统计学 参数估计

总体参数可能存在的区间称为置信区间．
The two confidence intervals that are used extensively are the 95% and the 90%.
常用的置信水平及Ｚ值为：
Z=1.96
Z=1.65
Interpretation of Confidence Intervals
估计的总体参数
P(ˆ )
无偏
有偏
A
B
ˆ
2、有效性
(efficiency)
有效性：与离散度相联系。对同一总体参数 的两个无偏点估计量，有更小标准差的估计 量更有效
P(ˆ ) ˆ1 的抽样分布
B
A
ˆ 2 的抽样分布
ˆ
3、一致性
(consistency)
一致性：随着样本容量的增大，估计 量的值越来越接近被估计的总体参数
参数估计在统计方法中的地 位
统计方法
描述统计
推断统计
参数估计
假设检验
统计推断的过程
总体
样
样本统计量
本
如：样本均值
、比例、方差
§7.1 参数估计的一般问题
一、估计量和估计值
1、参数估计（Parameter Estimation） ， 用样本估计量估计总体估计值。
（1）、 点（值）估计（近似值）
(2)、（样本均值）标准误的计算
sx =
s
n
sx =
s n
(3)、 （样本均值）标准误 意义：反映抽样误差的大小。标准误越小，抽样误
差越小，用样本均数估计总体均数的可靠性越大。
与样本量的关系：S 一定，n↑，标准误↓
四、评价估计量的标准
1、无偏性
(unbiasedness)
无偏性：估计量抽样分布的数学期望等于被
总体均值的区间估计
(例题分析)
【 例 】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，为对产量
质量进行监测，企业质检部门经常要进行抽检，以分析每袋 重量是否符合要求。现从某天生产的一批食品中随机抽取了 25袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从 正态分布，且总体标准差为10g。试估计该批产品平均重量 的置信区间，置信水平为95%
50
34
39
45
48
45
32
总体均值的区间估计
(例题分析)
解：已知n=36, 1- = 90%，z/2=1.645。根据样本数 据计算得：x=39.5，s=7.77 总体均值在1- 置信水平下的置信区间为
x z 2
s =39.51.6457.77
n
36
=39.52.13
= 37.37,41.63
For a 95% confidence interval about 95% of the similarly constructed intervals will contain the parameter being estimated.
95% of the sample means for a specified sample size will lie within 1.96 standard deviations of the hypothesized population mean.
投保人平均年龄的置信区间为37.37岁~41.63岁
总体均值的区间估计
(正态总体、s２未知、小样本)
总体均值的区间估计
(小样本)
1. 假定条件
– 总体服从正态分布,且方差(s２) 未知
– 小样本 (n < 30)
2. 使用 t 分布统计量
t = x ~t(n1)
sn
3. 总体均值 在1-置信水平下的置信区间为
（2）、 区间估计（近似范围）
●估计：人人都做过。如：
上课时，你会估计一下老师提问你的概率有 多大？
过马路闯红灯时，你会估计一下被罚款的概 率有多大？
推销员年初时要估计今年超额完成任务的概 率有多大？
2、估计量与估计值
(estimator & estimated value)
(1)估计量：用来估计总体参数的样本统计量。 如：样本算术平均数、样本中位数、样本 标准差、样本方差等。
112.5 102.6 100.0 116.6 136.8
25袋食品的重量 101.0 103.0 102.0 107.5 95.0 108.8 123.5 102.0 101.6
95.4 97.8 108.6 102.8 101.5 98.4
100.5 115.6 102.2 105.0
93.3
总体均值的区间估计
根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量 与总体参数的接近程度给出一个概率度量
– 比 如 ， 某 班 级 平 均 分 数 在 75 ～ 85 之 间 ， 置 信 水 平 是
95%
置信区间
样本统计量
(点估计)
置信下限
置信上限
=xz2sx
区间估计的图示
sx
- 2.58sx
x
-1.65 sx
+1.65sx + 2.58x
x t 2
s n
t 分布
t 分布是类似正态分布的一种对称分布，它通常要比 正态分布平坦和分散。一个特定的分布依赖于称之 为自由度的参数。随着自由度的增大，分布也逐渐 趋于正态分布
标准正态分布
标准正态分布
t (df = 13)
t 分布
x
t 分布与标准正态分布的比较
t (df = 5)
z
t
不同自由度的t分布
区间估计表明总体参数可能存在的范围．
s
X Z
2
n
Z~N(0,1)
Interval Estimates
s
X Z
2
n
The interval within which a population parameter is expected to occur is called a confidence interval.
The factors that determine the width of a
confidence interval are:
4、影响置信区间宽度的因素有：
（1）. The sample size, n.
样本容量n
sx =
s
n
（2）. The variability in the population
-1.96 sx
+1.96sx
90%的样本
95% 的样本
99% 的样本
1、置信水平 (confidence cofficient)
（1）将构造置信区间的步骤重复很多次， 置信区间包含总体参数真值的次数所 占的比例称为置信水平
（2）表示为 (1 -
为是总体参数未在区间内的比例
（3）常用的置信水平值有 99%, 95%, 90%
换句话说，做出校全体女大学生身高均数为 163.0 -- 164.5cm的结论，说对的概率是95%，说错 的概率是5%；做出校全体女大学生身高均数为162.7 – 164.7cm的结论，说对的概率是99%，说错的概率 是1%。
3、置信区间与置信水平
均值的抽样分布
sx
/2
1 –
/2
x
x =
(1 - ) 区间包含了 的区间未包含
总体数据的离散程度，用 s 来测度
（3）. The desired level of confidence.
