的外心与内心重合，故错误．故选：B ．【点评】本题主要考查三角形的内心和外心，掌握相应定理的内容及应用条件是解题的关键．6．（3分）下列方程中没有实数根的是( )A ．2430x x -+=B ．2440x x -+-=C ．2450x x -+-=D ．2460x x --=【分析】逐一求出四个选项中根的判别式△的值，由“当△0<时，方程无实数根”即可得出结论．【解答】解：A 、△2(4)41340=--⨯⨯=>，∴该方程有两个不相等的实数根，A 不符合题意；B 、△244(1)(4)0=-⨯-⨯-=，∴该方程有两个相等的实数根，B 不符合题意；C 、△244(1)(5)40=-⨯-⨯-=-<，∴该方程没有实数根，C 符合题意；D 、△2(4)41(6)400=--⨯⨯-=>，∴该方程有两个不相等的实数根，D 不符合题意．故选：C ．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△0<时，方程无实数根”是解题的关键．7．（3分）如图，正六边形ABCDEF的半径为6，则它的面积为()A．273B．543C．108D．36π【分析】由于正六边形可以分成六个边长的正三角形，而正多边形的半径即为正三角形的边长，所以首先求出正三角形的面积即可求出正六边形的面积，而正三角形的高可以利用解直角三角形解决问题．【解答】解：正六边形ABCDEF的半径为6，∴正六边形ABCDEF内接于O，O的半径为6，而正六边形可以分成六个边长的正三角形，∴正多边形的半径即为正三角形的边长，∴正三角形的边长为6，∴正三角形的高为6sin6033⨯︒=，∴该正六边形的面积为166335432⨯⨯⨯=．故选：B．【点评】此题主要考查正多边形的计算问题，属于常规题，解题时分别利用三角形的面积公式、解直角三角形、勾股定理及垂径定理等知识．8．（3分）已知O的直径为8，点P在直线l上，且4OP=，则直线l与O的位置关系是()A．相离B．相切C．相交D．相切或相交【分析】根据垂线段最短，得圆心到直线的距离小于或等于4，再根据数量关系进行判断．若d r<，则直线与圆相交；若d r=，则直线于圆相切；若d r>，则直线与圆相离．【解答】解：如图所示：根据题意可知，圆的半径4r=．因为4OP=，当OP l⊥时，直线和圆是相切的位置关系；当OP与直线l不垂直时，则圆心到直线的距离小于4，所以是相交的位置关系．所以l与O的位置关系是：相交或相切，故选：D．【点评】此题主要考查了直线与圆的位置关系．特别注意OP不一定是圆心到直线的距离．二、填空题（本大题共10小题，每题3分，共30分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9．（3分）有一组数据：8，9，7，9，7，8，8，这组数据的众数为8．【分析】根据众数的定义直接解答即可．【解答】解：8出现了3次，出现的次数最多，∴这组数据的众数为8；故答案为：8．【点评】此题主要考查众数，熟练掌握众数的定义是解题的关键；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．10．（3分）若关于x的一元二次方程260-+=的一个根为2，则它的另一个根为3．x mx【分析】设方程的另一个根是a，根据根与系数的关系得出26a=，求出即可．【解答】解：设方程的另一个根是a，则根据根与系数的关系得：26a=，解得：3a=，即方程的另一个根是3，故答案为：3．【点评】本题考查了根与系数的关系和一元二次方程的解，能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键．11．（3分）某单位要招聘1名英语翻译，对听、说、读、写进行素质测试，小张4项的分数分别为90分、85分、90分、80分．若把听、说、读、写的成绩按3:3:2:2计算，则小张的平均成绩为86.5分．【分析】根据加权平均数的定义计算可得．【解答】解：小张的平均成绩为90385390280286.510⨯+⨯+⨯+⨯=（分)， 故答案为：86.5分． 【点评】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．12．（3分）一张面积是20.98m 的长方形桌面，长比宽多70cm ．设它的宽为xm ，可得方程 (0.7)0.98x x += ．【分析】首先设它的宽为xm ，则长为(70)x cm +，再根据面积是20.98m 列出方程即可．【解答】解：设它的宽为xm ，则长为(70)x cm +，由题意得：(0.7)0.98x x +=，故答案为：(0.7)0.98x x +=．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．13．（3分）用半径为24，圆心角为60︒的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为 4 ．【分析】圆锥的底面圆半径为r ，根据圆锥的底面圆周长=扇形的弧长，列方程求解．【解答】解：设圆锥的底面圆半径为r ，依题意，得60242180r ππ⨯=， 解得4r =．故答案为：4．【点评】本题考查了圆锥的计算．圆锥的侧面展开图为扇形，计算要体现两个转化：1、圆锥的母线长为扇形的半径，2、圆锥的底面圆周长为扇形的弧长．