线性规划的概念及图解法
管理运筹学第二章 线性规划的图解法
B、约束条件不是等式的问题：
若约束条件为 ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn ≤ bi 可以引进一个新的变量si ，使它等于约束右 边与左边之差 si=bi–(ai1 x1 + ai2 x2 + … + ain xn ) 显然，si 也具有非负约束，即si≥0， 这时新的约束条件成为 ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn+si = bi
第二章 线性规划 的图解法
一、线性规划的概念 二、线性规划问题的提出 三、线性规划的数学模型 四、线性规划的图解法 五、线性规划解的情况 六、LP图解法的灵敏度分析
一、线性规划的概念
线性规划Linear Programming 简称LP，是一 种解决在线性约束条件下追求最大或最小的 线性目标函数的方法。 线性规划的目标和约束条件都可以表示成线 性的式子。
max z 3 x1 2 x2
2 x1 x2 ≤ 10 设备B台时占用 s.t. x1 x2 ≤ 8 x , x ≥ 0 产量非负 1 2
决策变量 （decision variable） 目标函数 （objective function） 约束条件 （subject to）
-ai1
x1-ai2 x2- … -ain xn = -bi 。
例1.3：将以下线性规划问题转化为标准形式 Min f = 3.6 x1 - 5.2 x2 + 1.8 x3 s. t. 2.3 x1 + 5.2 x2 - 6.1 x3 ≤15.7 4.1 x1 + 3.3 x3 ≥8.9 x1 + x2 + x3 = 38 x 1 , x 2 , x3 ≥ 0
线性规划(图解法)
D
max Z
可行域
（7.6，2） ， ）
34.2 = 3X1+5.7X2
X1 + 1.9X2 = 3.8(≥) X1 - 1.9X2 = 3.8 (≤) L0： 0=3X1+5.7X2
oபைடு நூலகம்
x1
图解法
min Z=5X1+4X2 x2
X1 + 1.9X2 = 10.2 (≤)
Page 18
43=5X1+4X2 8=5X1+4X2 此点是唯一最优解 （0，2） ， ）
图解法
线性规划问题的求解方法 一般有 两种方法 图解法 单纯形法 两个变量、 两个变量、直角坐标 三个变量、 三个变量、立体坐标
Page 1
适用于任意变量、 适用于任意变量、但必需将 一般形式变成标准形式
下面我们分析一下简单的情况—— 下面我们分析一下简单的情况—— 只有两个决策 变量的线性规划问题， 变量的线性规划问题，这时可以通过图解的方法来 求解。图解法具有简单、直观、 求解。图解法具有简单、直观、便于初学者窥探线 性规划基本原理和几何意义等优点。 性规划基本原理和几何意义等优点。
• 有效与无效 紧与松)约束：与最优解相关的约束为有效 有效与无效(紧与松 约束 紧与松 约束： (紧)约束。 紧 约束 约束。 • 最优解：总是在可行域的边界上，一般由可行域的顶 最优解：总是在可行域的边界上， 点表示。 点表示。 • 可行域：由约束平面围起来的凸多边形区域，可行域 可行域：由约束平面围起来的凸多边形区域， 个可行解。 内的每一个点代表一 个可行解。
20
无可行解(即无最优解 无可行解 即无最优解) 即无最优解
10
O
10
第一章 线性规划
例 1.5 （汽油混合问题） 一种汽油的特性可用两个指标描述：其点火性用“辛烷数” 描述，其挥发性用“蒸汽压力”描述，某炼油厂有四种标准汽油，设其标号分别为 1，2， 3，4，其特性及库存量见表 1.5，将上述标准汽油适量混合，可得到两种飞机汽油，其标 号分别为 1，2，这两种飞机汽油的性能指标及产量需求见表 1.6，问应如何根据库存情况 适量混合各种标准汽油，使既满足飞机汽油的性能指标，而产量又为最高。
注：前苏联的尼古拉也夫斯克城住宅兴建计划采用了上述模型，共用了 12 个变量，10 个约束条件。
表 1.2 资源 住宅体系 砖混住宅 壁板住宅 大模住宅 资源限量 造价 (元/m2) 105 135 120 110000 (千元 钢材 (公斤/m2) 12 30 25 20000 (吨) 例 1.2 的数据表 水泥 (公斤/m2) 110 190 180 150000 (吨) 砖 (块/m2) 210 —— —— 147000 (千块) 人工 (工日/m2) 4.5 3.0 3.5 4000 (千工日)
3．线性规划模型的一般形式 以 MAX 型、≤约束为例 决策变量： x1 ,
(1-4)
, xn
目标函数： Maxz = c1 x1 +
+ cn x n
⎧a11 x1 + + a1n x n ≤ b1 ⎪ ⎪ 约束条件： s.t.⎨ ⎪a m1 x1 + + a mn x n ≤ bm ⎪ ⎩ x1 , , x n ≥ 0
2
Maxz = x1 + x 2 + x3 ⎧0.105 x1 + 0.135 x 2 + 0.120 x3 ≤ 110000 ⎪0.012 x1 + 0.030 x 2 + 0.025 x3 ≤ 20000 数学模型为: ⎪0.110 x1 + 0.190 x 2 + 0.180 x 3 ≤ 150000 (1-3) s.t ⎨ 0.210 x ≤ 147000 ⎪0.00451 x + 0.003x 2 + 0.0035 x 3 ≤ 4000 ⎪x , x , x 1 ≥ 0 ⎩ 1 2 3
第一章线性规划-模型和图解法
a22 am2
a1n
a2n amn
(P1,
P2 ,
, Pn )
用向量表示时，上述模型可写为：
max(min)Z CX
s.t
n j 1
Pj x j
(, )b
X 0
线性规划问题可记为矩阵和向量的形式：
max(min)Z CX
s.t
AX
X
(, )b 0
max(min)Z CX
x21 x23
x14
x23
x32
x41
xij 0(i 1, ,4;
15
x22 x31 12
x23 x32
j 1, ,4)
10 20
二。线性规划问题的数学模型 下面从数学的角度来归纳上述三个例子的共同点。 ①每一个问题都有一组变量---称为决策变量，一般记为
x1, x2 , , xn. 对决策变量每一组值：(x1(0) , x2(0) , xn(0) )T 代表了
表1-3
月份
12
所需仓库面积 15 10
单位：100m2
34 20 12
合同租借期限 合同期内的租费
表1-4
单位；元/100m2
1个月 2个月 3个月 4个月
2800 4500 6000 7300
表1-2
月份
12
所需仓库面积 15 10
单位：100m2
34 20 12
合同租借期限 合同期内的租费
max(min) Z c1x1 c2 x2 cn xn
a11x1 a12 x2 a1n xn (, )b1
s.t
a21x1
a22 x2
a2n xn
(, )b2
am1x1 am2 x2 amnxn (, )bm
第1.2节 线性规划问题的图解法
x1 20 * x 2 100
* * z 1240
27
2 规划问题求解的几种可能结果
2）无穷多最优解
max z 12 x1 8 x2 2 x1 x2 160 1 1 x1 x2 40 3 3 3 x1 2 x2 260 x1 , x2 0
max z 12 x1 10 x2 2 x1 x2 160 1 1 x x2 40 1 3 3 3 x1 2 x2 260 x1 , x2 0
23
x2 160 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0
max z 12 x1 10 x2 2 x1 x2 160 1 1 x1 x2 40 3 3 3 x1 2 x2 260 x1 , x2 0
工序 花瓶种类 占用材料 （盎司） 艺术加工 （小时） 储存空间 （一单位） 利润值 （元）
大花瓶
1/3x1+1/3x2=40 (60,40)
x1
22
