高等数学题库第08章(多元函数微分学)

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(完整版)多元函数微分学复习题及答案

第八章多元函数微分法及其应用复习题及解答一、选择题1. 极限lim x y x yx y→→+00242= （提示：令22y k x =）（ B ） (A) 等于0 (B) 不存在 (C) 等于12 (D) 存在且不等于0或12 2、设函数f x y x y y xxy xy (,)sin sin=+≠=⎧⎨⎪⎩⎪1100，则极限lim (,)x y f x y →→0= （ C ）（提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小）(A) 不存在 (B) 等于1 (C) 等于0 (D) 等于23、设函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=⎧⎨⎪⎩⎪222222000，则(,)f x y （ A ）（提示：①在220x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx =，200(0,0)x x y f →→→=== ，故在220x y +=，函数亦连续.所以，(,)f x y 在整个定义域内处处连续.）(A) 处处连续 (B) 处处有极限，但不连续 (C) 仅在（0,0）点连续 (D) 除（0,0）点外处处连续4、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的（ A ） (A)必要而非充分条件(B)充分而非必要条件(C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件5、设u y x =arctan ，则∂∂u x = （ B ）(A)xx y 22+(B) -+y x y 22 (C) yx y 22+(D)-+xx y 226、设f x y yx(,)arcsin=，则f x '(,)21= （ A ）（A ）-14（B ）14 （C ）-12 （D ）127、设yxz arctan=，v u x +=，v u y -=，则=+v u z z （ C ）（A ）22v u v u -- （B ）22v u u v -- （C ）22v u v u +- （D ）22v u uv +-8、若f x x x x f x x x x (,),(,)'232612=+=+，则f x x y '(,)2= （ D ） (A) x +32(B) x -32(C) 21x + (D) -+21x 9、设z y x =，则()(,)∂∂∂∂z x zy+=21 （ A ） (A) 2 (B) 1+ln2 (C) 0 (D) 110、设z xye xy =-，则z x x x'(,)-= （ D ） (A)-+2122x x e x () (B)2122x x e x ()- (C)--x x e x ()122 (D)-+x x e x ()12211、曲线x t y t z t ===24sin ,cos ,在点(,,)202π处的法平面方程是（C ）(A) 242x z -=-π (B) 224x z -=-π (C) 42y z -=-π (D) 42y z -=π12、曲线45x y y z ==,,在点(,,)824处的切线方程是（A ）(A)842204x z y --=-= (B)x y z +==+122044 (C) x y z -=-=-85244 (D)x y z -=-=351413、曲面x z y x z cos cos +-=ππ22在点ππ2120,,-⎛⎝ ⎫⎭⎪处的切平面方程为（D ）（A ）x z -=-π1 （B ）x y -=-π1 （C ）x y -=π2 （D ）x z -=π214、曲面x yz xy z 2236-=在点(,,)321处的法线方程为（A ）（A ）x y z +=--=--58531918 （B ）x y z -=-=--3823118（C ）83180x y z --= （D ）831812x y z +-=15、设函数z x y =-+122，则点 (,)00是函数 z 的（ B ）（A ）极大值点但非最大值点（B ）极大值点且是最大值点（C ）极小值点但非最小值点（D ）极小值点且是最小值点 16、设函数z f x y =(,)具有二阶连续偏导数，在P x y 000(,)处，有2)()(,0)()(,0)(,0)(000000======P f P f P f P f P f P f yx xy yy xx y x ，则（ C ）（A ）点P 0是函数z 的极大值点（B ）点P 0是函数z 的极小值点（C ）点P 0非函数z 的极值点（D ）条件不够，无法判定 17、函数f x y z z (,,)=-2在222421x y z ++=条件下的极大值是（ C ）(A) 1 (B) 0 (C)-1 (D) -2 二、填空题 1、极限limsin()x y xy x→→0π= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：π 2、极限limln()x y x y e x y→→++01222=⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：ln23、函数z x y =+ln()的定义域为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：x y +≥14、函数z xy=arcsin 的定义域为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：-≤≤11x ，y ≠0 5、设函数f x y x y xy y x (,)ln =++⎛⎝ ⎫⎭⎪22，则f kx ky (,)= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：k f x y 2⋅(,)6、设函数f x y xy x y (,)=+，则f x y x y (,)+-= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：222x y x-（22()()(,)()()2x y x y x y f x y x y x y x y x+--+-==++-Q ）7、设f x y x y x y A x y (,)ln()//=-⋅+<+≥⎧⎨⎩11212222222，要使f x y (,)处处连续，则A= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：-ln28、设f x y x y x y x y Ax y (,)tan()(,)(,)(,)(,)=++≠=⎧⎨⎪⎩⎪22220000，要使f x y (,)在（0，0）处连续，则A= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：1 9、函数221x y z x +=-的间断点是 .答：直线10x -=上的所有点10、函数f x y x y yx (,)cos =-122的间断点为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：直线y x =±及x =011、设z x y y =-+sin()3，则∂∂z xx y ===21_________ .答：3cos512、设f x y x y (,)=+22，则f y (,)01= _________ .答：113、设u x y z x y z(,,)=⎛⎝ ⎫⎭⎪，则)3,2,1(d u =_________ .答：38316182d d ln d x y z --14、设u x x y =+22，则在极坐标系下，∂∂ur= _________ .答：0 15、设u xy y x =+，则∂∂22u x = _________.答：23yx16、设u x xy =ln ，则∂∂∂2u x y = ___________ .答：1y17、函数y y x =()由12+=x y e y 所确定，则d d y x = ___________ .答：22xye xy - 18、设函数z z x y =(,)由方程xy z x y z 2=++所确定，则∂∂zy= _______ .答：2112xyz xy --19、由方程xyz x y z +++=2222所确定的函数z z x y =(,)在点（1，0，－1）处的全微分d z = _________ .答：d d x y -220、曲线x t y t z t ===23213,,在点(,,)1213处的切线方程是_________.答：x y z -=-=-12221321、曲线x te y e z t e t t t ===232222,,在对应于 t =-1点处的法平面方程是___________. 答：01132=+--e y x 22、曲面xe y e z e ey z x ++=+223321在点(,,)210-处的法线方程为_________ . 答：e ze y x 22212=-+=- 23、曲面arctan y xz 14+=π在点(,,)-210处的切平面方程是_________.答：y z +=2124、设函数z z x y =(,)由方程123552422x xy y x y e z z +--+++=确定，则函数z的驻点是_________ .答：（－1，2） 27、函数z x y x y =----2346122的驻点是_________.答：（1，1）25、若函数f x y x xy y ax by (,)=+++++22236在点 (,)11-处取得极值，则常数a =_________， b =_________.答：a =0，b =426、函数f x y z x (,,)=-22在x y z 22222--=条件下的极大值是_______答：-4 三、计算题1、求下列二元函数的定义域，并绘出定义域的图形.(1) z = (2)ln()z x y =+ (3)1ln()z x y =+ (4)ln(1)z xy =-解：(1)要使函数z =有意义，必须有2210x y --≥，即有221x y +≤.故所求函数的定义域为22{(,)|1}D x y x y =+≤,图形为图3.1(2)要使函数ln()z x y =+有意义，必须有0x y +>.故所有函数的定义域为{}(,)|0D x y x y =+>，图形为图3.2(3)要使函数1ln()z x y =+有意义，必须有ln()0x y +≠，即0x y +>且1x y +≠.故该函数的定义域为{}(,)|01D x y x y x y =+>+≠，，图形为图3.3(4)要使函数ln(1)z xy =-有意义，必须有10xy ->.故该函数的定义域为{(,)|1}D x y xy =>，图形为图3.4图3.1 图3.2图3.3 图3.42、求极限limsin x y y xxy →→+-0211.解：lim sin x y y xxy →→+-0211=⋅++→→lim sin ()x y y x xy xy 00211= 43、求极限lim sin()x y x y x yxy →→-+0023211. 解：原式=lim ()sin()x y x y x y x y xy →→-++0232211=-++⋅→→limsin()x y x y xy xy 002111=-124、求极限lim x y xxye xy→→-+0416 . 解：lim x y xxye xy→→-+00416=++-→→lim ()x y x xye xy xy 00416= -85、设u x y y x =+sin cos ，求 u u x y ,. 解：u y y x x =-sin sinu x y x y =+cos cos6、设z xe ye y x =+-，求z z x y ,. 解：z e ye x y x =--z xe e y y x =+-7、设函数z z x y =(,)由yz zx xy ++=3所确定，试求∂∂∂∂z x zy,（其中x y +≠0）. 解一：原式两边对x 求导得yz x x zxz y ∂∂∂∂+++=0，则∂∂z x z y y x =-++同理可得：∂∂z y z x y x =-++ 解二：xy xz F F y z xy y z F F x z x y y x ++-=-=++-=-=∂∂∂∂, 8、求函数z x xy y x y =-++-+23243122的极值.解：由z x y z x y x y=-+==-+-=⎧⎨⎩43403430，得驻点(,)-10074334>=--==yy yxxy xx z z z z D z xx =>40，函数z 在点(,)-10处取极小值z (,)-=-101.9、设z e x y =+32，而x t y t ==cos ,2，求d d z t. 解：d d (sin )()zte t e t x y x y =-+++3223232=-++(sin )3432t t e x y10、设z y xy x =ln()，求∂∂∂∂z x z y,. 解：z y y xy xy x x x =⋅+ln ln 1 z xy xy yy y x x =+-11ln() 11、设u a x a x yz a =->+ln ()0，求d u . 解：∂∂u x a a ax x yz =-+-ln 1，∂∂u y a z a x yz =⋅+ln ，∂∂u zya a x yz =+ln d (ln )d ln (d d )u a a ax x a a z y y z x yz x yz =-+++-+112、求函数z x y e xy =++ln()22的全微分.解：∂∂∂∂z x x ye x y e z y y xe x y e xyxyxyxy=+++=+++222222,[]d ()d ()d z x y ex ye x y xe y xyxy xy =+++++12222 四、应用题1、要造一容积为128立方米的长方体敞口水池，已知水池侧壁的单位造价是底部的2倍，问水池的尺寸应如何选择，方能使其造价最低？解：设水池的长、宽、高分别为x y z ,,米.水池底部的单位造价为a .则水池造价()S xy xz yz a =++44 且 xyz =128令 ()L xy xz yz xyz =+++-44128λ由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==++==++==++=01280440404xyz L xy y x L xz z x L yz z y L z y x λλλλ得 x y z ===82由于实际问题必定存在最小值，因此当水池的长、宽、高分别为8米、8米、2米时，其造价最低.2、某工厂生产两种商品的日产量分别为x 和y （件），总成本函数22128),(y xy x y x C +-=（元）.商品的限额为42=+y x ，求最小成本. 解：约束条件为042),(=-+=y x y x ϕ，构造拉格朗日函数22(,,)812(42)F x y x xy y x y λλ=-+++-，解方程组160240420x y F x y F x y F x y λλλ'⎧=-+=⎪'=-++=⎨⎪'=+-=⎩，得唯一驻点)17,25(),(=y x ，由实际情况知，)17,25(),(=y x 就是使总成本最小的点，最小成本为8043)17,25(=C （元）.3、某工厂生产两种产品甲和乙，出售单价分别为10元与9元，生产x 单位的产品甲与生产y 单位的产品乙的总费用是)33(01.03240022y xy x y x +++++元，求取得最大利润时，两种产品的产量各为多少？解：),(y x L 表示获得的总利润，则总利润等于总收益与总费用之差，即有利润目标函数)]33(01.032400[)910(),(22y xy x y x y x y x L +++++-+=)0,0(,400)33(01.06822>>-++-+=y x y xy x y x ，令⎩⎨⎧=+-='=+-='0)6(01.060)6(01.08y x L y x L yx，解得唯一驻点（120，80）.又因06.0,01.0,006.0-=''=-=''=<-=''=yy xy xx L C L B L A ，得0105.332>⨯=--B AC .得极大值320)80,120(=L . 根据实际情况，此极大值就是最大值．故生产120单位产品甲与80单位产品乙时所得利润最大320元. 五、证明题 1、设)11(yx e z +-=, 求证z yz y x z x 222=∂∂+∂∂.证明：因为2)11(1x e xzy x ⋅=∂∂+-, 2)11(1ye y z y x ⋅=∂∂+-, 所以 z e e yz y x z x y x y x 2)11()11(22=+=∂∂+∂∂+-+-2、证明函数nx ey tkn sin 2-=满足关系式22x y k t y ∂∂=∂∂ 证明：因为nx e kn kn nx e ty tkn t kn sin )(sin 2222⋅-=-⋅⋅=∂∂--, nx nex y tkn cos 2-=∂∂, nx e n xy t kn sin 2222--=∂∂, nx e kn xyk t kn sin 2222--=∂∂,所以22x y k t y ∂∂=∂∂.3、设z =xy +xF (u ), 而xyu =, F (u )为可导函数, 证明xy z y z y x z x +=∂∂+∂∂⋅.证明：y z y x z x ∂∂⋅+∂∂⋅])([])()([yu u F x x y x u u F x u F y x ∂∂'+⋅+∂∂'++=)]([)]()([u F x y u F xyu F y x '+⋅+'-+==xy +xF (u )+xy =z +xy .。

（完整版）多元函数微分法及其应用习题及答案

1第八章多元函数微分法及其应用(A)1．填空题．填空题(1)若()y x f z ,=在区域D 上的两个混合偏导数y x z ∂∂∂2，xy z ∂∂∂2，则在D 上，上， x y zy x z ∂∂∂=∂∂∂22。

(2)函数()y x f z ,=在点()00,y x 处可微的处可微的条件是()y x f z ,=在点()00,y x 处的偏导数存在。

偏导数存在。

(3)函数()y x f z ,=在点()00,y x 可微是()y x f z ,=在点()00,y x 处连续的处连续的条件。

条件。

2．求下列函数的定义域．求下列函数的定义域(1)y x z -=；(2)22arccos yx zu +=3．求下列各极限．求下列各极限(1)x xyy x sin lim 00→→； (2)11lim 00-+→→xy xy y x ； (3)22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→ 4．设()xy x z ln =，求y x z ∂∂∂23及23yx z ∂∂∂。

5．求下列函数的偏导数．求下列函数的偏导数(1)x y arctg z =；(2)()xy z ln =；(3)32z xy e u =。

6．设u t uv z cos 2+=，te u =，t v ln =，求全导数dt dz。

7．设()z y e u x-=，t x =，t y sin =，t z cos =，求dtdu 。

8．曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=4422y yx z ，在点(2,4,5)处的切线对于x 轴的倾角是多少？轴的倾角是多少？ 9．求方程1222222=++c z b y a x 所确定的函数z 的偏导数。

的偏导数。

10．设y x ye z x2sin 2+=，求所有二阶偏导数。

，求所有二阶偏导数。

11．设()y x f z ,=是由方程y zz x ln =确定的隐函数，求x z∂∂，yz ∂∂。

高等数学B(2)第八章-多元函数-练习题

高等数学B （2）第八章-多元函数-练习题一、选择题50.点)1,1,1(关于xy 平面的对称点是 ( ) .A. )1,1,1(-B. )1,1,1(--C. )1,1,1(-D. )1,1,1(--- 51．函数1ln(1)z x y =--的定义域是（）．A. {(,)|0}x y x y +>B. {(,)|0}x y x y +≠C. {(,)|1}x y x y +<D. {(,)|1,0}x y x y x y +<+≠52. 设函数22(,)=f x y x y xy -+，则(,)=f tx ty ( ).A. (,)tf x yB.2(,)t f x yC. 3(,)t f x yD. 以上都不对 53. 设(,)x yf x y xy+=，则(,)f x y x y +-= （ ). A. 222x y x - B. 222x x y - C. 22x x y - D. 222yx y -54．函数(,)f x y =(0,0)的两个偏导数(0,0)x f '和(0,0)y f ' （） . A ．都等于0 B ．分别等于0和1C ．分别等于1和0D ．不存在55．设函数),(y x f z =，则00(,)x f x y '＝（）. A ．x y x f y y x x f x ∆-∆+∆+→∆),(),(lim00000B ．x y x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim 00000C ．x y x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim0000D ．xy x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim 0056．设函数(,)f x y xy =，则下列结论正确的是（）． A. 点(0,0)不是驻点 B. 点(0,0)极小值点 C. 点(0,0)极大值点D. 点(0,0)是驻点但非极值点57. 点00(,)x y 使0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''==成立，则（）.A. 00(,)x y 是(,)f x y 的极值点B.00(,)x y 是(,)f x y 的最小值点C. 00(,)x y 是(,)f x y 的最大值点D. 00(,)x y 是(,)f x y 的驻点 58. 若22(,)f x y x y x y +-=-，则(,)(,)x y x y x y∂∂+=∂∂ （）. A. 22x y - B. x y + C. 22x y + D. x y -59.二元函数(,)f x y 在点00(,)x y 处两个偏导数存在是在该点连续的（）.A ．既非充分又非必要条件B .充分条件C ．必要条件D .充分必要条件。