14．（3分）若某个一元二次方程的两个实数根分别为2-、1，则这个方程可以是220x x +-=（答案不唯一） ．（写出 一个即可）【分析】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要写出一个符合的方程即可．【解答】解：211-+=-，212-⨯=-，所以这个一元二次方程可以是220x x +-=，故答案为：220x x +-=．【点评】本题考查了根与系数的关系，能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键．15．（3分）如图，在O 中，直径BA 的延长线与弦ED 的延长线相交于点C ，且CD OA =．若∠的度数为25︒．75∠=︒，则CBOE【分析】连接OD，如图，利用等腰三角形的性质得到C DOC∠=∠，再根据三角形外角性质得2∠=∠=∠，然后利用EOB C E∠．∠=∠+∠可计算出CE EDO C∠=∠，所以2EDO C【解答】解：连接OD，如图，==，DC OA DO∴∠=∠，C DOC∠=∠+∠，EDO C DOC∴∠=∠，EDO C2=，OD OE∴∠=∠=∠，E EDO C2∠=∠+∠，EOB C EC C∴∠+∠=︒，275∴∠=︒．C25故答案为25︒．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．16．（3分）如图，O的半径为5，3OP=，过点P画弦AB，则AB的取值范围是AB．810【分析】过点P作CD OP⊥，O于C，D．连接OC．利用勾股定理求出CD，可得点P 的最短的弦，过点P的最长的弦即可解决问题．【解答】解：过点P作CD OP⊥，交O于C，D．连接OC．5OC=，3OP=，90OPC∠=︒，2222534PC OC OP∴=-=-=，OP CD⊥，4PC PD∴==，8CD∴=，∴过点P的最短的弦长为8，最长的弦长为10，即AB的取值范围是810AB，故答案为：810AB．【点评】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．17．（3分）一块周长为1.2m、面积为20.15m的三角形铁皮（铁皮厚度忽略不计），现在从中裁下了一块面积最大的圆形铁皮，则裁下的圆形铁皮的半径为0.25m．【分析】因为要想裁出一块面积最大的正方形，需要正方形边长最长，所以正方形的四个顶点在圆周上，由此可画出图形；连接OA，DO，在Rt AOD∆中，由勾股定理可得出边长．【解答】解：要想三角形铁皮裁下了一块面积最大的圆形铁皮，则这个圆是三角形内切圆．如图所示：三角形周长为 1.2AB BC AC++=，三角形面积为1()0.152AB BC AC r++=，则20.150.25()1.2r m ⨯==， 故答案为0.25m ．【点评】本题考查了勾股定理和正方形的性质以及二次根式的应用，正确利用勾股定理得出是解题关键．18．（3分）关于x 的方程2210x k x +-=有两个不相等的实数根，k 的取值范围 0k ．【分析】根据方程有两个不相等的实数根利用根的判别式即可得出关于k 的一元一次不等式，解不等式得出k 的取值范围，再结合被开方数0k 即可得出结论．【解答】解：关于x 的方程2210x k x +-=有两个不相等的实数根，∴△2(2)41(1)440k k =-⨯⨯-=+>，解得：1k >-． 0k ，k ∴的取值范围为：0k ．故答案为：0k ．【点评】本题考查了根的判别式，根据方程解得个数利用根的判别式得出关于k 的一元一次不等式是解题的关键．三、解答题（本大题共10题，共96分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）解列方程：2860x x -+=．【分析】利用配方法求解可得．【解答】解：2860x x -+=，286x x ∴-=-，则2816616x x -+=-+，即2(4)10x -=，410x ∴-=±，则410x =±．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．20．（8分）已知2123y x x =+，2510y x =-+．x 为何值时，1y 与2y 的值相等？【分析】根据题意列出方程，利用因式分解法求解可得．【解答】解：由题意，得223510x x x +=-+，即228100x x +-=，2450x x +-=，11x ∴=，25x =-，∴当x 为1或5-时，1y 与2y 的值相等．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．21．（8分）如图，AB 是O 的直径，AC 是O 的弦过点C 的切线交AB 的延长线于点D ，若CA CD =，试求A ∠的度数．【分析】连接OC ，由过点C 的切线交AB 的延长线于点D ，推出OC CD ⊥，推出90OCD ∠=︒，即90D COD ∠+∠=︒，由AO CO =，推出A ACO ∠=∠，推出2COD A ∠=∠，可得390A ∠=︒，推出30A ∠=︒，即可解决问题【解答】解：连结OC ，CD 为O 的切线OC CD ∴⊥90OCD ∴∠=︒又OA OC =A ACO ∴∠=∠又AC CD =，A D ∴∠=∠A ACO D ∴∠=∠=∠，而1809090A ACD D ∠+∠+∠=︒-︒=︒，30A ∴∠=︒．