第六章_线性空间同步复习1

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线性代数第六章第一节——线性空间的定义与性质

0 c

解 (1)不构成子空间. 因为对
1
A B
0
2
有 A B
0
0 0
W1
0 0
0 0
W1 ,
0 0
线性代数
即 W1对矩阵加法不封闭，不构成子空间.
0 0 0
W2 , 即W2非空.
( 2) 因
0 0 0
对任意
a1 b1 0
定义１设 V是一个非空集合，R为实数域．如果
对于任意两个元素 , V，总有唯一的一个元
素 V 与之对应，称为与的和，记作

若对于任一数 R 与任一元素 V ，总有唯
一的一个元素 V 与之对应，称为与的积，记作

( 3) 在V中存在零元素0, 对任何 V , 都有有零元素
0 ;
(4)对任何 V , 都有的负元素 V , 使有负元素
0;
(5) 1 ;
(6) ; 对数乘运算的结合律和分配律
(7) ;
数乘 : k (a , b) (lg a , bk ), k R
V是不是向量空间
? 为什么?
线性代数
解
V不是向量空间
.
显然,V对加法封闭,因为两个正实数的和与
积
还是正实数.
但V对乘法不封闭
.
比如V中的元素(1, b), 对任意实数k ,
k (1, b) (lg 1, bk ) (0, bk ) V .
1 ; 0 0.
4．如果 0 ，则 0 或 0 .

第六章线性空间

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例5 设1 , 2 , A是n s矩阵, (1 , 2 , 证明 : L( 1 , 2 ,
, n 是n维线性空间V 的一组基, , s ) (1 , 2 , , n ) A
, s )的维数等于A的秩.
证设秩( A) r , 则存在可逆矩阵P , Q , 使得 Er A P O
(4) 基变换
其中1 , 2 ,
, n 和1 , 2 ,
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, n 都是V的
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基, A为过渡矩阵, 可逆.
3
性质:设1 , 2 , 则 1 , 2 ,
, n为V 的基, , n ) ( 1 , 2 , , n ) A, , n 也为V 的基 A可逆.
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若 V2 , 则因 V2 , 有 ( ) V2 , 与 V2矛盾. 故在V中存在向量x , x V1且x V2 .
注: 此例说明,若V1 ,V2是V的两个非平凡子空间, 则在V中存在向量x, 使x V1 V2 ,即V V1 V2 .
证取P n的一组基 1 , 2 , 个 i , 使得A
m 1
i 0.
, n, 令
B ( 1 , 2 , , n )
事实上,若Am1 j 0, j 1,2,
则B可逆, 且有Am1 B O. 于是Am1 O. 与题设矛盾.
令 i , 则Am1 0, Am 0.
k1 l1 k2 l2 则有坐标变换公式 : A kn ln

线性代数课件_第六章_线性空间和线性变换——1

量空间 . 通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运
算满足线性运算规律．
( a n x n a 1 x a 0 ) ( b n x n b 1 x b 0 )
( a n b n ) x n ( a 1 b 1 ) x ( a 0 b 0 ) P[x]n
(a n x n a 1 x a 0 )
对于通常的有序数组的加法及如下定义的乘法
(x 1 , ,x n )T 0 , ,0
不构成线性空间． Sn对运算封.闭
但 1xo, 不满足第五条运算规律.
由于所定义线的性运,运所算算以 S不 n不是是线性.空间
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二、线性空间的性质
1．零元素是唯一的．
证明假设 01,02 是线性空间V中的两个零元
则有 0
0 .
向量的负元素记为 .
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3 . 0 0 ; 1 ;0 0 .
证明 0 1 0 1 0 1 ,
0 0.
1 1 1 1 1 0 0 ,
1 . 0 1 0
素，则对任何 V，有
0 1 , 0 2 .
由于 01,02V, 所以 0 2 0 1 0 2 ,0 1 0 2 0 1 .
0 1 0 1 0 2 0 2 0 1 0 2 .
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2．负元素是唯一的．
证明假设有两个负元素与，那么
0 , 0 .
设 ,, V ;, R
(1 ) ;
( 2 ) ;
(3)在 V 中存在 0,对零任元 V 何 ,都素有 0;
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(完整版)第六章线性空间练习题参考答案

第六章线性空间练习题参考答案一、填空题1.已知0000,,00V a bc a b c R c b ⎧⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=+∈⎨⎬ ⎪⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎩⎭是33R ⨯的一个子空间，则维（V ）＝ 3 ， V 的一组基是000000000100,100,010*********⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.2．在P 4中，若1234(1,2,0,1),(1,1,1,1),(1,,1,1),(0,1,,1)k k αααα===-=线性无关，则k 的取值范围是3k ≠（以1234,,,αααα为行或者列构成的行列式不为零）. 3．已知a 是数域P 中的一个固定的数，而1{(,,,),1,2,,}n i W a x x x P i n =∈=是P n+1的一个子空间，则a ＝ 0 ，而维(W)＝n 4．维数公式为12dim dim V V +=1212dim()dim()V V V V ++.5．设123,,εεε是线性空间V 的一组基，112233x x x αεεε=++，则由基123,,εεε到基231,,εεε的过渡矩阵T ＝001100010⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，而α在基321,,εεε下的坐标是321(,,)x x x 由基123,,εεε到基233112,,εεεεεε+++的过渡矩阵为T ＝011101110⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.6．数域P 上n 级对称矩阵全体构成数域P 上(1)2n n +维线性空间，数域P 上n 级反对称矩阵全体构成数域P 上(1)2n n -维线性空间，数域P 上n 级上三角矩阵全体构成数域P 上(1)2n n +维线性空间，数域P 上n 级对交矩阵全体构成数域P 上n 维线性空间，数域P 上n 级数量矩阵全体构成数域P 上 1 维线性空间.二、判断题1.设n n V P ⨯=，则{,0}n n W A A P A ⨯=∈=是V 的子空间.错.行列式为零的两个方阵的和的行列式未必为零，因此W 中矩阵关于矩阵的加法运算不封闭，不能成为子空间.）2.已知{(,),,,}V a bi c di a b c d R =++∈为R 上的线性空间，且维(V ）＝2. 错.是子空间，但是是4维的，其基为(1,0),(,0),(0,1),(0,)i i .3.设,n n A B P ⨯∈，V 是0A X B ⎛⎫= ⎪⎝⎭的解空间，V 1是AX ＝0的解空间，V 2是(A ＋B)X ＝0的解空间，则12V V V =.正确. 12V V 中的向量既满足AX ＝0，又满足(A ＋B)X ＝0，因此也满足BX ＝0，即满足0A X B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即为V 中的向量.反之，V 中的向量既在1V 中，又在2V 中，即为12V V 中的向量.因此12V V V =.4.设线性空间V 的子空间W 中每个向量可由W 中的线性无关的向量组12,,,s ααα线性表出，则维(W)＝s.正确.根据定理1.5.设W 是线性空间V 的子空间，如果,,V αβ∈但,W W αβ∉∉且则必有.W αβ+∉错误.可能.W αβ+∈如取,αβ为一对互为负向量，则0.W αβ=+∈ 6. }0|),,{(33321=∈=x R x x x W 是3R 的子空间.正确. 基为（1,0,0），（0,1,0），维数为2. 7.}1|),,{(23321=∈=x R x x x W 是3R 的子空间. 错误.不包含零向量.8.}|),,{(3213321x x x R x x x W ==∈= 是3R 的子空间. 正确.基为（1,1,1），维数为1.9.}|),,{(3213321x x x R x x x W -=∈= 是3R 的子空间. 正确. 基为（1,1,0），（1,0，-1），维数为2. 三、计算题1.求所有与A 可交换的矩阵组成的nn P ⨯的子空间()C A 的维数与一组基，其中100020003A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.解：设矩阵33()ij B b ⨯=与A 可交换，即有AB BA =.即111213111213212223212223313233313233100100020020003003b b b b b b b b b b b b b b b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.111213111213212223212223313233313233232222333323b b b b b b b b b b b b b b b b b b ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以有,()0,,1,2,3.ij ij ij ib b j i j b i j =-==当i j ≠时，0ij b =，因此11223300()0000b C A b b ⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎪=⎨⎬ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎩⎭ 维数为3，基为112233,,E E E .2.在线性空间P 4中，求由基1234,,,αααα到基1234,,,ββββ的过渡矩阵，并求(1,4,2,3)α=在基1234,,,αααα下的坐标，其中1234(1,0,0,0),(4,1,0,0),(3,2,1,0),(2,3,2,1)αααα===-=- 1234(1,1,8,3),(0,3,7,2),(1,1,6,2),(1,4,1,1).ββββ====--- 解：令过渡矩阵为T ，则有10111432131401238761001232210001T --⎛⎫⎛⎫⎪⎪- ⎪ ⎪=⎪ ⎪- ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭因此1143210112379801231314633100128761232100132213221T ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪--⎪ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 令1234114324012320012301x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭112341432114113611010123401274210012200122400013000133x x x x -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪===⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (1,4,2,3)α=在基1234,,,αααα下的坐标为（-101,21，-4,3）四、证明题1.V 为定义在实数域上的函数构成的线性空间，令12{()(),()()},{()(),()()}W f x f x V f x f x W f x f x V f x f x =∈=-=∈=--证明：W 1、W 2皆为V 的子空间，且12.V W W =⊕证明：W 1、W 2 分别为偶函数全体及奇函数全体构成的集合，显然W 1、W 2均为非空的.由奇偶函数的性质可得W 1、W 2皆为V 的子空间.()()()()(),()22f x f x f x f x f x V f x +---∀∈=+. 而12()()()(),22f x f x f x f x W W +---∈∈，因此12.V W W =+又12{0}.W W =所以12.V W W =⊕2.设W 是P n 的一个非零子空间，若对于W 的每一个向量12(,,,)n a a a 来说，或者120n a a a ====，或者每一个i α都不等于零，证明：维(W)＝1.证明：由W 是P n 的一个非零子空间，可得W 中含有非零向量设1212(,,,),(,,,)n n a a a b b b αβ==是W 中的任二个非零向量，由题意可得每一个,i i a b 都不等于零.考虑向量11112112121211(,,,)(,,,)(0,,,)n n n n b a b a a a a b b b b a a b b a a b W αβ-=-=--∈.由题设条件有1212110n n b a a b b a a b -==-=，即有1212n na a ab b b ===.即W 中的任二个非零向量均成比例，因此维(W)＝1.。

