高等数学题库第08章(多元函数微分学)

第八章 多元函数微积分

习题一

一、填空题

1. 设2

23),(y x y

x y x f +-=

，则.________)2,1(_______,)1,2(=-=-f f

2. 已知12),(2

2

++=y x y x f ，则._________________)2,(=x x f 二、求下列函数的定义域并作出定义域的图形

1.x y z -=

2. y x z -+-=11

3. 224y x z --=

4. xy z 2log =

习题二

一、是非题

1. 设y x z ln 2

+=，则

y

x x z 1

2+=∂∂ （ ） 2. 若函数),(y x f z =在),(00y x P 处的两个偏导数),(00y x f x 与),(00y x f y 均存在，则

该函数在P 点处一定连续 （ ） 3. 函数),(y x f z =在),(00y x P 处一定有),(00y x f xy ),(00y x f yx = （ ）

4. 函数⎪⎩

⎪

⎨⎧

=+≠++=0,00,),(222222y x y x y x xy y x f 在点)0,0(处有0)0,0(=x f 及

0)0,0(=y f （ ）

5. 函数22y x z +=

在点)0,0(处连续，但该函数在点)0,0(处的两个偏导数

)0,0(x z )0,0(,y z 均不存在。 （ ）

二、填空题

1. 设2ln y x z =

，则_;___________;__________1

2

=∂∂=∂∂==y x y

z

x z

2. 设),(y x f 在点),(b a 处的偏导数),(b a f x 和),(b a f y 均存在，则

._________)

2,(),(lim

=--+→h

h b a f b h a f h

三、求下列函数的偏导数：

1. ;13

3

+-=x y y x z 2. ;)

sin(22y

e

x xy xy z ++=

3. ;)1(y

xy z += 4. ;tan

ln y

x z = 5. 2

22zx yz xy u ++=

四、求下列函数的,22x z ∂∂22y z

∂∂和y

x z ∂∂∂2：

1. ;234

2

3

+++=y y x x z 2. y

x z arctan = 五、计算下列各题

1. 设),2(),(sin y x e

y x f x

+=-求);1,0(),1,0(y x f f

2. 设)ln(),(y x x y x f +=，求,2

12

2==∂∂y x x

z

,

2

122==∂∂y x y

z .2

12==∂∂∂y x y

x z

六、设)ln(3

13

1y x z +=，证明：.3

1=∂∂+∂∂y z y x z x

习题三

一、填空题

1．xy

e y x z +=2

在点),(y x 处的._______________=dz 2．2

2

y

x x z +=

在点)1,0(处的._______________=dz

3．设),(y x f z =在点),(00y x 处的全增量为z ∆，全微分为dz ，则),(y x f 在点),(00y x 处的全增量与全微分的关系式是__________________. 二、选择题

1．在点P 处函数),(y x f 的全微分df 存在的充分条件为（ ） A 、f 的全部二阶偏导数均存在 B 、f 连续

C 、f 的全部一阶偏导数均连续

D 、f 连续且y x f f ,均存在

2．使得f df ∆=的函数f 为（ ）

A 、),,(为常数c b a c by ax ++

B 、)sin(xy

C 、y

x e e + D 、2

2y x +

三、设y x z 2

=，当2.0,1.0=∆=∆y x 时，在)2,1(点处，求z ∆和dz 。 四、求下列函数的全微分

1．1322

2

++-=y xy x z 2．;sin

x

y z = 3．);1,1(),23ln(),(df y x y x f -= 4．)3,1,2(,),,(df x z y x f yz

=

习题四

一、填空题

1. ,4,3),(3

t y t x y x arc z ==-=则

_;__________=dt

dz

2. ,sin ,cos ,2

2

y x v y x u uv v u z ==-=则

_________;_________,=∂∂=∂∂y

z

x z 3. 设vw u w v u f z +==2

),,(，而;__________,,,2

===+=dz xy w x v y x u 4. 设),,(2

2

xy

e y x

f z -=，则

_________;_________,=∂∂=∂∂y

z

x z 5. 设_________;_________,,

10

2

2===+=x dx

dy

dx dy y x