160 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 图1 花瓶问题的图解法
图解法的基本步骤：
（4）确定最优解。最优解是可行域中使目标
函数值达到最优的点，当目标函数直线由原点 开始沿法线方向向右上方移动时，z 值开始增 大，一直移到目标函数直线与可行域相切时为 止，切点即为最优解。
18
图解法的基本步骤：
（3）作出目标函数。由于
z 是一个待求的目 标函数值，所以目标函数常用一组平行虚线表 示，离坐标原点越远的虚线表示的目标函数值 越大。
管理运筹学第二章线性规划的图解法
02
图解法的基本原理
图解法的概念
图解法是一种通过图形来直观展示线性规划问题解的方法。它通过在坐标系中绘 制可行域和目标函数，帮助我们理解问题的结构和最优解的位置。
图解法适用于线性规划问题中变量和约束条件较少的情况，能够直观地展示出最 优解的几何意义。
图解法的步骤
确定决策变量和目标函数
明确问题的决策变量和目标函数，以便在图 形中表示。
目标函数是要求最小化或最大化的函数，通常表示为 $f(x) = c_1x_1 + c_2x_2 + ldots + c_nx_n$。
04
约束条件是限制决策变量取值的条件，通常表示为 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n leq b$或 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n = b$。
LINDO是一款开源的线性规划求解器，用 户可以免费使用。
软件工具的使用方法
Excel
用户需要先在Excel中设置好线性规划模型，然后使 用“数据”菜单中的“规划求解”功能进行求解。
Gurobi/CPLEX/LINDO
这些软件通常需要用户先在软件界面中输入线性规划 模型，然后通过点击“求解”按钮进行求解。
实例三：分配问题
总结词
分配问题是指如何根据一定的分配原则 或目标，将有限的资源分配给不同的需 求方，以最大化整体效益。
VS
详细描述
分配问题在实际生活中广泛存在，如物资 分配、任务分配等。通过图解法，可以将 分配问题转化为线性规划模型，并利用图 形直观地展示最优解的资源分配方案。在 分配问题中，通常需要考虑不同需求方的 重要性和优先级，以及资源的有限性等因 素，以实现整体效益的最大化。
第1章 2 线性规划问题的图解法
其中c 令 Z=2x1+3x2=c, 其中c为任选的一个常 数 ， 在图中画出直线 2x1+3x2=c, 即对应着一 组可行的生产结果， 组可行的生产结果，使两种产品的总利润达到 c。 。 这样的直线有无数条， 且相互平行， 这样的直线有无数条 ， 且相互平行 ， 称 只要画两条 这样的直线为目标函数等值线。只要画两条 目标函数等值线 等值线， 目标函数等值线，如令 x2 c＝0和c=6，可看出目 ＝ 和 ，可看出目
x2
4x1 ≤ 16 C D
| 1 | 2 | 3 | 4
4 x2 ≤ 16
最优解 (4, 2)
x1 + 2x2 ≤ 8
| 6 | 7 | 8 | 9
A
0
E
| 5
x1
图解法求解步骤
由全部约束条件作图求出可行域； 由全部约束条件作图求出可行域； 作目标函数等值线，确定使目标函数 作目标函数等值线， 最优的移动方向； 最优的移动方向； 平移目标函数的等值线，找出最优点， 平移目标函数的等值线，找出最优点， 算出最优值。 算出最优值。
练习1答案
max z=x1+3x2 s.t. x1+ x2≤6 -x1+2x2≤8 x1 ≥0, x2≥0
x2 6
最优解（4/3，14/3）
4
可行域
-8 0
目标函数等值线
6
x1
练习2 某公司由于生产需要，共需要A， 练习 ：某公司由于生产需要，共需要 ， B两种原料至少 两种原料至少350吨（A，B两种材料有 两种原料至少 吨 ， 两种材料有 一定替代性），其中A原料至少购进 ），其中 原料至少购进125 一定替代性），其中 原料至少购进 但由于A， 两种原料的规格不同 两种原料的规格不同， 吨。但由于 ，B两种原料的规格不同， 各自所需的加工时间也是不同的， 各自所需的加工时间也是不同的，加工每 原料需要2个小时 吨A原料需要 个小时，加工每吨 原料需 原料需要 个小时，加工每吨B原料需 小时， 个加工小时。 要1小时，而公司总共有 小时 而公司总共有600个加工小时。 个加工小时 又知道每吨A原料的价格为 万元，每吨B 原料的价格为2万元 又知道每吨 原料的价格为 万元，每吨 原料的价格为3万元 万元， 原料的价格为 万元，试问在满足生产需 要的前提下，在公司加工能力的范围内， 要的前提下，在公司加工能力的范围内， 如何购买A， 两种原料 两种原料， 如何购买 ，B两种原料，使得购进成本 最低？ 最低？
第二章线性规划的图解法
➢ 答案：
X2 ➢ 最优解为： x1 ＝15 ，x2＝10 40 ➢ 最优值为：z*＝2500×15+1500×10
➢
30
＝52500
3x2＝75
20
（15，10）
10
O
10
20
30
40
50 X1
3x1+2x2＝65
2x1+x2＝40
五、线性规划问题解的情况
➢ 例1.5的最优解只有一个，这是线性规划问题 最一般的解的情况，但线性规划问题解的情 况还存在其它特殊的可能：无穷多最优解、 无界解或无可行解。
... am1x1+am2x2 +…+amnxn≤( =, ≥ )bm x1 ，x2 ，… ，xn ≥ ( ≤) 0 或无约束
xj为待定的决策变量； cj为目标函数系数，或价值系数、费用系数； aij为技术系数； bj为资源常数，简称右端项； 其中i＝1，2，…m； j＝1，2，…n
可以看出，一般LP模型的特点： A、决策变量x1，x2，x3，……xn表示要寻求
O
100 200 300
X1
3、无界解的情况
➢若将例1.5的线性规划模型中约束条件1、2的 不等式符号改变，则线性规划模型变为：
➢ 目标函数：Max z= 50x1+100 x2 约束条件：x1+x2 ≥ 300 2x1+x2 ≥ 400 x2≤250 x1 ≥0， x2 ≥0
B、定义决策变量；
C、用决策变量的线性函数形式写出所要追求 的目标，即目标函数；
D、用一组决策变量的等式或不等式来表示在 解决问题过程中所必须遵循的约束条件。
三、线性规划的数学模型
1、LP模型的一般形式 目标函数：
7-线性规划的概念及图解法
分析： 分析：
规格/ 规格/ m 2.9 2.1 1.5 合计/ m 合计/ 料头/ 料头/ m 下料方案 方案 Ⅱ Ⅲ 2 0 0 2 1 2 7.3 7.2 0.1 0.2
Ⅰ 1 0 3 7.4 0
Ⅳ 1 2 0 7.1 0.3
Ⅴ 0 1 3 6.6 0.8
解：设第一种下料方式用掉x1根管料； 第一种下料方式用掉x 根管料； 下料方式用掉
数学模型为： 数学模型为：
min S = x + x + x + x + x
1 2 3 4 1 2 4 5
x + 2 x + x ≥ 100 2 x + 2 x + x ≥ 100 3 x + x + 2 x + 3 x ≥ 100 x ≥ 0, 整数（i = 1, 2, 3,4,5）
2
A z=10000=50x1+100x2
B C z=27500=50x1+100x2 z=20000=50x1+100x2 D
z=0=50x1+100x2
E
x1
图2-2
• 重要结论 ： 重要结论1：
– 当线性规划问题的可行域非空时，它是 当线性规划问题的可行域非空时， 有界或无界的凸多边形（凸集） 有界或无界的凸多边形（凸集）; – 如果线性规划有最优解，则一定有一个 如果线性规划有最优解， 可行域的顶点对应一个最优解； 可行域的顶点对应一个最优解； – 无穷多个最优解。若将例 中的目标函 无穷多个最优解。若将例1中的目标函 数变为max z=50x1+50x2，则线段 则线段BC 数变为 上的所有点都代表了最优解； 上的所有点都代表了最优解；
第二章 线性规划的图解法(简)
第二节 图解法
在线性规划中，对一个约束条件中没使用的资源或能力的大小称 之为松弛量。记为Si。
