相似三角形的性质
相似三角形的判定与性质
相似三角形的判定与性质相似三角形是初中数学中重要的概念之一，它们具有相同的形状但是大小不同。
在初中数学学习中，我们需要学会如何判定两个三角形是否相似，以及相似三角形具有哪些性质。
本文将对相似三角形的判定方法与性质进行详细介绍。
一、相似三角形的判定要判定两个三角形是否相似，有三种常用的方法：AA判定法、SAS判定法和SSS判定法。
1. AA判定法：如果两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似。
具体而言，如果两个三角形中的两个角分别相等，即对应角相等，那么这两个三角形就是相似的。
2. SAS判定法：如果两个三角形中，一个角相等，并且两个边的比值相等，那么这两个三角形相似。
具体而言，如果两个三角形中，某个角相等，并且两边之比也相等，那么这两个三角形就是相似的。
3. SSS判定法：如果两个三角形的三边之比相等，则这两个三角形相似。
具体而言，如果两个三角形的对应边的比值相等，那么这两个三角形就是相似的。
以上三种判定法是判断相似三角形最常用的方法，通过使用其中的任意一种判定法，我们可以准确地判断两个三角形是否相似。
二、相似三角形的性质相似三角形有一些重要的性质，包括比例关系、角度关系和面积关系。
1. 边的比例关系：相似三角形的对应边之比相等。
如果两个三角形相似，那么它们的对应边的比值是相等的。
例如，若两个相似三角形的两个边的比值分别为a:b，c:d，那么它们的第三边的比值也是相等的，即比值为a/c=b/d。
2. 角度关系：相似三角形的对应角相等。
如果两个三角形相似，那么它们的对应角是相等的。
具体而言，如果一个角分别相等，则这两个三角形的对应角也相等。
3. 面积关系：相似三角形的面积比等于边长比的平方。
如果两个三角形相似，那么它们的面积比等于边长比的平方。
具体而言，若两个相似三角形的对应边的长度比为a:b，那么它们的面积比为a^2:b^2。
相似三角形的性质在数学中应用广泛。
例如，在测量中，我们可以利用相似三角形的边长比关系求取难以测量的长度。
相似三角形的性质
相似三角形的性质相似三角形是几何学中一个重要的概念，它们具有一些独特的性质和特点。
在本篇文章中，我们将深入探讨相似三角形的性质，并介绍一些相关的定理和应用。
一、比例性质相似三角形的首要性质是比例性质。
两个三角形相似的条件之一是它们各个对应顶点的角度相等，另一个重要条件是它们对应的边长成比例。
具体而言，如果两个三角形的对应边长之比相等，那么它们就是相似三角形。
这一性质可以用以下比例关系表达：$$\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF}$$其中，AB、BC、AC分别是一个三角形的三边的长度，DE、EF、DF分别是另一个相似三角形的对应边的长度。
二、边长比例的重要性质边长比例是相似三角形中一个非常重要的性质，它具有一些独特的特点：1. 任意两边之比相等在相似三角形中，任意两边的长度比都是相等的。
例如，在三角形ABC和三角形DEF中，我们有以下关系：$$\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF}$$2. 任意一边与其他边的长度比相等对于相似三角形中的一条边，它与其他两条边之比都是相等的。
例如，在三角形ABC和三角形DEF中，我们有以下关系：$$\frac{AB}{BC} = \frac{DE}{EF} = \frac{DF}{AC}$$3. 相似三角形的边长比例唯一如果两个三角形的边长比例相等，那么它们一定是相似的。
这是因为边长比例包含了相似三角形的全部信息，只有这些比例相等，两个三角形的形状才会完全一致。
三、角度对应的性质除了边长比例之外，相似三角形还有一些角度对应的性质：1. 对应角相等在相似三角形中，对应的角是相等的。
例如，在三角形ABC和三角形DEF中，我们有以下关系：$$\angle A = \angle D, \angle B = \angle E, \angle C = \angle F$$2. 对角相等的必要条件如果两个三角形的对应角相等，那么它们一定是相似的。
(相似三角形的判定及性质)
(3)相似三角形面积之比等于相似比的平方.
(4)相似三角形的外接圆的直径比、周长比等于 相似比，外接圆的面积之比等于相似比的平方.
形成结论
证明：ABC为直角三 角形，CD是斜边上的高 C
两个角对应相等，两三角形相似.
形成结论
判定定理2：
对于任意的两个三角形，如果 一个三角形的两边与另一个三 角形的两边对应成比例，那么 这两个三角形相似.
两边对应成比例且夹角相等， 两三角形相似.
形成结论
判定定理3：
对于任意的两个三角形，如果 一个三角形的三条边与另一个 三角形的三条边对应成比例， 那么这两个三角形相似.
BC 2 BD AB
A
DB
AC2 AD AB
CD2 AD DB
射影定理
巩固练习
如图，Rt△ABC中， ∠C=90°，AC＞ BC，CD⊥AB于点D，若CD＝4，AB＝10，求 AC及BC
C
AC 4 5
BC 2 5 A
D
B
范例导析
如图， △ABC中，AB＝AC，AD是边BC的中 线，P是AD上一点，CF//AB，BP的延长线分别交 AC、CF于点E、F，求证：BP2＝PE·PF
如范图例,导在析 ABC 中, CDAB于D, DEAC于E,
DFBC于F, 求证 : CEF∽ CBA.C
证法二：
F
E
AD
B
CEF ∽ CBA
形成结论
预备定理：
平行于三角形一边的直线和其他两边 （或两边的延长线）相交，所构成的三
角形与原三角形相似.
形成结论
相似三角形的判定和性质
相似三角形的判定和性质
性质：
1.相似三角形对应角相等，对应边成比例。
2.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等)的比等于相似比。
3.相似三角形周长的比等于相似比。
4.相似三角形面积的比等于相似比的平方。
5.相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方。
判定：
1.两角分别对应相等的两个三角形相似。
2.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
3.三边成比例的两个三角形相似。
4.—条直角边与斜边成比例的两个直角三角形相似。
相似三角形的性质
数学八年级20．相似三角形的性质相似三角形的性质有： 1．对应角相等； 2．对应边成比例；3．对应线段（中线、高、角平分线）之比等于相似比； 4．周长之比等于相似比；5．面积之比等于相似比的平方。
性质（3）主要应用于三角形内接特殊平行四边形的问题，性质（5）进一步丰富了面积有关知识，拓展了我们研究面积问题的视角。
例1．如图，已知□ABCD 中，过点B 的直线顺次与AC 、AD 及CD的延长线相交于点E 、F 、G ，若BE=5，EF=2，则FG 的长是___________.解题思路 由相似三角形建立含FG 的关系式，注意中间比的代换。
例2．如图，已知△ABC 中，DE//FG//BC ，且AD ：DF ：FB=1：2：3， 则SADE：S DFGE 四边形：S FBCG 四边形=（ ）A ．1：9：36B ．1：4：9C ．1：8：27D ．1：8：36解题思路 △ADE 、△AFG 都与△ABC 相似，用△ABC 面积的 代数式分别表示△ADE 、四边形DFGE 、四边形FBCG 的面积。
例3．如图，在△ABC 的内部选取一点P ，过P 点作三条分别与△ABC 的三边平行的直线，这样所得的三个三角形t 1、t 2、t 3 的面积分别为4、9和49，，求△ABC 的面积。
解题思路 由于问题条件中没有具体的线段长，所以不能用面积公式求出有关图形的面积，可考虑应用相似三角形的性质。
例4．在一块锐角三角形的余料上，加工成正方形零件，使正方形的四个顶点都在三角形边上，若三角形的三边长分别为a 、b 、c ，且a ＞b ＞c ，问正方形的两个顶点放在哪条边上可使加工出来的正方形零件面积最大。
解题思路 正方形的两个顶点放在三角形边上有三种情形，把每一种情形的正方形的边长用a 、b 、c 的代数式表示出来。
例5．如图，△PQR 和△P Q R '''是两个全等的等边三角形，它们的重叠部分是一个六边形ABCDEF ，设这个六边形的边长为：AB=a 1，BC=b 1，CD=a 2，DE=b 2，EF=a 3，FA=b 3，求证：222222123123a a ab b b ++=++解题思路 本例是一个颇为复杂的非常规性证明题，显然不能用勾股定理证明，从已知易得相似三角形，由相似三角形的性质寻找解题的突破口。
相似三角形的判定与性质
相似三角形的判定与性质相似三角形是指有着对应角度相等、对应边比例相等的两个三角形。
在解决几何问题中，判定两个三角形是否相似是非常重要的，因为相似三角形的性质可以帮助我们得到许多有用的结论。
本文将讨论相似三角形的判定方法以及其性质。
一、相似三角形的判定方法1. AA相似判定法:当两个三角形的两个对应角相等时，这两个三角形是相似的。
例如：若∠A1 = ∠A2且∠B1 = ∠B2，则△A1B1C1~△A2B2C2。
2. SSS相似判定法:当两个三角形的三边对应成比例时，这两个三角形是相似的。
例如：若A1B1/A2B2 = B1C1/B2C2 = C1A1/C2A2，则△A1B1C1~△A2B2C2。
3. SAS相似判定法:当两个三角形的两边成比例，且夹角对应相等时，这两个三角形是相似的。
例如：若A1B1/A2B2 = B1C1/B2C2且∠A1 = ∠A2，则△A1B1C1~△A2B2C2。
二、相似三角形性质1. 边比例性质:若△ABC~△A'B'C'，则AB/A'B' = BC/B'C' = AC/A'C'。
也就是说，相似三角形的边长之比保持不变。
2. 高比例性质:若△ABC~△A'B'C'，则AA'为两个三角形的对应边之比，BB'为对应边之比，CC'为对应边之比。
也就是说，相似三角形的高线段之比与对应边之比相等。
3. 角度性质:若△ABC~△A'B'C'，则∠A = ∠A'，∠B = ∠B'，∠C = ∠C'。
也就是说，相似三角形的对应角度相等。
4. 面积比例性质:若△ABC~△A'B'C'，则△ABC的面积与△A'B'C'的面积之比等于对应边的平方之比。
也就是说，相似三角形的面积之比等于对应边的平方之比。
三角形相似的性质
腾大教育教师辅导教案授课时间：学员姓名 陈圣邦 年 级 初 二 辅导科目 数学 学科教师卢兴伟班 主 任季甜甜课 时 数3教学课题三角形相似的条件教 学 目 标 1 相似三角形的性质 2.位似图形教 学 重 难 点教学内容 课堂收获一 相似三角形的性质：1.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比（相似三角形的对应边的比，叫做相似比）。
