微积分第三版课后习题答案
高等数学教材微积分课后答案
高等数学教材微积分课后答案第一章微积分基本概念1. 第一节课后习题答案1.1 单项选择题1. A2. B3. C4. D5. A1.2 填空题1. 42. 273. 184. 05. 21.3 解答题1. (a) 首先将函数对x求导，得到f'(x) = 6x^2 + 12x - 8。
令f'(x) = 0，解得x = -2和x = 2/3。
然后再带入原函数，得到f(-2) = 0和f(2/3) = -1/27。
因此，函数在x = -2和x = 2/3处取得极值，极大值为0，极小值为-1/27。
(b) 由于f'(x) = 6x^2 + 12x - 8 > 0，说明函数在(-∞, -2)和(2/3, +∞)上为增函数；当-2 < x < 2/3时，f'(x) < 0，说明函数在(-2, 2/3)上为减函数。
结合图像，可以得到函数的单调性为：在(-∞, -2)上递增，在(-2, 2/3)上递减，在(2/3, +∞)上递增。
2. 第二节课后习题答案2.1 单项选择题1. C2. A3. D4. B5. C2.2 填空题1. 82. 123. 04. -∞5. +∞2.3 解答题1. (a) 首先求函数的导数，得到f'(x) = 2e^x - 12x。
令f'(x) = 0，解得x = ln6。
然后带入原函数，得到f(ln6) = 4ln6 - 6ln^2(6)。
因此，函数在x = ln6处取得极值。
(b) 由于f'(x) = 2e^x - 12x > 0，说明函数在(-∞, ln6)上为增函数；当x > ln6时，f'(x) < 0，说明函数在(ln6, +∞)上为减函数。
结合图像，可以得到函数的单调性为：在(-∞, ln6)上递增，在(ln6, +∞)上递减。
第二章微分学中值定理1. 第三节课后习题答案1.1 单项选择题1. B2. D3. C4. A5. D1.2 填空题1. 42. 53. π/24. √35. 01.3 解答题1. 根据罗尔定理，首先证明f(x)在区间[0, 1]上连续。
常微分方程第三版习题答案
常微分方程第三版习题答案常微分方程是数学中的一个重要分支，它研究的是描述自然界中变化规律的方程。
在学习常微分方程的过程中，习题是非常重要的一部分，通过解习题可以加深对理论知识的理解和应用能力的培养。
本文将为大家提供《常微分方程第三版》习题的部分答案，希望能对大家的学习有所帮助。
1. 习题一1.1 解：首先，我们根据题意列出方程：$\frac{dy}{dt} = 2y + t^2$这是一个一阶线性常微分方程，我们可以使用常数变易法来求解。
令$y = u(t)e^{2t}$，则$\frac{dy}{dt} = \frac{du}{dt}e^{2t} + 2ue^{2t}$将上述结果代入原方程，得到：$\frac{du}{dt}e^{2t} + 2ue^{2t} = 2(u(t)e^{2t}) + t^2$化简得到：$\frac{du}{dt}e^{2t} = t^2$两边同时除以$e^{2t}$，得到：$\frac{du}{dt} = t^2e^{-2t}$对上式两边同时积分，得到：$u = -\frac{1}{4}t^2e^{-2t} + C$将$u$代入$y = u(t)e^{2t}$，得到最终的解：$y = (-\frac{1}{4}t^2e^{-2t} + C)e^{2t}$1.2 解：首先，我们根据题意列出方程：$\frac{dy}{dt} = \frac{t}{y}$这是一个一阶可分离变量的常微分方程，我们可以通过分离变量来求解。
将方程变形，得到：$ydy = tdt$对上式两边同时积分，得到：$\frac{1}{2}y^2 = \frac{1}{2}t^2 + C$解得：$y^2 = t^2 + C$由于题目中给出了初始条件$y(0) = 1$，将初始条件代入上式，得到：$1 = 0 + C$解得：$C = 1$将$C$代入$y^2 = t^2 + C$，得到最终的解：$y^2 = t^2 + 1$2. 习题二2.1 解：首先，我们根据题意列出方程：$\frac{dy}{dt} = 2ty + t^2$这是一个一阶线性常微分方程，我们可以使用常数变易法来求解。
微积分课后题答案习题详解
第二章习题2-11. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞x n +k =a .证：由lim n n x a →∞=，知0ε∀>，1N ∃，当1n N >时，有取1N N k =-，有0ε∀>，N ∃，设n N >时（此时1n k N +>）有 由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞=.2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞x n =a ,则lim n →∞∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明上述结论反之不成立. 证：而 n n x a x a -≤- 于是0ε∀>，,使当时，有N n N ∃>n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-<由数列极限的定义得 lim n n x a →∞=考察数列 (1)nn x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞=，所以前面所证结论反之不成立。
3. 利用夹逼定理证明：(1) lim n →∞222111(1)(2)n n n ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭=0； (2) lim n →∞2!nn =0.证：（1）因为222222111112(1)(2)n n n n n n n n n n++≤+++≤≤=+ 而且 21lim0n n →∞=，2lim 0n n→∞=，所以由夹逼定理，得222111lim 0(1)(2)n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+⎝⎭. （2）因为22222240!1231n n n n n<=<-，而且4lim 0n n →∞=，所以，由夹逼定理得4. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在. (1) x n =11n e +，n =1,2,…；(2) x 1x n +1,n =1,2,…. 证：（1）略。
马军主编第三版微积分练习册答案(第1-5单元)
《微积分》练习册参考答案练习1-1一、DDAD 无，二、1、2arcsin(1)2x k π-+；[，2、(5,2)-，3、21,0x x +≠，4、1,0,1x x x-≠；,0,1x x ≠，5、3log (1),1y x x =+>-四、20,)2(2lx x x l V <<-= 五、⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤≤--≤≤=a t a at a a t t a t t S 2,2,)(210212222， 六、（1）⎪⎩⎪⎨⎧>≤<--≤≤=1600751600100,01.0)10090100090x x x x P ，（， (2)[]⎪⎩⎪⎨⎧>≤<--≤≤=-=1600751600100,01.0)10030100030)60(x x x x x x x P x L ，（，(3)210001000==x L(元)练习1-2一、DDDBCD ，二、1、1/2，2、0；6，3、4/3，4、4，5、0，三、1、1/2，2、0，3、-1，4、1/2，5、1，6、1，7、-1/2，8、2，四、因为00lim ()lim 11;lim ()lim 11;x x x x f x x f x x --++→→→→=-=-=+=所以0lim ()lim ()x x f x f x -+→→≠，所以0lim ()x f x →不存在五、0000||||lim lim 1;lim lim 1;x x x x x x x x x x x x --++→→→→-==-==00||||lim lim ;x x x x x x -+→→≠所以0||lim x x x→不存在 七、111,0,1,lim 1x x x x e e x→+∞→+∞→∴→=当时即；0,x →当时分左右讨论，1110,,;10,,0x x x e x x e x+-→→+∞→+∞→→-∞→当时当时因此1lim xx e →不存在练习1-3一、,,,,,,,,⨯⨯⨯∨⨯⨯∨⨯二、CBCBDD 三、∞,2,0,1,532503020，四、6，41，2，-2，43，31，∞，32，0，32，31，1，五、1,1-==b a ，六、1 练习1-4 一、DCCAC 二、53，2，21-，21，21， x ,21,21-,21,32, 2,-1,3e,2-e,1-e,1-e ,3e ,e ,3-e,1练习1-5一、CCDAD 二、一；2,1,0=x ；0=b ；1，1；2十、⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==<+>=1 x 1-1 x 01|| ,11||,0)(，，x x x x f ，1=x 为跳跃间断点，1-=x 不为间断点练习2-1一、,,,,,,⨯⨯⨯∨⨯⨯⨯二、B,C,B,C,D,C,C 三、1、1221y x x-'=+，2、33221522y x x -'=--，3、11ln n n y nxx x --'=+，4、22cos sin sin cos sin x x x x x xy x x--'=+，5、sin ln cos ln sin y x x x x x x'=++6、22(1ln )y x x '=-四、0lim ()lim ln(1)0,(0)0,lim ()0x x x x f x x f f x --++→→→→=+====因此f 在0x =处连续0()(0)ln(1)0(0)lim lim 100x x f x f x f x x ---→→-+-'===--，00()(0)0(0)lim lim 100x x f x f f x x +++→→-'===--，因此f 在0x =处可导练习2-2 一、1、222x y a x -'=-，2、23cos sin 222x x y '=-，3、1sin cos cos sin sin n ny n x x nx n x nx -'=- 4、csc y x '=，5、112sin cos y x x x '=-，6、1ln y x x '=，7、221y x '=+，8121x y e x-'=9、23ln33(1ln )xxy x x x '=+++，10、2sin ln(12)12y x x'=-++11、1113[]112(3)2(3)x y x x x x x '=-+-++-+，12、arctan x xy e e -'=- 二、1、122y x y y x +-'=-，2、ln 1y y x y '=-，3、1y ye y xe '=-，4、1x yx y e y e++'=- 三、1、()()()()()x x f x x f x y f e e e f e e f x '''=+，2、211(arcsin )y f xx''=-3、1()()x e x e y f e x e ex -''=++，4、22sin 2((sin )(cos ))y x f x f x '''=-四、1、50km/h 2、()()(1) 1.4/s t s t s km h ''===练习2-3一、DCDBC,DBDBC二、1、22222(1)x y x -''=+，2、1y x ''=，3、222arctan 1x y x x ''=++，4、23(64)x y e x x ''=+ 三、1、232dy bt dx at=，2、cos sin 1sin cos dy dx θθθθθθ-=-- 四、1、x y x y e y dy dx x e ++-=-，2、1()(1)(1)!(1)n n nn y x ---=+，3、()2312ln ln n y x x x x -=+练习3-1一、ABBBA 二、∞，0，0，0，1，1，6，-1/2，32()ab练习3-2 一、⨯，⨯，∨，∨，⨯，⨯，⨯，二、ADBACDCC三、2,递增，（e ，+∞），（0，e ），-n-1， 1n e ---，1/2,3/2,0,0a b c d =-===，6、7略，1x e -=-，四、略，五、1、(,0),(0,2),(2,),22ln 4x -∞↑↓+∞↑=-时有极小值 2、01x x ==-时有最小值0，时有最大值e 3、(,,()-∞⋂⋃⋂+∞⋃，拐点：(0,0),()22- 4、（1）1,2x y x ==+（2）0,x y x == 5、6、8、略7、cos ,sec K x x ρ==一、21x -，12212-+x x ，32-=x y ，211x x --，c x x ++3312ln 2，二、CBDCC 三、c x x +-2325252，c x x +-arctan ，c x x ++cos sin ，c x x +-sec tan c x x +--4ln 3ln 1)43(3，c x x +--cot练习4-2一、21，21，x 2tan 21，3ln 31x-;二、DDDCC ，三、c x +--23)21(31，c a a x +ln 33，c x +3arctan 31，c e x +-1，c x+23arctan 61，c e x ++)1ln(，c x +|ln |ln ，c x +sec 练习4-3 一、CBA ，二、c x x x +--2121arcsin 21，c x ++-)1(212，c x x +-+|1)23(23|ln 312练习4-4c x x x ++-sin cos ，c n x x n n ++-++)11(ln 111，c x x x ++-)1ln(21arctan 2， c x x x +--21arccos ，c x x x +-ln ln ln ln ，c x x x x +++|)tan sec |ln tan (sec 21，c e xe e x x x x +------222，c x x e x ++)cos (sin 21练习4-4c x x +-+--|3|ln 6|2|ln 5，c x x x ++--+-|1|ln |1|ln 11， c xx x ++-|2sin 2cos |ln 2，c x x ++-)1ln(22， c x x ++-+4347)13(274)13(634， c x x +-+-22arctan 222， c e x x +-+-|1|ln ，c eex xx+-22，c x x x ++-sin 2cos 2一、1、0；2、0,2x =；3、1/2；4、5，二、DDCB三、2π，ln 22，323a ，3(1)e -，116，4，122ln 23+练习5-2一、42arctan 2-，22π-，32π+，263，121e --+，1122+，184π-，2，1，1ln 22-，二、1，π三、略练习5-3一、103，12π-，23a π，2343a π，二、1、152x V π=，863y V π=，2、24x V π=，2y V π=，三、121ln 23+，8||a ，。
最新常微分方程(第三版)答案