(完整版)多元函数微分学测试题及答案

第8章测试题1.),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数且在),(00y x 处有极值是 0),(00=y x f x 及0),(00=y x f y 的（）条件．A ．充分B ．充分必要C ．必要D ．非充分非必要2.函数(,)z f x y =的偏导数z x∂∂及z y ∂∂在点(,)x y 存在且连续是 (,)f x y 在该点可微分的（）条件．A ．充分条件B ．必要条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件3. 设(,)z f x y =的全微分dz xdx ydy =+，则点（0，0）是（）A 不是(,)f x y 连续点B 不是(,)f x y 的极值点C 是(,)f x y 的极大值点D 是(,)f x y 的极小值点4. 函数22224422,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在（0，0）处（ C ）A 连续但不可微B 连续且偏导数存在C 偏导数存在但不可微D 既不连续，偏导数又不存在5.二元函数22((,)(0,0),(,)0,(,)(0,0)⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩x y x yf x y x y 在点(0,0)处( A). A ．可微,偏导数存在 B ．可微,偏导数不存在C ．不可微,偏导数存在D ．不可微,偏导数不存在6.设),(),,(y x v v v x f z ==其中v f ,具有二阶连续偏导数. 则=∂∂22y z( ). (A)222y v v f y v y v f ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂∂； (B)22y vv f∂∂⋅∂∂；(C)22222)(y v v fy v v f ∂∂⋅∂∂+∂∂∂∂； (D)2222y v v f y v v f ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂.7.二元函数33)(3y x y x z --+=的极值点是( ).(A) (1,2)； (B) (1.-2)； (C) (-1,2)； (D) (-1,-1). 8.已知函数(,)f x y 在点(0,0)的某个邻域内连续，且223(,)(0,0)(,)lim 1()x y f x y xy x y →-=+，则下述四个选项中正确的是（）.A ．点(0,0)是(,)f x y 的极大值点B ．点(0,0)是(,)f x y 的极小值点C ．点(0,0)不是(,)f x y 的极值点D ．根据所给条件无法判断点(0,0)是否为(,)f x y 的极值点10.设函数(,)z z x y =由方程z y z x e -+=所确定，求2z y x ∂∂∂ 11.设(,)f u v 是二元可微函数，,y x z f x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求 z z x y x y ∂∂-∂∂ 12.设222x y z u e ++=，而2sin z x y =，求u x ∂∂11.设(,,)z f x y x y xy =+-，其中f 具有二阶连续偏导数，求 2,z dz x y ∂∂∂.13.求二元函数22(,)(2)ln f x y x y y y =++的极值14.22在椭圆x +4y =4上求一点，使其到直线2360x y +-=的距离最短.第8章测试题答案1.A2.A3.D4.C5.A6.C7.D8.C 8. ()()3(1)z y z y e e ---9. 2122z z x y x y f f x y y x∂∂-=-∂∂ 10.2222(12sin )x y z u xe z y x++∂=+∂11.123123231113223233 ()(),()()dz f f yf dx f f xf dyzf f x y f f x y f xyf x y=+++-+∂=+++-+-+∂∂12.极小值11(0,)f ee-=-13. r h==14. 83(,)55。

多元函数微分法和应用期末复习试题高等数学（下册）（上海电机学院）

多元函数微分法和应⽤期末复习试题⾼等数学（下册）（上海电机学院）第⼋章偏导数与全微分⼀、选择题1.若u=u(x, y)是可微函数，且,1),(2==x y y x u ,2x xuxy =??=则=??=2x y y u [A ] A. 21-B. 21C. -1D. 12.函数62622++-+=y x y x z [ D ]A. 在点(-1, 3)处取极⼤值B. 在点(-1, 3)处取极⼩值C. 在点(3, -1)处取极⼤值D. 在点(3, -1)处取极⼩值3.⼆元函数(),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数()()0000,,,x y f x y f x y 存在是函数f 在该点可微的 [ B ]A. 充分⽽⾮必要条件B.必要⽽⾮充分条件C.充分必要条件D.既⾮充分也⾮必要条件4. 设u=2x +22y +32z +xy+3x-2y-6z 在点O(0, 0, 0)指向点A(1, 1, 1)⽅向的导数=??lu[ D ] A.635 B.635- C.335 D. 335- 5. 函数xy y x z 333-+= [ B ]A. 在点(0, 0)处取极⼤值B. 在点(1, 1)处取极⼩值C. 在点(0, 0), (1, 1)处都取极⼤值 D . 在点(0, 0), (1, 1)处都取极⼩值 6.⼆元函数(),f x y 在点()00,x y 处可微是(),f x y 在该点连续的[ A ] A. 充分⽽⾮必要条件 B.必要⽽⾮充分条件 C.充分必要条件D.既⾮充分也⾮必要条件 7. 已知)10(0sin <<=--εεx y y , 则dxdy= [ B ] A. y cos 1ε+ B.y cos 11ε- C. y cos 1ε- D. ycos 11ε+8. 函数yx xy z 2050++= （x>0，y>0）[ D ] A. 在点(2, 5)处取极⼤值 B. 在点(2, 5)处取极⼩值C.在点(5, 2)处取极⼤值D. 在点(5, 2)处取极⼩值9.⼆元函数(),f x y 在点()00,x y 处连续的是(),f x y 在点()00,x y 处可微的 [A ] A. 必要⽽⾮充分条件 B. 充分⽽⾮必要条件 C.充分必要条件 D.既⾮充分也⾮必要条件10. 曲线x=t, y=2t -, z=3t 所有切线中与平⾯x+2y+z=4平⾏的切线有 [ B ] A. 1 条 B.2条 C. 3条 D.不存在 11．设22(,)xy f x y y x =-，则(,)x yf y x= B A. 42xyy x - B. 2244x y y x - C. 2244x y y x +- D. 2244y x y x --12．为使⼆元函数(,)x yf x y x y+=-沿某⼀特殊路径趋向(0,0)的极限为2，这条路线应选择为 B A.4x y = B. 3x y = C. 2x y = D. 23x y = 13．设函数(,)z f x y =满⾜222zy=，且(,1)2f x x =+，(,1)1y f x x '=+，则(,)f x y =BA.2(1)2y x y +++ B. 2(1)2y x y +-+ C. 2(1)2y x y +-- D. 2(1)2y x y ++- 14．设(,)32f x y x y =+，则(,(,))f xy f x y = CA.344xy x y ++B. 2xy x y ++C. 364xy x y ++D. 346xy x y ++15．为使⼆元函数222(,)xy f x y x y=+在全平⾯连续，则它在(0,0)处应被补充定义为 B A.-1 B.0 C.1 D. 16．已知函数2 2(,)f x y x y x y +-=-，则(,)(,)f x y f x y x y+= C A.22x y - B. 22x y + C. x y + D. x y -17．若()yf x=(0)x >，则()f x =BC.x18．若xz y =，则在点 D 处有z z y x= A.(0,1) B.(,1)e C.(1,)e D. (,)e e19．设2y z x =，则下列结论正确的是 AA.220z z x y y x ??-= B. 220z zx y y x ??-> C.220z zx y y x-0(,)11sin sin ,0xy f x y x y xy y x =??=?+≠??，则极限00lim (,)x y f x y →→（ C ）. (A) 等于1 (B) 等于2 (C) 等于0 (D) 不存在 21.函数z xy =在点(0,0) ( D ).(A) 有极⼤值 (B) 有极⼩值 (C) 不是驻点 (D) ⽆极值 22.⼆元函数z =在原点(0,0)处（ A ）.(A) 连续，但偏导不存在 (B) 可微(C) 偏导存在，但不连续 (D) 偏导存在，但不可微23．设()u f r =，⽽r =，()f r 具有⼆阶连续导数，则222222u u ux y z++=（ B ）.(A) 1''()'()f r f r r +(B) 2''()'()f r f r r+ (C) 211''()'()f r f r r r + (D) 212''()'()f r f r r r+24．函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处连续是它在该点偏导存在的（ D ）. (A) 必要⽽⾮充分条件 (B) 充分⽽⾮必要条件(C) 充分必要条件 (D) 既⾮充分⼜⾮必要条件 25．函数221z x y =--的极⼤值点是（ D ）.(A) (1,1) (B) (1,0) (C) (0,1) (D) (0,0)26．设(,)f x y =(2,1)x f '=（B ）.(A) 14 (B) 14- (C) 12 (D) 12-27．极限24200lim x y x y x y →→+（ B ）.(A) 等于0 (B) 不存在 (C) 等于12 (D) 存在且不等于0及1228．(,)z f x y =若在点000(,)P x y 处的两个⼀阶偏导数存在，则（B ）. (A) (,)f x y 在点0P 连续 (B) 0(,)z f x y =在点0x 连续 (C) 00||P P z zdz dx dy x y ??=+ (D) A,B,C 都不对 29. 设函数y x z =，则z d =（ A ）． (A)．y x x x yxy y d ln d 1+- (B)．y x x yx y y d d 1+-(C)．y x x x x yy d ln d + (D)．y y x x yxy y d ln d 1+-30. 已知=??===y zxy v y x u v u z 则 ,,,ln 2（ C ）（A ）y x xy y x 3232ln 2+ （B ）y xxy y x 3232ln 2-（C ）y x xy y x 3232ln 2+- （D ）y x xy y x 22ln 2+31．函数z=22y x 1--的定义域是（ D ）（A.） D={(x,y)|x 2+y 2=1}（B.）D={(x,y)|x 2+y 2≥1}（C.） D={(x,y)|x 2+y 2<1}（D.）D={(x,y)|x 2+y 2≤1}32．设22),(yx xyy x f +=，则下列式中正确的是（ C ）；)A ( ),(,y x f x y x f =??； )B (),(),(y x f y x y x f =-+；)C ( ),(),(y x f x y f =； )D ( ),(),(y x f y x f =-33．设e cos xz y =，则=yx z2（ D ）；)A ( e sin x y ； )B ( e e sin x x y +；)C ( e cos xy -； )D ( e sin xy -34．已知22),(y x y x y x f -=-+，则x f ??=??+yf （ C ）； )A ( y x 22+； )B ( y x -； )C ( y x 22- )D ( y x +．35. 设y xy x z 2232-+=，则=y x z（ B ）（A ）6 （B ）3 （C ）-2 （D ）2.36.设()==?x zy x y x f z 00, ,,则（ B ）（A ）()()x y x f y y x x f x ?-?+?+→?00000,,lim（B ）()()x y x f y x x f x ?-?+→?0000,,lim（C ）()()x y x f y x x f x ?-?+→?00000,,lim （D ）()x y x x f x ??+→?000,lim37. 设由⽅程0=-xyz e z确定的隐函数()==x zy x f z 则,,（ B ）（A ）z z+1 （B ）()1-z x z （C ）()z x y +1 （D ）()z x y -138. ⼆次函数 11)4ln(2222-++--=y x y x z 的定义域是（ D ）A. 1 ＜ 22y x + ≤ 4；B. –1 ≤ 22y x + ＜ 4； C. –1 ≤ 22y x + ≤ 4； D. 1 ＜ 22y x + ＜ 4。

(完整版)多元函数微分法及其应用习题及答案

第八章多元函数微分法及其应用(A)1．填空题(1)若()y x f z ,=在区域D 上的两个混合偏导数y x z ∂∂∂2，xy z∂∂∂2 ，则在D 上，xy zy x z ∂∂∂=∂∂∂22。

(2)函数()y x f z ,=在点()00,y x 处可微的条件是()y x f z ,=在点()00,y x 处的偏导数存在。

(3)函数()y x f z ,=在点()00,y x 可微是()y x f z ,=在点()00,y x 处连续的条件。

2．求下列函数的定义域(1)y x z -=；(2)22arccos yx z u +=3．求下列各极限(1)x xy y x sin lim 00→→； (2)11lim 00-+→→xy xyy x ； (3)22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→4．设()xy x z ln =，求y x z ∂∂∂23及23y x z∂∂∂。

5．求下列函数的偏导数 (1)xyarctgz =；(2)()xy z ln =；(3)32z xy e u =。

6．设u t uv z cos 2+=，t e u =，t v ln =，求全导数dt dz 。

7．设()z y e u x -=，t x =，t y sin =，t z cos =，求dtdu。

8．曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=4422y y x z ，在点(2,4,5)处的切线对于x 轴的倾角是多少？9．求方程1222222=++cz b y a x 所确定的函数z 的偏导数。

10．设y x ye z x 2sin 2+=，求所有二阶偏导数。

11．设()y x f z ,=是由方程y z z x ln =确定的隐函数，求xz∂∂，y z ∂∂。

12．设x y e e xy =+，求dxdy 。

13．设()y x f z ,=是由方程03=+-xy z e z确定的隐函数，求xz∂∂，y z ∂∂，y x z ∂∂∂2。

第八章多元函数微分练习题

5、已知函数 z f (sin x, y 2 ) ，其中 f (u, v) 有二阶连续偏导数，求 z 、 2 z 。 x xy
6、设
z
xf
(x2,
xy)
其中
f
(u, v)
的二阶偏导数存在，求
z y
、
2z yx
。
7、设 z f (2x 3y, xy) 其中 f 具有二阶连续偏导数，求 2 z 。 xy
z x
三、计算题
1、设 z f (x2 , x ) ，其中 f 具有二阶连续偏导数，求 z 、 2 z 。
y
x xy
2、已知 z ln x x2 y 2 ，求 z ， 2 z 。 x xy
3、求函数 z tan x 的全微分。 y
4、设 z f (x y, xy) ，且具有二阶连续的偏导数，求 z 、 2 z 。 x xy
x1 （
y0
)
A、-1
B、 0
C、 1
D、 2
8、函数 z ( x y)2 ，则 dz x1, y0 =（
）
A、 2dx 2dy B、 2dx 2dy
C、 2dx 2dy D、 2dx 2dy
二、填空题
1、函数 z x y 的全微分 dz 2、设 u e xy sin x ，则 u
y
xy
17、设 z f (x2 y, y2 x) ,其中 f 具有二阶连续偏导数,求 2 z 。 xy
18、设
z
z(x,
y)
是由方程
z
ln
z
xy
0
确定的二元函数，求
2z x2
19、设 z yf ( y2, xy) ,其中函数 f 具有二阶连续偏导数，求 2z 。 xy

(完整版)多元函数微分学复习题及答案

大学高等数学各章节练习题

第一章极限与连续一、填空1、设11()01x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则[]()___________.f f x =2、若数列{}n x 收敛，则数列{}n x 一定。