2.相似三角形周长的比等于相似比。
3.相似三角形面积的比等于相似比的平方。
例1. （）如图，在中，，，，求。
1348∆∆∆ABC DE BC AD BD S S ABC ADE //==（）如图，在中，正方形的两个顶点、在上，另两个顶点2∆ABC EFGH E F BC G 、H 分别在AC 、AB 上，BC=15cm ，BC 边上的高AD=10cm ，求正方形的面积。
AH M GB E D F C1解：（）11 DE BC B //∴∠=∠∠=∠∴A AADE ABC ∆∆~∴=+=+=A D A BA D A DB DB D B D B D3334∴=∴=∴=S S S S A D E A BCA D E A D E ∆∆∆∆()3448916272（2）设正方形边长为x则H G H E M D G F EF xA M A D M D x======-=-10正方形HEFG HG BC ∴// ∴∠=∠1B∠=∠∴HAG BACAHG ABC ∆∆~∴=A M A D H G B C （相似三角形对应高的比等于相似比）∴-=101015xx15101015015101510150251506()-=-=--=--=-=x x x x x x x x cm （）S cm 正方形（）==63622图形的放大与缩小如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比.例1 下列说法正确的是（）A.两个图形如果是位似图形，那么这两个图形一定全等；B.两个图形如果是位似图形，那么这两个图形不一定相似；C.两个图形如果是相似图形，那么这两个图形一定位似；D.两个图形如果是位似图形，那么这两个图形一定相似。
相似三角形的性质(经典全面)
一、相似的有关概念1．相似形具有相同形状的图形叫做相似形．相似形仅是形状相同，大小不一定相同．相似图形之间的互相变换称为相似变换． 2．相似图形的特性两个相似图形的对应边成比例，对应角相等． 3．相似比两个相似图形的对应角相等，对应边成比例．二、相似三角形的概念1．相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形．如图，ABC △与A B C '''△相似，记作ABC A B C '''△∽△，符号∽读作“相似于”．A 'B 'C 'CB A2．相似比相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”．三、相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等如图，ABC △与A B C '''△相似，则有A A B B C C '''∠=∠∠=∠∠=∠，，．A 'B 'C 'CB A2．相似三角形的对应边成比例 如图，ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC ACk A B B C A C ===''''''（k 为相似比）． 相似三角形的性质及判定A 'B 'C 'CB A3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比．如图1，ABC △与A B C '''△相似，AM 是ABC △中BC 边上的中线，A M ''是A B C '''△中B C ''边上的中线，则有AB BC AC AMk A B B C A C A M ====''''''''（k 为相似比）． M 'MA 'B 'C 'C BA图1如图2，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AHk A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）． H 'H AB C C 'B 'A '图2如图3，ABC △与A B C '''△相似，AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平分线，则有AB BC AC ADk A B B C A C A D ====''''''''（k 为相似比）．D 'D A 'B C 'C B A图34．相似三角形周长的比等于相似比． 如图4，ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC ACk A B B C A C ===''''''（k 为相似比）．应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC ACk A B B C A C A B B C A C ++====''''''''''''++．A 'B 'C 'CB A图45．相似三角形面积的比等于相似比的平方．如图5，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AHk A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）．进而可得21212ABC A B C BC AH S BC AH k S B C A H B C A H '''⋅⋅==⋅=''''''''⋅⋅△△．H 'H AB C C 'B 'A '图5四、相似三角形的判定1．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 2．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似．3．如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．4．如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似．可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似．5．如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．6．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）7．如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似．五、相似证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式证明比例式或等积式的主要方法有“三点定形法”． 1．横向定型法欲证AB BCBE BF=，横向观察，比例式中的分子的两条线段是AB 和BC ，三个字母A B C ，，恰为ABC △的顶点；分母的两条线段是BE 和BF ，三个字母B E F ，，恰为BEF △的三个顶点．因此只需证2．纵向定型法欲证AB DEBC EF=，纵向观察，比例式左边的比AB 和BC 中的三个字母A B C ，，恰为ABC △的顶点；右边的比两条线段是DE 和EF 中的三个字母D E F ，，恰为D E F △的三个顶点．因此只需证ABC DEF △∽△． 3．中间比法由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用等线，等比或等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形．这种方法就是等量代换法．在证明比例式时，常用到中间比．比例中项式的证明，通常涉及到与公共边有关的相似问题。
相似三角形的性质
相似三角形的性质【知识梳理】判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
（简述为：两角对应相等，两三角形相似）判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
（简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似）判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。
（简述为：三边对应成比例，两三角形相似）【例题精讲】1、如图，∠ABD=∠C，AD=2， AC=8，求AB。
2、如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD=172，求AD的长。
3、一根1.5米长的标杆直立在水平地面上，它在阳光下的影长为2.1米，此时一棵水衫树的影长为10.5米，这棵水衫树高为( )A．7.5米 B．8米 C．14.7米 D．15.75米4、如图是一面镜子，则有__ _∽__ __。
（第4题） （第5题）5、如图，某测量工作人员眼睛A 与标杆顶端F 、电视塔顶端E 在同一直线上，已知此人眼睛距地面1.6米，标杆高为3.2米，且BC ＝1米，CD ＝5米，求电视塔的高ED 。
A 【夯实基础】1．如图所示，矩形ABCD ，E 、F 分别为CD 、BC 上的点，且∠AEF=90°，则一定有（ ） A ．△ADE ∽△ECF B ．△AEF ∽△ABF C ．△EFC ∽△AFE D ．△ADE ∽△AEF2．如图，已知ABC ∆，P 是边AB 上的一点，连结CP ，以下条件中不能判定ABC ACP ∆∆~的是（ ） A 、B ACP ∠=∠ B 、ACB APC ∠=∠ C 、AC 2=AP •AB D 、BCABCP AC =APBC3．已知：如图，ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件中，不能推出ABP∆与ECP∆相似的是（）A、EPCAPB∠=∠ B、90=∠APE C、P是BC的中点 D、BP：BC=2：34．ABC∆中，D是AB上一个固定点，E是AC上的一个动点．若使ADE∆与ABC∆相似，则这样的点E有（） A、1个 B、2个 C、3个 D、很多5．如图，若点D为ABC∆中AB边上一点，且ACDABC∠=∠，AD=2cm，BC=4cm，则AC的长为（）A、12cmB、22cmC、3cmD、2cm6．下列说法①所有等腰三角形都相似；②有一个底角相等的两个等腰三角形相似；③有一个角相等的两个等腰三角形相似；④有一个角为60°的两个直角三角形相似，其中正确的说法是（）A．②，④ B．①，③ C．①，②，④ D．②，③，④7．△ABC中，D是AB上一固定点，E是AC上的一个动点，若使△ADE与△ABC相似，则这样的点E有（）。
三角形的相似性质