第二节 图解法
像这样把所有的约束条件都写成等式 ，称为线性规划模型的标准化，所得结果 称为线性规划的标准形式。
第二节 图解法
同样对于≥约束条件中，可以增加一些代表
最低限约束的超过量，称之为剩余变量，把≥约
第二章 线性规划的图解法
主要内容：
§1 问题的提出 （什么是线性规划） §2 图解法 §3 图解法的灵敏度分析
重点和难点
重点： （1）线性规划问题的主要概念 （2）线性规划问题的数学模型 （3）线性规划图解法的过程 （4）阴影价格的定义和灵敏度分析 难点： 灵敏度分析
第一节 问题的提出
约束条件对偶价格小于零时，约束条件
右边常数增加一个单位，就使得最优目
标函数值减少一个其对偶价格。
第三节 图解法的灵敏度分析
对目标函数值求最小值的情况下， 当对偶价格大于零时，约束条件右边常数增加 一个单位就使其最优目标函数值减少一个其对 偶价格； 当对偶价格等于零时，约束条件右边常数增加 一个单位，并不影响其最优目标函数值； 当对偶价格小于零时，约束条件右边常数增加 一个单位，就使得其最忧目标函数值增加一个 其对偶价格。
具有上述3个特征的问题为线性规划问题。
第一节 问题的提出
我们的仸务就是要选择一组或多组方案，使目
标函数值最大或最小。从选择方案的角度说，
这是规划问题。从使目标函数值最大或最小的
角度说，就是优化问题。
线性规划数学模型的一般表示方式
max(min) f ( x) c1 x1 c2 x2 cn xn a11 x1 a12 x2 a1n xn a x a x a x 21 1 22 2 2n n s.t. a x a x a x m2 2 mn n m1 1 x1 , x2 , , xn n : 变量个数 ; m : 约束行数 ; n m : 线性规划问题的规模 c j : 价值系数 ; b j : 右端项; aij : 技术系数 (, )b1 (, )b2 (, )bm 0
第一章--线性规划及图解法
x1 - 1.9 x2 = -3.8
(0,2)
D
x1 - 1.9 x2 = 3.8
（7.6,2） ） 34.2 = 3 x1 +5.7 x2
可行域
max Z (3.8,0) min Z
o
0=3 x1 +5.7 x2
x1 + 1.9 x2= 3.8
x1
第一章
线性规划及单纯形法
可行域为无界 区域一定无最 优解吗？ 优解吗？
O A
x1
§2 线性规划问题的图解法
由以上两例分析可得如下重要结论： 由以上两例分析可得如下重要结论：
1、LP 问题从解的角度可分为： 、 问题从解的角度可分为：
a. 有唯一最优解
⑴ 有可行解 b. 有无穷多最优解
C. 无最优解
⑵ 无可行解 2、LP 问题若有最优解，必在可行域的某个顶点上取 、 问题若有最优解，
§1 线性规划问题及其数学模型 特点： 特点：
线性规划问题的标准形式：
1、目标函数为极
max z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn s.t. a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2 …… am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm xj ≥ 0 （j = 1,2,…,n） bi ≥ 0 （i = 1,2,…,m）
若有两个顶点上同时取到， 到；若有两个顶点上同时取到，则这两点的连线上 任一点都是最优解。 任一点都是最优解。
§2 线性规划问题的图解法
图解法优点： 图解法优点： 直观、易掌握。有助于了解解的结构。 直观、易掌握。有助于了解解的结构。 图解法缺点： 图解法缺点： 只能解决低维问题，对高维无能为力。 只能解决低维问题，对高维无能为力。
第二章 线性规划的图解法
AB
z
C
D
z=0=50x1+100x2
E
x1
图2-2
12
❖ 目标函数：Maxz = 50 x1 + 100 x2
❖ 约束条件：s.t. x1 + x2 ≤ 300
❖
2 x1 + x2 ≤ 400
❖
x2 ≤ 250
❖
x1 , x2 ≥ 0
❖最优解： x1 =50 x2 = 250
❖例2：某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ 两种产品，已知生产单位产品所需的设备台
- (c1 / c2 ) ， 当 -1 - (c1 / c2 ) 0 （*） 时，原最优解仍是最优解。
❖假设产品Ⅱ的利润100元不变，即 c2 = 100，代到式（*）并整理得 0 c1 100
❖假设产品Ⅰ的利润 50 元不变，即 c1 = 50 ，代到式（*）并整理得 50 c2 +
▪ 4.无可行解。若在例1的数学模型中 再增加一个约束条件4x1+3x2≥1200， 则可行域为空域，不存在满足约束条 件的解，当然也就不存在最优解了。
例3.某公司由于生产需要，共需要A，B两种原料至 少350吨（A，B两种材料有一定替代性），其中A原 料至少购进125吨。但由于A，B两种原料的规格不同 ，各自所需的加工时间也是不同的，加工每吨A原料 需要2个小时，加工每吨B原料需要1小时，而公司总 共有600个加工小时。又知道每吨A原料的价格为2万 元，每吨B原料的价格为3万元，试问在满足生产需 要的前提下，在公司加工能力的范围内，如何购买A ，B两种原料，使得购进成本最低？
❖-ai1 x1-ai2 x2- … -ain xn = -bi。
管理运筹学 线性规划的图解法课件
线性规划的应用领域
生产计划
线性规划可以用于制定生产计划，优 化资源配置，提高生产效率。
物流优化
线性规划可以用于优化物流配送路线 、车辆调度等问题，降低运输成本。
金融投资
线性规划可以用于金融投资组合优化 ，实现风险和收益的平衡。
资源分配
线性规划可以用于资源分配问题，如 人员、资金、设备等资源的合理分配 ，提高资源利用效率。
束条件。
线性规划的目标是在满足一系列 限制条件下，使某一目标函数达
到最优值。
线性规划问题通常表示为求解一 组变量的最优值，使得这些变量 满足一系列线性等式或不等式约
束。
线性规划的数学模型
线性规划的数学模型由决策变量、目标函数和约束条 件三部分组成。
输标02入题
决策变量是问题中需要求解的未知数，通常表示为 $x_1, x_2, ldots, x_n$。
01
03
约束条件是限制决策变量取值的条件，通常表示为 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n leq b$或 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n = b$。
04
目标函数是问题要优化的函数，通常表示为$f(x) = c_1x_1 + c_2x_2 + ldots + c_nx_n$。
03
绿色发展与线性规 划的结合
将可持续发展理念融入线性规划 ，实现资源节约、环境友好的发 展目标。
THANKS
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约束条件
生产计划问题通常受到资源限制、市场需求和生 产能力等约束条件的限制。
详细描述
生产计划问题通常涉及到如何分配有限的资源， 以最大化某种目标函数（如利润）。通过图解法 ，我们可以将约束条件和目标函数在二维平面上 表示出来，从而找到最优解。
高考数学必修五 第三章 3.3.2 第1课时线性规划的有关概念及图解法