3、若0lim ()x x f x A →=,而0lim ()x x g x →不存在,则0lim(()())x x f x g x →+ .4、当0→x 时，1132-+ax 与1cos -x 为等价无穷小,则_______=a5、设函数()f x 在点0x x =处连续，则()f x 在点0x x =处是否连续.6、设21))((,sin )(x x f x x f -==ϕ,则)(x ϕ的定义域为_________7、如果⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=0,00,12sin )(2x x xe x xf ax 在),(+∞-∞内连续，则__=a8、曲线22x e x y -=的渐近方程为__________________二、选择9、如果)(),(x g x f 都在0x 点处间断，那么( ）（A))()(x g x f +在0x 点处间断 (B ）)()(x g x f -在0x 点处间断（C))()(x g x f +在0x 点处连续（D ）)()(x g x f +在0x 点处可能连续. 10、设数列n x 与n y 满足lim 0n n n x y →∞=,则下列断言正确的是( )（A ）若n x 发散，则n y 必发散. (B)若n x 无界，则n y 必有界（C)若n x 有界，则n y 必为无穷小（D ）若1nx 为无穷小，则n y 必为无穷小。

11、已知0()lim0x f x x→=，且(0)1f =，那么（）（A)()f x 在0x =处不连续。

(B ）()f x 在0x =处连续。

（C ）0lim ()x f x →不存在。

（D ）0lim ()1x f x →=12、设2()43x x f x x x+=- ，则0lim ()x f x →为（）（A ）12 (B ）13 (C) 14 （D)不存在 13、设2(1)sin ()(1)x xf x x x-=-，那么0x =是函数的（）（A ）无穷间断点.（B ）第二类间断点。

多元函数微分学习题解知识点与课后习题答案

第8章多元函数微分学§8.1 多元函数的基本概念习题8-1★1.设222(,)xy f x y x y =+，求(1,)y f x。

解：222222(1,)1()yy xy x f y x x y x==++★2. 已知函数(,,)w u v f u v w u w +=+，试求(,,)f x y x y xy +-。

解： 2(,,)()()xy x f x y x y xy x y xy +-=++★★3.设()zx y f x y =++-，且当0y =时，2z x =，求()f x 。

解：将0y =代入原式得： 20(0)x x f x =++- ，故 2()f x x x =-4.求下列函数的定义域： ★（1）2ln(21)zy x =-+解：要使表达式有意义，必须 2210y x -+>∴ 所求定义域为 2{(,)|210}D x y y x =-+>★（2）z=解：要使表达式有意义，必须0x ， ∴{(,)|D x y x =≥★★（3）u =解：要使表达式有意义，必须11-≤≤∴{(,,)|D x y z z =≤★★★（4）z =解：要使表达式有意义，必须 222224010ln(1)0ln1x y x y x y ⎧-≥⎪-->⎨⎪--≠=⎩∴ 222{(,)|01,4}D x y x y y x =<+≤≤★★（5）ln()z y x =-解：要使表达式有意义，必须220010y x x x y ⎧->⎪≥⎨⎪-->⎩∴ 22{(,)|1,0}D x y x y x y =+<≤<5.求下列极限：★（1）10y x y →→知识点：二重极限。