三角形的相似性质三角形是几何学中的重要概念，研究三角形的性质是几何学的基础内容之一。
其中，相似性质是三角形性质中的重要组成部分。
本文将介绍三角形的相似性质及其相关定义、定理和证明。
一、相似三角形的定义两个三角形如果对应的角相等，对应的边成比例，那么这两个三角形就是相似的。
其中，“对应的角相等”指的是两个三角形的三个内角分别相等，“对应的边成比例”指的是两个三角形的对应边的长度比例相等。
相似三角形的定义提供了研究相似性质的基础，让我们能够通过已知条件来推导出其他未知性质。
二、相似三角形的性质1. 全等三角形的相似性质全等三角形是特殊的相似三角形，其对应边的比例为1：1。
当两个三角形全等时，它们的所有对应边都相等。
2. AAA相似判定定理如果两个三角形的对应角分别相等，那么它们是相似的。
这是三角形相似性质中最重要的一个定理，也是推导其他相似性质的基础。
3. AA相似判定定理如果两个三角形的一个角相等，且它们有一个对应边成比例，那么它们是相似的。
4. SSS相似判定定理如果两个三角形的对应边成比例，那么它们是相似的。
通过以上相似性质的定理，我们可以判断两个三角形是否相似，从而推导出其他未知性质。
三、相似三角形的应用相似三角形的性质在实际问题中有广泛的应用。
下面将介绍几个常见的应用场景。
1. 测量高度当无法直接测量高塔、电线杆等高度时，可以利用相似三角形的性质通过测量阴影或其他已知长度来计算其高度。
2. 直角三角形的性质在直角三角形中，根据相似性质可以推导出勾股定理，从而应用于解决各种实际问题。
3. 尺规作图在尺规作图中，可以利用相似三角形的性质通过已知长度来构造出相似的三角形，进而构造出所需的图形。
四、相似三角形的证明相似三角形的性质可以通过数学证明进行验证。
数学证明可以使用各种方法，如数学归纳法、反证法等。
以证明AAA相似判定定理为例，假设有两个三角形ABC和DEF，设∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。
相似三角形的性质
相似三角形的性质相似三角形是指对应角相等且对应边成比例的两个三角形。
在几何学中，相似三角形有一些重要的性质。
本文将详细介绍相似三角形的性质，包括比例关系、角度关系以及面积关系。
一、比例关系1. 边比例关系：设两个相似三角形分别为△ABC和△DEF，若它们的对应边AB、BC、AC和DE、EF、DF满足比例关系：AB/DE = BC/EF = AC/DF = k （k为常数）则称两个三角形的边为成比例边，比例因子为k。
这表明两个相似三角形的对应边长度之比是相等的。
2. 角度比例关系：两个相似三角形的对应角度相等。
设∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，则称△ABC与△DEF为相似三角形。
根据角度对应的边比例关系，我们可以得到以下重要的比例关系： AB/DE = BC/EF = AC/DF = k (边比例关系)∠A/∠D = ∠B/∠E = ∠C/∠F (角度比例关系)二、角度关系1. 对应角相等：已知两个相似三角形△ABC和△DEF，它们的对应角分别为∠A、∠B、∠C和∠D、∠E、∠F。
根据相似三角形的定义，我们可以得到∠A = ∠D∠B = ∠E∠C = ∠F这意味着两个相似三角形的对应角是相等的。
2. 内角之和：两个相似三角形的内角之和相等。
设∠A + ∠B + ∠C = ∠D + ∠E + ∠F = 180°，这意味着两个相似三角形的内角之和相等，都等于180°。
三、面积关系1. 面积比例关系：设两个相似三角形的比例因子为k，那么它们的面积之比等于边长之比的平方，即面积(△ABC)/面积(△DEF) = (AB/DE)^2 = (BC/EF)^2 = (AC/DF)^2 = k^2这意味着两个相似三角形的面积之比等于边长之比的平方。
2. 高比例关系：两个相似三角形的相应高之比等于边长之比，即高(△ABC)/高(△DEF) = AB/DE = BC/EF = AC/DF这表明两个相似三角形的相应高之比等于边长之比。
相似三角形的性质
相似三角形的性质【知识要点】1．对应边成比例，对应角相等的三角形称为相似三角形。
2．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
3．相似三角形的对应边成比例，对应角相等。
4．相似三角形的对应中线，对应高线，对应角平分线之比等于相似比。
5．相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方。
6．几种常见的基本图形：C ∽∽∽CD∽∽∽∽∽∽【典型例题】例1 如图，已知△ABC∽△ADE，AE=5，EC=3，BC=7，∠BAC=45 º，∠ACB=40 º。
（1）∠AED和∠ADE的度数。
（2）求DE的长。
（3）直线DE和直线CB有什么位置关系。
例2 已知△ABC∽△DEF，∠A=80º，∠E=70º，AB=5cm，DE=2.5cm，BC=8cm，DF=5cm，求（1）∠B、∠C、∠D、∠F（2）AC、EF。
（3）△ABC和△DEF的相似比。
（4）若AG、DH分别为△ABC和△DEF的高，求AG：DH。
（5）若△ABC中∠C的内角平分线长为a，求△DEF中∠F的内角平分线长。
（6）求S△ABC：S△DEF例3例4 如图，已知△ABC 中，DE ∥BC ，AD ：BD=3:4,求D ECB :四边形S S AD E ∆。
例5 如图所示，ABC ∆∽ACD ∆，若B ACD ∠=∠，3AD =，9BD =。
（1）求ABC ∆与ACD ∆的相似比；（2）若4CD =，求ABC ∆的三条边之和。
例6 如图，△ABC 的面积被平行于它的一边BC 的两条线段DE 、FG 三等分，其中BC=12cm ，求这线段DE 和FG 的长度例7 △PQR 是等边三角形，△PAQ ∽△BPR ，请探索AQ 、QR 、RB 之间的关系，试写出结论，并说明理由。
CC【小试锋芒】1．判断题：（1）两个菱形一定相似。
（ ） （2）两个正方形一定相似。
相似三角形的性质
相似三角形的性质内容分析相似三角形的性质是九年级数学上学期第一章第三节的内容，本讲主要讲解相似三角形的3个性质定理．重点是灵活应用相似三角形的性质，难点是相似三角形的性质与判定的互相结合．知识结构模块一：相似三角形性质定理1知识精讲1、相似三角形性质定理1相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．【例1】 已知ABC ∆∽111A B C ∆，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应，1132AB A B =，BE 、 B 1E 1分别是它们的对应中线，且6BE =．求B 1E 1的长． 【难度】★ 【答案】4．【解析】解：111ABC A B C ∆∆∽，BE 、11B E 分别是对应中线，1111AB BE A B E B ∴=即11362E B =，114E B ∴= 【总结】本题考查相似三角形对应中线的比等于相似比．【例2】 已知ABC ∆∽111A B C ∆，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应，12AC =，119A C =,1A ∠的平分线A 1D 1的长为6，求A ∠的平分线的长． 【难度】★ 【答案】8．【解析】解：111ABC A B C ∆∆∽，AD 、11A D 分别是A ∠、1A ∠的平分线，1111AC AD AC A D ∴=即1296AD=，8AD ∴=即A ∠的平分线的长为8． 【总结】本题考查相似三角形对应角平分线的比等于相似比．【例3】 求证：相似三角形对应高的比等于相似比． 【难度】★★ 【答案】略【解析】已知：如图，111ABC A B C ∆∆∽，且相似比为k ，AD 、11A D 分别是BC 、11B C 的高．求证：11ADk A D =． 证明：111ABC A B C ∆∆∽，1B B ∴∠=∠，11ABk A B =； 又AD 、11A D 分别是BC 、11B C 的高，11190BDA B D A ∴∠=∠=，111ABD A B D ∴∆∆∽，1111AB ADk A B A D ∴==． 【总结】本题考查相似三角形的判定和性质．例题解析【例4】 求证：相似三角形对应中线的比等于相似比． 【难度】★★ 【答案】略【解析】已知：如图，111ABC A B C ∆∆∽，且相似比为k ，AD 、11A D 分别是边BC 、11B C 的中线． 求证：11ADk A D =． 证明：111ABC A B C ∆∆∽， 1B B ∴∠=∠，1111AB CBk A B C B ==； 又AD 、11A D 分别是边BC 、11B C 的中线，12BD BC ∴=，111112B D B C =，∴11DB k D B =，1111AB BDA B B D ∴=，111ABD A B D ∴∆∆∽，1111AB AD k A B A D ∴==． 【总结】本题考查相似三角形的判定和性质的运用．【例5】 求证：相似三角形对应角平分线的比等于相似比． 【难度】★★ 【答案】略【解析】已知：如图，111ABC A B C ∆∆∽，且相似比为k ，AD 、11A D 分别是BAC ∠、111B AC ∠的角平分线．求证：11ADk A D =．证明：111ABC A B C ∆∆∽， 1B B ∴∠=∠，111BAC B AC ∠=∠，11ABk A B =； 又AD 、11A D 分别是BAC ∠、111B AC ∠的角平分线，11111111,22BAD BAC B A D B AC ∴∠=∠∠=∠，111BAD BA D ∴∠=∠，111ABD A B D ∴∆∆∽，1111AB ADk A B A D ∴==．【总结】本题考查相似三角形的判定和性质．ABC D EAED CB ABCDEF 【例6】 如图，ABC ∆和111A B C ∆中，AD 和BE 是ABC ∆的高，11A D 和11B E 是111A B C ∆的高，且1C C ∠=∠，1111AD ABA D AB =． 求证：1111AD BEA DB E =【难度】★★ 【答案】略 【解析】 证明：1111AB ADA B A D =，又111ADB A D B ∠=∠，111ABD A B D ∴∆∆∽， 111ABD A B D ∴∠=∠，又1C C ∠=∠，111ABC A B C ∴∆∆∽，又BE 、11B E 分别是ABC ∆、111A B C ∆的高，1111BE ABE B A B ∴=，1111BE AD E B A D ∴=． 【总结】本题考查相似三角形的判定和性质的综合运用．