常微分方程(第三版)答案常微分方程习题答案2.11.«Skip Record If...»,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得«Skip Record If...»«Skip Record If...»并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得：«Skip Record If...»3 «Skip Record If...»解：原式可化为：«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»12．«Skip Record If...»解«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»15．«Skip Record If...»«Skip Record If...»16．«Skip Record If...»解：«Skip Record If...»«Skip Record If...»，这是齐次方程，令«Skip Record If...»17. «Skip Record If...»解：原方程化为«Skip Record If...»令«Skip Record If...»方程组«Skip Record If...»«Skip Record If...»则有«Skip Record If...»令«Skip Record If...»当«Skip Record If...»当«Skip Record If...»另外«Skip Record If...»«Skip Record If...»19. 已知f(x)«Skip Record If...».解：设f(x)=y, 则原方程化为«Skip Record If...»两边求导得«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»20.求具有性质 x(t+s)=«Skip Record If...»的函数x(t),已知x’(0)存在。
常微分方程第三版答案.doc
1．dxdy=2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：ydy=2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2x .2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：y 2dx=-(x+1)dy2y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c-另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=|)1(|ln 1+x c3．dx dy =yx xy y 321++解：原方程为：dxdy =y y 21+31x x + y y 21+dy=31xx +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 24. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为：y y -1dy=-xx 1+dx两边积分：ln|xy|+x-y=c另外 x=0,y=0也是原方程的解。
/5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为：dx dy =-yx y x +-令xy=u 则dx dy =u+x dx du 代入有：-112++u u du=x 1dxln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2xy. 6. xdxdy-y+22y x -=0 解：原方程为：dx dy =x y +xx ||-2)(1x y -》则令xy=u dx dy =u+ x dx du211u - du=sgnxx1dx arcsinxy=sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgy dy =ctgxdx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=xccos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0.所以原方程的通解为sinycosx=c.8 dx dy +ye x y 32+=0 解：原方程为：dx dy =ye y 2e x 3》2 ex3-3e2y -=c.(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程为：dx dy =x y ln xy令xy=u ,则dx dy =u+ x dx duu+ xdx du=ulnu ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+lnxy=cy. 10.dxdy =e yx - 解：原方程为：dxdy =e x e y- ,e y=cex11dxdy =(x+y)2解：令x+y=u,则dx dy =dxdu -1 dx du -1=u 2211u +du=dx arctgu=x+carctg(x+y)=x+c12.dx dy =2)(1y x + 解：令x+y=u,则dx dy =dxdu -1dx du -1=21u、u-arctgu=x+cy-arctg(x+y)=c. 13.dx dy =1212+-+-y x y x 解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dx xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0 dxy-d(y 2-y)-dx 2+x=c xy-y 2+y-x 2-x=c14:dx dy =25--+-y x y x解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dx xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0 ：dxy-d(21y 2+2y)-d(21x 2+5x)=0 y 2+4y+x 2+10x-2xy=c.15: dxdy=(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy 1+ 解：原方程为：dxdy=（x+4y ）2+3令x+4y=u 则dx dy =41dx du -4141dx du -41=u 2+3 dx du =4 u 2+13 u=23tg(6x+c)-1 tg(6x+c)=32(x+4y+1).16:证明方程y x dxdy=f(xy),经变换xy=u 可化为变量分离方程，并由此求下列方程： 1） (2）y(1+x 2y 2)dx=xdy3） y x dx dy =2222x -2 y x 2y +证明： 令xy=u,则x dx dy +y=dxdu 则dx dy =x 1dx du -2x u，有：u x dxdu=f(u)+1)1)((1+u f u du=x1dx所以原方程可化为变量分离方程。
微积分课后题答案习题详解
微积分课后题答案习题详解IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】第二章习题2-11. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞x n +k =a .证：由lim n n x a →∞=，知0ε∀>，1N ∃，当1n N >时，有取1N N k =-，有0ε∀>，N ∃，设n N >时（此时1n k N +>）有 由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞=.2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞x n =a ,则lim n →∞∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明上述结论反之不成立.证：而 n n x a x a -≤- 于是0ε∀>，,使当时，有N n N ∃>n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-<由数列极限的定义得 lim n n x a →∞=考察数列 (1)nn x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞=，所以前面所证结论反之不成立。