3.3.2 简单的线性规划问题第1课时 线性规划的有关概念及图解法学习目标 1.了解线性规划的意义.2.理解约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.3.掌握线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题.引例 已知x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤8，4x ≤16，4y ≤12，x ≥0，y ≥0.①该不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，求2x ＋3y ②的最大值.以此为例，尝试通过下列问题理解有关概念. 知识点一 线性约束条件及目标函数1.在上述问题中，不等式组①是一组对变量x ，y 的约束条件，这组约束条件都是关于x ，y 的一次不等式，故又称线性约束条件.2.在上述问题中，②是要研究的目标，称为目标函数.因为它是关于变量x ，y 的一次解析式，这样的目标函数称为线性目标函数. 知识点二 线性规划问题一般地，在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题. 知识点三 可行解、可行域和最优解满足线性约束条件的解(x ，y )叫做可行解.由所有可行解组成的集合叫做可行域.其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做线性规划问题的最优解.在上述问题的图中，阴影部分叫可行域，阴影区域中的每一个点对应的坐标都是一个可行解，其中能使②式取最大值的可行解称为最优解.1.可行域内每一个点都满足约束条件.(√)2.可行解有无限多个，最优解只有一个.(×)3.不等式Ax ＋By ＋C >0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方.(×)类型一 最优解问题命题角度1 问题存在唯一最优解例1 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤8，4x ≤16，4y ≤12，x ≥0，y ≥0，该不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，求2x ＋3y 的最大值.考点 线性目标最优解 题点 求线性目标函数的最值解 设区域内任一点P (x ，y )，z ＝2x ＋3y ， 则y ＝－23x ＋z3，这是斜率为－23，在y 轴上的截距为z3的直线，如图.由图可以看出，当直线y ＝－23x ＋z 3经过直线x ＝4与直线x ＋2y －8＝0的交点M (4,2)时，截距z3的值最大，此时2x ＋3y ＝14.反思与感悟 图解法是解决线性规划问题的有效方法，基本步骤(1)确定线性约束条件，线性目标函数； (2)作图——画出可行域；(3)平移——平移目标函数对应的直线z ＝ax ＋by ，看它经过哪个点(或哪些点)时最先接触可行域或最后离开可行域，确定最优解所对应的点的位置；(4)求值——解有关的方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值. 跟踪训练1 已知1≤x ＋y ≤5，－1≤x －y ≤3，求2x －3y 的取值范围. 考点 线性目标最优解 题点 求线性目标函数的最值解 作出二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋y ≤5，－1≤x －y ≤3所表示的平面区域(如图阴影部分所示)即为可行域.设z ＝2x －3y ，变形得y ＝23x －13z ，则得到斜率为23，且随z 变化的一组平行直线.－13z 是直线在y 轴上的截距， 当直线截距最大时，z 的值最小， 由图可知，当直线z ＝2x －3y 经过可行域上的点A 时，截距最大， 即z 最小.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－1，x ＋y ＝5，得A 点坐标为(2,3)，∴z min ＝2x －3y ＝2×2－3×3＝－5.当直线z ＝2x －3y 经过可行域上的点B 时，截距最小， 即z 最大.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝3，x ＋y ＝1，得B 点坐标为(2，－1).∴z max ＝2x －3y ＝2×2－3×(－1)＝7.∴－5≤2x －3y ≤7，即2x －3y 的取值范围是[－5,7]. 命题角度2 问题的最优解有多个例2 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋y 的最大值有无数个最优解，求实数a 的值.考点 线性规划中的参数问题 题点 无数个最优解问题解 约束条件所表示的平面区域如图(阴影部分)，由z ＝ax ＋y ，得y ＝－ax ＋z .当a ＝0时，最优解只有一个，过A (1,1)时取得最大值；当a ＞0，y ＝－ax ＋z 与x ＋y ＝2重合时，最优解有无数个，此时a ＝1； 当a <0，y ＝－ax ＋z 与x －y ＝0重合时，最优解有无数个，此时a ＝－1. 综上，a ＝1或a ＝－1.反思与感悟 当目标函数取最优解时，如果目标函数与平面区域的一段边界(实线)重合，则此边界上所有点均为最优解.跟踪训练2 给出平面可行域(如图阴影部分所示)，若使目标函数z ＝ax ＋y 取最大值的最优解有无穷多个，则a 等于( )A.14B.35C.4D.53考点 线性规划中的参数问题 题点 无数个最优解问题 答案 B解析 由题意知，当直线y ＝－ax ＋z 与直线AC 重合时，最优解有无穷多个，则－a ＝5－21－6＝－35，即a ＝35，故选B.类型二 生活中的线性规划问题例3 营养专家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075 kg 的碳水化合物，0.06 kg 的蛋白质，0.06 kg 的脂肪.1 kg 食物A 含有0.105 kg 碳水化合物，0.07 kg 蛋白质，0.14 kg 脂肪，花费28元；而1 kg 食物B 含有0.105 kg 碳水化合物，0.14 kg 蛋白质，0.07 kg 脂肪，花费21元.为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A 和食物B 各多少kg? 将已知数据列成下表：考点 实际生活中的线性规划问题 题点 线性规划在实际问题中的应用解 设每天食用x kg 食物A ，y kg 食物B ，总成本为z ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 0.105x ＋0.105y ≥0.075，0.07x ＋0.14y ≥0.06，0.14x ＋0.07y ≥0.06，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋7y ≥5，7x ＋14y ≥6，14x ＋7y ≥6，x ≥0，y ≥0.目标函数为z ＝28x ＋21y .作出二元一次不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分所示，把目标函数z ＝28x ＋21y 变形为y ＝－43x ＋z21，它表示斜率为－43，且随z 变化的一族平行直线，z21是直线在y 轴上的截距，当截距最小时，z 的值最小.由图可知，当直线z ＝28x ＋21y 经过可行域上的点M 时，截距最小，即z 最小.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋7y ＝5，14x ＋7y ＝6，得M 点的坐标为⎝⎛⎭⎫17，47. 所以为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A 17 kg ，食物B 47 kg.反思与感悟 (1)目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)在y 轴上的截距zb 是关于z 的正比例函数，其单调性取决于b 的正负.当b >0时，截距z b 越大，z 就越大；当b <0时，截距zb 越小，z 就越大.(2)求解的最优解，和目标函数与边界函数的斜率大小有关.跟踪训练3 某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，集装箱的体积、重量、可获利润和托运能力等限制数据列在下表中，那么为了获得最大利润，甲、乙两种货物应各托运的箱数为________.