思路：(1,0)为函数定义域内的点，故极限值等于函数值。

解：1ln 2ln 21y x y →→== ★★（2）00x y →→知识点：二重极限。

思路：应用有理化方法去根号。

专升本《高等数学》易错题解析-第八章：多元函数微分法

多元函数微分学一、知识网络图⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧线空间曲线的切平面与法曲线的切线与法平面几何应用拉格朗日乘数法定义法条件极值充分条件必要条件极值泰勒公式应用方程组一个方程隐函数复合函数的微分定义微分法质闭区域上连续函数的性关系连续性与全微分之间的偏导数极限与累次极限的关系性质全微分梯度方向导数偏导数连续极限有界闭区域区域集闭开边界点外点内点邻域距离图形多元函数变化域基本概念，、、、、、、、、、、、)( 二、典型错误分析例1.求.lim 222300y xy x xy x y x +-+→→[错解] 引入极坐标,并注意到02sin 211≠-θ,故原式02sin 211cos lim )sin cos 1()sin cos (cos lim 022330=-=-+→→θθθθθθθr r r r r[错因分析] 若A y x f y y x x =→→),(lim 00, 则要求动点),(y x Q 沿任何方向、任意方式趋于点),(00y x P 时,函数均趋于A. 本题的以上解法仅反映了动点),(y x Q 沿从原点引出的射线方向趋向于)0,0(时,函数的极限是零,这不足以说明该函数的极限就是零.[正确解法] 由于22222322230yxy x xy y xy x x y xy x xy x +-++-≤+-+< ||||243||222223y xy x y x y x x x +-+⎪⎭⎫⎝⎛-+= ||||34||||||43||223y x y x y x x x +=+≤且 0||||34lim 00=⎪⎭⎫⎝⎛+→→y x y x于是 .lim 222300y xy x xy x y x +-+→→例2.求.lim22y xy x yx y x +-+∞→∞→[错解] 由于222222222y xy x y x y xy x +-++=+-442)(22222222y x y x y x y x +++≥-++= 4)(424222y x xy y x +=++≥ 于是||4)(41||222y x y x y x y xy x y x +=++≤+-+ 又 ∞→∞→y x lim0||4=+y x故 .lim22y xy x yx y x +-+∞→∞→[错因分析] ∞→∞→y x lim0||4=+y x 未必成立,例如,取n y n x n n -==4,则1||4lim,lim lim =+∞==∞→∞→∞→nn n n n n n y x y x[正确解法] 由于 22222y x y xy x +≥+-)(2)(222y x y x +≤+)(2||22y x y x +≤+⇒于是 2222222222)(212yx y x y x yxy x yx +=++≤+-+而 ∞→∞→y x lim02222=+yx故 .lim22y xy x yx y x +-+∞→∞→例3.设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=0,00,1sin )(),(22222222y x y x y x y x y x f 问),(y x f 在点)0,0(处:(1)偏导数是否存在? (2)偏导数是否连续? (3)是否可微? [错解](1) 2222221cos 21sin2),(y x y x x y x x y x f x ++-+='2222221cos 21sin2),(yx y x y y x y y x f y ++-+=' 可见)0,0(x f '及)0,0(y f '都不存在.(2)显然可知),(y x f x '及),(y x f y '在)0,0(处不连续.(3)由上述知),(y x f 在)0,0(处不可微.[错因分析] 忽略了分段函数在其分界点处的偏导数必须利用定义来求. [正确解法] (1)由于0)(1sin)(lim )0,0()0(lim)0,0(2200=∆∆∆=∆-∆+='→∆→∆xx x xf x f f x x x故)0,0(x f '存在. 同理)0,0(y f '也存在且等于零. (2)⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++-+='0,00,1cos 21sin 2),(2222222222y x y x y x y x x y x x y x f x ⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++-+='0,00,1cos 21sin 2),(2222222222y x y x y x y x y y x y y x f y由于 ]1cos 21sin2[lim ),(lim 22222200y x y x x y x x y x f xy x x xy x ++-+='=→=→]21cos 121sin2[lim 220x x x x xy x -==→ 可知该极限不存在.同理可证),(lim 0y x f y xy x '=→不存在. 故),(y x f x '及),(y x f y '在)0,0(处不连续.(3)注意: 函数的偏导数连续是函数可微的充分条件, 而不是必要条件,因此不能由(2)直接得出),(y x f 在)0,0(处不可微.由于 =∆z α+∆'+∆'y f x f y x )0,0()0,0( 且知 )0,0(x f '0)0,0(='=y f因而 )0,0()0,0(f y x f z -∆+∆+=∆=α2222)()(1sin])()[(y x y x ∆+∆∆+∆=000lim lim →∆→∆→∆→∆=y x y x ρα0)()(1sin )()(])()[(222222=∆+∆∆+∆∆+∆y x y x y x 故函数),(y x f 在)0,0(处可微.例4.设),,(v u x f =ω,),(y x u ϕ=,x ),(y x v ψ=.试将u ∂∂ω,v∂∂ω用ψϕ,,f 的偏导数表示.[错解] 如下图,可知 xω u xv yxvv x u u dx dx x x ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂=∂∂ωωωω x x vu x ψωϕωω'∂∂+'∂∂+∂∂=)(a 故0='∂∂+'∂∂x x vu ψωϕω )(b 又由yv v y u u dy dx x y ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂=∂∂ωωωω y y vu ψωϕω'∂∂+'∂∂+=0 )(c 故yv u yy ∂∂='∂∂+'∂∂ωψωϕω )(d 由)(b ,)(d 联立解之, 得xy y x xx y y x xyv y u ψϕψϕωϕωψϕψϕωψω''-''∂∂'=∂∂''-''∂∂'-=∂∂,其中0≠''-''x y y x ψϕψϕ[错解分析]由)(a 得到的)(b 是错的. )(a 中等式左右两端的x∂∂ω不能消掉,这是因为两者的含义截然不同. 等式左边的x∂∂ω是在)),(),,(,(y x y x x f ψϕω=中把y 看作常量对x 求偏导而得;而等式右端的x∂∂ω是把x 与v u ,看作相互独立的变量,即把v u ,看作常量对x 求偏导而得. 以后凡遇到一个变量即是自变量又是中间变量的情况,两边对该变量的偏导数要写成不同的符号以示区别. [正确解法] 由前面图可知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'∂∂+'∂∂+=∂∂'∂∂+'∂∂+∂∂=∂∂y y x x v f u f y v f uf x f x ψϕωψϕω0解之, 可得,xy y x x y y x f x u u f ψϕψϕψωψωω''-'''∂∂-'⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=∂∂=∂∂.xy y x y xx f x y v v f ψϕψϕϕωϕωω''-'''⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-'∂∂=∂∂=∂∂其中0≠''-''x y y x ψϕψϕ.例5.设),(t x f y =,而t 是由方程0),,(=t y x F 所确定的y x ,的函数,试求dxdy. [错解] 由),(t x f y =,则xt t f x f dx dy ∂∂∂∂+∂∂= )(a 又由0),,(=t y x F ,则t x F F x t''-=∂∂ )(b 将)(b 代入)(a 得t f x f dx dy ∂∂+∂∂=t x t t x t x F F f F f F F '''-''=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''- [错因分析] 没有弄清函数的关系是问题所在. 一般来说, 三个未知量两个方程所反映的函数关系是其中两个变量是另一个变量的函数.从所求之结果dxdy可知,t y ,均是x 的一元函数. [正确解法]由),(t x f y =及0),,(=t y x F 确定出t y ,为x 的函数)(),(x t t x y y ==,将给定的两个方程的两边对x 求导,便有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='+'+'∂∂+'=0dx dt F dx dy F F dxdt t f f dx dy t y x x解之, 得=dx dy t y t x t t x f F F F f F f ''+'''-'' 例6.设),,(v u x f z =,22,y x v e u xy-==,且f 具有二阶连续的偏导数,求22xz∂∂,yx z∂∂∂2. [错解]vf x u f ye x f x z xy ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂2 22xz ∂∂⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=v f x x u f ye x x f x xy 2x v f x v f x u f ye u f e y xf xy xy ∂∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂+∂∂=2222222y x z ∂∂∂2⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=v f x y u f ye y x f y xy 2 yv f x v f y u f ye u f xye u f e y x f xy xy xy ∂∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂+∂∂+∂∂∂=22222 [错因分析]在求二阶偏导数时,把vfu f x f ∂∂∂∂∂∂,,仅仅看作是x 或y 的函数是不妥当的,事实上它们仍然是以v u x ,,为中间变量, 以y x ,为自变量的函数. [正确解法]xz u xv yvfx u f ye x f x z xy ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂222x z ∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂=v f x u f ye xf x xy 2+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂∂+∂∂=v u f x u f ye xu f ye u f e y v x f x u x f ye x f xy xy xy xy 22222222222 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂∂+∂∂∂+∂∂2222222v f x u v f ye x v f x v f xy +∂∂∂+∂∂∂+∂∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=u v f xye x v f x x u f ye vf x u f e y x f xy xy xy 2222222222224424 vfu f e y xy∂∂+∂∂22 y x z ∂∂∂2⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂=v f x u f ye x f y xy 2 +∂∂+∂∂+∂∂∂-∂∂∂+⋅∂∂=u f xye u f e v x f y u x f xe xf xy xy xy 222220+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂-∂∂+⋅∂∂∂v u f y u f xe x u f ye xy xy222220 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂∂+⋅∂∂∂2222202v f y u v f xe x v f x xy +∂∂+∂∂++∂∂∂-∂∂∂=22222)1(2u f xye u f xy e v x f y u x f xe xy xy xy222224)(2vf xy u v f e y x xy ∂∂-∂∂∂- 三、综合题型分析例7.证明极限2200limyx xyy x +→→不存在.[分析] 为了证明二元函数),(y x f 在点),(00y x 处极限不存在,只需找出两条不同的路径1L 和2L ,使点),(y x 在定义域D 内沿1L 和2L 趋向于点),(00y x 时),(y x f 趋向于两个不同数值;或找出一条路径L ,使点),(y x 在定义域D 内沿L 趋向于点),(00y x 时),(y x f 的极限不存在.[证明] 因沿1L :0,0=≠y x ,有022=+yx xy,而沿2L :x y x =≠,0,有2122=+y x xy ,故2200limyx xyy x +→→不存在. 例8.分别讨论下列函数在其定义域中的连续性:(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=).0,0(),(,0),0,0(),(,),(22y x y x y x xyy x f (2) ⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=).0,0(),(,0),0,0(),(,),(222y x y x y x y x y x f[分析] 题设的两个函数都是二元分段函数,当)0,0(),(≠y x 时它们分别是由自变量x 与自变量y 的一元基本初等函数经过四则运算得到的函数,利用已知一元函数的连续性知它们在)0,0(),(≠y x 处连续,在)0,0(),(=y x 点是否连续,则需按二元函数连续性定义来判断. [解](1) ),(y x f 当)0,0(),(≠y x 时连续, 但2200lim y x xyy x +→→不存在,故),(y x f 在点)0,0(处不连续.(2) ),(y x f 当)0,0(),(≠y x 时连续, 且由||||21222y y y x y x ≤≤+ 以及0||lim 00=→→y y x )0,0(f =. 可得),(lim 0y x f y x →→)0,0(0f ==, 即),(y x f 在其定义域全平面上连续.[注] 本例（１）中的函数),(y x f 在点)0,0(处不连续, 但两个偏导数都存在且)0,0(x f '=0)0,0(='y f ;而函数||||),(y x y x f +=则是在点)0,0(处连续,但两个偏导数)0,0(x f '和)0,0(y f '都不存在. 这两个例子表明对多元函数而言,连续性与偏导数存在这二者是既不充分又不必要的条件.与一元函数的情况不大相同.例9.设,sin y x e u x-=则y x u ∂∂∂2在点)1,2(π的值为______________.[答案] 2)(eπ[分析一] =∂∂xuy y x e y x e x x 1)cos (sin --+-)sin cos 1(y x y x y e x -=-,将该式对y 求导得y x u ∂∂∂2)].(cos )(sin 1cos 1[222y xy x y x y x y y x ye x -----=- 令π1,2==y x 并代入上式,得223222)()2cos 22sin 22cos (ee y x u πππππππ=++-=∂∂∂-.[分析二]=∂∂yu )(cos 2y x y x e x --2)1,2(2)1,(=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∂∂∂x y x u dx d xy uππ22)cos (=--=x x x xe dx d ππ =---==--22)sin cos )1([x x x x xe x x e ππππ2)(eπ. 例10．求下列极限(1) 2243002332lim y xy x y x y x +--→→; (2) y x yx xy y x y x +++→→24300lim[解] (1)由于224223224332)31(33)(2223320yy x y y x x xy xy x yx +-+-+≤+--≤224232932322y x y y xx+=+≤ 因为00lim →→y x 0292=⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x 故原极限等于零.(2)令x x y -=3,则)()()()(lim lim 33243330024300x x x x x x x x x x x x y x y x xy y x y x y x -+-+-+-=+++→→→→ 1)(lim 344300-=+--=→→x x o x x y x .又令x y =,则02lim lim 3540024300=++=+++→→→→x x x x y x y x xy y x y x y x故y x yx xy y x y x +++→→24300lim 不存在. [方法小结]二元函数的极限比一元函数的极限要复杂得多, 计算也更困难. 通常从以下三个方面考虑.(1)设法利用变换化为一元函数的极限;(2)掌握绝对值不等式的放缩技巧, 使用夹逼定理;(3)通过观察, 若能大致估计所求极限不存在, 可选择两条不同路径, 求出不同的极限值, 借以证明原式极限不存在.例11．设f 具有二阶连续偏导数, 求函数),(2xyy x f z =, 求y x z ∂∂∂2,22x z ∂∂.[分析]本题给出的函数没有具体的表达式,这类函数称为抽象函数, 求抽象函数的偏导数, 一定要明确中间变量,中间变量可分别设为ω,,v u 等. 一般来说,抽象函数的高阶偏导数采用如下记号较为简便不易出错,用记号321,,f f f '''分别表示函数f 对第一、第二、第三中间变量的偏导数(多个中间变量可类推).用312312,,f f f '''''' 分别表示函数f 对第一、第二中间变量，第二、第三中间变量，第三、第一中间变量的二阶偏导数. 另外需注意,一般而言,函数对中间变量的偏导数仍是中间变量的函数,从而也是自变量的复合函数, 故对它们求高阶偏导时重复使用复合函数求偏导法则. 本题采用后一记号.[解]x z ∂∂22122122f x y f xy x y f xy f '-'=⎪⎭⎫⎝⎛-'+⋅'=y x z ∂∂∂2⎪⎭⎫⎝⎛'-'∂∂=2212f x y f xy y ⎪⎭⎫⎝⎛''+''-⎪⎭⎫ ⎝⎛''+''+'-'=2221221211222111212f x f x x y f x f x xy f x f x 22312113221212f xy f y f y x f x f x ''-''+''+'-'= 22x z ∂∂⎪⎭⎫⎝⎛'-'∂∂=2212f x y f xy x⎪⎭⎫⎝⎛''-''-⎪⎭⎫ ⎝⎛''-''+'+'=2222121221123122222f x y f xy x y f x y f xy xy f x y f y 224212211222314422f xy f x y f y x f x y f y ''+''-''+'+'= 例12．设),,(x v u f z =, ),(y x u ϕ=,)(y v ψ=,求复合函数)),(),,((x y y x f z ψϕ=的偏导数x z∂∂与yz ∂∂. [解] 由复合函数求导法,得321f x f x f x z '+∂∂'+∂∂'=∂∂ψϕ,31f xf '+∂∂'=ϕ =∂∂yz dy d f y f ψϕ21'+∂∂')(21y f y f ψϕ''+∂∂'=. [注] 在本题的情况下, 记号xf∂∂的含意是不清楚的. ),,(x v u f 作为x v u ,,的三元函数求x x v u f ∂∂),,(与)),(),,((x y y x f ψϕ作为y x ,的二元函数求xx y y x f ∂∂)),(),,((ψϕ的含意是不同的.因此,这里应避免使用记号xf∂∂,若要使用它,则必须对其含意加以说明.若x f ∂∂表示),,(x v u f 对x 的偏导数,则该例中)),(),,((x y y x f z ψϕ=的偏导数xz ∂∂,yz∂∂也可表示为 )(,y v f y u f y z x f x u f x z ψϕϕ'∂∂+∂∂∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂. 应用复合函数求导法则应注意以下几点: ①复合函数对指定的自变量求偏导数∑=⨯=mi i 1量求偏导该中间变量对指定自变个中间变量求偏导数函数对第,其中m是中间变量的个数.原则上函数有几个中间变量,公式中就有几项.要分清中间变量与自变量,一定要注意对哪个自变量求导,对中间变量求导, 对中间变量求导不要漏项.有时公式中右端项的项数比中间变量个数少,那是因为有的中间变量与求偏导数的自变量无关,从而导数为零.如上例中yz ∂∂. ②复合函数求导公式中,函数对中间变量的偏导数仍然是中间变量的函数,如设),(v u f z =,),(y x u ϕ=,),(y x v ψ=, 则,xv f x u f x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ψϕ 这里vfu f ∂∂∂∂,仍然是v u ,的函数,而),(y x u ϕ=,),(y x v ψ=. 于是,它们仍是y x ,的复合函数,求高阶偏导数时要注意这一点.例13. 设0),,,(2=--ωy z x y x F ,其中F 具有二阶连续偏导数, 且04≠'F , 求22y∂∂ω. [分析]隐函数求偏导数时,要弄清楚哪个是因变量, 哪个是自变量, 哪个是中间变量, 然后将方程两边对自变量求偏导, 再解相应的方程得出所出的偏导数. [解] 由所求结论可知ω是因变量, 又因只有一个方程, 可知z y x ,,均为自变量, 将方程0),,,(2=--ωy z x y x F )(a两边对y 求偏导, 有0)2()(4321=∂∂-'+-∂∂⋅'+'+∂∂'yy F z x y F F y x F ω )(b 由于z x ,与y 无关, 故0)(,0=-∂∂=∂∂z x yy x )(c 422F F y y ''+=∂∂ω)(d 将)(b 式的两边对y 求偏导, 得+∂∂-''+-∂∂⋅''+''+∂∂'')2()(24232221yy F z x y F F y x F ω0)2()2()()2(22444434241=∂∂-'+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-''+-∂∂⋅''+''+∂∂''∂∂-y F y y F z x y F F y x F y y ωωω 将)(c ,)(d 代入上式并整理可得22y∂∂ω34224442242422)()(2)(2F F F F F F F F ''''+''''-'''+= 例14. 证明曲面0,=⎪⎭⎫ ⎝⎛----c z b y c z a x f 的切平面通过一定点. [分析]所谓定点就是三个坐标均为固定常数的点, 由题设考虑, 极有可能是以c b a ,,为坐标的点.[证明] 由方程0,=⎪⎭⎫⎝⎛----c z b y c z a x f 有,1,121c z f f cz f f y x -⋅'='-⋅'=')]()([)(1212b y f a x fc z f z -'+-'--='其切平面方程为0)()()()()()(22121=--'-+'----'+--'z Z c z f b y f a x y Y c z f x X c z f即0)])(())([()])(())([(21='-----+'-----f z Z b y y Y c z f z Z a x x X c z 显然, 当),,(),,(c b a Z Y X =时,上式恒成立,故所证命题成立.例15.设),(y x f z =在区域D 上有定义,若在D 中任一点处),(y x f 的一阶偏导数存在且有界, 则),(y x f 在D 上连续. [分析] 由函数连续的定义可知, 若能证明lim 0=∆→∆→∆z y x 或),(),(lim 00y x f y y x x f y x =∆+∆+→∆→∆即可证明),(y x f 在D 中任一点),(y x 处连续.[证明] 设),(y x 为D 中任一点, 则 ),(),(y x f y y x x f z -∆+∆+=∆)],(),([)],(),([y x f y y x f y y x f y y x x f -∆++∆+-∆+∆+= )(a 由于),(),,(y x f y x f y x ''存在, 依据拉氏定理有=∆+-∆+∆+),(),(y y x f y y x x f x y y f x ∆∆+'),(ξ )(b =-∆+),(),(y x f y y x f y x f y ∆'),(η )(c其中ηξ,分别在x 与x x ∆+,y 与y y ∆+之间.又因),(),,(y x f y x f y x ''在D 中有界, 故∃一个0>M , 使得M y y f x ≤∆+'),(ξ, M x f y ≤'),(η )(d利用)(),(),(),(d c b a 式, 有)(y x M z ∆+∆≤∆于是 0000lim lim 0→∆→∆→∆→∆≤∆≤y x y x z 0)(=∆+∆y x M故lim 00=∆→∆→∆z y x即),(y x f 在点),(y x 处连续. 