3. 利用夹逼定理证明：(1) lim n →∞222111(1)(2)n n n ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭=0； (2) lim n →∞2!n n =0.证：（1）因为222222111112(1)(2)n n n n n n n n n n++≤+++≤≤=+ 而且 21lim0n n →∞=，2lim 0n n→∞=， 所以由夹逼定理，得222111lim 0(1)(2)n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+⎝⎭. （2）因为22222240!1231n n n n n<=<-，而且4lim 0n n →∞=，所以，由夹逼定理得4. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在.(1) x n =11n e +，n =1,2,…；(2) x 1x n +1,n =1,2,…. 证：（1）略。
微积分习题答案上海同济大学数学
微积分习题答案Chapter-3_上海同济大学数学三 1．解：(1) 200000()12()limlimlim.2t t t t s t t t t t v v g v gt tt t∆→∆→∆→∆∆∆+∆==-=-∆∆∆(2)由 00t v v gt =-=有0;v t g =(3)由0t v v gt =-有01(2).2T v g t v ==。
3．求曲线y =x (1-x )在横坐标为1处的切线的斜率。
解：由y '=1-2x 可知当x =1时，y '=-1。
5．解：(1) 2200(0)lim 0,(0)lim 0(0)0;00-+-+→→---'''====⇒=--x x x x y y y x x(2)110(0)lim lim ,(0)lim lim ,0αααα--++++-+→→→→---''==-==--x x x x xxy x y x x x因此，只有当α为有理数且2α≠n m时0(0)lim 0α→'==x y x 成立。
6．解：由于得f (x )在x =0和x =1点处可导，则必然在x =0和x =1点处连续，因此(1) 0(0)(0),lim (e 1)lim ()0;-+-+→→=-=+⇒=xx x f f x a a 即(2) 111sin(1)11(1)(1),limlim 1.11-+-+→→--+-''==⇒=--x x x b x f f b x x 即7．设f (x )在x =0点连续，且0()1lim1x f x x→-=-，(1)求f (0); (2) 问f (x )在x =0点是否可导？解：由于得f (x )在x =0点连续，则0lim ()(0).→=x f x f由0()1lim1x f x x→-=-有：(1) []0()1()1lim lim lim0lim ()10lim ()1→→→→→--⋅=⋅=⇒-=⇒=x x x x x f x f x x x f x f x xx，即f (0)=1;(2) 0()1()(0)limlim1(0) 1.0→→--'==⇒=-x x f x f x f f xx8．解:函数g (x )在x =0点连续,则当x →0时, 存在某个领域U δ(0),在此领域内g (x )是有界量。
(完整版)常微分方程第三版课后习题答案
习题 1.21． dy=2xy, 并满足初始条件： x=0,y=1 的特解。
dx2特解为 y= e x.22. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件： x=0,y=1 的特解。
2dy 1 解： y dx=-(x+1)dy 2 dy=- dx y x 11两边积分 : -=-ln|x+1|+ln|c|y特解： y=ln |c(x 1)|2 3．dy 1 y 2 3dx1 y 2dy=dy=4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=01 y x 1 解：原方程为： dy=- dxyx两边积分： ln|xy|+x-y=c 另外 x=0,y=0 也是原方程的解。
5．( y+x ) dy+(x-y)dx=0y x解： 原方程为：dy =1 y2 dxy两边积分： x(1+x 2)(1+y 2)= 2cx解： dy =2xdxy2 两边积分有： ln|y|=x 2+cx 2cy=e +e =cex另外 y=0 也是原方程的解， c=0 时， y=0原方程的通解为 y= cex 2 ,x=0 y=1 时 c=1y=ln |c(x 1)|另外 y=0,x=-1 也是原方程的解 x=0,y=1 时 c=e3xy x y 13 dxx解：原方程为：dx x yu 1 1- 2du= dxu2 1 x22ln(u +1)x =c-2arctgu即ln(y 2+x 2)=c-2arctg y2.x2dy du=u+ xdx dx1du=sgnx dxxyarcsin =sgnx ln|x|+cx7. tgydx-ctgxdy=0两边积分：1siny=ccosx cosx所以原方程的通解为sinycosx=c.y2 3xdy e8 + =0dx y解：原方程为：dy=dx e y y3x e3x y22 e -3e=c.9.x(lnx-lny)dy-ydx=0解：原方程为：dy=y ln y令y =u 则dy=u+x dudx dx 代入有：6. x dydx-y+ x2y2=0解：原方程为：dy=y+|x|dx x x 1 ( y)x则令y=u x11 u2解: 原方程为：dy dxtgy ctgxln|siny|=-ln|cosx|-ln|c|c另外y=0 也是原方程的解，而c=0 时，y=0.dx x xduu+ x =ulnudxln(lnu-1)=-ln|cx|y1+ln =cy.x10. dy=e x y dx解：原方程为：e y=cexdu 2-1=udx12du=dx1 u2arctgu=x+c arctg(x+y)=x+c解：令x+y=u, 则dy=du-1 dx dx du 1-1=dx -1=u2u-arctgu=x+c y-arctg(x+y)=c.13.dy=2x y 1 dx x 2y 1解: 原方程为： ( x-2y+1 ) dy=(2x-y+1)dx xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0 22 dxy-d(y -y)-dx +x=c22xy-y +y-x -x=cdy x y 5dx x y 2解：原方程为： (x-y-2 ) dy=(x-y+5)dx xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0令y=u ,则dyx dxdu=u+ xdx12.dy=1dx =(x y) 2dy x y=e edx11 dy 2ddyx=(x+y)解：令x+y=u, 则dy du= -1dx dx14:1 2 1 2 dxy-d( y +2y)-d( x +5x)=02222y +4y+x +10x-2xy=c.15: dy=(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy 1 dx解：dy 2原方程为：=( x+4y ) +3dx令x+4y=u 则dy= 1 du- 1dx 4 dx 4 1 du 1 2- =u +34 dx 4du 2=4 u 2+133u= 2tg(6x+c)-12tg(6x+c)= (x+4y+1).316: 证明方程x dy=f(xy), 经变换xy=u 可化为变量分离方程，并由此求下列方程：y dx221) y(1+x y )dx=xdyx dy 2 x 2y2 y dx 2-x 2 y2证明：令 xy=u, 则 x dy+y=du dx dx 则dy=1 du- u2，有：dx x dx x2 x du =f(u)+1 u dx11 du= dx u( f(u) 1) x所以原方程可化为变量分离方程。