【例7】 如图，D 是ABC ∆的边BC 上的点，BAD C ∠=∠，BE 是ABC ∆的角平分线，交AD 于点F ，1BD =，3CD =，求BF ：BE ． 【难度】★★【答案】12．【解析】 解：BE 是ABC ∆的角平分线，∴ABF EBC ∠=∠，又BAD C ∠=∠，ABF CBE ∴∆∆∽，AB BFCB BE ∴=，又BAD C ∠=∠，ABD ABC ∠=∠ BAD BCA ∴∆∆∽，AB BD BC BA ∴=，14AB AB ∴=，2AB ∴=，12AB BC ∴=，1:2BF BE ∴=．【总结】本题考查相似三角形的判定和性质的综合运用．AB CDEF GHKABCE FGDH P【例8】 如图，在ABC ∆中，矩形DEFG 的一边DE 在BC 边上，顶点G 、F 分别在AB 、AC 边上，AH 是BC 边上的高，AH 与GF 交于点K ．若32AH cm =，48BC cm =，矩 形DEFG 的周长为76cm ，求矩形DEFG 的面积． 【难度】★★ 【答案】2360cm ．【解析】解：设DG xcm =，()38FG x cm =-矩形DEFG ，//90GF BC GDB ∴∠=，， GF AGBC AB∴=,又AH 是高，90AHB ∴∠=，GDB AHB ∴∠=∠//DG AH ∴, DG BG AH AB ∴=，1DG GFAH BC∴+=,3813248x x -∴+=，20x ∴=，∴20DG cm =，18FG cm =，2360DEFG S cm ∴=矩形． 【总结】本题考查三角形一边的平行线定理，矩形的周长面积等知识．【例9】 如图，矩形DEFG 的边EF 在ABC ∆的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上，AH 为BC 边上的高，AH 交DG 于点P ，已知3AH =，5BC =，设DG 的长为x ，矩形DEFG 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式及其定义域． 【难度】★★★【答案】()233055y x x x =-+<<．【解析】解：矩形DEFG ，//,90GD BC DEC ∴∠=，GD ADBC AB∴=，又AH 是高，90AHC ∴∠=，DEC AHC ∴∠=∠,//DE AH ∴, DE BD AH AB ∴=，1DG DEBC AH∴+=，153x DE ∴+=，又DEFG S y x DE ==∙矩形，20x ∴=，∴yDE x=，153x y x ∴+=，∴()233055y x x x =-+<<． 【总结】本题考查三角形一边的平行线定理，矩形的面积等知识．【例10】一块直角三角形木板的一条直角边AB 长为1.5m ，面积为1.5m 2，现需把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学设计加工方案，甲设计方案如图（1），乙设计方案如图（2）．你认为哪位同学设计的方案较好？请说明理由（加工损耗忽略不计，计算结果中可保留分数）．【难度】★★★【答案】甲同学方案好，理由略．【解析】解：211.52ABC S AB BC m ∆=∙=,又 1.5AB m =，2CB m ∴=∴在Rt ABC ∆中， 2.5AC m =．① 按甲的设计：设DE x =，正方形DEFB ，//,//ED BF EF CB ∴， DE CE AB CA ∴=,EF AE CB AC =，1DE EF BA CB ∴+=，11.52x x∴+=，67x m ∴=，23649DEFB S m ∴=正；②按乙的设计：过点B 作BH AC ⊥交AC 于点H ，得//DG BH ，DG ADBH AB∴=, 设DE x =，则DG x =，正方形DGFE ，//ED AC DE DG ∴=，，DE BD AC BA ∴=，1DE DGCA HB ∴+=，1122ABC S AB BC AC BH ∆=∙=∙，65BH m ∴=，162.55x x ∴+=， 3037x m ∴=，29001369DGFE S m ∴=正； 综上，甲设计方案好．【总结】本题考查了三角形一边的平行线，正方形的面积等知识，本题考查了最优化问题．ABCDEFABCDEFGH1、相似三角形性质定理2相似三角形周长的比等于相似比．【例11】若ABC ∆∽DEF ∆，ABC ∆与DEF ∆的相似比为1:2，则ABC ∆与DEF ∆的周长比为( ) （A ）1:4（B ）1:2（C ）2:1（D ）1:2【难度】★ 【答案】B 【解析】略【总结】相似三角形的周长比等于相似比．【例12】 ABC ∆∽111A B C ∆，它们的对应的中线比为2:3，则它们的周长比是．【难度】★ 【答案】2:3 【解析】略【总结】相似三角形对应中线的比等于相似比，周长比等于相似比．模块二：相似三角形性质定理 2知识精讲例题解析AB CD EF【例13】已知ABC ∆∽111A B C ∆，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应，它们的周长分别为48和60，且12AB =，1125B C =，求BC 和A 1B 1的长．【难度】★【答案】112015BC A B ==，． 【解析】解：111ABC A B C ∆∆∽，1111111ABC A B C C AB CBC A B C B ∆∆∴==； 又111484605ABC A B C C C ∆∆==，∴1120,15BC A B ==． 【总结】本题考查相似三角形的性质．【例14】如果两个相似三角形的最长边分别为35厘米和14厘米，它们的周长相差60厘米，那么大三角形的周长是．【难度】★★ 【答案】100cm ．【解析】两三角形的相似比为5:2，则周长比为5:2，设大三角形周长为5acm ，小三角形周长为2acm ，则5260a a -=，所以20a =，所以大三角形的周长为100cm ． 【总结】相似三角形的周长比等于相似比．【例15】如图，在ABC ∆中，12AB =，10AC =，9BC =，AD 是BC 边上的高．将ABC∆沿EF 折叠，使点A 与点D 重合，则DEF ∆的周长为． 【难度】★★ 【答案】312．【解析】由折叠得EF 垂直平分AD ，AD 是BC 上的高， //EF BC ∴，AEF ABC ∴∆∆∽，12AEF ABC C C ∆∆∴=，9101231ABC C ∆=++=，312AEF C ∆∴=． 【总结】本题考查相似三角形的性质和判定．A BCD PABCPQ 【例16】 如图，梯形ABCD 的周长为16厘米，上底3CD =厘米，下底7AB =厘米，分别延长AD 和BC 交于点P ，求PCD ∆的周长．【难度】★★【答案】152cm ．【解析】解：梯形ABCD ，//CD AB ∴，AEF ABC ∴∆∆∽，37PDC PAB C CD C AB ∆∆∴==，即327PDC PDC ABCD C C C CD ∆∆=+-梯形， 31667PDC PDC C C ∆∆∴=+-，152PDC C cm ∆∴=．【总结】本题考查相似三角形的性质和判定．【例17】如图，在ABC ∆中，=90C ∠︒，5AB =，3BC =，点P 在AC 上（与点A 、C不重合），点Q 在BC 上，PQ //AB ．当PQC ∆的周长与四边形P ABQ 的周长相等时，求CP 的长． 【难度】★★ 【答案】247．【解析】解：CPQ PABQ C C ∆=四边形，CP CQ PQ BQ PQ AP AB ∴++=+++， CP CQ BC CQ AC CP AB ∴+=-+-+，5AB =，3BC =，90C ∠=，4AC ∴=，345CP CQ CQ CP ∴+=-+-+，6CP CQ ∴+=，//PQ AB ，CP CQCA CB∴=， ∴643CP CP -=，247CP =． 【总结】本题考查了三角形一边的平行线性质，主要考查了学生的推理能力．AB CDEF【例18】 如图，等边三角形ABC 边长是7厘米，点D 、E 分别在AB 和AC 上，且43AD AE =，将ADE ∆沿DE 翻折，使点A 落在BC 上的点F 上． （1）求证：BDF ∆∽CFE ∆； （2）求BF 的长． 【难度】★★★【答案】（1）略；（2）5．【解析】（1）证明：ADE ∆翻折成FDE ∆．ADE FDE ∴∆≅∆，A EFD ∴∠=∠，ABC ∆是等边三角形，60A B C ∴∠=∠=∠=，60EFD B C ∴∠=∠=∠=，DFC DFE EFC ∠=∠+∠，DFC B BDF ∠=∠+∠， EFC BDF ∴∠=∠，BDF CFE ∴∆∆∽．（2）由（1）知BDF CFE ∆∆∽，BDF CFE C DFC EF∆∆∴=，又ADE FDE ∆≅∆， AD DF AE EF ∴==，，43BDF CFE C AD C AE ∆∆∴==，43BF BD DF BF AB CE FC EF CF AC +++∴==+++， 74773BF BF +∴=-+，5BF ∴=．【总结】本题考查相似三角形的性质及判定，轴对称的性质，应用相似三角形周长比等 于相似比是解决本题的关键．模块三：相似三角形性质定理3知识精讲1、相似三角形性质定理3：相似三角形的面积的比等于相似比的平方．例题解析【例19】（1）如果把一个三角形的三边的长扩大为原来的100倍，那么这个三角形的面积扩大为原来的倍；（2）如果一个三角形保持形状不变但面积扩大为原来的100倍，那么这个三角形的边长扩大为原来的倍．【难度】★【答案】（1）10000；（2）10．【解析】略【总结】相似三角形的面积比等于相似比的平方．【例20】两个相似三角形的面积分别为5cm2和16cm2，则它们的对应角的平分线的比为（）（A）25:256（B）5:16（C ）5:4（D）以上都不对．【难度】★【答案】C【解析】相似三角形对应角平分线的比等于相似比，对应面积的比等于相似比的平方．【总结】本题考查相似三角形的性质．AB CD EAB CD EAB CD【例21】 如图，点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 和AC 上，DE //BC ，6DE =，9BC =，16ADE S ∆=．求ABC S ∆的值．【难度】★ 【答案】36．【解析】解：//DE BC ，ADE ABC ∴∆∆∽，226499ADE ABC S DE S BC ∆∆⎛⎫⎛⎫∴=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，36ADE S ∆∴=． 【总结】本题考查相似三角形的判定及性质．【例22】如图，在ABC ∆中，D 是AB 上一点，若B A C D ∠=∠，4AD cm =，6AC cm =，28ACD S cm ∆=，求ABC ∆的面积．【难度】★ 【答案】218cm ．