由于),(y x 在D 中的任一点处, 因而可知原结论成立.例16.求由方程010422222=--+-++z y x z y x 确定的函数),(y x f z =的极值.[解法一] 将方程010422222=--+-++z y x z y x 的两边分别对y x ,求偏导, 得⎩⎨⎧='-+'+='--'+0422204222y y x x z z z y z z z x )(a 由函数极值的必要条件知0,0='='y x z z ,将其代入)(a 得, 1,1-==y x 即得驻点)1,1(-P .由)(a 的两个方程分别对y x ,求偏导, 得zz A Pxx-=''=21)(b 0=''=Pxyz Bzz C Pyy-=''=21因为 0)2(1022<--=-z AC B )2(≠z故)1,1(-=f z 为极值.将1,1-==y x 代入方程010422222=--+-++z y x z y x ,得6,221=-=z z将21-=z 代入)(b 中可知041>=A故2)1,1(-=-=f z 为极小值.将61=z 代入)(b 中可知041<-=A 故6)1,1(=-=f z 为极大值. [解法二] 配方法.方程010422222=--+-++z y x z y x 可变形为16)2()1()1(222=-+++-z y x22)1()1(162+---±=-y x z显然, 当1,1-==y x 时, 根号中的极大值为4, 由此可知, 42±=z 为极值. 即6=z 为极大值, 2-=z 为极小值.例17.当0,0,0>>>z y x 时, 求函数z y x u ln 3ln 2ln ++=在球面22226r z y x =++上的最大值, 并证明对任意的正实数c b a ,,成立不等式6326108⎪⎭⎫⎝⎛++≤c b a c ab[解] 令λ+++=z y x z y x F ln 3ln 2ln ),,()6(2222r z y x -++有⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-++=+='=+='=+=')4(06)3(023)2(022)1(0212222r z y x z z F y y F x x F z yx λλλ由)3(),2(),1(, 得22223,2x z x y ==代入)4(,得 r z r y r x 3,2,===及)3,2,(r r r P可知最大值为)36ln()3ln(3)2ln(2ln 6)3,2,(r r r r u r r r =++=即 ≤++z y x ln 3ln 2ln )36ln(6r亦即 63236r z xy ≤或 622226426)36(⎪⎪⎭⎫⎝⎛++≤z y x z y x 令c z b y a x ===222,,, 于是6326108⎪⎭⎫⎝⎛++≤c b a c ab例18.设方程x y e xy cos 2=+确定y 为x 的函数, 则dxdy=_______ [答案]yxe xye xy xy 2sin ++-[解法一] 设=),(y x F x y e xy cos 2-+,x ye F xy x sin +=', y xe F xy y 2+='由公式y x F F dx dy ''-=,得=dx dy yxe xye xy xy 2sin ++- [解法二] )(x y y =, 方程两端对x 求导, 得x y y y x y e xy sin 2)(-='+'+,解得yxe x ye y xyxy 2sin ++-=' 四、考研试题分析例19.(1991年数学一、二)由方程2222=+++z y x xyz 所确定的函数),(y x z z =在点)1,0,1(-处的全微分=dz __________ [答案]dy dx 2-[分析]本题是隐函数全微分的题. 有两种方法:其一是对方程两边求全微分,解出dz , 另一种方法是先求出yz x z ∂∂∂∂,.再利用全微分公式dy y zdx x z dz ∂∂+∂∂= . [解法一] 对方程两边求全微分可得+++xydz xzdy yzdx 0222=++++zy x zdz ydy xdx将1,0,1-===z y x 代入上式可得0)(21=-+-dz dx dy由此得到dy dx dz 2-=[解法二] 设=),,(z y x F 2222-+++z y x xyzx F '=222zy x x yz +++ ; y F '=222zy x y xz +++;z F '=222zy x z xy +++222222z y x xy z z y x yz x F F x zz x ++++++-=''-=∂∂;222222zy x xy z z y x xz y F F y z z y ++++++-=''-=∂∂=dz dx zy x xy z z y x yz x 222222++++++-dy zy x xy z z y x xz y 222222++++++-将1,0,1-===z y x 代入上式可得dy dx dz 2-=例20.(1998年数学一)设)()(1y x y xy f xz ++=ϕ,ϕ,f 具有二阶连续导数, 则y x z ∂∂∂2=__________.[答案])()()(y x y y x xy f y +''++'+''ϕϕ[分析]这是一道基本运算题, 求复合函数的导数. 依题意ϕ,f 是一元函数.[解答])()(1)(12y x y y xy f x xy f xx z +'+'+-=∂∂ϕ; )()()()(1)(122y x y y x x xy f x yxy f x x xy f xy x z +''++'+''+'+'-=∂∂∂ϕϕ )()()(y x y y x xy f y +''++'+''=ϕϕ[点评]本题中的)(),(y x xy f +ϕ,其中间变量均是一元, 如果考生误认为中间变量是二元,将出现y x y x f f ϕϕ'''',,,等记号,从而无法化简导致错误.)()()()(xy f y xy x xy f xy f x '=∂∂'=∂∂, )()()()(xy f x xy yxy f xy f y '=∂∂'=∂∂. 都是用)(xy f '表示,而不能将前一式写成)()(xy f y xy f xx '=∂∂, 后一式写成)()(xy f x xy f yy '=∂∂. 对于)(y x x +∂∂ϕ亦如此, )()(y x y x x+'=+∂∂ϕϕ. 而2000年数学一第四题设)(),(xyg y x xy f z +=,其中f 具有二阶连续偏导数,g 具有二阶连续导数, 求yx z ∂∂∂2. 这个题目从题设条件中就可看出),(y x xy f ,)(x yg 的不同,前者二个中间变量,后者一个中间变量,要区别开.g xyf y f y x z '-'+'=∂∂2211g xyg x f y x f x y f y f y x f x y f y x z ''-'-''-''+'-''-''+'=∂∂∂32222212212211121)(11)( g x yg x f y x f xy f y f ''-'-''-''+'-'=322231122111 例21.（2001年数学一）设函数),(y x f z =在点)1,1(处可微, ,1)1,1(=f3,2)1,1()1,1(=∂∂=∂∂yz xz,)),(,()(x x f x f x =ϕ, 求13)(=x x dx d ϕ [分析]求全导数,应用多元复合函数求全导数的法则求之. 关键是弄清复合函数的复合关系.如果)),(,()),(,()(21x x f x f x x f x f x '+'='ϕ,就少复合了一次. [解]1)1,1())1,1(,1()1(===f f f ϕ.)),(,()(3)()(3)(223x x f x f dxdx x dx d x x dx d ϕϕϕϕ== ))],(),())(,(,()),(,()[(321212x x f x x f x x f x f x x f x f x '+''+'=ϕ取1=x ,由于3)1,1()1,1(,2)1,1()1,1(21='='='='y x f f f f ,故13)(=x x dx d ϕ=51))32(32(3))]1,1()1,1()(1,1()1,1()[1(3=++='+''+'y x y x f f f f ϕ. 例22.(2002年数学一)考虑二元函数),(y x f 的下面4条性质:①),(y x f 在点),(00y x 处连续,②),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数连续,③),(y x f 在点),(00y x 处可微,④),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数存在.若用""Q P ⇒表示可由性质P 推出性质Q ,则有( ) (A) ②⇒③⇒①; (B) ③⇒②⇒①; (C) ③⇒④⇒①; (D) ③⇒①⇒④. [答案](A)[分析]本题考查下面因果关系的认知:①② ③④记住上述因果关系,不难看出应选(A).如果误认为偏导数存在必然为连续函数, 就有④⇒①,就选择了(C).错误在于把一元函数的情形搬到二元函数中来了. 例23.(2001年数学二)设函数)(x f y =由方程1)cos(2-=-+e xy e y x 所确定,则曲线)(x f y =在点)1,0(处的法线方程为__________. [答案]022=+-y x[分析]本题考查隐函数求导和曲线的法线方程,本题应注意的是求法线方程而不是切线方程.[解法一]方程两边对x 求导,得0)sin()()2(2='++'++xy y x y e y y x解得 )sin()sin(222xy x e xy y e dx dy yx y x ++-=++, 所以2)1,0(-=dx dy因此法线的斜率为21,法线方程为022=+-y x . [解法二]设),(y x F 1)cos(2+--=+e xy e y x)sin(22xy y e F y x x +='+, )sin(2xy x e F y x y +='+)sin()sin(222xy x e xy y e F F dx dy yx y x y x ++-=''-=++, 则2)1,0(-=dx dy因此法线的斜率为21,法线方程为022=+-y x . 例24.(1994年数学二)在椭圆4422=+y x 上求一点, 使其到直线0632=-+y x 的距离最短.[分析]点),(y x 到直线0632=-+y x 的距离|632|131-+=y x d ,因此问题变成了求函数d 在限制条件4422=+y x 下的极值问题.[解]问题可以转化成求函数=),(y x f 2)632(-+y x ,在限制条件4422=+y x 下的极值问题, 构造拉格朗日函数),,(λy x L =2)632(-+y x )44(22-++y x λ那么02)632(4=+-+=∂∂x y x xLλ08)632(6=+-+=∂∂y y x yLλ 04422=-+=∂∂y x Lλ消去λ, 解得53,58;53,582211-=-===y x y x ,于是,1311,131),(),(2211==y x y x dd由问题的实际意义知最短距离是存在的, 因此⎪⎭⎫⎝⎛53,58即为所求的点.例25.(2002年数学一)设有一小山, 取它的底面所在的平面为xoy 坐标面, 其底部所占的区域为}75|),{(22≤-+=xy y x y x D ,小山的高度函数为xy y x y x h +--=2275),(.(1)设),(00y x M 为区域D 上一点, 问),(y x h 在该点沿平面上什么方向的方向导数最大?若记此方向导数的最大值为),(00y x g ,试写出),(00y x g 的表达式.(2)现欲利用此小山开展攀岩活动, 为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点, 也就是说, 要在D 的边界线7522=-+xy y x 上找出使(1)中的),(y x g 达到最大值的点, 试确定攀登起点的位置. [分析和解法一](1)高度函数),(y x h 在点),(00y x M 处的梯度是j y x i x y y x gradh y x )2()2(),(0000),(0-+-=由梯度的几何意义知, 沿此梯度方向, 高度函数),(y x h 的方向导数取最大值, 并且这个最大值就是此梯度的模, 于是),(00y x g 200200)2()2(y x x y -+-=002020855y x y x -+=(2) 令),(),(2y x g y x f =xy y x 85522-+=,依题意, 只需求二元函数),(y x f 在约束条件7522=-+xy y x 下的最大值点.令),,(λy x L xy y x 85522-+=)75(22--++xy y x λ, 则,0)2(810=-+-='y x y x L xλ ,0)2(810=-+-='x y x y L y λ='λL 07522=--+xy y x 消去λ, 解得35,35;35,35;5,5;5,544332211-=-====-=-==y x y x y x y x , 于是得到4个可能的极值点)35,35(),35,35(),5,5(),5,5(4321----M M M M 又150)()(;450)()(4321====M f M f M f M f .故)5,5(),5,5(21--M M 可以作为攀登起点. [分析和解法二]把山看作曲面, 山岗某一处坡度的大小就是曲面在该处的切平面与水平面的夹角的大小, 也就是切平面的法线与z 轴的夹角(锐角的那个)的大小. 山曲面z ),(y x h =在点),(y x M 处的切平面法向量是}1,,{y x h h '', 设它与z 轴的夹角(锐角的那个)为θ,那么.8551)2()2(1)()(11cos 222222xyy x y x x y h h y x -+=-+-='+'+=θ由此可见, 为了要在D 的边界线7522=-+xy y x 上找出使θ最大, 只要θcos 最小, 也只要二元函数xy y x 85522-+在条件7522=-+xy y x 下找最大值.以下同解法一.例26.(1994年数学四)某养殖场饲养两种鱼, 若甲种鱼放养x (万尾), 乙种鱼放养y (万尾), 收获时两种鱼的收获量分别为x y x )3(βα--和)0()24(>>--βααβy y x , 求使产鱼总量最大的放养数.[解] 设总产量为z , 则z =xy y x y x βαα224322---+,由极值的必要条件,得方程组0223=--=∂∂y x xzβα0244=--=∂∂x x yzβα 0>>βα, 方程组的唯一解)2(234,223220220βαβαβαβα--=--=y x .记α222-=∂∂=x z A , ,22β-=∂∂∂=y x z B ,422α-=∂∂=yzC 有0,0)2(4222<<--=-A AC B βα, 因此z 在),(00y x 处有极大值. 又由问题的实际意义,知最大值是存在的, 所以z ),(00y x 即最大值.易验证0,000>>y x ,且⎪⎩⎪⎨⎧>=-->=--.02)24(,023)3(00000000y y y x x x y x αββα 综上所述, 0x 和0y 分别为所求甲和乙两种鱼的放养数. 例27.(2005年数学四)设二元函数),1ln()1(y x xe z y x +++=+则._________)0,1(=dz [答案]dy e edx )2(2++[分析]利用二元函数的全微分公式dy y z dx x z dz ∂∂+∂∂=,再在yzx z ∂∂∂∂,中以 0,1==y x 代入.[解]应用二元复合函数求偏导数法则得)1ln(y xe e xzy x y x +++=∂∂++, yx xe y z y x +++=∂∂+11, 所以 dx y xe e dz y x y x )]1ln([+++=+++dy y x xe y x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++11, 以0,1==y x 代入得dy e edx dz )2(2)0,1(++=. 例28.(2005年数学四)设)(u f 具有二阶连续偏导数, 且⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=y x yf x y f y x g ),(,求y x g y x g x ∂∂∂-∂∂22222. [解]利用复合函数偏导数的链锁法则,可得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎭⎫⎝⎛'-=∂∂y x f x y f x y x g 2, =∂∂22x g ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''+⎪⎭⎫ ⎝⎛''+⎪⎭⎫ ⎝⎛'y x f y x y f x y x y f x y 12423 ,1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛'=∂∂y x f y x y x f x y f x y g =∂∂22y g ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'-⎪⎭⎫ ⎝⎛''y x f y xy x f y x y x f y x x y f x 322221 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''+⎪⎭⎫ ⎝⎛''=y x f y xx y f x 3221于是y x g y x g x ∂∂∂-∂∂22222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''+⎪⎭⎫ ⎝⎛''+⎪⎭⎫ ⎝⎛'y x f y x x y f x y x y f x y 2222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''-⎪⎭⎫ ⎝⎛''-y x f y x x y f x y 222 ⎪⎭⎫⎝⎛'=x y f x y 2. 例29.(2004年数学三)函数),(v u f 由关系式)(]),([y g x y y xg f +=确定, 其中函数)(y g 可微, 且0)(≠y g , 则vu f∂∂∂2=______________.[答案] []2)()(v g v g '-[分析]第一种解法可令⎩⎨⎧==,,)(v y u y xg 解出),,(),,(v u y y v u x x ==代入)(]),([y g x y y xg f +=以求出),(v u f ,再计算所求的偏导数.第二种解法是,在题给的等式两边求偏导, 使出现待求的vu f∂∂∂2,从而解之.[解法一]令⎩⎨⎧==,,)(v y u y xg 即⎪⎩⎪⎨⎧==,,)(v y y g u x )(a 代入原式得)()(),(v g v g uv u f +=, 两边对u 求偏导得,)(1v g u f =∂∂ 两边对v 求偏导得[]22)()(v g v g v u f '-=∂∂∂. [解法二]在等式)(]),([y g x y y xg f +=两边对x 求偏导2次, 得,0)]([,1)(2=''=⋅'y g f y g f uuu 但按已知, 0)(≠y g , 所以0=''uuf . 在等式1)(=⋅'yg f u 两边对y 求偏导, 得0)(])([)(=''+'''+'⋅'y g f y g x f y g f uv uuu 以0=''uuf 代入, 并解出uv f ''得 )()()()(2y g y g f y g y g f u uv'-='⋅'-='', 其中v u y x ,,,满足方程组)(a , 从而)()(2v g v g f uv'-='' 例30.(2003年数学三)设),(v u f 具有二阶连续偏导数, 且满足,12222=∂∂+∂∂v fu f 又)](21,[),(22y x xy f y x g -=, 求2222yf x f ∂∂+∂∂.[分析]利用求偏导数的链锁法则求二元复合函数的偏导数.[解],vf x u f y xg ∂∂+∂∂=∂∂.vf y u f x yg ∂∂-∂∂=∂∂ vf v f x v u f xy u f y xg ∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂2222222222.v f vf y v u f xy u f x yg ∂∂-∂∂+∂∂∂-∂∂=∂∂2222222222. 22x g ∂∂22yg ∂∂+22222222)()(v f y x u f y x ∂∂++∂∂+=22y x +=. 例31.(2003年数学一)已知函数),(y x f 在点(0,0)的某个邻域内连续, 且1)(),(lim22200=+-→→y x xyy x f y x , 则(A)点(0,0)不是),(y x f 的极值点. (B)点(0,0)是),(y x f 的极大值点.(C)点(0,0)是),(y x f 的极小值点.(D)根据所给条件无法判断点(0,0)是否为),(y x f 的极值点. [答案](A)[解]由),(y x f 在点(0,0)的连续性及1)(),(lim22200=+-→→y x xyy x f y x知0)0,0(=f .且α+=+-1)(),(222y x xyy x f ,其中0lim 00=→→αy x 则222222)()(),(y x y x xy y x f ++++=α令x y =, 得)(44),(22442x o x x x x x x f +=++=α令x y -=, 得)(44),(22442x o x x x x x x f +-=++-=-α从而),(y x f 在(0,0)点的邻域内始终可正可负, 又0)0,0(=f , 由极值定义可知),(y x f 在点(0,0)没有极值,故应选(A). 例32.(2004年数学一)设),(y x z z =是由方程0182106222=+--+-z yz y xy x 确定的函数,求),(y x z z =的极值点极值.[分析]是求二元函数的极值问题. 应用隐函数求偏导法则求两个偏导数,并求出函数的驻点.再求二阶偏导数, 判断是否为极值点. [解法一]方程0182106222=+--+-z yz y xy x两边分别对y x ,求偏导得02262=∂∂-∂∂--xzz x z yy x )(a0222206=∂∂-∂∂--+-yz z y z yz y x )(b 令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂00yz x z, 得⎩⎨⎧=-+-=-,0103,03z y x y x故 ⎩⎨⎧==,,3y z y x将上式代入0182106222=+--+-z yz y xy x , 可得⎪⎩⎪⎨⎧===3,3,9z y x 或⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=.3,3,9z y x 方程)(a 两边分别对y x ,求偏导得,0222222222=∂∂-⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂-x z z x z x z y,02222622=∂∂∂-∂∂⋅∂∂-∂∂∂-∂∂--yx z z x z y z y x z y x z方程)(b 两边对y 求偏导得.022********22=∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-∂∂-∂∂-y zz y z y z y y z y z 所以,35,21,61)3,3,9(22)3,3,9(2)3,3,9(22=∂∂=-=∂∂∂==∂∂=yzC yx z B xzA故,03612<-=-AC B 又061>=A ,从而点(9,3)是),(y x z 的极小值点,极小值为 .3)3,9(=z 类似地, 由,35,21,61)3,3,9(22)3,3,9(2)3,3,9(22-=∂∂==∂∂∂=-=∂∂=---------yzC yx z B xzA可知,03612<-=-AC B 又061<-=A ,所以点)3,9(--是),(y x z 的极大值点,极大值为.3)3,9(-=--z[解法二]令182106),,(222+--+-=z yz y xy x z y x F 应用隐函数求偏导法则得zy y x z y y x F F x z z x +-=----=''-=∂∂32262zy zy x z y z y x F F y z z y +-+-=---+-=''-=∂∂103222206 由0,0=∂∂=∂∂yzx z 解得y z y x ==,3,与原式联立解得驻点为 )3,9(1P 与)3,9(2--P . 再求二阶导数,11)3()(1222P P x z y x z y z y xzA ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂--++=∂∂=,6124112=⋅=P y y 111)(3()(3)(122P P y z y x z y z y yx zB ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+--+-+=∂∂∂=,21)6(4112-=-=P y y11)1)(103())(10()(1222P P y z z y x z y y z z y yzC ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+-+--+∂∂-+=∂∂= ,35204112=⋅=P y y 于是,03612<-=-AC B 又061>=A ,从而点)3,9(1P 是),(y x z 的极小值点,极小值为.3)3,9(=z对于驻点2P ,类似地可求得,35,21,61-==-=C B A于是,03612<-=-AC B 又061<-=A ,从而)3,9(2--P 是),(y x z 的极大值点,极大值为.3)3,9(-=--z 例33.(2003数学一)曲面22y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面方程是________.[答案] 542=-+z y x[分析]利用偏导数先求曲面的法向量, 使其与已知平面的法向量平行, 再求切点的坐标, 最后写出切平面的点法式方程.[解]令022=-+=z y x F , 则)1,2,2(-=y x n ,又已知平行的法向量为)1,4,2(1-=n ,由于1||n n ,所以 ,114222--==y x 由此解得切点的坐标为(1,2,5),所以切平面方程为0)5()2(4)1(2=---+-z y x ,化简得542=-+z y x .。