常微分方程第三版课后习题答案
1．Dy/dx=2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：dy/y=2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e2x +e c =cex2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0原方程的通解为y= cex2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e2x .2. y2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：y2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y 1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=|)1(|ln 1+x c 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为： y y -1dy=-x x 1+dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c 另外 x=0,y=0也是原方程的解。
7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgy dy =ctgxdx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c|siny=x c cos 1=xc cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c.9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程为：dx dy =x y ln x y 令x y =u ,则dx dy =u+ x dx du u+ x dx du =ulnuln(lnu-1)=-ln|cx|，1+ln x y =cy.10. dx dy =e y x - 解：原方程为：dx dy =e x e y -，e y =ce x 11 dxdy =(x+y)2 解：令x+y=u,则dxdy =dxdu -1，dxdu -1=u2，211u +du=dx ，arctgu=x+c ，arctg(x+y)=x+c12. dx dy =2)(1y x +，解：令x+y=u,则dx dy =dx du -1，dx du -1=21u u-arctgu=x+c ，y-arctg(x+y)=c.13. dx dy =1212+-+-y x y x （x-2y+1）dy=(2x-y+1)dx ，xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0dxy-d(y 2-y)-dx 2+x=， xy-y 2+y-x 2-x=c15: dx dy =(x+1) 2+(4y+1)2+8xy1+解dxdy =（x+4y ）2+3令x+4y=u 则dxdy =41dx du -41，dx du =4 u 2+13，u=23tg(6x+c)-1=tg(6x+c)=32(x+4y+1).，这也就是方程的解。
常微分方程第三版课后答案
常微分方程2.11.xy dxdy2=,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得。
故它的特解为代入得把即两边同时积分得：e e xx y c y x x c y c y xdx dy y22,11,0,ln ,212=====+==,0)1(.22=++dy x dx y 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得：。
故特解是时，代入式子得。
当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当xy c y x y x c y c y x y dy dx x y++=====++=+=+≠=+-1ln 11,11,001ln 1,11ln 0,11123yxy dx dy x y 321++=解：原式可化为：x x y x x yx yx yyxyc c c c x dx x dy y yx ydxdy 2222222232232)1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2111,0111=++=++≠++-=++=+≠+∙+=+）故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然.0;0;ln ,ln ,ln ln 0110000)1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y y dx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：10ln 1ln ln 1ln 1,0ln 0)ln (ln :931:8.cos ln sin ln 07ln sgn arcsin ln sgn arcsin 1sgn 11,)1(,,,6ln )1ln(21111,11,,,0)()(:53322222222222c dx dy dx dy xycy ud uu dx x x y u dx xydy x y ydx dy y x x c dy yy yydx dy c x y tgxdx ctgydy ctgxdy tgydx cx x xycx x u dxx x du xdxdu dxdux u dx dy ux y u x y y dx dy xc x arctgu dxx du u u u dx du x u dxdu xu dx dy ux y u x y x y x y dx dy dx x y dy x y e e e e e e ee x y uu xy x u u x yxyy x xx+===+=+-===-∙-=--+-=-=+-===-=+∙=+∙=∙=--=+===-+=+-=++=++-++=++===+-==-++-+--两边积分解：变量分离：。
微积分第一章课外习题参考答案
p1 4 . 三 .3 .证 明 : 设 M m a x{ f ( x i ) | 1 i n },
m m in{ f ( xi ) | 1 i n}, 则 有 m f ( xi ) M ,1 i n,
p2. 四 . 证明: f (x) f (2a x)
f (2b 2a x) f [2(b a) x] 周期 T 2|b a |.
五 . 证明 f ( x) loga( x x2 1)
loga
x2
1 1
x
loga( x
x2 1)
f ( x).
§1.1, §1.2数列极限(3-4)
ak ).
例如:
lim n 1n 2n 8n 8.
n
p15. 三 .由 导 数 定 义 知 :
1. lim e xh e x . h0 h
tan( x x) 1
2. lim
x 0
x
cos2 x .