考点 生活实际中的线性规划问题题点 线性规划在实际问题中的应用 答案 4,1解析 设甲、乙两种货物应各托运的箱数为x ，y ，则⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ≤24，2x ＋5y ≤13，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N .目标函数z ＝20x ＋10y ，画出可行域如图阴影部分所示.由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝13，5x ＋4y ＝24，得A (4,1). 易知当直线z ＝20x ＋10y 平移经过点A 时，z 取得最大值，即甲、乙两种货物应各托运的箱数分别为4和1时，可获得最大利润.1.若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则x ＋2y 的最大值是( )A.－52B.0C.53D.52考点 线性目标最优解 题点 求线性目标函数的最值答案 C解析 画出可行域如图阴影部分(含边界)所示.设z ＝x ＋2y ，即y ＝－12x ＋12z ，平行移动直线y ＝－12x ＋12z ，当直线y ＝－12x ＋z 2过点B ⎝⎛⎭⎫13，23时，z 取最大值53，所以(x ＋2y )max ＝53. 2.设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为( )A.6B.7C.8D.23 考点 线性目标最优解 题点 求线性目标函数的最值 答案 B解析 作出可行域如图阴影部分(含边界)所示.由图可知，z ＝2x ＋3y 经过点A (2,1)时，z 有最小值，z 的最小值为7.3.在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为( )A.－3B.3C.－1D.1 考点 线性规划中的参数问题 题点 无数个最优解问题答案 A解析 －1a ＝2－14－1＝13，∴a ＝－3.4.设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1，则目标函数z ＝3x －y 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－32，6 B.⎣⎡⎦⎤－32，－1 C.[－1,6]D.⎣⎡⎦⎤－6，32 考点 线性目标最优解 题点 求目标函数的取值范围 答案 A解析 作出不等式表示的平面区域，如图阴影部分(含边界)所示，由z ＝3x －y ，可得y ＝3x －z ，则－z 为直线y ＝3x －z 在y 轴上的截距，截距越大，z 越小，结合图形可知，当直线y ＝3x －z 平移到B 时，z 最小，平移到C 时，z 最大，可得B ⎝⎛⎭⎫12，3，z min ＝－32，C (2,0)，z max ＝6，∴－32≤z ≤6. 5.给出平面区域如图阴影部分所示，若使目标函数z ＝ax ＋y (a >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为________.考点 线性规划中的参数问题 题点 无数个最优解问题 答案 35解析 将z ＝ax ＋y 变形，得y ＝－ax ＋z .当它与直线AC 重合时，z 取最大值的点有无穷多个. ∵k AC ＝－35，∴－a ＝－35，即a ＝35.1.用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤(1)寻找线性约束条件，线性目标函数；(2)作图——画出约束条件(不等式组)所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线l ；(3)平移——将直线l 平行移动，以确定最优解所对应的点的位置；(4)求值——解有关的方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值.2.作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解.3.在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意义，利用数形结合方法可迅速解决相关问题.一、选择题1.若点(x ，y )位于曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域内，则2x －y 的最小值为( ) A.－6 B.－2 C.0 D.2 考点 线性目标最优解 题点 求线性目标函数的最值 答案 A解析 如图，曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域如图中阴影部分(含边界)所示，令z ＝2x －y ，则y ＝2x －z ，作直线y ＝2x ，在封闭区域内平行移动直线y ＝2x ，当经过点A (－2,2)时，z 取得最小值，此时z ＝2×(－2)－2＝－6. 2.若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，x －y ＋1≥0，则x ＋y 的最大值为( )A.9B.157C.1D.715考点 线性目标最优解 题点 求线性目标函数的最值 答案 A解析 画出可行域如图阴影部分(含边界)所示，令z ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋z .当直线y ＝－x ＋z 过点A 时，z 最大.由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －3＝0，x －y ＋1＝0，得A (4,5)，∴z max ＝4＋5＝9.3.设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则目标函数z ＝y －2x 的最小值为( )A.－7B.－4C.1D.2 考点 线性目标最优解 题点 求线性目标函数的最值 答案 A解析 可行域如图阴影部分(含边界)所示，令z ＝0，得直线l 0：y －2x ＝0，平移直线l 0知， 当直线l 0过D 点时，z 取得最小值.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3，x －y －2＝0，得D (5,3). ∴z min ＝3－2×5＝－7，故选A.4.设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x －5y ＋10≤0，x ＋y －8≤0，则目标函数z ＝3x －4y 的最大值和最小值分别为( )A.3，－11B.－3，－11C.11，－3D.11,3考点 线性目标最优解 题点 求线性目标函数的最值 答案 A解析 作出可行域如图阴影部分(含边界)所示，由图可知z ＝3x －4y 经过点A 时，z 有最小值，经过点B 时，z 有最大值.易求得A (3,5)，B (5,3).∴z max ＝3×5－4×3＝3，z min ＝3×3－4×5＝－11. 5.已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a 等于( )A.14B.12C.1D.2 考点 线性规划中的参数问题 题点 线性规划中的参数问题 答案 B解析 作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分(含边界)所示.易知直线z ＝2x ＋y 过交点B 时，z 取最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝a (x －3)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2a ，∴z min ＝2－2a ＝1，解得a ＝12，故选B.6.