.4.3.3空间向量求解角度与距离教案 新人教A版必修2

课题：2.4.3.3 空间向量求角度与距离

教材分析：

角和距离是几何中的基本度量，几何问题和一些实际问题经常设计角和距离，空间坐标系中可以用代数方法解决角度与距离，比找证求的方法更加适用。

课 型： 新授课

教学要求：使学生熟练掌握空间角度与距离的求法．

教学重点：公式的应用．

教学难点：公式的应用．

教学过程：

一．复习提问：

1．空间向量坐标，两点间的距离公式．

2. （1）用法向量求异面直线间的距离

如右图所示，a 、b 是两异面直线，n 是a 和b 的法向量，点E∈a，F∈b，则异面直线 a 与b 之间的距离是n n

EF d ⋅= ；

（2）用法向量求点到平面的距离

如右图所示，已知AB 是平面α的 一条斜线，n 为平面α的法向量，则 A 到平面α的距离为n n

AB d ⋅=；

（3）用法向量求直线到平面间的距离

首先必须确定直线与平面平行，然后将直线到平面的距离问题转化成直线上一点到平面的距离问题.

（4）用法向量求两平行平面间的距离

首先必须确定两个平面是否平行，这时可以在一个平面上任取一点，将两平面间的距离问题转化成点到平面的距离问题。

（5）用法向量求二面角

二．例题讲解：

例题1．如图6，已知正方体1111ABCD A B C D -的

棱长为2，点E 是正方形11BCC B 的中心，点F 、

G 分别是棱111,C D AA 的中点．

设点11,E G 分别是点E ，G 在平面11DCC D 内的正投影． （1）求以E 为顶点，以四边形FGAE 在平面11DCC D 内的正投影为底面边界的棱锥的体积；

A

B C

n

α z y x E 1

G 1

（2）证明：直线⊥1FG 平面1FEE ；

（3）求异面直线11E G EA 与所成角的正弦值.

解：（1）依题作点E 、G 在平面11DCC D 内的正投影1E 、1G ，则1E 、1G 分别为1CC 、1

DD 的中点，连结1EE 、1EG 、ED 、

1DE ，则所求为四棱锥11FG DE E -的体积，其底面11FG DE 面积为

111111E DG Rt FG E Rt FG DE S S S ∆∆+= 221212221=⨯⨯+⨯⨯=， 又⊥1EE 面11FG DE ，11=EE ，∴323111111=⋅=-EE S V FG DE FG DE E . （2）以D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别作x 轴，y 轴，z 轴，得)1,2,0(1E 、)1,0,0(1G ，又)1,0,2(G ，)2,1,0(F ，)1,2,1(E ，则)1,1,0(1--=FG ，)1,1,1(-=FE ，)1,1,0(1-=FE ，

∴01)1(01=+-+=⋅FE FG ，01)1(011=+-+=⋅FE FG ，即FE FG ⊥1，11FE FG ⊥，

又F FE FE =⋂1，∴⊥1FG 平面1FEE .

（3）)0,2,0(11-=G E ，)1,2,1(--=EA ，则62

,cos 111111=>=

G E EA G E ，设异

面直线11E G EA 与所成角为θ，则3

3321sin =-=θ. 例题2．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点E 为棱AB 的中点。 求：D 1E 与平面BC 1D 所成角的大小（用余弦值表示） 解析：建立坐标系如图，

则()2,0,0A 、()2,2,0B ，()0,2,0C ， ()12,0,2A ，()12,2,2B ，()10,0,2D ，()2,1,0E ，

()12,2,2A C =--，

()12,1,2D E =-，()0,2,0AB =，()10,0,2BB =。 A 1 B 1

C 1

D 1

A B C D E x

y z

不难证明1A C 为平面BC 1D 的法向量，∵ 1111113cos ,9AC D E AC D E AC D E ==。 ∴ D 1E 与平面BC 1D 所成的角的余弦值为

9

3。点评：将异面直线间的夹角转化为空间向量的夹角。 例题3．在四棱锥P －ABCD 中，ABCD 为正方形，PA⊥平面ABCD ，PA ＝AB ＝a ，E 为BC 中点。

（1）求平面PDE 与平面PAB 所成二面角的大小（用正切值表示）；

（2）求平面PBA 与平面PDC 所成二面角的大小.

解析：（1）延长AB 、DE 交于点F ，则PF 为平面PDE 与平面PAD 所成二面角的棱，∵PA⊥平面ABCD ，∴AD⊥PA、AB, PA∩AB=A∴DA⊥平面BPA 于A ，

过A 作AO⊥PF 于O ，连结OD ，则∠AOD 即为平面PDE 与平面PAD 所成二面角的平面角。易得25tan =∠AOD ，故平面PDE 与平PAD 所成二面角的正切值为2

5； （2）解法1（面积法）如图∵AD⊥PA、AB, PA∩AB=A，

∴DA⊥平面BPA 于A, 同时，BC⊥平面BPA 于B ，

∴△PBA 是△PCD 在平面PBA 上的射影, 设平面PBA 与平面PDC 所成二面角大小为θ, cosθ=S △PAB /S △PCD =/2 θ=450

。 即平面BAP 与平面PDC 所成的二面角的大小为45°。

解法2（补形化为定义法）

如图：将四棱锥P-ABCD 补形得正方体ABCD －PQMN ，则PQ⊥PA、

PD ，于是∠APD 是两面所成二面角的平面角。

在Rt△PAD 中，PA=AD ，则∠APD=45°。即平面BAP 与平面PDC

所成二面角的大小为45°。

三：巩固练习：

四．小结

1．这些角是对点、直线、平面所组成空间图形的位置进行定性分析和定量计算的重要组成部分，学习时要深刻理解它们的含义，并能综合应用空间各种角的概念和平面几何知识（特别是余弦定理）熟练解题。特别注意:空间各种角的计算都要转化为同一平面上来，这里要特别注意平面角的探求；