(完整版)第六章线性空间练习题参考答案

第六章线性空间练习题参考答案一、填空题0 0 01.已知V a b c 0 a,b,c R 是R1 2的一个子空间，则维(V)3 30 c b 00 0 0 0 0 0 0 0 03V 的一组基是1 0 0 , 1 0 0 , 0 1 0 .0 0 0 0 1 0 0 1 0在P4中,若 1 (1, 2,0,1),1,1), 4 (0,1, k,1)线性无2 (1,1,1, 1),3 (1, k,关，则k的取值范围是k 3(以1, 2, 3, 4为行或者列构成的行列式不为零)3•已知a是数域P中的一个固定的数，而W {(a,x1,L ,x n) x i P,i 1,2,L ,n}是P n+1的一个子空间，贝U a = 0 ，而维(W)=巴4. 维数公式为dimV i dimV2 dim(V i V2) dim(V i I V2).5•设1, 2, 3是线性空间V的一组基，X i 1 X2 2 X3 3，则由基1, 2, 30 0 1到基2, 3, 1的过渡矩阵T = 1 0 0，而在基3, 2, 1下的坐标是0 1 00 1 1 (X3,X2,X1)由基1, 2, 3到基2 3, 3 1, 1 2的过渡矩阵为T二10 1. 阵全体构成数域P上凹卫维线性空间，数域P上n级对交矩阵全体构成数域1 1 06 •数域P上n级对称矩阵全体构成数域P上如B维线性空间，数域P上2n级反对称矩阵全体构成数域P上晋维线性空间，数域P上n级上三角矩2P上n维线性空间，数域P上n级数量矩阵全体构成数域P上_1_维线性空间.二、判断题1•设V P n n，则W {A A P nn,A 0}是V的子空间.错•行列式为零的两个方阵的和的行列式未必为零，因此W中矩阵关于矩阵的加法运算不封闭，不能成为子空间.)2. 已知V {(a bi,c di) a, b, c, d R}为R上的线性空间，且维(V)= 2.错.是子空间，但是是4维的，其基为(1,0),( i,0),(0,1),(0, i).A3. 设A,B P n n，V是X 0的解空间，V1是AX = 0的解空间，V2是B(A + B)X = 0 的解空间，则V V1 I V2 .正确• Vj V2中的向量既满足AX = 0,又满足(A + B)X = 0,因此也满足ABX = 0,即满足X 0,即为V中的向量.反之，V中的向量既在V中，又B在V2中，即为yi V2中的向量.因此V V1 I V2 .4. 设线性空间V的子空间W中每个向量可由W中的线性无关的向量组1, 2丄,s线性表出，则维(W) = S.正确.根据定理1.5. 设W是线性空间V的子空间，如果， V,但W且W,则必有W.错误.可能W.如取，为一对互为负向量，则0 W.6. W {(x1,x2,x3) R3|X3 0}是R3的子空间.正确. 基为( 1,0,0)，(0,1,0)，维数为 2.7. W {( x1,x2, x3) R3 | x21} 是R3的子空间.错误.不包含零向量8. W {( x1,x2,x3)R3 |x1x2X3｝是R3的子空间正确.基为(1,1,1)，维数为 1.9. W {( x1,x2,x3)R3 |x1 x2X3｝是R3的子空间正确. 基为( 1 , 1 ,0)，( 1 ,0 ，-1)，维数为 2.、计算题1.求所有与A可交换的矩阵组成的P n n的子空间C(A)的维数与一组基，其中100A 0 2 0 .003解：设矩阵B (b j )3 3与A可交换，即有AB BA.即1 0 0 b11 b12 b13 b11 b12 b13 1 0 00 2 0 b21 b22 b23 b21 b22 b23 0 20 0 3 b31b32 b33 b31 b32b33 0 0 3b11 b12 b13 b11 2b12 3b132b21 2b222b23 b212b223b23 .3b31 3b32 3b33b312b32 3b33所以有ib ij b ij j ,(i j)b ij 0,i, j 1,2,3. 当i j时,b ij 0 ，因此b11 0 0C(A) 0b22 00 0 b33 维数为3，基为E11 , E22 ,E33 .2•在线性空间P4中，求由基1, 2, 3, 4到基1, 2, 3, 4的过渡矩阵，并求(1,4,2,3)在基1, 2, 3, 4下的坐标，其中1 (1,0,0,0),2 (4,1,0,0),3 ( 3,2,1,0),4 (2, 3,2,1)1 (1,1,8, 3),2 (0, 3,7, 2),3 (1,1,6, 2),4 (1,4, 1, 1)解：令过渡矩阵为T ,则有1 0 1 1 1 4 3 21 3 1 4 0 12 3T8 7 6 1 0 0 1 23 2 2 1 0 0 0 1因此1 4 32 1 1 0 1 1 23 7 9 80 1 2 3 1 3 1 4 6 3 3 1T0 0 1 2 8 7 6 1 2 3 2 10 0 0 1 3 2 2 1 3 2 2 1令1 1 4 32 X14 0 1 2 3 X22 0 0 1 2 X33 0 0 0 1 X4X1 1 4 3 2 1 1 1 4 11 36 1 101X2 0 1 2 3 4 0 1 2 7 4 21X3 0 0 1 2 2 0 0 1 2 2 4X4 0 0 0 1 3 0 0 0 1 3 3(1, 4,2,3) 在基1,2 ! , 3 ,4下的勺坐标为(- 101,2 1,-4四、证明题1.V为定义在实数域上的函数构成的线性空间，令W { f(x) f (x) V, f(x) f( x)},W { f(x) f (x) V, f(x) f( x)}证明：W i 、W 2皆为V 的子空间，且V W 1 W 2.证明：W i 、W 2分别为偶函数全体及奇函数全体构成的集合，显然 W i 、W 2均为非空的.由奇偶函数的性质可得 W i 、W 2皆为V 的子空间.以 V W 1 W 2.2.设W 是P n 的一个非零子空间，若对于 W 的每一个向量(a i ,a 2丄,a n )来说，或者a i a 2 L a n 0，或者每一个i 都不等于零，证明：维(W) = 1.证明：由W 是P n 的一个非零子空间，可得 W 中含有非零向量设(a i ,a 2,L ,a n ),(^也丄,g)是W 中的任二个非零向量，由题意可得每一个 a i ，b i 都不等于零.考虑向量由题设条件有b i a 2 a i b 2 L b i a n a i b n 0 ,即有色更 L 空.即W 中的b i b 2 b n 任二个非零向量均成比例，因此维(W)二i.f(x) V,f(x)f(x) f( x) 2 f(x) f( X)2而 f (x)f( x) W 1 f(x) f(x)2 ' 2W 2，因此VW 1 W 2.又 W 1 I W 2{0}.所b |a ib i (a i ,a 2丄,a n )印⑴庄丄,b n ) (0,呃 a4,L ,b i a na ib n ) W。