已知⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －y ＋1≥0，2x －y －2≤0，若z ＝ax ＋y 的最小值是2，则a 的值为( )A.1B.2C.3D.4考点 线性规划中的参数问题 题点 线性规划中的参数问题 答案 B解析 作出可行域，如图中阴影部分所示，又z ＝ax ＋y 的最小值为2，若a >－2，则(1,0)为最优解，解得a ＝2；若a ≤－2，则(3,4)为最优解，解得a ＝－23，舍去，故a ＝2.7.已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y确定.若M (x ，y )为D 上的动点，点A的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值为( ) A.3 B.4 C.3 2 D.4 2 考点 线性目标最优解 题点 求线性目标函数的最值 答案 B解析 由线性约束条件 ⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y ，画出可行域如图阴影部分(含边界)所示，目标函数z ＝OM →·OA →＝2x ＋y ，将其化为y ＝－2x ＋z ，结合图形可知，当目标函数的图象过点(2，2)时，z 最大，将点(2，2)代入z ＝2x ＋y ，得z 的最大值为4.8.已知A (2,5)，B (4,1).若点P (x ，y )在线段AB 上，则2x －y 的最大值为( ) A.－1 B.3 C.7 D.8 考点 线性目标最优解 题点 求线性目标函数的最值 答案 C解析 作出线段AB ，如图所示，作直线2x －y ＝0并将其向下平移至直线过点B (4,1)时，2x －y 取最大值，为2×4－1＝7. 二、填空题9.已知－1≤x ＋y ≤4且2≤x －y ≤3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________.(答案用区间表示) 考点 线性目标最优解 题点 求线性目标函数的最值 答案 [3,8]解析 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋y ≤4，2≤x －y ≤3表示的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示. 在可行域内平移直线2x －3y ＝0，当直线经过x －y ＝2与x ＋y ＝4的交点A (3,1)时，目标函数有最小值， z min ＝2×3－3×1＝3；当直线经过x ＋y ＝－1与x －y ＝3的交点B (1，－2)时，目标函数有最大值， z max ＝2×1＋3×2＝8. 所以z ∈[3,8].10.在线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≥12，x ＋y ≤10，3x ＋y ≥12下，z ＝2x －y 的最小值是________.考点 线性目标最优解 题点 求线性目标函数的最值 答案 －7解析 如图作出线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≥12，x ＋y ≤10，3x ＋y ≥12下的可行域，包含边界.三条直线中x ＋3y ＝12与3x ＋y ＝12交于点A (3,3)， x ＋y ＝10与x ＋3y ＝12交于点B (9,1)， x ＋y ＝10与3x ＋y ＝12交于点C (1,9)，作一族与直线2x －y ＝0平行的直线l ：2x －y ＝z .即y ＝2x －z ，然后平行移动直线l ，直线l 在y 轴上的截距为－z ，当l 经过点C 时，－z 取最大值，此时z 最小，即z min ＝2×1－9＝－7.11.某公司租赁甲、乙两种设备生产A ，B 两类产品，甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件，乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A 类产品50件，B 类产品140件，则所需租赁费最少为________元. 考点 生活实际中的线性规划问题 题点 线性规划在实际问题中的应用 答案 2 300解析 设需租赁甲种设备x 台，乙种设备y 台，则⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ≥50，10x ＋20y ≥140，x ∈N ，y ∈N .目标函数为z ＝200x ＋300y .作出其可行域(图略)，易知当x ＝4，y ＝5时，z ＝200x ＋300y 有最小值2 300. 三、解答题12.设x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥4，x －y ≥－1，x －2y ≤2，求z ＝x ＋y 的取值范围.考点 线性目标最优解 题点 求线性目标函数的最值解 作出约束条件表示的可行域，如图所示，z ＝x ＋y 表示直线y ＝－x ＋z 过可行域时，在y 轴上的截距，当目标函数平移至过可行域内的A 点时，z 有最小值.联立⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝4，x －2y ＝2，解得A (2,0).z min ＝2，z 无最大值.∴x ＋y ∈[2，＋∞).13.某运输公司接受了向抗洪救灾地区每天送至少180 t 支援物资的任务.该公司有8辆载重为6 t 的A 型卡车与4辆载重为10 t 的B 型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为A 型卡车4次，B 型卡车3次；每辆卡车每天往返的成本费A 型为320元，B 型为504元.请为公司安排一下，应如何调配车辆，才能使公司所花的成本费最低？ 考点 生活实际中的线性规划问题 题点 线性规划在实际问题中的应用解 设需A 型、B 型卡车分别为x 辆和y 辆.列表分析数据.由表可知x ，y 满足线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，24x ＋30y ≥180，0≤x ≤8，0≤y ≤4，x ，y ∈N ，且目标函数z ＝320x ＋504y .作出可行域，如图阴影部分(含边界)所示.可知当直线z ＝320x ＋504y 过A (7.5,0)时，z 最小，但A (7.5,0)不是整点，继续向上平移直线z ＝320x ＋504y ，可知点(8,0)是最优解.这时z min ＝320×8＋504×0＝2 560(元)，即用8辆A 型车，成本费最低.所以公司每天调出A 型卡车8辆时，花费成本最低. 四、探究与拓展14.若平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，x －2y ＋3≥0夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是( )A.355B. 2C.322 D. 5考点 线性目标最优解 题点 求线性目标函数的最值 答案 B解析 画出不等式组所表示的平面区域如图(阴影部分)所示，由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋3＝0，x ＋y －3＝0，得A (1,2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －3＝0，x ＋y －3＝0，得B (2,1).由题意可知当斜率为1的两条直线分别过点A 和点B 时，阴影部分夹在这两条直线之间，且与这两条直线有公共点，所以这两条直线为满足条件的距离最小的一对直线，即|AB |＝(1－2)2＋(2－1)2＝ 2.故选B.15.已知变量x ，y 满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0.若目标函数z ＝ax ＋y (其中a ＞0)仅在点(3,0)处取得最大值，求a 的取值范围.考点 线性规划中的参数问题 题点 线性规划中的参数问题 解 依据约束条件，画出可行域.∵直线x ＋2y －3＝0的斜率k 1＝－12，目标函数z ＝ax ＋y (a ＞0)对应直线的斜率k 2＝－a ， 若符合题意，则需k 1＞k 2.即－12＞－a ，得a ＞12.。