(完整版)多元函数微分学及其应用习题解答

1 / 28习题8-11. 求下列函数的定义域： (1) y x z -= ；解：0,0x y D ≥≥⇒=(){,0,x y y x ≥≥(2) 221)ln(yx xx y z --+-=；解：220,0,1y x x x y D -≥≥--⇒=(){}22,01x y y x xy >≥+<且(3) )0(122222222>>-+++---=r R rz y x z y x R u ；解：222222220R x y z x y z r ≤---<++-⇒，0D ⇒=(){}22222,,x y z rx y z R <++≤(4) 22arccosyx z u +=。

221,0x y D ≤+≠⇒=(){}22,0x y z x y ≤+≠2. 求下列多元函数的极限:： (1) 22y 01)e ln(limyx x y x ++→→；解：y 1ln 2x y →→== (2) xy xy y x 42lim0+-→→；解：令t=xy，1200001(4)12lim 14x t t y t -→→→→-+===-2 / 28(3) x xyy x sin lim50→→；解：0050sin sin lim5lim 55x x y y xy xyx x →→→→==(4) 22x 222200e)()cos(1limy y x y x y x ++-→→；解：22222222222x 001cos()11cos()2(sin ),lim 20022()ey x y x y x y x y x y →→+-+-+=∴=⋅⋅=+Q (5) xyy x y x )(lim 220+→→。

解：0,xy >设22ln()xy x y +两边取对数，由夹逼定理2200222222lim ln()2222000ln()()ln()0lim ln()0,lim()1x y xy x y xyx x y y xy x y x y x y xy xy x y x y e→→+→→→→≤+≤++<+=∴+==xylnxy 当时同理可得,3. 证明下列极限不存在： (1) y x yx y x -+→→00lim；证明：(1)(,)(,)(,)(1)m x x y y mx f x y f x mx m x+===-当沿直线趋于原点(0,0)时.001lim,1x y x y mm x y m →→++=--不同时,极值也不同,所以极限不存在。