第六章线性空间习题答案

第六章线性空间3．检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：1）次数等于n （1n ≥）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；2）设A 是一个n n ⨯实矩阵，A 的实系数多项式()f A 的全体，对于矩阵的加法和数量乘法； 3）全体n 级实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 4）平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法； 5）全体实数的二元数列，对于下面定义的运算：1122121212(,)(,)(,)a b a b a a b b a a ⊕=+++，211111(1)(,)(,)2k k k a b ka kb a -=+； 6）平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法：k =0α；7）集合与加法同6），数量乘法定义为：k =αα；8）全体正实数+R ，加法与数量乘法定义为：a b ab ⊕=，k k a a =．解 1）不能构成实数域上的线性空间．因为两个n 次多项式相加不一定是n 次多项式，所以对加法不封闭． 2）能构成实数域上的线性空间．事实上，{()|()[]}V f f x x =∈R A 即为题目中的集合，显然，对任意的(),()f g V ∈A A ，及k ∈R ，有()()()f g h V +=∈A A A ，()()()kf kf V =∈A A ，其中()()()h x f x g x =+．这就说明V 对于矩阵的加法和数量乘法封闭．容易验证，这两种运算满足线性空间定义的1~8条，故V 构成实数域上的线性空间．3）能构成实数域上的线性空间．由于矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的1~8条性质，故只需证明对称（反对称，上三角）矩阵对加法与数量乘法是否封闭即可．而两个对称（反对称，上三角）矩阵的和仍为对称（反对称，上三角）矩阵，一个数k 乘对称（反对称，上三角）矩阵也仍为对称（反对称，上三角）矩阵．于是，n 级实对称（反对称，上三角）矩阵的全体，按照矩阵的加法和数量乘法，都构成实数域上的线性空间．4）不能构成实数域上的线性空间．因为，两个不平行与某一向量α的两个向量的和可能平行于α，例如：以α为对角线的任意两个向量的和都平行于α，从而不属于题目中的集合．5）能构成实数域上的线性空间．事实上，{(,)|,}V a b a b =∈R 即为题目中的集合．显然，按照题目中给出的加法和数量乘法都封闭．容易验证，对于任意的(,)a b ，(,)i i a b V ∈，1,2,3i =；,k l ∈R ，有①由于两个向量的分量在加法中的位置是对称的，故加法交换律成立； ②直接验证，可知加法的结合律也成立；③由于(,)(0,0)(0,00)(,)a b a b a b ⊕=+++=，故(0,0)是V 中加法的零元素；④如果11111(,)(,)(,)(0,0)a b a b a a b b aa ⊕=+++=，则有211(,)(,)a b a a b =--，即2(,)aa b --为(,)a b 的负元素；⑤21(11)1(,)(1,1)(,)2a b a b a a b -=+=； ⑥222(1)(1)(1)((,))(,)(,[]())222l l l l k k k l a b k la lb a kla k lb a la ---=+=++ 2(1)(,)()(,)2kl kl kla klb a kl a b -=+=； ⑦22(1)(1)(,)(,)(,)(,)22k k l l k a b l a b ka kb a la lb a --⊕=+⊕+ 222(1)(1)(,)22k k l l ka la kb a lb a kla --=+++++2(1)(1)[(),()]2k k l k l a k l b a ++-=+++()(,)k l a b =+；⑧1122121212[(,)(,)](,)k a b a b k a a b b a a ⊕=+++212121212(1)[(),()()]2k k k a a k b b a a a a -=+++++，而221122111222(1)(1)(,)(,)(,)(,)22k k k k k a b k a b ka kb a ka kb a --⊕=+⊕+ 22212112212(1)(1)(,)22k k k k ka ka kb a kb a k a a --=+++++212121212(1)[(),()()]2k k k a a k b b a a a a -=+++++，即11221122[(,)(,)](,)(,)k a b a b k a b k a b ⊕=⊕．于是，这两种运算满足线性空间定义的1~8条，所以V 构成实数域上的一个线性空间．6）不能构成实数域上的线性空间．因为1=≠0αα，故不满足定义的第5条规律． 7）不能构成实数域上的线性空间．因为()2k l k l αα+=≠=+=+ααααα，故不满足定义的第7条规律． 8）能构成实数域上的线性空间．由于两个正实数相乘还是正实数，正实数的指数还是正实数，故+R 对定义的加法和数量乘法都是封闭的．容易验证，对于任意的,a b +∈R ，,k l ∈R ，有①a b ab ba b a ⊕===⊕；②()()()()a b c ab c abc a bc a b c ⊕⊕=⊕==⊕=⊕⊕； ③11a a a ⊕==，即1是定义的加法⊕的零元素； ④111a a a a ⊕==，即1a是a 的负元素； ⑤11a a a ==；⑥()()()()ll klkklk l a k a a a a kl a =====； ⑦()()()k lk l k l a aa a k a l a ++===⊕⑧()()()()()kk kk a b k ab ab a b k a k b ⊕====⊕．于是，这两种运算满足线性空间定义的1~8条，所以+R 构成实数域上的一个线性空间．『方法技巧』直接根据定义逐条验证即可，但是也要注意验证所给的加法和数量乘法是封闭的． 4．在线性空间中，证明：1）k =00；2）()k k k -=-αβαβ．『解题提示』利用线性空间定义的运算所满足的规律和性质．证明 1）证法１由于对任意的向量α，存在负向量-α，使得()+-=0αα，故(())()(1)(())0k k k k k k k k =+-=+-=+-=+-==00αααααααα；证法２对于任意的向量α，有()k k k k +=+=00ααα，左右两边再加上k α的负向量k -α，即可得k =00；2）利用数量乘法对加法的分配律，得到()()k k k k -+=-+=αββαββα，等式两边再加上k β的负向量k -β，即可得()k k k -=-αβαβ． 5．证明：在实函数空间中，21,cos ,cos2t t 是线性相关的．『解题提示』只需要说明其中一个向量可以由其他向量线性表出即可．证明由于在实函数空间中，有1cos 22cos 2-=t t ，即cos 2t 可由另外两个向量线性表出，故21,cos ,cos 2t t 是线性相关的．7．在4P 中，求向量ξ在基1234,,,εεεε下的坐标，设2）1234(1,1,0,1),(2,1,3,1),(1,1,0,0),(0,1,1,1),(0,0,0,1)====--=εεεεξ．解法1 设ξ在基1234,,,εεεε下的坐标为1234(,,,)k k k k '，则有11223344k k k k =+++ξεεεε．2）将向量等式按分量写出，得12312342412420,0,30,1.k k k k k k k k k k k k ++=⎧⎪+++=⎪⎨-=⎪⎪+-=⎩ 解方程组，得12341,0,1,0k k k k ===-=，即为ξ在基1234,,,εεεε下的坐标．解法2 将1234,,,εεεε和ξ作为矩阵的列构成一个矩阵()1234,,,,=εεεεξA ，对A 进行初等行变换，将其化成最简阶梯形矩阵，从而确定ξ与1234,,,εεεε的线性关系．2）对A 进行初等行变换，得到1210010001111100100003010001011101100010⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A ，于是13=-ξεε．『方法技巧』解法1，利用了待定坐标法，将线性关系转化成线性方程组，解线性方程组即可；解法2，利用了初等行变换不改变列向量之间的线性关系，将向量组构成的矩阵化成最简阶梯形矩阵，从而观察出向量的坐标．8．求下列线性空间的维数与一组基： 1）数域P 上的空间n nP ⨯；2）n nP⨯中全体对称（反对称，上三角）矩阵作成的数域P 上的空间；『解题提示』根据各个线性空间的特点，构造出这些线性空间的一组基，同时也可以给出它们的维数．解 1）n nP⨯是数域P 上全体n 级矩阵的全体，按照矩阵的加法和数量乘法，构成的线性空间．对于任意的1,i j n ≤≤，令ij E 表示第i 行第j 列的元素为1，其余元素均为0的n 级矩阵．根据矩阵的线性运算以及矩阵相等的定义，容易验证ij E ，,1,2,,i j n =是线性无关的，且任意n 级矩阵A 均可由它们线性表出，从而为n nP⨯的一组基．于是n nP⨯的维数为2n ．2）仍然使用1）中的符号，并记{|}n n S P ⨯'=∈=A A A ，{|}n n T P ⨯'=∈=-A A A ，{()|0,}n n ij ij N a P a i j ⨯==∈=>A ．则，按照矩阵的加法和数量乘法，,,S T N 分别表示n nP ⨯中全体对称、反对称、上三角矩阵全体构成的线性空间．容易验证①ii E ，1,2,,i n =；ij ji +E E ，1i j n ≤<≤，构成线性空间S 的一组基，其维数为(1)122n n n ++++=． ②ij ji -E E ，1i j n ≤<≤，构成线性空间T 的一组基，其维数为(1)12(1)2n n n -+++-=． ③ii E ，1,2,,i n =；ij E ，1i j n ≤<≤，构成线性空间N 的一组基，其维数为(1)122n n n ++++=．『方法技巧』求已知线性空间的基和维数，构造出它的一组基尤为关键，这需要注意观察线性空间元素的特征，利用线性空间中元素之间的关系进行分析．9．在4P 中,求由基1234,,,εεεε到基1234,,,ηηηη的过渡矩阵，并求向量ξ在所指基下的坐标．设1）1234(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1),=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩εεεε1234(2,1,1,1),(0,3,1,0),(5,3,2,1),(6,6,1,3),=-⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩ηηηη 1234(,,,)x x x x =ξ在1234,,,ηηηη下的坐标； 2）1234(1,2,1,0),(1,1,1,1),(1,2,1,1),(1,1,0,1),=-⎧⎪=-⎪⎨=-⎪⎪=--⎩εεεε1234(2,1,0,1),(0,1,2,2),(2,1,1,2),(1,3,1,2),=⎧⎪=⎪⎨=-⎪⎪=⎩ηηηη (1,0,0,0)=ξ在1234,,,εεεε下的坐标；『解题提示』由于题目是在4维向量空间4P 中讨论，这里可以采用定义法或借助第三组基求过渡矩阵；对于求ξ在指定基下的坐标可以采用待定系数法，也可以采用坐标变换法．解 1）由于1234,,,εεεε为4维单位向量，故i η，1,2,3,4i =在基1234,,,εεεε下的坐标向量即为iη本身，故123420561336(,,,)11211013⎛⎫ ⎪⎪== ⎪- ⎪⎝⎭ηηηηA 即为由基1234,,,εεεε到1234,,,ηηηη的过渡矩阵．又由于1234(,,,)x x x x =ξ在基1234,,,εεεε下的坐标向量即为ξ本身，根据坐标变换公式，可知ξ在1234,,,ηηηη下的坐标为111222133344412927331129231900182773926y x x y x x y x x y x x ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ，即1123421234314412344111,93914123,27932712,3371126.279327y x x x x y x x x x y x x y x x x x ⎧=+--⎪⎪⎪=+--⎪⎨⎪=-⎪⎪⎪=--++⎩2）由于这一题目是在4维向量空间4P 中讨论，故根据本章教材内容全解的基变换一节求过渡矩阵方法（3）可知，由基1234,,,εεεε到基1234,,,ηηηη的过渡矩阵为112341234(,,,)(,,,)-=A εεεεηηηη111112021212111131110021101111222----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎪ ⎪= ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．令12341234(,,,),(,,,)==B C εεεεηηηη，则根据初等矩阵与初等变换的对应，可以构造2n n ⨯矩阵=()P B C ，对矩阵P 实施初等行变换，当把B 化成单位矩阵E 时，矩阵C 就化成了1-B C ：1111202121211113=1110021101111222---⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭P 10001001010011010010011101010⎛⎫ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪⎝⎭1()-=E B C 于是，由基1234,,,εεεε到基1234,,,ηηηη的过渡矩阵为11001110101110010-⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭A B C ．另外，设1234,,,e e e e 为4P 的单位向量组成的自然基，那么12341234(,,,)(,,,)=e e e e B εεεε．于是1123412341100(1,0,0,0)(,,,)(,,,)0000-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭e e e e B ξεεεε，因此，ξ在1234,,,εεεε下的坐标为112134111111021210011100001110y y y y ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．类似地，构造矩阵=()'P Bξ，并对其进行初等行变换，将B 化成单位矩阵E 时，矩阵'ξ就化成了1-'B ξ： 11111110003/132121001005/13=()1110000102/130111000013/13---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪'→→= ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭P EB ξ，所以，(1,0,0,0)=ξ在1234,,,εεεε下的坐标为12343512133y y y y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭．『方法技巧』利用n 维向量空间中的向量构成矩阵，将求过渡矩阵问题转化成求一个矩阵的逆与另一个矩阵（或向量）的乘积问题，注意在计算这样的矩阵乘法时，利用初等变换与初等矩阵的对应，构造一个新的矩阵，利用初等行变换就可求得．10．继第9题1），求一非零向量ξ，它在基1234,,,εεεε与1234,,,ηηηη下有相同的坐标．解根据上一题的讨论可知，由1234,,,εεεε到1234,,,ηηηη的过渡矩阵为123420561336(,,,)11211013⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪- ⎪⎝⎭ηηηηA ．设所求向量为1234(,,,)x x x x '=ξ，由于1234,,,εεεε为4维单位向量，故ξ在基1234,,,εεεε下的坐标向量即为ξ本身，故根据坐标变换公式，可知ξ在1234,,,ηηηη下的坐标为1-A ξ．因此，如果ξ在两组基下的坐标相同，那么1-=A ξξ．左右两边乘以A ，可得=A ξξ，即()-=0A E ξ，也就是说ξ是齐次线性方程组()-=0A E X 的解．利用消元法求得方程组的解为12341111x x k x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，其中k 是任意常数．于是(,,,)k k k k '=ξ，k 是非零常数，即为所求向量．『特别提醒』利用坐标变换公式，将求向量问题转化成了求解线性方程组问题．12．设12,V V 都是线性空间V 的子空间，且12V V ⊂，证明：如果1V 的维数与2V 的维数相等，那么12V V =．证明设12dim dim V V r ==．那么①如果0r =，则1V 与2V 都是零空间，从而，12V V =． ②如果0r >，任取1V 的一组基12,,,r ααα，由于21V V ⊂，且12,V V 的维数相等，故，根据基的定义，12,,,r ααα也是2V 的一组基，于是1122(,,,)r V L V ==ααα．『方法技巧』这个题目的结论，在证明两个线性空间相等时经常使用． 14．设100010312⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，求33P⨯中全体与A 可交换的矩阵所成子空间的维数和一组基．『解题提示』可以待定所求矩阵的元素，利用交换关系、矩阵的相等以及解线性方程组，即可求得．解设111213212223313233x x x x x x x x x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭X 是与A 交换的任意一个矩阵．首先将矩阵A 分解成100000010000001311⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A EB ．由于单位矩阵E 与任何矩阵都可交换，故X 与A 可交换当且仅当X 与B 可交换．事实上，由()=+=+=+AX E B X EX BX X BX ，()=+=+=+XA X E B XE XB X XB可知=AX XA 当且仅当=BX XB ．将=BX XB 按元素写出，即为131313232323333333112131122232132333300030003333x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭，从而132311213133122232330,33,3,x x x x x x x x x x ==⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 即132331331121323312220,33,3.x x x x x x x x x x ==⎧⎪=--⎨⎪=--⎩ 这是一个含有9个未知数的线性方程组，取1112212233,,,,x x x x x 为自由未知量，依次取值为5维单位向量，得线性方程组的一个基础解系为1100000300⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭X ，2010000030⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭X ，3000100100⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭X ，4000010010⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭X ，5000000311⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭X ．于是12345,,,,X X X X X 即为所求空间的一组基，且这个空间的维数为5．『方法技巧』本题中，利用单位矩阵的良好性质，将求与A 交换的矩阵的形式转化成一个与相对简单的矩阵B 可交换的形式，这能够给计算带来简便．19．设1V 与2V 分别是齐次方程组120n x x x +++=与121n n x x x x -====的解空间，证明12n P V V =⊕．证法１由于齐次方程组120n x x x +++=的一组基础解系为111111100,,,010001n ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα，即为其解空间的一组基，从而1121(,,,)n V L -=ααα．另外，齐次方程组12n x x x ===的一组基础解系为(1,1,,1)'=β，即为其解空间的一组基，从而2()V L =β．又由于向量组121,,,,n -αααβ组成的n 级矩阵的行列式111111001(1)001011011n n +---=-≠，故121,,,,n -αααβ线性无关，从而121dim (,,,,)n L n -=αααβ，而121(,,,,)n n L P -⊂αααβ，所以，根据习题12可知，121(,,,,)n n P L -=αααβ．于是，12121121(,,,)()(,,,,)n n n V V L L L P --+=+==αααβαααβ，且12dim dim dim n P V V =+，故12n P V V =⊕．证法2 由于齐次方程组120n x x x +++=的一组基础解系为111111100,,,010001n ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα，即为其解空间的一组基，从而1121(,,,)n V L -=ααα．另外，齐次方程组12n x x x ===的一组基础解系为(1,1,,1)'=β，即为其解空间的一组基，从而2()V L =β．对于任意的12V V ∈ξ，不妨设112211n n k k k l --=+++=ξαααβ，则112211n n k k k l --+++-=0αααβ，按分量写开，即为1211210,0,0,0.n n k k k l k l k l k l -------=⎧⎪-=⎪⎪-=⎨⎪⎪-=⎪⎩ 直接解得1210n k k k l -=====，从而=0ξ．因此12{}V V =0．所以1212dim()dim dim V V V V n +=+=，而显然12n V V P +⊂，根据习题12可知，12n V V P +=，结合12{}V V =0，有12n P V V =⊕．证法3 设1212(,,,)n a a a V V =∈ξ，即1V ∈ξ且2V ∈ξ，那么12120,.n n a a a a a a +++=⎧⎨===⎩ 直接解得120n a a a ====，即=0ξ．因此12{}V V =0．另外，对于任意的12(,,,)n n x x x P =∈η，显然有1212(,,,)(,,,)(,,,)n n x x x x x x x x x x x x ==---+η，其中121()n x x x x n=+++，且121(,,,)n x x x x x x V ---∈，2(,,,)x x x V ∈．所以12n P V V =+．结合12{}V V =0，有12n P V V =⊕．『方法技巧』证法3的证明更为直接和简便．20．证明：如果12V V V =⊕，11112V V V =⊕，那么21211V V V V ⊕⊕=．证法1 由题设知，11122V V V V =++．由于12V V V =⊕，故12dim dim dim V V V =+．又因为11112V V V =⊕，所以11112dim dim dim V V V =+．于是11122dim dim dim dim V V V V =++．因此21211V V V V ⊕⊕=．证法2 由题设知，11122V V V V =++．设11122=++0ααα，其中11112223,,V V V ∈∈∈ααα，那么，由11122()=++0ααα及12V V V =⊕，可得11122,+==00ααα．再由11112V V V =⊕可得1112==0αα，于是，零向量的表示法唯一，从而21211V V V V ⊕⊕=．。