p16. 3.解 : 原 式 lim [(1
6
3 x2 6 x1
) ] 6 3 x 2 2
p 4 . 2 . 解 :由 题 意 ,设 P1 P2 1
P1 Pn
1
1 2
1 22
1 23
( 1)n2 2 n2
1 ( 1 )n1 2 2( 1 )n1
2 1 1
2 3
2
lim
n
P1 Pn
2 2( 1 )n1
lim
2
n
3
2 3
p4.3.证明 : { xn }有界, M 0,使得
常微分方程第三版答案.doc
习题1．dxdy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：y dy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1特解为y= e 2x .2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：y 2dx=-(x+1)dy2y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y 1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e特解：y=|)1(|ln 1+x c 3．dx dy =yx xy y 321++ 解：原方程为：dxdy =y y 21+31x x +y y 21+dy=31x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 24. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0解：原方程为：y y -1dy=-x x 1+dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c另外 x=0,y=0也是原方程的解。
5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0解：原方程为：dxdy =-y x y x +- 令x y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -112++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg2xy . 6. x dx dy -y+22y x -=0解：原方程为： dx dy =x y +x x ||-2)(1x y- 则令x y =u dx dy =u+ x dx du211u - du=sgnx x 1dx arcsin x y=sgnx ln|x|+c7. tgydx-ctgxdy=0解:原方程为：tgy dy =ctgx dx两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=x ccos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0.所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e xy 32+=0解：原方程为：dx dy =y e y 2e x32 e x 3-3e 2y -=c.(lnx-lny)dy-ydx=0解：原方程为：dx dy =x y ln x y令x y =u ,则dx dy =u+ x dxdu u+ x dxdu =ulnu ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+ln x y =cy. 10. dxdy =e y x - 解：原方程为：dx dy =e x e y - e y =ce x 11 dxdy =(x+y)2 解：令x+y=u,则dx dy =dxdu -1 dxdu -1=u 2 211u +du=dx arctgu=x+carctg(x+y)=x+c 12.dx dy =2)(1y x + 解：令x+y=u,则dx dy =dxdu -1dx du -1=21uu-arctgu=x+cy-arctg(x+y)=c. 13.dx dy =1212+-+-y x y x 解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dxxdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0dxy-d(y 2-y)-dx 2+x=cxy-y 2+y-x 2-x=c 14:dx dy =25--+-y x y x 解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dxxdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0 dxy-d(21y 2+2y)-d(21x 2+5x)=0y 2+4y+x 2+10x-2xy=c. 15: dxdy =(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy 1+ 解：原方程为：dx dy =（x+4y ）2+3令x+4y=u 则dx dy =41dx du -4141dx du -41=u 2+3dx du=4 u 2+13 u=23tg(6x+c)-1 tg(6x+c)=32(x+4y+1).16:证明方程y x dx dy=f(xy),经变换xy=u 可化为变量分离方程，并由此求下列方程： 1） y(1+x 2y 2)dx=xdy2） y x dx dy =2222x -2y x 2y +证明： 令xy=u,则x dx dy +y=dx du则dx dy =x 1dx du -2x u，有： u x dx du=f(u)+1 )1)((1+u f u du=x 1dx所以原方程可化为变量分离方程。
常微分方程第三版答案
习题1.2 1．dxdy=2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：ydy=2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2x .2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：y 2dx=-(x+1)dy2y dy dy=-11+x dx两边积分: -y1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=|)1(|ln 1+x c3．dx dy =yx xy y 321++ 解：原方程为：dxdy =y y 21+31x x + y y 21+dy=31x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 2 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为：y y -1dy=-xx 1+dx两边积分：ln|xy|+x-y=c 另外 x=0,y=0也是原方程的解。