【点评】本题主要考查切线的性质，掌握过切点的半径与切线垂直是解题的关键．22．（8分）如图，AC 、BD 是O 的直径，且AC BD ⊥，请说明四边形ABCD 是正方形．【分析】先判断四边形ABCD 是平行四边形，再利用对角线垂直判断四边形ABCD 是菱形，然后利用直径所对的圆周角为直角得到90ABC ∠=︒，从而得到四边形ABCD 是正方形．【解答】解：AC 、BD 是O 的直径OA OC ∴=，OB OD =∴四边形ABCD 是平行四边形，又AC BD ⊥∴四边形ABCD 是菱形， AC 是O 的直径90ABC ∴∠=︒∴四边形ABCD 是正方形．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径．也考查了正方形的判定方法．23．（10分）甲、乙两人在相同条件下各立定跳远5次，距离如下（单位：):cm甲：225，230，240，230，225；乙：220，235，225，240，230．（1）计算这两组数据的方差；（2）谁的跳远技术较稳定？为什么？【分析】（1）根据平均数的计算公式先求出甲和乙的平均数，再代入方差公式2222121[()()()]n S x x x x x x n=-+-+⋯+-，进行计算即可得出答案； （2）根据方差的意义，方差越小数据越稳定，即可得出答案．【解答】解：（1）甲的平均数是：1(225230*********)230()5cm ++++=， 乙的平均数是：1(220235225240230)230()5cm ++++=， 甲的方差是：2222221[(225230)(230230)(240230)(230230)(225230)]30()5cm -+-+-+-+-=， 乙的方差是：2222221[(220230)(235230)(225230)(240230)(230230)]50()5cm -+-+-+-+-=；（2）由（1）知，22S S <乙甲，∴甲的跳远技术较稳定．【点评】本题考查方差的定义：一般地设n 个数据，1x ，2x ，n x ⋯的平均数为x ，则方差2222121[()()()]n S x x x x x x n=-+-+⋯+-，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．24．（10分）如图，O 的弦AB 、DC 的延长线相交于点E ．（1）如图1，若AD 为120︒，BC 为50︒，求E ∠的度数；（2）如图2，若AB CD =，求证：AE DE =．【分析】（1）连接AC．根据弧AD为120︒，弧BC为50︒，可得到60BAC∠=︒，∠=︒，25ACD根据ACD BAC E∠=∠-∠=︒-︒=︒；∠=∠+∠，得出602535E ACD BAC（2）连接AD．由AB CD∠=∠，=，得到弧AB=弧CD，推出弧AC=弧BD，所以ADC DAB 因此AE DE=．【解答】（1）解：连接AC．弧AD为120︒，弧BC为50︒，∠=︒，BACACD∴∠=︒，2560∠=∠+∠ACD BAC E∴∠=∠-∠=︒-︒=︒；602535E ACD BAC（2）证明：连接AD．=，AB CD∴弧AB=弧CD，∴弧AC=弧BD，ADC DAB∴∠=∠，∴=．AE DE【点评】本题考查了圆的相关计算与证明，正确理解圆心角、弧与弦的关系是解题的关键．25．（10分）如图，在矩形ABCD中，12=，点P从A点出发沿AB以2/BC cmcm s=，6AB cm的速度向点B移动，一直到达点B为止；同时，点Q从C点出发沿CD以1/cm s的速度向点D移动，当点P停止运动时，点Q也停止运动．（1）经过多长时间P、Q两点之间的距离是6cm？（2）经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？【分析】过点Q 作QE AB ⊥于点E ，设运动时间为xs ，则(123)PE x cm =-，6QE cm =．（1）根据勾股定理结合6PQ cm =，即可得出关于x 的一元二次方程，解之即可得出结论；（2）根据勾股定理结合10PQ cm =，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【解答】解：过点Q 作QE AB ⊥于点E ，如图所示．设运动时间为xs ，则(123)PE x cm =-，6QE cm =．（1）依题意，得：222(123)66x -+=，解得：124x x ==．答：经过4s 后P 、Q 两点之间的距离是6cm ．（2）由题意，得222(123)610x -+=， 解得：143x =，2203x =． 212CQ x =，6x ∴，43x ∴=． 答：经过43s 后P 、Q 两点之间的距离是10cm ．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．26．（10分）如图，AB 是O 的直径，C 为O 上的一点，点D 为BC 的中点，DE AC ⊥于点E ．（1）求证：DE 是O 的切线；（2）若8AE =，4DE =，求O 的半径．【分析】（1）连接AD ．