高等代数考研复习[线性空间]

1.2 常用线性空间
n P (1)n维向量空间： {(a1, a2,
, an ) | ai , P}
Pn 空间的基 1, 2 , , n 其中 i (0
n dim P n. 空间维数 P
1
i
0)
n
nm P (2)矩阵空间： Anm | A (aij ), aij P.
3 1 1 3 3 0 1 1 F1 , F2 , F3 , F4 . 1 1 1 1 2 1 0 2
(1)求由 F1, F2 , F3 , F4到 E11, E12 , E21, E22 的过渡矩阵.
1 线性空间概念、基维数与坐标
1.1
线性空间的定义：设V是一个非空集合，P是一个数域.在V的元素之间定义了两种运算：加法与数乘，并且两种运算满足8条性质.则称集合V是数域P上的线性空间. 简单地说：带有线性运算的集合，同时运算满足8条性质的集合称为线性空间. 线性空间中的元素称为向量，线性空间也称为向量空间.
y1 y 2 A . yn
(1 , 2 ,
y1 y , n ) 2 , yn
那么，
x1 x 2 xn
题型分析：1)确定空间的基与维数
nn V { A | A A , A P }, 求V的基与维数. 例1 设
过渡矩阵都是可逆的！并且由 1, 2 , , n 到
1 坐标变换：设 1, 2 , , n 与 1, 2 , , n 都是
n维空间V的基，对V中任一向量，有
x1 x , n ) 2 ( 1 , 2 , xn

高等代数第6章线性空间

1集合映射映射2线性空间的定义与简单性质线性空间的定义与简单性质3维数基与坐标基与坐标4基变换与坐标变换基变换与坐标变换5线性子空间线性子空间6子空间的交与和子空间的交与和7子空间的直和子空间的直和8线性空间的同构第第6章章线性空间1集合映射一集合?集合的定义
第6章 §1 §2 §3 §4 §5 §6 §7 §8
线性空间
集合· 映射线性空间的定义与简单性质维数· 基与坐标基变换与坐标变换线性子空间子空间的交与和子空间的直和线性空间的同构
§1
集合· 映射
一、集合
集合的定义:作为整体看的一堆东西。通
常用大写英文字母A,B,C,…表示。组成集合的东西叫元素，用小写英文字母a,b,c,…表示
Rn: 为n维实向量空间 R3: 是3维实向量空间,即通常的几何空间.
例3 Pmn: 数域P上m×n矩阵全体组成的集合对于矩阵的加法和数与矩阵的乘法构成P上线性空间. 例4 C0(a, b): 闭区间 [a, b] 上所有连续函数全体组成的集合对于函数的加法和数与函数的乘法，即 (f + g)(x) = f(x) + g(x) (kf)(x) = kf(x) 构成实数域R上的线性空间.
例2
P[x]是无限维线性空间.
例3
线性空间Pn[x]中,1, x, x2, …, xn－1 是一组基,且dim Pn[x] = n． f(x)= a0+a1x ++an-1 xn-1 在这组基下的坐标是(a0, a1,, an-1) 可以证明1, (x-a), (x-a)2,…, (x-a)n－1也是一组基。用Taylor公式展开
注
(1)零空间0没有基, 规定其维数为0,

线性代数课件_第六章_线性空间和线性变换——习题课

课件
7
２线性空间的性质
(1)零元素是唯一; 的
(2)任一元素的负元素一是的唯 ,的负元素记作;
(3)0 0;(1) ;00; (4)如果0,则 0或 0.
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３子空间
定义设 V是一个线性空间，L是 V的一个非空子集，如果 L对于V中所定义的加法和乘数两种运算也构成一个线性空间，则称 L为 V的子空间．
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记 T ( 1 , 2 , , n) (T ( 1), T ( 2), ,T ( n)), 上
式可表示为
T ( 1 , 2 , , n) ( 1 , 2 , , n) A,
其中
a 11 a 12 a 1n
A

a 21
线性空间的结构完全被它的维数所决定．任何 n维线性空间都与 R n同构，即维数相等的线性空间都同构．
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５基变换
设 1 ,, n 及 1 ,, n是线性空间V n中的两
个基,
1 p11 1 p21 2 pn1 n ,

(7)( ) ;
(8)( ) ,
那么，V就称为（实数域 R上的）向量空间（或线性空间），V中的元素不论其本来的性质如何，统称为（实）向量．
简言之，凡满足八条规律的加法及乘数运算，就称为线性运算；凡定义了线性运算的集合，就称为向量空间．
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(1,2,,n)(1,2,,n)P.
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７线性变换的定义
设有两个非空集 A, B合,如果对于 A中的任一

高教线性代数第六章线性空间课后习题答案

第六章线性空间1.设,N M ⊂证明：,M N M M N N ==I U 。

证任取,M ∈α由,N M ⊂得,N ∈α所以,N M I ∈α即证M N M ∈I 。

又因,M N M ⊂I 故M N M =I 。

再证第二式，任取M ∈α或,N ∈α但,N M ⊂因此无论哪一种情形，都有,N ∈α此即。

但,N M N Y ⊂所以M N N =U 。

2.证明)()()(L M N M L N M I Y I Y I =，)()()(L M N M L N M Y I Y I Y =。

证 ),(L N M x Y I ∈∀则.L N x M x Y ∈∈且在后一情形，于是.L M x N M x I I ∈∈或所以)()(L M N M x I Y I ∈，由此得)()()(L M N M L N M I Y I Y I =。