5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0解：原方程为：dxdy =-y x y x +- 令xy=u 则dx dy =u+x dx du 代入有：-112++u u du=x 1dxln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2xy . 6. xdxdy-y+22y x -=0 解：原方程为：dx dy =x y +xx ||-2)(1x y -则令xy=u dx dy =u+ x dx du211u - du=sgnx x1dxarcsinxy=sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgy dy =ctgxdx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=xccos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c.8 dx dy +ye x y 32+=0 解：原方程为：dx dy =ye y 2e x 32 e x 3-3e 2y -=c.9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程为：dx dy =x y ln xy令xy=u ,则dx dy =u+ x dx duu+ x dxdu=ulnuln(lnu-1)=-ln|cx| 1+ln xy=cy. 10.dxdy=e y x - 解：原方程为：dxdy=e x e y - e y =ce x 11dxdy=(x+y)2 解：令x+y=u,则dx dy =dxdu -1 dx du-1=u 2 211u +du=dx arctgu=x+c arctg(x+y)=x+c 12.dx dy =2)(1y x + 解：令x+y=u,则dx dy =dxdu-1dx du -1=21uu-arctgu=x+c y-arctg(x+y)=c. 13.dx dy =1212+-+-y x y x 解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dx xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0 dxy-d(y 2-y)-dx 2+x=c xy-y 2+y-x 2-x=c14:dx dy =25--+-y x y x 解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dx xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0 dxy-d(21y 2+2y)-d(21x 2+5x)=0 y 2+4y+x 2+10x-2xy=c.15:dxdy=(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy 1+ 解：原方程为：dxdy=（x+4y ）2+3令x+4y=u 则dx dy =41dx du -4141dx du -41=u 2+3 dx du=4 u 2+13 u=23tg(6x+c)-1 tg(6x+c)=32(x+4y+1).16:证明方程y x dxdy=f(xy),经变换xy=u 可化为变量分离方程，并由此求下列方程： 1） y(1+x 2y 2)dx=xdy2） y x dx dy =2222x -2 y x 2y +证明： 令xy=u,则xdx dy +y=dxdu 则dx dy =x 1dx du -2x u，有：u x dxdu=f(u)+1)1)((1+u f u du=x1dx所以原方程可化为变量分离方程。
微积分课后习题答案
微积分课后习题答案微积分课后习题答案微积分是数学中的一门重要学科，它研究的是函数的变化和极限。
在学习微积分的过程中，课后习题是非常重要的一环。
通过做习题，我们可以巩固课堂上所学的知识，提高自己的解题能力。
然而，有时候我们可能会遇到一些难题，无法找到正确的解答。
因此，本文将为大家提供一些微积分课后习题的答案，希望能够帮助大家更好地理解微积分的知识。
一、函数的极限1. 求函数f(x) = (3x^2 + 2x + 1)/(2x^2 + x - 3)当x趋近于2时的极限。
解答：将x代入函数f(x)的表达式中，得到f(2) = (3(2)^2 + 2(2) + 1)/(2(2)^2 +2 - 3) = 13/9。
因此，当x趋近于2时，函数f(x)的极限为13/9。
2. 求函数f(x) = (x^2 - 4)/(x - 2)当x趋近于2时的极限。
解答：将x代入函数f(x)的表达式中，得到f(2) = (2^2 - 4)/(2 - 2) = 0/0。
此时，函数f(x)的极限不存在。
二、导数与微分1. 求函数f(x) = 3x^2 - 4x的导数。
解答：根据导数的定义，导数f'(x) = lim(h→0) [(f(x + h) - f(x))/h]。
将函数f(x)代入该定义中，得到f'(x) = lim(h→0) [(3(x + h)^2 - 4(x + h) - (3x^2 - 4x))/h]。
化简后可得f'(x) = 6x - 4。
2. 求函数f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 4的微分。
解答：微分df(x) = f'(x)dx。
将函数f(x)的导数f'(x)代入该定义中，得到df(x) =(3x^2 - 4x)dx。
三、定积分1. 求函数f(x) = 2x在区间[1, 3]上的定积分。
解答：根据定积分的定义，定积分∫[1, 3] f(x)dx = lim(n→∞) Σ[i=1到n] f(xi)Δx，其中Δx = (b - a)/n，xi为区间[a, b]上的任意一点。
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微积分第三版课后习题答案【篇一：微积分下册练习题(含答案)】> n?1?n的部分和数列?sn?的极限存在是级数?un?1?n收敛的充要条件。
2、判断级数?n?1?nsin32nn的敛散性。
nsin3解：nn?1?n，而limn?1?1，故收敛。
n??n22n2nn23、级数n?1???xn的收敛半径为r?2。
2n4、幂级数?n?1?1?x?3n的收敛区间为?1。
?5、将函数f?x??ln?1?x?展开成x的幂级数是?x?121314x?x?x?234,x???1,1?。
6、微分方程dy?y?sin?x2?c?。
dxx7、求微分方程y??y?e的通解。
解：y?e?dx?exe??dxdx?c??exx?c???????x4?c1x2?c2x?c3。
8、微分方程y????sinx?6x的通解是y??cosx?49、微分方程y???y??2y?e的通解。
2解：特征方程为r?r?2?0，解得r,r2?2，另外特解是y?1??1 ?x1xe， 2从而通解为y?c1e?x1?c2e2x?ex2x10、微分方程y???y?e??x?1?的特解可设为y??ex?ax?b?。
n??11. 级数?un收敛的必要条件是limun?0 .n?112. 交换二次积分的次序?0dy?0f(x,y)dx=?0dx?xf(x,y)dy 13. 微分方程y???4y??4y?2xe2x的特解可以设为y*?x2(ax?b)e2x. 14. 在极坐标系下的面积元素d??rdrd?. 15. 级数?(?1)n?1?n?11y111n32为（ a ）.a.绝对收敛;b. 条件收敛;c.发散;d. 收敛性不确定. 16.幂级数?(?1)n?1?n?nn1的收敛半径为( r? ).3xy17. 设z?sin(x?y)?e,求dz.(?y?)xe解：zx?cosx(?y?)yexy zy?cosxdz?[cosx(?y?)ye?xyxy]d?x[cos?x(y?x)yxedy(?1)n(x?1)n的收敛域. 18.求幂级数?nn?1解 r?1当x?2时收敛当x?0时发散收敛域为(0,2].119.将f(x)?展开为麦克劳林级数. 22?x?x??11?11??解： ??22?x?x3?1?x?x??2?1????2????2分?11?31?x6(1?x)2n3分1?n1??x???x??(?1)n??3n?06n?0?2?5分1??1????1?(?1)nn?1?xn3n?0?2?6分x?17分20. 求微分方程y??2xy?4x在初始条件yx?0?3下的特解.解y?e??2xdx?c??4xexdxx22?5分3分 4分?e?ce?x2[c?2?ed(x2)]?x2?2将yx?0?3代入上式得 c?1所求特解为y?e?x26分?27分【篇二：微积分3习题答案】?3?x)?f(x0)??3a?x?0?x2．函数f?x??xx在点x?0处的导数f?0?? 01．