证明//OD AE ，可得90E ∠=︒，则90ODE ∠=︒得出DE OD ⊥即可；（2）设O 的半径为r ．过点O 作OF AE ⊥于F ，则4OF DE ==，EF OD r ==，2228(8)4AF r r r =--+=解方程即可得出答案．【解答】（1）证明：连接AD ．点D 为弧BC 的中点，∴CD BD =，EAD DAB ∴∠=∠，OA OD =，ADO DAB ∴∠=∠，EAD ADO ∴∠=∠，//OD AE ∴，DE AC ⊥，90E ∴∠=︒，90ODE ∴∠=︒，DE OD ∴⊥DE ∴是O 的切线；（2）解：设O 的半径为r ．过点O 作OF AE ⊥于F ，则4OF DE ==，EF OD r ==，8AF r =-，在Rt AFO ∆中，222AF OF OA +=，222(8)4r r ∴-+=，5r ∴=，O ∴的半径为5．【点评】本题考查切线的判定和性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确运用基本图形的性质解决问题，属于中考常考题型．27．（12分）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．（1）如果商场销售这批衬衫要保证每天盈利1050元，同时尽快减少库存，那么衬衫的单价应降多少元？（2）能否通过降价后商场销售这批衬衫每天盈利1500元？（3）能否通过降价后商场销售这批衬衫每天盈利最大？若能，求出最大值；若不能，请说明理由．【分析】（1）设衬衫的单价降了x 元，根据题意，得关于x 的一元二次方程，解方程并根据问题的实际意义作出取舍即可．（2）根据题意，得关于x 的一元二次方程，求判别式△，得出其与0的大小，即可作出判断；（3）设通过降价后商场销售这批衬衫每天盈利为y 元，方法一：(202)(40)x x y +-=，令判别式大于等于0，从而得出y 的最大值；方法二：(202)(40)y x x =+-，配方，根据二次函数的性质得出y 的最大值即可．【解答】解：（1）设衬衫的单价降了x 元，根据题意，得(202)(40)1050x x +-=即2301250x x -+=解方程，得15x =（不符合题意，舍去），225x =答：衬衫的单价应降25元．（2）根据题意，得(202)(40)1500x x +-=即2303500x x -+=△224(30)413505000b ac =-=--⨯⨯=-<∴此方程没有实数根．答：商场销售这批衬衫不能每天盈利1500元．（3）设通过降价后商场销售这批衬衫每天盈利为y 元方法一：(202)(40)x x y +-= 即23040002y x x --+= 由题意，得240b ac - ∴2(30)41(400)02y--⨯⨯-+ 1250y ∴检验：当1250y =时，(202)(40)1250x x +-=，解得1215x x ==，符合题意．答：能通过降价后商场销售这批衬衫每天盈利最大，且最大值1250元．方法二：(202)(40)y x x =+-22(15)1250x =--+22(15)0x --22(15)12501250x ∴--+1250y ∴当15x =时，y 最大值为1250答：能通过降价后商场销售这批衬衫每天盈利最大，且最大值1250元．【点评】本题考查了二次函数和一元二次方程在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并正确运用一元二次方程和二次函数的性质是解题的关键．28．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为4的正方形ABCD的中心在原点O处，且//AB x轴，点P在正方形ABCD的边上，点P从点A处沿A B C D A B→→→→→→⋯匀速运动，以点P为圆心，以1为半径长画圆，在运动过程中：（1）当P第1次与x轴相切时，则圆心P的坐标为(2,0)-；（直接写出结果）（2）当圆心P的运动路程为2019时，判断P与y轴的位置关系，并说明理由；（3）当P第一次回到出发的位置时，即P运动一周，求P运动一周覆盖平面的区域的面积．【分析】（1）根据切线的性质即可得到结论；（2）由题意得到P运动一周时，圆心P的运动路程为4416⨯=，由于3 20191612616÷=，于是得到P运动了126周多，圆心P在AB上，且3AP=，得到圆心P的坐标为(1,2)-，根据切线的判定定理即可得到结论；（3）根据正方形和扇形的面积公式即可得到结论．【解答】解：（1）当P第1次与x轴相切时，圆心P在正方形的BC边上，且点P到x轴的距离为1，∴圆心P的坐标为(2,1)-，故答案为：(2,1)-；（2）P与y轴相切，理由：正方形ABCD的边长为4，P∴运动一周时，圆心P的运动路程为4416⨯=，320191612616÷=，P∴运动了126周多，圆心P在AB上，且3AP=，∴圆心P的坐标为(1,2)-，∴圆心P到y轴的距离1d=，P的半径1r=，d r∴=，P∴与y轴相切；（3）2901144114416412360Sπππ⨯=⨯⨯-⨯⨯+⨯=-+=+，P∴运动一周覆盖平面的区域的面积为12π+．【点评】本题考查了切线的性质，扇形的面积的计算，正方形的性质，正确的识别图形是解题的关键．。