反之，若)()(L M N M x I Y I ∈，则.L M x N M x I I ∈∈或在前一情形，,,N x M x ∈∈因此.L N x Y ∈故得),(L N M x Y I ∈在后一情形，因而,,L x M x ∈∈x N L ∈U ，得),(L N M x Y I ∈故),()()(L N M L M N M Y I I Y I ⊂于是)()()(L M N M L N M I Y I Y I =。

若x M N L M N L ∈∈∈UI I （），则x ，x 。

在前一情形X x M N ∈U ， X M L ∈U 且，x M N ∈U 因而（）I U （M L ）。

,,N L x M N X M L M N M M N M N ∈∈∈∈∈⊂U U U I U U I U U U U I U I U 在后一情形，x ,x 因而且，即X （M N ）（M L ）所以（）（M L ）（N L ）故（L ）=（）（M L ）即证。

3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：1）次数等于n （n ≥1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；2）设A 是一个n ×n 实数矩阵，A 的实系数多项式f （A ）的全体，对于矩阵的加法和数量乘法；3）全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 4）平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法； 5）全体实数的二元数列，对于下面定义的运算：212121121112b a b a a b b a a k k b a ⊕+=+++-1111（a ，）（（，）（）k 。

高等代数下期末复习

第六章线性空间一线性空间的判定线性空间中两种运算的８条运算规律缺一不可，要证明一个集合是线性空间必须逐条验证．若要证明某个集合对于所定义的两种运算不构成线性空间，只需说明在两个封闭性和８条运算规律中有一条不满足即可。

例：检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：1）次数等于n （n ≥1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；2）全体n 阶反对称矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法；解： 1）否。

因两个n 次多项式相加不一定是n 次多项式，例如523n nx x ++--=（）（）。

2） n 阶矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的1~8条性质，即全体n 阶矩阵对矩阵的加法和和数量乘法是构成线性空间的。

“全体n 阶反对称矩阵”是“n 阶矩阵”的子集，故只需验证反对称矩阵对加法与数量乘法是否封闭即可。

当A ，B 为反对称矩阵，k 为任意一实数时，有'''（A+B ）=A +B =-A-B=-(A+B ），即A+B 仍是反对称矩阵。

A kA k A A ''==-=-（k ）（）（k ），所以kA 是反对称矩阵。

故反对称矩阵的全体构成线性空间。

例：齐次线性方程组A x =0的全体解向量的集合，对于向量的加法和数乘向量构成一个线性空间，通常称为解空间。

而非齐次线性方程组 A x =b 的全体解向量的集合，在上述运算下则不是线性空间，因为它们的两个解向量的和已经不是它的解向量。

二、基维数坐标定义:在线性空间V 中，如果存在n 个线性无关的向量12n ,,,ααα使得：V 中任一向量α都可由12n ,,,ααα线性表示，那么，12n ,,,ααα就称为线性空间V 的一个基，n 称为线性空间V 的维数。

记作dim V =n 。

维数为n 的线性空间称为n 维线性空间。

定义（向量的坐标）：设12n ,,,ααα是线性空间n V 的一个基。

第六章-线性空间习题解答- P267培训课件.doc

第六章线性空间习题解答P267.1设,,M N MN M MN N ⊆==证明:证明: 一方面.M N M ⊆ 另一方面, 由于M M ⊆,,N M ⊆ 得.N M M ⊆ 2 证明: (1))()()(L M N M L N M =.(2))()()(L M N M L N M =证明: (1) .),(L N x M x L N M x ∈∈∈且则设即.M x N x M x ∈∈∈或且L x ∈且. 于是有)()(L M N M x ∈.另一方面,因为 )(,)(L N M L M L N M N M ⊆⊆,所以)()()(L N M L M N M ⊆.(2) 一方面, ))(,)(L M L N M N M L N M ⊆⊆,所以)()()(L M N M L N M ⊆.另一方面, .),()(L M x N M x L M N M x ∈∈∈∀且则若).(,L N M x M x ∈∈则若∈∈∈∉x L x N x M x 所以且则.,.L N 总之有)()()(),(L N M L M N M L N M x ⊆∈所以.3. 检查以下的集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间. 1) 次数等于n(n ≥1)的实系数多项式的全体,对于多项式的加法和数量乘法. 2) 设A 是n ⨯n 实矩阵, A 的实系数多项式f (A)的全体, 对于矩阵的加法和数量乘法.3) 全体n 级实对称(反对称,上三角)矩阵, 对于矩阵的加法和数量乘法.4) 平面上不平行于某一向量的全体向量所成的集合,对于向量的加法和数量乘法.5) 全体实数的二元数列,对于下面定义的运算:),(),(),(2121212211a a b b a a b a b a +++=⊕,)2)1(,(),(211111a k k kb ka b a k -+= .6) 平面上全体向量,对于通常的加法和如下定义的数量乘法: k ⋅α=0. 7) 集合与加法同(6), 数量乘法为k ⋅α=α.8) 全体正实数R +,加法和数量乘法定义为: a ⊕b=ab , ka=a k .1) 否. ,因为2个n 次多项式相加不一定是n 次多项式. 取f (x )=x n , g (x )=x n -1. 则f (x )+g (x )= -1不再是n 次多项式.2) 是. 因为集合]}[)(|)({x R x f A f V ∈=作为n 级实矩阵全体的子集, 关于矩阵的加法和数量乘法封闭. 且满足8条运算律.3) 是. 因为实对称(反对称,上三角)矩阵之和或之倍数仍是实对称(反对称,上三角)矩阵. 且满足8条运算律.4) 否. 设{}|V ααβ=为平面上不平行的向量,β=(a,b)≠0. 取α=(a+1,b), γ=(a -1, b), 则α, γ∈V , 但是, α+ γ ∉V . 5) 证明: 10显然V 非空.02 关于两个代数运算加法和数乘封闭.03 先设R t k b a r b a b a ∈===,),,(),,(),,(332221及βα,2121211231212312312312323123122323123123123231213(1)(,);(2)()((),()()(,();()((),(()()(,)();(3a a b b a a r a a a b b a a b a a a a a a b b b a a r a a a b b b b a a a a a a a a b b b a a a a a a r αββααβαβαβ⊕=⊕=+++⊕+=+++++++=+++++⊕⊕=++=+++++=+++++++=++11111211121111111211111211111)0(0,0),0(0,00)(,);(4)(,);()(),()()(0,0)0;1(5)1(1,11(11))(,);211(6)()(,(1)(,((22a b a a b a a b a a b a b a a a b a a b k l k la lb l l a kla k lb k k ααααααααα=+=+++==-=--⊕-=+-+-+-===+-===+-=+-的负为221111))(1)());2a k k la +-2111((1(1))2kla klb kla l k =++-+-=（kla 1,klb 1+211((1))2kl k a -=kl α(7) (k+l)α =（（k+1）a1,(k+l )b 1+211()(1))2k l k l a ++-=((k+1)a 1,(k+l )b 1+ 22211(2))2k l kl k l a ++--221111111111(,(1)()(1))22ka la kb k k a b l l a ka la =++-++-+⋅k l αα=⊕. (8)2121212121212121()(,)((),((1)())2k k a a b b a a k a a k b b a a k k a a αβ⊕=+++=++++-+ 22121122121211(,(1)(1)(1))22ka ka kb k k a kb k k a ka a k k a a =++-++-++-2221211221211(,((1))((1)())22ka ka kb k k a kb k k a k a a =++-++-+2212122211(,(1))((1))22ka kb k k a ka kb k k a αβ=+-⊕+-=⊕故V 是一个线性空间. 6) 否. 不满足定义3之(5):1100αααα==≠，但这里。