设f(x0)?a，则lim3．根据导数定义，函数f?x??xx?在点x?1处的导数f?1?? 不存在 4．函数f?x??sinx在点x?0处的导数f?0??不存在 5．设函数f(x)?(x?1)(x?2)(x?3)?(x?n)（其中n为正整数），则f(0)?1↑ ?kk?127．设f?x??x2，则f?f?x??? 2xf(x0)?f(x0?2h)?3，则dy|x?x0??9dx 8．设y?f(x)，且limh?06h9．y?x2?e?x，则y(0)? 36．曲线y??1?x?e在点x?0处的切线方程为y? 2x?1 n!xnd2y?1?10．设x?a(t?sint)，y?a(1?cost)，则 dx2a(1?cost)211arcsinx?)dx 11．设0?x?1，则d(xarcsinx)? (2x2?x?x?1?t212．求曲线?在t?2处的切线方程y?8?3(x?5) 3?y?t113．设y?2x?1，则其反函数x?x(y)的导数x?(y)?2dy12arctan4 14．设y?x?1)?arctan2x，则导数在点x?4处的值为 ?dx417115．设需求函数q?a?bp，则边际收益r?q???a?2q?b516．某商品的需求量q与价格p的关系为q?p，则需求量q对价格p的弹性是17．设某商品的需求函数为q?1000?2p，其中p为价格，q为需求量，则该商品的收er1000?2q?益弹性1000?qeq18．某商品的需求函数为q?1000?2p，其中p为价格，q为需求量，则销售该商品的a?2bp边际收益为r?q?? 500?qa?bper?19．某商品的需求量q与价格p之间的关系为q?a?bp，则该商品的收益弹性ep二、单项选择题f(x0?h)?f(x0)?1，则f(x0)为④ 1．设f(x)是可导函数，且limh?02h①1 ②2③－1④－2 2．设f(x)在x?1处可导，且f(1)?2，则limf(1?x)?f(1?x)?③x?0x①1 ②2 ③4 ④33．函数f?x??x在x?0处满足下列哪个结论④3①极限不存在②极限存在，不连续③连续，不可导④可导4．函数f?x?在区间?a,b?内连续是f?x?在?a,b?内可导的②①充分但非必要条件②必要但非充分条件③充分必要条件④既非充分又非必要条件5．设f(x)为奇函数，则其导数f?(x)的奇偶性为②①奇函数②偶函数③非奇非偶④奇偶性不定6．设函数f(x)可导，记g(x)?f(x)?f(?x)，则导数g?x?为①①奇函数②偶函数③非奇非偶④奇偶性不定1①与?x等价的无穷小②与?x同阶的无穷小，但不等价③与?x低阶的无穷小④与?x高阶的无穷小?xx?0?8．函数f(x)??1?e1，在x?0处② x?x?0?0①不连续②连续但不可导③可导，且f(0)?0 ④可导，且f(0)?1 9．设f(x)?xlnx在x0处可导，且f?(x0)?2，则f(x0)? ②7．设函数y?f(x)有f(x0)?①0 ②e ③1④e 10．设e①e2x2x2为f(x)的导函数，则f??(x)?②②2e2x③4e2x ④011．设f?(0)?2，则当x?0时，f(x)?f(0)是x的②①低阶无穷小量②同阶无穷小量③高阶无穷小量④等价无穷小量三、求下列导数或微分dy1．设y?x?x?x，求（dx2．设y??1?2x??1??2x?x?x?2x?x1??） ??xsindy11111，求（） sin?cosdxxx2xx2x3．y?ex?sinx?cosx?，求4．y?x?sinlnx?coslnx?，求dy（2coslnxdx） 5．y??x2，求dy(6．设y?3?x?xx3sin3xyx?0（=2）xdxx?x2)sin3x??） x?1127．设y?x?arctan?ln?x，求y （arctan）xx?11?x?1?x?18．设y?（x?1），求dy（(x?1?x?1)? ????dx）x?1?x?1?2x?12x?1?9．设f(x)?x(x?1)(x?2)?(x?100)，求f?(0)（=100！），求y? （y??3xln3?3x2?xsin3x?3cos3xlnx???xsinxsinx?xcosx?x2cosx10．设y?，求dy （dx） 21?x(1?x)dyxexexx2?ex11．y?，求（）x2dxx?exx?e??x?13x2112．设y?arctan(（|x|?1），求y?（） x?2)?ln?x?11?(x3?2)2x2?16x2??613．设y?x6(x2?1)3(x?2)2，求y?（x6(x2?1)3(x?2)??2??）xx?2x?1??314．设y?(x?1)2x?2(x?2)2(x?1)2x?2?212?，求y? （???x?14(x?2)3(x?2)?） 2??(x?2)1x1?lnx） 2x2xsinx?2sinx?22sinx16．设y?(1?x)，求dy （(1?x)cosxln(1?x)?dx） 2??1?x??2x?y(x2?y2)exy22xy17．由ln(x?y)?e?1确定y是x的函数y(x)，求y?(x)y??? 22xy 2y?x(x?y)e15．设y?x（x?0），求y? （x?1xyex?ey18．已知ye?xe，求y(y)xe?exy?y?xlny?xy19．已知y?x，求y（）xx?ylnx220．已知y?cot(x?y)，求y （sec(x?y)）121．已知y?ln?y?x??0，求y （）y?x?1xy22．由ex2?y2?sin(xy)?5确定y是x的函数y(x)，求y(x)y??2xex2ye2?y2?ycos(xy)?xcos(xy)x2?y223．设函数y?y(x)由方程ln(y?x2)?x3y?sinx确定，求dy（=1） dxx?0dy1?y224．设方程x?y?arctany?0确定了y?y(x)，求（y??） 2dxyay?x225．求由方程x?y?3axy?0（a?0）确定的隐函数y?y(x)的微分dy2dxy?axy26．已知y(x)是由方程siny?xe?0所确家的隐函数，求y?，以及该方程所表示的曲线33ey在点(0,0)处切线的斜率。
（?，?1）cosy?xeyf?27．设y?y(x)由方程y?f[x?g(y)]所确定，其中f和g均可导，求y?（）1?f??g?d2y28．函数y?y(x)由方程e?e?xy?0确定，求dx2xyxyx?0[解] 对方程两边关于x求导，得e?ey??y?xy??0，两边关于x再求导，得ex?eyy?2?eyy???y??y??xy???0d2y又当x?0时，y?0，于是y?(0)?1，故dx2??2x?0?x?e2tcos2tdysin2t?sint?cost29．设?，求（） 22t2dxy?esintcost?sint?cost?30．设y?y(x)由x?(1?s)212和?s2dy） y?(1?s)所确定，试求（?2dx?s122?x?ecos2tdy31．设?，求（=－1） 2dxy?esint??x?etcost2dyet(2sint?cost)32．设?，求（） 222tdxy?esintcost?2tsint??x?e2tdy3t?033．若参数方程为?，求在时的值。
（） 2dx2?y?t?3t?2?x?2sin3td2yet(cos3t?3sin3t)34．设?，求（） t3236cos3tdx?y?e?ln2?x?e?td2y35．设?，求（（3?2t)e3t） t2dx?y?te?x?e2t1?4t3?5td2y?e?e） 36．设?，求（?t224dx?y?t?e?x?t?sint?2d2y37．设曲线方程为?，求此曲线在点x?2处的切线方程，及 2dx?y?t?cost[解] 当x?2时，t?0，y?1，dy1?sintdy1?，?， dx1?costdxt?021d2yd?dy?1sint?cost?1??? 切线方程：y?1?(x?2)； ??2dx2dt?dx?dx(1?cost)3dt38．设y?(1?x)(2?3x)2(4?5x)3，求y(5)(0) （=63900）四、应用题1．设生产某商品的固定成本为20000元，每生产一个单位产品，成本增加100元，总收益12x（假设产销平衡），试求边际成本、边际收益及边际利润。