置信水平 (1 - )，影响 z 的大小
5、标准误（Standard error)
(1)、概念 抽样误差：由于抽样引起的样本统计量与总
体参数之间的差异。
标准误 ：表示抽样误差大小的指标； 即样本均值的标准差；
相应的 为0.01，0.05，0.10
2、置信区间
(confidence interval)
（1）由样本统计量所构造的总体参数的估计 区间称为置信区间
（2）统计学家在某种程度上确信这个区间会 包含真正的总体参数，所以给它取名为置 信区间
（3）用一个具体的样本所构造的区间是一个 特定的区间，我们无法知道这个样本所产 生的区间是否包含总体参数的真值
x
successes n trials
2、点估计的方法有矩估计法、顺序统计量法、 最大似然法、最小二乘法等
3、点估计用样本估计量直接作为总体均数的 估计值， 未考虑抽样误差,没有给出估计 值接近总体参数程度的信息。
三、区间估计
(interval estimate)
在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间 范围，该区间由样本统计量加减抽样误差而得到的
区间估计给出总体参数的近似范围．
一个总体参数的区间估计
总体参数 均值 比例 方差
符号表示
p
s2
样本统计量
x p s2
总体均值的区间估计
(正态总体、s２已知，或非正态总体、大
样本)
总体均值的区间估计
(大样本)
1.
假定条件
– 总体服从正态分布,且方差(s２) 未知
– 如果不是正态分布，可由正态分布来近似 (n 30)
P(ˆ ) 较大的样本容量
B
较小的样本容量
A
ˆ
7.2Leabharlann Baidu一个总体参数的区间估计
7.2.1 总体均值的区间估计 7.2.2 总体比例的区间估计 7.2.3 总体方差的区间估计
Interval Estimation 区间估计
A confidence interval is a range of values within which the population parameter is expected to occur.
– 我们只能是希望这个区间是大量包含总体参 数真值的区间中的一个，但它也可能是少数 几个不包含参数真值的区间中的一个
例：
虽然不能知道某校全体女大学生身高均数的确 切数值，但有95%的把握说校全体女大学生身高均 数在163.0 -- 164.5cm之间，有99%的把握说校全体 女大学生身高均数在 162.7 – 164.7cm之间。
之差的估计
Point estimation 点估计
总体参数
Population Parameter
• Mean, µ
样本统计量
Sample Statistic
x
• Variance, s2
s2
• Proportion, p
p
计算公式
Formula x = nxi
s2
=
(xi – x)2 n–1
p
=
t 值表
横坐标：自由度， df 纵坐标：概率， p, 即曲线下阴影部分的面积; 表中的数字：相应的 |t | 界值。
t 值表规律：
(1) 自由度（df）一定时，p 与 t 成反比; (2) 概率（p） 一定时， df 与 t 成反比;
总体均值的区间估计
(例题分析)
解：已知Ｘ~N(，102)，n=25, 1- = 95%，z/2=1.96。根
据样本数据计算得：x=10.356
总体均值在1-置信水平下的置信区间为
x z 2
s =105.361.96
n
10 25
=105.363.92
=101.44,109.28
该食品平均重量的置信区间为101.44g~109.28g
第七章 参数估计
§7.1 参数估计的一般问题 §7.2 一个总体参数的区间估计 §7.3 两个总体参数的区间估计 §7.4 样本量的确定
学习目标
1. 估计量与估计值的概念 2. 点估计与区间估计的区别 3. 评价估计量优良性的标准 4. 一个总体参数的区间估计方法 5. 两个总体参数的区间估计方法 6. 样本容量的确定方法
Population Parameter总体参数
Point Estimator is a single value (statistic) used to estimate a population value (parameter).
1、用样本的估计量直接作为总体参数的估计值
▪ 例如：用样本均值直接作为总体均值的估计 ▪ 例如：用两个样本均值之差直接作为总体均值
– 例如: 样本均值就是总体均值 的一个估计量
(2)参数用 表示，估计量用 ˆ 表示
(3)估计值：估计参数时计算出来的统计量的 具体值
– 如果样本均值 x =80，则80就是的估计值
参数估计的方法
估计方法
点估计
矩估计法 顺序统计量法 最大似然法 最小二乘法
区间估计
二、点估计
(point estimation)
2. 使用正态分布统计量 z z = x ~N(0,1) sn
3. 总体均值 在1- 置信水平下的置信区间为
xz2 sn或 xz2
s(s未)知
n
Interval Estimates
An Interval Estimate states the range within which a population parameter probably lies.
总体均值的区间估计
(例题分析)
【例】一家保险公司收集到由36投保个人组成的随 机样本，得到每个投保人的年龄(周岁)数据如下表。 试建立投保人年龄90%的置信区间
36个投保人年龄的数据
23
35
39
27
36
44
36
42
46
43
31
33
42
53
45
54
47
24
34
28
39
36
44
40
39
49
38
34
48