高等代数课后习题答案(山东大学出版社第二版)第六章线性空间

第六章线性空间第一节映射∙代数运算1．（1）双射. （2）非单射也非满射. (3）非单射也非满射. （4）满射. 2．（1）由b a b gf a gf =⇒=)()(.（2）C c ∈∀，B b ∈∃使c b g =)(（因为g 为满射），对于b ，又A a ∈∃使b a f =)(（因为f 为满射），即c a gf=)(.3．由2知gf为双射，且C I g gff=--11，C I gf g f=--11，因此111)(---=g fgf .4.A b a ∈∀,，若)()(b f a f =，则)()(b gf a gf =，由b a I gf A =⇒=，故f为单射.B b a f A a ∈=∃∈∀)(,，使a a gf b g ==)()(.第二节线性空间的定义1. (1)，(2)不是线性空间；(3)，(4)，(5)，(6)是线性空间．2. 否．因为R i i ∉=⋅1．4. 设α为非零向量，F l k ∈∀,，当l k ≠时， ααl k ≠，因此V中含有无限个向量．5. 因为φ≠∈V )0,0(,显然⊕是V 上的代数运算，"" 为V V R →⨯的代数运算．且容易验证（１）——(8）条运算律均成立.6. 若在nF 中,通常的加法及如下定义的数量乘法: 0=⋅αk ．容易验证当0≠α时，αα≠=⋅01,但其余7条运算律均成立．第三节基维数坐标1. 提示：反证法．2.(1)一个基为),,2,1(n i E ij =,)(j i E E ji ij ≠+，维数为2)1(+n n ．(2)一个基为)(j i E E ji ij≠-，维数2)1(-n n ．(3)一个基为2，维数为1． (4)一个基2,,A A E ，维数为3．3. 易证n n n l ααααααα,,,,,,2121 +↔，由l 的任意性及当l k ≠时n n k l αααα+≠+11，可得结论．4.易知C x x x a x a x a xn n ),,,,1())(,,)(,,1(1212--=--- ,其中⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=-------10)(100)(210)(133122112n n n n n n n a C a C a a a a C且01≠=C ．其坐标为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1101n a a a C ． 5. (1))3,4,1,4(--． (2) )0,1,0,1(-．6. 22n 维．一个基为),,2,1,(,n j k i E E kj kj =．第四节基变换和坐标变换１.(1) 过渡矩阵为 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0001100001000010 ．(2) 过渡矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010000100001 k ．3. 非零向量=ξ),,,(k k k k -,F k ∈且0≠k .4. 易知C n n ),,,(),,,(2113221ααααααααα =+++，其中C 的行列式为1)1(1+-=+n C N k k n k n ∈⎩⎨⎧-===12,22,0．因此当n 为偶数时不为V 的基;当n 为奇数时为V的基．第五节线性子空间1. (1),(2)是nF 的子空间，(3)不是nF 的子空间． 2. (1) 一个基为1,12--x x ，维数为2．(2)一个基为421,,ααα，维数为3．3. (1)φ≠)(A C ，且)(,21A C B B ∈∀,易证AB B B B A )()(2121+=+,因此)(21A C B B ∈+，又Fk ∈∀,有A kB kB A )()(11=，所以n F kB ∈1，从而)(AC 是n F 子空间．(2)n n F A C ⨯=)(．(3) 一个基为),,2,1(n i E ii =，维数为n ．4. 只证3221,,αααα↔．5.若1dim >W ,必V ∈∃βα,,对F k ∈∀均有βαk ≠．令),,,(),,,,(2121n n b b b a a a ==βα且11kb a =,当2≥n 时至少有一个i使i ikb a ≠,于是βαk -的第一个分量为0,但是第i个分量不为0的向量，矛盾．6. 只证V ∈∃α，但1W ∉α且2W ∉α．由1W 为真子空间知，V ∈∃α但1W ∉α，若2W ∉α则结论成立．若2W ∈α，则由2W 为真子空间知V∈∃β但2W ∉β，若则结论成立．若1W ∈β则V ∈+βα但1W ∉+βα，且2W ∉+βα．第六节子空间的和与直和2．取V 的基n εεε,,,21 ，易证)()()(21n L L L V εεε⊕⊕⊕= ．3．显然21211W W W V ++=，设21211=++ααα，其中2211),2,1(,W i W i i ∈=∈αα，则)(21211=++ααα及21W W V ⊕=，可得0,021211==+ααα，再由12111W W W ⊕=知01211==αα，故21211W W W V ⊕⊕=．4.必要性∑-=⋂∈∀11i j ji i W W α，则∑-=∈11i j ji W α于是令121-+++=i i αααα 从而由000121=+++-+++- i i αααα及∑=ti iW 1为直和可知0=i α．充分性假设21=+++t ααα 中最后一个不为的是iα,即)1(,01>===+i t i αα ，则{}011121≠⋂∈----=∑-=-i j j i i i W W αααα 矛盾．5. 首先21W W Fn+=，其次2121),,,(W W a a a n ⋂∈=∀ α，由n a a a === 21及021=+++n a a a ，可知0=i a 即0=α．6.nF ∈∀α，由αααA E A +--=)(,易证21,)(W A W E A ∈∈--αα，故21W W +∈α，即21W W F n +⊆且n F W W ⊆+21，于是21W W F n +=．21W W +∈∀β,可得0=β,从而21W W F n ⊕=.7. 充分性n F X ∈∀，由X AE X X E X 22-++=，易证21W W Fn+⊆．且21W W ⋂∈∀α由 ⎝⎛=+=-0)(0)(ααE A E A ，可得0=α，故21W W F n ⊕=．必要性由21W W F n ⊕=可知，nF X ∈∀有21X X X +=，且由⎪⎩⎪⎨⎧-==+=-21210)(0)(XX X X E A X E A ，可得X A E X X A E X 2,221-=+=．故0)(212)(2=-=+-X E A X A E E A ，由X 的任意性可知E A =2． 8. 余子空间为),(43εεL ，其中)1,0,0,0(),0,1,0,0(43==εε．9. 取W 的基r ααα,,,21 ,将其扩充成V 的基n r r ααααα,,,,,,121 +,取F k k L W n r r k ∈+=++),,,,(211αααα ，则k W 为W 的余子空间，且当l k ≠时，l k W W ≠．10.)3()2(),2()1(⇒⇒,显然．)4()3(⇒利用维数公式对t 用数学归纳法； )5()4(⇒只证i W 的基的联合是线性无关的即可； )1()5(⇒∑=∈∀ti iW 1α,设t t βββαααα+++=+++= 2121,其中ti W i i i ,,2,1,, =∈βα,令iiirir i i i i i b b b αααα+++= 2211,iiirir i i i i i c c c αααβ+++= 2211,其中iiri i ααα,,,21为iW 的基．由0)()()(2211=+++-+-t t βαβαβα 得0)()()()(111111*********=-++-++-++-t t t tr tr tr t t t r r r c b c b c b c b αααα于是0,,01111=-=-t t tr tr c b c b ，即t i i i ,,2,1, ==βα．第七节线性空间的同构2.R x ∈∀，令x x 2)(=σ即可．3. 二者维数相同．n m ij F a A ⨯∈∈∀)(,令),,,,,,,,()(2111211mn m m n a a a a a a A =σ4.112210)(--++++=∀n n x a x a x a a x f ，令),,,())((110-=n a a a x f σ．5. 基为4321,,,ββββ，维数为4．6. 基为D C B A ,,,，维数为4．7. 令b a V V →:σ， )()(()()(x h b x x h a x x f -→-=a V x h a x x f x h a x x f ∈-=-=∀)()()(),()()(2211,若)()()()(21x hb x x h b x -=-则)()(21x h x h =，从而)()(21x f x f =，即σ为单射．)()()(1x g b x x g -=∀，有)()()(1x g a x x f -=使)())((x g x f =σ，即σ为满射．a V x f x f ∈∀)(),(21及F l k ∈∀,，易证)()(),()()((22121x f l x f x f k x lf x kf σσσ+=+．补充题六1.),,,(21 ++n n n x x x L ．2. 设F 作为K 上的线性空间的维数为n ，其一个基为n e e e ,,,21 ，设E 作为F 上的线性空间的维数为m ，其一个基为n εεε,,,21 ，则{}m j n i e j i ,,2,1;,,2,1| ==ε为E 作为K 上的线性空间的一个基．事实上，E ∈∀α，可设m i F b e b i ni i i ,,2,1,,1 =∈=∑=α．而F 是K 上的线性空间，可设n j m i K a a a a b ij n in i i i ,,2,1;,,2,1,,2211 ==∈+++=εεε．故∑∑===mi nj j i ij e a 11)(εα．令0)(11=∑∑==mi nj i j ije kε,n j m i K k ij ,,2,1;,,2,1, ==∈，则0))(11=∑∑==m i nj i j ij e k ε，故j nj ijkε∑=1，进而n j m i k ij ,,2,1;,,2,1,0 ===．故{}m j n i e j i ,,2,1;,,2,1| ==ε是其一个基．3. 设1V 的基为r εεε,,,21 ，将其扩充为V的基n r r εεεεε,,,,,,121 +，令),,(11n r L W εε +=,则11W V V⊕=，又令),,,(22112r n n r r L W -+++++=εεεεεε这里r r n ≤-,易证r εεε,,,21 ,r n n r r -+++++εεεεεε,,,2211 线性无关,从而21W V V ⊕=．设21W W ⋂∈α,则n n r r r n n n r r l l k k εεεεεεα++=++++=++-++ 11111)()(,得到01===+n r k k ，进而0=α，即{}021=⋂W W ．若2n r<上述问题不成立，用反证法，设2111W V W V V ⊕=⊕=，而{}021=⋂W W ，令n r r εεε,,,21 ++是1W 的基，''1,,n r εε +是2W 的基，则n r r εεε,,,21 ++,''1,,n r εε +线性无关．事实上,考察n n r r k k εε++++ 110''11=+++++nn r r l l εε 所以n n r r k k εε++++ 11{}021''11=⋂∈---=++W W l l nn r r εε 因此011=++++n n r r k k εε进而0,011====+=++n r n r l l k k ,而''11,,,,,n r n r εεεε ++共有)2(r n n r n r n -+=-+-个向量，因为2nr <，所以02,2>->r n r n ，故n r n r n >-+-，矛盾．4. 解设)(x m A 为A 的最小多项式,令)(x m A 的次数m ，则1,,,-m A A E线性无关，从而m W =dim .事实上，首先1,,,-m A A E线性无关，否则存在110,,-m k k k 不全为零，使01110=+++--m m A k A k E k ，而令0,011===≠-+m i ik k k ，即10,010-≤<=+++m i A k A k E k i i ，与)(x m A 为A 的最小多项式矛盾，从而它们线性无关． ][)(x P x f ∈∀，则存在)(),(x r x q ，使,)(deg 0)(),()()()(m x r or x r x r x q x m x f A <=+=故 )()(A r A f =即)(A f 可由 1,,,-m A A E 线性表示．故 1,,,-m A A E 为W 的基．5. 参考本章第五节练习题6．6. 证对用数学归纳法．当2=s 时，由上题知，结论成立；假定对1-s 个非平凡的子空间结论成立，即在V中存在向量α，使1,,2,1,-=∉s i V i α对第s 个子空间s V ，若s V ∉α，结论已对；若s V ∈α，则由于s V 为非平凡子空间，故存在s V ∉β．对任意数k ，向量s V k ∉+βα，且当21k k ≠时向量βαβα++21,k k 不属于同一个)11(-≤≤s i V i ．今取s 个互不相同的数s k k k ,,,21 ，则s 个向量βαβαβα+++s k k k ,,,21中至少有一个不属于任何121,,,-s V V V ，这样的向量即满足要求．7. 只证0=X AA T 与0=X A T 同解即可．8. 设012=X A 与012=X B 的解空间分别为1V 与2V ．1V ∈∀α，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-ααααα2222222222121000A B A B A B A A ,故222V A ∈α．令αασ22:A →，易证σ是1V 到2V 的同构映射．9. 由维数公式)dim(dim )dim())dim((k j i k j i k j i W W W W W W W W W ++-++=⋂+得)dim ()dim (dim )dim (j i k j i k j i k W W W W W W W W d ⋂+++-++=)dim(dim dim dim k j i k j i W W W W W W ++-++=从而321d d d ==．10. 证设齐次方程组0=AX 的解空间为1W ，齐次方程组0=BX 的解空间为2W ．任取21W W ⋂∈α,则0,0==ααB A ,从而0=⎪⎪⎭⎫⎝⎛αB A ,由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B A C可逆,所以0=α,即{}021=+W W ,因此n F n W W dim )dim (21==+,且n F W W ⊆+21,因此21W W F n⊕=． 11. 证任取)(AB N X ∈，由n I BD AC =+，则 BDX ACX X +=由0)()(==ABX C ACX B ,所以)(B N A C X ∈,由)()(==ABX D BDX A ,所以)(A N B D X ∈,从而)()()(B N A N AB N +=．任取)()(B N A N X ⋂∈，则)(A N X ∈，从而)(,0NB X AX ∈=，从而0=BX ，于是0)()(=+=+=BX D AX C BDX ACX X 即)()()(B N A N AB N ⊕=．12. 证法同上题. 13. (1)证例如，取)1,,1,1( =α，则由α的一切倍数)(F k k ∈α作成的子空间W 中，每个非零向量0),,,,(≠=k k k k k α的分量都不是零．(2) 见习题6.5中的题5． 14. 证必要性显然；充分性设221121,,0V V ∈∈=+ββββ，则21ααα+=，由α的分解唯一可知021==ββ，故21V V +是直和． 15. 若n ααα,,,21 是V 作为C 上的线性空间的基，则n n i i ααααα,,,,,,121 是V作为R 上的线性空间的基．16. 若{}0=W ，则n n F A ⨯∈∀且0,0||=≠AX A 的解空间即为W ;若{}0≠W,且设r W =dim ,取其一个基r ααα,,,21 ,令r i in i i i ,,2,1),,,,(21 ==αααα则以n r ij a A ⨯=)(为系数矩阵的齐次方程组0=AX 的基础解系为r n -βββ,,,21 ，且令r n j b b b jn j j j -==,,2,1),,,,(21 β．则齐次方程组0=BY 的解空间为r 维，且r ααα,,,21 为其一个基础解系．即),,(21r L W ααα =，其中n r n ij b B ⨯-=)()(．17. 令121dim )dim(V t V V =+⋂,221dim )dim (V l V V =+⋂而1)dim ()dim (dim dim dim )dim (2121212121+⋂=+++=⋂-+=+V V t l V V V V V V V V于是1,01==⇒=+t l t l或者0,1==t l ．当0=l时，221V V V =⋂，此时12V V ⊆．当0=t时，121V V V =⋂，此时21V V ⊆．18. 取基为n n αααα,,,21 ++．19. 设A 为半正定的，故存在秩为r 的矩阵B ，使B B A '=，由此'S S =．其中{}|'==xAx x S{}|'1==Ax x S 此时构成线性空间，维数为r n -．设A 为半负定的，则A -为半正定的．令 {}0|'==xAx x S {}0|'1==Ax x S若A 不定，则存在可逆矩阵Q 使 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0'qp E E QAQ 那么经过线性变换YQ X =,)(x f 化为221221'')(q p p p y y y y Y YQAQ x f ++---++==取1,111==+p y y ，其它0=i y ，得)0,,0,1,0,,0,1(1 =x ,从而0)(1=x f ,取1,111=-=+p y y ，其它0=i y ，得)0,,0,1,0,,0,1(2 -=x ，从而0)(2=x f ，但是)0,,0,2,0,,0,0(21 =+x x ，04)(21≠-=+x x f ，所以此时不能构成线性空间．20. (1) 用定义直接验证; (2) 维数为n ,基:1,,,-n A A E ．。