【解析】解：B ACD ∠=∠，A A ∠=∠，ACD ABC ∴∆∆∽，222439ACD ABC S AD S AC ∆∆⎛⎫⎛⎫∴=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又28ACD S cm ∆=，218ABC S cm ∆∴=． 【总结】本题考查相似三角形的判定及性质． 【例23】如图，在ABC ∆中，点D 、E 在AB 、AC 上，DE //BC ，ADE ∆和四边形BCED的面积相等，求AD :BD 的值． 【难度】★★ 【答案】21+．【解析】解：//DE BC ，ADE ABC ∴∆∆∽，2ADE ABC S AD S AB ∆∆⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，ADE BCED S S ∆=四边形，12ADE ABC S S ∆∆∴=，12AD AB ∴=，12121AD DB ∴==+-．【总结】本题考查相似三角形的判定及性质．A BCDEF【例24】 如图，在正三角形ABC 中，D 、E 、F 分别是BC 、AC 、AB 上的点，DE AC ⊥，EF AB ⊥，FD BC ⊥，则DEF ∆的面积与ABC ∆的面积之比等于（） （A ）1:3 （B ）2:3（C ）3:2（D ）3:3【难度】★★ 【答案】A 【解析】解：ABC ∆是等边三角形，60A B C ∴∠=∠=∠=，又DE AC ⊥，EF AB ⊥，FD BC ⊥，90AFE FDB DEC ∴∠=∠=∠=， 30AEF BFD EDC ∴∠=∠=∠=， 60EFD FDE FED ∴∠=∠=∠=，1123BD BD BF DF ==，， ∴FDE ∆是等边三角形，AFE BDF ∴∆≅∆， AF BD ∴=， FDE ABC ∴∆∆∽，2DEF ABC S DF S AB ∆∆⎛⎫∴= ⎪⎝⎭， 设AF x =，则BD x =，2BF x =，3DF x =， 3333DF x AB x ∴==， 13DEF ABC S S ∆∆∴=．【总结】本题考查相似三角形的性质及判定，直角三角形的性质，等边三角形的性质等知识．AB CDEFHG 【例25】 如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥，BE AC ⊥，D 、E 分别为垂足．若60C ∠=︒，1CDE S ∆=，求四边形DEAB 的面积．【难度】★★ 【答案】3． 【解析】解：AD BC BE AC ⊥⊥，，90CDA BEC ∴∠=∠=．90CDA BEC ∴∠=∠=，CBE CAD ∴∆∆∽，CD CACE CB∴=．90CDA BEC ∴∠=∠=，CBE CAD ∴∆∆∽，CD CACE CB∴=，DCE ACB ∴∆∆∽，2DCE ACB S CD S CA ∆∆⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，又60C ∠=，30CBE CAD ∴∠=∠=，12CD CA =，14DCE ACB S S ∆∆∴=，13DCE BDEA S S ∆∴=四边形，1CDE S ∆=，3DEAB S ∴=四边形．【总结】本题考查相似三角形的性质及判定，直角三角形的性质等知识．【例26】 如图，BE 、CD 是ABC ∆的边AC 、AB 上的中线，且相交于点F ，联结DE ．求ADE BFC SS ∆∆的值．【难度】★★ 【答案】43． 【解析】分别过点A 、F 作AH BC ⊥、FG BC ⊥，交BC 分别于点H 、G ，得//FG AH ，FG KFAH AK=． 联结AF 并延长交BC 于点K ．CD 、BE 是ABC ∆的中线，//DE BC ∴，12DE BC =， F 是重心，13KF AK ∴=，13GF AH ∴=． 11113322444ADES DE AH DE AH DE FG DE FG ∆====， 11222BFC S BC FG DE FG DE FG ∆===，34ADE BFC S S ∆∆∴=．【总结】本题考查三角形一边的平行线，重心的意义，三角形中位线及三角形的面积等．K A BCDEFA BCDEF OA BCDEFG【例27】 如图，在矩形ABCD 中，AB = 2cm ，BC = 4cm ，对角线AC 与BD 交于点O ，点E 在BC 边上，DE 于AC 交于点F ，EDC ADB ∠=∠．求：（1）BE 的长； （2）CEF ∆的面积．【难度】★★【答案】（1）3cm ；（2）215cm ．【解析】解：（1） 矩形ABCD ，2AB DC cm ∴==，且//AD BC ，ADB DBC ∴∠=∠，EDC ADB ∠=∠，EDC DBC ∴∠=∠，CDE CBD ∴∆∆∽，CD CECB CD∴=，242CE∴=，1CE cm ∴=，3BE cm ∴=； （2）//AD BC ，∴4AD DFEC EF ==，5DCE CFES DE S EF ∆∆∴==， 又11212CDE S ∆=⨯⨯=，215CFE S cm ∆∴=．【总结】本题考查相似三角形的判定及性质，矩形的性质，同高三角形的面积比等于底边的比等知识．【例28】 如图，Rt ABC ∆中，点D 是BC 延长线上一点，直线EF //BD 交AB 于点E ，交AC 于点G ，交AD 于点F ，若13AEG EBCG S S ∆=四边形，求CF AD 的值．【难度】★★ 【答案】21． 【解析】解：//EF BD ，AEG AEC ∴∆∆∽，AE AFAB AD∴=，2AEG ABC S AE S AB ∆∆⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，13AEG EBCG S S ∆=四边形，14AEG ABC S S ∆∆∴=，12AE AF AB AD ∴==，Rt ABC ∆，90ACD ACB ∴∠=∠=，CF ∴是中线，12CF AD ∴=,12CF AD ∴=． 【总结】本题考查相似三角形的性质，直角三角形的性质，三角形一边的平行线等知识．ABCDEOABC DEF 【例29】 如图，在ABC ∆中，BD AC ⊥于点D ，CE AB ⊥于点E ，EC 和BD 相交于点O ，联结DE ．若16EOD S ∆=，36BOC S ∆=，求AEAC 的值．【难度】★★★ 【答案】23． 【解析】解：BD AC CE AB ⊥⊥，，90BEO CDO ∴∠=∠=，A A ∠=∠,AEC ADB ∴∆∆∽，AE ADAC AB∴=， ADE ABC ∴∆∆∽，AE DEAC BC∴=．EOB DOC ∠=∠，EOB DOC ∴∆∆∽，EO BOOD OC∴=，EOD BOC ∠=∠，EOD BOC ∴∆∆∽，2164369EOD BOC S ED S CB ∆∆⎛⎫∴=== ⎪⎝⎭，23ED BC ∴=，23AE AC ∴=． 【总结】本题考查相似三角形的性质及判定知识． 【例30】 如图，90ACB ∠=︒，DF AB ⊥于点F ，45EF BE =，14DCE BFE S S ∆∆=，且CE = 5，求：（1）BC 的长；（2）CEF S ∆．【难度】★★★【答案】（1）352；（2）15．【解析】解：（1）FD AB ⊥，90EFB ∴∠=， 90ACB ∠=，90BCD ∴∠=，EFB BCD ∴∠=∠，FEB CED ∠=∠，BFE DCE ∴∆∆∽，2BFE DCE S EF S CE ∆∆⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，又14DCE BFE S S ∆∆=，2FE CE ∴=，45FE BE =，25CE BE ∴=．5CE =，252BE ∴=，352BC ∴=； （2）45FE BE =，10EF ∴=，152BF =，17522BEF S BF EF ∆∴==， 又52BFE FEC S EB S CE ∆∆==，15FEC S ∆∴=．【总结】本题考查相似三角形的性质及判定，直角三角形的性质等知识．【习题1】 已知ABC ∆∽'''A B C ∆，AD 、''A D 分别是ABC ∆和'''A B C ∆的角平分线，且3''2AD A D =，9AB =，则''A B =． 【难度】★ 【答案】6．【解析】解：'''ABC A BC ∆∆∽，AD 、''A D 分别是对应角平分线，''''32AB AD A B A D ∴==，9AB =，''6A B ∴=．【总结】本题考查相似三角形对应角平分线的比等于相似比．【习题2】 若一个三角形三边之比为3:5:7，与它相似的三角形的最长边的长为21厘米，则其余两边长的和为．【难度】★ 【答案】24．【解析】解：设三角形的三边长为3a ，5a ，7a ，由题知，721a =，3a ∴=， 35824a a a ∴+==．【总结】本题考查相似三角形的性质．【习题3】 两个相似三角形的周长分别为5cm 和16cm ，则它们的对应角的平分线的比为（）（A ）25:256（B ）5:16（C ）5:4（D ）以上都不对【难度】★ 【答案】B 【解析】略【总结】本题考查相似三角形对应周长的比、对应角平分线的比都等于相似比．随堂检测【习题4】 已知：D 、E 、F 分别是ABC ∆的边BC 、CA 、AB 的中点．求证：=4ABC DEF S S ∆∆． 【难度】★★ 【答案】略． 【解析】解：D 、E 、F 分别是ABC ∆的边BC 、CA 、AB 的中点，12DF EF DE AC BC AB ∴===，DEF ABC ∴∆∆∽，214DEF ABC S DF S AC ∆∆⎛⎫∴== ⎪⎝⎭，4ABC DEF S S ∆∆∴=．【总结】本题考查三角形中位线，相似三角形的性质及判定知识．【习题5】 如图，DE 是ABC ∆的中位线，N 是DE 的中点，CN 的延长线交AB 于点M ，若ABC S ∆= 24，求AMNE S 四边形．【难度】★★ 【答案】略．【解析】解：联结AN ．DE 是ABC ∆的中位线， //DE BC ∴，12DE BC =，ADE ABC ∴∆∆∽， 164A D E A B CS S ∆∆∴== ，N 是DE 的中点，132A D N A D ES S ∆∆∴==，//DE BC ，14DN BC =，14DM BM ∴=， 1133DM BD AD ∴==， 113D M N A D N S S ∆∆∴==，615ADE DMN AMNE S S S ∆∆∴=-=-=四边形．【总结】本题考查相似三角形面积比等于相似比的平方，还考查了等高三角形面积比等于底边的比．AB CDE NMABCD EFABCDEFGH P【习题6】 如图，正方形DEFG 的边EF 在ABC ∆的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上，AH 是ABC ∆的高，BC = 60厘米，AH = 40厘米，求正方形DEFG 的边长．