高数第八章多元函数复习题答案

第八章多元函数微分学复习题答案一、单项选择题：1、以下各式中不正确的有（A ）A 、01lim 2222=+++∞→∞→y x y x y xB 、1lim 2210=+→→y x yy x C 、2ln )ln(lim2201=++→→y x e x y y x D 、不存在2200limy x xyy x +→→2、设y ez xcos sin = ，则=∂∂∂），（202πx y z( B )A 、0B 、1－C 、1D 、e3、设函数221ln y x z ++= ，则它在点)1,1(处的全微分=dz ( A )A 、)(31dy dx + B 、dy dx + C 、)(3dy dx + D 、)(2dy dx +4、(,)f x y 在点00(,)x y 处具有连续偏导数是(,)f x y 在点00(,)x y 处可微的（ B ） A. 必要条件 B. 充分条件 C. 充要条件 D. 无关条件5、函数xyxe z =，则=∂∂xz （ D ） A.xy xye B.xye x 2C.xye D.()xye xy +16、函数xy z =在（0，0）处（ D ）A.()0,0不是驻点B.有极小值C. 有极大值D. 无极值..;..;.;.) B (,],[,],[.7无关条件充要条件充分条件必要条件是函数在该点可微的连续在点的偏导数函数D C B A ；y x yzx z y x f z ∂∂∂∂=二、填空题：1、22(,)(2,0)sin lim x y xy y→= 2 ； 2、设2x xyz y e =+，则(1,2)z y∂=∂ 21e + ；3、函数)1ln(912222-++--=y x yx z 的定义域是}91|),{(22<+<y x y x ；4、函数22y x z =在点)1,2(-处当01.0,02.0-=∆=∆y x 时的全微分，=dz 0.16 5、函数2221ln 4yx y x z ---=的连续区域为}4,0,0,1|),{(222yx y x y x y x ≥≠≠<+ ；6、设()y x z z ,=是由方程yzx ln=确定的隐函数，则=∂∂x z z； 7、函数222222,0(,)0,0xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在点(0,0)处不连续；（填写“连续”或“不连续”）8、若函数),(y x f z =可微，,2x y =则函数),(2x x f z =的全导数=dxdz''2y x xff +9、函数z =1，1）处的全微分dz =)(31dy dx +10、设)1ln(y xz +=，则=)1,1(dz )(21dy dx - ；11、211lim 0y x x y x x +→∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+= 1 ；;.12————————————条件充分条件而不是必要微分存在的各偏导数的存在只是全三、计算题：1、设,24,3,22y x v y x u u z v +=+==求yz x z ∂∂∂∂,。

金融管理类高数第八章多元函数微分学(题库题)

dy dx

x 0
. B. 1 C. 2 D. 0 .
A. 1
22、设函数 y f x 是由方程 ln x 2 y 2 arctan A.
dy y 所确定的隐函数，则 x dx
x y yx
B.
x y yx
z x
C.
x y x2 y2
D.
x y x2 y2

2
，结论正确的是 B.
2z 2z 0 xy yx 2z 2z 0 xy yx
2z 2z 0 xy yx 2z 2z 0 xy yx
.
C.
D.
28、设 z xy 3 5 x 3 y x 8 ，结论正确的是
2z 2z A. 0 xy yx
C. 0
D. 不存在
xy 55、设 f ( x, y ) x 2 y 2 0
x2 10 y y 2 10000 (万元)，那么当总养殖 6
数为 45 头时，甲、乙两种动物各为多少头时可以使总成本最少？ 51、设某企业生产甲、乙两种产品的产量分别为 x (件)和 y (件)，且生产甲、乙
x2 1 两种产品的总成本为 C ( x, y ) 20 x 6 y y 2 10000 (万元)，那么当总产 4 2
B. e xy [ y sin( x y ) cos( x y )] D. e xy [ x sin( x y ) cos( x y )]
z y
.
B. e xy [ y sin( x y ) cos( x y )] D. e xy [ x sin( x y ) cos( x y )]
.

第八章多元函数微积分

第八章多元函数微积分试题三一、填空题(2⨯10=20分)1. 母线平行于Y 轴，且通过曲线⎩⎨⎧2x 2+y 2+z 2=16x 2-y 2+z 2=0的柱面方程是。

[解析]：方程不含y 时，表示母线平行于Y 轴的柱面。

消去y 2得到3x 2+2z 2=16，为所求的柱面方程2. 设(x,y)≠(0,0)时，f(x,y)=(x 2-y 2)-sin2xyx 2+y 2, 则 f(x+y,x-y)= 。

[解析]：f(x+y,x-y)= ((x+y)2-(x-y)2)-sin 2(x+y)(x-y) (x+y)2+(x-y)2 = 4xy-sin 2(x 2-y 2)(x 2+y 2)3. 设f(x,y)= ⎩⎪⎨⎪⎧xy x 2+y 2 当x 2+y 2≠00 当x 2+y 2=0，则 f x '(0,0)= 。

[解析]： f 'x (x 0,y 0)= lim ∆x →0f(∆x+x 0,y 0)-f(x 0,y 0)∆x , f x '(0,0)= lim ∆x →0f(∆x,0)-f(0,0)∆x = lim ∆x →00-0∆x =0 4. 设z=f[x,g(x,y)], y=φ(x)，f, g, φ 均为可微函数，则dzdx= 。

[解析]：根据复合函数求导数规则，dzdx = f '1 +f '2 (g 'x +g 'y •φ')5. 已知 xlny+ylnz+zlnx = 1，则∂z ∂x •∂x ∂y •∂y∂z= 。

[解析]：根据隐函数求导数规则，∂z ∂x •∂x ∂y •∂y ∂z = (- F 'x F 'z )•(- F 'y F 'x )•(- F 'zF 'y ) = -16. 设z=f (arctan y x )，f 为可微函数，且f '(x)=x 2, 则 ∂z∂x |(1,1) = 。

高等数学题库第08章(多元函数微分学).

- 1 -第八章多元函数微积分习题一一、填空题1. 设f(x,y)=x-3y. ，则f(2,-1)=_______,f(-1,2)=________x2+y2_______. 2. 已知f(x,y)=2x2+y2+1，则f(x,2x)=__________二、求下列函数的定义域并作出定义域的图形 1.z=3. z=y-x 2. z=-x+-y 4-x2-y24. z=log2xy习题二一、是非题1. 设z=x+lny，则2∂z1=2x+ （）∂xy2. 若函数z=f(x,y)在P(x0,y0)处的两个偏导数fx(x0,y0)与fy(x0,y0)均存在，则该函数在P点处一定连续（）3. 函数z=f(x,y)在P(x0,y0)处一定有fxy(x0,y0)=fyx(x0,y0) （）xy⎧,x2+y2≠0⎪4. 函数f(x,y)=⎨x2+y2在点(0,0)处有fx(0,0)=0及⎪0,x2+y2=0⎩fy(0,0)=0 （）5. 函数z=x2+y2在点(0,0)处连续，但该函数在点(0,0)处的两个偏导数zx(0,0),zy(0,0)均不存在。

（）二、填空题- 2 -1. 设z=lnx∂z∂z，则=___________;∂x∂yy2x=2y=1=___________;2. 设f(x,y)在点(a,b)处的偏导数fx(a,b)和fy(a,b)均存在，则limh→0f(a+h,b)-f(a,b-2h)=_________.h2xy+sin(xy);x2+ey三、求下列函数的偏导数：1. z=x3y-y3x+1;2. z=3. z=(1+xy)y;4. z=lntanx; y5. u=xy2+yz2+zx2∂2z∂2z∂2z四、求下列函数的2,和：∂x∂y2∂x∂y3241. z=x+3xy+y+2;2. z=xy五、计算下列各题1. 设f(x,y)=e-sinx(x+2y),求fx(0,1),fy(0,1);∂2z2. 设f(x,y)=xln(x+y)，求2∂x六、设z=ln(x+y)，证明：x1313∂2z,2x=1∂yy=2∂2z,x=1∂x∂yy=2.x=1y=2∂z∂z1+y=. ∂x∂y3习题三一、填空题2xy_____. 1．z=xy+e在点(x,y)处的dz=__________ 2．z=xx+y_____. 在点(0,1)处的dz=__________- 3 -3．设z=f(x,y)在点(x0,y0)处的全增量为∆z，全微分为dz，则f(x,y)在点(x0,y0) 处的全增量与全微分的关系式是__________________.二、选择题1．在点P处函数f(x,y)的全微分df存在的充分条件为（）A、f的全部二阶偏导数均存在B、f连续C、f的全部一阶偏导数均连续D、f连续且fx,fy均存在2．使得df=∆f的函数f为（）A、ax+by+c(a,b,c为常数)B、sin(xy)C、e+eD、x2+y22三、设z=xy，当∆x=0.1,∆y=0.2时，在(1,2)点处，求∆z和dz。

经济数学(多元函数的微分法及其应用习题及答案)

第八章多元函数的微分法及其应用习题 8－11. 指出下列平面位置的特殊性质：（1）23200x y -+= （2）320x -=（3）470y z -= （4）0x y z ++= 解（1）因为方程中缺变量z , 所以该平面平行于z 轴.（2）因为方程中缺变量y 、z , 所以该平面平行于yz 平面即垂直于x 轴.（3）因为方程中缺变量x 且不含常数项, 所以该平面平行于x 轴且经过原点（0，0，0）. （4）因为方程中缺常数, 所以该平面通过原点（0，0，0）.2. 求下列轨迹的方程：（1）与点(3,0,2)-的距离为4个单位的点的轨迹;（2）与两定点)0,0,(c P 和)0,0,(c Q -的距离之和等于2(0)a a >的点的轨迹; （3）与z 轴和点(1,3,1)-等距离的点之轨迹;（4）与yz 平面的距离为4，且与点)1,2,5(-的距离为3的点之轨迹.。