第二章 线性规划解的概念、性质及图解法
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习题：用图解法求下列线性规划:
可行域为无界 区域一定无最 优解吗？
x2
2 x1 x2 2
max z = 2x1 + 2x2 s.t. 2x1 – x2 ≥ 2 -x1 + 4x2≤ 4 x1，x2 ≥ 0
Note:
x1 4 x2 4
可行域为无界区域，
目标函数值可无限
x(1) (1 ) x(2) S 则称 S 是一个凸集。
几何意义：如果集合中任意两点连线上的一切点都在 该集合中，则称该集合为凸集。
凸集
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定义 2
设 x R , i 0, i 1, 2,, k , 且 i 1， 则称
(i ) n i 1
k
x 1 x (1) 2 x (2) k x ( k )
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3.可行解与最优解
Ax=b，x≥0；
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4.线性规划的可行域和最优解的性质
1.若线性规划的可行域非空，则可行域必定 为一凸集． 2.若线性规划的可行域非空，则至多有有限 个极点.
3.若线性规划有最优解,则至少有一个极点是 最优解.
可行域内 无限个 可行解 搜索
可行域的 有限个极点
x2
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图解法
步骤 一： 由全 部约 束条 件作 图求 出可 行域 ；
9— 8—
目标函数
Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件
x2
7—
6— 5—
x1 + 2x2 8 4x1 16 4x2 12 x 1、 x 2 0
1.2 线性规划的图解法
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
x1
图解法例2
9— 8— 7— 6— 5— 4— 3— 2— 1— 0
8
MaxZ
2 x1 3 x 2
x2
16 4 x1 4 x 2 12 s .t . x1 2 x 2 8 x1 , x 2 0
A）可行解区无界时一定没有最优解 B）可行解区有界时不一定有最优解 C）如果在两个点上达到最优解，则一定有无穷多个最优 解 D）最优解只能在可行解区的顶点上达到
C
31
一、选择题（续）
9、关于线性规划模型的可行解区，下面（ 述正确。
）的叙
A）可行解区内必有无穷多个点 B）可行解区必有界 C）可行解区必须包括原点 D）可行解区必是凸的
管理运筹学--管理科学方法
李军
桂林电子科技大学商学院
第二节 线性规划的图解法
图解法
学习要点
1
2
3
4
5
6
图解法 定义
2
图解步 骤
解的有 关概念
解的可 能结果
图解几 何意义
解与可 行域
一、图解法的定义
图解法
就是用几何作图求LP的最优解的方法。
前提条件
变量个数不能超过两个。
图解法的 目的
①利用它来说明LP问题求解的可能结局。 ② 在LP问题最优解存在时，求出最优解。 ③为寻求LP问题的一般算法提供依据。
4x1 16 4 x2 16 x1 + 2x2 8 1、可行域：满 足所有约束条件的 解的集合，即所有 约束条件共同围城 的区域 （或称可行 解集）,记做R 。
2.3 线性规划的图解法
1984年印度的Karmarkar提出“投影梯度法”
线性规划是研究线性不等式组的理论，或者 说是研究（高维空间中）凸多面体的理论，是线 性代数的应用和发展。
线性规划问题的一般形式： Max(Min)S=c1x1+c2x2+…..+cnxn s.t. a11x1+a12x2+….+a1nxn (=, )b1
20
10
10
20
Q1（25，0） 30 40
x1
解的讨论：
无界解：
例：max S=x1+x2 s.t. -2x1+x2 40 x1-x2 20 x1,x2 0
x2 50
40 30
该可行域无界，目标函 数值可增加到无穷大， 称这种情况为无界解或 无最优解。
20
10
10
20
30
40
x1
例2.1的数学模型 max S=50x1+30x2 s.t. 4x1+3x2 120 2x1+x2 50 x1,x2 0
x2 50 由 4x1+3x2 120 x1 0 40 30 x2 0 围成的区域
20
10
4x1+3x2 120
10
20
30
40
x1
x2 50
40 30
x2 50
40 30
20 可行域 10
目标函数是同约束 条件：4x1+3x2 120 平行的直线 x2 = S/30-（4/3）x1
10
20
30
40
x1
x2 50
40 30
当S的值增加时，目 标函数同约束条件： 4x1+3x2 120
第二节 线性规划解的概念、性质及图解法
2.线性规划的图解法 2.线性规划的图解法
例 2.4: 某工厂拥有 A 、 B 、 C 三种 类型的设备，生产甲、乙两种产品。 类型的设备，生产甲、乙两种产品。 每件产品在生产中需要占用的设备机 时数， 时数，每件产品可以获得的利润以及 三种设备可利用的时数如下表所示：
产品甲 设备A 设备B 设备C 利润（元/件） 3 2 0 1500 产品乙 2 1 3 2500
无可行解的情况
22
2.线性规划的图解法 2.线性规划的图解法
根据以上例题，进一步分析讨 论可知线性规划的可行域和最优解 有以下几种可能的情况 1.可行域为封闭的有界区域 1.可行域为封闭的有界区域 (a)有唯一的最优解； (a)有唯一的最优解； (b)有无穷多个最优解； (b)有无穷多个最优解； 2.可行域为封闭的无界区域 2.可行域为封闭的无界区域 (c)有唯一的最优解； (c)有唯一的最优解；
31
2.线性规划解的概念 2.线性规划解的概念
直线B、E的交点对应于约束条件(A)、（B）、 的交点对应于约束条件( （C）、（E）、（G）的解，即： 的解， x(7) = (20,0,5,0,75)T 20, 75) 直线C、D的交点对应于约束条件(A)、（B）、 的交点对应于约束条件( （C）、（D）、（H）的解，即： 的解， x(8) = (0,25,15,15,0)T 25,15,15, 直线C、E无交点（C、E相互平行） 无交点（ 相互平行） 直线D、E的交点对应于约束条件(A)、（B）、 的交点对应于约束条件( （C）、（D）、（E）的解，即： 的解， x(9) = (0,0,65,40,75)T 65,40,75)
26
2.线性规划解的概念 2.线性规划解的概念
Max z = 1500 x1 + 2500 x2 s.t. 3x1+2x2+x3= 65 (A) (B) 2x1+x2+x4= 40 3x2+x5= 75 (C) x1 ,x2 ,x3 ,x4 ,x5 ≥ 0 用（D）（E）（F）（G）（H） 分别表示x1 = 0、x2 = 0、x3 = 0、 x4 = 0、x5 = 0 。 这里一共有8个约束条件，其中3个等 式约束
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相关定义：
决策变量的一组取值便构成了线性规划问题的一个解； 满足约束条件的解称为可行解； 所有可行解构成的集合称为可行解集； 使目标函数达到所追求极值的可行解称为最优解； 最优解所对应的目标函数值称为最优值。
二、
线性函数.