【难度】★★ 【答案】24．【解析】设正方形EFGD 的边长为x ， //DG BC ，DG AD APBC AB AH∴==． 406040x x-∴=，24x ∴=， ∴正方形EFGD 的边长为24．【总结】本题考查三角形内接正方形的相关知识，主要还是通过比例相等来列式建立关系．【习题7】 如图，在ABC ∆中，点D 在边BC 上，DE //AB ，DE 交AC 于点E ，点F 在边AB 上，且AF CEFB AE=． （1）求证：DF //AC ；（2）如果BD :DC = 1:2，ABC ∆的面积为18cm 2，求四边形AEDF 的面积． 【难度】★★ 【答案】略． 【解析】（1）证明：//DE AB ，CE CDAE BD∴=，AF CE FB AE =，AF CDFB BD∴=，//DF AC ∴； （2）解：//DF AC ，//DE AB ，B D F BC A ∴∆∆∽，CDE CBA ∆∆∽．2BDF ABC S BD S BC ∆∆⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，2CDE ABC S CD S BC ∆∆⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，:1:2BD DC =，1233BD CD BC BC ∴==，,19BDF ABC S S ∆∆∴=，49CDE ABC S S ∆∆=，49ABC AEDF S S ∆∴=四边形，218ABC S cm ∆=，28AEDF S cm ∴=四边形．【总结】本题考查三角形内接平行四边形的相关知识，还考查了相似三角形的性质等．【习题8】 梯形ABCD 的面积为S ，AB //CD ，AB = b ，CD = a （a < b ），对角线AC 、BD相交于点O ，BOC ∆的面积为29S ，求a :b 的值．【难度】★★ 【答案】略．【解析】解：如图，设COD S ∆的面积为1S ， A O B S ∆的面积为2S ，ABCD S S =梯形，//AB CD ，∴ABD ABC S S ∆∆=，∴A B D A O B A B CS S S S ∆∆∆∆-=-，∴29AOD BOC S S S ∆∆==， 得1225299S S S S S +=-=......①12A O D B O CS S OD S OB S ∆∆==，∴212481BOC AOD S S S S S ∆∆==......② 联立①②，1221259481S S S S S S ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得：119S S =，249S S =， COD AOB ∆∆∽，2COD AOB S CD S AB ∆∆⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，2122S a S b ∴=， b a < ，12S S ∴< ，12a b ∴=． 【总结】本题考查了梯形的对角线分割成的四个三角形的面积关系．【习题9】 在锐角∆ABC 中，矩形DEFG 的顶点D 在AB 边上，顶点E 、F 在BC 边上， 顶点G 在AC 边上，如果矩形DEFG 的长为6，宽为4，设底边BC 上的高为x ，∆ABC的面积为y ，求y 与x 的函数关系式．【难度】★★★【答案】23(4)4x y x x =>-．【解析】解：如图， 矩形DEFG ，//90GD BC DEC ∴∠=，，GD ADBC AB∴=． 又 AH 是高，90AHC ∴∠=．DEC AHC ∴∠=∠，//DE AH ∴， DE BDAH AB ∴=， 1DG DE BC AH ∴+=， 641BC x∴+=， 64xBC x ∴=-， 又 12ABC S y BC AH ∆==，∴()2344x y x x =>-．【总结】本题考查三角形一边的平行线定理，矩形的面积等知识．H【习题10】 如图，在ABC ∆中，90A ∠=︒，BC = 10，ABC ∆的面积为25，点D 为AB 边 上任意一点（点D 不与点A 、B 重合），过点D 作DE //BC ，交AC 于点E ．设DE = x ， 以DE 为折线将ADE ∆翻折（使ADE ∆落在四边形DBCE 所在的平面内），所得的'A DE ∆ 与梯形DBCE 重叠部分的面积记为y ．（1）用x 表示ADE ∆的面积；（2）求出010x <<时，y 与x 的函数关系式． 【难度】★★★ 【答案】略． 【解析】解：（1）//DE BC ，ADE ABC ∴∆∆∽，2ADE ABC S DE S BC ∆∆⎛⎫∴= ⎪⎝⎭．DE x =，10BC =，25ABC S ∆=，∴22125104ADEx S x ∆⎛⎫== ⎪⎝⎭．（2）1252ABC S BC AG ∆==，10BC =， 5AG ∴=． 若点'A 在边BC 上，则ADE ∆的高AH 为25，12AH AG ∴=，ADE ABC ∆∆∽，12DE BC ∴=，5x ∴=．①当05x <≤时，'214ADE A DE y S S x ∆∆===；②当510x <<时，MNED y S =梯形，如图2，ADE ABC ∆∆∽，DE AHBC AG∴=．12AH x ∴=，152GH x ∴=-．A MN A DE ∆∆’’∽，''MN AGDE A H∴=．∵'115522AG x x x ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭， ()25MN x ∴=-，∴()()1112105222MNED y S MN DE GH x x x ⎛⎫==+=-+-⎪⎝⎭梯形，即2310254y x x =-+-；综上，()()221054310255104x x y x x x ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪-+-<<⎪⎩，，．【总结】本题考查了相似三角形的性质和判定，以及建立函数关系式，审题很关键，而且要分清楚运动过程中重叠部分面积到底怎么求． ．G ABCD EA 图1图2【作业1】 ∆ABC ∽∆DEF 且3=BC ，6=EF ，DE 边上的中线长为10，则AB 边上的中线长为 ．【难度】★ 【答案】5． 【解析】解：ABC DEF ∆∆∽， ∴ DE 边上的中线与AB 边上的中线的比等于相似比12BC EF =，∴相似比为12，∴AB 边上的中线长为5． 【总结】本题考查相似三角形的性质，相似三角形对应中线比等于相似比．【作业2】 已知两个三角形相似，根据下列数据填表：相似比 133 周长的比 94150面积的比941000.01【难度】★ 【答案】31，91；3，9；49，1681；501，25001；23，23；10，10；1.0，1.0． 【解析】略．【总结】相似三角形的周长比等相似比，面积比等于相似比的平方．【作业3】 两个相似三角形的相似比为2:3，且面积的和为130cm 2，那么较大的三角形的面积为．【难度】★ 【答案】290cm ． 【解析】略．【总结】相似三角形的面积比等于相似比的平方．课后作业ABCDEA BCDO【作业4】 如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AOD S ∆= 4平方米，BOC S ∆= 9平方米，则=ABCD S 梯形平方米．【难度】★★ 【答案】25． 【解析】解：//AD BC ，AOD COB ∴∆∆∽,2249AOD COB S DO AO S OB OC ∆∆⎛⎫⎛⎫∴=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23DO AO OB OC ∴==．23AOD AOB S DO AO S OB OC ∆∆===， 2266AOB DOC S cm S cm ∆∆∴==，，225ABCD S cm ∴=梯形．【总结】本题考查相似三角形的面积比等于相似比的平方，同高三角形的面积比等于底边的比．【作业5】 如图，在ABC ∆中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，DE //BC ，ACD B ∠=∠．（1）写出图中所有与ADE ∆相似的三角形（不必证明）；（2）如果CD = 20cm ，BC = 30cm ，BCD ∆的面积为18cm 2，求ABC ∆的面积．【难度】★★ 【答案】略．【解析】（1）ADE ABC ∆∆∽，ADE ACD ∆∆∽，ACD ABC ∆∆∽，EDC DCB ∆∆∽；（2）由（1）知：EDC DCB ∆∆∽，∴ ED DCDC CB=, 2EDC DCB S DC S CB ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭， 20CD cm =，30CB cm =，218DCB S cm ∆=，403DE cm ∴=，28EDC S cm ∆=．∵18BCDS=，∴18826DBCE S =+=梯形．//DE BC ，∴ADE ABC ∆∆∽，∴21681EDA ABC S DE S CB ∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴6581DBCE ABC S S =梯形， ∴21635ABC S cm ∆= 【总结】本题考查相似三角形的判定和性质知识．A B CD EFMN【作业6】 如图，梯形ABCD 中，AD //BC ，E 是腰AB 上的一点，过点E 作BC 的平行线交CD 于点F ，已知AD = 2，BC = 6．（1）如果2=3AE EB ，试求EF 的长；（2）如果2=3AEFD EBCFS S 梯形梯形，试求EF 的长． 【难度】★★ 【答案】（1）185EF =；（2）21055EF =．【解析】解：（1）过点A 作//AN DC 交BC 于点N ，交EF 于点M ． ////AD NC FE ，∴四边形ANCD 是平行四边形，四边形AMFD 是平行四边形， 2AD MF NC ∴===，6BC =，4BN ∴=．//EF BC ，AE EM AB BN ∴=，23AE EB =，25AE AB ∴=，25ME NB ∴=，85EM ∴=，185EF ∴=． （2）分别延长BA 、CD 交于点G ． //AD BC ，∴219ADG GBC S AD S CB ∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭,设2AEFD S a =梯形，3EBCF S a =梯形，则5ABCD S a =梯形，∴159GDA GDA ADG ADG ABCD S S S S S a ∆∆∆∆==++梯形，∴58ADG S a ∆=，∴55852128GDA GEF a S S a a ∆∆==+，//EF AD ，∴222521ADG GEF S AD S EF EF ∆∆⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴21055EF =． 