《线性代数》教学课件—第6章线性空间与线性变换第一节线性空间与线性变换

对于通常的多项式加法、数乘多项式的乘法构成向量空间. 这是因为通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运算显然满足线性运算规律, 故只要验证 P[ x ]n 对运算封闭:
(an xn a1x a0 ) (bn xn b1x b0 ) (an bn )xn (a1 b1)x (a0 b0 ) P[x]n ,
(ii) (a b) c (ab) c (ab)c a(bc) a (b c);
(iii) R+ 中存在零元素 1 , 对任何 a R+ , 有
a 1 a 1 a;
(iv) 对任何 a R+ , 有负元素 a-1 R+ , 使
a a1 aa1 1;
( v ) 1 a a1 a; ( vi ) ( a) a (a ) a ( ) a; (vii) ( ) a a aa a a
对于通常的有序数组的加法及如下定义的乘法
(x1, x2,, xn )T (0,0,,0)T
不构成向量空间. 可以验证 Sn 对运算封闭. 但因
1 x 0
不满足运算规律 (v) , 即所定义的运算不是线性运算, 所以 Sn 不是向量空间.
比较 Sn 与 Rn , 作为集合, 它们是一样的, 但由于在其中所定义的运算不同, 以致 Rn 构成向量空间而 Sn 则不是向量空间. 由此可见, 向量空间的概念是集合与运算二者的结合. 一般地说, 同一个集合, 若定义两种不同的线性运算, 就构成不同的向量空间；若定义的运算不是线性运算, 就不
主要内容
线性空间的定义举例线性空间的性质子空间
一、线性空间的定义
1. 定义定义 1 设 V 是一个非空集合, R 为实数域.
如果对于任意两个元素 , V, 总有唯一的一个元素 V 与之对应, 称为与的和, 记作 = + ;又对于任一数 R 与任一元素 V , 总有唯一的一个元素 V 与之对应, 称为与的积, 记作 ; 并且这两种运算满足以下八条运算规律(设 , , V ; , R):

第六章线性空间综合练习题及解答

第六章线性空间（综合练习题）一．填空题1．在4P 中，若1234(1,2,0,1),(1,1,1,1),(1,,1,1),(0,1,,1)k k αααα===-=线性无关，则k 的取值范围是3≠k ．2．设V 是有限维线性空间，21,V V 是V 的两个子空间，则它们的维数满足等式)dim (dim dim )dim (212121V V V V V V -+=+．3．线性子空间中最小的子空间是 _____{0}__ _ ． 4．生成子空间),,,(21r L ααα 的维数等于 ),,,(21r R ααα ．5．(){}123123,,,0i W a a a a F a a a =∈++=,则dim W =__2__ ．基是 )1,0,1(,)0,1,1(-- 6．设W 是齐次线性方程组054321=++++x x x x x 的解空间，则维（W ）= ___4_____ ，W 的一组基是)1,0,0,0,1(,)0,1,0,0,1(,)0,0,1,0,1(,)0,0,0,1,1(----．7．设V 与W 都是P 上的两个有限维线性空间，则⇔≅W V W V dim dim =． 8．()()()()()()121,1,0,1,0,1,0,1,1,1,2,3W L W L ==，则()=+21dim W W ____3____． 9．设1W ．2W 都是V 的子空间，且1W +2W 为直和，那么()12dim W W =___0____． 10．数域P 上任一n 维线性空间V 都与线性空间____n P ____同构. 11．下列集合有____3____个是n R 的子空间； 11212{(,,)|,0}n i n W x x x x R x x x α==∈+++=； 21212{(,,)|,}n i n W x x x x R x x x α==∈===；3{(,,,,,,)|,}W a b a b a b a b R α==∈； 412{(,,)|}n i W x x x x α==为整数．二．选择题1．线性空间V 是零线性空间，则V 中所含向量的个数是（ B ）． A ．0个； B ． 1 个； C ．n 个； D ．无穷多个． 2．设V 是线性空间，V ∈γβα,,，则一定有（ B ）．A ．βαγ+=；B ．)(γαβγβα++=++ ；C ．γββα+=+；D ．γβα,,线性无关． 3．12,,,s ααα线性无关的充要条件是( C )． A ．12,,,s ααα均非零向量； B ．12,,,s ααα的任两个向量分量成比例；C ．12,,,s ααα中任一向量不能由其余的向量线表示；D ．12,,,s ααα中有一部分线性无关．4．设1V ，2V 是数域P 上n 维线性空间V 的两个非零子空间，则 12dim dim V V +=（ B ）． A ．1212dim()dim()V V V V +-⋂； B ．1212dim()dim()V V V V ++⋂ ； C ．12dim()V V +； D ． 0．5．下列关于子空间21V V 与是直和的描述中不正确的是（ C ）． A ．任一向量21ααα+分解式是唯一的； B ．零元素表示法唯一； C ．φ=21V V ； D ．2121dim dim )dim (V V V V +=+．三．计算题1、在4P 中，求向量ζ在基4321,,,εεεε下的坐标。