线性规划的表现形式
一般形式：目标函数和所有的约束条件都是设计变量的 目标函数：Max (Min）z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn 约束条件：
数学规划模型
实际问题中 的优化模型 x~决策变量 数 学 规 划
Min(或Max) z f ( x), x ( x1 ,x n ) s.t. g i ( x) 0, i 1,2, m
f(x)~目标函数 线性规划 非线性规划 整数规划
T
gi(x)0~约束条件
线性规划问题（LP）： 一组线性不等式约束下求线性目标函数 的极大值或极小值问题。
Ⅰ 1 0 3 7.4 0
Ⅳ 1 2 0 7.1 0.3
Ⅴ 0 1 3 6.6 0.8
解：设第一种下料方式用掉x1根管料；
第二种下料方式用掉x2根管料；第三
种下料方式用掉x3根管料；第四种下
料方式用掉x4根管料；第五种下料方
式用掉x5根管料；变量x1 x2 x3 x4 x5 即为决策变量。
数学模型为：
解：设购买A种原料为x1，B种原料为x2，可建立以下
数学模型：
目标函数：Min S = 2x1 + 3 x2
约束条件：
s.t. x1 + x2 ≥ 350
决策变量为：x1, x2
x1 ≥ 125
2 x1 + x2 ≤ 600 x1 , x2 ≥ 0
s.t. 是subject to的缩写。意思为“满足 于，受约束于”
一、概念的引出
例1：某中药厂用当归作原料制成当归丸与当归膏，
生产1盒当归丸需要5个劳动工时，使用2kg当归
原料，销售后获得利润160元；生产1盒当归膏需
要2个劳动工时，使用5kg当归原料，销售后获得 利润80元；工厂现有可供利用的劳动工时为4000 工时，可供使用的当归原料为5800kg，为避免当 归原料存放时间过长而变质，要求把5800kg当归
建模过程
1.理解要解决的问题，了解解题的目标和条件；
2.定义决策变量（ x1 ，x2 ，… ，xn ），每一 组值表示一个方案；
3.用决策变量的线性函数形式写出目标函数，确 定最大化或最小化目标；
4.用一组决策变量的等式或不等式表示解决问题 过程中必须遵循的约束条件
三、线性规划问题的数学模型 • • • • 物 资 运 输 问 题 条 件 下 料 问 题 原 料 搭 配 问 题 生 产 安 排
s.t.
a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn ≤ （ =, ≥ ）b1 a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn ≤ （ =, ≥ ）b2
…… …… am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn ≤ （ =, ≥ ）bm x1 ， x2 ， … ， xn ≥ 0
条件下料问题2
某车间有一批长度为7.4m的同型钢 管，因生产需要，需将其截成长2.9m、 2.1m、1.5m三种不同长度的管料。 若三种管料各需100根，问应如何下 料，才能使得用料最省？写出数学模 型。
分析：
规格/m 2.9 2.1 1.5 合计/m 料头/m 下料方案 方案 Ⅱ Ⅲ 2 0 0 2 1 2 7.3 7.2 0.1 0.2
原料都用掉。问工厂如何安排生产，才能使得两种
产品销售后获得的总利润最大？
解
设工厂生产x1盒当归丸与x2瓶当归膏，
可建立以下数学模型：
max S 160x1 80x 2 5x1 2x 2 4000 2x1 5x 2 5800 x 0, 整数（i 1,2） i
购进125吨。但由于A，B两种原料的规格不同，各自所
需的加工时间也是不同的，加工每吨A原料需要2个小时， 加工每吨B原料需要1小时，而公司总共有600个加工小
时。又知道每吨A原料的价格为2万元，每吨B原料的价
格为3万元，试问在满足生产需要的前提下，在公司加 工能力的范围内，如何购买A，B两种原料，使得购进成 本最低？
210cm的角钢截得3根长60cm的角钢。现
这三种下料方式应该混合使用。
解：设第一种下料方式用掉x1根角钢；
第二种下料方式用掉x2根角钢；第三 种下料方式用掉x3根角钢；变量x1 x2 x3即为决策变量。
数学模型为：
min S x1 x2 x3 2 x1 x2 150 2 x1 3x3 330 x 0, 整数（i 1,2,3） i
条件下料问题1
某家具厂需要长80cm的角钢与长 60cm的角钢，它们皆从长210cm的 角钢截得。现在对长80cm角钢的需 要量为150根，对长60cm角钢的需 要量为330根。问工厂应如何下料， 才能使得用料最省？写出数学模型。
分析：共有三种下料方式，第一种是将1
根长210的角钢截得2根长80cm的角钢； 第二种是将1根长210的角钢截得1根长 80cm和2根60cm的角钢；第三种是将
min S x x x x x
1 2 3 4 1 2 4 5
x 2 x x 100 2 x 2 x x 100 3 x x 2 x 3 x 100 x 0, 整数（ i 1, 2, 3,4,5）
基本线性规划形式
目标函数：
约束条件：
Max（Min)S = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn
s.t.
a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn ≤b1 a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn ≤ b2
…… …… am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn ≤ bm x1 ，x2 ，… ，xn ≥ 0，bi ≥0
目标函数为：
max S 160x1 80x 2
约束条件为：
5x1 2x 2 4000 2x1 5x 2 5800 x 0, 整数 （i 1,2） i
决策变A，B两种原料至少 350吨（A，B两种材料有一定替代性），其中A原料至少