【总结】本题考查梯形的相关知识，包括梯形的辅助线的添法，还有相似三角形的性质及判定等知识．A BCD EFA B CD EFGABCDE O【作业7】 ABC ∆中，AB = 5，BC = 6，AC = 7，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且DE //BC ． （1）如果ADE ∆的面积与梯形BCED 的面积相同，求DE 的长； （2）如果ADE ∆的周长与梯形BCED 的周长相同，求DE 的长． 【难度】★★【答案】（1）32；（2）72． 【解析】解：（1）ADE BCED S S ∆=梯形，12ADE ABC S S ∆∆∴=．//DE BC ，ADE ABC ∴∆∆∽，212ADE ABC S DE S BC ∆∆⎛⎫∴== ⎪⎝⎭，22DE BC ∴=，6BC =，32DE ∴=；（2）ADE BCED C C ∆=梯形，AD AE DE DE BD CE BC ∴++=+++，576AD AE DA AE ∴+=-+-+，9AD AE ∴+=． //DE BC ，AD AE DE AB AC BC ∴==，9576AD AD DE-∴==，154DA ∴=，92DE ∴=．【总结】本题考查了相似三角形的判定及性质．【作业8】 如图，在ABC ∆中，BE AC ⊥，CD AB ⊥．若1A D E S ∆=，4ABC S ∆=，求A ∠的度数．【难度】★★ 【答案】30．【解析】解：CD AB BE AC ⊥⊥，，90ODB BEC ∴∠=∠=，9090DOB DBO EOC ECO ∴∠+∠=∠+∠=，DOB EOC ∠=∠，DBO ECO ∴∠=∠，A A ∠=∠，ABE ACD ∴∆∆∽，AC ADAB AE∴=，又A A ∠=∠，ADE ACB ∴∆∆∽，214ADE ABC S AE S AB ∆∆⎛⎫∴== ⎪⎝⎭12AE AB ∴=，90AEB ∠=，30A ∴∠=． 【总结】本题考查相似三角形的性质及判定以及直角三角形的性质等知识．G【作业9】 如图，在等边ABC ∆中，点D 、E 分别在BC 、AC 上，BD = CE ，AD 与BE 交于点F ．如果AB = 12，BD = 4，求:BDF ADB S S ∆∆．【难度】★★★ 【答案】17． 【解析】解：过点A 作AG BC ⊥交BC 于点G ． ABC ∆是等边三角形，606AB BC ABC C BG CG ∴=∠=∠===，，，∵BD = 4， 2DG ∴=．BD CE =，ABD BCE ∴∆≅∆，BAD EBC ∴∠=∠．60ABE EBC ∠+∠=，60ABE BAD ∴∠+∠=．BFD ABF BAF ∠=∠+∠，60BFD ∴∠=，60BFD ABD ∴∠=∠=,BDF ADB ∴∆∆∽，2BDF ADB S BD S AD ∆∆⎛⎫∴= ⎪⎝⎭． 在Rt ABG ∆中，222AG AB BG =-，63AG ∴=，在Rt ADG ∆中，222AD AG DG =+，47AD ∴=,217BDF ADB S BD S AD ∆∆⎛⎫∴== ⎪⎝⎭． 【总结】本题考查相似三角形的性质及判定以及等边三角形的性质等知识．ABCDEFM【作业10】 如图，梯形ABCD 中，AD //BC ，BC = 3AD ，E 是腰AB 上的一点，连接CE ．（1）如果CE AB ⊥，AB = CD ，BE = 3AE ，求B ∠的度数；（2）设BCE ∆和四边形AECD 的面积分别为S 1和S 2，且2S 1 = 3S 2，试求BEAE的值． 【难度】★★★【答案】（1）60°；（2）4．【解析】解：（1）分别延长BA 、CD 交于点M ，如图所示． //AD BC ，MAD MBC ∴∆∆∽， 13AD MA BC MB ∴==，即3MB MA =． 设2MA x =，则6MB x =，4AB x ∴=．3EB AE =，3BE x AE x ∴==，．3BE ME x ∴==，又CE AB ⊥，CB MC ∴=，又MB MC =，MBC ∴∆为等边三角形，60B ∴∠=．（2）//AD BC ，MAD MBC ∴∆∆∽，219MAD MBC S AD S CB ∆∆⎛⎫∴== ⎪⎝⎭． 设3MAD S S a ∆==，则9MBC S a ∆=，128S S a +=． 又1223S S =，1245S a ∴=，2165S a =，3S a =，∴32178MEC ECB S S S ME S EB S ∆∆+===， 设7ME k =，则815EB k MB k ==，，153AM MB k ∴==，752AE k k k ∴=-=，∴4BE AE=． 【总结】本题考查梯形的相关知识，包括梯形的辅助线的添法，还有同高三角形的面积比可以转化为底边的比等知识．A B CD E。
相似三角形的性质(经典全面)
相似三角形的性质(经典全面)相似三角形的性质及判定一、相似的有关概念相似形是指具有相同形状的图形，但大小不一定相同。
相似图形之间的互相变换称为相似变换。
二、相似三角形的概念相似三角形是指对应角相等，对应边成比例的三角形。
用符号XXX表示，例如△ABC∽△A B C。
三、相似三角形的性质1.对应角相等：如果△ABC与△A B C相似，则有A A，B B，C C。
2.对应边成比例：如果△ABC与△A B C相似，则有AB/BC=AC/A C=BC/B C=k（k为相似比）。
3.对应边上的中线、高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比。
例如，如果AM是△ABC中BC边上的中线，A M是△A B C中B C边上的中线，则有AM/A M=k。
如果AH是△ABC中BC边上的高线，A H是△A B C中B C边上的高线，则有AH/A H=k。
如果AD是△ABC中BAC的角平分线，A D是△A B C中B A C的角平分线，则有AD/A D=k。
4.相似三角形周长的比等于相似比。
如果△ABC与△A B C相似，则有AB+BC+AC/A B+B C+A C=k。
ABCD中间观察，比例式中的比AD和BC中的三个字母A，B，C恰为△ABC的顶点；比CD和EF中的三个EFDC字母D，E，F恰为△DEF的三个顶点．因此只需证欲证△ABC∽△DEF．证明比例中项式或倒数式或复合式的方法，可以运用“三点定形法”，也可以利用“分离比例中项法”或“分离倒数式法”或“分离复合式法”．由于在运用三点定形法时，可能会遇到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可以考虑使用等线、等比或等积进行变换，然后再使用三点定形法来寻找相似三角形。
这种方法被称为等量代换法。
在证明比例式时，常常会用到中间比。
证明比例中项式通常涉及与公共边有关的相似问题。
这类问题的典型模型是射影定理模型，需要熟练掌握和透彻理解其特征和结论。
证明倒数式往往需要先进行变形，将等式的一边化为1，另一边化为几个比值的形式，然后对比值进行等量代换，进而证明之。
相似三角形的性质
相似三角形的性质知识精要相似三角形对应边的比称为这两个三角形的相似比，形似比用字母k 表示。
如△ABC ∽△A'B'C'，则k A C CA C B BC B A AB ==='''''',注意：相似比具有方向性，若写作△A'B'C'∽△ABC ，则相似比为k1。
根据合比容易得到“相似三角形的周长比等于相似比”，记△ABC 和△A'B'C'的周长分别为ABC C ∆和'''C B A C ∆，则k C C C B A ABC =∆∆''':.类型一 相似比与周长比在有关相似三角形的计算问题中，通过对应边的比例式建立方程式常用的方法。
例题精解例1 如图，已知等边三角形ABC 的边长为6，过重心G 作DE//BC,分别交AB,AC 于点D,E.点P 在BC 上，若△BDP 与△CEP 相似，求BP 的长。
点评：这是一类常见的有关三角形相似的分类讨论的问题。
图中只能确定一组相等的角（∠B=∠C）为对应角，但“这个角的两组夹边对应成比例”的比例式排列顺序还不能完全确定，因此要分为两种情况进行讨论。
【举一反三】1、如图，△ABC中，CD是角平分线，E在AC上，CD2=CB·CE.（1）求证：△ADE∽△ACD；（2）如果AD=6，AE=4，DE=5，求BC的长。
点评：先根据判定定理2得到△BCD∽△DCE，再根据判定定理1得到△ADE∽△ACD，这种类似于“二次全等”的“二次相似”是证明相似三角形常用的方法。
2、如图，△ABC中,DE//BE,分别交AB于D，交AC于E。
已知AB=7，BC=8，AC=5，且△ADE与四边形BCED的周长相等，求DE的长。
点评：无论是以相似比k作为未知量，还是以DE=x作为未知量，目的都是为了把其他的量用k或x来表示，根据题设的等量关系列方程。
三角形的相似性质
三角形的相似性质三角形是几何学中基础的图形之一，它具有丰富的性质和特点。
其中之一就是相似性质，相似性质指的是具有相同形状但可能不同大小的两个或多个三角形。
本文将介绍三角形的相似性质及其相关定理。
一、相似三角形的定义相似三角形是指具有相同形状但可能不同大小的两个或多个三角形。
当两个三角形的对应角相等，而对应边的比例保持恒定时，我们就可以说它们是相似三角形。
相似三角形的符号表示为"∼"，例如ΔABC∼ΔXYZ。
二、相似三角形的判定1. AA相似定理如果两个三角形的两个对应角分别相等，那么它们是相似的。
AA相似定理也被称为角-角相似定理。
2. AAA相似定理如果两个三角形的三个对应角分别相等，那么它们是相似的。
AAA相似定理也被称为全等定理，因为三个角相等的三角形必定全等。
3. SAS相似定理如果两个三角形的一个内角和两个对边与另一个三角形的一个内角和两个对边成比例，那么它们是相似的。
SAS相似定理也被称为边-角-边相似定理。
4. SSS相似定理如果两个三角形的三个对边成比例，那么它们是相似的。
SSS相似定理也被称为边-边-边相似定理。
三、相似三角形的性质和应用1. 对应角相等性质在相似三角形中，对应角总是相等的，这意味着它们的内角度数是一样的。
根据这个性质，我们可以通过已知相似三角形的对应角度数来求解未知的角度。
2. 对应边比例性质在相似三角形中，对应边的比例保持恒定。
根据这个性质，我们可以通过已知相似三角形的对应边的比例来求解未知边的长度。