第六章线性空间

第六章线性空间§ 1集合•映射一、集合集合是数学中最基本的概念之一，所谓集合就是指作为整体看的一堆东西• 组成集合的东西称为这个集合的元素•用a M表示a是集合M的元素，读为：a属于M .用a F M表示a不是集合M的元素，读为：a不属于M .所谓给出一个集合就是规定这个集合是由哪些元素组成的•因此给出一个集合的方式不外两种，一种是列举法：列举出它全部的元素，一种是描述法：给出这个集合的元素所具有的特征性质.设M是具有某些性质的全部元素所成的集合，就可写成M = "a |a具有的性质—不包含任何元素的集合称为空集，记作'.如果两个集合M与N含有完全相同的元素，即a M当且仅当a N，那么它们就称为相等，记为M二N .如果集合M的元素全是集合N的元素，即由a • M可以推出a • N，那么M 就称为N的子集合，记为M N或N二M .两个集合M和N如果同时满足M N和N二M .,则M和N相等.设M和N是两个集合，既属于M又属于N的全体元素所成的集合称为M 与N 的交，记为M N .属于集合M或者属于集合N的全体元素所成的集合称为M与N的并，记为M N .二、映射设M和M •是两个集合，所谓集合M到集合M的一个映射就是指一个法则，它使M中每一个元素a都有M •中一个确定的元素a •与之对应.如果映射二使元素a > M与元素a • M对应，那么就记为a ■就为a在映射二下的像，而a称为a ■在映射二下的一个原像.M到M自身的映射，有时也称为M到自身的变换.关于M到M •的映射匚应注意：1）M与M •可以相同，也可以不同；2）对于M中每个元素a，需要有M •中一个唯一确定的元素a •与它对应；3）—般，M •中元素不一定都是M中元素的像；4）M中不相同元素的像可能相同；5）两个集合之间可以建立多个映射.集合M到集合M ■的两个映射二及.，若对M的每个元素a都有二（a）二.（a）则称它们相等，记作二二...例1 M是全体整数的集合，M •是全体偶数的集合，定义-（n） = 2n, n M ,这是M到M •的一个映射.例2 M是数域P上全体n级矩阵的集合，定义5（A） A|,A M .这是M到P的一个映射.例3 M是数域P上全体n级矩阵的集合，定义二2（a）二aE , a P .E是n级单位矩阵，这是P到M的一个映射.例4对于f（x） P[x],定义r f（X））= f （x）这是P[X]到自身的一个映射.例5设M，M是两个非空的集合，a0是M中一个固定的元素，定义「（a）二a0,a M .这是M到M •的一个映射.例6设M 是- -个集合，定义二（a）二 a ,a M .即二把M的每个元素都映到它自身，称为集合M的恒等映射或单位映射，记为1 M .例7任意一个定义在全体实数上的函数y 二f（x）都是实数集合到自身的映射，因此函数可以认为是映射的一个特殊情形.对于映射可以定义乘法，设匚及.分别是集合M到M，M ■到M “的映射，乘积.二定义为（.；「）（a） = （；「（a）） ,a M ,即相继施行；「和.的结果，.；「是M到M ”的一个映射.对于集合集合M到M的任何一个映射匚显然都有1M一"M .映射的乘法适合结合律.设匚,•「分别是集合M到M，M ■到M ，M “到M托勺映射，映射乘法的结合律就是（-）；「- （；「）.设二是集合M到M •的一个映射，用；「（M ）代表M在映射二下像的全体，称为M在映射二下的像集合.显然；「（M ） M .如果二（M ）二M •，映射二称为映上的或满射.如果在映射二下，M中不同元素的像也一定不同，即由a^ - a2一定有二（耳）=二（a?），那么映射二就称为1-1的或单射.一个映射如果既是单射又是满射就称1-1对应或双射.对于M到M •的双射二可以自然地定义它的逆映射，记为匚* .因为二为满射，所以M •中每个元素都有原像，又因为二是单射，所以每个元素只有一个原像，定义二'(a)二a,当二(a) = a .显然，二」是M ■到M的一个双射，并且'■- '■- = = 1 M '.不难证明，如果匚,.分别是M到M , M ■到M ”的双射，那么乘积v就是M到M “的一个双射.§ 2线性空间的定义与简单性质一、线性空间的定义.例1 在解析几何里，讨论过三维空间中的向量.向量的基本属性是可以按平行四边形规律相加，也可以与实数作数量算法•不少几何和力学对象的性质是可以通过向量的这两种运算来描述的.10按平行四边形法则所定义的向量的加法是V3的一个运算；2°解析几何中规定的实数与向量的乘法是R X V3到V3的一个运算.30由知道，空间上向量的上述两种运算满足八条运算规律.例2.数域P上一切矩阵所成的集合对于矩阵的加法和数与矩阵的乘法满足上述规律.定义1令V是一个非空集合，P是一个数域.在集合V的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法；这就是说给出了一个法则，.对于V中任意两个向量〉与,在V中都有唯一的一个元素与它们对应，称为〉与］的和，记为 =：'■.在数域P与集合V的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法；这就是说，对于数域P中任一个数k与V中任一个元素—在V中都有唯一的一个元素：与它们对应，称为k与〉的数量乘积，记为：二k〉.如果加法与数量乘法满足下述规则，那么V称为数域P上的线性空间.加法满足下面四条规则：：1） :- - - = ■ ■ :■；2）（、£）；3）在V中有一个元素0^ V ,都有: （具有这个性质的元素0称为V的零元素）；4） -• V , 「V , st 〉• 1 = 0 （ 1 称为〉的负元素）.数量乘法满足下面两条规则：5） 1——：；6）k（l：）=（kl）：;数量乘法与加法满足下面两条规则:7）（k 亠丨）：-k：：亠丨、；;8）k （；*_亠 | ；）= k 很亠k |;在以上规则中，k,l等表示数域P中任意数；：•「，等表示集合V中任意元素.例3数域P上一元多项式环P[x],按通常的多项式加法和数与多项式的乘法，构成一个数域P上的线性空间.如果只考虑其中次数小于n的多项式，再添上零多项式也构成数域P上的一个线性空间，用P[x]n表示.例4元素属于数域P的m n矩阵，按矩阵的加法和数与矩阵的数量乘法，构成数域P上的一个线性空间，用P mn表示•例5全体实函数，按函数加法和数与函数的数量乘法，构成一个实数域上的线性空间.例6数域P按照本身的加法与乘法，即构成一个自身上的线性空间.例7以下集合对于所指定的运算是否作成实数域R上的线性空间：1）平面上全体向量所作成的集合V ,对于通常向量的加法和如下定义的纯量乘法：a ：二0,a R^ - V .2）R上n次多项式的全体所作成的集合W对于多项式的加法和数与多项式的乘法•例8设V是正实数集,R为实数域.规定，二---■（即〉与]的积）,a O ：■ —a（即〉的a次幕）,其中〉J • V,a・R.则V对于加法①和数乘。

2020年同济大学线性代数第六版第六章《线性空间与线性变换》同步练习与解析

第六章线性空间与线性变换1. 验证所给矩阵集合对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间, 并写出各个空间的一个基.(1) 2阶矩阵的全体S 1;解设A , B 分别为二阶矩阵, 则A , B ∈S 1. 因为(A +B)∈S 1, kA ∈S 1,所以S 1对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间.⎪⎭⎫ ⎝⎛=00011ε, ⎪⎭⎫ ⎝⎛=00102ε, ⎪⎭⎫ ⎝⎛=01003ε, ⎪⎭⎫ ⎝⎛=10004ε 是S 1的一个基.(2)主对角线上的元素之和等于0的2阶矩阵的全体S 2;解设⎪⎭⎫⎝⎛-=a c b a A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=d f e d B , A , B ∈S 2. 因为 2)(S d a a c b c d a B A ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++++-=+,2S ka kc kb ka kA ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-=, 所以S 2对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间.⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10011ε, ⎪⎭⎫ ⎝⎛=00102ε, ⎪⎭⎫ ⎝⎛=01003ε是S 2的一个基.(3) 2阶对称矩阵的全体S 3. 解设A , B ∈S 3, 则A T=A , B T=B . 因为 (A +B)T=A T+B T=A +B , (A +B)∈S 3, (kA)T=kA T =kA , kA ∈S 3,所以S 3对于加法和乘数运算构成线性空间.⎪⎭⎫ ⎝⎛=00011ε, ⎪⎭⎫ ⎝⎛=01102ε, ⎪⎭⎫ ⎝⎛=10003ε是S 3的一个基.2. 验证: 与向量(0, 0, 1)T不平行的全体3维数组向量, 对于数组向量的加法和乘数运算不构成线性空间.解设V ={与向量(0, 0, 1)T不平行的全体三维向量}, 设r 1=(1, 1, 0)T, r 2=(-1, 0, 1)T, 则r 1, r 2∈V , 但r 1+r 2=(0, 0, 1)T∉V , 即V 不是线性空间.3.在线性空间P[x]3中，下列向量组是否为一个基？（1）Ⅰ：1+x,x+x 2,1+x 3,2+2x+x 2+x 3（2）Ⅱ：-1+x,1-x 2,-2+2x+x 2,x 34. 在R 3中求向量α=(3, 7, 1)T在基α1=(1, 3, 5)T, α2=(6, 3, 2)T, α3=(3, 1, 0)T下的坐标. 解设ε1, ε2, ε3是R 3的自然基, 则 (α1, α2, α3)=(ε1, ε2, ε3)A , (ε1, ε2, ε3)=(α1, α2, α3)A -1,其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=025133361A , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=-1528981553621A .因为 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-173) , ,(173) , ,(1321321A αααεεεα⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=173152898155362) , ,(321ααα⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1548233) , ,(321ααα,所以向量α在基α1, α2, α3下的坐标为(33, -82, 154)T.5. 在R 3取两个基α1=(1, 2, 1)T, α2=(2, 3, 3)T, α3=(3, 7, 1)T; β1=(3, 1, 4)T, β2=(5, 2, 1)T, β3=(1, 1, -6)T. 试求坐标变换公式.解设ε1, ε2, ε3是R 3的自然基, 则 (β1, β2, β1)=(ε1, ε2, ε3)B , (ε1, ε2, ε3)=(β1, β2, β1)B -1,(α1, α2, α1)=(ε1, ε2, ε3)A =(β1, β2, β1)B -1A ,其中 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=131732121A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=614121153B .设任意向量α在基α1, α2, α3下的坐标为(x 1, x 2, x 3)T, 则⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-3211321321321) , ,() , ,(x x x A B x x x βββαααα,故α在基β1, β2, β3下的坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''-3211321x x x A B x x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=32149910726313941811913x x x .6. 在R 4中取两个基e 1=(1,0,0,0)T, e 2=(0,1,0,0)T, e 3=(0,0,1,0)T, e 4=(0,0,0,1)T; α1=(2,1,-1,1)T, α2=(0,3,1,0)T, α3=(5,3,2,1)T, α3=(6,6,1,3)T. (1)求由前一个基到后一个基的过渡矩阵; 解由题意知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=3101121163316502) , , ,() , , ,(43214321e e e e αααα, 从而由前一个基到后一个基的过渡矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=3101121163316502A . (2)求向量(x 1, x 2, x 3, x 4)T在后一个基下的坐标; 解因为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-43211432143214321) , , ,() , , ,(x x x x A x x x x αααααe e e e ,向量α在后一个基下的坐标为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-4321143213166123501301112x x x x y y y y ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------=432126937180092391213327912271x x x x . (3)求在两个基下有相同坐标的向量.解令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------4321432126937180092391213327912271x x x x x x x x ,解方程组得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11114321k x x x x (k 为常数).7.设线性空间S1中向量（2阶矩阵的全体S 1），a 1=(1210),a 2=(−1−111),b 1=(1331),b 2=(2−141)，（1）.问b 1能否由a 1， a 2线性表示；b 2能否由a 1， a 2线性表示；（2）.求由向量组a 1， a 2 ，b 1 ，b 2所生成的向量空间L 的维数和一个基。

第六章_线性空间同步复习1

线性代数第六章第一节——线性空间的定义与性质

第六章 线性空间

线性代数课件_第六章_线性空间和线性变换——1

(完整版)第六章线性空间练习题参考答案

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第六章 线性空间 习题答案

高等代数考研复习[线性空间]

高等代数第6章线性空间

线性代数课件_第六章_线性空间和线性变换——习题课

高教线性代数第六章 线性空间课后习题答案

高等代数下期末复习

第六章-线性空间习题解答- P267培训课件.doc

高等代数课后习题答案(山东大学出版社第二版)第六章线性空间

《线性代数》教学课件—第6章 线性空间与线性变换 第一节 线性空间与线性变换

第六章线性空间综合练习题及解答

第六章线性空间

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第六章线性空间

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