解设动点为),,(z y x M ，则（1）点(,,)M x y z 与点(3,0,2)-的距离为4 整理得动点),,(z y x M 的轨迹为2226430x y z x z ++-+-=.（2）动点),,(z y x M 与两定点)0,0,(c P 和)0,0,(c Q -的距离之和等于a 2，即2a整理得动点),,(z y x M 的轨迹为2222222222()()0a c x a y a z a a c -++--=.(3) 动点),,(z y x M 与z 轴和点)1,3,1(-等距离为整理得动点),,(z y x M 的轨迹为2262110z x y z --++=.(4) 由动点),,(z y x M 与yz 平面的距离为4，得4||=x ，由动点),,(z y x M 与点)1,2,5(-的距离为3, 得3=故),,(z y x M 点的轨迹为⎩⎨⎧=++-=8)1()2(422z y x . 3. 求下列各曲面的方程：(1) 中心在点)2,3,1(--且通过点)1,1,1(-的球面方程;(2) 过点)1,1,2(-而在x 轴和y 轴上的截距分别为2和1的平面方程; (3) 平行于xz 平面并过点（2，-5，3）的平面方程;(4) 一动点与点)0,0,1(的距离是与平面4=x 的距离之一半，求该动点之方程.解（1）设),,(z y x 为所求球面上的任意一点且球面半径为R ，则 2222(1)(3)(2)x y z R ++++-=将点)1,1,1(-代入上式，得3=R . 故所求球面方程为 9)2()3()1(222=-++++z y x .（2）设所求的平面方程为0=+++D Cz By Ax （*）将点)0,0,2(,)0,1,0(,)1,1,2(-代入上式，得20020A D B D A B C D +=⎧⎪+=⎨⎪+-+=⎩解得0.5,,A D B D C D =-=-=-. 代入方程（*）整理得平面方程为2220x y z ++-=.（3）设所求平面方程为0By D += （**）将点)3,5,2(-代入上式，得B D 5=.代入方程（**）整理得平面方程为 50y +=.(4) (4) 设动点为),,(z y x ，则0.5|4|x =-22234412x y z ++=.4.作出下列方程之图形：（1）01=-+-z y x （2）03=-z y（3）02=x （4）12=y（5）1222=++z y x （6）022=-y x（7）223049y x z +-= （8）22149y x +=解（1）（2）(图8－1) (图8－2)（3）（4）4）(图8－3) (图8－4)（5）（6）(图8－5) (图8－6)（7）（8）习题 8－21. 已知y xxy y x y x f tan),(22-+=，求),(ty tx f .解2222(,)()()tantx f tx ty t x t y tx ty ty =+-2222(tan )(,)xt x y xy t f x y y =+-=.2.已知vu wwu w v u f ++=),,(，求),,(xy y x y x f -+.解 ),,(xy y x y x f -+=yx y x xy xy y x -++++)()(=xxy xy y x 2)()(++.3. 已知2332),(y xy x y x f +-=，求),(xy y x f .解 32(()x x f y y =-+333x xyy =-+.4*.设)(y x f y z --=且1=y 时x z =，试求)(x f 和z .解由1=y 时x z =，得 )1(1--=x f x令1-=x t ，则)(1)1(2t f t -=+，即22()1(1)2f t t t t =-+=--所以 2()(2)f x x x =-+222)[))] 22 )).z f y y y x y yy y ==---=+-=+-5 .（1）2ln(21)z y x =-+ （2）z =+（3）ln(1)z x y =-- （4）z =解（1）当2210y x -+>时, 函数有意义, 故函数的定义域(如图8－9所示)为2{(,)|210}D x y y x =-+>.（2）当0,0x y x y +>->时, 函数有意义,故函数的定义域(如图8－10所示)为图8－9 {(,)|00}D x y x y x y =+>->且（3）当240x y -≥和0122>--y x 且2211x y --≠时, 函数有意义, 故函数的定义域(如图8－11所示)为222{(,)|401}D x y y x x y =≤<+<，（4）当0,0y x ≥，即0,0x y ≥≥且2x y ≥时, 函数有意义, 故函数的定义域(如图8－12所示)为图8－10|),{(y x D =0≥x ，0≥y ，y x ≥2}.图8－11图8－126. 求下列各极限：(,)limy x y →（1）22(,)(0,1)1limx y xyx y →-+ （2）（3）(,)limx y → （4）(,)(2,0)sin limx y xyy →解（1）)1,0(),(lim→y x 221y x xy +-=1.（2）)0,1(),(lim→y x 22)ln(y x e x y ++=2ln . （3）)0,0(),(lim→y x 11-+xy xy=)0,0(),(lim →y x xy xy xy )11(++=2.(4) )0,2(),(lim→y x y xy sin =)0,2(),(lim→y x xy xyx sin =2.7. 证明下列极限不存在：（1）)0,0(),(lim →y x y x yx -+ （2）)0,0(),(lim →y x 222)(y x y x - 证（1）因为当点(,)x y 沿直线x y 2=趋向)0,0(点，得020lim →=→x y x y x yx -+=0lim→x x x x x 22-+=3- 当点(,)x y 沿直线y x 2=趋向)0,0(点，得020limy x y x y x y →=→+-=0lim →y yy3=3所以 )0,0(),(lim→y x y x yx -+不存在.（2）因为当点(,)x y 沿直线kx y =)1(≠k 趋向)0,0(点，得00lim→=→kx y x 222)(y x y x -=00lim →=→kx y x 222)()(kx x kx x -=0lim →x 22)1()(k kx -=0当点(,)x y 沿曲线x x y +=2趋向)0,0(点，得x x y x +=→20l i m222)(y x y x -=x x y x +=→20lim 22222)()(x x x x x x --+=0lim →x 2)1(x +=1所以)0,0(),(lim →y x 222)(y x y x -不存在. 8. 求下列函数的不连续点：（1）221y x z +=（2）y x xy z +=（3）xy z 1sin = 解（1）因为在)0,0(点处, 函数无意义, 所以函数不连续点为)0,0(.（2）因为当0x y +=时, 函数无意义, 所以函数不连续点为直线0x y +=上的一切点.（3）因为当00x y ==或时, 函数无意义, 所以函数不连续点为坐标轴上的一切点. 9.求函数(,)ln(1)f x y x y =--的定义域及1(,)(,0)2lim (,)x y f x y →.解要使该函数有意义，则恒有22222401011x y x y x y ⎧-≥⎪⎪-->⎨⎪--≠⎪⎩成立, 则函数的定义域为222{(,)|4001}D x y x y x y =-≥<+<，又因为函数),(y x f 是初等函数且在1(,0)2点处有定义, 所以函数),(y x f 在点1(,0)2处连续.故1(,)(,0)21lim(,)(,0)2x y f x y f →==.习题 8－31. 求下列函数的偏导数：（1）33xy y x z -= （2）)ln(xy z =（3）)(cos )arcsin(2xy xy z += （4）yxy z )1(+=解（1）23323, 3z z x y y x xy x y ∂∂=-=-∂∂.（2）z x x ∂∂==∂∂同理z y ∂=∂（3）sin(2)z y xy x ∂=-∂同理sin(2)z x xy y ∂-∂.（4） 21(1)y zy xy x -∂=+∂设在已知函数两端取对数，有 l n l n (1)z y x y =+ 两边对y 求导，得11ln(1)1z xy y x z y xy ∂⋅=++⋅⋅∂+故 =∂∂y zyxy )1(+]1)1[ln(xy xy xy +++. 2.设ln x y y u x y x -=+，验证0u ux y x y ∂∂+=∂∂.证因为221ln ()y y x y u x x x x y x y -∂=-⋅∂++221ln ()y x y u x y x y x y x y -∂=-+⋅∂++所以0u u xy x y ∂∂+=∂∂.3.设)11(yx ez +-=，验证+∂∂x z x 2z y z y 22=∂∂.证因为 1111()()22, x y x y z z e x e y x y -+-+--∂∂==∂∂所以+∂∂xz x 2=∂∂y z y 2)11(y x e +-+)11(y x e +-=)11(2y x e +-z 2=. 4. 设=),(y x f y xy x arcsin)1(-+，求'(,1)x f x .解因为=),('y x fx 11y +=所以 '(,1)1x f x =.5.设=),(y x f 22y x y x +-+，求)4,3('x f . 解因为'(,)x f x y ==-所以'2(3,4)5x f =. 6.求下列函数的二阶偏导：（1）x yz arctan= （2）xy z =解（1）22221()1()y y z y xx x y x ∂=⋅-=-∂++22211()1()z x y y x x y x ∂=⋅=∂++22222222222()2()()y y xy z x x x x y x y x y -∂∂=-=-⋅=∂∂+++22222222()()xy z xy y x y x y ∂∂==-∂∂++22222222()()y x z xx y y x y x y -∂∂==∂∂∂++.（2） ''1ln , x x x y z y y z xy -== ''2''2(ln ), (1)x x xx yy z y y z x x y -==-=''xy z 1-x xy y ln +y y x1= 1-x y )1ln (+y x .7. 设=),,(z y x f z x yz xy 222++，求)1,0,0('x f ,)0,1,0('y f , ''(0,0,1)x x f ,''(1,0,2)x z f ,''(0,1,0)y z f -和'''(2,0,1)z z x f .解因为'2'2'22,2,2x y zf y x z fx yzf y z x=+=+=+'''''''''''2,2,2,2,0xx xz yz zz zzx f z f x f z f y f ===== 所以 ''''(0,0,1)0,(0,1,0)0,(0,0,1)2x y x x f f f === '''''''(1,0,2)2,(0,1,0)0,(2,0,1)x z y z z z xf f f=-==. 8. 设)ln(xy x z =，求32z x y ∂∂∂与32zx y ∂∂∂.解因为 1l n ()l n ()1z x y x y x y x x y ∂=+⋅⋅=+∂22211(ln 1)11(ln 1)z xy y x xy xx z xy x x y yxy y ∂∂=+=⋅=∂∂∂∂=+=⋅=∂∂∂ 所以 3322210,z z x yx y y ∂∂==-∂∂∂∂. 9. 验证2sin kn ty e nx -=满足22x yk t y ∂∂=∂∂. 证因为=∂∂t y2222sin ()sin kn t kn t e nx kn kn e nx ---=- 22222cos , sin kn t kn t y y ne nx n e nxx x --∂∂==-∂∂=∂∂22xy k 22sin kn t kn e nx --=t y∂∂ 所以22x y k t y ∂∂=∂∂. 10. 设),(y x u 有一阶连续偏导数，且x x u=∂∂, 2(,)(,)|1x x u x y =, 求y u ∂∂.解由x x u =∂∂，两边对x 积分，得21(,)()2u x y x g y =+?? 由 2(,)(,)|1x x u x y =，得 =),(2x x u 1)(2122=+x g x即=)(2x g 2211x - 于是 ),(y x u =+221x y211-故 12u y∂=-∂. 11. 设33222222,0(,)0, 0x y x y f x y x yx y ⎧-+≠⎪=+⎨⎪+=⎩，求)0,0('xf )0,0('y f . 解由在一点的偏导数定义，得'00(0,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x f x f xf x x ∆→∆→+∆-∆===∆∆'00(0,0)(0,0)(0,0)lim lim 1y y y f y f yf y y ∆→∆→+∆--∆===-∆∆. 12 .设1()()y z f xy xf y x =+，f 具有连续二阶偏导数，求''x y z .解设,y u xy v x ==, 则1()()z f u xf v y =+于是'''21()()()()x u v y z f u y f v xf v y x =⋅⋅++⋅-''()()()u v y f u f v f v x =+=-故''''''''111()()()()xy y z f u x f v f v f v x x x x =+⋅-⋅-⋅⋅''''2()()y yf xy x f x x =⋅-⋅.习题 8－41. 求下列函数的全微分：（1）xz xy y =+（2）y x e z 2-= （3）z （4）y z u x =（5）2ln()z x xy = （6）221z x y =- 解（1）因为 21, z z x y x xy y y ∂∂=+=-∂∂ 所以 21d ()d ()d xz y x x yy y =++-.（2）因为 =∂∂x z yx e 2-，=∂∂y z y x e 22--所以 222d d 2d (d 2d ).x yx y x y z ex e y e x y ---=-=- （3）因为223222()y xy zx x y x y ∂=-=-∂++23222()z x y x y ∂==∂+ 所以233222222d d d ()()xy x z x yx y x y =-+++3222(d d ).()x y x x y x y =--+（4）因为=∂∂x u 1y z yzx -， =∂∂y u ln y z zx x ， =∂∂zu ln y z yx x 所以 1d d ln d ln d y z y z y z u yzxx zx x y yx x z -=++. （5）因为 22l n ()2l n ()y zx x y x x x y x x x y ∂=+=+∂22z x x x y xy y ∂=⋅=∂ 所以 2d [2ln()]d d x z x xy x x yy =++.（6）因为 22222222, ()()y z x zxy x y x y ∂∂=-=∂∂--所以22222222d d d ()()y x z x yx y x y =-+--2222(d d ).()x x y y x y =---2 .求函数)1ln(22y x z ++=在1,2x y ==的全微分.解因为 2221z x x x y ∂=∂++， 2221y zy x y ∂=∂++所以 1213x y z x==∂=∂， 1223x y z y==∂=∂故1212d d d 33x y z x y ===+.3. 求函数x yz =, 当2,1x y ==、0.1x ∆=、0.2y ∆=-的全增量z ∆和全微分d z . 解因为 x y x x y y z -∆+∆+=∆， 21d y z x y x x =-∆+∆所以, 当2,2x y ==、0.1x ∆=、0.2y ∆=-时1(0.2)10.11920.12z +-∆=-=-+ 11d 0.1(0.2)0.12542z =-⨯+⨯-=-.*4. 已知(cos )d (sin )d ay by x x x x y +++是函数(,)u x y 的全微分，求,a b 及(,)u x y .解因为 d u =(c o s )d a y b y x x +(s i n )d x x y ++所以 x by ay u x cos '+=， ='y u x x sin +则 =''xy u x b a cos +， =''yx u x c o s 1+ 而''xy u 与''yx u 均为连续函数，则必有≡+x b a cos x cos 1+ 解得 1,1==b a .故 ),(y x u =d ux x ∂∂⎰=(cos )d y y x x +⎰=c x y xy ++sin （c 为任意常数）.5.在例3的条件下, 求产品B 的边际成本,并阐明其经济意义.解因为 30.010.04Cx y y ∂=++∂所以 (100,50)30.011000.04506Cy ∂=+⨯+⨯=∂其经济意义为：当产品A 的产量x = 100不变时, 产品B 的产量在y = 50的基础上, 再增加一个单位, 成本C 将增加6个单位.6.已知某商品的需求量Q 是该商品的价格p 1、另一相关商品的价格p 2及消费者收入y的函数, 且325852121200Q p p y--=，试求需求量分别关于自身价格p 1、、相关价格p 2及消费者收入y 的弹性, 并阐明其经济意义.解1112511852121133()20088p p p Q p p y Q p Q η--∂=⋅=⋅⋅-=-∂375228522122122()20055p p p Q p p y Q p Q η--∂=⋅=⋅⋅-=-∂32385212155()20022y y Q y p p y Q y Q η--∂=⋅=⋅⋅=∂其经济意义分别为：在相关商品的价格p 2及消费者收入y 不变时, 该商品的价格p 1上涨(或下降)1%,需求量下降(或上升)37.5%; 在某商品的价格p 1及消费者收入y 不变时, 相关商品的价格p 2上涨(或下降)1%,需求量下降(或上升)40%; 在某商品的价格p 1及相关商品的价格p 2不变时, 消费者收入y 上涨(或下降)1%, 需求量上升 (或下降)250%.7*. 在边长为6,8x m y m ==的矩形中，若x 增加5cm ，y 减少10cm ，试求该矩形的对角线和面积变化的近似值.解设对角线长为l ，面积为s ，则有22y x l +=， xy s = 于是d )z z l l x y x x y y x y ∂∂∆≈=∆+∆=∆+∆∂∂d ()s s y x x y ∆≈=∆+∆当6,8,0.05,0.1x m y m x m y m ==∆=∆=-时，有680.05(0.1)0.051010l m ∆≈⨯+-=-280.056(0.01)0.2s m ∆≈⨯+⨯-=- .8*. 设有一无盖圆柱形容器, 其壁与底厚均为0.1cm, 内高为20cm, 内半径为4cm, 求该容器外壳体积的近似值.解设容器的内半径为r ,高为h ,体积为V , 则圆柱体的体积为 2V r h π=因为圆柱形容器的外壳就是圆柱体积的增量V ∆，所以2d 2V V rh r r h ππ∆≈=∆+∆ 于是当4,20,0.1r h r h ==∆=∆=,时, 有2324200.140.155.3()V cm πππ∆≈⨯⨯⨯⨯+⨯⨯≈.故该容器外壳体积大约为355.3().cm π9*. 求下列各式的近似值：(2) 1.05(1.07)(ln 20.693)=(3) 00sin 29tan 46解 (1)设(,)f x y =2f x ∂=∂，2f y ∂=∂于是(,)f x x y y +∆+∆f fx yx y ∂∂≈+∆+∆∂∂22=+当1,2,x y x ==∆=时, 有(1.02,1.97)f =2 2.95≈=.(2) 设(,)f x y =yx ，则'1y x f yx -=， 'ln y yf x x =于是 (,)f x x y y +∆+∆()y y x x +∆=+∆≈y x ''x y f x f y +∆+∆=yx 1ln y y yx x x x y -+∆+∆当1,1,0.07,0.05x y x y ==∆=∆=时, 有(1.07,1.05)10.07 1.07f =+=. (3) 设(,)f x y =sin tan x y ，则'cos tan x f x y =，'2sin sec y f x y = 于是00sin 29tan 46sin()tan()61804180ππππ=-+ 当,,,64180180x y x y ππππ==∆=-∆=时, 有00''(29,46)(,)(,)(,)646464x y f f f x f y ππππππ=+∆+∆2sintancostan()sinsec646418064180ππππππππ=+-+ = 0.50235.10*. 设222232222,0(,)()0,0x y x y f x y x y x y ⎧+≠⎪⎪=⎨+⎪⎪+=⎩ 求证：(,)f x y 在点(0,0)处连续且偏导数存在,但不可微分.证设cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩, 则43(,)(0,0)cos sin lim (,)lim0(0,0)x y r r f x y f r θθ→→===故(,)f x y 在点(0,0)处连续. 而'0(0,0)(0,0)(0,0)limx x f x f f x →+-==同理 '(0,0)0y f =故(,)f x y 在点(0,0)处偏导数存在.由函数可微的定义和性质可知：f 可微的充要条件是''()x y f f x f y o ρ∆-∆-∆=其中ρ=而''0(0,0)(0,0)limx y f f x f yρρ→∆-∆-∆''0(,)(0,0)(0,0)(0,0)limx y f x y f f x f yρρ→∆∆--∆-∆=2222222222000()limlim[][()]x x y y k x x y x k x x y x k x ∆→∆→∆→∆=∆→∆∆∆∆==∆+∆∆+∆222lim0(0)(1)x y k x k k k ∆→∆=∆→=≠≠+故(,)f x y 在点(0,0)处不可微.习题 8－51. 设2ln ,32x z u v u v x y y ===-而求,.z z x y ∂∂∂∂ 解 212l n 3z z u z v u u v x u x v x y v ∂∂∂∂∂=⋅+⋅=⋅+⋅∂∂∂∂∂22223ln(32)(32)x x x y yx y y =⋅-+- 222ln ()(2)z z u z v x u u v y u y v y v y ∂∂∂∂∂=⋅+⋅=⋅-+⋅-∂∂∂∂∂223222ln(32)(32)x x x y y x y y =-⋅---. 2.设2x yz e -=,而sin x t =, 3y t =,求d z .解因为 3sin 2t t z e-=所以 3sin 23d d(sin 2)t tz et t -=- 32sin 2(cos 6)d t t t t et -=-.3. 设arctan()z xy =,而xy e =, 求d d zx .解d d d d d d d d y y z z z x z z x y x x x x y x ∂∂∂∂=⋅+⋅=+⋅∂∂∂∂22222222111(1).11xx x x xy x e x y x y x e xe e x yx e=+⋅++++==++4.设2()1ax e y z u a -=+, 而sin ,cos y a x z x ==, 求d d u x . 解 d d d d d d d d u u x u y u z x x x y x z x ∂∂∂=⋅+⋅+⋅∂∂∂=222()cos (sin )111ax ax ax ae y z e e a x x a a a -=+⋅-⋅-+++=22(sin cos cos sin )1axe a x a x a x x a -+++=sin axe x .5.设arctanxz y =,而x u v =+,y u v =-,求证：z z u v ∂∂+=∂∂22u v u v -+.证因为''22222221()()11x y xy x x xy y u y uy y x z ux x y x yy ∂∂-⋅+⋅∂∂-∂===∂+++''22222221()(1)()()11x y xy x x xy y v y vyy x z vx x y x y y ∂∂+-⋅-⋅+⋅∂∂+∂===∂+++所以 2222222y xy x y z zu v y xy x y x -+∂∂+=+=∂∂+++ 22222()()()u v u v u v u v u v --==++-+.6. 设f 具有一阶连续偏导数, 求下列函数的一阶偏导数： (1)222()u f x y z =++ (2) 22(,)xyu f x y e =-(3) (,)x y u f y z = (4) (,,)u f x xy xyz = 解 (1)'''2',2',,2'.x y z u xf u yf u zf === (2) ''22'''1212()()2xy xy x u f x y f e xf ye f x x ∂∂=⋅-+⋅=+∂∂ ''22'''1212()()2.xy xy y u f x y f e yf xe f y y ∂∂=⋅-+⋅=-+∂∂'''11'''''12122'''2221(3)()1()() ().x y z x u f f x y y x x x u f f f f y y y y z yyy u f f z z z∂==∂∂∂=+=-+∂∂∂==-∂, ,.'''''''123123'''''2323'''33(4)1 .x y z u f f y f yz f yf yzf u f x f xz xf xzf u f xy xyf =⋅+⋅+⋅=++=⋅+⋅=+=⋅= .7. 设f 具有二阶连续偏导数, 求下列函数的二阶偏导数：(1)(,)z f xy y = (2) (,)xz f x y =解 (1) '''11(),x z f xy yf x ∂=⋅=∂'''''1212d ()()d y y z f xy f xy xf f y y ∂=⋅+⋅=+∂ '''''2''11111()()xx z yf yf xy y f x x ∂∂==⋅=∂∂''''''''111112'''''11112d ()[()]d xy y z yf f y f xy f y x yf xyf yf ∂∂==+⋅+⋅∂∂=++''''12''''''''11122122''''''''''''2''211122122111222()d d [()][()]d d 2.yy z xf f yy y x f xy f f xy f y y y y x f xf xf f x f xf f ∂=+∂∂∂=⋅+⋅+⋅+⋅∂∂=+++=++(2)'''''1212d 1()d x x x z f f f f x x y y ∂=⋅+⋅=+∂, '''222()y x x z f f y y y ∂=⋅=-∂ ''''12''''''''11122122''''''''''''''11122122111222221[]d 1d ()[()]d d 11121 .xx z f f x yx x x x f f f f x x y y x x y f f f f f f f y y y y y ∂=+∂∂∂=⋅+⋅+⋅+⋅∂∂=+++=++ ''''12'''''''''2111221222'''''21222222'''''212222231[]11 ()()[()()]11 ()1xy z f f y yx x f x f f f x f y y y y y y y y x x f f f y y yy x xf f f y y y ∂=+∂∂∂∂∂=⋅+⋅-+⋅+⋅∂∂∂∂=--+-=---''''''''2221222322''''''222222322342()[()()]22 ().yyx x x x z f f f x f y y y y y y y x x x x x f f f f y y y y y ∂∂∂=-=⋅-⋅+⋅∂∂∂=⋅+⋅=⋅+⋅8 .设()z xy xF u =+,而()F u 为可导函数且yu x =, 求证：z z x y z xy x y ∂∂+=+∂∂.证因为 ''2()()()u u y y zy F u x F y F u F xx x ∂=++⋅-⋅=+-∂''1u u z x x F x F y x ∂=+⋅⋅=+∂ 所以''()u u z zxy xy x F u y F xy y F x y ∂∂+=+⋅-⋅++⋅∂∂=2().xy xF u z xy =+=+9. 设2()3y z xy x ϕ=+, 验证：220z z x xy y x y ∂∂-+=∂∂.证因为 2''22, 33y yz z y x x y x x ϕϕ∂∂=-+⋅=+⋅∂∂所以 2222''222()()33y y z z x xy y x y xy x yx y x x ϕϕ∂∂⋅-+=⋅-+-⋅++∂∂22'22'2233y x y y x y y ϕϕ=-+--+=10. 设sin()(,)xz xy x y ϕ=+,(,)u v ϕ有二阶偏导数, 求''xy z .解'''121cos()()x z y xy y ϕϕ=++⋅'''''''2122222211cos()sin()()()x y x xz xy xy xy y yy y ϕϕϕ=-+⋅--⋅+⋅-'''''222122231cos()sin().x x xy xy xy y y y ϕϕϕ=--⋅-⋅-⋅11. 设(,)()y xz f xy y x ϕ=+,且f 与ϕ具有二阶连续偏导数, 求''xy z .解 ''''1221x y z yf f y x ϕ=+⋅-⋅'''''''''''11211212222''2222'''''''''12112223321()()111 "11 .xy x x z f y f x f f x f y y yyf x y x xy x f xy f f f y y x x ϕϕϕϕ=+⋅-+⋅---⋅⋅-=+⋅-⋅-⋅-⋅-⋅习题 8－61 .设下列方程所确定的函数为()y f x =,求d d yx .(1)ln 0xy y -= (2)2sin 0x y e xy +-= (3)ln ln 0xy x y ++=解 (1)设(,)ln F x y xy y =-, 则'x F y =,'1y F x y =-故'2'd .1d 1x yF yyy x xy F x y =-=-=--(2) 设2(,)sin xF x y y e xy =+-, 则'2',cos 2x x y F e y F y xy =-=-故'22'd d cos 2cos 2x xx yF y e y y e x y xy y xy F --=-=-=--.(3) 设(,)ln ln F x y xy x y =++, 则''11, x y F y F x x y =+=+故 ''1d .1d x yy F y y x x x F x y +=-=-=-+2. 对下列隐函数, 求,,z z x x y y ∂∂∂∂∂∂及d z .(1)20x y z ++-= (2)0ze xyz -= (3)lnx z zy = 解 (1)设(,)2F x y x y z =++-, 则'121x F =-='222y F =-=-'zF=1-于是''x z F zx F∂=-=∂''y z F zy F ∂=-=∂''y x F xy F ∂=-=∂ 故d d d z z z x yx y ∂∂=+∂∂(2) 设(,)zF x y e xyz =-, 则'x F yz =-, 'y F xz =-, 'z F =z e xy -于是 ''x zz F z yz xF e xy ∂=-=∂- ''y z z F z xz y F e xy ∂=-=∂-''y x F x xz y yz F ∂=-=-∂ 故(d d )d d d zz z z y x x y z x y x y e xy ∂∂+=+=∂∂-. (3) 设(,)ln x zF x y z y =-, 则'''2111, , x y z x F F F z y z z===--, 于是 ''x z F z z xx z F ∂=-=∂+, '2'()y z F z z y y x z F ∂=-=∂+ ''y xF x z y y F ∂=-=-∂ 故 2d d d ()z z z x yx z y x z =+++.3 .设333z xyz a -=, 求2z x y ∂∂∂.解设33(,,)3F x y z z xyz a =--, 则'''23,3,33x y z F yz F xz F z xy =-=-=-于是 ''22333x z F yz yz zxF z xy z xy -∂=-=-=∂-- ''22333y z F z xz xz y F z xy z xy ∂-=-=-=∂--故 22()()z z yzx y y x y z xy ∂∂∂∂==∂∂∂∂∂-222()()(2)()z zz y z xy yz z x y yz xy ∂∂+---∂∂=-2222222()()()()xyz xz z z xy yz x z xyz xyz xy +-----=-422223(2)()z z xyz x y z xy --=-.4.设0x e xyz -=, 求22zx ∂∂.解设(,,)xF x y z e xyz =-, 则 'x x F e yz =-, 'y F xz =-, 'z F =xy -于是 z x ∂∂=''x z F F -=x e yz xy ---=xe yzxy - 故 222()()()()x x ze yxy e yz y zz xx xxxy ∂---∂∂∂∂==∂∂∂22()()(2)2()x xx x e yze y xy e yz yxyx e yzxy x y-----+==.5.设2sin(23)23x y z x y z +-=+-, 求证：1z z x y ∂∂+=∂∂. 证设(,,)2sin(23)23F x y z x y z x y z =+---+, 则'2cos(23)1x F x y z =+--, '4cos(23)2y F x y z =+--'6cos(23)3z F x y z =-+-+于是''2cos(23)116cos(23)33x z F x y z zx x y z F +--∂=-=-=∂-+-+ ''4cos(23)226cos(23)33y zF x y z zy x y z F +--∂=-=-=∂-+-+ 故 1z z x y ∂∂+=∂∂.6 .设(,)x x y z =, (,)y y x z =, (,)z z x y =,都是由方程(,,)0F x y z =所确定的具有连续偏导数的函数, 求证：1y x zy z x ∂∂∂⋅⋅=-∂∂∂.证因为 ''y x F x y F ∂=-∂, ''z y F y z F ∂=-∂,''x z F z x F ∂=-∂ 所以''''''()()()1y x z x y zF F F y x zy z x F F F ∂∂∂⋅⋅=-⋅-⋅-=-∂∂∂.7. 设(,)u v ϕ具有连续偏导数,证明由方程(,)0cx az cy bz ϕ--=所确定的函数(,)z f x y =满足 z z a b cx y ∂∂+=∂∂.证设(,,)(,)F x y z cx az cy bz ϕ=--, 则''1x F c ϕ=, ''2y F c ϕ=, '''12z F a b ϕϕ=--于是 z x ∂∂=''1'''12x z F c F a b ϕϕϕ-=---='1''12c a b ϕϕϕ+zy ∂∂=''y z F F -='2''12c a b ϕϕϕ---='2''12c a b ϕϕϕ+ 故 ''12''''1212c c z za b a b c x y a b a b ϕϕϕϕϕϕ∂∂+=+=∂∂++.习题 8－71.在点(1,2)-的邻域内, 根据泰勒公式, 展开函数22(,)2635f x y x xy y x y =----+解因为''(1,2) 5 , 46, 23x y f f x y f x y -==--=--- ''''''4, 1, 2xx xy yy f f f ==-=-则(,)f x y 的3阶及3阶以上的各偏导数均为0, 且''(1,2)0 , (1,2)0x y f f -=-= 故函数(,)f x y 在点(1,2)-的邻域内的泰勒公式为(,)[1(1),2(2)]f x y f x y =+--++''2''''2''2222(1,2)(1)(1,2)(2)(1,2)1[(1)(1,2)2(1)(2)(1,2)2!(2)(1,2)]15[4(1)2(1)(2)2(2)]2!52(1)(1)(2)(2).x y xx xy yy f x f y f x f x y f y f x x y y x x y y =-+--++-+--+-+-++-=+---+-+=+---+-+2 .当自变量从5,6x y ==,变到115,6x h y k =+=+时,求函数32(,)639184f x y x y xy x y =+--++的增量.解因为 (5,6)(5,6f f h k f ∆=++- 23639, 2618f f x y y x x y ∂∂=--=-+∂∂22232236, 6, 2, 6ff f fx x y x y x ∂∂∂∂==-==∂∂∂∂∂3332230, 0, 0f f fx y x y y ∂∂∂===∂∂∂∂∂则(,)f x y 的4阶及4阶以上的各阶偏导数均为0, 且225556660,8,30x x x y y y fff xyx======∂∂∂===∂∂∂故223110(8)[302(6)2]62!3!f h k h hk k h∆=⋅+-+⋅+-++⋅223156h hk k h=-++.3.设||x与||y均很小,求coscosxy的准确到二次项的近似表达式. 解设cos(,)cosxf x yy=, 则22sin cos,cos cosf fx xx y yx∂∂=-=-∂∂22cos sin1cos()(sin)cos cosf x yx yy y y∂=-⋅-=∂222sin sin1sin()(sin)cos cosf x yx yx y y y∂=--⋅-=-∂∂222423cos cos sin2cos(sin)coscoscos(cos2sin)cosf y y y y yxy yx y yy∂-⋅-=⋅∂+=于是()(0,0)(0,0)(0,0)0f fx y f x yx y x y∂∂∂∂+=+=∂∂∂∂2()(0,0)x y fx y∂∂+∂∂222222222(0,0)(0,0)(0,0)2f f fx xy yx yx yy x∂∂∂=++∂∂∂∂=-故2(,)(0,0)()(0,0)()(0,0)f x y f x y f x y fx y x y∂∂∂∂≈++++∂∂∂∂2222110()12!2y xy x-=++-=+.4. 按1x-和2yπ-的正整数幂, 展开函数(,)sinf x y xy=, 到二次项为止. 解因为c o s,c o sf fy xy x xyx y∂∂==∂∂2222222sin,cos sin,sinf f fy xy xy xy xy x xyx yx y∂∂∂=-=-=-∂∂∂∂于是[(1)()](1,)22x y fx yππ∂∂-+-∂∂(1,)(1,)22(1)()02f fx yx yπππ∂∂=-+-=∂∂2[(1)()](1,)22x y f x y ππ∂∂-+-∂∂2222(1,)(1,)22(1)2(1)()2f f x x y x y x πππ∂∂=-+--∂∂∂ 222(1,)2()2f y y ππ∂+-∂ 222(1)2(1)()()()(1)4222x x y y ππππ=--+---+--故将(,)sin f x y xy =在(1,)2π处展开成含有2次幂的泰勒多项式为2222(,)(1,)[(1)()](1,)2221 [(1)()](1,)2!221 1[(1)(1)()()]2422f x y f x y f x y x y f x y x x y y πππππππππ∂∂=+-+-∂∂∂∂+-+-∂∂=+------- 22211 1(1)(1)()().82222x x y y ππππ=-------5.按x 和y 的乘幂展开函数(,)ln(1)xf x y e y =+到三次项为止.解因为l n (1), 1x xf f e e y x y y ∂∂=+=∂∂+ 222222ln(1), , 1(1)x x xff f e e e y x y y x y y ∂∂∂=+==-∂∂+∂∂+3333222ln(1), , 1(1)x x xf f f e e e y y x x y x y y ∂∂∂=+==-+∂∂∂∂∂+3332(1)xf e y y ∂=∂+于是 (0,0)(0,0)[](0,0)f f x y f x y y x y x y ∂∂∂∂+=+=∂∂∂∂ 2222222223333332233223223[](0,0)(0,0)(0,0)(0,0) 22[](0,0)(0,0)(0,0)(0,0)(0,0) 33 332x y f x yf f f x xy y xy y x y x yxy f x y f f f f xx yxyyxx yx yy x y xy y ∂∂+∂∂∂∂∂=++=-∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂∂=+++∂∂∂∂∂∂=-+故 2223311(,)(2)(332)()2!3!f x y y xy y x y xy y R θ=+-+-++(01)θ<<.综合习题八1.选择题:(1) 设(,)ln ,(,)ln ln ,f x y xy g x y x y ==+则(,)f x y ( )(,).g x y ① > ② < ③ = ④ ≠ (2) 设00(,)(,)f x y x y 在点的偏导数存在，则00(,)( ).x f x y '=① 00000(,)(,)limx f x x y y f x y x ∆→+∆+∆-∆② 00000(,)(,)limx f x x y f x y x ∆→+∆-∆③ 0000(,)(,)limx x f x y f x y x x →--④ 00000(,)(,)limx x f x y f x y x x →--(3) 设0000(,)(,)0,x y f x y f x y ''==则( ).① 00(,)x y 为极值点 ② 00(,)x y 为驻点 ③ (,)f x y 在00(,)x y 有定义 ④ 00(,)x y 为连续点(4) 在空间中,下列方程( )为球面, ( )为抛物面, ( )为柱面.① 2425x y z -+= ② 2221444y x z ++=③ 2y x = ④ 221x y +=⑤ 2z y = ⑥ 22222x y y x z ++=-(5) 设(,)f x y 在00(,)x y 处偏导数存在,则(,)f x y 在该点( ).① 极限存在 ② 连续③ 可微 ④ 以上结论均不成立解 (1) ④; (2) ②④; (3) ②③; (4) ②⑥、①③⑤、④; (5) ④.2．设(,)f x y 的定义域为1,1,x y <<试求(,)xf x y y 的定义域并在xy 平面上画出该定义域的图形.解因(,)f x y 的定义域为11x y <<且所以(,)x f x y y 中的,x y 必须满足||1||1xy xy ⎧<⎪⎨⎪<⎩则函数(,)xf x y y 的定义域为(,)11,11xD x y xy y ⎧⎫=-<<-<<⎨⎬⎩⎭且D 在xy 平面上的图形如图8－13. 图8－133．计算下列极限：222(,)(0,0)22(,)(0,1)ln(2)(1) lim 1cos sin cos (2) limx y x y x y x y e y xyxy xy x x y x +→→+-+-解 222222(,)(0,0)(,)(0,0)2ln(2)ln(2)(1)lim lim 11cos ()2x y x y x y x y x y e y x y e y xyxy ++→→++=-2(,)(0,0)lim2ln(2)2ln 2.xyx y e y +→=+=22(,)(0,1)2(,)(0,1)(,)(0,1)(,)(0,1)(,)(0,1)sin cos (2) limsin lim lim cos lim sin lim 1 2.x y x y x y x y x y xy xy x x y xxyy x xy xxyy xy →→→→→+-=+-=⋅+= 4.已知()(),()()0,(,x y x f z y g z x f z y g z z z x y ''=++≠=且x y 是和的函数.求证:())(()).z zx g z y f z x y ∂∂-=-∂∂(证 (,,)()(),F x y z xy xf z yg z =--令则(), (), ()()x y z F y f z F x g z F xf z yg z '''''=-=-=--于是 ()()()()()()x z F y f z y f z zxF xf z yg z xf z yg z '--∂=-=-='''''∂--+ ()()()()()()y z F x g z x g z z yF xf z yg z xf z yg z '--∂=-=-='''''∂--+ 故()[()][()]()()y f z zx g z x g z x xf z yg z -∂-=-''∂+ ()[()]()()[()].x g z y f z xf z yg z zy f z y -=-''+∂=-∂ 125. ,)0F x z y z F F z ''+++-≠设（可微且，求方程 2221,)()22F x z y z x y z ++-++=（(,)d .z z x y z =所确定的函数的微分解 2221(,,),)()2,2G x y z F x z y z x y z =++-++-令（则。

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