3. 相似三角形的面积性质相似三角形的面积与其对应边的平方成正比。
具体而言，如果两个三角形相似，那么它们的面积之比等于边长之比的平方。
相似三角形的性质在几何学中具有广泛的应用。
例如，在计算高空建筑物的阴影长度时，可以利用相似三角形来简化计算过程。
在地图的缩放过程中，也可以利用相似三角形来确定新的地图比例尺等。
四、实例分析下面通过一个实例来说明相似三角形的性质和应用。
相似三角形的性质与判定
相似三角形的性质与判定相似三角形是初中数学中的一个重要概念，它在几何学知识体系中有着重要的地位。
相似三角形是指两个或更多个三角形在形状上相似的特殊三角形。
它们的边长比例相等，对应的角度也相等。
通过研究相似三角形的性质和判定条件，我们可以在解决实际问题时更好地应用相似三角形的概念。
首先，我们来介绍一些相似三角形的性质。
相似三角形具有以下性质：1. 对应角相等性质。
如果两个三角形的对应角相等，那么它们是相似三角形。
具体而言，如果两个三角形的三个角分别相等，那么它们一定是相似三角形。
这是相似三角形的性质中最重要的一条。
2. 对应边比例相等性质。
如果两个三角形的对应边的长度比例相等，那么它们是相似三角形。
具体而言，如果两个三角形的三条边的对应长度比例相等，那么它们一定是相似三角形。
这个性质可以直接从三角形的定义和角相等性质推导出来。
其次，我们来介绍一些相似三角形的判定条件。
判定两个三角形是否相似主要有以下几种方法：1. AA 判定法。
如果两个三角形的两个角分别相等，那么它们一定是相似三角形。
2. SSS 判定法。
如果两个三角形的三个边的长度比例相等，那么它们一定是相似三角形。
3. SAS 判定法。
如果两个三角形的一个角相等，而且两个边的长度比例相等，那么它们一定是相似三角形。
4. 等腰三角形判定法。
如果两个三角形的两条边长比例相等且夹角相等，那么它们一定是相似三角形。
相似三角形的性质和判定条件在解决实际问题时非常有用。
例如，在测量高楼的高度时，我们可以利用相似三角形的性质，通过测量实际的距离和角度，计算出高楼的高度。
又如，在地图上测量两个城市之间的直线距离时，我们可以利用相似三角形的判定条件，通过测量两个城市之间的实际距离和角度，计算出直线距离。
这些都是利用相似三角形的性质和判定条件解决实际问题的典型例子。
总的来说，相似三角形是一个重要的几何概念，它涉及到对角、边长比例的研究。
相似三角形的性质和判定条件在解决实际问题时非常有用，能够帮助我们计算出实际的距离和角度，解决实际问题。
相似三角形的性质
相似三角形的性质相似三角形是指具有相同形状但可能不同大小的两个三角形。
在几何学中，相似三角形具有一些独特的性质。
本文将介绍相似三角形的性质，并讨论其在实际问题中的应用。
一、相似三角形的定义和判定相似三角形是指具有相同形状但可能不同大小的两个三角形。
两个三角形相似的判定条件有以下几种：1. 三角形的对应角相等：如果两个三角形的对应角相等，则它们是相似的。
这可以表示为∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。
2. 三角形的对应边成比例：如果两个三角形的对应边之比相等，则它们是相似的。
这可以表示为AB/DE = BC/EF = AC/DF。
3. 两个角相等且夹在两边之间的比例相等：如果两个三角形的两个角分别相等，并且夹在两边之间的比例也相等，则它们是相似的。
这可以表示为∠A=∠D，∠B=∠E，并且AB/DE = BC/EF。
二、相似三角形具有以下性质：1. 对应边之比相等：如果两个三角形相似，它们的对应边之比相等。
这是相似三角形的最重要性质之一。
2. 对应角相等：如果两个三角形相似，它们的对应角是相等的。
3. 对应角平分线相交于一点：如果两个三角形相似，它们的对应角的平分线交于一点。
4. 对应中线之比相等：如果两个三角形相似，则它们的对应中线之比等于对应边之比。
5. 对应高之比相等：如果两个三角形相似，则它们的对应高之比等于对应边之比。
6. 相似三角形的面积之比等于边长之比的平方：如果两个三角形相似，则它们的面积之比等于对应边之比的平方。
7. 相似三角形的周长之比等于边长之比：如果两个三角形相似，则它们的周长之比等于对应边之比。
三、相似三角形的应用相似三角形在实际问题中有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1. 测量不可直接测量的物体高度：通过测量相似三角形的一些已知边长和角度，可以推算出无法直接测量的物体的高度。
2. 利用相似三角形进行放缩：在地图制作、建筑设计等领域中，可以利用相似三角形进行放缩和缩小，以便在实际工作中进行精确的测量和设计。
三角形相似的性质
三角形相似的性质在我们的数学世界中，三角形是一个极其重要的几何图形。
而当两个三角形具有相似关系时，它们便拥有了一系列独特而有趣的性质。
首先，让我们来明确一下什么是三角形的相似。
如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形就是相似的。
比如说，有三角形 ABC 和三角形 A'B'C'，如果角 A 等于角 A'，角 B 等于角 B'，角 C 等于角 C'，而且 AB 与 A'B'的比值、BC 与 B'C'的比值、AC 与A'C'的比值都相等，那么三角形 ABC 就相似于三角形 A'B'C'。
相似三角形的第一个重要性质就是对应角相等。
这意味着，如果两个三角形相似，那么它们的三个角一一对应相等。
比如在相似的三角形 ABC 和三角形 A'B'C'中，角 A 等于角 A'，角 B 等于角 B'，角 C 等于角 C'。
这个性质非常直观，也很好理解。
因为角的大小反映了三角形的形状特征，相似三角形的形状相同，所以对应角必然相等。
接着是对应边成比例。
这是相似三角形的核心性质之一。
仍以三角形 ABC 和三角形 A'B'C'相似为例，假设 AB 与 A'B'的比值为 k，那么BC 与 B'C'的比值、AC 与 A'C'的比值也都是 k。
这个比例关系在解决很多几何问题中都有着关键的作用。
相似三角形的周长之比等于相似比。
假设三角形 ABC 相似于三角形 A'B'C'，相似比为 k，那么三角形 ABC 的周长与三角形 A'B'C'的周长之比也是 k。
这是因为周长是边长的总和，而边长成比例，所以周长也成比例。
相似三角形的面积之比等于相似比的平方。
相似三角形性质
BF AB = FD AC
D
C
F
作 业 完成知识运用
例2、如图： Rt△ABC中， ∠C=90°，四边形DEFG是正方 如图： Rt△ABC中 C=90° 四边形DEFG是正方 DEFG EF 2 = AE • BF 求证： 形，求证：
C D G
A
E
F
B
例3、如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D点,E是AC 如图， ABC中 BAC=90° AD⊥BC于 ,E是 的中点，ED延长线交AB延长线于 延长线交AB延长线于F 的中点，ED延长线交AB延长线于F点， 求证： DF 2 = AF • BF 求证：
A
B
C
E
F
几何语言： 几何语言： DE DF Q = , ∠D = ∠A AB AC ∴△DEF∽△ABC ∽
判定定理3： 判定定理 ：如果一个三角形的三条边与另一 三条边对应成比例， 个三角形的三条边对应成比例 个三角形的三条边对应成比例，那么这两个 三角形相似。 三角形相似。
D A
B
C
E
ห้องสมุดไป่ตู้
F
几何语言： 几何语言：
PDB∽△ACP，所以∠ DPB， （2）由△PDB∽△ACP，所以∠A＝∠DPB， APC＝ 又因为∠ APC＋ACP＝ ∠APC＝∠B，又因为∠A＋∠APC＋ACP＝180o， APC＝ CPD＝ 故∠A＋∠APC＝60o，又∠CPD＝60o， APB＝ 故∠APB＝∠APC+∠BPD+∠CPD=120o
如图， 在线段AB AB上 PCD是等边三角形 是等边三角形。 如图，点C，D在线段AB上，且△PCD是等边三角形。 当AC，CD，DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB； AC，CD，DB满足怎样的关系时， ACP∽△PDB； 满足怎样的关系时 ACP∽△PDB时 试求∠APB的度数 的度数。 当△ACP∽△PDB时，试求∠APB的度数。
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4.7.1 相似三角形的性质
学习目标
1.理解并掌握相似三角形的性 质.
2.会用“相似三角形对应高之 比、对应角平分线之比、对 应中线之比等于相似比”这 一性质解决有关问题.
自学指导一
自学内容：课本106--107页例题上面 的部分
自学时间：3分钟
自学要求：
1.能复述相似三角形的性质，并完成 助学113页知识梳理
2.能口述议一议的结论 3分钟后，完成检测，看谁完成
得又快又好！
自学检测一 A’
A
B
D C B’
C’ D’
1.若 ABC ∽A'B'C' 相似比1:2
AD⊥BC, A' B' B'C'
(1)ACD与A'C' D'相似吗？为什 么？如果相似，相似比是多少？
(2)如果CD=1.5cm，那么模型房的 房梁立柱有多高？
((12))若若BBEAD1B1C, BA' EC',1BB' A'C'C',' 1 B' A'C',
33
3
3
则则 AADE __________.. AA''DE''
自学指导二
内容：课本107页例1 时间：3分钟 要求： 1.理解并掌握例1的解题步骤； 2.能解决与例1类似的题目.
3分钟后，完成与例题类似题目
A' D'为ABC与A' B'C'角中平线分线
(1)ACD与A'C' D' 相似吗？为
什么？如果相似，相似比是多少？
(2) CD ____.
C' D'
由此，你得到的结论是:__________.
4.口述议一议结论
A
点拨
A’
B
C C’
已知△DAEBC ∽△A' B'C',
B’ E’D’
△ABC与△A' B'C'相似比为K
自学检测二
2分钟（口答） 课本107-108页 随堂练习 1, 2
知识技能 1, 2
课本P108 问题解决 3,4
拓展提升
助学114页 例2 A
EMF
B
x
H
CB DG
图1
A
EF
M
2x
C
H DG
图2
当堂检测
助学P114 自主评价1--8
自学检测一 A’D’
2.若ABC ∽A'B'C'相似比K
(1)ACD与A'C' D'相似吗？为什 么？如果相似，相似比是多少？
(2) CD ____.
C' D'
由此，你得到的结论是:__________.
自学检测一 A’
A
B
D
C B’
D’
C’
3.若 ABC与A' B'C'相似比K，AD、